Floyd算法思想及操作详解

二、Warshall和Floyd算法
2. Floyd算法 • Floyd算法用于计算距离矩阵，即每个顶点到其他所有顶点之间的距离(最短路径的长度)
二、Warshall和Floyd算法
2. Floyd算法 • 算法思想 – 算法考虑每对顶点最短路径上的中间顶点 – dij (k)等于从第i个顶点到第j个顶点之间所有路径中一条最短路径的长度，并且路径的每一个中间顶点（如果有的话）的编号不大于k – 有递推关系式
DW for k 1 to n do for i 1 to n do for j 1 to n do D[i, j] min{D[i, j], D[i, k]+D[k, j]} return D
算法分析：时间效率分析：Θ(n³ )
二、Warshall和Floyd算法
1. Floyd算法 • 例题 – p223，习题8.2，第7题：对下面具有权重矩阵的有向图，求解完全最短路径 0 2 1 8 6 0 3 2 0 4 2 0 3 3 0 • 思考 – p223，习题8.2，第10题
二、Warshall和Floyd算法
Floyd算法
a 2 7 b 3
•
例
c
1
6
d
二、Warshall和Floyd算法
二、Warshall和Floyd算法
2. Floyd算法 • 算法
Floyd(W[1..n,1..n]) // 实现计算完全最短路径的Floyd算法 // 输入：图的权重矩阵W // 输出：包含最短路径长度的距离矩阵
( ( ( ( dijk ) min{dijk 1) , dikk 1) d kjk 1) }, (0) dij wij

floyd算法求最短路径问题c语言

Floyd算法求最短路径问题一、背景介绍在图论中，最短路径是一个重要的研究领域。

最短路径问题可以归结为在一个有向带权图中寻找从一个顶点到另一个顶点的路径，使得路径上的所有边的权值之和最小。

解决最短路径问题的经典算法之一就是Floyd算法。

二、Floyd算法概述Floyd算法是一种动态规划算法，用于求解图中任意两个顶点之间的最短路径。

Floyd算法的基本思想是逐步地考虑图中所有的顶点作为中间节点，更新任意两个顶点之间的最短路径。

三、算法实现步骤Floyd算法的实现步骤如下：1.初始化距离矩阵：创建一个二维数组dist，用于存储任意两个顶点之间的最短路径距离。

如果存在一条直接的边连接两个顶点，则将对应位置的元素设为边的权值；否则，将对应位置的元素设为无穷大。

2.动态规划更新距离矩阵：利用三重循环遍历所有的顶点，每次循环都尝试通过当前顶点作为中间节点，更新任意两个顶点之间的最短路径距离。

具体地，对于任意的两个顶点i和j，如果存在另一个顶点k，使得经过顶点k的路径比直接连接的路径更短，则更新dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j]。

3.输出最短路径：根据更新后的距离矩阵dist，可以轻松地得到任意两个顶点之间的最短路径。

四、算法复杂度分析Floyd算法的时间复杂度为O(N3)，其中N表示图中顶点的个数。

Floyd算法的空间复杂度为O(N2)，由于需要创建一个二维数组用于存储任意两个顶点之间的最短路径距离。

五、算法应用举例下面通过一个具体的例子来说明Floyd算法的应用。

假设有一个有向带权图，包含5个顶点和7条边，如下所示：2 30 ——► 1 ——► 2▲ / ▲ / ▲| / | /| / | /| / |/3 ——► 45图中顶点0到顶点2的最短路径为0→1→2，路径长度为5；顶点0到顶点3的最短路径为0→1→2→4→3，路径长度为11。

通过应用Floyd算法，我们可以得到所有顶点之间的最短路径。

matlab floyd最短路算法例题

matlab floyd最短路算法例题摘要：一、Floyd 算法介绍二、MATLAB 实现Floyd 最短路算法的例题三、Floyd 算法的应用案例四、总结正文：一、Floyd 算法介绍Floyd 算法是一种经典的动态规划算法，用于求解加权连通图（有向图、无向图）中所有顶点之间最短路的长度。

该算法可以处理带有负权边的图，并且时间复杂度为O(n3)。

Floyd 算法的基本思想是：从任意节点i 到任意节点j 的最短路径不外乎2 种可能，1 是直接从i 到j，2 是从i 经过若干个节点k 到j。

所以，我们假设Dis(i,j) 为节点u 到节点v 的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查Dis(i,k) Dis(k,j) < Dis(i,j) 是否成立，如果成立，证明从i 到k 再到j 的路径比i 直接到j 的路径短，我们便设置Dis(i,j) Dis(i,k) Dis(k,j)。

二、MATLAB 实现Floyd 最短路算法的例题以下是一个使用MATLAB 实现Floyd 算法的例题：```MATLABfunction [T,pred] = floyd(adj_matrix)% 输入：邻接矩阵% 输出：最短路径矩阵，预测矩阵= size(adj_matrix, 1);T = zeros(n, n);pred = zeros(n, n);for i = 1:nfor j = 1:nfor k = 1:nif i ~= k && i ~= j && k ~= jT(i, j) = min(T(i, j), T(i, k) + T(k, j));pred(i, j) = T(i, k) + T(k, j);endendendendend```三、Floyd 算法的应用案例Floyd 算法在网络分析、社交网络、生物信息学等领域具有广泛的应用。

例如，在网络分析中，Floyd 算法可以用于寻找网络中的最短路径，以便快速传递信息或货物。

Floyd算法

Floyd算法Floyd算法是一种经典的图论算法，用于求解带权有向图中任意两个顶点之间的最短路径问题。

该算法由美国数学家罗伯特·弗洛伊德（Robert Floyd）于1962年提出，因此得名为Floyd算法。

Floyd算法是一种动态规划算法，它采用了“分治”的思想，将问题分解为更小的子问题，然后逐步解决子问题，最终得到解决整个问题的结果。

本文将从算法的背景、基本思想、实现方法及优缺点等方面对Floyd 算法进行详细阐述和分析。

一、算法的背景在讲Floyd算法之前，我们先来了解一下最短路径问题。

顾名思义，最短路径问题就是在给定图中找到两个给定节点之间的一条最短路径，也就是路径上各边权值之和最小的路径。

这个问题在现实生活中有很多应用，比如网络路由、地图路径规划、航线安排等等。

在数学和计算机科学领域中，我们可以通过图论的方法来描述和解决这个问题。

一般来说，给定一张带权有向图G=(V, E)，其中V表示节点的集合，E表示边的集合。

每条边E(i,j)的权重为w(i,j)，表示从节点i到节点j的距离或成本。

那么最短路径问题就是在图中找到从节点s到节点t的一条最短路径P，并且P上的边权之和最小。

最初求解的思路是按照类似深度优先搜索的方式，逐个遍历所有路径，然后依次比较它们的距离，找到最短路径。

但这种方式显然是不可行的，因为它的时间复杂度非常高。

所以，我们需要设计一种更高效的算法，以求得最短路径问题的最优解。

二、算法的基本思想Floyd算法就是一种高效地解决最短路径问题的方法。

它采用了“动态规划”的思想，通过逐步求解子问题，最终得到完整的最短路径。

而解决子问题的方式则是采用了“分治”的思想，将问题分解为更小的子问题，然后逐步解决。

具体地说，Floyd算法采用了“中转节点”的概念，我们可以将问题转化为这样一个子问题：对于每个节点i和节点j，假设我们已经知道了它们之间的最短路径长度为d[i][j]，那么考虑一下节点k作为中转节点，它可以为i和j之间的路径P提供一个“中转服务”，将P拆分为两条路径：i-->k和k-->j。

简介Floyd算法

简介Floyd 算法⽬录1. 定义Floyd 算法是⼀种⽤于寻找给定的加权图中顶点间最短路径，是经典的多源最短路径算法，可以有效地处理有向图或负权的最短路径问题，同时也被⽤于计算有向图的传递闭包。

Floyd 算法的时间复杂度为 O (N 3)，空间复杂度为 O (N 2)。

2. 优缺点优点：容易理解，可以算出任意两个节点之间的最短距离，代码编写简单。

缺点：时间复杂度⽐较⾼，不是和计算⼤量数据。

3. 基本思想Floyd 算法属于动态规划算法，即寻找节点 i 到节点 j 的最短路径。

Step 1: 初始距离定义 n 节点⽹络的邻接矩阵 A n ×n ，矩阵中的元素为 a i ,j 为节点 i 到节点 j 的⼀步的直线距离。

令 A (0)=A ，其初始元素为 a (0)i ,j 则该距离有如下三种情况：a (0)i ,j =c i ,j , i ,j 相连0, i =j∞, i ,j 不相连其中，节点 i , j 之间有直线连接时，则 a (0)i ,j 为其距离值 c i ,j ；节点 i 到⾃⾝的距离为 0；节点 i , j 之间没有直线连接时，则 a (0)i ,j 则为 ∞，如下图：则该初始邻接矩阵 A 为：即节点0与节点0⾃⾝距离值为0，即 A [0][0]=0；节点0与节点1之间有直线连接，距离值为5，即 A [0][1]=5；节点0与节点2之间没有直线连接，则距离值为 ∞，即 A [0][2]=∞；节点0与节点3之间有直线连接，距离值为7，即 A [0][3]=7 ……其他节点间的初始距离可依次写出，即为该邻接矩阵 A 。

Step 2: 借中转节点迭代找最短路径节点 i , j 间⼀步达不到时，则需要在两节点之间通过其他节点（如节点 k ）作连接：在 A 矩阵上做 n 次迭代，k =1,⋯,n ，第 k 次迭代a k i ,j =min (a k −1i ,j ,a k −1i ,k +a k −1k ,j )即在节点 i 和节点 j 之间找到⼀条最短距离的路径，如下图：图中的节点 i 到节点 j 之间的直线距离 (i →j ) 为 6，但经过节点 k 作中转后，节点 i 到节点 j 之间的直线距离 (i →k →j ) 为 2+3=5，因此 a k i ,j =min (6,5)=5。

Floyd算法详解

求最短路径算法总结分类：数据结构标签：floyd算法it部分内容参考All-Pairs 的最短路径问题:所有点对之间的最短路径Dijkstra算法是求单源最短路径的，那如果求图中所有点对的最短路径的话则有以下两种解法：解法一：以图中的每个顶点作为源点，调用Dijkstra算法，时间复杂度为O(n3)；解法二：Floyd（弗洛伊德算法）更简洁，算法复杂度仍为O(n3)。

n正如大多数教材中所讲到的，求单源点无负边最短路径用Dijkstra，而求所有点最短路径用Floyd。

确实，我们将用到Floyd算法，但是，并不是说所有情况下Floyd都是最佳选择。

对于没有学过Floyd的人来说，在掌握了Dijkstra之后遇到All-Pairs最短路径问题的第一反应可能会是：计算所有点的单源点最短路径，不就可以得到所有点的最短路径了吗。

简单得描述一下算法就是执行n次Dijkstra算法。

Floyd可以说是Warshall算法的扩展了，三个for循环便可以解决一个复杂的问题，应该说是十分经典的。

从它的三层循环可以看出，它的复杂度是n3，除了在第二层for中加点判断可以略微提高效率，几乎没有其他办法再减少它的复杂度。

比较两种算法，不难得出以下的结论：对于稀疏的图，采用n次Dijkstra比较出色，对于茂密的图，可以使用Floyd算法。

另外，Floyd可以处理带负边的图。

下面对Floyd算法进行介绍：Floyd算法的基本思想：可以将问题分解，先找出最短的距离，然后在考虑如何找出对应的行进路线。

如何找出最短路径呢，这里还是用到动态规划的知识，对于任何一个城市而言，i到j的最短距离不外乎存在经过i与j之间的k和不经过k两种可能，所以可以令k=1，2，3，...，n(n是城市的数目)，在检查d(ij)与d(ik)+d(kj)的值；在此d(ik)与d(kj)分别是目前为止所知道的i到k 与k到j的最短距离，因此d(ik)+d(kj)就是i到j经过k的最短距离。

Floyd

每对顶点间的最短路径——弗洛伊德（Floyd）算法解决此问题有两种方法：其一是分别以图中每个顶点为源点共调用n次Dijkstra算法；其二是采用Floyd算法。

两种算法的时间复杂度均为O(n3)，但后者形式上比较简单。

Floyd算法的基本思想：（1）利用二维数组A[1..n-1][1..n-1], A[i][j]记录当前vi到vj的最短路径长度，数组A的初值等于图的代权临街矩阵;（2）集合S记录当前允许的中间顶点，初值S=Φ;（3）依次向S中加入v0 ,v1…vn-1，每加入一个顶点，对A[i][j]进行一次修正：设S={v0 ,v1…vk-1}，加入vk，则A(k)[i][j] = min{ A(k-1)[i][j]，A(k-1)[i][k]+A(k-1)[k][j]}。

A(k)[i][j]的含义：允许中间顶点的序号最大为k时从vi到vj的最短路径长度。

A(n-1)[i][j]就是Dijkstra算法的基本思路是：假设每个点都有一对标号(dj, pj)，其中dj是从起源点s到点j的最短路径的长度(从顶点到其本身的最短路径是零路(没有弧的路)，其长度等于零)；pj则是从s到j的最短路径中j点的前一点。

求解从起源点s到点j的最短路径算法的基本过程如下：1) 初始化。

起源点设置为：①ds=0, ps为空;②所有其他点: di=∞, pi= ;③标记起源点s，记k=s,其他所有点设为未标记的。

2) 检验从所有已标记的点k到其直接连接的未标记的点j的距离，并设置：dj=min〔dj, dk+lkj〕式中，lkj是从点k到j的直接连接距离。

3) 选取下一个点。

从所有未标记的结点中，选取dj 中最小的一个i：di=min〔dj, 所有未标记的点j〕点i就被选为最短路径中的一点，并设为已标记的。

4) 找到点i的前一点。

从已标记的点中找到直接连接到点i的点j*，作为前一点,设置：i=j*5) 标记点i。

如果所有点已标记，则算法完全推出，否则，记k=i，转到2) 再继续。

floyd判圈法

floyd判圈法（原创版）目录1.Floyd 判圈法的概念和原理2.Floyd 判圈法的应用场景3.Floyd 判圈法的具体算法步骤4.Floyd 判圈法的优点和局限性正文Floyd 判圈法是一种用于检测一个整数是否在一个给定的循环中出现的算法，也被称为 Floyd 循环检测算法。

该算法由计算机科学家Robert C.Floyd 在 1973 年提出，是解决循环问题的一种有效方法。

Floyd 判圈法的原理是基于“鸽巢原理”，即如果一个集合中的元素数量大于集合的容量，那么至少有一个元素会出现两次或以上。

在 Floyd 判圈法中，我们通过检测给定的整数序列中是否存在循环来判断整数是否在一个循环中。

Floyd 判圈法的应用场景包括：检测一个整数序列是否存在循环、检测一个整数序列中的循环次数以及找到循环的周期等。

这些应用在计算机科学、信息理论和密码学等领域都有重要的意义。

Floyd 判圈法的具体算法步骤如下：1.初始化一个计数器，用于记录每个整数出现的次数。

2.遍历给定的整数序列，对于每个整数，将其对应的计数器加一。

3.如果在遍历过程中发现某个整数的计数器值为零，则说明该整数不在循环中。

4.如果所有整数的计数器值都为零，则说明给定的整数序列不存在循环。

5.如果存在一个整数的计数器值大于零，则说明给定的整数序列存在循环，且循环的长度为该整数的计数器值。

Floyd 判圈法的优点在于其简单易懂，算法效率较高，时间复杂度为O(n)，其中 n 为给定整数序列的长度。

然而，Floyd 判圈法也存在局限性，它只能检测出循环的存在，而不能检测出循环的具体形式，也不能检测出多个循环。

总之，Floyd 判圈法是一种有效的循环检测算法，适用于检测整数序列中是否存在循环以及循环次数的计算。

Floyd算法简介

Floyd算法简介⼀.Floyd算法的介绍1.算法的特点：弗洛伊德算法是解决任意两点间的最短路径的⼀种算法，可以正确处理⽆向图或有向图或负权（仅适合权值⾮负的图)的最短路径问题，同时也被⽤于计算有向图的传递闭包。

2.算法的思路：通过Floyd计算图G=(V,E)中各个顶点的最短路径时，需要引⼊两个矩阵，矩阵S中的元素a[i][j]表⽰顶点i(第i个顶点)到顶点j(第j个顶点)的距离。

矩阵P（记录最短路的路径需要，若题⽬不需要求路径则不需要P数组）中的元素b[i][j]，表⽰顶点i到顶点j经过了顶点b[i][j]。

假设图G中顶点个数为N，则需要对矩阵D和矩阵P进⾏N次更新。

初始时，矩阵D中顶点a[i][j]的距离为顶点i到顶点j的权值；如果i和j不相邻，则a[i][j]=∞，矩阵P的值为顶点b[i][j]的j的值。

接下来开始，对矩阵D进⾏N次更新。

第1次更新时，如果”a[i][j]的距离” > “a[i][0]+a[0] [j]”(a[i][0]+a[0][j]表⽰”i与j之间经过第1个顶点的距离”)，则更新a[i][j]为”a[i][0]+a[0][j]”,更新b[i][j]=b[i][0]。

同理，第k次更新时，如果”a[i][j]的距离” > “a[i][k-1]+a[k-1][j]”，则更新a[i][j]为”a[i][k-1]+a[k-1][j]”,b[i][j]=b[i][k-1]。

实质上是背包DP问题，最外层循环是k，表⽰利⽤前k个作为中间计算a[i][j]的最⼩值，本来需要三位数组a[k][i][j]，因为第k次循环只会⽤到a[k-1][i][j]，所以利⽤滚动数组，使⽤⼆维数组即可。

更新N次之后，操作完成！时间复杂度为O(N^3)，空间复杂度为O(N^2)。

核⼼代码：1for(k=0;k<n;k++)2for(i=0;i<n;i++)3for(j=0;j<n;j++)4if(a[i][j]>a[i][k]+a[k][j])5 a[i][j]=a[i][k]+a[k][j],b[i][j]=b[i][k]; 只有5⾏！现在你会发现这个看起来很⾼⼤上的算法很简单了，算是最短路的4个算法⾥最暴⼒的了！ 3.实例：题意：有n种动物，m种直接转换的咒语，且转换具有传递性，求从哪⼀种动物到另⼀种的动物的最长咒语的最⼩值，若不能转换到所有动物，则输出0. 思路：Floyd算法的裸应⽤，将动物抽象为点，咒语长度抽象为边的权值，代码如下：#include<bits/stdc++.h>using namespace std;const int inf=0x3f3f3f3f;int n,m,a,b,c;int mp[105][105];int main(){scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=n;++j)if(i!=j) mp[i][j]=inf;while(m--){scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);mp[a][b]=c;mp[b][a]=c;}for(int k=1;k<=n;++k)for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=n;++j)if(mp[i][j]>mp[i][k]+mp[k][j])mp[i][j]=mp[i][k]+mp[k][j];int maxi,minv=0,res=inf;for(int i=1;i<=n;++i){maxi=0;for(int j=1;j<=n;++j)if(mp[i][j]>maxi)maxi=mp[i][j];if(maxi<res)res=maxi,minv=i;}if(minv)printf("%d %d\n",minv,res);elseprintf("0\n");return0;}。

弗洛伊德（Floyd）算法

弗洛伊德（Floyd）算法最短路径问题：从某个顶点出发到达另外⼀个顶点的所经过的边的权重和最⼩的⼀条路径弗洛伊德算法解决最短路径问题1.基本思想（1）计算图中各个顶点之间的最短路径，每⼀个顶点都是出发访问点，所以需要将每⼀个顶点看做被访问顶点，求出从每⼀个顶点到其他顶点的最短路径（2）所有顶点都作为中间节点遍历⼀次，每次遍历将各个顶点经过中间节点到另⼀个节点的距离，与不经过该节点的距离相⽐较，若经过中间节点的距离更⼩，就更新距离表与前驱关系（3）时间复杂度O(n3)，所有顶点作为出发点、中间节点、终点，每个顶点都要遍历3次2.步骤（1）设置顶点 a 到顶点 b 的最短路径已知为 L ab，顶点 b 到 c 的最短路径已知为 L bc，顶点 a 到 c 的路径为 L ac，则 a 到 c 的最短路径为：min ( ( L ab + L bc ), L ac )，b 的取值为图中所有顶点，则可获得 a 到 b 的最短路径（2）⾄于 a 到 b 的最短路径 L ab或者 b 到 c 的最短路径 L bc，是以同样的⽅式获得（3）三个点为同⼀顶点时：中间顶点为⾃⾝；三个点是不同顶点时：中间顶点是终点的前驱节点；两个顶点直接连通时：中间节点为出发点代码实现import java.util.Arrays;public class Floyd {//弗洛伊德算法解决最短路径问题public static final int BLOCK = 65535;//表⽰顶点之间不直接连通public static void main(String[] args) {char[] vertex = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};//顶点到⾃⾝距离为0int[][] matrix = {{0, 5, 7, BLOCK, BLOCK, BLOCK, 2},{5, 0, BLOCK, 9, BLOCK, BLOCK, 3},{7, BLOCK, 0, BLOCK, 8, BLOCK, BLOCK},{BLOCK, 9, BLOCK, 0, BLOCK, 4, BLOCK},{BLOCK, BLOCK, 8, BLOCK, 0, 5, 4},{BLOCK, BLOCK, BLOCK, 4, 5, 0, 6},{2, 3, BLOCK, BLOCK, 4, 6, 0}};Graph graph = new Graph(matrix, vertex);graph.floyd();graph.result();}}//带权⽆向图class Graph {public char[] vertex;//存放顶点public int[][] matrix;//保存各个顶点到其它顶点的距离，初始为直接连接的距离，算法计算后为最短距离public int[][] relay;//保存中间结点//构造器public Graph(int[][] matrix, char[] vertex) {this.vertex = vertex;this.matrix = matrix;this.relay = new int[vertex.length][vertex.length];//三个点为同⼀顶点时：中间顶点为⾃⾝；三个点是不同顶点时：中间顶点是终点的前驱节点；两个顶点直接连通时：中间节点为出发点for (int i = 0; i < vertex.length; i++) {Arrays.fill(relay[i], i);//初始中间顶点为⾃⾝}}//显⽰算法结果public void result() {for (int k = 0; k < vertex.length; k++) {for (int i = 0; i < vertex.length; i++) {System.out.println(vertex[k] + " 到 " + vertex[i] +" 最短路径 " + matrix[k][i] +" 中间结点 " + vertex[relay[k][i]]);}System.out.println();}}//弗洛伊德算法public void floyd() {int temp;//保存i到j的距离for (int i = 0; i < matrix.length; i++) {//出发点ifor (int j = 0; j < matrix.length; j++) {//中间顶点jfor (int k = 0; k < matrix.length; k++) {//终点ktemp = matrix[i][j] + matrix[j][k];//求从i出发，经过k，到达j的距离 if (temp < matrix[i][k]) {matrix[i][k] = temp;//更新距离relay[i][k] = relay[j][k];//更新中间顶点}}}}}}。

弗洛伊德算法实用技巧

弗洛伊德算法实用技巧弗洛伊德算法（Floyd's Algorithm），又称为最短路径算法，是一种用于求解图中各顶点之间最短路径的算法。

它以其简洁高效的特点而被广泛应用于图论和网络优化领域。

本文将介绍弗洛伊德算法的原理及其在实际问题中的应用技巧。

一、弗洛伊德算法原理弗洛伊德算法的核心思想是采用动态规划的方法，通过逐步更新每一对顶点之间的最短路径长度，直到得到所有顶点之间的最短路径。

具体步骤如下：1. 初始化最短路径矩阵：以邻接矩阵的形式表示图的边权重，初始化一个大小为n×n的矩阵D，其中n为顶点个数。

若顶点i和顶点j之间存在边，则D[i][j]的值为边的权重；若不存在边，则D[i][j]的值为一个较大的数（如∞）。

2. 进行顶点中转：对于每一对顶点i和j，以顶点k作为中转点，更新D[i][j]的值，使其等于D[i][k] + D[k][j]和D[i][j]中的较小值。

即，若通过顶点k的路径更短，则更新D[i][j]的值。

3. 重复进行中转：依次选择每一个顶点作为中转点，进行步骤2的操作。

当所有顶点均作为中转点完成一次中转后，得到的矩阵D即为最终的最短路径矩阵。

二、弗洛伊德算法应用技巧1. 求解最短路径：弗洛伊德算法可以用于求解有向图或无向图中任意两点之间的最短路径。

通过获取最短路径矩阵D，即可得到任意一对顶点之间的最短路径长度。

2. 检测负权回路：在求解最短路径的过程中，若在最终的最短路径矩阵D中存在D[i][i]为负数的情况，则说明图中存在负权回路，即图中存在一个环路，其权重之和为负数。

该特性可用于识别图中是否存在负权回路。

3. 网络拓扑排序：弗洛伊德算法可以用于进行网络拓扑排序。

在求解最短路径的过程中，通过检测矩阵中的负权回路，可以得到顶点的拓扑排序结果。

拓扑排序用于评估任务执行的顺序，从而实现任务的优化调度。

4. 交通网络优化：弗洛伊德算法可以用于优化交通网络的设计。

通过将道路或路径作为图中的边，顶点表示城市或路口，权重表示通行距离或时间，利用最短路径矩阵D，可以评估不同路径的通行效率，从而优化道路规划和交通流量调度。

弗洛伊德算法判环

弗洛伊德算法判环1. 介绍在计算机科学中，弗洛伊德算法（Floyd’s algorithm），也被称为龟兔赛跑算法（tortoise and hare algorithm），是一种用于判断一个有向图中是否存在环的算法。

它由罗伯特·弗洛伊德（Robert W. Floyd）在1967年提出。

弗洛伊德算法通过使用两个指针，一个快指针和一个慢指针，来遍历图。

如果存在环，则快指针最终会追上慢指针。

2. 算法原理弗洛伊德算法的核心思想是使用两个不同速度的指针来遍历图。

快指针每次移动两步，而慢指针每次移动一步。

如果存在环，则快指针最终会追上慢指针。

具体步骤如下：1.初始化快指针和慢指针，分别位于图的起点。

2.迭代过程中，快指针每次移动两步，慢指针每次移动一步。

3.如果存在环，则快指针最终会追上慢指针，并且两个指针相遇。

4.如果不存在环，则快指针会提前到达终点，此时迭代结束。

3. 算法实现下面是一个使用弗洛伊德算法判环的示例代码：def has_cycle(graph):slow_ptr = graph.startfast_ptr = graph.startwhile fast_ptr is not None and fast_ptr.next is not None:slow_ptr = slow_ptr.nextfast_ptr = fast_ptr.next.nextif slow_ptr == fast_ptr:return Truereturn False在这个示例中，我们假设图是一个链表结构，其中每个节点都有一个指向下一个节点的指针。

我们使用两个指针来遍历链表，快指针每次移动两步，慢指针每次移动一步。

如果存在环，则快指针最终会追上慢指针，并且两个指针相遇。

如果不存在环，则快指针会提前到达链表的末尾。

4. 算法分析时间复杂度弗洛伊德算法的时间复杂度为O(n)，其中n是图中节点的数量。

这是因为在最坏情况下，快指针需要遍历整个图一次才能追上慢指针。

算法12--最短路径--弗洛伊德(Floyd)算法

D(2) [i][j] = min{D(1) [i][j], D(1) [i][2]+D(1) [2][j]}
6
0123
V2 8 V3
8
0 1 1920 43 0
3
4 52
ADA(((-32101)))==
8
11021 0 98 2 3 45 0 687
1 2
9
V0
V1
8
8
90 110 6 0 3
12
5.算法实现
• 图用邻接矩阵存储 • edge[ ][ ]存放最短路径长度 • path[i][j]是从Vi到Vj的最短路径上Vj前一顶点序号
void floyd ( ){
for ( int i = 0; i < n; i++ ) //矩阵dist与path初始化
for ( int j = 0; j < n; j++ ) { //置A(-1)
例题：
6 A4 3 11
C
初始：
0 6
4 0
11 2
3 0 B
路径： BA CA
AB AC BC
2 0 4 11
加入A： 6 0 2 37 0
AB AC
路径： BA
BC
CA CAB
04 6 加入B： 6 0 2
37 0
AB ABC
路径： BA
BC
CA CAB
04 6 加入C： 5 0 2
37 0
AB ABC
8
0092 3 45 0 687
1 2
9
V0
V1
8
8
0160 3
1
以D(0)为基础，以V1为中间顶点，求从Vi,到Vj的最短

Floyed（floyd）算法详解

Floyed（floyd）算法详解是真懂还是假懂？Floyed算法：是最短路径算法可以说是最慢的⼀个。

原理：O（n^3）的for循环，对每⼀个中间节点k做松弛（寻找更短路径）；但它适合算多源最短路径，即任意两点间的距离。

但spfa，迪杰斯特拉就只能算⼀个点到其他任⼀点的最短路径。

关键在于，我们真的真正理解floyed吗？就是因为它太短了，以⾄于我们有些⼈（神仙除外）看代码后看到这样⼀个语句：d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j])也就是说，对于每⼀个中转点k来说，进⾏O（n^2）的松弛，⼀定能找到最短路径。

虽不是最优，但是松弛次数来凑！这⼤概就是我们（之前的我）的⽆须证明的，想当然的理解，并背下来了它，以便以后想TLE时⽤。

（O（n^3））；so？Floyed本质是dp；递推公式：（图⽚源⾃⽹络⼤佬）众所周知，dp（动态规划）要满⾜⽆后效性。

也就是说。

还是先举个例⼦：我们设k取某⼀个k1时满⾜k1为最终点i到j最短路经过的点，但是在外层循环到k1时d[i][k1]和d[k1][j]并没有取到最⼩值，因为k1只能取⼀次，那么往后再循环是不是就取不到k1了呢？？答案当然不是的（不然这个算法为什么正确?）还是那句话，dp⽆后效性，也就是说，k不单单是枚举，还是⼀个状态变量，找i和j之间通过编号不超过k（k从1到n）的节点的最短路径（⼀定要注意，这⾥是当前最短路径，k之前的已经变成最短路了,对于每⼀个k，我们都进⾏了n^2的充分枚举(ij)，已保证当前已经满⾜对从1到k的节点最优，那么当k枚举完所有点，那么⼀定是最优的了换句话说，在d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j])公式中，因为k之前已经作为i或者j被枚举过了；,d[i][k]和d[k][j]已经被1到k枚举过了那么他们⼀定是1到k节点中最优的路径，等枚举到n时，所有的都枚举完了，那么它们就是基本代码:for(k=1;k<=n;k++) //中转节点for(i=1;i<=n;i++) 第⼆层循环for(j=1;j<=n;j++) 第三层循环if(e[i][j]>e[i][k]+e[k][j] )如果直接到达⽐通过k这个中转接点到达的距离短e[i][j]=e[i][k]+e[k][j];那么就更新松弛算法复杂度O（n^3），这也是为什么平常很少使⽤的原因。

floyd 算法题目洛谷

洛谷是一个全球信息湾，提供了大量的算法题目供程序员练习和学习。

其中，floyd 算法是解决最短路径问题的经典算法之一。

在本文中，将介绍floyd算法的原理、实现步骤和应用场景，希望对读者有所帮助。

一、floyd算法的原理floyd算法，又称为Floyd-Warshal算法，是一种利用动态规划思想解决图中多源最短路径问题的算法。

其原理可以概括为：对于每一对顶点i和j，我们检查是否存在一个顶点k使得从i到j的最短路径比直接从i到j的路径更短。

如果存在这样一个顶点k，我们更新最短路径的值。

具体来说，我们用一个二维数组dist[][]记录顶点i到顶点j的最短路径长度，然后我们尝试遍历每个顶点k，检查dist[i][k] +dist[k][j]是否小于dist[i][j]，如果成立，我们更新dist[i][j]的值为dist[i][k] + dist[k][j]。

二、floyd算法的实现步骤1. 初始化dist[][]数组。

对于每对顶点i和j，初始化dist[i][j]的值为i和j之间的边的权重，如果i和j之间没有边，那么初始化为正无穷大。

对角线上的元素初始化为0。

2. 遍历每个顶点k。

对于每一对顶点i和j，检查dist[i][k] + dist[k][j]是否小于dist[i][j]，如果成立，更新dist[i][j]的值为dist[i][k] +dist[k][j]。

3. 最终得到的dist[][]数组即为图中每对顶点的最短路径长度。

三、floyd算法的应用场景floyd算法可以用于解决图中多源最短路径的问题。

具体来说，可以用于解决以下问题：1. 网络中节点之间的最短路径：在计算机网络中，floyd算法可以用于计算网络中每对节点之间的最短路径，从而优化网络路由。

2. 地图导航系统：在地图导航系统中，floyd算法可以用于计算城市之间的最短路径，帮助用户规划出行路线。

3. 交通运输优化：在交通运输领域，floyd算法可以用于优化货物运输的路线，降低成本。

数学建模floyd算法最短路算法详解

二算法原理1求距离矩阵的方法2求路径矩阵的方法3查找最短路路径的方法一算法的基本思想三算法步骤算法的基本思想直接在图的带权邻接矩阵中用插入顶点的方法依次构造出?个矩阵d1d2
最短路算法
任意一对顶点之间的最短路算法:Floyd算法
（一）算法的基本思想
(二)算法原理 1、求距离矩阵的方法 2、求路径矩阵的方法 3、查找最短路路径的方法
选址问题--中心问题
例 2 某城市要建立一个消防站，为该市所属的七个区服务，如图所示．问应设在那个区，才能使它至最远区的路径最短．
（1）用 Floyd 算法求出距离矩阵 D= (dij ) ．
（2）计算在各点vi 设立服务设施的
最大服务距离S (vi ) ．
S (vi
)

max{d
1 j
算法原理—— 查找最短路路径的方法
若 rij( ) p1，则点 p1 是点 i 到点 j 的最短路的中间点.
然后用同样的方法再分头查找．若：
（１）向点 i 追朔得：rip(1 )

p2
r,
( ) ip 2

p3 ,…,rip(k )

pk
（２）向点
j
追朔得：
r ( ) p1 j

q1
1 4 4 4 4 4 2 3 3 3
D

5
2
0
2
4 ,
R

4
2
3
4
5

3 4 2 0 6
1 3 3 4 3

9
6
4
6
0

4
3
3
3
5

弗洛伊德算法求经过所有结点的最短路径

弗洛伊德算法求经过所有结点的最短路径
弗洛伊德算法（Floyd算法）是一种用于寻找图中所有节点对之间最短路径的算法。

该算法通过动态规划的思想求解，时间复杂度为O(N^3)，其中N为节点数目。

具体步骤如下：
1. 初始化一个二维数组dis，用于存储每对节点之间的最短路径长度，初始值为邻接矩阵中的权值。

2. 依次枚举每个节点k，将其加入到当前的最短路径中，在此基础上更新邻接矩阵中的距离，更新方法为dis[i][j] = min(dis[i][j], dis[i][k] + dis[k][j])。

3. 重复第2步，直到枚举完所有节点，此时dis中存储的就是每对节点之间的最短路径长度。

4. 如果要求出最短路径上的具体路径，则需要记录一个二维数组path，path[i][j]表示节点i到节点j的最短路径经过的最后一个节点。

具体记录方法为如果
dis[i][k] + dis[k][j] < dis[i][j]，则更新path[i][j] = k。

5. 最后通过递归找到每对节点之间的具体路径即可。

示例代码如下（C++实现）：
void Floyd() {
for(int k = 1; k <= N; ++k) {
for(int i = 1; i <= N; ++i) {
for(int j = 1; j <= N; ++j) {
dis[i][j] = min(dis[i][j], dis[i][k] + dis[k][j]);
if(dis[i][j] == dis[i][k] + dis[k][j]) {
path[i][j] = k;
}
}
}
}
}。

floyd判圈法

Floyd判圈法一、引言在计算机科学中，Floyd判圈法（Floyd’s cycle-finding algorithm）是一种用于判断有向图中是否存在环的算法。

该算法由罗伯特·弗洛伊德（Robert W. Floyd）于1967年提出，因此得名。

Floyd判圈法通过使用两个指针在图中移动来判断是否存在环，并且可以找到环的起点。

二、算法原理Floyd判圈法的原理非常简单，主要分为以下几个步骤：1.定义两个指针，一个快指针（每次移动两步）、一个慢指针（每次移动一步）。

2.快指针从起点开始移动，慢指针从起点的下一个节点开始移动。

3.如果存在环，快指针最终会追上慢指针，两个指针会相遇。

4.如果不存在环，快指针会提前到达终点。

三、算法步骤下面详细介绍Floyd判圈法的具体步骤：1. 初始化指针设定两个指针，一个指向图中的起点，另一个指向起点的下一个节点。

slow_pointer = head.nextfast_pointer = head.next.next2. 移动指针通过不断移动指针来判断是否存在环。

while slow_pointer != fast_pointer:slow_pointer = slow_pointer.nextfast_pointer = fast_pointer.next.next3. 判断是否存在环当两个指针相遇时，即存在环，否则不存在环。

if slow_pointer == fast_pointer:return Trueelse:return False4. 寻找环的起点如果存在环，需要找到环的起点。

此时，将慢指针重新指向起点，快指针保持在相遇点，然后两个指针同时每次移动一步，直到相遇。

slow_pointer = headwhile slow_pointer != fast_pointer:slow_pointer = slow_pointer.nextfast_pointer = fast_pointer.nextreturn slow_pointer四、算法分析Floyd判圈法的时间复杂度为O(n)，其中n表示链表的节点数。

floyd算法精讲

D (2)[0][3] Min {D (1)[0][3], D (1) [0][2] D (1) [2][3]} Min {7, 3 2} 5 D (2) [1][3] Min {D (1) [1][3], D (1) [1][2] D (1)[2][3]} Min {9,2 2} 4
(step 0) D l ; //将有向网的邻接矩阵输入到D中 (step 1) for k = 1 to n 算法复杂度为 O(n^3) (step 3) for i = 1 to n (step 4) for j = 1 to n (step 5) D[i, j] = min{D[i, j], D[i, k] + D[k, j]} (step 6) end for (step 7) end for (step 8) end for
D (0) [i ][j ] Min {D ( 1)[i ][j ], D ( 1)[i ][0] D ( 1)[0][ j ]}
D (0) [1][3] Min {, D ( 1)[1][0] D ( 1)[0][3]} Min {, 2 7} Min {, 9} 9
D (1)[0][2] Min {D (0)[0][2], D (0)[0][1] D (0)[1][2]} Min {,1 2} 3 D (1)[3][2] Min {D (0)[3][2], D (0)[3][1] D (0)[1][2]} Min {,2 2} 4
(k ) 用公式表示就是，对于K=1,2,3…n,第k个矩阵 D( k ) dij
(k ) ( k 1) ( k 1) ( k 1) dij min{ dij , dik dkj }

floyd的原理

floyd的原理
Floyd算法（也称为Floyd-Warshall算法）是一种利用动态规划思想寻找给定加权图中所有顶点对之间的最短路径的算法。

该算法可以处理具有正或负边缘权重的加权图，但不允许存在负周期。

Floyd算法的基本原理是：对于图中的每个顶点对（u, v），通过动态规划的方式，寻找从顶点u到顶点v的最短路径。

算法的核心思想是，通过不断地更新顶点之间的最短路径，最终得到所有顶点对之间的最短路径。

具体来说，Floyd算法通过以下步骤来计算所有顶点对之间的最短路径：
1.初始化：对于每个顶点对（u, v），设置距离dist[u][v]为从
顶点u到顶点v的边的权重（如果两个顶点之间没有边，
则距离设置为无穷大）。

2.递推：对于每个顶点k，对于每个顶点对（u, v），如果通
过顶点k可以使得从顶点u到顶点v的距离更短（即
dist[u][k] + dist[k][v] < dist[u][v]），则更新dist[u][v]为
dist[u][k] + dist[k][v]。

3.结束：在所有顶点对之间的距离都被更新后，dist数组就
包含了所有顶点对之间的最短路径长度。

需要注意的是，Floyd算法的时间复杂度为O(n^3)，其中n为图的顶点数。

因此，对于大型的图，该算法可能需要较长的运行
时间。

此外，Floyd算法不能处理存在负周期的图，因为负周期会导致无限循环的最短路径。

Floyd算法思想及操作详解