直线和圆的范围问题汇总

前言直线和圆的最值是圆这一章节的重点内容，也属于拔高题型。

中等及以下学生很多学生都是有问题的，为此任老师搜集了五十多道题目，我们只能集中做这些题目，不断的总结相关方法。

直线和圆的范围问题汇总1.在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x＋a＋3)2＋(y－2a)2＝1(a为实数)．若圆O与圆M上分别存在点P，Q，使得∠OQP＝30°，则a的取值范围为________．2.(2015·苏州期末)已知圆M：(x-1)2+(y-1)2=4，直线l：x+y-6=0，A为直线l上一点，若圆M上存在两=60°，则点A的横坐标的取值范围是.点B，C，使得∠BAC3.已知点A(0，2)为圆M：x2+y2-2ax-2ay=0(a>0)外一点，圆M上存在点T使得∠MAT=45°，则实数a 的取值范围是.4.(2015·南京三模)在平面直角坐标系x O y中，圆C的方程为(x-1)2+(y-1)2=9，直线l：y=kx+3与圆C相交于A，B两点，M为弦AB上一动点，若以M为圆心、2为半径的圆与圆C总有公共点，则实数k的取值范围为.5.(2015·苏州调研)已知圆C：(x-a)2+(y-a)2=1(a>0)与直线y=3x相交于P，Q两点，则当△CPQ的面积最大时，实数a的值为.6.在平面直角坐标系x O y中，已知点P(3，0)在圆C：x2+y2-2mx-4y+m2-28=0内，动直线AB过点P且交圆C于A，B两点，若△ABC的面积的最大值为16，则实数m的取值范围为.7.点P(x，y)是圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点，若点P的坐标满足不等式x＋y＋m≥0，则实数m的取值范围是________．8.已知点P(x，y)在圆x2＋(y－1)2＝1上运动．(1)求y－1x－2的最大值与最小值；(2)求2x＋y的最大值与最小值．9.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1，点A(0，2).若圆C上存在点M，满足MA2＋MO2＝10，则实数a的取值范围是________.10.在平面直角坐标系xOy中，点A(1，0)，B(4，0).若直线x－y＋m＝0上存在点P使得PA＝1PB，2则实数m的取值范围是________.11.在平面直角坐标系xOy中，圆M：(x－a)2＋(y＋a－3)2＝1(a＞0)，点N为圆M上任意一点.若以N为圆心，ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点，则a的最小值为________.12.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0.若直线y＝k(x＋1)上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值范围是________.13.已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB＝60°，则实数a的取值范围是________.14.已知点A(1，1)，B(1，3)，圆C：(x－a)2＋(y＋a－2)2＝4上存在点P，使PB2－PA2＝32，则圆心横坐标a的取值范围为________.15.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1，点A(0，2).若圆C上存在点M，满足MA2＋MO2＝10，则实数a的取值范围是________.16.(2017·南京二模)在平面直角坐标系xOy中，圆M：(x－a)2＋(y＋a－3)2＝1(a＞0)，点N为圆M 上任意一点.若以N为圆心，ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点，则a的最小值为________.17.(2017·南京学情调研)在平面直角坐标系xOy中，若直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y －a)2＝16相交于A，B两点，且△ABC为直角三角形，则实数a的值为________．18.(2017·南京三模)在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：(x－a)2＋(y＋a－3)2＝1(a>0)，点N为圆M上任意一点．若以N为圆心、ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点，则a的最小值为________．19.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________.20.已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m＞0).若圆C上存在点P，使得∠APB ＝90°，则m的最大值为________.21.(2017南通第三次调研考试)在平面直角坐标系xOy中,圆C1:(x-1)2+y2=2,圆C2:(x-m)2+(y+m)2=m2,若圆C2上存在一点P满足:过点P向圆C1作两条切线PA,PB,切点分别为A,B,△ABP的面积为1,则正数m的取值范围是.22．(2015·南京模拟)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x－1)2＋y2＝4，P为圆C上一点．若存在一个定圆M，过P作圆M的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，当P在圆C上运动时，使得∠APB恒为60°，则圆M的方程为________．23．(2015·苏、锡、常、镇四市调研)在平面直角坐标系xOy中，已知点P(3,0)在圆C：x2＋y2－2mx －4y＋m2－28＝0内，动直线AB过点P且交圆C于A，B两点，若△ABC的面积的最大值为16，则实数m的取值范围为________．24在平面直角坐标系xOy中，A，B为x轴正半轴上的两个动点，P(异于原点O)为y轴上的一个定点．若以AB为直径的圆与圆x2＋(y－2)2＝1相外切，且∠APB的大小恒为定值，则线段OP的长为________．25已知点A(0，2)为圆M：x2＋y2－2ax－2ay＝0(a＞0)外一点，圆M上存在点T使得∠MAT＝45°，则实数a的取值范围是________________．26在直角坐标系xOy中，圆M：( − )2+( + −3)2=1( >0)，点N为圆M上任意一点，若以N为圆心，ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点，则a的最小值为______．27已知圆C：(x－3)2＋(y－2)2＝r2，若直线3x＋y＝3上存在点P，在圆C上总存在不同的两点M,N 使得点M是线段PN的中点，则圆C的半径的r的取值范围28已知MN圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2的一条弦，且C M C N，点P是MN的中点，当弦MN在圆C上运动时，直线x－3y－5＝0上总存在两点A,B，使得∠APB≥π2恒成立。

求AB长度的最小值。

29在平面直角坐标系xOy中,圆C1:(x－1)2＋y2=2,圆C2:(x－m)2＋(y＋m)2=m2,若圆C2上存在一点P 满足:过点P向圆C1作两条切线PA,PB,切点分别为A,B,△ABP的面积为1,则正数m的取值范围是.30在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x－1)2＋y2＝4，P为圆C上一点．若存在一个定圆M，过P作圆M的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，当P在圆C上运动时，使得∠APB恒为60°，则圆M的方程为________．31在平面直角坐标系xOy中,直线l1:k x－y＋5＝0与直线l2:x＋k y－2＝0相交于于点P,则实数k变化时，点P到直线x－y－2＝0的距离最大值为32在平面直角坐标系xOy中,圆O:x2＋y2＝1,圆M:(x＋a＋3)2＋(y－2a)2＝1,若圆O和圆M分别存在P,Q.使得∠OPQ=30°，求实数a的取值范围33在平面直角坐标系xOy中,圆O:x2＋y2＝1,圆M:(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1,若圆M上存在P,过点P 作圆O的两条切线.切点为A和B,使得∠APB=60°，求实数a的取值范围34在平面直角坐标系xOy中,圆C1:(x＋1)2＋(y－6)2＝25,圆C2:(x－17)2＋(y－30)2＝r2,若圆C2上存在一点P满足,使得过点P可作一条射线与圆C1作依次交于A,B，满足PA＝2PB，则半径r的取值范围是.35在平面直角坐标系xOy中,圆C:x2＋(y－3)2＝2,点A是x轴上一个动点,AP和AQ分别切圆C于P,Q两点，则线段PQ的取值范围是.36在平面直角坐标系xOy中,圆O:x2＋y2＝1,圆C:(x－4)2＋y2＝4,若存在经过P（m,0）的直线l,直线l被两圆截的弦长相等，则m的取值范围是.37在平面直角坐标系xOy中,圆C:(x－1)2＋(y－1)2＝9,直线l:y＝kx＋3与圆C相交于A，B两点，M为弦AB上一动点，以M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，则实数k的取值范围是. 38在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．39在平面直角坐标系xOy 中，点A （3，0），动点P 满足PA=2PO ，动点Q （3a ，4a+5）（a ∈R ），则线段PQ 长度的最小值为．40.在平面直角坐标系xOy 中，若直线(y k x =-上存在一点P ，圆22(1)1x y +-=上存在一点Q ，满足3OP OQ = ，则实数k 的最小值为▲．41在平面直角坐标系xOy 中，若圆1C ：222(1)(0)x y r r +-=>上存在点P ，且点P 关于直线0x y -=的对称点Q 在圆2C ：22(2)(1)1x y -+-=上，则r 的取值范围是42在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(1，1)，B(1，﹣1)，点P 为圆22(4)+4x y -=上任意一点，记△OAP 和△OBP 的面积分别为S 1和S 2，则12S S 的最小值是．43在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：221x y +=，直线l ：30(0)x ay a +-=>，过直线l 上一点P 作圆O 的切线，切点为,M N ，且23PM PN =uuu r uuu r g ，则正实数a 的取值范围是．44在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(m ，0)，B(m ＋4，0)，若圆C ：上存在点P ，使得∠APB ＝45°，则实数m 的取值范围是．45在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝4，若等边△PAB 的一边AB 为圆C 的一条弦，则PC 的最大值为46若直线l :ax y 4a 0上存在相距为2的两个动点A ，B ，圆O :x 2y 21上存在点C ，使得△ABC 为等腰直角三角形（C 为直角顶点），则实数a 的取值范围为．47在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0与x 轴的两个交点分别为A ，B ，其中A 在B 的右侧，以AB 为直径的圆记为圆N ，过点A 作直线l 与圆M ，圆N 分别交于C ，D 两点．若D 为线段AC 的中点，则直线l 的方程为48在平面直角坐标系中，圆22:1O x y +=，圆()221:34O x y -+=，过x 轴负半轴上一点M 作圆O 的切线，与圆O 相切于点A ，与圆1O 分别相交于点,B C ，若AB BC =，则点M 的坐标为▲．49定义：点00(,)M x y 到直线:0l ax by c ++=．已知点(1,0)A -,(1,0)B ，直线m 过点(3,0)P ，若圆22(18)81x y +-=上存在一点C ，使得,,A B C 三点到直线m 的有向距离之和为0，则直线l 的斜率的取值范围为50已知点A （0，1），B （1，0），C （t ，0），点D 是直线AC 上的动点，若AD ≤2BD 恒成立，则的最小正整数t 的值为．51已知圆O ：221x y +=，圆M ：22()(2)2x a y -+-=．若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得PA ⊥PB ，则实数a 的取值范围为．52设点0(,1)M x ，若在圆O ：221x y +=上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则0x 的取值范围是________．53在平面直角坐标系xOy中，圆C1：221730()()x y r-+-=，若圆++-=，圆C2：222162x y)5()(C2上存在一点P，使得过点P可作一条射线与圆C1一次交于点A，B，满足|PA|＝2|AB|，则半径r 的取值范围是．54设点P是函数y图象上任意一点，点Q(2a，a−3)(a∈R)，则|PQ|的最小值为．55当02a<<时，直线l1：224＝和l2：22--ax y a+=+与坐标轴围成一个四边形，则使x a y a224四边形的面积最小时的a值为．．答案1.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x ＋a ＋3)2＋(y －2a )2＝1(a 为实数)．若圆O 与圆M 上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30°，则a 的取值范围为________．【解析】如图，过点Q 作圆O 的切线，设切点为P ′，在圆O 上要存在点P 满足∠OQP ＝30°，即∠OQP ′≥30°.因为sin ∠OQP ′＝OP ′OQ ≥12，所以OQ ≤2.设Q (x ，y )，则x 2＋y 2≤4.因为点Q 在圆M 上，即圆M 与x 2＋y 2≤4有公共点，所以1≤(a ＋3)2＋(－2a )2≤9，解得－65≤a ≤0，所以a 的取值范围为－65，0.2.已知圆M ：(x -1)2+(y -1)2=4，直线l ：x +y -6=0，A 为直线l 上一点，若圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC=60°，则点A 的横坐标的取值范围是.【解析】首先，直线l 与圆M 相离，所以点A 在圆M 外.设AP ，AQ 分别与圆M 相切于点P ，Q ，则∠PAQ≥∠BAC=60°，从而∠MAP≥30°.因为MP=2，所以MA≤4.设A(x 0，6-x 0)，则MA 2=(x 0-1)2+(6-x 0-1)2≤16，解得1≤x 0≤5.3.已知点A(0，2)为圆M ：x 2+y 2-2ax -2ay =0(a >0)外一点，圆M 上存在点T 使得∠MAT=45°，则实数a 的取值范围是.【解析】圆M 的方程可化为(x -a )2+(y -a )2=2a 2，圆心为M(a ，a )，半径为2a .当A ，M ，T 三点共线时，∠MAT=0°最小，当AT 与圆M 相切时，∠MAT 最大.圆M 上存在点T ，使得∠MAT=45°，只需要当∠MAT 最大时，满足45°≤∠MAT<90°即可.MA=22(-0)(-2)+a a =22-44+a a ，此时直线AT 与圆M 相切，所以sin ∠MAT=MT MA =222-44+a a a .因为45°≤∠MAT<90°，所以22≤sin ∠MAT<1，所以22≤222-44+a a a <1，解得3-1≤a <1.4..(2015·南京三模)在平面直角坐标系x O y 中，圆C 的方程为(x -1)2+(y -1)2=9，直线l ：y =kx +3与圆C 相交于A ，B 两点，M 为弦AB 上一动点，若以M 为圆心、2为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k 的取值范围为.【答案】3-4∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭，【解析】由题意得MC≥1对于任意的点M 恒成立，由图形的对称性可知，只需点M 位于AB 的中点时存在即可.由点C(1，1)到直线l 的距离得d≥1，解得k ≥-34.5.(2015·苏州调研)已知圆C ：(x -a )2+(y -a )2=1(a >0)与直线y =3x 相交于P ，Q 两点，则当△CPQ 的面积最大时，实数a 的值为.因为△CPQ 的面积等于12sin ∠PCQ ，所以当∠PCQ=90°时，△CPQ 的面积最大，此时圆心到直线y =3x的距离为2，因此2，解得a=2.已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l ：x ＋y －6＝0，A 为直线l 上一点.若圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，求点A 横坐标的取值范围.(2)过A (a ，b )作AD ，AE 分别与圆M 相切于D ，E 两点，∵∠DAE ≥∠BAC ，∴要使圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，只要作∠DAE ≥60°.∵AM 平分∠DAE ，∴只要30°≤∠DAM <90°.类似于第(1)问，只要12≤sin ∠DAM <1，即2（a －1）2＋（b －1）2≥12且2（a －1）2＋（b －1）2<1.又a ＋b －6＝0，解得1≤a ≤5，即点A 横坐标的取值范围是[1，5].6.在平面直角坐标系x O y 中，已知点P(3，0)在圆C ：x 2+y 2-2mx -4y +m 2-28=0内，动直线AB 过点P 且交圆C于A ，B 两点，若△ABC 的面积的最大值为16，则实数m 的取值范围为.，]∪，)【解析】圆C 的标准方程为(x -m)2+(y -2)2=32，圆心为C(m ，2)，半径为.当△ABC的面积的最大值为16时，∠ACB=90°，此时点C 到AB 的距离为4，所以，即16≤(m -3)2+(0-2)2<32，解得≤|m，即m ∈，]∪，).7.点P (x ，y )是圆x 2＋(y －1)2＝1上任意一点，若点P 的坐标满足不等式x ＋y ＋m ≥0，则实数m 的取值范围是________．[解析]令x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ，则m≥－x －y ＝－1－(sin θ＋cos θ)＝－1－2sinθ∈R 恒成立，所以m ≥2－1.8.已知点P (x ，y )在圆x 2＋(y －1)2＝1上运动．(1)求y －1x －2的最大值与最小值；(2)求2x ＋y 的最大值与最小值．[解答](1)设y －1x －2＝k ，则k 表示点P (x ，y )与点(2,1)连线的斜率．当直线y －1＝k (x －2)与圆相切时，k 取得最大值与最小值．由|2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33，∴y －1x －2的最大值为33，最小值为－33.(2)设2x ＋y ＝m ，则m 表示直线2x ＋y ＝m 在y 轴上的截距．当该直线与圆相切时，m 取得最大值与最小值．由|1－m |5＝1，解得m ＝1±5，∴2x ＋y 的最大值为1＋5，最小值为1－ 5.9.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x －a )2＋(y －a ＋2)2＝1，点A (0，2).若圆C 上存在点M ，满足MA 2＋MO 2＝10，则实数a 的取值范围是________.解析设点M (x ，y )，由题意得点A (0，2)，O (0，0)及MA 2＋MO 2＝10，即x 2＋(y －2)2＋x 2＋y 2＝10，整理得x 2＋(y －1)2＝4，即点M 在圆E ：x 2＋(y －1)2＝4上.若圆C 上存在点M 满足MA 2＋MO 2＝10也就等价于圆E 与圆C 有公共点，所以|2－1|≤CE ≤2＋1，即|2－1|≤a 2＋（a －3）2≤2＋1，整理得1≤2a 2－6a ＋9≤9，解得0≤a ≤3，即实数a 的取值范围是[0，3].答案[0，3]10.在平面直角坐标系xOy 中，点A (1，0)，B (4，0).若直线x －y ＋m ＝0上存在点P 使得PA ＝12PB ，则实数m 的取值范围是________.解析设点P (x ，x ＋m )，由PA ＝12PB ，得2x 2＋2mx ＋m 2－4＝0，则Δ＝32－4m 2≥0，则实数m 的取值范围是[－22，22].答案[－22，22]11.在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：(x －a )2＋(y ＋a －3)2＝1(a ＞0)，点N 为圆M 上任意一点.若以N 为圆心，ON 为半径的圆与圆M 至多有一个公共点，则a 的最小值为________.解析根据题意圆M 与以N 为圆心的圆的位置关系是内切或内含，则d MN ≤d ON －1，即1≤d ON －1，所以d ON ≥2恒成立.因为N 在圆M 上运动，所以d ON 的最小值为d OM －1，即d OM －1≥2，所以a 2＋（3－a ）2≥3，解得a ≥3，所以a 的最小值为3.答案312.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＝0.若直线y ＝k (x ＋1)上存在一点P ，使过P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的取值范围是________.解析由题意知原命题等价于直线上存在点P 使得PC ＝22，从而(PC )min ≤22，即圆心C (2，0)到直线y ＝k (x ＋1)的距离d ＝|3k |1＋k 2≤22，解得－22≤k ≤22.答案[－22，22]13.已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a )2＋(y －a ＋4)2＝1.若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则实数a 的取值范围是________.解析设P (x ，y )，sin ∠OPA ＝sin 30°＝1x 2＋y2，则x 2＋y 2＝4.①又P 在圆M 上，则(x －a )2＋(y －a ＋4)2＝1.②由①②得1≤a 2＋（a －4）2≤3，所以4－22≤a ≤4＋22.答案2－22，2＋2214.已知点A (1，1)，B (1，3)，圆C ：(x －a )2＋(y ＋a －2)2＝4上存在点P ，使PB 2－PA 2＝32，则圆心横坐标a 的取值范围为________.解析设P (x ，y )，则PB 2－PA 2＝(x －1)2＋(y －3)2－(x －1)2－(y －1)2＝－4y ＋8＝32，即y ＝－6，由题意可得圆C 与直线y ＝－6有公共点，则|(2－a )－(－6)|≤2，即|a －8|≤2，解得6≤a ≤10，故实数a 的取值范围是[6，10].答案[6，10]15.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x －a )2＋(y －a ＋2)2＝1，点A (0，2).若圆C 上存在点M ，满足MA 2＋MO 2＝10，则实数a 的取值范围是________.解析设点M (x ，y )，由题意得点A (0，2)，O (0，0)及MA 2＋MO 2＝10，即x 2＋(y －2)2＋x 2＋y 2＝10，整理得x 2＋(y －1)2＝4，即点M 在圆E ：x 2＋(y －1)2＝4上.若圆C 上存在点M 满足MA 2＋MO 2＝10也就等价于圆E 与圆C 有公共点，所以|2－1|≤CE ≤2＋1，即|2－1|≤a 2＋（a －3）2≤2＋1，整理得1≤2a 2－6a ＋9≤9，解得0≤a ≤3，即实数a 的取值范围是[0，3].答案[0，3]16.(2017·南京二模)在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：(x －a )2＋(y ＋a －3)2＝1(a ＞0)，点N 为圆M 上任意一点.若以N 为圆心，ON 为半径的圆与圆M 至多有一个公共点，则a 的最小值为________.解析根据题意圆M 与以N 为圆心的圆的位置关系是内切或内含，则d MN ≤d ON －1，即1≤d ON －1，所以d ON ≥2恒成立.因为N 在圆M 上运动，所以d ON 的最小值为d OM －1，即d OM －1≥2，所以a 2＋（3－a ）2≥3，解得a ≥3，所以a 的最小值为3.答案317.(2017·南京学情调研)在平面直角坐标系xOy 中，若直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝16相交于A ，B 两点，且△ABC 为直角三角形，则实数a 的值为________．答案－1解析因为△ABC 为直角三角形，所以BC ＝AC ＝r ＝4，所以圆心C 到直线AB 的距离为22，从而有|a ＋a －2|a 2＋1＝22，解得a ＝－1.18.(2017·南京三模)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M ：(x －a )2＋(y ＋a －3)2＝1(a >0)，点N 为圆M 上任意一点．若以N 为圆心、ON 为半径的圆与圆M 至多有一个公共点，则a 的最小值为________．答案3解析由题意，得圆N 与圆M 内切或内含，即MN ≤ON －1⇒ON ≥2，又ON ≥OM －1，所以OM ≥3，a 2＋(a －3)2≥3⇒a ≥3或a ≤0，因此a 的最小值为3.19.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________.解析圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，圆心为(4，0).由题意知(4，0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2，即|4k －2|k 2＋1≤2.整理，得3k 2－4k ≤0.解得0≤k ≤43.故k 的最大值是43.答案4320.已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m ＞0).若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为________.解析(1)根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3，4)，半径r ＝1，且AB ＝2m .因为∠APB ＝90°，连接OP ，易知OP ＝12AB ＝m .要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离.因为OC ＝32＋42＝5，所以OP max ＝OC ＋r ＝6，即m 的最大值为6.21.(2017南通第三次调研考试)在平面直角坐标系xOy 中,圆C 1:(x-1)2+y 2=2,圆C 2:(x-m)2+(y+m)2=m 2,若圆C 2上存在一点P 满足:过点P 向圆C 1作两条切线PA,PB,切点分别为A,B,△ABP 的面积为1,则正数m 的取值范围是.答案[1,3+23]22．(2015·南京模拟)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝4，P 为圆C 上一点．若存在一个定圆M ，过P 作圆M 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，当P 在圆C 上运动时，使得∠APB 恒为60°，则圆M 的方程为________．解析设圆M 的半径为r ，则由圆的几何性质可得PM ＝2r .又r 是定值，所以PM 是定值．又点P 在圆C 上，只有到圆心C 的距离是定值，所以点M 与C 重合，即PM ＝PC ＝2，所以r ＝1，故圆M 的方程是(x －1)2＋y 2＝1.答案(x －1)2＋y 2＝123．(2015·苏、锡、常、镇四市调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (3,0)在圆C ：x 2＋y 2－2mx －4y ＋m 2－28＝0内，动直线AB 过点P 且交圆C 于A ，B 两点，若△ABC 的面积的最大值为16，则实数m 的取值范围为________．解析因为点P (3,0)在圆C ：(x －m )2＋(y －2)2＝32内，所以(3－m )2＋(0－2)2＜32，解得3－27＜m ＜3＋27①.设圆心C 到直线AB 的距离为d ，则d ∈[0，PC ]，△ABC 的面积为12AB ·d ＝12×2r 2－d 2·d ＝(32－d 2)d 2≤32－d 2＋d 22＝16，当且仅当d ＝4时取等号，所以4≤PC ＝(m －3)2＋4，解得m ≥3＋23或m ≤3－23，与①取交集可得实数m 的取值范围是[3＋23，3＋27)∪(3－27，3－23]．答案[3＋23，3＋27)∪(3－27，3－23]24在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 为x 轴正半轴上的两个动点，P (异于原点O )为y 轴上的一个定点．若以AB 为直径的圆与圆x 2＋(y －2)2＝1相外切，且∠APB 的大小恒为定值，则线段OP 的长为________．答案：3(考查两圆的位置关系，定值问题处理方法)25已知点A(0，2)为圆M ：x 2＋y 2－2ax －2ay ＝0(a ＞0)外一点，圆M 上存在点T 使得∠MAT ＝45°，则实数a 的取值范围是________________．答案：3－1≤a ＜1解析：点A(0，2)在圆M ：x 2＋y 2－2ax －2ay ＝0(a ＞0)外，得4－4a ＞0，则a ＜1.圆M 上存在点T 使得∠MAT ＝45°，则AM 2≤r ＝2a ，即AM≤2a ，(a －2)2＋a 2≤4a 2(a ＞0)，解得3－1≤a.综上，实数a 的取值范围是3－1≤a ＜1.（考查了点与圆的位置关系，两点之间的距离，一元二次不等式解法等内容）26在直角坐标系xOy 中，圆M ：( − )2+( + −3)2=1( >0)，点N 为圆M 上任意一点，若以N 为圆心，ON 为半径的圆与圆M 至多有一个公共点，则a 的最小值为______．27已知圆C ：(x －3)2＋(y －2)2＝r 2，若直线3x ＋y ＝3上存在点P ，在圆C 上总存在不同的两点M,N 使得点M 是线段PN 的中点，则圆C 的半径的r 的取值范围28已知MN 圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2的一条弦，且C M C N ，点P 是MN 的中点，当弦MN 在圆C 上运动时，直线x －3y －5＝0上总存在两点A,B ，使得∠APB≥π2恒成立。