流体力学第四章

等势线方程： Q ln r c1
流线方程：
Q ln r c2
可以看出，等势线是一族对数螺旋线，流线是与等势线正交的对数螺旋线。
二、点汇与点涡叠加的流动
流体自外沿圆周切向进入，又从中央不断流出，这样的流动可以近似地看成 是点汇与点涡叠加。点汇与点涡叠加后的势函数和流函数为：
1
2
Q
2
ln r
轴线的平面内的流动完全相同。所以只需确定一个
含旋转轴平面内的流动过程
如图所示
对于空间的点源
：
Q
4r 2ur
4r 2
r
u0
积分得：
Q
4r
同理对于空间点汇：
Q
4r
其复合流动的速度势为 ：
Q
4
1 r1
1 r2
空间偶极流的速度势为： M cos
4r 2
由此，绕球流动的速度势为：
u0
x
M
4r
2
cos
2
1
2
Q
2
2
ln
r
其等势线方程
c1
re Q
பைடு நூலகம்
流线方程为：
Q c2
re
这种流动的特点与点源与点涡叠加的流动很类似，等势线是是一族对数螺旋
线，流线是与等势线正交的对数螺旋线，只是前者由中心向外流，后者是由四周 向中心流动。
三、 点源和点汇——偶极流
如图4-7所示，在x轴上放置点源与点汇，相距为 2a，并与原点o对称，其强度
A
图4-11 圆球绕流
ur
M u
r
o
u
B x
将 M 2u0 r03 代入上式得绕流圆球流动的势函数为 ：
u0r 1
1 2
r0 r
3
cos
绕圆球流动的流函数 ：
1 2
u
0
r
2
1
r0 r
3
sin
2
对于二维平面势流 ：
ux
x
,uy
y
将上式代入平面流动的连续方程得： 2 2 0 为 拉普拉斯（Laplace）
x 2 y 2
方程
二、流函数
平面流动中，不可压缩流体的连续性方程式为：
ux u y 0 x y
使上式成立的充分必要条件的函数为： u y dx u x dy d
全微分为：
——圆柱体绕流
y
如图所示将一半径为 r0 的无限长圆柱体置于线速度
为 u0无限大均匀直线流流场中，流体从圆柱体垂直u0
•C
方向绕过圆柱 。
X正方向叠加后复杂流动的速度势函数和流函数为： 0
A•
o
u0 x
M 2
x x2 y2
u0
y
M 2
y
x 2 y 2
将流函数 0 的流线称为零流线
•D
y0
求流线图谱的一般方法，应当是先求驻点（图4-9中的A、B两点即为驻点），然
后再求通过驻点的流线。 绕圆柱流动的速度分布为：
ur
r
u0
cos 1
r02 r2
u
1 r
u0 sin 1
r02 r2
压力分布为：
p0
u
2 0
2
p
u 2
2
第五节 绕流球体的运动
流体绕过球体的流动中，所有发生在包含旋转对称
称为点涡强度
图4-5点涡运动
通过上式可推导出点涡的速度势函数与流函数 ：
2
2
ln
r
等势线方程是
2
c1 ，或
常数，即等势线是以从原点出发的半射线；
等流函数方程为
2
ln r
c2，或r
常数，即等流函数线是以原点为中心的一族
同心圆，与等势线正交。
这里需要指出，当 0 时,u 0，此时流动为逆时针方向；当 0 时，u ,0
则流动为顺时针方向。
第三节 势流叠加原理
一、点源与点涡叠加的流动
流体自一点沿圆周切向流出，这样的流动可以近似地看成是点源与点涡叠加 。
令 1和2、1和 2 分别为点源及点涡的势函数和流函数。其复合流动的势函数
和流函数分别为
1
2
Q
2
ln r
2
1
2
(Q ln
r
)
1
2
Q
2
2
ln r
1
2
(Q
ln r)
ax by
由上节分析可得 ： ay bx
均匀直线流的等势线 为等于常数的线； 流线 为等于常数的线。
即等势线是一簇斜率为平行线；
流线是另一簇斜率为平行线。
ax
1）若流动平行于x轴，则函数为
ay
2）若流动平行于y轴，则函数为 by
bx
图4-3 均匀直线流动
二、点源和点汇
z
1 2
u y x
u x y
0或
u y x
u x
y
为某一函数(x, y, z)的全微分的必要和充分条件，即：
u x dx u y dy u z dz d
函数(x, y, z)的全微分为： d dx dy dz
x
y
z
比较前两式得：
ux
x
,uy
y
,uz
z
函数 称为速度势函数或速度势 。
点源：流体从某一点向四周呈直线均匀径向流出的流动，此点称为源点 。 点汇：流体从四周向某点呈直线沿径向均匀流入的流动，此点称为汇点。
点源的速度势函数 与流函数
Q
2
ln
r
Q 2
点汇流动正好是点源流动的逆过程，
其表达式与点源流动形式相同，只是
符号相反。
Q
2
ln
r
Q 2
ur
O
ur
O
(a)
(b)
图4-4点源和点汇
三、点涡
点涡：流体质点沿着同心圆的轨线运动，且其速度大小与半径成反比的流动。
如图4-5所示，点涡又称为自由涡。
如图4-5所示，将坐标原点置于点涡处，流场中
任意点M (r, ) 的速度 u
u
c r
ur 0
u r 可写成
沿任意半径的圆周上的速度环量为：
2
L u ds 0u rd 2ru 2c
x x y y
此式是等势线簇(x, y) c和等流函数线（流线）簇 (x, y) c 互相正交的条件。 亦即在平面势流中，等势线簇和流线簇构成相互正交网格，这种网格称为流网 。
第二节 几种基本的平面势流
一、均匀直线流动
如图4-3所示，设均匀直线流动速度为u，流动方向
与x轴成α角 。
常数
常数
为Q与-Q。如果让它们彼此相互靠近（ 2a 0），且满足
lim 2a Q M
a0 Q
此时的流动称为偶极流。式中是个有限值， 称为偶极矩。
根据势流叠加原理，可求得偶极流势函数：
lim
a0 Q
Q
2
(ln
r1
lnr 2)
lim
a0 Q
Q
2
ln
r1 r2
图4-7点源和点汇
第四节 均匀直线流和偶极流的叠加
x2
y2
M
2u0
图4-9 圆柱体绕流
r02
•B 0 x
由上式可知，零流线是x轴和一圆心在坐标原点，半径为 r0 M / 2u0 的圆。如上 图所示，零流线到A处分成两股，沿上下两个半圆周流到B点又重新汇合。零流
线将流动分成两个区域，即以 r0 为半径 的圆外流动和圆内流动区域。
圆柱绕流可看成是由均匀直线流和偶极流叠加后的复杂流动。
d dx dy
x
y
比较前两式得： u x y , u y x
函数 称为流函数
流函数具有以下特性： （1）同一条流线上的流函数为常数。 （2）平面流动中任意两条流线间的流函数差值等于两条流线间单宽流量。
三、势函数和流函数的关系
根据流函数和势函数可得：
ux
x
y
uy
y
x
上两式交叉相乘，得 0
平面有势流动 ：平面流动是有势的，即流体微团本身没有旋转运动 。
平面有旋流动 ：流体微团旋转角速度不等于零的流动 。
一、速度势函数
在无旋流动中任意流体微团的旋转角速度都为零，即：
x
1 2
u z y
u y z
0或
u z y
u y
z
y
1 u x 2 z
u z x
0或 ux
z
u z x
第四章 理想不可压缩流体无旋流动
第一节 速度势函数和流函数 第二节 几种基本的平面势流 第三节 势流叠加原理 第四节 均匀直线流和偶极流的叠加流动
——圆柱体绕流 第五节 绕流球体的运动
第一节 速度势函数和流函数
平面流动：流体速度都平行于某固定平面，并且在这平面的任意一条垂线上所有 点处的流体质点的物理参量（如速度、压力、密度等）都相同的流动。即所有运 动的函数仅与两个坐标及时间有关。