函数思想在中学数学中的应用-(2)

函数思想在中学数学中的应用-(2)

函数思想在中学数学中的应用

韩伟

摘要:函数思想是解决一些中学数学问题的重要思想方法,本文通过列举函数思想在数列、不等式、最值问题中的应用,来体现函数思想在中学数学中的作用.

关键词: 函数思想数列不等式最值

一、知识回顾

1.引言

在中学代数的学习中,函数起着“纽带”的作用,特别是在近几年全国各地高考中,好多问题如数列问题多以压轴题的面目出现,且往往都体现出浓厚的函数背景和思想方法.这就要求我们在平时的学习中更加重视对函数的学习和理解,我们应掌握函数的概念、本质及相关性质.通过此篇文章希望大家可以深刻体会一下函数思想在中学数学中的应用.

2.函数的概念

(1)对应说:在变化过程中,有两个变量x和y.如果给定一个x 值,相应地就确定了一个y值,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量.

(2)集合说:给定两个非空数集A和B,如果按照某个对应关系f,对于A中任何一个数x,在集合B中都存在唯一确定的数()

f x与之对应,

那么就把对应关系f叫做定义在A上的函数,记作f:A→B或(),

=∈.

y f x x A

此时x叫做自变量,集合A叫做函数的定义域,集合{()

f x|x A∈}叫作函数的值域,习惯上称y是x的函数.

(3)映射说:设A,B是两个非空数集,f是A到B的一个映射,那么映射f:A→B称为A到B的函数.

3.函数的本质

函数的本质是一种对应关系,是从一个非空数集到另一个非空数集的一种对应关系.

4.函数的性质

(1)有界性:如果存在正数M ,对于函数()f x 定义域(或其子集)内的一切x 值,都有|()f x |≤M 成立,那么函数()f x 叫做在定义域(或其子集)上的有界函数,如果适合这个条件的正数M 不存在,那么称这个函数是无界的.

(2)单调性:一般地,对于函数()y f x =的定义域内的一个子集A ,如果对于任意的1

x ,2

x

∈A

,当1

x

<2

x 时都有1

2

()()f x f x <(或1

2

()()f x f x >),就称函数

()

y f x =在数集A 上是增加的(或减少的).

(3)奇偶性:对于函数()f x 在定义域内的任意一个x 值,如果都有()()

f x f x -=-成立,那么函数()f x 叫做奇函数;如果都有()()f x f x -=成立,那么

函数()f x 叫做偶函数.

(4)周期性:设()f x 是定义在数集M 上的函数,如果存在常数T ≠0,对于任意的x M ∈,都有x ±T ∈M ,且()()f x T f x +=总成立,则函数()f x 叫做周期函数,常数T 称为()f x 的周期.

二. 利用函数思想解决数列的问题

数列是初等数学与高等数学的重要衔接点之一,由于数列问题的载体能力强,思维跨度大,知识的综合度高,往往能较好的考查学生在知识,方法和能力上的差异,拉开考生之间的距离.特别是在近几年全国各地高考中,数列问题多以压轴题的面目出现,且往往都体现出浓厚的函数背景和思想方法,这就要求我们平时多重视研究数列问题的函数本质.数列是定义在正整数集或其子集上的函数,因此我们应掌握各种基本数列所对应的函数及相关性质,习惯于用函数方法解题是很重要的.下面举两例来看一下:

例1．若数列{n

a }的通项公式为n

a

=

38⨯n 1()8-3⨯n 1()4+1()2

n (其中*

n N ∈),且

该数列中最大项为m

a ,求m 的值.

分析:由于该数列不是直接与等差数列、等比数列相关的数列,形式看起来比较复杂,难以下手.但如果我们能认真观察通项公式n

a 的

形式特点,不难发现它可以变形为:n

a = 38⨯31

()2

n

-3⨯21()2n +1

()2

n

，此时若令

x =1()2n ∈1

(0,]

2,则n

a 所对应的函数为()f x =3

2833

x

x x

-+, x ∈1(0,]2

.这样由函数()

f x 的导数易得该函数的极大值点,即可求得该数列中最大项为m

a 中的m 的值.

解: 由已知,得n

a

=

38⨯31 ()2n -3⨯21()2n +1()2

n ， (*

n N ∈)

令()f x =n

a , x =1()2

n

, 则x ∈1(0,]2,且()f x =3

28

33

x

x x

-+, 则'()f x =2

861x

x -+=8(x -

21)(x -4

1

).

令'

()f x ≥0,得x ∈1(0,]4 , 所以该函数在1

(0,]4上是单调递增的; 令'

()f x ≤0,得x ∈11[,]42 , 所以该函数在11[,]42

上是单调递减的. 故x =4

1为其极大值点,即2n =时该数列取得最大项,所以2m =. 例 2.设数列{n

a }的首项为1

56

a

=-,且1

n n a

a +-=12

(1,2,n =……),求此数

列到第几项的和最先大于100？

解: 由已知1

n n a

a +-=12

，可知数列{n

a }为等差数列,且1

12,56

d a

==-.

所以该数列通项公式为56(1)121268

n

a

n n =-+-=-.

则56n

S n =-+2

)

1(-n n 12⨯2662n n =-.

令100

n

S

>, 得2

6621000

n

n -->, 即