沪教版数学24.2(2)比例线段
24.2(2)比例线段 (黄金分割)
24.2比例线段（2）上海市风华初级中学方忠平教学内容分析本课主要是两个部分.第一部分是线段的比例中项问题；第二部分是黄金分割及黄金数的有关知识.教学目标1. 会运用同高(或等高)的两个三角形的面积之比等于对应底边的比,进行三角形的面积比与线段比的转化.2. 在比例线段性质的证明与运用过程中,体会方程思想的作用.3. 会找出一条线段的黄金分割点，找出一个图形中的黄金分割点.4.经历黄金分割点的探索过程，从中体会转化、分类讨论的思想方法. 教学重点及难点重点：黄金分割的意义.难点：熟练并灵活运用黄金分割的意义解题．教学用具准备投影仪、笔记本，预习本教学流程设计教学过程一、 情景引入1．观察（1） 请同学们欣赏一段芭蕾舞表演， 对学生视觉上形成美的冲击.师:“芭蕾舞在跳法上和其他舞种有什么区别吗？” 生:“要掂起脚尖.”师:“你们想知道这是为什么吗？”让学生有了强烈的求知欲.（2） 展示四个国家的国旗.中华人民共和国 朝鲜 新西兰 新加坡2．思考师：请问这四面国旗中有共同图案吗？若有，请指出来.师：为什么都会选择五角星这个图案呢？除了政治因素外，还有一个非常重要的原因就是：五角星是一个非常完美的图案. 古希腊数学家毕达哥拉斯有一句名言：“凡是美的东西，都具有共同的特征，这就是部分与部分以及部分与整体之间的协调一致.”下面就让我们从数学的角度来探究五角星中部分与部分以及部分与整体之间存在着怎样的一种关系.[说明] 通过创设情境“四个国家的国旗中都有五角星这个图案”，就会使同学们认识到五角星这个图案不一般，也就会非常想知道五角星中部分与部分以及部分与整体之间到底蕴涵着怎样的一种关系.有了探究的欲望，就会很乐意完成下面的做一做.3．讨论度量点C 到点A 、B 的距离，计算AB AC 和AC BC 的值，你发现了什么？[说明」（通过学生亲自动手操作、计算，最终发现了AB AC ＝ACBC ，即部分与部分之比等于部分与整体之比，符合毕达哥拉斯的审美观点，很自然地就引出了黄金分割的概念.）二、学习新课1．概念辨析例题1 如图，线段AB 的长度是l ，点P 为线段AB 上的一点，AB AP AP PB =，求线段AP 的长.如果点P 把线段AB 分割成AP 和PB （AP>PB ）两段，其中AP 是AB 和PB 的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点P 称为线段AB 的黄金分割点AP 与AB 的比值为215-，近似值为0.618，这个比值称做黄金分割数（简称黄金数）.师：下面就让我们来解决刚才的问题，若由黄金分割点来看，理想身材的黄金分割点是肚脐，即一个人的上半身的长度与下半身的长度的比值或下半身的长度与整个身高的比值越接近0.618，就会越给別人有一种美的感觉.但是很可惜，一般人的这个比值大约只有0.58到0.60左右（腿长的人会有较高的比值），由此可见，芭蕾舞演员掂起脚尖跳舞是为了提高这个比值，增加美感.现实生活中这样的例子也很多，比如：女性穿高跟鞋，会让人体看起来更美些.黄金分割是古希腊数学家毕达哥拉斯发现的，古希腊人把它广泛应用于艺术创作当中，其中最经典的作品就是雕像——维纳斯女神，她的上半身和下半身的比率正是0.618.[说明]当学生了解了黄金分割的概念之后，再来解决芭蕾舞演员跳舞要掂起脚尖的问题，并欣赏雕像-----维纳斯女神，能使学生感受到黄金分割的美学价值.2．例题分析 问题一（1） 线段AB 有没有除点P 以外的黄金分割点呢？（2） 点D 应满足怎样的条件？（3） 在五角星中点D 是线段AB 的黄金分割点吗？（4） 你还发现了什么？ [说明]（这四个问题是有层次性的，问题（1）的结论是显然的，但学生得到的方法却是多样的，有的是凭直觉，有的是利用轴对称得到的，有的是采用旋转方法得到的；问题（2）进一步强化了黄金分割的概念；有了问题1的铺垫，问题（3）、（4）的结论很容易得出，A P BD这时学生就真正体会到了五角星确实是一个完美的图形，进一步感受到了黄金分割的美.）问题二师：下面我们再来了解黄金分割在现实生活中的应用.请同学们观察两幅照片，哪一更具有美感呢？师：你们知道这是为什么吗？因为绝对的对称会给人单调、静止、缺乏活力的感觉，为了打破这种感觉，我们在构图的时候，就需要灵活地运用黄金分割来构图，把画面的上下左右用黄金分割来做出4条线，人们发现4条线交汇的4个点是人们的视觉最敏感的地方，被反复证明的是当被摄主体处于或发布在这4个点附近最容易得到“眼球”，在摄影理论里把这4个点称为“趣味中心”.[说明]学生选择图（2）完全是一种直觉，并不明白其中的原因，当把上述道理讲给学生听时，他们对黄金分割的美学价值有更深的认识.问题三师：下面再来看看黄金分割在建筑上的应用.（展示巴黎埃斐尔铁塔、上海东方明珠电视塔、古埃及金字塔三幅图片，讲述其中蕴涵的黄金分割比例，体会黄金分割在建筑上的应用价值和人文价值.）问题四师：同学们已经了解到线段的黄金分割是完美的分割，事实上现实生活中还有另外一种有趣的黄金分割现象.请同学们在下面十个矩形中（请若干个同学来找出他认为最合乎美的矩形，最后大部分同学将目标锁定在第①、⑤、⑧和⑩这四个矩形上，此时告诉他们这四个矩形分别是5×8，8×13，13×21，21×34的矩形，请他们用计算器算出这四个矩形的宽与长的比值（结果保留3个有效数字），结果分别是：0.625，0.615，①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩0.619，0.618，这时同学们惊奇地发现这四个矩形的宽与长的比值均接近于黄金比，从而引出黄金矩形的概念.[说明]黄金矩形的概念并不是直接告诉学生的，而是通过亲身经历这么一个活动过程，自己感悟到合乎美的矩形和黄金分割的内在联系.） 矩形的宽与长的比为黄金比，这样的矩形称之为黄金矩形.师：古希腊人已经发现黄金矩形是最合乎美的矩形，他们将建筑物的门、窗的轮廓都设计成黄金矩形的形状，其中最著名的就是巴特农神庙.如果把巴特农神庙的轮廓抽象为矩形ABCD ，以矩形ABCD 的宽为边在其内部作正方形AEFD ，那么我们可以惊奇的发现，BC AB BE BC =，点E 是AB 的黄金分割点吗？矩形ABCD 的宽与长的比是黄金比吗？[说明]这里涉及到比例变形的一些技巧，要给学生时间进行充分的交流.最终发现巴特农神庙的轮廓为黄金矩形，展示了黄金分割的文化价值.师：黄金矩形之所以称为黄金矩形，并不仅仅因为它的宽与长的比等于黄金比，更重要的是：由上述方法作图后得到的新的矩形BCFE 也为黄金矩形（原因留给同学们课后思考）.巴特农神庙之所以神奇，并不仅仅因为它的的轮廓恰好为黄金矩形，它有更深层次的美.[说明]动画演示巴特农神庙在构造上不断符合黄金矩形的神奇现象. 通过动画演示巴特农神庙在构造上不断符合黄金矩形的神奇现象，同学们已经被巴特农神庙中所蕴涵的建筑艺术所折服，使学生再一次感受到了黄金分割和黄金矩形的美学价值.3．问题拓展例题2 已知：如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，AOD BOC S S ∆∆= 求证：OA CO OB DO =. 证略 尝试：（1）作顶角为036的等腰三角形ABC;（2）分别量出底边BC 与腰AB 的长度;OA B D C（3）作B ∠的平分线，交AC 于点D ，量出BCD ∆的底边CD 的长度.最后，分别求出ABC ∆与BCD ∆的底边与腰的长度的比值（精确到0.001）问：比值是多少？所以我们把顶角为o 36的三角形称为黄金三角形.它具有如下的性质：（1）618.0≈ABBC ; （2）设BD 是ABC ∆的底角的平分线，则BCD ∆也是黄金三角形，且点D 是线段AC 的黄金分割点;（3）如再作C ∠的平分线，交BD 于点E ，则CDE ∆也是黄金三角形，如此继续下去，可得到一串黄金三角形.巩固练习已知点C 是线段AB 的黄金分割点AC ＝555-，且AC ＞BC ，求线段AB 与BC 的长.课堂小结1、今天我们共同研究了什么数学知识？2、和以往的数学知识相比，今天的内容有什么不同？作业布置书后练习1、2、3，练习册24.2（2）教学设计说明本节课的研究对象是“黄金分割”，我采用从“美学”——“数学”的逻辑顺序去阐述这个课题，能够极大的提高学生探究的兴趣.并且引用了四个生活中的例子，使学生在不断享受“美”的过程中掌握知识，体验数学的社会功能.。
学年九年级数学上册 24.2 比例线段(2)教案 沪教版五四
1.求线段a,b的比例中项：
课内练习二
2.已知线段MN的长为2厘米,点P是线段MN的黄金分割点,则较长线段MP的长是_____厘米,较短线段PN的长是_______厘米.
说一说你是怎么求较短线段PN的?
课内练习三
3.已知:如图,AD,BE是△ABC的两条高.
课堂小结：1.比例中项
如果比例的两个内项(或两个外项)相同,那么这个相同的项叫做另两项的比例中项.如
3.转化的思想方法将面积之比转化为线段之比;反之,也可将线段之比转化为面积之比. (利用这种思想方法解决问题.)
课外
作业
练习册
预习
要求
24.3（1）三角形一边的平行线
课堂
时间
安排
教师主导活动时间：分钟
学生主体活动时间：分钟
教学
后记
点F是线段AB的黄金分割点.
矩形ABCD的宽与长之比为0.618.这个矩形称之为“黄金矩形”.
新课探索二（4）
古今中外,人们把黄金分割誉为“天赋的比例法则”.符合这种分割的物体或几何图形,使人感到和谐悦目,被认为是最优美的.黄金分割被广泛地应用于建筑,美术,音乐,艺术及几何作图等方面.
黄金分割知多少？请查阅互联网。
AP+PB=AB.
若AB的长度是l,点P在AB上运动,当较长的线段(AP)与较短的线段(PB)及原线段(AB)之间有如下的比例关系 时,求线段AP的长.
新课探索二（2）
如果比例的两个内项(或两个外项)相同,那么这个相同的项叫做另两项的比例中项.
上述比例式中,b叫做a和c的比例中项.这时， 。
如果点P把线段AB分割成AP和PB(AP>PB)两段,其中AP是AB和PB的比例中项,那么称这种分割为黄金分割(golden section),点P称为线段AB的黄金分割点.
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 24.2 比例线段(2)黄金分割 教案
如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。
——高斯课题：24.2 比例线段（2）—黄金分割教学目标：1、会运用同高（或等高）的两个三角形的面积之比等于对应底边的比，进行三角形的面积比与线段比的转化；2、在比例线段性质的证明与运用过程中，体会方程思想的作用；3、会找出一条线段的黄金分割点，找出一个图形中的黄金分割点；4、经历黄金分割点的探索过程，从中体会转化、分类讨论的思想方法。
教学重点：黄金分割的意义。
教学难点：熟练并灵活运用黄金分割的意义解题。
教学过程：一、问题引入，获得感悟问题1：如图，点D 是BC 边的中点，则ABD ∆与ACD ∆的面积比是多少？ 分析：过点A 作AE BC ⊥于点E ， 则11,22ABD ADC S BD AE S CD AE ∆∆=⋅=⋅， 因为点D 是BC 的中点，所以BD=CD ，所以12112ABD ACDBD AES BD S CD CD AE ∆∆⋅===⋅。
板书：1、等底（同底）等高（同高）的两个三角形面积相等。
问题2：如图，点D 是BC 边上的一点，且:1:2DC BD =，则ABD ∆与ACD ∆的面积比是多少？ABD ∆与ABC ∆的面积比呢？ABC ∆与ACD ∆的面积比呢？ 分析：过点A 作AE BC ⊥于点E ， 则11,22ABD ADC S BD AE S CD AE ∆∆=⋅=⋅， 所以12212ABDACDBD AES BDS CD CD AE ∆∆⋅===⋅。
同理23ABD ABC S S ∆∆=，3ABCACDS S ∆∆=。
板书：2、等高（同高）的两个三角形面积比等于对应底边之比。
问题3：如图，点D 是BC 边上的一点，若32ABC ABD S S ∆∆=，则BDBC的值为多少？ 分析：由问题2，可知32ABC ABD S BCS BD∆∆==， 所以23BD BC =。
解析：课前预习第1、2题。
1、已知线段4,9a cm c cm ==，则线段a 和c 的比例中项b = ； 第2题图AB D E AB DE2、如图，在ABC ∆中，点D 在AB 上，若3ABC ACD S S ∆∆=，则:BD AD = ； 问题4：如果两个三角形的一边相同或相等，则它们的面积比与什么有关？板书：3、等底（同底）的两个三角形面积比等于对应高之比。
24.2(2)比例线段
PB AP 点P是线段AB上的一点，且 AP AB
求线段AP的长.（用 l 表示）
x l-x
l
A
l
P
.
B
即线段 AP是AB 和PB的比 例中项.
问1：由图可知，线段 AB、AP、PB之间有 怎样的数量关系？
PB AP 问2：结合已知条件 AP AB
答1：AP+PB=AB， 即AP+PB=l 设线段AP的长为x， 则线段PB的长为l-x. PB AP 答2：由 AP AB
8
P1
B
线段AP是较长线段还是较短线段不确定， 分析： 所以要分类讨论. 解： （1）当AP＞PB时， ∴AP=
5 1 2 AB=
（2）当PB＞AP时， ∴AP=
3 5 2 AB=
5 1 ×8= 2
4 5 4 12 4 5
3 5 ×8= 2
A
P1
P2
B
两个 一般地一条线段的黄金分割点有两个
1：已知线段MN的长为2厘米，点P 是线段MN的黄金分割 点，则较长的线段MP的长是 ( 5 1) 厘米，较短的线 段PN的长是 (3 5) 厘米. 2：已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB， AB=4厘米，那么线段AP、PB的长度分别是 (2 5 2)厘米 和 (6 2 5) 厘米．
短= 3 5 全
5 1 3 5 全= 全 2 2
2
例题1：已知点P是线段AB的黄金分割点，若AB=8,
求较长线段AP和较短线段PB. ？ 分析：
？ 8
A
P
B
解：∵P是线段AB的黄金分割点， 根据题意AP＞PB ∴AP= （或PB=
5 1 2 AB=
PB AB AP 8 (4 5 4) 12 4 5
沪教版数学九年级上册24.2《比例线段》教学设计
沪教版数学九年级上册24.2《比例线段》教学设计一. 教材分析《比例线段》是沪教版数学九年级上册第24章第2节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了线段的基本知识，以及比例的基本概念的基础上进行教学的。
本节课主要让学生了解比例线段的定义，会求解比例线段，并能够运用比例线段解决实际问题。
教材通过例题和练习题的形式，帮助学生理解和掌握比例线段的知识。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和数学基础，对于线段和比例的概念已经有了一定的了解。
但是，对于比例线段的运用和解决实际问题可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要注重学生的实际操作和实践，通过具体的例题和练习题，让学生理解和掌握比例线段的知识。
三. 教学目标1.知识与技能：理解比例线段的定义，掌握求解比例线段的方法，能够运用比例线段解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等过程，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和积极的学习态度。
四. 教学重难点1.重点：比例线段的定义和求解方法。
2.难点：运用比例线段解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过具体的例题和练习题，让学生在实际情境中理解和掌握比例线段的知识。
2.合作学习法：通过小组讨论和合作，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。
3.引导发现法：教师引导学生观察和思考，发现比例线段的规律和方法。
六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，展示例题和练习题。
2.练习题：准备一些相关的练习题，用于巩固和拓展学生的知识。
3.教学工具：准备尺子、直尺等教学工具，方便学生实际操作。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾线段和比例的知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示比例线段的定义和例题，让学生观察和思考，引导学生发现比例线段的规律和方法。
上海教育版数学九年级上册《比例线段》word教案
24.2 比例线段(2)—用面积证比例线段奉教院附中 陈嫚 2016.9.6 教学目标：会运用同高（或等高）的两个三角形的面积之比等于对应底边的比，进行三角形的面积比与线段比的转化；理解平行线、三角形等积、比例线段这三者间的联系。
学习重点：让学生通过例题的学习，体验在一定条件下三角形面积比与线段比相互转化的过程。
学习难点：利用三角形的面积比与线段比的相互转化解题。
教学环节 教学过程设计意图一、 知识回顾1．填空(1)如图(1)，点D 是BC 边的中点，则=∆∆ACDABDS S ___________. (2)如图(2)，点D 是BC 边上一点，且DC:BD=1:2，则=∆∆ABDADCS S . (3)如图(2)，若,23=∆∆ABD ABC S S 则BDBC= .要求： ①学生独立完成②师生共同批阅③思考：上述过程体现了一个怎样的转化过程?利用同高的两个三角形的面积之比与对应底边的比相互转化，形成思维基础。
从学生已有的基础出发，引出课题二、 新课学习1.如图,在梯形ABCD 中,AB//CD,对角线AC,BD 相交于点O,则图中哪几对三角形的面积相等? 若AD,BC 延长相交于点P,则图中还有面积相等的三角形吗?将课本例题抽丝剥茧，从学生思维角度入手，锻炼学生的思维能力和探讨交流的好习惯。
思考:你能利用上述面积之比与线段之比可转化的思想方法,证明OACOOB DO =吗？要求：①老师巡视②同学之间可以小组讨论解决问题③师生共同解题，板演变式：已知：在四边形ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点O ，且OACO OBDO =求证：AB//CD 、AOD BOC S S ∆∆=要求：学生自主探究，学生板演，写出证明过程．通过变式的训练让学生对新知的相互转化有更深的理解。
三、 新知检测1. 已知:如图,四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O.求证:.AOB COBAOD CODS S S S ∆∆∆∆=2.已知,AD,BE 是△ABC 的两条高.求证：BC BEAC AD=.3.如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,请利用线段之比可转化为面积之比的思想方法,求证:ACABDC BD =.检测同学们对“同高的两个三角形的面积之比与对应底边的比的相互转化”的掌握程度。
沪教版数学九年级上册24.2《比例线段》教学设计
沪教版数学九年级上册24.2《比例线段》教学设计一. 教材分析《比例线段》是沪教版数学九年级上册第24章的一部分，主要介绍了比例线段的概念、性质和应用。
本节内容是在学生已经掌握了相似三角形的性质和坐标与图形的性质的基础上进行学习的，对于学生来说，比例线段是一个比较抽象的概念，需要通过具体实例和实践活动来理解和掌握。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生逐步理解和运用比例线段的知识，为后续学习相似三角形和解析几何打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于相似三角形的性质和坐标与图形的性质有一定的了解。
但是，比例线段作为一个新的概念，对学生来说还是相对抽象的，需要通过具体实例和实践活动来理解和掌握。
此外，学生的学习兴趣和动机也是影响教学效果的重要因素，因此，在教学过程中，需要通过设计有趣的教学活动和实例，激发学生的学习兴趣和动机。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解比例线段的概念，掌握比例线段的性质，能够运用比例线段的知识解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、交流等活动，培养学生的观察能力、动手能力和表达能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养学生的合作意识和创新精神。
四. 教学重难点1.重点：比例线段的概念和性质。
2.难点：比例线段的运用和实际问题的解决。
五. 教学方法1.启发式教学：通过设计有趣的问题和实例，激发学生的思考和探索兴趣，引导学生主动学习和参与。
2.实践活动：通过观察、操作、交流等活动，让学生在实践中学习和体验，提高学生的动手能力和观察能力。
3.合作学习：鼓励学生之间进行合作和交流，共同解决问题，培养学生的合作意识和团队精神。
六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，包括教材内容、实例、练习题等。
2.教学素材：准备一些相关的图片和实例，用于引导学生观察和操作。
3.练习题：准备一些练习题，用于巩固和检验学生的学习效果。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入比例线段的概念，例如：“在一条直线上，有两点A和B，点A到直线的距离是6cm，点B到直线的距离是8cm，请问点A和点B之间的距离是多少？”让学生思考和讨论，引出比例线段的概念。
上海教育版数学九上24.2《比例线段》word教案
24.2（1）比例线段教学内容分析本课主要由两部分组成.第一部分是有关线段比例的基本概念和性质及相关的计算.第二部分是比例的拓展性质. 教学目标设计1.知道两条线段比的意义.2.理解比例线段及其有关概念.3.知道比例线段的性质.4. 掌握合比和等比性质,能结合具体图形进行简单的比例线段变形. 教学重点及难点重点:比例线段的概念及它的初步应用 难点:合比、等比性质的运用. 教学用具准备投影仪、笔记本，预习本. 教学流程设计教学过程设计一、 情景引入1．观察图形的相似与线段的比及比例有密切的关联.同学们学习了两条线段比的有关知识，这节课我们来学习和研究比例线段的有关问题.（板书课题） 2．思考在学习新知识之前，我们先回想一下两条线段比的定义及求法，请同学们求下面两条线段的比.引例：如图：AB =50，BC =25，''20A B =, ''10B C =.求'''',AB A B BC B C. DABC[说明]两个数相除又叫做两数的比，记作ab或:a b ，其中a 叫比的前项，b 叫比的后项.解：∵50225AB BC ==, ''''20210A B B C ==, ∴ C B B A BC AB ''''=.二、学习新课1．概念辨析在同一长度单位下，两条线段长度的比就是两条线段的比在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a b =cd，那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段.线段d 是a 、b 、c 的第四比例项. 提问：比例的基本性质是什么——两个外项的积等于两个内项的积.（1）请同学们想一想，由::a b c d =能否得到ad bc =？为什么？ 反过来，若a d=bc ，那么能否得到a ：b=c ：d 呢B 'A ''（2）由a ：b=b ：c 可得b 2= a c由b 2= a c 可得a ：b=b ：c ，线段 b 叫a 、c 的比例中项. （3）由此可以看出：利用比例的基本性质，可以实现比例式与等积式的互化. [说明]（1）定义告诉我们判定四条线段成比例线段的方法： （其中的一个比例式）⇒=dcba a 、b 、c 、d 四条线段成比例； （2）定义告诉我们若已知四条线段成比例，则一定有比例式， a 、b 、c 、d 四条线段成比例dc b a =⇒（3）因为两条线段的比是它们的长度的比，实质上就是两个数的比.由于成比例的数具有比例的基本性质，所以成比例的四条线段也具有比例的基本性质. 2．例题分析例题1 已知a 、b 、c 、d 是四条线段，它们的长度如下，试判断它们是不是成比例线段？⑴a =1mm , b=0.8cm , c=0.02cm , d=4cm;⑵711=a cm , b=0.4cm , c=40cm , cm d 213=. [说明] 解题小结：①统一单位；②从大到小（从小到大）排列； ③通过求比例或求积判断.⑴方法二、利用比例的基本性质 ∵dc=4×0.02=0.08, a b=0.1×0.8=0.08, ∴a b=dc,∴a 、b 、c 、d 四条线段成比例. 第⑵小题让学生练习. 补充练习：（1）已知线段a ＝30mm ，b ＝2cm ，c ＝45cm ，d ＝12mm ，试判断a 、b 、c 、d 是否成比例线段.（2）已知a 、b 、c 、d 是比例线段，其中a ＝6cm ，b ＝8cm ，c ＝24cm,则线段d 的长度是多长？学生练习：判断下列四条线段是否成比例⑴a=2, b=5 , c=15 , d=32;⑵a=2 , b=3, c=2 , d=3;⑶a=4, b=6 , c=5, d=10;⑷a=12, b=8, c=15, d=10. 3．问题拓展合比性质：引导学生运用类似的方法推导出比例的等比性质:如果a cb d=,那么a c a ckb d b d+===+等比性质可以推广到任意有限多个相等的比的情况如果,那么 .证明：设；则 ,∴ .等比性质的证明思路及思想非常重要，它是解决数学中连比问题的通法，希望同学们认真体会，务必掌握.三、巩固练习例题2（1）已知： ，求证： .证明：方法一：∵ ，∴方法二：∵，∴即11811,8a ab b=∴=（2）（拓展）已知：()0a cb d b d=±≠ ，求证： . 证明：a cb d =，a bcd ∴= a c b dc d ++∴=（1 同理a cb dc d--=（2） 由（1）÷（2）得：a cb da cb d++=--. 例题3 已知：EC AE DB AD = 求证：（1）ECACDB AB =； （2）AEACAD AB =四、课堂小结1.今天我们研究了什么内容，又哪些收获呢？2.这些内容和过去的知识有没有联系，有怎样的联系呢？3.你有没有不明白的地方呢？如果要你自学你能够胜任吗五、作业布置基础练习：书后练习1、2、3，4练习册24.2（1）拓展练习（1）求 ①②③（2）求下列各式中的x . ①② ③ ④（3）把cd ab 21=写成比例式，下列写法不正确的是 A 、b d ca 2=B 、b d c a =2C 、b d c a =2D 、bc d a =2 七、教学设计说明学生在六年级时已经学过比例的基本性质，本课首先利用类比的方法使学生得到了线段的有关比和比例的基本性质.在此过程中特别强调线段的比实际也是和数字有关的，帮助学生能够过渡好.通过简单练习、巩固.然后再向大家介绍了比例的其他性质，作为拓展内容只需学生们了解即可，课后供大家研究.本堂课既做到面向全体学生，又做到了分层递进，作业也是从这个方面安排的.。
初三上数学课件(沪科版)-比例线段
A.ab＝dc
B．ac＝db
C.bc＝da
D．你再填上一个数(只填一个)，使它们能构成一
个比例式，则这个数是
2 33或 2
3或
3 2
.
7．如图，线段 AB∶BC＝1∶2，求 AC∶BC 及 AB∶AC 的值．
解：∵AB∶BC＝1∶2，则 BC＝2AB，∴AC∶BC＝(AB＋BC)∶BC＝3AB∶ 2AB＝3∶2； AB∶AC＝AB∶(AB＋BC)＝AB∶3AB＝1∶3.
值为( B )
A．1
B．10
C．52
D．85
3．已知 A、B 两地的实际距离 AB＝5km，画在地图上的距离 A′B′＝2cm， 则这张地图的比例尺是 1∶250000 .
4．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，则 AB∶AC∶BC 等于 2∶ 3∶1 .
5．下列各比例式中，b、c 为比例内项的是( A )
比例线段的概念
在四条线段 a、b、c、d 中，若其中两条线段 a 和 b 的比 等于 另外两条线段
c 与 d 的比，即ab＝dc，(或 a∶b＝c∶d )，那么这四条线段叫做成比例线 段，简称比例线段，线段 a、d 叫做比例外项，线段 b、c 叫做比例内项 .
自我诊断 1. 在下列各组线段(单位：cm)中，成比例线段的是( A )
A．1、2、4、8
B．2、4、6、8
C．3、6、8、12
D．3、6、9、12
比例中项
若线段 a、b、c 之间有ab＝bc，那么线段 b 叫做线段 a、c 的 比例中项 .线段 的比就是指用 相同 单位所量 线段长度 的比． 自我诊断 2. 3 和 12 的比例中项是 ±6 ，长为 3cm 和 12cm 的线段的比例
沪教版(五四制)九年级数学上册 24.2 比例线段 讲义(无答案)
比例线段学生姓名 授课日期 教师姓名授课时长学习内容: 放缩与相似形、比例线段、三角形一边的平行线学习目标: 1、理解放缩与相似形的概念，掌握相似形基本特征。
2、 理解比与比例及比例中项等概念，掌握比例的基本性质、合比定理和更比定理，会用它们进行简单的比例变形。
3、 理解比例线段及黄金分割的概念，理解平行线分线段成比例定理，会作第四比例项学习难点: 比例中项等概念、比例的基本性质、合比定理和更比定理的运用。
知识梳理1.放缩与相似形（1）图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
（2）把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形。
注意：①相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。
②相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
③我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．④若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形． （3）相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1.知识梳理2.比例线段 （1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。
a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ：n （或nm b a ） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。
a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如dc b a = 4、比例外项：在比例d cb a =（或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。
5、比例内项：在比例d cb a =（或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。
6、第四比例项：在比例dcb a =（或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。
沪科版九年级上册数学课件：比例线段优秀课件资料
拓展延伸
1.已知a、b、c、d是成比线段,a=4cm, b=6cm,d=9cm,则c=____
2.如果2x 5y.那么x y —————
3.把mn pq写成比例式.写错的是
A. m p B. p n C. q n D.m p
qn
m q m p nq
4、已知a:b:c=2:3:4,且a+b+c=15，则a=___, b=___,c=___.
= …=
m n
？
a+c+…+m b+d+…+n =
a b
.
证明：设
ac b=d
= …=
m n
=k,
则 a=bk, c=dk, … m=nk,
∴
a+c+…+m b+d+…+n
=
bk+dk+…nk b+d+…n
=
(b+d+…n)k b+d+…n
=k
=
a b
.
例1、已知
x+y 5 3y = 4
，求
x y
说明： 同时对调比例式两边的比的前后项， 比例式仍然成立 (比值变了).
a c
b=d
bd a=c .
(2)合比性质
如果
a b
=
c d
，
那么
a±b b
=
c±d d
.
(3)等比性质
如果
a b
=
c d
m = …= n
(b+d+…+n≠0),
那么
a+c+…+m b+d+…+n
沪教版(五四制)九年级上册24.2比例线段2课件(共15张PPT)
求:树AB的高.
解:在相同时刻的物高与影长成比例
ABA'B' AB1.5 ∴BC=B'C' 即20=2.5
∴
3 AB=5×20=12(m)
答:树AB的高为12米.
试一试
2 如图，ＤＥ是△ＡＢＣ的中位线，请尽可能多的
写出比例线段.
Ａ
D
E
B
C
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/8/262021/8/262021/8/262021/8/268/26/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月26日星期四2021/8/262021/8/262021/8/26 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年8月2021/8/262021/8/262021/8/268/26/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/8/262021/8/26August 26, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/8/262021/8/262021/8/262021/8/26
B.1.5cm,2.5cm,6.5cm,4.5cm
C.1.1cm,2.2cm,3.3cm,4.4cm D.1cm,2cm,2cm,4cm
例2 如图，在直角三角形ＡＢＣ中，ＣＤ是斜边ＡＢ 上的高线，请找出一组比例线段，并说明理由.
Ｃ
Ａ
Ｂ
Ｄ
分析：(1)根据比例基本性质，要判断四条线段是否
上海市罗泾中学九年级数学上册 24.2 比例线段(第1课时
24.2 比例线段（第1课时拓展练习课）
教学目标：
熟练运用合比和等比性质,能解决不同类型的变形.
教学重点及难点
重点:熟练运用合比和等比性质;
难点:能解决不同类型的变形.
教学过程设计：
引导学生运用类似的方法推导出比例的等比性质:
如果a c
b d
=,那么
a c a c
k
b d b d
+
===
+
等比性质可以推广到任意有限多个相等的比的情况：
如果,那么 .
证明：设；则 ,
∴ .
等比性质的证明思路及思想非常重要，它是解决数学中连比问题的通法，希望同学们认真体会，务必掌握.
二、当堂练习
（1）求①②③
（2）求下列各式中的x.
①②③④
（3）把cd ab 21
=写成比例式，下列写法不正确的是
A 、b d
c a
2= B 、b d
c a
=2 C 、b d c a =2 D 、b c
d a =2
三、布置作业
一张相关练习卷。
上海教育版数学九年级上册24.2《比例线段》ppt课件1
说明：由上面两题可知
1.有一锐角是 30 的直角三角形中, 三边(从小到大)的比是 1: 3:2 2.等腰直角三角形中,三边(从小到 大)的比是 1:1: 2
x x
2x
x
30
3x
2x
练习4:
求等边三角形的高与边长的比 已知:等边三角形ABC A AD⊥BC于D 2x 30 3x 求: AD:AB C B x D 解: 略 AD:AB= 3:2
3.和一般的数构成的比例式不同，由线段 构成的比例式的各项均为正数。
例4 已知线段a=10mm , b=6cm c=2cm , d=3cm . 问：这四条线段是否成比例？为什么? 答：这四条线段成比例 ∵a=10mm=1cm
a 1 = c 2 a d d 3 1 = = c=b b 6 2
挑战
已知A.B两地相距40km，问在 比例尺为1:5 000 000的地图上,A.B 两地相距多少厘米？
则： A`B`= 1
5000 000
解：设A.B两地的图上距离为A`B`
即Байду номын сангаас
A`B`
4×10 7
AB
=
1
5000 000 4×10 7 5×10
6
所以A`B`=
=8cm
答：A.B两地的图上距离是8cm.
求：图上距离与实际距离的比 (即该地图的比例尺)
解：∵ AB=250m=25000cm
A'B'=5cm
A'B' 5 1 = = AB 25000 5000
答:图上距离与实际距离的比是1:5000
(即该地图的比例尺是1:5000 )
图距 说明：比例尺= 实距
练习3. 已知:一张地图的比例尺1:32000000 量得北京到上海的图上距离大约 为3.5cm, 求北京到上海的实际距离大约 是多少km? 解: 略 答:北京到上海的实际距离大约 是1120 km
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§24.2（2）比例线段（2）
教学目标：
1、 体会平行线、三角形的面积与比例线段之间的转化，为“三角形一边的平行线的性质定
理”做好铺垫.
2、 通过对黄金分割的了解，体会方程思想的作用.
教学重点：转化的数学思想.
难点：方程思想.
教学过程：
一、三角形的面积与比例线段之间的转化.
例1、已知，如图四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，BOC AOD S S ∆∆=.
求证：
OA CO OB DO =.
你还能得到其它结论吗？
比如DC//AB ？
想一想：如果将条件，改为DC//AB ，结论还成立吗？
也就是：只要有平行的条件，就可以得到比例式，中间过程是面积相等.即平行线、三角形等积和比例式之间可以相互转化.
二、黄金分割与方程思想：
例2、如图，已知线段AB 的长度是l ，点P 是线段AB 上一点，
AB AP AP PB =， 求线段AP 的长.
（方程思想） 黄金分割：如果点P 把线段AB 分割成AP 和PB （AP ＞PB ）两段，其中AP 是AB 和PB 的比例中项，即AB
AP AP PB =那么称这种分割为黄金分割，点P 称为线段AB 的黄金分割点． 黄金数：如果点P 是线段AB 的黄金分割点（AP ＞PB ），那么
215-==AB AP AP PB ，其中比值2
15-称为黄金分割数（简称黄金数）．近似值是0.618. 黄金分割被称为“天赋的比例法则”，在建筑设计、美术、音乐、艺术及几何作图方面都有广泛的应用.
《唐老鸭漫游数学奇境》
P
练习1、（1）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），求PB∶AB的值．（2）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），若AB＝20，求PB的值．
三、课堂小结：
1、本节课你学习了哪些概念？
2 、掌握了哪些方法？
3、有什么感悟？
四、作业：1、课后练习
2、练习册.。