离散傅里叶变换
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2018/10/4
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4.1.2 离散傅里叶变换
W
3 4
W
W40
5 8
W86
W87 W80
W42
W84
W
3 8
W
1 4
W81
W82
(b ) 图4.1 复平面单位圆 (a)N＝4 (b)N＝8
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(a)
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4.1.2 离散傅里叶变换
W 0 W 0 0 1 W W W 0 W 2 0 3 W W W 0 W 0 1 1 1 1 2 3 W W 1 j 1 j 0 2 1 1 1 1 W W 2 1 1 j 1 j W W
E(u) | F (u) |2 R 2 (u) I 2 (u)
称为f(x)的能量谱或称为功率谱。
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4
2.二维连续傅里叶变换
傅里叶变换可以推广到两个变量连续可积的函数 f(x,y)若f(x,y)满足狄里赫莱条件，则存在如下傅里叶 变化对： F (u, v) f ( x, y)e j 2 (ux vy) dxdy
E(u, v) R (u, v) I (u, v)
2 2
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4.1.2 离散傅里叶变换
1.一维离散傅里叶变换
对一个连续函数f(x)等间隔采样可得到一个离散序列。
设共采了N个点，则这个离散序列可表示为
{f(0),f(1),…,f(N-1)}。借助这种表达，并令x为离散空域
变量，u为离散频率变量，可将离散傅里叶变换定义为：
第4章 图像变换
为了有效和快速地对图像进行处理和分析，常常需 要将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到其他 空间，并且利用图像在这个空间的特有性质进行处理， 然后通过逆变换操作转换到图像空间。 本章讨论图像变换重点介绍图像处理中常用的正交 变换，如傅里叶变换、离散余弦变换和小波变换等。
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4.1 连续傅里叶变换
1.一维连续傅里叶变换 设f(x)为x的函数，如果f(x)满足下面的狄里赫莱条件： (1)具有有限个间断点； (2)具有有限个极值点；
(3)绝对可积。
则定义f(x)的傅里叶变换为：
F (u)
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f ( x)e
j 2ux
dx
4.1 连续傅里叶变换
I (u ) (u ) arctan R(u ) E(u) | F (u) |2 R 2 (u) I 2 (u)
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4.1.2 离散傅里叶变换
2.离散傅里叶变换（DFT）的矩阵表示法 由DFT的定义，N＝4的原信号序列 f(x)={f(0),f(1),f(2),f(3)}的傅里叶变换F(u)展开为：
j
3 2
]
]
j
f (2)e
j
4 2
f (3)e
j
6 2
u 3: F (3) [ f (0)e0 f (1)e
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j
3 2
f (2)e
j
6 2
f (3)e
j
9 2
]
8
4.1.2 离散傅里叶变换
将e指数项化简可写成矩阵形式：
e0 F (0) F (1) 0 e F (2) e0 F (3) 0 e e0 e 2 e j e
j 3 2 j
e0 e j e0 e j
wenku.baidu.com
e0 f (0) 3 j e 2 f (1) j e f (2) f (3) j 2 e
记作： F Wf 可用复平面的单位圆来求W的各元素。如图4-1所示。当N=4时， 参看图4.1(a)。 把单位圆分为N=4份，则正变换矩阵第u行每次移动u份得到该 行系数。
同理 N=8 见图 4-1(b) 的单位圆。 N=8 的 W 阵应把单位圆分 为8份，顺时顺次转0份,1份、…,7份，可得W阵为:
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4.1.2 离散傅里叶变换
1 1 1 1 j 0 W 2 7 W 1 j W 6 1 j 1 W5 2 1 W 4 1 W 3 1 j 1 2 2 W j W1 1 1 j 1 2 1 j 1 j 1 j 1 j 1 1 j 2 j 1 j 2 1 1 j 2 j 1 j 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 j 2 j 1 j 2 1 1 j 2 j 1 j 2 1 j 1 j 1 j 1 j 1 j 2 j 1 j 2 1 1 j 2 j 1 j 2 1
f ( x, y)
F (u, v)e j 2 (ux vy) dudv
二维函数的傅里叶谱、相位和能量谱分别表示为： | F (u , v) | R 2 (u , v) I 2 (u , v)
I (u, v) (u, v) arctan R(u, v)
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F u F u e j u
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4.1 连续傅里叶变换
F(u)为复平面上的向量，它有幅度和相角：
幅度： 相角：
| F (u) | [ R 2 (u) I 2 (u)]1/ 2
(u ) arctan
I (u ) R(u )
幅度函数|F(u)|称为f(x)的傅里叶谱或频率谱，φ (u)称为 相位谱。
F (u) f ( x)e
x 0
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N 1
j
2 ux N
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4.1.2 离散傅里叶变换
2 ux j 1 N 1 f ( x) F (u)e N 傅里叶反变换定义由表示： N u 0
可以证明离散傅里叶变换对总是存在的。
其傅里叶谱、相位和能量谱如下：
| F (u) | [ R 2 (u) I 2 (u)]1/ 2
u 0: F (0) [ f (0)e0 f (1)e0 f (2)e0 f (3)e0 ]
u 1: F (1) [ f (0)e0 f (1)e
u 2 : F (2) [ f (0)e0 f (1)e
j
2
2 2
f (2)e
j
2 2
f (3)e
从F(u)恢复f(x)称为傅里叶反变换，定义为：
f ( x) F (u)e j 2ux du
上述二式形成傅里叶变换对，记做 ：
f ( x) F (u )
函数 f(x) 的傅里叶变换一般是一个复数，它可以由下式表 示： F(u)=R(u)+jI(u) R(u),I(u)分别为F(u)的实部和虚部。 写成指数形式：
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4.1.2 离散傅里叶变换
W
3 4
W
W40
5 8
W86
W87 W80
W42
W84
W
3 8
W
1 4
W81
W82
(b ) 图4.1 复平面单位圆 (a)N＝4 (b)N＝8
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(a)
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4.1.2 离散傅里叶变换
W 0 W 0 0 1 W W W 0 W 2 0 3 W W W 0 W 0 1 1 1 1 2 3 W W 1 j 1 j 0 2 1 1 1 1 W W 2 1 1 j 1 j W W
E(u) | F (u) |2 R 2 (u) I 2 (u)
称为f(x)的能量谱或称为功率谱。
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2.二维连续傅里叶变换
傅里叶变换可以推广到两个变量连续可积的函数 f(x,y)若f(x,y)满足狄里赫莱条件，则存在如下傅里叶 变化对： F (u, v) f ( x, y)e j 2 (ux vy) dxdy
E(u, v) R (u, v) I (u, v)
2 2
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4.1.2 离散傅里叶变换
1.一维离散傅里叶变换
对一个连续函数f(x)等间隔采样可得到一个离散序列。
设共采了N个点，则这个离散序列可表示为
{f(0),f(1),…,f(N-1)}。借助这种表达，并令x为离散空域
变量，u为离散频率变量，可将离散傅里叶变换定义为：
第4章 图像变换
为了有效和快速地对图像进行处理和分析，常常需 要将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到其他 空间，并且利用图像在这个空间的特有性质进行处理， 然后通过逆变换操作转换到图像空间。 本章讨论图像变换重点介绍图像处理中常用的正交 变换，如傅里叶变换、离散余弦变换和小波变换等。
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4.1 连续傅里叶变换
1.一维连续傅里叶变换 设f(x)为x的函数，如果f(x)满足下面的狄里赫莱条件： (1)具有有限个间断点； (2)具有有限个极值点；
(3)绝对可积。
则定义f(x)的傅里叶变换为：
F (u)
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f ( x)e
j 2ux
dx
4.1 连续傅里叶变换
I (u ) (u ) arctan R(u ) E(u) | F (u) |2 R 2 (u) I 2 (u)
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4.1.2 离散傅里叶变换
2.离散傅里叶变换（DFT）的矩阵表示法 由DFT的定义，N＝4的原信号序列 f(x)={f(0),f(1),f(2),f(3)}的傅里叶变换F(u)展开为：
j
3 2
]
]
j
f (2)e
j
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f (3)e
j
6 2
u 3: F (3) [ f (0)e0 f (1)e
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j
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f (2)e
j
6 2
f (3)e
j
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]
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4.1.2 离散傅里叶变换
将e指数项化简可写成矩阵形式：
e0 F (0) F (1) 0 e F (2) e0 F (3) 0 e e0 e 2 e j e
j 3 2 j
e0 e j e0 e j
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e0 f (0) 3 j e 2 f (1) j e f (2) f (3) j 2 e
记作： F Wf 可用复平面的单位圆来求W的各元素。如图4-1所示。当N=4时， 参看图4.1(a)。 把单位圆分为N=4份，则正变换矩阵第u行每次移动u份得到该 行系数。
同理 N=8 见图 4-1(b) 的单位圆。 N=8 的 W 阵应把单位圆分 为8份，顺时顺次转0份,1份、…,7份，可得W阵为:
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4.1.2 离散傅里叶变换
1 1 1 1 j 0 W 2 7 W 1 j W 6 1 j 1 W5 2 1 W 4 1 W 3 1 j 1 2 2 W j W1 1 1 j 1 2 1 j 1 j 1 j 1 j 1 1 j 2 j 1 j 2 1 1 j 2 j 1 j 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 j 2 j 1 j 2 1 1 j 2 j 1 j 2 1 j 1 j 1 j 1 j 1 j 2 j 1 j 2 1 1 j 2 j 1 j 2 1
f ( x, y)
F (u, v)e j 2 (ux vy) dudv
二维函数的傅里叶谱、相位和能量谱分别表示为： | F (u , v) | R 2 (u , v) I 2 (u , v)
I (u, v) (u, v) arctan R(u, v)
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F u F u e j u
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4.1 连续傅里叶变换
F(u)为复平面上的向量，它有幅度和相角：
幅度： 相角：
| F (u) | [ R 2 (u) I 2 (u)]1/ 2
(u ) arctan
I (u ) R(u )
幅度函数|F(u)|称为f(x)的傅里叶谱或频率谱，φ (u)称为 相位谱。
F (u) f ( x)e
x 0
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N 1
j
2 ux N
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4.1.2 离散傅里叶变换
2 ux j 1 N 1 f ( x) F (u)e N 傅里叶反变换定义由表示： N u 0
可以证明离散傅里叶变换对总是存在的。
其傅里叶谱、相位和能量谱如下：
| F (u) | [ R 2 (u) I 2 (u)]1/ 2
u 0: F (0) [ f (0)e0 f (1)e0 f (2)e0 f (3)e0 ]
u 1: F (1) [ f (0)e0 f (1)e
u 2 : F (2) [ f (0)e0 f (1)e
j
2
2 2
f (2)e
j
2 2
f (3)e
从F(u)恢复f(x)称为傅里叶反变换，定义为：
f ( x) F (u)e j 2ux du
上述二式形成傅里叶变换对，记做 ：
f ( x) F (u )
函数 f(x) 的傅里叶变换一般是一个复数，它可以由下式表 示： F(u)=R(u)+jI(u) R(u),I(u)分别为F(u)的实部和虚部。 写成指数形式：