实验四控制系统的稳定性分析样本

西京学院实验教学教案

实验课程: 现代控制理论基础课序: 4 教室: 工程舫0B-14

实验日期: -6-3、 4、 6 教师: 万少松

一、实验名称: 系统的稳定性及极点配置

二、实验目的

1．巩固控制系统稳定性等基础知识;

2．掌握利用系统特征根判断系统稳定性的方法;

3．掌握利用李雅普诺夫第二法判断系统的稳定性的方法;

4. 掌握利用状态反馈完成系统的极点配置;

5．经过Matlab编程, 上机调试, 掌握和验证所学控制系统的基本理论。

三、实验所需设备及应用软件

四、实验内容

1.利用特征根判断稳定性;

2.利用李雅普诺夫第二法判断系统的稳定性;

3.状态反馈的极点配置;

五、实验方法及步骤

1.打开计算机, 运行MATLAB软件。

2.将实验内容写入程序编辑窗口并运行。

3.分析结果, 写出实验报告。

一、 利用特征根判断稳定性

用matlab 求取一个系统的特征根, 能够有许多方法, 如()eig , ()pzmap , 2ss zp , 2tf zp , roots 等。下面举例说明。

【例题1】已知一个系统传递函数为()G s , 试不同的方法分析闭环系统的稳定性。

2(3)()(5)(6)(22)

s G s s s s s +=++++ 解:

num=[1,3]

den=conv([1,2,2],conv([1,6],[1,5]))

sys=tf(num,den)

(1)()eig

p=eig(sys)

显示如下:

p =

-6.0000

-5.0000

-1.0000 + 1.0000i

-1.0000 - 1.0000i

所有的根都具有负的实部, 因此系统稳定。

(2) ()pzmap

pzmap(sys)

从绘出的零极点图可看见, 系统的零极点都位于左半平面, 系统稳定。 ( 3) 2()tf zp

[z,p,k]=tf2zp(num,den)

( 4) ()roots

roots(den)

【例题2】已知线性定常连续系统的状态方程为

12

2122x x x x x ==-

试用特征值判据判断系统的稳定性。

解:

A=[0,1;2,-1]

eig(A)

显示ans =

1

-2

有一个正根, 因此系统不稳定。

二、 利用李雅普诺夫第二法判断系统的稳定性

1、 李雅普诺夫判据: 线性定常连续系统

x Ax =

在平衡状态0e x =处, 渐进稳定的充要条件是: 对任意给定的一个正定对称矩阵Q , 如下形式的李雅普诺夫矩阵方程

T A P PA Q +=-

存在唯一正定对称矩阵解P 。

2、 推论: 如果Q 矩阵取为半正定, 且1/2(,)A Q 为完全能观测, 则0e x =为渐进稳定的充分必要条件是上述李雅普诺夫矩阵方程有唯一正定对称解P 。

3、 标量函数()T v x x Px =是这个系统的一个二次型形式的李雅普诺夫函数。

4、 Matlab 实现

matlab 提供了李雅普诺夫方程的求解函数()lyap , 其调用格式为

(,)P lyap A Q =。

要判定系统是否稳定,需要做以下工作:

① 求出P, 并验证P 是正定的;

② 求出V(x), 并判验证V(x) 是正定的;

③ 结论: 系统是稳定的。

【例题3】已知单位负反馈系统的前向通道分别是三个环节串联而成, 这三个环节分别是两个惯性环节和一个积分环节:

15()1G s s =+、 21()2G s s =+、 31()G s s

= 试分析系统的李雅普诺夫稳定性。

解: 研究系统的稳定性时, 能够令给定输入()0u t =。

( 1) 、 求出闭环系统的传递函数

G1=tf(5,[1,1])

G2=tf(1,[1,2])

G3=tf(1,[1,0])

Gtf=feedback(G1*G2*G3,1)

%运行结果如下:

%Transfer function:

% 5

%---------------------

%s^3 + 3 s^2 + 2 s – 5

%下面建立ss 模型

num=5

den=[1,3,2,-5]

[A,B,C,D]=tf2ss(num,den) %也能够

这样: [A,B,C,D]=tf2ss(Gtf.num{1},Gtf.den{1})

%选择半正定矩阵000000001Q ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

, 且1/2(,)A Q 为完全能观测

%能观测性验证:

Q=[0,0,0;0,0,0;0,0,1]

Q1=Q^(1/2)

rank(ctrb(A,Q1))

%运行结果:

%ans = 3

%因此1/2(,)A Q 为完全能观测

%计算李雅普诺夫函数的解, 并判断是否正定

P=lyap(A,Q)

det1=det(P(1,1))

det2=det(P(2,2))

detp=det(P)

%程序运行结果:

%P =

% 12.5000 0.0000 -7.5000

% 0.0000 7.5000 -0.5000

% -7.5000 -0.5000 4.7000