材料力学：第二章 轴向拉伸和压缩
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在截开面上相应的内力（力或力偶）代替。 ③平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来
计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力 对所留部分而言是外力）。
8
例如： 截面法求N。
P
A
P
截开：
P
A P
简图Biblioteka Baidu
代替：
P
N A
平衡： X 0 N P 0 P N
2. 轴力——轴向拉压杆的内力，用N 表示。
max max( NA((xx)))
20
4. 公式的应用条件： 直杆、杆的截面无突变、截面到载荷作用点有一定 的距离。
5. Saint-Venant原理： 离开载荷作用处一定距离，应力分布与大小不受外载荷作
用方式的影响。 6. 应力集中（Stress Concentration）： 在截面尺寸突变处，应力急剧变大。
N (x)max qL
N
O x
qL
15
§1–3 截面上的应力及强度条件
问题提出：
P
P
P
P
1. 内力大小不能衡量构件强度的大小。 2. 强度：①内力在截面分布集度应力；
②材料承受荷载的能力。
一、应力的概念 1. 定义：由外力引起的内力集度。
16
工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定 义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集 度最大处开始。
max max(NA((xx)))
其中：[]--许用应力， max--危险点的最大工作应力。
依强度准则可进行三种强度计算：
①校核强度：
max
②设计截面尺寸：
Am in
Nmax
[ ]
③许可载荷： Nmax A ; P f ( Ni )
25
F 例题 已知: F=1000kN，b=25mm，h=90mm，
§1–1 轴向拉压的概念及实例
一、概念 轴向拉压的外力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。 轴向拉压的变形特点：杆的变形主要是轴向伸缩，伴随横向 缩扩。 轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向缩短。 轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。
2
力学模型如图
P
轴向拉伸，对应的力称为拉力。
P
轴向压缩，对应的力称为压力。
P P
3
二、
工 程 实 例
4
5
6
§1–2 内力 ·截面法 ·轴力及轴力图
一、内力 指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内
力系的合成（附加内力）。
7
二、截面法 ·轴力 内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的
基础。求内力的一般方法是截面法。
1. 截面法的基本步骤： ① 截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。 ②代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用
[例1] 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、4P、 P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。
OA
BC
D
PA
PB
PC
PD
N1
A
BC
D
PA
PB
PC
PD
解： 求OA段内力N1：设置截面如图
X 0 N1 PA PB PC PD 0
N1 5P 8P 4P P 0 N1 2P 11
变形前
ab cd
受载后 P
a´
b´
c´
d´
P
平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。
纵向纤维变形相同。
19
均匀材料、均匀变形，内力当然均匀分布。
2. 拉伸应力：
P
N
N
A
轴力引起的正应力 —— ： 在横截面上均布。
3. 危险截面及最大工作应力： 危险截面：内力最大的面，截面尺寸最小的面。
危险点：应力最大的点。
N AB A
N AB 2bh
5.32 10 5 2 2590106
118
.2106 Pa
118
.2MPa
120MPa
斜杆强度足够
26
例题
D=350mm，p=1MPa。螺栓 [σ]=40MPa， 求螺栓直径。
解： 油缸盖受到的力 F π D2 p
4
pD
每个螺栓承受轴力为总压力的1/6
即螺栓的轴力为 N F π D2 p
α=200 ，斜杆由两矩形截面杆叠合而成，
〔σ〕=120MPa。试校核斜杆的强度。
A
h
b 解：1、研究节点A的平衡。
B
Cy
X 0 NAB NAC
F F
Y 0 得 F 2NAB cos 0
A
NAB
x
N AC
N AB
F
2 cos
1000103 2 cos 20
5.32105 N
2、强度校核
2. 应力的表示：
①平均应力：
P
M
pM
ΔP ΔA
A
②全应力（总应力）：
pM
lim
Δ A0
Δ Δ
P A
dP dA
17
③全应力分解为：
垂直于截面的应力称为“正应力” (Normal Stress)；
p
M
位于截面内的应力称为“剪应力”(Shearing Stress)。
18
二、拉（压）杆横截面上的应力 1. 变形规律试验及平面假设：
OA
BC
D
PA
PB
PC
PD
同理，求得AB、
N2
BC
D
BC、CD段内力分 别为：
PB
PC
PD
N3
C
D
N2= –3P N3= 5P
PC
PD
N4
D
N4= P
PD
12
轴力图如右图
OA
BC
D
PA
PB
PC
PD
N
2P +
–
3P
5P
+
P
x
轴力图的特点：突变值 = 集中载荷
13
轴力(图)的简便求法： 左左为正(右右为正)
遇到向左的P， 轴力N 增量为正；
遇到向右的P ，单位轴力N 增量为负。
N(x) P() P()
8kN
5kN
3kN
5kN
+
N图
–
3kN 14
[例2] 图示杆长为L，受均匀分布力 q 作用，方向如图，试画出 杆的轴力图。
q
L q
Nx x
解：距左侧x 截面的内力N(x)为：
x
N (x) 0 qdx qx
21
Saint-Venant原理与应力集中示意图
变形示意图： P
a
b
c
P
(红色实线为变形前的线，红色虚线为红色实线变形后的形状。) 应力分布示意图：
P
22
23
24
7. 强度设计准则（Strength Design）： 保证构件不发生强度破坏并有一定安全余量的条件准则。
max
Nmax A
9
3. 轴力的正负规定:
N
N
N 与外法线同向,为正轴力(拉力)
N与外法线反向,为负轴力(压力)
N
N
三、 轴力图—— N (x) 的图象表示。
意 ①反映出轴力与截面位置变化关系，较直观；
义 ②确定出最大轴力的数值 N
及其所在横截面的位置，
P
即确定危险截面位置，为
+
强度计算提供依据。
N>0 N<0
x
10
6 24
根据强度条件
max
N A
得
A
N
即
d 2
4
D2 p
24
螺栓的直径为
d
D2 p
6
0.352 106 6 40106
计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力 对所留部分而言是外力）。
8
例如： 截面法求N。
P
A
P
截开：
P
A P
简图Biblioteka Baidu
代替：
P
N A
平衡： X 0 N P 0 P N
2. 轴力——轴向拉压杆的内力，用N 表示。
max max( NA((xx)))
20
4. 公式的应用条件： 直杆、杆的截面无突变、截面到载荷作用点有一定 的距离。
5. Saint-Venant原理： 离开载荷作用处一定距离，应力分布与大小不受外载荷作
用方式的影响。 6. 应力集中（Stress Concentration）： 在截面尺寸突变处，应力急剧变大。
N (x)max qL
N
O x
qL
15
§1–3 截面上的应力及强度条件
问题提出：
P
P
P
P
1. 内力大小不能衡量构件强度的大小。 2. 强度：①内力在截面分布集度应力；
②材料承受荷载的能力。
一、应力的概念 1. 定义：由外力引起的内力集度。
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工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定 义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集 度最大处开始。
max max(NA((xx)))
其中：[]--许用应力， max--危险点的最大工作应力。
依强度准则可进行三种强度计算：
①校核强度：
max
②设计截面尺寸：
Am in
Nmax
[ ]
③许可载荷： Nmax A ; P f ( Ni )
25
F 例题 已知: F=1000kN，b=25mm，h=90mm，
§1–1 轴向拉压的概念及实例
一、概念 轴向拉压的外力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。 轴向拉压的变形特点：杆的变形主要是轴向伸缩，伴随横向 缩扩。 轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向缩短。 轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。
2
力学模型如图
P
轴向拉伸，对应的力称为拉力。
P
轴向压缩，对应的力称为压力。
P P
3
二、
工 程 实 例
4
5
6
§1–2 内力 ·截面法 ·轴力及轴力图
一、内力 指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内
力系的合成（附加内力）。
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二、截面法 ·轴力 内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的
基础。求内力的一般方法是截面法。
1. 截面法的基本步骤： ① 截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。 ②代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用
[例1] 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、4P、 P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。
OA
BC
D
PA
PB
PC
PD
N1
A
BC
D
PA
PB
PC
PD
解： 求OA段内力N1：设置截面如图
X 0 N1 PA PB PC PD 0
N1 5P 8P 4P P 0 N1 2P 11
变形前
ab cd
受载后 P
a´
b´
c´
d´
P
平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。
纵向纤维变形相同。
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均匀材料、均匀变形，内力当然均匀分布。
2. 拉伸应力：
P
N
N
A
轴力引起的正应力 —— ： 在横截面上均布。
3. 危险截面及最大工作应力： 危险截面：内力最大的面，截面尺寸最小的面。
危险点：应力最大的点。
N AB A
N AB 2bh
5.32 10 5 2 2590106
118
.2106 Pa
118
.2MPa
120MPa
斜杆强度足够
26
例题
D=350mm，p=1MPa。螺栓 [σ]=40MPa， 求螺栓直径。
解： 油缸盖受到的力 F π D2 p
4
pD
每个螺栓承受轴力为总压力的1/6
即螺栓的轴力为 N F π D2 p
α=200 ，斜杆由两矩形截面杆叠合而成，
〔σ〕=120MPa。试校核斜杆的强度。
A
h
b 解：1、研究节点A的平衡。
B
Cy
X 0 NAB NAC
F F
Y 0 得 F 2NAB cos 0
A
NAB
x
N AC
N AB
F
2 cos
1000103 2 cos 20
5.32105 N
2、强度校核
2. 应力的表示：
①平均应力：
P
M
pM
ΔP ΔA
A
②全应力（总应力）：
pM
lim
Δ A0
Δ Δ
P A
dP dA
17
③全应力分解为：
垂直于截面的应力称为“正应力” (Normal Stress)；
p
M
位于截面内的应力称为“剪应力”(Shearing Stress)。
18
二、拉（压）杆横截面上的应力 1. 变形规律试验及平面假设：
OA
BC
D
PA
PB
PC
PD
同理，求得AB、
N2
BC
D
BC、CD段内力分 别为：
PB
PC
PD
N3
C
D
N2= –3P N3= 5P
PC
PD
N4
D
N4= P
PD
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轴力图如右图
OA
BC
D
PA
PB
PC
PD
N
2P +
–
3P
5P
+
P
x
轴力图的特点：突变值 = 集中载荷
13
轴力(图)的简便求法： 左左为正(右右为正)
遇到向左的P， 轴力N 增量为正；
遇到向右的P ，单位轴力N 增量为负。
N(x) P() P()
8kN
5kN
3kN
5kN
+
N图
–
3kN 14
[例2] 图示杆长为L，受均匀分布力 q 作用，方向如图，试画出 杆的轴力图。
q
L q
Nx x
解：距左侧x 截面的内力N(x)为：
x
N (x) 0 qdx qx
21
Saint-Venant原理与应力集中示意图
变形示意图： P
a
b
c
P
(红色实线为变形前的线，红色虚线为红色实线变形后的形状。) 应力分布示意图：
P
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23
24
7. 强度设计准则（Strength Design）： 保证构件不发生强度破坏并有一定安全余量的条件准则。
max
Nmax A
9
3. 轴力的正负规定:
N
N
N 与外法线同向,为正轴力(拉力)
N与外法线反向,为负轴力(压力)
N
N
三、 轴力图—— N (x) 的图象表示。
意 ①反映出轴力与截面位置变化关系，较直观；
义 ②确定出最大轴力的数值 N
及其所在横截面的位置，
P
即确定危险截面位置，为
+
强度计算提供依据。
N>0 N<0
x
10
6 24
根据强度条件
max
N A
得
A
N
即
d 2
4
D2 p
24
螺栓的直径为
d
D2 p
6
0.352 106 6 40106