几何概型的题型及答案
几何概型(有答案)
A
10 10
S
30
x
0 x 30
0 y 30
而二人会面 x y 10
SA P(A)= SS
302-202 = 302
9 5
练习:假设小明家订了一份报纸,送 报人可能在早上6:30至7:30之间把 报纸送到小明家,小明的爸爸离开家 去工作的时间在早上7:00至8:00之 间,问小明的爸爸在离开家前能得到 报纸的概率是多少? 书本上P137例2
练习
在500ml的水中有一个草履虫,现 从中随机取出2ml水样放到显微镜下 观察,则发现草履虫的概率是( ) A.0.5 B.0.4 C.0.004 D.不能确定
练习 取一根长为3米的绳子,拉直后在任意位 置剪断,那么剪得两段的长都不少于1米 1m 1m 的概率有多大?
3m
解:如上图,记“剪得两段绳子长都不 小于1m”为事件A,把绳子三等分,于 是当剪断位置处在中间一段上时,事件 A发生。由于中间一段的长度等于绳子 长的三分之一,所以事件A发生的概率P (A)=1/3。
例9、(1)在面积为S的三角形ABC的AB边上 任取一点P,则三角形PBC的面积小于S∕2的 概率是___; (2)向面积为S的三角形ABC内任投一点P, 则三角形PBC的面积小于S∕2的概率是___;
典型例题讲解
例10、下图的矩形,长为5,宽为2, 在矩形内在随机地撒300颗黄豆,数 得落阴影部分的黄豆数为138颗,则 我们可以估计出阴影部分的面积 为 .
解题方法小结:
对于复杂的实际问题,解题的 关键是要建立概率模型,找出 随机事件与所有基本事件相对 应的几何区域,把问题转化为 几何概型的问题,利用几何概 型公式求解。
练习
高中几何概型试题及答案
高中几何概型试题及答案一、选择题1. 几何概型的概率公式是()。
A. P(A) = 长度(或面积、体积)之比B. P(A) = 面积(或长度、体积)之比C. P(A) = 体积(或长度、面积)之比D. P(A) = 长度(或面积、体积)之比答案:A2. 一个圆的半径为1,随机地在圆内取一点,该点到圆心的距离小于1的概率是()。
A. 0B. 1/2C. 1/4D. 1答案:C3. 一个长方体的长、宽、高分别为3、2、1,随机地在长方体内取一点,该点到长方体的任意一面的距离都小于1的概率是()。
A. 1/2B. 1/3C. 1/6D. 1/9答案:D二、填空题4. 一个圆的半径为2,随机地在圆内取一点,该点到圆心的距离小于1的概率是_________。
答案:1/45. 一个正方体的棱长为4,随机地在正方体内取一点,该点到正方体的任意一面的距离都小于1的概率是_________。
答案:3/8三、解答题6. 一个圆的半径为3,随机地在圆内取一点,求该点到圆心的距离小于2的概率。
解答:首先,我们需要计算圆的面积和半径为2的圆的面积。
圆的面积公式为A = πr²,其中r为半径。
大圆的面积:A1 = π × 3² = 9π小圆的面积:A2 = π × 2² = 4π该点到圆心的距离小于2的概率等于小圆面积与大圆面积之比,即:P(A) = A2 / A1 = 4π / 9π = 4/9答案:4/97. 一个正方体的棱长为5,随机地在正方体内取一点,求该点到正方体的任意一面的距离都小于1的概率。
解答:首先,我们需要计算正方体的体积和棱长为4的正方体的体积。
正方体的体积公式为V = a³,其中a为棱长。
大正方体的体积:V1 = 5³ = 125小正方体的体积:V2 = 4³ = 64该点到正方体的任意一面的距离都小于1的概率等于小正方体体积与大正方体体积之比,即:P(A) = V2 / V1 = 64 / 125答案:64/1258. 一个长方体的长、宽、高分别为6、4、2,随机地在长方体内取一点,求该点到长方体的任意一面的距离都小于1的概率。
几何概型例题及解析
几何概型例题及解析题目:在边长为2的正方形内随机取一个点,则该点到正方形四个顶点的距离都大于1的概率是( )。
A. 1/2B. 1/4C. 3/4D. 1/16解析:在边长为2的正方形内,到四个顶点距离都大于1的区域是一个边长为1的正方形。
因此,所求概率为小正方形的面积与大正方形面积之比,即1/4。
题目:在半径为2的圆内随机取一条弦,则弦长小于等于2√3的概率为( )。
A. 1/4B. 1/2C. 3/4D. √3/2解析:在半径为2的圆内,弦长小于等于2√3的弦对应的圆心角为120°。
因此,所求概率为120°/360° = 1/3,但选项中并没有这个值,可能题目有误或选项不完整。
题目:在区间[0, 2]上随机取两个数x和y,则满足x^2 + y^2 ≤ 2的概率是( )。
A. π/4B. π/2C. 1 - π/4D. 1 - π/2解析:在区间[0, 2]上随机取两个数x和y,对应的平面区域是一个边长为2的正方形。
满足x^2 + y^2 ≤ 2的区域是一个半径为√2的圆在正方形内的部分。
所求概率为圆的面积与正方形面积之比,即π*(√2)^2 / (2*2) = π/2。
题目:在边长为1的正方形内随机取一个点,则该点到正方形中心的距离小于1/2的概率为( )。
A. 1/4B. 1/2C. 3/4D. √2/2解析:在边长为1的正方形内,到中心距离小于1/2的区域是一个边长为1/2的正方形。
因此,所求概率为小正方形的面积与大正方形面积之比,即(1/2)^2 = 1/4。
题目:在三维坐标系中,随机取一个点P(x, y, z),其中x, y, z ∈ [0, 1],则点P到原点O的距离小于等于√2/2的概率为( )。
A. π/6B. π/4C. π/3D. π/2解析:在三维坐标系中,到原点距离小于等于√2/2的点构成一个半径为√2/2的球在[0, 1]^3内的部分。
所求概率为球的体积与[0, 1]^3的体积之比,即(π*(√2/2)^3) / 1^3 = π/6。
高一 几何概型知识点+例题+练习 含答案
1.几何概型的概念设D是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等),每个基本事件可以视为从区域D内随机地取一点,区域D内的每一点被取到的机会都一样;随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点.这时,事件A发生的概率与d的测度(长度、面积、体积等)成正比,与d的形状和位置无关.我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型.2.几何概型的概率计算公式一般地,在几何区域D中随机地取一点,记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A,则事件A发生的概率P(A)=d的测度D的测度.3.要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点(1)无限性:在一次试验中,可能出现的结果有无限多个;(2)等可能性:每个结果的发生具有等可能性.4.随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验,以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法.(2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法.这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数,并赋予每个随机数一定的意义;②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N;③计算频率f n(A)=MN作为所求概率的近似值.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零.(√)(2)几何概型中,每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一点被取到的机会相等.( √ )(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.( √ ) (4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.( √ ) (5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.( × ) (6)从区间[1,10]内任取一个数,取到1的概率是P =19.( × )1.(教材改编)在线段[0,3]上任投一点,则此点坐标小于1的概率为________. 答案 13解析 坐标小于1的区间为[0,1],长度为1,[0,3]区间长度为3,故所求概率为13.2.(2015·山东改编)在区间[0,2]上随机地取一个数x ,则事件“-1≤12log ⎝⎛⎭⎫x +12≤1”发生的概率为________. 答案 34解析 ∵由-1≤12log ⎝⎛⎭⎫x +12≤1,得12≤x +12≤2, ∴0≤x ≤32.∴由几何概型的概率计算公式得所求概率 P =32-02-0=34.3.(2014·辽宁改编)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中,其中AB =2,BC =1,则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是________. 答案 π4解析 设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A , 则P (A )=阴影面积长方形面积=12π·121×2=π4.4.(2014·福建)如图,在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子,有180粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为________.答案 0.18解析 由题意知,这是个几何概型问题, S 阴S 正=1801 000=0.18, ∵S 正=1,∴S 阴=0.18.5.(教材改编)如图,圆中有一内接等腰三角形.假设你在图中随机撒一把黄豆,则它落在阴影部分的概率为________. 答案 1π解析 设圆的半径为R ,由题意知圆内接三角形为等腰直角三角形,其直角边长为2R ,则所求事件的概率为: P =S 阴S 圆=12×2R ×2R πR 2=1π.题型一 与长度、角度有关的几何概型例1 (1)(2015·重庆)在区间[0,5]上随机地选择一个数p ,则方程x 2+2px +3p -2=0有两个负根的概率为________.(2)(2015·烟台模拟)在区间[-π2,π2]上随机取一个数x ,则cos x 的值介于0到12之间的概率为________. 答案 (1)23 (2)13解析 (1)方程x 2+2px +3p -2=0有两个负根,则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0,x 1+x 2<0,x 1·x 2>0,即⎩⎪⎨⎪⎧4p 2-4(3p -2)≥0,-2p <0,3p -2>0,解得p ≥2或23<p ≤1,又p ∈[0,5],则所求概率为P =3+135=1035=23.(2)当-π2≤x ≤π2时,由0≤cos x ≤12,得-π2≤x ≤-π3或π3≤x ≤π2,根据几何概型概率公式得所求概率为13.(3)如图所示,在△ABC 中,∠B =60°,∠C =45°,高AD =3,在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ,求BM <1的概率. 解 因为∠B =60°,∠C =45°,所以∠BAC =75°. 在Rt △ABD 中,AD =3,∠B =60°, 所以BD =AD tan 60°=1,∠BAD =30°.记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ,使BM <1”,则可得∠BAM <∠BAD 时事件N 发生.由几何概型的概率公式,得:P (N )=30°75°=25.引申探究1.本例(2)中,若将“cos x 的值介于0到12”改为“cos x 的值介于0到32”,则概率如何?解 当-π2≤x ≤π2时,由0≤cos x ≤32,得-π2≤x ≤-π6或π6≤x ≤π2,根据几何概型概率公式得所求概率为23.2.若本例(3)中“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ”改为“在线段BC 上找一点M ”,求BM <1的概率.解 依题意知BC =BD +DC =1+3,P (BM <1)=11+3=3-12.思维升华 求解与长度、角度有关的几何概型的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度),然后求解.要特别注意“长度型”与“角度型”的不同.解题的关键是构建事件的区域(长度或角度).(1)如图,在直角坐标系内,射线OT 落在30°角的终边上,任作一条射线OA ,则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________.(2)已知集合A ={x |-1<x <5},B =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x -23-x >0,在集合A 中任取一个元素x ,则事件“x ∈(A ∩B )”的概率是________. 答案 (1)16 (2)16解析 (1)如题图,因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的,所以OA 落在∠yOT 内的概率为60°360°=16. (2)由题意得A ={x |-1<x <5},B ={}x | 2<x <3,故A ∩B ={x |2<x <3}.由几何概型知,在集合A 中任取一个元素x ,则x ∈(A ∩B )的概率为P =16.题型二 与面积有关的几何概型命题点1 与平面图形面积有关的问题例2 (2015·福建改编)如图,矩形ABCD 中,点A 在x 轴上,点B 的坐标为(1,0),且点C 与点D 在函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +1,x ≥0,-12x +1,x <0的图象上.若在矩形ABCD 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于________. 答案 14解析 由图形知C (1,2),D (-2,2),∵S 四边形ABCD =6,S 阴=12×3×1=32.∴P =326=14.命题点2 与线性规划知识交汇命题的问题例3 (2014·重庆)某校早上8:00开始上课,假设该校学生小张与小王在早上7:30~7:50之间到校,且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________. 答案932解析 设小张与小王的到校时间分别为7:00后第x 分钟,第y 分钟,根据题意可画出图形,如图所示,则总事件所占的面积为(50-30)2=400.小张比小王至少早5分钟到校表示的事件A ={(x ,y )|y -x ≥5,30≤x ≤50,30≤y ≤50},如图中阴影部分所示,阴影部分所占的面积为12×15×15=2252,所以小张比小王至少早5分钟到校的概率为P (A )=2252400=932.思维升华 求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时,关键是弄清某事件对应的面积,必要时可根据题意构造两个变量,把变量看成点的坐标,找到全部试验结果构成的平面图形,以便求解.(1)在区间[-π,π]内随机取出两个数分别记为a ,b ,则函数f (x )=x 2+2ax -b 2+π2有零点的概率为________.(2)(2014·湖北改编)由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0,y ≥0,y -x -2≤0确定的平面区域记为Ω1,不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x +y ≤1,x +y ≥-2确定的平面区域为Ω2,在Ω1中随机取一点,则该点恰好在Ω2内的概率为________. 答案 (1)1-π4 (2)78解析 (1)由函数f (x )=x 2+2ax -b 2+π2有零点, 可得Δ=(2a )2-4(-b 2+π2)≥0,整理得a 2+b 2≥π2, 如图所示,(a ,b )可看成坐标平面上的点,试验的全部结果构成的区域为 Ω={(a ,b )|-π≤a ≤π,-π≤b ≤π}, 其面积S Ω=(2π)2=4π2. 事件A 表示函数f (x )有零点,所构成的区域为M ={(a ,b )|a 2+b 2≥π2}, 即图中阴影部分,其面积为S M =4π2-π3,故P (A )=S M S Ω=4π2-π34π2=1-π4.(2)如图,平面区域Ω1就是三角形区域OAB ,平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD ,易知C (-12,32),故由几何概型的概率公式,得所求概率P =S 四边形OACD S △OAB =2-142=78.题型三 与体积有关的几何概型例4 在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点O 为底面ABCD 的中心,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1 内随机取一点P ,则点P 到点O 的距离大于1的概率为________. 答案 1-π12解析 V 正=23=8,V 半球=12×43π×13=23π,V 半球V 正=2π8×3=π12, 故点P 到O 的距离大于1的概率为1-π12.思维升华 求解与体积有关问题的注意点对于与体积有关的几何概型问题,关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间),对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求.如图,在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,有一动点在此长方体内随机运动,则此动点在三棱锥A -A 1BD 内的概率为________.答案 16解析 因为11A A BD A ABD V V --==13·S △ABD ·AA 1=16·S矩形ABCD ·AA 1=16V 长方体,故所求概率为1A A BD V V -长方体=16.12.混淆长度型与面积型几何概型致误典例 (14分)在长度为1的线段上任取两点,将线段分成三段,试求这三条线段能构成三角形的概率.易错分析 不能正确理解题意,无法找出准确的几何度量来计算概率. 规范解答解 设x 、y 表示三段长度中的任意两个. 因为是长度,所以应有0<x <1,0<y <1,0<x +y <1,即(x ,y )对应着坐标系中以(0,1)、(1,0)和(0,0)为顶点的三角形内的点,如图所示.[6分]要形成三角形,由构成三角形的条件知 ⎩⎪⎨⎪⎧x +y >1-x -y ,1-x -y >x -y ,1-x -y >y -x ,所以x <12,y <12,且x +y >12,故图中阴影部分符合构成三角形的条件.[10分] 因为阴影部分的三角形的面积占大三角形面积的14,故这三条线段能构成三角形的概率为14.[14分]温馨提醒 解决几何概型问题的易误点:(1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型,导致错误.(2)利用几何概型的概率公式时,忽视验证事件是否具有等可能性,导致错误.[方法与技巧]1.区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限个. 2.转化思想的应用对一个具体问题,可以将其几何化,如建立坐标系将试验结果和点对应,然后利用几何概型概率公式.(1)一般地,一个连续变量可建立与长度有关的几何概型,只需把这个变量放在坐标轴上即可; (2)若一个随机事件需要用两个变量来描述,则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件,然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型;(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述,则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件,利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型. [失误与防范]1.准确把握几何概型的“测度”是解题关键;2.几何概型中,线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果.A 组 专项基础训练 (时间:40分钟)1.(2014·湖南改编)在区间[-2,3]上随机选取一个数X ,则X ≤1的概率为________. 答案 35解析 在区间[-2,3]上随机选取一个数X ,则X ≤1,即-2≤X ≤1的概率为P =35.2.在区间[-1,4]内取一个数x ,则2x -x 2≥14的概率是________.答案 35解析 不等式22x x -≥14,可化为x 2-x -2≤0, 则-1≤x ≤2,故所求概率为2-(-1)4-(-1)=35.3.已知△ABC 中,∠ABC =60°,AB =2,BC =6,在BC 上任取一点D ,则使△ABD 为钝角三角形的概率为__________. 答案 12解析 如图,当BE =1时,∠AEB 为直角,则点D 在线段BE (不包含B 、E 点)上时,△ABD 为钝角三角形;当BF =4时,∠BAF 为直角,则点D在线段CF (不包含C 、F 点)上时,△ABD 为钝角三角形.所以△ABD 为钝角三角形的概率为1+26=12. 4.设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2,0≤y ≤2表示的平面区域为D ,在区域D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是__________.答案 1-π4解析 如图所示,正方形OABC 及其内部为不等式组表示的区域D ,且区域D 的面积为4,而阴影部分表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域.易知该阴影部分的面积为4-π.因此满足条件的概率是1-π4. 5.已知一只蚂蚁在边长分别为5,12,13的三角形的边上随机爬行,则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为________.答案 45解析 由题意可知,三角形的三条边长的和为5+12+13=30,而蚂蚁要在离三个顶点的距离都大于1的地方爬行,则它爬行的区域长度为3+10+11=24,根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为2430=45. 6.有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱,点O 为这个圆柱底面圆的圆心,在这个圆柱内随机取一点P ,则点P 到点O 的距离大于1的概率为________.答案 23解析 V 圆柱=2π,V 半球=12×43π×13=23π, V 半球V 圆柱=13, 故点P 到O 的距离大于1的概率为23.7.在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数,记为m 和n ,则方程x 2m 2+y 2n 2=1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是________. 答案 12 解析 ∵方程x 2m 2+y 2n2=1表示焦点在x 轴上的椭圆,∴m >n . 如图,由题意知,在矩形ABCD 内任取一点Q (m ,n ),点Q 落在阴影部分的概率即为所求的概率,易知直线m =n 恰好将矩形平分,∴所求的概率为P =12. 8.随机地向半圆0<y <2ax -x 2(a 为正常数)内掷一点,点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点与该点的连线与x 轴的夹角小于π4的概率为______. 答案 12+1π解析 半圆域如图所示:设A 表示事件“原点与该点的连线与x 轴的夹角小于π4,由几何概型的概率计算公式得P (A )=A 的面积半圆的面积=14πa 2+12a 212πa 2=12+1π. 9.随机向边长为5,5,6的三角形中投一点P ,则点P 到三个顶点的距离都不小于1的概率是________.答案 24-π24解析 由题意作图,如图则点P 应落在深色阴影部分,S 三角形=12×6×52-32=12,三个小扇形可合并成一个半圆,故其面积为π2,故点P 到三个顶点的距离都不小于1的概率为12-π212=24-π24. 10.已知向量a =(-2,1),b =(x ,y ).(1)若x ,y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数,求满足a ·b =-1的概率;(2)若x ,y 在连续区间[1,6]上取值,求满足a ·b <0的概率.解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次,所包含的基本事件总数为6×6=36(个); 由a ·b =-1有-2x +y =-1,所以满足a ·b =-1的基本事件为(1,1),(2,3),(3,5),共3个;故满足a ·b =-1的概率为336=112. (2)若x ,y 在连续区间[1,6]上取值,则全部基本事件的结果为Ω={(x ,y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6};满足a ·b <0的基本事件的结果为A ={(x ,y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6且-2x +y <0};画出图形如图,矩形的面积为S 矩形=25,阴影部分的面积为S 阴影=25-12×2×4=21, 故满足a ·b <0的概率为2125. B 组 专项能力提升(时间:30分钟)11.一个长方体空屋子,长,宽,高分别为5米,4米,3米,地面三个角上各装有一个捕蝇器(大小忽略不计),可捕捉距其一米空间内的苍蝇,若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入,并在房间内盘旋,则苍蝇被捕捉的概率是________.答案 π120解析 屋子的体积为5×4×3=60立方米,捕蝇器能捕捉到的空间体积为18×43π×13×3=π2立方米.故苍蝇被捕捉的概率是π260=π120. 12.(2015·湖北改编)在区间[0,1]上随机取两个数x ,y ,记p 1为事件“x +y ≤12”的概率,p 2为事件“xy ≤12”的概率,则下列正确的是________. ①p 1<p 2<12 ②p 2<12<p 1③12<p 2<p 1 ④p 1<12<p 2 答案 ④ 解析 在直角坐标系中,依次作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1,0≤y ≤1,x +y ≤12,⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤1,0≤y ≤1,xy ≤12的可行域如图所示:依题意,p 1=S △ABOS 四边形OCDE ,p 2=S 曲边多边形OEGFC S 四边形OCDE , 而12=S △OEC S 四边形OCDE ,所以p 1<12<p 2. 13.如图,已知点A 在坐标原点,点B 在直线y =1上,点C (3,4),若AB ≤10,则△ABC 的面积大于5的概率是________.答案 524解析 设B (x,1),根据题意知点D (34,1),若△ABC 的面积小于或等于5,则12×DB ×4≤5,即DB ≤52,此时点B 的横坐标x ∈[-74,134],而AB ≤10, 所以点B 的横坐标x ∈[-3,3],所以△ABC 的面积小于或等于5的概率为P =3-(-74)6=1924, 所以△ABC 的面积大于5的概率是1-P =524. 14.已知集合A =[-2,2],B =[-1,1],设M ={(x ,y )|x ∈A ,y ∈B },在集合M 内随机取出一个元素(x ,y ).(1)求以(x ,y )为坐标的点落在圆x 2+y 2=1内的概率;(2)求以(x ,y )为坐标的点到直线x +y =0的距离不大于22的概率.解 (1)集合M 内的点形成的区域面积S =8.因圆x 2+y 2=1的面积S 1=π,故所求概率为S 1S =π8. (2)由题意|x +y |2≤22,即-1≤x +y ≤1,形成的区域如图中阴影部分,阴影部分面积S 2=4, 所求概率为S 2S =12.15.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头,它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为1 h ,乙船停泊时间为2 h ,求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率.解 设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y ,记事件A 为“两船都不需要等待码头空出”,则0≤x ≤24,0≤y ≤24,要使两船都不需要等待码头空出,当且仅当甲比乙早到达1 h 以上或乙比甲早到达2 h 以上,即y -x ≥1或x -y ≥2.故所求事件构成集合A ={(x ,y )|y -x ≥1或x -y ≥2,x ∈[0,24],y ∈[0,24]}.A 为图中阴影部分,全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部.所求概率为P (A )=A 的面积Ω的面积=(24-1)2×12+(24-2)2×12242 =506.5576=1 0131 152.。
高一数学几何概型试题答案及解析
高一数学几何概型试题答案及解析1.在区间上随机取一个数,的值介于0到之间的概率为()A.B.C.D.【答案】A【解析】由,可得或,即或,则的值介于到之间的概率为:.故选A.【考点】几何概型的问题.2.甲乙两人各自在300米长的直线形跑道上跑步,则在任一时刻两人在跑道上相距不超过50米的概率是多少().A.B.C.D.【答案】B【解析】由随机事件特点可知,甲乙两人可以在跑道上任何位置,且互不影响.同时考虑到两人距离不超过50米,将跑到建立数轴,且设甲乙两人的坐标为.则,满足几何概型.,,故B【考点】几何概型.3.向如图中所示正方形内随机地投掷飞镖,飞镖落在阴影部分的概率为 ().A.B.C.D.【答案】C【解析】观察这个图可知:阴影部分是一个小三角形,在直线AB的方程为6x-3y-4=0中,令x=1得A(1,),令y=-1得B(,-1).∴三角形ABC的面积为S=AC×BC=×(1+)(1-)=,则飞镖落在阴影部分(三角形ABC的内部)的概率是:P=.故选C.【考点】几何概型.4.在棱长为3的正方体内任取一个点,则这个点到各面的距离大于1的概率为()A.B.C.D.【答案】C【解析】以这个正方体的中心为中心且边长为1的正方体内.这个小正方体的体积为1,大正方体的体积为27,故概率为p=.【考点】几何概型.5.如图,在△AOB中,已知∠AOB=60°,OA=2,OB=5,在线段OB上任取一点C,则△AOC为钝角三角形的概率为()A.0.6B.0.4C.0.2D.0.1【答案】B【解析】点C的活动范围在线段OB上,所以D的测度为5,△ACO为钝角三角形包含∠OAC,∠OCA为钝角,△AOC为钝角三角形时,∠ACO为钝角,或∠OAB是钝角.当∠ACO=90°时,如下图由勾股定理可求 OC=1;∠OAB=90°时,由直角三角形中的边角关系可得OC=4,BC=1,综上,所以d的测度为2,故△AOC为钝角三角形的概率等于=0.4,故选B.【考点】几何概型.6.欧阳修《卖油翁》中写到:(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔入,而钱不湿.可见“行行出状元”,卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为1.5 cm的圆,中间有边长为0.5 cm的正方形孔,若你随机向铜钱上滴一滴油,则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为.【答案】【解析】如图,.【考点】几何概型.7.如右图,在正方形内有一扇形(见阴影部分),扇形对应的圆心是正方形的一顶点,半径为正方形的边长。
高中几何概型试题及答案
高中几何概型试题及答案一、选择题1. 已知一个圆的半径为r,随机取圆内一点,该点落在半径为r/2的同心圆内的概率是多少?A. 1/4B. 1/2C. 1/8D. 1/16答案:A2. 从长度为1的线段上随机取两点,将线段分为三段,求这三段能构成三角形的概率。
A. 1/2B. 1/3C. 1/4D. 1/6答案:C3. 在一个边长为1的正方形内随机投掷一个半径为1/2的圆盘,求圆盘完全落在正方形内的概率。
A. 1/4B. 1/2C. 1/8D. 1/16答案:A二、填空题4. 一个圆的面积为π,随机取圆内一点,该点落在半径为1的同心圆内的概率是______。
答案:1/45. 从长度为3的线段上随机取两点,将线段分为三段,这三段能构成三角形的概率是______。
答案:1/26. 在一个边长为2的正方形内随机投掷一个半径为1的圆盘,圆盘完全落在正方形内的概率是______。
答案:1/4三、解答题7. 一个圆的半径为2,随机取圆内一点,求该点到圆心的距离小于1的概率。
答案:设圆心为O,随机点为P,OP<1,则P点落在半径为1的同心圆内。
由于大圆面积为4π,小圆面积为π,所以概率为π/4π=1/4。
8. 从长度为4的线段上随机取两点,将线段分为三段,求这三段能构成三角形的概率。
答案:设线段为AB,随机取点C和D,使得AC+CD+DB=4。
要构成三角形,必须满足AC+CD>DB,AC+DB>CD,DB+CD>AC。
这等价于C和D位于线段AB的中点两侧,且不同时位于AB的中点。
因此,构成三角形的概率为1/2。
9. 在一个边长为3的正方形内随机投掷一个半径为1的圆盘,求圆盘完全落在正方形内的概率。
答案:设正方形为ABCD,圆心为O,圆盘完全落在正方形内,即O点到正方形任意一边的距离都小于1。
由于正方形的对角线长度为√(3²+3²)=3√2,半径为1的圆盘可以完全落在正方形内,因此概率为1。
几何概型参考答案
3-3-1几何概型参考答案1[答案] B [解析] 向△ABC 内部投一点的结果有无限个,属于几何概型.设点落在△ABD 内为事件M ,则P (M )=△ABD 的面积△ABC 的面积=12.2.[答案] C [解析] 把汽车到站的间隔时间分为[0,5]上的实数,其中乘客候车时间不超过3分钟时应在[0,3]内取值,所以发生的概率为35. 3.[答案] B [解析] 如图所示,拉直后的绳子看成线段AB ,且C 、D 是线段AB 上的点,AC =2m ,BD =2m ,由于剪断绳子的位置是等可能的且有无限个位置,属于几何模型.设剪得两段的长度都不小于2 m 为事件E ,设M 是事件E 的一个剪断点,则M ∈CD ,则事件E 构成线段CD ,则P (E )=CD AB =5-2-25=15.4.[答案] C [解析] 矩形的面积S =6×4=24,设椭圆的面积为S 1,在矩形内随机地撒黄豆,黄豆落在椭圆内为事件A ,则P (A )=S 1S =S 124=300-96300,解得S 1=16.32.5.[答案] C [解析] 由于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2,π2,若0≤sin x ≤1,则0≤x ≤π2,设“0≤sin x ≤1”为事件A ,则P (A )=π2-0π2-(-π2)=π2π=12.6.[答案]B[解析]正方体的体积为:2×2×2=8,以O为球心,1为半径且在正方体内部的半球的体积为:12×43πr3=12×43π×13=23π,则点P到点O的距离小于或等于1的概率为:23π8=π12,故点P到点O的距离大于1的概率为:1-π12.7. B;8.C;9.C;10.B ;11.13[解析][-1,2]的长度为3,[0,1]的长度为1,所以所求概率是1 3.12.0.005 ;[解析]大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的,且结果有无限个,属于几何概型.设取出2毫升水样中有大肠杆菌为事件A,则事件A构成的区域体积是2毫升,全部试验结果构成的区域体积是400毫升,则P(A)=2400=0.005.13.3π6[分析]解答本题从正面考试较繁琐,所以从反面来解答,先计算事件“使点P到三个顶点的距离都大于1”的概率,利用对立事件的概率公式计算.[解析]边长为2的正三角形ABC内,到顶点A的距离等于或小于1的点的集合为以点A为圆心,1为半径,圆心角为∠A=60°的扇形内.同理可知到顶点B、C的距离等于或小于1的点的集合.故使点P到三个顶点的距离都大于1的概率为12×2×3-3×16×π×1212×2×3=1-3π6,故所求的概率为1-(1-3π6)=3π6.14.53125[解析]由三视图可知,该几何体是球与圆柱的组合体,球半径R=5,圆柱底面半径r=4,高h=6,故球体积V=43πR3=500π3,圆柱体积V1=πr2·h=96π,∴所求概率P=500π3-96π500π3=53125.15.[在75秒内,每一时刻到达路口是等可能的,属于几何概型.(1)P=亮红灯的时间全部时间=3030+40+5=25;(2)P=亮黄灯的时间全部时间=575=115;(3)P=不是红灯亮的时间全部时间=黄灯或绿灯亮的时间全部时间=4575=3 5.16.记事件C={钻到油层面},在这1万平方千米的海域中任意一点钻探的结果有无限个,故属于几何概型.事件C构成的区域面积是40平方千米,全部试验结果构成的区域面积是1万平方千米,则P (C )=贮藏石油的大陆架面积所有海域大陆架的面积=4010 000=0.004.17.[分析] 由题目可获取以下主要信息:①正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1,M 为其内一点; ②求四棱锥M -ABCD 的体积小于16的概率. 解答本题的关键是结合几何图形分析出概率模型.[解析] 如图,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1,设M -ABCD 的高为h ,则13×S四边形ABCD ×h <16,又S 四边形ABCD =1,则h <12,即点M 在正方体的下半部分.故所求概率P =12V 正方体V 正方体=12.18.[解析] (1)设事件A =“弦长超过3”,弦长只与它跟圆心的距离有关,∵弦垂直于直径,∴当且仅当它与圆心的距离小于12时才能满足条件,由几何概率公式知P (A )=12.(2)设事件B =“弦长超过3”,弦被其中点惟一确定,当且仅当其中点在半径为12的同心圆内时,才能满足条件,由几何概率公式知P (B )=14.(3)设事件C =“弦长超过3”,固定一点A 于圆周上,以此点为顶点作内接正三角形ABC ,显然只有当弦的另一端点D 落在BC ︵上时,才有|AD |>|AB |=3,由几何概率公式知P (C )=13.。
几何概型
几何概型习题(含答案)一、单选题1.如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图,正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称,在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是A.14B.8πC.12D.4π2.在区间[-2,2]上随机取一个数b,若使直线与圆有交点的概率为,则a =A.B.C.1D.23.在区间上随机取两个数x,y,记P为事件“”的概率,则A.B.C.D.4.甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时,假定他们在一昼夜的时间段中随机地到达,试求这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率( )A.B.C.D.5.如图,边长为2的正方形中有一阴影区域,在正方形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率为.则阴影区域的面积约为( )A.B.C.D.无法计算6.在区间上随机取两个实数,记向量,,则的概率为()A.B.C.D.7.某景区在开放时间内,每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车,某人上午到达景区入口,准备乘坐观光车,则他等待时间不多于10分钟的概率为()A.B.C.D.8.在上任取一个个实数,则事件“直线与圆”相交的概率为( )A.B.C.D.9.小赵和小王约定在早上7:00至7:15之间到某公交站搭乘公交车去上学,已知在这段时间内,共有2班公交车到达该站,到站的时间分别为7:05,7:15,如果他们约定见车就搭乘,则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为()A.B.C.D.二、填空题10.任取两个小于1的正数x、y,若x、y、1能作为三角形的三条边长,则它们能构成钝角三角形三条边长的概率是________.11.已知,,,都在球面上,且在所在平面外,,,,,在球内任取一点,则该点落在三棱锥内的概率为__________.12.已知,点的坐标为,则当时,且满足的概率为__________.13.在区间上随机地取一个数,则事件“”发生的概率为_______。
几何概型 - 简单 - 习题
几何概型一、选择题(共12小题;共60分)1. 下列关于几何概型的说法错误的是A. 几何概型是古典概型的一种,基本事件都具有等可能性B. 几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关C. 几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个D. 几何概型中每个结果的发生都具有等可能性2. 已知是长方形,,,为的中点,在长方形内随机取一点,取到的点到的距离大于的概率为A. B. C. D.3. 若将一个质点随机投入如图所示的长方形中,其中,,则质点落在以为直径的半圆内的概率是A. B. C. D.4. 张卡片上分别写有数字,,,,从这张卡片中随机抽取张,则取出的张卡片上的数字之和为奇数的概率为A. B. C. D.5. 设在上随机地取值,则关于的方程有实数根的概率为A. B. C. D.6. 如图,在半径为,弧长为的扇形中,以为直径作一个半圆.若在扇形内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是A. B. C. D.7. 在中,,,,在边上任取一点,则为钝角三角形的概率为A. B. C. D.8. 如图,在边长为的正方形内有区域(阴影部分所示),张明同学用随机模拟的方法求区域的面积.若每次在正方形内随机产生个点,并记录落在区域内的点的个数.经过多次试验,计算出落在区域内点的个数的平均值为个,则区域的面积约为A. B. C. D.9. 如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边,直角边,.的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为,,,则A. B. C. D.10. 某个路口交通指示灯,红灯时间为秒,黄灯时间为秒,绿灯时间为秒,黄灯时间可以通行,当你到达路口时,等待时间不超过秒就可以通行的概率为A. B. C. D.11. 在长为的线段上任取一点,则点与线段两端点的距离都大于的概率等于A. B. C. D.12. 在区间内随机取出一个数,使得的概率为A. B. C. D.二、填空题(共5小题;共25分)13. 某路公共汽车每发车一次,某乘客到乘车点的时刻是随机的,则他候车时间不超过的概率为.14. 在区间上随机选取一个数,则的概率为.15. 已知事件“在矩形的边上随机取一点,使的最大边是”发生的概率为,则.16. 在边长为的正三角形内任取一点,则使点到三个顶点的距离至少有一个小于的概率是.17. 已知一只蚂蚁在边长分别为,,的三角形的边上随机爬行,则其恰在离三个顶点的距离都大于的地方的概率为.三、解答题(共5小题;共65分)18. 设有一个等边三角形网格,其中各个等边三角形的边长都是,现将直径等于的硬币投掷到此网格上,求硬币落下后与格线没有公共点的概率.19. 已知在等腰直角三角形中,.(1)在线段上任取一点,求使的概率;(2)在内任作射线,求使的概率.20. 在等腰的斜边上任取一点,求小于的概率.21. 如图,两盏路灯之间的距离是米,由于光线较暗,想在其间再随意安装两盏路灯、,问与,与之间的距离都不小于米的概率是多少?22. 在的水中有一个草履虫,现从中随机取出水放到显微镜下观察,求发现草履虫的概率.答案第一部分1. A 【解析】几何概型与古典概型是两种不同的概率模型,无包含关系.2. B3. B 【解析】长方形的面积,以为直径的半圆的面积,所以.4. C 【解析】采用列举法得所有的基本事件有,,,,,六种情况,其中两数字之和为奇数的有,,,四种情况,故所求概率为.5. C【解析】方程有实根,则,解得或(舍去).由几何概型的概率计算公式可知所求的概率为.6. B 【解析】阴影部分的面积为,扇形的面积为,所以在扇形内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率.7. C 【解析】过点作,垂足为,则;过点作,交于点,则,,易知当点在线段和上时(不包括线段端点,,),为钝角三角形,故所求概率为.8. B 【解析】设区域的面积约为,根据题意有,所以,,所以区域的面积约为.9. A10. A11. D 【解析】将线段平均分成段,设中间两点分别为,,则当点在线段上时符合题意,所以概率.12. D第二部分13.【解析】本题可以看成向区间内均匀投点,求点落入内的概率.设某乘客候车时间不超过,所以.14.15.【解析】如图,设,根据对称性,由题中条件知,点的活动范围为,即.当时,,解得,所以.16.【解析】分别以点,,为圆心,以为半径作圆,与构成三个扇形,如图中阴影部分所示,当点落在其内时符合要求.所以.17.【解析】由题意可知,三角形的三条边长的和为,而蚂蚁要在离三个顶点的距离都大于的地方爬行,则它爬行的区域长度为,根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为.第三部分18. 记事件为“硬币落下后与格线没有公共点”,如图所示,在等边三角形内作小等边三角形,使其三边与原等边三角形三边的距离都为,则小等边三角形的边长为.由几何概型的概率计算公式得.19. (1)设,,则.若,则,故的概率.(2)设,则.若,则,故的概率.20. 在上截取,于是,.21. 记:“与,与之间的距离都不小于米”,把三等分,由于中间长度为米所以.22. 记事件在取出的水中有草履虫,由几何概型的概率计算公式得.。
几何概型练习及答案
几何概型[自我认知]:1.如果每个事件发生的概率只与构成事件区域的___,____成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.2.在几何概型中,事件A的概率的计算公式为__________________. 3.古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是____,但古典概型要求基本事件有_____,几何概型要求基本事件有_______. 4.某广播电台每当整点或半点时就会报时,某人睡完觉后想知道时间就打开收音机调到该广播电台,问这人等待的时间不超过5min 的概率是______.5.已知地铁列车每10min 一班,在车站停1min ,则乘客到达站台立即乘上车的概率为_.6.在线段[0,3]上任取一点,其坐标小于1的概率是_____________.7.在地球上海洋占70.9%的面积,陆地占29.1%的面积,现在太空有一颗陨石正朝着地球的方向飞来,将落在地球的某一角.你认为陨石落在陆地的概率约为_____________,落在我国国土内的概率为________.(地球的面积约为5.1亿平方千米) [课后练习]8.从区间(0,1)内任取两个数,则这两个数的和小于56的概率是 ( ) A.35 B. 45 C. 1625 D.17259.A 是圆上固定的一定点,在圆上其他位置任取一点B,连接A 、B 两点,它是一条弦,它的长度大于等于半径长度的概率为 ( ) A.12 B. 23 C. 32 D. 1410.已知集合A={}9,7,5,3,1,0,2,4,6,8-----,在平面直角坐标系0x y 中,点(),x y 的坐标,x A y A ∈∈,点(),x y 正好在第二象限的概率是 ( )A.13 B. 14 C. 15 D. 2511.取一根长度为3m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不小于1m 的概率有多大? 12.在1万平方千米的海域中有80平方千米的大陆架贮藏着石油.假设在海域中的任意一点钻探,钻到油层面的概率是多少?13.在10立方米的沙子中藏有一个玻璃球,假定这个玻璃球在沙子中的任何一个位置是等可能的,若取出1立方米的沙子.求取出的沙子中含有玻璃球的概率.14.甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面,并约定先到者应等候另一个人一刻钟,过时即可离去,求两人能会面的概率.15.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头,它们在一昼夜内到达码头的时刻是等可能的,如果甲船停泊时间为1h,乙船停泊时间为2h,求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率.1.长度、面积或体积; 2.()()() AP A=构成事件的区域长度面积或体积试验的全部所构成的区域长度面积或体积;3.相等的、有限个、无限多个;4.165.1116.137.29.1%, 0.0198.D 9.B 10.C11.解:设事件A={剪得两段的长都不小于1m},把绳子三等分,当剪断位置处在中间一段时,事件A发生.由于中间一段的长度为1m,所以由几何概率公式得:P(A)=13.12.解:记“钻到油层面”为事件则P(A)=800.00810000==贮藏石油的大陆架面积所有海域大陆架面积答:钻到油层的概率是0.008.13.解:记事件A为“取1立方米沙子中含有玻璃球”, 则事件A发生对应的沙子体积与原沙子体积之比为1:10.∵玻璃球在沙子中任何位置等可能,∴由几何概型概率计算公式得P(A)=110.14.解:以x 和y 分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间, 则两人能会面的充要条件是||15x y -≤.在平面上 建立直角坐标系如图所示,则(x ,y )的所有可能结 果是边长60的正方形,而可能会面的时间由图中的 阴影部分所表示,这是一个几何概型问题.15.解:设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y,A 为两艘船都不需要码头空出,()[]{},|0,24x y x Ω=∈,要满足A,则1y x -≥或2x y -≥∴A=()[]{},|12,0,24x y y x x y x -≥-≥∈或∴()22211(241)242506.5220.8793424576A A S P S Ω-⨯+-⨯====.14题图几何概型巩固练习重难点:掌握几何概型中概率的计算公式并能将实际问题转化为几何概型,并正确应用几何概型的概率计算公式解决问题.考纲要求:①了解几何概型的意义,并能正确应用几何概型的概率计算公式解决问题. ②了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率.经典例题:如图,60AOB ∠=,2OA =,5OB =,在线段OB 上任取一点C ,试求:(1)AOC ∆为钝角三角形的概率;(2)AOC ∆为锐角三角形的概率.15 6015 60当堂练习:1.从一批羽毛球产品中任取一个,其质量小于4.8g 的概率为0.3,质量小于4.85g 的概率为0.32,那么质量在[4.8,4.85](g )范围内的概率是( )A .0.62B .0.38C .0.02D .0.682.在长为10 cm 的线段AB 上任取一点P ,并以线段AP 为边作正方形,这个正方形的面积介于25 cm 2与49 cm 2之间的概率为( )A .310B .15C .25D .453.同时转动如图所示的两个转盘,记转盘甲得到的数为x ,转盘乙得到的数为y ,构成数对(x ,y ),则所有数对(x ,y )中满足xy =4的概率为( )A .116B .216C .316 D.144.如图,是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体,现用红、蓝两种颜色为其涂色,每个图形只能涂一种颜色,则三个形状颜色不全相同的概率为( )A .34B .38C .14D .185.两人相约7点到8点在某地会面,先到者等候另一人20分钟,过时离去.则 求两人会面的概率为( ) A .13B .49C .59D .7106如图,某人向圆内投镖,如果他每次都投入圆内,那么他投中正方形区域的概率为( )A .2πB .1πC .23D .137.如图,有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为45,若向圆内投镖,如果某人每次都投入圆内,那么他投中阴影部分的概率为( )A .18B .14C .12D .34甲 乙 1 2 34 1 23 48.现有100ml的蒸馏水,假定里面有一个细菌,现从中抽取20ml的蒸馏水,则抽到细菌的概率为()A.1100 B.120C.110D.159.一艘轮船只有在涨潮的时候才能驶入港口,已知该港口每天涨潮的时间为早晨5:00至7:00和下午5:00至6:00,则该船在一昼夜内可以进港的概率是()A.14 B.18 C.110 D.11210.在区间[0,10]中任意取一个数,则它与4之和大于10的概率是()A.15 B.25 C.35 D.2711.若过正三角形ABC的顶点A任作一条直线L,则L与线段BC相交的概率为()A.12 B.13 C.16 D.11212.在500ml的水中有一个草履虫,现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察,则发现草履虫的概率是()A.0.5 B.0.4 C.0.004 D.不能确定13.平面上画了一些彼此相距2a的平行线,把一枚半径r<a的硬币任意掷在这个平面上,求硬币不与任何一条平行线相碰的概率( c )A.ra B.2ra C.ara-D.2a ra-14.已知地铁列车每10min一班,在车站停1min.则乘客到达站台立即乘上车的概率为.15.随机向边长为2的正方形ABCD中投一点P,则点P与A的距离不小于1且与CPD∠为锐角的概率是__________________.16.在区间(0,1)中随机地取出两个数,则两数之和小于56的概率是.17.假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30~7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去上班的时间为早上7:00~8:00之间,你父亲在离开家前能拿到报纸的概率为_______.18.飞镖随机地掷在下面的靶子上.(1)在靶子1中,飞镖投到区域A、B、C的概率是多少?(2)在靶子1中,飞镖投在区域A或B中的概率是多少?在靶子2中,飞镖没有投在区域C 中的概率是多少?A BCABC19.一只海豚在水池中游弋,水池为长30m ,宽20m 的长方形,求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m 的概率.20.在长度为10的线段内任取两点将线段分为三段,求这三段可以构成三角形的概率.21.利用随机模拟方法计算曲线1y x=,1x =,2x =和0y =所围成的图形的面积.§3.2 几何概型经典例题:解:如图,由平面几何知识: 当AD OB ⊥时,1OD =;当OA AE ⊥时,4OE =,1BE =.(1)当且仅当点C 在线段OD 或BE 上时,AOC ∆为钝角三角形 记"AOC ∆为钝角三角形"为事件M ,则11()0.45OD EB P M OB ++===即AOC ∆为钝角三角形的概率为0.4.(2)当且仅当点C 在线段DE 上时,AOC ∆为锐角三角, 记"AOC ∆为锐角三角"为事件N ,则3()0.65DE P N OB === 即AOC ∆为锐角三角形的概率为0.6.当堂练习:1.B;2.B;3.C;4.A;5.C;6.A;7.A;8.B;9.C; 10.C; 11.C; 12.B; 13.B; 14.111; 15.4arcsin52π; 16. 2572; 17. 87.5%; 18.(1)都是13;(2)23;34。
高三数学几何概型试题答案及解析
高三数学几何概型试题答案及解析1.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()A.B.C.D.【答案】B【解析】由题知,以AB为直径的圆的半径为1,故质点落在以AB为直径的半圆内的概率为=,故选B.考点:几何概型2.在区间上随机取两个数其中满足的概率是()A.B.C.D.【答案】B【解析】在区间[0,2]上随机取两个数x,y,对应区域的面积为4,满足y≥2x,对应区域的面积为×1×2=1,∴所求的概率为,故选B.考点:几何概型3.张先生订了一份《南昌晚报》,送报人在早上6:30-7:30之间把报纸送到他家,张先生离开家去上班的时间在早上7:00-8:00之间,则张先生在离开家之前能拿到报纸的概率是________.【答案】【解析】以横坐标x表示报纸送到时间,以纵坐标y表示张先生离家时间,建立平面直角坐标系,如图.因为随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的,所以符合几何概型的条件.根据题意只要点落在阴影部分,就表示张先生在离开家之前能拿到报纸,即所求事件A发生,所以P(A)==.4.已知复数z=x+yi(x,y∈R)在复平面上对应的点为M.(1)设集合P={-4,-3,-2,0},Q={0,1,2},从集合P中随机取一个数作为x,从集合Q中随机取一个数作为y,求复数z为纯虚数的概率;(2)设x∈[0,3],y∈[0,4],求点M落在不等式组:所表示的平面区域内的概率.【答案】(1)(2)【解析】(1)记“复数z为纯虚数”为事件A.∵组成复数z的所有情况共有12个:-4,-4+i,-4+2i,-3,-3+i,-3+2i,-2,-2+i,-2+2i,0,i,2i,且每种情况出现的可能性相等,属于古典概型,其中事件A包含的基本事件共2个:i,2i,∴所求事件的概率为P(A)==.(2)依条件可知,点M均匀地分布在平面区域{(x,y)| }内,属于几何概型,该平面区域的图形为右图中矩形OABC围成的区域,面积为S=3×4=12.而所求事件构成的平面区域为{(x,y)| },其图形如图中的三角形OAD(阴影部分).又直线x+2y-3=0与x轴、y轴的交点分别为A(3,0)、D(0,),∴三角形OAD的面积为S1=×3×=.∴所求事件的概率为P===.5.在区间[-6,6]内任取一个元素x0,抛物线x2=4y在x=x处的切线的倾斜角为α,则α∈[,]的概率为________.【答案】【解析】当切线的倾斜角α∈[,]时,切线斜率的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞),抛物线x2=4y在x=x0处的切线斜率是x,故只要x∈(-∞,-2]∪[2,+∞)即可,若在区间[-6,6]内取值,则只能取区间[-6,-2]∪[2,6)内的值,这个区间的长度是8,区间[-6,6]的长度是12,故所求的概率是=.6.在可行域内任取一点,规则如流程图所示,求输出数对(x,y)的概率.【答案】【解析】可行域为中心在原点,顶点在坐标轴上的正方形(边长为),x2+y2≤表示半径为的圆及其内部,所以所求概率为=.7.在长为的线段上任取一点,并且以线段为边作正三角形,则这个正三角形的面积介于与之间的概率为()A.B.C.D.【答案】D【解析】解:边长为的正三角形的面积为,由得:在长为的线段上任取一点,有无限个可能的结果,所有可能结果对应一个长度为20的线段,设“以线段为边的正三角形面积介于与之间”为事件M,则包含M的全部基本事对应的是长度为6的线段,所以故选D.【考点】几何概型.8.在平面区域内随机取一点,则所取的点恰好满足的概率是()A.B.C.D.【答案】C【解析】如图,此题为几何概型,,故选C.【考点】几何概型9.一只昆虫在边长分别为、、的三角形区域内随机爬行,则其到三角形顶点的距离小于的地方的概率为 .【答案】.【解析】如下图所示,易知三角形为直角三角形,昆虫爬行的区域是在三角形区域内到以各顶点为圆心,半径为的圆在三角形区域内的部分,实际上就是三个扇形,将这三个扇形拼接起来就是一个半圆,其半径长为,面积为,三角形的面积为,因此昆虫爬行时到三角形顶点的距离小于的地方的概率为.【考点】几何概型10.如图,一半径为的圆形靶内有一个半径为的同心圆,将大圆分成两部分,小圆内部区域记为环,圆环区域记为环,某同学向该靶投掷枚飞镖,每次枚. 假设他每次必定会中靶,且投中靶内各点是随机的.(1)求该同学在一次投掷中获得环的概率;(2)设表示该同学在次投掷中获得的环数,求的分布列及数学期望.【答案】(1);(2)详见解析.【解析】(1)先根据题中条件确定相应的事件为几何概型,然后利用几何概型的概率计算公式(对应区域面积之比)求出相应事情的概率即可;(2)(1)由题意可得是几何概型,设,该同学一次投掷投中环的概率为;(2)由题意可知可能的值为、、、,,,,,的分布列为环,答:的数学期望为环.【考点】1.几何概型;2.离散型随机变量分布列与数学期望11.已知正方体的棱长为2,在四边形内随机取一点,则的概率为_______ ,的概率为_______.【答案】;【解析】四边形为矩形且。
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假如在海域中任意一点钻探,钻到2A 5005050250 几何概型一、选择题1、取一根长度为3m的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长度都不小于Im的概率是(B )A. -B.丄C. -D.不确定2 3 42、在1万乃沪的海域中有40脑2的大陆架储藏着石油,油层的概率是(C )A. —B. —C. —D.—251 249 250 2523.在500ml的水中有一个草履虫,现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察,则发现草履虫的概率是A4.两根相距6m的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,灯与两端距离都大于2m 的概率。
B5.在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油,假设在海域中任意一点钻探,钻到油层面的概率是BA 0.003B 0.004C 0.005D 0.0066.在1升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子,从中随机取出10毫升,则取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是AA 0.01B 0.02C 0.03D 0.04二、填空题7.已知地铁列车每lOmin —班,在车站停lmin,乘客到达站台立即乘上车的概率_1/11 __ 。
8.某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站,任一人在该车站等车时间少于3分钟的概率(假定车到来后每人都能上)_3/5 ____ •三、解答题9.在长度为10的线段内任取两点将线段分为三段,求这三段可以构成三角形的概率解:设构成三角形的事件为A,长度为10的线段被分成三段的长度分别为x, y, 10— (x+y),0 < x < 10< 0 < y < 100<10-(x+y)<100< x< 10 即Jo<y<lO0<x+y<10由一个三角形两边之和大于第三边,有x +y〉10 - (x +y),即5 < x + y < 10 .又由三角形两边之斧小于第三边,有x <5 ,即0 <x<5,同理0<y<5.0 < .r < 5构造三角形的条件为<0<y<55 < x + y <10•••满足条件的点P (x, y)组成的图形是如图所示中的阴影区域(不包括区域的边界).1 25 1S^=~'52=~; 5AOAB=--1°2=50- •"-F(4)=...... 10分10.如图,在边长为25cm的正方形中挖去边长为23cm的两个等腰直角三角形,现有均匀的粒子散落在正方形中,问粒子落在中间带形区域的概率是多少?解:因为均匀的粒子落在正方形内任何一点是等可能的所以符合几何概型的条件。
几何概型(新高考地区专用)(含解析)
几何概型(客观题)一、单选题1.如图所示,若在大正方形内随机取一点,这一点落在小正方形内(图中阴影部分)的概率为A .12B C .13D .152.在等腰直角三角形ABC 中,角C 为直角.在ACB ∠内部任意作一条射线CM ,与线段AB 交于点M ,则AM AC <的概率A .2B .12C .34D .143.在区间[2,2]-内随机取一个数a ,则关于x 的方程220x x a -+=无实根的概率是 A .15 B .14C .13D .344.五铢钱是一种中国古铜币,奠定了中国硬通货铸币圆形方孔的传统,这种钱币外圆内方,象征着天地乾坤.如图是一枚西汉五铢钱币,其直径为2.5厘米.现向该钱币上随机投掷一点,若该点落在方孔内的概率为1625π,则该五铢钱的穿宽(即方孔边长)为A .0.8厘米B .1厘米C .1.1厘米D .1.2厘米5.在区间[4,12]上随机地取一个实数a ,则方程2280x ax -+=有实数根的概率为43C.13D.126.宋代文学家欧阳修在《卖油翁》中写道“(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆盖其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔人,而钱不湿”,由此诠释出了“熟能生巧”的道理.已知铜钱是直径为()1cma a>的圆,正中间有一边长为0.5cm的正方形小孔,现随机向铜钱上滴--滴油(油滴的大小忽略不计),若油滴落入孔中的概率为116π,则a=A.4B.3C.2D7.在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积大于20cm2的概率为A.16B.13C.23D.458.古埃及、古印度、古巴比伦和中国是四大文明古国之一,金字塔(如图1)作为古埃及劳动人民的智慧结晶,是历史留给当下的宝贵遗产著名的胡夫金字塔的俯视图如图2所示,该金字塔的高146.5米,底面正方形边长230米.若小明在距离金字塔底而中心230米的圆周.上任取一点(圆周上所有点被选取的概率相等),从该点处观察金字塔,则小明可以同时看到金字塔两个侧面的概率为A.13B.23449.在区间[]0,8上随机取一个实数a ,则方程22160x ax ++=有实数根的概率为A .14 B .12C .13D .2310.已知x 、y 满足1x y +≤,则事件“2212x y +≤”的概率为 A .8π B .4π C .18π-D .14π-11.如图,随机向大圆内投一粒豆子,则豆子落在阴影部分的概率为A .13 B .4ππ-C .22ππ-D .22ππ+12.在平面区域02,{02x y ≤≤≤≤内随机取一点,在所取的点恰好满足x y +≤ A .116 B .18C .14D .1213.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形.谢尔宾斯基三角形是一种分形,由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出.具体操作是取一个实心三角形,沿三角形的三边中点连线,将它分成4个小三角形,去掉中间的那一个小三角形后,对其余3个小三角形重复上述过程得到如图所示的图案,若向该图案随机投一点,则该点落在黑色部分的概率是1616C.35D.1214.如图所示,在边长为4的正三角形中有一封闭曲线围成的阴影区域.在正三角形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率为34,则阴影区域的面积为A B.C.D.15.如图来自中国古代的木纹饰图.若大正方形的边长为6个单位长度,每个小正方形的边长均为1个单位长度,则在大正方形内随机取一点,此点取自图形中小正方形内的概率是A.136B.19C.16D.2916ABCD,射线BP从BA出发,绕着点B顺时针方向旋转至BC,点E为线段DC上的点,且1CE ,则在旋转的过程中,BP与线段EC有交点的概率为A.13B.12C.23D.1417.“数摺聚清风,一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句,折扇出入怀袖,扇面书画,扇骨雕琢,是文人雅士的宠物,所以又有“怀袖雅物”的别号,如图是折扇的示意图,A 为OB 的中点,若在整个扇形区域内随机取一点,则此点取自扇面(扇环)部分的概率是A .14B .12C .58D .3418.刘徽是我国魏晋时期的数学家,在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”所谓“割圆术”是指用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法.已知半径为1的圆O 内接正二十四边形,现随机向圆O 内投放a 粒豆子,其中有b 粒豆子落在正二十四边形内()*,a b b a N 、∈<,则圆周率的近似值为A.(a bB.(b aC.(a bD.(b a-19.在正方形ABCD 中,弧AD 是以AD 为直径的半圆,若在正方形ABCD 中任取一点,则该点取自阴影部分内的概率为A .16π B .12πC .44π-D .1420.在区间[-2,2]上随机抽取一个数x ,则事件“-1≤ln (x +1)≤1”发生的概率为A .2e 13e-B .2e 14e-C .2e 2e 13e--D .2e 2e 14e--21.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”,三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中,四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形,若直角三角形中较小的锐角6πα=,现在向该大正方形区域内随机地投掷一枚飞镖,则飞镖落在阴影部分的概率是A B .12C .14-D .3422.为了求得椭圆()222210x y a b a b+=>>的面积,把该椭圆放入一个矩形当中,恰好与矩形相切,向矩形内随机投入()()()1122,,,,,n n x y x y x y 共n 个不同的点,其中在椭圆内的点恰好有()m m n <个.若矩形的面积是2,则可以估计椭圆的面积为A .mn B .2mn C .2m nD .n m23.刘徽是魏晋期间伟大的数学家,他是中国古典数学理论的奠基者之一.他全面证明了《九章算术》中的方法和公式,指出并纠正了其中的错误,更是擅长用代数方法解决几何问题.如下图在圆的直径CD 上任取一点E ,过点E 的弦AB 和CD 垂直,则AB 的长不超过半径的概率是A .1-B .13C .14D .14- 24.第24届国际数学大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如图,会标是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的一个锐角为θ,且πsin 2sin 2θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭形区域的概率为.A .14 B .15 C .25D .3525.《九章算术·商功》中有这样一段话:“斜解立方,得两堑堵.斜解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑.”其中“解”字的意思是用一个平面对某几何体进行切割.已知正方体1111ABCD A B C D -,随机在线段1AC 上取一点,过该点作垂直于1AC 的平面α,则平面α“解”正方体1111ABCD A B C D -所得的大、小两部分体积之比大于5的概率为 A .16B .13 C .12D .2326.“勾股定理”在西方被称为“华达哥拉斯定理”,三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,用形数结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中,四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形,若直角三角形中较小的锐角6πα=,现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖,飞镖落在小正方形内的概率是A .12- B .2C .44D27.已知[]8,4a ∈-,则命题00x ∃>,20010x ax ++<为假命题的概率A .0.2B .0.3C .0.4D .0.528.如图是一边长为8的正方形苗圃图案,中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心,圆与圆之间是相切的,且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍.若在正方形图案上随机取一点,则该点取自黑色区域的概率为A .8πB .16π C .18π-D .116π-29.如图,点C 在以AB 为直径的圆上,且满足CA CB =,圆内的弧线是以C 为圆心,CA 为半径的圆的一部分.记ABC ∆三边所围成的区域(灰色部分)为Ⅰ,右侧月牙形区域(黑色部分)为Ⅱ.在整个图形中随机取一点,记此点取自Ⅰ,Ⅱ的概率分别为1P ,2P ,则A .12P P =B .12P P >C .1241P P π+=+ D .2111P P π-=+ 30.魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中,称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”(如图),刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π:4.在棱长为2的正方体内任取一点,此点取自“牟合方盖”的概率为A .12BC .23D二、填空题1.在区间()0,6中任取一个数x .则能使2,3,x 是某个三角形三边长的概率是__________. 2.在区间[]1,5内任取一个实数,则此数大于2的概率为__________.3.如图,已知正方形的边长为10,向正方形内随机地撒200颗黄豆,数得落在阴影外的黄豆数为114颗,以此实验数据为依据,可以估计出阴影部分的面积约为__________.4.如图所示,在Rt ABC ∆中,90C =∠,30B ∠=,在BAC ∠内过点A 任作一射线与BC 相交于点D ,使得30DAC ∠<的概率为__________.5.2020年2月17开始,为实现“停课不停学”,张老师每天晚上20:05-20:50时间段通过班级群直播的形式为学生们在线答疑,某天一位高三学生在19:00至20:30之间的某个时刻加入群聊,则他等待直播的时间不超过30分钟的概率是__________.6.勾股定理又称商高定理,三国时期吴国数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,正方形ABDE 是由4个全等的直角三角形再加上中间的阴影小正方形组成的,如图,记ABC θ∠=,若tan 74πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,在正方形ABDE 内随机取一点,则该点取自阴影正方形的概率为__________.7.七巧板是中国古代劳动人民的发明,其历史至少可以追溯到公元前一世纪,后清陆以活《冷庐杂识》卷一中写道“近又有七巧图,其式五,其数七,其变化之式多至千余.”在18世纪,七巧板流传到了国外,被誉为“东方魔板”,至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》.完整图案为一正方形(如图):五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形,如果在此正方形中随机取一点,那么此点取自阴影部分的概率是__________.8.在区间[2,3]-上随机取一个实数x ,则“||1x ≤”的概率为__________. 9.点P 是ABC 内部任意一点,则PAB △的面积小于ABC 面积一半的概率为__________.10.记函数()f x =D ,若在区间[]5,5-上随机取一个数x ,则x D ∈的概率为__________.11.关于圆周率π,数学发展史上出现过许多很有创意的求法,如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发,我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值:先请160名同学,每人随机写下开一个都小于4的正实数对(),x y ;再统计两数能与4构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数n ;最后再根据统计数n 来估计π的值.假如统计结果是126n =,那么据此估计π的值为__________.12.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形.谢尔宾斯基三角形是一种分形,由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出.具体操作是取一个实心三角形,沿三角形的三边中点连线,将它分成4个小三角形,去掉中间的那一个小三角形后,对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形,如上图.现在图(3)中随机选取一个点,则此点取自阴影部分的概率为__________.13.如图,AB 是圆O 的直径,OC AB ⊥,假设向该圆随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为__________.14.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一,被誉为“东方魔板”,它是由五块等腰直角三角形,一块正方形和一块平行四边形组成.如图是一块用七巧板组成的正方形,若在此正方形中任意取一点,则该点来自于阴影部分的概率为__________.15.如图是以一个正方形的四个顶点和中心为圆心,以边长的一半为半径在正方形内作圆弧得到的.现等可能地在该正方形内任取一点,则该点落在图中阴影部分的概率为__________.16.已知直线:4l y x =-与曲线:C y =C 上随机取一点M ,则点M 到直线l 的概率为__________.17.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案,它形象化地表达了阴阳轮转,相反相成是万物生成变化根源的哲理,展现了一种相互转化,相对统一的形式美.按照太极图的构图方法,在平面直角坐标系中,圆O 被y =3sin4πx 的图象分割为两个对称的鱼形图案(如图所示).其中小圆的半径均为1,现在大圆内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为__________.18.若在不等式221x y +≤所表示的平面区域内随机投一点P ,则该点P 落在不等式组11x y x y ⎧-≤⎪⎨+≤⎪⎩所表示的平面区域内的概率为__________. 19.如图是古希腊数学家希波克拉底所研究的弓月形的一种,此图是以BC ,AB ,AC 为直径的三个半圆组成,2BC =,点A 在弧BC 上,若在整个图形中随机取一点,点取自阴影部分的概率是P ,则P 的最大值是__________.20.在区间[]1,1-上随机取一个数k ,则能够使直线()3y k x =+与圆221x y +=相交的概率为______.21.如图所示,是一正方形苗圃图案,中间黑色的大圆与正方形的内切圆共圆心,圆与圆之间是相切的,且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍,若在正方形图案上随机地取一点,则该点取自黑色区域的概率为__________.22.如图是一种圆内接六边形ABCDEF ,其中BC CD DE EF FA ====且AB BC ⊥.则在圆内随机取一点,则此点取自六边形ABCDEF 内的概率是__________.23.在区间[0,]π上随机取一个数α,则11cos ,22α⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的概率为__________. 24.黄金三角形有两种,一种是顶角为36°的等腰三角形,另一种是顶角为108°的等腰三角形.例如,一个正五边形可以看成是由正五角星和五个顶角为108°的黄金三角形组成,如图所示,在黄金三角形1A AB 中,112A A AB =.根据这些信息,若在正五边形ABCDE 内任取一点,则该点取自正五边形11111A B C D E 内的概率是__________.25.已知P ,E ,F 都在球面C 上,且P 在EFG ∆所在平面外,PE EF ⊥,PE EG ⊥,224PE GF EG ===,120EGF ︒∠=,在球C 内任取一点,则该点落在三棱锥P ﹣EFG内的概率为__________.26.在曲线22x y x y +=+上及其内部随机取一点,则该点取自圆221x y +=上及其内部的概率为__________.一、单选题1.如图所示,若在大正方形内随机取一点,这一点落在小正方形内(图中阴影部分)的概率为A .12B C .13D .15【试题来源】云南省德宏州2020届高三上学期期末教学质量检测(文) 【答案】D【分析】求出阴影部分的面积,大正方形的面积即可得概率.25S ==,小正方形边长为1,面积为2111S ==,所以所求概率为115S P S ==.故选D . 2.在等腰直角三角形ABC 中,角C 为直角.在ACB ∠内部任意作一条射线CM ,与线段AB 交于点M ,则AM AC <的概率A .2B .12C .34D .14【试题来源】湖南师大附中2020届高三下学期6月月考(文) 【答案】C【分析】求出满足AM AC <时CM 所扫过的角度,利用角度比可得概率. 【解析】当AM AC =时,1804567.52ACM ︒-︒∠==︒,90ACB ∠=︒, 所以所求概率为67.53904P ︒︒==.故选C . 3.在区间[2,2]-内随机取一个数a ,则关于x 的方程220x x a -+=无实根的概率是54C .13D .34【试题来源】陕西省西安市高新一中2019-2020学年高三上学期期末(文) 【答案】B【分析】由已知条件,得440a ∆=-<,结合[2,2]a ∈-,求出a 的范围,根据几何概型的概率公式,a 取值范围区间长度除以[2,2]-长度,即可求解. 【解析】关于x 的方程220x x a -+=无实根, 得440,1,[2,2],(1,2]a a a a ∆=-<>∈-∴∈,所以所求的概率为14P =.故选B . 4.五铢钱是一种中国古铜币,奠定了中国硬通货铸币圆形方孔的传统,这种钱币外圆内方,象征着天地乾坤.如图是一枚西汉五铢钱币,其直径为2.5厘米.现向该钱币上随机投掷一点,若该点落在方孔内的概率为1625π,则该五铢钱的穿宽(即方孔边长)为A .0.8厘米B .1厘米C .1.1厘米D .1.2厘米【试题来源】广西桂林市广西师范大学附属2021届高三年级上学期数学第三次月考试题 【答案】B【分析】设该五铢钱的穿宽为x 厘米,根据几何概型的概率公式列式可解得结果. 【解析】圆的半径为54厘米,圆的面积为25()4π⨯2516π=, 设该五铢钱的穿宽为x 厘米,则方孔面积为2x 厘米,根据几何概型可得216252516x ππ=,解得1x =厘米.故选B .5.在区间[4,12]上随机地取一个实数a ,则方程2280x ax -+=有实数根的概率为43C .13D .12【试题来源】2020届广西壮族自治区高三第一次教学质量诊断性联合(理) 【答案】D【分析】根据∆求出a 的取值范围,结合几何概型的概念,可得结果.【解析】因为方程2280x ax -+=有实数根,所以2()4280a ∆=--⨯⨯≥,解得8a ≥或8a ≤-,故方程2280x ax -+=有实数根的概率12811242p -==-.故选D .6.宋代文学家欧阳修在《卖油翁》中写道“(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆盖其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔人,而钱不湿”,由此诠释出了“熟能生巧”的道理.已知铜钱是直径为()1cm a a >的圆,正中间有一边长为0.5cm 的正方形小孔,现随机向铜钱上滴--滴油(油滴的大小忽略不计),若油滴落入孔中的概率为116π,则a =A .4B .3C .2D【试题来源】百师联盟2021届高三开学摸底联考(文)全国卷III 试题 【答案】A【分析】分别计算钱的圆面面积和钱空正方形的面积,由几何概型概率公式求出一滴油滴落入孔中的概率.【解析】圆的面积为22a π⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭2cm ,正方形的面积为20.50.5cm ⨯,则一滴油滴落入孔中的概率20.50.16512a P ππ⎛==⨯⎫ ⎪⎝⎭,得4a =,故选A .7.在长为12cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形,邻边长分别等于线段AC ,CB 的长,则该矩形面积大于20cm 2的概率为A .16 B .13 C .23D .45【试题来源】安徽省合肥六中2019-2020学年高三上学期第一次段考(文) 【答案】C【解析】设AC=x ,则BC=12-x (0<x <12),矩形的面积S=x (12-x )>20, 所以x 2-12x+20<0,所以2<x <10,由几何概率的求解公式可得,矩形面积大于20cm 2的概率10221203p -==-.8.古埃及、古印度、古巴比伦和中国是四大文明古国之一,金字塔(如图1)作为古埃及劳动人民的智慧结晶,是历史留给当下的宝贵遗产著名的胡夫金字塔的俯视图如图2所示,该金字塔的高146.5米,底面正方形边长230米.若小明在距离金字塔底而中心230米的圆周.上任取一点(圆周上所有点被选取的概率相等),从该点处观察金字塔,则小明可以同时看到金字塔两个侧面的概率为A .13 B .23 C .14D .34【试题来源】江苏省宿迁中学2020-2021学年高三上学期期中巩固测试 【答案】A【分析】根据题意,利用长度比的几何概型求得只能看到金字塔的一个侧面的概率,进而求得看到两个侧面的概率.【解析】如图所示,中间正方形的边长为230米,可得230AB CD ==米, 其中在AB 处的任意一点,只能看到金字塔的一个侧面,又由圆的半径为230米,其中230OA OB ==米, 所以ABO 为等边三角形,即60AOB ∠=, 其中由四个这的区域,只能看到金字塔的一个侧面, 所以只能看到一个侧面的概率为46023603⨯=, 所以小明可以同时看到金字塔两个侧面的概率为13.故选A .9.在区间[]0,8上随机取一个实数a ,则方程22160x ax ++=有实数根的概率为A .14 B .12C .13D .23【试题来源】云南省昆明市第一中学2021届高三第三次双基检测(文) 【答案】B【分析】由2441160a ∆=-⨯⨯≥可得4a ≤-或4a ≥,然后根据几何概型的概率计算公式可得答案.【解析】由2441160a ∆=-⨯⨯≥,得216a ≥,即4a ≤-或4a ≥, 它与08a ≤≤的公共元素为48a ≤≤,所以4182p ==,故选B . 10.已知x 、y 满足1x y +≤,则事件“2212x y +≤”的概率为 A .8π B .4π C .18π-D .14π-【试题来源】四川省成都市蓉城名校联盟2020-2021学年高三第一次联考(文) 【答案】B【分析】作出区域(){},1A x y x y =+≤与区域()221,2B x y xy ⎧⎫=+≤⎨⎬⎩⎭,并计算出两个区域的面积,利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【解析】区域(){},1A x y x y =+≤是由()1,0、()0,1、()1,0-、()0,1-为四个顶点的正方形及其内部,区域()221,2B x y x y ⎧⎫=+≤⎨⎬⎩⎭是以原点为圆心,半径为2的圆及其内部,如下图所示:区域A的正方形及其内部,区域A的面积为22A S ==,区域B的面积为22B S ππ=⨯=⎝⎭,因此,所求概率为224B A S P S ππ===.故选B . 11.如图,随机向大圆内投一粒豆子,则豆子落在阴影部分的概率为A .13 B .4ππ-C .22ππ-D .22ππ+ 【试题来源】江西省鹰潭市2021届高三第二次模拟考(理) 【答案】C【分析】设小圆的半径为r ,则大圆的半径为2r ,计算出阴影部分区域的面积和大圆的面积,利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【解析】设小圆的半径为r ,则大圆的半径为2r ,则空白区域可看作是边长为2r 的正方形与半径为r 的四个半圆组合而成, 所以,空白区域的面积为()()222124422r r r ππ+⨯⨯⨯=+,所以,阴影部分区域的面积为()()()22224224S r r r πππ=⨯-+=-,因此,所求概率为()2224242r P r ππππ--==.故选C .12.在平面区域02,{02x y ≤≤≤≤内随机取一点,在所取的点恰好满足x y +≤A .116 B .18C .14D .12【试题来源】广西南宁三中2020届高三数学(理)考试二试题 【答案】C【解析】由题意可知所取的点应在图中阴影部分.从而其概率为.故本题正确答案为C .13.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形.谢尔宾斯基三角形是一种分形,由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出.具体操作是取一个实心三角形,沿三角形的三边中点连线,将它分成4个小三角形,去掉中间的那一个小三角形后,对其余3个小三角形重复上述过程得到如图所示的图案,若向该图案随机投一点,则该点落在黑色部分的概率是A .716 B .916 C .35D .12【试题来源】陕西省安康市2020届高三下学期第三次联考(理) 【答案】B【分析】先观察图象,再结合几何概型中的面积型可得()991616S P A S ==小三角形小三角形,得解. 【解析】由图可知黑色部分由9个小三角形组成,该图案由16个小三角形组成, 设“向该图案随机投一点,则该点落在黑色部分”为事件A , 由几何概型中的面积型可得()991616S P A S ==小三角形小三角形,故选B . 14.如图所示,在边长为4的正三角形中有一封闭曲线围成的阴影区域.在正三角形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率为34,则阴影区域的面积为AB.C.D.【试题来源】安徽省四校2020-2021学年高三上学期适应性测试(文) 【答案】C【分析】由题意结合几何概型计算公式得到关于面积的方程,解方程即可求得最终结果.【解析】设阴影部分的面积为S3422=,解得S =3.故选C .15.如图来自中国古代的木纹饰图.若大正方形的边长为6个单位长度,每个小正方形的边长均为1个单位长度,则在大正方形内随机取一点,此点取自图形中小正方形内的概率是A .136 B .19C .16D .29【试题来源】河南省名校联考2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试(文) 【答案】D【分析】分别求出各自对应的面积即可求解结论.【解析】因为大正方形的面积为6636⨯=;而小正方的面积为111⨯=;故在大正方形内随机取一点,大正方形内部有6个小正方形,此点取自图形中小正方形内的概率是812369⨯=.故选D . 16ABCD ,射线BP 从BA 出发,绕着点B 顺时针方向旋转至BC ,点E 为线段DC 上的点,且1CE =,则在旋转的过程中,BP 与线段EC 有交点的概率为A .13 B .12C .23D .14【试题来源】河南省名校联盟2020届高三(6月份)高考数学((理))联考试题 【答案】A【分析】首先求出CBE ∠,再根据角度型几何概型概率公式计算可得;【解析】tan CE CBE CB ∠===,6CBE π∴∠=, BP ∴与线段EC 有交点的概率为1632ππ=.故选A .17.“数摺聚清风,一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句,折扇出入怀袖,扇面书画,扇骨雕琢,是文人雅士的宠物,所以又有“怀袖雅物”的别号,如图是折扇的示意图,A 为OB 的中点,若在整个扇形区域内随机取一点,则此点取自扇面(扇环)部分的概率是A .14B .12C .58D .34【试题来源】江西省南昌二中2020届高三高考数学((理))校测试卷题(三) 【答案】D【解析】设扇形的圆心角为α,大扇形的半径长为R ,小扇形的半径长为r , 则22S R α=大扇形,22S r α=小扇形,2R r =.根据几何概型,可得此点取自扇面(扇环)部分的概率为222222223322442R r R r r P R r R ααα--====.故选D . 18.刘徽是我国魏晋时期的数学家,在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”所谓“割圆术”是指用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法.已知半径为1的圆O 内接正二十四边形,现随机向圆O 内投放a 粒豆子,其中有b 粒豆子落在正二十四边形内()*,a b b a N 、∈<,则圆周率的近似值为A.(a bB.(b aC.(a bD.(b a-【试题来源】河南省2020届高三(6月份)高考数学((理))质检试题 【答案】C【分析】本题首先可计算出正二十四边形的面积1S ,然后计算出半径为1的圆的面积2S ,最后根据几何概型的概率计算公式即可得出结果.【解析】因为正二十四边形的面积211241sin152432S ︒=⨯⨯⨯==,半径为1的圆的面积2S π=,所以123S S b aπ==,解得(a bπ=,故选C .【名师点睛】本题考查几何概型的概率计算公式,能否求出正二十四边形的面积以及圆的面积是解决本题的关键,考查计算能力,是简单题.19.在正方形ABCD 中,弧AD 是以AD 为直径的半圆,若在正方形ABCD 中任取一点,则该点取自阴影部分内的概率为A .16πB .12πC .44π-D .14【试题来源】四川省德阳市2020届高三高考数学((文))三诊试题【答案】D【分析】设正方形ABCD 的边长为2,计算出阴影部分区域和正方形ABCD 的面积,利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【解析】设正方形ABCD 的边长为2,将图中阴影部分中的弓形区域沿着图中的虚线对称,如下图所示:所以,阴影部分区域的面积为12112S '=⨯⨯=,正方形ABCD 的面积为224S ==,因此,所求概率为14S P S '==.故选D . 20.在区间[-2,2]上随机抽取一个数x ,则事件“-1≤ln (x +1)≤1”发生的概率为A .2e 13e-B .2e 14e-C .2e 2e 13e--D .2e 2e 14e--【试题来源】云南省红河州第一中学2021届高三年级(理)第一次联考试题 【答案】B【分析】先解不等式()1ln 11x -≤+≤,然后利用几何概型的长度类型求解.【解析】由不等式()1ln 11x -≤+≤,得11e 1ex -≤≤-,所以事件“-1≤ln (x +1)≤1”发生的概率为()1e 11e 4P ⎛⎫---⎪⎝⎭==2e 14e-.故选B .【名师点睛】本题主要考查几何概型的概率求法,还考查了运算求解的能力,属于基础题. 21.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”,三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中,四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形,若直角三角形中较小的锐角6πα=,现在向该大正方形区域内随机地投掷一枚飞镖,则飞镖落在阴影部分的概率是A .22- B .12CD .34【试题来源】山西省长治市第二中学校2021届高三上学期9月质量调研(文) 【答案】A【分析】设大正方形的边长为2,求出阴影部分的面积后,由几何概型概率公式即可得解. 【解析】设大正方形的边长为2,则大正方形的面积14S =,易知阴影部分图形为正方形,因为直角三角形中较小的锐角6πα=,所以小正方形的边长为2cos2sin166ππ-=,。
高考复习几何概型复习题(含答案)
几何概型试题汇编一、单选题(共27题;共54分)1.在区间上随机取一个数x,则事件“ ”不发生的概率为()A. B. C. D.2.在区间内的所有实数中随机取一个实数,则这个实数满足的概率是()A. B. C. D.3.在由不等式组所确定的三角形区域内随机取一点,则该点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是( )A. B. C. D.4.设不等式组,表示的平面区域为D,在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是()A. B. C. D.5.如图,矩形中,点的坐标为.点的坐标为.直线的方程为:且四边形为正方形,若在五边形内随机取一点,则该点取自三角形 (阴影部分)的概率等于()A. B. C. D.6.如图,六边形是一个正六边形,若在正六边形内任取一点,则恰好取在图中阴影部分的概率是()A. B. C. D.7.如图所示,三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图,给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影)。
设直角三角形有一内角为,若向弦图内随机抛掷1000颗米粒(大小忽略不计),则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为()A. 134B. 866C. 300D. 5008.我们可以用计算机产生随机数的方法估计的近似值,如图所示的程序框图表示其基本步骤(中用函数来产生的均匀随机数),若输出的结果为524,则由此可估计的近似值为()A. 3.144B. 3.154C. 3.141D. 3.1429.如图,在矩形区域的两点处各有一个通信基站,假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域和扇形区域(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点,则该地点无信号的概率是()A. B. C. D.10.在区间[0,1]上随机选取两个数x和y,则y>2x的概率为()A. B. C. D.11.用电脑每次可以从区间(0,1)内自动生成一个实数,且每次生成每个实数都是等可能性的,若用该电脑连续生成3个实数,则这3个实数都大于的概率为()A. B. C. D.12.在区间[﹣1,2]上随机取一个数x,则|x|≤1的概率为()A. B. C. D.13.设复数z=(x﹣1)+yi(x,y∈R),若|z|≤1,则y≥x的概率为()A. +B. +C. ﹣D. ﹣14.如图一铜钱的直径为32毫米,穿径(即铜钱内的正方形小孔边长)为8毫米,现向该铜钱内随机地投入一粒米(米的大小忽略不计),则该粒米未落在铜钱的正方形小孔内的概率为()A. B. C. D.15.节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是()A. B. C. D.16.圆O内有一内接正三角形,向圆O内随机投一点,则该点落在正三角形内的概率为()A. B. C. D.17.如图所示,墙上挂有边长为a的正方形木板,它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心,半径为的圆弧,某人向此板投镖,假设每次都能击中木板,且击中木板上每个点的可能性都一样,则它击中阴影部分的概率是()A. 1﹣B.C. 1﹣D. 与a的取值有关18.不等式6﹣5x﹣x2≥0的解集为D,在区间[﹣7,2]上随机取一个数x,则x∈D的概率为()A. B. C. D.19.如图,在边长为2的正方形ABCD的内部随机取一点E,则△ABE的面积大于的概率为()A. B. C. D.20.如图,点A为周长为3的圆周上的一定点,若在该圆周上随机取一点B,则劣弧AB的长度小于1的概率为()A. B. C. D.21.如图,在圆心角为90°的扇形中以圆心O为起点作射线OC,则使得∠AOC与∠BOC都不小于30°的概率是()A. B. C. D.22.在区间(0,3]上随机取一个数x,则事件“0≤log2x≤1”发生的概率为()A. B. C. D.23.某人从甲地去乙地共走了500m,途经一条宽为xm的河流,该人不小心把一件物品丢在途中,若物品掉在河里就找不到,若物品不掉在河里,则能找到,已知该物品能被找到的概率为,则河宽为()A. 80mB. 100mC. 40mD. 50m24.在平面直角坐标系中,记抛物线y=x﹣x2与x轴所围成的平面区域为M,该抛物线与直线y=kx(k>0)所围成的平面区域为N,向区域M内随机抛掷一点P,若点P落在区域N内的概率为,则k的值为()A. B. C. D.25.在半径为1的圆O内任取一点M,过M且垂直OM与直线l与圆O交于圆A,B两点,则AB长度大于的概率为()A. B. C. D.26.在长为16cm的线段MN上任取一点P,以MP,NP为邻边作一矩形,则该矩形的面积大于60cm2的概率为()A. B. C. D.27.如图,圆O内有一个内接三角形ABC,且直径AB=2,∠ABC=45°,在圆O内随机撒一粒黄豆,则它落在三角形ABC内(阴影部分)的概率是()A. B. C. D.二、填空题(共7题;共7分)28.已知Ω1是集合{(x,y)|x2+y2≤1}所表示的区域,Ω2是集合{(x,y)|y≤|x|}所表示的区域,向区域Ω1内随机的投一个点,则该点落在区域Ω2内的概率为________.29.在[0,a](a>0)上随机抽取一个实数x,若x满足<0的概率为,则实数a的值为________.30.某校早上8:00开始上课,假设该校学生小张与小王在早上7:30~7:50之间到校,且每人在该时间段任何的时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________31.上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx与圆相交”发生的概率为________32.在棱长为2的正方体内随机取一点,取到的点到正方体中心的距离大于1的概率________.33.如图所示,为了求出一个边长为10的正方形内的不规则图形的面积,小明设计模拟实验:向这个正方形内均匀的抛洒20粒芝麻,结果有8粒落在了不规则图形内,则不规则图形的面积为________.34.矩形区域ABCD 中,AB 长为2 千米,BC 长为1 千米,在A 点和C 点处各有一个通信基站,其覆盖范围均为方圆1 千米,若在该矩形区域内随意选取一地点,则该地点无信号的概率为________.三、解答题(共8题;共65分)35.遂宁市观音湖港口船舶停靠的方案是先到先停.(1)若甲乙两艘船同时到达港口,双方约定各派一名代表从1,2,3,4,5中各随机选一个数(甲、乙选取的数互不影响),若两数之和为偶数,则甲先停靠;若两数之和为奇数,则乙先停靠,这种规则是否公平?请说明理由.(2)根据以往经验,甲船将于早上7:00~8:00到达,乙船将于早上7:30~8:30到达,请求出甲船先停靠的概率36.如图,为圆柱的母线,是底面圆的直径,是的中点.(Ⅰ)问:上是否存在点使得平面?请说明理由;(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若平面,假设这个圆柱是一个大容器,有条体积可以忽略不计的小鱼能在容器的任意地方游弋,如果小鱼游到四棱锥外会有被捕的危险,求小鱼被捕的概率.37.某同学在上学路上要经过A、B、C三个带有红绿灯的路口.已知他在A、B、C三个路口遇到红灯的概率依次是、、,遇到红灯时停留的时间依次是40秒、20秒、80秒,且在各路口是否遇到红灯是相互独立的.(1)求这名同学在上学路上在第三个路口首次遇到红灯的概率;,(2)求这名同学在上学路上因遇到红灯停留的总时间.38.设关于x的一元二次方程x2+ax﹣+1=0.(1)若a是从1,2,3这三个数中任取的一个数,b是从0,1,2这三个数中任取的一个数,求上述方程中有实根的概率;(2)若a是从区间[0,3]中任取的一个数,b是从区间[0,2]中任取的一个数,求上述方程有实根的概率.39.设事件A表示“关于x的一元二次方程x2+ax+b2=0有实根”,其中a,b为实常数.(Ⅰ)若a为区间[0,5]上的整数值随机数,b为区间[0,2]上的整数值随机数,求事件A发生的概率;(Ⅱ)若a为区间[0,5]上的均匀随机数,b为区间[0,2]上的均匀随机数,求事件A发生的概率.40.已知关于x的二次函数f(x)=ax2﹣4bx+1.(Ⅰ)设集合A={﹣1,1,2,3,4,5}和B={﹣2,﹣1,1,2,3,4},分别从集合A,B中随机取一个数作为a和b,求函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率.(Ⅱ)设点(a,b)是区域内的随机点,求函数f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率.41.已知正方形ABCD的边长为1,弧BD是以点A为圆心的圆弧.(1)在正方形内任取一点M,求事件“|AM|≤1”的概率;(2)用大豆将正方形均匀铺满,经清点,发现大豆一共28粒,其中有22粒落在圆中阴影部分内,请据此估计圆周率π的近似值(精确到0.01).42.某旅游公司为甲,乙两个旅游团提供四条不同的旅游线路,每个旅游团可任选其中一条旅游线路.(1)求甲、乙两个旅游团所选旅游线路不同的概率;(2)某天上午9时至10时,甲,乙两个旅游团都到同一个著名景点游览,20分钟后游览结束即离去.求两个旅游团在该著名景点相遇的概率.答案解析部分一、单选题1.【答案】D【考点】几何概型【解析】【解答】解:区间上随机取一个数x,对应区间长度为,满足事件“ ”的x范围为x+1≤3,即≤x≤2,对应区间长度为2+ ,所以事件不发生的概率为1﹣= ;故选D.【分析】由题意,本题是几何概型,首先求出事件对应的区间长度,利用长度比求概率.2.【答案】C【考点】几何概型【解析】【解答】由题意可得,该问题为长度型几何概型,则所求问题的概率值为:.故答案为:C.【分析】根据题目中所给的条件的特点,分别计算出区间(15,25]的长度,区间(17,20)的长度,代入几何概型概率计算公式,即可得到答案.考查几何概型的概率计算.其中根据已知条件计算出基本事件总数对应的几何量的大小,和满足条件的几何量的大小是解答本题的关键.3.【答案】D【考点】几何概型【解析】【解答】画出关于的不等式组所构成的三角形区域,如图所示.的面积为离三个顶点距离都不大于1的地方的面积为∴其恰在离三个顶点距离都不小于1的地方的概率为故答案为:D.【分析】画出关于x,y的不等式组所构成的三角形区域,求出三角形的面积;再求出距三角形的三顶点距离小于等于1的区域为三个扇形,三个扇形的和是半圆,求出半圆的面积;利用对立事件的概率公式及几何概型概率公式求出恰在离三个顶点距离都不小于1的地方的概率.几何概率:设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域Ω,事件A所对应的区域用A表示(A⊆Ω),则P(A)=称为事件A的几何概率.4.【答案】D【考点】二元一次不等式(组)与平面区域,几何概型【解析】【解答】解:其构成的区域D如图所示的边长为2的正方形,面积为S1=4,满足到原点的距离大于2所表示的平面区域是以原点为圆心,以2为半径的圆外部,面积为=4﹣π,∴在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率P=故选:D.【分析】本题属于几何概型,利用“测度”求概率,本例的测度即为区域的面积,故只要求出题中两个区域:由不等式组表示的区域和到原点的距离大于2的点构成的区域的面积后再求它们的比值即可.5.【答案】D【考点】几何概型【解析】【解答】在中,令,得,即,则,所以,,由几何概型的概率公式,得在五边形内随机取一点,该点取自三角形 (阴影部分)的概率.故答案为:D.【分析】根据题意求出点D的坐标,再由两点间的距离公式代入数值求出结果,结合四边形的面积代入数值求出结果把数值代入到几何概型的概率公式求出结果即可。
几何概型习题附答案
1.在区间[0,2]上随机地取出一个数x ,则事件“-1≤log 12⎝⎛⎭⎫x +12≤1”发生的概率为( )A .34 B.23 C .13D .14解析:选A .不等式-1≤log 12⎝⎛⎭⎫x +12≤1可化为log 122≤log 12⎝⎛⎭⎫x +12≤log 1212,即12≤x +12≤2,解得0≤x ≤32,故由几何概型的概率公式得P =32-02-0=34.2.在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形,邻边长分别等于线段AC ,CB 的长,则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( )A .16 B.13 C .23D .45解析:选C .设AC =x (0<x <12),则CB =12-x ,所以x (12-x )<32,解得0<x <4或8<x <12. 所以P =4+412=23.3.在如图所示的圆形图案中有12片树叶,构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为π3,若在圆内随机取一点,则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是( )A .2-33πB.4-63πC .13-32πD .23解析:选B .设圆的半径为r ,根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积S =24⎝⎛⎭⎫16πr 2-34r 2=4πr 2-63r 2,圆的面积S ′=πr 2,所以此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率为S S ′=4-63π,故选B .4.已知平面区域D ={(x ,y )|-1≤x ≤1,-1≤y ≤1},在区域D 内任取一点,则取到的点位于直线y =kx (k ∈R )下方的概率为( )A .12 B.13 C .23D .34解析:选A .由题设知,区域D 是以原点为中心的正方形,直线y =kx 将其面积平分,如图,所求概率为12.5.如图所示,A 是圆上一定点,在圆上其他位置任取一点A ′,连接AA ′,得到一条弦,则此弦的长度小于或等于半径的概率为( )A .12 B.32C .13D .14解析:选C .当AA ′的长度等于半径长度时,∠AOA ′=π3,A ′点在A 点左右都可取得,故由几何概型的概率计算公式得P =2π32π=13,故选C .6.某人随机地在如图所示的正三角形及其外接圆区域内部投针(不包括三角形边界及圆的外界),则针扎到阴影区域(不包括边界)的概率为________.解析:设正三角形的边长为a ,圆的半径为R ,则正三角形的面积为34a 2. 由正弦定理得2R =a sin 60°,即R =33a ,。
几何概型随堂练习(含答案)
几何概型一、选择题1. [2013·信阳模拟]如图,M 是半径为R 的圆周上一个定点,在圆周上等可能的任取一点N ,连接MN ,则弦MN 的长度超过2R 的概率是( )A. 15 B. 14 C. 13 D. 12答案:D解析:由题意知,当MN =2R 时,∠MON =π2,所以所求概率为2×π22π=12.2. [2013·镇江模拟]某校航模小组在一个棱长为6米的正方体房间内试飞一种新型模型飞机,为保证模型飞机安全,模型飞机在飞行过程中要始终保持与天花板、地面和四周墙壁的距离均大于1米,则模型飞机“安全飞行”的概率为( )A. 127B. 116C. 38 D. 827 答案:D解析:依题意得,模型飞机“安全飞行”的概率为(6-26)3=827,选D.3. 如图,是一个算法程序框图,在集合A ={x |-10≤x ≤10,x ∈R }中随机抽取一个数值做为x 输入,则输出的y 值落在区间(-5,3)内的概率为( )A. 0.4B. 0.5C. 0.6D. 0.8答案:D解析:f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +3(x <0),x -5(x >0),0(x =0),当-5<x +3<3⇒-8<x <0,-5<x -5<3⇒0<x <8,所以有解的概率为P =8+810-(-10)=0.8.4. 如图所示,在一个边长为1的正方形AOBC 内,曲线y =x 2和曲线y =x 围成一个叶形图(阴影部分),向正方形AOBC 内随机投一点(该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的),则所投的点落在叶形图内部的概率是( )A. 12 B. 16 C. 14 D. 13答案:D解析:依题意知,题中的正方形区域的面积为12=1,阴影区域的面积等于⎠⎛01(x -x 2)d x=(23x 32-13x 3)⎪⎪⎪10=13.因此所投的点落在叶形图内部的概率等于13,选D . 5. [2013·郑州模拟]分别以正方形ABCD 的四条边为直径画半圆,重叠部分如图中阴影区域所示,若向该正方形内随机投一点,则该点落在阴影区域的概率为( )A . 4-π2 B. π-22 C .4-π4D. π-24答案:B解析:设AB =2,则S 阴影=2π-4. ∴2π-44=π-22,故选B 项. 6. [2012·四川资阳高三模拟]已知实数x ∈[-1,1],y ∈[0,2],则点P (x ,y )落在区域⎩⎪⎨⎪⎧2x -y +2≥0,x -2y +1≤0,x +y -2≤0内的概率为( )A. 316B. 38C. 34 D. 12答案:B解析:如图所示,(x ,y )在矩形ABCD 内取值,不等式组所表示的区域为△AEF ,由几何概型的概率公式,得所求概率为38,故选B .二、填空题7.[2013·大理模拟]如图,曲线OB 的方程为y 2=x (0≤y ≤1),为估计阴影部分的面积,采用随机模拟方式产生x ∈(0,1),y ∈(0,1)的200个点(x ,y ),经统计,落在阴影部分的点共134个,则估计阴影部分的面积是________.答案:0.67解析:由落入阴影部分的点的个数与落入正方形区域的点的个数比得到阴影部分的面积与正方形的面积比为134200,又正方形的面积为1,所以阴影部分的面积为0.67.8. [2013·邵阳模拟]在[-6,9]内任取一个实数m ,设f(x )=-x 2+mx +m -54,则函数f(x )的图象与x 轴有公共点的概率等于________.答案:35解析:若函数f (x )=-x 2+mx +m -54的图象与x 轴有公共点,则Δ=m 2+4(m -54)≥0,又m ∈[-6,9],得m ∈[-6,-5]或m ∈[1,9],故所求的概率为P =[(-5)-(-6)]+(9-1)9-(-6)=35. 9. [2013·商丘模拟]已知函数f (x )=log 2x ,x ∈[12,2],在区间[12,2]上任意一点x 0,使f(x 0)≥0的概率为________.答案:23解析:由f (x 0)≥0,得log 2x 0≥0. ∴x 0≥1,即使f (x 0)≥0的区域为[1,2], 故所求概率为P =2-12-12=23.三、解答题10. [2013·伊春模拟]已知|x |≤2,|y |≤2,点P 的坐标为(x ,y ),求x ,y ∈R 时,P 满足(x -2)2+(y -2)2≤4的概率.分析:由题意画出图象可求面积之比.解:如图,点P 所在的区域为正方形ABCD 的内部(含边界),满足(x -2)2+(y -2)2≤4的点的区域为以(2,2)为圆心,2为半径的圆面(含边界).∴所求的概率P 1=14π×224×4=π16.11. 已知关于x 的一元二次方程x 2-2(a -2)x -b 2+16=0.(1)若a ,b 是一枚骰子先后投掷两次所得到的点数,求方程有两个正实数根的概率; (2)若a ∈[2,6],b ∈[0,4],求一元二次方程没有实数根的概率.解:(1)基本事件(a ,b )共有36个,且a ,b ∈{1,2,3,4,5,6},方程有两个正实数根等价于a -2>0,16-b 2>0,Δ≥0,即a >2,-4<b <4,(a -2)2+b 2≥16.设“一元二次方程有两个正实数根”为事件A ,则事件A 所包含的基本事件数为(6,1),(6,2),(6,3),(5,3)共4个,故所求的概率为P (A )=436=19.(2)试验的全部结果构成区域Ω={(a ,b )|2≤a ≤6,0≤b ≤4},其面积为S (Ω)=16. 设“一元二次方程无实数根”为事件B ,则构成事件B 的区域为B ={(a ,b )|2≤a ≤6,0≤b ≤4,(a -2)2+b 2<16},其面积为S (B )=14×π×42=4π,故所求的概率为P (B )=4π16=π4.12. [2013·锦州模拟]已知复数z =x +y i(x ,y ∈R )在复平面上对应的点为M .(1)设集合P ={-4,-3,-2,0},Q ={0,1,2},从集合P 中随机取一个数作为x ,从集合Q 中随机取一个数作为y ,求复数z 为纯虚数的概率;(2)设x ∈[0,3],y ∈[0,4],求点M 落在不等式组:⎩⎪⎨⎪⎧x +2y -3≤0,x ≥0,y ≥0所表示的平面区域内的概率.解:(1)记“复数z 为纯虚数”为事件A .∵组成复数z 的所有情况共有12个:-4,-4+i ,-4+2i ,-3,-3+i ,-3+2i ,-2,-2+i ,-2+2i,0,i,2i ,且每种情况出现的可能性相等,属于古典概型,其中事件A 包含的基本事件共2个:i,2i ,∴所求事件的概率为P (A )=212=16.(2)依条件可知,点M 均匀地分布在平面区域{(x ,y )|⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0≤x ≤30≤y ≤4内,属于几何概型,该平面区域的图形为右图中矩形OABC 围成的区域,面积为S =3×4=12.而所求事件构成的平面区域为 {(x ,y )|⎩⎪⎨⎪⎧x +2y -3≤0x ≥0y ≥0},其图形如图中的三角形OAD (阴影部分).又直线x +2y -3=0与x 轴、y 轴的交点分别为A (3,0)、D (0,32),∴三角形OAD 的面积为S 1=12×3×32=94.∴所求事件的概率为P =S 1S =9412=316.。
几何概型的经典题型及答案
几何概型的经典题型及答案2345直径MN 垂直于EF 和E 1F 1,与他们分别相交于K 和K 1(图1-2)。
依题设条件,样本空间所对应的区域是直径MN ,有L(G)=MN=2R ,注意到弦的长度与弦心距之间的关系比,则有利场合所对对应的区域是KK 1,有1()2K L G KK OK ====以几何概率公式得()()22A L G P L G R ===。
[解法2].如图1-1所示,设园O 的半径为R, EF 为诸平行弦中的任意一条,直径MN ⊥弦EF ,它们的交点为K ,则点K 就是弦EF 的中点。
设OK=x ,则 x ∈[-R,R], 所以 L(G)=2R设事件A 为“任意画的弦的长度不小于R ”,则A 的有利场合是R ≥,解不等式,得x R ≤所以()A L G R == 于是()P A == [评注] 本题结构比较简单,题中直接给出了等可能值参数;样本空间和有利场合所对应的区域,从图上都可以直接看出。
两种解法各有特色,解法1充分利用平面几何知识,在本题似较简便,解法2引进变量x 把代数知识和几何知识有机的结合起来,从表面上看解题过程不甚简便,但确具有推广价值,这种方法可以求解复杂的几何概率问题。
例4、 在长为12cm 的线段AB 上任取一点M ,并以线段AM 为边作正方形,求这个正方形的面积介于36cm 2 与81cm 2之间的概率.分析:正方形的面积只与边长有关,因此,此题可以转化为在12cm 长的线段AB 上任取一点M ,求使得AM 的长度介于6cm 与9cm 之间的概率.解:记“面积介于36cm 2 与81cm 2之间”为事件A ,事件A 的概率等价于“长度介于6cm 与9cm 之间”的概率,所以,P(A)= 9612-=14 小结:解答本例的关键是,将正方形的面积问题先转化为与边长的关系。
练习:2、已知地铁列车每10 min 一班,在车站停1 min ,则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )6A.110 B.19 C.111 D.18解析:设乘客到达站台立即乘上车为事件A ,试验的所有结果构成的区域长度为10 min ,而构成事件A 的区域长度为1 min ,故P (A )=110.答案:A3、已知集合A {x |-1<x <5},B ={x |x -23-x>0},在集合A 中任取一个元素x ,则事件“x ∈A ∩B ”的概率是________.解析:由题意得A ={x |-1<x <5},B ={x |2<x <3},由几何概型知:在集合A 中任取一个元素x ,则x ∈A ∩B 的概率为P =16.答案:164、 小赵欲在国庆六十周年之后从某车站乘车外出考察,已知该站发往各站的客车均每小时一班,求小赵等车时间不多于10分钟的概率.分析:因为客车每小时一班,而小赵在0~60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的, 所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件,且属于几何概型中的长度类型.解析:设A={等待的时间不多于10分钟},我们所关心的事件A 恰好是到站等车的时刻位于[50,60]这一时间段内,而事件的总体是整个一小时,即60分钟,因此,由几何概型的概率公式,得P(A)= 605060-=61,即此人等车时间不多于10分钟的概率为61.(二)、与面积有关的几何概型例1、ABCD 为长方形,1,2==BC AB ,O 为AB 的中点,在长方形ABCD 内随机取一点,取到的点到O 的距离大于1的概率为( )A .4π B.14π- C.8πD.18π-分析:由于是随机的取点,点落在长方形内每一个点的机会是等可能的,基本事件是无限多个,所以符合几何概型.解:长方形面积为2,以O 为圆心,1为半径作圆,在矩形内部的部分(半AODC B1图7圆)面积为2π,因此取到的点到O 的距离大于1的面积为22π-,则取到的点到O 的距离大于1的概率为412221)(ππ-=-==的面积长方形的面积的距离大于取到的点到ABCD O A P . 故选B.例2、 如图,射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环.从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色,靶心为金色.金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122 cm,靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m 外射箭.假设运动员射的箭都能中靶,且射中靶面内任一点都是等可能的,那么射中黄心的概率为多少?思路点拨 此为几何概型,只与面积有关.解 记“射中黄心”为事件B,由于中靶点随机地落在面积为2212241cm ⨯⨯π的大圆内,而当中靶点落在面积为222.1241cm ⨯⨯π的黄心时,事件B 发生,于是事件B 发生的概率为01.0122412.1241)(2222=⨯⨯⨯⨯=cm cm B P ππ.即:“射中黄心”的概率是0.01.方法技巧 事件的发生是“击中靶心”即“黄心”的面积;总面积为最大环的圆面积.例3、在平面直角坐标系xoy 中,设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域,E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域,向D 中随意投一点,则落入E 中的概率为 。
高一数学几何概型试题答案及解析
高一数学几何概型试题答案及解析1.在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点,使得该点到此三角形的直角顶点的距离不大于1的概率为A.B.C.D.【答案】B【解析】以直角顶点为圆心,1为半径作圆,与三角形相交部分设为,当点在内时,到顶点的距离小于等于1,因此该点到此三角形的直角顶点的距离不大于1的概率为.【考点】几何概型的概率计算公式.2. x的取值范围为[0,10],给出如图所示程序框图,输入一个数x.求:(Ⅰ)输出的x(x<6)的概率;(Ⅱ)输出的x(6<x≤8)的概率.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)由已知中的程序框图,我们根据选择结构的功能,可分析出程序的功能是计算并输出分段函数y=的函数值,输出的x(x<6),可得x<5,即可求出输出的x(x<6)的概率;(Ⅱ)由输出的结果在区间6<x8上,我们可以分当x7时和x>7时两种情况,分别讨论满足条件的x的取值范围,得到输出结果的范围,最后根据输入x的取值范围利用几何概型求出概率即可.试题解析:(Ⅰ)由已知中的程序框图可得该程序的功能是计算并输出分段函数y=的函数值,当x<6时,输出x+1,此时输出的结果满足x+1<6,所以x<5,所以输出的x(x<6)的概率为P==;(Ⅱ)当x≤7时,输出x+1,此时输出的结果满足6<x+1≤8解得5<x≤7;当x>7时,输出x﹣1,此时输出的结果满足6<x﹣1≤8解得7<x≤9;综上,输出的x的范围中5<x≤9.则使得输出的x满足6<x≤8的概率为P==.【考点】1.程序框图;2.几何概率.3.利用计算机产生之间的均匀随机数,则事件“”发生的概率为_______.【答案】【解析】3a-1<0即a<,则事件“3a-1<0”的概率为P==.故答案为:.【考点】几何概型.4.一只蚂蚁在三边长分别为3、4、5的三角形面内爬行,某时间该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为;【答案】【解析】距离三角形的三个顶点的距离均超过1即在如图所示的阴影区域内爬行:三角形面积为,阴影面积为,∴概率为.【考点】5.向等腰直角三角形内任意投一点, 则小于的概率为( ) A.B.C.D.【答案】D【解析】以A为圆心、AC为半径作圆,令圆与AB边相交于点D,则点M在扇形ACD内时,小于,因为在等腰直角三角形ABC中,,所以扇形的面积,又等腰直角三角形ABC的面积,所以所求概率。
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几何概型的常见题型及典例分析一.几何概型的定义1.定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型.2.特点:(1)无限性,即一次试验中,所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;(2)等可能性,即每个基本事件发生的可能性均相等.3.计算公式:.)(积)的区域长度(面积或体试验的全部结果所构成积)的区域长度(面积或体构成事件A A P = 说明:用几何概率公式计算概率时,关键是构造出随机事件所对应的几何图形,并对几何图形进行度量.4.古典概型和几何概型的区别和联系:(1)联系:每个基本事件发生的都是等可能的.(2)区别:①古典概型的基本事件是有限的,几何概型的基本事件是无限的;②两种概型的概率计算公式的含义不同.二.常见题型(一)、与长度有关的几何概型例1、在区间]1,1[-上随机取一个数x ,2cosx π的值介于0到21之间的概率为( ). A.31 B.π2 C.21 D.32 分析:在区间]1,1[-上随机取任何一个数都是一个基本事件.所取的数是区间]1,1[-的任意一个数,基本事件是无限多个,而且每一个基本事件的发生都是等可能的,因此事件的发生的概率只与自变量x 的取值范围的区间长度有关,符合几何概型的条件.解:在区间]1,1[-上随机取一个数x ,即[1,1]x ∈-时,要使cos 2x π的值介于0到21之间,需使223x πππ-≤≤-或322x πππ≤≤ ∴213x -≤≤-或213x ≤≤,区间长度为32, 由几何概型知使cos 2x π的值介于0到21之间的概率为 31232===度所有结果构成的区间长符合条件的区间长度P . 故选A. 例2、 如图,A,B 两盏路灯之间长度是30米,由于光线较暗,想在其间再随意安装两盏路灯C,D,问A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米的概率是多少?思路点拨 从每一个位置安装都是一个基本事件,基本事件有无限多个,但在每一处安装的可能性相等,故是几何概型.解 记 E :“A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米”,把AB 三等分,由于中间长度为30×31=10米, ∴313010)(==E P . 方法技巧 我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中每一点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点,这样的概率模型就可以用几何概型来求解.例3、在半径为R 的圆内画平行弦,如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的,求任意画的弦的长度不小于R 的概率。
思考方法:由平面几何知识可知,垂直于弦的直径平分这条弦,所以,题中的等可能参数是平行弦的中点,它等可能地分布在于平行弦垂直的直径上(如图1-1)。
也就是说,样本空间所对应的区域G 是一维空间(即直线)上的线段MN ,而有利场合所对应的区域G A 是长度不小于R 的平行弦的中点K 所在的区间。
[解法1].设EF 与E 1F 1是长度等于R 的两条弦,K K K1图1-2图1-1O O E F E F E1F1直径MN 垂直于EF 和E 1F 1,与他们分别相交于K 和K 1(图1-2)。
依题设条件,样本空间所对应的区域是直径MN ,有L(G)=MN=2R ,注意到弦的长度与弦心距之间的关系比,则有利场合所对对应的区域是KK 1,有1()2K L G KK OK ====以几何概率公式得()()22A L G P L G R ===。
[解法2].如图1-1所示,设园O 的半径为R, EF 为诸平行弦中的任意一条,直径MN ⊥弦EF ,它们的交点为K ,则点K 就是弦EF 的中点。
设OK=x ,则 x ∈[-R,R], 所以 L(G)=2R设事件A 为“任意画的弦的长度不小于R ”,则A 的有利场合是R ≥,解不等式,得 x 2R ≤ 所以 ()22A L G R ==于是 ()22P A R == [评注] 本题结构比较简单,题中直接给出了等可能值参数;样本空间和有利场合所对应的区域,从图上都可以直接看出。
两种解法各有特色,解法1充分利用平面几何知识,在本题似较简便,解法2引进变量x 把代数知识和几何知识有机的结合起来,从表面上看解题过程不甚简便,但确具有推广价值,这种方法可以求解复杂的几何概率问题。
例4、 在长为12cm 的线段AB 上任取一点M ,并以线段AM 为边作正方形,求这个正方形的面积介于36cm 2 与81cm 2之间的概率.分析:正方形的面积只与边长有关,因此,此题可以转化为在12cm 长的线段AB 上任取一点M ,求使得AM 的长度介于6cm 与9cm 之间的概率.解:记“面积介于36cm 2 与81cm 2之间”为事件A ,事件A 的概率等价于“长度介于6cm 与9cm 之间”的概率,所以,P(A)= 9612-=14 小结:解答本例的关键是,将正方形的面积问题先转化为与边长的关系。
练习:2、已知地铁列车每10 min 一班,在车站停1 min ,则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )A.110B.19C.111D.18 解析:设乘客到达站台立即乘上车为事件A ,试验的所有结果构成的区域长度为10 min ,而构成事件A 的区域长度为1 min ,故P (A )=110.答案:A 3、已知集合A {x |-1<x <5},B ={x |x -23-x>0},在集合A 中任取一个元素x ,则事件“x ∈A ∩B ”的概率是________.解析:由题意得A ={x |-1<x <5},B ={x |2<x <3},由几何概型知:在集合A 中任取一个元素x ,则x ∈A ∩B 的概率为P =16.答案:164、 小赵欲在国庆六十周年之后从某车站乘车外出考察,已知该站发往各站的客车均每小时一班,求小赵等车时间不多于10分钟的概率.分析:因为客车每小时一班,而小赵在0~60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的, 所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件,且属于几何概型中的长度类型.解析:设A={等待的时间不多于10分钟},我们所关心的事件A 恰好是到站等车的时刻位于[50,60]这一时间段内,而事件的总体是整个一小时,即60分钟,因此,由几何概型的概率公式,得P(A)= 605060-=61,即此人等车时间不多于10分钟的概率为61. (二)、与面积有关的几何概型例1、ABCD 为长方形,1,2==BC AB ,O 为AB 的中点,在长方形ABCD 内随机取一点,取到的点到O 的距离大于1的概率为( )A .4π B.14π- C.8π D.18π- 分析:由于是随机的取点,点落在长方形内每一个点的机会是等可能的,基本事件是无限多个,所以符合几何概型.解:长方形面积为2,以O 为圆心,1为半径作圆,在矩形内部的部分(半DC圆)面积为2π,因此取到的点到O 的距离大于1的面积为22π-,则取到的点到O 的距离大于1的概率为412221)(ππ-=-==的面积长方形的面积的距离大于取到的点到ABCD O A P . 故选B.例2、 如图,射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环.从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色,靶心为金色.金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122 cm,靶心直径为12.2cm.运动员在70 m 外射箭.假设运动员射的箭都能中靶,且射中靶面内任一点都是等可能的,那么射中黄心的概率为多少?思路点拨 此为几何概型,只与面积有关.解 记“射中黄心”为事件B,由于中靶点随机地落在面积为2212241cm ⨯⨯π的大圆内,而当中靶点落在面积为222.1241cm ⨯⨯π的黄心时,事件B 发生,于是事件B 发生的概率为01.0122412.1241)(2222=⨯⨯⨯⨯=cm cm B P ππ. 即:“射中黄心”的概率是0.01.方法技巧 事件的发生是“击中靶心”即“黄心”的面积;总面积为最大环的圆面积.例3、在平面直角坐标系xoy 中,设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域,E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域,向D中随意投一点,则落入E 中的概率为 。
解析:如图:区域D 表示边长为4的正方形ABCD 的内部(含边界),而区域E 表示单位圆及其内部,因此214416P ππ⨯==⨯。
答案 16π 点评:本小题中的试验结果是区域中的部分点集,其结果是不可数的,属于几何概型中典型的面积之比。
例4、在三角形ABC 中任取一点P ,证明:△ABP 与△ABC 的面积之比大于1n n -的概率为21n 。
思考方法 本题的随机点是ABP ∆的顶点P ,它等可能的分布在ABC ∆中,因此,与样本空间对应的平面区域是ABC ∆,注意到ABP ∆于ABC ∆有公共边AB ,所以的面积决定于顶点P 离底边AB 的距离。
这样不难确定与有利场合相对应的平面区域。
解 设ABP ∆与ABC ∆的面积之比为1n n-,ABC ∆的高CD 为h ,ABP ∆的高PG 为h1,公共底边AB 的长为c ,(图2)则1111212ABPABCch S h n S h n ch ∆∆-=== 11n h h n -=过点P 作EF//AB,交CD 于H,则有立场合所对应的平面区域为CEF ∆.于是所求概率为EFC ABCS P S ∆∆= 注意到EF//AB ,~EFC ABC ∆∆,且 CH=h -h 1 = h-1n n -h=1h n ,2221EFCABC h s n p S h n ∆∆⎛⎫ ⎪⎝⎭∴=== 由此,原题得证。
评注 本题的样本空间虽然与平面区域相对应,但因三角形ABC 于三角形ABP 有公共底边AB ,所以,实际变化着的量只有一个(即点P 于AB 的距离),问题还比较简单,对于较复杂的平面区域,常常要根据题设选定两个变量,由各自的约束条件确定样本空间于有立场合的相应区域。
例5、将长为L 的木棒随机的折成3段,求3段构成三角形的概率.解:设M =“3段构成三角形”.x y ,分别表示其中两段的长度,则第三段的长度为L x y --.{}()000x y x L y L x y L Ω=<<<<<+<,,,|.图2H P G F E D C B A由题意,x y L x y --,,要构成三角形,须有x y L x y +>--,即12x y +>; ()x L x y y +-->,即2L y <;()y L x y x +-->,即2L x <. 故()|222L L L M x y x y y x ⎧⎫=+><<⎨⎬⎩⎭,,,. 如图1所示,可知所求概率为221122()42L M P M L ⎛⎫ ⎪⎝⎭===Ω·的面积的面积. 例6、已知函数f (x )=-x 2+ax -b .若a 、b 都是从区间[0,4]任取的一个数,则f (1)>0成立的概率是________.解析:f (1)=-1+a -b >0,即a -b >1,如图:A (1,0),B (4,0),C (4,3),S △ABC =92,P =S △ABC S 矩=924×4=932. 答案:932练习1、ABCD 为长方形,AB =2,BC =1,O 为AB 的中点.在长方形ABCD 内随机取一点,取到的点到O 的距离大于1的概率为( )A.π4 B .1-π4 C.π8 D .1-π8解析:对应长方形的面积为2×1=2,而取到的点到O 的距离小于等于1时,其是以O 为圆心,半径为1所作的半圆,对应的面积为12×π×12=12π,那么满足条件的概率为:1-12π2=1-π4.答案:B2、设-1≤a ≤1,-1≤b ≤1,则关于x 的方程x 2+ax +b 2=0有实根的概率是 ( )A.12B.14C.18D.116解析:由题知该方程有实根满足条件⎩⎨⎧ -1≤a ≤1,-1≤b ≤1,a 2-4b 2≥0,作平面区域如右图:由图知阴影面积为1,总的事件对应面积为正方形的面积,故概率为14.答案:B 3、已知Ω={(x ,y )|x +y ≤6,x ≥0,y ≥0},A ={(x ,y )|x ≤4,y ≥0,x -2y ≥0},若向区域Ω上随机投一点P ,则点P 落入区域A 的概率为 ( )A.13B.23C.19D.29解析:作出两集合表示的平面区域如图所示.容易得出Ω所表示的平面区域为三角形AOB 及其边界,A 表示的区域为三角形OCD 及其边界.容易求得D (4,2)恰为直线x =4,x -2y =0,x +y =6三线的交点.则可得S △AOB =12×6×6=18,S △OCD =12×4×2=4.所以点P 落在区域A 的概率为418=29.答案:D 4、在区域⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+-≤-+00202y y x y x 内任取一点P ,则点P 落在单位圆x 2+y 2=1内的概率为( ) A.π2 B.π8 C.π6 D.π4 解析:区域为△ABC 内部(含边界),则概率为 P =S 半圆S △ABC =π212×22×2=π4.答案:D5、在边长为2的正三角形ABC 内任取一点P ,则使点P 到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________.解析:以A 、B 、C 为圆心,以1为半径作圆,与△ABC相交出三个扇形(如图所示),当P 落在阴影部分时符合要求.∴P =3×(12×π3×12)34×22=3π6.答案:36π 6、在区间[0,1]上任意取两个实数a ,b ,则函数f (x )=12x 3+ax -b 在区间[-1,1]上有且仅有一个零点的概率为________.解析:f ′(x )=32x 2+a ,故f (x )在x ∈[-1,1]上单调递增,又因为函数f (x )=12x 3+ax -b 在[-1,1]上有且仅有一个零点,即有f (-1)·f (1)<0成立,即(-12-a -b )(12+a -b )<0,则(12+a +b )(12+a -b )>0,可化为⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤a ≤10≤b ≤112+a -b >012+a +b >0或⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤a ≤10≤b ≤112+a -b <0,12+a +b <0由线性规划知识在平面直角坐标系aOb中画出这两个不等式组所表示的可行域,再由几何概型可以知道,函数f(x)=12x3+ax-b在[-1,1]上有且仅有一个零点的概率为可行域的面积除以直线a=0,a=1,b=0,b=1围成的正方形的面积,计算可得面积之比为78。