《公式法2》课堂练习
公式法(2)
第四章 因式分解3．公式法（二）教学目标1．知识与技能：使学生了解运用公式法分解因式的意义；会用公式法（直接用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数）；使学生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式或完全平方公式进行分解因式．2．过程与方法：经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出运用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力。
3．情感与态度：培养学生灵活的运用知识的能力和积极思考的良好行为，体会因式分解在数学学科中的地位和价值。
教学重难点重点：让学生学会用公式法进行简单的因式分解；难点：让学生明确具体题目中各项与公式的对应。
教学过程设计自主学习完全平方公式：()()22222222bab a b a b ab a b a +-=-++=+ 现在我们把完全平方式反过来，可得:()()22222222b a b ab a b a b ab a -=+-+=++两个数的平方和，加上（或减去）这两个数的积的两倍，等于这两个数和（或差）的平方。
自我检测1．判别下列各式是不是完全平方式．2.请补上一项，使下列多项式成为完全平方式．2222222222(1)(2)2(3)2(4)2(5)2x y x xy y x xy y x xy y x xy y +++-++--+-；；；；．合作交流结论：找完全平方式可以紧扣下列口诀：首平方、尾平方，首尾相乘两倍在中央；a 2–2ab +b 2=（a –b ）2 a 2+2ab +b 2=（a+b ）2课堂聚焦例1．把下列各式因式分解：解：（1）()2227772+=+⋅⨯+=x x x（2）()()()222323322b a b b a a -=+⨯⨯-= （3）()()()[]()222233332++=++=+⨯+⨯-+=n m n m n m n m（4）()()()()()()[]()222222222n m n m n m n m n m n m n m -=++-=+++⨯-⨯+-=例2．把下列各式因式分解：解：（1）()()222323y x a y xy x a +=++=（2）()()[]()22222222244y x y y x x xy y x --=+⨯⨯--=-+-= 课堂小结 从今天的课程中，你学到了哪些知识？ 掌握了哪些方法？你认为分解因式中的平方差229124)2(b ab a +-4914)1(2++x x 9)(6))(3(2++-+n m n m 22)())(2(2)2)(4(n m n m m n n m +++---xy y x 44)2(22+--22363)1(ay axy ax ++()()()()()22222222421_____249______3_____414_____452_____x y a b x y a b x x y ++++-+++++；；；；．公式以及完全平方公式与乘法公式有什么关系？结论：由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．跟踪训练1.判别下列各式是不是完全平方式，若是说出相应的a 、b 各表示什么？2、把下列各式因式分解：（1）m 2–12mn +36n 2 （2）16a 4+24a 2b 2+9b 4(3）–2xy –x 2–y 2 （4）4–12（x –y ）+9（x –y )23. 用简便方法计算：222003200340102005+⨯-4.将142+x 再加上一个整式，使它成为完全平方式，你有几种方法？5.一天,小明在纸上写了一个算式为4x 2 +8x+11,并对小刚说:“无论x 取何值,这个代数式的值都是正值,你不信试一试?”教学反思2222222(1)69(2)14(3)24(4)441(5)14(6)4129x x a x x x x m m y xy x -++-++-+--+；；；；；．。
14.3.2公式法(2)导学案
SX-13-11-041《14.3.2 公式法（2）》导学案编写人：王朝龙编写时间： 2014.10.18班级：组名：姓名：等级：【学习目标】:1、会用完全平方公式分解因式。
2、会综合运用提取公因式法、公式法分解因式。
3、通过对完全平方公式的逆向变形及将一个整式看做“元”进行分解，发展观察、类比、归纳、预见等能力，体会换元思想，提高处理数学问题的技能。
【学习重点】：用完全平方公式因式分解。
【学习难点】：1、准确判断一个多项式是否为完全平方式2、用换元的思想来因式分解【知识链接】：1、分解因式学了哪些方法？2、分解因式：①ax4-ax2②x4-163、除了平方差公式外你还学过什么公式？【学习过程】：探究一、1、完全平方式指的是2、整式乘法的完全平方公式是分解因式的完全平方公式是3、填空（1）a2+ +b2=(a+b)2 （2）a2-2ab+ =(a-b) 2 （3）m2+2m+ =( ) 2 （4）n2-2n+ =( ) 2（5）x2-x+0.25=( ) 2（6）4x2+4xy+( ) 2=( ) 24、分解因式①16x2＋24x＋9 ②-x2＋4xy -4y2③25x2＋10x＋1④ 9a2-6ab+b2⑤49a2+b2+14ab ⑥y2+y+41⑦ 3ax2＋6axy＋3ay2⑧探究二、分解因式①-a3b3+2a2b3-ab3② 9 - 12(a-b) + 4 (a-b )2③16a4+24a2b2+9b4探究三、1. 已知22是一个完全平方式，求的值2、已知x2+4x+y2-2y+5=0, 求x-y的值【课堂小结】:本节课你有什么收获？【当堂检测】：1、下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（）A X2-6X-9B a2-16a+32C x2-2xy+4y2D 4a2-4a+12、若9x2－12x+k是一个完全平方式，则K的值是若9x2－12x+k2是一个完全平方式，则K的值是若m2－km+41是一个完全平方式，则m的值是3、分解因式①–x2-8x-16 ②2x4+4x3+2x3③ ma2-4ma+4m④ a4-8a2b2+16b4⑤9(a-b)2-6(a-b)+1 ⑥–x4+x2y2⑦-2xy-x2-y2⑧x2+3x+49⑨（x+2）(x+3)-x2-27 4、已知x2-4x+y2-10y+29=0，求x2y2+2x3y2+x4y2的值。
21.2.2 公式法 人教版数学九年级上册堂堂练(含答案)
21.2.2公式法—2023-2024学年人教版数学九年级上册堂堂练1.一元二次方程的根的情况是( )A.只有一个实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.没有实数根2.若是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是( )A. B.C. D.3.一元二次方程的根是( )A. B. C. D.4.下列一元二次方程中,无实数根的是( )A. B.C. D.5.如图,在中,.以点B为圆心,的长为半径画弧,交线段于点D,以点A为圆心,的长为半径画弧,交线段于点E.下列哪条线段的长度是方程的一个根( )A.线段的长B.线段的长C.线段的长D.线段的长6.如图是一次函数的图象的大致位置,试判断关于x的一元二次方程的根的判别式∆_________0(填“>”“=”或“<”).7.已知代数式与代数式的值互为相反数,则__________.8.小明在解方程时出现了错误,解答过程如下:,(第一步),(第二步),(第三步).(第四步)(1)小明解答过程是从第_______步开始出错的,其错误原因是__________.(2)写出此题正确的解答过程.答案以及解析1.答案：C解析:,,,一元二次方程有两个不相等的实数根.故选C.2.答案：B解析：是某个一元二次方程的根，，，，（）这个一元二次方程可以是，故选B.3.答案：D解析：方程有两个不相等的实数根,即.故选D.4.答案：D解析：在中,即该方程有两个不相等的实数根,故选项A不符合题意;在中,,即该方程有两个相等的实数根,故选项B不符合题意;在中,,即该方程有两个不相等的实数根,故选项C不符合题意;在中,,即该方程无实数根,故选项D符合题意.故选D.5.答案：B解析：由勾股定理得,，.解方程得线段的长是方程的一个根.故选B.6.答案：>解析：一次函数的图象经过第一、三、四象限,,.7.答案：或解析：根据题意得,整理得,则.,.8.答案：(1)一;原方程没有化成一般形式(2)原方程化成一般形式为.,,,.。
21.2.2 公式法 初中数学人教版九年级上册课后练习(含答案)
21.2.2 公式法一、单选题1．若关于的一元二次方程没有实数根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．2．一元二次方程的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．无实数根3．当时，下列一元二次方程中两个根是实数的是（）A．B．C．D．4．一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则m应满足的条件是（）A．m＞1B．m＝1C．m＜1D．m≤15．若关于x的方程的一个根是2，则a的值为（）A．B．C．或D．或6．形如的方程，下列说法错误的是（）A．时，原方程有两个不相等的实数根B．时，原方程有两个相等的实数根C．时，原方程无实数根D．原方程的根为7．关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（）A．a≥1B．a＞1且a≠5C．a≥1且a≠5D．a≠58．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“美丽”方程．已知是“美丽”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．9．一元二次方程的较大实数根在下列数轴中哪个范围之内（）A．B．C．D．10．用求根公式法解得某方程的两个根互为相反数，则（）A．B．C．D．二、填空题11．方程的解为________．12．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______．13．若关于x的一元二次方程x2+2x+a=0有两个不同的实数根，则a应满足的条件_________________ 14．已知关于的一元二次方程，若，则________．15．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的最小整数值是____．16．若k为实数，关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2（k+1）x+k+5=0有实数根，则实数k的取值范围为__．17．一元二次方程，当=________时，方程有两个相等的实根；当_______时，方程有两个不相等的实根；当=______时，方程有一个根为0．18．关于x的一元二次方程kx2﹣x+2=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是_____．三、解答题19．已知关于的方程有两个不相等的实数根．求的取值范围；若，且方程的两个实数根都是整数，求的值．20．若关于的一元二次方程无实数根，求的取值范围．21．公式法解方程：（1）；（2）；（3）．22．李老师在课上布置了一个如下的练习题：若，求的值．看到此题后，晓梅立马写出了如图所示的解题过程：解：，①，②．③晓梅上述的解题步骤哪一步出错了？请写出正确的解题步骤．23．已知：关于x的方程，（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC的一边长a=1，两个边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．参考答案1．C【分析】根据判别式的意义得到△=（-2）2-4m＜0，然后解关于m的不等式即可．【详解】解：根据题意得△=（-2）2-4m＜0，解得m＞1．故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．2．D【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断．【详解】解：∵，∴方程没有实数根．故选：D．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．3．A【分析】根据公式法，判断选项中的一元二次方程的实数根是否是题目中给出的那个．【详解】一元二次方程，当，的时候，它有两个实数根．故选：A．【点睛】本题考查一元二次方程的解法——公式法，解题的关键是掌握求根公式．4．A【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求解.【详解】解：∵一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×m＜0，∴m＞1．故选A．【点睛】此题主要考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟知根的判别式. 5．D【分析】将2代入方程，得到关于a的方程，求解方程即可；【详解】把代入方程，得，即，所以，解得或，故选D．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的知识点，准确理解是解题的关键．6．D【分析】根据应用直接开平方法求解的条件逐项判断即得答案．【详解】解：A、当时，原方程有两个不相等的实数根，故本选项说法正确，不符合题意；B、当时，原方程有两个相等的实数根，故本选项说法正确，不符合题意；C、当时，原方程无实数根，故本选项说法正确，不符合题意；D、当时，原方程的根为，故本选项说法错误，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题目，熟练掌握应用直接开平方法求解的条件是关键．7．C【分析】由方程有实数根可知根的判别式b2﹣4ac≥0，结合二次项的系数非零，可得出关于a的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．【详解】解：由已知得：，解得：a≥1且a≠5，故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于a的一元一次不等式组，由根的判别式结合二次项系数非零得出不等式组是关键．8．D【分析】根据已知得出方程有x=-1，再判断即可．【详解】把x=−1代入方程得出a−b+c=0，∴b=a+c，∵方程有两个相等的实数根，∴△=，∴a=c，故选D．【点睛】此题考查根的判别式，解题关键在于利用有两个相等的实数根.9．B【分析】利用公式法解方程求得较大的实数根，根据无理数的估算得到这个实数根的范围，即可判断．【详解】解方程得．设是方程的较大的实数根，，，，则，只有B符合要求．故选：B．【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，无理数的估算以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握公式法解一元二次方程和无理数大小的估算是解题的关键．10．A【分析】根据求根公式法求得一元二次方程的两个根，由题意得，可求出．【详解】方程有两根，且．求根公式得到方程的根为，两根互为相反数，所以，即，解得．故选：A．【点睛】本题考查了解一元二次方程－公式法，相反数的意义，熟练掌握用公式法解一元二次方程是解题的关键．11．或【分析】首先把方程转化为一般形式，再利用公式法求解．【详解】（x-1）（x+3）=12x2+3x-x-3-12=0x2+2x-15=0x=,∴x1=3，x2=-5故答案是:3或-5．【点睛】考查了学生解一元二次方程的能力，解决本题的关键是正确理解运用求根公式．12．9【分析】根据方程两个相等的实数根可得根的判别式，求出方程的解即可．【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根，△，解得：，故答案为：9．【点睛】本题考查了根的判别式．一元二次方程的根与△有如下关系：①当△时，方程有两个不相等的实数根；②当△时，方程有两个相等的实数根；③当△时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．13．a<1【分析】若一元二次方程x2+2x+a=0有两个不同的实数根，则根的判别式，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．【详解】解：∵方程有两个不同的实数根，a＝1，b＝2，c＝a，∴，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．14．【解析】【分析】找出方程中二次项系数a，一次项系数b及常数项c，将a，b及c的值代入计算，即可求出m的值．【详解】∵a=1，b=m，c=6，∴∴m=.故答案为：.【点睛】本题考查一元二次方程的解法，掌握公式法是解题的关键.15．0【分析】根据一元二次方程根的存在性，利用判别式求解即可；【详解】一元二次方程有两个不相等的实数根，∴△=4，∴故答案为0【点睛】本题考查一元二次方程的根的存在性；熟练掌握利用判别式确定一元二次方程的根的存在性是解题的关键．16．且【分析】根据二次项系数非零及一元二次方程根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．【详解】∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2（k+1）x+k+5=0有实数根，∴∴且故答案为：且．【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．17．-1 ＞-1 0【分析】先计算，当4+4m=0，方程有两个相等的实根；当4+4m＞0，方程有两个不等实根；把x=0代入方程，得-m=0；然后分别解方程或不等式即可得到对应得答案．【详解】∵，，，，当，即时，方程有两个相等的实根；当，即时，方程有两个不等实根；令，则有，即时，方程有一个根为0．故答案为：；；0．【点睛】本题考查了一元二次方程()的根的判别式．当＞0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当＜0时，方程没有实数根．18．且k≠0【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴解得：﹣≤k＜且k≠0故答案为﹣≤k＜且k≠0．点睛：本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及二次根式有意义的条件，根据一元二次方程的定义、二次根式下非负以及根的判别式列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．19．；，或．【分析】(1)关于x的方程x2-2x-2n=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2-4ac>0，即可得到关于n的不等式，从而求得n的范围；(2)利用配方法解方程，然后根据n的取值范围和限制条件“方程的两个实数根都是整数”来求n的值即可．【详解】∵关于的方程的二次项系数、一次项系数、常数项，∴，解得；由原方程，得，解得，∵方程的两个实数根都是整数，且，不是负数，∴，且是完全平方形式，∴，或，解得，或．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．20．【分析】确定a、b、c，计算，根据方程没有实数根得关于m的不等式，继而根据一元二次方程的定义可得答案．【详解】∵，，，∴，∵方程无实数根，∴，解得，又根据一元二次方程的定义，解得，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程()的根的判别式：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＜0，方程有两个相等的实数根；当△=0，方程没有实数根；也考查了一元二次方程的定义．21．（1）；（2）；（3）．【分析】（1）直接利用公式法求解即可；（2）方程整理成一般式后，直接利用公式法求解即可；（3）方程整理成一般式后，直接利用公式法求解即可．【详解】（1），，，即；（2），，，，，；（3），整理，得，，，，．【点睛】本题考查了解一元二次方程-公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．22．晓梅的解题步骤在第③步出错了，正确解题步骤详见解析．【分析】根据的值非负即可判断出错的解题步骤，根据直接开平方法和的非负性解答即可．【详解】解：晓梅的解题步骤在第③步出错了．正确解题步骤如下：，，．不论为何值都不等于，．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法和代数式求值，解决此类问题时，我们需要注意所求代数式的范围，本题容易忽略的值是非负的，所以要找出题干所隐含的条件再解题．23．（1）证明见解析；（2）△ABC的周长为5．【分析】（1）根据一元二次方程根与判别式的关系即可得答案；（2）分a为底边和a为腰两种情况，当a为底边时，b=c，可得方程的判别式△=0，可求出k值，解方程可求出b、c的值；当a为一腰时，则方程有一根为1，代入可求出k值，解方程可求出b、c的值，根据三角形的三边关系判断是否构成三角形，进而可求出周长．【详解】（1）∵判别式△=[-(k+2)]²-4×2k=k²-4k+4=(k-2)²≥0，∴无论k取任何实数值，方程总有实数根．（2）当a=1为底边时，则b=c，∴△=(k-2)²=0，解得：k=2，∴方程为x2-4x+4=0，解得：x1=x2=2，即b=c=2，∵1、2、2可以构成三角形，∴△ABC的周长为：1+2+2=5．当a=1为一腰时，则方程有一个根为1，∴1-（k+2）+2k=0，解得：k=1，∴方程为x2-3x+2=0，解得：x1=1，x2=2，∵1+1=2，∴1、1、2不能构成三角形，综上所述：△ABC的周长为5．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式及三角形的三边关系．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根；三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；熟练掌握根与判别式的关系是解题关键。
运用公式法(2)练习
运用公式法（2）练习一、目标导航1.了解完全平方公式的意义；2.掌握完全平方公式的特点，熟练运用完全平方公式进行多项式的因式分解；3.掌握因式分解的一般步骤.二、基础过关1.若162+-mx x 是完全平方式，那么m =________.2.已知03442=-+++b a a ，则b a += .3.分解因式：2411x x +-= . 4.在括号内填上适当的因式：（1）()2211025=++x x ； （2）()2221=+-b b （3）()()22___4+=++x x x ； （4）()()22294=++n m 5.若224a x x +-是完全平方式，那么a 等于( ).A.4B.2C.±4D.±26．下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ） A.412m m ++ B.222y xy x -+- C.49142++-a a D.13292+-n n 7．下列各式是完全平方式的是（） A. 122-+x x B.x x 392-+ C.22y xy x ++ D. 412+-x x 8．若a 、b 、c 是△ABC 的三边，满足0222=+-b ab a 且022=-c b ，则△ABC 的形状是（ ）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形9．下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（ ）A. 22a ab b ++B.294y y -C.a a 4142-+D.221q q +-10．下列各式能用公式法进行因式分解的是( )A.42+xB.422++x xC.42y x -D.24x --11．已知3-=+b a ，2=ab ，则()2b a -的值是（ ） A.1 B.4 C.16 D.912．分解因式：（1）1442-+-a a （2） 3229124y xy y x -+-（3）1)(6)(92+---x y y x （4） 2363x x +-（5）322a a a -+- （6） 222224)(y x y x -+（7）42242b b a a +- （8）22236)9(x x -+（9）4322329n mn n m ++ （10）n n n ax ax ax 1218211+--+-13．已知0136422=++-+y x y x ，求x 和y 的值分别是多少？14. 利用因式分解简便计算（要求写出完整计算过程）（1）22762525124⨯-⨯ (2)1443824382+⨯+三、能力提升15.已知31=+a a ，则221aa +的值是 16.若2222690m mn n n ++-+=，则2m n 的值为 17.不论y x ,为任何实数，82422+--+y x y x 的值总是（ ）A ．正数 B.负数 C.非负数 D.非正数18.不论b a ,为何有理数, c b a b a +--+4222的值总是非负数,则c 的最小值是( )A. 4 B . 5 C. 6 D.无法确定19.若非零实数 b a ,满足ab b a 4422=+，则ba 的值为（ ） A.－2 B.2 C.21 D.21- 一、聚沙成塔若01)2)((2222=+-++y x y x ,求22y x +的值.。
北师大版九年级数学2.3用公式法求解一元二次方程(2)课后练习
用公式法求解一元二次方程（第2课时）
1.用公式法解方程243x x =+时，24b ac ∆=-的值是（ ）
A.4
B.28
C.20 D .－4
2.若点P 的横、纵坐标恰好是方程22240x x --=的两根，则点P 在（ ）
A. 第二象限
B. 第四象限
C.第一象限 D 第二或第四象限
3.方程2269x x -=的根为
4.已知三角形的两边长为分别为3cm 和4cm ，第三边长是方程2650x x -+=的根，则该三角形的周长为 ，形状为 ，面积为
5.如图，某小区规划在一个长30 m 、宽20 m
的长方形土地上修建三条等宽的通道，使其
中两条与AB 平行，另外两条与AD 平行，
其余部分种花草，要使每一块花草的面积
都为 78 m2，那么通道宽应该设计为多少？
设通道宽为x m ，则由题意列的方程
为_____________________.
6. 某农场要建一个长方形的养鸡场,养鸡场的一边靠墙(墙长25 m),另外三边用木栏围成,木栏长40 m. 养鸡场的面积能达到180 m2 吗?如果能,请给出设计方案;如果不能,请说明理由.
7.要对一块长为60m ，宽为40m 的矩形荒地ABCD 进行绿化和硬化，设计方案如图所示，矩形P ，Q 为两块绿地，其余为硬化路面。
P ，Q 两块绿地周围的硬化路面宽度都相等，并且两块绿地的面积和矩形ABCD 面积的
14，求P ，Q 两块绿地周围硬化路面的宽。
Q P D C B A。
冀教版数学七年级下册11.3.2公式法(二)同步练习
13.3.2 公式法(二)基础训练1.下列式子中是完全平方式的是( )A.a2-a+B.a2+a+C.a2-a+D.a2+a+2.下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是( )A.x2+x+1B.x2+2x-1C.x2-1D.x2-6x+93.下列多项式中,不能用公式法分解因式的是( )A.m+1+B.-x2+9y2C.-a2+14ab+49b2D.-n+14.若4a2+18ab+m是一个完全平方式,则 m等于( )A.9b2B.18b2C.81b2D.b25.(1)x2+10x+ =(x+ )2.(2)把多项式6xy2-9x2y-y3因式分解,最后结果为__________.6.分解因式:(1)x2-ax+a2;(2)-25a2+20ab-4b2;(3)2x3y-12x2y+18xy;(4)9(a+b)2+12(a+b)+4;(5)4x2-12xy+9y2;培优提升1.多项式mx2-m与多项式x2-2x+1的公因式是( )A.x-1B.x+1C.x2-1D.(x-1)22.把多项式a2-2ab+b2-1分解因式,结果是( )A.(a-b+1)(a-b-1)B.(a-b+1)(a+b-1)C.(a+b+1)(a+b-1)D.(a+b+1)(a-b-1)3.将多项式16x2+1加上一个单项式后,使它能成为一个完全平方式.则添加的单项式为.4.分解因式:x(x-1)-3x+4= .5.若m=2n+1,则m2-4mn+4n2的值是.6.若a+b=3,ab=2,则a3b+a2b2+ab3的值是.7.x2-4x+3=(x- )2-1.8.分解因式:(x-1)(x-3)+1.9.计算:(1)17.82-2×17.8×7.8+7.82;(2)982+4×98+4.10.已知a2+b2-6a-8b+25=0,求3a+4b的值.11.给出三个多项式X =2a2+3ab+b2,Y =3a2+3ab,Z = a2+ab,请你任选两个进行加(或减)法运算,再将结果分解因式.12.(1)已知x-2y=-2, b=-4 098,求2bx2-8bxy+8by2-8b的值;(2)已知x+y+z=0,求(x2-y2-z2)2-4y2z2的值.13.已知a,b,c是一个三角形的三条边长,且a,b,c满足关系式a2+b2+c2=ab+bc+ac,试判断这个三角形是什么三角形.参考答案【基础训练】1.【答案】C2.【答案】D3.【答案】C4.【答案】D解：因为4a2+18ab+b2是完全平方式,所以m=b2.5.【答案】(1)25;5 (2)-y(3x-y)26.解:(1)原式=-ax+=x-a2;(2)原式=-(25a2-20ab+4b2)=-[(5a)2-2×5a·2b+(2b)2]=-(5a-2b)2;(3)原式=2xy(x2-6x+9)=2xy(x-3)2;(4)原式=[3(a+b)]2+2×3(a+b)×2+22=[3(a+b)+2]2=(3a+3b+2)2;(5)原式=(2x)2-2×2x·3y+(3y)2=(2x-3y)2.【培优提升】1.【答案】A2.【答案】A解：从整体看,各项没有公因式,也不能运用公式,但把前三项作为一组,它是一个完全平方式,可以分解成(a-b)2;把第四项-1作为另一组,与(a-b)2构成(a-b)2-1,可继续分解因式.答案为A.3.【答案】8x,-8x,64x4解：若把4x2和1看为平方项,则需添加8x或-8x;若把16x2看成两项乘积的2倍,则需添加(8x2)2,即64x4.本题易错之处是只考虑±8x;方法规律:当已知完全平方式的一个平方项和乘积的2倍,确定另一平方项时,只有一种情况;当已知完全平方式的两个平方项,确定乘积的2倍时,有两种情况.4.【答案】(x-2)25.【答案】1解：∵m=2n+1,∴m-2n=1,∴m2-4mn+4n2=(m-2n)2 =12=1.6.【答案】9解：a3b+a2b2+ab3=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2,因为a+b=3,ab=2,所以原式=×2×32=9.7.【答案】28.解:原式=x2-4x+3+1=x2-4x+4=(x-2)2.解：先把(x-1)(x-3)展开,再因式分解.9.解:(1)原式=(17.8-7.8)2=102=100.(2)原式=982+2×98×2+22=(98+2)2=1002=10 000.10.解:∵a2+b2-6a-8b+25=0,∴(a2-6a+9)+(b2-8b+16)=0,∴(a-3)2+(b-4)2=0,∴a-3=0,b-4=0,∴a=3,b=4,∴3a+4b=25.分析：一个等式若涉及求多个字母的值,一般用完全平方公式因式分解变成几个式子的平方和等于0的形式.11.解: X-Z=(2a2+3ab+b2)-(a2+ab)=a2+2ab+b2=(a+b)2.解：答案不唯一.12.解:(1)2bx2-8bxy+8by2-8b=2b[(x2-4xy+4y2)-4]=2b(x-2y+2)(x-2y-2),当x-2y=-2,b=-4 098时,原式=0.(2)(x2-y2-z2)2-4y2z2=(x2-y2-z2+2yz)(x2-y2-z2-2yz) =[x2-(y-z)2][x2-(y+z)2]=(x+y-z)(x-y+z)·(x+y+z)(x-y-z),当x+y+z=0时,(x2-y2-z2)2-4y2z2=0.分析：先将(x2-y2-z2)2-4y2z2因式分解,再求值即可.13.解:∵a2+b2+c2=ab+bc+ac,∴2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac,∴(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0,∴a-b=0,b-c=0,a-c=0,∴a=b,b=c,a=c,∴a=b=c,∴这个三角形是等边三角形.。
人教版八年级数学上册14.3.2《公式法》同步训练习题
人教版八年级数学上册14.3.2《公式法》同步训练习题（学生版）一．选择题（共7 小题）1．（2015•北海）下列因式分解正确的是（）A．x2﹣4=（x+4）（x﹣4）B．x2+2x+1=x（x+2）+1 C．3mx﹣6my=3m（x﹣6y）D．2x+4=2（x+2）2．（2015•崇安区一模）下列四个多项式，能因式分解的是（）A．a﹣1 B．a2+1 C．x2﹣4yD．x2﹣6x+93．（2015•深圳模拟）将x2﹣16 分解因式正确的是（）A．（x﹣4）2 B．（x﹣4）（x+4）C．（x+8）（x﹣8）D．（x﹣4）2+8x4．（2014•仙桃）将（a﹣1）2﹣1 分解因式，结果正确的是（）A．a（a﹣1）B．a（a﹣2）C．（a﹣2）（a﹣1）D．（a﹣2）（a+1）5．（2014•衡阳）下列因式分解中，正确的个数为（）①x3+2xy+x=x（x2+2y）；②x2+4x+4=（x+2）2；③﹣x2+y2=（x+y）（x﹣y）A．3 个B．2 个C．1 个D．0 个6．（2014 春•通州区期末）已知2a﹣b=2，那么代数式4a2﹣b2﹣4b 的值是（）A．2 B．0 C．4 D．67．（2014 春•黎川县期末）式子2014﹣a2+2ab﹣b2 的最大值是（）A．2012 B．2013 C．2014 D．2015二．填空题（共6 小题）8．（2015•温州）分解因式：a2﹣2a+1= ．9．（2015•江都市模拟）若x2+2（3﹣m）x+25 可以用完全平方式来分解因式，则m 的值为．10．（2015•株洲模拟）分解因式：﹣9= ．11．（2015 春•太仓市期末）若多项式x2﹣6x﹣b 可化为（x+a）2﹣1，则b 的值是．12．（2015 春•金堂县期末）若x2+y2﹣2xy﹣6x+6y+9=0，则x﹣y= ．13．（2015•南充模拟）已知248﹣1 可以被60 到70 之间的某两个整数整除，则这两个数分别是、．三．解答题（共5 小题）14．（2015 春•禅城区校级期末）分解因式：（1）（a2+b2）2﹣4a2b2（2）（x2﹣2xy+y2）+（﹣2x+2y）+1．15．（2014•杭州模拟）现有四个代数式：x2，2xy，﹣9，y2，请用它们若干个构成能分解因式的多项式，并将他们分解因式（写出三个）16．（2015 春•岱岳区期末）已知x2﹣4y2=20，x+2y=5，求x，y 的值．17．（2014 春•邗江区期末）在学习中，小明发现：当a=﹣1，0，1 时，a2﹣6a+11 的值都是正数，于是小明猜想：当a 为任意整数时，a2﹣6a+11 的值都是正数，小明的猜想正确吗？简要说明你的理由．你还有什么发现吗？18．（2013 春•江西期末）下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4 进行分解因式的过程．解：设x2﹣4x=y．原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）=y2+8y+16 （第二步）=（y+4）2（第三步）=（x2﹣4x+4）2（第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了分解因式的．A．提取公因式B．逆用平方差公式C．逆用完全平方公式（2）该同学分解因式的结果不正确，应更正为．（3）试分解因式n（n+1）（n+2）（n+3）+1．人教版八年级数学上册14.3.2《公式法》同步训练习题（教师版）一．选择题（共7 小题）1．（2015•北海）下列因式分解正确的是（）A．x2﹣4=（x+4）（x﹣4）B．x2+2x+1=x（x+2）+1C．3mx﹣6my=3m（x﹣6y）D．2x+4=2（x+2）考点：因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法．专题：计算题．选D点评：此题考查了因式分解﹣运用公式法与提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．2．（2015•崇安区一模）下列四个多项式，能因式分解的是（）A．a﹣1 B．a2+1 C．x2﹣4y D．x2﹣6x+9考点：因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法．专题：计算题．分析：利用平方差公式及完全平方公式的结构特征判断即可．解答：解：x2﹣6x+9=（x﹣3）2．故选D．点评：此题考查了因式分解﹣运用公式法，以及提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．3．（2015•深圳模拟）将x2﹣16 分解因式正确的是（）A．（x﹣4）2 B．（x﹣4）（x+4）C．（x+8）（x﹣8）D．（x﹣4）2+8x考点：因式分解-运用公式法．分析：直接利用平方差公式分解因式得出即可．解答：解：x2﹣16=（x+4）（x﹣4）．故选：B．点评：此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．4．（2014•仙桃）将（a﹣1）2﹣1 分解因式，结果正确的是（）A．a（a﹣1）B．a（a﹣2）C．（a﹣2）（a﹣1）D．（a﹣2）（a+1）考点：因式分解-运用公式法．专题：计算题．分析：原式利用平方差公式分解即可．解答：解：原式=（a﹣1+1）（a﹣1﹣1）=a（a﹣2）．故选：B．点评：此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握公式是解本题的关键．5．（2014•衡阳）下列因式分解中，正确的个数为（）①x3+2xy+x=x（x2+2y）；②x2+4x+4=（x+2）2；③﹣x2+y2=（x+y）（x﹣y）A．3 个B．2 个C．1 个D．0 个考点：因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法．专题：因式分解．分析：直接利用提取公因式法以及公式法分别分解因式进而判断得出即可．解答：解：①x3+2xy+x=x（x2+2y+1），故原题错误；②x2+4x+4=（x+2）2；正确；③﹣x2+y2=（x+y）（y﹣x），故原题错误；故正确的有1 个．故选：C．点评：此题主要考查了运用公式法以及提取公因式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题关键．6．（2014 春•通州区期末）已知2a﹣b=2，那么代数式4a2﹣b2﹣4b 的值是（）A．2 B．0 C．4 D．6考点：因式分解-运用公式法．专题：因式分解．分析：首先将原式变形，进而利用完全平方公式以及平方差公式进行分解因式，进而代入已知求出即可．解答：解：∵2a﹣b=2，∴4a2﹣b2﹣4b=4a2﹣（b+2）2+4=（2a+b+2）（2a﹣b﹣2）+4=（2a+b+2）×（2﹣2）+4=4．故选：C．点评：此题主要考查了运用公式法分解因式，熟练应用公式是解题关键．7．（2014 春•黎川县期末）式子2014﹣a2+2ab﹣b2 的最大值是（）A．2012 B．2013 C．2014 D．2015考点：因式分解-运用公式法；非负数的性质：偶次方．分析：首先利用公式法进而配方得出（a﹣b）2≥0，进而得出原式的最大值．解答：解：2014﹣a2+2ab﹣b2=2014﹣（a2﹣2ab+b2）=2014﹣（a﹣b）2，∵（a﹣b）2≥0，∴原式的最大值为：2014．故选：C．点评：此题主要考查了完全平方公式的应用以及非负数的性质，熟练应用完全平方公式是解题关键．二．填空题（共6 小题）8．（2015•温州）分解因式：a2﹣2a+1= （a﹣1）2 ．考点：因式分解-运用公式法．专题：计算题．分析：观察原式发现，此三项符合差的完全平方公式a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2，即可把原式化为积的形式．解答：解：a2﹣2a+1=a2﹣2×1×a+12=（a﹣1）2．故答案为：（a﹣1）2．点评：本题考查了完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键．9．（2015•江都市模拟）若x2+2（3﹣m）x+25 可以用完全平方式来分解因式，则m 的值为﹣2 或8 ．考点：因式分解-运用公式法．分析：利用完全平方公式的特征判断即可求出m 的值．解答：解：∵x2+2（3﹣m）x+25 可以用完全平方式来分解因式，∴2（3﹣m）=±10解得：m=﹣2 或8．故答案为：﹣2 或8．点评：此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．10．（2015•株洲模拟）分解因式：﹣9= （+3）（﹣3）．考点：因式分解-运用公式法．专题：计算题．分析：原式利用平方差公式分解即可．解答：解：原式=（+3）（﹣3），故答案为：（+3）（﹣3）点评：此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．11．（2015 春•太仓市期末）若多项式x2﹣6x﹣b 可化为（x+a）2﹣1，则b 的值是﹣8 ．12．（2015 春•金堂县期末）若x2+y2﹣2xy﹣6x+6y+9=0，则x﹣y= 3 ．考点：因式分解-运用公式法；非负数的性质：偶次方．分析：先分组分解，再按公式法分解，根据非负数的性质解答．解答：解：∵x2+y2﹣2xy﹣6x+6y+9=（x﹣y）2﹣6（x﹣y）+9=（x﹣y﹣3）2=0，∴x﹣y﹣3=0，∴x﹣y=3，故答案为：3．点评：此题考查了因式分解﹣运用公式法，配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．13．（2015•南充模拟）已知248﹣1 可以被60 到70 之间的某两个整数整除，则这两个数分别是 65 、 63 ．考点：因式分解-运用公式法．分析：先利用平方差公式分解因式，再找出范围内的解即可．解答：解：248﹣1=（224+1）（224﹣1），=（224+1）（212+1）（212﹣1），=（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1）；∵26=64，∴26﹣1=63，26+1=65，∴这两个数是65、63．点评：本题考查了利用平方差公式分解因式，先分解因式，然后再找出范围内的解是本题解题的思路．三．解答题（共5 小题）14．（2015 春•禅城区校级期末）分解因式：（1）（a2+b2）2﹣4a2b2（2）（x2﹣2xy+y2）+（﹣2x+2y）+1．考点：因式分解-运用公式法．分析：（1）直接利用平方差公式分解因式，进而利用完全平方公式分解因式即可；（2）直接利用完全平方公式分解因式得出即可．解答：解：（1）（a2+b2）2﹣4a2b2=（a2+b2+2ab）（a2+b2﹣2ab）=（a+b）2（a﹣b）2；（2）（x2﹣2xy+y2）+（﹣2x+2y）+1=（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1=（x﹣y﹣1）2．点评：此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式和完全平方公式是解题关键．15．（2014•杭州模拟）现有四个代数式：x2，2xy，﹣9，y2，请用它们若干个构成能分解因式的多项式，并将他们分解因式（写出三个）考点：因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法．专题：开放型．分析：直接将任意三项组合，进而结合完全平方公式以及平方差公式分解因式或提取公因式法得出即可．解答：解：x2+2xy+y2=（x+y）2；x2﹣9=（x+3）（x﹣3）；y2﹣9=（y+3）（y﹣3）；x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）；x2+2xy=x（x+2y）；y2+2xy=y（2x+y）．点评：此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用公式法分解因式是解题关键．16．（2015 春•岱岳区期末）已知x2﹣4y2=20，x+2y=5，求x，y 的值．考点：因式分解-运用公式法．分析：直接利用平方差公式分解因式，进而得出x﹣2y=4，再利用二元一次方程组的解法得出x，y 的值．解答：解：∵x2﹣4y2=（x+2y）（x﹣2y）=20，x+2y=5，∴5（x﹣2y）=20，∴x﹣2y=4，∴，解得：．点评：此题主要考查了公式法分解因式以及二元一次方程组的解法，正确分解因式是解题关键．17．（2014 春•邗江区期末）在学习中，小明发现：当a=﹣1，0，1 时，a2﹣6a+11 的值都是正数，于是小明猜想：当a 为任意整数时，a2﹣6a+11 的值都是正数，小明的猜想正确吗？简要说明你的理由．你还有什么发现吗？考点：因式分解-运用公式法；非负数的性质：偶次方．分析：首先配方，进而利用非负数的性质即可说明猜想正确．解答：解：猜想正确，a2﹣6a+11，=a2﹣6a+32+2，=（a﹣3）2+2，因为（a﹣3）2≥0，所以（a﹣3）2+2≥2，所以当a 为任意整数时，a2﹣6a+11 的值都是正数，发现：当a 为任意实数时，a2﹣6a+11 的值都是正数（答案不唯一，正确即可）．点评：此题主要考查了配方法的应用以及非负数的性质等知识，正确配方得出是解题关键．18．（2013 春•江西期末）下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4 进行分解因式的过程．解：设x2﹣4x=y．原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）=y2+8y+16 （第二步）=（y+4）2（第三步）=（x2﹣4x+4）2（第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了分解因式的 C ．A．提取公因式B．逆用平方差公式C．逆用完全平方公式（2）该同学分解因式的结果不正确，应更正为（x﹣2）4 ．（3）试分解因式n（n+1）（n+2）（n+3）+1．考点：因式分解-运用公式法．专题：阅读型；换元法．。
因式分解——公式法(2) 优秀教学设计
公式法2
【课题】：公式法2
【教学目标】：
（一）教学知识点
用完全平方公式分解因式
（二）能力训练要求
1．理解完全平方公式的特点．
2．能较熟悉地运用完全平方公式分解因式．
3．会用提公因式、完全平方公式分解因式，•并能说出提公因式在这类因式分解中的作用．4．能灵活应用提公因式法、公式法分解因式．
（三）情感与价值观要求
通过综合运用提公因式法，完全平方公式分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力．通过知识结构图培养学生归纳总结的能力．
【教学重点】：用完全平方公式分解因式．
【教学难点】：根据多项式的特点选用适当的方法进行因式分解。
【教学突破点】：观察理解分解因式与整式乘法的关系，让学生了解事物间的因果联系．
【教法、学法设计】：探究式分层次教学，讲授、练习相结合。
【课前准备】：课件。
用公式法解一元二次方程练习题
新人教版数学九年级上册 第二十一章第二节公式法课时练习一、选择题1．下列关于x 的一元二次方程中，有两个相等实数根的是（ ）A ．210x += B ．210x x +-= C ．2230x x +-= D ．24410x x -+= 答案：D知识点：根的判别式 解析：解答：A 中2041140∆=-⨯⨯=-<，∴方程没有实数根；B 中()2141150∆=-⨯⨯-=>，∴该方程有两个不相等的实数根；C 中的()22413160∆=-⨯⨯-=>，∴该方程有两个不相等的实数根；D 中的()244410∆=--⨯⨯=，∴该方程有两个相等的实数根． 分析：其中24b ac ∆=-，当△＜0时，方程没有实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＞0时，方程有两个不相等的实数根． 2．方程210x x --=的根是（ ）A ．121122x x -+--==B ．1211,22x x ==C ．1211,22x x +== D ．没有实数根 答案：C知识点：解一元二次方程－公式法 解析：解答：这个方程的根是12x ==，所以选择C ．分析：一元二次方程的求根公式为2b x a-=．3．下列方程中，没有实数根的是（ ）A ．2210x x +-= B ．220x ++=C ．210x ++= D ．220x x -++=答案：C知识点：根的判别式 解析：解答：A 中的()2241180∆=-⨯⨯-=>，所以该方程有两个不相等的实数根；B 中的所以该方程没有实数根；D 中的()2141290∆=-⨯-⨯=>，所以该方程有两个不相等的实数根．分析：其中24b ac ∆=-，当△＜0时，方程没有实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＞0时，方程有两个不相等的实数根．4．一元二次方程220x -+=的实数根的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．无法判断 答案：B知识点：根的判别式 解析：数根即一个实数根．分析：当△＝0时，方程有两个相等的实数根即一个实数根．5．关于x 的一元二次方程2320ax x -+=有两个不相等的实数根，那么a 的取值范围是（ ） A ．98a <B ．98a >C ． 98a ≤D ．98a ≥ 答案：A知识点：根的判别式 解析：解答：因为所给方程有两个不相等的实数根，所以()23420a ∆=--⨯>，即98a <． 分析：一元二次方程有两个不相等的实数根，那么240b ac ∆=->，解所得到的不等式即可求得a 的取值范围．6．关于x 的一元二次方程()220x a b x ab c -++-=的实数根说法正确的是（ ）A ．没有实数根B ．有一个实数根C ．有两个不相等的实数根D ．有实数根 答案：D知识点：根的判别式 完全平方公式 平方的非负性 解析：解答：∵()()22222224()24440a b ab c a ab b ab c a b c ∆=-+--=++-+=-+≥⎡⎤⎣⎦，∴所给的一元二次方程有实数根，可能有两个也可能有一个，所以选择D ．分析：在遇到关于一元二次方程实数根的个数时，我们一般优先考虑用根的判别式来解题． 7．关于x 的一元二次方程()22210x x k -+-=有两个不相等的实数根，k 的取值为（ ） A ．1k < B ．1k > C ．1k ≤ D ．1k = 答案：A知识点：根的判别式 解析：解答：∵这个方程的有两个不相等的实数根，∴()()224210k ∆=--->，∴1k <． 分析：一元二次方程有两个不相等的实数根，即根据240b ac ∆=->即可求得k 的取值范围．8．关于x 的一元二次方程()22210x x k -+-=有两个相等的实数根，k 的取值为（ ）A ．1k <B ．1k >C ．1k ≤D ．1k = 答案：D知识点：根的判别式 解析：解答：∵这个方程的有两个相等的实数根，∴()()224210k ∆=---=，∴1k =． 分析：一元二次方程有两个相等的实数根，即根据240b ac ∆=-=即可求得k 的取值范围． 9．关于x 的一元二次方程()22210x x k -+-=没有实数根，k 的取值为（ ）A ．1k <B ．1k >C ．1k ≤D ．1k = 答案：B知识点：根的判别式 解析：解答：∵这个方程的有两个不相等的实数根，∴()()224210k ∆=---<，∴1k >． 分析：一元二次方程有两个不相等的实数根，即根据240b ac ∆=-<即可求得k 的取值范围．10．一元二次方程2340xx ++=的实数根为（ ）A ．没有实数根B ．124,1x x =-=C ．124,1x x ==-D ．124,1x x =-=-答案：A知识点：根的判别式 解析：解答：∵这个方程中234470∆=-⨯=-<，∴所给方程没有实数根．分析：解一元二次方程的时候，可以计算24b ac ∆=-，当方程没有实数根时可以简化计算．11．如果关于x 的一元二次方程210ax x +-=有实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．14a >- B ．14a ≥- C ．140a a ≥-≠且 D ．140a a >-≠且 答案：C知识点：根的判别式 一元二次方程的定义 解析：解答：∵这个方程中()21410a ∆=-⨯-≥，∴14a ≥-，又∵所给方程为关于x 的一元二次方程，∴a ≠0，∴140a a ≥-≠且． 分析：当所给的一元二次方程的二次项系数含字母时，需要确保该系数不为0．12．三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程060162=+-x x 的一个实数根，则该三角形的周长是（ ）A ．20B ．20或24C ．26D ．28 答案：B知识点：解一元二次方程－公式法 三角形三边关系 解析：解答：根据求根公式1616422x ±==，∴该方程的根为1210,6x x ==，根据三角形的三边可知这两个数据都可以和8、6组成三角形，∴该三角形的周长是20或24． 分析：涉及三角形三边的时候需要根据“任意两边和大于第三边，任意两边和小于第三边”来检验三边能否组成三角形． 13．一元二次方程2234x x x -+=-+的根是（ ）A ．1211x x =-+=-- B ．112x +=，212x -=C ．112x +=，212x -= D ．1211x x =-+=--答案：D知识点：解一元二次方程－公式法 解析：解答：将所给的一元二次方程整理成一般形式2220x x +-=，∵()224212∆=-⨯-=，根据求根公式x ==1211x x =-=-． 分析：应用求根公式解一元二次方程必须是一元二次方程的一般形式：20ax bx c ++=． 14．已知关于x 的一元二次方程()2110m x x -+=－有两个不相等的实数根，那么m 的值为（ ） A ．54m >B ．54m ≤C ．54m <D ．415m m <≠且 答案：D知识点：根的判别式 一元二次方程的定义 解析：解答：∵关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴()()21410m ∆=--⨯->， ∴54m <，∵是一元二次方程，∴10m -≠，∴415m m <≠且． 分析：先按照题意与根的判别式与0的关系求得m 的取值范围，再根据一元二次方程的定义保证二次项的系数不为0．15．已知关于x 的一元二次方程()2110m x x -+=－有两个相等的实数根，那么m 的值为（ ） A ．54m =B ．1m =C ．54m =- D ．1m =- 答案：A知识点：根的判别式 解析：解答：∵关于x 的一元二次方程有两个相等的实数根，∴()()21410m ∆=--⨯-=，∴54m =． 分析：先按照题意与根的判别式与0的关系求得m 的值，再根据一元二次方程的定义保证二次项的系数不为0． 二、填空题 1．一元二次方程20(0)axbx c a ++=≠的求根公式是_______________．答案：2b x a-=知识点：解一元二次方程－公式法 解析：解答：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是2b x a-=．分析：用公式法解一元二次方程必须是一元二次方程的一般形式． 2．一元二次方程()()13210x x +=－的一般形式是 ． 答案：23120x x +-= 知识点：多项式乘多项式 解析：解答：去括号得2323210x x x -+-=，移项、合并同类项得23120x x +-=，所以所给的一元二次方程的一般形式为23120x x +-=．分析：将一元二次方程化为一般形式是用公式法解一元二次方程的前提条件． 3．不解方程，判断下列方程实数根的情况： （1）方程22340x x --=有 个实数根；（2）方程2690xx -+=有 个实数根．答案：（1）两；（2）一 知识点：根的判别式 解析：解答：（1）因为()()2243424410b ac ∆==--⨯⨯-=>－，所以此方程有两个实数根； （2）因为()2246490b ac ∆==--⨯=－，所以此方程有一个实数根．分析：可以根据判别式24b ac ∆=-与0的大小关系判断一元二次方程的实数根的个数． 4．关于x 的一元二次方程220x x m -+=有实数根，则m 的取值范围是 ． 答案：m ≤1 知识点：根的判别式 解析：解答：∵关于x 的一元二次方程有实数根，∴()2240m ∆=--≥，∴m ≤1． 分析：可根据根的判别式与0的关系求得m 的取值范围． 5．关于x 的方程()()211210m m x m x +++--=是一元二次方程，那么m 的值为 ． 答案：1知识点：一元二次方程的定义 解析：解答：∵关于x 的方程是一元二次方程，∴21210m m +=+≠且，∴m ＝1．分析：根据一元二次方程的定义可知()211mm x ++必须为二次项且必须不能为0，由此可得21210m m +=+≠且，从而求得m 的值．三、解答题1．用公式法解方程：（1）260x x +-=；（2）2104x -=；（3）23620x x -+=；（4）()2458x x x -=-． 答案：（1）123,2x x =-=；（2）12x x ==；（3）12x x ==；（4）12x x ==知识点：解一元二次方程－公式法 解析：解答：解：（1）∵()2241416250b ac -=-⨯⨯-=>∴x=，∴11522x -±-±==∴方程的解为123,2x x =-=；（2）∵(221441404b ac ⎛⎫-=-⨯⨯-=> ⎪⎝⎭，∴x =，∴x==∴方程的解为12x x == （3）∵()2246432120b ac -=--⨯⨯=>，∴x=，∴66x ±==12x x == （4）将所给方程整理为一般形式22450x x +-=∴()2244425560b ac -=-⨯⨯-=>，∴x=22x -±==∴方程的解为12x x ==． 分析：使用公式法解一元二次方程的前提条件是：①一元二次方程为一般形式20ax bx c ++=，②240b ac ∆=-≥．2．关于x 的一元二次方程()221230n x x n n -+++-=的一个根是0，求n 的值． 答案：－3知识点：解一元二次方程－公式法 解析：解答：解：将x ＝0代入所给的方程中得：2230n n +-=，∴()22424316b ac -=-⨯-=，∴n =∴22422n -±-±==，∴121,3n n ==-，又∵当1n =时，所给方程不是一元二次方程，∴3n =-．分析：先根据0是所给方程的一个根求出n 的值，因为二次项的系数为n －1，所以n ≠1． 3．已知关于x 的方程x (x －k )＝2－k 的一个根为2． （1）求k 的值；（2）求方程2y (2k －y )＝1的解．答案：（1）2；（2）1244,22y y +-==知识点：解一元二次方程－公式法 解析：解答：解：（1）将x ＝2代入所给的方程中得：()222k k -=-，解得2k =； （2）将2k =代入方程2y (2k －y )＝1中得方程2y (4－y )＝1，整理得22810y y -+=∴()22484256b ac -=--⨯=，∴y =，∴y ==，∴124422y y +-==． 分析：先根据2是所给方程的一个根求出k 的值，将k 的值代入（2）中可得到关于y 的一元二次方程，整理成一般形式以后利用公式法解方程．4．如果关于x 的一元二次方程()()62-=+-m mx m x 的各项系数之和等于8，求m 的值． 答案：－2知识点：解一元二次方程－公式法 多项式乘多项式 一元二次方程的定义 解析：解答：解：将所给的方程整理得：()222360mx mx m +--+=，∵这个方程的各项系数之和等于8，∴22368m m m +--+=，∴220m m +=，∴02m m ==-或，又∵当0m =时，所给方程不是一元二次方程，∴2m =-．分析：先将所给的关于x 的一元二次方程整理成一般形式，再根据题意列出关于m 的方程即可求得m 的值．5．已知：关于x 的方程2210x kx +-=． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是12，求另一个根及k 值． 答案：（1）见解析；（2）另一个根为－1及k 值为1 知识点：解一元二次方程－公式法 平方的非负性 解析：解答：证明：（1）在关于x 的方程中，∵()222442180b ac k k -=-⨯⨯-=+>，∴ 方程有两个不相等的实数根；解：（2）将12x =代入所给的方程中得：21121022k ⎛⎫⨯+-= ⎪⎝⎭，∴1k =，∴所给方程为2210x x +-=，∴()22414219b ac -=-⨯⨯-=，∴x =，∴134x -±==，∴1211,2x x =-=，∴方程的另一个根为1x =-． 分析：（1）求证方程的实数根的情况需借助判别式；（2）先根据12是所给方程的一个根求出k 的值，再将k 的值代入所给方程利用公式法求得另一个根．。
14.3.2 公式法 - 第二课时 运用完全平方公式因式分解
解：原式＝[a－(b＋c)]2＝(a－b－c)2.
师生活动：学生先独立思考并完成解答，教师适当给予指导，最后进行统一讲解
1.学生独立思考、合作交流，在前面学习利用平方差公式分解因式的经验的基础上，总结利用完全平方公式分解因式的经验．
经历对例题和变式的探究过程，加深因式分解的一般解题步骤，达到巩固知识的目的，培养学生分析问题、解决问题的能力.
课前预学任 务（前提测评内容）
上节课我们学习了运用平方差公式分解因式，同学们能解决下面的题目吗？
因式分解：81a4－16.
情境导入
出示目标
导学活动预设
教师活动
学生活动
设计意图
活动一：创设情境、导入因式：
(1)m2－8mn＋16n2；(2)a2－2ab＋b2.
“以学为主’有效课堂范式”之课堂导学设计预案
课 题
14.3.2运用完全平方公式因式分解
授课时间
年 月 日
星 期
第 节
课标及教材解读
在学习本节课之前，已经学过了因式分解的有关概念和方法，特别是学过了运用平方差公式分解因式与本节课有类似之处，为本节课打下了基础．运用完全平方公式分解因式不仅是现阶段的学习重点，而且为后面分解二次三项式奠定了一定的基础．教学时注意类比平方差公式分解因式得出完全平方公式分解因式的意义，并分析完全平方式的特点．
(2)－x2＋4xy－4y2＝－(x2－4xy＋4y2)＝－[x2－2·x·2y＋(2y)2]＝－(x－2y)2.
方法归纳：运用完全平方公式分解因式，被分解的多项式必须满足三个特点：(1)多项式为三项式；(2)其中有两项是平方项且符号相同；(3)第三项是两个平方项幂的底数的积的2倍或－2倍．
21.2.2_一元二次方程的解法_公式法(2)
要点、考点
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况： (1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当Δ=0时，方程有两个相等的实数根； (3)当Δ＜0时，方程无实数根. (4)当Δ≥0时，方程有两个实数根 2.根据根的情况，也可以逆推出Δ的情况，这方面 的知识主要用来求字母取值范围等问题.
Байду номын сангаас
4m 4m 4m 8
2 2
m 2且m 1
课时训练
1.一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况 是 ( D ) A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根 2.方程x2-3x+1=0的根的情况是( A ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D.只有一个实数根 3.下列一元二次方程中，有实数根的是 ( C ) A.x2-x+1=0 C.x2+x-1=0 B.x2-2x+3=0 D.x2+4=0
4.关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有实数根，则下列结论 正确的是 ( D ) A.当k=1/2时，方程两根互为相反数 B.当k=0时，方程的根是x=-1 C.当k=±1时，方程两根互为倒数 D.当k≤1/4时，方程有实数根 5. 若关于 x 的一元二次方程 mx2-2x+1=0 有实数根，则 m 的取值范围是 ( D) A.m＜1 B. m＜1且m≠0 C.m≤1 D. m≤1且m≠0
当m-1≠0时，
方程有两个相等的实数根； 方程有两个不相等的实数根；
(3) m为何值时,关于x的一元二次方程 m2x2+(2m+1)x+1=0有两个不等实根？ 解：△=(2m+1)2-4m2
2.3 公式法(2) (1)
上课时间:
2014年9月
温故复习（2分钟）
1.一元二次方程的求根公式是什么？ 用公式法解一元二次方程的步骤是怎 样的？ 2.当b ²-4ac的符号怎样时，方程有两个 不相等的实数根？有两个相等的实数 根？没有实数根？
学习目标（1分钟）
2. 方程 x kx 1 0 的根的情况是（C） A.只有一个实数根 B.有两个实数根 C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根
2
3.关于X的一元二次方程 x 2 x m 0 有两个实数根，则m的取值范围是 m 1
2
4. （P44随堂练习）帮小颖列出方程并求解。
解：依题意得，
解 : 设这两位数的个位数字为x, 根据题意, 得
x 10x 3 x. 2 整理得x 11x 30 0.
2
解得x1 5, x2 6.
x 3 5 3 2, 或x 3 6 3 3.
答 : 这个两位数为25, 或36.
2 .将一块正方形的铁皮四角剪去一个边长为4cm的小正 方形,做成一个无盖的盒子.已知盒子的容积是400cm3, 求原铁皮的边长.
有两个实数根. 1 k 变:当k______ 4 时,关于x的方程kx²+x-1=0有 实数根.
3.三角形两边长分别是6和8，第三边长是一元二次方
程x2-16x+60=0的一个根，则三角形面积是（ D ）
A 24
C 48
B 24或 8 5
D 8 5
选做：
1.一个两位数,它的十位数字比个位数字小3,而它的个位 数字的平方恰好等于这个两位数.求这个两位数.
北师大版八年级下册数学第四章 因式分解第3节《公式法(2)》参考教案
4.3.2 公式法（二）●教学目标（一）教学知识点1.使学生会用完全平方公式分解因式.2.使学生学习多步骤，多方法的分解因式.（二）能力训练要求在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观察、归纳和逆向思维的能力.（三）情感与价值观要求通过综合运用提公因式法、完全平方公式，分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力.●教学重点让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法.●教学难点让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式.●教学方法观察—发现—运用法●教具准备投影片两张第一张（记作§4.3.2 A）第二张（记作§4.3.2 B）●教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课［师］我们知道，因式分解是整式乘法的反过程，倒用乘法公式，我们找到了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？在前面我们不仅学习了平方差公式（a+b）（a－b）=a2－b2而且还学习了完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2本节课，我们就要学习用完全平方公式分解因式.Ⅱ.新课1.推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点.［师］由因式分解和整式乘法的关系，大家能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢？［生］可以.将完全平方公式倒写：a2+2ab+b2=（a+b）2;a2－2ab+b2=（a－b）2.便得到用完全平方公式分解因式的公式.［师］很好.那么什么样的多项式才可以用这个公式分解因式呢？请大家互相交流，找出这个多项式的特点.［生］从上面的式子来看，两个等式的左边都是三项，其中两项符号为“+”，是一个整式的平方，还有一项符号可“+”可“－”，它是那两项乘积的两倍.凡具备这些特点的三项式，就是一个二项式的完全平方，将它写成平方形式，便实现了因式分解.［师］左边的特点有（1）多项式是三项式；（2）其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；（3）另一项是这两数或两式乘积的2倍.右边的特点：这两数或两式和（差）的平方.用语言叙述为：两个数的平方和，加上（或减去）这两数的乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.形如a2+2ab+b2或a2－2ab+b2的式子称为完全平方式.由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.投影（§4.3.2 A）项；其中有两项同号且能写成两个数或式的平方；另一项是这两数或式乘积的2倍.［生］（1）是.（2）不是；因为4x不是x与2y乘积的2倍；（3）是；（4）不是.ab不是a与b乘积的2倍.（5）不是，x2与－9的符号不统一.（6）是.2.例题讲解［例1］把下列完全平方式分解因式：（1）x2+14x+49;（2）（m+n）2－6（m +n）+9.［师］分析：大家先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式，然后再根据公式分解因式.公式中的a,b可以是单项式，也可以是多项式.解：（1）x2+14x+49=x2+2×7x+72=（x+7）2（2）（m +n）2－6（m +n）+9=（m +n）2－2·（m +n）×3+32=［（m +n）－3］2=（m +n－3）2.［例2］把下列各式分解因式：（1）3ax2+6axy+3ay2;（2）－x2－4y2+4xy.［师］分析：对一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观察它是否有公因式，若有公因式应先提取公因式，再考虑用完全平方公式分解因式.如果三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不是“+”号时，可以先提取“－”号，然后再用完全平方公式分解因式.解：（1）3ax 2+6axy+3ay 2=3a （x 2+2xy+y 2）=3a （x+y ）2（2）－x 2－4y 2+4xy=－（x 2－4xy+4y 2）=－［x 2－2·x·2y+（2y ）2］=－（x －2y ）2Ⅲ.课堂练习a.随堂练习1.解：（1）是完全平方式x 2－x+41=x 2－2·x·21+（21）2=（x －21）2 （2）不是完全平方式，因为3ab 不符合要求.（3）是完全平方式41m 2+3 m n+9n 2 =（21 m ）2＋2×21 m×3n+（3n ）2 =（21 m +3n ）2 （4）不是完全平方式2.解：（1）x 2－12xy+36y 2=x 2－2·x·6y+（6y ）2=（x －6y ）2;（2）16a 4+24a 2b 2+9b 4=（4a 2）2+2·4a 2·3b 2+（3b 2）2=（4a2+3b2）2（3）－2xy－x2－y2=－（x2+2xy+y2）=－（x+y）2;（4）4－12（x－y）+9（x－y）2=22－2×2×3（x－y）+［3（x－y）］2 =［2－3（x－y）］2=（2－3x+3y）2b.补充练习投影片（§4.3.2 B）这节课我们学习了用完全平方公式分解因式.它与平方差公式不同之处是：（1）要求多项式有三项.（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.同时，我们还学习了若一个多项式有公因式时，应先提取公因式，再用公式分解因式.Ⅴ.课后作业习题4.51.解：（1）x 2y 2－2xy+1=（xy －1）2;（2）9－12t+4t 2=（3－2t ）2;（3）y 2+y+41=（y+21）2; （4）25m 2－80 m +64=（5 m －8）2;（5）42x +xy+y 2=（2x +y ）2; （6）a 2b 2－4ab+4=（ab －2）22.解：（1）（x+y ）2+6（x+y ）+9=［（x+y ）+3］2=（x+y+3）2;（2）a 2－2a （b+c ）+（b+c ）2=［a －（b+c ）］2=（a －b －c ）2;（3）4xy 2－4x 2y －y 3=y （4xy －4x 2－y 2）=－y（4x2－4xy+y2）=－y（2x－y）2;（4）－a+2a2－a3=－（a－2a2+a3）=－a（1－2a+a2）=－a（1－a）2.3.解：设两个奇数分别为x、x－2,得x2－（x－2）2=［x+（x－2）］［x－（x－2）］=（x+x－2）（x－x+2）=2（2x－2）=4（x－1）因为x为奇数，所以x－1为偶数，因此4（x－1）能被8整除.Ⅵ.活动与探究写出一个三项式，再把它分解因式（要求三项式含有字母a和b，分数、次数不限，并能先用提公因式法，再用公式法分解因式.分析：本题属于答案不固定的开放性试题，所构造的多项式同时具备条件：①含字母a和b；②三项式；③可提公因式后，再用公式法分解.参考答案：4a3b－4a2b2+ab3=ab（4a2－4ab+b2）=ab（2a－b）2●板书设计参考练习把下列各式分解因式1.－4xy－4x2－y2;2.3ab2+6a2b+3a3;3.（s+t）2－10（s+t）+25;4.0.25a2b2－abc+c2;5.x2y－6xy+9y;6.2x3y2－16x2y+32x;7.16x5+8x3y2+xy4参考答案：解：1.－4xy－4x2－y2=－（4x2+4xy+y2）=－（2x+y）2;2.3ab2+6a2b+3a3=3a（b2+2ab+a2）=3a（a+b）2;3.（s+t）2－10（s+t）+25=［（s+t）－5］2=（s+t－5）2;4.0.25a2b2－abc+c2=（0.5ab－c）2;5.x2y－6xy+9y=y（x2－6x+9）=y（x－3）2;6.2x3y2－16x2y+32x=2x（x2y2－8xy+16）=2x（xy－4）2;7.16x5+8x3y2+xy4=x（16x4+8x2y2+y4）=x（4x2+y2）2.。
人教版九年级数学上册公式法2(根的判别式)课件
有实数解，则k
跟踪练习
1.关于x的方程
有两个相等
的实数根，则m的值为（ D ）
A．2 B．-2 C．0 D．±2
跟踪练习
2.关于x的方程x2＋2x－a=0没有实数根，则a的
值可能是( A )
的根的情况是（C ）
D．无法判定
跟踪练习
3.已知关于x的一元二次方程2x2−(m＋n)x＋mn＝0， 其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方
程的根的情况是（ B ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定
能力提升
已知关于x的一元二次方程
(1)求证：此方程一定有两个不相等的实数根； (1)证:A=a-1,B=2a+1,C=2
跟踪练习
1.探讨关于x的一元二次方程
总有实数根的条件，下面三名同学给出建议：
甲：a，b同号； 乙：
丙：
其中符合条件的是（ B ）
A．甲，乙，丙都正确 B．只有甲不正确 C．甲，乙，丙都不正确 D．只有乙正确
新知探究 根据根的判别式求字母系数的取值范围
已知一元二次方程
的取值范围是
.
解：a=k-1，b=2，c=1
A．－2 B．－1 C．0
D．2
本课小结
1.知道根的判别式的是b2-4ac并会求它的准确值 2.根据根的判别式判断方程根的情况 3.根据根的判别式求字母的取值范围.
当堂检测
1．下列一元二次方程有两个相等的实数根
的是（ ）
A．x2+2x=0 B．（x﹣1）2=0
21、2、2解一元二次方程——公式法(第2课时)同步练习 21-22学年人教版数学九年级上学期
初中数学人教版九年级上册——21.2.2解一元二次方程——公式法（第2课时）一、单选题1.当时，关于x的一元二次方程的根的情况为（）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法确定2.方程的根是（）A. B. C. D.3.关于x的一元二次方程（m-2）x2+3x-1＝0有实数根，那么m的取值范围是（）B. m≥ 且m≠2C. m≤ 且m≠﹣2D. m≥A. m≤ 144.用公式解方程3x﹣1﹣2x2=0的过程中，a、b、c的值分别是（）A. a=3 b=﹣1 c=﹣2B. a=﹣2 b=﹣1 c=3C. a=﹣2 b=3 c=﹣1D. a=﹣1 b=3 c=﹣25.用公式法解方程3x2+4=12x，下列代入公式正确的是（）A. B. xC. D.6.以x=为根的一元二次方程可能是（）A. x2+bx+c=0B. x2+bx﹣c=0C. x2﹣bx+c=0D. x2﹣bx﹣c=07.对于两个不相等的实数a,b，我们规定符号max{a,b}表示a,b中较大的数，如max{2,4}=4,按这个规定，方程的解为( )A. 1-√2B. 2-√2C.D. 1+√2或-18.定义：如果一元二次方程满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）．A. a=cB. a=bC. b=cD. a=b=c二、填空题9.用公式法解一元二次方程，得y＝，请你写出该方程________．10.若x2+3xy﹣2y2=0，那么x y=________11.小明同学用配方法推导关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，他是这样做的：小明的解法从第________ 步开始出现错误；这一步的运算依据应是________12.用公式法解方程2x2-7x+1=0，其中b2-4ac=________，x1=________，x2=________．三、计算题13.解方程：（x﹣3）（x﹣2）﹣4＝0.14.解方程：15.解下列方程：（1）（2）2x2+3x+3=0四、解答题16.小明在解方程x2﹣5x＝1时出现了不符合题意，解答过程如下：∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，（第一步）∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21（第二步）∴（第三步）∴x1=5+√212，（第四步）（1）小明解答过程是从第________步开始出错的，其错误原因是________．（2）写出此题正确的解答过程．17.关于x的一元二次方程的一个根是0，求n的值．18.已知关于x的方程kx2+（k+3）x+2＝0，求证：不论k取任何非零实数，该方程都有两个不相等的实数根.19.已知关于x的方程x2+px+q=0根的判别式的值为0，且x=1是方程的一个根，求p和q的值．20.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根.（1）求实数k的取值范围；（2）0可能是方程一个根吗？若是，求出它的另一个根；若不是，请说明理由.答案解析部分一、单选题1.【答案】A2.【答案】D3.【答案】B4.【答案】C5.【答案】D6.【答案】C7.【答案】D8.【答案】A二、填空题9.【答案】10.【答案】11.【答案】四；平方根的定义．12.【答案】41；；．三、计算题13.【答案】解：方程化为x2﹣5x+2＝0∵a＝1，b＝﹣5，c＝2，∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×2＝17＞0，则x＝，，x2＝故x1＝5+√17214.【答案】解：．15.【答案】（1）解：∵a=1，b=3，，，（2）解：∵a=2，b=3，c=3，∴．∴原方程无实数根．四、解答题16.【答案】（1）一；原方程没有化简为一般形式（2）解：∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1，∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝29．∴∴x1=5+√292，．17.【答案】解：将x＝0代入所给的方程中得：，∴，∴，∴，∴，又∵当时，所给方程不是一元二次方程，∴．18.【答案】解：由题意可知：k≠0，∴△＝（k+3）2﹣8k＝k2+6k+9﹣8k＝k2﹣2k+9＝k2﹣2k+1+8＝（k﹣1）2+8＞0，所以该方程有两个不相等的实数根.19.【答案】解：由已知得：，解得：．20.【答案】（1）∵关于x的一元二次方程x2+2kx+k2-k=0有两个不相等的实数根，∴△=b2-4ac=（2k）2-4（k2-k）=4k＞0，∴k＞0，∴实数k的取值范围是k＞0．（2）把x=0代入方程得：k2-k=0，解得：k=0，k=1，∵k＞0，∴k=1，即0是方程的一个根，把k=1代入方程得：x2+2x=0，解得：x=0，x=-2，即方程的另一个根为x=-2．。
新湘教版七年级数学下册《3章 因式分解 3.3 公式法 3.3公式法(2)》课件_5
典例精析
例1 ：将下列多项式因式分解
9x2 3x 1 4
（3x）2 2 3x 1 ( 1 ) 2 22
（3x 1 ）2 2
4x2 12 xy 9 y2
(4x2 12 xy 9 y2 ) [(2x)2 2 2x 3y (3y)2 ]
(2x 3y)2
a4 2a2b b2
三、运用新知
1、判断：下列各式是不是完全平方式？并说明你的理由.
（1）a2－4a+4;
是 （2）1+4a²;
不是
（3）4b2+4b-1; 不是 （4）a2+ab+b2; 不是
分析： （2）因为它只有两项； （3）4b²与-1的符号不统一； （4）因为ab不是a与：
1. x²+4x+4= ( x)²+2·( x)·( 2)+( 2 )²=( x + 2 )² 2.m²-6m+9=( m)²- 2·(m)·(3 )+( 3 )²=( m - 3)² 3.a²+4ab+4b²=(a )²+2·( a ) ·(2b )+(2b )²=(a + 2b )² 像上面这样，把乘法公式从右到左使用，就可以把某些形式 的多项式进行因式分解，这种分解因式的方法叫做公式法.
1.简便计算（1）992 +198+1 （2）20142 −2014×4026+20132
2. 将 4x2 1 再加上一个整式，使它成为完全平方式，你 有几种方法？
课后作业： 课本第67页第2题 1、2、6、7。
a2+2ab+b2 观察这两个式子：
a2－2ab+b2
（1）每个多项式有几项？ 三项 （2）每个多项式的首项和尾项有什么特征？
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公式法
【教材训练·5分钟】
1.平方差公式
（1）用式子表示：22
a b -=()()a b a b +-.
（2）用语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.
2.判断训练（请在括号内打“√”或“×”） （1）22
x y +=()()x y x y +-（×） （2）22x y --=()()x y x y +-（×） （3）216(4)(4)m m m -=+-（√）
（4）2
2
916(916)(916)m n m n m n -=+-（×）
【课堂达标·20分钟】
训练点一：直接运用平方差公式分解因式
1．（2分）下列各式中，能用平方差公式分解因式的
是（ ） A.22
4x y + B.221x y -+ C.224x y -+ D.22
4x y --
【解析】选C.只有C 选项符合平方差公式22a b -的特点. 2.（2分）下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（ ）
A ．－a 2－b 2
B ．－4a 2+b 2
C ．a 2－b 4
D ．9a 2
－
16b 2
【解析】选A. －a 2
－b 2
=－（a 2
+b 2
），不符合平方差公式的特点.
3. （2分）（13版人教八上百练百胜P88训练点1T2）
4．（2分）分解因式：（1）2
9x -= . （2）x 2
－4y 2
＝___________.
【解析】（1）2
9x -=(x +3)(x －3)；
（2）x 2－4y 2
＝(x +2y )(x －2y ). 答案：（1）(x +3)(x －3)；
（2）(x +2y )(x －2y )；
5.（2分）在实数范围内因式分解44
-x =
__________．
【解析】44-x =22(2)(2)x x +-=)2)(2)(2(2-
++x x x .
答案：)2)(2)(2(2
-++x x x
6. （6分）分解因式：（1）
22
09.09
4n m -
（2）2
2)
(4
)
(
25b
a
b
a-
-
+
【解析】（1）
)
3.0
3
2
)(
3.0
3
2
(
09
.0
9
4
2
2n
n
n
m
n
m+
+
=
-
（2）
)]
(2
)
(5
)][
(2
)
(5[
)
(4
)
(
252
2b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a-
-
+
-
+
+
=
-
-
+
)
7
3
)(
3
7(b
a
b
a+
+
=
训练点二：平方差公式的综合运用
1. （2分）（13版人教八上百练百胜P88训练点2T1）
2．（2分）（13版人教八上百练百胜P88训练点2T2）
3．（2分）（13版人教八上百练百胜P88训练点2T3）
4.（2分）（13版人教八上百练百胜P88训练点2T4）
5.（2分）一个长方形的面积是(x2－9)平方米，其长
为(x＋3)米，用含有x的整式表示它的宽为
___________米
【解析】x2－9=（x+3）（x-3），所以宽为（x-3）米.
答案：（x-3）
6. （4分）（13版人教八上百练百胜P88训练点2T5）
【课后作业·30分钟】
一、选择题（每小题4分，共12分）
1.（2012·黔南州中考）下列多项式中，能用公式法
分解因式的是（）
A．x2－xy B．x2＋xy
C．x2－y2 D．x2＋y2
【解析】选C.x2﹣xy=x（x﹣y），x2+xy=x（x+y），故
A、B只能用提公因式法分解因式；x2﹣y2=（x+y）（x
﹣y），故C能用公式法分解因式；D不能分解分式.
故答案为C.
2. （2012·邵阳中考）把2
2-4
a a因式分解的最终结
果是（）
A．()
2-2
a a B．()
2
2-2
a a
C．()
2-4
a a D．()()
-2+2
a a
【解析】选A.a
a4
22-=)2
(
2-
a
a.
3. （2012·云南中考）若22
1
4
a b
-=，
1
2
a b
-=，
则a b +的值为（ ）
A ．12-
B ．1
2
C ．1
D ．2 【解析】选B.因为 2
2
()()a b a b a b -=-⋅+所以：
11()42a b =⋅+即可得到：1()2
a b +=． 二、填空题（每小题4分，共12分）
4.（2012·福州中考）分解因式：x 2
－16＝_____________.
【解析】x 2
－16＝(x ＋4)(x －4). 答案：(x ＋4)(x －4)
5. （2012·朝阳中考）分解因式：x 3
－
9xy 2
=___________.
【解析】原式＝x(x 2－9y 2
)＝x(x ＋3y)(x －3y) 答案：x(x+3y)(x-3y)
6..(2012·益阳中考)写出一个在实数范围内能用平方差公式分解因式的多项式： ．
【解析】能用平方差公式分解因式的多项式形如a 2-b 2，因此本题答案不唯一，如x 2
-1．
答案为：答案不唯一，如x 2
-1． 三.解答题（共26分）
7．（6分）（13版人教八上百练百胜P89能力提升T7）
8.（6分）（13版人教八上百练百胜P89能力提升T8）
9.（6分）（13版人教八上百练百胜P89能力提升T10）
10.（8分）（能力拔高题）
将一条40cm 长的金色彩边剪成两段, 恰好可用来镶
嵌两张大小不同的正方形壁画的边(不计算接头处),
已知两张壁画的面积相差40cm 2
, 问这条彩色边应剪成多长的两段? 【解析】设大正方形的壁画的边长为xcm,较小正方形的边长为ycm. 由题意得
22404440x y x y ⎧-=⎨
+=⎩,整理得
()()40(1)
10
(2)x y x y x y +-=⎧⎨
+=⎩
把②代入①得:x-y=4 ③
由②+③得:x=7.由②-③得y=3.
所以两段彩带长分别为4×7=28cm,4×3=12cm.
本课教学反思
英语教案注重培养学生听、说、读、写四方面技能以及这四种技能综合运用的能力。
写作是综合性较强的语言运用形式, 它与其它技能在语言学习中相辅相成、相互促进。
因此, 写作教案具有重要地位。
然而, 当前的写作教案存在“ 重结果轻过程”的问题, 教师和
学生都把写作的重点放在习作的评价和语法错误的订正上，忽视了语言的输入。
这个话题很容易引起学生的共鸣，比较贴近生活，能激发学生的兴趣, 在教授知识的同时，应注意将本单元情感目标融入其中，即保持乐观积极的生活态度，同时要珍惜生活的点点滴滴。
在教授语法时，应注重通过例句的讲解让语法概念深入人心，因直接引语和间接引语的概念相当于一个简单的定语从句，一个清晰的脉络能为后续学习打下基础。
此教案设计为一个课时，主要将安妮的处境以及她的精神做一个简要概括，下一个课时则对语法知识进行讲解。
在此教案过程中，应注重培养学生的自学能力，通过辅导学生掌握一套科学的学习方法，才能使学生的学习积极性进一步提高。
再者，培养学生的学习兴趣，增强教案效果，才能避免在以后的学习中产生两极分化。
在教案中任然存在的问题是，学生在“说”英语这个环节还有待提高，大部分学生都不愿意开口朗读课文，所以复述课文便尚有难度，对于这一部分学生的学习成绩的提高还有待研究。