函数思想在中学数学中的应用-(2)
函数思想在中学数学解题中的应用
函数思想在中学数学解题中的应用数学科组 周晓兰函数是中学数学中最为重要的内容。
函数思想更是中学数学的一种基本思想,在解题中有着广泛的应用,是历年来高考考查的重点。
函数的思想,是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决。
函数思想是对函数概念的本质认识,用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。
函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面:①借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题;②在问题研究中通过建立函数关系式或构造中间函数,把研究的问题化为讨论函数的有关性质,达到化难为易,化繁为简的目的。
下面我就结合近几年全国各地高考题来具体谈谈函数在解题中的应用。
1 利用函数的单调性证明不等式例1 (2010年高考数学辽宁卷﹒文)已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++. (Ⅰ)讨论函数()f x 的单调性;(Ⅱ)设2a ≤-,证明:对任意12,(0,)x x ∈+∞,1212|()()|4||f x f x x x -≥-. 分析:(1)略;(2)当我们看到要证明的不等式时,有绝对值,就要利用第(1)问分析出的单调性却绝对值,转化后再引入辅助函数帮助证明。
解:(Ⅰ) f (x )的定义域为(0,+∞),2121()2a ax a f x ax x x+++'=+=. 当a ≥0时,()f x '>0,故f (x )在(0,+∞)单调增加;当a ≤-1时,()f x '<0, 故f (x )在(0,+∞)单调减少;当-1<a <0时,令()f x '=0,解得x当x ∈(0, 时, ()f x '>0;x ∈+∞)时,()f x '<0故f (x )在(0,+∞)单调减少. (Ⅱ)不妨假设x 1≥x 2.由于a ≤-2,故f (x )在(0,+∞)单调减少. 所以1212()()4f x f x x x -≥-等价于12()()f x f x -≥4x 1-4x 2,即f (x 2)+ 4x 2≥f (x 1)+ 4x 1.令g (x )=f (x )+4x ,则1()2a g x ax x +'=++4=2241ax x a x+++. 于是()g x '≤2441x x x -+-=2(21)x x--≤0. 从而g (x )在(0,+∞)单调减少,故g (x 1) ≤g (x 2),即 f (x 1)+ 4x 1≤f (x 2)+ 4x 2,故对任意x 1,x 2∈(0,+∞) ,1212()()4f x f x x x -≥-. 2 利用函数的单调性求参数的取值范围例2 (2011年高考数学北京卷﹒理)18.已知函数k xe k x xf 2)()(-=.(1)求)(x f 的单调区间; (2)若对0(∈∀x ,)∞+,都有ex f 1)(≤,求k 的取值范围。
函数在初中数学教学中的地位
函数在初中数学教学中的地位作者:张登健来源:《考试与评价》2018年第10期【摘要】在初中数学教学内容中,函数教学十分关键,是中学数学教学的核心内容。
学习函数思想和应用方法有利于培养学生的逻辑思维能力,提高学生分析问题和解决问题的能力。
因此初中数学教学应该加大对函数思想及应用方法的研究,从而提高学生的数学学习效率。
【关键词】函数初中数学教学在初中数学教学中,函数是其核心内容,函数的教学可以反映出客观世界中量与量之间的关系以及事物的发展规律和趋势。
通过函数思想对初中教学内容进行有效的观察,有利于提高初中数学教学质量。
本文从函数概念、函数符号以及函数表达形式三个方面来说明函数在初中数学教学中的重要性。
一、函数在初中数学课程中的地位在数学领域中,函数是中学数学教学的基础,函数贯穿于初中教学的始终。
函数思想主要是通过对客观世界事物的运动、变量以及曲线的数学描述而产生的,在这个数学教学中,函数的概念和方法都是处于核心地位的。
在中学数学教学中,函数是微积分研究的对象,函数的图像是集合图形,通过对函数应用方法的研究可以了解各种事物之间的变化和关系,了解事物发展的趋势和规律。
在初中数学教学中,很多教学内容都与函数息息相关。
初中函数教学具有承上启下的作用,初中生学习函数知识,学习函数应用方法和应用思想有利于与初中数学中其他知识结合在一起学习,培养学生的思维能力、创新意识和解决问题的能力。
鉴于函数在初中数学教学中的重要性,初中数学老师应该加大对函数教学思想和教学方法的研究,虽然初中函数教学涉及的知识面和范围都比较窄,但是对于初中生而言他们的思维发展水平还比较低,还处于内容与形式分开的思维,无法对函数的文字内容以及图像内容进行分析,无法运用函数的思想来分析问题、解决问题。
初中数学老师应该提高函数教学能力,让初中生更好的学习函数概念和应用方法,用函数的思想去分析问题、解决问题。
二、举例说明函数在初中数学教学中的作用1.函数概念学习对初中数学教学的作用在数学学习中,最重要的是推理能力,推理的基础是对概念的了解,学习概念有利于开展其他数学活动。
中学数学中的函数思想
中学数学中的函数思想作者:郭海来源:《读写算》2012年第10期【摘要】函数部分知识是高中数学知识基础,也是高考命题重点之一,函数的思想方法是贯穿于整个高中数学的一条主线.是中学数学最重要的、最基本的数学思想方法之一,函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。
函数的思想,就是用运动变化的观点,分析和研究具体问题中的数量关系,建立函数关系,运用函数的知识,使问题得到解决.这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本质特征,重在对问题的变量的动态研究,从变量的运动变化,联系和发展角度拓宽解题思路。
【关键词】中学数学教育;函数思想方法;函数关系;单调性;周期性;奇偶性;一、引言函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。
函数是中学数学的一个重要概念,它渗透在数学的各部分内容中,一直是高考的热点、重点内容。
函数的思想,就是用运动变化的观点,分析和研究具体问题中的数量关系,建立函数关系,运用函数的知识,使问题得到解决.这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本质特征,重在对问题的变量的动态研究,从变量的运动变化,联系和发展角度拓宽解题思路。
函数的思想方法是贯穿于整个高中数学的一条主线.是中学数学最重要的、最基本的数学思想方法之一,故有“函数乃高中数学之纲”说法。
函数的思想方法就是运用运动和变化的观点, 集合和对应的思想, 去分析问题的数量关系, 通过类比、联想、转化合理地构造函数, 运用函数的图象和性质, 使问题获得解决.函数思想是一种考虑对应、考虑运动变化、相依关系,以一种状态确定地刻画另一种状态,由研究状态过渡到研究变化过程的思想方法,函数思想的本质在于建立和研究变量之间的对应关系。
用函数的观点、方法研究问题的方法:将非函数问题转化为函数问题,建立函数关系,研究这个函数,得出相应的结论。
实际上,函数方法就是RMI(关系映射反演则)的一个具体体现,应用函数思想方法解答数学习题的过程可用框图表示为:二、中学数学中的函数思想中学数学主要学习初等函数,由幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数与常数经过有限次的有理运算(加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方)及有限次函数复合所产生、并且在定义域上能用一个解析式表示的函数。
函数在整个中学数学知识体系中的地位及作用
函数在整个中学数学知识体系中的地位及作用函数是中数学学习的重点和难点,函数的思想贯穿于整个中数学之中。
本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上,进一步研究指数函数,以及指数函数的图像与性质,它一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识,使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法,同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用,研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的基础。
因此,本节课的内容十分重要,它对知识起到了承上启下的作用。
我本节课说课的内容是高中数学第一册第二章第六节“指数Array函数”的第一课时——指数函数的定义,图像及性质。
我将尝试运用新课标的理念指导本节课的教学。
新课标指出,学生是教学的主体,教师的教要应本着从学生的认知规律出发,以学生活动为主线,在原有知识的基础上,建构新的知识体系。
我将以此为基础从教材分析,教学目标分析,教法学法分析和教学过程分析这几个方面加以说明。
一、教材分析1、教材的地位和作用函数是高中数学学习的重点和难点,函数的思想贯穿于整个高中数学之中。
本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上,进一步研究指数函数,以及指数函数的图像与性质,它一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识,使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法,同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用,研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的基础。
因此,本节课的内容十分重要,它对知识起到了承上启下的作用。
2、教学的重点和难点根据这一节课的内容特点以及学生的实际情况,学生对抽象的指数函数及其图象缺乏感性认识。
为此,在教学过程中让学生自己去感受指数函数的生成过程以及图象和性质是这一堂课的突破口。
因此,指数函数的图像、性质及其运用作为教学重点,本节课的难点是指数函数图像和性质的发现过程,及指数函数图像与底的关系。
3、课前思考与准备包括学生在学习新课前的知识储备,和能力储备,这不意味着我们形式化的给予学生一个预习任务,所以我将通过课前思考题让问题引领学生自觉地投入对新知识的探究之中。
(完整版)数学思想方法在中学教学中的应用
数学思想方法在中学教学中的应用数学与统计学院张春月全日制普通高级中学数学教学大纲中规定:“高中数学的基础知识主要是高中数学中的概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映出来的数学思想和方法。
”义务教育数学新大纲指出:“初中数学的基础知识主要是代数、几何中的概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法。
”把数学知识中的数学思想和方法纳入基础知识范畴,这充分体现了我国数学教育工作者对于数学课程发展的一个共识。
这不仅是加强数学素养培养的一项举措,也是数学基础教育现代化进程的必然要求。
一、中学数学思想方法的主要内容中学数学中的基本数学思想如下。
两大“基石”思想:符号化与变元表示思想(换元思想、方程思想、参数思想) 与集合思想(分类思想、交集思想、补集思想) 。
两大“支柱”思想:对应思想(函数思想、变换思想、递归思想、数形结合思想) 与公理化与结构思想(公理化思想、结构思想、极限思想) 。
两大“主梁”思想:系统与统计思想(整体思想、分解组合思想、运动变化思想、最优化思想;随机思想、统计调查思想、假设检验思想、量化思想) 与化归与辩证思想(纵向化归、横向化归、同向化归、逆向化归思想, 对立统一、互变、一分为二思想) 。
中学数学中的基本数学方法如下。
五种科学认识方法:观察与实验,比较与分类,归纳与类比,想象、直觉与顿悟。
四种推理方法:综合法与分析法,完全归纳法与数学归纳法,演绎法,反证法与同一法。
三种求解方法:数学模型法,关系映射反演方法,构造法。
二、提高数学思想方法教学的意识性对数学思想方法教学缺乏意识性是一个较普遍的问题。
主要表现在:制定教学目的时,对具体知识、技能训练的教学要求比较明确,而忽视数学思想方法的教学要求;教学时,往往注重知识的结论,而削弱知识形成过程中思想方法的训练;知识应用时,又偏重于就题论题,忽视数学思想方法的揭示与提炼;小结复习时,只注意知识的系统整理,忽视思想方法的归纳提高等等,致使数学教学停留在较低的层次上。
函数思想在中学数学中的应用
函数思想在中学数学中的应用在中学代数的学习中,函数起着“纽带”的作用,特别是在近几年全国各地高考中,好多问题如数列问题多以压轴题的面目出现,且往往都体现出浓厚的函数背景和思想方法.这就要求我们在平时的学习中更加重视对函数的学习和理解,我们应掌握函数的概念、本质及相关性质.通过此篇文章希望大家可以深刻体会一下函数思想在中学数学中的应用.一,利用函数思想解决数列的问题数列是初等数学与高等数学的重要衔接点之一,由于数列问题的载体能力强,思维跨度大,知识的综合度高,往往能较好的考查学生在知识,方法和能力上的差异,拉开考生之间的距离.特别是在近几年全国各地高考中,数列问题多以压轴题的面目出现,且往往都体现出浓厚的函数背景和思想方法,这就要求我们平时多重视研究数列问题的函数本质.数列是定义在正整数集或其子集上的函数,因此我们应掌握各种基本数列所对应的函数及相关性质,习惯于用函数方法解题是很重要的.下面举例来看一下:例1.设等差数列{a n}的前n项和为S n,m,k∈N *,且m≠k,若S m=S k=a, 则S m+k =().-2a D. 0A. aB. 2aC.解析:由于{a n}是等差数列,所以S n是关于n的二次函数,设S n=f(n)=An 2+Bn(A≠0),∵S m=S k=a,∴f(m)=f(k),∴f(n)的对称轴为n=m+k2,∴f(m+k)=f(0)=0,即S m+k =0,选 D .评析:解本题的关键是建立目标函数f(n),因为等差数列的前n项和是关于n的二次函数,利用二次函数的对称性就可以解出这道题.二.利用函数思想解决解析几何问题在解析几何中常遇到动态型的问题。
在变化过程中,存在两个变量,我们常常把某一个看做自变量,另一个看做自变量的函数,通过明确函数的解析式,利用函数思想来研究和处理问题例2.若抛物线y=-x 2+mx-1和两端点为A(0,3),B(3,0)的线段AB有两个不同的交点,求m的取值范围.解析:线段AB的方程为y=-x+3(0≤x≤3)由y=-x 2+mx-1, y=-x+3(0≤x≤3)消去y得x 2-(m+1)x+4=0(0≤x≤3).∵抛物线和线段AB有两个不同的交点,∴方程x 2-(m+1)x+4=0在[0,3]上有两个不同的解.设f(x)=x 2-(m+1)x+4,则f(x)的图像在[0,3]上与x轴有两个不同的交点,∴Δ=(m+1) 2-16>0,0<m+12<3,f(0)=4>0,f(3)=9-3(m+1)+4≥0.解得3<m≤10三.利用函数思想解决不等式的问题在不等式的有关问题(计算、证明)中,函数的性质常常是有力的工具,利用函数的单调性、奇偶性等性质对题解十分有利,但在这方面往往是学生的缺陷.下面举两例来看一下:例3.已知不等式7x-2>m(x 2-1)对m∈[-2,2]恒成立,求实数x的取值范围.解析:设f(m)=(x 2-1)m-7x+2,f(m)是关于m的一个函数,其图像是直线.依题意,f(m)<0对m∈[-2,2]恒成立.当-2≤m≤2时,y=f(m)的图像是线段,该线段应该全部位于x轴下方,其充要条件是端点的纵坐标小于0,即f(-2)<0, f(2)<0,解得12<x<72.即适合题意的x的取值范围是(12,72)四。
高一数学 《对数函数及其性质(2)》公开课教案(教学反思、点评)
对数函数及其性质(2)一、教学内容分析函数是高中数学的主体内容——变量数学的主要研究对象之一,是中学数学的重点知识,研究函数的一般理论和基本方法,用函数的思想方法解决实际问题,是函数教学的主要目标。
本节课教学是学生在学过正比例函数、一次函数、二次函数、反比例函数和指数函数的基础上进一步学习的一种新函数,对对数函数概念的理解,图象和性质的掌握和应用有利于学生对初等函数认识的系统性,有利于进一步加深对函数思想方法的理解。
为后面进一步探究对数函数的应用及指数函数、对数函数的综合应用起到承上启下的作用。
二、学情与教材分析对数函数是高中引进的第二个初等函数,是本章的重点内容。
学生在前面的函数性质、指数函数学习的基础上,用研究指数函数的方法,进一步研究和学习对数函数的概念、图象和性质以及初步应用,有利于学生进一步完善初等函数的认识的系统性,加深对函数的思想方法的理解,在教学过程中,虽然学生的认知水平有限,但只要让学生体验对数函数来源于实践,通过教师课件的演示,通过数形结合,让学生感受y=log a x(a>0且a≠1)中,a取不同的值时反映出不同的函数图象,让学生观察、小组讨论、发现、归纳出图象的共同特征、函数图象的规律,进而探究学习对数函数的性质。
最后将对数函数、指数函数的图象和性质进行比较,以便加深对对数函数的概念、图象和性质的理解,同时也为后面教学作准备。
三、设计思想在本节课的教学过程中,通过古遗址上死亡生物体内碳14含量与生物死亡年代关系的探索,引出对数函数的概念。
通过对底数a的分类讨论,探究总结出对数函数的图象与性质,使学生经历从特殊到一般的过程,体验知识的产生、形成过程,通过例题的分析与练习,进一步培养学生自主探索,合作交流的学习方式,通过学生经历直观感知,观察、发现、归纳类比,抽象概括等思维过程,落实培养学生积极探索学习习惯,提高学生的数学思维能力的新课程理念。
四、教学目标1、通过对对数函数概念的学习,培养学生实践能力,使学生理解对数函数的概念,激发学生的学习兴趣。
中学数学课程与教学中的函数及其思想
中学数学课程与教学中的函数及其思想---史宁中教授访谈录20 世纪以来, 世界各国中学数学中关于代数的内容逐渐从以解方程为中心转到以研究函数为中心。
[1 ] 现在, 函数概念已经成为中学数学中最为重要的概念之一。
因此, 在中学数学课程改革中, 理解函数思想, 把握函数本质, 处理好函数的教学是很重要的。
针对上述问题, 我对史宁中教授进行了访谈, 下面是经过整理后的访谈记录。
一、函数及其思想问: 函数概念是中学数学中最重要的概念之一, 函数定义的形成经历了较长的演变过程,您可以谈谈函数定义的发展历史吗?▲史教授: 是的, 函数定义的形成确实经历了较长的时间。
即使在今天, 在我们数学教科书中, 函数的定义在初中、高中、大学还是有所不同的, 这也从一个侧面反映了函数定义的发展历史。
最初, 是德国数学家莱布尼茨(Leibniz)在他的一部手稿中, 用到了Function 一词。
是用来表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量, 例如, 切线、法线、次切线等的长度和纵坐标等, 那是在17 世纪(1673 年) 。
[2 ]到了18 世纪(1718 年) ,贝努利(Bernoulli)给出了函数的解析定义: 是由变量x 和常数组成的式子。
欧拉( Euler) 首先给出了函数的变量定义(1755 年) : “如果某变量以如下方式依赖于另一些变量, 即当后者变化时, 前者本身也发生变化, 则称前一个变量是后一些变量的函数。
”可以看到, 我国初中数学教科书中关于函数的定义就采用了这一说法。
后来, 黎曼(Riemann) 给出了函数的对应定义(1851 年) : “我们假定Z 是一个变量, 如果对它的每一个值, 都有未知量W 的一个值与之对应, 则称W 是Z 的函数。
”这可以被看作我国高中数学教科书中关于函数定义的雏形。
到了上个世纪(1939 年) , 布尔巴基学派认为, 函数的定义应当强调关系, 于是借用了笛卡儿积: 若X 、Y 是两个集合, 二者的笛卡儿积是指集合{ ( x , y | x ∈X , y ∈Y) } , 笛卡儿积中的子集F 被称为x 与y 之间的一种关系。
浅谈函数思想在高中数学中的应用
浅谈函数思想在高中数学中的应用函数的思想是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决.函数思想是对函数概念的本质认识,用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题.标签:函数思想;一元二次函数;数学模型就中学数学而言,函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面:一是借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题:二是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易,化繁为简的目的. 函数思想主要有:(1)引入变量,确定函数关系;(2)选定主元,揭示函数关系;(3)选取变元,构造函数关系;(4)实际问题,建立函数关系;(5)特殊函数,转化函数关系。
下面我们结合几个具体的例子来看看函数思想在高中数学中的具体应用。
例1.已知,(、、),则有()A. B. C. D.【点拨】解法一通过化简,敏锐地抓住了数与式的特点:看作是方程的一个实根,再利用一元二次方程有根的充要条件求得;解法二转化为是、的函数,运用重要不等式解题.【解答过程】解法一:依题设有∴是实系数一元二次方程的一个实根;∴∴故选B.解法二:去分母,移项,两边平方得:∴故选B.【易错点】不能合理地转化为是、的函数或构造来解题。
例2.已知,若关于的方程有实根,则的取值范围.【点拨】求参数的范围,可以先将分离出来,表示为的函数,求出函数的值域,进而得到参数的范围。
【解答过程】方程即,即当时,变为,故无解当时,变为,故当时,变为,故无解总之,的取值范围是例3.已知函数.(1)求函数的单调区间和极值;(2)已知函数的图象与函数的图象关于直线对称,证明当时,;(3)如果,且,证明.【点拨】(1)利用导数,列出表格,求函数的单调性与极值;(2)首先根据对称性求出的解析式,再构造函数,转化为只需利用单调性证明;(3)首先判断的范围,再利用前两问的结论单调性,要证,只需证【解答过程】(1)解:,令,解得当变化时,,的变化情况如下表:1+ 0 -极大值所以在内是增函数,在内是减函数。
如何运用函数思想对中学数学进行教学
如何运用函数思想对中学数学进行教学发表时间:2014-05-05T10:37:12.547Z 来源:《读写算(新课程论坛)》2013年10期(下)供稿作者:黄先刚[导读] X叫自变量,x的取值范围叫函数的定义域,和x的值对应的y的值叫函数值,函数值的集合叫做函数的值域。
”◇黄先刚(万源市职业高级中学万源 636350)【摘要】:数学思维蕴涵于数学思想之中,数学思想蕴涵于数学知识,数学方法和技能技巧之中,数学思想能使数学内容达到更高层次的和谐与统一。
【关键词】:函数中学数学教学运用在中学数学教学之中,不断加强数学思想的指导作用,不仅可以加深学生对所学知识的理解和掌握,而且可以提高学生的数学修养,发展思维能力,是提高数学教学质量的有效途径之一。
然而,我认为,在现代重要的数学思想中,在中学数学教学中的地位最高、作用最大的当属函数思想,现从以下几个方面谈点粗浅认识。
一、函数思想的特点函数思想集中体现在函数概念之中,初中课本里给出的函数定义是:“如果在变化过程中有两个变量x,y并且对于x在某一个范围内的每一个确定的值,按照某个对应法则,y都有唯一确定的值和它对应,那么y就是x的函数。
X叫自变量,x的取值范围叫函数的定义域,和x 的值对应的y的值叫函数值,函数值的集合叫做函数的值域。
”在高中课本里又用映射概念来阐明函数。
“上面所说的函数实际上就是集合A到集合B 的映射,其中,A、B都是非空数的集合。
”这两个定义都有局限性,前者属于函数的原始古典定义,突出“变量”,变量总是与时间有关,而时间在数学中还没有很好地定义过,因而,“变量”的含义也比较模糊,后者,突出了“映射”,更加接近于函数的近代定义,但强调“A、B是数的集合”即数集,使很多实际问题不好解释,显得狭隘,一个把“y”叫做x的函数,另一个把映射“f”叫做函数,显得有矛盾。
不是的,“y”是由定义域中的x通过对应法则来确定;而作为函数的映射f是指从定义域到值域的映射,理解函数总是把定义域(A),值域(B)对应法则(映射)三个要素作为一个整体来加以有机认识,因此,这两种说法,就无多在妨碍,把变量y作为x的函数,更具体,便于理解,对学生来讲是非常适宜的。
第六讲 函数与方程的思想方法
2014·高考专题辅导与训练
思想方法强化
文科
数学
函数与方程思想方法解决范围问题的技巧 1.此类题型在高考题中占较大的比重,且考查的知识 范围广,通常是某一个条件等式或某一个公式中含有未知量, 列出函数、不等式或方程(组),求解即可. 2.在解决此类型的问题时,一般会用到代数式的变形, 消元、换元、解方程、解不等式等基础知识和基本方法. 3.此类问题通常可以转化为函数的值域问题,方程的 解的问题或不等式的解集问题.
综上可得{x|x<-1,或 x>2}.
2014·高考专题辅导与训练
思想方法强化
文科
数学
解法二:原不等式可化为(x-2)m+(x-2)2>0, 1 令 f(m)=(x-2)m+(x-2) ,m∈[2,3]时,
2
有 f(m)的最小值大于 0,∵x=2 时,不成立. ∴ x≠2, 1 f >0, 2 f3>0, x≠2, 1 即2x-2+x-22>0, 3x-2+x-22>0,
2014·高考专题辅导与训练
思想方法强化
文科
数学
3.函数思想与方程思想的联系 函数思想与方程思想是密切相关的,如函数问题可以转 化为方程问题来解决;方程问题也可以转化为函数问题加以 解决,如解方程f(x)=0,就是求函数y =f(x)的零点,解不等 式f(x)>0(或f(x)<0),就是求函数y=f(x)的正负区间,再如方 程f(x)=g(x)的解的问题可以转化为函数 y=f(x)与y=g(x)的交 点问题,也可以转化为函数y=f(x)-g(x)与x轴的交点问题, 方程f(x)=a有解,当且仅当a属于函数f(x)的值域,函数与方 程的这种相互转化关系十分重要.
2014·高考专题辅导与训练
数学毕业论文--高中数学中的函数思想及应用
二、
概念是思维的基本形式之一,它反应事物的一般的、本质的特征。把人们感觉到的事物的共同特点抽象出来,加以概括,就成为概念。正确认识概念是一切科学思维的基础。概念本身的形式反映了人们对现实世界丰富而深刻的认识,因此深化概念教学,深刻揭示概念的内涵和外延的过程是培养学生思维深刻性的一个重要过程。
数学中,一般的题目是通过运算来完成的,但对概念的定义掌握得好坏将直接影响解题的质量。很多解题的隐含条件就存在于概念的定义中,同时概念的定义也可作为判定条件。然而有的学生在概念学习中存在一定的误区,认为概念的定义是死的,学习时一带而过,而解题方法是活的,应重点掌握。结果在解题中碰到困难时又得反过来学概念,这样,严重影响了解题的思路。如果一开始就对概念的定义和概念的分类有了清晰的理解,就会对题目的观察增加透明度,并且能丰富解题的方法,提高解题的能力。因此对函数有关概念只有做到准确、深刻地理解,才能正确、灵活地加以运用。
西南大学
本科毕业论文(设计)
题 目高中数学中的函数思想及应用
学 院理工学院
专 业数学
年 级2008级
学 号XXXXXXXXXX
姓 名DDDDDD函数思想及应用
摘要:函数是高中数学的一个重要的基本概念,它渗透在数学的各部分内容中。一直是高考的热点、重点内容。
This paper discusses the function of the theory of ideological function is the sublimation, and combined with a large number of examples describes the function in higher mathematics thought of all aspects of the application,and reveals the essence of the function of knowledge and awareness know the law of development.We in solving questions are not limited to just simply simulation, routines, and more is to create a himself to observe, exploration, research problem situation. In the ideas, understand principle, and on the basis of the specific pattern and problem solving method to set up the thought highly. This way can make our thinking get real development and deepening, complete function and the cultivation of thinking.
数学与应用数学毕业论文--函数与方程思想在中学数学中的应用
毕业论文(设计)文献综述毕业论文(设计)翻译文章函数与方程思想在中学数学中的应用目录中文摘要、关键词 (Ⅰ)1引言 (1)2 方程中的函数思想 (1)3 函数中的方程观点 (3)4函数与方程思想在中学数学中的应用 (5)4.1函数与方程思想在数列中的应用 (6)4.2函数与方程思想在三角中的应用 (7)4.3函数与方程思想在不等式中的应用 (8)4.4函数与方程思想在解析几何中的应用 (8)4.5函数与方程思想在二项式定理中的应用 (12)4.6函数与方程思想在概率中的应用 (12)4.7函数与方程思想在多元问题中的应用 (13)4.8讨论方程f(x)=0在某个区间上根的个数 (13)4.9函数与方程思想在复数问题中的应用 (14)参考文献 (15)英文摘要、关键词 (Ⅱ)函数与方程思想在中学数学中的应用摘要:函数的思想,就是用运动变化的观点,分析和研究具体问题中的数量关系,建立函数关系,运用函数的知识,使问题得到解决。
这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本质特征,重在对问题的变量的动态研究,从变量的运动变化,联系和发展角度拓宽解题思路。
和函数有必然联系的是方程,方程f (x)=0的解就是函数y=f (x)的图像与x 轴的交点的横坐标,函数y=f (x)也可以看作二元方程f (x)-y=0通过方程进行研究,要确定变化过程的某些量,往往要转化为求出这些量满足的方程,希望通过方程(组)来求得这些量。
这就是方程的思想,方程思想是动中求静,研究运动中的等量关系。
在中学数学中,函数与方程是相互联系不可分割的,涉及这两个方面的问题可以相互转化。
许多方程问题常常可以运用函数思想去解决,而不少函数问题又往往须转化为方程来求解。
因此,在解决一些函数和方程问题时,既要善于运用函数思想解决方程问题,又要学会灵活运用方程的观点去观察、处理函数问题。
关键词函数思想,方程思想,应用1引言函数思想就是要用运动变化的观点,分析和研究具体问题中的数量关系,通过函数的形式把这种数量关系表示出来,并加以研究,从而使问题获得解决。
函数思想在中学数学解题中的应用
函数思想在高中数学中的运用摘要:本文着重从两大方面论述了在数学解题中如何恰当的运用函数思想:①借助有关初等函数的性质,解决有关求值、解(证)不等式、解方程、最大值和最小值、有关方程根存在性以及讨论参数的取值范围等问题;②在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易,化繁为简的目的.关键词:函数、求值、不等式、方程、最大值和最小值、存在性、取值范围.我们在教学的过程中会感觉到,学生会在不知不觉之中就能够解答许多数学问题,也许他们叫不上所用的方法的名字,有时也不需要知道它的名字,很多复杂的数学问题,在他们那很快屡出头绪,得以解决.他们的数学能力增强了,这就是数学方法的魅力.也是我们在教学过程中要教给学生的最重要的内容.函数是中学数学的一个重要概念,函数知识贯穿中学数学的始终,它一直是高考的热点、重点内容.函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题.这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本质特征,重在对问题的变量的动态研究,从变量的运动变化,联系和发展角度拓宽解题思路.一般地,函数思想就是构造函数从而利用函数的性质解题,经常利用的性质是:函数的单调性、奇偶性、周期性、连续性、最大值和最小值、图象变换等,要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性.在解题中,善于挖掘题目中的隐含条件,构造出函数解析式和妙用函数的性质,是应用函数思想的关键.对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时,才能产生由此及彼的联系,构造出函数原型.就中学数学而言,函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面:一是借助有关初等函数的性质,解决有关求值、解(证)不等式、解方程、最大值和最小值、有关方程根存在性以及讨论参数的取值范围等问题.让我们来看下面的例题:例1.设x ,y 为实数,满足)()(1200313-+-x x =1-,)()(1200313-+-y y 1=,则=+y x . 解:令t t t f 20033+=)(,则)(t f 为奇函数且在R 上为增函数,由11-=-)(x f =)()(y f y f -=--11,则y x -=-11,故2=+y x .例2.设函数||||)(112--+=x x x f ,求使22≥)(x f 的x 的取值范围.解:由于x y 2=是增函数,22≥)(x f 等价于2311≥--+||||x x . ① (1)当1≥x 时,||||11--+x x =2,∴①式恒成立.(2)当11<<-x 时,||||11--+x x x 2=,①式化为232≥x ,即143<≤x . (3)当1-≤x 时,||||11--+x x 2-=,①式无解.综上,x 的取值范围是),[+∞43.例3.设n a a a ,,, 21都是正数,证明对任意的正整数n ,下面的不等式成立:)()(22221221n n a a a n a a a +++≤+++ .证明: 下面的不等式对任意的*∈∈N n R x ,都成立:)(22221n a a a +++ 2x + x a a a n )(+++ 212n +0≥,即011122221≥++++++)()()(x a x a x a n .构造二次函数=)(x f )(22221n a a a +++ 2x +x a a a n )(+++ 212n +.0>i a ,n i ,,, 21=.4=∆∴221)(n a a a +++ 4-)(22221n a a a +++ n 0≤,得)()(22221221n n a a a n a a a +++≤+++ .注:本题是柯西不等式的一个特例,还有其他的证法,但惟有辅助函数法是最简捷、最透彻的证法. 例4.讨论xx 224sin sin +的最值.[分析]本题不能利用基本不等式作出解答“x x 224sin sin +xx 2242sin sin ⋅≥4=”,因为等号只能在22=x sin 时才能取到,而这是不可能的,可构造函数tt t f 4+=)(试解本题.解:显然102≤<x sin ,设x t 2sin =.下面证明当],(10∈t 时,tt t f 4+=)(是减函数. 当1021≤<<t t ,))(()()(21212141t t t t t f t f --=-.021<-t t ,1021<<t t , 04121<-t t ,021>-∴)()(t f t f ,)()(21t f t f >∴,即)(t f 是],(10上的减函数. )(1f ∴是函数t t t f 4+=)(在],(10上的最小值,又5411=+=)(f . 54≥+∴t t ,即5422≥+xx sin sin . 例5.已知a 、b 为不全为0的实数,求证:方程0232=+-+)(b a bx ax 在),(10内至少有一个实根.证明:若0=a ,则0≠b ,此时方程的根为21=x ,满足题意.当0≠a 时,令=)(x f )(b a bx ax +-+232.(1)若0<+)(b a a ,则a a b a f f 4141210=-+-=))(()()()(b a + 0<,所以)(x f 在),(210内有一实根.(2)若0≥+)(b a a ,则)()()(b a a f f +-=241121 041412<+--)(b a a a ,所以)(x f 在),(121内有一实根. 例6.若抛物线22++=ax x y 与连接两点),(10M 、),(32N 的线段(包括M 、N 两点)有两个相异的交点,求a 的取值范围.解:易知过点),(10M 、),(32N 的直线方程为1+=x y ,而抛物线22++=ax x y 与线段MN 有两个交点就是方程122+=++x ax x ,在区间],[20上有两个不等实根.令112+-+=x a x x f )()(,则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+=≥=>--=∆<--<.)(,)(,)(,032201004122102a f f a a解不等式组,得a 的范围是123-<≤-a . 从以上的几个例子,我们看到,在解题时要从各种复杂的函数中划分出基本函数类,这些基本函数是最常见的、最有用的、最基本的函数,研究和总结基本函数的图象、性质及其解题的模式(方法),然后把实际问题或其他复杂函数化归为基本函数来解决,这就是基本函数模型方法.二是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易,化繁为简的目的.让我们来看下面的例题例7.求使不等式)(1122->-x m x 对于2≤||m 的一切实数m 都成立的x 的取值范围.我们习惯上把x 当作自变量,构造函数m x mx y -+-=122,于是问题转化为:当2≤||m 时,0<y 恒成立,求x 的取值范围.解决这个等价的问题需要应用二次函数以及二次方程的区间根原理,可想而知,这是相当复杂的.如果把m 看作自变量,x 视为参数,构造函数)()(1212---=x m x y ,则y 是m 的一次函数,就非常简单.即令)()()(1212---=x m x m f .函数)(m f 的图象是一条线段,要使0<)(m f 恒成立,当且仅当02<-)(f 且02<)(f ,解这个不等式组即可求得x 的取值范围是.本题看上去是一个不等式问题,但是经过等价转化,我们把它化归为一个非常简单的一次函数,并借助于函数的图象建立了一个关于x 的不等式组来达到求解的目的.解:构造函数)()()(1212---=x m x m f ,],[22-∈m .0<)(m f 在],[22-∈m 上恒成立⎩⎨⎧<-->-+⇔⎩⎨⎧<---<----⇔⎩⎨⎧<<-⇔01220322012120121202022222x x x x x x x x f f )()()()()()(213217+<<-⇔x .∴所求x 的取值范围是),(213217+-. 本题看上去是一个不等式问题,但是经过等价转化,我们把它化归为一个非常简单的一次函数,并借助于函数的图象建立了一个关于x 的不等式组来达到求解的目的.这是利用变量相对的观点来构造辅助函数的,从中可以看到数学的自由思考的特点.在函数的学习和复习中,要做到熟练掌握基础知识,充分理解各知识点间的内在联系,如数列中的n a 、n S 都可以看作是n 的函数而应用函数思想以获得新的解法.看下面的例题:例8.等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,已知012>S ,013<S ,(1)n 为何值时n S 最大?为什么?(2)求证:121S S >.[解法一](1)设数列}{n a 的公差为d ,由012>S 且013<S ,可知0≠d ,于是n S 是n 的二次函数,可设)(022x n n d S n -=,其中0x 是抛物线n S y =的顶点的横坐标. 由012>S 且013<S ,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-⋅>-⋅0213132021212200)()(x d x d ①当0>d 时,解①得60<x 且560.>x ,这是不可能的.0<∴d ,即知抛物线的开口向下;且解①,得5660.<<x ,而*∈N n ,根据二次函数的最值性,得6S 最大.(2)056212112100000<-=---=---).()(||||x x x x x ,即<-||10x ||120-x ,根据二次函数的图象,得121S S >.[解法二](1)⎩⎨⎧>+<+⇔⎩⎨⎧+=+=006561211311211213113a a a a a a S a a S )()(.⎩⎨⎧>+=+<+=⇒002121761317a a a a a a a ⎩⎨⎧><⇒.0067a a 根据一次函数n a 的单调性,得:当6≤n ,0>n a ;当7≥n 时,0<n a .6S ∴最大.(2))()()(d a d a a a a a a S S 5665656771211211121+---=--=+-=-711a -= 0>,∴121S S >.注:本例是利用一次函数、二次函数的性质解决数列问题.所给两个解法,说明此类等差数列问题既可用二次函数n S 求解,也可用一次函数n a 求解.哪个方法简捷,要由问题的条件来分析.建立函数思想是中学数学教学的重要课题,因为函数思想是中学数学,特别是高中数学的主线,函数思想的建立使常量数学进入了变量数学,中学数学中的初等函数、三角函数、数列以及解析几何都可以归结为函数,尤其是导数的引入为函数的研究增添了新的工具.因此,在数学教学中注重函数思想是相当重要的。
浅谈数学思想在中学数学教学中的应用
浅谈数学思想在中学数学教学中的应用作者:马艳红来源:《神州》2012年第15期(河北省唐海县第三中学河北唐海 063200)【中图分类号】G636 【文献标识码】A 【文章编号】1009-5071(2012)05-0223-02所谓数学思想方法是对数学知识的本质认识,是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点,它在认识活动中被反复运用,带有普遍的指导意义,是建立数学和用数学解决问题的指导思想;是在数学教学中提出问题、解决问题过程中,所采用的各种方式、手段、途径等。
掌握数学思想方法,就是掌握数学的精髓,因此要使学生领悟、掌握和熟练地使用数学思想方法,不是机械的传授,还需要学生自身的理解和感悟。
下面我就数学思想在中学数学中的应用谈谈个人的一些认识:数学思想方法的渗透主要是在具体知识的教学过程中实现的。
因此,要贯彻好渗透性原则,就要不断优化教学过程。
比如,概念的形成过程;公式、法则、性质、定理等结论的推导过程;解题方法的思考过程;知识的小结过程等,只有在这些过程的教学中,数学思想方法才能充分展现它们的活力。
取消或压缩教学的思维过程,把数学教学看为知识结论的教学,就失去了渗透数学思想方法的机会,使数学思想方法无有用武之地。
中学数学中的思想方法主要体现在以下几方面:1 函数与方程思想就是用函数的观点、方法研究问题,将非函数问题转化为函数问题,通过对函数的研究,使问题得以解决。
通常是这样进行的:将问题转化为函数问题,建立函数关系,研究这个函数,得出相应的结论。
中学数学中,方程、不等式等问题都可利用函数思想得以简解。
2 数形结合思想:数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学,因而数学研究总是围绕着数与形进行的“数”就是方程、函数、不等式及表达式,代数中的一切内容;“形”就是图形、图象、曲线等。
数形结合的本质是数量关系决定了几何图形的性质,几何图形的性质反映了数量关系。
数形结合就是抓住数与形之间的内在联系,以“形”直观地表达数,以“数”精确地研究形。
数形结合思想在初中数学教学中的应用——以“函数”教学为例
教学·策略数形结合思想在初中数学教学中的应用———以“函数”教学为例文|林欣为了促进教学活动的顺利、高效开展,明确落实教学目标,教师需要重视对教学理念的创新与变革,以便为学生创造良好的学习环境,进一步挖掘学生的潜能,为学生高效开展数学学习奠定基础。
数形结合思想作为重要的数学思想,对提升学生的数学学习能力有着重要意义。
教师应将数形结合思想融入日常教学中,以助力学生更高效地解决数学问题,促使学生形成良好的数学思维。
同时函数作为初中数学的重要内容,对学生数学素养与能力的提升有着重要影响。
因此,在“函数”教学中,教师应重视对数形结合思想的有效应用,直观、生动地展现抽象的函数知识,充分发挥学生的形象思维能力,帮助学生掌握问题的本质,使其能够快速、高效地解决问题,从而为初中数学教学的高质、高效开展提供助力。
一、创设教学情境在初中数学教学活动中,教师可以结合教学知识创设生动、有趣的教学情境,以吸引学生的注意力,使学生能够真正关注到问题,并运用图形对问题中所包含的内容进行直观呈现,让学生亲身感受到数形结合所创造的便利,进而激发学生运用数形结合方法解决数学问题的热情,并深刻认识到数形结合思想的价值与意义。
例如,教师可以结合生活实际设置例题,通过创设良好的教学情境,激发学生的解题兴趣。
问题:25路公交车往返于A、B两地,两地的发车时刻表相同。
假设公交车均速直线向前行驶,从A 地到B地,从B地到A地所用时间都是60分钟,每间隔10分钟发一趟车。
提问:一辆25路公交车从A 地出发,途中能遇到几辆由B地出发的25路公交车?在分析问题后:学生1:能够遇到4辆。
学生2:能够遇到5辆。
学生3:能够遇到6辆。
学生4:能够遇到7辆。
教师:针对这一问题,大家的答案各不相同,以前也有数学家针对类似问题进行了激烈争论。
虽然这道题十分简单,却隐藏着重要信息,需要我们运用合理的方法解题。
学生一听数学家都没有解出这道题都感到十分的疑惑,非常想知道最后数学家是怎样解出问题的。
探讨函数思想在中学数学中的应用.doc
探讨函数思想在中学数学中的应用函数思想是高中数学课程的主线它们是贯穿整个高中数学课程最基本最重要的数学思想,从多个角度链接起了高中数学课程的许多内容.在中学,函数是一个包容性很强的概括性知识.函数思想方法是中学数学中从运动变化的观点来认识和处理问题的一个重要方法.函数思想,主要是分析和研究数学问题中的数量关系,建立或构造函数,并合理运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题, 从而使问题解决更加简单化.在高中课程中,函数与数列、三角函数、函数与导数及其应用、函数与算法、函数与概率中的随机变量、函数与选修3、4中的大部分专题内容都有着密切的联系.用函数(映射)的思想去理解这些内容,是非常重要的一个出发点。
反过来,通过这些内容的学习,更加深了对于函数思想的认识.函数是贯穿高中数学课程一条最重要、最基本的主线.因为从中学到高中再到大学基本上都离不开函数,它渗入到数学各个分支,具有丰富的实例,应用范围也非常广泛。
这是由函数的初等性质所强调的,而且抽象上来说函数就是一个关系。
另外函数与数列、线性规划、算法、不等式、方程、解析几何、微积分、导数都是联系得相当密切. 函数的思想十分广泛地渗透在高中数学的教学思想中.函数,大概从小学生就开始接触,按照专家的说法,小学义务教育阶段只不过没有明确提出函数概念(比如专家在讲到量与量的关系时,说到路程、速度与时间,小学就有s=vt的关系式等,其实,到后来我们知道:这就是函数),再到初中的正比例函数(一次函数)、反比例函数、二次函数,高中函数类型更多,要求也更深;并且我们在一线教课的教师都有体会,如果哪位同学初中的函数觉得较差,到了高中便非常被动非常吃力,因为高中课程中有很多知识都与函数有牵连,直接的几种函数旦不1 -2 1 -4 C.说,就连数列、立体几何中的角与距离、概率问题其实就是函数.下面就几个具体的题目来谈谈它的应用.1函数在集合中的应用已知A={x\ x+lNO}, Z?={y|/ — 2>0},全集/=R,则4C1C/为() A. {x\ x》/或才W—/} B. {x\ x》一1 或xWyfi}C. {x\D. {*| ——1}解:由已知得A={x\ *3 — 1},B= {y\ *〉/或yS ,GB=顶-成〈作物,则4CC/={*|—1W*W/}.2如利用换元法解不等式关于*的不等式2 • 3^-3'+3-3-3>0,当OWxWl时恒成立,则实数a的取值范围为?解:设t=3\ 贝I] tw [1,3],原不等式可化为a - 3> - 2 t^t, [1,3].等价于 "q 大于在[1,3]上的最大值.实数a的取值范围(- 8, - 1) u (2, +8) 3函数在凡何概型中的应用方程彳+*+〃=0 (亦(0, 1))有实根的概率为() 解:4=1—4〃N0, 又〃E (0, 1),・.・方程有实根的概率/,=!,故选C.4函数在导数中的应用已知函数兀)=疽一3义+心>0)的极大值为正数,极小值为负数,则。
中学数学6大重要思想 强烈推荐
1.数形结合与数形转化的目的是为了发挥形的生动性和直观性,发挥数的思路的规范性与严密性,两者相辅相成,扬长避短。
2.恩格斯是这样来定义数学的:“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学”。这就是说:数形结合是数学的本质特征,宇宙间万事万物无不是数和形的和谐的统一。因此,数学学习中突出数形结合思想正是充分把握住了数学的精髓和灵魂。
“构造”是一种重要而灵活的思维方式,它没有固定的模式,要想用好它,需要敏锐的观察、丰富的联想、创新性的思维等能力,故有一定的难度,高考中常见的构造对象有构造数学模型(即实际问题数学化)、构造方程、构造恒等式、构造函数、构造数列、构造图形、构造反例等。
六,整体的思想方法
人们在研究某些数学问题时,往往不是着眼于问题的各个组成部分,而是有意识地放大考察问题的“视角”,将需要解决的问题看作一个整体,通过研究问题的整体形式、整体结构、整体功能、或作种种处理以后,达到顺利而以简捷地解决问题的目的,象这种从整体观点出发研究问题的思维活动过程,我们称它为“整体的思想方法”.
解题方法指导:1.运用整体的思想方法解题,要有强烈的整体意识,要认真分析问题的条件或结论的表达形式、内部结构特征,不拘泥于常规,不着眼于问题的各个组成部分,从整体上观察,从整体上分析,从整体结构及原有问题的改造、转化入手,寻找解题的途径.
2.运用整体的思想方法解题,在思维方向上,既有正向的,又有逆向的;在思维形态上,既有集中的又有发散的,既有直观的,又有抽象的.
7.解析几何本身的创建过程就是“数”与“形”之间互相转化的过程。解析几何把数学的主要研究对象数量关系与几何图形联系起来,把代数与几何融合为一体。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
函数思想在中学数学中的应用-(2)函数思想在中学数学中的应用韩伟摘要:函数思想是解决一些中学数学问题的重要思想方法,本文通过列举函数思想在数列、不等式、最值问题中的应用,来体现函数思想在中学数学中的作用.关键词: 函数思想数列不等式最值一、知识回顾1.引言在中学代数的学习中,函数起着“纽带”的作用,特别是在近几年全国各地高考中,好多问题如数列问题多以压轴题的面目出现,且往往都体现出浓厚的函数背景和思想方法.这就要求我们在平时的学习中更加重视对函数的学习和理解,我们应掌握函数的概念、本质及相关性质.通过此篇文章希望大家可以深刻体会一下函数思想在中学数学中的应用.2.函数的概念(1)对应说:在变化过程中,有两个变量x和y.如果给定一个x 值,相应地就确定了一个y值,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量.(2)集合说:给定两个非空数集A和B,如果按照某个对应关系f,对于A中任何一个数x,在集合B中都存在唯一确定的数()f x与之对应,那么就把对应关系f叫做定义在A上的函数,记作f:A→B或(),=∈.y f x x A此时x叫做自变量,集合A叫做函数的定义域,集合{()f x|x A∈}叫作函数的值域,习惯上称y是x的函数.(3)映射说:设A,B是两个非空数集,f是A到B的一个映射,那么映射f:A→B称为A到B的函数.3.函数的本质函数的本质是一种对应关系,是从一个非空数集到另一个非空数集的一种对应关系.4.函数的性质(1)有界性:如果存在正数M ,对于函数()f x 定义域(或其子集)内的一切x 值,都有|()f x |≤M 成立,那么函数()f x 叫做在定义域(或其子集)上的有界函数,如果适合这个条件的正数M 不存在,那么称这个函数是无界的.(2)单调性:一般地,对于函数()y f x =的定义域内的一个子集A ,如果对于任意的1x ,2x∈A,当1x<2x 时都有12()()f x f x <(或12()()f x f x >),就称函数()y f x =在数集A 上是增加的(或减少的).(3)奇偶性:对于函数()f x 在定义域内的任意一个x 值,如果都有()()f x f x -=-成立,那么函数()f x 叫做奇函数;如果都有()()f x f x -=成立,那么函数()f x 叫做偶函数.(4)周期性:设()f x 是定义在数集M 上的函数,如果存在常数T ≠0,对于任意的x M ∈,都有x ±T ∈M ,且()()f x T f x +=总成立,则函数()f x 叫做周期函数,常数T 称为()f x 的周期.二. 利用函数思想解决数列的问题数列是初等数学与高等数学的重要衔接点之一,由于数列问题的载体能力强,思维跨度大,知识的综合度高,往往能较好的考查学生在知识,方法和能力上的差异,拉开考生之间的距离.特别是在近几年全国各地高考中,数列问题多以压轴题的面目出现,且往往都体现出浓厚的函数背景和思想方法,这就要求我们平时多重视研究数列问题的函数本质.数列是定义在正整数集或其子集上的函数,因此我们应掌握各种基本数列所对应的函数及相关性质,习惯于用函数方法解题是很重要的.下面举两例来看一下:例1.若数列{na }的通项公式为na=38⨯n 1()8-3⨯n 1()4+1()2n (其中*n N ∈),且该数列中最大项为ma ,求m 的值.分析:由于该数列不是直接与等差数列、等比数列相关的数列,形式看起来比较复杂,难以下手.但如果我们能认真观察通项公式na 的形式特点,不难发现它可以变形为:na = 38⨯31()2n-3⨯21()2n +1()2n,此时若令x =1()2n ∈1(0,]2,则na 所对应的函数为()f x =32833xx x-+, x ∈1(0,]2.这样由函数()f x 的导数易得该函数的极大值点,即可求得该数列中最大项为ma 中的m 的值.解: 由已知,得na=38⨯31 ()2n -3⨯21()2n +1()2n , (*n N ∈)令()f x =na , x =1()2n, 则x ∈1(0,]2,且()f x =32833xx x-+, 则'()f x =2861xx -+=8(x -21)(x -41).令'()f x ≥0,得x ∈1(0,]4 , 所以该函数在1(0,]4上是单调递增的; 令'()f x ≤0,得x ∈11[,]42 , 所以该函数在11[,]42上是单调递减的. 故x =41为其极大值点,即2n =时该数列取得最大项,所以2m =. 例 2.设数列{na }的首项为156a=-,且1n n aa +-=12(1,2,n =……),求此数列到第几项的和最先大于100?解: 由已知1n n aa +-=12,可知数列{na }为等差数列,且112,56d a==-.所以该数列通项公式为56(1)121268nan n =-+-=-.则56nS n =-+2)1(-n n 12⨯2662n n =-.令100nS>, 得26621000nn -->, 即2331500n n -->⇒n <6156131-(0)<,或n >6156131+(7.11≈).由于*n N ∈,所以满足上述条件的最小正整数为12. 故此数列到第12项的和最先大于100.注:此类题是利用等差数列前n 项和公式nS=n 1a +2)1(-n n d =2d2n +(1a -2d )n =2d 211()2a n d ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦-2d 211()2a d -是关于n 的二次函数来解题的.当0d >时,nS 有最小值;当0d <时,nS 有最大值 .由于n 取正整数,因而当(12-1ad)不是正整数时,nS 的最小值或最大值不等于-2d 211()2ad -,此时n 取最接近于(12-1a d)的正整数时,才是nS 的最小值或最大值.值得注意的是接近于(12-1ad)的正整数有时是一个,有时有两个.三.利用函数思想解决不等式的问题在不等式的有关问题(计算、证明)中,函数的性质常常是有力的工具,利用函数的单调性、奇偶性等性质对题解十分有利,但在这方面往往是学生的缺陷.下面举两例来看一下:例3.<135212462n n -⋅⋅⋅⋅L <(1,)n n N >∈.分析:此不等式的证明若用一般的方法难以证明,仔细观察不等式的特点,可利用函数y =1x x+在(1,)-+∞上的单调增加性质可得1112k k k k k k -+<<++,k =1,2,...,21n -.可对不等式两边采用压缩法和放大法即可证明.证明:令c =135212462n n -⋅⋅⋅⋅L ,利用函数y =1xx+在(1,)-+∞上的单调增加性质, 1112k k k k k k -+<<++,k =1,2,...,21n -.∴123234<<, 234345<<,……,2221221221n n nn n n --<<-+,又 2c=1133552121()()()()22446622n n n n--⋅⋅⋅⋅L , ⇒11232221()()()2234212n n n n--⋅⋅⋅-L <2c<1234212()()()2345221n n n n -⋅⋅⋅+L ,⇒ 12211221cnn ⋅<<+ 即c <<.例4.已知实数a b e >>,其中e 是自然对数的底,证明ba <ab .分析:欲证ba<ab ,只需证ln ln b a a b <,即b b a a ln ln <.由此联想到函数()f x =xx ln 在(,)e +∞上若是严格递减的即可证明结论.证明: 对于函数()f x =x x ln 在(,)e +∞上,其导函数'()f x =2ln 1x x -0<.∴()f x 在(,)e +∞上是严格递减的.∴对∀a b e >>,都有()()f a f b < ,即 b b a a ln ln <.故ln ln b a a b <,从而ba<ab .四.利用函数思想解决最值问题求最值问题是函数思想的重要应用,此类题综合性强,知识面覆盖广,尤其在实际问题中利用函数思想解决最值问题最为广泛.下面举两例来看一下:例5.已知0a >,0π2<≤x ,函数y =2cossin x a x b-+的最大值是0,最小值是4-,求使y 取得最大值和最小值的x 值以及a 和b 的值.解: 设sin x t =,t1≤,则21y t at b =--++=-(t +2a)2+42a +b +1.因为(t +2a )2≥ ,所以-(t +2a)2≤ . 因此y ≤42a +b +1.故当t +2a =0时,y最大值=42a +b +1=0.又0a >, t 1≤ ,所以当1t =时,(t +2a )有最大值, 从而 114ya b b a =--++=-=-最小值.所以由42a +b +1=0,4b a -=-, 解得 2,2a b ==-.综上可得y 取最小值时,1t = 即 sin 1x = ,所以x =2π; y 取最大值时,1t =-即sin 1x =-,所以x =23π.例6、渔场中鱼群的最大养殖量为m 吨,为保证鱼群的生长空间,实际养殖量不能达到最大养殖量,必须留出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量y 吨和实际养殖量x 吨与空闲率的乘积成正比,比例系数为k (0k >).(空闲率为空闲量与最大养殖量的比值)(1) 2()24k m km y x m =--+写出y 关于x 的函数关系式,并指出这个函数的定义域;(2) 求鱼群年增长量的最大值;(3) 求鱼群的年增长量达到最大值时,求k 的取值范围.解: (1)由题意,得()m x y kx m -=,即(1)xy kx m=-,0x m <<. (2)2()24k mkm y x m=--+.因为0x m <<,所以当2m x =时,y 有最大值4km. (3)依题意,得0x y m <+<,即02m<+4kmm <. 解得22k -<<, 又0k >,所以02<<.k五.总结函数思想是研究问题的重要思想,用函数思想来研究问题是一种重要观念.本文主要通过列举函数思想在数列、不等式、最值问题中的应用,来体会函数思想在中学数学中的应用.当然,函数思想在中学数学中的应用远远不止这些,至于在其他方面的应用还须大家在进一步的学习过程中共同探讨、总结.参考文献:[1] 钱珮玲,邵光华.数学思想方法与中学数学[M].北京:北京师范大学出版社,1999年7月.84-90.[2] 李永新,滕文凯.中学数学教材教法[M].长春:东北师范大学出版社,2005年6月.100-107.[3]李晓玲.培养生动活泼的函数思想[J].成材之路,2007年第12期.25-26.[4]尤泽燕,谢碧华,王孝振.函数对称性的探究[J].福建中学数学(月刊),2007年第3期.33-34.The Application of Function Thinking in MathematicsName: Jia Liping Student Number: 2003405456Advisor: Yang ShaohuaAbstract: The function thinking is an important way to solve some mathematics problems.This article through enumerating the application of function thinking in the sequence,the inequality and the most value question to embody the role of function thinking in mathematics.Key word: function thinking sequence inequality most value。