平方根和开平方(基础)知识讲解学习资料
湘教版八年级数学 3.1 平方根(学习、上课课件)
知1－练
感悟新知
例2 求下列各式中的 x 的值：
知1－练
(1)
x2=16；(2)9x2
－
49
＝
0；(3)
1 2
(
x
－
5)
2
＝
8．
解题秘方：若 x2=a( a ≥ 0)，则 x=± a . 先把各题 化为x2=a 的形式，再求 x 的值 .
感悟新知
(1) x2=16；
知1－练
解： x2=16，开平方，得 x=± 16 =± 4. (2)9x2 － 49 ＝ 0；
知1－练
感悟新知
方法点拨：求一个正数的平方根的方法：先找出 知1－练 平方等于这个正数的数，这样的数有两个，它们 互为相反数，因而这两个数均为这个正数的平方 根 . 如果一个数为带分数，一般先将其转化为假 分数，再求平方根；如果有乘方运算，那么先求 出乘方运算的结果，针对结果再求平方根；如果 一个正数 a 不能写成有理数的平方的形式，那么 可以将 a 的平方根表示成 ± a.
第三章 实 数
3.1 平方根
学习目标
1 课时讲解 2 课时流程
平方根及其性质 算术平方根及其性质 无理数 算术平方根的估算
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 平方根及其性质
知1－讲
1. 定义 : 如果有一个数 r，使得 r2=a，那么我们把 r 叫作 a 的 一个平方根，也叫作二次方根 . 这就是说，若 r2=a，则 r 是 a 的一个平方根 . 表示方法：非负数 a 的平方根记作± a ，读作“正、负根 号 a”
因为 9x2 － 49 ＝ 0，所以 x2 ＝ 499，开平方，
得 x ＝±
初中开根号基本讲解
初中开根号基本讲解
什么是开根号？
开根号是一种数学运算，表示对一个数进行开平方操作。
开根号的结果通常是
一个非负数，它是原数的平方根。
比如，开根号2的结果是1.414。
如何进行开根号运算？
•符号表示：开根号通常用符号√来表示，例如√2表示开根号2。
•简单计算：对一个数进行开根号运算，可以使用计算器或手工计算。
例如，√9 = 3, √16 = 4。
•近似计算：对于不能整除的数，开根号的结果是无理数，需要使用近似计算。
例如，√2约等于1.414，√5约等于2.236。
开根号的特点
•非负数：开根号的结果是非负数，即没有负数的平方根。
•无理数：大部分数的平方根是无理数，需要进行近似计算。
•开根号运算法则：开根号运算满足一些基本法则，如√(ab) = √a * √b。
开根号在初中数学中的应用
•平方数：初中数学中常涉及到求平方根，如判断一个数是否是完全平方数。
•勾股定理：在求解直角三角形的斜边长度时，需要用到开根号运算。
•解方程：有些方程需要用到开根号运算来求解，如一元二次方程。
总结
开根号是初中数学中的基础知识，掌握开根号的概念和运算方法对于学习数学
和解决实际问题都是很重要的。
希望通过本文的讲解，读者能够对开根号有更清晰的认识，提升数学学习的理解和能力。
(完整版)初一下册平方根知识点总结
个性化教学辅导方案知识点二平方根例：因为32= 9 , (-3)2= 9, 所以一个数的平方等于9，这个数是3 或-3。
概念：一般地，如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根（或二次方根）．就是说，如果x2= a (a≥0)，那么x 就叫做a 的平方根．记作±a求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。
例1：求下列各数的平方根：4（1）81 （2）（3）100 （4）0.4925总结：一个正数 a 的正的平方根，用符号2a 表示，一个正数 a 的负的平方根，用符号-2a 表示。
这两个平方根合在起来可以记作±2a 。
根指数是2 时通常将这个2 省略不写，如2a 记作a 。
例 2：正数的平方根有什么特点？0 的平方根是多少？负数有平方根吗？总结：一个正数有两个平方根，它它们互为相反数；0 的平方根是 0；一个负数没有平方根；注意：因为负数没有平方根，所以a 中的被开方数a≥0，当a <0 时，a 没有意义.例 1：下列各数有平方根？如果有，求出它的平方根，如果没有，说明理由。
－64、0，(- 4)2 ，例2：若3a+1 没有算术平方根，则a 的取值范围是。
若3x-6 总有平方根，则x 的取值范围是。
a - 4 2 -3 0a +1 ））例 3：若 + b - 9 = 0, 求 b 的平方根a基础过关1、判断下面说法是否正确： （1）0 的平方根是 0； （ ） （2）1 的平方根是 1； （ ） （3） –1 的平方根是– 1; （ ） （4）（–1）2 的平方根是– 1.（ ） （5）－9 的平方根是－3; ( ) （6）49 的平方根是 7 ； ( ) （7） (-2)2 的平方根是±2 ；（ ）（8）－1 是 1 的平方根; （ ） （9）7 的平方根是±49.( )（10）若 x 2 = 16 ，则 X = 4 （ ） 2、下列各数没有平方根的（ ） (A) 64(B)（–2 3(C) 0(D) （–3 43、下列各式没有意义的是 （）(A) (B) x (x ≥ 0)(C) (D)4 、若使 有意义,则 a 的取值范围是 ()(A)一切有理数 (B) a ≠-1(C) a ≤-1(D) a ≥-15、一个数的平方等于它本身，这个数是 ；一个数的平方根等于它本身，这个数是 ；6、若 4a +1 的平方根是±5，则 a =。
苏教版八年级上册数学[平方根(基础)知识点整理及重点题型梳理]
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苏教版八年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习平方根（基础）【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．【要点梳理】【389316 平方根，知识要点】知识点一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数x的平方等于a，即2x a=,那么这个正数x叫做a的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；aa的算术平方根”，a叫做被开方数.要点诠释：a0，a≥0.2.平方根的定义如果2x a=，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.a (a≥0)的平方根的符号表达为0)a≥是a的算术平方根.知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.知识点三、平方根的性质0 ||00a aa aa a>⎧⎪===⎨⎪-<⎩()()20a a a =≥ 知识点四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：62500250=，62525=， 6.25 2.5=，0.06250.25=.【典型例题】 类型一、平方根和算术平方根的概念1、下列说法错误的是（ ）A.5是25的算术平方根B.l 是l 的一个平方根C.()24-的平方根是－4D.0的平方根与算术平方根都是0【答案】C ；【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．A.因为25＝5，所以本说法正确；B.因为±1＝±1，所以l 是l 的一个平方根说法正确；C.因为±()24-＝±16＝±4，所以本说法错误；D.因为0±＝0，0＝0，所以本说法正确；【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题． 举一反三：【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：（1）9-没有平方根．（ ）（2）164=±．（ ）（3）21()10-的平方根是110±．（ ） （4）25--是425的算术平方根．（ ） 【答案】√ ；×； √； ×，提示：（2）164=；（4）25是425的算术平方根． 2、 填空：（1）4-是 的负平方根．（2116表示 的算术平方根，116= ．（3）181的算术平方根为 ． （4）若3x =，则x = ，若23x =，则x = ．【思路点拨】（3）181就是181的算术平方根＝19，此题求的是19的算术平方根. 【答案与解析】(1)16；(2)11;164(3)13 (4) 9；±3 【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化. 举一反三：【变式1】下列说法中正确的有（ ）：①3是9的平方根． ② 9的平方根是3．③4是8的正的平方根．④ 8-是64的负的平方根．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B ；提示：①④是正确的.【变式2】求下列各式的值：（1）325 （2）8136+（3）0.040.25- （4）40.36121⋅ 【答案】（1）15；（2）15；（3）－0.3；（4）6553、使代数式1x +有意义的x 的取值范围是______________．【答案】x ≥1-；【解析】x ＋1≥0，解得x ≥1-.【总结升华】当式子a 有意义时，a 一定表示一个非负数，即a ≥0，a ≥0. 举一反三：【变式】（2016春•庐江县期末）已知()22230x y x y ++++=，求2x y -的平方根．【答案】解：， 解得，∴ 2x y -=1﹣2×（﹣2）=5，∴5的平方根是±．类型二、利用平方根解方程4、（2015春•鄂州校级期中）求下列各式中的x值（1）169x2=144（2）（x﹣2）2﹣36=0．【思路点拨】（1）移项后，根据平方根定义求解；（2）先将（x﹣2）看成一个整体，移项后，根据平方根定义求解．【答案与解析】解：（1）169x2=144，两边同时除以169，得1442x=169开平方，得x=（2）（x﹣2）2﹣36=0，移项，得（x﹣2）2=36开平方，得x﹣2=±6，解得：x=8或x=﹣4．【总结升华】本题考查了平方根，根据是一个正数的平方根有两个．类型三、平方根的应用5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求长和宽各是多少米？【答案与解析】解：设宽为x，长为3x，由题意得，x·3x＝132332x＝1323x=±21x＝－21(舍去)答：长为63米，宽为21米.【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.。
开方及二次根式知识点
开方及二次根式知识点全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：开方及二次根式是高中数学中常见的一个知识点，也是数学中的基础概念之一。
在学习代数学时，开方及二次根式是必须要掌握的重要内容。
本文将对开方及二次根式进行详细介绍，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
让我们从最基础的概念开始。
所谓开方，就是对一个数进行开方运算，即找到一个数，使得它的平方等于给定的数。
如果一个数是另一个数的平方，那么这个数就是这个数的平方根。
开方也可以用符号√来表示，如√4表示对4进行开方运算，结果为2，因为2的平方等于4。
二次根式是由一个数与它的二次根号组成的一个式子，例如√2、√3、√5等。
这些数都是无理数，也就是不能用有限位小数表示的数。
在数轴上，二次根式对应的数是不完全平方数，即无法整除的数。
在计算开方及二次根式时，有一些基本规则需要遵循。
对于整数n，如果n>0，则√n是一个正数；如果n<0，则√n是一个虚数。
开方运算是一个单调递增的函数，即当x<y时，√x < √y。
开方运算不满足交换律和结合律，即√xy≠√x·√y，(√x)²≠x。
在开方运算中，常见的性质有：1.开方运算的运算性质：√a ± √b ≠ √(a ± b)，√a · √b ≠√(a · b)。
3.二次根式的乘法运算：√a · √b = √(a · b)。
还有一些常见的运算法则需要注意。
如何计算复合二次根式呢？如何计算√(√2 + √3)呢？我们可以用代数的方法将其化简。
设x = √2 + √3，则x² = (√2 + √3)² = 2 + 2√6 + 3 = 5 + 2√6，即x² - 5 = 2√6。
所以√(√2 + √3) = √(x) = √(x² - 5) = √(2√6) = √2 · √3 = √6。
初中数学知识点精讲精析 平方根知识讲解
13·1 平方根要点精讲1. 平方根的概念（1）如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根．即：x 2＝a ，x 叫a 的平方根．（2）数a （a ≥0）的平方根记作±a ，读作“正负根号下a ”，其中a 表示a 的正的平方根，－a 表示a 的负的平方根；“a ”实际上省略了2a 中的2，2叫做根指数，a 叫做被开方数．2. 平方根的性质（1）正数有两个平方根，它们互为相反数．（2）0的平方根只有一个，还是0．（3）负数没有平方根．3. 算术平方根一个正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，0的算术平方根还是0．（1）算术平方根的定义表明，只要是非负数就一定有算术平方根．（2）算术平方根是平方根的一种．（3）非负数的算术平方根还是非负数．a (a ≥0)， a ≥0常见的非负数的类型：︱a ︱，a 2，a (a ≥0)注：（1）要加强对平方根和算术平方根概念的理解，进一步明确非负数a 的算术平方根是a ，而平方根是±a ．（2）计算化简时要谨慎细心，如求81的平方根，需先算出81＝9，求81的平方根就是求9的平方根，而不是求81的平方根．（3）真正领会负数没有平方根．典型例题例1.求下列各数的平方根和算术平方根（1）12149（2）0.0081 （3）(－45)2 （4）14解析：（1）平方根是：±117，算术平方根是：117（2）平方根是：±0.09，算术平方根是：0.09（3）平方根是：±45，算术平方根是：45（4）平方根是：±14，算术平方根是：14例2.求下列各式中的x ．（1）9x 2－256＝0（2）4(2x －1)2＝25解析：（1）x 2＝2569，x ＝±163（2）把2x －1作为一个整体，则2x －1＝±52．当2x －1＝52时，x ＝74；当2x －1＝－52时，x ＝－344. ∵（1－2a ）2≥0，b －2≥0，又（1－2a ）2＋b －2＝0，∴（1－2a ）2＝0，b －2＝0，∴1－2a ＝0，b －2＝0，∴a ＝12，b ＝2，∴ab ＝1．例3.如果一个正数的平方根是a ＋3和2a －15，求a 的值和这个正数．分析：由平方根的意义可知a ＋3和2a －15互为相反数，故有a ＋3＋（2a －15）＝0，从而可以解得a ，进而求出这个正数．解：因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以（a ＋3）＋（2a －15）＝0，解得a ＝4．当a ＝4时，a ＋3＝7，2a －15＝－7．即这个正数的平方根分别是＋7和－7，所以原数为49．评析：解决本题的关键是利用一个正数的平方根是互为相反数的关系得到a 的一元一次方程，解方程求出a 的值，从而求出这个正数．例4.在交通事故的处理中，警察往往用公式v ＝16df 来判断该车辆是否超速，其中v 表示车速（单位：千米/时），d 表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f 表示摩擦系数.某日，在一段限速60千米/时的公路上，发生了一起两车追尾事故，警察赶到后经过测量，得出其中一辆车的d ＝18，f ＝2. 请问：该车超速了吗？分析：运用公式，求出该车的速度，再与60千米/时进行比较，看是否超速便可解决. 解：把d ＝18，f ＝2代入公式v ＝16df 得v ＝1618×2＝16×6＝96（千米/时）.而96＞60，所以该车超速了.评析：平方根和立方根的知识在实际生活中应用非常广泛，因此数的发展与现实需要密不可分.例5.求下列各式中的x 的值．（1）x 2－676＝0；（2）9（3x ＋1）2＝64．分析：这是一道求平方根的题目．（1）x 2－676＝0可化为x 2＝676，x 的值就是676的平方根．（2）可将3x ＋1看作一个整体来解，即（3x ＋1）2＝649，所以3x ＋1是649的平方根，从而可求出x ．解：（1）∵x 2－676＝0，∴x 2＝676．∴x ＝±676＝±26．（2）∵9（3x ＋1）2＝64，∴（3x ＋1）2＝649，∴3x ＋1＝±649＝±83， 当3x ＋1＝83时，x ＝59； 当3x ＋1＝－83时，x ＝－119． 评析：解带有平方的方程时，首先应将方程化为一边是完全平方，另一边是一个非负数的形式，然后两边同时开平方，开方时一定要注意不要漏掉负的平方根，同时根据题目的特点，本题利用了一个重要的数学思想——整体思想．例6.对于题目：“化简并求值：1a ＋(1a －a )2，其中a ＝15”，甲、乙两人的解答不同． 甲的解答是：1a ＋(1a －a )2＝1a ＋1a －a ＝2a －a ＝495， 乙的解答是：1a ＋(1a －a )2＝1a ＋a －1a ＝a ＝15． 阅读后你认为谁的解答是错误的？为什么？分析：将a ＝15代入便知谁的解答正确． 解：乙的解答是错误的，因为当a ＝15时，1a＝5． a －1a ＝15－5＜0，所以(1a －a )2≠a －1a ，而应是(1a －a )2＝1a－A. 评析：在化简a 2时，一定要注意a 的符号，并且根据算术平方根的意义，a 2的结果应为非负数．例7.利用计算器计算： …，0.0625，0.625， 6.25，62.5，625，6250，62500，…计算后，分析结果，你发现了什么规律？分析：可分析开方前和开方后小数点的变化规律．解：用计算器计算结果如下：…，0.25，0.7906，2.5，7.906，25，79.06，250，…分析计算结果可以发现：被开方数的小数点每向右（左）移动两位，算术平方根的小数点相应地向右（左）移动一位．评析：可利用开平方时小数点的这一变化规律对一些数开平方．。
(完整版)平方根、算术平方根、立方根重点例题讲解
6.1平方根、算术平方根、立方根例题讲解第一部分：知识点讲解1、学前准备【旧知回顾】2.平方根（ 1）平方根的定义：一般的，若是一个数的平方等于a ，那么这个数叫做 a 的平方根，也叫做二次方根。
即若 x2 a ，( a0) ，则x叫做a的平方根。
即有 x a ，（a0 ）。
（ 2）平方根的性质：（ 3）注意事项：x a ， a 称为被开方数，这里被开方数必然是一个非负数（a0 ）。
（ 4）求一个数平方根的方法：（5）开平方：求一个数平方根的运算叫做开平方。
它与平方互为逆运算。
3.算术平方根（ 1）算术平方根的定义：若x2 a ， (a 0) ，则x叫做a的平方根。
即有x a ，（ a 0 ）。
其中x a 叫做 a 的算术平方根。
（ 2）算术平方根的性质：（ 3）注意点：在今后的计算题中，像22， 5 分别指的是 2 和25 （ - 2），其中5的算术平方根。
4.几种重要的运算：①ab a ? b a 0, b 0, a ? b ab a 0,b0②a a0),a a0,b0) b(a 0,bb(ab b③(a )2a ( a 0) ,2，2aaa（ - a）★★★ 若 a b 0，则(a b)2 a b a b a b5.立方根（1）立方根的定义：一般地，若是一个数的立方等于 a ，那么这个数叫做 a 的立方根，也叫做三次方根。
即若x3 a ，则x叫做a的立方根。
即有x 3 a。
（2）立方根的性质：（3）开立方求一个数的立方根的运算叫做开立方，它与立方互为逆运算。
6.几个重要公式：3ab 33,33b3ab③ a ?b a ?a 33a a3a(b 0),3(b 0) b33b bb④3333，33( a ) a (a可以为任何数）,a a（- a）-a 第二部分：例题讲解题型 1：求一个数的平方根、算术平方根、立方根。
1.求平方根、算术平方根、立方根。
（1） 0 的平方根是，算术平方根是.（2） 25 的平方根是，算术平方根是.（3）1的平方根是，算术平方根是. 64（4）(9) 2的平方根是，算术平方根是.（5） 23 的平方根是，算术平方根是.（6）16的平方根是，算术平方根是.(6)（2，算术平方根是. 16）的平方根是(8)- 9的平方根是，算术平方根是.（9）8。
初中数学《平方根》知识全解
《平方根》知识全解课标要求1．了解一个数的平方根和算术平方根的意义，理解和掌握平方根的性质。
2．会求一个非负数的平方根和算术平方根。
3．会用计算器求一个非负数的算术平方根。
知识结构内容解析本节先研究算术平方根，再研究平方根。
教科书首先创设一个问题情景，从中抽象出的数学问题为：已知正方形的面积求其边长。
这是一个典型的求算术平方根的问题，它与学生熟悉的已知正方形的边长求其面积是一个互逆的过程。
通过对这类问题的探讨，引出算术平方根的概念，给出其符号表示，这时教科书所涉及到的被开方数本质上都是完全平方数．接着，教科书设置一个“探究”栏目，让学生尝试能否将两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形，进而求出这个大正方形的边长。
这也是一个已知正方形的面积求它的边长的问题，由于这个大正方形的面积为2，根据前面学过的算术平方根的概念和表示方法，可以求出这个大正方形的边长是，这样教科书就引进了用根号形式表示的无理数（但暂时不出现无理数的概念），这是教科书第一次出现这样的数．另外，通过学生将两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形的活动，也使学生感受到无理数是从现实世界中抽象出来的，是一种不同于有理数的数．出现后，一个很自然的问题是，到底多大。
教科书采用用有理数夹逼的方法，利用不足近似值和过剩近似值来估计的大小，通过一步一步的估计，得到的越来越精确的近似值，进而指出是一个无限不循环小数的事实，并进一步指出，，等也是无限不循环小数，这就为后面认识无理数打下基础。
会使用计算器求数的算术平方根是本章的一个教学要求，教科书通过一个例题，介绍了使用计算器求算术平方根的方法。
用有理数估计无理数的大小，也是学习本章应该注意的一个问题，教科书结合一个实际例子（例3）介绍了用有理数估计无理数的常用方法．至此，教科书讨论了有关算术平方根的内容，包括算术平方根的概念、求法，无限不循环小数以及用有理数估计无理数等内容。
接着，教科书设置一个“思考”栏目，对平方根展开讨论。
平方根和开平方(基础)知识讲解学习资料
平方根和开平方（基础）知识讲解平方根和开平方（基础）【学习目标】1•了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根.2•了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根.【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念1.平方根的定义如果X2 a，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.a叫做被开方数.平方与开平方互为逆运算.2.算术平方根的定义正数a的两个平方根可以用“,a”表示，其中,a表示a的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号a”；.a表示a的负平方根，读作“负根号a ” .要点诠释：当式子,a有意义时，a 一定表示一个非负数，即,.a > 0，a > 0. 要点二、平方根和算术平方根的区别与联系1.区别：（1）定义不同；（2）结果不同：■•一a和' a2•联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0.要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根.（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根•因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根•要点三、平方根的性质a a 0a2 | a | 0 a 0a a 0、a a a 0要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位•例如：62500 250，. 625 25，一625 2.5，.0.0625 0.25 .【典型例题】【答案】C;【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项.A.因为'、25 = 5，所以本说法正确；B.因为±"二±1,所以I是I的一个平方根说法正确;C.因为±..4 2=±、、16 = ±4，所以本说法错误；D.因为'一0 = 0，■ 0 = 0，所以本说法正确；【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题.举一反三：【变式】判断下列各题正误，并将错误改正:(1)9没有平方根•()A.5是25的算术平方根B.I2C. 4的平方根是一 4D.0是I的一个平方根的平方根与算术平方根都是类型一、平方根和算术平方根的概念(2).16 4 .( )1 1(3)( —)2的平方根是一.( )1010(4)| 2是暮的算术平方根.( )【答案】V ；x； V； x,提示：(2)皿4;(4)§是善的算术平方根. 仇、填空：(1)_________ 4是的负平方根.(2)_____________ 16表示 __________________ 的算术平方根，、.16 -(3)______________________ ；的算术平方根为 .(4)___________________ 若3，则x ____________ ，若7 3，则x .【思路点拨】(3) 1就是丄的算术平方根二-，此题求的是-的算术平方V81 81 9 9根•1 1 1【答案与解析】(1)16 ;⑵ 一；—(3)-⑷9 ; ±316 4 3【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化.举一反三:【变式1】下列说法中正确的有( )：①3是9的平方根. ②9的平方根是3.③4是8的正的平方根.④8是64的负的平方根.A. 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个【答案】B;提示：①④是正确的•【变式2】(2015?凉山州)材苟的平方根是_____________ .【答案】土 3.解：因为 -=9, 9的平方根是土3,所以答案为土 3.03、使代数式屮灯〒有意义的x的取值范围是 __________________ .【答案】x > 1 ;【解析】x + 1>0,解得x > 1.【总结升华】当式子有意义时，a一定表示一个非负数，即 a >0, a >0.举一反三:【变式】代数式y二x 3有意义，则x的取值范围是______________________ 【答案】x 3.类型二、利用平方根解方程(2015春?鄂州校级期中)求下列各式中的x值,2(1)169x =1442(2)( x - 2) - 36=0 .【思路点拨】(1)移项后，根据平方根定义求解;(2)移项后，根据平方根定义求解.【答案与解析】2解:( 1) 169x =144,2 144x =169x= 144 ■169，12x= 一13 .2(2)( x - 2) - 36=0,2(x - 2) =36,x - 2= 36 ,x - 2=±6,••• x=8 或x= - 4.【总结升华】本题考查了平方根，注意一个正数的平方根有两个，他们互为相反数.类型三、平方根的应用C5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米•求长和宽各是多少米？【答案与解析】解：设宽为x，长为3x，由题意得，x・3 X = 13233 x =1323x 21x = - 21（舍去）答：长为63米，宽为21米.【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数。
沪科七下数学第六章实数知识点复习加典型例题讲解[1] 2
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七年级数学第一章知识点复习1、平方根（1）定义：一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a 的平方根,也叫做a 的二次方根。
“根号a”）对于正数a负的平方根用 ”表示（读做“负根号a” ）如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“a 称为被开方数）。
（2）平方根的性质：①一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； ②0只有一个平方根，它就是0本身；③负数没有平方根. （3）开平方的定义:求一个数的平方根的运算，叫做开平方.（4）算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a（50；a ≥0。
（6）公式：⑴2=a （a ≥0）；2、立方根（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a ，这个数就叫做a 的立方根(也叫做三次方根)。
即X 3=a,把X 叫做a 的立方根。
数a 的立方根用符号表示，读作“三次根号a ”。
（2）立方根的性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
（3）开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
开立方与立方也是互为逆运算，因此求一个数的立方根可以通过立方运算来求. 3、规律总结（1）平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
（2）每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
二、平方根、立方根例题。
例1、（1）下列各数是否有平方根，请说明理由 ① （-3）2 ② 0 2 ③ -0.01 2 （2） 下列说法对不对？为什么？① 4有一个平方根 ② 只有正数有平方根 ③ 任何数都有平方根④ 若 a ＞0，a 有两个平方根，它们互为相反数解：（1） （-3）2 和0 2有平方根，因为（-3）2 和0 2是非负数。
- 0.01 2没有平方根，因为-0.01 2是负数。
（2）只有④对，因为一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
平方根(知识梳理与考点分类讲解)2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破(北师大版)
专题2.3平方根（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】算术平方根1.定义一般地，如果一个正数x 的平方根等于a,即：2,x a =那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记作，读作“根号a ”,2.表示方法：非负数a的算术平方根记作，读作根号a,3.性质：（1）正数只有一个算术平方根，并且恒为正；（2）0的算术平方根为0，即0=；（3）负数没有算术平方根，当式子有意义时，a 一定是一个非负数。
【知识点2】平方根4.定义一般地，如果一个正数x 的平方根等于a,即：2,x a =那么数x 就叫做a 的平方根，记作±读作“正负根号a ”,5.表示方法：一个数a （a ≧0）的平方根记作±≧0)，读作根号a,“正负根号a ”,6.性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，是它本身，负数没有平方根。
【知识点3】开平方7.定义求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，a 叫做被开方数；8.2(0)a ≥的性质：（1(0),0(0),(0).a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩（2）2(0)a a =≥（32的区别与联系中a 为任意实数；2中a 0≥；中被开方数为2a ；2中被开方数为a ；先平方再开方；2先开方再平方。
结果为非负数；2中a ≧0=29.性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，是它本身，负数没有平方根。
【考点一】算术平方根➼➻求一个数的算术平方根【例1】求以下各数的算术平方根：121，925，1.96，610．【答案】11，35，1.4，310【分析】根据求一个数的算术平方根求解即可．平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫a 的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．解()2222363911121,,1.4 1.96,1010525⎛⎫==== ⎪⎝⎭∴335【点拨】本题考查了求一个数的算术平方根，理解算术平方根的定义是解题的关键．【举一反三】【变式】求以下各数的算术平方根：36，916，17，0.81，410．【答案】6，34，0.9，210【分析】根据算术平方根的定义求解即可．如果一个非负数x 的平方等于a ，即()20x a a =≥，那么这个非负数x 叫做a 的算术平方根．解：366=；91634=；17；0.810.9=；410210=．【点拨】此题考查了算术平方根的定义，解题的关键是熟练掌握算术平方根的定义．如果一个非负数x的平方等于a ，即()20x a a =≥，那么这个非负数x 叫做a 的算术平方根．【考点二】算术平方根➼➻非负性【例2】已知x ，y ，z 是有理数，且满足2(2)30x z --=，求()3zx y +的值．【答案】1-【分析】根据数的平方，数的算术平方根和绝对值的非负性，可知()22x -，3z -都是非负数．结合()2230x z --=，可得20x -=，10y +=，30z -=，从而可得答案．解：根据数的平方，数的算术平方根和绝对值的非负性，可知()22x -3z -都是非负数．又因为()2230x z --=，所以20x -=，10y +=，30z -=，解得2x =，1y =-，3z =，所以3(3)(23)1z x y +=-=-．【点拨】本题考查的是偶次方，算术平方根，绝对值的非负性的应用，求解代数式的值，理解非负数的含义是解本题的关键．【举一反三】【变式1】若4m x =，求m 的算术平方根．【答案】m 的算术平方根为2．【分析】根据算术平方根的非负性确定x 的值，进而求得m 的值，最后求得m 的算术平方根即可．解：由题意得10x -≥且10x -≥，∴1x ≥且1x ≤，∴1x =，∴44m x ==，2=，∴m 的算术平方根为2．【点拨】本题考查了算术平方根的非负性以及求一个数的算术平方根，掌握算术平方根的相关性质是解题的关键．【变式2】已知|2020|a a -=，求22020a -的值．【答案】2022【分析】根据算术平方根的非负性确定a 的范围，进而化简绝对值，在根据平方根的定义求得代数式的值．解：∵20220a -≥，∴2022a ≥．∴20200a -<，∴原式化简为2020a a -=，2020=，∴220222020a -=，故220202022a -=．【点拨】本题考查了算术平方根的非负性，化简绝对值，平方根的定义，根据算术平方根的非负性确定a 的范围化简绝对值是解题的关键．【考点三】算术平方根➼➻整数部分与小数部分【例3】设的整数部分和小数部分分别是x 、y ，试求x 、y 的值与x-1的算术平方根．介于哪两个整数之间，从而找到整数部分，小数部分让原数减去整数部分，然后代入求值即可．解：因为4＜6＜9，所以2＜3，的整数部分是2，所以4，小数部分是-2，即x=4，-2=考点：1．估算无理数的大小；2．算术平方根．【举一反三】【变式】已知21a -的算术平方根是3，1b -的平方根是4±，c 2a b c +-的平方根．【答案】6±【分析】根据平方根与算术平方根的定义分别求出a b c 、、的值；进而得出2a b c +-的值，求出它的平方根即可；解：∵21a -的算术平方根是3；1b -的平方根是4±，∴219a -=，b -=116，∴5a =，17b =．∵c 34<，∴3c =．∴a b c +-=+⨯-=25172336．∵36的平方根是6±．∴2a b c +-的平方根为6±．【点拨】本题考查了考查了平方根与算术平方根；熟练掌握平方根与算术平方根的定义是解题的关键．【考点四】算术平方根➼➻规律问题【例4】探索与应用．先填写下表，通过观察后再回答问题：(1)表格中x ＝；y ＝；(2)从表格中探究a规律：______________________________________________________________________________________________________________________________________________________①3.16≈≈；② 1.8=180=，则=a．【答案】(1)0.1，10(2)规律见解析，①31.6；②32400【分析】（1）观察表格确定出x 与y 的值即可；（2）根据表格中的规律“算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍”，据此分别计算①②可得答案．解：（1）0.1x =，10y =；故答案为：0.1，10；（2）根据表中数据可得：算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍；31.6=≈；② 3.241000032400a =⨯=．故答案为：①31.6；②32400．【点拨】本题考查了算术平方根的知识，根据表格的数据发现规律是解题的关键．【举一反三】【变式】利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下：(1)分析发现：被开方数扩大100倍，它的算术平方根扩大倍；(2)若一块长方形纸片的面积是400cm 2，长与宽之比为2：1，求这块长方形纸片的长与宽（精确到0.1，1.414≈1.732≈）．【答案】(1)10(2)这块长方形纸片的长为28.2cm ，宽为14.1cm【分析】（1）根据根号内的小数点移动规律即可求解，算术平方根的规律为，根号内的小数点移动2位，对应的结果小数移动1位，小数点的移动方向保持一致；（2）设这块长方形的纸片的宽为x ，则长为2x ，根据题意列出方程，进而根据（1）的结论，即可求解．解（1）被开方数扩大100倍，它的算术平方根扩大10倍；故答案为：10．（2）设这块长方形的纸片的宽为x ，则长为2x ，∴2400x x ⨯=，即2200 x=，∴x1.414≈，14.1≈，14.1228.2cm⨯=，答：这块长方形纸片的长为28.2cm，宽为14.1cm．【点拨】本题考查了算术平方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键．【考点五】算术平方根➼➻实际应用【例5】．小明按如图的方法把每个小正方形沿一条对角线裁成两个三角形，然后再把这四个三角形拼成一个大正方形．(1)这个大正方形的边长为___________cm；(2)小明要在所拼成的大正方形中沿边的方向裁出一个长宽比为5:3且面积为280cm3的长方形，问能否成功，试说明理由．【答案】(2)不能裁出，理由见解析．【分析】（1）一直两个正方形的面积之和就是大正方形的面积，根据面积公式即可求出大正方形的边长；（2）先设未知数，根据面积212(cm)=列方程，求出长方形的边长，将长方形的长与正方形边长比较大小再判断即可．（1）解：两个正方形的面积之和为：222=42cm⨯（），∴拼成的大正方形的面积=422cm（），∴；．（2）解：设所裁长方形的长为5x cm，宽为3x cm，则80533x x⋅=，2169x=，解得：43 x=，∴长为203cm，宽为4cm，203<，∴不能裁出．【点拨】本题考查了算术平方根实际应用，能跟据题意列出算式是解此题的关键．【举一反三】【变式】的小正方形纸片沿中间对角线剪开，拼成一个大正方形．(1)大正方形的边长是______cm．(2)丽丽同学想用这块大正方形纸片裁剪出一块面积为212cm且长和宽之比为3:2的长方形纸片，她能裁出来吗？请说明理由．【答案】(1)4；(2)不能裁出，理由见解析【分析】（1）已知两个正方形的面积之和就是大正方形的面积，根据面积公式即可求出大正方形的边长；（2）先设长方形纸片的长为()3x cm，宽为：()2x cm，根据面积公式列方程，求出长方形的边长，将长方形的长与正方形边长进行比较即可判断．（1）解：两个正方形的面积之和为：()22216cm⨯=，∴拼成的大正方形的面积为：()216cm，∴大正方形的边长为：4cm，故答案为：4；（2）解：设长方形纸片的长为()3x cm，宽为：()2x cm，∴3212x x⋅=，解得x=，∴34x=>，∴不能使裁下的长方形纸片的长宽之比为：3:2，且面积为()212cm ．【点拨】本题考查算术平方根的实际应用，能根据题意列出算式是解题的关键．【考点六】平方根➼➻概念的理解【例6】若某个正数的两个平方根分别为32a +和10a -，求这个正数的值．【答案】64【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数列出方程求出a 的值，进而求出这个数即可．解：依题意，得：()()32100a a ++-=，解得：2a =，∴323228a +=⨯+=，∴这个正数为：2864=．【点拨】此题主要考查了平方根，正确把握平方根的定义是解题关键【举一反三】【变式】已知1234x a y a =-=-，．(1)已知x 的算术平方根为3，求a 的值；(2)如果x ，y 都是同一个数的平方根，求这个数．【答案】(1)4a =-；(2)这个数为1或25【分析】（1）由x 的算术平方根为3得到129a -=，解方程即可得到答案；（2）分x y =和0x y +=两种情况分别进行求解即可．（1）解：∵x 的算术平方根为3，∴129a -=，解得4a =-；（2）①当x y =时，即1234a a -=-，解得1a =，∴121x a =-=-，341y a =-=-，∴这个数为()211-=；②当0x y +=时，即12340-+-=a a ，解得3a =，∴125x a =-=-，345y a =-=，∴这个数为2525=，综上所述，这个数为1或25．【点拨】此题考查了平方根和算术平方根，读懂题意并正确计算是解题的关键．【考点七】平方根➼➻求一个数的平方根【例7】求下列各数的平方根．(1)196；(2)25169；(3)124；(4)()24-．【答案】(1)14±；(2)513±；(3)32±；(4)4±【分析】（1）-（4）根据()20x a a =≥称x 是a 的平方根，且)0x a =≥计算即可．解（1）∵()214196±=，（2）∵225151369⎛⎫= ⎪⎝⎭±，∴14=±．∴513±．（3）∵21924342⎛⎫±== ⎪⎝⎭，（4）∵()()22416,416-=±=，∴32==±．∴4==±．【点拨】本题考查了平方根的计算，熟练掌握平方根的意义是解题的关键．【举一反三】【变式】求下列各数的平方根：(1)121；(2)0.01；(3)729；(4)()213-．【答案】(1)11±；(2)0.1±；(3)53±；(4)13±。
初中根号入门讲解
初中根号入门讲解初中阶段是学习数学的重要时期，而根号是数学中的一个重要概念，是初中数学中的基础知识之一。
本文将以初中根号入门讲解为题，详细介绍根号的概念、性质和计算方法。
一、根号的概念根号是数学中一种特殊的符号，用来表示某个数的平方根。
平方根是一个数的平方等于该数的情况下的非负解。
根号的符号是一个放在被开方数上方的开方号√。
例如，√9表示9的平方根，可以简写为3，因为3的平方等于9。
二、根号的性质1. 非负数的平方根是非负数，即对于任意非负实数a，√a ≥ 0。
2. 平方根的平方等于被开方数，即对于任意非负实数a，(√a)^2 = a。
3. 根号运算满足乘法分配律，即对于任意非负实数a和b，√(a*b) = √a * √b。
4. 根号运算满足乘方运算法则，即对于任意非负实数a和b，(√a)^b = √(a^b)。
三、根号的计算方法1. 简化根号：当被开方数中存在完全平方因子时，可以将其提取出来。
例如，√36 = √(6^2) = 6。
2. 合并根号：当被开方数中存在相同的因子时，可以合并在一起。
例如，√(4*9) = √(2^2 * 3^2) = 2*3 = 6。
3. 化简根号：当被开方数是一个分数时，可以将其化简为最简形式。
例如，√(1/4) = 1/√4 = 1/2。
四、根号的运算规则1. 加减法：根号与根号之间不能直接进行加减运算，但可以通过化简根号的方法将其转化为同类项进行计算。
2. 乘法：根号与根号之间可以进行乘法运算，即√a * √b = √(a*b)。
3. 除法：根号与根号之间可以进行除法运算，即√a / √b = √(a/b)。
五、根号的应用根号在几何学中有广泛的应用。
例如，根号可以表示线段的长度。
在勾股定理中，根号可以用来计算直角三角形的斜边长度。
此外，在物理学和工程学中，根号也常用于计算电流、电压等物理量的大小。
六、根号的拓展除了平方根，还存在其他次方根，如立方根、四次方根等。
北师版八年级数学 2.2 平方根(学习、上课课件)
2.算术平方根需要化简，如：4的算术平方根表
示为 4 ， 4 =2.
3.初中阶段的三类非负数：
①绝对值 |a|≥ 0；
②偶次方a2n≥0(n为正整数)；
③算术平方根 a ≥ 0.
知1－讲
感悟新知
知1－练
例1
[母题 教材P26例1 ]求下列各数的算术平方根.
1
(1)64；(2)2 ；(3术平方根是5.
感悟新知
知1－练
方法点拨：本题运用了定义法，首先根据算术平
方根的定义求出 a， b 的值，再根据
有理数的加法法则求出 a+b 的值，最
后根据算术平方根的定义得出结果 .
感悟新知
知1－练
2-1. 已知 a＝5， b＝4，求 a－b 的值.
解：因为 a＝5，所以 a＝25.
所以－(－4)3的平方根是±8，算术平方根是8.
(4) 49.
因为 49＝7， (± 7)2＝7，
所以 49的平方根是± 7，算术平方根是 7.
感悟新知
方法点拨：求一个正数的平方根的方法：先找出
平方等于这个正数的数，这样的数有
两个，它们互为相反数，因而这两个
数均为这个正数的平方根 . 如果一个
数为带分数，一般先将其转化为假分
数；小数转化为分数 . 如果正整数 a
不能写成有理数的平方的形式，则可
以将 a 的平方根表示成 ± a 的形式 .
知2－练
感悟新知
知2－练
3-1. 下列说法中, 不正确的是( C )
A. －11是121的一个平方根
B. 11是121的一个平方根
C. 121的平方根是11
D. 121的算术平方根是11
第11章 数的开方 复习课一 基础知识
第11章 数的开方 复习课 基础知识一、知识归纳 1、平方根（1）平方根的定义：如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做 a 的平方根。
a 的平方根记作:或 。
求一个数a 的平方根的运算叫做开平方. （2）平方根的性质： ①一个正数有 个平方根，它们互为相反数②0有 个平方根，它是 。
③负数 平方根。
（3）平方和开平方互为逆运算；2、算术平方根 （1）算术平方根的定义： 。
一个非负数a 的平方根用符号表示为：“ ”，读作：“ ”，其中 叫做被开方数（2）算术平方根的性质：①正数a 的算术平方根是 ；②0的算术平方根是 ；③负数 算术平方根（3）重要性质：3、立方根 （1）立方根的定义：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的 （也叫 ）。
如果x 3=a ，则 叫做 的立方根。
记作： ,读作“ ” 。
求一个数的立方根的运算叫做 。
（2）立方根的性质 ：①一个正数的立方根是 ；②一个负数的立方根是 ；③0的立方根是 。
（3）重要性质：4、实数基础知识 （1）．无理数的定义: 叫做无理数（2）．有理数与无理数的区别： 有理数总可以用 或 表示；反过来，任何 或 也都是有理数。
而无理数是 小数，有理数和无理数区别之根本是有限及无限循环和无限不循环。
（3）.常见的无理数类型○1一般的无限不循环小数，如：1.41421356¨··· ○2看似循环而实际不循环的小数，如0.1010010001···(相邻两个1之间0的个数逐次加1)。
○3有特定意义的数，如：π=3.14159265··· ○4.开方开不尽的数。
如35,3（4） 实数概念：________和________统称为实数。
（5）、实数的有关性质⑴若a 与b 互为相反数则a+b=⑵若a 与b 互为倒数则ab= ⑶任何实数的绝对值都是非负数，即a ⑷互为相反数的两个数的绝对值相等, 即a =⑸正数的倒数是 数;负数的倒数是 数;零 倒数.实数和数轴上的点的对应关系：实数和数轴上的点是 关系（6）.正数大于零，零大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的 。
平方根知识点总结
平方根知识点总结平方根，是数学中一个重要的概念，它在解决各种数学问题和实际应用中都有着广泛的用途。
接下来，让我们一起深入了解平方根的相关知识。
一、平方根的定义如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根。
用数学语言表示为：若 x²＝ a，则 x 叫做 a 的平方根，记为±√a 。
例如，因为 3²＝ 9，（－3）²＝ 9，所以 9 的平方根是 ±3，即±√9 ＝ ±3 。
需要注意的是，正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根。
二、平方根的性质1、一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
比如 4 的平方根是 ±2，2 和－2 互为相反数。
2、 0 的平方根是 0。
这是一个比较特殊的情况，因为 0 的平方还是 0 。
3、负数没有平方根。
因为任何数的平方都是非负数，所以负数不存在平方根。
4、算术平方根正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记为√a 。
例如，9 的算术平方根是 3，即√9 ＝ 3 。
三、平方根的表示方法平方根通常用符号“±√”来表示，读作“正负根号”。
例如，±√16 表示 16 的平方根，即 ±4 。
算术平方根则用“√”表示。
四、开平方运算求一个数 a 的平方根的运算叫做开平方，其中 a 叫做被开方数。
开平方与平方互为逆运算。
例如，求 25 的平方根，就是进行开平方运算：±√25 ＝ ±5 。
五、平方根的应用1、在几何中例如，计算正方形的边长。
如果已知正方形的面积为16 平方厘米，那么它的边长就是面积的平方根，即√16 ＝ 4 厘米。
2、在实际生活中比如，在建筑工程中计算面积、体积等问题时，常常会用到平方根。
3、在数学计算中解方程时，也可能会涉及到平方根的运算。
六、平方根与立方根的区别1、定义不同平方根是指一个数的平方等于另一个数，那么这个数就是另一个数的平方根；而立方根是指一个数的立方等于另一个数，那么这个数就是另一个数的立方根。
平方根知识讲解
平方根【学习目标】1. 了解平方根、算术平方根的含义；2. 会表示、计算一个数的平方根、算术平方根.【要点梳理】【高清课堂：平方根、算术平方根知识要点】知识点一、算术平方根的定义一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.a的算术平方根记为√a，读作“根号a”.a叫做被开方数.要点诠释：①算术平方根一定是正数.②负数没有算术平方根.③0的算术平方根是0.知识点二、算术平方根的性质特征：被开方数越大，对应的算术平方根也越大.知识点三、平方根的定义一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根.这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.要点诠释：①正数有两个平方根，它们互为相反数.② 0的平方根是0.③负数没有平方根【典型例题】类型一、算术平方根的概念1、求下列各数的算术平方根（1）100 （2）4964（3） 2. 计算下列各式的值（1）√1（2）√925（3）−√0.493. 判断下列各式是否有意义？为什么？（1）-√3（2）√−3（3）√（−3）2（4）√0练 1、求下列各数的算术平方根（1）（2）81（3）322.计算下列各式的值（1）√9（2）√22（3）±√64 813.求下列x的取值范围，使得式子有意义. （1）√x（2）√x−1（3）√x2类型二、算术平方根的比较大小1、比较下列各组数的大小：（1）与 （2）与8类型三、平方根的概念1、 求下列各数的平方根．（1）100 （2）4964 （3） (4)32 2.判断下列说法是否正确（1）0的平方根是0；（2）1的平方根是1；（3）-1的平方根是-1；（4）是的一个平方根.练 1. 求下列各数的平方根．（1）49 （2）425 （3） (4)0 2. 判断下列说法是否正确（1）5是25的算术平方根；（2）56是2536的一个平方根； （3）(−4)2的平方根是-4；（4）0的平凡根与算术平方根都是0. 类型四、解方程（1）x 2=25；（2）x 2−81=0；（3）25x 2=36．。
22第2课时平方根
小A
好像天天在玩， 上课没事儿还调皮气老师， 笔记有时让人看不懂，
但一考试就挺好…… 小B
目录
/contents
1. 什么是学习力
2. 高效学习模 型
3. 超级记忆法
4. 费曼学习法
什么是学 习力
什么是学习力-你遇到这些问题了吗
总是 比别人 学得慢
一看 就懂 一做 就错
看得懂，但不会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
∴ x=12 或 x=－10.
课堂小结
平方根的概念
平方根
平方根的性质
( a)2 a (a 0)
a2 ＝a (a ≥0).
开平方及相关运算
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【学习力-学习方法】
优秀同龄人的陪伴 让你的青春少走弯路
小案例—哪个
是你
忙忙叨叨，起早贪黑，
上课认真，笔记认真， 就是成绩不咋地……
第二章 实数
2.2 平方根
第2课时 平方根
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.学会进行开平方运算．（重点） 2.能够求一个数的平方根．（重点）
导入新课
复习引入
1.什么叫算术平方根？ 若一个正数的平方等于 a 则这个数叫做 a 的 算术平方根,表示为 a(a 0) .
2.我们已经学习过哪些运算？它们中互为逆运 算的是什么？
TIP1：NPC代入，把自己想成其中的人物，会让自己的记忆过程更加有趣 （比如你穿越回去，成为了岳飞的母亲，你会在什么背景下怀着怎样的心情 在 背上刺下“精忠报国”四个字）； TIP2：越夸张越搞笑，越有助于刺激我们的大脑，帮助我们记忆，所以不妨在 编故事时，让自己脑洞大开，尝试夸张怪诞些~
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平方根和开平方(基础)
知识讲解
平方根和开平方（基础）
【学习目标】
1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．
2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．
【要点梳理】
要点一、平方根和算术平方根的概念
1.平方根的定义
=，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平如果2x a
方. a叫做被开方数.平方与开平方互为逆运算.
2.算术平方根的定义
正数a的两个平方根可以用“表示a的正平方根（又叫算术平
方根），读作“根号a”；a的负平方根，读作“负根号a”.
要点诠释：a0，a≥0.
要点二、平方根和算术平方根的区别与联系
1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：
2．联系：（1）平方根包含算术平方根；
（2）被开方数都是非负数；
（3）0的平方根和算术平方根均为0．
要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫
它的算术平方根；负数没有平方根．
（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以
立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方
根来研究平方根.
要点三、平方根的性质
20||0
00
a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩ ()()20a a a =≥
要点四、平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：62500250=，62525=， 6.25 2.5=，0.06250.25=.
【典型例题】
类型一、平方根和算术平方根的概念
1、下列说法错误的是（ ）
A.5是25的算术平方根
B.l 是l 的一个平方根
C.()24-的平方根是－4
D.0的平方根与算术平方根都是
【答案】C ；
【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．
A.25＝5，所以本说法正确；
B.1＝±1，所以l 是l 的一个平方根说法正确；
C.()24-164，所以本说法错误；
D.因为0＝00＝0，所以本说法正确；
【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题．
举一反三：
【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：
（1）9-没有平方根．（ ）
（2）164=±．（ ）
（3）21()10-的平方根是110
±．（ ） （4）25--
是425的算术平方根．（ ） 【答案】√ ；×； √； ×，
提示：（2）164=；（4）
25是425的算术平方根． 2、 填空： （1）4-是 的负平方根．
（2116表示 的算术平方根，116
= ． （3181的算术平方根为 ． （43x =，则x = ，若23x =，则x = ．
【思路点拨】（3181181的算术平方根＝19，此题求的是19的算术平方根.
【答案与解析】(1)16；(2)11;164 (3)13
(4) 9；±3 【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化.
举一反三：
【变式1】下列说法中正确的有（ ）：
①3是9的平方根． ② 9的平方根是3．
③4是8的正的平方根．④ 8-是64的负的平方根．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】B ；
提示：①④是正确的.
【变式2】（2015•凉山州）的平方根是 ．
【答案】±3.
解：因为=9，9的平方根是±3，所以答案为±3.
3、使代数式1x +有意义的x 的取值范围是______________．
【答案】x ≥1-；
【解析】x ＋1≥0，解得x ≥1-.
【总结升华】当式子a 有意义时，a 一定表示一个非负数，即a ≥0，a ≥0. 举一反三：
【变式】代数式y ＝3-x 有意义，则x 的取值范围是 ．
【答案】3x ≥.
类型二、利用平方根解方程
4、（2015春•鄂州校级期中）求下列各式中的x 值，
（1）169x 2
=144
（2）（x ﹣2）2﹣36=0．
【思路点拨】
（1）移项后，根据平方根定义求解； （2）移项后，根据平方根定义求解．
【答案与解析】
解：（1）169x 2=144，
x 2144=169
， x=144169 x=1213±
. （2）（x ﹣2）2﹣36=0，
（x ﹣2）2=36，
±，
x﹣2=36
x﹣2=±6，
∴x=8或x=﹣4．
【总结升华】本题考查了平方根，注意一个正数的平方根有两个，他们互为相反数．
类型三、平方根的应用
5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求
长和宽各是多少米？
【答案与解析】
解：设宽为x，长为3x，
由题意得，x·3x＝1323
32x＝1323
x=±
21
x＝－21(舍去)
答：长为63米，宽为21米.
【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.。