最新根式与分数指数幂
数学人教A版必修第一册4.1.1n次方根与分数指数幂课件
（）
⋅ ； （） · .
解： (1) ⋅ = ⋅ = ；
(2) ⋅ =
⋅ =
= .
巩固练习
例4 计算下式各式(式中字母均是正数).
2
3
1
2
1
2
1
3
1
6
5
6
1
4
3
8 8
（1）(2a b )(6a b ) ( 3a b )；（2）(m n ) ；
课堂检测：
3
2
1．将 5 写成根式的形式，正确的是 ( D )
5 3
3 2
3
A. 5
B.
5 C．
D. 53
2
4
2．计算 （－5）4的结果是 ( A )
A．5
B．－5
C．±5
D．不确定
1
3．若 a< ，则化简 （4a－1）2的结果是 ( B )
4
A．4a－1
B．1－4a
C．－ 4a－1
D底数不变，指数相加
同底数幂相除，底数不变，指数相减
⟹幂的乘方，底数不变，指数相乘
⟹积的乘方，等于积的每一个因式分别乘
方，再把所得的幂相乘
5.分数指数幂的运算性质
注意：①法则的逆用： ①+ = > , , ∈
② =
③ =
=
= ；
=
法二：
−
法三：
−
−
根式与分数指数幂
（1） 4 1004 =100
（2）
5 (0.1)5 = －0.1
（3）
( 4)2 = | π－4 = 4 － π
（4）
|
6 ( x y)6 ( x y) = | x－y = x－y
|
阅读分数指数幂，回答以下问题： （1）分数指数幂是如何定义的； （2）有理指数幂的运算性质是怎样的；
（3）( a b ) n = a m b n
a m ÷a n = a m ×b －n = a m－n
a n
b
= ( a ×b －1 ) n = a n × b
－n
an bn
3）根式又是如何定义的？有那些规定？ 如果一个数的平方等于 a ，则这个数叫做 a 的平方根； 如果一个数的立方等于 a ，则这个数叫做 a 的立方根； 如果一个数的 n 次方等于 a ，则这个数叫做 a 的 n 次方根；
练习
a ＞ 0，m、n∈N *，n ＞ 1
正数的正分数指数幂的意义：
m
a n n am
正数的负分数指数幂的意义：
m
a n
1
m
an
0 的正分数指数幂等于 0 ； 0 的负分数指数幂没有意义
有理指数幂的运算性质： ( a＞ 0，b ＞ 0，r、s∈ Q ) （1）a r×a s = a r + s （2）( a r ) s = a rs （3）( ab ) r = a r×b r
(m n)2
(2)
3 (m n)2
2
(m n)3 (4)
p6 q5 ( p 0)
5
p3 q2
学生板演
3、求下列各式的值：
2
（1） 27 3
2.1.1根式与分数指数幂
课堂检测
D、25 D、81
6 6
A 、3 3、化简： (
2
3
B、－3
2
A）
C、 3
b ) _______ ； (a b)
3
= ；
4、计算： ( 5) =
4
；
5
32
a 1
4
________ (其中 a ≤1).
第二章 基本初等函数（Ｉ） ２.１ 指数函数
２.１.１根式与分数指数幂
导
【考纲要求】 1、通过与初中所学的知识进 行类比，了解分数指数幂的概 念及有理数指数幂的性质. 2、理解分数指数幂和根式的 概念； 掌握分数指数幂和根式之 间的互化.
1、 （1） (2)2 4 ，那么 2 就叫 4 的 二次方根 ； 33 27 ，那么 3 就叫 27 的 三次方根 ； (3)4 81 ，那么 3 就叫做 81 的 4次方根 ；
n为奇数, a的n次方根只有一个,为n a a为负数: n为偶数, a的n次方根不存在.
零的 n 次方根
n
0 0
a a；
a, a 0 a | a | a, a 0
n
当 n 为偶数时,
n
检
【反馈检测】
1、 625 的 4 次方根是（ C ） A 、5 B、－5 C、±5
=
=
2 (a 0, m N ) . (a 0, m N ) .
a
5
=
；
5
4 3
；
（1） 例例 31、
3
8
4
32 —
4
4
3
分数指数幂与根式
当n是偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数， 这时，
负数没有偶次方根，零的任何次方根是零
．
师：根据上述分析，可以得到根式的性质．
师：下面通过一些练习，巩固上述所学的内容(用幻灯逐 题演示，师生共同讨论) 例1 求下列各式的值：
为了更进一步地研究根式，下面我们引入与根式
一、素质教育目标 (一)知识教学点 1．n次方根的概念． 2．n次方根的有关性质及其应用． (二)能力训练点 1．培养学生运用概念分析问题的能力． 2．根据定义和性质进行逻辑推理和运算化简，提高学生 的数学应用能力． (三)德育渗透点 1．培养学生观察、分析、探究问题的科学精神． 2．通过推理和运算等训练，培养学生严谨治学、一丝不 苟的习惯． 二、教学的重点、难点、疑点及解决方法 1．教学重点：n次方根的概念、性质、以及应用． 2．教学难点：n次方根的性质以及应用．
3．教学疑点：
4．解决方法：熟练掌握n次方根的性质． 三、课时安排 本课题安排1课时(或2课时)． 四、教学过程设计 首先回顾一下以前学过的平方根，立方根的概念，请一 位同学叙述平方根，立方根的概念． 生：如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x 叫做a的平方根，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那 么这个数x叫做a的立方根． 师：平方根、立方根有哪些性质？
这就是说，当根式的被开方数的指数能被根指数整除 时，根式可以写成分数指数幂形式． 当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式 也可以写成分数指数幂的形式． ．
应当注意：非零数的零次幂是1，即a°＝1(a≠0)，零的 正分数次
规定了分数指数幂的意义后，指数从整数推广到了有 理数．
请一位同学叙述一下以前学过的整数指数幂的运算性 质： 生：(1)am·an＝am+n；(m、n∈正)，即同底数的幂相 乘，底数不变，指数相加． (2)(am)n＝amn(m、n∈正)，即幂的乘方，底数不变， 指数相乘． (3)(ab)n=anbn(n∈正)，即积的乘方等于乘方的积． 师：上述的幂的运算性质，今后对于有理指数幂也同 样适例2 求下列各式的值用，以下可以运用幂的运 算性质进行化简求值．
2.1.1(1)分数指数幂和根式
3.根式运算性质：
问题1：若对一个数先开方，再乘方（同次）， 结果是什么？ n n ①（ a） a ，即一个数先开方，再乘方
（同次），结果仍为被开方数。
问题2：若对一个数先乘方，再开方（同次）， 结果又是什么？ 5，5 4 3 例4：求 3 (2) 2 ， 34 ， (3) 2
②
n
a , n为奇数； a | a |, n为偶数
；
5 （4）
a
10
_____, a
3
12
_______ ；
5 （5）5 2） ___,7 (3) 7 _____ （
6 （6）
(4) ____, 5 ______ .
6 4 4
1.正数的正分数指数幂的意义：
a a (a 0, m, n N *,且n 1)
说明： （1）分数指数幂的意义只是一种规定，前面所 举的例子只表示这种规定的合理性； （2）规定了分数指数幂的意义以后，指数的概 念就从整数指数推广到了有理数指数；
（3）可以验证整数指数幂的运算性质，对于 有理数幂也同样适用，
；
a a a
r s
r s
r
r s
(a 0, r, s Q)
(a ) a (a 0, r, s Q)
n
例.求值 ①
3
(8)
3
；
② (10 ) 2 ； ③
4
(3 )
2
4
；
④ ( a b) ( a b) .
课堂练习一： 求下列各式的值:(1) 5 32
(3)4 (2)
(3)
( 2 3 )2
(4) 5 2 6
备选练习:化简下列各式:
根式和分数指数幂
12 3
8 = (8 ) = 8
2 3
n m n n m n
2 3 3
2 3
n
a =
m
(a ) = a (a > 0, m, n ∈ N *, 且n > 1)
⒈正分数指数幂的意义 正数的正分数指数幂的定义： ⑴正数的正分数指数幂的定义：
m 用语言叙述： 次幂(m,n∈N*,且n>1) 用语言叙述：正数的 n 次幂 ∈ 且
小结： 分数指数幂的意义及运算性质 小结 ①
指数概念的扩充，引入分数指数幂概念后， ②指数概念的扩充，引入分数指数幂概念后， 指数概念就实现了由整数指数幂向有理数指数 幂的扩充 ． 而且有理指数幂的运算性质对于无理指数幂也适 用，这样指数概念就扩充到了整个实数范围。 这样指数概念就扩充到了整个实数范围。
正数的负分数指数幂的意义和正数的负整 数指数幂的意义相仿，就是倒数： 数指数幂的意义相仿，就是倒数：
m − n
a
=
1 a
m n
=
1
n
(a>0,m,n∈N*,且n>1). ∈ 且
a
m
规定： 的正分数指数幂等于 的正分数指数幂等于0； 的负分数指 规定 ： 0的正分数指数幂等于 ； 0的负分数指 数幂没有意义. 数幂没有意义
⑴ ar·as=ar+s (a>0,r,s∈R)； ∈ ； ⑵ (ar)s=ars (a>0,r,s∈R)； ∈ ； ⑶ (ab)r=ar br (a>0,b>0,r∈R). ∈
1.正数的正分数指数幂的意义： 正数的正分数指数幂的意义： 正数的正分数指数幂的意义 m
a
n
=
− m n
新高考数学复习考点知识与题型专题讲解15---n次方根与分数指数幂(解析版)
新高考数学复习考点知识与题型专题讲解15 n 次方根与分数指数幂1．根式的概念一般地，如果x n ＝a ，那么x 叫做a 的，其中n >1，且n ∈N *.(1)当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时，a 的n 次方根用符号 表示．(2)当n 是偶数时，正数a 的n 次方根有两个，记为，负数没有偶次方根．(3)0的任何次方根都是0，记作.式子na 叫做根式，其中n (n >1，且n ∈N *)叫做根指数，a 叫做被开方数．2．根式的性质根据n 次方根的意义，可以得到： (1)(na )n ＝.(2)当n 是奇数时，n a n ＝a ；当n 是偶数时，na n ＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.注意：(n a )n 中当n 为奇数时，a ∈R ；n 为偶数时，a ≥0，而(na n )中a ∈R . 答案：n 次方根n a ±n a n0＝0a题型一 指数与指数幂的运算1．已知4230.2,0.3,0.4a b c ===，则（ ）A ．b a c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．a b c << 【答案】B【解析】∵40.20.0016a ==，20.30.09b ==，30.40.064c ==， ∴b c a >>， 故选B ．题型二 根式、指数幂的化简、求值2．若0xy ≠=- A ．0x >，0y >B ．0x >，0y < C ．0x <，0y >D ．0x <，0y < 【答案】C【解析】0xy ≠，0x ∴≠，0y ≠．由 23000x y xy y ⎧>⎪->⎨⎪>⎩，得 00x y <⎧⎨>⎩.故选C.3．已知函数()22333xxf x =+，则12100101101101f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭________.【答案】50【解析】()()119999939119393939399339x xxx x xxx xx xf x f x --+-=+=+=+=++++++， 设12100101101101S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，110029950512101101101101101101S ff f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦1100100=⨯=. 因此，1210050101101101f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：50.题型三 根数指数幂与根式的互化4．若()3432x --有意义，则实数x 的取值范围是 A ．(),-∞+∞B ．33,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】要使34(32)x -=-需使320x ->，解得32x <，表示为区间形式即3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.故选C.1 ）A ．．C 【答案】A【解析】由题意，可知0a ≥，()11111116363623a a a a a a +=-⋅=-⋅=-=-=故选：A.2．把(a -(1)a -移到根号内等于（ ）A ．．【答案】C 【解析】解：由101a-，得1a <，则10a -<，(a ∴-故选：C ．32，结果是（ ）A ．6x ―6B ．―6x +6C ．―4D ．4 【答案】D【解析】2，∴29610350x x x ⎧-+≥⎨-≥⎩，∴53x ≥，22=31(35)4x x =---= 故选：D.4．某工厂一年中第十二个月的产量是第一个月产量的a 倍，那么该工厂这一年的月平均增长率是（ ）A ．11a B ．12aC ．1D 1 【答案】D【解析】设月平均增长率为x ，据条件可知：()111x a +=，所以1x +=1x =， 故选：D.5．已知a =，则21211a a a a-+-化简求值的结果是（ ）A ．0B ．1．1 【答案】B【解析】由已知，01a <<22121(1)1111(1)a a a a a a a a a a-+--=----- 1111a a a a=-+-=-,代入2a ==原式211== 故选：B6．下列各式中成立的是（ ）A ．7177n n m m ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．C32()x y +D 3π=- 【答案】D【解析】对于A ，777n n m m -⎛⎫= ⎪⎝⎭，故A 错误；对于B =B 错误； 对于C ，显然不成立，故C 错误；对于D 33ππ=-=-，故D 正确. 故选：D.7________． 【答案】1-202x x -≥⇒≤．|2||3|(2)(3)1x x x x =---=---=-． 故答案为：1-8．已知m 、n 是方程2530x x ++=的两根，则______．【答案】-【解析】对于方程2530x x ++=，2543130∆=-⨯=>，由韦达定理可得53m n mn +=-⎧⎨=⎩，0m ∴<，0n <，因此，==-=-故答案为：-9．化简：（1（2|3)x <【答案】（11；（2）22(31),4(13).x x x ---<<⎧⎨-≤<⎩ .【解析】（1）原式(11=+(111=++1111=+=.（2）原式=13x x =--+()()13,3113,13x x x x x x ⎧----<<⎪=⎨---≤<⎪⎩，22(31),4(13).x x x ---<<⎧=⎨-≤<⎩ 10．化简下列各式． （Ⅰ）计算：10.25021116()()812-+--；（Ⅱ）若为a ，b 正数，化简(-÷． 【答案】（Ⅰ）6；（Ⅱ）24b .【解析】（1）原式40.254(3)16--=+-=；（2）原式()()12211133342423424a b a b a b b ----⎛⎫=⨯-⨯-÷= ⎪⎝⎭．。
根式,分数指数幂27-30讲义
第27讲 根 式 一 知识点精讲1整数指数幂概念 =n a =0a (0≠a ) =-na *∈≠N n a ,02整数指数幂运算性质：=⋅n m a a =nm a )( =nab )( 3．根式的概念：一般地，如果a x n=，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *． 如何求出x当2=n 时，a 的范围是 =x 当3=n 时，a 的范围是 =x4 任何实数都有奇次方根，正数的奇次方根为正，负数的奇次方根为负，0的奇次方根为0 正数的偶次方根有两个，负数没有偶次方根；0的偶次方根是0， 5.根式运算性质：①a a nn =）（ ②当n 是奇数时，a a nn=，当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a n n二 典例解析： 例1.与aa 1-的值相等是（ ） A. a B. a - C. a - D. a -- 例2 求下列各式的值：（1）338）（－ （2）210）（－（3）443）－（π （4）)(2b a b a >-）（（5）.,325- （6） .)3(4- （7）.)32(2-（8）.625- （9）11410104848++（11）;246347625---++ （12）63125.132⨯⨯例3 判断正误（1）a a nn =）（ （2） a a nn= （3）a a =2 （4）a a =33例4.已知02)2(4-+-x x 有意义，求实数的取值范围例5.若x x x 211442-=+- 求实数x 的取值范围.例6 若36221144x x x -=+- 求实数x 的取值范围例7．985316,8,4,2,2从小到大的排列顺序是 。
例8．已知),0(56>-=a a x求xx xx a a a a ----33的值。
第28讲 分数指数幂一 知识点精讲 例子：当0>a ①5102552510)(a a a a=== ②3124334312)(a a a a===③32333232)(a a a ==④21221)(a a a ==通过以上例子可以得出结论： 2 分数指数幂概念 =nma （1,,,0>∈>*n N n m a ）=pq a （1,,,0>∈>*p N q p a ） =-nm a（1,,,0>∈>*n N n m a ）3有理指数幂运算性质（可以扩充到实数集）Q s r a ∈>,,0 （1） =⋅s r a a （2）=s r a )( （3）=r ab )((4)0的正分数指数幂等于 (5)0的负分数指数幂二 典例解析：例1 求值： （1）328 （2）21100－ （3）341－）（ （4）。
4.1.1n次方根与分数指数幂【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件
1、利用分数指数幂 进行根式运算时，其 顺序是先把根式化为 分数指数幂的运算性 质进行计算。
2、计算结果不强求 用什么形式来表示， 但结果不能同时含有 根号和分数指数幂， 也不能同时存在分式 和负分数指数幂。
4.1.1n次方根与分数指数幂【新教材 】人教A 版（） 高中数 学必修 第一册 课件
4.1.1n次方根与分数指数幂【新教材 】人教A 版（） 高中数 学必修 第一册 课件
4.1.1n次方根与分数指数幂【新教材 】人教A 版（） 高中数 学必修 第一册 课件
4.1.1n次方根与分数指数幂【新教材 】人教A 版（） 高中数 学必修 第一册 课件
例题讲解
立德树人 和谐发展
题型三 根式与分数指数幂的互化 例3.用分数指数幂的形式表或下列各式（a＞0）
a2 ；3 a2 . a a3
4.1.1n次方根与分数指数幂【新教材 】人教A 版（） 高中数 学必修 第一册 课件
新知初探
探究:
分数指数幂
10
5 a10 5 (a2 )5 a2 a 5 (a 0),
12
4 a12 4 (a3 )4 a3 a 4 (a 0).
立德树人 和谐发展
0的正分数指数幂等于0, 0 的负分数指数幂没有意义.
且互为相反数；当 n 为奇数时，正数 a 的 n 次方根只有一
个且仍为正数．
2的字母
a
的取值范围是否一样？
提示：取值范围不同．式子(n a)n 中隐含 a 是有意义的，若 n
n
为偶数，则 a≥0，若 n 为奇数，a∈R ；式子 an中，a∈R .
例题讲解
题型一 根式的化简(求值)
例1 求下列各式的值
(1) 3 (8)3
n次方根与分数指数幂ppt课件
（2） 0的指数幂：0的正分数指数幂是0，0的负分数指数
幂没有意义.
（3） 指数概念在引入了分数指数幂概念后 ，指数概念就
实现了由整数指数幂向有理指数幂的扩充.
（4）在进行指数幂运算时，应化负指数为正指数，化根
式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，这样便于进
行乘、除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的.
③(ab)r=ar·
br(b>0)
④ar÷as=ar－s
r
(5)( ) =
(a>0,b>0,r∈R).
类比推广：实数指数幂
实数指数幂ax(a>0)
整数指数幂
分数指数幂
p
q
正数 a a a a (n个a相乘)
n
负数
0
a
n
1
n
a
a a
a
p
q
q
1
a
p
q
无理数指数幂
为什么负数没有偶
次方根？
构建数学
二、根式运算性质
若n 1且n N , 则 :
①( n a ) n a
注 : n为奇数时, a R; n为偶数时, a 0.
a, n为奇数
②n a n
| a |, n为偶数
2
2 ____
2
3
3
(3 )3 _____
(5)a a
2
12
12
2
( a a 1 ) 2 a 2 a 2 2 25, a 2 a 2 23.
12 2
1
2
1
根式与分数指数幂的互化公式
根式与分数指数幂的互化公式在初中数学学习中，我们经常会接触到关于根式与分数指数幂的互化公式。
这个公式在代数中具有非常重要的作用，能够方便我们进行运算和推导。
下面，就让我们来详细了解一下这个公式及其应用。
首先，我们需要明确一些基础概念。
根式是一个含有根号的式子，例如√2、∛3等。
而分数指数幂则是指数为分数的幂运算，例如2的1/2次方（即根号下2）、3的2/3次方等。
它们之间通过互化公式建立起了数学上的关系。
对于根式来说，我们经常需要将其转化为分数指数幂的形式，可以使用以下互化公式：√a = a的1/2次方∛a = a的1/3次方由此可见，任何一个根式都可以用分数指数幂来表示，并且我们可以通过指数的大小关系，对根式进行大小比较。
与此同时，对于分数指数幂，我们也可以利用互化公式将其转化为根式的形式，具体公式如下：a的分数次方 = 分母根号下a的分子次方例如：2的1/2次方= √23的2/3次方 = 3的1/3次方的平方根 = ∛3的2次方= √(√3) 通过这些互化公式的使用，我们可以方便地将根式和分数指数幂进行相互转化，并且可以将它们运用到各种代数运算中，例如加减、乘除等都可以利用互化公式进行简化。
除此之外，根式与分数指数幂的互化公式在平面几何和立体几何中也有非常广泛的应用，例如在构造三角形和正方体等图形时，经常需要将根式转化为分数指数幂的形式，从而方便计算。
而在解题过程中，我们也可以利用互化公式进行代数化简，找到已知条件与问题之间的联系。
总的来说，根式与分数指数幂的互化公式是数学学习中非常重要的一个知识点，它不仅能够帮助我们简化复杂的式子，还可以在实际问题中发挥重要的作用。
因此，在学习中一定要重视这个知识点，掌握互化公式的运用方法，以便更好地应用于数学实践中。
《根式及分数指数幂》知识点
1 根式及分数指数幂
1、根式定义：
一般地，若*),1(N n n a x n ∈>= 则x 叫做a 的n
叫做根式，n 叫做根指数，
a 叫做被开方数
2、性质：
①当n 为奇数时：正数的n 次方根为正数，负数的n 次方根为负数 记作： n a x = ②当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个（互为相反数） 记作：
n a x ±= ③负数没有偶次方根， ④ 0的任何次方根为0
3、常用公式：
根据n 次方根的定义，易得到以下三组常用公式： ①当n 为任意正整数时，(n a )n =a.例如，(327)3=27，(532-)5=-32.
②当n 为奇数时，n n a =a ；当n 为偶数时，n n
a =|a|=⎩⎨⎧<-≥)0()0(a a a a . 例如，33)2(-=-2，552=2；443=3，2)3(-=|-3|=3. ③根式的基本性质：n m np mp a a =，
（a ≥0）. 4、正数的正分数指数幂的意义
n m n m
a a = (a ＞0,m ,n ∈N *,且n ＞1)
5、要注意两点：一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是根式与分数指数幂可以进行互化.另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定：
(1)n m
n m
a a 1
=- (a ＞0，m ,n ∈N *,且n ＞1) (2)0的正分数指数幂等于0.
(3)0的负分数指数幂无意义.。
名师教你巧辨高中数学“分数指数幂与根式的关系”
名师教你巧辨高中数学“分数指数幂与根式的关系”
很多高中学生对分数指数幂和根式的关系难以区分，甚至看到此类题型脑袋就炸开锅了。
来吧，请随小编一起去请教名师妙招去！
以高中数学核心考点15 “根式和分数指数幂”为例
【考点归纳】
1．根式的概念
2.两个重要公式
3.有理数指数幂
分数指数幂的表示
①正数的正分数指数幂是：②正数的负分数指数幂是：
③0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义．
【名师点睛】（名师的总结指导，希望同学们可以反复思考。
）分数指数幂与根式的关系
根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．。
2022-2023学年人教A版必修第一册 4-1-1 n次方根与分数指数幂 课件(35张)
精梳理·自主学习固基础
【主题 1】 根式及相关概念 1．a 的 n 次方根的定义 如果____x_n_＝__a____，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n>1 且 n∈N*. 2．a 的 n 次方根的表示
3.根式 式子n a叫做根式，这里 n 叫做____根__指__数___，a 叫做__被__开__方__数___．
【主题 2】 根式的性质
(1)n 0＝____0____(n∈N*，且 n>1)；
(2)(n a)n＝___a_____(n 为奇数时，a∈R；n 为偶数时，a≥0，其中 n>1，且 n∈N*)；
n (3)
an＝____a____(n
为大于
1
的奇数)；
(4)n an＝____|a_|___＝a，－aa≥0，，a<0 (n 为大于 1 的偶数)．
5．把下列根式化成分数指数幂的形式，其中 a＞0，b＞0.
研习 3 根式与分数指数幂的互化
[典例 3]
(1)若(x－2)
－
3 4
有意义，则实数 x 的取值范围是(
C
)
A．[2，＋∞) B．(－∞，2]
C．(2，＋∞) D．(－∞，2)
(2)用分数指数幂表示下列各式(a＞0，b＞0)：
①3 a·4 a；
② a a a；
4 ③
ab23；
④(3 a)2· ab3.
第四章 指数函数与对数函数
4．1 指 数
第1课时 n次方根与分数指数幂
[ 课标要求]
[ 素养要求]
理解 n 次方根及 n 次根式的
1．理解 n 次方根、n 次根式的概念． 概念，正确运用根式与分数指数
2．能正确运用根式运算性质化简求值． 幂运算性质，化简求值，发展数
高中数学必修一课件：第四章n次方根与分数指数幂
(3)已知x，y∈R，下列等式恒成立的是( B )
A．(6 x－6 y)6＝x－y
8 B.
（x2＋y2）8＝x2＋y2
4 C.
x4－4
y4＝x－y
10 D.
（x＋y）10＝x＋y
题型二 分数指数幂的概念和性质
例2 (1)求下列式子的值． ①10－3； ②(－0.25)－1； ③16－32. 【解析】 ①10－3＝1103＝1 0100＝0.001. ②(－0.25)－1＝－14－1＝－114＝－4. ③16－32＝ 13＝（ 116）3＝413＝614.
(0，＋∞)
(3)根式 式子__n_a___叫做根式，这里n叫做__根__指_数___，a叫做被开方数．
要点2 根式的性质 (1)当n为大于1的整数时，n 0＝0. (2)当n为任何正整数时，(n a)n＝__a__．
(3)当n为奇数时，n an＝__a___； 当n为偶数时，n an＝|a|＝__－__a____a__（ （aa≥ <00））. ，
39 5. a2 a－3÷
3 a－73 a13＝_____1___．
9
11
1 11
解析 原式＝[a2(a－3)2]3÷[(a－7)3(a13)3]2
＝(a92－32)13÷(a－73＋133)12
1
1
＝(a3)3÷(a2)2＝a÷a＝a0＝1.
自助餐
两重根号的根式化简
例 计算 5－2 6＋ 5＋2 6. 【分析】 将5－2 6和5＋2 6配成平方形式． (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝a2＋b2＋2ab； (a－b)2＝a2－2ab＋b2＝a2＋b2－2ab. 【解析】 原式＝ （ 3－ 2）2＋ （ 3＋ 2）2 ＝| 3－ 2|＋| 3＋ 2|＝ 3－ 2＋ 3＋ 2＝2 3.
初中数学中的分数指数与根式
• 根式的局限性：根式虽然具有很多性质，但在实际应用中也存在一定的局限性， 例如在解决某些问题时，可能需要借助其他数学工具和方法。
根式的简化
提取公因式：将根式中的公 因式提取出来
合并同类项：将同类项的根 式合并
平方差公式：利用平方差公 式进行简化
分数指数的应用
计算复杂分数： 通过分数指数 简化计算过程
解方程：利用 分数指数解方 程，提高解题
效率
几何问题：利 用分数指数解 决几何问题， 如面积、体积
等
物理问题：利 用分数指数解 决物理问题， 如速度、加速
度等
03
根式
根式的定义
根式是一种数学 表达式，表示一 个数或一个表达 式的n次方根
根式的一般形式 为：√a，其中a 为被开方数，n 为方指数
初中数学中的分数指数与根式
汇报人：
目录
Contents
01 添 加 目 录 项 标 题 02 分 数 指 数 03 根 式 04 分 数 指 数 与 根 式 的 关 系
01
添加章节标题
02
分数指数
分数指数的定义
分数指数：分数形式的指数函数
形式：a^b/c^d，其中a、b、c、d均为整数
性质：分数指数的底数可以为任何非零实数 运算法则：分数指数的加法、减法、乘法、除法等运算法则与整数 指数相同
式也可以转化为分数指数
分数指数的定义：分数形式 的指数函数
转换方法：通过幂的运算和 根的运算进行转换
分数指数与根式的运算规则
分数指数幂的运算：分数指数幂的运算遵循同底数幂的运算法则，即同底数幂相乘，底数不变， 指数相加。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.根式化简的技巧 ①熟记恒等式：
归纳小结
②注意整体思想、完全平方公式等的运用.
③含参数化简，若开偶次方根，要注意分类讨论. ___________________________________ _______________
知识点二 分数指数幂 1.分数指数幂：
(2) 正数的负分数指数幂的意义：
___________________________________ _______________
方法总结：
题后反思
1.当所求根式含有重根号时，要搞清被开方数，由里向外用 分数指数幂写出，然后再利用性质运算. 2.计算结果形式：不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求， 就用分数指数幂的形式表示，如果有特殊要求，可根据要求给出
(3)规定0的正分数指数幂为 0 ，0的负分数指数 幂 没有意义. 说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以 互换的，分数指数幂只是根式的一种新的写法．
___________________________________ _______________
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2. 有理数指数幂运算性质 由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理 数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以 推广到有理数指数幂，即：
合作探究 探究点1 n次方根的概念
思考: 类比平方根、立方根，猜想：当n为偶数时， 一个数的n次方根有多少个？当n为奇数时呢？
___________________________________ _______________
合作探 究
探究点1 n次方根的概念
归纳：一个数到底有没有n次方根，我们一定先考 虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇 数和偶数这两种情况．
___________________________________ _______________
51.
4
51.4151.4 14
51.41
42
5
2
51.41 51.4
43 15
51.
42
51.
5
结论：一般来说，无理数指数幂ap(a>0，p是一个无理 数)是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质同样 适用于无理数指数幂．
___________________________________ _______________
合作探 究
探究点2 根式的运算性质
根式的运算性质：
___________________________________ _______________
归纳小结
(1)n∈N，且n>1.
___________________________________ _______________
结果，但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又
含有负指数. 3. 运算策略：化负指数为正指数、化根式为分数指数幂、化小 数为分数运算，同时还要注意运算顺序.
___________________________________ _______________