九年级数学一元二次方程_5024
人教版初三数学上册一元二次方程.1《一元二次方程》课件(人教新课标九年级上)
二次项系 数
1
一次项系数
-4
0.5
0
-4 √2
3
-2
常数项
-3 -√5 0 -1
下面还有题，你想再试一试吗？
3、已知关于x的方程 (m+1)x2+3x+1=0, 它二元一次方程吗？
解：根据一元二次方程的定义, 只需m +1≠0 即 m ≠-1
所以,当m ≠-1时方程是一元二次方程
在今天这节课上，你有什么样的 收获呢？有什么感想？
1. 一元二次方程的定义
2.一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0（ a,b,c为常数，a≠0 ）
3.一元二次方程中的为二次项ax2，a为二次项系数； 一次项为bx，一次项系数为b；常数项为c。
作业: p42,习题20.1 1, 2, 3
问题2
bx+c=0
ax2+c=0 ax2+bx=0
ax2=0
一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0中
二次项系数 a
ax2
二次项
一次项系数 b
bx
一次项
c
常数项
说明：要找到一元二次方程的系数和常数项，必须 先将方程化为一般形式。
例题分析
把方程3x(x-1)=2(x-2)-4化成一般形式，并写出它的二次 项系数，一次项系数及常数项。
7x =3
(完全平方公式) (移项) (合并同类项)
一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x的一元二次方程都可以 化为, ax2+bx+c=0的形式,我们把ax2+bx+c=0(a,b,c 为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.
初中数学九年级上册《一元二次方程》知识点
九上数学第21章《一元二次方程》知识点1.一元二次方程的定义及一般形式：(1)等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数式2(二次)的方程，叫做一元二次方程。
(2)一元二次方程的一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠。
其中a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③是整式方程。
2.一元二次方程的解法(1)直接开平方法：形如2()(0)x a b b +=≥的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得x a +=或者x a +=，∴x a =-。
注意：若b<0，方程无解(2)因式分解法：一般步骤如下：①将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。
(3)配方法：用配方法解一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的一般步骤：①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；②移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；③配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为2()(0)x m n n +=≥的形式；④用直接开平方法解变形后的方程。
注意：当0n <时，方程无解(4)公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的判别式：24b ac∆=-0∆>⇔方程有两个不相等的实根：2b x a-±=(240b ac -≥)0∆=⇔方程有两个相等的实根0∆<⇔方程无实根3.韦达定理(根与系数关系)我们将一元二次方程化成一般式ax 2+bx+c ＝0之后，设它的两个根是1x 和2x ，则1x 和2x 与方程的系数a ，b ，c 之间有如下关系：1x +2x ＝b a -；1x ∙2x ＝c a4.一元二次方程的应用列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似①“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；②“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；③“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。
一元二次方程课件人教版九年级数学上册
2.下列方程中,无论a为何值,总是关于x的一元
二次方程的是( D )
A.(2x-1)(x2+3)=2x22+2x+4=0
2+x=x2-1
D.(a2+1)x2=0
3、课本P28 1、2
k 2 1 0
k 1 0 k 1 k 1 k 1
【思路点拨】根据一元二次方 程和一元一次方程的概念分别 列不等式（组）求解.
综合应用
练习：已知关于x的方程 ( m 2)x2 (m 2)x 3 0
当____m_≠_±__2_____时，是一元二次方程； 当__m_=_-_2________时，是一元一次方程.
3 A. m 2 B.
m 2 3
C.m
3 2
D.无法确定
练习
3.关于x的方程a 1 x2 3x 0 是一元二次方程，则a 的取值范围_______．
4 . 已 知 方 程 5 x ²+ m x - 6 = 0 的 一 个 根 是 x = 3 ， 则 m 的 值 为 _ _ _ _ _ _ _ _ 5 . 若 一 元 二 次 方 程 a x ²+ b x + c = 0 有 一 个 根 为 1 ， 则 a + b + c = _ _ _ _ _ _ _ _ _ ； 若 有 一个根是-1，则b与a、c之间的关系为________；若有一个根为0，则 c=_________ 6.方程2x²-6x-5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A、6,2,5 B、2，-6,5 C、2，-6，-5 D、-2,6,5
3x2=6x-1 (x+3)(x -1)=6
5-7x2=0
人教版初中数学九年级上册 21.1 一元二次方程 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
2）（x-2）(x+3)=8
3) 2x 2 2 3x
例题例讲题解讲解
• [例３]方程（2a—4）x2 —2bx+a=0, 在什 么条件下此方程为一元二次方程？在什 么条件下此方程为一元一次方程？
解：当a≠2时是一元二次方程；当a＝ 2，b≠0时是一元一次方程；
?
问题(1) 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在它
的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分 折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒 的底面积为3600平方厘米,那么铁皮各角应切去 多大的正方形?
分析:
设切去的正方形的边长为xcm, 则盒底的长为 (100-2x)cm ,宽
3600
50㎝
1 x2
10x 900
0是一元二次方程吗？
一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程，经过整
理，都可以化为 ax2 bx c 的0形式,我们把
ax2 bx c 0(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方
程的一般形式。 想一想
为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
二次项系数
一次项系数
• [例1]判断下列方程是否为一元二次方程？ • （1）3x 2 5y 3
• （2）x 2 4
• （3）x 2 1 x2
x 1
?
• （4）x 2 4 (x 2)2
下列方程那些是一元二次方程？
1.x(5x-2)=x(x+1)+4x2 2. 7x2+6=2x(3x+1)
一元二次方程解的概念
一元二次方程课件人教版数学九年级上册
11. 填空:
方程
一般形式
abc
5x2＝2x __5_x_2_－__2_x_＝__0__ __5___ _－__2__ __0___
2x(x－1)＝0 __2_x_2_－__2_x_＝__0__ __2___ _－__2__ __0___ (x－1)2＝2x __x_2_－__4_x_＋__1_＝__0 ___1__ _－__4__ __1___
12. 已知关于x的一元二次方程x2＋ax－3＋2x＝0 不含一次项，则 a＝__－__2__.
【例3】（RJ九上P4T3改编）一元二次方程x2＋3x ＋2＝0的根为( B ) A. 1,2 B. －1,－2 C. 1,－2 D. －1,2
思路点拨：判定一个数是不是一元二次方程的解 ，可将此数分别代入一元二次方程中，若能使方程 左右两边相等，则这个数是一元二次方程的解，反 之，它不是一元二次方程的解.
5. 将方程8x＝3x2－1化为一般形式为 __3_x_2－__8_x_－__1_＝__0_________.
2－5x＝81，则它的二次项系数为______，一次项
为______4，常数项为_____－_.5x
－81
知识点三：一元二次方程的根(解)
使一元二次方程左右两边_相__等___的未知数的值叫做 一元二次方程的解.
1.知识回顾. 2.谈谈这节课你有哪些收获？
谢谢
பைடு நூலகம்
方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型. • 【情感态度与价值观】 • 进一步培养学生的观察、类比、归纳能力，体验数学的严密性和深刻性.
1. 若xa－2＝0是关于x的一元一次方程，则a＝ __1____.
人教版九年级数学上册 《解一元二次方程》一元二次方程PPT课件
例题练习
例1、解下列方程
（1）x2-Hale Waihona Puke .21=0（2）4x2-1=0
解：（1）移项，得x2=1.21
∵x是1.21的平方根
∴x=±1.1 即 x1=1.1，x2=-1.1
（2）移项，得4x2=1 两边都除以4，得
1
x2=
∵x是
1 4
的平方根
4
∴x= 1
2
即x1= 1 ，x2= 1
3.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说
明.
第十五页，共二十页。
练一练
1、下列解方程的过程中，正确的是（ ）D
(A)x2=-2,解方程，得x=± 2
(B)(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4
(C)4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= ±3,
x1= 7
1
;x2=
4
2、一元二次方程的一般形式
ax2 bx c 0 （a 0)
第二页，共二十页。
练一练
1、判断下面哪些方程是一元二次方程
(1)x2 3x 4 x2 7 ×
(2) 2x2 4
√
(3)32 x 5x 1 0 ×
(4)3x2 1 2 0 ×
x
(5) x2 1 3
×
第三页，共二十页。
即3-2x=0.5或3-2x=-0.5
∴x1=5 ，x2=7
4
4
第十三页，共二十页。
例题练习
例3、解方程(2x－1)2=(x－2)2 分析：如果把2x-1看成是（x-2）2的平方
根，同样可以用直接开平方法求解
解：2x-1= (x 2)2 即 2x-1=±（x-2）
一元二次方程课件人教版九年级数学上册
一元一次方程
一元二次方程
一般式
ax=b(a≠0)
ax2+bx+c=0(a≠0)
相同点
不同点
整式方程，只含有一个未知数
未知数最高次数是1
未知数最高次数是2
例题1：m为何值时，关于x的方程（m-1）xm2-1+2mx-3=0为一元二次方程。
解：由题意得：m2-1=2，m-1≠0，
整理，得 m2=3
一元二次方程的概念
一元二次方程的一般形式是
探索新知
想一想： 为什么一般形式ax2+bx+c=0中要限制a≠0，b、c 可以为零吗？
当 a = 0 时
bx＋c = 0
当 a ≠ 0 ， b = 0时 ，
ax2＋c = 0
当 a ≠ 0 ， c = 0时 ，
ax2＋bx = 0
当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ，
整理得
x2＋2x－4=0
x2=2(2－x)
AC:BC=BC:2,即BC2=2AC
要设计一座2m高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，雕像的下部应设计为多高？
解：设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的 长为（100－2x）cm，宽为（50－2x）cm，根据方盒的底面积为3600cm2，得
整理，得
根据题意有，
200cm
150cm
x2-2500=0
3.如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程.
解：该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为x
整理，得
根据题意有，
人教版九年级上册数学精品教学课件 第21章 一元二次方程 一元二次方程
想一想： 还有其它的列法吗？ 试说明理由. (20－x)(32－2x) = 570. 整理以上方程，可得
x2－36x＋35 = 0.
20-x
20
32-2x
32
建立一元二次方程模型的一般步骤
审
设
找
审题，弄 清已知量 与未知量 之间的关 系
设未知数
找出等量 关系
列
根据等量 关系列方 程
当堂练习
1. 下列哪些是一元二次方程？
32
20
x
20
思考：1. 若设小路的宽是 x m， 则横向小路的面积是_3_2_x__m2， 纵向小路的面积是 2×20x m2， 两者重叠的面积是 2x2 m2.
32 2. 由于花坛的总面积是 570 m2. 你能根据题意，列出
方程吗？ 32×20－(32x＋2×20x)＋2x2 = 570，
整理以上方程，可得 x2－36x＋35 = 0.
当 a≠0，b = 0 时，
ax2＋c = 0，符合定义；
当 a≠0，c = 0 时，
ax2＋bx = 0，符合定义；
当 a≠0，b = c = 0 时，
ax2 = 0，符合定义．
总结：只要满足 a≠0 即可，b，c 可以为任意实数.
典例精析
例1 下列选项中，是关于 x 的一元二次方程的是（ C ）
解：设切去的正方形的边长为 x cm， 则盒底的长为 (100 − 2x) cm，宽为 (50 − 2x) cm， 根据方盒的底面积为 3600 cm2，得
化简，得
x2 75x 350 0 ②
该方程中未知数的个数 和最高次数各是多少？
x
3600 cm2
50 cm
100 cm
9年级上册数学一元二次方程
九年级上册数学一元二次方程一、一元二次方程的基本概念一元二次方程是一个只含有一个未知数（通常表示为x），且未知数的最高次数为2的方程。
其标准形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是常数，且a≠0。
二、一元二次方程的解法配方法：通过配方将方程转化为(x+b)^2=d的形式，然后直接开平方求解。
公式法：根据一元二次方程的根的判别式Δ=b^2-4ac，当Δ≥0时，方程有2个实根。
根为x=(-b±√Δ)/2a。
因式分解法：将方程左边化为两个因式的乘积，右边化为0，然后分别令每个因式等于0求解。
三、一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根的判别式Δ=b^2-4ac。
根据判别式的不同取值，一元二次方程的根的情况分为以下三种：当Δ>0时，方程有两个不相等的实根。
当Δ=0时，方程有两个相等的实根（重根）。
当Δ<0时，方程没有实根（称为虚根），但有共轭复数根。
四、一元二次方程的根与系数的关根的和：x1+x2=-b/a。
根的积：x1*x2=c/a。
根的平方和：x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1*x2=(b^2-2ac)/a^2。
的立方：x1^3+x2^3=(x1+x2)(x1^2+x2^2-x1*x2)=-b^3/a^3+c^3/a^3=(c^3-b^3)/a^3。
五、一元二次方程的应用一元二次方程在日常生活和生产实践中有着广泛的应用，如计算几何图形的面积、解决商品利润问题等。
解决这类问题时，需要将实际问题转化为数学模型，即建立一元二次方程，然后求解得到实际问题的答案六、配方法解一元二次方程将一元二次方程化为(x+b)^2=d的形式，然后直接开平方求解。
这种方法适用于所有形式的一元二次方程，但在使用时需要注意运算的准确性。
七、公式法解一元二次方程根据一元二次方程的根的判别式Δ=b^2-4ac，当Δ≥0时，使用公式法可以直接求解出方程的实根。
此方法简洁明了，但需要注意判别式的计算以及实根的存在性。
人教版九级上册 数学 课件一元二次方程
求m2+m的值为 2014
。
人教版九年 级级 上上 册册数学数学课件课一件元2二1.次1一方元程二次方程1(共31张PPT)
人教版九年 级级 上上 册册数学数学课件课一件元2二1.次1一方元程二次方程1(共31张PPT)
精讲点拨
★.运用根的定义解决问题的思路： 将方程的根代入原方程
人教版九年 级级 上上 册册数学数学课件课一件元2二1.次1一方元程二次方程1(共31张PPT)
人教版九级上册 数学 课件一元二次方程
二次项 一次项 常数项 系数 系数
2
1
4
-4
2
0
3
-1
-1
4
0
-5
m-3 1-m -m
人教版九级上册 数学 课件一元二次方程
例题例讲题解讲解
• 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次 项、一次项和常数项及它们的系数：
• (1) 3 x (x 1 ) 5 (x 2 ) 解： 3x23x5x103x23x5x10
x 根据题意，得 x(192x)24
化简得 -2 x2 1 9 x-2 4 0
问题情境
（4）新年到了，好朋友之间互相发信息问候成 为新的拜年方式，某朋友圈的所有的人都发给 其他人一条信息，一共发了72条信息，这个朋 友圈一共有多少人？
解： 这个朋友圈一共有x人
由题意得 x(x1)72
化 简 得 : x 2 x 7 2 0
(a≠0、a、b、c为常数)
问题情境
（1）正方形桌面的面积是2m2，求它的边长？
m2
xm 解：设正方形桌面的边长是
x2 2
化 简 得 x2-2=0
（2）矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总
人教版九年级数学上册《一元二次方程》PPT
【之三 配方法】
将一元二次方程配成(x+m)2=n 的形式，再利用直接开平方法求解的方法。配方法 的理论依据是完全平方公式。配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1， 然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
基本步骤
①把原方程化为一般形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根； 如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。
【特点】
由代数基本定理，一元二次方程有且仅有两个根（重根即为两个相等的 根），根的情况由判别式 △=b2-4ac 决定。
【判别式与根的关系】
利用一元二次方程根的判别式（ △=b2-4ac）可以判断方程的根的情况。 一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0）的根与判别式 有如下关系：
① 当△﹥0时，方程有两个不相等的实数根；
【例题】
1.解方程 x²+2x+1=0 解：利用完全平方公式 因式分解得：
（x+1)²=0 ∴ x=-1
2.解方程 x(x+1)-2(x+1)=0 解：利用提公因式法解得：
（x+1)(x-2)=0 即 x-2=0 或 x+1=0
∴ x1=2，x2=-1
3.解方程 x²-4=0 解：利用平方差公式 因式分解得：
①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数。 ②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。 ③方法是根据平方根的意义开平方。
九年级数学一元二次方程教案5篇最新
九年级数学一元二次方程教案5篇最新一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法。
今天小编在这里整理了一些，我们一起来看看吧!九年级数学一元二次方程教案1教学目标1。
知识与技能了解一元二次方程及有关概念;掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程;掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法;应用熟练掌握以上知识解决问题。
2。
过程与方法(1)通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型。
•根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念。
(2)结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等。
(3)通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，•导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程。
九年级数学一元二次方程教案2【主体知识归纳】1.整式方程方程的两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫做整式方程.2.一元二次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程.3.一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数;bx叫做一次项，b叫做一次项系数;c叫做常数项.4.直接开平方法形如x2=a(a≥0)的方程，因为x是a的平方根，所以x=± ，即x1= ，x2=- .这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.5.配方法将一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)化成(x+ )2= 的形式后，当b2-4ac≥0时，用直接开平方法求出它的根，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.用配方法解已化成一般形式的一元二次方程的一般步骤是：(1)将方程的两边都除以二次项的系数，把方程的二次项系数化成1;(2)将常数项移到方程右边;(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方;(4)当右边是非负数时，用直接开平方法求出方程的根.6.公式法用一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式x= (b2-4ac≥0)，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.【基础知识讲解】1.一元二次方程的概念包涵三个条件：(1)整式方程;(2)方程中只含有一个未知数;(3)未知数的最高次数是2”.一元二次方程的概念中“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2”是对化成一般形式之后而言的.例如，判断方程2x2+2x-1=2x2是否是一元二次方程?应先整理方程，得2x-1=0，所以此方程不是一元二次方程.2.在求二次项、一次项和常数项时，要先整理方程，把方程化成一般形式，即ax2+bx+c=0，再确定所求.方程ax2+bx+c=0只有当a≠0时，才是一元二次方程，例如a=0，b≠0时，它就是一元一次方程，因此，如果明确指出ax2+bx+c=0是一元二次方程，那么就一定包括a≠0这个条件.3.直接开平方法适用于解化为x2=a形式的方程，当a≥0时，方程有实数解;当a0时，方程没有实数解.4.配方法是先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解;如果右边是负数时，方程无实数解.5.求根公式是针对一元二次方程的一般形式来说的，使用求根公式时，必须先把方程化成一般形式，才能正确地确定各项系数，在应用公式之前，先计算出b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，代入公式求出方程的根;当b2-4ac0时，方程没有实数根，这时就不必再代入公式了.【例题精讲】例1：指出下列方程中哪些是一元二次方程：(1)5x2+6=3x(2x+1);(2)8x2=x;(3)y3-y-1=0;(4)4x2-3y=0;(5)-x2=0;(6)x(5x-1)=x(x+3)+4x2.剖析：判断一个方程是不是一元二次方程，首先要对方程进行整理，化成一般形式，然后再根据条件：①整式方程;②只含有一个未知数;③未知数的最高次数为2.只有当这三个条件缺一不可时，才能判断为一元二次方程.解：(1)去括号，得5x2+6=6x2+3x，移项、合并同类项，得x2+3x-6=0，∴此方程是一元二次方程.(2)移项，得8x2-x=0，∴此方程是一元二次方程.(3)因为未知数的最高次数是3，∴此方程不是一元二次方程.(4)∵方程中含有两个未知数，∴它不是一元二次方程.(5)∵a=-1≠0，∴它是一元二次方程.(6)整理，得4x=0∴它不是一元二次方程.例2：写出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项：(1)2x2=3x+5;(2)(x+1)(x-1)=1;(3)(x+2)2-4=0.剖析：虽然该题没有要求把方程化成一般形式，但在做题时，也要先把方程化成一般形式.因为方程的.二次项系数、一次项系数及常数项是在方程为一般形式下的，所以必须先整理方程.解：(1)整理，得2x2-3x-5=0.二次项系数是2，一次项系数是-3，常数项是-5.(2)整理，得x2-2=0.二次项系数是1，一次项系数是0，常数项是-2.(3)整理，得x2+4x=0.二次项系数是1，一次项系数是4，常数项是0.例3:关于x的整式方程(m-1)x2+(2m-1)x+4=0是一元二次方程吗?剖析：要判别原方程是否是一元二次方程，易想到用定义，满足条件：(1)整式方程;(2)方程中只含有一个未知数;(3)未知数的最高次数是2.原方程显然满足(1)、(2).由于不知m是怎样的实数，所以不一定满足(3).因此，需分类探讨.解：当m-1≠0，即m≠1时，原方程是一元二次方程.当m-1=0，即m=1时，原方程是x+4=0是一元一次方程.说明：在移项、合并同类项时，易出现符号错误，需格外小心，要认真区别题目要求是指出方程的各项还是各项系数.特别要小心当某项的系数为负数时，指出各项时千万不要丢负号.例4:用直接开平方法解下列方程：(1)3x2-27=0;(2)(3x-5)2-7=0.解：(1)3x2-27=0，3x2=27，x2=9，∴x=± ，即x=3或x=-3.∴x1=3，x2=-3.(2)(3x-5)2-7=0，(3x-5)2=7，∴3x-5=± ，即3x-5= 或3x-5=- .∴x1= ，x2= .例5：用配方法解方程2x2+7x-4=0.剖析：此题考查对配方法的掌握情况.配方法最关键的步骤是：(1)将二次项系数化为1;(2)将常数项与二次项、一次项分开在等式两边;(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方，即可化为(x+a)2=k的形式，然后用开平方法求解.解：把方程的各项都除以2，得x2+ x-2=0.移项，得x2+ x=2.配方，得x2+ x+( )2=2+( )2= ，即(x+ )2= .解这个方程，得x+ =± ，x+ =± .即x1= ，x2=-4.说明：配方法是一种重要的数学方法，除了用来解一元二次方程外，还在判断数的正、负，代数式变形、恒等式的证明中有着广泛的应用，例如证明不论x为何实数，代数式2x2-4x+3的值恒大于零，可以做如下的变形：2x2-4x+3=2x2-4x+2+1=2(x-1)2+1.例6：用公式法解下列方程：(1)2x2+7x=4;(2)x2-1=2 x.解：(1)方程可变形为2x2+7x-4=0.∵a=2，b=7，c=-4，b2-4ac=72-4×2×(-4)=810，∴x= .∴x1= ，x2=-4.(2)方程可变形为x2-2 x-1=0.∵a=1，b=-2 ，c=-1，b2-4ac=(-2 )2-4×1×(-1)=160.∴x= .∴x1= +2，x2= -2.说明：在用公式法解方程时，一定要先把方程化成一般形式.例7：一元二次方程(m-1)x2+3m2x+(m2+3m-4)=0有一根为零，求m的值及另一根.解：因为方程有一根为零，所以它的常数项m2+3m-4=0，解得m1=1，m2=-4，又因为此方程是一元二次方程，所以m-1≠0，即m≠1，所以m=-4.把m=-4代入方程，得-5x2+48x=0，解得：x1=0，x2=9.6，所以方程的另一根为9.6.说明：方程有一根为零时，常数项必须为零;求解字母系数的一元二次方程的问题中，二次项系数的字母必须保证二次项系数不等于零，这是解此类问题的先决条件.【同步达纲练习】1.选择题(1)下列方程中是一元二次方程的是( )A. =0B. =0C.x2+2xy+1=0D.5x=3x-1(2)下列方程不是一元二次方程的是( )A. x2=1B.0.01x2+0.2x-0.1=0C. x2-3x=0D. x2-x= (x2+1)(3)方程3x2-4=-2x的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )A.3，-4，-2B.3，2，-4C.3，-2，-4D.2，-2，0(4)一元二次方程2x2-(a+1)x=x(x-1)-1的二次项系数为1，一次项系数为-1，则a的值为( )A.-1B.1C.-2D.2(5)若方程(m2-1)x2+x+m=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是( )A.m≠0B.m≠1C.m≠1且m≠-1D.m≠1或m≠-1(6)方程x(x+1)=0的根为( )A.0B.-1C.0，-1D.0，1(7)方程3x2-75=0的解是( )A.x=5B.x=-5C.x=±5D.无实数根(8)方程(x-5)2=6的两个根是( )A.x1=x2=5+B.x1=x2=-5+C.x1=-5+ ，x2=-5-D.x1=5+ ，x2=5-(9)若代数式x2-6x+5的值等于12，那么x的值为( )A.1或5B.7或-1C.-1或-5D.-7或1(10)关于x的方程3x2-2(3m-1)x+2m=15有一个根为-2，则m 的值等于( )A.2B.-C.-2D.2.把下列方程化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项：(1)4x+1=9x2; (2)(x+1)(x-3)=2x-3;(3)(x+3)(x-3)=2(x-3)2; (4) y2- y= y2- y+ .3.当m满足什么条件时，方程(m+1)x2-4mx+4m-2=0是一元二次方程?当x=0时，求m的值.4.用直接开平方法解下列方程：(1)x2= ;(2)x2=1.96;(3)3x2-48=0;(4)4x2-1=0;(5)(x-1)2=144;(6)(6x-7)2-9=0.5.用配方法解下列方程：(1)x2+12x=0; (2)x2+12x+15=0 (3)x2-7x+2=0;(4)9x2+6x-1=0; (5)5x2-2=-x; (6)3x2-4x=2.6.用公式法解下列方程：(1)x2-2x+1=0; (2)x(x+8)=16; (3)x2- x=2; (4)0.8x2+x=0.3;(5)4x2-1=0; (6)x2=7x; (7)3x2+1=2 x; (8)12x2+7x+1=0.7.(1)当x为何值时，代数式2x2+7x-1与4x+1的值相等?(2)当x为何值时，代数式2x2+7x-1与x2-19的值互为相反数?8.已知a，b，c均为实数，且+|b+1|+(c+3)2=0，解方程ax2+bx+c=0.9.已知a+b+c=0.求证：1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根.10.用配方法证明：(1)3y2-6y+11的值恒大于零;(2)-10x2-7x-4的值恒小于零.11.证明：关于x的方程(a2-8a+20)x2+2ax+1=0，不论a为何实数，该方程都是一元二次方程.九年级数学一元二次方程教案3教学目标1. 了解整式方程和一元二次方程的概念;2. 知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式。
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第二章一元二次方程第1讲一元二次方程概念及解法【知识要点】:知识结构网络一元二次方程的四种解法直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法1. 直接开平方法是解一元二次方程的常用方法之一，适用于方程经过适当整理后，可化为x2 =bb -0或x a 2二b的形式的方程求解。
当b 一0时，可两边开平方求得方程的解；当b：：： 0时, 方程无实数根。
2. 因式分解法解方程的步骤：（1）将方程一边化为0；（2）将方程另一边分解为两个一次因式的乘积；（3）令每个一次因式等于0,得到两个一元一次方程后求解，它们的解就是原一元二次方程的解。
3. 配方法解一元二次方程的步骤为：（1）化二次项系数为1（2）移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。
（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方（4）原方程变为（x m）^ n 的形式（5）如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解。
4. 公式法解一元二次方程的基本步骤：（1）将方程化为一般形式ax2 bx 0，确定a、b、c的..b b2- 4ac 值；（2）计算b2-4ac的值并判别其符号；（3）若b2-4ac — 0，则利用公式x二」b—4ac求2a 方程的解，若b2 -4ac ：：： 0，则方程无实数解。
【典型例题】(1) 6x 2 —7x —3=0 (用因式分解法)解：(3x1)( 2x - 3) = 0 • 3x 1 二 0 或 2x _3=0 1 3 x 1, x 2 = — 3 2 (2) 3x 2 = 4x 1 （用公式法）解：3x 2 — 4x — 1 = 0.-：=(一4)2 - 4 X 3 X ( _1) = 28 . 0解:手）—2= 3 2, -5 2【经典练习】、直接开方法二、配方法注：（1） 2x 2 -、2x -30 = 0 二、公式法1. 用求根公式法解下列方程(1) x 2 2x —2 =0; -(-4) ± ,28 2 ± ,7(3) 2x -2x-30 0 （用配方法） ,2 x (-2)2 4 二 15 ( (1) (x 1)2 二(1 -2x)(2) (x a)2 = b.2121 (2) 3x2 = 4x 1解：2(2) 2y 8y _1 =0 ;解：2 1⑶2x -3x 0 ;8解：(4) 3y2 -2y =1 ;解：(5) 2x2 5x -1 =0 ;解：2 —(6) x 2..5x 3=0 ;解：(7) 3x2 -4x 5 =0 ;解：(7)方程无实数根；(8) 、2x2 4 3x - 2 .2 =0 ;解：(9) 0.02x2 - 0.03x =0.35 ;解：(9)先在方程两边同乘以100,化为整数系数，再代入求根公式, (10) (1 2、3)x —x2二、、3(1 、3)解：。
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随堂练习 练习2 将方程(8 – 2x)(5 – 2x)=18化成一元二次方程的一般形式，
并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.
解： (8 – 2x)(5 – 2x)=18 去括号得40 – 16x – 10x+4x2=18 移项得：4x2 – 26x+22=0 其中，二次项系数为4，一次项系数为– 26， 常数项为22.
➢ 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二 次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方 程的根.
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典型例题
例 将方程 3x(x 1) 5(x 2)化成一元二次方程的一般
形式，并指出各项系数．
解：去括号，得 3x2–3x=5x+10
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随堂练习 练习3 当m为何值时，下列方程为一元二次方程？
(1)(m – 1)x2+3x=5； (2)4xm+3 – x – 1=0；
解:(1)由题意得m – 1≠0， ∴m ≠1.
(2)由题意得m +3=2， ∴m = – 1.
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归纳总结
思考：b，c可以为0吗? 可以
➢ 等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未 知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.
➢ 一元二次方程的一般形式： ax2+bx+c=0(a≠0)
其中ax2是二次项，a是二次项系数； bx是一次项，b是一次项系数； c是常数项.
(100 – 2x)(50 – 2x)=3600
九年级数学 一元二次方程
初三数学一元二次方程及其解法1、整式方程等号两边都是关于未知数的整式的方程，叫做整式方程．2、一元二次方程一个整式方程整理后如果只含有一个未知数，且未知数的最高次项的次数为2次的方程，叫做一元二次方程．3、一元二次方程的一般形式方程ax2＋bx＋c=0(a、b、c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，＋bx，＋c分别叫做二次项，一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数．4、一元二次方程的解能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解．5、直接开方法形如x2=a(a≥0)和(x＋m)2=n(n≥0)的方程，根据平方根的定义，可采用直接开平方法解方程．6、配方法解一元二次方程例如：将方程x2＋6x＋7=0的常数项移到右边，并将一次项6x改写成2·x·3得：x2＋2·x·3=－7．可以看出，为了使左边成为完全平方式，在方程两边都加上32(即一次项系数一半的平方)得x2＋6x＋32＝－7＋32，整理得(x＋3)2＝2，解这个方程得．这种解一元二次方程的方法叫做配方法．这种方法就是先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数，就可以直接利用开平方法求出它的解．7、一元二次方程的求根公式一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)，当b2－4ac≥0时的根为．该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法．8、一元二次方程的根的判别式(1)当b2－4ac＞0时，一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)有实数根，；(2)当b2－4ac=0时，一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)有实数根；(3)当b2－4ac＜0时，一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)没有实数根．其中b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的根的判别式．9、因式分解法(1)分解因式法：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以将一元二次方程化为两个一元一次方程来求解，从而求出原方程的解，这种解一元二次方程的方法称为分解因式法．(2)用分解因式法解一元二次方程的步骤：①将方程的右边化为0；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．例1、关于x的方程是一元二次方程，则m=______；例2、(1)已知关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a2－1=0的一根是0，则a的值为（）A．1B．－1 C．1或－1D．(2)关于x的方程(m＋2)2x2＋3m2x＋m2－4=0有一根为0，则2m2－4m＋3的值为（）A．3B．19 C．±2D．3或19例3、已知m、n都是方程x2＋2006x－2008=0的根，试求(m2＋2006m－2007)(n2＋2006n ＋2007)的值．例4、解方程(1)x2－4x－3=0；(2)2x2＋3=7x．例5、小明、小华和小英三人共同探讨代数式x2－4x＋5的值的情况，他们进行了明确的分工，小明负责找出最小值，小华负责找出值为0的x的值，小英负责求出最大值，5分钟后，各自通报自己的成绩．例6、解下列方程：(1)；(2)；(3);(4)例7、解方程：例8、(1)解下列方程：x2－2x－2=0①；2x2＋3x－1=0②；2x2－4x＋1=0③；x2＋6x＋3=0④．例9、如果关于x的一元二次方程kx2－2(k＋2)x＋k＋5=0没有实数根，试说明关于x 的方程(k－5)x2－2(k＋2)x＋k=0必有实数根．例10、用因式分解法解下列方程．(1)3(2x－5)2=4(5－2x)；(2)(3x－4)2=(4x－3)2；(3)9(2x＋3)2=25(1－3x)2．。
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喜欢看《红楼梦》黛玉葬花一节，其次就是晴雯送帕，因为其中都深藏哀婉与风情。贾宝玉挨打之后，派晴雯给黛玉送了两块帕子，且是旧绢。晴雯不解，送人持旧，不合适，宝玉责她只管送就是 了。帕子是灵犀之物，深藏了多少爱慕故事，晴雯怎解得了！林黛玉见了帕子，心花怒放，神荡魂驰，当即冷眉舒展，研磨蘸笔，在帕上题诗三首。这旧帕好在一个“旧”字，就像“老情人”“旧相识” 这些词，旧情旧意，一帕唤起，情感无法自持得住了。真的是“一方素帕寄心知，心知接来颠倒看，横也丝，竖也丝”。关键是这个“丝”，就是“思”的谐音，就像“莲子”就是“怜子”，爱你不商 量，可非常含蓄，难尽其意。宝玉此意，黛玉知晓，当即又手持了素帕，捂住了脸蛋，此时真的是面若桃花开，腮上飞红晕。
关于手帕的戏，我觉得有两处很生动。在《西厢记》里，崔莺莺邂逅了书生张生，仅一目，便许下千年，可如何开口求婚配？那崔女也够胆大，情急之中丢一方手帕于他，再来一个回眸百媚生，张 生开窍了，昏灯之下，张生解读这方手帕，那是崔莺莺的一颗心，一腔情，千般意，千种愁。看看，这浪漫而含蓄的表达，虽风情万种，却不露风向；虽赤裸求爱，却尽保面皮。是崔莺莺高明呢？还是 手帕法力无边？可推想，若丢下一片纸巾，即使蓄满馨香，打上花纹，涂上艳色，想必都没有手帕的质感与达意吧。新皇冠app