证明或判断等差数列常用方法

证明或判断等差（等比）数列的常用方法湖北省 王卫华 玉芳翻看近几年的高考题，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何 处理这些题目呢？且听笔者一一道来．一、利用等差（等比）数列的定义{b n } 的通项，先写出几项然后猜测出结论，再用定义证明， 这是常规做法。

例 2 ．（ 2005 山 东 卷 ） 已 知 数 列 { a n } 的 首 项 a 1 5 ， 前 n 项 和 为 S n ， 且S n 1 2S n n 5（n N ） （Ⅰ）证明数列 {a n 1} 是等比数列； （Ⅱ）略．在数列{a n }中，若anan 1d 为常数）或an an 1为常数），则数列 {a n } 为等差（等比） 数列．这是证明数列 {a n } 为等差（等比）数更最主要的方法．如：例 1．（2005北京卷）设数列 { a n }的首项 a1 a1，且 a n 114 n 111a nn 为偶数 2n1a n n 为奇数n 4记b n a2n 1 14， n 1，2，3，4Ⅰ）求 a 2，a 3 ；（Ⅱ）判断数列 { b n } 是否为等比数列，并证明你的结论． 解：（Ⅰ） a 2 a 1（Ⅱ）Q a 4 a 31 所以 b 1 a 1 1 a1 1411， 111；aa3 a2 a44 3 222 81 1 3 ，所以 a 5 1 1 3aa4a4 2 8 244 161猜想： { b n } 是公比为 的等比数列．n2证明如下：因为 b n 11 1a， b 3 a 52431 11a 2n 142 2n 14所以 {b n } 是首项为 a1，公比为 1 的等比数列．42评析：此题并不知道数列 11 4，b 2 a 3 411 a2n 1a 2 n421 1 1 a，4 4412b n ，（n N ）解：由已知 S n 1 2S n n 5(n N *)可得 n 2时 ,S n 2S n 1 n 4两式相减 得:S n 1 S n2(S n S n 1)1，即 a n 1 2a n1，从而 a n11 2(a n 1) ，当n 1 时，S 2 2S 1 1 5 ，所以 a 2 a 1 2a 1 6 ，又 a 1 5 ，所以 a 2 11，从而 a 2 1 2(a 1 1) ．a1故总有 a n 1 1 2(a n 1)，n N ，又 a 1 5，a 1 1 0，从而 n 12 ．a n 1所以数列 {a n 1} 是等比数列．评析：这是常见题型， 由依照含 S n 的式子再类似写出含 S n 1 的式子，得到 a n 1 pa n q 的形式，再利用构造的方法得到所要证明的结论．本题若是先求出通项 繁．注意事项： 用定义法时常采用的两个式子 a n a n 1 d 和 a n 1 a n d 有差别， 前者必 须加上“ n ≥ 2 ”，否则 n 1时a 0无意义，等比中一样有：二．运用等差或等比中项性质2a n a n 2 2a n 1 {a n } 是等差数列， a n a n 2 a n 1 (a n 0)是证明数列 {a n } 为等差(等比)数列的另一种主要方法．例 3．(2005 江苏卷)设数列 {a n } 的前项为 S n ，已知 a 1 1，a 2(5n 8)S n 1 (5n 2)S n An B ，n 1，2，3，L ，其中 A ，B 为常数．(1)求 A 与 B 的值；( 2)证明数列 {a n } 为等差数列；(3)略．解：( 1)由a 11， a 2 6， a 3 11，得 S 11，S 2 7，S 3 18 ．AB28， 把 n 1，2 分别代(5n 8)S n 1 (5n 2)S nAn B ，得2A B48解得， A 20 ， B 8．(Ⅱ)由(Ⅰ)知， 5n(S n 1 S n ) 8S n 1 2S n20n 8，即a n 的表达式，则较0 )；② nN 时，有an 1 anq (常数 0 )．n ≥ 2时，有 a n Lq (常a n 1{ a n } 是等比数列， 这6，a 3 11 ，且5nan 18Sn 12S n20n 8①又5(n 1)a n 28S n 22S n 120(n1) 8．②②- ①得，5(n1)a n 2 5na n 18a n 22a n 120，即(5 n 3)a n 2(5n2) a n 120．③又(5 n 2)a n 3(5n7)a n 220．④④- ③得，(5n2)(a n3 2a n 2a n 1 )0，∴ a n 3 2a n 2 a n 1 0 ，∴ a n 3 a n 2a n 2a n 1 L a3 a25，又a2 a1 5 ，因此，数列a n是首项为1，公差为5 的等差数列．评析：此题对考生要求较高，通过挖掘S n 的意义导出递推关系式，灵活巧妙地构造得到中项性质，这种处理大大简化了计算．例4．(高考题改编)正数数列{a n} 和{b n} 满足：对任意自然数n，a n，b n，a n 1成等差数列，b n，a n 1，b n 1成等比数列．证明：数列{ b n} 为等差数列．证明：依题意，a n 0，b n 0，2b n a n a n 1 ，且a n 1 b n b n 1 ，a nb n 1b n(n≥ 2)．2b n b n 1b n b n b n 1 ．由此可得2 b n b n 1 b n 1 ．即b n 1 b n b n b n 1(n≥2)．数列{ b n} 为等差数列．评析：本题依据条件得到a n与b n的递推关系，通过消元代换构造了关于{ b n} 的等差数列，使问题得以解决．三．运算数学归纳法这种方法关键在于猜想要正确，用数学归纳法证明的步骤要熟练，从“ n k 时命题成立”到“ n k 1 时命题成立”要会过渡．例5 ．(2004 全国高考题) 数列a n的前n 项和记为S n ，已知a1 1 ，a n 1n 2S n(n1,2,L ) ．证明：数列S n是等比数列．nn证明：由a11，a n 1n 2S n(n 1,2,L )，知a2 2 1S13a1, S2 4a12，1 2 2S1 1 ，猜测S n是首项为1，公比为2 的等比数列．1n面用数学归纳法证明：令b n n.n n (1) 当n2时，b22b1，成立．(2) 当n3时，S3a1a2 a3 1 3 2(13)12,b3 42b2，成立．假设n k 时命题成立，即b k 2b k 1 ．那么当n k 1 时，bS k 1 S k a k 1S k k 2S k k kk S k2b k，命题成立b k 1k 1 k 1k1综上知S n是首项为1 ，n公比为2 的等比数列例6．（2005 浙江卷）设点A n ( x n，0)，P n(x n，2n1）和抛物线21C n : y x a n x b n（n N ），其中a n 2 4n n 1，x n由以下方法得到：x1 1，点2P2（x2，2）在抛物线C1: y x2 a1x b1上，点A1 （x1，0）到P2的距离是A1到C1上点的最短距离，L ，点P n 1（x n 1，2n）在抛物线C n:y x2 a n x b n上，点A n（x n，0）到P n 1的距离是A n 到C n 上点的最短距离．(1)求x2及C1的方程．( 2)证明{x n}是等差数列．解：(I )由题意得：A1(1,0), C1 : y x2 7x b1 ．设点P(x,y)是C1上任意一点，则|A1P| (x 1)2y2(x 1)2(x27x b1)22 2 2 ' 2令f (x) (x 1)2 (x2 7x b1)2,则f '(x) 2(x 1) 2(x2 7x b1 )(2 x 7). 由题意：f '(x2) 0,即2(x2 1) 2(x22 7x2 b1)(2 x2 7) 0.2 又P2(x2,2) 在C1上，2 x22 7x2 b1,解得：x2 3,b1 14. ，故C1方程为y x2 7x 14.(II) 设点P(x, y)是C n上任意一点，则| A n P| (x x n)2(x2a n x b n)2令g( x) (x x n )2 ( x2 a n x b n)2，则g'(x) 2(x x n) 2(x2 a n x b n)(2 x a n) ．0 (* )2g'(x n 1) 0，即 2(x n 1 x n ) 2(x n 1 a n x n 1 b n )(2 x n 1评析：例 5是常规的猜想证明题， 考查学生掌握猜想证明题的基本技能、 这个概念、 用数学归纳法证明等差数列的方法； 例 6 是个综合性比较强的题目， 函数的最值得到递推关系式， 再直接猜想然后用归纳法证明， 解法显得简洁明了， 利用递推关系式找通项，反而不好作．四．反证法解决数学问题的思维过程， 一般总是从正面入手， 即从已知条件出发， 理和运算， 最后得到所要求的结论， 但有时会遇到从正面不易入手的情况， 考虑．如：例 7．(2000年全国高考(理))设{a n }，{ b n } 是公比不相等的两等比数列， 明数列 { c n } 不是等比数列．证明：设 {a n}，{b n }的公比分别为 p ，q ， p q ，c n a n b n ，为证 { c n }不是等比数2 2 2 2 2 2 2列只需证 c 2 c 1gc 3 ．事实上， c 2 (a 1p b 1q) a 1 p b 1 q 2a 1b 1 pq2 2 2 2 2 2 2 2c 1gc 3 (a 1 b 1)(a 3b 3) (a 1 b 1)(a 1p b 1q ) a 1p b 1 q a 1b 1( p q )2 2 2Q p q ，p 2 q 2 2pq ，又 a 1， b 1不为零， c 22 c 1gc 3，故{c n } 不是等比数列． 评析： 本题主要考查等比数列的概念和基本性质、 推理和运算能力， 对逻辑思维能力有 2 较高要求．要证 {c n } 不是等比数列，只要由特殊项(如 c 22 c 1 gc 3 )就可否定．一般地讲， 否定性的命题常用反证法证明， 其思路充分说明特殊化的思想方法与正难则反的思维策略的 重要性 ?． ??由题意得a n ) 0又Q 2n x n 1 a n x n 1 b n ,(x n1x n ) 2n (2 x n1 a n) 0( n1).即(1 2n 1)x n1 x n 2n a n面用数学归纳法证明 x n 2 n ①当 n 1时， x 1 1, 等式成立．②假设当 k 时，等式成立， x k2k 1,则当 n1时， 由( * )知 (12k1) x k 1 x kk2 a k 0又 a k4kx kkx k 2 a kk1 122k 1.即当 n1时，等式成立．由①②知，等式对 n N 成立． { x n } 是等差数列．掌握数列前 n 项和 通过求二次 如果直接经过一系列的推 这时可从反c n a n b n ．证五．看通项与前n 项和法若数列通项a n 能表示成a n an b （a，b 为常数）的形式，则数列a n是等差数列；若通项a n能表示成a n cq n（c，q均为不为0 的常数，n N ）的形式，则数列a n是等比数列．若数列a n 的前n项和 S n能表示成S n an2 bn （a，b为常数）的形式，则数列a n 等差数列；若 S n能表示成S n Aq n A （A，q 均为不等于0 的常数且q≠1）的形式，则数列a n 是公比不为1 的等比数列．这些结论用在选择填空题上可大大节约时间．例8．（2001 年全国题）若S n是数列a n的前n项和，S n n2,则a n是（）.Ａ．等比数列，但不是等差数列Ｂ. 等差数列，但不是等比数列Ｃ．等差数列，而且也是等比数列Ｄ. 既非等比数列又非等差数列解析：用到上述方法，一下子就知道答案为B，大大节约了时间，同时大大提高了命中率．六．熟记一些常规结论，有助于解题若数列{a n} 是公比为q的等比数列，则（1）数列{a n} { a n} （为不等于零的常数）仍是公比为q的等比数列；（2）若{b n}是公比为q的等比数列，则数列{ a n gb n} 是公比为qq 的等比数列；11（3）数列是公比为1的等比数列；a n q（4）{ a n }是公比为q 的等比数列；（5）在数列{a n} 中，每隔k（k N ）项取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列且公比为q k 1；（6）{a n a n 1}{，a n a n 1}{，a2n 1}{，a2n} ，{a1 a2 a3，a4 a5 a6，a7 a8 a9，L } ，L 等都是等比数列；（7）若m，n，p（m，n，p N ）成等差数列时，a m，a n，a p 成等比数列；（8）S n，S2n S n，S3n S2n 均不为零时，则S n，S2n S n，S3n S2n成等比数列；（9）若{log b a n} 是一个等差数列，则正项数列{ a n} 是一个等比数列．若数列{a n}是公差为d等差数列，则（1）{ka n b} 成等差数列，公差为kd（其中k 0，k，b是实常数）；2）{S（n 1）k S kn} ，（k N，k为常数），仍成等差数列，其公差为k2d；3）若{a n}，{ b n} 都是等差数列，公差分别为d1，d2 ，则{ a n b n} 是等差数列，公差为d1 d2 ；（4）当数列{a n}是各项均为正数的等比数列时，数列{lg a n} 是公差为lg q的等差数列；（5）m，n，p（m，n，p N ）成等差数列时，a m，a n，a p 成等差数列．例9．（96年全国高考题）等差数列{a n}的前n项和为30，前2n项和为100则它的前3n 项和为（）Ａ．130 Ｂ．170 Ｃ．210 Ｄ．260解：由上面的性质得：S n，S2n S n，S3n S2n 成等比数列，故2（S2n S n） S n （S3n S2n），2（100 30） 30（ S3 n 100），S3n 210 ．故选Ｃ．评析：此题若用其它方法，解决起来要花比较多的时间，对于选择题来说得不断尝试．记住上面这些结论，在做选择填空题时可大大节约时间，并且能提高命中率．从上面可以看出：证明或判断等差（等比）数列的方法有许多种，作题时到底用何种方法，一般说来大题用前四定义法、运用等差或等比中项性质、运用数学归纳法、反证但用后面的方法可以容易检验出用前面的方法得出的结果是否正确，作小题应该用后面的方法．。