理论力学-动静法
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《理论力学》第十四章达朗伯原理(动静法)
F
D d
C
mg FN
货物不滑的条件：F≤ f FN ， a ≤ f g 货物不翻的条件：d ≤ b/2 ， a ≤ bg/h
为了安全运送货物，应取两者中的小者作为小车的amax。
例 题7
已知：AB杆质量为m ,长为l=2r ,
r O
A
l
B
圆盘半径为r ,角速度为，角加速度为 。 求：A 端的约束反力。
FR
MIC
C
aC
FR maC M C J C
例 题5
已知：m , h , , l。
B
D
h
求：A、D处约束反力。
a
解： 取 AB 杆为研究对象
A
Fx 0 FAx F FN sin 0 Fy 0 FAy mg FN cos 0
C
n FR maC m(aC aC )
O
MIC
FR
M C J C
3、刚体作平面运动
具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运动平面与质量对 称平面互相平行。对于这种情形，先将刚体的空间惯性力系向质 量对称平面内简化，得到这一平面内的平面惯性力系，然后再对 平面惯性力系作进一步简化。
R
O
n FR
MIO
F R
（2）将惯性力系向质心C简化。
FR maC 2mr
n n FR maC 2mr 2
MA
A
FAy
MIC
C B
FAx
M C
1 2 J C mr 3
n FR
mg
FR
n Fx 0 FAx ( FR F ) cos 45 0 R n Fy 0 FAy mg ( FR FR ) cos 45 0 n M A( F ) 0 M A mgr ( FR F ) cos 45 r M C 0 R
D d
C
mg FN
货物不滑的条件：F≤ f FN ， a ≤ f g 货物不翻的条件：d ≤ b/2 ， a ≤ bg/h
为了安全运送货物，应取两者中的小者作为小车的amax。
例 题7
已知：AB杆质量为m ,长为l=2r ,
r O
A
l
B
圆盘半径为r ,角速度为，角加速度为 。 求：A 端的约束反力。
FR
MIC
C
aC
FR maC M C J C
例 题5
已知：m , h , , l。
B
D
h
求：A、D处约束反力。
a
解： 取 AB 杆为研究对象
A
Fx 0 FAx F FN sin 0 Fy 0 FAy mg FN cos 0
C
n FR maC m(aC aC )
O
MIC
FR
M C J C
3、刚体作平面运动
具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运动平面与质量对 称平面互相平行。对于这种情形，先将刚体的空间惯性力系向质 量对称平面内简化，得到这一平面内的平面惯性力系，然后再对 平面惯性力系作进一步简化。
R
O
n FR
MIO
F R
（2）将惯性力系向质心C简化。
FR maC 2mr
n n FR maC 2mr 2
MA
A
FAy
MIC
C B
FAx
M C
1 2 J C mr 3
n FR
mg
FR
n Fx 0 FAx ( FR F ) cos 45 0 R n Fy 0 FAy mg ( FR FR ) cos 45 0 n M A( F ) 0 M A mgr ( FR F ) cos 45 r M C 0 R
理论力学25(重要知识)
故有
MIC=∑MC(FIit) = – JC
式中JC是刚体对于通过质心C 且⊥质量对称平面S的轴的转 动惯量,负号表示主矩MIC与角
加速度的转向相反。
重点辅导
aC
C
FIit FIiC
ainC
mi
aC
aitC
S
FIin
12
12.3.3 刚体惯性力系的简化结果
■ 平动
FIR=－maC
作用于质心C
■ 定轴转动
10.1 质点的动静法
将牛顿第二定律应用于非自由质点有
F +FN = ma
重点辅导
3
F +FN = ma
若引入 FI =－ma, 称为质点的达朗贝尔惯性力 (d’Alembert inertial force),则上式可写成
F +FN +FI = 0 即作用于质点的主动力、约束力和质点的达朗 贝尔惯性力(如果也把它看成一个力的话)在形 式上构成一个平衡力系,这一结果称为质点的达 朗贝尔原理(d’Alembert principle of a particle)。
习题: P.333 15-1,6,7,9,
重点辅导
22
谢谢!
重点辅导
23
FIR=－maC 作用线通过转轴O。
MIz=－Jz
重点辅导
质量对称平面
aC C MIz
O
FIR
13
■ 平面运动
FIR=－maC 作用线通过质心C。
MIC =－JC
质量对称平面
MIC
C FIR
aC S
重点辅导
14
1. 均质杆OA绕O轴在 铅垂平面内作定轴转动
其角速度为,角加速度 为,如图所示。在下面
MIC=∑MC(FIit) = – JC
式中JC是刚体对于通过质心C 且⊥质量对称平面S的轴的转 动惯量,负号表示主矩MIC与角
加速度的转向相反。
重点辅导
aC
C
FIit FIiC
ainC
mi
aC
aitC
S
FIin
12
12.3.3 刚体惯性力系的简化结果
■ 平动
FIR=－maC
作用于质心C
■ 定轴转动
10.1 质点的动静法
将牛顿第二定律应用于非自由质点有
F +FN = ma
重点辅导
3
F +FN = ma
若引入 FI =－ma, 称为质点的达朗贝尔惯性力 (d’Alembert inertial force),则上式可写成
F +FN +FI = 0 即作用于质点的主动力、约束力和质点的达朗 贝尔惯性力(如果也把它看成一个力的话)在形 式上构成一个平衡力系,这一结果称为质点的达 朗贝尔原理(d’Alembert principle of a particle)。
习题: P.333 15-1,6,7,9,
重点辅导
22
谢谢!
重点辅导
23
FIR=－maC 作用线通过转轴O。
MIz=－Jz
重点辅导
质量对称平面
aC C MIz
O
FIR
13
■ 平面运动
FIR=－maC 作用线通过质心C。
MIC =－JC
质量对称平面
MIC
C FIR
aC S
重点辅导
14
1. 均质杆OA绕O轴在 铅垂平面内作定轴转动
其角速度为,角加速度 为,如图所示。在下面
理论力学动静法
静反力 动反力 附加动反力
使附加动反力为零，须有
35
MQx MQy 0
RQx ' RQy ' 0
I zx I yz 2 0 I zx 2 I yz 0
I xz I zx I yz 0
( 2 2 4 0) 2
MaCx 0 MaCy 0
10
§14-2 质点系的动静法
设有一质点系由n个质点组成，对每一个质点，有
Fi Ni Qi 0 ( i1,2,...... ,n )
对整个质点系，主动力系、约束反力系、惯性力系形式上 构成平衡力系。这就是质点系的动静法。可用方程表示为：
Fi Ni Qi 0 mO (Fi )mO (Ni )mO (Qi )0
xC yC 0
对z 轴惯性积为零，z 轴为 刚体在O点的惯性主轴；
过质心
当刚体转轴为中心惯性主轴时，轴承的附加动反力为零。
36
二、静平衡与动平衡的概念 静平衡：刚体转轴过质心，则刚体在仅受重力而不受其它
主动力时，不论位置如何，总能平衡。 动平衡：转动为中心惯性22
三、刚体作平面运动 假设刚体具有质量对称平面，并且平行于该平面作平面运
动。此时，刚体的惯性力系可先简化为对称平面内的平面力系。
刚体平面运动可分解为
随基点（质点C）的平动： RQ MaC
绕通过质心轴的转动：MQC IC
RQ MaC
M QC IC
作用于质心
MaC
d dt
(mi
vi
)
dK dt
mO
(Qi
)
mO
(mi
ai
)
《理论力学》--第十三章 达朗贝尔原理(动静法)
例13-7 已知：如图所示,轮盘(连同轴)的质量 m 20kg, 转轴AB与轮盘的质量对称面垂直,但轮盘的质心 C不在转轴上,偏心距 e 0.1mm. 当轮盘以均转速 转动. n 12000 r min 求：轴承A,B的约束力
解:
0.1 12000π 1 2 an e m s 158 m s 2 1000 30
2
FI man 3160 N 1 FNA FNB mg FI 2
1 20 9.8 3160N 1680N 2
(e) Fi 为作用于第i个质点上质点系外部物体的作用力. (i) Fi 为作用于第i个质点上质点系内部的力. (e) (i) Fi Fi Fi 0 i 1,2,, n
例13-2 已知:如图所示,定滑轮的半径为r ,质量为m 均匀分布在轮缘 上,绕水平轴Ｏ转动.垮过滑轮的无重绳的两端挂有质量 为m1 和m2 的重物(m１>m2),绳与轮间不打滑,轴承摩擦 忽略不计。 求:重物的加速度.
例13-1 已知: 求:
m 0.1kg , l 0.3m , 60
v, FT .
解:
v2 FI man m l sin mg FT FI 0
Fb Fn
0, FT cos mg 0 0, FT sin FI 0
Fs f s FN f s m1 m2 g
Fs 3m1 fs FN 2m1 m2
D
§ 13-4
绕定轴转动刚体的轴承动约束力
F
x
0 FA x FB x FR x FI x 0
F
y
0 FA y FB y FR y FI y 0
理论力学第十一章 达朗贝尔原理(动静法)
讨论：1）脱离角α与滚筒的角速度和滚筒半径有关，而与钢球质量无关。
2）
筒壁。此时转筒
的转速称为临界转速，对球磨机而言，要求n小于nL，否则球磨机就不能工作。
§11－2 刚体惯性力系的简化
刚体平移时惯性力系的简化
当刚体平移时,任一瞬时体内各点的加速度相等。若记某瞬 时刚体质心加速度为aC，则该瞬时体内任一质量为m的质点 的加速度ai=aC，虚加在该点上的惯性力Fgi=-miai=-miaC 。 刚体内每一点都加上相应的惯性力，由静力学知,该空间平 行力系可简化为过质心的合力，即
式中，Fgτ=-maτ，称为切向惯性力 Fgn=-man称为法向惯性力（也称离心力）
负号表示它们分别与切向加速度和法向加速度的方向相反。
§11－1 惯性力与质点的达朗贝尔原理
质点系的动静法
对由n个质点组成的非自由质点系,设其中任一质点的质量 为mi,某瞬时加速度为ai，作用其上的主动力F，约束反力 Fni，假想在该质点上加上惯性力Fgi=-mai，由质点达朗贝 尔原理，则
=－ maC
该力偶的力偶矩等于惯性力系对刚体惯性力系的简化
结论 当刚体有质量对称面，且绕垂直于质量对称面的定轴 转动时，惯性力系可以简化为对称面内的一个力和一个力偶。 该力等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速 度方向相反，且力的作用线通过转轴；
该力偶的力偶矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘 积，其转向与角加速度转向相反。惯性力系向点O简化的结 果如图b)所示。
Fg=-m a
质点的达朗伯原理:质点在运动的每一瞬时，作用 于质点上的主动力、约束反力与假想地在质点上 的惯性力，在形式上构成一平衡力系。
§11－1 惯性力与质点的达朗贝尔原理
[法律资料]理论力学 第10章 动静法
![[法律资料]理论力学 第10章 动静法](https://img.taocdn.com/s3/m/c863420e1eb91a37f1115c86.png)
m1 πR12l m2 π R22l
Jz
1 2
π l(R14
R24 )
1 2
π l(R12
R22 )(R12
R22 )
由 π l(R12 ，R22得) m
Jz
1 2
m(
R12
R22 )
h
21
5．实验法 思考：如图所示复摆如何确定对转轴的转动惯量？
1.平移
ai aC
rC
miri M
F g,F 1 g, 2,F g nF R g
,
F R gF g im ia i M a C
M g o m 0 ( F g ) i r i m i a i (m i r i ) a C
M r C a C r C ( M a C ) r C F Rg
力系平衡条件
Fi(e) Fi(i) Fgi 0 mo (Fi(e) ) mo (Fi(i) ) mo (Fgi ) 0
注意内力力系自相平衡
Fi(i) 0 mo (Fi(i) ) 0
推得
Fi(e) Fgi 0 mo (Fi(e) ) mo (Fgi ) 0
h
12
解：1. 研究重物H
Fy 0
Fg1m1a12m1a
P1TFg10
2. 研究三角板BCK
Fy 0
Tsi4 n5P 2Fg20
3. 运动学补充方程
vBco2s vH 0
aB t co2sv4B 2 lsin2aH0
h
13
2.定轴转动（平面）
F g1,F g2, ,F gn 向转轴O简化
质点系统动力学方程
F x ( e ) F gx 0
F y ( ) F gy 0
理论力学第13章动静法
5
用动静法求解动力学问题时，
FixA FixN FixI 0 对平面任意力系： FiyA FiyN FiyI 0 N I A M O ( F i ) M O ( Fi ) M O ( Fi ) 0
对于空间任意力系：
N I F F F 0 , M x ( F ) M x ( Fi ) M x ( Fi ) 0 N I A A N I Fiy Fiy Fiy 0 , M y ( F i ) M y ( Fi ) M y ( Fi ) 0 N I A A N I Fiz Fiz Fiz 0 , M z ( F i ) M z ( Fi ) M z ( Fi ) 0
12
向O点简化：（转轴） n FI MaC M (aC aC )
n FI
O
FI
M IO
C
aC n aC
M IO J O
作用在O点。
向质点C点简化： n FI MaC M (aC aC )
M IC J C
求:基础与地角螺钉给电动机总的约束力.
17
解:
F F M
x
0,
0, 0,
Fx FI sin 0
FI me
2
y
Fy (m1 m2 ) g F1 cos 0 M m2 ge sin F1h sin 0
A
因
t , 得
作用在C点。
FI
O
aCn
C
aC
M IC
n FI
用动静法求解动力学问题时，
FixA FixN FixI 0 对平面任意力系： FiyA FiyN FiyI 0 N I A M O ( F i ) M O ( Fi ) M O ( Fi ) 0
对于空间任意力系：
N I F F F 0 , M x ( F ) M x ( Fi ) M x ( Fi ) 0 N I A A N I Fiy Fiy Fiy 0 , M y ( F i ) M y ( Fi ) M y ( Fi ) 0 N I A A N I Fiz Fiz Fiz 0 , M z ( F i ) M z ( Fi ) M z ( Fi ) 0
12
向O点简化：（转轴） n FI MaC M (aC aC )
n FI
O
FI
M IO
C
aC n aC
M IO J O
作用在O点。
向质点C点简化： n FI MaC M (aC aC )
M IC J C
求:基础与地角螺钉给电动机总的约束力.
17
解:
F F M
x
0,
0, 0,
Fx FI sin 0
FI me
2
y
Fy (m1 m2 ) g F1 cos 0 M m2 ge sin F1h sin 0
A
因
t , 得
作用在C点。
FI
O
aCn
C
aC
M IC
n FI
理论力学08_5动力学建模的动静法
mF NF IFm a图8-7 质点的惯性力§8.2 动力学建模的动静法1 惯性力 • 达朗贝尔原理设一质量为m ，加速度为a 的非自由质点在一固定的曲线上运动，作用于质点的主动力为F ，约束力为F N ，如图8-7所示。
根据牛顿第二定律，有N F F a +=m (8.2.1) 将上式移项后写为 0=−+a F F m N (8.2.2)令 a F m −=I (8.2.3)F 1具有力的量纲，称为质点的惯性力，于是可将方程(8.2.2)写成 0=++I N F F F (8.2.4) 惯性力的大小等于质点的质量与加速度的乘积，方向与质点加速度的方向相反。
式(8.2.4)表明 质点运动的每一瞬时，作用在质点的主动力、约束力和惯性力在形式上构成一平衡力系。
这就是质点的达朗贝尔原理。
实际上，方程(8.2.4)是牛顿定律的另一种表达形式。
引进虚拟的惯性力之后，就可以将动力学问题在形式上转化为静力学问题来处理，因此这种方法称为动静法。
惯性力是力学中的重要概念之一。
在达朗贝尔原理中，惯性力是体现运动惯性的力学量，是人为地将二阶运动量表示成力的形式，虚拟地施加在运动的物体上。
在§8.3中非惯性系中研究动力学问题时，为了将非惯性系中的动力学运动定律在形式上化成与惯性系中的动力学运动定律一致，也引入了虚拟的惯性力。
这两种惯性力有共同点，都是假想惯性力作用在运动物体上。
但是，在运动物体上并不真实存在这样的作用力。
因为真实的力是物体之间的机械作用，能使物体的运动状态发生改变。
惯性力不能改变物体自身的运动状态，不符合作用与反作用定律(牛顿第三定律)，所以惯性力不是真实的力，是假想的力。
但是，这两种惯性力又有概念上的差别．在达朗贝尔原理中，我们讨论的是物体的绝对运动，即讨论物体相对于某个取定的惯性系的运动。
作用在运动物体上的惯性力，只取决于物体的绝对加速度。
在非惯性系中，我们讨论的是物体的相对运动，存在着定坐标系(惯性系)和动坐标系(非惯性系)。
名校课件 理论力学 动力学 第四章 动静法
2
2
22
4
2
5 2
mvdv
FAvdt
5 2
mv
dv dt
FAv
dv dt
aC
5 2
maC
FA
mf (g aC tan ) 2(1 f tan )
aC
5
4
fg
f tan
19
取圆盘为研究对象
Foy
r aO
Fox
O
mg
aO
Jc Fr
F
FN
aC
fg
5 4 f tan
aO
1 F 2 maC
16
一个自由度
aC
ao r
O
u
A
六个未知力
FNA FA A
FIc
mg
Fox Foy
Foy ' MIo
Fox ' O
mg
FIo
F
FN
17
研
FA fFNA
究
Foy O
Fox
OA
杆
FA A
FNA
mg
mg FIc
应用动静法： Mo 0
mg
L cos
2
FIc
L sin 2来自FALsin FNAL cos
L 2
FI
L 2
cos
FI
L 2
s in
0
FB
mg 2
(sin
cos )
Fy 0 FB FA mg cos 0
FA
mg 2
(cos
sin
)
13
问题：已若绳索B变为弹簧，如何求水平线切断后的瞬时，板 质心加速度和绳索A的拉力。
理论力学第十四章达朗贝尔原理(动静法)课件
动静法的物理意义
物理背景
实际应用
达朗贝尔原理反映了牛顿第二定律在 静力学中的应用，通过引入惯性力， 将动力学因素考虑到平衡问题中。
在工程实际中，达朗贝尔原理广泛应 用于分析高速旋转的机械、振动系统 以及瞬态动力学问题。
意义阐述
通过动静法，我们可以分析在某一瞬 时，运动系统由于惯性作用而产生的 力，从而更准确地描述系统的平衡条 件。
03
在应用动静法时，要确 保惯性力与主动力相平 衡，避免出现误差。
04
在求解方程时，要注意 解的物理意义和实际情 况是否相符。
04
CATALOGUE
达朗贝尔原理的应用实例
简单实例解析
总结词
通过一个简单的实例，介绍达朗 贝尔原理的基本应用。
详细描述
以一个单摆为例，运用达朗贝尔 原理分析其运动状态，通过对比 理论计算和实验结果，验证达朗 贝尔原理的正确性。
具体推导过程
在受力分析的基础上，列出系统的平 衡方程。
解出未知数，得到系统的运动状态。
将动静法应用于平衡方程，将惯性力 与主动力相平衡。具体来说，就是在 平衡方程中加入惯性力项，使得该力 与主动力相平衡。
推导过程中的注意事项
01
确定研究对象和系统时 要明确，避免出现混淆 。
02
在建立平衡方程时，要 确保所有力的方向和大 小都正确。
理论力学第十四章 达朗贝尔原理(动静 法)课件
contents
目录
• 达朗贝尔原理概述 • 达朗贝尔原理的基本概念 • 达朗贝尔原理的推导过程 • 达朗贝尔原理的应用实例 • 达朗贝尔原理的扩展与深化
01
CATALOGUE
达朗贝尔原理概述
达朗贝尔原理的定义
11理论力学达朗贝尔原理
三、 质点系的达朗贝尔原理
设质点系由n个质点组成，其中任意质点i的质量为mi， 加速度为ai。
（1）若把作用于此质点上的所有力分为主动力的合
力Fi、约束力的合力FNi，再虚拟加上此质点的 惯性力FIi= –miai。
由质点的达朗贝尔原理，有
Fi+ FNi+ FIi =0 （11－3） 该式表明：质点系中每个质点上作用的主动力、
F x 0,FIi cosi FA 0OFLeabharlann y 0,FIi sini FB 0
而
FIi = miain
m
2R
Ri
R 2
R Δθi
θi
FIi
B
x
FB
19
11.1 惯性力•达朗贝尔原理
令 Δθi
0，有
FIi
cosi
2 0
m
2
R 2
cosd
mR 2 2
FIi
sini
2 0
m
2
R 2 sind
例11－3 飞轮质量为m，半径为R，以匀角速度ω定轴 转动，设轮辐质量不计，质量均布在较薄的轮缘上，不考 虑重力的影响，求轮缘横截面的张力。
y
A
R O
B
x
18
11.1 惯性力•达朗贝尔原理
解：由于对称，取四分之一轮 缘为研究对象，如图所示。
轮缘横截面张力设为FA、FB。
y
FA
A
取圆心角为Δθi的微小弧段， 每段 加惯性力FIi。 列平衡方程
FIi 0
故
i 1 n
i 1 n
MO (Fi(e) ) MO (FIi ) 0
i 1
i 1
(14-4)
理论力学达朗贝尔原理(动静法)
miri cosi zi (miri 2 sin i zi )
由
cos
i
xi ri
,
sin i
yi ri
有 MI x mix iz i2 m i y iz i
记 Jyz m i y iz i, Jxz m i x iz i
称对 y、z 轴的惯性积， 对x、z 轴的惯性积。
M Ix J xz J yz 2
已知: P, R, J , a, m.
求：支座A，B受到的附加约束力。
解 ： FI ma
MI0
J
J
a R
M B 0 mgl2 FIl2 Pl3 M IO FAl1 l2 0
Fy 0 FA FB mg P FI 0
解得：FA
l1
1
l2
mgl2
Pl3
a
ml2
J R
第十五章 达朗贝尔原理(动静法)
§15-1 惯性力·质点的达朗贝尔原理
一、惯性力的概念
人用手推车 F ' F ma
力 F '是由于小车具有惯性，力图保持其原
有的运动状态，对于施力物体(人手)产生 的反抗力。称为小车的惯性力。
定义：质点惯性力
FI m a
质点惯性力的大小等于质点的质量与加速度的乘积，方
Fz 0 FBz FRz 0
M x 0 FB yOB FAyOA M x M I x 0
M y 0 FAxOA FBxOB M y M I y 0
解得
FAx
1 AB
M y FRxOB M Iy FIxOB
FAy
1 AB
M x FRyOB M Ix FIyOB
由 miar mi ar mar
由
cos
i
xi ri
,
sin i
yi ri
有 MI x mix iz i2 m i y iz i
记 Jyz m i y iz i, Jxz m i x iz i
称对 y、z 轴的惯性积， 对x、z 轴的惯性积。
M Ix J xz J yz 2
已知: P, R, J , a, m.
求：支座A，B受到的附加约束力。
解 ： FI ma
MI0
J
J
a R
M B 0 mgl2 FIl2 Pl3 M IO FAl1 l2 0
Fy 0 FA FB mg P FI 0
解得：FA
l1
1
l2
mgl2
Pl3
a
ml2
J R
第十五章 达朗贝尔原理(动静法)
§15-1 惯性力·质点的达朗贝尔原理
一、惯性力的概念
人用手推车 F ' F ma
力 F '是由于小车具有惯性，力图保持其原
有的运动状态，对于施力物体(人手)产生 的反抗力。称为小车的惯性力。
定义：质点惯性力
FI m a
质点惯性力的大小等于质点的质量与加速度的乘积，方
Fz 0 FBz FRz 0
M x 0 FB yOB FAyOA M x M I x 0
M y 0 FAxOA FBxOB M y M I y 0
解得
FAx
1 AB
M y FRxOB M Iy FIxOB
FAy
1 AB
M x FRyOB M Ix FIyOB
由 miar mi ar mar
理论力学 第11章 达朗伯原理(动静法)
解： (1)绳FI 被剪断后，板在其自身平面内作
D
E
曲线平动，各点的速度、加速度均相同。 板受力如图。
∵剪断绳FI 瞬时，vA= 0，
FA
60° y FB
60°
A
aA
B
∴ aA = aA = aC 对板虚加惯性力， FI = maC
……①
FICຫໍສະໝຸດ bFG MIaC x
则根据达朗伯原理，有
∑FX = 0，
(2)当AD、BE铅直时,板受力如图。
设板质心的加速度如图。 虚加板的惯性力系，且
D
E
60°
FA l
FB
FIn=maCn ， FI =maC
……①
A
B
则根据达朗伯原理，有
aCn FFII C
∑ FX = 0， －FI = 0
……②
FG
aC MI
∑ FY = 0， FA+ FB －MI－FIn = 0 ……③
• 达朗伯原理将非自由质点系的动力学方程用静力学平衡方程的形式表述。 或者说，将事实上的动力学问题转化为形式上的静力学平衡问题，既所 谓“动静法”。
12.1 惯性力与达朗伯原理
图示圆锥摆摆长为l，摆锤M 的质量m，在水平面内 作匀速圆周运动，速度为v，锥摆的顶角为2φ。 摆锤 M 受力如图，其加速度为
i 1
i 1
② 在解决质点系动力学的两类基本问题上，达朗伯原理均适用。 但若已知质点系的运动，需要求解该系统的约束反力或外力时， 应用达朗伯原理尤其方便。
③ 应用达朗伯原理的关键是解决质点系的惯性力系的简化问题。
12.2 惯性力系的简化—— 一、刚体作平动
在同一瞬时，平动刚体内各点的加速度相等，
理论力学 第10章 达朗贝尔原理(动静法)
解： 取轮为研究对象
虚加惯性力系：
RQ maC mR
M QC JC m 2
O
由动静法，得：
23
X 0 , F T RQ 0
(1)
Y 0 , N mg S 0
(2)
mC (F )
0
, M
FR M QC
0
(3)
2
2
M F( R) T (4)
4
二、质点的达朗贝尔原理
非自由质点M，质量m，受主动力 F， 约束反力 N ，合力 R F N ma
F N ma 0
F N Q 0
质点的达朗贝尔原理
该方程对动力学问题来说只是 形式上的平衡，并没有改变动力学 问题的实质。采用动静法解决动力 学问题的最大优点，可以利用静力 学提供的解题方法，给动力学问题 一种统一的解题格式。
方向。 ④虚加惯性力。在受力图上画上惯性力和惯性力偶，一定要
在 正确进行运动分析的基础上。熟记刚体惯 性力系的简化结果。
26
⑤列动静方程。选取适当的矩心和投影轴。 ⑥建立补充方程。运动学补充方程（运动量之间的关系）。 ⑦求解求知量。
[注] RQ , MQO 的方向及转向已在受力图中标出，建立方程时， 只需按 RQ maC , MQO JO 代入即可。
5
[例1] 列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向
右作匀加速运动时，单摆左偏角度 ，相对于车厢静止。求车
厢的加速度 a 。 a
6
解： 选单摆的摆锤为研究对象 虚加惯性力 Q ma ( Q ma )
由动静法, 有
X 0 , mg sin Qcos 0
理论力学-第十三章动静法 共49页
1 2W g2v21 2(2 3W g1R 2)(R v)2T 0W 2s
2、运用动能定理，求加速度
12(W g223W g1)v2T0W2s
等式两边同时对t 求导得
CR W1 F
(W g2 32W g1)vddvt W2ddst
FN
ds v dt
a 2W2g 2W2 3W1
s
质点的达朗贝尔原理
作用在质点上的主动力和约束力与假想施加
在质点上的惯性力，形式上组成平衡力系。
§13-2 质点系的达朗贝尔原理
Fi(e)、Fi(i) 为质点 i 受的外力和内力
F(e) i
Fi(i)FIi 0
0
F Ii
F i(e )F i(i)F I i 0
0
F (e) i
mi
i
i
惯性力系的主矢等于刚体的质量与刚体质心
加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。
这一简化结果与运动形式无关。
惯性力系的主矩：惯性力系的主矩与刚体 的运动形式有关。
以下为针对三种刚体运动进行简化。
● 刚体平移时惯性力系简化
考虑惯性力系向O点简化：主矩MIO
MIO=∑ri×FIi =－∑ri×miai =－∑miri×ai
FOy FOx
O
vA
W2
3、对大圆轮应用动静法 加上惯性力系（向质心C简化） FI
FI
W1 g
a
MIC
1 W1 2g
R2
a R
C W1 FT
MIC
F FN
M C ( F ) 0 , F R M I C 0
F W2W1 2W2 3W1
§13-4 绕定轴转动刚体的轴承动约束力
理论力学 达朗贝尔原理(动静法)
惯性力系向质心简化得主矩为
M IC
1 P 2 J C l 12 g 1 P la A 12 g
B
FIe
O
C
FIrt
M IC
A
动力学
刚体惯性力系的简化
再向O点简化， 主矢不变
B
FIe
O
C
FIrt
M IC
P FIR aC g FIe FIr
主矩为
Fi(e)
O
Fi(i )
Ii
i
(e)
O
i
(i )
O ( FIi )
0
由于质点系的内力总是成对存在，且等值、反向、共线，有
F
(i )
i
0,
M
Ii
O
(Fi ) 0
(i )
则上式可改写为
F 0 M (F ) M
Fi(e)
O i (e)
O ( FIi )
0
动力学
动力学
达朗贝尔原理
§15-2 达朗贝尔原理
设有一质点系由n个质点组成，对每一个质点i，有
Fi FNi FIi 0 ( i 1,2,...... , n )
该式表明，质点系中每个质点上作用的主动力、约束反力和惯 性力在形式上构成平衡力系。这就是质点系的达朗贝尔原理。 把作用于I质点的所有力分为外力的合力Fi ，内力的合力Fi ，则
这种解答动力学问题的方法，也称动静法。
动力学
惯性力 的概念
§15-1
惯性力 的概念
如图，人用手推车时，车在加速运 动过程中，人会感到受到力的作用，这 个力是由于车具有惯性，力图保持原来 的运动状态对人产生的反抗力，称为惯 性力。 如下图质点m 的运动，由牛顿第二定律： ma F FN
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质点运动的每一瞬 时，作用于质点上的主 动力、约束反力，以及 虚加于该质点上的惯性力在形式上组成一个平衡力系。
该方程对动力学问题来说只是形式上的平衡，并没有 改变动力学问题的实质。采用动静法解决动力学问题的最 大优点，可以利用静力学提供的解题方法，给动力学问题 一种统一的解题格式。
[例1] 列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向
的简单情况。
直线 i : 平动， 过Mi点， Qi miai
空间惯性力系—>平面惯性力系（质量对称面）
O为转轴z与质量对称平面的交点，向O点简化：
主矢： 主矩：
RQ MaC
M QO mO (Qi )mO (Qi n ) ri miri 0 miri2 IO
(负号表示与反向)
向O点简化：
RQ MaC
计的原理。
§15-2 质点系的达朗伯原理
设有一质点系由n个质点组成，对每一个质点，有 Fi Ni Qi 0 ( i1,2,......,n )
对整个质点系，主动力系、约束反力系、惯性力系形式上 构成平衡力系。这就是质点系的达朗伯原理。可用方程表示为：
Fi Ni Qi 0 mO (Fi )mO (Ni )mO (Qi )0
注意到 Fi(i) 0 , mO (Fi(i) )0 , 将质点系受力按内力、外力
划分, 则
Fi(e) Qi 0 mO (Fi(e) )mO (Qi )0
表明：对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程，只 是质点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。
Qi
mi
ai
MaC
d dt
(mi
vi
)
dK dt
mC (F )0 , mC (F (e) ) M QC 0
实质上：
M
d 2 xC dt 2
X
(e)
,
M
d 2 yC dt 2Y(),IC
d 2
dt 2
mC
(
F
(e
)
)
[例1] 均质杆长l ,质量m, 与水平面铰接, 杆由与平面成0角位
置静止落下。求开始落下时杆AB的角加速度及A点支座反力。
解： ① 选杆AB为研究对象 ② 受力分析如图；
力 F '是由于小车具有惯性，力图保持原来
的运动状态，对于施力物体(人手)产生的
反抗力。称为小车的惯性力。
⒈ 质点惯性力定义
Q ma
当质点受到其他物体的作用而引起运动状态变化时，由 于质点本身的惯性而引起了对施力物体的反抗力，这种反抗 力称为该质点的惯性力。
⒉ 注意 质点惯性力不是作用在质点上的力，它是质点作用在施 力物体上的反作用力的合力。
本章重点、难点
⒈重点
惯性力的概念，平动、 定轴转动和平面运动刚 体惯性力系的简化。
质点系的达朗伯原理。 用质点系的达朗伯原理求解动力学问题。
⒉难点
惯性力系的简化。 惯性积和惯性主轴的概念。
本章介绍动力学的一个重要原理——达朗伯原理。应 用这一原理，就将动力学问题从形式上转化为静力学问题， 从而根据关于平衡的理论来求解。因而，这种解答动力学 问题的方法，也称动静法。
无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与质 心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。
一、刚体作平动
向质心C简化： RQ MaC
MQC mC (Qi )ri (miaC )miri aC 0
刚体平动时惯性力系合成为一过质心的合惯性力。
RQ Mac
二、定轴转动刚体 先讨论具有垂直于转轴的质量对称平面
⒊ 惯性力的投影
Qx
max
m
d2x dt 2
Qy
may
m
d2y dt 2
Qz
maz
m
d2z dt 2
Q
ma
m
d 2s dt 2
Qn
man
m
v2
Qb mab 0
二、质点的达朗伯原理
非自由质点M，质量m，受主动力 F， 约束反力 N ，合力 R F N ma
F N ma 0
F N Q 0
— 质点的达朗伯原理
实际应用时, 同静力学一样任意选取研究对象, 列平衡方 程求解。
§15-3 刚体惯性力系的简化
简化方法就是采用静力学中的力系简化的理论。将虚拟的
惯性力系视作力系向任一点O简化而得到一个惯性力RQ 和一个 惯性力偶 MQO 。
RQ Q ma MaC MQO mO (Q )
与简化中心无关 与简化中心有关
MQO IO
作用在O点
向质点C点简化：
RQ MaC
M QC IC
作用在C点
讨论： ①刚体作匀速转动，转轴不通过质点C 。RQ me 2
讨论：
②转轴过质点C，但0，惯性力偶 MQ IC （与反向）
讨论： ③刚体作匀速转动，且转轴过质心，则 RQ 0 , MQC 0
（主矢、主矩均为零）
三、刚体作平面运动 假设刚体具有质量对称平面，并且平行于该平面作平面运
mO
(Qi
)
mO
(mi
ai
)
ddt
mO
(mi
vi
)
dLO dt
用动静法求解动力学问题时，
对平面任意力系：
X i(e) Qix 0 Yi(e) Qiy 0 mO (Fi(e) )mO (Qi )0
对于空间任意力系：
X i(e) Qix 0 , mx (Fi(e) )mx (Qi )0 Yi(e) Qiy 0 , my (Fi(e) )my (Qi )0 Zi(e) Qiz 0 , mz (Fi(e) )mz (Qi )0
动。此时，刚体的惯性力系可先简化为对称平面内的平面力系。
刚体平面运动可分解为
随基点（质点C）的平动： RQ MaC
绕通过质心轴的转动：MQC IC
RQ MaC
MQC IC
作用于质心
对于平面运动刚体：由动静法可列出如下三个方程：
X 0 ,
X (e) RQx 0
Y 0 ,
Y (e) RQy 0
右作匀加速运动时，单摆左偏角度 ，相对于车厢静止。求车
厢的加速度 a 。
解：
① 选单摆的摆锤为研究对象； ② 受力分析如图；
③ 虚加惯性力 Q ma
④ 取投影轴x如图； ⑤ 根据达朗伯原理求解：
X 0 , mgsin Qcos 0
解得
a g tg
角随着加速度 a 的变化而变化，当 a 不变时， 角也 不变。只要测出 角，就能知道列车的加速度 a 。摆式加速
第十五章 达朗伯原理 §15–1 惯性力的概念 ·质点的达朗伯原理 §15–2 质点系的达朗伯原理 §15–3 刚体惯性力系的简化 §15–4 定轴转动刚体的轴承动反力
静平衡与动平衡的概念 达朗伯原理的应用
§15-1 惯性力的概念 ·质点的达朗伯原理
一、惯性力的概念
人用手推车 F ' F ma
该方程对动力学问题来说只是形式上的平衡，并没有 改变动力学问题的实质。采用动静法解决动力学问题的最 大优点，可以利用静力学提供的解题方法，给动力学问题 一种统一的解题格式。
[例1] 列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向
的简单情况。
直线 i : 平动， 过Mi点， Qi miai
空间惯性力系—>平面惯性力系（质量对称面）
O为转轴z与质量对称平面的交点，向O点简化：
主矢： 主矩：
RQ MaC
M QO mO (Qi )mO (Qi n ) ri miri 0 miri2 IO
(负号表示与反向)
向O点简化：
RQ MaC
计的原理。
§15-2 质点系的达朗伯原理
设有一质点系由n个质点组成，对每一个质点，有 Fi Ni Qi 0 ( i1,2,......,n )
对整个质点系，主动力系、约束反力系、惯性力系形式上 构成平衡力系。这就是质点系的达朗伯原理。可用方程表示为：
Fi Ni Qi 0 mO (Fi )mO (Ni )mO (Qi )0
注意到 Fi(i) 0 , mO (Fi(i) )0 , 将质点系受力按内力、外力
划分, 则
Fi(e) Qi 0 mO (Fi(e) )mO (Qi )0
表明：对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程，只 是质点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。
Qi
mi
ai
MaC
d dt
(mi
vi
)
dK dt
mC (F )0 , mC (F (e) ) M QC 0
实质上：
M
d 2 xC dt 2
X
(e)
,
M
d 2 yC dt 2Y(),IC
d 2
dt 2
mC
(
F
(e
)
)
[例1] 均质杆长l ,质量m, 与水平面铰接, 杆由与平面成0角位
置静止落下。求开始落下时杆AB的角加速度及A点支座反力。
解： ① 选杆AB为研究对象 ② 受力分析如图；
力 F '是由于小车具有惯性，力图保持原来
的运动状态，对于施力物体(人手)产生的
反抗力。称为小车的惯性力。
⒈ 质点惯性力定义
Q ma
当质点受到其他物体的作用而引起运动状态变化时，由 于质点本身的惯性而引起了对施力物体的反抗力，这种反抗 力称为该质点的惯性力。
⒉ 注意 质点惯性力不是作用在质点上的力，它是质点作用在施 力物体上的反作用力的合力。
本章重点、难点
⒈重点
惯性力的概念，平动、 定轴转动和平面运动刚 体惯性力系的简化。
质点系的达朗伯原理。 用质点系的达朗伯原理求解动力学问题。
⒉难点
惯性力系的简化。 惯性积和惯性主轴的概念。
本章介绍动力学的一个重要原理——达朗伯原理。应 用这一原理，就将动力学问题从形式上转化为静力学问题， 从而根据关于平衡的理论来求解。因而，这种解答动力学 问题的方法，也称动静法。
无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与质 心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。
一、刚体作平动
向质心C简化： RQ MaC
MQC mC (Qi )ri (miaC )miri aC 0
刚体平动时惯性力系合成为一过质心的合惯性力。
RQ Mac
二、定轴转动刚体 先讨论具有垂直于转轴的质量对称平面
⒊ 惯性力的投影
Qx
max
m
d2x dt 2
Qy
may
m
d2y dt 2
Qz
maz
m
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Q
ma
m
d 2s dt 2
Qn
man
m
v2
Qb mab 0
二、质点的达朗伯原理
非自由质点M，质量m，受主动力 F， 约束反力 N ，合力 R F N ma
F N ma 0
F N Q 0
— 质点的达朗伯原理
实际应用时, 同静力学一样任意选取研究对象, 列平衡方 程求解。
§15-3 刚体惯性力系的简化
简化方法就是采用静力学中的力系简化的理论。将虚拟的
惯性力系视作力系向任一点O简化而得到一个惯性力RQ 和一个 惯性力偶 MQO 。
RQ Q ma MaC MQO mO (Q )
与简化中心无关 与简化中心有关
MQO IO
作用在O点
向质点C点简化：
RQ MaC
M QC IC
作用在C点
讨论： ①刚体作匀速转动，转轴不通过质点C 。RQ me 2
讨论：
②转轴过质点C，但0，惯性力偶 MQ IC （与反向）
讨论： ③刚体作匀速转动，且转轴过质心，则 RQ 0 , MQC 0
（主矢、主矩均为零）
三、刚体作平面运动 假设刚体具有质量对称平面，并且平行于该平面作平面运
mO
(Qi
)
mO
(mi
ai
)
ddt
mO
(mi
vi
)
dLO dt
用动静法求解动力学问题时，
对平面任意力系：
X i(e) Qix 0 Yi(e) Qiy 0 mO (Fi(e) )mO (Qi )0
对于空间任意力系：
X i(e) Qix 0 , mx (Fi(e) )mx (Qi )0 Yi(e) Qiy 0 , my (Fi(e) )my (Qi )0 Zi(e) Qiz 0 , mz (Fi(e) )mz (Qi )0
动。此时，刚体的惯性力系可先简化为对称平面内的平面力系。
刚体平面运动可分解为
随基点（质点C）的平动： RQ MaC
绕通过质心轴的转动：MQC IC
RQ MaC
MQC IC
作用于质心
对于平面运动刚体：由动静法可列出如下三个方程：
X 0 ,
X (e) RQx 0
Y 0 ,
Y (e) RQy 0
右作匀加速运动时，单摆左偏角度 ，相对于车厢静止。求车
厢的加速度 a 。
解：
① 选单摆的摆锤为研究对象； ② 受力分析如图；
③ 虚加惯性力 Q ma
④ 取投影轴x如图； ⑤ 根据达朗伯原理求解：
X 0 , mgsin Qcos 0
解得
a g tg
角随着加速度 a 的变化而变化，当 a 不变时， 角也 不变。只要测出 角，就能知道列车的加速度 a 。摆式加速
第十五章 达朗伯原理 §15–1 惯性力的概念 ·质点的达朗伯原理 §15–2 质点系的达朗伯原理 §15–3 刚体惯性力系的简化 §15–4 定轴转动刚体的轴承动反力
静平衡与动平衡的概念 达朗伯原理的应用
§15-1 惯性力的概念 ·质点的达朗伯原理
一、惯性力的概念
人用手推车 F ' F ma