弹性波动力学重点复习题剖析

1．什么是弹性体?当一个物体受到外力作用，在它的内部质点间发生位置的相对变化，从而使其形状改变，当外力作用取消后，物体的应力、应变状态立刻消失，并恢复原有的形状。

这类物体称为弹性体。

2．物体在什么条件下表现为弹性性质，在什么条件下表现为塑性性质?在外力作用较小，作用时间较短情况下，大多数物体包括岩石在内，表现为弹性体性质。

外力作用大，作用时间长的情况下，物体会表现为塑性体性质。

3．弹性动力学的基本假设有哪些?（1）介质是连续的（2）物体是线性弹性的（3）介质是均匀的（4）物体是各向同性的（5）物体的位移和应变都是微小的（6）物体无初应力4．什么是弹性动力学中的理想介质?理想介质：连续的、均匀的、各向同性的线性完全弹性介质。

3．什么是正应变、切应变、相对体变?写出它们的位移表达式。

答：正应变是弹性体沿坐标方向的相对伸缩量。

切应变表示弹性体扭转或体积元侧面角错动。

相对体变表示弹性体体积的相对变化。

⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∂∂=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂=z we y w z v e z u x w e y w z v e y v e x v y u e z u x w e x v y u e x u e zz yz zx yz yy xy zx xy xxzwy v x u e e e zz yy xx ∂∂+∂∂+∂∂=++=θ 4．什么是旋转角位移?写出它与(线)位移的关系式。

旋转角位移为体积元侧面积对角线的转动角度。

⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∂∂-∂∂=∂∂-∂∂=∂∂-∂∂=)(21)(21)(21y u x v x w z u zv y w z y x ωωω5．试解释应变张量和旋转张量中各分量的物理含义。

zz yy xx e e e ,,分别表示弹性体沿x 、y 、z 方向的相对伸长量；zx yz xy e e e ,,分别表示平行于坐标面xoy 、yoz 和xoz 的侧面积的角错动量。

z y x ωωω、、分别表示与坐标面yoz 、xoz 和xoy 平行的侧面积对角线围绕x 、y 和z 轴的旋转角。

11．设弹性体内的位移场为j y x i y x s)()(2211αδδα+++=，其中2121,,,δδαα都是与1相比很小的数，试求应变张量、转动角位移矢量及体积膨胀率(相对体变)。

解：j y x i y x s)()(2211αδδα+++=⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=02211w y x v y x u αδδα ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂==∂∂+∂∂=+=∂∂+∂∂==∂∂==∂∂==∂∂=00 2121z u x w e y w z v e x v y u e zw e y v e x u e zx yz xy zz yy xx δδαα 应变张量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=0 0 0 0 021211δδδδαε 体积膨胀率21ααθ+=∂∂+∂∂+∂∂=++=zwy v x u e e e zz yy xx ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=∂∂-∂∂==∂∂-∂∂==∂∂-∂∂=)(21)(210)(210)(2112δδωωωy u x v x w z u z v y w z y x →→-=k )(2112δδω 12．已知弹性体内的位移场为j x x k i y y k s)()(00---=，其中00,,y x k 为已知常数，试求应变张量和旋转张量，并阐述此结果反映什么物理现象。

解：j x x k i y y k s)()(00---=⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=0)()(00w x x k v y y k u ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂==∂∂+∂∂==∂∂+∂∂==∂∂==∂∂==∂∂=00 000 z u x w e y w z v e x v y u e zw e y v e x u e zx yz xy zz yy xx 应变张量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0 0 00 0 00 00ε 体积膨胀率0=∂∂+∂∂+∂∂=++=zwy v x u e e e zz yy xx θ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=∂∂-∂∂==∂∂-∂∂==∂∂-∂∂=k y u x v x w z u z v y w z y x )(210)(210)(21ωωω→→-=k k ω反映了该弹性体没有发生体积及形状的变化，只是绕z 轴旋转了一个角度。

6．什么是应力、正应力、切应力、应力张量?答：作用于单位截面积上的内力，称为应力。

应力作用方向与作用截面垂直，称为正应力；应力作用方向在作用截面上，称为切应力。

三个相互正交的坐标面上应力矢量共同构成了应力张量。

记为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=zz yz xz zy yy xy zx yx xx T στττστττσ 。

14. 已知弹性体内一点P 处的应力张量由矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=402050207T 给出。

试求过点P 外法线方向为u=2i-2j+k 的面元上的应力矢量n p 。

8. 杨氏模量、泊松比、剪切模量、体变模量各表示了什么物理含义? 答：（1）杨氏模量E ，是正应力与正应变的比例系数；（2）切变模量μ，是切应力与切应变的比例系数；（3）拉梅系数λ，μ，反映正应力与正应变的比例系数的另一种形式；（4）压缩模量或体变模量K ，表示单元体在胀缩应变状态下，相对体变与周围压力间的比例系数；（5）泊松比ν，表示物体横向应变与纵向应变的比例系数，故也称横向形变系数。

19. 已知一各向同性线性弹性体的弹性模量为：杨氏模量E=210Gpa ，泊松比为0.28；其中一点处的应变分量为0,8,2,3,==-==-==xy zz zx yz yy xx e e a e a e a e a e ，其中a=410-，试求拉梅常数μλ,，并写出该点上的应力张量。

解：GPa E 176183755632.08.58)56.01)(28.01(28.0210)21)(1(==-+⨯=-+=υυυλGPa 322625)28.01(2210=+=μ体应变a e e e zz yy xx 2-=++=θ 则由应力应变关系GPa e xx xx =+=μλθσ2 GPa e yy yy =+=μλθσ2GPa e zz zz =+=μλθσ2 GPa e xy xy ==μτ GPa e yz yz ==μτGPa e zx zx ==μτ1．已知一弹性介质内MPa 510==μλ，位移场为→→→→++=k w j v i u S ,其中⎪⎩⎪⎨⎧-===xy z w xz v xy u 222试求点P(0,2,-4)处的应变张量、转动向量、体应变以及该点处的应力分量。

解：由题可知在P(0,2,-4)点222228xx ue y x∂===⨯=∂，()440244xy u v e xy z y x ∂∂=+=+=⨯⨯+-=-∂∂ ()02xz u we y z x∂∂=+=+-=-∂∂ ，0yy v e y ∂==∂ ()0yz v w e x x z y ∂∂=+=+-=∂∂ ，()2248zz we z z∂===⨯-=-∂ 则应变张量为8 4 -24 0 02 0 8ij e -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭或⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=4 0 10 0 21 2 8ij e 由转动向量()()()()()1112221110422211102402222x y z i j kw v u w v u i j z y z z x x y x x i y j z xy zi j z j zωωωω→→→→→→→→→→→→→→→=++⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭=--+--+-=⨯+⨯+⨯--=-体应变()8080xx yy zz e e e θ=++=++-=由应力应变关系有()556211002108 1.610xx xxe MPa σλθμ=+=⨯⨯+⨯⨯=⨯()552110021000yy yye MPa σλθμ=+=⨯⨯+⨯⨯=()()556211002108 1.610zz zze MPa σλθμ=+=⨯⨯+⨯⨯-=-⨯()()551104410xy yx xy e MPa σσμ===⨯⨯-=-⨯()511000yz zy yz e MPa σσμ===⨯⨯=()()551102210zx xz zx e MPa σσμ===⨯⨯-=-⨯20. 将ij ij z y x p δτ),,(-=代入用下标记号表示的运动微分方程i i j ji u F ..,ρρτ=+中，化为矢量方程，并用梯度算子表示。

解：由ij ij z y x p δτ),,(-=可知⎪⎭⎪⎬⎫-=-=-= p p p zz yy xx σσσ ⎪⎭⎪⎬⎫===000xy yz zx τττ代入运动微分方程⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂222222t w F z y x t v F z y x t u F z y x z zz yz xz y zy yy xy x zx yx xx ρρσττρρτστρρττσ得：⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∂∂=+∂∂-∂∂=+∂∂-∂∂=+∂∂-222222t w F x p t v F x p t u F x p z y x ρρρρρρ 将各式分别乘以单位向量→→→k j i 、、，相加，得：22tSF p ∂∂=+∇-→→ρρ第三章复习思考题3．写出纵波和横波速度的表达式，分析它们之间的大小关系。

ρμλ2+=P v ρμ=S v υυμμλγ21)1(22--=+==S P v v由于210<<υ，因此1>γ，即S P v v >，可见纵波速度大于横波速度。

4．什么叫泊松体?泊松体的拉梅常数、纵横波速度、泊松比各有什么特点? 答：41=υ，或者μλ=，具有这种性质的物体称为泊松体。

对泊松体而言，73.1=γ。

14．已知某弹性介质中的P 波速度为3600m ／s ，S 波速度1950m ／s ，求该介质的泊松比。

解：13241950360021)1(22==--=+==υυμμλγS P v v 16957621)1(2=--υυ 29.0407119≈=υ15．已知弹性介质中杨氏模量为E ，泊松比为ν，求介质的P 波速度和S 波速度。

解：)21)(1()1(22υυρυρμλρμλ-+-=+=+=E v P )1(2υρρμ+==Ev S 6．简述地震波在弹性介质中传播的基本规律。

答：惠更斯（Huygens ）原理：任意时刻波前面上的每一点都可以看作是一个新的波源（子波源），由它产生二次扰动，形成新的波前，而以后的波前位置可以认为是该时刻子波前的包络线。