高中数学竞赛讲义-直线和圆、圆锥曲线(练习题)

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高考数学二轮复习专题7解析几何2直线圆圆锥曲线小综合题专项练课件理

则A可. 33设直线 AB 的方B.程3为 y=x-1,联C.立22 方程 ��D2=.=��2��4-1��,,可得
x2-6x+1=0,则有 x1+x2=6,x1x2=1,
直线
A1B
的斜率
k=��2��-2(--��11)
=
��2+��1 ��2-��1
所A 以��22 = 23,从而 e=�� = 36.故选 A.
关闭
解析答案
-10-
一、选择题二、填空题
6.(2018 全国卷 1,理 8)设抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,过点(-2,0)且斜
率为2的直线与
3
C
交于
M,N
两点,则��
22
,

且半径的平方为
r2=(9-2��
2
)
+��
2
.
4
∴圆 C:
x-9-22��
2+
��
y- 2
2=(9-2��
2
)
+��
2
,又∵x2+y2=4,
4
两圆作差得 AB 所在的方程为(2m-9)x+my+4=0,
即 m(2x-y)+(-9x+4)=0.
解方程
中设点A(Mx1,的y1)横,B坐(x2标,y2为),Mb(,过b,yMM),且与直线 l1 垂直的直线 l2 过双曲线 C 的关闭
右 AC由..11焦++22��点12222235--,则��221222 双==曲11,,线的BD离.. 心11++22率53为(

直线和圆、圆锥曲线综合测试卷(新高考专用)(解析版)—2025年高考数学一轮复习

直线和圆、圆锥曲线综合测试卷专练（考试时间：120分钟；满分：150分）注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

则由椭圆的中心对称性可知可知AF1BF2为平行四边形，则可得△ABF2的周长为|AF当AB位于短轴的端点时，当围成的等腰三角形底边在x轴上时，当围成的等腰三角形底边在直线l因为tanα=2tanα21―tan2α2=2，且tanα2>所以k=tanθ=tanα2=5―12，或故选：B．5．（5分）（2024·西藏拉萨的最小值为（）A．1453【解题思路】先设点的坐标，结合轨迹方程求参，再根据距离和最小值为两点间距离求解即可6．（5分）（2024·湖南邵阳点B在C上且位于第一象限，B．8 A．453【解题思路】由点A―1,8由点A―1,8在抛物线y23所以抛物线C的方程为y2设B(x0,y0)，则x0>0,y0>由题意知F p2,0，又OP 显然直线AB的斜率不为由y2=2pxx=ty+p2，得y2―2pty显然直线BD的斜率不为由y2=2pxλp，得y2故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

如图，因为K OA=∠PDA=∠ODB，所以×|PA|⋅S△PAB=12故选：ABD.11．（6分）（2024·福建龙岩|AB|=8.过焦点F的直线C的准线与坐标轴的交点，则（A．若MF=3FN，则直线C．∠MON为钝角设M(x1,y1),N(x2,y 得y2―8my―16=所以y1y2=―16,x1∴x1x2+y1y2=4⟨⟩三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

2019届二轮复习直线、圆、圆锥曲线小综合题专项练课件(21张)(全国通用)

7.2 直线、圆、圆锥曲线小综合题专项练
1.直线与圆、圆与圆的位置关系 (1)直线与圆的位置关系判定: ①几何法:利用圆心到直线的距离与圆的半径大小关系判定. �� + �� + �� = 0, ②代数法:解方程组利用方程组解的个数 (��-�� )2 + (��-��)2 = �� 2 , 判定. (2)直线与圆相交时,弦心距 d,半径 r,弦长的一半2l 满足关系式 r2=d2+
-6-
一、选择题(共12小题,满分60分) 1.(2018全国Ⅲ,文8)直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P 在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是( A ) A.[2,6] B.[4,8] C.[ 2,3 2] D.[2 2,3 2]
解析圆心到直线 AB 的距离 d=
��2 ��2 (2)已知双曲线标准方程��2 − 2 =1(a>0,b>0),其焦点为 �� 2 ��2 M(x,y)是椭圆 2 + 2 =1(a>b>0)的一点,其焦点为 ��
②过焦点的弦长|CD|=x1+x2+p;
��2 ③x1x2= 4 ,y1y2=-p2.
|2+0+2| =2 2
2.
设点 P 到直线 AB 的距离为 d'. 易知 d-r≤d'≤d+r,即 2≤d'≤3 2. 又 AB=2 2,
1 ∴S△ABP=2· |AB|· d'=

直线与圆锥曲线高三数学解析几何专项训练(含例题答案) 高三数学解析几何专

心尺引州丑巴孔市中潭学校直线与圆锥曲线【例题精选】：例 1 直线y ax b a x y =+≠+=()0122与圆〔1〕问a,b 满足什么条件，直线与圆有两个公共点？〔2〕设这两个公共点为M 、N ，且OM 、ON 〔O 为原点〕与x 轴正方向所成角为αβα、，求证：cos(+β)=-+a a 2211分析：第〔1〕问是求直线与圆什么时候有两个公共点，因直线与圆有两个公共点的充要条件是圆心到直线的距离小于圆的半径，或者直线方程与圆的方程联立的方程组有两个实数解，这里我们用后面的条件求解。

第〔2〕问〔如图〕中角αβ、可以看成是OM 、ON 的倾斜角，直接找αβ+较麻烦，但是由圆的性质，取MN 中点P ，连结OP ，可以知道Lxop =+αβ2,只需求出OP 的斜率，也就可以得到tgαβ+2的值，再根据三角公式，就可以计算出cos()αβ+与a 的关系了。

解 : (1) 由方程组y ax b x y y =++=221消去得,(2)、如图，取MN 中点P ，连结OP ，那么<2βα+=xop例 2椭圆中心为原点O, 焦在坐标轴上,y=x+1与该椭圆相交于Q p 、，434=PQ ，求椭圆方程。

分析: 这个问题中椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上没有给定,因此在设此椭圆方程时,可以设为Ax By 221+=, 又这个问题中涉及弦PQ 的长,因为P 、Q 在直线 y x =+1上，因此坐标满足方程y x =+1，所以假设P 、Q 坐标分别为〔x, y), (x 2, y 2) 的话，可推得PQ x x =+-1112,〔我们称它为弦长公式，一般地为1212+-k x x ).由OP ⊥OQ 我们一方面可以知道OP 与OQ 的斜率乘积为-1(斜率存在的情况下),一方面也可以知道PQ中点到原点O 的距离等于PQ 的一半,因此此题可以得到以下两种一般解法.解法一: 设椭圆方程为Ax By A B 22100+=>>(,)设P (),(,),x y Q x y 1122由Ax By y x y A B x Bx B 22211210+==+⎧⎨⎩+++-=消去得,()解法二: 同解法一, 得（）A B x Bx B +++-=2210,以下同解法一.例 3 求过点A(3,-1)被A 平分的双曲线x y 2244-=的弦所在直线的方程.解法一: 设过A 点的直线方程为y k x +=-13()代入x y 2244-=消去y , 得解法二 : 设直线与双曲线的两交点坐标分别为p x y Q x y (,),(,)1122那么⎪⎩⎪⎨⎧=-=-444422222121y x y x 两式相减, 得 ()()()()x x x x y y y y 1212121240-+--+=说明: 此题解法二过程简单, 在解题中是一种常用的方法,但是此法实际上是在成认了直线与双曲线存在两个交点的情况下去求解的,题中点A 坐标假设改成'''A A （，）或（，），213212用此法可以得出相应的斜率'=''=-=--=K K x y x y 1234206850或，从而得出直线或它们与双曲线都是设有交点的，因此也是不合题意的。

高中数学：第五章：直线、圆、圆锥(竞赛精讲)

第五章直线、圆、圆锥曲线一能力培养1，函数与方程思想 2，数形结合思想 3，分类讨论思想 4，转化能力 5，运算能力二问题探讨问题1设坐标原点为O ，抛物线22y x =与过焦点的直线交于A ，B 两点，求OA OB ⋅的值.问题2已知直线L 与椭圆22221x y a b +=交于P ，Q 不同两点，记OP ，OQ 的斜率分别为OP k ，OQ k ，如果22OP OQb k k a⋅=-，求PQ 连线的中点M 的轨迹方程.问题3给定抛物线C:24y x =，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点. (I)设l 的斜率为1，求OA 与OB 夹角的大小;(II)设FB AF λ=，若[4,9]λ∈，求l 在y 轴上截距的变化范围.问题4求同时满足下列三个条件的曲线C 的方程:①是椭圆或双曲线; ②原点O 和直线1x =分别为焦点及相应准线;③被直线0x y +=垂直平分的弦AB 的长为.三习题探选择题1已知椭圆2215x y k+=的离心率e =，则实数k 的值为A ，3B ，3或253C 32一动圆与两圆221x y +=和228120x y x +++=都外切，则动圆圆心的轨迹为A ，圆B ，椭圆C ，双曲线的一支D ，抛物线3已知双曲线的顶点为(2,1)-与(2，5)，它的一条渐近线与直线340x y -=平行，则双曲线的准线方程是 A ，925y =±B ，925x =±C ，1225y =±D ，1225x =± 4抛物线22y x =上的点P 到直线4y x =+有最短的距离，则P 的坐标是A ，(0，0)B ，1(1,)2C ，1(,1)2D ，11(,)22 5已知点F 1(,0)4，直线l :14x =-，点B 是l 上的动点.若过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是A ，双曲线B ，椭圆C ，圆D ，抛物线填空题6椭圆22221x y a b+=(0)a b >>上的一点到左焦点的最大距离为8，到右准线的最小距离为103，则此椭圆的方程为 . 7与方程3x y =的图形关于y x =-对称的图形的方程是 . 8设P 是抛物线2440y y x --=上的动点，点A 的坐标为(0,1)-，点M 在直线PA 上，且分PA 所成的比为2:1，则点M 的轨迹方程是 . 9设椭圆与双曲线有共同的焦点12(1,0),(1,0)F F -，且椭圆长轴是双曲线实轴的2倍，则椭圆与双曲线的交点轨迹是 . 解答题10已知点H (3,0)-，点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足0HP PM ⋅=，32PM MQ =-.(I)当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C;(II)过点T (1,0)-作直线l 与轨迹C 交于A ，B 两点，若在x 轴上存在一点E 0(,0)x ，使得ABE ∆是等边三角形，求0x 的值.11已知双曲线C:22221x y a b-=(0,0)a b >>，点B ，F 分别是双曲线C 的右顶点和右焦点，O 为坐标原点.点A 在x 轴正半轴上，且满足,,OA OB OF 成等比数列，过点F 作双曲线C 在第一，第三象限的渐近线的垂线l ，垂足为P.(I)求证:PA OP ⋅=PA FP ⋅; (II)设1,2a b ==，直线l 与双曲线C 的左，右两分支分别相交于点D ，E ，求DF DE的值.12已知双曲线的两个焦点分别为1F ，2F ，其中1F 又是抛物线24y x =的焦点，点A (1,2)-， B (3,2)在双曲线上.(I)求点2F 的轨迹方程; (II)是否存在直线y x m =+与点2F 的轨迹有且只有两个公共点?若存在，求实数m 的值，若不存在，请说明理由.四参考答案问题1解:(1)当直线AB ⊥x 轴时，在22y x =中，令12x =，有1y =±，则 11(,1),(,1)22A B -，得113(,1)(,1)224OA OB ⋅=⋅-=-. (2)当直线AB 与x 轴不互相垂直时，设AB 的方程为:1()2y k x =-由21()22y k x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，消去y ，整理得22221(2)04k x k x k -++=，显然0k ≠. 设1122(,),(,)A x y B x y ，则21212221,4k x x x x k ++=⋅=，得 OA OB ⋅=1122(,)(,)x y x y ⋅=12x x ⋅+1y 2y =12x x ⋅+11()2k x -21()2k x ⋅-=22212121(1)()24k k x x x x k +⋅-++ =22222121(1)424k k k k k ++-⋅+=34-. 综(1)，(2)所述，有34OA OB ⋅=-. 问题2解:设点P ，Q ，M 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，(,)x y由条件知2211221x y a b += ①2222221x y a b+= ②122x x x +=，122y y y += ③212212y y b x x a =- ④ ①+②得22221212222x x y y a b+++= 即22121212122222()()222x x y y x x y y a b a b +++--=，将③，④代入得2222442x y a b+=，于是点M 的轨迹方程为2222122x y a b +=.问题3解:(I)C 的焦点为F(1，0)，直线l 的斜率为1，所以l 的方程为1y x =-，把它代入24y x =，整理得2610x x -+=设A 11(,)x y ，B 22(,)x y 则有12126,1x x x x +==.112212121212(,)(,)2()OA OB x y x y x x y y x x x x ⋅=⋅=+=-++1=3-.1OA OB x ===cos ,OA OB OA OB OA OB⋅<>==-所以OA 与OB 夹角的大小为arccos41π-. (II)由题设FB AF λ=得2211(1,)(1,)x y x y λ-=--，即21211(1)x x y y λλ-=-⎧⎨=-⎩.得22221yy λ=，又2211224,4y x y x ==，有221x x λ=，可解得2x λ=，由题意知0λ>，得B (,λ或(,λ-，又F(1，0)，得直线l 的方程为(1)1)y x λ-=-或(1)1)y x λ-=--，当[4,9]λ∈时，l在y-211λλ=+--，可知 1λ-在[4，9]上是递减的，于是34413λ≤≤-，43314λ-≤-≤--，所以直线l 在y 轴上的截距为[43,34--]34[,]43. 问题4解:设M (,)x y 为曲线C 上任一点，曲线C 的离心率为e (0,1)e e >≠，由条件①，②得e =，化简得:22222(1)20e x y e x e -++-= (i)设弦AB 所在的直线方程为y x m =+ (ii) (ii)代入(i)整理后得:22222(2)2()0e x m e x m e -+++-= (iii)，可知22e =不合题意，有220e -≠，设弦AB 的端点坐标为A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，AB 的中点P 00(,)x y .则1x ，2x 是方程(iii)的两根.21222()2m e x x e ++=--，2121222()()()22m e y y x m x m m e ++=+++=-+- 2120222x x m e x e ++==-，21202(1)22y y m e my e ++-==-，又中点P 00(,)x y 在直线0x y +=上，有222m e e +-+22(1)2m e me +--=0，解得2m =-，即AB 的方程为2y x =-，方程(iii)为 2222(2)2(2)40e x e x e -+-+-=，它的28(2)0e ∆=->，得22e >.21222(2)22e x x e -++=-=-，212242e x x e-⋅=-由12AB x =-，得22222121212()(1)[()4](1)AB x x k x x x x k =-+=+-+即222224(24)(11)2e e-=-⋅+-，得242e =>，将它代入(i)得223840x y x --+=. 所求的曲线C 的方程为双曲线方程:224()314493x y --=.1焦点在x 轴得3k =;焦点在y 轴得253k =，选B.2设圆心O(0，0)，1(4,0)O -，'O 为动圆的圆心，则''1(4)(1)3OO OO r r -=+-+=，选C.3知双曲线的中心为(2，2)，由340x y -=变形得220916y x -=，于是所求双曲线方程为 22(2)(2)1916y x ---=，它的准线为925y -=±，即925y =±，选A. 4设直线y x m =+与22y x =相切，联立整理得222(1)0x m x m +-+=，由224(1)40m m ∆=--=，得12m =，这时得切点(12，1)，选B. 5由MF MB =知点M 的轨迹是抛物线，选D.6可得28103a c a a c+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去c ，整理得237400a a --=，有5a =或83-(舍去)，得3c =，4b =，所以所求的椭圆方程为2212516x y +=. 7设点P (,)x y 是所求曲线上任一点，它关于y x =-对称的点'(,)P y x --在3x y =上，有3()y x -=-，即3y x =. 8设点P 00(,)x y ，M (,)x y ，有0203x x +⨯=，02(1)3y y +⨯-=，得03x x =，032y y =+ 而2000440y y x --=，于是得点M 的轨迹方程是291240y x --=.9由条件可得123PF PF =或213PF PF =，设P (,)x y 代入可知交点的轨迹是两个圆. 10解:(I) 设点M (,)x y ，由32PM MQ =-，得P (0,),(,0)23y xQ - 由0HP PM ⋅=，得3(3,)(,)0,22yyx -⋅=所以24y x =.又点Q 在x 轴的正半轴上，得0x >. 所以，动点M 的轨迹C 是以(0，0)为顶点，以(1，0)为焦点的抛物线，除去原点.(II)设直线l :(1)y k x =+，其中0k ≠，代入24y x =，整理得22222(2)0k x k x k +-+= ①设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，2121222(2),1k x x x x k -+=-=，1212(1)(1)y y k x k x +=+++ =124()2k x x k k++=，有AB 的中点为2222(,)k k k -， AB 的垂直平分线方程为22212()k y x k k k --=--，令0y =，0221x k =+，有E 22(1,0)k + 由ABE ∆为正三角形，E 到直线AB，知2AB k ==k =，所以0113x =. 11(I)证明:直线l 的方程为:()ay x c b=-- 由()a y x c b b y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得P 2(,)a ab c c ，又,,OA OB OF 成等差数列，得A(2a c，0)，有22(0,),(,),(,)ab a ab b ab PA OP FP c c c c c =-==-，于是222a b PA OP c ⋅=-，222a b PA FP c⋅=-，因此PA OP ⋅=PA FP ⋅.(II)由1,2a b ==，得c =l:1(2y x =-由221(214y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去x，整理得215160y -+= ① 设D 11(,)x y ，E 22(,)x y ，由已知有12y y >，且1y ，2y 是方程①的两个根.12y y +=121615y y =，21212122112()2103y y y y y y y y y y +-+==，解得213y y =或13.又12y y >，得21y y =13，因此121211321DF y y y y DE y ===--.12解:(I)1(1,0)F ，1222AF BF ==，设2(,)F x y 则121220AF AF BF BF a -=-=>，去掉绝对值号有两种情况，分别得2F 的轨迹方程为1x =和22(1)(2)184x y --+=(0,4y y ≠≠) (II)直线1l :1x =，2l :y x m =+，D(1，4)，椭圆Q:22(1)(2)184x y --+= ①若2l 过点1F 或D ，由1F ，D 两点既在直线1l 上，又在椭圆Q 上，但不在2F 的轨迹上，知2l 与2F 的轨迹只有一个公共点，不合题意.②若2l 不过1F ，D 两点(1,3m m ≠-≠).则2l 与1l 必有一个公共点E ，且点E 不在椭圆Q 上，所以要使2l 与2F 的轨迹有且只有两个公共点，必须使2l 与Q 有且只有一个公共点，把y x m =+代入椭圆的方程并整理得223(104)2810x m x m m --+-+= 由0∆=，得1m =±。

16全国高中数学竞赛讲义-直线和圆、圆锥曲线（练习题）

16全国高中数学竞赛讲义-直线和圆、圆锥曲线（练习题）最新高中数学奥数竞赛试题直线和圆，圆锥曲线课后练习1．已知点A 为双曲线122=-y x 的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右支上，ABC ?是等边三角形，则ABC ?的面积是（A ）33 （B ）233 （C ）33 （D ）36 2．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线5435+=x y 的距离中的最小值是（A ）17034 （B ）8534 （C ）201 （D ）3013．若实数x, y 满足(x + 5)2+(y – 12)2=142，则x 2+y 2的最小值为 (A) 2 (B) 1 (C)3 (D) 24．直线134=+yx 椭圆191622=+y x 相交于A ，B 两点，该圆上点P ，使得⊿PAB 面积等于3，这样的点P 共有(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 5．设a ，b ∈R ，ab ≠0，那么直线ax －y ＋b ＝0和曲线bx 2＋ay 2＝ab 的图形是A B 6．过抛物线y 2＝8(x ＋2)的焦点F 作倾斜角为60o 的直线，若此直线与抛物线交于A 、B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于P 点，则线段PF 的长等于A ．316 B ．38 C ．3316 D ．387．方程13cos 2cos 3sin 2sin 22=-+-y x 表示的曲线是 A. 焦点在x 轴上的椭圆 B. 焦点在x 轴上的双曲线 C. 焦点在y 轴上的椭圆D. 焦点在y 轴上的双曲线8．在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 中，记左焦点为F ，右顶点为A ，短轴上方的端点为B 。

若该椭圆的离心率是215-，则ABF ∠= 。

9．设F 1，F 2是椭圆14922=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1| : |PF 2|＝2 : 1，则三角形?PF 1F 2的面积等于______________．10．在平面直角坐标系XOY 中，给定两点M （－1，2）和N （1，4），点P 在X 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标为___________________。

圆锥曲线综合练习题(有答案)

圆锥曲线综合练习一、选择题：1．已知椭圆221102x y m m +=--的长轴在y 轴上,若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．5C ．7D ．82．直线220x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（）A B ．12 C D ．233．设双曲线22219x y a -=(0)a >的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（）A ．4B ．3C ．2D ．14．若m 是2和8的等比中项,则圆锥曲线221y x m+=的离心率是（ )A B C D 5．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M N ，两点，O 为坐标原点．若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为（）A B C D 6．已知点12F F ，是椭圆2222x y +=的两个焦点,点P 是该椭圆上的一个动点，那么12||PF PF +的最小值是（）A ．0B ．1C ．2D ．7．双曲线221259x y -=上的点到一个焦点的距离为12,则到另一个焦点的距离为（）A ．22或2B ．7C ．22D ．28．P 为双曲线221916x y -=的右支上一点，M N ，分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+= 上的点，则||||PM PN -的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．99．已知点(8)P a ，在抛物线24y px =上,且P 到焦点的距离为10,则焦点到准线的距离为( ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．1610．在正ABC △中，D AB E AC ∈∈，，向量12DE BC =，则以B C ，为焦点，且过D E ，的双曲线离心率为（）A B 1 C 1 D 111．两个正数a b ，的等差中项是92,一个等比中项是a b >，则抛物线2by x a=-的焦点坐标是（）A ．5(0)16-， B ．2(0)5-， C ．1(0)5-， D ．1(0)5， 12．已知12A A ，分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点,椭圆C 上异于12A A ，的点P恒满足1249PA PA k k ⋅=-，则椭圆C 的离心率为（）A ．49 B ．23 C ．59D 513．已知2212221(0)x y F F a b a b+=>>、分别是椭圆的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，点B 也在椭圆上，且满足0OA OB +=(O 为坐标原点)，2120AF F F ⋅=2，则直线AB 的方程是( ) A ． 22y =B ．22y x =C ．3y =D ．3y = 14．已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点(02)M ，的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为A ．3B 17C 5D ．9215．若椭圆221x y m n+=与双曲线221(x y m n p q p q -=，，，均为正数）有共同的焦点F 1,F 2，P 是两曲线的一个公共点，则12||||PF PF ⋅等于 ( ）A ．m p +B ．p m -C ．m p -D ．22m p -16．若()P a b ，是双曲线22416(0)x y m m -=≠上一点，且满足20a b ->，20a b +>，则该点P 一定位于双曲线（ ) A ．右支上 B ．上支上 C ．右支上或上支上 D ．不能确定17．如图，在ABC △中，30CAB CBA ∠=∠=，AC BC ，边上的高分别为BD AE ，，则以A B ，为焦点，且过D E ，的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为（ ) A ．3 B ．1 C ．32D ．218221sin 2sin 3cos 2cos 3=--表示的曲线是（）A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线19．已知12F F ，是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点,点P 在椭圆上,且122F PF π∠=记线段1PF 与y 轴的交点为Q ，O 为坐标原点，若1FOQ △与四边形2OF PQ 的面积之比为1:2,则该椭圆的离心率等于（） A ．23 B ．33 C ．43- D 3120．已知双曲线方程为2214y x -=，过(21)P -，的直线L 与双曲线只有一个公共点，则直线l 的条数共有（）A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 21．已知以1(20)F -，,2(20)F ，为焦点的椭圆与直线340x y +=有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（） A ．2 B ．6 C ．7 D ．222．双曲线22221x y a b-=与椭圆22221x y m b +=(00)a m b >>>，的离心率互为倒数，那么以a b m ，，为边长的三角形是（ )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形23．已知点(10)(10)A B -，，，及抛物线22y x =，若抛物线上点P 满足PA m PB =，则m 的最大值为（） A ．3 B ．2 CD24．设12F F ，是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32x a =上一点,21F PF △是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为( ）A ．12B ．23C ．34D ．4525．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A B ，两点，||AB =则C 的实轴长为（）AB． C ．4 D ．826．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A B ，两点,||12AB =，P 为C 准线上一点，则ABP △的面积为（ )A ．18B ．24C ．36D ．48 27．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(42)-，，则它的离心率为（） ABCD28．椭圆221ax by +=与直线1y x =-交于A B ，两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则ab的值为（） AB. C.29．若椭圆221(00)x y m n m n +=>>，与曲线22||x y m n +=-无焦点,则椭圆的离心率e 的取值范围是（ )A．1) B．(0 C．1) D．(0 30．已知12F F ，分别是椭圆22143x y +=的左、右焦点，A 是椭圆上一动点，圆C 与1F A 的延长线、12F F 的延长线以及线段2AF 相切，若(0)M t ，为一个切点,则（）A ．2t =B ．2t >C ．2t <D ．t 与2的大小关系不确定31．如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点A B ，,交其准线于点C ，若||2||BC BF =，且||3AF =，则此抛物线方程为（）A ．29y x =B ．26y x =C ．23y x = D．2y32．已知椭圆2214x y +=的焦点为12F F 、，在长轴12A A 上任取一点M,过M 作垂直于12A A 的直线交椭圆于P ，则使得120PF PF ⋅<的M 点的概率为( D ） ABC ．12D33．以O 为中心,12F F ，为两个焦点的椭圆上存在一点M ，满足12||2||2||MF MO MF ==，则该椭圆的离心率为( ） AB ．23CD34．已知点12F F ，是椭圆2222x y +=的两个焦点,点P 是该椭圆上的一个动点，那么12||PF PF +的最小值是（） A． B ．2 C ．1 D ．035．在抛物线25(0)y x ax a =+-≠上取横坐标为1242x x =-=，的两点,过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线的顶点坐标为（ ) A ．(29)--， B ．(05)-， C ．(29)-， D ．(16)-，36．若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅的最大值为（） A ．2 B ．3 C ．6 D ．837．直线3440x y -+=与抛物线24x y =和圆22(1)1x y +-=从左到右的交点依次为A B C D ，，，，则||||AB CD 的值为（ )A ．16B ．116 C ．4 D ．1438．如图，双曲线的中心在坐标原点O ，A C ，分别是双曲线虚轴的上、下端点，B 是双曲线的左顶点,F 是双曲线的左焦点，直线AB 与FC 相交于点DBDF 的余弦是（）ABC D39．设双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>，的左、右焦点分别为12F F ，，若在双曲线的右支上存在一点P ，使得12||3||PF PF =，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为( ）A ．(12]，B ．2]C ．2)D ．(12)，40．已知11()A x y ，是抛物线24y x =上的一个动点，22()B x y ，是椭圆22143x y +=上的一个动点,(10)N ，是一个定点，若AB ∥x 轴,且12x x <，则NAB △的周长l 的取值范围为（ )A ．10(5)3，B ．8(4)，C ．10(4)3，D ．11(5)3，41．2=e ，右焦点(0)F c ，，方程20ax bx c +-=的两个根分别为1x ，2x ，则点12()P x x ，在（）A ．圆1022=+y x 内 B ．圆1022=+y x 上 C ．圆1022=+y x 外 D ．以上三种情况都有可能42．过双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右焦点F 作圆222x y a +=的切线FM (切点为M )，交y 轴于点P ,若M 为线段FP 的中点, 则双曲线的离心率是( )A B C ．2 D43．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上不存在点P 使得右焦点F 关于直线OP(O 为双曲线的中心）的对称点在y轴上，则该双曲线离心率的取值范围为（ )A ．)+∞B ．)+∞C ．D ．44．已知以椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点F 为圆心，a 为半径的圆与椭圆的右准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A B C D 45的左准线l ，左．右焦点分别为F 1．F 2，抛物线C 2的准线为l ，焦点是F 2，C 1与C 2的一个交点为P ，则｜PF 2 ）A B C ．4 D ．846．已知F 1、F 2是双曲线 12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的两焦点,以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（） A ．4+32 Ｂ．3+1 Ｃ．3—1 Ｄ．213+47．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左顶点、右焦点分别为A 、F,点B （0，b ）,-=+,则该双曲线离心率e 的值为（）A ．213+ B C ．215- D ．248．直线l 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右准线,以原点O 为圆心且过双曲线焦点的圆被直线l 分成弧长为2：1的两段，则双曲线的离心率为( )A ．B ．C ．2D ．49．从双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点F 引圆222a y x =+的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则MT MO -与a b -的大小关系为 A ．a b MT MO ->- B ．a b MT MO -=- C ．a b MT MO -<-D ．不确定．50．点P 为双曲线1C :()0,012222>>=-b a by a x 和圆2C :2222b a y x +=+的一个交点，且12212F PF F PF ∠=∠，其中21,F F 为双曲线1C 的两个焦点,则双曲线1C 的离心率为( ） A ．3B ．21+C ．13+D ．251．设圆锥曲线r 的两个焦点分别为12F F ，，若曲线r 上存在点P 满足1122::PF F F PF =4：3：2，则曲线r 的离心率等于 A ．1322或B ．23或2C ．12或2 D ．2332或 52．已知点P 为双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，右支上一点，12F F ，分别为双曲线的左、右交点，I 为22PF F △的内心，若1212IPF IPF IF F S S S λ=+△△△成立，则λ的值为( )AB C ．b a D ．ab二、填空题:53．已知12F F ，为椭圆221259x y +=的两个焦点,过1F 的直线交椭圆于A B ，两点．若22||||12F A F B +=，则||AB = ． 54．中心在原点，焦点在x 轴上，且长轴长为4，离心率为12的椭圆的方程为． 55．9．已知双曲线221y x a-=的一条渐近线与直线230x y -+=垂直,则a = .56．已知P 为椭圆22194x y +=上的点,12F F ，是椭圆的两个焦点，且1260F PF ∠=，则12F PF △ 的面积是． 57．已知双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，和椭圆221169x y +=有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为．58．若双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，的一条渐近线与椭圆22143x y +=的焦点在x 轴上的射影恰为该椭圆的焦点,则双曲线的离心率为． 59．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为12F F ，，过点2F 做与x 轴垂直的直线与双曲线一个焦点P ，且1230PF F ∠=，则双曲线的渐近线方程为．60．已知12F F 、分别为椭圆221259x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上一点,Q 是y 轴上的一个动点，若12||||4PF PF -=，则12()PQ PF PF ⋅-= 。

高中数学竞赛与强基计划试题专题：解析几何

高中数学竞赛与强基计划试题专题：解析几何一、单选题1．（2020·北京·高三强基计划）从圆224x y +=上的点向椭圆22:12x C y +=引切线，两个切点间的线段称为切点弦，则椭圆C 内不与任何切点弦相交的区域面积为（）A ．2πB ．3πC ．4πD ．前三个答案都不对2．（2022·北京·高三校考强基计划）内接于椭圆22149x y +=的菱形周长的最大值和最小值之和是（）A ．B ．CD ．上述三个选项都不对3．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）已知直线1211::22l y x l y x =-=，，动点P 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上，作1//PM l 交2l 于点M ，作2//PN l 交1l 于点N .若22PM PN +为定值，则（）A ．2ab =B ．3ab =C ．2a b =D ．3a b=4．（2020·北京·高三强基计划）设直线3y x m =+与椭圆2212516x y +=交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OAB面积的最大值为（）A ．8B ．10C ．12D ．前三个答案都不对5．（2022·贵州·高二统考竞赛）如图，1C ，2C 是离心率都为e 的椭圆，点A ，B 是分别是2C 的右顶点和上顶点，过A ，B 两点分别作1C 的切线1l ，2l ．若直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k 的值为（）A ．2eB ．21e -C ．21e -D ．21e 6．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）过椭圆22149x y +=的中心作两条互相垂直的弦AC 和BD ，顺次连接,,,A B C D 得一四边形，则该四边形的面积可能为（）A ．10B ．12C ．14D ．167．（2019·贵州·高三校联考竞赛）设椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，其焦距为2c .点322c N ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在椭圆的内部，点M 是椭圆C 上的动点，且112||MF MN F +<恒成立，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎫⎪⎪⎝⎭C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．⎝⎭二、多选题8．（2022·贵州·高二统考竞赛）如图，M ，N 分别是Rt ABC △两直角边上的动点，P 是线段MN 的中点，则以下结论正确的是（）A ．当△AMN 的面积为定值时，点P 的轨迹为双曲线一支B ．当|MN |为定值时，点P 的轨迹为一圆弧C ．当||||AM AN +为定值时，点P 的轨迹为不含端点线段D ．当△AMN 的周长为定值时，点P 的轨迹为抛物线9．（2020·北京·高三校考强基计划）已知A ，B 分别为双曲线2214x y -=的左、右顶点，P 为该曲线上不同于A ，B 的任意一点设,,∠=∠= PAB PBA PAB αβ的面积为S ，则（）A ．tan tan αβ⋅为定值B ．tantan22αβ⋅为定值C ．tan()S αβ⋅+为定值D ．cot()S αβ⋅+为定值10．（2020·北京·高三校考强基计划）已知点(1,1),(1,0)A Q ，P 为椭圆22143x y +=上的动点，则||||PA PQ +的（）A ．最大值为4B ．最大值为4C ．最小值为4-D ．最小值为4三、填空题11．（2022·江苏南京·高三强基计划）设F ，l 分别为双曲线()22411212x y --=的右焦点与右准线，椭圆Γ以F和l 为其对应的焦点及准线，过F 作一条平行于y =的直线，交椭圆Γ于A ､B 两点，若Γ的中心位于以AB 为直径的圆外，则椭圆离心率e 的范围为___________.12．（2018·山东·高三竞赛）若直线65280x y --=交椭圆22221x ya b+=（0a b >>，且2a 、b 为整数）于点A 、C ．设()0,B b 为椭圆的上顶点，而ABC 的重心为椭圆的右焦点2F ，则椭圆的方程为______．13．（2022·新疆·高二竞赛）设z 为复数，若方程2297--=z z 表示一条圆锥曲线，则此曲线的离心率=e ___________．14．（2021·全国·高三竞赛）已知集合{}22(,)|||||,0,(,)|1,044x y A x y x y t t B x y m m ⎧⎫=+>=+≤<<⎨⎩≤⎬⎭满足B A ⊆，若P 为集合B 的边界线C 上任意一点，12F F 、为曲线C 的焦点，I 为12PF F △的内心，直线1IF 和2IF 的斜率分别为12k k 、，且1213k k ⋅=-则t 的最小值为________．15．（2021·全国·高三竞赛）已知ABCD Y 的四个顶点均在双曲线2214y x -=上，点(0,1)P 在边AB 上，且12AP PB =，则ABCD Y 的面积等于_______.四、解答题16．（2022·湖北武汉·高三统考强基计划）设F 为椭圆C ：22194x y +=的左焦点，P 为椭圆C 上的一点(1)作正方形FPAB （F ，P ，A ，B 按逆时针排列）当P 沿着椭圆运动一周，求动点B 的轨迹方程.(2)设()3,2Q 为椭圆外一点，求PQ PF +的取值范围.17．（2018·全国·高三竞赛）一束直线12,,l l 的每条均过xOy 平面内的抛物线2:C y x =的焦点，()1i l i ≥与抛物线C 交于点i A 、i B .若1l 的斜率为1，()2i l i ≥的斜率为1+2014l 的解析式.18．（2018·福建·高三竞赛）已知1F 、2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且12F PF △的垂心为5,33H ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．（1）求椭圆C 的方程；（2）设A 为椭圆C 的左顶点，过点2F 的直线l 交椭圆C 于D 、D 两点．记直线AD 、AE 的斜率分别为1k 、2k ，若1212k k +=-，求直线l 的方程．19．（2018·江西·高三竞赛）若椭圆221259x y +=上不同的三点()11,A x y ，94,5B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()22,C x y 到椭圆右焦点的距离顺次成等差数列，线段AC 的中垂线l 交x 轴于点T ，求直线BT 的方程．20．（2018·湖北·高三竞赛）已知O 为坐标原点，()1,0N ，点M 为直线=1x -上的动点，MON ∠的平分线与直线MN 交于点P ，记点P 的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 的方程；（2）过点11,22Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭作斜率为k 的直线l ，若直线l 与曲线E 恰好有一个公共点，求k 的取值范围.21．（2021·全国·高三竞赛）过抛物线22y px =(p 为不等于2的质数)的焦点F ，作与x 轴不垂直的直线l 交抛物线于M ､N 两点，线段MN 的垂直平分线交MN 于P 点，交x 轴于Q 点.（1）求PQ 中点R 的轨迹L 的方程；（2）证明：L 上有无穷多个整点(横、纵坐标均为整数的点)，但L 上任意整点到原点的距离均不是整数.22．（2021·全国·高三竞赛）已知椭圆22:12+=x E y 的右焦点为(c,0)F ，上顶点为M ，圆222:()(0)F x c y r r -+=>，问：椭圆E 上是否存在两点P 、Q 使得圆F 内切于三角形MPQ 若存在，求出直线PQ 的方程；若不存在，请说明理由．23．（2021·全国·高三竞赛）如图所示，()(),0P a b a b <<为抛物线2:4F y x =外一点，过P 引抛物线Γ的两条切线PA PB 、，切点分别为A 、B ．在线段PA 上取两点D 、E ，使得PD AE =．若过D 、E 两点的直线12l l 、分别切抛物线Γ于M 、N 两点（异于A ）．求四边形MNAB 面积的最大值．24．（2021·全国·高三竞赛）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>，其右焦点为F ，过F 作直线l 交椭圆1C 于A 、B 两点（l 与x 轴不重合），设线段AB 中点为D ，连结OD （O 为坐标原点），直线OD 交椭圆1C 于M 、N 两点，若A 、M 、B 、N 四点共圆，且||8||3MN OD =，求椭圆1C 的离心率．25．（2018·甘肃·高三竞赛）已知椭圆2222:1x y C a b+=过点()0,2M ，且右焦点为()2,0F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，交y 轴于点P ．若,PA mAF PB nBF ==，求证：m n +为定值；（3）在（2）的条件下，若点P 不在椭圆C 的内部，点Q 是点P 关于原点O 的对称点，试求三角形QAB 面积的最小值．26．（2018·山东·高三竞赛）已知圆22:4O x y +=与曲线:3C y x t =-，(),A m n ，(),B s p ，(),,,m n s p *∈N 为曲线C 上的两点，使得圆O 上任意一点到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值()1k k >，求t 的值．27．（2022·福建·高二统考竞赛）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，1A ､2A 分别为椭圆C 的左､右顶点，1F ､2F 分别为椭圆C 的左､右焦点，B 为椭圆C 的上顶点，且11BA F ∆的外接圆半径为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设与x 不垂直的直线l 交椭圆C 于P ､Q 两点（P ､Q 在x 轴的两侧），记直线1A P ､2PA ､2A Q ､1QA 的斜率分别为1k ､2k ､3k ､4k .已知()142353k k k k +=+，求2F PQ ∆面积的取值范围.28．（2022·新疆·高二竞赛）如图，已知ABC 内接于抛物线2:=E x y ，且边,AB AC 所在直线分别与抛物线2:4=M y x 相切，F 为抛物线M 的焦点．求证：(1)边BC 所在直线与抛物线M 相切；(2)A ，C ，B ，F 四点共圆．（2021·全国·高三竞赛）已知(2,1)S 为椭圆22Γ:182x y+=上的点，对椭圆Γ上的任意两点P 、Q ，用如下办法定义它们的“和”P Q +：过点S 作一条平行于PQ （若点P 与Q 重合，则直线PQ 表示椭圆Γ在P 处的切线）的直线l 与椭圆Γ交于不同于S 的另一点，记作P Q +（若l 与椭圆Γ相切，则规定S 为P Q +）.并规定n nP P P P=+++个.29．若点(0,P Q ，求P Q +、2P 以及100P 的坐标.30．在椭圆Γ上是否存在不同于S 的点P ，满足3P S =？若存在，求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.高中数学竞赛与强基计划试题专题：解析几何答案一、单选题1．（2020·北京·高三强基计划）从圆224x y +=上的点向椭圆22:12x C y +=引切线，两个切点间的线段称为切点弦，则椭圆C 内不与任何切点弦相交的区域面积为（）A ．2πB ．3πC ．4πD ．前三个答案都不对【答案】A【分析】算出椭圆内与切点弦不相交的点的边界的方程，从而可求区域的面积.【详解】设圆224x y +=上一点为(2cos ,2sin )P θθ，则对应切点弦所在直线l 的方程为2cos 2sin 12xy θθ⋅+⋅=即cos 2sin 1x y θθ+=，1≥，故椭圆C 内不与任何切点弦相交的区域面积即为椭圆2241x y +=围成的面积，其面积为1ππ122⨯⨯=.2．（2022·北京·高三校考强基计划）内接于椭圆22149x y +=的菱形周长的最大值和最小值之和是（）A．B．CD ．上述三个选项都不对【答案】D【分析】求出椭圆的极坐标方程，设内接于椭圆22149x y +=的菱形为ABCD ，()12,,,2A B πρθρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，分别求出22,OA OB ，再根据222AB OA OB =+，结合三角恒等变换化简，再根据三角函数的性质求出AB 的最大值和最小值，即可得解.【详解】解：由22149x y +=，得229436x y +=，化为极坐标方程为223645cos ρθ=+，设内接于椭圆22149x y +=的菱形为ABCD ，则OA OB ⊥，设()12,,,2A B πρθρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则22123645cos OA ρθ==+，22222363645sin 45cos 2OB ρπθθ==+⎛⎫++ ⎪⎝⎭，所以2221222363645cos 45sin AB ρρθθ=+=+++2223613361325162025sin cos 36sin 24θθθ⨯⨯==+++，当2sin 20θ=时，2AB 取得最大值，即AB所以菱形的周长的最大值为当2sin 21θ=时，2AB 取得最小值，即AB 的最小值为13，所以菱形的周长的最小值为13，所以内接于椭圆22149x y +=的菱形周长的最大值和最小值之和是1313=.3．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）已知直线1211::22l y x l y x =-=，，动点P 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上，作1//PM l 交2l 于点M ，作2//PN l 交1l 于点N .若22PM PN +为定值，则（）A ．2ab =B ．3ab =C ．2a b =D ．3a b=【答案】C【分析】根据四边形OMPN 是平行四边形，得到2222PM PN OM ON +=+为定值，然后将取特殊位置(),0P a ，()0,P b 求解.，易知由四边形OMPN 是平行四边形，所以2222PM PN OM ON +=+为定值，取点(),0P a 时，由()1212y x a y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得24a x a y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以,24a a M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由对称性得：,24a a N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以22258OM ON a +=，取点()0,P b 时，由1212y x b y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得2x bb y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，所以,2b M b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由对称性得：,2b N b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以22252OM ON b +=，所以225582a b =，即2a b =，4．（2020·北京·高三强基计划）设直线3y x m =+与椭圆2212516x y +=交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OAB面积的最大值为（）A ．8B ．10C ．12D ．前三个答案都不对【答案】B【分析】联立直线方程和椭圆方程后消元，利用公式可求面积的表达式，再利用基本不等式可求面积的最大值.【详解】由22312516y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得22241150254000x mx m ++-=，()22222500424125400160024116000m m m ∆=-⨯-=⨯->，故m而241241AB ==，故1122ABOS AB ==△2224120210241m m+-⨯==，当且仅当m=等号成立，故OAB面积的最大值为10，5．（2022·贵州·高二统考竞赛）如图，1C，2C是离心率都为e的椭圆，点A，B是分别是2C的右顶点和上顶点，过A，B两点分别作1C的切线1l，2l．若直线1l，2l的斜率分别为1k，2k，则12k k的值为（）A．2e B．21e-C．21e-D．21e【答案】C【详解】不妨设22122:1x yCa b+=，222222:x yCa bλ+=(0,1)a bλ>>>，∴,(,0)(0,)A aB bλλ，11:()l y k x aλ=-代入1C的方程得：()2222322422211120b a k x a k x a k a bλλ+-+-=，()()()23222224222111Δ240a kb a k a k a bλλ=--+-=，化简得()221221bkaλ=-．22:l y k x bλ=+代入22221x ya b+=得()22222222222220b a k x a bk x a b a bλλ+-+-=．()()()222222222222Δ240a bkb a k a b a bλλ=-+-=．化简得()222221bkaλ-=．∴422124bk ka=，∴222212221b a ck k ea a-===-，6．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）过椭圆22149x y+=的中心作两条互相垂直的弦AC和BD，顺次连接,,,A B C D得一四边形，则该四边形的面积可能为（）A．10B．12C．14D．16【答案】B【分析】设()11,A x y,()22,B x y，设x轴正方向旋转到与向量OA 同向所转过的角为α，利用三角函数的定义表示,A B的坐标，代入椭圆方程，求得223636,OA OB关于α的函数表达式，进而得到223636OA OB关于α的函数表达式，利用三角函数恒定变形化简，然后利用三角函数的性质求得其取值范围，进而得到四边形面积的取值范围，从而做出选择.【详解】设()11,A x y ,()22,B x y ，设x 轴正方向旋转到与向量OA同向所转过的角为α，并根据题意不妨设OA 到OB 为逆时针旋转π2,则11cos ,sin .x OA y OA αα⎧=⎪⎨=⎪⎩,22cos sin ,2sin cos .2x OB OB y OB OB πααπαα⎧⎛⎫=+=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+= ⎪⎪⎝⎭⎩22149x y +=，229436x y +=,2222369cos 4sin 5cos 4OA ααα=+=+, 22223694cos 5sin 4sin OBααα=+=+,2222236362516925cos sin 36sin 23636,44OA OBααα⎡⎤=+=+∈⎢⎥⎣⎦，∴36136,2OA OB ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,1442,1213ABCD S OA OB ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦,当4πα=时取到最小值14413，当0α=时取得最大值12.只有选项B 中的12在此范围内7．（2019·贵州·高三校联考竞赛）设椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，其焦距为2c .点322c N ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在椭圆的内部，点M 是椭圆C上的动点，且112||MF MN F +<恒成立，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）A．⎛ ⎝⎭B．⎫⎪⎪⎝⎭C．,121⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D．⎝⎭【答案】D【详解】由322c N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆的内部，得22229142c c a b +<，即222222924b c a c a b +<，从而422441590a a c c -+>，得到4291540e e -+>，因此()()2231340e e -->.因为0<e <1，所以3e 2－4<0，故3e 2<1，得到0e <<.又由112||MF MN F +<恒成立，即22||a MN MF +-<恒成立，等价于()2max2||a MN MF +-<，亦即22a NF +<，等价于2a ，即2a e >.e <<二、多选题8．（2022·贵州·高二统考竞赛）如图，M ，N 分别是Rt ABC △两直角边上的动点，P 是线段MN 的中点，则以下结论正确的是（）A ．当△AMN 的面积为定值时，点P 的轨迹为双曲线一支B ．当|MN |为定值时，点P 的轨迹为一圆弧C ．当||||AM AN +为定值时，点P 的轨迹为不含端点线段D ．当△AMN 的周长为定值时，点P 的轨迹为抛物线【答案】ABC【详解】建立如图的直角坐标设(),P x y ，则(2,0)M x ，(0,2)N y ，0x >，0y >，对于A ，当Rt △AMN 面积为定值()20k k >时，12222x y k ⋅⋅=，∴(0)x y k k ⋅=>轨迹为双曲线一支，所以A 正确．对于B ，若2(0)MN d d =>，则222222444x y d x y d +=⋅+=，(0,0)x y >>是一圆弧，所以B 正确．对于C ，当2(0)AM AN t t +=>时，222(0,0)x y t x y +=>>，即(0,0)x y t x y +=>>为空端点线段，所以C 正确．对于D ，当Rt △AMN 的周长为定值2C 时，则222x y C ++，即(0,0)x y C x y +=>>，()C x y =-+，∴22222222x y C Cx Cy xy x y +=--+++，所以2(22)2x C y Cx C -=-，2222Cx C y x C-=-轨迹为双曲线一支，所以D 错误．9．（2020·北京·高三校考强基计划）已知A ，B 分别为双曲线2214x y -=的左、右顶点，P 为该曲线上不同于A ，B 的任意一点设,,∠=∠= PAB PBA PAB αβ的面积为S ，则（）A ．tan tan αβ⋅为定值B ．tantan22αβ⋅为定值C ．tan()S αβ⋅+为定值D ．cot()S αβ⋅+为定值【答案】AC【分析】利用三角换元得到P 的坐标为2,tan ,0,cos 2P πθθθ⎛⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用斜率公式可求,αβ与θ的关系，化简后可得,αβ的关系，故可判断AB 的正误，根据面积公式可求S （用θ表示），故可判断CD 的正误.【详解】不妨设2,tan ,0,cos 2P πθθθ⎛⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan sin tan 22(1cos )(2)cos θθαθθ==+--，tan sin tan 22(1cos )2cos θθβθθ=-=---，1||tan 2tan 2S AB θθ=⋅⋅=，因此2114tan ,tan ,221t t S t t αβ==-=-，其中tan 2t θ=．对于选项A ，1tan tan 4αβ=-为定值．对于选项B ，由于22224tantan22tan tan 1tan tan tantan 2222αβαβαβαβ=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，因此若tantan22αβ为定值，则tantan 22αβ+为定值，从而tan 2α和tan 2β是确定的值，矛盾，对于选项C ，D ，有()2112122tan()115122t t t t t tαβ--+==-+⋅，因此tan()S αβ⋅+是定值，cot()S αβ⋅+不是定值．10．（2020·北京·高三校考强基计划）已知点(1,1),(1,0)A Q ，P 为椭圆22143x y +=上的动点，则||||PA PQ +的（）A．最大值为4B．最大值为4C．最小值为4-D．最小值为4【答案】BD【分析】利用椭圆的定义可求||||PA PQ +的最值.【详解】注意到Q 为椭圆的右焦点，设其椭圆的左焦点为(1,0)Q '-，则()()||||||44||PA PQ PA PQ PA PQ +=+-=-''+，而||PA PQ -'的取值范围是,AQ AQ ''-⎡⎤⎣⎦，即[，因此所求最大值为4，最小值为4三、填空题11．（2022·江苏南京·高三强基计划）设F ，l 分别为双曲线()22411212x y --=的右焦点与右准线，椭圆Γ以F 和l 为其对应的焦点及准线，过F作一条平行于y =的直线，交椭圆Γ于A ､B 两点，若Γ的中心位于以AB 为直径的圆外，则椭圆离心率e 的范围为___________.【答案】⎫⎪⎪⎭【详解】由双曲线方程可知其焦准距为3，则椭圆Γ的焦准距23b c=（同侧焦点和准线），如图，设椭圆中心为O，建立平面直角坐标系，设F ：()222210x y a b a b+=>>，()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB方程：)y x c =+，联立直线AB 和椭圆Γ可得：()222222223630b a x a cx a c a b +++-=，由韦达可得：212222212226+=-+33=+3a x x b a a c x x b a ⋅⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，由椭圆中心O 位于以AB 为直径的圆外，则有12120OA OB x x y y ⋅=+>，结合韦达定理可得：222242222422222233330333a c a b b a c a b b b a b a b a----+=>+++，所以422441030a a c c -+<，即423e 10e 40-+<，e 1<<，12．（2018·山东·高三竞赛）若直线65280x y --=交椭圆22221x ya b+=（0a b >>，且2a 、b 为整数）于点A 、C ．设()0,B b 为椭圆的上顶点，而ABC 的重心为椭圆的右焦点2F ，则椭圆的方程为______．【答案】2212016x y +=【详解】设()11,A x y ，()22,C x y ，由题意ABC 的重心为椭圆的右焦点2F ，整理得213x x c +=，21y y b +=-．由()11,A x y ，()22,C x y 在直线65280x y --=上，得到212165y y x x -=-．由()11,A x y ，()22,C x y 在椭圆()222210x y a b a b +=>>上，得到2211221x y a b +=，2222221x y a b+=．两式相减并整理得()()()()2212122121635y y y y b b a x x x x c +---==⋅+-，整理得225a bc =．①本号资料全部来源于微信公#众号：数学第六感因为()11,A x y ，()22,C x y 在直线65280x y --=上，所以有1165280x y --=，2265280x y --=．将123x x c +=，12y y b +=-代入得()635560c b ⨯---=，整理得18556c b +=．②联立①②，且注意到a 、b 为整数，解得2c =，4b =，220a =．故所求的椭圆方程为2212016x y +=．13．（2022·新疆·高二竞赛）设z 为复数，若方程2297--=z z 表示一条圆锥曲线，则此曲线的离心率=e ___________．【答案】4【详解】令||,|3|,|3|=-=+=z a z b z c ，则27-=a bc ．由复数的几何意义知222218+=+b c a ．所以由前两式知2()32-=b c，即||-=b c ，故||3||3||6--+=<z z ．因此z6的双曲线，14．（2021·全国·高三竞赛）已知集合{}22(,)|||||,0,(,)|1,044x y A x y x y t t B x y m m ⎧⎫=+>=+≤<<⎨⎩≤⎬⎭满足B A ⊆，若P 为集合B 的边界线C 上任意一点，12F F 、为曲线C 的焦点，I 为12PF F △的内心，直线1IF 和2IF 的斜率分别为12k k 、，且1213k k ⋅=-则t 的最小值为________．【详解】因为12F F 、为曲线C 的焦点，I 为12PF F △的内心，若曲线C 的方程为22221x y a b +=，则I 的轨迹方程为22221x y c bc c a +=⎛⎫ ⎪+⎝⎭，故有22121.3bc c a c k k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭=-=-⋅可知::2:a b c =，所以3m =．设(2cos )P θθ为曲线C上一点，则有|2cos ||t θθ≥+恒成立，即t ≥15．（2021·全国·高三竞赛）已知ABCD Y 的四个顶点均在双曲线2214y x -=上，点(0,1)P 在边AB 上，且12AP PB =，则ABCD Y 的面积等于_______.【答案】4【分析】由对称性，知O 为平行四边形的中心，设()00,A x y ，得()002,32B x y --，将点A 、B 的坐标代入双曲线方程，求得A 、B 的坐标，利用等面积法知4ABCD AOB S S = △，代入即可求解.【详解】由平行四边形的对称性与双曲线的对称性，知O 为平行四边形的中心，由A 、B 、C 、D 四点在两支双曲线上各有两点，不妨设A 、D 在左支上，B 、C 在右支上，如图：考虑A 、B 关于双曲线中心的对称点,A B ''，因为单支双曲线上不存在四点构成平行四边形，知,A C B D =''=，所以ABCD Y 的对称中心为O .设()00,A x y ，由12AP PB =，得()002,32B x y --.将点A 、B 的坐标代入双曲线方程得()22002020*******y x y x ⎧-=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，解得：00814x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或00814x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以A B x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或A B x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.故242||21ABCDADB AOB A B S S S OP x x ===⋅-=⨯⨯YV V.四、解答题16．（2022·湖北武汉·高三统考强基计划）设F 为椭圆C ：22194x y +=的左焦点，P 为椭圆C上的一点(1)作正方形FPAB （F ，P ，A ，B 按逆时针排列）当P 沿着椭圆运动一周，求动点B 的轨迹方程.(2)设()3,2Q 为椭圆外一点，求PQ PF +的取值范围.【答案】(1)((22=149x x -+.(2)【详解】（1）如图所示,将椭圆C绕其左焦点()F 逆时针旋转90 ,得到椭圆'C,注意到在正方形FPAB 中,点B 可以看成也是由点P 绕点F 逆时针旋转90 而形成的,由于点P 在椭圆C 上运动,则点B 在椭圆'C 上运动.求B 的轨迹方程,也就是求椭圆'C 的方程.注意到椭圆'C的中心坐标为(,从而'C的方程为((22=149x x +.（2）如图所示,|||||PQ PFQF +≥当且仅当,,P F Q 三点共线,即P 运动到1P 位置时,等号成立.记椭圆C 的右焦点为)E,注意到()||||=||2||=||||6PQ PF PQ a PE PQ PE ++--+，显然有||||||=PQ PE QE -≤从而||||6PQ PF +≤+,当且仅当,,P E Q 三点共线,即P 运动到2P 位置时,等号成立.||||6PQ PF ≤+≤即PQ PF+的取值范围17．（2018·全国·高三竞赛）一束直线12,,l l 的每条均过xOy 平面内的抛物线2:C y x =的焦点，()1i l i ≥与抛物线C 交于点i A 、i B .若1l 的斜率为1，()2i l i ≥的斜率为1+2014l 的解析式.【答案】((()()201520152014201411112411y x -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭-【详解】易知抛物线焦点1,04P ⎛⎫⎪⎝⎭.设()1:1,2,4i i l y k x i ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ ，并与2y x =联立知点i A 、i B 的横坐标i A x 、i B x 满足关于x 的方程()2222120216i i i k k x k x -++=且i i A B x x ≠.则i ii i A B A B x =-=221i i k k +=.从而，当2i≥时，有1111i i k k -==+.记{}n F 满足121F F ==及递推关系21n n n F F F ++=+则{}n F 为斐波那契数列其通项公式为n nn F ⎡⎤⎛⎥=- ⎥⎝⎭⎝⎭⎦.下面证明：1i i iF k F +=对一切正整数i 成立.由2111F k F ==，知i=1时结论成立.设i=t 时结论成立.则121111111t t t t t t t t t F F F F k k F F F +++++++=+=+==即i=t+1时结论也成立.由数学归纳法知1i i iF k F +=对一切正整数i 成立.特别地，201520142014F k F =.从而，2014l的解析式为((()()201520152014201411112411y x +-⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭-.【注】本题亦可用不动点方法求数列{}i k 的通项.18．（2018·福建·高三竞赛）已知1F 、2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且12F PF △的垂心为5,33H ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．（1）求椭圆C 的方程；（2）设A 为椭圆C 的左顶点，过点2F 的直线l 交椭圆C 于D 、D 两点．记直线AD 、AE 的斜率分别为1k 、2k ，若1212k k +=-，求直线l 的方程．【答案】（1）22143x y +=（2）()21y x =-【详解】设()1,0F c -，()2,0F c ．由12F PF的垂心为53H ⎫-⎪⎪⎝⎭，得12F H PF ⊥．所以12531F H PF k k -⋅==-，224593c -=，解得21c =．由点P ⎫⎪⎪⎝⎭在椭圆C 上，得2224119a b +=．结合2221a b c -==，解得24a =，23b =．所以椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）由（1）知()2,0A -，()21,0F ．若l 的斜率不存在，则由对称性，知120k k +=，不符合要求．若l 的存在，设为k ，则l 的方程为()1y k x =-．由()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()22224384120k x k x k +-+-=．①设()11,D x y ，()22,E x y ，则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+．所以()()1212121212112222k x k x y y k k x x x x --+=+=+++++()()()12121234331122222x x k k x x x x ⎡⎤++⎛⎫=-+-=⋅-⎢⎥⎪++++⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()221222121222834344322412824244343k x x k k k k k x x x x k k ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎡⎤+++⎝⎭⎢⎥=⋅-=⋅-⎢⎥⎢⎥-+++⎢⎥⎣⎦+⨯+⎢⎥++⎣⎦()222222238161221122412161612k k k k k k k k k k ⎡⎤++⎛⎫+⎢⎥=⋅-=⋅-=- ⎪-+++⎢⎥⎝⎭⎣⎦．又1212k k +=-，因此2k =，直线l 的方程为()21y x =-．19．（2018·江西·高三竞赛）若椭圆221259x y +=上不同的三点()11,A x y ，94,5B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()22,C x y 到椭圆右焦点的距离顺次成等差数列，线段AC 的中垂线l 交x 轴于点T ，求直线BT 的方程．【答案】252064x y -=【详解】用a 、b 、c 分别表示椭圆的半长轴、半短轴及半焦距之长度，则5a =，3b =，4c =，右焦点为()4,0F ，且准线方程为2a x c=，由21AFca a x c=-，22CF c a a x c=-，得1455AF x =-，2455CF x =-，根据等差性质，2AF CF BF +=，而95BF =，即12441855555x x ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以128x x +=．①设线段AC 的中点为D ，则其坐标为124,2y y D +⎛⎫ ⎪⎝⎭，又设点T 的坐标为()0,0T x ，则AC 的中垂线DT 的方程为()12121242y y x xy x y y +--=---．因()0,0T x 在此直线上，故有()1212012042y y x xx y y +--=---，即()221201242y y x x x --=-．②又根据A 、B 在椭圆上，得()221192525y x =-，()222292525y x =-，所以()()22121212925y y x x x x -=-+-，据①，即有()22121236225y y x x -=--．③再据②③得06425x =，即点T 的坐标为64,025T ⎛⎫⎪⎝⎭，于是直线BT 的方程为252064x y -=．20．（2018·湖北·高三竞赛）已知O 为坐标原点，()1,0N ，点M 为直线=1x -上的动点，MON ∠的平分线与直线MN 交于点P ，记点P 的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 的方程；（2）过点11,22Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭作斜率为k 的直线l ，若直线l 与曲线E 恰好有一个公共点，求k 的取值范围.【答案】（1）()201y x x =≤<（2）11,132⎧⎫+⎪⎪⎛⎤-⎨⎬⎥⎝⎦⎪⎪⎩⎭ 【详解】(1).设()(),,1,P x y M t -，易知01x ≤<.因为OP 平分MON ∠，所以OM MP PN ON==，所以)11,x x +-①)0y t y -=-.②由①②可得21y t x =-，代入①得到11x x +=-E 的方程为()201y x x =≤<.(2).记()()1,1,1,1A B -，则11,3QA QB k k ==-.直线l 的方程为1122y k x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，与抛物线方程2y x =联立，消去x 得()21102ky y k -+-=当直线l 与抛物线2y x =相切于点T 时，()1210k k ∆=--=，解得1,2k =当1k k ==T y =T 在曲线E 上；当212k k ==时，T y =，切点T 不在曲线E 上.若直线l 与曲线E 恰好有一个公共点，则有QB QA k k k <≤或k =，故所求k的取值范围为1,13⎛⎤-⋃ ⎥⎝⎦⎪⎪⎩⎭.21．（2021·全国·高三竞赛）过抛物线22y px =(p 为不等于2的质数)的焦点F ，作与x 轴不垂直的直线l 交抛物线于M ､N 两点，线段MN 的垂直平分线交MN 于P 点，交x 轴于Q 点.（1）求PQ 中点R 的轨迹L 的方程；（2）证明：L 上有无穷多个整点(横、纵坐标均为整数的点)，但L 上任意整点到原点的距离均不是整数.【答案】（1）24()(0)y p x p y =-≠；（2）证明见解析.【详解】（1）抛物线22y px =的焦点为(,0)2p ，设l 的直线方程为()(0)2p y k x k =-≠.由得222y pxp y k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩得222221(2)04k x pk p x p k -++=.设M ､N 的横坐标分别为12x x 、，由21222pk p x x k ++=，得22122222,()2222P Px x pk p pk p p px y k k k k+++===-=，而PQ l ⊥，故PQ 的斜率为1k -，PQ 的方程为2212()2p pk py x k k k +-=--.代入0Q y =得222223222Q pk p pk px p k k ++=+=.设动点R 的坐标为(),x y ，则:21()21()22p Q P Qp x x x p k p y y y k ⎧=+=+⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，因此222()4(0)p p x p y y k-==≠，故PQ 中点R 的轨迹L 的方程为24()(0)y p x p y =-≠.（2）显然对任意非零整数t ，点2((41),)p t pt +都是L 上的整点，故L 上有无穷多个整点.反设L 上有一个整点(),x y 到原点的距离为整数()0m m ≥，不妨设0,0x y >>，则:22224()x y m y p x p ⎧+=⎨=-⎩①②，因为p 是奇质数，于是|p y ，从②可推出|p x ，再由①可推出|p m .令111,,x px y py m pm ===，则有22211121141x y m y x ⎧+=⎨=-⎩③④，由③，④得2211114x x m -+=，于是2211(81)(8)17x m +-=，即()()111181881817x m x m +++-=，于是111181817,8181x m x m ++=+-=，得111x m ==，故10y =，有10y py ==，但L 上的点满足0y ≠，矛盾!因此，L 上任意点到原点的距离不为整数.22．（2021·全国·高三竞赛）已知椭圆22:12+=x E y 的右焦点为(c,0)F ，上顶点为M ，圆222:()(0)F x c y r r -+=>，问：椭圆E 上是否存在两点P 、Q 使得圆F 内切于三角形MPQ 若存在，求出直线PQ的方程；若不存在，请说明理由．【答案】存在，PQ的方程为(260x y +-+-=．【详解】假设这样的P 、Q 存在，且设()()1122,,,P x y Q x y ，由题意知(0,1),(1,0)M F ，所以直线()111:10MP y x x y x --+=．因为该直线与圆F 相切，则d r =r =，两边平方化简得()()2222111111x y r x y ⎡⎤+-=+-⎣⎦，整理得()()()()22221111111210r x ryx y -+--+-=．因为()221121x y =-，消去1x 得()()()()()2222111112111210r y r yx y -⋅-+--+-=．因为11y ≠，两边同时除以11y -，得()()()()221111211120r y r y x -⋅++---=，整理得()()221121310x ryr -+-+-=，即点P 在直线()()2221310x r y r -+-+-=上．同理，点Q 也在直线()()2221310x r y r -+-+-=上，因此直线PQ 的方程为()()2221310x r y r -+-+-=．又因为直线PQ 圆Fr=，解得r =因此直线PQ 存在且直线PQ的方程为(260x y +-+-=．23．（2021·全国·高三竞赛）如图所示，()(),0P a b a b <<为抛物线2:4F y x =外一点，过P 引抛物线Γ的两条切线PA PB 、，切点分别为A 、B ．在线段PA 上取两点D 、E ，使得PD AE =．若过D 、E 两点的直线12l l 、分别切抛物线Γ于M 、N 两点（异于A ）．求四边形MNAB 面积的最大值．【详解】设()()()()11220000,,,,,,,A x y B x y M x y N x y ''，则直线AP 的方程为()112y y x x =+，直线BP 的方程为()222y y x x =+，故有121242y y a y y b ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，同理可得1010,22E D y y y yy y '++==，又因为PD AE =，所以1E D y y b y +=+，即002y y b +'=，故12121200424AB MN y y k k x x y y b y y '-=====-++，因此//AB MN ．直线AB 的方程为22by x a =+，直线MN 的方程为0000004y y y x y y y y '''=+++，即0022y y by x '=+，故两平行线间的距离d '，||AB ===||MN =所以00|4|1(||||))24MNABy y a S d AB MN '-=⋅+=⋅，其中0204a y y b ≤'≤，可令22004,b a A b y y X '-=-=，则：1(4MNAB S A X =-218=+3183⎛≤ ⎝⎭当22001(4)9b y y b a '-=-时取到最大值．24．（2021·全国·高三竞赛）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>，其右焦点为F ，过F 作直线l 交椭圆1C 于A 、B 两点（l 与x 轴不重合），设线段AB 中点为D ，连结OD （O 为坐标原点），直线OD 交椭圆1C 于M 、N 两点，若A 、M 、B 、N 四点共圆，且||8||3MN OD =，求椭圆1C 的离心率．【分析】先将椭圆与直线联立，结合韦达定理表示出D 坐标，再结合直线OD 交椭圆1C 于M 、N 两点，若A 、M 、B 、N 四点共圆，且||8||3MN OD =，求出2,3M ⎛ ⎝⎭再代入椭圆求出a ，进而求出离心率.【详解】不妨设椭圆1C 的半焦距1c =，则221b a =-，椭圆右焦点为(1,0)F ．设:1l x ky =+，将1x ky =+，代入22221x ya b+=消去x 化简整理得()()()222222222110a k k a y a ky a -++---=．显然，方程判别式Δ0>，设()(),,,A A B B A x y B x y ．由韦达定理知()2222221A B a k y y a k k a-+=--+，从而()()22222222222211122222A B D A B a k x x ax ky ky a k k a a k k a ⎛⎫-+==++=-+= ⎪ ⎪-+-+⎝⎭，()2222211D D a k x y k a k k a--==--+，于是()22222222221,a k a D a k k a a k k a ⎛⎫-- ⎪ ⎪-+-+⎝⎭．所以直线OD 的方程为()221a x y a k =--．设圆AMBN 的方程为222:0C x y Dx Ey F ++++=，直线l 直线MN 的方程为()232:(1)01a C x ky x y a k ⎛⎫--+= ⎪ ⎪-⎝⎭，由于3C 经过12C C 、的交点，且123C C C 、、均为二次曲线，则存在常数12λλ、，使得()()2222212222(1)11a x y x ky x y x y Dx Ey Fa b a k λλ⎛⎫⎛⎫--+=+-+++++ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，比较方程两边xy 系数知()2201a k a k -+=-，即2221a k a =-，由对称性不妨设k =．代入点D 的坐标得1,22D a ⎛- ⎪ ⎪⎝⎭，又||8||3MN OD =，得点2,3M ⎛ ⎝⎭，而M 在1C上，故22222311a a ⎛⎛⎫ ⎪ ⎝⎭⎝⎭+=-，解得a =于是1C的离心率为3c e a ==．25．（2018·甘肃·高三竞赛）已知椭圆2222:1x y C a b+=过点()0,2M ，且右焦点为()2,0F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，交y 轴于点P ．若,PA mAF PB nBF ==，求证：m n +为定值；（3）在（2）的条件下，若点P 不在椭圆C 的内部，点Q 是点P 关于原点O 的对称点，试求三角形QAB 面积的最小值．【详解】（1）由题意b=2，c=2，所以28a =，椭圆C 的方程为22184x y +=．(2)设A 、B 、P 的坐标分别为()()()1122,,,,0,x y x y t ．由PA mAF = 知121m x m =+，11ty m=+．又点A 在椭圆C 上，则22211184m t m m ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，整理得222840m m t +-+=．由PB nBF =，同理得到222840n n t +-+=．由于A 、B 不重合，即m n ≠，故m 、n 是二次方程222840x x t +-+=的两根，所以m+n=-4，为定值．（3）依题意，直线l 的方程为12x yt+=，即()22t y x =--，与椭圆C 的方程联立，消去y 并整理，得()2222244160t xt x t +-+-=，()()42221642416321280t t tt ∆=-+-=+>，所以221212224416,22t t x x x x t t -+=⋅=++，而1212122QAB S t x x t x x ∆=⋅⋅-=⋅-()()22222121212=4QAB S t x x t x x x x ∆⎡⎤=-+-⎣⎦()42222216166422t t tt t ⎡⎤-⎢⎥=-⎢⎥++⎣⎦()2222321282t t t +=⋅+．()2243212t ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥+⎣⎦由已知，点P 不在椭圆C 的内部，得2t ，即24t ，所以2QAB S ∆的最小值为82563299⨯=，故三角形QAB 面积的最小值为163．26．（2018·山东·高三竞赛）已知圆22:4O x y +=与曲线:3C y x t =-，(),A m n ，(),B s p ，(),,,m n s p *∈N 为曲线C 上的两点，使得圆O 上任意一点到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值()1k k >，求t 的值．【答案】43t =【详解】设(),P x y 为圆O 上任意一点，则由题意知PA k PB=．即222PA k PB =，于是()()()()22222x m y n k x s y p ⎡⎤-+-=-+-⎣⎦，整理得()()()()22222222222222111k s m kp nmn k s p x y x y k k k --+-++--=---．因此点P 的轨迹是一个圆．因为(),P x y 为圆上任意一点，所以此圆与圆22:4O x y +=必为同一个圆，于是有()22201k s m k --=-，()22201k p nk --=-，()()22222241mn k s p k +-+=-，整理得20k s m -=，20k p n -=，所以()()()()()22222424222222222411m n k s p k sk p k s p ks p k k +-++-+==+=--．因为s ，*p N ∈，所以21s ≥，21p ≥，从而22242k s p =≤+．又因为1k >，所以1s p ==，22k =，2m n ==．因此将()2,2A ，()1,1B ，代入3y x t =-，得43t =．27．（2022·福建·高二统考竞赛）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，1A ､2A 分别为椭圆C 的左､右顶点，1F ､2F 分别为椭圆C 的左､右焦点，B 为椭圆C 的上顶点，且11BA F ∆的外接圆半径为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设与x 不垂直的直线l 交椭圆C 于P ､Q 两点（P ､Q 在x 轴的两侧），记直线1A P ､2PA ､2A Q ､1QA 的斜率分别为1k ､2k ､3k ､4k .已知()142353k k k k +=+，求2F PQ ∆面积的取值范围.【答案】(1)2211612x y +=(2)0,2⎛ ⎝⎭【详解】（1）由椭圆C 的离心率为12，知12c a =，于是112BF a c OF ===，所以1=30F BO ∠︒，1=60BFO ∠︒，11=120BF A ∠︒，又AB ===，且11BA F ∆所以11==2sin sin1203AB BF A ∠⨯︒，解得=2c ，因此，=4a，b =所以，椭圆C 的方程为2211612x y +=.（2）如图，易知直线l 斜率不为0，设l 方程为x ty m =+，由22=++=11612x ty m x y ⎧⎪⎨⎪⎩，得()2223463480t y mty m +++-=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122634mt y y t -+=+，212234834m y y t -=+，由（1）知，()14,0A -，()24,0A ，所以122211111222111134441643PA PA y y y y k k k k x x x y ⋅=⋅=⋅===-+---，同理，123434OA QA k k k k ⋅=⋅=-，因为()142353k k k k +=+，所以()2323335443k k k k --=+，()2323233543k k k k k k +-⋅=+，由l 与x 不垂直可得230k k +≠，所以23920k k =-，即22920PA QA k k ⋅=-，所以121294420y y x x ⋅=---，()()1212209440y y ty m ty m ++-+-=，于是()()()()22121292094940t y y t m y y m ++-++-=，()()()222223486920949403434m mt t t m m t t --+⋅+-⋅+-=++，整理得2340m m --=，解得1m =-或=4m ，因为P ､Q 在x 轴的两侧，所以2122348034m y y t -=<+，44m -<<，又1m =-时，直线l 与椭圆C 有两个不同的交点，因此1m =-，直线l 恒过点()1,0D -，。

高考数学总复习专题08直线与圆圆锥曲线分项练习含解析理

【2019最新】精选高考数学总复习专题08直线与圆圆锥曲线分项练习含解析理一．基础题组1.【2005天津，理5】设双曲线以椭圆长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐进线的斜率为221259x y +=A 、B 、C 、D 、2±43±12±34± 【答案】C 本题答案选C2.【2006天津，理2】如果双曲线的两个焦点分别为、，一条渐近线方程为，那么它的两条准线间的距离是（）)0,3(1-F )0,3(2F x y 2=A ．B ．C ．D ． 36 【答案】C【解析】如果双曲线的两个焦点分别为、，一条渐近线方程为，∴ ，解得，所以它的两条准线间的距离是，选C.)0,3(1-F )0,3(2F x y 2=229a b ba ⎧+=⎪⎨=⎪⎩2236ab ⎧=⎨=⎩222a c ⋅=3.【2006天津，理14】设直线与圆相交于、两点，且弦的长为，则____________． 30ax y -+=22(1)(2)4x y -+-=A BAB a = 【答案】0【解析】设直线与圆相交于、两点，且弦的长为，则圆心(1，2)到直线的距离等于1，，0．30ax y -+=22(1)(2)4x y -+-=A BAB1=a =4.【2007天津，理4】设双曲线的离心率为且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为( )22221(0,0)y x a b a b-=>>24y x =A.B. C.D.2211224y x -=2214896y x -=222133y x -=22136y x -= 【答案】D 【解析】由可得故选Dc a 21a c = 3.abc === 5.【2007天津，理14】已知两圆和相交于两点，则直线的方程是.2210x y +=22(1)(3)20x y -+-=,A B AB __________ 【答案】30x y += 【解析】两圆方程作差得30x y +=6.【2008天津，理5】设椭圆上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P 点到右准线的距离为()1112222>=-+m m y m x(A) 6 (B) 2 (C) (D) 21772【答案】B7.【2008天津，理13】已知圆C 的圆心与抛物线的焦点关于直线对称.直线与圆C 相交于两点，且,则圆C的方程为 .x y 42=x y =0234=--y x B A ,6=AB 【答案】22(1)10x y +-=【解析】抛物线的焦点为，所以圆心坐标为，，圆C 的方程为.(1,0)(0,1)2222(032)3105r --=+=22(1)10x y +-=8.【2009天津，理9】设抛物线y2＝2x 的焦点为F,过点M(,0)的直线与抛物线相交于A,B 两点,与抛物线的准线相交于点C,|BF|＝2,则△BCF 与△ACF 的面积之比（）3ACFBCFS S ∆∆ A. B. C. D.54327421【答案】AS△BCF∶S△ACF＝BC∶AC.5:4)212(:)2123(=++= 9.【2009天津，理14】若圆x2+y2＝4与圆x2+y2+2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦的长为,则a ＝_____.32 【答案】1【解析】依题,画出两圆位置如右图,公共弦为AB,交y 轴于点C,连结OA,则|OA|＝2.两圆方程相减,得2ay ＝2,解得,∴.a y 1=aOC 1||= 又公共弦长为,∴|AC|＝.323于是,由Rt△AOC 可得OC2＝AO2－AC2,即,222)3(21-=a整理得a2＝1,又a ＞0,∴a＝1.10.【2010天津，理5】已知双曲线 (a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝x ，它的一个焦点在抛物线y2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )22221x y a b-=A. B.22136108x y -=221927x y -= C. D.22110836x y -=221279x y -= 【答案】B【解析】 ∵双曲线 (a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±，22221x y a b-=b x a∴. ①b a=∵抛物线y2＝24x 的准线方程为x ＝－6， ∴－c ＝－6. ② 又c2＝a2＋b2. ③由①②③得a ＝3，b ＝∴a2＝9，b2＝27.∴双曲线方程为. 221927x y -=11.【2010天津，理13】已知圆C 的圆心是直线 (t 为参数)与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切．则圆C 的方程为__________．,1x t y t =⎧⎨=+⎩【答案】(x ＋1)2＋y2＝212.【2012天津，理8】设m ，n∈R，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．，］1-1+B ．(－∞，］∪，＋∞)11+C ．，］2-2+D ．(－∞，］∪，＋∞)2-2+ 【答案】D【解析】1=∴，即：mn ＝m ＋n ＋1，||m n +=设m ＋n ＝t ，则，22()24m n t mn +≤=∴t＋1≤，∴t2－4t －4≥0，解得：或．24t 2t ≤2t ≥+13.【2013天津，理5】已知双曲线(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p ＞0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为，则p ＝( )．2222=1x y a b-A ．1B ．C ．2D ．332【答案】C14.【2014天津，理5】已知双曲线的一条渐近线平行于直线：，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为（）22221x y a b-=()0,0a b >>210y x =+（A ）（B ）（C ）（D ）221520x y -=221205x y -=2233125100x y -=2233110025x y -=【答案】A ．【解析】试题分析：由已知得在方程中令，得2,2,b b a a=∴=210y x =+0y =2222225,5,525,5,20,x c c a b a a b =-∴=-∴=+====∴所求双曲线的方程为，故选A ．221520x y -=考点：1．双曲线的几何性质；2．双曲线方程的求法．15. 【2015高考天津，理6】已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为( )()222210,0x y a b a b-=>>(2y =（A ）（B ）（C ）（D ）2212128x y -=2212821x y -=22134x y -=22143x y -=【答案】D【考点定位】双曲线、抛物线的定义、标准方程及几何性质.16. 【2016高考天津理数】已知双曲线（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的2224=1x y b-圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（A ）（B ）（C ）（D ）22443=1y x -22344=1y x -2244=1y x -2224=11x y - 【答案】D 【解析】试题分析：根据对称性，不妨设在第一象限，则，(,)A xy 22422x x y b b y x y ⎧=⎧+=⎪⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪=⎩⎪⎩∴，故双曲线的方程为，故选D.221612422b b xy b b =⋅=⇒=+221412x y -=【考点】双曲线的渐近线【名师点睛】求双曲线的标准方程时注意：(1)确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a ，b 的值，常用待定系数法．(2)利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论．①若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax2＋By2＝1(AB ＜0)．②若已知渐近线方程为mx ＋ny ＝0，则双曲线方程可设为m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)．17.【2016高考天津理数】设抛物线（t 为参数，p ＞0）的焦点为F ，准线为l.过抛物线上一点22,2x pt y pt⎧=⎨=⎩A 作l 的垂线，垂足为B.设C （p,0），AF 与BC 相交于点E.若|CF|=2|AF|，且△ACE的面积为，则p 72的值为_________.【解析】【考点】抛物线定义【名师点睛】1．凡涉及抛物线上的点到焦点的距离时，一般运用定义转化为到准线的距离进行处理．2．若P(x0，y0)为抛物线y2＝2px(p ＞0)上一点，由定义易得|PF|＝x0＋；若过焦点的弦AB 的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|＝x1＋x2＋p ，x1＋x2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．18.【2017天津，理5】已知双曲线的左焦点为，离心率为．若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>F F (0,4)P（A ）（B ）（C ）（D ）22144x y -=22188x y -=22148x y -=22184x y -=【答案】B【解析】由题意得，故选B ．2240,14,10()88x y a b c a b c -==⇒===-=-- 【考点】双曲线的标准方程【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线的方程是高考的常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于的方程（组），解方程（组）求出的值．另外要注意巧设双曲线方程的技巧：①双曲线过两点可设为，②与共渐近线的双曲线可设为，③等轴双曲线可设为．,,a b c ,a b 221(0)mx ny mn -=>22221x y a b -=2222x y a b-(0)λλ=≠22(0)x y λλ-=≠二．能力题组1.【2005天津，理21】抛物线C 的方程为，过抛物线C 上一点 ()作斜率为的两条直线分别交抛物线C 于，两点（P 、A 、B 三点互不相同），且满足（≠0且）。

高三数学每周精析讲练直线圆圆锥曲线平面向量

(2),1, P(%, yj, P 2(X 2,y 2),pP2= J (x 1 - %)2 +(% - 丫2)2 ；2,R (X 1, yd F 2(X 2, y 2), P(x, y)RF 2%川也y 2=（一）3, (1),:y — y 。

=k(x —X 0); (2),:y =kx b ； (3), :y - y 1⑷,f 行眄0);(5),:Ax By C =O(A,B）；(6)X = x () t cos ：站0 5(t,t(x,y)(x °,y。

)4, l 1 : A ,x B 1y G = 0,l 2: A 2xB 2yC 2=0( h : y = k/+ b |,l 2: y = k 2x + b 2).(1),l 1 〃l 2 = AB 2 -A 2B 1 =0 AQ 2 — A2G h 0 ( K = k? d 式 b ?)； (2),h _l2 = A 1A 2 B 1B 2 =0( k 1 k 2一1）.5, (1),:l 1l21 J 亠 18°0)；(2), :l 1l 21 k 1k 2,(O 0「-9O 0).6,P 0 (x 0, y)l : Ax By C=0IAx^ + By 0 + C :d =A 2B 2(1), ：(x-a)2 (y -b)2 二 R 2,(a,b),R2 2:x y Dx Ey F = 0,22D E -4F 0,(学,£（3）,参数方程：x" Rcosr,其中圆心为⑻小,半径为R. y = b +Rsin 日＜二＞，圆锥曲线2 2x y ’12 , 2a b，亠x =bta n 日、(或y=asec丿_L x = 2pt (或i y»)正数a,b,c, (a b 0)p的关系c彳e 1 a2 2 x=^ —(或y =-) c cc彳e 1a2 2 x = a(或y =a)c c准线y = - x (或x = - y) a a2 2 2c =a b椭圆双曲线抛物线定义与两个定点的距离的与两个定点的距离的与一个定点和一条定和等于常数差的绝对值等于常数直线的距离相等标准方程2 2哈爲=1),b a(或x2= 2py )x 二 a cos x = asecr x = 2 pt2y =bsin v y =bta nv y = 2ptU^1)a b隹占八、、丿\\、(_c,0)或(0, _c) (_c,0)或(0, _c) （乡0）或阴）2 2 , 2 c a -b=一exj -a=-ex3 a(或PF i =a ey°(或PF - y0 -2)(PR =—ey°—a,PF?=a_ey。

高考数学大二轮复习专题七解析几何7.3直线、圆、圆锥曲线小综合题专项练课件文

+2
设点
A
关于直线
x+y=3
的对称点为
A'(a,b),AA'的中点为
,2
点A(2,0)处出发,河岸线所在直线方程为x+y=3,并假定将军只要到
2

达军营所在区域即回到军营,则“将军饮马”的最短总路程为(
)
·
(-1)
=
-1,

= 3,
-2
,k
=
,故
解得
要使从点 A 到军营总路
A. AA'10-1
点M(x,y)在左支上,|PF1|=-(ex+a),|PF2|=-(ex-a).
-2-
(3)已知抛物线 y2=2px(p>0),C(x1,y1),D(x2,y2)为抛物线上的点,F
为焦点.

①焦半径|CF|=x1+2;
②过焦点的弦长|CD|=x1+x2+p;
2
③x1x2= 4 ,y1y2=-p2.
1 + 2 -2
( 1 + 2 )2 -4 1 2
=
2
,∴直线
2
A1B
2 -(-1 )
k= -
2 1
=
2
的斜率为 ,故选
2
2 +1
2 - 1
=
C.
关闭
C
-13解析
答案
一、选择题
二、填空题
10.(2019 安徽蚌埠高三年级第一次教学质量检查)已知 F1,F2 是椭圆
D.3
关闭
以线段 A1A2 为直径的圆的方程是 x2+y2=a2.因为直线
bx-ay+2ab=0 与圆 x2+y2=a2 相切,所以圆心到该直线的距离

2019届二轮复习直线、圆、圆锥曲线小综合题专项练课件(22张)(全国通用)

1 2 2 2 r =d + �� . 2 2
(3)圆与圆的位置关系有五种,即内含、内切、相交、外切、外离. 判定方法是利用两圆心之间的距离与两圆半径的和、差关系.
-3-
2.判断直线与圆锥曲线交点个数或求交点问题的方法 (1)代数法:即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x,y的方程组,消去y(或x)得一元方程,此方程根的个数即为交点个数,方程组的解即为交点坐标. (2)几何法:即画出直线与圆锥曲线的图象,根据图象判断公共点个数.
-4-
3.焦半径公式
(1)设 M(x,y)是椭圆�� 2 + �� 2 =1(a>b>0)的一点,其焦点为 F1(-c,0),F2(c,0),则|MF1|=a+ex,|MF2|=a-ex(其中 e 是离心率). (2)已知双曲线标准方程�� 2 − �� 2 =1(a>0,b>0),其焦点为 F1(-c,0),F2(c,0),e 为双曲线的离心率.
-7一二
一、选择题(共12小题,满分60分) 1.已知圆M过定点(0,1)且圆心M在抛物线x2=2y上运动,若x轴截圆M 所得的弦为PQ,则弦长|PQ|等于 ( ) A.2 B.3 C.4 D.与点位置有关的值
关闭
设 M ��, 2 ��2 , r= ��2 +
1 2
1
��2 -1
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5.过圆及圆锥曲线上一点的切线方程 (1)过圆x2+y2=r2上一点M(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2; (2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点M(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(xa)+(y0-b)(y-b)=r2;

高考数学二轮复习专题五第1讲直线与圆、圆锥曲线的概念与性质训练文

第1讲直线与圆、圆锥曲线的概念与性质一、选择题1.(2015·安徽卷)下列双曲线中，渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A.x 2－y 24＝1B.x 24－y 2＝1C.x 2－y 22＝1D.x 22－y 2＝1解析由双曲线渐近线方程的求法知；双曲线x 2－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±2x ，故选A. 答案 A2.(2015·广东卷)已知椭圆x 225＋y 2m2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4，0)，则m ＝( )A.2B.3C.4D.9解析由题意知25－m 2＝16，解得m 2＝9，又m >0，所以m ＝3. 答案 B3.(2015·湖南卷)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( ) A.73B.54C.43D.53解析由条件知y ＝－b ax 过点(3，－4)，∴3ba＝4，即3b ＝4a ，∴9b 2＝16a 2，∴9c 2－9a 2＝16a 2， ∴25a 2＝9c 2，∴e ＝53.故选D.答案 D4.(2015·济宁模拟)已知圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝9，点P (2，2)是该圆内一点，过点P 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积是( )A.3 5B.4 5C.57D.67解析依题意，圆的最长弦为直径，最短弦为过点P 垂直于直径的弦，所以|AC |＝2×3＝6.因为圆心到BD 的距离为（2－1）2＋（2－1）2＝2，所以|BD |＝232－（2）2＝27.则四边形ABCD 的面积为S ＝12×|AC |×|BD |＝12×6×27＝67.故选D.答案 D5.(2015·重庆卷)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( ) A.±12B.±22C.±1D.± 2解析双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点F (c ，0)，左、右顶点分别为A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，易求B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，则kA 2C ＝－b 2a c －a ，kA 1B＝b 2aa ＋c，又A 1B 与A 2C 垂直，则有kA 1B ·kA 2C ＝－1，即－b 2a c －a ·b 2a a ＋c ＝－1，∴b 4a 2c 2－a2＝1， ∴a 2＝b 2，即a ＝b ，∴渐近线斜率k ＝±ba＝±1. 答案 C 二、填空题6.(2015·北京卷)已知(2，0)是双曲线x 2－y 2b2＝1(b ＞0)的一个焦点，则b ＝________.解析由题意：c ＝2，a ＝1，由c 2＝a 2＋b 2.得b 2＝4－1＝3，所以b ＝ 3. 答案37.(2015·山东卷)过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA →·PB →＝________.解析由题意，圆心为O (0，0)，半径为1.如图所示， ∵P (1，3)，∴PA ⊥x 轴，PA＝PB ＝ 3.∴△POA 为直角三角形，其中OA ＝1，AP ＝3，则OP ＝2， ∴∠OPA ＝30°，∴∠APB ＝60°.∴PA →·PB →＝|PA →||PB →|·cos∠APB ＝3×3×cos 60°＝32.答案 328.(2015·广州模拟)已知点P (0，2)，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，线段PF 与抛物线C 的交点为M ，过M 作抛物线准线的垂线，垂足为Q ，若∠PQF ＝90°，则p ＝________.解析由抛物线的定义可得|MQ |＝|MF |，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，又PQ ⊥QF ，故M 为线段PF 的中点，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 4，1，把M ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 4，1 ，代入抛物线y 2＝2px (p ＞0)得，1＝2p ×p4，解得p ＝2，故答案为 2. 答案2三、解答题9.(2015·全国Ⅰ卷)已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点. (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 解 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1，因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1. 解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得 (1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝4k （1＋k ）1＋k2＋8. 由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在l 上，所以|MN |＝2.10.(2014·新课标全国Ⅱ卷)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，M是C 上一点，且MF 2与x 轴垂直.直线MF 1与C 的另一个交点为N . (1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .解 (1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12或c a＝－2(舍去).故C 的离心率为12.(2)由题意，得原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0，2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4，即b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧2（－c －x 1）＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a ＋1b＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9（a 2－4a ）4a 2＋14a＝1. 解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.11.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .(1)若点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，且|BF 2|＝2，求椭圆的方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值.解设椭圆的焦距为2c ，则F 1(－c ，0)，F 2(c ，0). (1)因为B (0，b )，所以|BF 2|＝b 2＋c 2＝a . 又|BF 2|＝2，故a ＝ 2.因为点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13在椭圆上，所以169a 2＋19b2＝1，解得b 2＝1.故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)因为B (0，b )，F 2(c ，0)在直线AB 上，所以直线AB 的方程为x c ＋y b＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x c ＋yb ＝1，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2a 2c a 2＋c2，y 1＝b （c 2－a 2）a 2＋c2或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝b .所以点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b （c2－a 2）a 2＋c 2. 又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b （a2－c 2）a 2＋c 2. 因为直线F 1C 的斜率为b （a 2－c 2）a 2＋c 2－02a 2c a 2＋c 2－（－c ）＝b （a 2－c 2）3a 2c ＋c3，直线AB 的斜率为－b c，且F 1C ⊥AB ，所以b （a 2－c 2）3a 2c ＋c 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c ＝－1.又b 2＝a 2－c 2，整理得a 2＝5c 2. 故e 2＝15，因此e ＝55.。

圆锥曲线竞赛中的常见题型

专业精心策划Ｓ高二数学爱好者数学爱好者课余揽胜▲湖南李生茂近几年的全国高中数学联赛中，对圆锥曲线这部分内容考查，一般是一个解答题再加一个选择题或填空题，分值大约是２６分或２９分，其题型比较稳定．解决的策略主要是以坐标法为切入点，运算技能则是解决这方面问题的关键点．一、探求轨迹问题例１已知过点（０，１）的直线ｌ与曲线Ｃ：ｙ＝ｘ＋１ｘ（ｘ＞０）交于两个不同点Ｍ和Ｎ．（１）求证：与曲线Ｃ相切于点（ｘ０，ｙ０）的切线斜率ｋ＝１－１ｘ０２；（２）求曲线Ｃ在点Ｍ、Ｎ处切线的交点轨迹．分析由直线与曲线相切知，通过联立两方程成方程组后，消元得到的一元二次方程，根据判别式及韦达定理，进而可求得斜率的值．第二问则可以按交轨法求得．解析（１）设相切于点（ｘ０，ｙ０）的切线方程为ｙ＝ｋｘ＋ｂ，则由已知得ｙ＝ｘ＋１ｘ，ｙ＝ｋｘ＋ｂ"$$$#$$$%．消去ｙ，得ｘ＋１ｘ＝ｋｘ＋ｂ，即（ｋ－１）ｘ２＋ｂｘ－１＝０，因为直线与曲线相切，则上述方程有两相等正实数根，且这个根就是ｘ０，可知ｋ≠１，所以Δ＝ｂ２＋４（ｋ－１）＝０，且ｘ０＝－ｂ２（ｋ－１），即ｂ＝－２ｘ０（ｋ－１），消去ｂ得ｋ＝１－１ｘ０２；（２）设交点Ｍ、Ｎ分别为（ｘ１，ｙ１）和（ｘ２，ｙ２），曲线Ｃ在点Ｍ、Ｎ处的切线分别为ｌ１、ｌ２，其交点Ｐ的坐标为（ｘｐ，ｙｐ）．若直线ｌ的斜率为ｋ，则ｌ的方程为ｙ＝ｋｘ＋１．由方程组ｙ＝ｘ＋１ｘ，ｙ＝ｋｘ＋"$$$’$$$%１消去ｙ，得ｘ＋１ｘ＝ｋｘ＋１，即（ｋ－１）ｘ２＋ｘ－１＝０．由题意知，该方程在（０，＋∞）上有两个相异的实根ｘ１、ｘ２，故ｋ≠１，且Δ＝１＋４（ｋ－１）＞０，①ｘ１＋ｘ２＝１１－ｋ＞０，②ｘ１ｘ２＝１１－ｋ＞０，③由此解得３４＜ｋ＜１，由（１）知，直线在（ｘ１，ｙ１）和（ｘ２，ｙ２）点处的切线斜率分别是ｋ１＝１－１ｘ１２，ｋ２＝１－１ｘ２２，于是直线ｌ１的方程为ｙ－ｙ１＝１－１ｘ１２()（ｘ－ｘ１），即ｙ－ｘ１＋１ｘ１(*＝１－１ｘ１２+*（ｘ－ｘ１），圆锥曲线竞赛中的常见题型ｃｈａｎｇｊｉａｎｔｉｘｉｎｇ$%&专业精心策划高二数学爱好者Ｓ数学爱好者课余揽胜化简后得到直线ｌ１的方程为ｙ＝１－１ｘ１２!"ｘ＋２ｘ１，④同理可求得直线ｌ２的方程为ｙ＝１－１ｘ２２!"ｘ＋２ｘ２，⑤④－⑤得１ｘ２２－１ｘ１２!"ｘＰ＋２ｘ１－２ｘ２＝０，因为ｘ１≠ｘ２，故有ｘＰ＝２ｘ１ｘ２ｘ１＋ｘ２，⑥将②、③两式代入⑥式得ｘＰ＝２．④＋⑤得２ｙＰ＝２－１ｘ１２＋１ｘ２２!"$%ｘＰ＋２１ｘ１＋１ｘ２!"，⑦其中１ｘ１＋１ｘ２＝ｘ１＋ｘ２ｘ１ｘ２＝１，１ｘ１２＋１ｘ２２＝ｘ１２＋ｘ２２ｘ１２ｘ２２＝（ｘ１＋ｘ２）２－２ｘ１ｘ２ｘ１２ｘ２２＝ｘ１＋ｘ２ｘ１ｘ２!"２－２ｘ１ｘ２＝１－２（１－ｋ）＝２ｋ－１，代入⑦式得２ｙＰ＝（３－２ｋ）ｘＰ＋２，而ｘＰ＝２，得ｙＰ＝４－２ｋ．又由３４＜ｋ＜１得２＜ｙＰ＜５２，即点Ｐ的轨迹为（２，２）、（２，２．５）两点间的线段（不含端点）．点评此题是典型的直线与圆锥曲线的位置关系问题，常用的解题策略是设而不求，变式消元，利用韦达定理沟通坐标与参数的关系．在求轨迹方程时应该注意曲线的完备性和纯粹性．二、求参数的取值范围例２平面直角坐标系ｘＯｙ中，给定三点Ａ０，４３!"、Ｂ（－１，０）、Ｃ（１，０），点Ｐ到直线ＢＣ的距离是该点到直线ＡＢ、ＡＣ距离的等比中项．（１）求点Ｐ的轨迹方程；（２）直线ｌ经过三角形ＡＢＣ的内心（设为Ｄ），且与Ｐ点的轨迹恰好有３个公共点，求ｌ的斜率ｋ的取值范围．分析第一问利用直接法便可求得轨迹方程．第二问求取值范围，根据直线与曲线相交问题转化为方程的问题来解．解（１）直线ＡＢ、ＡＣ、ＢＣ的方程依次为ｙ＝４３（ｘ＋１），ｙ＝－４３（ｘ－１），ｙ＝０．点Ｐ（ｘ，ｙ）到ＡＢ、ＡＣ、ＢＣ的距离依次为ｄ１＝１５４ｘ－３ｙ＋４，ｄ２＝１５４ｘ＋３ｙ－４，ｄ３＝ｙ，依题有ｄ１ｄ２＝ｄ３２，得１６ｘ２－（３ｙ－４）２＝２５ｙ２，即１６ｘ２－（３ｙ－４）２＋２５ｙ２＝０，或１６ｘ２－（３ｙ－４）２－２５ｙ２＝０，即Ｐ的轨迹方程为圆Ｓ：２ｘ２＋２ｙ２＋３ｙ－２＝０与双曲线Ｔ：８ｘ２－１７ｙ２＋１２ｙ－８＝０；（２）由（１）知，点Ｐ的轨迹包含两部分：圆Ｓ：２ｘ２＋２ｙ２＋３ｙ－２＝０，①和双曲线Ｔ：８ｘ２－１７ｙ２＋１２ｙ－８＝０．②因为Ｂ（－１，０）和Ｃ（１，０）是适合题设条件的点，所以点Ｂ和点Ｃ在点Ｐ的轨迹上，且点Ｐ的轨迹曲线Ｓ与Ｔ的公共点只有Ｂ、Ｃ两点．三角形ＡＢＣ的内心Ｄ也是适合题设条件的点，由ｄ１＝ｄ２＝ｄ３，解得Ｄ０，１２!"，且知它在圆Ｓ上．直线ｌ经过Ｄ，且与点Ｐ的轨迹有３个公共点，所以ｌ的斜率存在，设ｌ的方程为ｙ＝ｋｘ＋１２，③（ｉ）当ｋ＝０时，ｌ与圆Ｓ相切，有唯一的公共点Ｄ；此时，直线ｙ＝１２平行于ｘ轴，表明ｌ与双曲线有不同于Ｄ的两个公共点，所以ｌ恰好与点Ｐ的轨迹有３个公共点．（ｉｉ）当ｋ≠０时，ｌ与圆Ｓ有两个不同的交点，这时，ｌ与点Ｐ的轨迹恰有３个公共点，只能下面两种情况：情况１：直线ｌ经过点Ｂ或点Ｃ，此时ｌ的斜率ｋ＝±１２，直线ｌ的方程为ｘ＝±（２ｙ－１）．代入方程②得ｙ（３ｙ－４）＝０，解得Ｅ５３，４３!"或Ｆ－５３，４３!"．()*专业精心策划Ｓ高二数学爱好者数学爱好者课余揽胜表明直线ＢＤ与曲线Ｔ有２个交点Ｂ、Ｅ；直线ＣＤ与曲线Ｔ有２个交点Ｃ、Ｆ．故当ｋ＝±１２时，ｌ恰好与点Ｐ的轨迹有３个公共点．情况２：直线ｌ不经过点Ｂ和Ｃ（即ｋ≠±１２），因为ｌ与Ｓ有两个不同的交点，所以ｌ与双曲线Ｔ有且只有一个公共点，即方程组８ｘ２－１７ｙ２＋１２ｙ－８＝０，ｙ＝ｋｘ＋１２"$$$#$$$%有且只有一组实数解，消去ｙ并化简得（８－１７ｋ２）ｘ２－５ｋｘ－２５４＝０，该方程有唯一实数解的充要条件是８－１７ｋ２＝０，④或（－５ｋ）２＋４（８－１７ｋ２）２５４＝０，⑤解方程④得ｋ＝±２３４&１７，解方程⑤得ｋ＝±２&２．综上可得：直线ｌ的斜率ｋ的取值范围是有限集０，±１２，±２３４&１７，±２&２’(．点评本题主要先是通过直接法求曲线的方程，然后用方程的思想去解决直线和圆锥曲线的交点问题，对直线的斜率及方程根的分布要进行分类讨论则是本题的难点，在思想方法上体现了方程的思想、分类讨论思想及数形结合思想．三、探求有关的性质例３设Ａ、Ｂ分别为椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）和双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１的公共的左、右顶点，Ｐ、Ｑ分别为双曲线和椭圆上不同于Ａ、Ｂ的动点，且满足Ａ)*Ｐ＋Ｂ)*Ｐ＝λ（Ａ)*Ｑ＋Ｂ)*Ｑ）（λ∈Ｒ，λ＞１）．设直线ＡＰ、ＢＰ、ＡＱ、ＢＱ的斜率分别为ｋ１、ｋ２、ｋ３、ｋ４．（１）ｋ１＋ｋ２＋ｋ３＋ｋ４是定值吗？如果是，求出这个定值，如果不是，则说明理由；（２）设Ｆ１、Ｆ２分别为椭圆和双曲线的右焦点，若ＰＦ２∥ＱＦ１，求证：ｋ１２＋ｋ２２＋ｋ３２＋ｋ４２＝８．分析本题是探求定值问题，有两个已知方程，Ａ、Ｂ点的坐标可表示出来，再设两个Ｐ、Ｑ两个坐标参数，可把四条直线的斜率一一表示出来，然后计算斜率的关系．解（１）设Ｐ、Ｑ两点的坐标分别为Ｐ（ｘ１，ｙ１）、Ｑ（ｘ２，ｙ２），则ｘ１２ａ２－ｙ１２ｂ２＝１，ｘ２２ａ２－ｙ２２ｂ２＝１．则ｋ１＋ｋ２＝ｙ１ｘ１＋ａ＋ｙ１ｘ１－ａ＝２ｘ１ｙ１ｘ１２－ａ２＝２ｂ２ａ２·ｘ１ｙ１，①同理可得ｋ３＋ｋ４＝－２ｂ２ａ２·ｘ２ｙ２，②设Ｏ为原点，则２Ｏ)*Ｐ＝Ａ)*Ｐ＋Ｂ)*Ｐ＝λ（Ａ)*Ｑ＋Ｂ)*Ｑ）＝２λＯ)*Ｑ，所以Ｏ)*Ｐ＝λＯ)*Ｑ，Ｏ、Ｐ、Ｑ三点共线，于是得ｘ１ｙ１＝ｘ２ｙ２．由①、②得ｋ１＋ｋ２＋ｋ３＋ｋ４＝０；（２）由点Ｑ在椭圆上，有ｘ２２ａ２＋ｙ２２ｂ２＝１．由Ｏ)*Ｐ＝λＯ)*Ｑ，得（ｘ１，ｙ１）＝λ（ｘ２，ｙ２）．所以ｘ２＝１λｘ１，ｙ２＝１λｙ１，即ｘ１２ａ２＋ｙ１２ｂ２＝λ２，③又由点Ｐ在双曲线上，有ｘ１２ａ２－ｙ１２ｂ２＝１，④由③、④得ｘ１２＝λ２＋１２ａ２，ｙ１２＝λ２－１２ｂ２，因为ＰＦ２∥ＱＦ１，所以ＯＦ２＝λＯＦ１，所以λ２＝ａ２＋ｂ２ａ２－ｂ２，ｘ１２ｙ１２＝（λ２＋１）ａ２（λ２－１）ｂ２＝ａ４ｂ４，由①得（ｋ１＋ｋ２）２＝４ｂ４ａ４·ｘ１２ｙ１２＝４，同理可得（ｋ３＋ｋ４）２＝４，另一方面ｋ１ｋ２＝ｙ１ｘ１＋ａ·ｙ１ｘ１－ａ＝ｂ２ａ２．类似地，ｋ３ｋ４＝－ｂ２ａ２，故ｋ１２＋ｋ２２＋ｋ３２＋ｋ４２＝（ｋ１＋ｋ２）２＋（ｋ３＋ｋ４）２－２（ｋ１ｋ２＋ｋ３ｋ４）＝８．点评坐标法是解析几何中的最基本也是最重要的方法，它的思维较简单，只是需要计算便可达到目的，另外本题中巧妙地抓住了各点的“对称性”，简化了计算．()*。

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§18直线和圆，圆锥曲线课后练习1．已知点A 为双曲线122=-y x 的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右支上，ABC ∆是等边三角形，则ABC ∆的面积是（A ）33 （B ）233 （C ）33 （D ）36 2．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线5435+=x y 的距离中的最小值是（A ）17034 （B ）8534 （C ）201 （D ）3013．若实数x, y 满足(x + 5)2+(y – 12)2=142，则x 2+y 2的最小值为 (A) 2 (B) 1 (C)3 (D) 24．直线134=+yx 椭圆191622=+y x 相交于A ，B 两点，该圆上点P ，使得⊿PAB 面积等于3，这样的点P 共有(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 5．设a ，b ∈R ，ab ≠0，那么直线ax －y ＋b ＝0和曲线bx 2＋ay 2＝ab 的图形是A B 6．过抛物线y 2＝8(x ＋2)的焦点F 作倾斜角为60o 的直线，若此直线与抛物线交于A 、B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于P 点，则线段PF 的长等于A ．316 B ．38 C ．3316 D ．387．方程13cos 2cos 3sin 2sin 22=-+-y x 表示的曲线是 A. 焦点在x 轴上的椭圆 B. 焦点在x 轴上的双曲线 C. 焦点在y 轴上的椭圆D. 焦点在y 轴上的双曲线8．在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 中，记左焦点为F ，右顶点为A ，短轴上方的端点为B 。

若该椭圆的离心率是215-，则ABF ∠= 。

9．设F 1，F 2是椭圆14922=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1| : |PF 2|＝2 : 1，则三角形∆PF 1F 2的面积等于______________．10．在平面直角坐标系XOY 中，给定两点M （－1，2）和N （1，4），点P 在X 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标为___________________。

11．若正方形ABCD 的一条边在直线172-=x y 上，另外两个顶点在抛物线2x y =上.则该正方形面积的最小值为 .12．已知0C ：122=+y x 和1C ：)0(12222>>=+b a by a x 。

试问：当且仅当a ,b 满足什么条件时，对1C 任意一点P ，均存在以P 为顶点、与0C 外切、与1C 内接的平行四边形？并证明你的结论。

13．设曲线C 1:1222=+y ax (a 为正常数)与C 2:y 2=2(x+m)在x 轴上方公有一个公共点P 。

（1）实数m 的取值范围（用a 表示）；（2）O 为原点，若C 1与x 轴的负半轴交于点A ，当0<a<21时，试求⊿OAP 的面积的最大值（用a 表示）。

14．已知点)2,0(A 和抛物线42+=x y 上两点C B ,使得BC AB ⊥，求点C 的纵坐标的取值范围．15．一张纸上画有半径为R 的圆O 和圆内一定点A ，且OA ＝a . 拆叠纸片，使圆周上某一点A / 刚好与A 点重合，这样的每一种拆法，都留下一条直线折痕，当A /取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．16．（04，14）在平面直角坐标系xoy 中，给定三点4(0,),(1,0),(1,0)3A B C -，点P 到直线BC 的距离是该点到直线AB ，AC 距离的等比中项。

（Ⅰ）求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）若直线L 经过ABC ∆的内心（设为D ），且与P 点的轨迹恰好有3个公共点，求L 的斜率k 的取值范围。

17．过抛物线2x y =上的一点A （1,1）作抛物线的切线，分别交x 轴于D ，交y 轴于B.点C 在抛物线上，点E 在线段AC 上，满足1λ=EC AE ;点F 在线段BC 上，满足2λ=FCBF，且121=+λλ，线段CD 与EF 交于点P .当点C 在抛物线上移动时，求点P 的轨迹方程.课后练习答案1.C2.B3.B4.B5.B6.A7.C8.90º9.332 10.设椭圆的长轴、短轴的长及焦矩分别为2a 、2b 、2c ，则由其方程知a ＝3，b ＝2，c ＝5，故，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，又已知[PF 1|：|PF 2|＝2：1，故可得|PF l |＝4，|PF 2|＝2．在△PF l F 2中，三边之长分别为2，4，25，而22＋42＝(25)2，可见△PF l F 2是直角三角形，且两直角边的长为2和4，故△PF l F 2的面积＝4．11. 解：经过M 、N 两点的圆的圆心在线段MN 的垂直平分线y=3－x 上，设圆心为 S （a ，3－a ），则圆S 的方程为：222()(3)2(1)x a y a a -+-+=+对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，所以，当MPN ∠取最大值时，经过M ，N ，P 三点的圆S 必与X 轴相切于点P ，即圆S 的方程中的a 值必须满足222(1)(3),a a +=-解得 a=1或a=－7。

即对应的切点分别为'(1,0)(7,0)P P -和，而过点M ，N ，'p 的圆的半径大于过点M ，N ，P 的圆的半径，所以'MPN MP N ∠>∠，故点P （1，0）为所求，所以点P 的横坐标为1。

12.解：设正方形的边AB 在直线172-=x y 上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为),(11y x C 、),(22y x D ，则CD 所在直线l 的方程,2b x y +=将直线l 的方程与抛物线方程联立，得.1122,12+±=⇒+=b x b x x令正方形边长为,a 则).1(20)(5)()(2212212212+=-=-+-=b x x y y x x a ① 在172-=x y 上任取一点（6，,5），它到直线b x y +=2的距离为5|17|,b a a +=∴②.①、②联立解得,80.63,3221=∴==a b b 或.80.12802min 2=∴=a a13.利用极坐标解决：以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为22222sin cos 1baθθρ+=------（1）显知此平行四边形ABCD 必为菱形，设A ),(1θρ，则B )90,(2θρ+︒ 代入（1）式相加：2222211111ba+=+ρρ由于该菱形必与单位圆相切，故原点到AB 的距离为1，∴2221111ρρρρ+⋅=，从而1112221=+ρρ，∴11122=+ba14. 解：(1)由⎪⎩⎪⎨⎧+==+)(212222m x y y a x 消去y 得：0222222=-++a m a x a x ①设222222)(a m a x a x x f -++=，问题(1)化为方程①在x ∈(－a ，a )上有唯一解或等根．只需讨论以下三种情况：1°△＝0得：212+=a m ，此时x p ＝－a 2，当且仅当－a ＜－a 2＜a ，即0＜a ＜1时适合；2°f (a )f (－a )＜0，当且仅当－a ＜m ＜a ；3°f (－a )＝0得m ＝a ，此时x p ＝a －2a 2，当且仅当－a ＜a －2a 2＜a ，即0＜a ＜1时适合． f (a )＝0得m ＝－a ，此时x p ＝－a －2a 2，由于－a －2a 2＜－a ，从而m ≠－a ．综上可知，当0＜a ＜1时，212+=a m 或－a ＜m ≤a ；当a ≥1时，－a ＜m ＜a ．(2)△OAP 的面积p ay S 21= ∵0＜a ＜21，故－a ＜m ≤a 时，0＜m a a a 2122-++-＜a ，由唯一性得 m a a a x p 2122-++-=显然当m ＝a 时，x p 取值最小．由于x p ＞0，从而y p ＝221a x p -取值最大，此时22a a y p -=，∴2a a a S -=．当212+=a m 时，x p ＝－a 2，y p ＝21a -，此时2121a a S -=．下面比较2a a a -与2121a a -的大小：令22121a a a a a -=-，得31=a故当0＜a ≤31时，2a a a -≤2121a a -，此时2121a a S max -=．当2131<<a 时，22121a a a a a ->-，此时2a a a S max -=．15.解：设B 点坐标为),4(121y y -，C 点坐标为),4(2y y -．显然0421≠-y ，故21421211+=--=y y y k AB由于BC AB ⊥，所以)2(1+-=y k BC从而⎪⎩⎪⎨⎧+=--+-==4)]4()[2(22111x y y x y y y ，消去x ，注意到1y y ≠得：01))(2(11=+++y y y ⇒0)12()2(2121=++++y y y y由0≥∆解得：0≤y 或4≥y ．当0=y 时，点B 的坐标为)1,3(--；当4=y 时，点B 的坐标为)3,5(-，均满足是题意．故点C 的纵坐标的取值范围是0≤y 或4≥y ．16.解：如图，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则有A (a ，0)．设折叠时，⊙O 上点A /(ααsin ,cos R R )与点A 重合，而折痕为直线MN ，则 MN 为线段AA /的中垂线．设P (x ，y )为MN 上任一点，则｜PA /｜＝｜PA ｜ 5分 ∴2222)()sin ()cos (y a x R y R x +-=-+-α 即ax a R y x R 2)sin cos (222+-=+αα 10分 ∴22222222sin cos yx R ax a R yx y x ++-=++αα可得：)cos ,(sin 22)sin(22222222yx y yx x yx R ax a R +=+=++-=+θθθα∴222222yx R ax a R ++-≤1 (此不等式也可直接由柯西不等式得到) 15分平方后可化为 22222)2()2()2()2(a R y R a x -+-≥1，即所求点的集合为椭圆圆22222)2()2()2()2(a R y R a x -+-＝1外(含边界)的部分．20分17. 解：（Ⅰ）直线AB 、AC 、BC 的方程依次为44(1),(1),033y x y x y =+=--=。

点(,)P x y 到AB 、AC 、BC 的距离依次为12311|434|,|434|,||55d x y d x y d y =-+=+-=。