一元二次方程的面积问题的应用题全解
一元二次方程应用题经典题型汇总
一元二次方程应用题经典题型汇总认真阅读题目，分析题意，学会分解题目，从而找到已知的条件和未知问题，必要时可以通过画图、列表等方法来帮助理顺已知与未知之间的关系，找到一个或几个相等的式子，从而列出方程求解，同时还要及时地检验答案的正确性并作答.现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见的几大典型题目，举例说明.一、面积问题：例1：如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（）A．100×80-100x-80x=7644 B．（100-x）（80-x）+x2=7644C．（100-x）（80-x）=7644 D．100x+80x=356二、增长率问题：（变化前的基数a，增长率x，变化的次数n，变化后的基数b，关系：a（1+x）n=b）例2：恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.三、商品价格问题例3：某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件。
若商场要求该服装部每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？四、储蓄问题例4：王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）五、情景对话类例5：春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图对话中收费标准.某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？六、动点问题：例6：如图所示，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距离地面8m，如果梯子顶端下滑1m，那么（1）底端滑动的距离是多少？（2）梯子顶端下滑多少米正好等于底端后滑的距离？七、趣味问题例7：一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？各类题型变式练习1、用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的长方形．设长方形的长为xcm，则可列方程为（）A、x（20+x）=64B、x（20﹣x）=64C、x（40+x）=64D、x（40﹣x）=642、某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率.设该果园水果产量的年平均增长率为，则根据题意可列方程为（）A. B. C. D.3、要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，问应邀请多少个球队参加比赛？A、5个B、6个C、7个D、8个4、某企业今年3月份产值为a万元，4月份比3月份减少了10%，5月份比4月份增加了15%，则5月份的产值是（）A．（a-10%）（a+15%）万元B．a（1-10%）（1+15%）万元C．（a-10%+15%）万元D．a（1-10%+15%）万元5、市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少？6、游行队伍有8行12列，后又增加了69人，使得队伍增加的行、列数相同，增加了多少行多少列？7、18.一元二次方程解应用题将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，如果该商品每涨价1元，其销售量就减少10个。
一元二次方程应用题含答案
一元二次方程应用题精选一、数字问题1、有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。
2、一个两位数，十位数字与个位数字之和是6，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的积是1008，求这个两位数．二、销售利润问题3、某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元．为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：1〕假设商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？2〕要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案．4.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡〞政策的实施，商场决定采取适当的降价措施，调查说明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，商场要想在这种冰箱销售中每天盈利 4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？5.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定本钱共24元.该经营户要想每天盈利2O0元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?1三、平均变化率问题增长率1〕原产量+增产量=实际产量．2〕单位时间增产量=原产量×增长率．3〕实际产量=原产量×〔1+增长率〕．6.某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨，三月份上升到7200吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？7.某产品原来每件600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两个降价的百分数相同，求每次降价百分之几？四、形积问题8、有一块长方形的铝皮，长24cm、宽18cm，在四角都截去相同的小正方形，折起来做成一个没盖的盒子，使底面积是原来面积的一半，求盒子的高．9、如图，在一块长为32m，宽为20m长方形的土地上修筑两条同样宽度的道路，余下局部作为耕地要使耕地的面积是540m2，求小路宽的宽度．2五、围篱笆问题10、如图，利用一面墙〔墙的长度不超过45m〕，用80m长的篱笆围一个矩形场地．⑴怎样围才能使矩形场地的面积为750m2?⑵能否使所围矩形场地的面积为810m2，为什么?墙D CA B第21题图（六、相互问题〔传播、循环〕（11、〔1〕参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手15次,有多少人参加聚会?（（（（（（（(2)要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,方案安排28场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?（（（（（（（某初三毕业班的每一个同学都把自己的照片向全班其他的同学各送一张留作纪念，全班（共送了3080张照片．如果该班有x名同学，根据题意可列出方程为?（（（（（（（12、有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感．（1〕求每一轮传染中平均一个人传染了几个人？（2〕如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患上流感？313、某种植物的主干长出假设干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？七.行程问题：14、甲、乙两艘旅游客轮同时从台湾省某港出发来厦门。
一元二次方程应用题经典题型汇总
一元二次方程应用题经典题型汇总认真阅读题目，分析题意，学会分解题目，从而找到的条件和未知问题，必要时可以通过画图、列表等方法来帮助理顺与未知之间的关系，找到一个或几个相等的式子，从而列出方程求解，同时还要及时地检验答案的正确性并作答.现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见的几大典型题目，举例说明. 一、面积问题： 例1：如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余局部进展绿化，要使绿化面积为7644米2，那么道路的宽应为多少米？设道路的宽为x 米，那么可列方程为〔 〕A ．100×80-100x-80x=7644B ．〔100-x 〕〔80-x 〕+x2=7644C ．〔100-x 〕〔80-x 〕=7644D ．100x+80x=356二、增长率问题 ： 〔变化前的基数a ，增长率x ，变化的次数n ，变化后的基数b ，关系：a 〔1+x 〕n =b 〕 例2：恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额到达了193.6万元，求这两个月的平均增长率.三、商品价格问题例3：某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件。
假设商场要求该服装部每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？四、储蓄问题例4：王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行〞，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程〞，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.〔假设不计利息税〕五、情景对话类例5：春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图对话中收费标准.某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元.如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元.六、动点问题：例6：如下图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距离地面8m，如果梯子顶端下滑1m，那么〔1〕底端滑动的距离是多少？〔2〕梯子顶端下滑多少米正好等于底端后滑的距离？七、趣味问题例7：一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没方法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？各类题型变式练习1、用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的长方形．设长方形的长为xcm，那么可列方程为〔〕A、x〔20+x〕=64B、x〔20﹣x〕=64C、x〔40+x〕=64D、x〔40﹣x〕=642、，那么根据题意可列方程为〔〕A. B. C. D.3、要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式〔每两队之间都赛一场〕，方案安排21场比赛，问应邀请多少个球队参加比赛？A、5个B、6个C、7个D、8个4、某企业今年3月份产值为a万元，4月份比3月份减少了10%，5月份比4月份增加了15%，那么5月份的产值是〔〕A．〔a-10%〕〔a+15%〕万元B．a〔1-10%〕〔1+15%〕万元C．〔a-10%+15%〕万元D．a〔1-10%+15%〕万元5、市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少？6、游行队伍有8行12列，后又增加了69人，使得队伍增加的行、列数一样，增加了多少行多少列？7、18.一元二次方程解应用题将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，如果该商品每涨价1元，其销售量就减少10个。
初三数学一元二次方程常考应用题型附答案解析
初三数学一元二次方程常考应用题型附答案解析一、列一元二次方程解决率类问题例1、今年来某县加大了对教育经费的投入，2013年投入2500万元，2015年投入3500万元。
假设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（）A．2500x2=3500 （B．2500（1+x）2=3500C．2500（1+x%）2=3500D．2500（1+x）+2500（1+x）2=3500【解答】解：设增长率为x，根据题意得2500×（1+x）2=3500，故选B．例2、为落实素质教育要求，促进学生全面发展，某市某中学2009年投资11万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，2011年投资18.59万元。
则该学校为新增电脑投资的年平均增长率是，从2009年到2011年，该中学三年为新增电脑共投资万元。
【解答】解：设该学校为新增电脑投资的年平均增长率是x11（1+x）2=18.59x=30%（则该学校为新增电脑投资的年平均增长率是30%11×（1+30%）=14.3万元11+14.3+18.59=43.89万元故答案为：30%；43.89练习1、股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停。
已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价。
若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（）A．（1+x）2=B．（1+x）2=C．1+2x=D．1+2x=【解答】解：设平均每天涨x，则90%（1+x）2=1，即（1+x）2=，故选B。
（2、某县大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造，2014年县政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计2016年投资7.2亿元人民币，那么每年投资的增长率为（）A．20%B．40%C．﹣220%D．30%【解答】解：设每年投资的增长率为x，根据题意，得：5（1+x）2=7.2解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（舍去），故每年投资的增长率为为20%，故选：A3、随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆。
一元二次方程的应用总复习
2500 2500 （ 1 x） 2500 （ 1 x） 9100
开启
智慧
10.一次会议上,每两个参加会议的人都互相握了一 次手,有人统计一共握了66次手.这次会议到会的人数 是多少?
解 : 设这次到会的人数为 x, 根据题意 ,得
整理得 :
x 2 x 132 0.
习题探究
• 7.某化肥厂去年五月份生产化肥450t, 从六月份开始，产量因市场关系，逐 月上升，到七月份达到了648t，求六、 七月份平均增长率.
变式训练
• 8.某公司前年缴税40万元，今年缴税 48.4万元.该公司这两年缴税的年平均 增长率为多少？
解：设该公司这两年缴税的年平均增 长率为x，根据题意得，
一、面积问题
• 1.长方形面积= • 2.正方形面积=
长×宽 边长×边长 （上底+下底）×高÷2 边长×边长×边长
• 3.梯形面积=
• 4.正方体体积=
• 5.长方体体积=
长×宽×高
一、面积问题
几何与方程
1. 如图,在一块长92m,宽60m的 矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽 度都相等.水渠把耕地分成面积均 为885m2的6个矩形小块,水渠应挖 多宽.
一元二次方程的应用总复习
复习回顾
• 列一元二次方程解应用题的一般步骤： • 1.审：审清题意；已知什么，求什么，已知未知之间有什 么关系
2.设：设未知数，语句要完整，有单位的要注明单位.
3.列：列代数式，列方程. 4.解：解所列方程 5.验：检验是否是所列方程的根；是否符合题意. 6.答：答也必须是完整语句，注明单位.
解:设如果产量增加15.2%，那么应多种x棵桃树， 根据题意得， （1000-2x)(100+x)=1000×100+1000×100×15.2%
一元二次方程应用题
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解：设今年某市市财政净收入为1， 这两年中市财政净收入的平均年增长率为x， 根据题意，得 (1x)22
1 x 2
x 1 2 x1 1 2 0.414 41.4% , 符合题意. x2 1 2 0 不合题意，舍去. 答：这两年中市财政净收入的平均年增长率约为41.4%.
解：设x秒后⊿ PBQ的面积等于8cm2
根据题意，得 1 2x (6 x) 8
D
C
整理，得
x2
2
6x
8
0
解这个方程，得 x1 2, x2 4
Q
0 x 6 所以2秒或4秒后⊿ PBQ的面
上页 积等于8cm2
A 下页 结B束
P
例2：等腰直角⊿ ABC中,AB=BC=8cm, 动点P从A点出发,沿AB向B移动,通过点
上页
下页 结束
例1：用以根长22厘米的铁丝，能否折成 一个面积是30厘米的矩形？能否折成一个 面积为32厘米的矩形？说明理由。
例2：在一块长80米，宽60米的运动场 外围修筑了一条宽度相等的跑道，这 条跑道的面积是1500平方米，求这条 跑道的宽度。
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2. 如图，在长为40米，宽为22米的矩 形地面上，修筑两条同样宽的互相垂直 的道路，余下的铺上草坪，要使草坪的 面积为760平方米，道路的宽应为多少？
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解：设中间一个偶数为x，则其余两个偶数分别为 (x2)和 (x2), 根据题意，得(x2)2+(x2)2 x2 332 整理，得 x2 324
x18 当x18时，x2 16, x2 20； 当x= 18时，x2= 20, x2 16. 答：这三个连续偶数分别为16、18和20，或20、 18和16.
10.11.一元二次方程的实际运用(1)
如图，设路宽为x米， 横向路面 32x米2 ，
(2)
纵向路面面积为20x米2 。 草坪矩形的长（横向）为 （32-x)米 ， 草坪矩形的宽（纵向） (20-x)米 。 相等关系是：草坪长×草坪宽=540米2 即 32 x 20 x 540. 2 x 化简得： 52x 100 0, x1 50, x2 2 再往下的计算、格式书写与解法1相同。
例.一块长36m，宽24m的矩形草地，现 要在它的中央修建一个矩形喷水池，周 围的草地作走道，走道的宽度相等，且 喷水池的面积是矩形草地面积的 5 ， 27 求周围走道的宽度。
分析：设走道的宽度为 xm, 其等量关系是喷水池的 面 5 积是矩形草地面积的 27
解：设周围走道的宽度为xm， 由题意得 5 （36 2 x） (24 2 x） 36 24 27 解得x1 22(舍去), x2 8 答：周围走道的宽度为 8米。
(1)
(2)
解:(1)如图，设道路的宽为 x米，则
(32 2 x)(20 2 x) 540
化简得，
x 26 x 25 0 ( x 25)( x 1) 0 x1 25, x2 1
2
(1)
其中的 x=25超出了原矩形的宽，应舍去.
∴图(1)中道路的宽为1米.
（26 x）米。
想一想，
为什么？
长为(40 2 x）米 宽为(26 2 x）米
长为(40 x）米 宽为(26 x）米
点评：解答这类问题，并没有用到什么 复杂的数学知识，只是运用化归思想， 把几条小路归在一起，草坪归在一起， 这种做法给综合分析问题、解决问题带 来很大方便。
练习：
解得x1 x2 25 当x 25时,50 x 25 答 : 长方形模型的长和宽都 为25cm。 （3）x(50 x） 700此方程无实数解 答：要用 100cm的铅丝做成一个面积是 700cm2 的长方形模型是不可能 的。
一元二次方程应用题(几何图形面积问题)
(32 2x)(20 2x) 570 化简得，x2 36x 35 0
(x 35)(x 1) 0 x1 35, x2 1
其中的 x=35超出了原矩形的宽，应舍去.
答:道路的宽为1米.
例3. (2003年,舟山)如图，有长为24米的篱笆，一面 利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔 有一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽AB为x米， 面积为S米2， （1）求S与x的函数关系式;（2）如果要围成面积为 45米2的花圃，AB的长是多少米？
例1. 镜框有多宽?
一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图，它的 长为8m，宽为5m．如果镜框中央长方形图案的面积为 18m2 ，则花边多宽? 解：设镜框的宽为xm ，则镜框中央长方形图案的长 为（8－2x）m, 宽为（5－2x） m,得
8
x
x
x
（8－2x）
5
１８m2
x
例1. 镜框有多宽?
一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图，它的
例2：在一块长80米，宽60米的运动场 外围修筑了一条宽度相等的跑道，这 条跑道的面积是1500平方米，求这条 跑道的宽度。
列一元二次方程解应题
补充练习： 1、（98年北京市崇文区中考题）如图，有一面 积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙 （墙长18米），墙对面有一个2米宽的门，另三边 （门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长33米．求鸡 场的长和宽各多少米？
例1 在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm, 点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点 B移动,点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC 边向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出 发，几秒后⊿ PBQ的面积等于8cm2？
一元二次方程的实际应用题
一元二次方程的实际应用题（一）传播问题1.市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。
某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，则这种药品平均每次降价的百分率为2.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了个人。
3.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出小分支。
4.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有个队参加比赛。
5.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有个队参加比赛。
6.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，这个小组共有多少名同学？7.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，这个小组共有多少人？8.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？（二）平均增长率问题变化前数量×（1 x）n＝变化后数量1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤，2003年平均每公顷产8450公斤，水稻每公顷产量的年平均增长率为。
2.某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90元降到了40元，求平均每次降价率是。
3.周嘉忠同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的60%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（利息税为20%，只需要列式子）。
4.某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。
一元二次方程-面积应用题
2
25m
180m2 40-2x
200 m , 这时鸡场的宽为 10 m .
以知道 , 当宽为 10 m 时 , .
2
x
解这个方程 , 得 x1 x 2 10 .
答 : 鸡场的面积能达到
这是鸡场最大的面积 老师提示 : 学了二次函数后我们可
小结：本节的重难点
作业：书48页第8题
独立 作业
知识的升华
1. 某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙 (墙长25m),另外三边用木栏围成,木栏长40m. 解:(3)设养鸡场的长为xm,根据题意得
40 x x 250 . 2 2 即 x 40 x 500 0 .
25m
180m2 x
分析 ①
21
21:27＝7:9 若设A’B’=7acm，则A’D’=9acm
3 4 S ABCD
② S A ' B 'C ' D '
7a 9a
3 4
21 27
9a
27
a
3 3 2
(负值舍去)
27 9 a 2 1.8 cm
上下边衬为 ③ 左右边衬为 答：…
7a
21 7 a 2
7x
当x2
时
× × √ √
27
9a
7a
9x 9x
7x
经过检验, x 1 不符合题意, x 2 符合题意.
∴上下边衬宽度= 9 x 2 1.8 cm 左右边衬宽度= 7 x 2 1.4 cm 答：…
要设计一本书的封面,封面长27cm,宽21cm,正中央是一个 与整个封面长宽比例相同的长方形.如果要使四周的彩色 ① 边衬所占面积是封面面积的四分之一,上下边衬等宽,左右 ③ ② 边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度？
一元二次方程与实际问题-几何图形面积.3实际问题与一元二次方程(第3课时)-课件
（3）．如图，在宽为20 m，长为32 m的矩 形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)， 余下的部分种上花草．若种植花草的面积为 540 m2，求道路的宽．如果设道路的宽为x m， 根据题意，所列方程正确的是( ) A A．(20－x)(32－x)＝540 B．(20－x)(32－x)＝100 C．(20＋x)(32－x)＝540 D．(20－x)(32＋x)＝540
一、复习引入
1．面积(体积)问题属于几何图形的应用题， 解决问题的关键是将不规则图形分割或组合、 已知量 的 平移成规则图形 ， 找出未知量与 ________ 面积(体积) 公式列出一元二 内在联系 ， 根据 ___________ 次方程． 2． 一个正方形的边长增加了 3 cm，面积相 应增加了39 cm2，则原来这个正方形的边长为 5 cm. _______
例题2．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q 从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动． (1) 如 果 点 P ， Q 分 别 从 点 A ， B 同 时 出 发 ， 那 么 几 秒 后 ， △PBQ的面积等于4 cm2? (2)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的 长度等于5 cm? (3)在问题(1)中，△PBQ的面积能否等于7 cm2？说明理由．
3 依题意得 9 x 7 x 27 21 4
3 3 3 3 x2 (不合题意, 舍去) 解得 x1 2 2
27 9
3 3 27 9 x 2 54 27 3 1.8 故上下边衬的宽度为: 2 2 4 3 3 21 7 左右边衬的宽度为: 21 7 x 42 21 3 2 1.4 2 2 4
精品 2014年九年级数学上册暑期讲义--一元二次方程 第04课 一元二次方程应用题--面积问题
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13.关于的一元二次方程 x 2 2 x k 1 0 的实数解是 x1 和 x2． （1）求 k 的取值范围； （2）如果 x1 x 2 x1 x 2 1 且 k 为整数，求 k 的值．
14.从一块长 80cm，宽 60cm 的长方形铁片中间截去一个小长方形，使剩下的长方形四周宽度一样，并且 小长方形的面积是原来铁片面积的一半，求这个宽度？
2
Hale Waihona Puke 4.已知方程 x 2 5 x 2 0 的两个解分别为 x1 、 x2 ，则 x1 x2 x1 x2 的值为（ A.-7
2
B.-3
C.7
5.关于 x 的方程 x px q 0 的两根同为负数，则（ A. p > 0 且 q > 0 B. p > 0 且 q < 0
D. p < 0 且 q < 0
6.关于 x 的方程 (a 5) x 2 4 x 1 0 有实数根，则 a 满足（ A.a≥1 B.a>1 且 a≠5
D.a≤5
7.设 x1 , x 2 是一元二次方程 x 2 3 x 2 0 的两个实数根，则 x1
2
3 x1 x2 x2 2 的值为____________
例 4.将一条长为 20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形. 2 (1)要使这两个正方形的面积之和等于 17cm ，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少? 2 (2)两个正方形的面积之和可能等于 12cm 吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.
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第 04 课 一元二次方程应用题--面积问题
一元二次方程七大应用题讲解
一元二次方程七大应用题讲解一、一元二次方程概述一元二次方程是数学中的一种基本方程，其一般形式为：ax+bx+c=0。
其中，a、b、c为已知常数，且a≠0。
求解一元二次方程的方法有多种，如因式分解法、完全平方公式法、韦达定理、二次三项式的配方法等。
二、一元二次方程的求解方法1.因式分解法：将一元二次方程转化为两个一次方程相乘的形式，即(ax+m)(nx+k)=0。
根据乘积为零的性质，可得到方程的解。
2.完全平方公式法：将一元二次方程转化为完全平方的形式，如(x+m)=n。
利用完全平方公式，可求得方程的解。
3.韦达定理：对于一元二次方程ax+bx+c=0，其根与系数的关系为：x+x=-b/a，xx=c/a。
根据这一关系，可以求解一些与根有关的问题。
4.二次三项式的配方法：将一元二次方程转化为二次三项式方程，如ax+bx+c=a(x+m)+n。
利用二次三项式的配方法，可以求解方程。
三、一元二次方程的应用1.面积问题：根据一元二次方程的根与系数的关系，可以求解几何图形的面积，如求解抛物线的面积。
2.几何图形问题：利用一元二次方程描述几何图形的性质，如求解圆的标准方程、椭圆的标准方程等。
3.物理问题：一元二次方程在物理中的应用广泛，如求解物体运动的轨迹、速度、加速度等。
4.函数问题：一元二次方程可以表示为二次函数，通过求解二次函数的极值、对称轴等问题，可以应用于优化问题、最值问题等。
5.线性方程组问题：一元二次方程与线性方程组有密切关系，通过求解一元二次方程，可以求解线性方程组。
6.实际问题：一元二次方程在实际问题中有广泛应用，如求解距离问题、速度问题等。
7.综合问题：在各类综合问题中，一元二次方程作为一种基本工具，可以解决许多复杂问题。
一元二次方程的面积问题的应用题全解
x(18 x) 81 化简得，x2 18 x 81 0 2 ( x9) 0 x x 9
1 2
答:应围成一个边长为9米的正方形.
的通道设计成如图 所示，所有横向和 纵向道路宽度相等 求小路的宽是多少 ？
32
20
想一想
（三）应用新知，培养能力
某学校准备在一块长 32米，宽20米的草地 上修筑道路互相垂直 的四条道路（道路的 宽度相等），使余下 的草坪的面积为540 平方米，求这个方案 的道路的宽度。
32
20
32
20
解:设道路的宽为x米 由题意得：
200cm2
200cm2 30－2x
20－2x
变式三：有一块长40m,宽30m的长方形铁 片,在它的四周截去一个全等的小正方形， 然后折成一个无盖的长方体盒子，并使底 面积所占面积为原来长方形面积的一半.
40m
你能给出设计方案 吗?并求出盒子的 高度。
30m
解 : 设盒子的高为xcm, 根据题意得
列一元二次方程解应用题
问题：某学校准备在一块长32米，宽20米的草地上
修筑互相垂直的两条道路（道路的宽度相等）， 使余下的草坪的面积为540平方米，求这个方案的 道路的宽度。
32
20
平移中通道的面积不改变 (32 x)(20 x) 540
x
32
20
540平方米
32-x
x
变式2：当把草地中
30 40 . 30 2 x 40 2 x 2
40m
即x2 35x 150 0.
解这个方程 ,得
30m
x1 5, x2 30(不合题意, 舍去).
答 : 盒子的高为5cm.
一元二次方程应用题分类
x(18 x)81 化简得，x21x88 10
(x9)2 0 x1x29
答:应围成一个边长为9米的正方形.
列一元二次方程解应题
小结：解决这类问题的关键是掌握常见 几何图形的面积体积公式，并能熟练计 算由基本图形构成的组合图形的面积．
18.5一元二次方程应用（2）
开启 智慧
整理得x2 5x 6 0.
解 得 x1 2, x2 3. 5 x 5 2 3,或5 x 5 3 2. 答 : 这 两 个 数 为32或 23.
4.三个连续偶数，已知最大数与最小数的平方和比中
间一个数的平方大332，求这三个连续偶数. 1、偶数个连续偶数（或奇数），一般可设中间两个为 (x1)和(x 1). 2、奇数个连续偶数（或奇数，自然数），一般可设中间 一个为x.如三个连续偶数，可设中间一个偶数为x，则其 余两个偶数分别为(x2)和(x+2)又如三个连续自然数，可 设中间一个自然数为x，则其余两个自然数分别为(x1) 和(x 1).
答 : 这个两位数为25,或36.
快乐学习 2
数字与方程
3.有一个两位数,它的十位数字与个位数字的和是5.把这个 两位数的十位数字与个位数字互换后得到另一个两位数, 两个两位数的积为736.求原来的两位数.
解 :设这个两位数的个位数字为x,根据题意,得
105 x x10 x 5 x 736.
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
1+x+x(1+x)=121
x x 解方程,得
_1_0
1
_
___-,1_2 2
_(.不_合_题_意,舍去)
答:平均一个人传染了____1_0___个人.
二次方程的应用题附答案
一元二次方程的应用（梁芳整理）一、面积、体积问题1、某工厂里有一个长为45米，宽为42米的长方形车间，现要在车间内划出一块面积为1480平方米的长方形空地安装一条新的生产线，并要使四周所留的走道的宽度相同，求这条走道的宽度.答案：2.5米.2、在一个量杯里装有210m³的液体，把这些液体倒入一个长方体的容器，这容器的高是7㎝，底面的长比宽多1㎝㎝，，求这个长方体底面的长和宽.答案：5㎝；6㎝.4、如图，有一块长为80米，宽为50米的长方形绿地.其中有三条笔直的道路（图中的阴影部分，道路的一边AD 与长方形绿地的一边平行，且道路的出入口的边AB 、CD 、EF 、GH 、IJ 的长度都相同），其余的部分种植绿化，已知道路面积为352平方米，求道路出入口的边的长度.答案：2米5、有一块长方形的铁皮，长40厘米，宽30厘米，现在把它的四角各截去一个小正方形，再把四边折起来，做成一个无盖的盒子，使底面积是原来面积的一半，求盒子的高。
（5厘米）6、如图,在△ABC 中,BC=80毫米,AB=60毫米,∠B=90°,点P 从B 开始以10毫米/秒速度沿B →A →C 移动,点Q 从B 开始以20毫米/秒速度沿B →C →A 移动,连接PQ.如果P 、Q 从B 同时出发.求（1）多少时间后PQ 的长度是AC 的一半? （2）多少时间后△PQB 的面积是△ABC 面积的一半答案:（1）5秒或316秒 (2) 32秒或316秒米 E F G H7、青苹果学校的两座教学大楼之间有一块长40米，宽30米的长方形空地。
现打算把这块空地改建成为绿地，以美化校园。
绿地四周必须修筑同样宽的彩石路，同时两座教学大楼中间也修筑一条与四周彩石路同样宽的通道。
这块绿地的面积是否可以达到1036平方米？如果可以，那么小路宽多少米？ 答案:1米8、如图，矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝12cm ，点Ｐ从A 开始沿AB边向点B 以1厘米/秒的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2厘米/秒的速度移动，如果P 、Q 分别是从A 、B 同时出发，求经过几秒时，①△PBQ 的面积等于 8 平方厘米？②五边形APQCD 的面积最小？最小值是多少？答案:（1）2秒或4秒 （2）3秒，83cm 2 9、把一段直径为12cm ，高为18cm 的圆钢锻压成高为62.8cm 的长方形零件毛坯。
列一元二次方程解应用题
列一元二次方程解应用题解应用题的关键是：能够理解题目中所给条件的关系，找出题目中的等量关系，列出方程。
1.面积问题[提示：面积问题一定要画图分析]例1：穗园小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为875m2的一块长方形绿地，并且长比宽多10m，那么绿地的长和宽各为多少？解：设宽为x m，则长为（）m，根据题意，得：____________________________＝875整理得－875＝0解这个方程，得 x1= , x2=-35∵ x2=-35<0，不合题意，舍去。
∴ x+10= 答：绿地得长和宽分别为，。
例2如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方厘米.求截去正方形的边长.解：设截去正方形的边长为x厘米，根据题意，得(60－2x)（）＝800解得：x1= , x2= 答：截去正方形的边长为。
例3、有一面积为150m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长为18m），另三边用竹篱笆围成。
如果竹篱笆的长为35m，求鸡场的长与宽各为多少？解：(1) 如果鸡场的靠墙一边为长，则设鸡场的宽为xm ，长为（35-2x）m，根据题意得：x( )=150整理得：2x2-35x+150=0解得：x1=________, x2=________________因为__________________________________,所以x=_________符合题意。
因为______________________=20>18，不符题意，所以舍去。
答：鸡场的长与宽各为15m,10m 。
（2）如果鸡场的靠墙一边为宽，则设鸡场的长为ym ，宽为（35-2y）m，根据题意得：y( )=150整理得：____________________________________-解得：y1= , y2=35-2y1= __________________________________,35-2y2=__________________________答：鸡场的长与宽各为m, m课堂练习1：学校中心大草坪上准备建两个相等的圆形花坛，要使花坛的面积是余下草坪面积的一半.已知草坪是长和宽分别为80米和60米的矩形，求花坛的半径.解：设_______________________ 列得方程_________________________________________2．根据科学分析，舞台上的节目主持人应站在舞台前沿的黄金分割点（即该点将舞台前沿这一线段分为两条线段，使较短线段与较长线段之比等于较长线段与全线段之比），视觉和音响效果最好.已知学校礼堂舞台宽20米，求举行文娱会演时主持人应站在何处？解：设_______________________ 列得方程_________________________________________3.要做一个容积是750cm2,高是6cm，底面的长比宽多5cm的长方形匣子，底面的长和宽应该是多少？4.要给一幅长30cm，宽25cm的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，•且镜框所占面积为照片面积的四分之一，求镜框边的宽度。
一元二次方程应用题汇总(传染、增长率、面积、利润、球赛、数字等问题)
1、某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，求，，每轮感染中平均一台电脑能感染几台？若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？2、有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?3、甲型H1N1流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型H1N1流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了甲型H1N1流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型H1N1流感？二、增长率问题：平均增长（降低）率公式注意：（1）1与x 的位置不要调换（2）解这类问题列出的方程一般用直接开平方法1. 某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量为720吨,平均每月增长率是x ,列方程为_________________2. 某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程为_____________3、雪融超市今年的营业额为280万元，计划后年的营业额为403.2万元，求平均每年增长的百分率？4、市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过两次降价后，由每盒121元降到每盒100元，则这种药品平均每次降价的百分率为多少？5、我国土地沙漠化日益严重，西部某市2003年有沙化土地100平方公里， 到2005年已增至144平方公里。
请问：2003至2005年沙化土地的平均增长率为多少？ 2(1)a x b±=1、一块长和宽分别为40厘米和250厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体纸盒，使它的底面积为450平方厘米.那么纸盒的高是多少？2、如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另三边用木栏围成，木栏长35m。
九年级上册第04讲_一元二次方程的应用(教师版)
第04讲_一元二次方程的应用知识图谱一元二次方程的应用知识精讲一．面积问题解应用题的一般步骤（1）找出题中的等量关系；（2）设未知数；（3）根据等量关系列出方程；（4）解一元二次方程；（5）将方程的解代入原方程检验，回到实际问题中检验；（6）作答结论注意：求出x 值后需要检验是否符合实际意义草坪问题在一个长30m 、宽20m 的长方形ABCD 上修建三条同样宽的通道，剩余部分面积为468m 2，那么通道的宽应设计成多少m ？设通道的宽为x m ，列方程（30-2x ）（20-x ）=468篱笆问题利用围墙的一段，砌成一个矩形花园ABCD （围墙MN 最长可利用25m ），现在已备足可以砌50m 长墙的材料，恰好用完，试求AB 的长，使矩形花园的面积为300m 2设m AB x =，则()502m BC x =-由题意，()502m 25mBC x =-≤列方程，()502300x x -=解得：110x =（舍去）215x =15x ∴=二．经济问题增长率某商品经过两次降价，每盒零售价由168元降为128元，求两次降价的平均百分率设降价的平均百分率为x ，列方程()21681=128x -降价销售核桃进价为40元/kg ，售价为60元/kg ，平均每天售出100千克，单价每降低2元，平均每天销量增加20kg ，若想平均每天获利2240元，每千克核桃应降价多少元？设每千克核桃应降价x 元降价后售价：60-x单价降2元，销量增加20kg单价降x 元，销量增加202x⋅kg（60-x -40）（100+2x×20）=2240三．其他问题比赛问题有x 支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，已知每两队之间都比赛一场，求x∵有x 支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，∴共比赛场数为x （x ﹣1），∴(1)2x x -=45传染问题有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感。
求每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均每人传染了x 人，一轮传染：1x⋅此时共有()1+x 人得病二轮传染：()1+x x ⋅∴1+x +x （x +1）=64x =7或x =-9（舍去）三点剖析一．考点：一元二次方程的应用．二．重难点：列一元二次方程解应用题．三．易错点：建立一元二次方程解决实际问题时一定要注意检验是否符合实际意义．面积问题例题1、公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（）A.（x+1）（x+2）=18B.x2﹣3x+16=0C.（x﹣1）（x﹣2）=18D.x2+3x+16=0【答案】C【解析】设原正方形的边长为xm，依题意有（x﹣1）（x﹣2）=18，例题2、如图是一无盖长方体铁盒的平面展开图，若铁盒的容积为3m3，则根据图中的条件，可列出方程：【答案】x（x+1）=3【解析】长方体的高是1，宽x，长是x+1，根据题意得x（x+1）=3．例题3、如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的矩形ABCD上，修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB 平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78㎡，那么通道的宽应设计成________m．【答案】2【解析】暂无解析例题4、在美化校园的活动中，某综合实践小组的同学借如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形的花圃ABCD（篱笆只围AB、BC两边）设AB＝xm．（1）若想围得花圃面积为192cm2，求x的值；（2）若在点P处有一棵小树与墙CD、AD的距离分别为15m和6m，要将这棵树围在花圃内（含边界，不考虑树干的粗细），求花圃面积S的最大值．【答案】（1）12m或16m（2）195（m2）【解析】（1）∵AB＝xm，则BC＝（28－x）m，∴x（28－x）＝192，解得：x1＝12，x2＝16，答：x的值为12m或16m；（2）设花园的面积为S，由题意得：S＝x（28－x）＝－x2＋28x＝－（x－14）2＋196，∵62815 xx⎧⎨-⎩≥≥，∴6≤x≤13，6≤x≤13的范围内，S随x增大而增大，∴当x＝13时，S最大值＝－（13－14）2＋196＝195（m2）随练1、有一块长方形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四周各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，设铁皮各角应切去的正方形边长为xcm，则下面所列方程正确的是（）A.4x2=3600B.100×50﹣4x2=3600C.（100﹣x）（50﹣x）=3600D.（100﹣2x）（50﹣2x）=3600【答案】D【解析】设切去的小正方形的边长为x．根据题意得（100﹣2x）（50﹣2x）=3600．随练2、如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为x米，则根据题意可列出方程为．【答案】(22-x)(17-x)=300【解析】设道路的宽应为x米，由题意有（22﹣x）（17﹣x）=300，随练3、如图是一张长100cm，宽50cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成底面积是3600cm2的一个无盖长方形纸盒，求剪去的正方形边长．【答案】5cm【解析】设剪去的正方形边长为xcm，则纸盒底面长为（100－2x）cm，宽为（50－2x）cm，根据题意得：（100－2x ）（50－2x ）＝3600，整理，得：x 2－75x ＋350＝0，解得：x 1＝5，x 2＝70（不合题意，舍去）．故：剪去的正方形边长为5cm ．经济问题例题1、某种药品原价为36元／盒，经过连续两次降价后售价为25元／盒．设平均每次降价的百分率为x ，根据题意所列方程正确的是（）A.36（1－x ）2＝36－25 B.36（1－2x ）＝25C.36（1－x ）2＝25 D.36（1－x 2）＝25【答案】C【解析】第一次降价后的价格为36×（1－x ），两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x ，为36×（1－x ）×（1－x ），则列出的方程是36×（1－x ）2＝25．例题2、某商场销售一批真丝围巾，平均每天可售出20条，每条盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定适当降价。