2018年吉林省长春市高考数学三模试卷

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2017-2018学年届吉林省长春市普通高中高三质量监测(三)数学(理)试题(解析版)【有答案】

长春市普通高中2018届高三质量监测（三）数学理科一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的） 1. 设集合，，则A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意得：，∴故选：C 2. 若复数，则A. B. C. D.【答案】A 【解析】，∴故选：A3. 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，则8771 用算筹可表示为，故选：C．4. 函数的部分图象大致为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由函数是偶函数，排除A，C，当，.排除B故选：D.点睛：识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．5. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象,则的值可以为A. B. C. D.【答案】C【解析】将函数的图象向右平移个单位得到函数，得到：.故选：C.6. 如图所示的程序框图是为了求出满足的最小偶数，那么在空白框中填入及最后输出的值分别是（）A. 和6B. 和6C. 和8D. 和8【答案】D【解析】空白框中n依次加2可保证其为偶数，排除A，C时，，时，所以D选项满足要求．故选：D．7. 本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（）种A. B. C. D.【答案】A【解析】第一步：甲、乙两本书必须摆放在两端，有种排法；∴故选：A.8. 某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥，.故选：B.9. 已知△的内角的对边分别为，若，，则△面积的最大值是A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意知，由余弦定理，，故，有，故.故选：B10. 已知边长为的等边三角形，为的中点，以为折痕，将△折成直二面角，则过四点的球的表面积为A. B. C. D.【答案】D【解析】折后的图形可放到一个长方体中，其体对角线长为，故其外接球的半径为，其表面积为.故选：D.点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．11. 已知焦点在轴上的双曲线的左右两个焦点分别为和，其右支上存在一点满足，且的面积为3，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由双曲线可知，从而.故选：B.12. 已知定义域为的函数的图象经过点，且对，都有，则不等式的解集为A. B. C. D.【答案】B【解析】令，有，所以在定义域内单调递增，由，得，因为等价于，令，有，则有，即，从而，解得且.故选：B.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13. 设实数满足约束条件，则的最大值为___________.【答案】9【解析】作出可行域，如图：由可行域可确定目标函数在处取最大值故答案为：9点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.14. 已知、取值如下表：画散点图分析可知：与线性相关，且求得回归方程为，则的值为_______.（精确到）【答案】1.7【解析】将代入回归方程为可得，则，解得，即精确到0.1后的值约.故答案为：1.715. 已知函数，若，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】当，当，故.故答案为：16. 已知腰长为的等腰直角△中，为斜边的中点，点为该平面内一动点，若，则的最小值________.【答案】【解析】如图建立平面直角坐标系，,∴，当sin时，得到最小值为故答案为：三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 已知数列的前项和为，且，在正项等比数列中，.（1）求和的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）由求出的通项公式，由等比数列的基本公式得到的通项公式；（2）利用错位相减法求出数列的前项和.试题解析：（1），令，，又数列为等比，，，又各项均为正，（2）由（1）得：，，点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n－qS n”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.18. 树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与调查的人群中随机选出人，并将这人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4 组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示(1) 求的值(2)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行问卷调查，求在第1组已被抽到人的前提下，第3组被抽到人的概率；（3）若从所有参与调查的人中任意选出人，记关注“生态文明”的人数为，求的分布列与期望.【答案】(1) (2)（3）试题解析：（1）由，得，（2）第1，2，3组的人数分别为20人，30人，70人，从第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取12人，则第1，2，3组抽取的人数分别为2人，3人，7人.设从12人中随机抽取3人，第1组已被抽到1人为事件，第3组抽到2人为事件，则（3）从所有参与调查的人中任意选出1人，关注“生态文明”的概率为的可能取值为0，1，2，3.，，所以的分布列为，19. 在如图所示的几何体中，四边形是正方形，平面，分别是线段的中点，.（1）求证：∥平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析：（1）取中点，连接，易得四边形为平行四边形，从而所以∥平面；（2）平面，且四边形是正方形，两两垂直，以为原点，，，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，代入公式得到所成锐二面角的余弦值.试题解析：（1）取中点，连接分别是中点，，为中点，为矩形，，，四边形为平行四边形平面，平面，平面（2）平面，且四边形是正方形，两两垂直，以为原点，，，所在直线为轴，建立空间直角坐标系则设平面法向量为，，则，即，取则设平面法向量为，，则，即，取.平面与平面所成锐二面角的余弦值为.点睛：本题主要考查线面垂直的判定定理以及用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20. 在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，圆的方程为，动圆与圆内切且与圆外切.(1)求动圆圆心的轨迹的方程；(2)已知与为平面内的两个定点，过点的直线与轨迹交于,两点，求四边形面积的最大值.【答案】(1) (2)6【解析】试题分析：（1）由椭圆定义得到动圆圆心的轨迹的方程；（2）设的方程为，联立可得，通过根与系数的关系表示弦长进而得到四边形面积的表达式，利用换元法及均值不等式求最值即可.试题解析：(1)设动圆的半径为，由题意知从而有，故轨迹为以为焦点，长轴长为4的椭圆，并去除点，从而轨迹的方程为.（2）设的方程为，联立，消去得，设点，有则，点到直线的距离为，点到直线的距离为，从而四边形的面积令，有，函数在上单调递增，有，故，即四边形面积的最大值为.21. 已知函数.（1）若在上是单调递增函数，求的取值范围；（2）设，当时，若，其中，求证：.【答案】(1) (2)见解析【解析】试题分析：（1）在上是单调递增函数等价于在上，恒成立，即：，构造新函数求最值即可；（2）要证，即证，记，易证在上递增，转证。

2018年吉林省长春市东北师大附中高考数学三模试卷(理科)(解析版)

19.已知等腰直角，，，，分别为，的中点，将沿折到的位置，，取线段的中点为．
求证：平面；
Ⅱ 求二面角的余弦值．
20.已知椭圆的右焦点为，点为椭圆上的动点，若的最大值和最小值分别为和．
求椭圆的方程
Ⅱ 设不过原点的直线与椭圆交于，两点，若直线，，的斜率依次成等比数列，求面积的最大值
故答案为：．
14.
【答案】
【考点】
简单线性规划
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：作出不等式组表示的可行域如图所示，
由，可得，
根据的几何意义，可以确定其在直线和直线的交点处取得最小值，
由解得代入求得，从而确定出最小值为．
故答案为：．
15.
【答案】
【考点】
数列递推式
数列的求和
【解析】
（2）根据茎叶图比较，在一模考试中甲、乙两班同学数学分数的平均水平和分数的分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）;
（3）若规定分数在的成绩为良好，分数在的成绩为优秀，现从甲、乙两班成绩为优秀的同学中，按照各班成绩为优秀的同学人数占两班总的优秀人数的比例分层抽样，共选出位同学参加数学提优培训，求这位同学中恰含甲、乙两班所有分以上的同学的概率．
【解答】
解：取中点，中点，连结，，，，，，
∵棱长为的正方体中，为棱中点，
∴ ，，
又，，
，平面，、平面，
∴过点，且与平面平行的正方体的截面为四边形，
∵ ，
，
，
∴过点，且与平面平行的正方体的截面面积为：
．

吉林省长春市普通高中2018届高三质量检测(三)数学(理)试卷

长春市普通高中20怡届高三质量监测(三〉数学试题卷(理科)耆生硕知： t 各试空分试聰砂答題卡,構分150井,石试时间】20分钟.2. 淬聴乩在斟SF 抬宼位据匕境写学检.班纽社名和准警证号.3. 希有答案必皱耳在务朗左上，打龙试总上无效. 4号试黠忆製需上殳界轉卡一一、谨择題:本鏈共M 小题，每小眩空井"吞每小赵给出的四个选项中、只商一项是符合题目毀滾的一 (t > 设集 fr.l^{x||x|<l), B = {x\x(x-3)<U}.刪 dURz(A)卜IQ U) (0.1)(C) (-13><D> (1,3)(2> 若埶数工=则|=|=[-i迅行运兀跑的摆辿們式仃纵横:老种瞄式(如图所示).如吟松位数时*輝阿拉时汁数样.把朴牛数旳的数码从圧到右抑列，«H 他栽码的序式胡徑覘* 釧町个仏百肯、力中t ［网做虫紬粘卜位.丁世・十万何用槌式展叮；•以此芟他例俎H66用S7并盂小祖肚二II 丄「刚翳71用券尊可劇为 2 占丄 Tl (B) HT X X I (C) i T± ■ (D> TIT 丄 1F_J5)榔ift 眈/(.¥)'Sin(2.i h 3)的用傑向f I T ft <J 个讯位曙f i!函数耳(灯二COS 2x 的 r 3 牌傑.測凸的ffl 诃门打；T S JT1 1,7 1?肚 l A )一 CID 二 fC>心—— 12J2 12 12 数学试独艸科〉詭1贞(搖4就)(B) 0CD)迈(3) 中国有个名旬“运磬桂犍Z 中.决胖『咐之外■・其中的“溥”療您赴描<*hf P 经)中记朝的算靜.古代川订为廉址行计 ■ KSA#几寸长的小竹棍摆机平血LI II 01 Illi hli T T nr >± X = ms痢数 /(x) = l + /+—为til 图所不程用Hi 图是为r 求出满足2"-^ >28抑扯小偶如、那么唯白框中的迥旬及巌后输岀的”悄分別是(A) n = n + l ^1 6(BJ M = “ + 2和 6 (CJ H = rt 4-1 S (D) n = n + 2^ml_«j(7} (T 本用间的W 摆放在恪架时同一栏上「變求屮、乙第本肝必坝摆做张幅攔• W* 丁两点书謝须相邻，则小岡的建旗方汎有I )种.(A) 24CB )36 «：1 48(8> 某几何縊的濒用如图所同；(单册cm ),则劇L 何体的体扔E 帕趴cm >是<A) 4^3 〔B 〉罗厉(C )2血 (D)語(9) LABlA^flC 的内的对边分别为，b * Ci 齐 2/fttwi /?兰fjgs ( + c ix>s A・ h-2 ・则△屛賦曲紂的城人Fi 圧<M I⑹ J3 <C)2(D )4(IQ) |2扫1边怏为2的竽追決形MC ・0为肚的中点・以』£>为析腿将4仏「折诫zm, ant 凡乩GDIB 点的球的泯面机为 (A) 2JT口昇 M(C) 4ffCD)Ml) 口甜悠曲线三-亠 "的左后柄忙建点仃劭为幷利巧•种儿和支卜一存症一nr rtv -\点尸淌址丹；丄怦；，何冷△丹•出的圍舉为L 则谀取曲冀的禺心率为(A)—【1口 — <C> 2 <Di 32 2(12)已知定又域为H 的甫H/QO 的用乂择ii 点亿I)，H 对*wR ，都有广⑴八2. /(1QU 313T -11) < 3- log 7；： | T 为CA )似心) &B )(-oo,0}U<OJ) (C) Y 」)3 (-LO>U(0J)G'r 试趣连t 理斟】苹2 1「人4 i ；CSC' -1A =2" ft'訂/畔上/二、填空砸：本SLh 4小題，旬小趣5分.“0（IJ）设实fltxj需足釣束策林・4一丫一$心0*聊二二” + 2y們最大值为x + V 5L °i456y口m涯Ift点圈井折町知=y』』x找性机羌. 为㈱确fjo.i）,畠/（盘）耳2,则实数“的联恒盘国虽lag, Jr J：>O P(15)（15）乜殛长为2的弄蝮白柳△#放屮…讨为斜边/R的屮0,点P为该平记内-动啟苦冈卜2・M（S4'PS + 4XPC*/*A7）的眾小值屋______________•三、解答麵：共期分解答应舄生女字说明、证明过程或演算歩骤一第17-21掘为必考建, 毎个试强考生都叠须作答.第2篁苗趣为选考题*考生根揣要求件答•<-）必考题：共60分.（17）Ct耶题満分俺和仪进列｛叫｝的4沖项和为乙+吐忆二用"，在正项巒说戳列｛和也爲-吋（1）求｛叫｝和仏讣的期琨企式;< JD址1打二务求麹列｛□｝的li沏顶和匚-（18）（本小题満分门分）树立和躅行41録朮育山就是金血阚山・甲排人与自然和躅共牛"'射理念越来拯怎入人心.已圧威了全代门応穆叮*造祖方41的肚性劭环一据此旅H站推! 11T关严卞奁文明翅设进展愴况的确杳.大凰的蟒计截霍憲明・雾与谓査舟中关注此问趣的约占闕需刀!从需与调査的人郡中册应出200人■笄谒这200人按年岭分第I 组P5J5），閉2 ^｛25,35）.谊J犯［3翼45）「第4疑［4畀55）・笫3姐［5黑祐“再到的频率分布口方團如團所示i< \）求左的th（ri）現在熨从年龄鞍小的第b 2t 3蛆中用务层抽样的方世抽胞门人・再从这门人中樂机抽取J人迥订何卷英許・求在f I组巴帔拯到［人的刑覆F.^3 坦褫扯到2人的魄率；（IU）苕从所有参与调査的人中址意选出J A-记关注"诜丈明”的人数为片I 求X的分布対与期卑.灶学试軀隹f；T i!h u：（K- 4 ）（旳〉（:本小题満分门分）在如图瞬示的儿忖悴屮，PA.1平面A BCD t E.F卧訓杲im AD, PH的中点・PA -AB = \（I）求证:EF#平面DO1；（II j求平面EFX7与平面/YX?所或锐二面角的金径值.rio> ｛本小题満分M分）托平删倒处坐栋承4 E油【関q的方用为"7口於虫・阀匚的方程^（i+ty+Z^b动岡卍与BIG内切切.< ［）诜动訂関心厂的比迹E的厅楼：（ID巴知理-2』）制02,（1｝为甲面内的两个宦点*过（14）点的氏战丿与轨迹E空于川』B两点、求0ii® APBQ的鈕大值.CD （本小趣滿分订労）已知隅議/"（工）冃”-4工*5-耳，（1〕若/'（刃在R上垦单魁递增喀咯求"的取遠范凤（It） ^g（T）-^/（X）.当Q1时.若竄斗）乜（对"童（冊卜眞中^! < ftf < Jj -求i吐Jf t + x2< 2m（-）進考降垄】0处请考生在22、工3题中任选一题柞答一如果务傩*则按所做的第一12计*<22）（本申題満分苗分）选^4-4:坐标系与参賞方程选讲在氏期坐标JfiQ巾.以坐悔亂虫为楼血，X轴正半输为极挡建宜极劭标氛*曲啦；："畑話— R「“如?"H ）求G弓匚；交点的極磋标；〔II）设点a在G」：・觅=亍囲・欢动点尸的极坐标方翟（23）（本小麓潘分4份）选捲1黛不等武逸讲己知函数f （工）=|纠*|2x*3| + m・meR.〔I ）当耐=—2时.求不等式/（i）^3的解能：£ ［［）讨卜滋F（F,0h都有一广（工）$工+二怔戍立+求椭的眾值施阴■耽学试啦養！呷孑门第斗旬｛扛4亟）长春市普通高中2018届高三质量监测(三)数学(理科)试题参考答案及评分标准一、选择题(本大题共 12小题，每小题5分，共60分) 1. C 2. A 3. C4. D5.C6. D7. A8. B9. B10. D11. B12. B简答与提示： 1. 【命题意图】本题考查集合的运算 .【试题解析】C A 二{x| -1 ：：： x :：: 1}, B 二{ x| 0 ：：： x ：： 3}, AUB =(一1,3).故选 C. 2. 【命题意图】本题考查复数 . 【试题解析】A z =i,|z|=1.故选A.3. 【命题意图】本题考查中华传统文化中的数学问题 . 【试题解析】C 由算筹含义.故选C.4.【命题意图】本题主要考查函数的图象及性质【试题解析】D 由函数是偶函数，排除 A ，C ,当x ・(0, —)，tanx .0.故选D.25.【命题意图】本题考查三角函数的相关知识 .【试题解析】C 由题意知，a = -一 • k 二，k • Z .故选C.126. 【命题意图】本题主要考查算法的相关知识 . 【试题解析】D 根据程序框图.故选 D7.【命题意图】本题考查计数原理的应用 . 【试题解析】A 由题意知A 2A 3A ； =24.故选A.8.【命题意图】本题主要考查三视图问题 .【试题解析】B 由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥,12. 【命题意图】本题是考查导数在研究函数单调性上的应用【试题解析】B 令F(x) = f(x)+2x ，有L(x)=f(x 七刃，所以F(x)在定义域内单调递增，由 f(1)=1，得 F® =f) 2 3 ，因为 f(log 2 |3x —1|) v3—log 出 |3x —1|9.V=4E 」2G 」°W .故选B.3 3【命题意图】本题主要考查解三角形的相关知识 .【试题解析】B 由题意知B=60，由余弦定理,2ac =a2c 一 4 — 2ac - 4，有 ac 空 4，故 S2 2ac = a c - 4，故1acsin B 乞、3 .故选 B.210.11.【命题意图】本题主要考查球的相关问题 .【试题解析】 D 折后的图形可放到一个长方体中，其体对角线长为故其外接球的半径为 5，其表面积为2【命题意图】本题考查双曲线的相关知识 1+1+3二、一 5，5二.故选D.【试题解析】B 由双曲线可知S PFF=m 2-1 = 3,m 2= 4，从而』.故选B.2等价于 f （log 2|3x -1|） 2log 2|3x -1|：：：3，令 t=log 2|3x -1|，有 f （t ） 2t ：：：3，则有t ：1，即 log 2 |3x-1| ：：：1,从而 0 ：：：| 3x _ 1| ：：： 2，解得 x ：： 1,且 x 严 0.故选 B. 二、填空题（本大题共 4小题，每小题5分，共20分）13. 9 14. 1.715. （_：：,_1]U[4, ：：） 16. 48-32、、2简答与提示： 13. 【命题意图】本题考查线性规划问题 . 【试题解析】由可行域可确定目标函数在（1,4）处取最大值9.14.【命题意图】本题考查回归方程的相关知识.【试题解析】将 x=3.2代入回归方程为y? = x ・1可得y -4.2，贝U 4m = 6.7 , 解得m= 1.675，即精确到0.1后m 的值约1.7. 15. 【命题意图】本题考查分段函数的相关知识1【试题解析】当X _0,（—）x_2,x _-1，当x 0 竄_4x_，故（：：〒]4lh ： .216. 【命题意图】本题考查平面向量的相关知识【试题解析】由题意可知其最小值为48 - 32-、2.三、解答题17. （本小题满分12分）【命题意图】本题考查数列的基本方法及数列求和2【试题解析】解：（1） Q S n = n 2 -n ，令n =1 , q =0a . =Sn -S n 」=2 n -1 , n — 2a n =2 n-1 又 Q 数列仏？为等比，b 2 二 a 2=2 , b 4 二 a 5=8—=q = 4，又各项均为正• q = 2 , - bn = 2°4b 2(2)由(1)得：c n 二 n-1 -2nT n =0 2-1 23-1 23 L n-12n=1 222 23L n-1 2n2T n 二 1 232 24Ln - 2 2n n-1 2n 1-T n =222324L 2n - n-1 2n 1T n = n -2 2n 14 18. （本小题满分12分）【命题意图】本小题主要考查学生对频率分布直方图的理解以及分布列的相关知识【试题解析】解：（1）由 10 0.010 0.015 a 0.030 0.010 =1，得 a = 0.035,（2）第1, 2, 3组的人数分别为20人，30人，70人，从第1, 2, 3组中用分层抽样的方法抽取12人，则第1 , 2, 3组抽取的人数分别为 2人，3人，7人.设从12人中随机抽取3人，第1组已被抽到1人为事件A ，第3组抽到2人为事件B ,汁""1尹 1-2n 1n 1=2-n-12-4C ；CP AB G 32P(A) " C2C1O - C |C ；0C 2则 P B|A 二21 50(3)从所有参与调查的人中任意选出4概率为P , X 的可能取值为0,54 3 1.P X =0 二咖--)3：5 125 1人，关注“生态文明”的 1，2, 3.14 1 4 2 12Px" 话 19. 2 4 2 4 1 48 343P X =2 二C 3(y (1-匸) ，P X =3 二C 3(匚) 5 5 125 5想象能力、推理论证能力和运算求解能力 • 【试题解析】答案：(1 )取PC 中点M ，连接DM ,MF64 125本题考查学生的空间1丁 M ,F 分别是 PC, PB 中点，二 MF 〃CB MF =^CB ，， 21E 为 DA 中点，ABCD 为矩形，.DE/CB’DE -^CB ，2.MF // DE, MF = DE ，.四边形DEFM 为平行四边形.EF // DM , EF -平面 PDC ， DM 二平面 PDC ，. EF // 平面 RDC(2PA_平面ABC ，且四边形 ABCD 是正方形，.AD, AB, AP 两两垂直, 原点，AP AB AD x, y, z A-xyz 则 P 1,0,0 , D 0,0,1,C 0,1,1, E(0,0,设平面EFC 法向量为m =(x, y,z)，1 1 1；),F(；,；,°) 2 2 21 1 11 1 EF 十，，)，FC =(, ,1)EF n = 0则一11，取 m = 3,-1,2y z = 0召2 T T则设平面 PDC 法向量为 n 2=(x,y,z)， PD= (-1,0,1)，PC =(-1,1,1)，即 \FC n =0PD n 2 PC n 2 4 T cos ： n 1,=0 -0_ x + z = 0 -* 「x + y + z = 0，取宀1。

吉林省长春市普通高中2018届高三质量监测三数学文试题

长春市普通高中2018届高三质量监测（三）数学文科一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有．．一项．．是符合题目要求的） 1. 设集合{|11}A x x =-<<，{|(3)0}B x x x =-<，则AB =李国波录A. (1,0)-B. (0,1)C. (1,3)-D. (1,3)2. 若复数11iz i+=-，则||z = A. 1B. 0C.12D. 3. 在等差数列{}n a 中，n S 为前n 项和，7825a a =+，则11S =A. 55B. 11C. 50D. 604. 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹.古代用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行计算，算筹的摆放形式有横纵两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推.例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为A.B.C.D.5. 将函数()sin(2)3f x x π=+的图象向右平移a 个单位得到函数()cos 2g x x =的图象,则a 的值可以为A.12π B. 512π C. 712π D. 1112π6. 函数2tan ()1x f x x x=++的部分图象大致为7. 如图所示的程序框图是为了求出满足2228nn ->的最小偶数n ,那么空白框中的语句及最后输出的n 值分别是A. 1n n =+和6B. 2n n =+和6C. 1n n =+和8D. 2n n =+和8A. 24B. 36C. 48D. 60 8. 在等比数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，若3239S a a +=，则其公比为A. 12B. 13C. 14D. 189. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是A.B.3C.D.310. 已知a ∈R ，设函数()ln f x ax x =-的图象在点(1,(1))f 处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为A. eB. 1C. 0D. 1-11. 已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕，将△ABC 折起，使90BDC ∠=，则过,,,A B C D 四点的球的表面积为A. 3πB. 4πC. 5πD. 6π12. 已知双曲线222211x y m m -=-的两个焦点分别为1F 和2F ，若其右支上存在一点P 满足12PF PF ⊥，使得12PF F ∆的面积为3，则该双曲线的离心率为2 D . 3二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13. 设实数,x y 满足约束条件0405y x y x y ⎧⎪-⎨⎪+⎩≤……，则2z x y =+的最大值为___________. 14. 已知x 、y 取值如下表：014561.33 5.67.4x y m m画散点图分析可知：y 与x 线性相关，且求得回归方程为1y x =+，则m 的值为_______.（精确到0.1）15.已知函数4,0()2,0xx x f x x +⎧=⎨>⎩≤，若()2f a …，则实数a 的取值范围是___________.16. 已知菱形ABCD 的一条对角线BD 长为2，点E 为AD 上一点且满足12AE ED =，点F 为CD 的中点，若2AD BE ⋅=-，则CD AF ⋅=________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.（本小题满分12分）已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2b =，且2c o s c o s c o s bB aC c A=+，.（1）求角B ；（2）求△ABC 面积的最大值. 18. （本小题满分12分）树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4 组[45,55)，第5组[55,65]，得到的频率分布直方图如图所示(1) 求a 的值(2)求出样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；（3）现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组中抽到2人的概率. 19. （本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，,E F 分别是线段,AD PB 的中点，1PA AB ==.（1）求证：EF ∥平面DCP ；（2）求F 到平面PDC 的距离. 20. （本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知圆1C 的方程为22(1)9x y -+=，圆2C 的方程为22(1)1x y ++=，动圆C 与圆1C 内切且与圆2C 外切.(1)求动圆圆心C 的轨迹E 的方程；(2)已知(2,0)P -与(2,0)Q 为平面内的两个定点，过(1,0)点的直线l 与轨迹E 交于A ,B 两点，求四边形APBQ 面积的最大值. 21. （本小题满分12分）已知函数()ln ,()f x x g x x m ==+.（1）若()()f x g x ≤恒成立，求实数m 的取值范围；（2）若12,x x 是函数()()()F x f x g x =-的两个零点，且12x x <，求证：121x x <. （二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程选讲.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C ：4cos (0)2πρθθ=<≤，2C ：cos 3ρθ=.（1）求1C 与2C 的交点的极坐标；（2）设点Q 在1C 上，23OQ QP =，求动点P 的极坐标方程. 23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲.已知函数()|2||23|,f x x x m m =+++∈R . (1)当2m =-时，求不等式()3f x ≤的解集；(2) 对于(,0)x ∀∈-∞，都有2()f x x x+…恒成立，求m 的取值范围.长春市普通高中2018届高三质量监测（三）数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. B【命题意图】本题考查集合的运算.【试题解析】B {|11},{|03},(0,1)A x x B x x A B =-<<=<<=.故选B.2. A 【命题意图】本题考查复数.【试题解析】A ,||1z i z ==.故选A. 3. A 【命题意图】本题考查等差数列的相关知识. .【试题解析】A 由111786116()1125,511552a a a a a S a +⋅=+====，. 故选A.4. C 【命题意图】本题考查中华传统文化中的数学问题.【试题解析】C 由算筹含义. 故选C. 5.A 【命题意图】本题考查三角函数的相关知识.【试题解析】A 由题意知，,12a k k ππ=+∈Z .故选A.6. D 【命题意图】本题主要考查函数的图象及性质.【试题解析】D 由函数是偶函数，排除A ，C ，当(0,)2x π∈，tan 0x >.故选D.7. D 【命题意图】本题主要考查算法的相关知识.【试题解析】D 根据程序框图.故选D.8. A 【命题意图】本题考查等比数列的相关知识.【试题解析】A 由题意可得218210,2q q q --==.故选A. 9. B 【命题意图】本题主要考查三视图问题.【试题解析】B 由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥，123V =⋅=故选B.10. B 【命题意图】本题主要考查导数的几何意义.【试题解析】B 由题意可知:(1)(1)l y a a x -=--，令0,1x y ==.故选B. 11. C 【命题意图】本题主要考查球的相关问题.【试题解析】C 折后的图形可放到一个长方体中，其体对角线长为，5π.故选C. 12. B 【命题意图】本题考查双曲线的相关知识.【试题解析】B 由双曲线可知122213,4PF F S m m ∆=-==，从而e =故选B. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 9【命题意图】本题考查线性规划问题.【试题解析】由可行域可确定目标函数在(1,4)处取最大值9. 14. 1.7【命题意图】本题考查回归方程的相关知识.【试题解析】将 3.2x =代入回归方程为ˆ1yx =+可得 4.2y =，则4 6.7m =，解得 1.675m =，即精确到0.1后m 的值约1.7.15. [2,0][1,)-+∞【命题意图】本题考查分段函数的相关知识.【试题解析】当0,42,20x x x ≤+≥-≤≤，当0,22,1xx x >≥≥，故[2,0][1,)-+∞.16. 7-【命题意图】本题考查平面向量的相关知识.【试题解析】由题意可知2||6,cos 3AD A ==，故7CD AF ⋅=-. 三、解答题17.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查解三角形的相关知识. 【试题解析】解：（1）由2cos cos cos b B a C c A =+可得2sin cos sin cos sin cos sin B B A C C A B =+=故1cos ,23B B π==（2）由2,3b B π==，由余弦定理可得224ac a c =+-，由基本不等式可得22424,4ac a c ac ac =+-≥-≤，当且仅当a c =时，“=”成立从而11sin 4222ABC S ac B ∆=≤⨯⨯=，故ABC △18.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对频率分布直方图的理解以及分布列的相关知识. 【试题解析】解：（1）由()100.0100.0150.0300.0101a ⨯++++=，得0.035a =.（2）平均数为；200.1300.15400.35500.3600.141.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=岁；设中位数为x ，则()100.010100.015350.0350.5,x ⨯+⨯+-⨯=42.1x ∴≈岁.（3）第1,2,3组的人数分别为20人,30人，从第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1,2组抽取的人数分别为2人,3人，分别记为12123,,,,a a b b b .设从5人中随机抽取3人，为121122123112(,,),(,,),(,,),(,,),a a b a a b a a b a b b ，113123212213223123(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),a b b a b b a b b a b b a b b b b b 共10个基本事件，从而第2组中抽到2人的概率63=105. 19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【试题解析】答案：（1）取PC 中点M ，连接MF DM ,F M , 分别是PB PC ,中点, CB MF CB MF 21,//=∴, E 为DA 中点，ABCD 为正方形，CB DE CB DE 21,//=∴,DE MF DE MF =∴,//,∴四边形DEFM 为平行四边形⊄∴EF DM EF ,//平面PDC ，⊂DM 平面PDC ，//EF ∴平面RDC（2）//EF 平面PDC ,F ∴到平面PDC 的距离等于E 到平面PDC 的距离,⊥PA 平面ABCD ，DA PA ⊥∴, 1==AD PA ,在PAD Rt ∆中2=DP ， ⊥PA 平面ABCD ，CB PA ⊥∴, ⊥CB AB , A AB PA = , ⊥∴CB 平面PAB ，PB CB ⊥∴,则PDC PC DC PD PC ∆∴=+=,,3222 为直角三角形，222121=⨯⨯=∴∆PDC S ∴PD E C PD C E V V --=,设E 到平面PDC 的距离为h ，则12121131212131⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅h 42=∴h ∴ F 到平面PDC 的距离42.20.(本小题满分12分)【命题意图】本小题考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.【试题解析】解：（1）设动圆C 的半径为r ，由题意知12||3,||1CC r CC r =-=+ 从而有12||||4CC CC +=，故轨迹E 为以12,C C 为焦点，长轴长为4的椭圆，并去除点(2,0)-，从而轨迹E 的方程为221(2)43x y x +=≠-. （2）设l 的方程为1x my =+，联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得22(34)690m y mx ++-=，设点1122(,),(,)A x y B x y ，有12122269,,3434m y y y y m m --+==++有2212(1)||34m AB m +==+，点(2,0)P -到直线l(2,0)Q 到直线l从而四边形APBQ的面积22112(1)234m S m +=⨯=+令1t t =≥，有224241313t S t t t==++，由函数13y t t =+在[1,)+∞单调递增有134t t+≥，故2242461313t S t t t==≤++，四边形APBQ 面积的最大值为6. 21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】解：（1）令()()()ln (0)F x f x g x x x m x =-=-->，有11()1xF x x x-'=-=，当1x >时，()0F x '<，当01x <<时，()0F x '>，所以()F x 在(1,)+∞上单调递减，在(0,1)上单调递增，()F x 在1x =处取得最大值，为1m --，若()()f x g x ≤恒成立，则10m --≤即1m ≥-.（2）由（1）可知，若函数()()()F x f x g x =- 有两个零点，则1m <-，1201x x <<< 要证121x x <，只需证211x x <，由于()F x 在(1,)+∞上单调递减，从而只需证211()()F x F x >，由12()()0F x F x ==，11ln m x x =-，即证1111111111lnln ln 0m x x x x x x --=-+-< 令1()2ln (01)h x x x x x =-+-<<，2221221()10x x h x x x x-+'=+-=>，有()h x 在(0,1)上单调递增，()(1)0h x h <=，所以121x x <. 22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】（1）联立⎩⎨⎧==θρθρcos 43cos ，23cos ±=θ，20πθ<≤ ，6πθ=， 32=ρ交点坐标⎪⎭⎫ ⎝⎛6,32π （2）设()θρ,P ,()00,θρQ 且.cos 400θρ=.⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈2,00πθ，由已知,32=得 ⎪⎩⎪⎨⎧==θθρρ0052θρcos 452=∴，点P 的极坐标方程为⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈=2,0,cos 10πθθρ 23.(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法等内容. 本小题重点考查化归与转化思想.【试题解析】（1）当m =-2时，()()4103223-2=1023452x x f x x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪⎛⎫=++-⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫--≤-⎪ ⎪⎝⎭⎩＜＜当4130x x +≤⎧⎨≥⎩解得12x ≤≤0；当30132x -≤＜＜，恒成立当45332x x --≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩解得32x ≤≤--2，此不等式的解集为1-22⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ()()43+03223=3023432x m x f x x x m m x x m x ⎧⎪+≥⎪⎪⎛⎫=++++-⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫--+≤-⎪ ⎪⎝⎭⎩（2）＜＜当x ∈(- ∞，0)时()3302223=3432m x f x x x m x m x ⎧⎛⎫+- ⎪⎪⎪⎝⎭=+++⎨⎛⎫⎪--+≤- ⎪⎪⎝⎭⎩＜＜当302x -＜＜时，()=3+f x m ，当()3=432x f x x m ≤---+，单调递减，∴f (x )的最小值为3+m设()()20g x x x x =+<当20,x x x ->-+≥-2=x x --时，取等号2x x ∴+≤即x g(x)取得最大值要使()2f x x x ≥+恒成立，只需3m +≥-m ≥-。

2018年吉林省长春市高考数学三模试卷(文科)含解析

2018年吉林省长春市高考数学三模试卷(文科)含解析2018年吉林省长春市高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分。

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）1.已知复数z=1+2i，则z²+4z+3的值为（）。

A．5 B．5+4i C．-3 D．3-4i2.已知集合A={x|x²-2x-3<0}，B={x||x|<2}，则A∩B=（）。

A．{x|-2<x<2} B．{x|-2<x<3} C．{x|-1<x<3} D．{x|-1<x<2}3.设a，b均为实数，则“a>|b|”是“a³>|b|³”的（）。

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.直线x-3y+3=0与圆(x-1)²+(y-3)²=10相交所得弦长为（）。

A．√5 B．2√5 C．4 D．35.下列命题中错误的是（）。

A．如果平面α外的直线a不平行于平面α，则内不存在与a平行的直线。

B．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么直线l⊥平面γ。

C．如果平面α⊥平面β，则平面α内所有直线都垂直于平面β。

D．一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交。

6.在平面内的动点（x，y）满足不等式|x+2|+|y-1|≤5，则z=2x+y的最大值是（）。

A．-4 B．4 C．-2 D．27.某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）。

A．4 B．8 C．16 D．328.某高中体育小组共有男生24人，其50m跑成绩记作ai（i=1，2，…，24），若成绩小于6.8s为达标，则如图所示的程序框图的功能是（）。

A．求24名男生的达标率 B．求24名男生的不达标率C．求24名男生的达标人数 D．求24名男生的不达标人数9.等比数列{an}中各项均为正数，Sn是其前n项和，且满足2S3=8a1+3a2，a4=16，则S4=（）。

吉林省长春市普通高中2018届高三质量监测(三)数学(文)试卷(含答案)

接球的半径为 5 ，其表面积为 5 .故选 C. 2
12. B【命题意图】本题考查双曲线的相关知识 .
【试题解析】 B 由双曲线可知 S PF1F2 m2 1 3,m2 4 ，从而 e
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13. 9 【命题意图】本题考查线性规划问题 . 【试题解析】由可行域可确定目标函数在 (1,4) 处取最大值 9 .
(0, ) ， tan x 2
0 .故选 D.
8. A【命题意图】本题考查等比数列的相关知识 .
【试题解析】 A
由题意可得 8q2
2q 1
0,q
1
.故选 A.
2
9. B【命题意图】本题主要考查三视图问题 .
【试题解析】 B 由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥，
1
10
V 43 2 3
3 .故选 B.
(0,1)
C.
( 1,3) D.
(1,3)
2. 若复数 z 1 i ，则 | z | 1i
A. 1
B. 0
C.
1
D.
2
2
3. 在等差数列 { an} 中， Sn 为前 n 项和， 2a7 a8 5 ，则 S11
A. 55 B. 11
C.
50
D.
60
4. 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外” ，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹 . 古代用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行计算，算筹的摆放形式有横纵两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表

吉林省长春市普通高中2018届高三质量监测(三)数学(理)试卷(含答案)

长春市普通高中2018届高三质量监测（三）数学理科一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的）1. 设集合{|||1}A x x =<，{|(3)0}B x x x =-<，则A B =UA. (1,0)-B. (0,1)C. (1,3)-D. (1,3) 2. 若复数11iz i+=-，则||z = A. 1B. 0C.12D. 23.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹.古代用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行计算，算筹的摆放形式有横纵两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推.例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为A.B.C.D.4. 函数2tan ()1xf x x x=++的部分图象大致为5. 将函数()sin(2)3f x x π=+的图象向右平移a 个单位得到函数()cos 2g x x =的图象,则a 的值可以为中国古代的算筹数码 1 2 3 4 5 6 7 8 9纵式横式A.12π B. 512π C. 1112π D. 1712π 6.如图所示的程序框图是为了求出满足2228n n ->的最小偶数n ,那么空白框中的语句及最后输出的n 值分别是A. 和B. 2n n =+和6C. 1n n =+和8D. 2n n =+和8 7. 6本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（）种A. 24B. 36C. 48D. 60 8. cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是A. C. 9. 已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，2b =，则△ABC 面积的最大值是A. 1 C. 2 D. 410.已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕，将△ABC 折成直二面角，则过,,,A B C D 四点的球的表面积为A. 2πB. 3πC. 4πD. 5π11. 已知双曲线222211x y m m -=-的左右两个焦点分别为1F 和2F ，若其右支上存在一点P 满足12PF PF ⊥，使得12PF F ∆的面积为3，则该双曲线的离心率为B. 2C. 2 D . 3 12. 已知定义域为R 的函数()f x 的图象经过点(1,1)，且对x ∀∈R ，都有()2f x '>-，则不等式2(log |31|)3|31|x x f -<--的解集为A. (0,)+∞B. (,0)(0,1)-∞UC. (,1)-∞D. (1,0)(0,3)-U二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13. 设实数,x y 满足约束条件0405y x y x y ⎧⎪-⎨⎪+⎩≤……，则2z x y =+的最大值为___________. 14. 已知x 、y 取值如下表：14561.33 5.67.4xy m m画散点图分析可知：y 与x 线性相关，且求得回归方程为$1y x =+，则m 的值为_______.（精确到0.1）15.已知函数21(),0()2log ,0xx f x x x ⎧⎪=⎨⎪>⎩≤，若()2f a …，则实数a 的取值范围是___________.16. 已知腰长为2的等腰直角△ABC 中，M 为斜边AB 的中点，点P 为该平面内一动点，若||2PC =u u u r ，则(4)()PA PB PC PM ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u u r的最小值 ________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n n =-，在正项等比数列{}n b 中，2245,b a b a ==.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .18. （本小题满分12分）树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4 组[45,55)，第5组[55,65]，得到的频率分布直方图如图所示(1) 求a 的值(2)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取12人，再从这12人中随机抽取3人进行问卷调查，求在第1组已被抽到1人的前提下，第3组被抽到2人的概率；（3）若从所有参与调查的人中任意选出3人，记关注“生态文明”的人数为X ，求X 的分布列与期望.19.（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，,E F 分别是线段,AD PB （1）求证：EF ∥平面DCP ；（2）求平面EFC 与平面PDC 所成锐二面角的余弦值. 20. （本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知圆1C 的方程为22(1)9x y -+=，圆2C 的方程为22(1)1x y ++=，动圆C 与圆1C 内切且与圆2C 外切. (1)求动圆圆心C 的轨迹E 的方程；(2)已知(2,0)P -与(2,0)Q 为平面内的两个定点，过(1,0)点的直线l 与轨迹E 交于A ,B 两点，求四边形APBQ 面积的最大值. 21. （本小题满分12分）已知函数2()45x af x x x e=-+-.（1）若()f x 在R 上是单调递增函数，求a 的取值范围；（2）设g()()xx e f x =，当1m …时，若12g()g()2g()x x m +=，其中12x m x <<，求证：122x x m +<.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程选讲.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C ：4cos (0)2πρθθ=<≤，2C ：cos 3ρθ=.（1）求1C 与2C 的交点的极坐标；（2）设点Q 在1C 上，23OQ QP =u u u r u u u r，求动点P 的极坐标方程.23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲.已知函数()|2||23|,f x x x m m =+++∈R . (1)当2m =-时，求不等式()3f x ≤的解集； (2) 对于(,0)x ∀∈-∞，都有2()f x x x+…恒成立，求m 的取值范围.长春市普通高中2018届高三质量监测（三）数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. C 【命题意图】本题考查集合的运算. 【试题解析】C {|11},{|03},(1,3)A x x B x x A B =-<<=<<=-U .故选C. 2. A 【命题意图】本题考查复数.【试题解析】A ,||1z i z ==.故选A.3. C 【命题意图】本题考查中华传统文化中的数学问题.【试题解析】C 由算筹含义. 故选C.4. D 【命题意图】本题主要考查函数的图象及性质.【试题解析】D 由函数是偶函数，排除A ，C ，当(0,)2x π∈，tan 0x >.故选D.5.C 【命题意图】本题考查三角函数的相关知识.【试题解析】C 由题意知，,12a k k ππ=-+∈Z .故选C.6. D 【命题意图】本题主要考查算法的相关知识.【试题解析】D 根据程序框图.故选 D 7. A 【命题意图】本题考查计数原理的应用.【试题解析】A 由题意知23223224A A A =.故选A. 8. B 【命题意图】本题主要考查三视图问题.【试题解析】B 由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥，123V =⋅=故选B.9. B 【命题意图】本题主要考查解三角形的相关知识.【试题解析】B 由题意知60B =︒，由余弦定理，224ac a c =+-，故22424ac a c ac =+-≥-，有4ac ≤，故1sin 2ABC S ac B ∆=≤故选B. 10. D 【命题意图】本题主要考查球的相关问题.【试题解析】D ，故其外接球的半径为2，其表面积为5π.故选D. 11. B 【命题意图】本题考查双曲线的相关知识.【试题解析】B 由双曲线可知122213,4PF F S m m ∆=-==，从而2e =.故选B. 12. B 【命题意图】本题是考查导数在研究函数单调性上的应用.【试题解析】B 令()()2=+F x f x x ，有()()20''=+>F x f x ，所以()F x 在定义域内单调递增，由1)1(=f ，得(1)(1)23=+=F f ，因为2(log |31|)3|31|-<--x x f 等价于22(log |31|)2log |31|3-+-<x x f ，令2log |31|=-x t ，有()23+<f t t ，则有1<t ，即2log |31|1-<x ，从而0|31|2x<-<，解得1,<x 且0≠x . 故选B.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 9【命题意图】本题考查线性规划问题.【试题解析】由可行域可确定目标函数在(1,4)处取最大值9. 14. 1.7【命题意图】本题考查回归方程的相关知识.【试题解析】将 3.2x =代入回归方程为ˆ1yx =+可得 4.2y =，则4 6.7m =，解得 1.675m =，即精确到0.1后m 的值约1.7.15. (,1][4,)-∞-+∞U 【命题意图】本题考查分段函数的相关知识.【试题解析】当10,()2,12x x x ≤≥≤-，当20,log 2,4x x x >≥≥，故(,1][4,)-∞-+∞U .16. 48-本题考查平面向量的相关知识.【试题解析】由题意可知其最小值为48-三、解答题17.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查数列的基本方法及数列求和. 【试题解析】解：（1）Q 2n S n n =-，∴令1n =，10a =()121n n n a S S n -=-=-，()2n ≥∴()21n a n =- 又Q 数列{}n b 为等比，222b a ==，458b a ==∴2424b q b ==，又各项均为正∴2q =，∴12n n b -=（2）由（1）得：()12nn c n =-⋅∴()()()23021231212n n T n =+-⋅+-⋅++-⋅L ()23122212n n =⋅+⋅++-⋅L()()341212222212n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+-⋅L()2341222212n n n T n +-=++++--⋅L()()2112121212n n n -+-=--⋅-()112124n n n ++=--⋅-∴()1224n n T n +=-⋅+18.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对频率分布直方图的理解以及分布列的相关知识.【试题解析】解：（1）由()100.0100.0150.0300.0101a ⨯++++=，得0.035a =，（2）第1，2，3组的人数分别为20人，30人，70人，从第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取12人，则第1，2，3组抽取的人数分别为2人，3人，7人.设从12人中随机抽取3人，第1组已被抽到1人为事件A ，第3组抽到2人为事件B ，则()()1227312122121021031221|.()50C C P AB C P B A C C C C P A C ===+ （3）从所有参与调查的人中任意选出1人，关注“生态文明”的概率为4,5P =X 的可能取值为0，1，2，3. ()033410(1)5125P X C ∴==-=，()112344121()(1)55125P X C ==-=()221344482()(1)55125P X C ==-=，()3334643()5125P X C ===~(3,)5X B Q ，()3.55E X np ==⨯=19. (本小题满分12分) 【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【试题解析】答案：（1）取PC 中点M ，连接MF DM , F M ,Θ分别是PB PC ,中点， CB MF CB MF 21,//=∴，E Θ为DA 中点，ABCD 为矩形，CB DE CB DE 21,//=∴，DE MF DE MF =∴,//，∴四边形DEFM 为平行四边形⊄∴EF DM EF Θ,//平面PDC ，⊂DM 平面PDC ，//EF ∴平面RDC（2）⊥PA Θ平面ABC ，且四边形ABCD 是正方形，AP AB AD ,,∴两两垂直，以A 为原点，AP ，AB ，AD 所在直线为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系xyz A - 则(),0,0,1P ()(),1,1,0,1,0,0C D 111(0,0,),(,,0)222E F设平面EFC 法向量为1(,,)n x y z =u r ，111(,,)222EF =-u u u r ，11(,,1)22FC =-u u u r则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011n n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-+021210z y x z y x ，取()2,1,31-=n 则设平面PDC 法向量为2(,,)n x y z =u u r ，(1,0,1)PD =-u u u r ，(1,1,1)PC =-u u u r则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0022n n PD ，即⎩⎨⎧=++-=+-00z y x z x ，取()1,0,12=n121212311021cos ,||||n n n n n n ⨯+-⨯+⨯⋅<>===⋅u r u u ru r u u r u r u u r∴平面EFC 与平面PDC 所成锐二面角的余弦值为1475. 20.(本小题满分12分)【命题意图】本小题考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力. 【试题解析】解：(1)设动圆C 的半径为r ，由题意知12||3,||1CC r CC r =-=+从而有12||||4CC CC +=，故轨迹E 为以12,C C 为焦点，长轴长为4的椭圆，并去除点(2,0)-，从而轨迹E 的方程为221(2)43x y x +=≠-. （2）设l 的方程为1x my =+，联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得22(34)690m y mx ++-=，设点1122(,),(,)A x y B x y ，有12122269,,3434m y y y y m m --+==++则2212(1)||34m AB m +==+，点(2,0)P -到直线l(2,0)Q 到直线l从而四边形APBQ的面积22112(1)234m S m +=⨯=+ 令1t t =≥，有224241313t S t t t==++，函数13y t t =+在[1,)+∞上单调递增，有134t t+≥，故2242461313t S t t t==≤++，即四边形APBQ 面积的最大值为6. 21.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力. 【试题解析】解：（1）Q ()f x 的定义域为x R ∈且单调递增，∴在x R ∈上，()240xa f x x e'=-+≥恒成立，即：(42)xa x e ≥- ∴设()(42)x h x x e =- x R ∈ ，∴()(22)xh x x e '=-，∴当(,1)x ∈-∞时()0h x '>，∴()h x 在(,1)x ∈-∞上为增函数， ∴当[1,)x ∈+∞时()0h x '≤，∴()h x 在[1,)x ∈+∞上为减函数，∴max ()(1)2h x h e == Q max [(42)]xa x e ≥-，∴2a e ≥，即[2,)a e ∈+∞ .（2）Q ()()()245xxg x e f x x x e a ==-+-Q ()()()122g x g x g m += [)1,m ∈+∞，∴()()()12222112245452452x x m x x e a x x e a m m e a -+-+-+-=-+-∴()()()1222211224545245x x mxx e x x e m m e -++-+=-+∴设()()245xx x x e ϕ=-+ x R ∈，则()()()122x x m ϕϕϕ+=，∴()()210x x x e ϕ'=-≥ ∴()x ϕ在x R ∈上递增且()10ϕ'=令()1,x m ∈-∞，()2,x m ∈+∞∴设()()()F x m x m x ϕϕ=++-，()0,x ∈+∞ ∴()()()2211m x m x F x m x e m x e +-'=+----Q 0x > ∴0m x m x e e +->>，()()()22112220m x m x m x +----=-≥ ∴()0F x '≥，()F x 在()0,x ∈+∞上递增， ∴()()()02F x F m ϕ>=，∴()()()2m x m x m ϕϕϕ++->，()0,x ∈+∞，令1x m x =-∴()()()112m m x m m x m ϕϕϕ+-+-+>即：()()()1122m x x m ϕϕϕ-+>又Q12()()2()x x m ϕϕϕ+=，∴()()()()12222m x m x m ϕϕϕϕ-+->即：()()122m x x ϕϕ->Q 1x m <，2x m >∴12m x m ->， Q ()x ϕ在x R ∈上递增∴122m x x ->，即：122x x m +<，得证.22.(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】（1）联立⎩⎨⎧==θρθρcos 43cos ，23cos ±=θ，20πθ<≤Θ，6πθ=， 32=ρ交点坐标)6π.（2）设()θρ,P ，()00,θρQ 且.cos 400θρ=0[0,)2πθ∈，由已知,32=得⎪⎩⎪⎨⎧==θθρρ0052θρcos 452=∴，点P 的极坐标方程为10cos ,[0,)2πρθθ=∈.23.(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法等内容. 本小题重点考查化归与转化思想.【试题解析】（1）当2m =-时，()41(0)32232=1(0)2345()2x x f x x x x x x ⎧+≥⎪⎪⎪=++--⎨⎪⎪--≤-⎪⎩＜＜当4130x x +≤⎧⎨≥⎩解得12x ≤≤0；当30132x -≤＜＜，恒成立.当45332x x --≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩解得322x -≤≤-，此不等式的解集为1[2]2-，.()43+(0)3223=3(0)2343()2x m x f x x x m m x x m x ⎧+≥⎪⎪⎪=++++-⎨⎪⎪--+≤-⎪⎩（2）＜＜当(,0)x ∈-∞时，()33(0)2223=343()2m x f x x x m x m x ⎧+-⎪⎪=+++⎨⎪--+≤-⎪⎩＜＜当302x -＜＜时，()=3+f x m ，当()3=432x f x x m ≤---+，单调递减，∴f (x )的最小值为3+m ，设()()20g x x x x=+<当20,x x x ->-+≥-，当且仅当2=x x --时，取等号2x x∴+≤即x g(x)取得最大值.要使()2f x x x≥+恒成立，只需3m +≥-m ≥-.。

吉林省长春市2018届高三第三次质量检测理科数学试题

吉林省长春市2018届高三第三次质量检测理科数学试题一、单选题1．设集合A={x| |x|<1}，B={x|x(x−3)<0}，则A∪B=A. (−1,0)B. (0,1)C. (−1,3)D. (1,3)2．若复数z=1+i1−i ，则|z|=A. 1B. 0C. 12D. 23．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为（）A. B. C. D.4．函数f(x)=1+x2+tan xx的部分图象大致为（）A. B. C. D.5．将函数f(x)=sin(2x+π3) 的图象向右平移a个单位得到函数g(x)=cos2x的图象,则a的值可以为A. π12B. 5π12C. 11π12D. 17π126．如图所示的程序框图是为了求出满足2n−n2>28的最小偶数n，那么在▭空白框中填入及最后输出的n 值分别是（）A. n=n+1和6B. n=n+2和6C. n=n+1和8D. n=n+2和87．6本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（）种A. 24B. 36C. 48D. 608．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是A. 43B. 1033C. 23 D. 8339．已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若2b cos B=a cos C+c cos A，b=2，则△ABC面积的最大值是A. 1B. 3C. 2D. 410．已知边长为2的等边三角形ABC，D为BC的中点，以AD为折痕，将△ABC折成直二面角，则过A,B,C,D四点的球的表面积为A. 2πB. 3πC. 4πD. 5π11．已知焦点在x轴上的双曲线x2m −y2m−1=1的左右两个焦点分别为F1和F2，其右支上存在一点P满足PF1⊥PF2，且ΔPF1F2的面积为3，则该双曲线的离心率为（）A. 52B. 72C. 2D. 312．已知定义域为R的函数f(x)的图象经过点(1,1)，且对∀x∈R，都有f′(x)>−2，则不等式f(log2|3x−1|)<3−log2|3x−1|的解集为A. (0,+∞)B. (−∞,0)∪(0,1)C. (−∞,1)D. (−1,0)∪(0,3)二、填空题13．设实数x,y满足约束条件y⩾04x−y⩾0x+y≤5，则z=x+2y的最大值为___________.14．已知x、y取值如下表：x01456y 1.3m3m 5.67.4画散点图分析可知：y与x线性相关，且求得回归方程为y=x+1，则m的值为_______.（精确到0.1）15．已知函数f(x)=(12)x,x≤0log2x,x>0，若f(a)⩾2，则实数a的取值范围是___________.16．已知腰长为2的等腰直角△ABC中，M为斜边AB的中点，点P为该平面内一动点，若|PC|=2，则(PA⋅PB+4)(PC⋅PM)的最小值________.三、解答题17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2−n，在正项等比数列{b n}中，b2=a2,b4=a5.（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n=a n⋅b n，求数列{c n}的前n项和T n.18．树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4 组[45,55)，第5组[55,65]，得到的频率分布直方图如图所示(1) 求a的值(2)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取12人，再从这12人中随机抽取3人进行问卷调查，求在第1组已被抽到1人的前提下，第3组被抽到2人的概率；（3）若从所有参与调查的人中任意选出3人，记关注“生态文明”的人数为X，求X的分布列与期望. 19．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E,F分别是线段AD,PB的中点，PA=AB=1.（1）求证：EF∥平面DCP；（2）求平面EFC与平面PDC所成锐二面角的余弦值.20．在平面直角坐标系中，已知圆C1的方程为(x−1)2+y2=9，圆C2的方程为(x+1)2+y2=1，动圆C与圆C1内切且与圆C2外切.(1)求动圆圆心C的轨迹E的方程；(2)已知P(−2,0)与Q(2,0)为平面内的两个定点，过(1,0)点的直线l与轨迹E交于A,B两点，求四边形APBQ面积的最大值..21．已知函数f(x)=x2−4x+5−ae（1）若f(x)在R上是单调递增函数，求a的取值范围；（2）设g(x)=e x f(x)，当m⩾1时，若g(x1)+g(x2)=2g(m)，其中x1<m<x2，求证：x1+x2<2m. 22．选修4—4：坐标系与参数方程选讲.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1：ρ=4cosθ(0≤θ<π)，C2：ρcosθ=3.2（1）求C1与C2的交点的极坐标；QP，求动点P的极坐标方程.（2）设点Q在C1上，OQ=2323．选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)=|2x|+|2x+3|+m，m∈R．（1）当m=−2时，求不等式f(x)≤3的解集；恒成立，求实数m的取值范围．（2）对于∀x∈(−∞,0)都有f(x)≥x+2x吉林省长春市2018届高三第三次质量检测理科数学试题参考答案1．C【解析】由题意得：A=−1,1，B=0,3∴A∪B=(−1,3)故选：C2．A【解析】z=1+i1−i =1+i21−i1+i=2i2=i，∴|z|=1故选：A3．A【解析】由题意各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，则8771用算筹可表示为，故选：C．4．D【解析】由函数是偶函数，排除A，C，当x∈(0,π2)，tan x>0.排除B故选：D.点睛：识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．5．C【解析】将函数f(x)=sin(2x+π3) 的图象向右平移a个单位得到函数g x=sin2x−a+π3=sin2x+π3−2a=cos2x，得到：a=−π12+kπ,k∈Z.故选：C.6．D【解析】空白框中n依次加2可保证其为偶数，排除A，Cn=6时，26−62=64−36=26≤28，n=8时，2128−82=256−64>28所以D选项满足要求．故选：D．7．A【解析】第一步：甲、乙两本书必须摆放在两端，有A22种排法；第二步：丙、丁两本书必须相邻视为整体与其它两本共三本，有A22A33种排法；∴A22A33A22=24故选：A.8．B【解析】由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥，V=43−13⋅2⋅3=1033.故选：B.9．B【解析】由题意知B=60°，由余弦定理，ac=a2+c2−4，故ac=a2+c2−4≥2ac−4，有ac≤4，故SΔABC=12ac sin B≤3.故选：B10．D【解析】折后的图形可放到一个长方体中，其体对角线长为1+1+3=5，故其外接球的半径为52，其表面积为5π.故选：D.点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．11．B【解析】由双曲线可知SΔPF1F2=b2tanθ=m2−1=3,m2=4，从而e=72.故选：B.12．B【解析】令F(x)=f(x)+2x，有F′(x)=f′(x)+2>0，所以F(x)在定义域内单调递增，由f(1)=1，得F(1)=f(1)+2=3，因为f(log2|3x−1|)<3−log2|3x−1|等价于f(log2|3x−1|)+2log2|3x−1|<3，令t=log2|3x−1|，有f(t)+2t<3，则有t<1，即log2|3x−1|<1，从而0<|3x−1|<2，解得x<1,且x≠0.故选：B.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如f′x<f x构造g x=f xe x，f′x+f x<0构造g x=e x f x，xf′x<f x构造g x=f xx，xf′x+f x<0构造g x=xf x等13．9【解析】作出可行域，如图：由可行域可确定目标函数在(1,4)处取最大值9故答案为：9点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.14．1.7【解析】将x=3.2代入回归方程为y=x+1可得y=4.2，则4m=6.7，解得m=1.675，即精确到0.1后m的值约1.7.故答案为：1.715．(−∞,−1]∪[4,+∞))x≥2,x≤−1，当x>0,log2x≥2,x≥4，故(−∞,−1]∪[4,+∞).【解析】当x≤0,(12故答案为：(−∞,−1]∪[4,+∞)16．48−322【解析】如图建立平面直角坐标系，P2cosθ，2sinθ ，A −2，−2，B2,−2,M0,−2∴ PA⋅PB+4 PC⋅PM=2cosθ+2，2sinθ+2∙2cosθ−2，2sinθ+2+42cosθ，2sinθ ∙2cosθ，2sinθ+2=16sin2θ+322sinθ+32，当sinθ=−1时，得到最小值为48−322故答案为：48−3217．(1)a n=2n−1，b n=2n−1 (2)T n=n−2⋅2n+1+4【解析】试题分析：（1）由S n=n2−n求出a n}的通项公式，由等比数列的基本公式得到{b n}的通项公式；（2）c n=n−1⋅2n，利用错位相减法求出数列{c n}的前n项和T n.试题解析：（1）∵S n=n2−n，∴令n=1，a1=0a n=S n−S n−1=2n−1，n≥2∴a n=2n−1又∵数列b n为等比，b2=a2=2，b4=a5=8∴b4b2=q2=4，又各项均为正∴q=2，∴b n=2n−1（2）由（1）得：c n=n−1⋅2n∴T n=0+2−1⋅22+3−1⋅23+⋯+n−1⋅2n=1⋅22+2⋅23+⋯+n−1⋅2n 2T n=1⋅23+2⋅24+⋯+n−2⋅2n+n−1⋅2n+1，−T n=22+23+24+⋯+2n−n−1⋅2n+1，=221−2n−1−n−1⋅2n+1=2n+1−n−1⋅2n+1−4∴T n=n−2⋅2n+1+4点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n－qS n”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.18．(1)a=0.035 (2)2150（3）E X=125.【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图求出a的值；（2）设从12人中随机抽取3人，第1组已被抽到1人为事件A，第3组抽到2人为事件B，由条件概率公式得到所求概率；（3）X的可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率值，从而得到X的分布列与期望.试题解析：（1）由10×0.010+0.015+a+0.030+0.010=1，得a=0.035，（2）第1，2，3组的人数分别为20人，30人，70人，从第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取12人，则第1，2，3组抽取的人数分别为2人，3人，7人.设从12人中随机抽取3人，第1组已被抽到1人为事件A，第3组抽到2人为事件B，则P B|A=P ABP(A)= C21C72C123C21C102+C22C101C123=2150.（3）从所有参与调查的人中任意选出1人，关注“生态文明”的概率为P=45,X的可能取值为0，1，2，3.∴P X=0=C30(1−45)3=1125，P X=1=C31(45)1(1−45)2=12125P X=2=C32(45)2(1−45)1=48125，P X=3=C33(45)3=64125所以X的分布列为∵X~B(3,45)，E X=np=3×45=125.19．(1)见解析(2)5714【解析】试题分析：（1）取PC中点M，连接DM,MF，易得四边形DEFM为平行四边形，从而EF//DM,所以EF∥平面DCP；（2）PA⊥平面ABC，且四边形ABCD是正方形，∴AD,AB,AP两两垂直，以A为原点，AP，AB，AD所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系A−xyz，求出平面EFC与平面PDC的法向量，代入公式得到所成锐二面角的余弦值.试题解析：（1）取PC中点M，连接DM,MF∵M,F分别是PC,PB中点，∴MF//CB,MF=12CB，∵E为DA中点，ABCD为矩形，∴DE//CB,DE=12CB，∴MF//DE,MF=DE，∴四边形DEFM为平行四边形∴EF//DM,∵EF⊄平面PDC，DM⊂平面PDC，∴EF//平面RDC（2）∵PA⊥平面ABC，且四边形ABCD是正方形，∴AD,AB,AP两两垂直，以A为原点，AP，AB，AD所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系A−xyz则P1,0,0,D0,0,1,C0,1,1,E(0,0,12),F(12,12,0)设平面EFC法向量为n1=(x,y,z)，EF=(12,12,−12)，FC=(−12,12,1)则EF⋅n1=0FC⋅n1=0，即x+y−z=0−12x+12y+z=0，取n1=3,−1,2则设平面PDC法向量为n2=(x,y,z)，PD=(−1,0,1)，PC=(−1,1,1)则PD⋅n2=0PC⋅n2=0，即−x+z=0−x+y+z=0，取n2=1,0,1cos<n1,n2>=n1 ⋅n2|n1|⋅|n2|=14×2=5714.∴平面EFC与平面PDC所成锐二面角的余弦值为5714.点睛：本题主要考查线面垂直的判定定理以及用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20．(1)x24+y23=1(x≠−2) (2)6【解析】试题分析：（1）由椭圆定义得到动圆圆心C的轨迹E的方程；（2）设l的方程为x=my+1，联立可得(3m2+4)y2+6mx−9=0，通过根与系数的关系表示弦长进而得到四边形APBQ面积的表达式，利用换元法及均值不等式求最值即可.试题解析：(1)设动圆C的半径为r，由题意知|CC1|=3−r,|CC2|=1+r从而有|CC1|+|CC2|=4，故轨迹E为以C1,C2为焦点，长轴长为4的椭圆，并去除点(−2,0)，从而轨迹E的方程为x 24+y23=1(x≠−2).（2）设l的方程为x=my+1，联立x24+y23=1x=my+1，消去x得(3m2+4)y2+6mx−9=0，设点A(x1,y1),B(x2,y2)，有y1+y2=−6m3m2+4,y1y2=−93m2+4,则|AB|=1+m2121+m23m2+4=12(1+m2)3m2+4，点P(−2,0)到直线l的距离为1+m2，点Q(2,0)到直线l的距离为1+m2，从而四边形APBQ的面积S=12×12(1+m2)3m2+4×1+m2=241+m23m2+4令t=1+m2,t≥1，有S=24t3t+1=243t+1t，函数y=3t+1t在[1,+∞)上单调递增，有3t+1t ≥4，故S=24t3t+1=243t+1≤6，即四边形APBQ面积的最大值为6.21．(1)a∈[2e,+∞) (2)见解析【解析】试题分析：（1）f(x)在R上是单调递增函数等价于在x∈R上，f′(x)=2x−4+ae≥0恒成立，即：a≥(4−2x)e x，构造新函数求最值即可；（2）要证x1+x2<2m，即证2m−x1>x2，记φx=x2−4x+5e x，易证φx在x∈R上递增，转证φ2m−x1>φx2。

长春三模理科数学答案

长春市普通高中2018届高三质量监测<三）数学(理科>参考答案及评分参考说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试卷的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. b5E2RGbCAP二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分. p1EanqFDPw三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分>1. C2. A3. B4. C5. B6. C7.D8. C9. B10. A11. A12. D.简答与提示：1.【命题意图】本小题主要考查集合的计算，是一道常规问题.【试卷解读】C∵，∴，故选C.2.【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算，特别是复数的除法和平方运算，对考生的运算求解能力有一定要求.DXDiTa9E3d【试卷解读】A∵，∴，故选A.3.【命题意图】本小题主要考查平面向量的的位置关系以及平面向量的数量积运算，特别突出对平面向量运算律的考查，另外本题也对考生的分析判断能力进行考查.RTCrpUDGiT【试卷解读】B∵，∴，∴，∵，∴，∴向量与向量的夹角为，故选B.4.【命题意图】本小题主要考查余弦定理在解三角形中的应用，以及三角形面积的求法，对学生的推理论证能力和数形结合思想提出一定要求.5PCzVD7HxA【试卷解读】C∵，∴，∴，又，∴的面积为，故选C.5.【命题意图】本小题通过一次函数的单调性和系数的关系，考查古典概型的理解和应用，是一道综合创新题.【试卷解读】B∵为增函数，∴>0，又，∴，又，∴函数为增函数的概率是，故选B.6.【命题意图】本小题主要通过程序框图的理解考查学生的逻辑推理能力，同时考查学生对算法思想的理解与剖析.【试卷解读】C∵，因此应选择时满足，而时不满足的条件∴，故选C.7.【命题意图】本小题主要考查立体几何中的三视图问题，并且对考生的空间想象能力及利用三视图还原几何体的能力进行考查，同时考查简单几何体的体积公式.jLBHrnAILg【试卷解读】D由三视图可知，该多面体是一个四棱锥，且由一个顶点出发的三条侧棱两两垂直，长度都为4，∴其体积为，故选D. xHAQX74J0X8.【命题意图】本小题主要考查二元一次不等式组所表示的可行域的获取以及目标函数的几何意义，是线性规划的一种简单应用，对学生的数形结合思想提出一定要求.LDAYtRyKfE【试卷解读】C根据线性规划的方法可求得最优解为点，此时的值等于14，故选C.9.【命题意图】本小题主要考查抛物线的定义与基本性质及过焦点的弦的性质. 本题不但对考生的运算求解能力、推理论证能力有较高要求，而且对考生的化归与转化的数学思想也有较高要求.Zzz6ZB2Ltk【试卷解读】B，∵，且，∴，解得，故选B.10.【命题意图】本小题通过函数的运算与不等式的比较，另外也可以利用函数在定义域内的变化率、函数图像的基本形式来获得答案，本题对学生的运算求解能力和数形结合思想提出一定要求.dvzfvkwMI1【试卷解读】A(i>在上，四个函数都满足；(ii>；对于①，，满足；对于②，，不满足.对于③，而，∴，∴，∴，∴，满足；对于④，，满足；故选A.11.【命题意图】本小题主要考查过曲线外一点作曲线切线的基本方法，结合双曲线的标准方程与离心率，对考生的运算求解能力和推理论证能力提出较高要求.rqyn14ZNXI【试卷解读】A设，∴切线的斜率为，又∵在点处的切线过双曲线左焦点，∴，解得，∴，因此，故双曲线的离心率是，故选A；12.【命题意图】本小题主要考查基本不等式的应用，以及利用导数求取函数最值的基本方法，本题作为选择的压轴题，属于较难题，对学生的运算求解能力和推理论证能力提出一定要求.EmxvxOtOco【试卷解读】D因为，再由可有，令，则，可得，且在上，在上，故的最小值为，于是即，故选D.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分>13. 14. 15. 16.简答与提示：13.【命题意图】本小题主要考查辅助角公式的应用以及三角函数单调区间的求取，属于基本试卷.【试卷解读】∵，∴函数的增区间为，又，∴增区间为. 14.【命题意图】本小题是二项式定理的简单应用，求取二项展开式中某项的系数是考生的一项基本技能.【试卷解读】∵的通项为，令，∴，故展开式中常数项为；15.【命题意图】本小题主要考偶函数的性质以及函数图像的平移变换等，同时对考生的数形结合思想.【试卷解读】由已知或，∴解集是.16.【命题意图】本小题通过对球的内接几何体的特征考查三角函数的计算，对考生的空间想象能力与运算求解能力以及数形结合思想都提出很高要求，本题是一道综合题，属于较难题. SixE2yXPq5【试卷解读】如图，右侧为该球过SA 和球心的截面，由于三角形ABC 为正三角形，所以D为BC中点，且，故. 设，则点P 为三角形ABC 的重心，且点P 在AD上，∴，因此三、解答题17. (本小题满分12分>【命题意图】本小题主要考查有关于数列的基础知识，其中包括数列基本量的求取，数列前项和的求取，以及利用放缩法解决数列不等式问题，虽存在着一定的难度，但是与高考考查目标相配合，属于一道中档题，对考生的运算求解能力，化归与转化能力提出一定要求.6ewMyirQFL 【试卷解读】解：<1）当时，，，从而构成以1为首项，2为公差的等差数列.(6分><2）由<1）可知，，当时，从而.(12分>18. 【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的平行关系、线面角的求法及空间向量在立体几何中的应用. 本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求.kavU42VRUs 【试卷解读】解：<1）证明：作FM ∥CD 交PC 于M. ∵点F 为PD 中点，∴.∴，∴AEMF 为平行四边形，∴AF ∥EM ，∵， ∴直线AF 平面PEC. (6分> <2），如图所示，建立坐标系，则 P(0，0，1>，C(0，1，0>， E(，0，0>，A(，，0>，∴，.设平面PAB 的一个法向量为. ∵，，∴，取，则，∴平面PAB 的一个法向量为.∵，∴设向量，∴，∴PC 平面PAB 所成角的正弦值为.(12分>y6v3ALoS8919.【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，其中包括方差的求法、基本概率的应用以及离散型随机变量的数学期望的求法. 本题主要考查学生的数据处理能力.M2ub6vSTnP 【试卷解读】解：<1）两个班数据的平均值都为7，MFBACD P FE BACDyz xP甲班的方差，乙班的方差，因为，甲班的方差较小，所以甲班的成绩比较稳定.4分<2）可能取0，1，2，，，所以6分数学期望8分可能取0，1，2，，，所以10分数学期望.12分20.【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到椭圆标准方程的求取，直线与圆锥曲线的相关知识以及圆锥曲线中最值的求取. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求.0YujCfmUCw【试卷解读】解：<1），，，椭圆方程为. 2分<2）法一：椭圆:，当时，，故，当时，. 4分切线方程为，，. 6分同理可证，时，切线方程也为.当时，切线方程为满足.综上，过椭圆上一点的切线方程为. 7分法二：. 当斜率存在时，设切线方程为，联立方程：可得，化简可得：，①由题可得：， 4分化简可得：，①式只有一个根，记作，，为切点的横坐标，切点的纵坐标，所以，所以，所以切线方程为：，化简得：. 6分当切线斜率不存在时，切线为，也符合方程，综上：在点处的切线方程为. 7分<3）设点为圆上一点，是椭圆的切线，切点，过点的椭圆的切线为，过点的椭圆的切线为.两切线都过点，.切点弦所在直线方程为. 9分，，.当且仅当，即时取等，，的最小值为. 12分21.【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述函数的单调性等情况. 本小题主要考查考生分类讨论思想的应用，对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求.eUts8ZQVRd【试卷解读】解：<1），所以，即. 又，所以，所以.4分<2），.5分①当时，，函数在上单调递增；6分②当时，由得，∴时，，单调递减；时，，单调递增.综上，当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 8分<3）解：设，，在上为减函数，又，当时，，当时，.，，在上为增函数，又，时，，在上为增函数，.①当时，，设，则，在上为减函数，，，，，比更靠近.②当时，，设，则，，在时为减函数，，在时为减函数，，，比更靠近.综上：在时，比更靠近.12分22.【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到圆的切线的性质，三角形相似等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力.sQsAEJkW5T【试卷解读】解：(1>连接是圆的两条切线，，又为直径，，.5分(2>由，，∽，，.10分23.【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、平面内直线与曲线的位置关系等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.GMsIasNXkA【试卷解读】解：<1）圆的参数方程为<为参数）所以普通方程为.2分圆的极坐标方程：. 5分<2）点到直线：的距离为7分的面积所以面积的最大值为10分24.【命题意图】本小题主要考查不等式证明的相关知识，具体涉及到利用比较法等证明方法. 本小题重点考查考生的逻辑思维能力与推理论证能力.TIrRGchYzg【试卷解读】解：<1）证明：.因为都是正数，所以.又因为，所以.于是,即所以；5分<2）证明：因为，所以.①同理.②.③①②③相加得7EqZcWLZNX从而.由都是正数，得，因此.10分申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。

吉林省长春市普通高中2018届高三质量监测(三)数学(文)试题

长春市普通高中2018届高三质量监测（三）数学文科一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的） 1.设集合{|11}A x x =-<<，{|(3)0}B x x x =-<，则AB = A. (1,0)-B. (0,1)C. (1,3)-D. (1,3) 2.若复数11i z i +=-，则||z =A. 1B. 0C. 12D.3.在等差数列{}n a 中，n S 为前n 项和，7825a a =+，则11S =A. 55B. 11C. 50D. 604.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为（）A. B. C. D. 5.将函数()sin(2)3f x x π=+的图象向右平移a 个单位得到函数()cos2g x x =的图象,则a 的值可以为 A. 12πB. 512πC. 712πD. 1112π 6.函数,,a b a b αα◊⊥⊥的部分图象大致为（）A. B. C.D.7.如图所示的程序框图是为了求出满足2228n n ->的最小偶数n ，那么在空白框中填入及最后输出的n 值分别是（）A. 1n n =+和6B. 2n n =+和6C. 1n n =+和8D. 2n n =+和8 8.在等比数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，若3239S a a +=，则其公比为 A. 12 B. 13 C. 14 D. 189.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是A.B. 3C.D. 3 10.已知a R ∈，设函数()ln f x ax x =-的图象在点(1,(1))f 处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为A e B. 1 C. 0 D. 1-11.已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕，将△ABC 折起，使90BDC ∠=，则过,,,A B C D 四点的球的表面积为A. 3πB. 4πC. 5πD. 6π12.已知焦点在x 轴上的双曲线222211x y m m -=-的左右两个焦点分别为1F 和2F ，其右支上存在一点P 满足12PF PF ⊥，且12PF F ∆的面积为3，则该双曲线的离心率为（）A.B. 2C. 2D. 3 二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13.设实数,x y 满足约束条件0405y x y x y ⎧⎪-⎨⎪+≤⎩……，则2z x y =+的最大值为___________. 14已知x 、y 取值如表：画散点图分析可知：y 与x 线性相关，且求得回归方程为ˆ1yx =+，则m 的值（精确到0.1）为（） A. 1.5B. 1.7C. 1.8D. 1.9 15.已知函数4,0()2,0x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，若()2f a …，则实数a 的取值范围是___________. 16.已知菱形ABCD 的一条对角线BD 长为2，点E 满足12AE ED =，点F 为CD 的中点，若2A D B E ⋅=-，则CD AF ⋅=__________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知ABC ∆内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b =，且2cos cos cos b B a C c A =+．（1）求B 的大小；（2）求ABC ∆面积的最大值．18.树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组[55,65)，得到的频率分布直方图如图所示．（1）求出a 的值；（2）求这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；（3）现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组恰好抽到2人的概率．的19.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AD ，PB 的中点，1PA AB ==.（1）求证：EF 平面DCP ；（2）求F 到平面PDC 距离.20.在平面直角坐标系中，已知圆1C 的方程为22(1)9x y -+=，圆2C 的方程为22(1)1x y ++=，动圆C 与圆1C 内切且与圆2C 外切.(1)求动圆圆心C 的轨迹E 的方程；(2)已知(2,0)P -与(2,0)Q 为平面内的两个定点，过(1,0)点的直线l 与轨迹E 交于A ,B 两点，求四边形APBQ 面积的最大值.21.已知函数()ln f x x =，()g x x m =+.()Ⅰ若()()f x g x ≤恒成立，求m 的取值范围；()Ⅱ已知1x ，2x 是函数()()()F x f x g x =-两个零点，且12x x <，求证：121x x <. （二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4—4：坐标系与参数方程选讲.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C ：4cos (0)2πρθθ=≤<，2C ：cos 3ρθ=. （1）求1C 与2C 的交点的极坐标；（2）设点Q 在1C 上，23OQ QP =，求动点P 的极坐标方程. 23.已知函数()()223f x x x m m R =+++∈．的的()1当2f x≤的解集；m=-时，求不等式()3()2若(),0∀∈-∞，都有()2xf x x≥+恒成立，求m的取值范围．x。

长春市3模试题和答案文数答案

长春市普通高中2018届高三质量监测（三）数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. B2. A3. A4. C5.A6. D7. D8. A9. B 10. B 11. C 12. B 简答与提示：1. 【命题意图】本题考查集合的运算.【试题解析】B {|11},{|03},(A x x B x x A B =-<<=<<= .故选B. 2. 【命题意图】本题考查复数.【试题解析】A ,||1z i z ==.故选A.3. 【命题意图】本题考查等差数列的相关知识. .【试题解析】A 由111786116()1125,511552a a a a a S a +⋅=+====，. 故选A.4. 【命题意图】本题考查中华传统文化中的数学问题.【试题解析】C 由算筹含义. 故选C. 5. 【命题意图】本题考查三角函数的相关知识.【试题解析】A 由题意知，,12a k k ππ=+∈Z .故选A.6. 【命题意图】本题主要考查函数的图象及性质.【试题解析】D 由函数是偶函数，排除A ，C ，当(0,)2x π∈，tan 0x >.故选D.7. 【命题意图】本题主要考查算法的相关知识.【试题解析】D 根据程序框图.故选 D .8. 【命题意图】本题考查等比数列的相关知识.【试题解析】A 由题意可得218210,2q q q --==.故选A. 9. 【命题意图】本题主要考查三视图问题.【试题解析】B 由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥，123V =⋅=故选B.10. 【命题意图】本题主要考查导数的几何意义.【试题解析】B 由题意可知:(1)(1)l y a a x -=--，令0,1x y ==.故选B. 11. 【命题意图】本题主要考查球的相关问题.【试题解析】C ，故其外接球的半径为2，其表面积为5π.故选C. 12. 【命题意图】本题考查双曲线的相关知识.【试题解析】B 由双曲线可知122213,4PF F S m m ∆=-==，从而e =.故选B.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 9 14. 1.7 15. [2,0][1,)-+∞ 16. 7- 简答与提示：13. 【命题意图】本题考查线性规划问题.【试题解析】由可行域可确定目标函数在(1,4)处取最大值9. 14. 【命题意图】本题考查回归方程的相关知识.【试题解析】将 3.2x =代入回归方程为ˆ1yx =+可得 4.2y =，则4 6.7m =，解得 1.675m =，即精确到0.1后m 的值约1.7.15. 【命题意图】本题考查分段函数的相关知识.【试题解析】当0,42,20x x x ≤+≥-≤≤，当0,22,1x x x >≥≥，故[2,0][1,)-+∞ .16. 【命题意图】本题考查平面向量的相关知识.【试题解析】由题意可知2||3AD A == ，故7CD AF ⋅=- .三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查解三角形的相关知识. 【试题解析】解：（1）由2cos cos cos b B a C c A =+可得 2sin cos sin cos sin cos sin B B A C C A B =+=故1cos ,23B B π==（2）由2,3b B π==，由余弦定理可得224ac a c =+-，由基本不等式可得22424,4ac a c ac ac =+-≥-≤，当且仅当a c =时，“=”成立从而11sin 422ABC S ac B ∆=≤⨯=ABC △18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对频率分布直方图的理解以及分布列的相关知识.【试题解析】解：（1）由()100.0100.0150.0300.0101a ⨯++++=，得0.035a =. （2）平均数为；200.1300.15400.35500.3600.141.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=岁；设中位数为x ，则()100.010100.015350.0350.5,x ⨯+⨯+-⨯=42.1x ∴≈岁.（3）第1,2,3组的人数分别为20人,30人，从第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1,2组抽取的人数分别为2人,3人，分别记为12123,,,,a a b b b .设从5人中随机抽取3人，为121122123112(,,),(,,),(,,),(,,),a a b a a b a a b a b b ，113123212213223123(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),a b b a b b a b b a b b a b b b b b 共10个基本事件，从而第2组中抽到2人的概率63=105.19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【试题解析】答案：（1）取PC 中点M ，连接MF DM , F M , 分别是PB PC ,中点, CB MF CB MF 21,//=∴, E 为DA 中点，ABCD 为正方形，CB DE CB DE 21,//=∴,DE MF DE MF =∴,//,∴四边形DEFM 为平行四边形⊄∴EF DM EF ,//平面PDC ，⊂DM 平面PDC ，//EF ∴平面RDC （2）//EF 平面PDC ,F ∴到平面PDC 的距离等于E 到平面PDC 的距离, ⊥PA 平面ABCD ，DA PA ⊥∴, 1==AD PA ,在PAD Rt ∆中2=DP ， ⊥PA 平面ABCD ，CB PA ⊥∴, ⊥CB AB , A AB PA = , ⊥∴CB 平面 PAB ，PB CB ⊥∴,则PDC PC DC PD PC ∆∴=+=,,3222 为直角三角形， 222121=⨯⨯=∴∆PDC S ∴PD E C PD C E V V --=,设E 到平面PDC 的距离为h ，则12121131212131⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅h 42=∴h ∴ F 到平面PDC 的距离42.20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力. 【试题解析】解：（1）设动圆C 的半径为r ，由题意知12||3,||1CC r CC r =-=+从而有12||||4CC CC +=，故轨迹E 为以12,C C 为焦点，长轴长为4的椭圆，并去除点(2,0)-，从而轨迹E 的方程为221(2)43x y x +=≠-. （2）设l 的方程为1x my =+，联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得22(34)690m y mx ++-=，设点1122(,),(,)A x y B x y ，有12122269,,3434m y y y y m m --+==++有2212(1)||34m AB m +==+，点(2,0)P -到直线l(2,0)Q 到直线l，从而四边形APBQ的面积222112(1)23434m S m m +=⨯=++令1t t =≥，有224241313t S t t t==++，由函数13y t t =+在[1,)+∞单调递增有134t t+≥，故2242461313t S t t t==≤++，四边形APBQ 面积的最大值为6. 21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力. 【试题解析】解：（1）令()()()ln (0)F x f x g x x x m x =-=-->，有11()1xF x x x-'=-=，当1x >时，()0F x '<，当01x <<时，()0F x '>，所以()F x 在(1,)+∞上单调递减，在(0,1)上单调递增，()F x 在1x =处取得最大值，为1m --，若()()f x g x ≤恒成立，则10m --≤即1m ≥-.（2）由（1）可知，若函数()()()F x f x g x =- 有两个零点，则1m <-，1201x x <<< 要证121x x <，只需证211x x <，由于()F x 在(1,)+∞上单调递减，从而只需证211()()F x F x >，由12()()0F x F x ==，11ln m x x =-，即证1111111111ln ln ln 0m x x x x x x --=-+-<令1()2ln (01)h x x x x x =-+-<<，2221221()10x x h x x x x -+'=+-=>，有()h x 在(0,1)上单调递增，()(1)0h x h <=，所以121x x <.22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求. 【试题解析】（1）联立⎩⎨⎧==θρθρcos 43cos ，23cos ±=θ，20πθ<≤ ，6πθ=，32=ρ交点坐标⎪⎭⎫ ⎝⎛6,32π（2）设()θρ,P ,()00,θρQ 且.cos 400θρ=.⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈2,00πθ，由已知,32=得⎪⎩⎪⎨⎧==θθρρ0052θρcos 452=∴，点P 的极坐标方程为⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈=2,0,cos 10πθθρ23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法等内容. 本小题重点考查化归与转化思想.【试题解析】（1）当m =-2时，()()4103223-2=1023452x x f x x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪⎛⎫=++-⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫--≤-⎪ ⎪⎝⎭⎩＜＜当4130x x +≤⎧⎨≥⎩解得12x ≤≤0；当30132x -≤＜＜，恒成立当45332x x --≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩解得32x ≤≤--2，此不等式的解集为1-22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，()()43+03223=3023432x m x f x x x m m x x m x ⎧⎪+≥⎪⎪⎛⎫=++++-⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫--+≤-⎪ ⎪⎝⎭⎩（2）＜＜当x ∈(- ∞，0)时()3302223=3432m x f x x x m x m x ⎧⎛⎫+- ⎪⎪⎪⎝⎭=+++⎨⎛⎫⎪--+≤- ⎪⎪⎝⎭⎩＜＜当302x -＜＜时，()=3+f x m ，当()3=432x f x x m ≤---+，单调递减，∴f (x )的最小值为3+m设()()20g x x x x =+<当20,x x x ->-+≥-2=x x --时，取等号2x x∴+≤即x g(x)取得最大值要使()2f x x x≥+恒成立，只需3m +≥-m ≥-。

2018年吉林省吉林市高考数学三模试卷(理科)

2018年吉林省吉林市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．1．(★)若集合B={x|x≥0}，且A∩B=A，则集合A可能是（）A．{1，2}B．{x|x≤1}C．{-1，0，1}D．R2．(★)已知复数z=1+i（i为虚数单位）给出下列命题：①；②；③z 的虚部为i．其中正确命题的个数是（）A．0B．1C．2D．33．(★)若，且，则sin2α=（）A．B．C．D．4．(★)已知等差数列{a n}的公差不为0，a 1=1，且a 2，a 4，a 8成等比数列，设{a n}的前n项和为S n，则S n=（）A．B．C．D．5．(★★)若的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含x 2项的系数是（）A．-462B．462C．792D．-7926．(★★)执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．B．C．D．7．(★★) =（）A．1B．2C．3D．8．(★★)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是（0，0，0），（1，0，1），（0，1，1），（，1，0），绘制该四面体三视图时，按照如图所示的方向画正视图，则得到左视图可以为（）A．B．C．D．9．(★★)设曲线f （x ）=mcosx （m ∈R*）上任一点（x ，y ）处切线斜率为g （x ），则函数y=x 2g （x ）的部分图象可以为（）A ．B ．C ．D ．10．(★★)平行四边形ABCD 中，AB=2，AD=1，•=-1，点M 在边CD 上，则•的最大值为（）A ．2B ．2-1C ．5D ．-111．(★★★)等比数列{a n }的首项为，公比为，前n 项和为S n ，则当n ∈N*时，的最大值与最小值的比值为（）A ．B ．C ．D ．12．(★★★)已知函数（lnx 是以e 为底的自然对数，e=2.71828…），若存在实数m ，n （m ＜n ），满足f （m ）=f （n ），则n-m 的取值范围为（）A ．（0，e 2+3）B ．（4，e 2-1]C ．[5-2ln2，e 2-1]D ．[5-2ln2，4）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．13．(★★★)设x ，y 满足约束条件，则z=2x-y 的最大值为．14．(★★★)《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：2 ，•……则按照以上规律，若8 具有“穿墙术”，则n= ．15．(★★)某校高三年级学生一次数学诊断考试成绩（单位：分）X服从正态分布N（110，10 2），从中抽取一个同学的数学成绩ξ，记该同学的成绩90＜ξ≤110为事件A，记该同学的成绩80＜ξ≤100为事件B，则在A事件发生的条件下B事件发生的概率P（B|A）= （用分数表示）附：X满足P（μ-σ＜X≤μ+σ）=0.68，P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）=0.95，P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）=0.99．16．(★★★)已知抛物线y 2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，点A在x轴负半轴且AF=2p，B是抛物线上的一点，BC垂直l于点C且BC=2p，AB分别交l，CF于点D，E，则= ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．(★★)已知函数部分图象如图所示．（Ⅰ）求φ值及图中x 0的值；（Ⅱ）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，f（C）=-2，sinB=2sinA，求a的值．18．(★★★)2015年12月10日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖，以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗疟疾标准疗法，目前，国内青蒿素人工种植发展迅速，调查表明，人工种植的青蒿的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为x，y，z，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示临界合格，2表示合格，再用综合指标ω=x+y+z的值评定人工种植的青蒿的长势等级，若ω≥4，则长势为一级；若2≤ω≤3，则长势为二级；若0≤ω≤1，则长势为三级，为了了解目前人工种植的青蒿的长势情况，研究人员随即抽取了10块青蒿人工种植地，得到如表结果：（1）在这10块青蒿人工种植地中任取两地，求这两地的空气湿度的指标z相同的概率；（2）从长势等级是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为m，从长势等级不是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为n，记随机变量X=m-n，求X的分布列及其数学期望．19．(★★★★)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，DC∥AB，PA=1，．（1）求证：平面PAD⊥平面PCD；（2）若棱PB上存在一点E，使得二面角E-AC-P的余弦值为，求AE与平面ABCD所成角的正弦值．20．(★★★★)已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆经过点P（，-1），且△PF 1F 2的面积为2（Ⅰ）求椭圆C的标准方程（Ⅱ）设斜率为1的直线l与以原点为圆心，半径为的圆交于A，B两点，与椭圆C交于C，D两点，且|CD|=λ|AB|（λ∈R），当λ取得最小值时，求直线l的方程21．(★★★★)已知函数f（x）=ax+xlnx在x=e -2处取得极小值．（1）求实数a的值；（2）设F（x）=x 2+（x-2）lnx-f（x），其导函数为F'（x），若F（x）的图象交x轴于两点C （x 1，0），D（x 2，0）且x 1＜x 2，设线段CD的中点为N（s，0），试问s是否为F'（x）=0的根？说明理由．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．(★★★★)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（）．（1）分别写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）已知点P（2，-1），直线l与曲线C相交于M，N两点，若|MN| 2=6|PM|•|PN|，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．(★★★★)已知函数f（x）=|x-1|（Ⅰ）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，a≠0，求证：．。

2018年吉林省吉林市高考数学三模试卷(文科)

2018年吉林省吉林市高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．1. 设全集U =Z ，A ={−1, 1, 3, 5, 7, 9}，B ={−1, 5, 7}，则A ∩(∁U B)=( ) A.{1, 3, 9} B.{−1, 5, 7} C.{−1, 1, 3, 9} D.{−1, 1, 3, 5, 9}2. 已知复数z =i 1−i（i 为虚数单位），则z 的虚部为（） A.12iB.−12iC.12D.−123. 已知命题p:∃x 0∈R,x 02+2>3x 0，则命题p 的否定为（）A.￢p:∃x 0∈R ，x 02+2≤3x 0B.￢p:∀x ∈R ，x 2+2≤3xC.￢p:∀x ∈R ，x 2+2<3xD.￢p:∃x 0∈R ，x 02+2≥3x 04. 下列各组向量中，可以作为基底的是（） A.e 1→=(0,0)，e 2→=(1,−2) B.e 1→=(2,−3)，e 2→=(12,−34)C.e 1→=(3,5)，e 2→=(6,10)D.e 1→=(−1,2)，e 2→=(5,7)5. 设x ，y 满足约束条件{x −y +3≥0x +y ≥0x ≤2，则z =3x +y 的最小值是（）A.−5B.4C.−3D.116. 已知等差数列{a n }的公差不为0，a 1=1，且a 2，a 4，a 8成等比数列，设{a n }的前n 项和为S n ，则S n =( ) A.n(n+1)2 B.(n+1)22C.n 2+12D.n(n+3)47. 以抛物线y 2=8x 上的任意一点为圆心作圆与直线x =−2相切，这些圆必过一定点，则这一定点的坐标是( ) A.(0, 2) B.(2, 0) C.(4, 0) D.(0, 4)8. 执行如图所示的程序框图，当输出S =210时，则输入n 的值为（）A.6B.7C.8D.99. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.14π3B.10π3C.8π3D.5π310. 已知锐角α满足cos(α−π4)=cos2α，则sinαcosα等于（）A.1 4B.−14C.√24D.−√2411. 朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤．只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日”．其大意为：“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天”．这个问题中，前5天应发大米（）A.894升B.1170升C.1275米D.1467米12. 对于定义域为R的函数f(x)，若同时满足下列三个条件：①f(0)=0；②当x∈R，且x≠0时，都有xf′(x)>0；③当x1<0<x2，且|x1|=|x2|时，都有f(x1)）<f(x2)，则称f(x)为“偏对称函数”．现给出下列三个函数：f1(x)=−x3+32x2；f2(x)=e x−x−1；f3(x)={ln(1−x),x≤02x,x>0则其中是“偏对称函数”的函数个数为（）A.0B.1C.2D.3二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．学校艺术节对A ，B ，C ，D 四件参赛作品只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲，乙，丙，丁四位同学对这四件参赛作品预测如下：甲说：“是C 或D 作品获得一等奖”；乙说：“B 作品获得一等奖”；丙说：“A ，D 两件作品未获得一等奖”；丁说：“是C 作品获得一等奖”．评奖揭晓后，发现这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是________．函数y =2−x −4x (x >0)的最大值为________．已知α，β是平面，m ，n 是直线，给出下列命题： ①若m ⊥α，m ⊂β，则α⊥β；②若m ⊂α，n ⊂α，m // β，n // β，则α // β；③如果m ⊂α，nα，m ，n 是异面直线，则n 与α相交； ④若α∩β=m ．n // m ，且nα，nβ，则n // α，且n // β其中正确确命题的序号是________（把正确命题的序号都填上）等比数列{a n }的首项为32，公比为−12，前n 项和为S n ，则当n ∈N ∗时，S n −1S n的最大值与最小值的比值为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足：①?△ABC 的外心在三角形内部（不包括边）；‚②(b 2−a 2−c 2)sin(B +C)=√3accos(A +C)．（1）求A 的大小；（2）求代数式b+c a的取值范围．“共享单车”的出现，为我们提供了一种新型的交通方式．某机构为了调查人们对此种交通方式的满意度，从交通拥堵不严重的A 城市和交通拥堵严重的B 城市分别随机调查了20个用户，得到了一个用户满意度评分的样本，并绘制出茎叶图如图：（1）根据茎叶图，比较两城市满意度评分的平均值的大小及方差的大小（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（2）若得分不低于80分，则认为该用户对此种交通方式“认可”，否则认为该用户对此种交通方式“不认可”，请根据此样本完成此2×2列联表，并据此样本分析是否有95%的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关；（3）在A，B城市对此种交通方式“认可”的用户中按照分层抽样的方法抽取6人，若在此6人中推荐2人参加“单车维护”志愿活动，求A城市中至少有1人的概率．参考数据如下：（下面临界值表供参考）（参考公式K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d）在如图如示的多面体中，平面AEFD⊥平面BEFC，四边形AEFD是边长为2的正方形，EF // BC，且BE=CF=12BC=2．（1）若M，N分别是AE，CF中点，求证：MN // 平面ABCD（2）求此多面体ABCDEF的体积已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率是√32，且椭圆经过点(0, 1)．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l1:x+2y−2=0与圆D:x2+y2−6x−4y+m=0相切：(ⅰ)求圆D的标准方程；(ⅱ)若直线l2过定点(3, 0)，与椭圆C交于不同的两点E，F，与圆D交于不同的两点M，N，求|EF|⋅|MN|的取值范围．已知函数f(x)=−x2+ax−ae x(x>0, a∈R)．（1）当a=1时，求函数f(x)的极值；（2）设g(x)=f(x)+f′(x)x−1，若函数g(x)在(0, 1)∪(1, +∞)内有两个极值点x1，x2，求证：g(x1)⋅g(x2)<4e．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =2+√22ty =−1+√22t（t 为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=2√2acos(θ+π4)(a >56)．（1）分别写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点P(2, −1)，直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，若|MN|2=6|PM|⋅|PN|，求a 的值．[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x −1|(Ⅰ)解不等式f(x)+f(x +4)≥8；(Ⅱ)若|a|<1，|b|<1，a ≠0，求证：f(ab)>|a|f(ba )．参考答案与试题解析2018年吉林省吉林市高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．1.【答案】A【考点】交、并、补集的混合运算【解析】进行交集、补集的运算即可．【解答】∁U B={x∈Z|x≠−1, 且x≠5, 且x≠7}；∴A∩(∁U B)={1, 3, 9}．2.【答案】C【考点】复数的运算【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】∵z=i1−i =i(1+i)(1−i)(1+i)=−12+12i，∴z的虚部为12．3.【答案】B【考点】命题的否定【解析】运用特称命题的否定为全称命题，以及量词和不等号的变化，即可得到所求命题的否定．【解答】由特称命题的否定为全称命题，可得命题p:∃x0∈R,x02+2>3x0，则命题p的否定为：∀x∈R，x2+2≤3x，4.【答案】D【考点】平面向量的基本定理【解析】不共线的向量可作基底，由向量共线的条件逐个选项判断即可．【解答】选项A ，可得0×(−2)−0×1=0，故e 1→ // e 2→，不可作基底，故错误；选项B ，可得2×(−34)−(−3)×12=0，故e 1→ // e 2→，不可作基底，故错误；选项C ，可得3×10−5×6=0，故e 1→ // e 2→，不可作基底，故错误；选项D ，可得−1×7−2×5≠0，故e 1→,e 2→不平行，故可作基底，故正确． 5.【答案】 C【考点】简单线性规划【解析】作出约束条件对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最小值．【解答】作出约束条件{x −y +3≥0x +y ≥0x ≤2对应的平面区域如图，由z =3x +y ，得y =−3x +z ，平移直线y =−3x +z ，由图象可知当直线y =−3x +z ，经过点A 时，直线y =−3x +z 的截距最小，此时z 最小由{x −y +3=0x +y =0 ，解得A(−32, 32)，此时z 的最小值为z =−3×32+32=−3， 6.【答案】 A【考点】等差数列的前n 项和【解析】利用等差数列与等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】设等差数列{a n }的公差d ≠0，∵ a 1=1，且a 2，a 4，a 8成等比数列，∴ a 42=a 2∗a 8，即(1+3d)2=(1+d)(1+7d)，解得d =1，或0（舍去）．则S n =n +n(n−1)2=n(n+1)2，7.【答案】 B【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题抛物线的性质【解析】先根据抛物线的标准方程表示出其准线方程，然后根据已知条件和抛物线的定义即可求解．【解答】解：∵抛物线y2=8x的准线方程为x=−2，∴由题可知动圆的圆心在y2=8x上，且恒与抛物线的准线相切，由定义可知，动圆恒过抛物线的焦点(2, 0).故选B.8.【答案】B【考点】程序框图【解析】模拟程序的运行，可得程序框图的功能，结合已知进而计算得解n的值．【解答】由题意，模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算S=n×(n−1)×...×5的值，由于S=210=7×6×5，可得：n=7，即输入n的值为7．9.【答案】C【考点】由三视图求体积【解析】由题意，该几何体是由一个半圆柱与一个半球组成的组合体，其中半圆柱的底面半径为1，高为4，半球的半径为1，即可求出几何体的体积．【解答】由题意，该几何体是由一个半圆柱与一个半球组成的组合体，其中半圆柱的底面半径为1，高为4，半球的半径为1，几何体的体积为12×43π×13+12π×12×4=83π，10.【答案】A【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：由cos(α−π4)=cos2α，得cosαcosπ4+sinαsinπ4=cos2α−sin2α，∴√22(cosα+sinα)=(cosα+sinα)(cosα−sinα)，∵α∈(0, π2)，∴sinα+cosα>0，则cosα−sinα=√22．两边平方得1−2sin αcos α=12， ∴ sin αcos α=14．故选A ． 11.【答案】 B【考点】等差数列的前n 项和【解析】先利用等差数列通项公式求出第5天派出的人数，再利用等差数列前n 项和公式求出前5天一共派出多少人，由此能求出结果．【解答】∵ 第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人， ∴ 第5天派出：64+4×7＝92人，∴ 前5天共派出S 5=52(64+92)=390（人），∴ 前5天应发大米：390×3＝1170（升）． 12.【答案】 C【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】逐个条件进行验证：首先可验证四个函数都满足条件①；对于条件②，若f′(x)的符号容易判断，可验证不等式xf ′(x)>0成立，若f′(x)的符号不容易判断，可理解到为函数在区间(−∞, 0)上单调递减，在区间(0, +∞)上单调递增，通过函数的单调性进行判断，可排除不满足条件的f 2(x)；对剩余的函数验证条件③，由此能求出结果．【解答】∵ xf′(x)>0，∴ {x >0f ′(x)>0 ，或{x <0f ′(x)<0．即条件②等价于函数f(x)在区间(−∞, 0)上单调递减，在区间(0, +∞)上单调递增．对于f 1(x)=−x 3+32x 2，f 1(0)=0，满足条件①f(0)=0；f 1′(x)=−3x 2+3x ，由f 1′(x)>0，得0<x <1，由f 1′(x)<0，得x <0或x >1， ∴ f 1(x)=−x 3+32x 2的减区间是(−∞, 0)，(1, +∞)；增区间是(0, 1)，不满足②．故f 1(x)=−x 3+32x 2不是“偏对称函数”；对于f 2(x)=e x −x −1，f 2(0)=e 0−0−1=0，满足条件①f(0)=0；f 2′(x)=e x −1，由f 2′(x)>0，得x >0，由f 2′(x)=e x −1<0，得x <0， ∴ f 2(x)=e x −x −1的减区间为(−∞, 0)，增区间为(0, +∞)，满足条件②；当x 1<0<x 2，且|x 1|=|x 2|时，f(x 2)−f(x 1)=(e x 2−x 2−1)−(e x 1−x 1−1)=(e x 2−x 2−1)−(1e x 2+x 2−1)=e x 2−1e x 2−2x 2，设g(x)=e x −1e x −2x ，则g′(x)=e x +1e x −2，当x >0时，g′(x)>0，g(x)是增函数，∴ f(x 2)−f(x 1)=e x 2−1e x 2−2x 2>0，∴ f(x 1)）<f(x 2)，满足③，故f 2(x)=e x −x −1为“偏对称函数”；对于f 3(x)={ln(1−x),x ≤02x,x >0 ，f 3(0)=ln1=0，满足条件①f(0)=0； f 3(x)={ln(1−x),x ≤02x,x >0，由复合函数的单调性法则知：f 3(x)=在区间(−∞, 0)上单调递减，在(0, +∞)上单调递增，满足条件②．由函数f 3(x)={ln(1−x),x ≤02x,x >0 的单调性知：当x 1<0<x 2，且|x 1|=|x 2|时，都有f(x 1)<f(x 2)，满足条件③， ∴ f 3(x)是“偏对称函数”．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．【答案】 B【考点】进行简单的合情推理【解析】根据学校艺术节对同一类的A ，B ，C ，D 四项参赛作品，只评一项一等奖，故假设A ，B ，C ，D 分别为一等奖，判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性，即可判断．【解答】若A 为一等奖，则甲，丙，丁的说法均错误，故不满足题意，若B 为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意，若C 为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意，若D 为一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意，故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B 【答案】 −2【考点】基本不等式【解析】根据基本不等式的性质即可得到，关键是等号成立的条件．即x =4x ．问题得以解决．【解答】y =2−x −4x =2−(x +4x )≤2−2√x ∗4x =2−4=−2，当且仅当x =2时取等号．所以函数y =2−x −4x (x >0)的最大值为−2．【答案】 ①④ 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系【解析】①由面面垂直的判定理判断．②由面面平行判定定理判断③也可能平行④若由线面平行的判定定理判断．【解答】①若m ⊥α，m ⊂β，则α⊥β，由面面垂直的判定理知正确．②若m ⊂α，n ⊂α，m // β，n // β，则α // β；两条相交直线才行，不正确． ③如果m ⊂α，nα，m ，n 是异面直线，则n 与α相交；也可能平行，不正确．④若α∩β=m ．n // m ，且nα，nβ，则n // α，且n // β由线面平行的判定定理知正确．【答案】 −107【考点】等比数列的前n 项和数列的函数特性【解析】求出S n ，计算数列{S n −1S n}的最大项的值与最小项，即可得出比值．【解答】解：由题意可得：S n =32[1−(−12)n ]1+12=1−(−12)n={1+12n ,n 为奇数,1−12n ,n 为偶数.n 为奇数时，S n 随着n 的增大而减少，所以1<S n ≤S 1=32，故0<S n −1S n≤56；n 为偶数时，S n 随着n 的增大而增大，所以1>S n ≥S 2=34，故0>S n −1S n≥−712；所以数列{S n −1S n}的最大项的值与最小项的值的比值为：56−712=−107．故答案为：−107.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分【答案】因为△ABC 的外心在三角形内部（不包括边），所以△ABC 为锐角三角形；由余弦定理得：b 2=a 2+c 2−2accosB 移项：b 2−a 2−c 2=−2accosB代入条件‚得：−2accosBsin(B +C)=√3accos(A +C)∴ −2cosBsin(π−A)=√3cos(π−B)即：2cosBsinA=√3cosB因为△ABC为锐角三角形，所以cosB≠0，则有：sinA=√32，∴A=π3由正弦定理得：b+ca =sinB+sinCsinA，∵A+B+C=π且A=π3，∴C=2π3−B，代入上式化简得：b+ca=sinB+sin(2π3−B)sinA=3 2sinB+√32cosBsinA=√3sin(B+π6)sinA=2sin(B+π6)，又△ABC为锐角三角形，则有：{0<B<π20<C<π2⇒{0<B<π20<2π3−B<π2⇒π6<B<π2，∴π3<B+π6<2π3，则有√32<sin(B+π6)≤1，即：√3<b+ca≤2．【考点】余弦定理正弦定理【解析】（1）利用已知条件结合余弦定理，转化求解即可．（2）由正弦定理以及两角和与差的三角函数结合函数的最值求解即可．【解答】因为△ABC的外心在三角形内部（不包括边），所以△ABC为锐角三角形；由余弦定理得：b2=a2+c2−2accosB移项：b2−a2−c2=−2accosB代入条件‚得：−2accosBsin(B+C)=√3accos(A+C)∴−2cosBsin(π−A)=√3cos(π−B)即：2cosBsinA=√3cosB因为△ABC为锐角三角形，所以cosB≠0，则有：sinA=√32，∴A=π3由正弦定理得：b+ca =sinB+sinCsinA，∵A+B+C=π且A=π3，∴C=2π3−B，代入上式化简得：b+ca=sinB+sin(2π3−B)sinA=3 2sinB+√32cosBsinA=√3sin(B+π6)sinA=2sin(B+π6)，又△ABC为锐角三角形，则有：{0<B<π20<C<π2⇒{0<B<π20<2π3−B<π2⇒π6<B<π2，∴π3<B+π6<2π3，则有√32<sin(B+π6)≤1，即：√3<b+ca≤2．【答案】A城市评分的平均值小于B城市评分的平均值A城市评分的方差大于B城市评分的方差2×2列联表2×2列联表x2=40(5×10−10×15)220×20×15×25=83<3.841所以没有95%的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关．A市抽取55+10×6=2人，设为x，y；B市抽取105+10×6=4人，设为a，b，c，d，基本事件共有：xy，xa，xb，xc，xd，ya，yb，yc，yd，ab，ac，ad，bc，bd，cd共15个，设“A市至少有1人”为事件M，则事件M包含的基本事件为：xy，xa，xb，xc，xd，ya，yb，yc，yd共9个，所以P(M)=915=35．【考点】独立性检验【解析】（1）根据茎叶图的数据即可判断；（2）由题意做出2×2列联表，根据公式计算即可判断；（3）根据分层抽样，求解出人数，写基本事件，即可求解．【解答】A城市评分的平均值小于B城市评分的平均值A城市评分的方差大于B城市评分的方差2×2列联表2×2列联表x2=40(5×10−10×15)220×20×15×25=83<3.841所以没有95%的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关．A市抽取55+10×6=2人，设为x，y；B市抽取105+10×6=4人，设为a，b，c，d，基本事件共有：xy，xa，xb，xc，xd，ya，yb，yc，yd，ab，ac，ad，bc，bd，cd共15个，设“A市至少有1人”为事件M，则事件M包含的基本事件为：xy，xa，xb，xc，xd，ya，yb，yc，yd共9个，所以P(M)=915=35．【答案】证明：在平面CDF中，作NH⊥CF，连接AH，∵M、N分别是AE、CF的中点，且AEFD是正方形∴NH // DF，NH=12DF，AM // DF，AM=12DF，∴NH=AM，NH // AM，∴AMNH是平行四边形．∴MN // AH．∵AH⊂平面ABCD，MN平面ABCD，∴MN // 平面ABCD；连接BD，BF，过F作FG⊥EF，交BC于点G，∵四边形BEFC是等腰梯形，∴CG=12(BC−EF)=1，FG=√3，∵平面AEFD⊥平面BEFC，∴GF⊥平面AEFD，DF⊥平面BEFC．∴VD−BCF =13S△BCF∗DF=13×12×4×√3×2=4√33．V B−AEFD=13S AEFD∗HF=13×2×2×√3=4√33．∴多面体ABCDEF的体积V=VD−BCF +V B−AEFD=8√33．【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】（1）在平面CDF中，作NH⊥CF，连接AH，可得AMNH是平行四边形．则MN // AH．即可由线面平行的判定得MN // 平面ABCD；（2）由多面体ABCDEF的体积V=V D−BCF+V B−AEFD求解．【解答】证明：在平面CDF中，作NH⊥CF，连接AH，∵M、N分别是AE、CF的中点，且AEFD是正方形∴NH // DF，NH=12DF，AM // DF，AM=12DF，∴NH=AM，NH // AM，∴AMNH是平行四边形．∴MN // AH．∵AH⊂平面ABCD，MN平面ABCD，∴MN // 平面ABCD；连接BD，BF，过F作FG⊥EF，交BC于点G，∵四边形BEFC是等腰梯形，∴CG=12(BC−EF)=1，FG=√3，∵平面AEFD⊥平面BEFC，∴GF⊥平面AEFD，DF⊥平面BEFC．∴VD−BCF =13S△BCF∗DF=13×12×4×√3×2=4√33．V B−AEFD=13S AEFD∗HF=13×2×2×√3=4√33．∴多面体ABCDEF的体积V=VD−BCF +V B−AEFD=8√33．【答案】Q椭圆经过点(0, 1)，∴1b2=1，b2=1，∵e=√32，∴e2=1−b2a2=34，解得a2=4椭圆C的标准方程为x24+y2=1，(i)由（1）得直线l1的方程为x2+y=1，即x+2y−2=0，∴ 圆D 的标准方程为(x −3)2+(y −2)2=5． (ii)由题可得直线l 2的斜率存在，设l 2:y =k(x −3)，与椭圆C 的两个交点为E(x 1, y 1)、F(x 2, y 2)，由{y =k(x +3)x 24+y 2=1 消去y 得(1+4k 2)x 2−24k 2x +36k 2−4=0，由△>0，得0≤k 2<15，x 1+x 2=24k 21+4k ，x 1x 2=36k 2−41+4k ，∴ |EF|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2⋅√(1+k 2)(24k 21+4k 2)2−4×36k 2−11+4k 2=√(1+k 2)(1−5k 2)1+4k 2．又圆D 的圆心(3, 2)到直线l 2:kx −y −3k =0的距离d =√1+k 2=√1+k 2，∴ 圆D 截直线l 2所得弦长|MN|=2√r 2−d 2=2√5k 2+1k 2+1，∴ |EF|⋅|MN|=4×√(1+k2)(1−5k 2)1+4k 2×2√5k 2+1k 2+1=8×√1−25k 41+4k 2，设t =1+4k 2∈[1, 95)，k 2=t−14，∴ |EF|⋅|MN|=8√1−25(t−14)2t 2=2√−9(1t)2+50t−25，∵ t ∈[1, 95)，∴ −9(1t )2+50t−25∈(0, 16]，∴ |EF|⋅|MN|的取值范围(0, 8] 【考点】椭圆的定义【解析】(Ⅰ)由椭圆的离心率公式可求得a 和b 的值，求得椭圆方程；(Ⅱ)(i)由题意求得直线l 1方程，将圆转化成标准方程，利用点圆心到直线的距离公式，求得半径，即可求得椭圆方程；(ii)设l 2:y =k(x −3)，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得|EF|⋅|MN|，根据二次函数的单调性即可求得|EF|⋅|MN|的取值范围．【解答】Q 椭圆经过点(0, 1)，∴ 1b 2=1，b 2=1， ∵ e =√32，∴ e 2=1−b 2a 2=34，解得a 2=4 椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1，(i)由（1）得直线l 1的方程为x2+y =1，即x +2y −2=0，∴ 圆D 的标准方程为(x −3)2+(y −2)2=5． (ii)由题可得直线l 2的斜率存在，设l 2:y =k(x −3)，与椭圆C 的两个交点为E(x 1, y 1)、F(x 2, y 2)，由{y =k(x +3)x 24+y 2=1 消去y 得(1+4k 2)x 2−24k 2x +36k 2−4=0，由△>0，得0≤k 2<15，x 1+x 2=24k 21+4k ，x 1x 2=36k 2−41+4k ，∴ |EF|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2⋅√(1+k 2)(24k 21+4k 2)2−4×36k 2−11+4k 2=√(1+k 2)(1−5k 2)1+4k 2．又圆D 的圆心(3, 2)到直线l 2:kx −y −3k =0的距离d =√1+k 2=√1+k 2，∴ 圆D 截直线l 2所得弦长|MN|=2√r 2−d 2=2√5k 2+1k 2+1，∴ |EF|⋅|MN|=4×√(1+k2)(1−5k 2)1+4k 2×2√5k 2+1k 2+1=8×√1−25k 41+4k 2，设t =1+4k 2∈[1, 95)，k 2=t−14，∴ |EF|⋅|MN|=8√1−25(t−14)2t 2=2√−9(1t)2+50t−25，∵ t ∈[1, 95)，∴ −9(1t )2+50t−25∈(0, 16]，∴ |EF|⋅|MN|的取值范围(0, 8] 【答案】当a =1时，f′(x)=(x−1)(x−2)e X(x >0)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−x ∈(0, 1)，(2, +∞)时，f′(x)>0；x ∈(1, 2)时，f′(x)<0，所以f(x)在区间(0, 1)，(2, +∞)上为增函数，在区间(1, 2)上为减函数———– 所以f(x)在(0, +∞)上有极大值f(1)=−1e ，极小值f(2)=−3e 2−−−−−−−−−−−−−−−−证明：g(x)=−2x+a(x−1)e x ，g′(x)=2x 2−(2+a)x+2(x−1)2e x−−−−−−−−−−−−−−−−−设ℎ(x)=2x 2−(2+a)x +2，由已知ℎ(x)=0在(0, 1)，(1, +∞)上有两个不相等的实根x 1，x 2，所以{△=(a +2)2−16>0x 1+x 2=a+22>0x 1x 2=1>0，解得：a >2，而1不能是方程的根，即a ≠2，综上a >2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−g(x 1)g(x 2)=4x 1x 2−2a(x 1+x 2)+a 2[x 1x 2−(x 1+x 2)+1]e x 1+x 2=2(2−a)(2−a +22)a+22=4e a+22−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ∵ a >2， ∴ g(x 1)g(x 2)=4e a+22<4e −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 【考点】利用导数研究函数的极值【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间和极值即可；（2）求出函数的导数，设ℎ(x)=2x 2−(2+a)x +2，结合二次函数的性质得到关于a 的范围，从而证明不等式．【解答】当a =1时，f′(x)=(x−1)(x−2)e X(x >0)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−x ∈(0, 1)，(2, +∞)时，f′(x)>0；x ∈(1, 2)时，f′(x)<0，所以f(x)在区间(0, 1)，(2, +∞)上为增函数，在区间(1, 2)上为减函数———– 所以f(x)在(0, +∞)上有极大值f(1)=−1e ，极小值f(2)=−3e 2−−−−−−−−−−−−−−−−证明：g(x)=−2x+a(x−1)e x ，g′(x)=2x 2−(2+a)x+2(x−1)2e x−−−−−−−−−−−−−−−−−设ℎ(x)=2x 2−(2+a)x +2，由已知ℎ(x)=0在(0, 1)，(1, +∞)上有两个不相等的实根x 1，x 2，所以{△=(a +2)2−16>0x 1+x 2=a+22>0x 1x 2=1>0，解得：a >2，而1不能是方程的根，即a ≠2，综上a >2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−g(x 1)g(x 2)=4x 1x 2−2a(x 1+x 2)+a 2[x 1x 2−(x 1+x 2)+1]e x 1+x 2=2(2−a)(2−a +22)a+22=4e a+22−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ∵ a >2， ∴ g(x 1)g(x 2)=4e a+22<4e −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 【答案】直线l 的参数方程为{x =2+√22ty =−1+√22t（t 为参数），求出直线l 的普通方程为y =x −3．由ρ=2√2acos(θ+π4)，得ρ2=2√2ρa(√22cosθ−√22sinθ)，即x 2+y 2=2ax −2ay ， (x −a)2+(y +a)2=2a 2即曲线C 的直角坐标方程为(x −a)2+(y +a)2=2a 2．设M ，N 两点对应参数分别为t 1，t 2将直线{x =2+√22ty =−1+√22t 代入到圆的方程x 2+y 2=2ax −2ay 中 t 2+√2t +5−6a =0，所以t 1+t 2=−√2，t 1t 2=5−6a ．因为|MN|2=6|PM||PN|，所以(t 1−t 2)2=6|t 1t 2|．因为a >56，所以t 1t 2<0，所以(t 1−t 2)2=−6t 1t 2，所以(t 1+t 2)2+2t 1t 2=0，即：(−√2)2+2(5−6a)=0，解得a =1．【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】（1）直接利用转换关系式，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．（2）利用根和系数的关系求出结果．【解答】直线l 的参数方程为{x =2+√22ty =−1+√22t （t 为参数），求出直线l 的普通方程为y =x −3．由ρ=2√2acos(θ+π4)，得ρ2=2√2ρa(√22cosθ−√22sinθ)，即x 2+y 2=2ax −2ay ，(x −a)2+(y +a)2=2a 2即曲线C 的直角坐标方程为(x −a)2+(y +a)2=2a 2．设M ，N 两点对应参数分别为t 1，t 2将直线{x =2+√22ty =−1+√22t 代入到圆的方程x 2+y 2=2ax −2ay 中 t 2+√2t +5−6a =0，所以t 1+t 2=−√2，t 1t 2=5−6a ．因为|MN|2=6|PM||PN|，所以(t 1−t 2)2=6|t 1t 2|．因为a >56，所以t 1t 2<0，所以(t 1−t 2)2=−6t 1t 2，所以(t 1+t 2)2+2t 1t 2=0，即：(−√2)2+2(5−6a)=0，解得a =1．[选修4-5：不等式选讲] 【答案】（1）f(x)+f(x +4)＝|x −1|+|x +3|={−2−2x,x <−34,−3≤x ≤12x +2,x >1 ，当x <−3时，由−2x −2≥8，解得x ≤−5；当−3≤x ≤1时，f(x)＝4≤8，原不等式不成立；当x >1时，由2x +2≥8，解得x ≥3．所以，不等式f(x)≥8的解集为{x|x ≤−5, 或x ≥3}．（2）证明：f(ab)>|a|f(ba )，即|ab −1|>|a −b|．∵ |a|<1，|b|<1，∴ |ab −1|2−|a −b|2＝(a 2b 2−2ab +1)−(a 2−2ab +b 2) ＝(a 2−1)(b 2−1)>0，所以，|ab −1|>|a −b|．故所证不等式成立．【考点】函数恒成立问题【解析】(Ⅰ)运用绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，即可得到所求解集；(Ⅱ)f(ab)>|a|f(ba )，即|ab −1|>|a −b|，两边平方后作差，由因式分解，即可得证．【解答】（1）f(x)+f(x +4)＝|x −1|+|x +3|={−2−2x,x <−34,−3≤x ≤12x +2,x >1 ，当x <−3时，由−2x −2≥8，解得x ≤−5；当−3≤x ≤1时，f(x)＝4≤8，原不等式不成立；当x >1时，由2x +2≥8，解得x ≥3．所以，不等式f(x)≥8的解集为{x|x ≤−5, 或x ≥3}．（2）证明：f(ab)>|a|f(ba )，即|ab −1|>|a −b|． ∵ |a|<1，|b|<1，∴|ab−1|2−|a−b|2＝(a2b2−2ab+1)−(a2−2ab+b2)＝(a2−1)(b2−1)>0，所以，|ab−1|>|a−b|．故所证不等式成立．试卷第21页，总21页。

2018年吉林省长春市高考数学三模试卷(文科)

8.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
等比数表的弹项公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
9.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
由三都问求体积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
10.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
利用三数定究曲纵上迹点切线方程
直线的都特式方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
11.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
球的体都连表面积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
12.
【答案】此题ຫໍສະໝຸດ 无答案【考点】双曲根气离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.
13.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
简单因性规斯
求的值；
求出样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；
现在要从年龄较小的第，组中用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行问卷调查，求第组中恰好抽到人的概率．
19.在如图所示的几何体中，四边形是正方形，平面，，分别是线段，的中点，．
A. B. C. D.
12.已知双曲线的左、右焦点分别为，，若上存在一点满足，且的面积为，则该双曲线的离心率为
A. B. C. D.
二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.

2018年吉林省长春市高考数学三模试卷(文科)

2018年吉林省长春市高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知复数z=1+2i，则z•=（）A．3﹣4i B．5+4i C．﹣3D．52．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|﹣2＜x＜2}，则A∩B=（）A．{x|﹣2＜x＜2}B．{x|﹣2＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜3}D．{x|﹣1＜x＜2} 3．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个设计几何体体积的问题．意思是如果两个等高的几何体在同高处处截得两几何体的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．设A，B为两个等高的几何体，p：A，B的体积不相等，q：A，B在同高处的截面面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．直线x﹣3y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣3）2=10相交所得弦长为（）A．B．C．4D．35．下列命题中错误的是（）A．如果平面α外的直线a不平行于平面α内不存在与a平行的直线B．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么直线l⊥平面γC．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βD．一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交6．已知数列{a n}满足a n﹣a n=2，a1=﹣5，则|a1|+|a2|+…+|a6|=（）+1A．9B．15C．18D．307．平面内的动点（x，y）满足约束条件，则z=2x+y的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，4]C．[4，+∞）D．[﹣2，2]8．函数f（x）=的图象大致为（）A．B C．D．9．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．4B．C．D．10．若关于x的方程2sin（2x+）=m在[0，]上有两个不等实根，则m的取值范围是（）A．（1，）B．[0，2]C．[1，2）D．[1，]11．运行如图所示的程序框图，则输出的a、b、c满足（）A．c≤b≤a B．a≤b≤c C．a≤c≤b D．b≤c≤a12．对∀x∈（0，），8x≤log a x+1恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，]C．[，1）D．[，1）二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.13．某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92，其中学号为前30名的同学平均成绩为90，则后20名同学的平均成绩为．14．若函数f（x）=e x•sinx，则f'（0）=．15．《九章算术》是我国第一部数学专著，下有源自其中的一个问题：“今有金箠（chuí），长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问金箠重几何？”其意思为：“今有金杖（粗细均匀变化）长5尺，截得本端1尺，重4斤，截得末端1尺，重2斤．问金杖重多少？”则答案是．16．F为双曲线（a＞b＞0）的左焦点，过点F且斜率为1的直线与两条渐近线分别交于A，B两点，若=，则双曲线的离心率为．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．已知点，Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数．（1）求函数f（x）的解析式及最小正周期；（2）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，△ABC的面积为，求△ABC 的周长．18．某手机厂商推出一款6吋大屏手机，现对500名该手机用户进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下：女性用户分值区间[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]频数2040805010男性用户分值区间[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]频数4575906030（1）完成下列频率分布直方图，并指出女性用户和男性用户哪组评分更稳定（不计算具体值，给出结论即可）；（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取2名用户，求两名用户中评分都小于90分的概率．19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，AD=AP=2，AB=2，E为棱PD的中点．（Ⅰ）证明：PD⊥平面ABE；（Ⅰ）求三棱锥C﹣PBD外接球的体积．20．已知函数f（x）=ax﹣lnx．（1）过原点O作曲线y=f（x）的切线，求切点的横坐标；（2）对∀x∈[1，+∞），不等式f（x）≥a（2x﹣x2），求实数a的取值范围．21．已知椭圆C：，F1，F2分别是其左、右焦点，以F1F2为直径的圆与椭圆C有且仅有两个交点．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P，点P横坐标的取值范围是，求线段AB长的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]（共1小题，满分10分）22．已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线C1上点P的极角为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．（1）求证：2a+b=2；（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．2018年吉林省长春市高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知复数z=1+2i，则z•=（）A．3﹣4i B．5+4i C．﹣3D．5【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：z•=（1+2i）（1﹣2i）=12+22=5．故选：D．2．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|﹣2＜x＜2}，则A∩B=（）A．{x|﹣2＜x＜2}B．{x|﹣2＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜3}D．{x|﹣1＜x＜2}【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜3，即A={x|﹣1＜x＜3}，∵B={x|﹣2＜x＜2}，则A∩B={x|﹣1＜x＜2}故选：D3．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个设计几何体体积的问题．意思是如果两个等高的几何体在同高处处截得两几何体的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．设A，B为两个等高的几何体，p：A，B的体积不相等，q：A，B在同高处的截面面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由p⇒q，反之不成立．即可得出．【解答】解：由p⇒q，反之不成立．∴p是q的充分不必要条件．故选：A．4．直线x﹣3y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣3）2=10相交所得弦长为（）A．B．C．4D．3【考点】直线与圆相交的性质．【分析】根据已知中圆的标准方程和直线的一般方程，代入圆的弦长公式，可得答案．【解答】解：圆（x﹣1）2+（y﹣3）2=10的圆心坐标为（1，3），半径r=，圆心到直线x﹣3y+3=0的距离d==，故弦AB=2=，故选A．5．下列命题中错误的是（）A．如果平面α外的直线a不平行于平面α内不存在与a平行的直线B．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么直线l⊥平面γC．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βD．一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由空间中直线与平面的位置关系逐一核对四个选项得答案．【解答】解：如果平面α外的直线a不平行于平面α，则a与α相交，则α内不存在与a平行的直线，故A正确；如图：α⊥γ，α∩γ=a，β⊥γ，β∩γ=b，α∩β=l，在γ内取一点P，过P作PA⊥a于A，作PB⊥b于B，由面面垂直的性质可得PA ⊥l，PB⊥l，则l⊥γ，故B正确；如果平面α⊥平面β，那么平面α内的直线与平面β有三种位置关系：平行、相交、异面，故C错误；一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交，故D正确．故选：C．6．已知数列{a n}满足a n﹣a n=2，a1=﹣5，则|a1|+|a2|+…+|a6|=（）+1A．9B．15C．18D．30【考点】数列的求和．【分析】利用等差数列的通项公式可得a n．及其数列{a n}的前n项和S n．令a n ≥0，解得n，分类讨论即可得出．﹣a n=2，a1=﹣5，∴数列{a n}是公差为2的等差数列．【解答】解：∵a n+1∴a n=﹣5+2（n﹣1）=2n﹣7．数列{a n}的前n项和S n==n2﹣6n．令a n=2n﹣7≥0，解得．∴n≤3时，|a n|=﹣a n．n≥4时，|a n|=a n．则|a1|+|a2|+…+|a6|=﹣a1﹣a2﹣a3+a4+a5+a6=S6﹣2S3=62﹣6×6﹣2（32﹣6×3）=18．故选：C．7．平面内的动点（x，y）满足约束条件，则z=2x+y的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，4]C．[4，+∞）D．[﹣2，2]【考点】简单线性规划．【分析】画出满足约束条件的平面区域，求出可行域各角点的坐标，然后利用角点法，求出目标函数的最大值和最小值，即可得到目标函数的取值范围．【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：由图可知解得A（1，2）当x=1，y=2时，目标函数z=2x+y有最大值4．故目标函数z=2x+y的值域为（﹣∞，4]故选：B．8．函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象．【分析】利用函数的导数判断函数的单调性以及函数的值域，判断函数的图象即可．【解答】解：函数f（x）=的定义域为：x≠0，x∈R，当x＞0时，函数f′（x）=，可得函数的极值点为：x=1，当x∈（0，1）时，函数是减函数，x＞1时，函数是增函数，并且f（x）＞0，选项B、D满足题意．当x＜0时，函数f（x）=＜0，选项D不正确，选项B正确．故选：B．9．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．4B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图复原的几何体是正四棱锥，结合三视图的数据，求出几何体的体积．【解答】解：由题意三视图可知，几何体是正四棱锥，底面边长为2的正方形，一条侧棱垂直正方形的一个顶点，长度为2，所以四棱锥的体积．故选D．10．若关于x的方程2sin（2x+）=m在[0，]上有两个不等实根，则m的取值范围是（）A．（1，）B．[0，2]C．[1，2）D．[1，]【考点】正弦函数的图象．【分析】把方程2sin（2x+）=m化为sin（2x+）=，画出函数f（x）=sin （2x+）在x∈[0，]上的图象，结合图象求出方程有两个不等实根时m的取值范围．【解答】解：方程2sin（2x+）=m可化为sin（2x+）=，当x∈[0，]时，2x+∈[，]，画出函数y=f（x）=sin（2x+）在x∈[0，]上的图象如图所示；根据方程2sin（2x+）=m在[0，]上有两个不等实根，得≤＜11≤m＜2∴m的取值范围是[1，2）．故选：C．11．运行如图所示的程序框图，则输出的a、b、c满足（）A．c≤b≤a B．a≤b≤c C．a≤c≤b D．b≤c≤a【考点】程序框图．【分析】分析程序运行的功能是比较a、b、c的大小并按大小顺序输出，写出运行结果即可．【解答】解：由程序框图知，程序运行的功能是比较a、b、c的大小并按大小顺序输出，程序运行后输出的是c≤b≤a．故选：A．12．对∀x∈（0，），8x≤log a x+1恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，]C．[，1）D．[，1）【考点】函数恒成立问题．【分析】对任意的x∈（0，），总有8x≤log a x+1恒成立，则在0＜x＜时，y=log a x 的图象恒在y=8x﹣1的图象的上方，在同一坐标系中，分别画出指数和对数函数的图象，由此能求出实数a的取值范围【解答】解：∵a∈（0，1）∪（1，+∞），当0＜x＜时，函数y=8x﹣1的图象如下图所示：∵对任意x∈（0，），总有8x≤log a x+1恒成立，则y=log a x的图象恒在y=8x﹣1的图象的上方（如图中虚线所示）∵y=log a x的图象与y=8x﹣1的图象交于（，1）点时，a=，故虚线所示的y=log a x的图象对应的底数a应满足≤a＜1．故选：C．二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.13．某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92，其中学号为前30名的同学平均成绩为90，则后20名同学的平均成绩为95．【考点】众数、中位数、平均数．【分析】设学号为31号到50号同学的平均成绩为x，得到关于x的方程，解出即可．【解答】解：设学号为31号到50号同学的平均成绩为x，则92×50=90×30+20x，解得：x=95，故答案为：95．14．若函数f（x）=e x•sinx，则f'（0）=1．【考点】导数的运算．【分析】先求f（x）的导数，再求导数值．【解答】解：f（x）=e x•sinx，f′（x）=（e x）′sinx+e x．（sinx）′=e x•sinx+e x•cosx，∴f'（0）=0+1=1故答案为：115．《九章算术》是我国第一部数学专著，下有源自其中的一个问题：“今有金箠（chuí），长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问金箠重几何？”其意思为：“今有金杖（粗细均匀变化）长5尺，截得本端1尺，重4斤，截得末端1尺，重2斤．问金杖重多少？”则答案是15斤．【考点】等差数列的通项公式．【分析】由题意可知等差数列的首项和第5项，由等差数列的前n项和得答案．【解答】解：由题意可知等差数列中a1=4，a5=2，则S5=，∴金杖重15斤．故答案为：15斤．16．F为双曲线（a＞b＞0）的左焦点，过点F且斜率为1的直线与两条渐近线分别交于A，B两点，若=，则双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设出过焦点的直线方程，与双曲线的渐近线方程联立把A，B表示出来，再由条件可得A为FB的中点，运用中点坐标公式，可得a，b，c的关系，然后求双曲线的离心率．【解答】解：设F（﹣c，0），则过F作斜率为1的直线为：y=x+c，而渐近线的方程是：y=±x，由得：A（﹣，），由得，B（﹣，﹣），若=，可得A为FB的中点，可得﹣c﹣=﹣2•，化为b=3a，c==a，e==．故答案为：．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．已知点，Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数．（1）求函数f（x）的解析式及最小正周期；（2）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，△ABC的面积为，求△ABC 的周长．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；正弦定理．【分析】（1）利用向量数量积运算，即可求函数f（x）的解析式及最小正周期；（2）利用，△ABC的面积为，求出bc，利用余弦定理，求出，即可求△ABC的周长．【解答】解：（1），∴==4﹣2sin（x+），f（x）的最小正周期为2π；（2）因为f（A）=4，所，因为0＜A＜π，所以，因为，所以bc=3，根据余弦定理，所以，即三角形的周长为．18．某手机厂商推出一款6吋大屏手机，现对500名该手机用户进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下：女性用户分值区间[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]频数2040805010男性用户分值区间[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]频数4575906030（1）完成下列频率分布直方图，并指出女性用户和男性用户哪组评分更稳定（不计算具体值，给出结论即可）；（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取2名用户，求两名用户中评分都小于90分的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）作出女性用户和男性用户的频率分布表，由图可得女性用户更稳定．（2）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，记为A，B，C，D，评分不小于90分的人数为2，记为a，b，设事件M为“两名用户评分都小于90分”从6人人任取2人，利用列举法能求出两名用户中评分都小于90分的概率．【解答】（本小题满分12分）解：（1）女性用户和男性用户的频率分布表分别如下左、右图：由图可得女性用户更稳定．（2）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，记为A，B，C，D，评分不小于90分的人数为2，记为a，b，设事件M为“两名用户评分都小于90分”从6人人任取2人，基本事件空间为Ω={（AB），（AC），（AD），（Aa），（Ab），（BC），（BD），（Ba），（Bb），（CD），（Ca），（Cb），（Da），（Db），（ab）}，共有15个元素．M={（AB），（AC），（AD），（BC），（BD），（CD）}，共有6个元素．P（M）=．19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，AD=AP=2，AB=2，E为棱PD的中点．（Ⅰ）证明：PD⊥平面ABE；（Ⅰ）求三棱锥C﹣PBD外接球的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PD⊥平面ABE．（Ⅰ）三棱锥C﹣PBD外接球即以AB，AD，AP为棱的长方体的外接球，由此能求出三棱锥C﹣PBD外接球的体积．【解答】证明：（Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，P（0，0，2），D（0，2，0），A（0，0，0），B（2，0，0），E（0，1，1），=（0，2，﹣2），=（2，0，0），=（0，1，1），=0，=0，∴PD⊥AB，PD⊥AE，∵AB∩AE=A，∴PD⊥平面ABE．解：（Ⅰ）∵AD，AP，AB两垂直，底面ABCD为矩形，∴三棱锥C﹣PBD外接球即以AB，AD，AP为棱的长方体的外接球，∴三棱锥C﹣PBD外接球的半径R==3，∴三棱锥C﹣PBD外接球的体积V===36π．20．已知函数f（x）=ax﹣lnx．（1）过原点O作曲线y=f（x）的切线，求切点的横坐标；（2）对∀x∈[1，+∞），不等式f（x）≥a（2x﹣x2），求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）过原点O作曲线y=f（x）的切线，求出切线方程，即可求切点的横坐标；（2）对∀x∈[1，+∞），不等式f（x）≥a（2x﹣x2），化为ax2﹣ax﹣lnx≥0对∀x∈[1，+∞）恒成立，分类讨论，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）设切点为（x0，ax0﹣lnx0），∴，直线的切线方程为y﹣（ax0﹣lnx0）=（a﹣）（x﹣x0），又切线过原点﹣ax0+lnx0=﹣ax0+1，所以lnx0=1，解得x0=e，所以切点的横坐标为e．（2）因为不等式ax﹣lnx≥a（2x﹣x2）对∀x∈[1，+∞）恒成立，所以ax2﹣ax﹣lnx≥0对∀x∈[1，+∞）恒成立．设g（x）=ax2﹣ax﹣lnx，g′（x）=2ax﹣a﹣．①当a≤0时，∵，∴g（x）在[1，+∞）上单调递减，即g（x）≤g（1）=0，∴a≤0不符合题意．②当a＞0时，．设，在[1，+∞）上单调递增，即a≥1．（i）当a≥1时，由h（x）≥0，得g'（x）≥0，∴g（x）在[1，+∞）上单调递增，即g（x）≥g（1）=0，∴a≥1符合题意；（ii）当0＜a＜1时，∵a﹣1＜0，∴∃x0∈[1，+∞）使得h（x0）=0，则g（x）在[1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，∴g（x0）＜g（1）=0，则0＜a＜1不合题意．综上所述，a≥1．21．已知椭圆C：，F1，F2分别是其左、右焦点，以F1F2为直径的圆与椭圆C有且仅有两个交点．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P，点P横坐标的取值范围是，求线段AB长的取值范围．【考点】椭圆的简单性质；直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）根据题意，分析可得b=c=1，计算可得a的值，代入椭圆的方程即可得答案；（2）根据题意，设直线AB的方程为y=k（x+1），与联立可得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为M（x0，y0），由根与系数的关系分析可得直线AB的垂直平分线方程，由弦长公式可以表示|AB|，计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，因为以F1F2为直径的圆与椭圆C有且仅有两个交点，所以b=c=1，即a==，即椭圆C的方程为，（2）根据题意，过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，即直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k（x+1），与联立，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为M（x0，y0），，，，即，设直线AB的垂直平分线方程为，令y=0，得，因为，所以=；即线段AB长的范围是（，2）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]（共1小题，满分10分）22．已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线C1上点P的极角为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，可得直角坐标方程．直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得普通方程．（2），直角坐标为（2，2），，利用点到直线的距离公式及其三角函数的单调性可得最大值．【解答】解：（1）曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，可得直角坐标方程：．直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得普通方程：x+2y﹣3=0．（2），直角坐标为（2，2），，∴M到l的距离≤，从而最大值为．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．（1）求证：2a+b=2；（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）法一：根据绝对值的性质求出f（x）的最小值，得到x=时取等号，证明结论即可；法二：根据f（x）的分段函数的形式，求出f（x）的最小值，证明即可；（2）法一，二：问题转化为≥t恒成立，根据基本不等式的性质求出的最小值，从而求出t的范围即可；法三：根据二次函数的性质判断即可．【解答】解：（1）法一：f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=|x+a|+|x﹣|+|x﹣|，∵|x+a|+|x﹣|≥|（x+a）﹣（x﹣）|=a+且|x﹣|≥0，∴f（x）≥a+，当x=时取等号，即f（x）的最小值为a+，∴a+=1，2a+b=2；法二：∵﹣a＜，∴f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=，显然f（x）在（﹣∞，]上单调递减，f（x）在[，+∞）上单调递增，∴f（x）的最小值为f（）=a+，∴a+=1，2a+b=2．（2）方法一：∵a+2b≥tab恒成立，∴≥t恒成立，=+=（+）（2a+b ）•=（1+4++），当a=b=时，取得最小值，∴≥t，即实数t的最大值为；方法二：∵a+2b≥tab恒成立，∴≥t恒成立，t≤=+恒成立，+=+≥=，∴≥t，即实数t的最大值为；方法三：∵a+2b≥tab恒成立，∴a+2（2﹣a）≥ta（2﹣a）恒成立，∴2ta2﹣（3+2t）a+4≥0恒成立，∴（3+2t）2﹣326≤0，∴≤t≤，实数t的最大值为．。

吉林省长春市普通高中2018届高三质量检测(三)数学(理)试卷

长春市普通高中2018届高三质量监测（三）数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. C 2. A 3. C 4. D 5.C6. D7. A 8. B 9. B 10. D 11. B 12. B简答与提示：1. 【命题意图】本题考查集合的运算.【试题解析】C {|11},{|03},(1,3)A x x B x x AB =-<<=<<=-.故选C.2.【命题意图】本题考查复数.【试题解析】A ,||1z i z ==.故选A.3. 【命题意图】本题考查中华传统文化中的数学问题. 【试题解析】C 由算筹含义. 故选C.4. 【命题意图】本题主要考查函数的图象及性质. 【试题解析】D 由函数是偶函数，排除A ，C ，当(0,)2x π∈，tan 0x >.故选D.5.【命题意图】本题考查三角函数的相关知识.【试题解析】C 由题意知，,12a k k ππ=-+∈Z .故选C.6. 【命题意图】本题主要考查算法的相关知识. 【试题解析】D 根据程序框图.故选 D7. 【命题意图】本题考查计数原理的应用.【试题解析】A 由题意知23223224A A A =.故选A.8. 【命题意图】本题主要考查三视图问题.【试题解析】B 由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥，123V =⋅=故选B.9.【命题意图】本题主要考查解三角形的相关知识.【试题解析】B由题意知60B =︒，由余弦定理，224ac a c =+-，故22424ac a c ac =+-≥-，有4ac ≤，故1sin 2ABC S ac B ∆=≤故选B. 10.【命题意图】本题主要考查球的相关问题.【试题解析】D 故其5π.故选D. 11.【命题意图】本题考查双曲线的相关知识.【试题解析】B 由双曲线可知122213,4PF F S m m ∆=-==，从而e =.故选B.12.【命题意图】本题是考查导数在研究函数单调性上的应用.【试题解析】B 令()()2=+F x f x x ，有()()20''=+>F x f x ，所以()F x 在定义域内单调递增，由1)1(=f ，得(1)(1)23=+=F f ，因为2(log |31|)3|31|-<--x x f 等价于22(log |31|)2log |31|3-+-<x x f ，令2log |31|=-x t ，有()23+<f t t ，则有1<t ，即2log |31|1-<x ，从而0|31|2x<-<，解得1,<x 且0≠x . 故选B.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 914. 1.715. (,1][4,)-∞-+∞ 16. 48-简答与提示：13. 【命题意图】本题考查线性规划问题.【试题解析】由可行域可确定目标函数在(1,4)处取最大值9. 14.【命题意图】本题考查回归方程的相关知识.【试题解析】将 3.2x =代入回归方程为ˆ1yx =+可得 4.2y =，则4 6.7m =，解得 1.675m =，即精确到0.1后m 的值约1.7.15. 【命题意图】本题考查分段函数的相关知识.【试题解析】当10,()2,12x x x ≤≥≤-，当20,log 2,4x x x >≥≥，故(,1][4,)-∞-+∞.16.【命题意图】本题考查平面向量的相关知识.【试题解析】由题意可知其最小值为48-三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查数列的基本方法及数列求和. 【试题解析】解：（1）2n S n n =-，∴令1n =，10a =()121n n n a S S n -=-=-，()2n ≥ ∴()21n a n =- 又数列{}n b 为等比，222b a ==，458b a ==∴2424b q b ==，又各项均为正∴2q =，∴12n n b -= （2）由（1）得：()12nn c n =-⋅ ∴()()()23021231212n n T n =+-⋅+-⋅++-⋅()23122212n n =⋅+⋅++-⋅()()341212222212n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+-⋅()2341222212n n n T n +-=++++--⋅()()2112121212n n n -+-=--⋅-()112124n n n ++=--⋅-∴()1224n n T n +=-⋅+18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对频率分布直方图的理解以及分布列的相关知识. 【试题解析】解：（1）由()100.0100.0150.0300.0101a ⨯++++=，得0.035a =，（2）第1，2，3组的人数分别为20人，30人，70人，从第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取12人，则第1，2，3组抽取的人数分别为2人，3人，7人.设从12人中随机抽取3人，第1组已被抽到1人为事件A ，第3组抽到2人为事件B ，则()()1227312122121021031221|.()50C C P AB C P B A C C C C P A C ===+ （3）从所有参与调查的人中任意选出1人，关注“生态文明”的概率为4,5P =X 的可能取值为0，1，2，3. ()033410(1)5125P X C ∴==-=，()112344121()(1)55125P X C ==-=()221344482()(1)55125P X C ==-=，()3334643()5125P X C ===4~(3,)5X B ，()4123.55E X np ==⨯=19.(本小题满分12分)【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【试题解析】答案：（1）取PC 中点M ，连接MF DM ,F M , 分别是PB PC ,中点， CB MF CB MF 21,//=∴， E 为DA 中点，ABCD 为矩形，CB DE CB DE 21,//=∴，DE MF DE MF =∴,//，∴四边形DEFM 为平行四边形⊄∴EF DM EF ,//平面PDC ，⊂DM 平面PDC ，//EF ∴平面RDC（2）⊥PA 平面ABC ，且四边形ABCD 是正方形，AP AB AD ,,∴两两垂直，以A 为原点，AP ，AB ，AD 所在直线为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系xyz A - 则(),0,0,1P ()(),1,1,0,1,0,0CD 111(0,0,),(,,0)222E F设平面EFC 法向量为1(,,)n x y z =，111(,,)222EF =-，11(,,1)22FC =-则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011n n EF ，即⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-+021210z y x z y x ，取()2,1,31-=n 则设平面PDC 法向量为2(,,)n x y z =，(1,0,1)PD =-，(1,1,1)PC =-则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅022n n PD ，即⎩⎨⎧=++-=+-00z y x z x ，取()1,0,12=n121212cos ,||||n n n n n n ⋅<>===⋅∴平面EFC 与平面PDC 所成锐二面角的余弦值为1475. 20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.【试题解析】解：(1)设动圆C 的半径为r ，由题意知12||3,||1CC r CC r =-=+ 从而有12||||4CC CC +=，故轨迹E 为以12,C C 为焦点，长轴长为4的椭圆，并去除点(2,0)-，从而轨迹E 的方程为221(2)43x y x +=≠-.（2）设l 的方程为1x my =+，联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得22(34)690m y mx ++-=，设点1122(,),(,)A x y B x y ，有12122269,,3434m y y y y m m --+==++则2212(1)||34m AB m +==+，点(2,0)P -到直线l(2,0)Q 到直线l从而四边形APBQ的面积22112(1)234m S m +=⨯=+令1t t =≥，有224241313t S t t t==++，函数13y t t =+在[1,)+∞上单调递增，有134t t +≥，故2242461313t S t t t==≤++，即四边形APBQ 面积的最大值为6.21.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力. 【试题解析】解：（1）()f x 的定义域为x R ∈且单调递增，∴在x R ∈上，()240x af x x e'=-+≥恒成立，即：(42)x a x e ≥- ∴设()(42)xh x x e =- x R ∈ ，∴()(22)xh x x e '=-，∴当(,1)x ∈-∞时()0h x '>，∴()h x 在(,1)x ∈-∞上为增函数， ∴当[1,)x ∈+∞时()0h x '≤，∴()h x 在[1,)x ∈+∞上为减函数， ∴max ()(1)2h x h e ==max [(42)]x a x e ≥-，∴2a e ≥，即[2,)a e ∈+∞ .（2）()()()245x x g x e f x x x e a ==-+-()()()122g x g x g m += [)1,m ∈+∞，∴()()()12222112245452452x x m x x e a x x e a m m e a -+-+-+-=-+-∴()()()1222211224545245x x m x x e x x e m m e -++-+=-+∴设()()245xx x x e ϕ=-+ x R ∈，则()()()122x x m ϕϕϕ+=，∴()()210xx x e ϕ'=-≥ ∴()x ϕ在x R ∈上递增且()10ϕ'=令()1,x m ∈-∞，()2,x m ∈+∞∴设()()()F x m x m x ϕϕ=++-，()0,x ∈+∞∴()()()2211m x m x F x m x e m x e +-'=+----0x > ∴0m x m x e e +->>，()()()22112220m x m x m x +----=-≥∴()0F x '≥，()F x 在()0,x ∈+∞上递增， ∴()()()02F x F m ϕ>=， ∴()()()2m x m x m ϕϕϕ++->，()0,x ∈+∞，令1x m x =-∴()()()112m m x m m x m ϕϕϕ+-+-+>即：()()()1122m x x m ϕϕϕ-+>又12()()2()x x m ϕϕϕ+=，∴()()()()12222m x m x m ϕϕϕϕ-+->即：()()122m x x ϕϕ->1x m <，2x m >∴12m x m ->，()x ϕ在x R ∈上递增∴122m x x ->，即：122x x m +<，得证.22. (本小题满分10分) 【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求. 【试题解析】（1）联立⎩⎨⎧==θρθρcos 43cos ，23cos ±=θ，20πθ<≤ ，6πθ=，32=ρ交点坐标)6π.（2）设()θρ,P ，()00,θρQ 且.cos 400θρ=0[0,)2πθ∈，由已知,32QP OQ =得⎪⎩⎪⎨⎧==θθρρ0052θρcos 452=∴，点P 的极坐标方程为10cos ,[0,)2πρθθ=∈.23.(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法等内容. 本小题重点考查化归与转化思想.、总体概述：工程概况、施工组织总体设想、方案的.- 11 - 【试题解析】（1）当2m =-时，()41(0)32232=1(0)2345()2x x f x x x x x x ⎧+≥⎪⎪⎪=++--⎨⎪⎪--≤-⎪⎩＜＜当4130x x +≤⎧⎨≥⎩解得12x ≤≤0；当30132x -≤＜＜，恒成立. 当45332x x --≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩解得322x -≤≤-，此不等式的解集为1[2]2-，. ()43+(0)3223=3(0)2343()2x m x f x x x m m x x m x ⎧+≥⎪⎪⎪=++++-⎨⎪⎪--+≤-⎪⎩（2）＜＜当(,0)x ∈-∞时，()33(0)2223=343()2m x f x x x m x m x ⎧+-⎪⎪=+++⎨⎪--+≤-⎪⎩＜＜当302x -＜＜时，()=3+f x m ，当()3=432x f x x m ≤---+，单调递减，∴f (x )的最小值为3+m ，设()()20g x x x x =+<当20,x x x ->-+≥-，当且仅当2=x x --时，取等号2x x∴+≤即x g(x)取得最大值.要使()2f x x x≥+恒成立，只需3m +≥-m ≥-.。

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2018年吉林省长春市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={3a，3}，B={a2+2a，4}，A∩B={3}，则A∪B等于（）A．{3，5}B．{3，4}C．{﹣9，3}D．{﹣9，3，4}2．复数z满足zi=1﹣i（i为虚数单位），则z等于（）A．﹣﹣i B．﹣i C．i D．﹣i3．已知向量，，且||=2，与的夹角为，⊥（3﹣），则||等于（）A．6 B．6C．12 D．124．等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=﹣15，a2+a5=﹣2，则公差d等于（）A．5 B．4 C．3 D．25．如图所示的程序框图，运行程序后，输出的结果为（）A．5 B．4 C．3 D．26．某公司在2012﹣2016年的收入与支出情况如表所示：根据表中数据可得回归直线方程为=0.8x+，依次估计如果2017年该公司收入为7亿元时的支出为（）A．4.5亿元B．4.4亿元C．4.3亿元D．4.2亿元7．已知a=2﹣1.2，b=log36，c=log510，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．a＜c＜b8．若x，y满足，且当z=y﹣x的最小值为﹣12，则k的值为（）A．B．﹣C．D．﹣9．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．10．设函数f（x）=sin（2x+）（x∈[0，]），若方程f（x）=a恰好有三个根，分别为x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则x1+2x2+x3的值为（）A．πB．C．D．11．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4，AA1=6，若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，且BE=B1E，C1F=CC1，则异面直线A1E与AF所成角的余弦值为（）A． B． C． D．12．设函数f（x）=﹣x，若不等式f（x）≤0在[﹣2，+∞）上有解，则实数a的最小值为（）A．B．C． D．二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.13．《九章算术》是我国第一部数学专著，下有源自其中的一个问题：“今有金箠（chuí），长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问金箠重几何？”其意思为：“今有金杖（粗细均匀变化）长5尺，截得本端1尺，重4斤，截得末端1尺，重2斤．问金杖重多少？”则答案是．14．函数f（x）=e x•sinx在点（0，f（0））处的切线方程是．15．直线kx﹣3y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣3）2=10相交所得弦长的最小值为．16．过双曲线﹣=1（a＞b＞0）的左焦点F作某一渐近线的垂线，分别与两渐近线相交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．（12分）已知点，Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数．（1）求函数f（x）的最小值及此时x的值；（2）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求△ABC的周长的最大值．18．（12分）某手机厂商推出一款6吋大屏手机，现对500名该手机用户（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下：（1）完成下列频率分布直方图，并指出女性用户和男性用户哪组评分更稳定（不计算具体值，给出结论即可）；（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取3名用户，求3名用户中评分小于90分的人数的分布列和期望．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AD=AP，E为棱PD中点．（1）求证：PD⊥平面ABE；（2）若F为AB中点，，试确定λ的值，使二面角P﹣FM ﹣B的余弦值为．20．（12分）已知F1，F2分别是长轴长为的椭圆C：的左右焦点，A1，A2是椭圆C的左右顶点，P为椭圆上异于A1，A2的一个动点，O为坐标原点，点M为线段PA2的中点，且直线PA2与OM的斜率之积恒为．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点F1且不与坐标轴垂直的直线C（2，2，0）交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与B（2，0，0）轴交于点N，点N横坐标的取值范围是，求线段AB长的取值范围．21．（12分）已知函数．（1）求f（x）的极值；（2）当0＜x＜e时，求证：f（e+x）＞f（e﹣x）；（3）设函数f（x）图象与直线y=m的两交点分别为A（x1，f（x1）、B（x2，f （x2）），中点横坐标为x0，证明：f'（x0）＜0．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]（共1小题，满分10分）22．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l：（为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线P（x0，y0）上点P 的极坐标为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．（1）求证：2a+b=2；（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．2018年吉林省长春市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={3a，3}，B={a2+2a，4}，A∩B={3}，则A∪B等于（）A．{3，5}B．{3，4}C．{﹣9，3}D．{﹣9，3，4}【考点】交集及其运算；并集及其运算．【分析】利用交集性质求出a=﹣3，从而求出集合A和B，由此能求出A∪B．【解答】解：∵集合A={3a，3}，B={a2+2a，4}，A∩B={3}，∴，解得a=﹣3，∴A={﹣9，3}，B={3，4}，A∪B={﹣9，3，4}．故选：D．【点评】本题考查交集、并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集定义的合理运用．2．复数z满足zi=1﹣i（i为虚数单位），则z等于（）A．﹣﹣i B．﹣i C．i D．﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵zi=1﹣i，∴．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．3．已知向量，，且||=2，与的夹角为，⊥（3﹣），则||等于（）A．6 B．6C．12 D．12【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求得||．【解答】解：∵||=2，与的夹角为，⊥（3﹣），∴•（3﹣）=3﹣=3•12﹣2•||•cos=0，∴||=12，故选：C．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，属于基础题．4．等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=﹣15，a2+a5=﹣2，则公差d等于（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列前n项和公式、通项公式列出方程组，由此能求出公差．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=﹣15，a2+a5=﹣2，∴，解得a3=﹣2，d=4．故选：B．【点评】本题考查公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5．如图所示的程序框图，运行程序后，输出的结果为（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，a，n的值，当s=时，不满足条件，退出循环，输出n的值即可．【解答】解：s=0，a=2，n=1；s=2，a=，n=2；s=，a=，n=3；s=＞3，a=；输出n=3；故选：C．【点评】本题主要考查了算法和程序框图，属于基本知识的考查．6．某公司在2012﹣2016年的收入与支出情况如表所示：根据表中数据可得回归直线方程为=0.8x+，依次估计如果2017年该公司收入为7亿元时的支出为（）A．4.5亿元B．4.4亿元C．4.3亿元D．4.2亿元【考点】线性回归方程．【分析】根据表中数据，计算、以及回归系数，写出回归方程，利用回归方程计算x=7时的值即可．【解答】解：根据表中数据，计算=×（2.2+2.6+4.0+5.3+5.9）=4，=×（0.2+1.5+2.0+2.5+3.8）=2，∴=2﹣0.8×4=﹣1.2，∴回归直线方程为=0.8x﹣1.2，计算x=7时=0.8×7﹣1.2=4.4（亿元），即2017年该公司收入为7亿元时的支出为4.4亿元．故选：B．【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题．7．已知a=2﹣1.2，b=log36，c=log510，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．a＜c＜b【考点】对数值大小的比较．【分析】a=2﹣1.2＜1，b=log36=1+log32，c=log510=1+log52，而log32＞log52＞0，可得b＞c．即可得出．【解答】解：a=2﹣1.2＜1，b=log36=1+log32，c=log510=1+log52，而log32＞log52＞0，∴b＞c．∴b＞c＞a．故选：D．【点评】本题考查了对数函数与指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．若x，y满足，且当z=y﹣x的最小值为﹣12，则k的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据目标是的最小值建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：由z=y﹣x得y=x+z，要使z=y﹣x的最小值为﹣12，即y=x﹣12，则不等式对应的区域在y=x﹣12的上方，先作出对应的图象，由得，即C（12，0），同时C（12，0）也在直线kx﹣y+3=0上，则12k+3=0，得k=﹣，故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．9．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图知该几何体是等底同高的三棱锥与三棱柱的组合体，结合图中数据即可求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是等底同高的三棱锥与三棱柱的组合体，画出直观图如图所示；则几何体的体积为V几何体=V三棱柱+V三棱锥=××2+×××2=．故选：C．【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，是基础题目．10．设函数f（x）=sin（2x+）（x∈[0，]），若方程f（x）=a恰好有三个根，分别为x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则x1+2x2+x3的值为（）A．πB．C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】由x∈[0，]求出2x+的范围，由正弦函数的图象画出函数的大致图象，由函数的图象，以及正弦图象的对称轴求出x1+x2、x2+x3的值，即可求出x1+2x2+x3的值．【解答】解：由题意x∈[0，]，则2x+∈[，]，画出函数的大致图象：由图得，当时，方程f（x）=a恰好有三个根，由2x+=得x=，由2x+=得x=，由图知，点（x1，0）与点（x2，0）关于直线对称，点（x2，0）与点（x3，0）关于直线对称，∴x1+x2=，x2+x3=，即x1+2x2+x3=+=，故选C．【点评】本题考查正弦函数的图象，以及正弦函数图象对称性的应用，考查整体思想，数形结合思想．11．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4，AA1=6，若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，且BE=B1E，C1F=CC1，则异面直线A1E与AF所成角的余弦值为（）A． B． C． D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以C为原点，CA为x轴，在平面ABC中过作AC的垂线为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1E与AF所成角的余弦值．【解答】解以C为原点，CA为x轴，在平面ABC中过作AC的垂线为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4，AA1=6，E，F分别是棱BB1，CC1上的点，且BE=B1E，C1F=CC1，∴A1（4，0，6），E（2，2，3），F（0，0，4），A（4，0，0），=（﹣2，2，﹣3），=（﹣4，0，4），设异面直线A1E与AF所成角所成角为θ，则cosθ===．∴异面直线A1E与AF所成角的余弦值为．故选：D．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．12．设函数f（x）=﹣x，若不等式f（x）≤0在[﹣2，+∞）上有解，则实数a的最小值为（）A．B．C． D．【考点】函数恒成立问题．【分析】依题意，可得2a≥[]min（x≥﹣2），构造函数g （x）==﹣，利用导数法可求得g（x）的极小值g（1）=1+﹣6+2﹣=﹣﹣，也是最小值，从而可得答案．【解答】解：f（x）=﹣x≤0在[﹣2，+∞）上有解⇔2ae x≥﹣x在[﹣2，+∞）上有解⇔2a≥[]min（x≥﹣2）．令g（x）==﹣，则g′（x）=3x2+3x﹣6﹣=（x﹣1）（3x+6+），∵x∈[﹣2，+∞），∴当x∈[﹣2，1）时，g′（x）＜0，g（x）在区间[﹣2，1）上单调递减；当x∈（1，+∞）时g′（x）＞0，g（x）在区间（1，+∞）上单调递增；∴当x=1时，g（x）取得极小值g（1）=1+﹣6+2﹣=﹣﹣，也是最小值，∴2a≥﹣﹣，∴a≥．故选：C．【点评】本题考查函数恒成立问题，考查等价转化思想，突出分离参数法、构造法与导数法的综合运用，属于难题．二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.13．《九章算术》是我国第一部数学专著，下有源自其中的一个问题：“今有金箠（chuí），长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问金箠重几何？”其意思为：“今有金杖（粗细均匀变化）长5尺，截得本端1尺，重4斤，截得末端1尺，重2斤．问金杖重多少？”则答案是15斤．【考点】等差数列的通项公式．【分析】由题意可知等差数列的首项和第5项，由等差数列的前n项和得答案．【解答】解：由题意可知等差数列中a1=4，a5=2，则S5=，∴金杖重15斤．故答案为：15斤．【点评】本题考查等差数列的前n项和，是基础的计算题．14．函数f（x）=e x•sinx在点（0，f（0））处的切线方程是y=x．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求出f′（x），欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵f（x）=e x•sinx，f′（x）=e x（sinx+cosx），（2分）f′（0）=1，f（0）=0，∴函数f（x）的图象在点A（0，0）处的切线方程为y﹣0=1×（x﹣0），即y=x（4分）．故答案为：y=x．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．15．直线kx﹣3y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣3）2=10相交所得弦长的最小值为2．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由条件可求得直线kx﹣3y+3=0恒过圆内定点（0，1），则圆心（1，3）到定点的距离为，因此最短弦长为．【解答】解：由条件可求得直线kx﹣3y+3=0恒过圆内定点（0，1），则圆心（1，3）到定点（0，1））的距离为，当圆心到直线kx﹣3y+3=0的距离最大时（即等于圆心（1，3）到定点（0，1））的距离）所得弦长的最小，因此最短弦长为2=．故答案为：2．【点评】题考查直线和圆的位置关系，以及最短弦问题，属于中档题16．过双曲线﹣=1（a＞b＞0）的左焦点F作某一渐近线的垂线，分别与两渐近线相交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】方法一、运用两渐近线的对称性和条件，可得A为BF的中点，由垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，可得Rt△OAB中，∠AOB=，求得渐近线的斜率，运用离心率公式即可得到；方法二、设过左焦点F作的垂线方程为，联立渐近线方程，求得交点A，B的纵坐标，由条件可得A为BF的中点，进而得到a，b的关系，可得离心率．【解答】解法一：由，可知A为BF的中点，由条件可得，则Rt△OAB中，∠AOB=，渐近线OB的斜率k==tan=，即离心率e===．解法二：设过左焦点F作的垂线方程为联立，解得，，联立，解得，，又，∴y B=﹣2y A∴3b2=a2，所以离心率．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，主要是离心率的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量共线的合理运用．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．（12分）（2017•长春三模）已知点，Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数．（1）求函数f（x）的最小值及此时x的值；（2）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求△ABC的周长的最大值．【考点】平面向量数量积的运算；基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理的应用．【分析】（1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解最值．（2）利用函数的解析式求解A，然后利用余弦定理求解即可，得到bc的范围，然后利用基本不等式求解最值．【解答】解：（1）∵，∴，∴当时，f（x）取得最小值2．（2）∵f（A）=4，∴，又∵BC=3，∴，∴9=（b+c）2﹣bc．，∴，∴，当且仅当b=c取等号，∴三角形周长最大值为．【点评】本题考查向量的数量积以及两角和与差的三角函数，三角函数的最值，基本不等式以及余弦定理的应用，考查计算能力．18．（12分）（2017•长春三模）某手机厂商推出一款6吋大屏手机，现对500名该手机用户（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下：（1）完成下列频率分布直方图，并指出女性用户和男性用户哪组评分更稳定（不计算具体值，给出结论即可）；（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取3名用户，求3名用户中评分小于90分的人数的分布列和期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）根据已知可得频率，进而得出矩形的高=，即可得出图形．（II）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于8（0分）有6人，其中评分小于9（0分）的人数为4，从6人中任取3人，记评分小于9（0分）的人数为X，则X取值为1，2，3，利用超几何分布列的计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）女性用户和男性用户的频率分布表分别如下左、右图：由图可得女性用户更稳定．（4分）（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于8（0分）有6人，其中评分小于9（0分）的人数为4，从6人中任取3人，记评分小于9（0分）的人数为X，则X取值为1，2，3，；P（X=2）= =；．所以X的分布列为．（12分）【点评】本题考查了频率分布直方图的性质、超几何分布列的概率与数学期望计算公式、分层抽样，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）（2017•长春三模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AD=AP，E为棱PD中点．（1）求证：PD⊥平面ABE；（2）若F为AB中点，，试确定λ的值，使二面角P﹣FM ﹣B的余弦值为．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（I）证明AB⊥平面PAD，推出AB⊥PD，AE⊥PD，AE∩AB=A，即可证明PD⊥平面ABE．（II）以A为原点，以为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系A﹣BDP，求出相关点的坐标，平面PFM的法向量，平面BFM的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】解：（I）证明：∵PA⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴PA⊥AB，又∵底面ABCD为矩形，∴AB⊥AD，PA∩AD=A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，AD=AP，E为PD中点，∴AE⊥PD，AE∩AB=A，AE⊂平面ABE，AB⊂平面ABE，∴PD⊥平面ABE．（II）以A为原点，以为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系A﹣BDP，令|AB|=2，则A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（0，1，1），F（1，0，0），，，，M （2λ，2λ，2﹣2λ）设平面PFM的法向量，，即，设平面BFM的法向量，，即，，解得．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20．（12分）（2017•长春三模）已知F1，F2分别是长轴长为的椭圆C：的左右焦点，A1，A2是椭圆C的左右顶点，P为椭圆上异于A1，A2的一个动点，O为坐标原点，点M为线段PA2的中点，且直线PA2与OM的斜率之积恒为．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点F1且不与坐标轴垂直的直线C（2，2，0）交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与B（2，0，0）轴交于点N，点N横坐标的取值范围是，求线段AB长的取值范围．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由已知2a=2，解得a=，记点P（x0，y0），k OM=，可得k OM•=•利用斜率计算公式及其点P（x0，y0）在椭圆上，即可得出．（2）设直线l：y=k（x+1），联立直线与椭圆方程得（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2=0，记A（x1，y1），B（x2，y2）．利用根与系数的关系、中点坐标公式、弦长公式即可得出．【解答】解：（1）由已知2a=2，解得a=，记点P（x0，y0），∵k OM=，∴k OM•=•=•=，又点P（x0，y0）在椭圆上，故+=1，∴k OM•=﹣=﹣，∴，∴b2=1，∴椭圆的方程为．（4分）（2）设直线l：y=k（x+1），联立直线与椭圆方程，得（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2=0，记A（x1，y1），B（x2，y2）．由韦达定理可得，可得，故AB中点，QN直线方程：，∴，已知条件得：，∴0＜2k2＜1，∴，∵，∴．（12分）【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式、中点坐标公式、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（12分）（2017•长春三模）已知函数．（1）求f（x）的极值；（2）当0＜x＜e时，求证：f（e+x）＞f（e﹣x）；（3）设函数f（x）图象与直线y=m的两交点分别为A（x1，f（x1）、B（x2，f （x2）），中点横坐标为x0，证明：f'（x0）＜0．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极值即可；（2）问题转化为证明（e﹣x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e﹣x），设F（x）=（e ﹣x）ln（e+x）﹣（e+x）ln（e﹣x），根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）f′（x）=，f（x）的定义域是（0，+∞），x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；x∈（e，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．当x=e时，f（x）取极大值为，无极小值．（2）要证f（e+x）＞f（e﹣x），即证：，只需证明：（e﹣x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e﹣x）．设F（x）=（e﹣x）ln（e+x）﹣（e+x）ln（e﹣x），，∴F（x）＞F（0）=0，故（e﹣x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e﹣x），即f（e+x）＞f（e﹣x），（3）证明：不妨设x1＜x2，由（1）知0＜x1＜e＜x2，∴0＜e﹣x1＜e，由（2）得f[e+（e﹣x1）]＞f[e﹣（e﹣x1）]=f（x1）=f（x2），又2e﹣x1＞e，x2＞e，且f（x）在（e，+∞）上单调递减，∴2e﹣x1＜x2，即x1+x2＞2e，∴，∴f'（x0）＜0．【点评】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，考查学生解决问题的综合能力．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]（共1小题，满分10分）22．（10分）（2017•长春三模）已知在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l：（为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线P（x0，y0）上点P 的极坐标为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用三种方程的转化方法，求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2），直角坐标为（2，2），，利用点到直线l的距离公式能求出点M到直线l的最大距离．【解答】解：（1）由曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，得直角坐标方程，直线l：，消去参数，可得普通方程l：x+2y﹣3=0．（2），直角坐标为（2，2），，M到l的距离d==，从而最大值为．（10分）【点评】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化，参数方程的运用．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．（2017•长春三模）已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．（1）求证：2a+b=2；（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）法一：根据绝对值的性质求出f（x）的最小值，得到x=时取等号，证明结论即可；法二：根据f（x）的分段函数的形式，求出f（x）的最小值，证明即可；（2）法一，二：问题转化为≥t恒成立，根据基本不等式的性质求出的最小值，从而求出t的范围即可；法三：根据二次函数的性质判断即可．【解答】解：（1）法一：f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=|x+a|+|x﹣|+|x﹣|，∵|x+a|+|x﹣|≥|（x+a）﹣（x﹣）|=a+且|x﹣|≥0，∴f（x）≥a+，当x=时取等号，即f（x）的最小值为a+，∴a+=1，2a+b=2；法二：∵﹣a＜，∴f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=，显然f（x）在（﹣∞，]上单调递减，f（x）在[，+∞）上单调递增，∴f（x）的最小值为f（）=a+，∴a+=1，2a+b=2．（2）方法一：∵a+2b≥tab恒成立，∴≥t恒成立，=+=（+）（2a+b ）•=（1+4++），当a=b=时，取得最小值，∴≥t，即实数t的最大值为；方法二：∵a+2b≥tab恒成立，∴≥t恒成立，t≤=+恒成立，+=+≥=，∴≥t，即实数t的最大值为；方法三：∵a+2b≥tab恒成立，∴a+2（2﹣a）≥ta（2﹣a）恒成立，∴2ta2﹣（3+2t）a+4≥0恒成立，∴（3+2t）2﹣326≤0，∴≤t≤，实数t的最大值为．【点评】本题考查了绝对值不等式问题，考查绝对值的性质以及二次函数的性质，考查转化思想，是一道中档题．。

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