《变量与函数》教案湘教版

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湘教版数学八年级下册《4.1.1变量与函数》教学设计

湘教版数学八年级下册《4.1.1变量与函数》教学设计一. 教材分析湘教版数学八年级下册《4.1.1变量与函数》是学生在学习了初中阶段函数概念的基础上，进一步探讨变量与函数的关系。

本节内容通过具体的实例让学生理解自变量、函数的概念，以及如何用函数式表示变量之间的关系。

教材内容由浅入深，既巩固了以前的知识，又为后续学习函数的图像和性质打下基础。

二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了变量、常量的概念，对函数有了初步的认识。

但部分学生对函数的定义和判断仍然存在模糊的地方，对函数式子的理解也不够深入。

因此，在教学过程中，需要帮助学生理清变量、常量、函数之间的关系，并通过具体例子让学生感受函数式表示变量之间的方法。

三. 教学目标1.理解自变量、函数的概念，掌握用函数式表示变量之间的关系。

2.能够判断一个关系是否为函数，并能用函数式表示。

3.培养学生的抽象思维能力，提高学生解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：理解自变量、函数的概念，掌握用函数式表示变量之间的关系。

2.难点：判断一个关系是否为函数，并能用函数式表示。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究变量与函数的关系。

2.利用具体实例，让学生感受函数式表示变量之间的方法。

3.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。

4.利用板书、多媒体等教学辅助工具，提高教学效果。

六. 教学准备1.准备相关实例，用于讲解变量与函数的关系。

2.准备多媒体课件，用于展示函数图像和实例。

3.准备练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个生活中的实例，如投篮问题，引导学生思考投篮命中次数与投篮次数之间的关系。

让学生意识到这两个量之间存在一种依赖关系，进而引出自变量、函数的概念。

2.呈现（10分钟）呈现投篮问题的具体数据，让学生观察命中次数与投篮次数之间的关系。

引导学生用函数式表示这种关系，如命中次数 = 投篮次数 × 命中率。

湘教版八年级数学下册教案-变量与函数

第4章一次函数 4．1 函数和它的表示法4．1.1 变量与函数1．了解常量、变量的概念；(重点) 2．了解函数的概念；(重点)3．确定简单问题的函数关系．(难点)一、情境导入如图，水滴激起的波纹可以看成是一个不断向外扩展的圆，它的面积随着半径的变化而变化，随着半径的确定而确定．在上述例子中，每个变化过程中的两个变量：当其中一个变量变化时，另一个变量也随着发生变化；当一个变量确定时，另一个变量也随着确定．你能举出一些类似的实例吗？二、合作探究探究点一：常量与变量分析并指出下列关系中的变量与常量：(1)球的表面积S cm 2与球的半径R cm 的关系式是S ＝4πR 2；(2)以固定的速度v 0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h 米与小球运动的时间t 秒之间的关系式是h ＝v 0t －4.9t 2；(3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h m 与它下落的时间t s 的关系式是h ＝12gt 2(其中g 取9.8m/s 2)； (4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量w 千克与所付款x 元之间的关系式是x ＝1.8w .解析：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量．解：(1)球的表面积S cm 2与球的半径R cm 的关系式是S ＝4πR 2，其中，常量是4π，变量是S ，R ；(2)以固定的速度v 0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h 米与小球运动的时间t 秒之间的关系式是h ＝v 0t －4.9t 2，常量是v 0，4.9，变量是h ，t ；(3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h m 与它下落的时间t s 的关系式是h ＝12gt 2(其中g 取9.8m/s 2)，其中常量是12g ，变量是h ，t ；(4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量w 千克与所付款x 元之间的关系式是x ＝1.8w ，常量是1.8，变量是x ，w .方法总结：常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化．探究点二：函数的定义下列说法中正确的是( )A ．变量x ，y 满足x ＋3y ＝1，则y 是x 的函数B ．变量x ，y 满足y ＝－x 2－1，则y 可以是x 的函数C ．变量x ，y 满足|y |＝x ，则y 可以是x 的函数D ．变量x ，y 满足y 2＝x ，则y 可以是x 的函数解析：A 中x ＋3y ＝1，y 可以看作x 的函数，因为y ＝1－x3；B 中y ＝－x 2－1，因为－x 2－1<0，等式无意义，即对于变量x 的任何一个取值，变量y 都没有唯一确定的值，故y不是x的函数；C、D中的|y|＝x和y2＝x，对于变量x的任意一个正数值，变量y都有两个(不唯一)值与其对应，故y不是x 的函数．故选A.方法总结：判断两个变量是否是函数关系，就看是否存在两个变量，并且在这两个变量中，确定好哪个是自变量，哪个是函数，然后再看看这两个变量是否是一一对应的关系．探究点三：确定自变量的取值范围【类型一】确定函数解析式中自变量的取值范围写出下列函数中自变量x的取值范围．(1)y＝2x－3；(2)y＝31－x；(3)y＝4－x；(4)y＝x－1x－2.解析：当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数；当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零；当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．解：(1)全体实数；(2)分母1－x≠0，即x≠1；(3)被开方数4－x≥0，即x≤4；(4)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x－1≥0，x－2≠0，解得x≥1且x≠2.方法总结：本题考查了函数自变量的取值范围：有分母的要满足分母不能为0，有根号的要满足被开方数为非负数．【类型二】实际问题中自变量的取值范围水箱内原有水200升，7：30打开水龙头，以2升/分的速度放水，设经过t分钟后，水箱内存水y升．(1)求y关于t的函数关系式和自变量的取值范围；(2)7：55时，水箱内还有多少水？(3)几点几分水箱内的水恰好放完？解析：(1)根据水箱内还有的水等于原有水减去放掉的水列式整理即可，再根据剩余水量不小于0列不等式求出t的取值范围；(2)7：55时，t＝55－30＝25，将t＝25代入(1)中的关系式即可；(3)令y＝0，求出t的值即可．解：(1)∵水箱内存有的水＝原有水－放掉的水，∴y＝200－2t.∵y≥0，∴200－2t≥0，解得t≤100，∴0≤t≤100，∴y关于t的函数关系式为y＝200－2t(0≤t≤100)；(2)∵7：55－7：30＝25(分钟)，∴当t＝25时，y＝200－2t＝200－50＝150(升)，∴7：55时，水箱内还有水150升；(3)当y＝0时，200－2t＝0，解得t＝100，而100分钟＝1小时40分钟，7点30分＋1小时40分钟＝9点10分，故9点10分水箱内的水恰好放完．探究点四：简单问题的函数关系一个弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，它的原长为10cm，挂上重物后弹簧的长度y(cm)随所挂重物的质量x(kg)的变化而变化，每挂1kg物体，弹簧伸长0.5cm；(1)求弹簧的长度y(cm)与所挂重物质量x(kg)之间的函数表达式；(2)当挂5kg重物时，求弹簧的长度．解析：根据弹簧的长度等于原长加上伸长的长度，列式即可；解：(1)y＝10＋12x，其中x是自变量，y是自变量的函数；(2)将x＝5代入y＝10＋12x，得y＝10＋12×5＝12.5(cm)．答：当挂5kg重物是，弹簧的长度为12.5厘米．方法总结：根据题意，找出等量关系，列出相应的函数表达式．求函数值时，将自变量代入函数表达式中，求出即可．探究点五：函数值根据如图所示程序计算函数值，若输入x的值为52，则输出的函数值为()A.32B.25C.425D.254解析：∵x ＝52时，在2≤x ≤4之间，∴将x ＝52代入函数y ＝1x ，得y ＝25.故选B.方法总结：根据所给的自变量的值，结合各个函数关系式所对应的自变量的取值范围，确定其对应的函数关系式，再代入计算．三、板书设计1．常量和变量的概念 2．函数的概念 3．函数关系式4．自变量的取值范围 5．函数值通过本课时的教学，学生对于常量、变量以及函数关系式掌握较好，但是对于有些实际问题中自变量的取值范围还存在一些困难．在以后的教学中要通过实例让学生不断加以强化，达到整体进步.。

4新湘教版初中数学八年级下册精品教案.1.1 变量与函数

第4章一次函数 4．1 函数和它的表示法4．1.1 变量与函数1．了解常量、变量的概念；(重点) 2．了解函数的概念；(重点)3．确定简单问题的函数关系．(难点)一、情境导入如图，水滴激起的波纹可以看成是一个不断向外扩展的圆，它的面积随着半径的变化而变化，随着半径的确定而确定．在上述例子中，每个变化过程中的两个变量：当其中一个变量变化时，另一个变量也随着发生变化；当一个变量确定时，另一个变量也随着确定．你能举出一些类似的实例吗？二、合作探究探究点一：常量与变量分析并指出下列关系中的变量与常量：(1)球的表面积S cm 2与球的半径R cm 的关系式是S ＝4πR 2；(2)以固定的速度v 0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h 米与小球运动的时间t 秒之间的关系式是h ＝v 0t －4.9t 2；(3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h m 与它下落的时间t s 的关系式是h ＝12gt 2(其中g 取9.8m/s 2)； (4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量w 千克与所付款x 元之间的关系式是x ＝1.8w .解析：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量．解：(1)球的表面积S cm 2与球的半径R cm 的关系式是S ＝4πR 2，其中，常量是4π，变量是S ，R ；(2)以固定的速度v 0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h 米与小球运动的时间t 秒之间的关系式是h ＝v 0t －4.9t 2，常量是v 0，4.9，变量是h ，t ；(3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h m 与它下落的时间t s 的关系式是h ＝12gt 2(其中g 取9.8m/s 2)，其中常量是12g ，变量是h ，t ；(4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量w 千克与所付款x 元之间的关系式是x ＝1.8w ，常量是1.8，变量是x ，w .方法总结：常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化．探究点二：函数的定义下列说法中正确的是( )A ．变量x ，y 满足x ＋3y ＝1，则y 是x 的函数B ．变量x ，y 满足y ＝－x 2－1，则y 可以是x 的函数C ．变量x ，y 满足|y |＝x ，则y 可以是x 的函数D ．变量x ，y 满足y 2＝x ，则y 可以是x 的函数解析：A 中x ＋3y ＝1，y 可以看作x 的函数，因为y ＝1－x3；B 中y ＝－x 2－1，因为－x 2－1<0，等式无意义，即对于变量x 的任何一个取值，变量y 都没有唯一确定的值，故y 不是x 的函数；C 、D 中的|y |＝x 和y 2＝x ，对于变量x 的任意一个正数值，变量y 都有两个(不唯一)值与其对应，故y 不是x 的函数．故选A.方法总结：判断两个变量是否是函数关系，就看是否存在两个变量，并且在这两个变量中，确定好哪个是自变量，哪个是函数，然后再看看这两个变量是否是一一对应的关系．探究点三：确定自变量的取值范围【类型一】确定函数解析式中自变量的取值范围写出下列函数中自变量x 的取值范围．(1)y ＝2x －3； (2)y ＝31－x ；(3)y ＝4－x ； (4)y ＝x －1x －2.解析：当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数；当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零；当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．解：(1)全体实数；(2)分母1－x ≠0，即x ≠1； (3)被开方数4－x ≥0，即x ≤4；(4)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥1且x ≠2.方法总结：本题考查了函数自变量的取值范围：有分母的要满足分母不能为0，有根号的要满足被开方数为非负数．【类型二】实际问题中自变量的取值范围水箱内原有水200升，7：30打开水龙头，以2升/分的速度放水，设经过t 分钟后，水箱内存水y 升．(1)求y 关于t 的函数关系式和自变量的取值范围；(2)7：55时，水箱内还有多少水？ (3)几点几分水箱内的水恰好放完？解析：(1)根据水箱内还有的水等于原有水减去放掉的水列式整理即可，再根据剩余水量不小于0列不等式求出t 的取值范围；(2)7：55时，t ＝55－30＝25，将t ＝25代入(1)中的关系式即可；(3)令y ＝0，求出t 的值即可．解：(1)∵水箱内存有的水＝原有水－放掉的水，∴y ＝200－2t .∵y ≥0，∴200－2t ≥0，解得t ≤100，∴0≤t ≤100，∴y 关于t 的函数关系式为y ＝200－2t (0≤t ≤100)；(2)∵7：55－7：30＝25(分钟)，∴当t＝25时，y＝200－2t＝200－50＝150(升)，∴7：55时，水箱内还有水150升；(3)当y＝0时，200－2t＝0，解得t＝100，而100分钟＝1小时40分钟，7点30分＋1小时40分钟＝9点10分，故9点10分水箱内的水恰好放完．探究点四：简单问题的函数关系一个弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，它的原长为10cm，挂上重物后弹簧的长度y(cm)随所挂重物的质量x(kg)的变化而变化，每挂1kg物体，弹簧伸长0.5cm；(1)求弹簧的长度y(cm)与所挂重物质量x(kg)之间的函数表达式；(2)当挂5kg重物时，求弹簧的长度．解析：根据弹簧的长度等于原长加上伸长的长度，列式即可；解：(1)y＝10＋12x，其中x是自变量，y是自变量的函数；(2)将x＝5代入y＝10＋12x，得y＝10＋12×5＝12.5(cm)．答：当挂5kg重物是，弹簧的长度为12.5厘米．方法总结：根据题意，找出等量关系，列出相应的函数表达式．求函数值时，将自变量代入函数表达式中，求出即可．探究点五：函数值根据如图所示程序计算函数值，若输入x的值为52，则输出的函数值为()A.32 B.25 C.425 D.254解析：∵x＝52时，在2≤x≤4之间，∴将x＝52代入函数y＝1x，得y＝25.故选B.方法总结：根据所给的自变量的值，结合各个函数关系式所对应的自变量的取值范围，确定其对应的函数关系式，再代入计算．三、板书设计1．常量和变量的概念2．函数的概念3．函数关系式4．自变量的取值范围5．函数值通过本课时的教学，学生对于常量、变量以及函数关系式掌握较好，但是对于有些实际问题中自变量的取值范围还存在一些困难．在以后的教学中要通过实例让学生不断加以强化，达到整体进步.。

《变量与函数》教案湘教版

第4章一次函数 4．1 函数和它的表示法4．1.1 变量与函数1．了解常量、变量的概念；(重点) 2．了解函数的概念；(重点)3．确定简单问题的函数关系．(难点)一、情境导入如图，水滴激起的波纹可以看成是一个不断向外扩展的圆，它的面积随着半径的变化而变化，随着半径的确定而确定．在上述例子中，每个变化过程中的两个变量：当其中一个变量变化时，另一个变量也随着发生变化；当一个变量确定时，另一个变量也随着确定．你能举出一些类似的实例吗？二、合作探究探究点一：常量与变量分析并指出下列关系中的变量与常量：(1)球的表面积S cm 2与球的半径R cm 的关系式是S ＝4πR 2；(2)以固定的速度v 0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h 米与小球运动的时间t 秒之间的关系式是h ＝v 0t －4.9t 2；(3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h m 与它下落的时间t s 的关系式是h ＝12gt 2(其中g 取9.8m/s 2)； (4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量w 千克与所付款x 元之间的关系式是x ＝1.8w .解析：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量．解：(1)球的表面积S cm 2与球的半径R cm 的关系式是S ＝4πR 2，其中，常量是4π，变量是S ，R ；(2)以固定的速度v 0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h 米与小球运动的时间t 秒之间的关系式是h ＝v 0t －4.9t 2，常量是v 0，4.9，变量是h ，t ；(3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h m 与它下落的时间t s 的关系式是h ＝12gt 2(其中g 取9.8m/s 2)，其中常量是12g ，变量是h ，t ；(4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量w 千克与所付款x 元之间的关系式是x ＝1.8w ，常量是1.8，变量是x ，w .方法总结：常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化．探究点二：函数的定义下列说法中正确的是( )A ．变量x ，y 满足x ＋3y ＝1，则y 是x 的函数B ．变量x ，y 满足y ＝－x 2－1，则y 可以是x 的函数C ．变量x ，y 满足|y |＝x ，则y 可以是x 的函数D ．变量x ，y 满足y 2＝x ，则y 可以是x 的函数解析：A 中x ＋3y ＝1，y 可以看作x 的函数，因为y ＝1－x3；B 中y ＝－x 2－1，因为－x 2－1<0，等式无意义，即对于变量x 的任何一个取值，变量y 都没有唯一确定的值，故y 不是x 的函数；C 、D 中的|y |＝x 和y 2＝x ，对于变量x 的任意一个正数值，变量y 都有两个(不唯一)值与其对应，故y 不是x 的函数．故选A.方法总结：判断两个变量是否是函数关系，就看是否存在两个变量，并且在这两个变量中，确定好哪个是自变量，哪个是函数，然后再看看这两个变量是否是一一对应的关系．探究点三：确定自变量的取值范围【类型一】确定函数解析式中自变量的取值范围写出下列函数中自变量x 的取值范围．(1)y ＝2x －3； (2)y ＝31－x；(3)y ＝4－x ； (4)y ＝x －1x －2. 解析：当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数；当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零；当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．解：(1)全体实数；(2)分母1－x ≠0，即x ≠1； (3)被开方数4－x ≥0，即x ≤4；(4)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥1且x ≠2.方法总结：本题考查了函数自变量的取值范围：有分母的要满足分母不能为0，有根号的要满足被开方数为非负数．【类型二】实际问题中自变量的取值范围水箱内原有水200升，7：30打开水龙头，以2升/分的速度放水，设经过t 分钟后，水箱内存水y 升．(1)求y 关于t 的函数关系式和自变量的取值范围；(2)7：55时，水箱内还有多少水？(3)几点几分水箱内的水恰好放完？解析：(1)根据水箱内还有的水等于原有水减去放掉的水列式整理即可，再根据剩余水量不小于0列不等式求出t 的取值范围；(2)7：55时，t ＝55－30＝25，将t ＝25代入(1)中的关系式即可；(3)令y ＝0，求出t 的值即可．解：(1)∵水箱内存有的水＝原有水－放掉的水，∴y ＝200－2t .∵y ≥0，∴200－2t ≥0，解得t ≤100，∴0≤t ≤100，∴y 关于t 的函数关系式为y ＝200－2t (0≤t ≤100)；(2)∵7：55－7：30＝25(分钟)，∴当t ＝25时，y ＝200－2t ＝200－50＝150(升)，∴7：55时，水箱内还有水150升；(3)当y ＝0时，200－2t ＝0，解得t ＝100，而100分钟＝1小时40分钟，7点30分＋1小时40分钟＝9点10分，故9点10分水箱内的水恰好放完．探究点四：简单问题的函数关系一个弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，它的原长为10cm ，挂上重物后弹簧的长度y (cm)随所挂重物的质量x (kg)的变化而变化，每挂1kg 物体，弹簧伸长0.5cm ；(1)求弹簧的长度y (cm)与所挂重物质量x (kg)之间的函数表达式；(2)当挂5kg 重物时，求弹簧的长度．解析：根据弹簧的长度等于原长加上伸长的长度，列式即可；解：(1)y ＝10＋12x ，其中x 是自变量，y是自变量的函数；(2)将x ＝5代入y ＝10＋12x ，得y ＝10＋12×5＝12.5(cm)．答：当挂5kg 重物是，弹簧的长度为12.5厘米．方法总结：根据题意，找出等量关系，列出相应的函数表达式．求函数值时，将自变量代入函数表达式中，求出即可．探究点五：函数值根据如图所示程序计算函数值，若输入x的值为52，则输出的函数值为() A.32 B.25 C.425 D.254解析：∵x＝52时，在2≤x≤4之间，∴将x＝52代入函数y＝1x，得y＝25.故选B.方法总结：根据所给的自变量的值，结合各个函数关系式所对应的自变量的取值范围，确定其对应的函数关系式，再代入计算．三、板书设计1．常量和变量的概念2．函数的概念3．函数关系式4．自变量的取值范围5．函数值通过本课时的教学，学生对于常量、变量以及函数关系式掌握较好，但是对于有些实际问题中自变量的取值范围还存在一些困难．在以后的教学中要通过实例让学生不断加以强化，达到整体进步.。

湘教版（2012）初中数学八年级下册 4.1.1 变量与函数教案

变量与函数教案教学目标：知识与技能：1、通过简单实例，了解变量与常量的定义；2、通过实例，掌握函数的定义。

过程与方法：通过实例，让学生感受生活中的一些变化关系，从而理解函数的意义。

情感态度与价值观：通过实例感受函数和日常生活的密切关系，增强学生学习函数的兴趣和信心。

教学重点：函数的概念教学难点：函数概念的理解教学方法：讲授法、谈话法、演示法、情境法、练习法、讨论法、自主探究法教学设计：一、概念引入（一）情境导入同学们，我们生活在一个充满变化的世界里，人的身高随着年龄的变化而变化；匀速行驶的列车，行驶的路程随着时间的变化而变化；前段时间有一部非常火爆的电影——《战狼2》，它的票房随着时间的变化而变化。

这样的变化还有很多，同学们，你能举例说一说吗？这说明，我们的大千世界一直在不断地变化，用我们数学的眼光来看，这些变化有没有规律呢？有规律的话，又有些什么样的规律？又该如何描述这些规律呢？今天这节课，我们就来学习刻画一些变化规律的量和关系——变量与函数。

最近我们这里的温差特别大，我们班上都已经有好几位同学感冒了，那接下来我们就通过图像来了解一下气温如何随着时间的变化而变化。

（二）情境探究课件分别展示三个问题：问题一：气温与时间问题出示课件。

师：你能从图中得到哪些信息？生：有两个变化的量，气温随着时间的变化而变化。

等等。

师：同学们想一想，4时的气温可不可能既是10摄氏度，又是12摄氏度，或者同时又是其他的值呢？生：不可能。

师追问：那这说明了什么呢？生：对于时间取的每一个值，气温都有唯一的一个值与它对应。

师：刚刚同学们说得非常好，那我们来总结一下，从这个题目中，我们得到气温与时间之间有什么关系呢？总结：在这个题中有两个变化的量，气温随着时间的变化而变化，对于时间取的每一个值，气温都有唯一的一个值与它对应。

师：刚刚我们从图像中发现了气温与时间之间的变化关系，接下来，从表格中是否也能有所发现呢？问题二：正方形的面积与边长问题出示课件。

新湘教版八下教案：4.1.1 变量与函数

第4章一次函数 4．1 函数和它的表示法4．1.1 变量与函数1．了解常量、变量的概念；(重点) 2．了解函数的概念；(重点)3．确定简单问题的函数关系．(难点)一、情境导入如图，水滴激起的波纹可以看成是一个不断向外扩展的圆，它的面积随着半径的变化而变化，随着半径的确定而确定．在上述例子中，每个变化过程中的两个变量：当其中一个变量变化时，另一个变量也随着发生变化；当一个变量确定时，另一个变量也随着确定．你能举出一些类似的实例吗？二、合作探究探究点一：常量与变量分析并指出下列关系中的变量与常量：(1)球的表面积S cm 2与球的半径R cm 的关系式是S ＝4πR 2；(2)以固定的速度v 0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h 米与小球运动的时间t 秒之间的关系式是h ＝v 0t －4.9t 2；(3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h m 与它下落的时间t s 的关系式是h ＝12gt 2(其中g 取9.8m/s 2)； (4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量w 千克与所付款x 元之间的关系式是x ＝1.8w .解析：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量．解：(1)球的表面积S cm 2与球的半径R cm 的关系式是S ＝4πR 2，其中，常量是4π，变量是S ，R ；(2)以固定的速度v 0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h 米与小球运动的时间t 秒之间的关系式是h ＝v 0t －4.9t 2，常量是v 0，4.9，变量是h ，t ；(3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h m 与它下落的时间t s 的关系式是h ＝12gt 2(其中g 取9.8m/s 2)，其中常量是12g ，变量是h ，t ；(4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量w 千克与所付款x 元之间的关系式是x ＝1.8w ，常量是1.8，变量是x ，w .方法总结：常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化．探究点二：函数的定义下列说法中正确的是( )A ．变量x ，y 满足x ＋3y ＝1，则y 是x 的函数B ．变量x ，y 满足y ＝－x 2－1，则y 可以是x 的函数C ．变量x ，y 满足|y |＝x ，则y 可以是x 的函数D ．变量x ，y 满足y 2＝x ，则y 可以是x 的函数解析：A 中x ＋3y ＝1，y 可以看作x 的函数，因为y ＝1－x3；B 中y ＝－x 2－1，因为－x 2－1<0，等式无意义，即对于变量x 的任何一个取值，变量y 都没有唯一确定的值，故y 不是x 的函数；C 、D 中的|y |＝x 和y 2＝x ，对于变量x 的任意一个正数值，变量y 都有两个(不唯一)值与其对应，故y 不是x 的函数．故选A.方法总结：判断两个变量是否是函数关系，就看是否存在两个变量，并且在这两个变量中，确定好哪个是自变量，哪个是函数，然后再看看这两个变量是否是一一对应的关系．探究点三：确定自变量的取值范围【类型一】确定函数解析式中自变量的取值范围写出下列函数中自变量x 的取值范围．(1)y ＝2x －3； (2)y ＝31－x ；(3)y ＝4－x ； (4)y ＝x －1x －2.解析：当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数；当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零；当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．解：(1)全体实数；(2)分母1－x ≠0，即x ≠1； (3)被开方数4－x ≥0，即x ≤4；(4)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥1且x ≠2.方法总结：本题考查了函数自变量的取值范围：有分母的要满足分母不能为0，有根号的要满足被开方数为非负数．【类型二】实际问题中自变量的取值范围水箱内原有水200升，7：30打开水龙头，以2升/分的速度放水，设经过t 分钟后，水箱内存水y 升．(1)求y 关于t 的函数关系式和自变量的取值范围；(2)7：55时，水箱内还有多少水？ (3)几点几分水箱内的水恰好放完？解析：(1)根据水箱内还有的水等于原有水减去放掉的水列式整理即可，再根据剩余水量不小于0列不等式求出t 的取值范围；(2)7：55时，t ＝55－30＝25，将t ＝25代入(1)中的关系式即可；(3)令y ＝0，求出t 的值即可．解：(1)∵水箱内存有的水＝原有水－放掉的水，∴y ＝200－2t .∵y ≥0，∴200－2t ≥0，解得t ≤100，∴0≤t ≤100，∴y 关于t 的函数关系式为y ＝200－2t (0≤t ≤100)；(2)∵7：55－7：30＝25(分钟)，∴当t＝25时，y＝200－2t＝200－50＝150(升)，∴7：55时，水箱内还有水150升；(3)当y＝0时，200－2t＝0，解得t＝100，而100分钟＝1小时40分钟，7点30分＋1小时40分钟＝9点10分，故9点10分水箱内的水恰好放完．探究点四：简单问题的函数关系一个弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，它的原长为10cm，挂上重物后弹簧的长度y(cm)随所挂重物的质量x(kg)的变化而变化，每挂1kg物体，弹簧伸长0.5cm；(1)求弹簧的长度y(cm)与所挂重物质量x(kg)之间的函数表达式；(2)当挂5kg重物时，求弹簧的长度．解析：根据弹簧的长度等于原长加上伸长的长度，列式即可；解：(1)y＝10＋12x，其中x是自变量，y是自变量的函数；(2)将x＝5代入y＝10＋12x，得y＝10＋12×5＝12.5(cm)．答：当挂5kg重物是，弹簧的长度为12.5厘米．方法总结：根据题意，找出等量关系，列出相应的函数表达式．求函数值时，将自变量代入函数表达式中，求出即可．探究点五：函数值根据如图所示程序计算函数值，若输入x的值为52，则输出的函数值为()A.32 B.25 C.425 D.254解析：∵x＝52时，在2≤x≤4之间，∴将x＝52代入函数y＝1x，得y＝25.故选B.方法总结：根据所给的自变量的值，结合各个函数关系式所对应的自变量的取值范围，确定其对应的函数关系式，再代入计算．三、板书设计1．常量和变量的概念2．函数的概念3．函数关系式4．自变量的取值范围5．函数值通过本课时的教学，学生对于常量、变量以及函数关系式掌握较好，但是对于有些实际问题中自变量的取值范围还存在一些困难．在以后的教学中要通过实例让学生不断加以强化，达到整体进步.。

2023八年级数学下册第4章一次函数4.1函数和它的表示法4.1.1变量与函数教案(新版)湘教版

-在线数学教育资源库，提供相关的教学视频和练习题。
4.教学手段：
-小组讨论：组织学生进行小组讨论，促进学生之间的交流和合作。
-示例讲解：通过具体的示例讲解函数的概念和表示方法，让学生更好地理解和掌握。
-练习题和作业：布置相关的练习题和作业，巩固学生对函数知识的理解和应用能力。
教学实施过程
1.课前自主探索
-拓展学习：利用老师提供的拓展资源，进行进一步的学习和思考。
-反思总结：对自己的学习过程和成果进行反思和总结，提出改进建议。
教学方法/手段/资源：
-自主学习法：引导学生自主完成作业和拓展学习。
-反思总结法：引导学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结。
作用与目的：
-巩固学生在课堂上学到的函数概念和表示方法。
5.题型五：函数的实际应用
-例题：一家商店的售价y（元）与销售量x（件）之间的关系可以用函数y = 100 + 0.5x表示。如果商店想要增加收入，应该采取什么措施？
-解答：商店应该增加销售量x，因为随着销售量x的增加，售价y也会增加，从而增加收入。
教学反思与总结
在本节课的教学过程中，我主要采用了讲授法和实践活动法，通过详细的讲解和生动的实例，帮助学生理解和掌握函数的概念和表示方法。同时，我还组织了一些小组讨论和角色扮演等活动，让学生在实践中加深对知识的理解和应用。然而，在教学过程中，我也发现了一些不足之处。
-在组织课堂活动时，可以更加注重学生的思考和理解，通过提问和讨论等方式，引导学生深入思考和理解函数的概念和性质。
-在批改学生作业时，可以更加注重学生的思考过程和理解，通过提问和讨论等方式，引导学生深入思考和理解函数的概念和性质。
-加强课后辅导，针对部分学生在理解和应用函数的概念和性质方面存在困难，可以通过个别辅导和小组讨论等方式，帮助学生克服困难，提高他们的学习效果。

八年级数学下册4.1.1变量与函数教案(新版)湘教版【教案】

度的升高而降低，年龄随着时间的增长而增长。这几个问题中都涉及两
个量的关系，地球的位
置与时间，温度与高度，
年龄与时间。二、合作交流、解读探
究
1、气温问题：上图
是北京春季某一天的气
温Ｔ随时间 t 变化的图
象，看图回答：
（1）这天的 8时的气温
是 ℃， 14时的气温
是 ℃，最高气温是
℃，最低气温
是 ℃；
（2）这一天中，在 4时 ~12时，气温（），在 16时 ~24时，气温（）。
A. 持续升高 B. 持续降低 C. 持续不变
思考：
1
（1）天气温度随
的变化而变化，即 T 随的变化而变
化；
（2）当时间 t 取定一个确定的值时，对应的温度 T 的取值是否唯一确
定？
2 、当正方形的边长 x 分别取 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7……时，正方形的
找出它们的共性，归纳出函数的概
x 和 y，如果对于 x 的每一个值， y x 是自变量， y 是 x 的函数。
三、应用迁移、巩固提高
例 1 已知圆柱的高是 4cm，底面半径是 rcm，当圆柱的底面半径 r 由小变大时，圆柱的体积 Vcm3是 r 的函数。（ 1）用含 r 的代数式来表示
圆柱的体积 V，指出自变量 r 的取值范围；（ 2）当 r=5,10 时， V 是多少
练习教材 P112页练习 1、 2题四、全课小结 1．这一节课你有什么收获？还有什么疑问？你可以编一道题考一考同学，也可以向同学请教。 2．函数是一种“数”吗？
五、作业：教材 P116 页 A 组 1 题
3
面积 S 分别是多少？
3、某城市居民用的天然气， 1m3收费 2.88 元，使用 x（ m3）天然气应缴纳费用 y=2.88x , 当 x=10时，缴纳的费用为多少？

湘教版数学八年级下册4.1.1《变量与函数》说课稿

湘教版数学八年级下册4.1.1《变量与函数》说课稿一. 教材分析《变量与函数》是湘教版数学八年级下册4.1.1的内容，本节内容是在学生已经掌握了代数式的知识基础上进行讲述的，旨在让学生了解变量的概念，并引入函数的概念。

教材通过生活中的实例，引导学生理解变量和函数的关系，从而为后续的函数学习打下基础。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的代数基础，对于代数式、方程等概念有一定的了解。

但是，对于变量和函数的概念，学生可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要通过生动的实例和生活情境，帮助学生理解变量和函数的概念，并建立它们之间的关系。

三. 说教学目标1.知识与技能：让学生理解变量和函数的概念，并掌握它们之间的关系。

2.过程与方法：通过实例分析，让学生学会如何用变量和函数来描述实际问题。

3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

四. 说教学重难点1.重点：变量和函数的概念及其关系。

2.难点：如何用变量和函数来描述实际问题。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、小组合作学习法等。

2.教学手段：多媒体课件、实例分析、小组讨论等。

六. 说教学过程1.导入：通过生活中的实例，如气温变化、物体运动等，引导学生思考变量和函数的关系。

2.新课导入：介绍变量的概念，让学生理解变量是如何表示事物的变化。

3.案例分析：分析生活中的实例，引导学生理解函数的概念。

4.知识讲解：讲解变量和函数之间的关系，让学生掌握它们的基本概念。

5.练习巩固：让学生通过练习题，巩固所学知识。

6.课堂小结：对本节课的内容进行总结，帮助学生形成知识体系。

7.课后作业：布置相关作业，让学生进一步巩固所学知识。

七. 说板书设计板书设计如下：1.变量与函数2.变量的概念3.函数的概念4.变量与函数的关系八. 说教学评价教学评价主要从学生的学习效果、课堂表现、作业完成情况等方面进行。

教师应及时关注学生的学习进度，针对不同学生进行差异化指导，提高教学效果。

湘教版八年级数学下册《变量与函数》精品教案

《变量与函数》精品教案师：数学上常用变量与函数来刻画各种运动变化.讲授新课动脑筋(出示课件)师：同学们每天都听天气预报知道最高气温和最低气温，那一天的气温变化怎样表示呢？来看问题1并回答问题：问题1.如图是某地气象站用自动温度记录仪描出的某一天的温度曲线.观察与思考：1.这一天中,4时的气温是℃,14时的气温是___℃;2.随着的变化而变化.师：同学们很棒，我们接着看下面的问题，试着回答问题问题2.当正方形的边长x 分别取1，2，3，4，5，...时，正方形的面积S 分别是多少？试填写下表.观察思考：1.正方形的随着的变化而变化.2.当边长x 取定一个值时，面积S 有（唯一或不唯一）的值与它对应.学生思考填空关注其中数量的变化，用数量变化描述变化规律学生通过观察图，找出问题的答案，激发学生的强烈的好奇心和求知欲。

问题3.某城市居民用天然气收费标准为:1(m3)收费2.88元，使用x(m3)天然气应缴纳的费用y（元）为y= 2.88x.当x=10时，缴纳的费用为多少？1.使用天然气应缴纳的随着所用天然气的的变化而变化.2.当x=10时，y=（元）；当x= 20时，y=___（元）.师：同学们通过上面的三个问题，了解到什么知识？试着说一说常量和变量的定义吧.生：在一个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量,有些量的数值是始终不变的,我们称它们为常量.师：很好，那么要以什么为标准呢？生：我觉得看取值是否能发生变化.师：很好，那我们能否找出上面三个问题中的变量和常量呢？找一找吧生：变量:如问题1中的时间t和温度T；问题2中的面积S和边长x；问题3中的费用y和用气量x.常量：如问题3中的2.88师：学生回答的很好，变量和常量是函数中的两个量，那么什么是函数呢？生：一般地,变量y随着变量x的变化而变化,并且对于x的每一个值,y都有唯一的一个值与它对应，我们就说y是x的函数,记作y=f(x).师：这里的f(x)是英文a function of x(x的函数)的简记.这时把x叫作自变量，把y叫作因变量。

变量与函数-湘教版八年级数学下册优秀教案设计

第4章一次函数 4．1 函数和它的表示法4．1.1 变量与函数1．了解常量、变量的概念；(重点) 2．了解函数的概念；(重点)3．确定简单问题的函数关系．(难点)一、情境导入如图，水滴激起的波纹可以看成是一个不断向外扩展的圆，它的面积随着半径的变化而变化，随着半径的确定而确定．在上述例子中，每个变化过程中的两个变量：当其中一个变量变化时，另一个变量也随着发生变化；当一个变量确定时，另一个变量也随着确定．你能举出一些类似的实例吗？二、合作探究探究点一：常量与变量分析并指出下列关系中的变量与常量：(1)球的表面积S cm 2与球的半径R cm 的关系式是S ＝4πR 2；(2)以固定的速度v 0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h 米与小球运动的时间t 秒之间的关系式是h ＝v 0t －4.9t 2；(3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h m 与它下落的时间t s 的关系式是h ＝12gt 2(其中g 取9.8m/s 2)； (4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量w 千克与所付款x 元之间的关系式是x ＝1.8w .解析：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量．解：(1)球的表面积S cm 2与球的半径R cm 的关系式是S ＝4πR 2，其中，常量是4π，变量是S ，R ；(2)以固定的速度v 0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h 米与小球运动的时间t 秒之间的关系式是h ＝v 0t －4.9t 2，常量是v 0，4.9，变量是h ，t ；(3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h m 与它下落的时间t s 的关系式是h ＝12gt 2(其中g 取9.8m/s 2)，其中常量是12g ，变量是h ，t ；(4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量w 千克与所付款x 元之间的关系式是x ＝1.8w ，常量是1.8，变量是x ，w .方法总结：常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化．探究点二：函数的定义下列说法中正确的是( )A ．变量x ，y 满足x ＋3y ＝1，则y 是x 的函数B ．变量x ，y 满足y ＝－x 2－1，则y 可以是x 的函数C ．变量x ，y 满足|y |＝x ，则y 可以是x 的函数D ．变量x ，y 满足y 2＝x ，则y 可以是x 的函数解析：A 中x ＋3y ＝1，y 可以看作x 的函数，因为y ＝1－x3；B 中y ＝－x 2－1，因为－x 2－1<0，等式无意义，即对于变量x 的任何一个取值，变量y 都没有唯一确定的值，故y 不是x 的函数；C 、D 中的|y |＝x 和y 2＝x ，对于变量x 的任意一个正数值，变量y 都有两个(不唯一)值与其对应，故y 不是x 的函数．故选A.方法总结：判断两个变量是否是函数关系，就看是否存在两个变量，并且在这两个变量中，确定好哪个是自变量，哪个是函数，然后再看看这两个变量是否是一一对应的关系．探究点三：确定自变量的取值范围【类型一】确定函数解析式中自变量的取值范围写出下列函数中自变量x 的取值范围．(1)y ＝2x －3； (2)y ＝31－x； (3)y ＝4－x ； (4)y ＝x －1x －2. 解析：当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数；当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零；当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．解：(1)全体实数；(2)分母1－x ≠0，即x ≠1； (3)被开方数4－x ≥0，即x ≤4；(4)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥1且x ≠2.方法总结：本题考查了函数自变量的取值范围：有分母的要满足分母不能为0，有根号的要满足被开方数为非负数．【类型二】实际问题中自变量的取值范围水箱内原有水200升，7：30打开水龙头，以2升/分的速度放水，设经过t 分钟后，水箱内存水y 升．(1)求y 关于t 的函数关系式和自变量的取值范围；(2)7：55时，水箱内还有多少水？ (3)几点几分水箱内的水恰好放完？解析：(1)根据水箱内还有的水等于原有水减去放掉的水列式整理即可，再根据剩余水量不小于0列不等式求出t 的取值范围；(2)7：55时，t ＝55－30＝25，将t ＝25代入(1)中的关系式即可；(3)令y ＝0，求出t 的值即可．解：(1)∵水箱内存有的水＝原有水－放掉的水，∴y ＝200－2t .∵y ≥0，∴200－2t ≥0，解得t ≤100，∴0≤t ≤100，∴y 关于t 的函数关系式为y ＝200－2t (0≤t ≤100)；(2)∵7：55－7：30＝25(分钟)，∴当t ＝25时，y ＝200－2t ＝200－50＝150(升)，∴7：55时，水箱内还有水150升；(3)当y ＝0时，200－2t ＝0，解得t ＝100，而100分钟＝1小时40分钟，7点30分＋1小时40分钟＝9点10分，故9点10分水箱内的水恰好放完．探究点四：简单问题的函数关系一个弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，它的原长为10cm ，挂上重物后弹簧的长度y (cm)随所挂重物的质量x (kg)的变化而变化，每挂1kg 物体，弹簧伸长0.5cm ；(1)求弹簧的长度y (cm)与所挂重物质量x (kg)之间的函数表达式；(2)当挂5kg 重物时，求弹簧的长度．解析：根据弹簧的长度等于原长加上伸长的长度，列式即可；解：(1)y ＝10＋12x ，其中x 是自变量，y是自变量的函数；(2)将x ＝5代入y ＝10＋12x ，得y ＝10＋12×5＝12.5(cm)．答：当挂5kg重物是，弹簧的长度为12.5厘米．方法总结：根据题意，找出等量关系，列出相应的函数表达式．求函数值时，将自变量代入函数表达式中，求出即可．探究点五：函数值根据如图所示程序计算函数值，若输入x的值为52，则输出的函数值为()A.32 B.25 C.425 D.254解析：∵x＝52时，在2≤x≤4之间，∴将x＝52代入函数y＝1x，得y＝25.故选B.方法总结：根据所给的自变量的值，结合各个函数关系式所对应的自变量的取值范围，确定其对应的函数关系式，再代入计算．三、板书设计1．常量和变量的概念2．函数的概念3．函数关系式4．自变量的取值范围5．函数值通过本课时的教学，学生对于常量、变量以及函数关系式掌握较好，但是对于有些实际问题中自变量的取值范围还存在一些困难．在以后的教学中要通过实例让学生不断加以强化，达到整体进步.。

湘教版八下数学4.1.1《变量与函数》教学设计

湘教版八下数学4.1.1《变量与函数》教学设计一. 教材分析《变量与函数》是湘教版八下数学4.1.1的内容，这部分内容是学生在学习了代数和几何基础知识后，对函数概念的初次接触。

教材通过具体的实例，引导学生理解变量与函数的关系，培养学生的函数观念。

本节课的内容对于学生来说是一个新的概念，需要通过实例让学生感受和理解函数的实质。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的代数基础，对数学知识有一定的认识和理解。

但是，对于函数这一概念，他们可能是第一次接触，因此需要通过具体的实例和生活情境，让学生感受和理解函数的概念。

学生的学习兴趣和积极性需要通过教学设计来激发和保持。

三. 教学目标1.理解变量与函数的概念，能够识别生活中的函数关系。

2.能够用函数的 language 来描述和表示生活中的函数关系。

3.培养学生观察、分析和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.函数的概念和实质。

2.如何通过实例让学生理解函数的概念。

五. 教学方法1.实例教学：通过具体的实例，让学生感受和理解函数的概念。

2.问题驱动：通过提出问题，引导学生思考和探索，从而加深对函数概念的理解。

3.合作学习：通过小组讨论和合作，培养学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，包括实例和问题。

2.教学素材：准备相关的教学素材，如图片、图表等。

3.教学工具：准备好黑板、粉笔等教学工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的实例，如抛物线的运动，让学生观察和思考，引出函数的概念。

2.呈现（10分钟）通过PPT展示不同的实例，如温度与高度的关系，让学生观察和分析，引导学生理解函数的概念。

3.操练（10分钟）让学生通过小组合作，分析和学习教材中的实例，理解函数的概念。

4.巩固（10分钟）通过提问和讨论，巩固学生对函数概念的理解。

5.拓展（10分钟）让学生通过解决问题，运用和深化对函数概念的理解。

6.小结（5分钟）对本节课的内容进行小结，加深学生对函数概念的理解。

【湘教版】八年级数学下册教案：4.1.1变量与函数

第4章一次函数 4．1 函数和它的表示法4．1.1 变量与函数1．了解常量、变量的概念；(重点) 2．了解函数的概念；(重点)3．确定简单问题的函数关系．(难点)一、情境导入如图，水滴激起的波纹可以看成是一个不断向外扩展的圆，它的面积随着半径的变化而变化，随着半径的确定而确定．在上述例子中，每个变化过程中的两个变量：当其中一个变量变化时，另一个变量也随着发生变化；当一个变量确定时，另一个变量也随着确定．你能举出一些类似的实例吗？二、合作探究探究点一：常量与变量分析并指出下列关系中的变量与常量：(1)球的表面积S cm 2与球的半径R cm 的关系式是S ＝4πR 2；(2)以固定的速度v 0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h 米与小球运动的时间t 秒之间的关系式是h ＝v 0t －4.9t 2；(3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h m 与它下落的时间t s 的关系式是h ＝12gt 2(其中g 取9.8m/s 2)； (4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量w 千克与所付款x 元之间的关系式是x ＝1.8w .解析：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量．解：(1)球的表面积S cm 2与球的半径R cm 的关系式是S ＝4πR 2，其中，常量是4π，变量是S ，R ；(2)以固定的速度v 0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h 米与小球运动的时间t 秒之间的关系式是h ＝v 0t －4.9t 2，常量是v 0，4.9，变量是h ，t ；(3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h m 与它下落的时间t s 的关系式是h ＝12gt 2(其中g 取9.8m/s 2)，其中常量是12g ，变量是h ，t ；(4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量w 千克与所付款x 元之间的关系式是x ＝1.8w ，常量是1.8，变量是x ，w .方法总结：常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化．探究点二：函数的定义下列说法中正确的是( )A ．变量x ，y 满足x ＋3y ＝1，则y 是x 的函数B ．变量x ，y 满足y ＝－x 2－1，则y 可以是x 的函数C ．变量x ，y 满足|y |＝x ，则y 可以是x 的函数D ．变量x ，y 满足y 2＝x ，则y 可以是x 的函数解析：A 中x ＋3y ＝1，y 可以看作x 的函数，因为y ＝1－x3；B 中y ＝－x 2－1，因为－x 2－1<0，等式无意义，即对于变量x 的任何一个取值，变量y 都没有唯一确定的值，故y 不是x 的函数；C 、D 中的|y |＝x 和y 2＝x ，对于变量x 的任意一个正数值，变量y 都有两个(不唯一)值与其对应，故y 不是x 的函数．故选A.方法总结：判断两个变量是否是函数关系，就看是否存在两个变量，并且在这两个变量中，确定好哪个是自变量，哪个是函数，然后再看看这两个变量是否是一一对应的关系．探究点三：确定自变量的取值范围【类型一】确定函数解析式中自变量的取值范围写出下列函数中自变量x 的取值范围．(1)y ＝2x －3； (2)y ＝31－x ；(3)y ＝4－x ； (4)y ＝x －1x －2.解析：当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数；当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零；当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．解：(1)全体实数；(2)分母1－x ≠0，即x ≠1； (3)被开方数4－x ≥0，即x ≤4；(4)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥1且x ≠2.方法总结：本题考查了函数自变量的取值范围：有分母的要满足分母不能为0，有根号的要满足被开方数为非负数．【类型二】实际问题中自变量的取值范围水箱内原有水200升，7：30打开水龙头，以2升/分的速度放水，设经过t 分钟后，水箱内存水y 升．(1)求y 关于t 的函数关系式和自变量的取值范围；(2)7：55时，水箱内还有多少水？ (3)几点几分水箱内的水恰好放完？解析：(1)根据水箱内还有的水等于原有水减去放掉的水列式整理即可，再根据剩余水量不小于0列不等式求出t 的取值范围；(2)7：55时，t ＝55－30＝25，将t ＝25代入(1)中的关系式即可；(3)令y ＝0，求出t 的值即可．解：(1)∵水箱内存有的水＝原有水－放掉的水，∴y ＝200－2t .∵y ≥0，∴200－2t ≥0，解得t ≤100，∴0≤t ≤100，∴y 关于t 的函数关系式为y ＝200－2t (0≤t ≤100)；(2)∵7：55－7：30＝25(分钟)，∴当t＝25时，y ＝200－2t ＝200－50＝150(升)，∴7：55时，水箱内还有水150升；(3)当y ＝0时，200－2t ＝0，解得t ＝100，而100分钟＝1小时40分钟，7点30分＋1小时40分钟＝9点10分，故9点10分水箱内的水恰好放完．探究点四：简单问题的函数关系一个弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，它的原长为10cm ，挂上重物后弹簧的长度y (cm)随所挂重物的质量x (kg)的变化而变化，每挂1kg 物体，弹簧伸长0.5cm ；(1)求弹簧的长度y (cm)与所挂重物质量x (kg)之间的函数表达式；(2)当挂5kg 重物时，求弹簧的长度．解析：根据弹簧的长度等于原长加上伸长的长度，列式即可；解：(1)y ＝10＋12x ，其中x 是自变量，y是自变量的函数；(2)将x ＝5代入y ＝10＋12x ，得y ＝10＋12×5＝12.5(cm)．答：当挂5kg 重物是，弹簧的长度为12.5厘米．方法总结：根据题意，找出等量关系，列出相应的函数表达式．求函数值时，将自变量代入函数表达式中，求出即可．探究点五：函数值根据如图所示程序计算函数值，若输入x 的值为52，则输出的函数值为( )A.32B.25C.425D.254解析：∵x ＝52时，在2≤x ≤4之间，∴将x ＝52代入函数y ＝1x ，得y ＝25.故选B.方法总结：根据所给的自变量的值，结合各个函数关系式所对应的自变量的取值范围，确定其对应的函数关系式，再代入计算．三、板书设计1．常量和变量的概念 2．函数的概念 3．函数关系式4．自变量的取值范围 5．函数值通过本课时的教学，学生对于常量、变量以及函数关系式掌握较好，但是对于有些实际问题中自变量的取值范围还存在一些困难．在以后的教学中要通过实例让学生不断加以强化，达到整体进步.。

湘教版八年级数学下册变量与函数教案

《变量与函数》教案教学目标知识与技能理解函数的概念，了解变量与常量以及自变量的意义.理解自变量的取值范围和函数值的意义，会求自变量的取值范围，会根据自变量的取值求函数的值.过程与方法经历函数概念的抽象概括过程，体会函数的模型思想.让学生主动地从事观察、操作、交流、归纳等探索活动，形成自己对数学知识的理解和有效的学习模式.情感、态度与价值观通过函数概念，初步形成学生利用函数的观点认识现实世界的意识和能力.通过教学活动，培养学生乐于探究，合作学习的习惯，培养学生努力解决问題的进取心.教学重点函数的概念和函数自变量的取值范围.教学难点求函数自变量的取值范围.教学设计一、导入新课问题1下图是某地一天内的气温变化图.1.这天的6时、10时和14时的气温分别是多少？任意给出这天中的某一时刻，你能说出这一时刻的气温是多少吗？2.这一天中，最髙气温是多少？最低气温是多少？3.这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？从图中我们可以看出，随着时间t（时）的变化，相应的气温T℃也随之变化.问题2 圆的面积随着半径的增大而增大.如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积，则S 与r之间满足下列关系：S=πr2，你能算出半径为1cm、l.5cm、2cm、2.6cm时圆的面积吗？二、讲授新课1.常量和变量在上述问题中分别有几个量？分别指出每个问题中的各个量.第1个问题中，有两个变量，一个是时间，另一个是温度，温度随着时间的变化而变化.第2个问题中，S和r是变量，而π、2是常量.常量:在某一变化过程中始终保持不变的量称为常量.变量:在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量.2.函数的概念上面的各个问题中，都出现了两个变量，它们相互依赖，密切相关，例如：在上述的第1个问题中，一天内任意选择一个时刻，都有唯一的温度与之对应，t是自变量，T是因变量(T是t的函数).在上述第2个问题中，S=πr2，给出变量r的一个值，便可以得到变量S唯一值和它对应，r是自变量，S是因变量(S是r的函数).函数的概念:如果在一个变化过程中，有两个变量，假设x与y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数.要引导学生在以下几个方面加强对于函数概念的理解.变化过程中有两个变量，不研究多个变量；对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，如果y有两个值与它对应，那么y就不是x的函数.例如y2=x.三、例题讲解例1如课本第111页图4-2，已知圆柱的高是4cm，底面半径是r(cm)，当圆柱的底面半径r由小变大时，圆柱的体积V(cm3)是r的函数.(1)用含r的代数式来表示圆柱的体积V，指出自变量r的取值范围.(2)当r=5，10时，V是多少(结果保留π)？四、拓展练习1等腰三角形顶角的度数y是底角度数x的函数，试写出这个函数关系式，并求出自变量x的取值范围.2如图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm，CA与MN在同一条直线上，开始时点A与M重合，让△ABC向右移动，最后点A与点N重合.（1）试写出两图形重叠部分的面积y（cm2）与线段MA的长度x（cm）之间的函数关系式.（2）当点A向右移动1cm时，重叠部分的面积是多少？五、课堂小结1.关于函数的定义的理解应注意两个方面，其一是变化过程中有且只有两个变量，其二是对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一的值与它对应.对于实际问题，同学们应该能够根据题意写出两个变量的关系，即列出函数关系式.2.通过本节课的学习，一方面，我们进一步认识了如何列函数关系式，对于几何问题中列函数关系式比较困难，有的题目的自变量的取值范围也很难确定，只有通过一定量的练习才能做到熟练地解决这个问题；另一方面，对于用数学式子表示的函数关系式的自变量的取值范围，考虑两个方面，其一是分母不能等于0，其二是开偶次方的被开方数是非负数.。

湘教版数学八年级下册《4.1.1变量与函数》说课稿

湘教版数学八年级下册《4.1.1变量与函数》说课稿一. 教材分析湘教版数学八年级下册《4.1.1变量与函数》这一节的内容，主要介绍了变量的概念，以及函数的定义和性质。

这是学生继七年级学习了代数基础之后，进一步深化对数学概念的理解的重要内容。

通过这一节的学习，学生能够理解变量之间的依赖关系，掌握函数的定义方法，以及了解函数的一些基本性质。

教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固所学内容，提高解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习这一节内容之前，已经学习了代数基础，对数学概念有一定的理解。

但八年级的学生，逻辑思维能力还在发展中，对于抽象的数学概念，还需要通过具体的例子来理解和掌握。

因此，在教学过程中，需要教师引导学生通过观察、思考、交流等方式，深入理解变量与函数的概念。

三. 说教学目标1.知识与技能：学生能够理解变量的概念，掌握函数的定义和性质，能够运用函数的知识解决一些实际问题。

2.过程与方法：通过观察、思考、交流等过程，学生能够自主学习，提高解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：学生能够体验到数学与生活的紧密联系，增强对数学的兴趣和信心。

四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解变量的概念，掌握函数的定义和性质。

2.教学难点：学生能够运用函数的知识解决一些实际问题，理解函数的抽象性质。

五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、思考、交流等方式，自主学习。

同时，利用多媒体教学手段，展示函数的图形，帮助学生直观地理解函数的性质。

六. 说教学过程1.导入：通过展示一些实际问题，引导学生思考问题中的变量之间的关系，引出变量的概念。

2.新课导入：介绍函数的定义和性质，通过示例让学生理解函数的概念。

3.课堂讲解：通过讲解和示例，让学生理解函数的性质，能够运用函数的知识解决实际问题。

4.练习与讨论：学生进行练习，教师引导学生讨论，巩固所学内容。

5.课堂小结：教师引导学生总结本节课所学内容，巩固知识点。

八年级数学下册 4.1.1《变量与函数》教案湘教版(2021年整理)

八年级数学下册4.1.1《变量与函数》教案（新版）湘教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（八年级数学下册4.1.1《变量与函数》教案（新版）湘教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为八年级数学下册4.1.1《变量与函数》教案（新版）湘教版的全部内容。

课题:4。

1。

1变量与函数教学目标1、借助简单实例，学生初步感知用常量与变量来刻画一些简单的数学问题，能指出具体问题中的常量、变量．初步理解存在一类变量可以用函数方式来刻画,能举出涉及两个变量的实例，并指出由哪一个变量确定另一个变量，这两个变量是否具有函数关系。

初步理解对应的思想，体会函数概念的核心是两个变量之间的特殊对应关系,能判断两个变量间是否具有函数关系。

2、引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体会从生活实例抽象出数学知识的方法，感知现实世界中变量之间联系的复杂性，数学研究从最简单的情形入手，化繁为简.3、从学生熟悉、感兴趣的实例引入课题，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程，体验“发现、创造"数学知识的乐趣。

学生初步感知实际生活蕴藏着丰富的数学知识，感知数学是有用、有趣的学科。

重点：借助简单实例，从两个变量间的特殊对应关系抽象出函数的概念难点：理解函数的“唯一对应”性.教学过程：一、情境导入（出示ppt课件）如图，是某地气象站用自动温度记录仪描出的某一天的温度曲线,它反映了该地某一天的气温T （℃）是如何随时间t的变化而变化的.你能从图中得到哪些信息？从图中可以看出，4时的气温是℃，14时的气温是℃。

这个问题中，某地一天中的气温随着时间的变化而变化。

湘教版八年级数学下册《变量与函数》教案及教学反思

湘教版八年级数学下册《变量与函数》教案及教学反思教学目标•理解和掌握变量的概念和表示方法；•掌握一次函数的基本性质与图像；•掌握二次函数的基本性质与图像；•归纳总结函数的概念。

教学内容1.变量的概念和表示方法；2.一次函数的定义，性质和图像；3.二次函数的定义，性质和图像；4.函数的概念与表达方法。

教学方法采用讲解、示范、引导、合作探究、情境引导、归纳总结等多种教学方法，因材施教。

在教学中以启发式教学为主导，注重“学以致用”，强调学生在教师引导下自主发现和解决问题的能力，激发学生的学习热情，提高学生的学习兴趣。

教学过程一、课前预习和导入（5分钟）教师先向学生介绍本课教学目标，并让学生提前阅读教材，自我复习和预习，为教师的教学打下基础。

在导入环节，教师可以设置一些问题或寓教于乐的游戏，引发学生的好奇心和求知欲，激发学生学习的兴趣。

二、讲解变量的概念和表示方法（15分钟）在课堂上，教师先讲解什么是变量，并通过具体的例子让学生更加理解变量的概念和表示方法。

然后，再通过实际生活中的例子练习学生对变量的理解和运用，巩固其应用能力。

三、引导学生探究一次函数的性质和图像（30分钟）教师向学生介绍一次函数的定义和性质，然后通过实际的计算和绘制图像，帮助学生更深入地理解一次函数的特点和性质，并引导学生研究一些特殊的一次函数，如自变量为0或因变量为0的一次函数。

四、合作探究二次函数的性质和图像（30分钟）教师在讲解二次函数的概念和性质之后，引领学生合作探究二次函数的特点和图像，并促使学生总结归纳出二次函数的性质和一次函数的区别，以及二次函数的特殊类型。

五、情境引导学生归纳总结函数的概念（20分钟）在教学的最后，教师通过情境引导的方式，让学生将已学习的内容进行归纳总结和概括，进一步深化对函数的理解与认识。

六、课堂小结和反思（10分钟）教师对本节课的教学进行小结和反思，让学生自主评价目前所学习到的知识和技能，发现自身的问题和不足，从而更加深入地理解课程内容，促进自身的成长和发展。

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