2021届东北三省三校高三第一次模拟考试数学(文)试题Word版含答案

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东北三省三校-2025届高三第二次模拟考试文科综合试题-Word版含答案

东北三省三校 2024届高三其次次模拟考试文科综合试题一、选择题：本题共35小题，每小题4分，共I40分。

在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的。

2024年l0月，重厌交通高校依据土壤的属性，独创了将沙子和水搅拌形成土壤的黏合剂，并在内蒙古乌兰布和沙漠进行试验，成功地把4000余亩沙漠变成了绿洲，成为世界治沙史上的奇迹。

据此完成1-2题．1．该治沙技术大面积运用的限制性因素是A．技术 B．土壤 C．交通 D．水源2．该技术可以给当地带来的干脆影响有A．变更大气环流，增加夏季的降水量 B．可以保水防渗，增加土壤抗风蚀实力C．促进产业结构调整，加快二、三产业发展 D．协调区域联系，促进矿产资源的开发当一股低温的海流在厄加勒新浅滩向北流淌的时候，南非拟沙丁直便追随其向北迁徙产卵。

图l为南非拟沙丁鱼迁徙路途示意图，据此完成3～4题。

3南非拟沙丁鱼向北迁徙至产卵地时，可能出现的现象是A．德班旁边草木繁茂B．开普敦旁边海疆一帆风顺C．莺歌海盐场相宜晒盐D．华北地区红叶满山4．海中浮游生物生存多依靠养分盐，该海区养分盐的来源是A．低温海流携带至海表的养分盐 B．盛行风吹送至此的养分盐C．暖流携带至海表的养分盐 D．低温海流与南下暖流相遇养分盐上泛一段时期内，我国东部某区域受某天气系统影响，出现多日睛好天气，该系统中，心位于图3中B地。

图2为摄影爱好者在该地一公园内所拍摄的景观照片。

椐此完成5~6题．5．若受此系统持续影响，则该地区可能A．空气质量越来越差 B．风力明显增大C．昼夜温差减小 D．阴雨连绵6．若A、C两地也在废天气系统限制之下，与C相比A地天气相对A．湿冷 B．干冷 C．暖干 D．暖湿区位熵是用来衡量某一区域要素的空间分布指标，值越大说明地位和作用越高。

图4为2024年圣彼得堡城市土地利用区位熵值空间分布图。

据此完成7~8题。

7．圣彼得堡从市中心到郊区空间分布上差异最明显的用地类型是A．工业用地 B．商业用地 C．居住用地 D．交通用地8关于圣彼得堡城市发展，下列说法正确的是A．环状交通线缓解了市中心呵郊区的交通压力B．商业区的发展带动了城市居住地的快速发展C．条带状城市形态的形成与工业用地联系紧密D．该市城市化水平已完全进入了逆城市化阶段相邻的两条河流，在发育的过程中，低位河若具有较强的侵蚀力，河谷上源不断加长，致与高住河相遇，进而袭夺其河水的现象称为河流袭夺。

2021年高考数学真题模拟试题专项汇编之立体几何(文)(Word版,含解析)

（8）立体几何（文）——2021年高考数学真题模拟试题专项汇编1.【2021年新高考Ⅰ卷，3】已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为( ) A.2B.22C.4D.422.【2021年新高考Ⅱ卷，4】卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km （轨道高度指卫星到地球表面的最短距离）.把地球看成一个球心为O ，半径为6400km 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道所在平面所成角的度数，地球表面能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星的点的纬度的最大值记为α.该卫星信号覆盖的地球表面面积22π(1cos )S r α=-（单位：2km ），则S 占地球表面积的百分比为( ) A.26%B.34%C.42%D.50%3.【2021年北京卷，4】某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为( )33+ B.1213+3 4.【2021年浙江卷，4】某几何体的三视图如图所示(单位：cm )，则该几何体的体积(单位：3cm )是( )A.32B.3C.322D.325.【2021年新高考Ⅱ卷，5】正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则四棱台的体积为( ) A.5623B.562C.282D.28236.【2021年浙江卷，6】如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，,M N 分别是1A D ，1D B 的中点，则( )A.直线1A D 与直线1D B 垂直，直线//MN 平面ABCDB.直线1A D 与直线1D B 平行，直线MN ⊥平面11BDD BC.直线1A D 与直线1D B 相交，直线//MN 平面ABCDD.直线1A D 与直线1D B 异面，直线MN ⊥平面11BDD B7.【2021年北京卷，8】定义：24小时内降水在平地上积水厚度（mm ）来判断降雨程度.其中小雨（10<mm ），中雨（10mm —25mm ），大雨（25mm —50mm ），暴雨（50mm —100mm ），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级( )A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨8.【2021年全国乙卷(文)，10】在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为( ) A.π2B.π3C.π4D.π69.【2021年全国甲卷(文)，14】已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为__________.10.【2021年上海卷，9】已知圆柱的底面半径为1，高为2，AB 为上底面圆的一条直径，点C 为下底底面圆周上的一个动点，点C 绕着下底底面旋转一周，则ABC △面积的取值范围为____________.11.【2021年全国乙卷(文)，16】以图①为正视图，在图②③④③中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为___________（写出符合要求的一组答案即可）.12.【2021年全国乙卷(文)，18】如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥.（1）证明：平面PAM ⊥平面PBD ；（2）若1PD DC ==，求四棱锥P ABCD -的体积.13.【2021年安徽怀宁模拟，18】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AAC C ⊥底面11,2,ABC AA AC AC AB BC ====，且AB BC ⊥，O 为AC 的中点.（1）求证：平面11A B O ⊥平面1BCA ；（2）若点E 在1BC 上，且//OE 平面1A AB ，求三棱锥1E A BC -的体积.14.【2021年广西桂林模拟(文)，18】如图所示，在三棱锥A BCD -中，侧棱AB ⊥平面BCD ，F 为线段BD 中点，Q 为线段AB 中点，2π3BCD ∠=，3AB =，2BC CD ==.证明：（1）CF ⊥平面ABD ；（2）求点D 到平面QCF 的距离.15.【2021年全国甲卷(文)，19】已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形.2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，11BF A B ⊥，（1）求三棱锥F EBC -的体积；（2）已知D 为棱11A B 上的点，证明：BF DE ⊥.答案以及解析1.答案：B解析：本题考查圆锥的侧面展开图.设圆锥的底面半径为r ，母线长为l .由题意可得2ππr l =，所以222l r ==. 2.答案：C解析：由题意可知，6400cos 0.1536000640036000r r α==≈++，所以从同步卫星上可望见的地球的表面积222π(1cos )2π(10.15)S r r α=-≈-，此面积与地球表面积之比约为222π(10.15)100%42%4πr r -⨯≈.3.答案：A解析：画正方体，删点，剩下的4个点就是三棱锥的顶点，如图：1333311(11)2S +=⨯⨯⨯+=表. 4.答案：A解析：本题考查几何体的三视图.该几何体是高为1的四棱柱，其底面为三个全等的直角边为1的等腰直角三角形拼成的梯形，面积为32，故其体积是32. 5.答案：D解析：本题考查棱台的体积.将正四棱台1111A B C D ABCD -补成四棱锥P ABCD -，作PO ⊥底面ABCD 于点O ，交平面1111A B C D 于点1O ，则棱台1111A B C D ABCD -的体积1111P ABCD P A B C D V V V --=-.由题意，11112142PA PO A B PA PO AB ====，易知，4PA =，22AO =22224(22)22PO PA AO --=，所以12PO =，则1322(44)223P ABCD V -=⨯⨯⨯，1111142(22)23P A B C D V -=⨯⨯，所以棱台1111A B C D ABCD -的体积111132242282P ABCD P A B C D V V V --=-==.6.答案：A解析：本题考查空间的线线关系与线面关系.易知1A D ⊥平面1ABD ，故11A D D B ⊥，排除B ，C 项；连接1AD ，可知//MN AB ，所以//MN 平面ABCD ，A 项正确；因为AB 不垂直于平面11BDD B ，//MN AB ，所以直线MN 不垂直于平面11BDD B ，D 项错误.7.答案：B解析：由相似的性质可得，小圆锥的底面半径2002502r ==，故231π5015050π3V =⨯⨯⨯=⋅小圆锥，积水厚度3250π12.5π100V h S ⋅===⋅大小圆锥圆，属于中雨，故选B. 8.答案：D解析：本题考查立体几何中的线面关系及解三角形的应用.如图，记正方体的棱长为a ，则1111112AD C B A C B D a ====，所以1122B P PC a ==，221162BP B P B B a =+=.在1BC P 中，由余弦定理得22211113cos 22PB C B PC PBC PB C B +-∠==⋅，所以1π6PBC ∠=.又因为11//AD BC ，所以1PBC ∠即为直线PB 与1AD 所成的角，所以直线PB 与1AD 所成的角为π6.9.答案：39π解析：本题考查圆锥的体积与侧面积.由题可得圆锥的体积21π12π30π3V r h h ===，可得52h =，故圆锥的母线22132l r h +，所以圆锥的侧面积π39πS rl ==. 10.答案：5]解析：本题主要考查空间几何体.上顶面圆心记为O ，下底面圆心记为O '，连接OC ，过点C 作CM AB ⊥，垂足为点M ，则12ABCSAB CM =⨯⨯，根据题意，AB 为定值2，所以ABCS 的大小随着CM 长短的变化而变化.当点M 与点O 重合时，22125CM OC ==+=，取得最大值，此时12552ABCS =⨯⨯=.当点M 与点B 重合时，CM 取最小值2，此时12222ABCS=⨯⨯=.综上所述，ABCS 的取值范围为[2,5].11.答案：②⑤或③④解析：本题考查几何体的三视图.由高度可知，侧视图只能为②或③.当侧视图为②时，则该三棱锥的直观图如图1，平面PAC ⊥平面ABC ，2PA PC ==，5BA BC =2AC =，此时俯视图为⑤；当侧视图为③时，则该三棱锥的直观图如图2，PA ⊥平面ABC ，1PA =，5AC AB ==2BC =，此时俯视图为④.12.答案：（1）因为PD ⊥底面ABCD ，AM ⊂底面ABCD ，所以PD AM ⊥.又因为PB AM ⊥，PD PB P ⋂=，PB ，PD ⊂平面PBD ，所以AM ⊥平面PBD .因为AM ⊂平面PAM ，所以平面PAM ⊥平面PBD .（2）由PD ⊥底面ABCD ，所以PD 即为四棱锥P ABCD -的高，DPB 是直角三角形. 由题可知底面ABCD 是矩形，1PD DC ==，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥.设2AD BC a ==，取CD 的中点为E ，CP 的中点为F ，连接MF ，AF ， EF ，AE ，可得//MF PB ，//EF DP ，那么AM M F ⊥，AM F 为直角三角形，且12EF =，2144AE a =+，21AM a =+，222142AF EF AE a =++因为DPB 是直角三角形，所以根据勾股定理得224BP a =+，则2242a MF +=.由AM F 是直角三角形，可得222AM MF AF +=，解得22a =，所以底面ABCD 的面积22S a ==，则四棱锥P ABCD -的体积11221333V S h =⋅⋅=⨯⨯-.13.答案：（1）1111,//,AB BC AB A B BC A B ⊥∴⊥，在1A AC 中，112AA AC AC ===，O 是AC 的中点，1AO AC ∴⊥，又平面11AAC C ⊥平面ABC ，平面11AAC C平面ABC AC =，1A O ∴⊥平面ABC .BC ⊂平面1,ABC AO BC ∴⊥. 111,A B AO ⊂平面111111,A B O A B AO A =，BC ∴⊥平面11A B O ，又BC ⊂平面1BCA ，∴平面1BCA ⊥平面11A B O .（2）如图，连接1B C ，设1B C 与1BC 交于点E ，连接1,OE AB ，易得1//OE AB ，1AB ⊂平面11,ABB A OE ⊄平面11ABB A ，//OE ∴平面11ABB A ，∴满足条件的E 为1BC 的中点.11111 1122E A BCC A BC B A CC V V V ---==三棱锥三棱锥三棱锥21133212346=⨯⨯⨯⨯=，故三棱锥1E A BC -的体积为36.14.答案：（1）AB ⊥平面BCD ，CF ，BD ⊂平面BCD ，AB CF ∴⊥，AB BD ⊥.2BC CD ==，F 为BD 中点，CF BD ∴⊥.又CF AB ⊥，AB BD B =，AB ，BD ⊂平面ABD ，CF ∴⊥平面ABD .（2）在三棱锥Q DCF -中，设D 到平面QFC 距离为d . Q DCF D QCF V V --=，1133DCFQCFQB Sd S ∴⋅⋅=⋅⋅，DCFQCFQB S d S ⋅∴=.1112π322sin 2223DCFDCBSS ==⨯⨯⨯⨯=，2π44222cos 233BD =+-⨯⨯⨯.AB BD ⊥，3AB =，Q ，F 分别为AB ，BD 的中点.22912212ADAB BD QF ++∴====.QCF 中，π2cos 13CF ==，235422CQ ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，21QF =. 25211244cos 55212QCF +-∴∠==⨯⨯，21sin QCF ∴∠=. 152121122QCFS∴=⨯⨯=. 33372221d ∴==.15.答案：（1）如图，取BC 的中点为M ，连接EM .由已知易得//EM AB ，2AB BC ==，1CF =，112EM AB ==，11//AB A B ，由11BF A B ⊥得EM BF ⊥，又易得EM CF ⊥，BF CF F ⋂=，所以EM ⊥平面BCF ，故1111121132323F EBC E FBC V V BC CF EM --==⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=三棱锥三棱锥.（2）连接1A E ，1B M ，由（1）知11//EM A B ，所以ED 在平面11EMB A 内.在正方形11CC B B 中，由于F ，M 分别是1CC ，BC 的中点，所以1tan 2CF CBF BC ∠==，111tan 2BM BB M BB ∠==，且这两个角都是锐角，所以1CBF BB M ∠=∠，所以111190BHB BMB CBF BMB BB M ∠=∠+∠=∠+∠=︒，所以1BF B M ⊥，又11BF A B ⊥，1111B M A B B ⋂=，所以BF ⊥平面11EMB A ，又DE ⊂平面11EMB A ，所以BF DE ⊥.。

2021年高三上学期联考数学(文)试题含答案

2021年高三上学期联考数学（文）试题含答案一、选择题（5×10=50分）1. 若数列｛a n｝的前n项和为S n＝kq n－k(k≠0)，则这个数列的特征是( )(A)等比数列(B)等差数列(C)等比或等差数列 (D)非等差数列2. 已知，则的值为(A) (B) (C) (D)3. 数在点处的切线方程为（）(A) (B) (C) (D)4. 设是等差数列的前项和，若，则＝( )(A)1 (B)－1 (C)2 D.5.若变量满足约束条件，则的最大值为(A) (B) (C) (D)6. 在A B C中，a，B，c分别是角A，B，C的对边，若，B=A．45°或135° (B)45° (C)135°(D) 以上答案都不对7. 已知等比数列的前三项依次为，，，则（）(A) (B) (C) (D)8. 设是正实数，以下不等式恒成立的序号为（）① ，② ，③ ，④(A) ②③ (B) ①④(C) ②④ (D) ①③9. 若曲线处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为9，则a=(A)16 (B)8 (C)32 (D)6410. 已知向量()()ABC,cos30120cos的形状为,120,sin45sin︒∆=︒,=则︒︒(A)直角三角形(B)等腰三角形 (C)钝角三角形 (D)锐角三角形二、填空题（5×5=25分）11. 在等比数列中，为其前项和，已知，，则此数列的公比为.12. 若数列满足，，则它的通项．到．其中正确命题的序号是_______(把你认为正确的都填上)15. 设G 是△ABC 的重心，若∠A =120°，,则的最小值= ．三、解答题（4×12+13+14=75分）16. 中，分别为内角的对边且，2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++（1）求的大小；（2）若，试判断的形状．17. （12分）在中，已知．（1）求证：tanB=3tanA （2）若求A 的值．18．（12分）已知,)sin ,cos sin (),cos 32,cos sin (x x x b x x x a ωωωωωω+-=--=设函数f (x )=的图像关于对称,其中，为常数,且∈ （1）求函数f (x )的最小正周期T ；（2）函数过求函数在上取值范围。

河北省大名县第一中学2022届高三(实验班)上学期第一次月考数学(文)试题 Word版含答案

高三文科数学月考试题学校：姓名：班级：考号：评卷人得分一、选择题1. [2021·吉大附中高三四模(文)]已知集合A={x|x2+x-2≤0},B={y|y=2x,x∈R},则A∩B等于()A. (0,1]B. [1,+∞)C.(0,2] D.2. [2021·哈三中一模(文)]已知f(x)是定义在R上的偶函数,周期为2,则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的()A. 既不充分也不必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 充要条件3. [2021·哈三中一模]下列结论中正确的个数是()①“x=”是“”的充分不必要条件;②若a>b,则am2>bm2;③命题“∀x∈R,sin x≤1”的否定是“∀x∈R,sin x>1”;④函数f(x )=-cos x在[0,+∞)内有且仅有两个零点.A. 1B. 2C. 3D. 44. [2021·吉林长春普高高三二模]下列函数中,既是奇函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是() A. y=e x+e-x B. y=ln(|x|+1) C.y= D. y=x-5. [2021·吉大附中高三四模(文)]设函数f(x)=ln(1+x2)-,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是()A. B. C.D.6. [2021·吉林市普高高三第三次调研]若直角坐标平面内的两点P,Q满足条件:①P,Q都在函数y=f(x)的图象上;②P,Q关于原点对称,则称点对(P,Q)是函数y=f(x)的一对“友好点对”(点对(P,Q)与(Q,P)看作同一对“友好点对”).已知函数f(x)=则此函数的“友好点对”有()A. 3对B. 2对C. 1对 D. 0对7. [2021·河北唐山高三摸底月考]设函数,“是偶函数”是“的图象关于原点对称”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. [2021·吉林长春高三二模(文)]关于函数y=2sin+1,下列叙述有误．．的是()A. 其图象关于直线x=-对称B. 其图象可由y=2sin+1图象上全部点的横坐标变为原来的倍得到C. 其图象关于点对称D. 其值域为[-1,3]9. [2022·甘肃省高考诊断(二)(文)]已知△ABC的外接圆半径为1,圆心为O,且=0,则△ABC 的面积为()A. 1+B.C.1+ D.10. [2022·哈尔滨市第六中学高三一模(文)]已知向量a=(cosθ,-sinθ),b=(-cos2θ,sin2θ)(θ∈(π,2π)),若向量a,b的夹角为φ,则有()A. φ=θB. φ=π-θC.φ=θ-π D. φ=θ-2π11. [2021·河北武邑中学高二入学考试]已知数列,都是公差为1的等差数列，是正整数，若，则( )A. 81B. 99C. 108D. 11712. [2021·河南南阳一中高三第三次月考]已知函数,关于的方程R)有四个相异的实数根,则的取值范围是( )A. B. C.D.评卷人得分二、填空题13. [2021·河北五个一名校联盟高三一模(文)]设△的内角,,所对的边长分别为,若,则的值为.14. [2021·河南南阳方城一中高二开学考试]设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sin A=5sin B，则角C= . 15. [2021·河南许昌五校高二第一次联考]已知在中，，，，，，则的值为.16. [2010·高考辽宁卷，16]已知数列{a n}满足a1=33，a n+1-a n=2n，则的最小值为.评卷人得分三、解答题17. [2021·吉林市普高高三第三次调研]已知函数f(x)=cos 2x+2sin2x+2sin x.(1)将函数f(2x)的图象向右平移个单位得到函数g(x)的图象,若x∈,求函数g(x)的值域;(2)已知a,b,c分别为△ABC中角A,B,C的对边,且满足f(A)=+1,A∈,a=2,b=2,求△ABC的面积.18. [2021·吉林长春高三二模(文)]已知数列{a n}满足a1=,a n+1=3a n-1(n∈N*).(1)若数列{b n}满足b n=a n-,求证:{b n}是等比数列;(2)求数列{a n}的前n项和S n.19. [2021·河南八市重点高中高二第一次月考(文)]正项数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项和为.20. [2021·吉林长春高三二模(文)]已知三棱锥A-BCD中,△ABC是等腰直角三角形,且AC⊥BC,BC=2,AD⊥平面BCD,AD=1.(1)求证:平面ABC⊥平面ACD;(2)若E为AB中点,求点A到平面CED的距离.21. [2021·湖南长沙长郡中学高三入学考试]已知椭圆的两个焦点分别为,以椭圆短轴为直径的圆经过点.(1)求椭圆的方程;(2)过点的直线与椭圆相交于两点,设点,直线的斜率分别为,问是否为定值?并证明你的结论.22. [2021·广东省仲元中学、中山一中等七校高三联考(一)]在中,角所对的边分别为,且.(1)求的大小;(2)设的平分线交于,求的值.参考答案1. 【答案】A【解析】本题考查集合的基本运算、解一元二次不等式及求指数函数的值域,属于基础题.由于x2+x-2≤0,所以-2≤x≤1,依据指数函数的性质知y=2x>0,所以集合A =,B =,则A∩B =,故选A.2. 【答案】D【解析】本题考查充分条件与必要条件,函数的奇偶性与周期性,属于中档题.函数在上递增,利用偶函数得函数在上递减,利用周期得函数在上递减,故充分性成立;函数在上递减,利用周期得函数在上递减,利用偶函数得函数在上递增,必要性成立,综上,充分性与必要性均成立,故选D.3. 【答案】A【解析】本题考查充分必要条件、不等式性质、命题的否定及命题真假的判定,属于中档题.对于①,当x=时,sin ,充分性成立;当sin 时,x ++2kπ或x ++2kπ,k∈Z,得x=-+2kπ或x=+2kπ,k∈Z,故必要性不成立,故①正确;对于②,当m=0时,若a>b,am2>bm2不成立,故②不正确;对于③,命题“∀x∈R,sin x≤1”的否定是“∃x0∈R,sin x0>1”,故③不正确;对于④,函数y =与y=cos x的图象有且只有一个交点,故函数f(x )=-cos x 在内有且仅有一个零点,故④不正确.综上,正确的只有一个,故选A.4. 【答案】D【解析】本题考查函数的单调性与奇偶性学问,属于基础题.A,B选项中的函数为偶函数,排解,C选项中的函数是奇函数,但在(0,+∞)上不是单调递增函数.故选D.5. 【答案】A【解析】本题考查函数的奇偶性及导数在争辩函数中的应用,解一元二次不等式、确定值不等式,属于难题.∵f(-x )= ln =ln =f(x),∴函数f(x)为偶函数.当x≥0时,f(x)=ln (1+x2),求导得f'(x )=恒为正,即函数f(x)在单调递增,∵f(x)是偶函数,∴f(x)在(-∞,0)上单调递减,则f(x)>f(2x-1)等价于f(|x|)>f(|2x-1|),即|x|>|2x-1|,平方得3x2-4x+1<0,解得<x<1,故选A.6. 【答案】C【解析】本题考查新概念和函数的图象与性质,考查了数形结合的数学思想,属于中档题.设f(x )=(x>0)图象上任一点为A(x,y)(x>0,y>0),点A关于原点的对称点A'(-x,-y)在y=x+1上,所以-y=-x+1,即y=x-1,得“友好点对”的个数就是方程组的根的个数,而y=x-1(x>0)的图象与y的图象有且只有一个交点,∴“友好点对”共1对,故选C.7. 【答案】B【解析】本题考查函数的奇偶性,考查图象的对称性.若是偶函数,而不肯定是奇函数,故的图象不肯定关于原点对称;当的图象关于原点对称时,函数是奇函数,则是偶函数,因此“是偶函数”是“的图象关于原点对称”的必要不充分条件.故选B.8. 【答案】C【解析】本题考查三角函数的性质、图象变换,属于中档题.关于函数y =2sin+1,令x=-,求得y=-1,为函数的最小值,故A正确;由y =2sin+1图象上全部点的横坐标变为原来的倍,可得y =2sin+1的图象,故B正确;令x =π,求得y=1,可得函数的图象关于点对称,故C错误;函数的值域为[-1,3],故D正确.故选C.9. 【答案】D【解析】本题考查向量的运算.由=0得=-,两边平方可得·=0,则∠AOB =90°;由=0得=-,两边平方可得·=,则∠AOC=135°;同理可得∠BOC=135°,则△ABC的面积为S△AOB+S△BOC+S△AOC =,故选D.10. 【答案】C【解析】本题考查向量的夹角、向量的坐标运算、二倍角、同角三角函数的基本关系、诱导公式.由题意知cosφ==- () =-cosθ=cos(θ-π).由于θ∈(π,2π),所以θ-π∈(0,π),而φ∈[0,π],所以φ=θ-π,故选C.11. 【答案】D【解析】本题考查等差数列的通项公式与数列求和，考查计算力量.,.故选D. 12. 【答案】A【解析】本题考查分段函数导函数的应用，函数与方程的关系.=,当时时,单调递减，时,单调递增,且当,当, 当时，恒成立，时,单调递增且,方程R)有四个相异的实数根.令=则,,即.13. 【答案】4【解析】本题考查正弦定理与余弦定理、两角和与差公式,考查计算力量.由正弦定理可得=,又由于==,所以=,即, 所以.14. 【答案】【解析】本题考查正弦定理及余弦定理.由正弦定理得, 5b=3a,又b+c=2a,则，由余弦定理得，，又，所以.15. 【答案】【解析】本题主要考查平面对量的线性运算及平面对量数量积.在中，，建立直角坐标系,,,,依题意有D,E(2,0)得，得，故填. 16. 【答案】【解析】由已知可得a n-a n-1=2(n-1),a n-1-a n-2=2(n-2),…,a3-a2=2×2,a2-a1=2×1,左右两边分别相加可得a n-a1=2(1+2+3+…+(n-1)]=n(n-1),∴a n=n2-n+33.=n+-1,令F(n)=n+-1,n≤5时为减函数,n≥6时为增函数且F(5)>F(6),∴F(n)≥F(6)=,故的最小值为.17.(1) 【答案】f(x)=cos 2x+2sin2x+2sin x=cos2x-sin2x+2sin2x+2sin x=cos2x+sin2x+2sin x=1+2sin x,所以f(2x)=1+2sin2x.由于函数f(2x)的图象向右平移个单位得到函数g(x)的图象,所以g(x )=2sin+1,即g(x )=2sin+1.由于x ∈,所以2x ∈所以sin ∈,所以g(x)∈[0,3],所以函数g(x)的值域为[0,3].(2) 【答案】由于f(A )=+1,所以sin A =,由于A ∈,所以cos A=.又cos A =,a =2,b=2,所以c=4.所以△ABC面积S△ABC=bc sin A =2.18.(1) 【答案】由题可知a n+1=3(n∈N*),从而有b n+1=3b n,b1=a1-=1,所以{b n}是以1为首项,3为公比的等比数列.(2) 【答案】由第1问知b n=3n-1,从而a n=3n-1+,有S n=30++3++…＋3n-1+=30+31+32+…+3n-1+×n =.19.(1) 【答案】由，得，由于数列是正项数列，所以.(2) 【答案】由第1问得,，所以.20.(1) 【答案】由于AD⊥平面BCD,BC⊂平面BCD,所以AD⊥BC,又由于AC⊥BC,AC∩AD=A, 所以BC⊥平面ACD,BC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面ACD.(2) 【答案】由已知可得CD =,取CD中点为F,连接EF,由于ED=EC=AB =,所以△ECD为等腰三角形,从而EF =,S△ECD =,由第1问知BC⊥平面ACD,所以E到平面ACD的距离为1,S△ACD =,令A到平面CED的距离为d,由V A-ECD=·S△ECD·d=V E-ACD=·S△ACD·1,解得d =.所以点A到平面CED 的距离为21.(1) 【答案】由题意得,,, 解得,所以椭圆的方程为.(2) 【答案】①当直线的斜率不存在时,由, 解得,设,则.②当直线的斜率存在时,设直线的方程为,代入整理化简,得,依题意,直线与椭圆必相交于两点,设,则, 又,所以====.综上所述,为定值2.(说明:若假设直线为,按相应步骤给分)22.(1) 【答案】,,,,.(2) 【答案】在中,由正弦定理:,得,,.。

2021届江西省临川第一中学暨临川一中实验学校高三第一次月考数学(文)试题(解析版)

2021届江西省临川第一中学暨临川一中实验学校高三第一次月考数学（文）试题一、单选题1．若集合{P x N x =∈≤，a = ）A ．aP B ．{}a P ∈C ．{}a P ⊆D ．a P ∉【答案】D【解析】由a N =，结合元素与集合、集合与集合的关系即可得解. 【详解】因为a N =，集合{P x N x =∈≤，所以a P ∉，{}a P ⊆/. 故选：D. 【点睛】本题考查了元素与集合、集合与集合关系的判断，属于基础题.2．设x ∈R ，则“38x >”是“2x ” 的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：求解三次不等式和绝对值不等式，据此即可确定两条件的充分性和必要性是否成立即可.详解：求解不等式38x >可得2x >，求解绝对值不等式2x可得2x >或2x <-，据此可知：“38x >”是“||2x >” 的充分而不必要条件. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3．已知1275a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，1357b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，25log 7c =，则a 、b 、c 的大小关系是（）． A ．b a c << B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】C【解析】先与0比较，c 小于0，再a 与b 比较，即可判断大小. 【详解】12125757a -⎛⎫=⎛⎫= ⎝⎭⎪⎭⎪⎝<135()7b =，因此c a b << 故选：C. 【点睛】本题考查比较大小、指数函数单调性、对数函数单调性，考查基本分析判断能力，属基础题.4．已知集合{}0M x x a =-=，{}10N x ax =-=，若M N N =，则实数a 的值是（） A ．1 B ．1-C ．1或1-D ．以上答案都不对【答案】D 【解析】由M N N =，转化为N M ，分N =∅和 N ≠∅两种情况讨论求解.【详解】已知集合{}{}0M x x a a =-==，{}10N x ax =-=，因为MN N =，所以N M ，当N =∅时，0a =，符合题意；当N ≠∅时，{}110N x ax a ⎧⎫=-==⎨⎬⎩⎭，则1a a=，解得1a =±，综上：实数a 的值是0或1或-1 故选：D 【点睛】本题主要考查集合的基本运算和集合的基本关系的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.5．若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()2f x f x -=-，则()6f -=（） A ．0B ．1-C ．1D ．2【答案】A【解析】本题先根据题意判断函数是周期为4的周期函数，再根据奇函数求解即可. 【详解】解：∵()f x 是R 上的奇函数，∴()00f =， ∵()()2f x f x -=-，∴()()(4)(2)22(())()f x f x f x f x f x -=--=--=--=， ∴函数()f x 的周期为4， ∴()()()6200f f f -=-=-=．故选：A ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与函数的周期性，是基础题.6．平面向量a 与b 的夹角为60︒，()2,0,1a b ==，则2+a b 等于( ) A ．22 B ．23C ．12D ．10【答案】B【解析】因为||2,||1a b ==，a 与b 的夹角为60︒，故||||cos 601a b a b ⋅=⋅=，则244423a b +=++=，应选答案B ．7．高为H ，满缸水量为V 的鱼缸的轴截面如图所示，若鱼缸水深为h 时水的体积为v ，则函数()v f h =的大致图像是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由函数的自变量为水深h ，函数值为水的体积，得到水深h 越大，水的体积v 就越大，而且增的速度先慢后快再慢的，即可求解. 【详解】由图可知水深h 越大，水的体积v 就越大，故函数()v f h =是个增函数，故排除A ，C 项，由鱼缸形状可知，下面细中间粗，上面较细，所以随着水深的增加，体积的变化的速度是先慢后快再慢的，所以B 正确. 故选：B 【点睛】本题主要考查了函数的应用问题，重点考查分析问题和解决问题的能力.8．已知直线l 过点(0,2)-，当直线l 与圆222x y y +=相交时，其斜率k 的取值范围是（） A．(-B．(,)-∞-⋃+∞C．44⎛- ⎝⎭D．,44⎛⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B【解析】由圆的方程可得圆的圆心和半径，再由直线与圆相交的性质即可得1d =<，即可得解.【详解】圆222x y y +=的方程可变为()2211x y +-=，圆心为()0,1，半径为1，因为直线l 过点(0,2)-，且斜率为k ，所以直线l 的方程为2y kx +=即20kx y --=，若要使直线l 与圆相交，则圆心到直线l的距离1d =<，解得((),k ∈-∞-⋃+∞. 故选：B. 【点睛】本题考查了直线与圆位置关系的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.9．已知函数25(1)()(1)x ax x f x a x x⎧---⎪=⎨>⎪⎩，，是R 上的增函数，则a 的取值范围是（）A ．30a -<B ．32a --C ．2a -D ．以上答案都不对【答案】B【解析】设2()5(1)g x x ax x =---，()(1)ah x x x =>，由25(1)()(1)x ax x f x a x x⎧---⎪=⎨>⎪⎩，，在R 上是增函数，则()g x 在1x ≤时单调递增，()h x 在()1,+∞上递增，且()(1)1g h ≤，从而可求. 【详解】函数25,(1)(),(1)x ax x f x a x x⎧---⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，设2()5(1)g x x ax x =---，，()(1)ah x x x=>，，由分段函数的性质可知，函数2()5g x x ax =---在(],1-∞单调递增，函数()a h x x=在(1,)+∞单调递增，且()(1)1g h ≤，∴1206a a a a⎧-⎪⎪<⎨⎪--⎪⎩，∴203a a a -⎧⎪<⎨⎪-⎩解得32a -- 故选：B. 【点睛】考查分段函数在R 上的单调性，既需要分段考虑，又需要整体考虑，基础题. 10．定义在R 上的函数()y f x =，恒有()(2)f x f x =-成立，且()(1)0f x x '⋅->，对任意的12x x <，则()()12f x f x <成立的充要条件是（）． A ．211x x >≥ B ．122x x +>C ．122x x +≤D ．2112x x >≥【答案】B【解析】根据题中条件，先得到()f x 关于1x =对称；判定函数单调性，分别讨论11x ≥，11<x 两种情况，结合充分条件和必要条件的概念，即可得出结果.【详解】由()(2)f x f x =-，得函数()f x 关于1x =对称，由()(1)0f x x '⋅->得，当1x >时，()0f x '>，此时函数()f x 为增函数，当1x <时，()0f x '<，此时函数()f x 为减函数，因为12x x <，若11x ≥时，函数()f x 在1x >上为增函数，满足对任意的12x x <，()()12f x f x <，此时122x x +>；若11<x ，∵函数()f x 关于1x =对称，则()()112f x f x =-，则121x ->，由()()12f x f x <得()()()1212f x f x f x =-<，此时122x x -<，即122x x +>；即对任意的12x x <，()()12f x f x <得122x x +>；反之也成立，所以对任意的12x x <，则()()12f x f x <成立的充要条件为“122x x +>”. 故选：B. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据条件判断函数的对称性和单调性之间的关系，利用条件进行转化是解决本题的关键，属于常考题型.11的直线l 与椭圆22221x y a b +=（0a b >>）交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（） A．3B ．12C．2D ．13【答案】A【解析】由题意，2b ac =，得)22ac a c =-，20e +=，所以2e =，故选C ．点睛：由椭圆的对称性可知，两个焦点关于原点对称，则直线l 是过原点的直线，且其交点投影恰好是椭圆焦点，由垂径的交点坐标为2,b c a ⎛⎫⎪⎝⎭，则有22b ac =，整理后同除以2a20e +=，求出离心率．12．函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象关于直线2bx a=-对称.据此可推测，对任意的非零实数,,,,,a b c m n p ，关于x 的方程2[()]()0m f x nf x p ++=的解集都不可能是（） A ．{1,6}- B ．{2,4} C ．{2,5,4,7} D ．{1,4,8,16}【答案】D【解析】方程()()20mf x nf x p ++=不同的解的个数可为0,1,2,3,4.若有4个不同解，则可根据二次函数的图像的对称性知道4个不同的解中，有两个的解的和与余下两个解的和相等，故可得正确的选项. 【详解】设关于()f x 的方程()()20mfx nf x p ++=有两根，即()1f x t =或()2f x t =.而()2f x ax bx c =++的图象关于2bx a=-对称，因而()1f x t =或()2f x t =的两根也关于2bx a =-对称．而选项D 中4811622++≠. 故选：D. 【点睛】对于形如()0f g x =⎡⎤⎣⎦的方程（常称为复合方程），通过的解法是令()t x g =，从而得到方程组()()0f tg x t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，考虑这个方程组的解即可得到原方程的解，注意原方程的解的特征取决于两个函数的图像特征. 二、填空题13．函数y =________．【答案】[0,3]【解析】. 【详解】因为20x ≥，所以299x -≤，又要使根式有意义，则290x -≥，所以2099x ≤-≤，所以03≤≤，故函数y =[0,3]. 故答案为：[0,3]. 【点睛】本题考查了具体函数值域的求解，属于基础题.14．已知()f x 为奇函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则()y f x =的解析式为______.【答案】()ln()3,00,0ln 3,0x x x f x x x x x -+<⎧⎪==⎨⎪-+>⎩【解析】由()f x 为奇函数，可得()f x 的定义域关于原点对称，且()()f x f x =--，且当0x >时，0x -＜，将x -代入()()f x f x =--可得答案. 【详解】解：由()f x 为奇函数，可得()f x 的定义域关于原点对称，且()00f =，()()f x f x =--，当0x >时，0x -＜，故()(ln 3()3])[ln x f x f x x x x =--=--=++-，∴()ln()3,00,0ln 3,0x x x f x x x x x -+<⎧⎪==⎨⎪-+>⎩.故答案为：()ln()3,00,0ln 3,0x x x f x x x x x -+<⎧⎪==⎨⎪-+>⎩. 【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性求函数解析式，相对简单. 15．若函数()2cos()f x x m ωθ=++对任意的实数f()()99t t f t ππ+=-都有且()3,9f π=-则m =_______ .【答案】1- 或5-【解析】对任意的实数f()99t t f t 都有ππ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,说明函数图像的一条对称轴为9x π=，()39f π=-，则23m ±+=- ，1m =- 或5m =-.16．如图，在长方体1111ABCD A B C D －中，16,3,8AA AB AD ===，点M 是棱AD 的中点，N 在棱1AA 上，且满足12AN NA ＝，P 是侧面四边形11ADD A 内一动点(含边界)，若1C P ∥平面CMN ，则线段1C P 长度最小值是________.【解析】取11A D 的中点Q ,过点Q 在面11ADD A 作MN 的平行线交1DD 于E则易知面1//C QE 面CMN ,在1C QE ∆中作1C P QE ⊥,则1C P .三、解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若223cos cos 20A A +=，且ABC 为锐角三角形，7a =，6c =，求b 的值；（2）若a =3A π=，求b c +的取值范围．【答案】（1）b ＝5（2）b c +∈【解析】（1）运用二倍角的余弦公式，化简整理可得cos A ，再由余弦定理，解方程可得b ；（2）运用正弦定理和两角和差的正弦公式，以及正弦函数的图象和性质，即可得到所求范围；【详解】解：（1）22223cos cos223cos 2cos 10A A A A +=+-=，∴21cos 25A =，又A 为锐角，1cos 5A =，而2222cos a b c bc A =+-，即2121305b b --=，解得5b =或135b =-（舍去），5b ∴=；（2）由正弦定理可得22(sin sin )2sin sin 36b c B C B B B ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，203B π<<， ∴5666B πππ<+<， ∴1sin 126B π⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，∴b c+∈．【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，三角形的正弦定理和余弦定理的运用，以及运算能力，属于中档题．18．某中学高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人.为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，统计了他们期中考试的数学分数，然后按照性别分为男、女两组，将两组的分数分成5组：[100,110),[110,120)，[120,130),[130,140)，[]140,150分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（1）从样本分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两恰为一男一女的概率；（2）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”？附：随机变量22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++.【答案】（1）5；（2）列联表见解析，没有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”.【解析】（1）由分层抽样的概念可得抽取的100名学生中，男女生的人数，进而可得样本中分数小于110分的学生中，男女生的人数，根据列举法可得所有的基本事件数及符合要求的基本事件数，再由古典概型的概率公式即可得解；（2）由频率分布直方图可得分数不小于130分的学生中，男女生的人数，即可完成列联表，计算出2K后，与2.706比较即可得解.【详解】（1）由题意，抽取的100名学生中，男生10030060500⨯=人，女生10020040500⨯=人，所以分数小于110分的学生中，男生有600.005103⨯⨯=人，记为A，B，C，女生有400.005102⨯⨯=人，记为D ，E ，则从样本分数小于110分的学生中随机抽取2人，有基本事件为：(),A B ，(),A C ，(),A D ，(),A E ，(),B C ，(),B D ，(),B E ，(),C D ，(),C E ，(),D E ，共10种；其中恰为一男一女的基本事件为：(),A D ，(),A E ，(),B D ，(),B E ，(),C D ，(),C E ，共6种；故所求概率63105P ==；（2）分数不小于130分的学生中，男生有()0.020.005160150+⨯⨯=人，女生有()400.03250.0051015⨯+⨯=人，所以可得22⨯列联表如下：所以22100(15254515)251.7862.7066040307014K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，所以没有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”. 【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用及古典概型概率的求解，考查了独立性检验的应用，属于中档题.19．如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，3AB AD AC ===，4PA BC ，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．（I ）证明MN ∥平面PAB ；（II ）求四面体N BCM -的体积.【答案】【解析】试题分析：（Ⅰ）取PB 的中点T ，然后结合条件中的数据证明四边形AMNT 为平行四边形，从而得到MNAT ，由此结合线面平行的判断定理可证；（Ⅱ）由条件可知四面体N-BCM 的高，即点N 到底面的距离为棱PA 的一半，由此可顺利求得结果．试题解析：（Ⅰ）由已知得，取的中点T ，连接，由N 为中点知，.又，故平行且等于，四边形AMNT 为平行四边形，于是.因为平面，平面，所以平面.（Ⅱ）因为平面，N 为的中点，所以N 到平面的距离为.取的中点，连结.由得，.由得到的距离为，故145252BCMS=⨯⨯=. 所以四面体的体积14532N BCM BCMPA V S -=⨯⨯=. 【考点】直线与平面间的平行与垂直关系、三棱锥的体积【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求三棱锥的体积关键是确定其高，而高的确定关键又找出顶点在底面上的射影位置，当然有时也采取割补法、体积转换法求解．20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点31,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭3 （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点P 与点Q 均在椭圆C 上，且,P Q 关于原点对称，问：椭圆上是否存在点M （点M 在一象限），使得PQM ∆为等边三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2214x y +=；（2）存在，2165215M ⎝⎭．【解析】试题分析：（1）根据已知条件，列出不等式组，求解2,1a b ==，即可求解椭圆的椭圆的方程；（2）设直线OM 的斜率为k ，则直线:OM y kx =，代入椭圆的方程，解得M 点的坐标，同理可得直线PQ 的方程，代入求解所以2165215M M x y ==，即可求解点M 的坐标．试题解析：（1）由题意222221314{a bc a a b c +===+，解得2,1a b ==，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=．（2）由题意知直线PQ 经过坐标原点O ，假设存在符合条件的点M ，则直线OM 的斜率存在且大于零，,OM PQ OM ⊥= ① 设直线OM 的斜率为k ，则直线:OM y kx =，联立方程组22{14y kxx y =+=，得M M x y ==所以OM =②同理可得直线PQ的方程为1,y x OP k =-=③ 将②③代入①式得= 化简得21110k-=，所以11k=所以M M x y ==，综上所述，存在符合条件的点1515M ⎛ ⎝⎭【考点】椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系．【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到椭圆的几何性质的应用、函数与方程思想等知识点的综合考查，着重考查了学生的推理与运算能力以及转化与化归思想的应用，此类问题的解答中把直线的方程与圆锥曲线的方程联立，转化为方程的根与系数的关系、判别式和韦达定理的应用是解答的关键，试题运算量大，有一定的难度，属于难题．21．已知函数2()x f x e a =-，()x g x e b =-，且()f x 与()g x 的图象有一个斜率为1的公切线（e 为自然对数的底数）. （1）求b a -；（2）设函数ln 21()()()22h x f x g x mx =--+-，讨论函数()h x 的零点个数. 【答案】（1）1ln 222b a -=-（2）见解析【解析】（1）由()f x 与()g x 的图象有一个斜率为1的公切线，分别对()f x 与()g x 求导并求出切线方程，列出等量关系可得b a -；（2）利用换元将2()2x xh x e e m '=--转化为二次函数，分类讨论对其单调性，对图像特点进行分析，分情况讨论出函数()h x 的零点个数. 【详解】（1）2()2=1xf x e '=，可得ln 2ln 21,()222x f a =--=-. ()f x 在ln 21(,)22a --处的切线方程为1ln 2()22y a x --=+，即ln 2122y x a =++-. ()1x g x e '==，0,(0)1x g b ==-. ()g x 在(0,1)b -处的切线方程为(1)y b x --=，1y x b =+-，故ln 21122a b +-=-，可得1ln 222b a -=-. （2）由（1）可得22ln 21()()22xx x x h x ea eb mx e e mx =----+-=--， 2()2x x h x e e m '=--，令x t e =，则22y t t m =--，=1+8m ∆，1m 时，220t t m --=有两根，12,t t 且120t t <<，12()2()()0x x h x e t e t '=--=，得：2ln x t =，在2(ln ),t -∞上，()0h x '<，在2(ln ,)t +∞上，()0h x '>，此时，2(ln )(0)0h t h <=.又x →-∞时，(),h x x →+∞→+∞时，()h x →+∞. 故在2(ln ),t -∞和2(ln ,)t +∞上，()h x 各有1个零点.1m =时，1()2()(1)2x x h x e e '=+-()h x 最小值为(0)0h =，故()h x 仅有1个零点.01m <<时，12()2()()x x h x e t e t '=--.其中120t t <<，同1m ，()h x 在2(ln ),t -∞与2(ln ,)t +∞上， ()h x 各有1个零点，0m =时，2()x x h x e e =-，仅在(0)0h =有1个零点， 108m -<<时，对方程220,180t t m m --=∆=+>. 方程有两个正根12,t t ，12()2()()x xh x e t e t '=--.在1(,ln )t -∞上，()0h x '>，在12(ln ,ln )t t 上，()0h x '<，在2(ln ,)t +∞，()0h x '>.由1212120t t t t ⎧+=⎪⎨⎪<<⎩，可得1211042t t <<<<，故22ln 0,(ln )(0)0t h t h <<=.11110,120,ln 0t t t -<-><，故1(ln )0h t <.故在1(,ln )t -∞上，1()(ln )0h x h t <<，在12(ln ,ln )t t 上，()0h x <，在2(ln ,)t +∞上，()h x 有1个零点：0x =.18m ≤-时，2()20x x h x e e m '=--≥恒成立，()h x 为增函数，()h x 仅有1个零点：0x =.综上，0m ≤或1m =时，()h x 有1个零点，01m <<或1m 时，()h x 有2个零点.【点睛】本题考查导数的应用，利用导数求切线是常考点，利用导数讨论零点个数是难点，通常结合分类讨论思想进行分析解决，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）；在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为2cos sin ρθθ=.（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若射线(0)l y kx x ≥：＝与曲线1C ，2C 的交点分别为A B ，（A B ，异于原点），当斜率(k ∈时，求·OA OB 的取值范围. 【答案】（1）1C 的极坐标方程为2cos ρθ=；2C 的直角坐标方程为2x y =；（2）(2,.【解析】（1）由1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩，利用平方关系可得1C 的普通方程，再将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入普通方程中化简求得极坐标方程；曲线2C 的极坐标方程2cos sin ρθθ=可化为22cos sin ρθρθ=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入上式即可得解；（2）分别联立射线(0)l y kx x ≥：＝与曲线1C ，2C 的极坐标方程，求出A B ，两点的极坐标，进而得出·OA OB 的取值范围．【详解】（1）曲线1C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+=，即2220x x y -+=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入并化简得曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，由2cos sin ρθθ=两边同时乘ρ，得22cos sin ρθρθ=，结合cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得曲线2C 的直角坐标方程为2x y =；（2）设射线(0)l y kx x ≥：＝的倾斜角为ϕ，则射线的极坐标方程为θϕ=，且(k tan ϕ=∈.联立2cos ρθθϕ=⎧⎨=⎩得2A OA cos ρϕ== ，联立2cos sin ρθθθϕ⎧=⎨=⎩得2sin cos B OB ϕρϕ==，所以(2sin ·222cos 2,A B OA OB cos tan k ϕρρϕϕϕ⋅==∈=⋅=，即·OA OB 的取值范围是(2,. 【点睛】本题考查三种方程间的互化，考查极坐标方程的应用，考查逻辑思维能力和转化能力，属于中档题.23．设命题p ：实数x 满足()()30x a x a --<，其中0a >，命题q ：实数x 满足302x x -≤-．（1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()2,3；（2）12a <≤．【解析】（1）若1a =，分别求出p ，q 成立的等价条件，利用且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）利用p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【详解】解：由()()30x a x a --<，其中0a >，得3a x a <<，0a >，则p ：3a x a <<，0a >．由302x x -≤-解得23x <≤．即q ：23x <≤．（1）若1a =，则p ：13x <<，若p q ∧为真，则p ，q 同时为真，即2313x x <≤⎧⎨<<⎩，解得23x <<，∴实数x 的取值范围()2,3．（2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即q 是p 的充分不必要条件， ∴332a a >⎧⎨≤⎩，即12a a >⎧⎨⎩，解得12a <≤．【点睛】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用逆否命题的等价性将p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，转化为q 是p 的充分不必要条件是解决本题的关键，属于基础题.。

【名师解析】陕西省西安市第一中学2021届高三大练习(一)(一模)数学(文科)试题 Word版含解析

2021年陕西省西安一中高考数学一模试卷（文科）一、选择题：（每小题5分，共50分）1．（5分）（2022•齐齐哈尔三模）若复数（x∈R）为纯虚数，则x等于（）A．0 B． 1 C．﹣1 D．0或1【考点】：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【专题】：计算题．【分析】：利用两个复数代数形式的除法法则化简z为（x2﹣x）﹣xi，再由z 为纯虚数，可得，由此求得x的值．【解答】：解：∵===（x2﹣x）﹣xi，又z为纯虚数，则有，故x=1，故选B．【点评】：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的除法，属于基础题．2．（5分）（2007•广东）已知函数的定义域为M，g（x）=ln（1+x）的定义域为N，则M∩N=（）A．{x|x＞﹣1} B．{x|x＜1} C．{x|﹣1＜x＜1} D．∅【考点】：交集及其运算；函数的定义域及其求法．【分析】：依据题目中使函数有意义的x的值求得函数的定义域M和N，再求它们的交集即可．【解答】：解：∵函数的定义域是指使函数式有意义的自变量x的取值范围，∴由1﹣x＞0求得函数的定义域M={x|x＜1}，和由1+x＞0 得，N=[x|x＞﹣1}，∴它们的交集M∩N={x|﹣1＜x＜1}．故选C．【点评】：本题属于以函数的定义为平台，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．3．（5分）（2011•福建模拟）在各项均为正数的等比数列{a n}中，a3a5=4，则数列{log2a n}的前7项和等于（）A．7 B．8 C．27 D．28【考点】：等差数列的前n项和；等比数列的性质．【专题】：计算题．【分析】：依据等比数列的性质，由已知的等式求出a4的值，然后利用对数的运算性质化简数列{log2a n}的前7项和，把a4的值代入即可求出数列{log2a n}的前7项和．【解答】：解：由a3a5=a42=4，又等比数列{a n}的各项均为正数，∴a4=2，则数列{log2a n}的前7项和S7=++…+====7．故选A【点评】：此题考查同学机敏运用等比数列的性质化简求值，把握对数的运算性质，是一道基础题．4．（5分）在△ABC中，a，b，c是角A，B的对边，若a，b，c成等比数列，A=60°，=（）A．B． 1 C．D．【考点】：正弦定理；等比数列的性质．【专题】：计算题．【分析】：a，b，c成等比数列可得，b2=ac，由正弦定理可得sin2B=sinAsinC=【解答】：解：∵a，b，c成等比数列∴b2=ac由正弦定理可得sin2B=sinAsinC==故选D【点评】：本题主要考查了利用正弦定理进行解三角形，属于基础试题，难度不大．5．（5分）（2011•湘西州一模）如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几可体的表面积为（）（不考虑接触点）A．B．C．D．32+π【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：计算题．【分析】：由三视图可以看出，此几何体由一个半径为1的球体与一底面连长为2的直三棱柱所组成，故其表面积为球体的表面积加上直三棱柱的表面积．【解答】：解：由三视图知，此组合体上部是一个半径为的球体，故其表面积为π下部为始终三棱柱，其高为3，底面为一边长为2的正三角形，且题中已给出此三角形的高为故三棱柱的侧面积为3×（2+2+2）=18，由于不考虑接触点，故只求上底面的面积即可，上底面的面积为×2×=故组合体的表面积为故选C【点评】：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查对三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再依据相关的公式求表面积与体积，本题求的是表面积．三视图的投影规章是主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等．6．（5分）已知图象不间断函数f（x）是区间[a，b]上的单调函数，且在区间（a，b）上存在零点．上图是用二分法求方程f（x）=0近似解的程序框图，推断框内可以填写的内容有如下四个选择：①f（a）f（m）＜0，②f（a）f（m）＞0，③f（b）f（m）＜0，④f（b）f（m）＞0，其中能够正确求出近似解的是（）A．①④ B．②③ C．①③ D．②④【考点】：程序框图．【专题】：函数的性质及应用；算法和程序框图．【分析】：由零点的判定定理知，推断框可以填写f（a）f（m）＜0或f（m）f（b）＞0，由此可得答案．【解答】：解：由二分法求方程f（x）=0近似解的流程知：当满足f（a）f（m）＜0时，令b=m；否则令a=m；故①正确，②错误；当满足f（m）f（b）＞0时，令a=m；否则令b=m；故④正确，③错误．故选：A．【点评】：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．7．（5分）（2010•宁夏）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．【考点】：函数的图象．【分析】：本题的求解可以利用排解法，依据某具体时刻点P的位置到到x轴距离来确定答案．【解答】：解：通过分析可知当t=0时，点P到x轴距离d 为，于是可以排解答案A，D，再依据当时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0，排解答案B，故应选C．【点评】：本题主要考查了函数的图象，以及排解法的应用和数形结合的思想，属于基础题．8．（5分）已知函数f（x）=若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣1，2）D．（﹣2，1）【考点】：函数单调性的性质．【专题】：计算题；函数的性质及应用．【分析】：由x=0时分段函数两个表达式对应的函数值相等，可得函数图象是一条连续的曲线．结合对数函数和幂函数f（x）=x3的单调性，可得函数f（x）是定义在R上的增函数，由此将原不等式化简为2﹣x2＞x，不难解出实数x的取值范围．【解答】：解：∵当x=0时，两个表达式对应的函数值都为零∴函数的图象是一条连续的曲线∵当x≤0时，函数f（x）=x3为增函数；当x＞0时，f（x）=ln（x+1）也是增函数∴函数f（x）是定义在R上的增函数因此，不等式f（2﹣x2）＞f（x）等价于2﹣x2＞x，即x2+x﹣2＜0，解之得﹣2＜x＜1，故选D【点评】：本题给出含有对数函数的分段函数，求不等式的解集．着重考查了对数函数、幂函数的单调性和函数的图象与性质等学问，属于基础题．9．（5分）已知双曲线方程为=1，过其右焦点F的直线（斜率存在）交双曲线于P、Q两点，PQ的垂直平分线交x轴于点M ，则的值为（）A．B．C．D．【考点】：双曲线的简洁性质．【专题】：计算题．【分析】：依题意，不妨设过其右焦点F的直线的斜率为1，利用双曲线的其次定义可求得可求得|PQ|，继而可求得PQ的垂直平分线方程，令x=0可求得点M的横坐标，从而使问题解决．【解答】：解：∵双曲线的方程为﹣=1，∴其右焦点F（5，0），不妨设过其右焦点F的直线的斜率为1，依题意，直线PQ的方程为：y=x﹣5．由得：7x2+90x﹣369=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1，x2为方程7x2+90x﹣369=0的两根，∴x1+x2=﹣，y1+y2=（x1﹣5）+（x2﹣5）=x1+x2﹣10=﹣，∴线段PQ的中点N （﹣，﹣），∴PQ的垂直平分线方程为y+=﹣（x+），令y=0得：x=﹣．又右焦点F（5，0），∴|MF|=5+=．①设点P在其准线上的射影为P′，点Q在其准线上的射影为Q′，∵双曲线的一条渐近线为y=x，其斜率k=，直线PQ的方程为：y=x﹣5，其斜率k′=1，∵k′＜k，∴直线PQ与双曲线的两个交点一个在左支上，另一个在右支上，不妨设点P在左支，点Q在右支，则由双曲线的其次定义得：==e==，∴|PF|=x1﹣×=x1﹣3，同理可得|QF|=3﹣x2；∴|PQ|=|QF|﹣|PF|=3﹣x2﹣（x1﹣3）=6﹣（x1+x2）=6﹣×（﹣）=．②∴==．故选B．【点评】：本题考查双曲线的其次定义的应用，考查直线与圆锥曲线的相交问题，考查韦达定理的应用与直线方程的求法，综合性强，难度大，属于难题．10．（5分）（2021•肇庆一模）在实数集R中定义一种运算“⊕”，具有性质：①对任意a，b∈R，a⊕b=b⊕a；②对任意a∈R，a⊕0=a；③对任意a，b，c∈R，（a⊕b）⊕c=c⊕（ab）+（a⊕c）+（b⊕c）﹣2c．函数f（x）=x ⊕（x＞0）的最小值为（）A．4 B． 3 C．2D． 1【考点】：进行简洁的合情推理；函数的值域．【专题】：计算题；新定义．【分析】：依据题中给出的对应法则，可得f（x）=（x ⊕）⊕0=1+x+，利用基本不等式求最值可得x+≥2，当且仅当x=1时等号成立，由此可得函数f（x）的最小值为f（1）=3．【解答】：解：依据题意，得f（x）=x ⊕=（x ⊕）⊕0=0⊕（x •）+（x⊕0）+（⊕0 ）﹣2×0=1+x+。

2021-2022学年吉林省长春市东北师大附中高三(上)第一次摸底数学试卷(文科)(解析版)

2021-2022学年吉林省长春市东北师大附中高三（上）第一次摸底数学试卷（文科）一、单选题（共12小题，每小题5分）1．已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2≥1}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{﹣2，﹣1，1，2}C．{x|﹣1≤x≤1}D．{x|x≤﹣1或x≥1}2．已知a，b均为实数，则下列命题是真命题的是（）A．若lga＝lgb，则a＝b B．若a2＝b2，则a＝bC．若a＝b，则＝D．若a＝b，则＝3．命题“∀x∈R，x2﹣x+5≥0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+x+5＜0B．∃x∈R，x2﹣x+5≥0C．∀x∈R，x2﹣x+5＞0D．∃x∈R，x2﹣x+5＜04．＝（）A．B．C．D．5．函数f（x）＝的定义域为（）A．[﹣2，2]B．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2]C．[﹣2，﹣1）∪（﹣1，2]D．（﹣2，2）6．如图，①②③④中不属于函数y＝log2x，y＝log0.5x，y＝﹣log3x的一个是（）A．①B．②C．③D．④7．已知a＝，b＝20.8，c＝40.2，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a8．已知，则sin2α+cos2α等于（）A．B．C．D．9．“a＝1”是“函数f（x）＝+为偶函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象（部分）如图所示，则f（x）的解析式是（）A．f（x）＝2sin（πx+）B．f（x）＝2sin（2πx+）C．f（x）＝2sin（πx+）D．f（x）＝2sin（2πx+）11．定义域为R的函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x）且f（2﹣x）＝f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝x3，函数g（x）＝log4|x|，则函数h（x）＝g（x）﹣f（x）零点的个数为（）A．3B．4C．5D．612．若a＝2021ln2019，b＝2020ln2020，c＝2019ln2021，则（）A．a＞c＞b B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c二、填空题（本大题共4小题。

河北省邯郸市2021届高三数学摸底考试试题文（含解析）

邯郸市2021届高三年级摸底考试文科数学【试卷综评】本试卷试题要紧注重大体知识、大体能力、大体方式等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方式的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评判，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培育，偏重学生自主探讨能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观看与猜想、阅读与试探等方面的考查。

一.选择题【题文】1.已知集合{}{}1,2,3,14M N x Z x ==∈<<，那么A.N M ⊆B.N M =C.}3,2{=N MD.)4,1(=N M 【知识点】交集的运算.A1 【答案解析】C 解析：因为{}{}142,3N x Z x =∈<<=，因此{2,3}M N =，应选C.【思路点拨】先化简集合N ，再进行判定即可.【题文】2.复数+1i z i =（为虚数单位）在复平面内所对应的点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【知识点】复数的代数表示法及其几何意义．L4【答案解析】D 解析：∵()()()1+11•i i i z i i i i ，+-===--∴复数+1i z i =（为虚数单位）在复平面内对应的点位于第四象限．应选：D ．【思路点拨】利用复数的代数运算将原式转化，即可判定它在复平面内的位置．【题文】3.某校数学教研组为了解学生学习数学的情形，采纳分层抽样的方式从高一600人、高二780人、高三n 人中，抽取35人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为13人，那么n 等于 A 、660 B 、720 C 、780 D 、800 【知识点】分层抽样方式．I1【答案解析】B 解析：：∵高一600人、高二780人、高三n 人中，抽取35人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为13人，∴1378035600780n ＝++，解得n=720，应选：B ．【思路点拨】依照分层抽样的概念，成立条件关系即可取得结论．【题文】4.设2log 3a =，4log 6b =，8log 9c =，那么以下关系中正确的选项是A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．c a b >> 【知识点】对数函数的性质；比较大小.B7【答案解析】A解析：因为242221log 6log 6log 6log 2b ====82log 9log c ==，又因为2log y x =是概念域内的增函数，且2>> a b c >>，应选A 。

贵溪市实验中学高中部2021届高三上学期第一次月考数学文试卷含答案

江西省贵溪市实验中学高中部2021届高三上学期第一次月考数学文试卷含答案贵溪市实验中学高中部2019-2020学年第一学期第一次月考高三(文科）数学试卷考试时间：120分钟总分：150 命题人：第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题.每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}31|<<-=x x A ，(){}1lg |-==x y x B ，则()=⋂B C A R （）A 。

()3,1B 。

()3,1- C.()1,1- D.(]1,1-2．已知命题:p x R ∀∈,1sin x e x ≥+。

则命题p ⌝为( ） A ．x R ∀∈，1sin x e x <+ B ．x R ∀∈，1sin x e x ≤+ C ．0x R∃∈，001sin x e x ≤+D ．0x R∃∈，001sin x e x <+3．下列哪一组函数相等（） A 。

()()xx x g x x f 2==与B.()()()42x x g x x f ==与C.()()()2x x g x x f ==与D.()()362x x g x x f ==与 4. = 255tan （）A ．3-2- B ．32-+C ．3-2D ．32+5．设a ，b 均为单位向量,则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的(） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．()的图像为函数R x x y x ∈-=22（） A.B.C 。

D 。

7．已知定义在R 上的函数f （x ),其导函数f ′(x ）的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（）①f （b )＞f （a ）＞f （c ）；②函数f （x )在x ＝c 处取得极小值在x ＝e 处取得极大值;③函数f （x ）在x ＝c 处取得极大值在x ＝e 处取得极小值;④函数f （x ）的最小值为f （d ）．A.③ B 。

2020-2021学年高三数学(文科)三校联考高考模拟试题及答案解析

三校联考高考数学模拟试卷（文科）（解析版）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}2．命题p：∃x∈N，x3＜x2；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=loga （x﹣1）的图象过点（2，0），则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q3．已知平面向量，的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）A．2 B．C．1 D．34．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y=C．y=±x D．y=5．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）A．7 B．8 C．9 D．106．已知函数f（x）=2sin（2x+），把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是（）A ．在[，]上是增函数B ．其图象关于直线x=﹣对称C ．函数g （x ）是奇函数D ．当x ∈[0，]时，函数g （x ）的值域是[﹣1，2]7．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1=1，S n 是数列{a n }前n 项的和，则（n ∈N +）的最小值为（） A ．4B ．3C ．2﹣2 D ．8．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m ），则该棱锥的全面积是（单位：m 2）．（）A ．B ．C ．D ．9．已知函数f （x ）=，则方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（）（注：e 为自然对数的底数） A ．（0，）B ．[，]C ．（0，）D ．[，e]10．已知双曲线C ：﹣=1的左、右焦点分别是F 1，F 2，正三角形△AF 1F 2的顶点A在y 轴上，边AF 1与双曲线左支交于点B ，且=4，则双曲线C 的离心率的值是（）A ．+1 B ．C ．+1 D ．11．已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球O （重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则球的表面积等于（） A ．π B ．π C ．π D ．π12．若定义在区间[﹣2016，2016]上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）﹣2016，且x ＞0时，有f （x ）＜2016，f （x ）的最大值、最小值分别为M ，N ，则M+N 的值为（） A ．2015 B ．2016C ．4030D ．4032二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．设i 为虚数单位，则复数= ．14．已知函数f （x ）=2x 2﹣xf ′（2），则函数f （x ）的图象在点（2，f （2））处的切线方程是． 15．若x ，y 满足若z=x+my 的最大值为，则实数m= ．16．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2=b 2+c 2+bc ，a=，S为△ABC 的面积，则S+cosBcosC 的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ，a n ，成等差数列．（1）证明数列{a n }是等比数列；（2）若b n =log 2a n +3，求数列{}的前n 项和T n ．18．从甲、乙两部门中各任选10名员工进行职业技能测试，测试成绩（单位：分）数据的茎叶图如图1所示：（Ⅰ）分别求出甲、乙两组数据的中位数，并从甲组数据频率分布直方图如图2所示，求a ，b ，c 的值；（Ⅱ）从甲、乙两组数据中各任取一个，求所取两数之差的绝对值大于20的概率． 19．如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面是直角梯形ABCD ，其中AD ⊥AB ，CD ∥AB ，AB=4，CD=2，侧面PAD 是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD 垂直，E 为PA 的中点．（1）求证：DE ∥平面PBC ；（2）求三棱锥A ﹣PBC 的体积．20．已知椭圆E ：（a ＞b ＞0），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）为椭圆的两个焦点，M 为椭圆上任意一点，且|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3．（1）求椭圆E 的方程；（2）若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且⊥，求出该圆的方程．21．设函数f （x ）=x 2﹣（a+b ）x+ablnx （其中e 为自然对数的底数，a ≠e ，b ∈R ），曲线y=f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线方程为y=﹣e 2．（1）求b ；（2）若对任意x∈[，+∞），f（x）有且只有两个零点，求a的取值范围．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目记分．作答时，请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BEBD﹣AEAC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016福安市校级模拟）极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），曲线C 2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线θ=φ，θ=φ﹣，θ=φ+，与曲线C1分别交异于极点O的四点A、B、C、D．（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和曲线C2化成直角坐标方程；（Ⅱ）求|OA||OC|+|OB||OD|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．=|x+m|．（Ⅰ）解关于m的不等式f（1）+f（﹣2）≥5；（Ⅱ）当x≠0时，证明：．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}【分析】根据题意先求出集合M和集合N，再求M∪N．【解答】解：∵集合M={x|x2+3x+2＜0}={x|﹣2＜x＜﹣1}，集合={x|2﹣x≤22}={x|﹣x≤2}={x|x≥﹣2}，∴M∪N={x|x≥﹣2}，故选A．【点评】本题考查集合的运算，解题时要认真审题，仔细解答．2．命题p：∃x∈N，x3＜x2；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=loga （x﹣1）的图象过点（2，0），则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假．【解答】解：命题p：∃x∈N，x3＜x2，是假命题；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），令x﹣1=1，解得：x=2，此时f（2）=0，（x﹣1）的图象过点（2，0），是真命题；故函数f（x）=loga故¬p∧q真是真命题；故选：C．【点评】本题考查了不等式以及对数函数的性质，考查复合命题的判断，是一道基础题．3．已知平面向量，的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）【分析】根据向量的数量积的运算和向量的模计算即可．【解答】解：∵|+2|=2，∴+4+4=||2+4||||cos+4||2=||2+2||+4=12，解得||=2，故选：A．【点评】本题考查了向量的数量积的运算和向量的模的计算，属于基础题．4．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y=C．y=±x D．y=【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题．5．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）【分析】由已知中的程序语句可知该框图的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟执行程序框图，由程序框图可知该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=﹣12+22﹣32+42的值，∵S=﹣12+22﹣32+42=10故选：D．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．6．已知函数f（x）=2sin（2x+），把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是（）A．在[，]上是增函数B．其图象关于直线x=﹣对称C．函数g（x）是奇函数D．当x∈[0，]时，函数g（x）的值域是[﹣1，2]【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的图象性质，得出结论．【解答】解：把函数f（x）=2sin（2x+）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）=2sin[2（x+）+]=2cos2x的图象，显然，函数g（x）是偶函数，故排除C．当x∈[，]，2x∈[，π]，函数g（x）为减函数，故排除A．当x=﹣时，g （x ）=0，故g （x ）的图象不关于直线x=﹣对称，故排除B ．当x ∈[0，]时，2x ∈[0，]，cos2x ∈[﹣，1]，函数g （x ）的值域是[﹣1，2]，故选：D ．【点评】本题主要考查函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象性质，属于基础题．7．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1=1，S n 是数列{a n }前n 项的和，则（n ∈N +）的最小值为（） A ．4B ．3C ．2﹣2 D ．【分析】由题意得（1+2d ）2=1+12d ，求出公差d 的值，得到数列{a n }的通项公式，前n 项和，从而可得，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．【解答】解：∵a 1=1，a 1、a 3、a 13成等比数列， ∴（1+2d ）2=1+12d ．得d=2或d=0（舍去）， ∴a n =2n ﹣1， ∴S n ==n 2， ∴=．令t=n+1，则=t+﹣2≥6﹣2=4当且仅当t=3，即n=2时，∴的最小值为4．故选：A ．【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．8．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A．B．C．D．【分析】由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，垂直于底面的侧面是一个高为2，底连长也为2的等腰直角三角形，底面与垂直于底面的侧面全等，此两面的面积易求，另两个与底面不垂直的侧面是全等的，可由顶点在底面上的射影作出此两侧面底边的高，将垂足与顶点连接，此线即为侧面三角形的高线，求出侧高与底面的连长，用三角形面积公式求出此两侧面的面积，将四个面的面积加起来即可【解答】解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形，高为2，底面连长为2，故它们的面积皆为=2，由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的长度长度相等，为，将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为2，同理可求出侧面底边长为，可求得此两侧面的面积皆为=，故此三棱锥的全面积为2+2++=，故选A．【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查对三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是三棱锥的全面积，做本题时要注意本题中的规律应用，即四个侧面两两相等，注意到这一点，可以大大降低运算量．三视图的投影规则是主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等．9．已知函数f （x ）=，则方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（）（注：e 为自然对数的底数） A ．（0，）B ．[，]C ．（0，）D ．[，e]【分析】由题意，方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根，等价于y=f （x ）与y=ax 有2个交点，又a 表示直线y=ax 的斜率，求出a 的取值范围．【解答】解：∵方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根， ∴y=f （x ）与y=ax 有2个交点，又∵a 表示直线y=ax 的斜率， ∴y ′=，设切点为（x 0，y 0），k=，∴切线方程为y ﹣y 0=（x ﹣x 0），而切线过原点，∴y 0=1，x 0=e ，k=， ∴直线l 1的斜率为，又∵直线l 2与y=x+1平行， ∴直线l 2的斜率为，∴实数a 的取值范围是[，）．故选：B ．【点评】本题考查了函数的图象与性质的应用问题，解题时应结合图象，以及函数与方程的关系，进行解答，是易错题．10．已知双曲线C：﹣=1的左、右焦点分别是F1，F2，正三角形△AF1F2的顶点A在y轴上，边AF1与双曲线左支交于点B，且=4，则双曲线C的离心率的值是（）A．+1 B．C．+1 D．【分析】不妨设△AF1F2的边长为4，求得c=2，由向量共线可得|BF1|=1，在△BF1F2中，由余弦定理求得|BF2|=，再由双曲线的定义和离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：不妨设△AF1F2的边长为4，则|F1F2|=2c=4，c=2．由，可得|BF1|=1，在△BF1F2中，由余弦定理可得|BF2|2=|BF1|2+|F1F2|2﹣2|BF1||F1F2|cos∠BF1F2=1+16﹣2×1×4×=13，|BF2|=，由双曲线的定义可得2a=|BF2|﹣|BF1|=﹣1，解得a=，则e==．故选：B．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和余弦定理，考查运算能力，属于中档题．11．已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球O（重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则球的表面积等于（）A．πB．πC．πD．π【分析】先求出没有水的部分的体积是，再求出棱长为2，可得小球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：由题意，没有水的部分的体积是正四面体体积的，∵正四面体的各棱长均为4， ∴正四面体体积为=，∴没有水的部分的体积是，设其棱长为a ，则=， ∴a=2，设小球的半径为r ，则4×r=，∴r=，∴球的表面积S=4=．故选：C ．【点评】本题考查球的表面积，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确求出半径是关键．12．若定义在区间[﹣2016，2016]上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）﹣2016，且x ＞0时，有f （x ）＜2016，f （x ）的最大值、最小值分别为M ，N ，则M+N 的值为（） A ．2015B ．2016C ．4030D ．4032【分析】特殊值法：令x 1=x 2=0，得f （0）=2016，再令x 1+x 2=0，将f （0）=2014代入可得f （x ）+f （﹣x ）=4032．根据条件x ＞0时，有f （x ）＜2016，得出函数的单调性，根据单调性求出函数的最值．【解答】解：∵对于任意的x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）﹣2016，∴令x 1=x 2=0，得f （0）=2016，再令x 1+x 2=0，将f （0）=2014代入可得f （x ）+f （﹣x ）=4032．设x 1＜x 2，x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，则x 2﹣x 1＞0，f （x 2﹣x 1）=f （x 2）+f （﹣x 1）﹣2016，∴f（x2）+f（﹣x1）﹣2016＜2016．又∵f（﹣x1）=4032﹣f（x1），∴f（x2）＜f（x1），即函数f（x）是递减的，∴f（x）max=f（﹣2016），f（x）min=f（2016）．又∵f（2016）+f（﹣2016）=4032，∴M+N的值为4032．故选D．【点评】考查了抽象函数中特殊值的求解方法，得出函数的性质．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．设i为虚数单位，则复数= i ．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，则答案可求．【解答】解：=，故答案为：i．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．14．已知函数f（x）=2x2﹣xf′（2），则函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是4x﹣y﹣8=0 ．【分析】求导函数，确定切点处的斜率与切点的坐标，即可求得函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程．【解答】解：∵函数f（x）=2x2﹣xf′（2），∴f′（x）=4x﹣f′（2），∴f′（2）=8﹣f′（2），∴f′（2）=4∴f（2）=8﹣2×4=0∴函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是y﹣0=4（x﹣2）即4x﹣y﹣8=0故答案为：4x﹣y﹣8=0【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，确定切点处的斜率与切点的坐标是关键．15．若x，y满足若z=x+my的最大值为，则实数m= 2 ．【分析】画出满足约束条件的可行域，求出目标函数的最大值，从而建立关于m的等式，即可得出答案．【解答】解：由z=x+my得y=x，作出不等式组对应的平面区域如图：∵z=x+my的最大值为，∴此时z=x+my=，此时目标函数过定点C（，0），作出x+my=的图象，由图象知当直线x+my=，经过但A时，直线AC的斜率k=＞﹣1，即m＞1，由平移可知当直线y=x，经过点A时，目标函数取得最大值，此时满足条件，由，解得，即A（，），同时，A也在直线x+my=上，代入得+m=，解得m=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义确定取得最大值的最优解是解决本题的关键．16．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2=b 2+c 2+bc ，a=，S为△ABC 的面积，则S+cosBcosC 的最大值为．【分析】先利用余弦定理求得A ，进而通过正弦定理表示出c ，代入面积公式求得S+cosBcosC 的表达式，利用两角和与差的余弦函数公式化简求得其最大值．【解答】解：∵a 2=b 2+c 2+bc ， ∴cosA==﹣，∴A=，由正弦定理 c=a ==2sinC ， ∴S===sinBsinC ∴S+cosBcosC=sinBsinC+cosBcosC=cos （B ﹣C ）≤，故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．求得面积的表达式是解决问题的关键，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ，a n ，成等差数列．（1）证明数列{a n }是等比数列；（2）若b n =log 2a n +3，求数列{}的前n 项和T n ．【分析】（1）由题意得2a n =S n +，易求，当n ≥2时，S n =2a n ﹣，S n ﹣1=2a n﹣1﹣，两式相减得a n =2a n ﹣2a n ﹣1（n ≥2），由递推式可得结论；（2）由（1）可求=2n ﹣2，从而可得b n ，进而有=，利用裂项相消法可得T n ；【解答】解：（1）证明：由S n ，a n ，成等差数列，知2a n =S n +，当n=1时，有，∴，当n ≥2时，S n =2a n ﹣，S n ﹣1=2a n ﹣1﹣，两式相减得a n =2a n ﹣2a n ﹣1（n ≥2），即a n =2a n ﹣1，由于{a n }为正项数列，∴a n ﹣1≠0，于是有=2（n ≥2），∴数列{a n }从第二项起，每一项与它前一项之比都是同一个常数2， ∴数列{a n }是以为首项，以2为公比的等比数列．（2）解：由（1）知==2n ﹣2，∴b n =log 2a n +3==n+1，∴==，∴T n =（）+（）+…+（）==．【点评】本题考查等差数列、等比数列的概念、数列的求和，裂项相消法是高考考查的重点内容，应熟练掌握．18．从甲、乙两部门中各任选10名员工进行职业技能测试，测试成绩（单位：分）数据的茎叶图如图1所示：（Ⅰ）分别求出甲、乙两组数据的中位数，并从甲组数据频率分布直方图如图2所示，求a，b，c的值；（Ⅱ）从甲、乙两组数据中各任取一个，求所取两数之差的绝对值大于20的概率．【分析】（Ⅰ）根据茎叶图能求出甲部门数据的中位数和乙部门数据的中位数，再求出甲部门的成绩在70～80的频率为0.5，由此能求出a，b，c．（Ⅱ）利用列举法求出从“甲、乙两组数据中各任取一个”的所有可能情况和其中所取“两数之差的绝对值大于20”的情况，由此能求出所取两数之差的绝对值大于20的概率．【解答】解：（Ⅰ）根据茎叶图得甲部门数据的中位数是78.5，乙部门数据的中位数是78.5；∵甲部门的成绩在70～80的频率为0.5，∴a=0.05，在80～90的频率为0.2，∴b=0.02在60～70的频率为0.1，∴c=0.01．（Ⅱ）从“甲、乙两组数据中各任取一个”的所有可能情况是：（63，67），（63，68），（63，69），（63，73），（63，75），…，（96，86），（96，94），（96，97）共有100种；其中所取“两数之差的绝对值大于20”的情况是：（63，85），（63，86），（63，94），（63，97），（72，94），（72，97），（74，97），（76，97），（91，67），（91，68），（91，69），（96，67），（96，68），（96，69），（96，73），（96，75）共有16种，故所求的概率为．【点评】本题考查概率的求法，考查频率分布直方图的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中AD⊥AB，CD∥AB，AB=4，CD=2，侧面PAD是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD垂直，E为PA的中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）求三棱锥A﹣PBC的体积．【分析】（1）（法一）取PB的中点F，连接EF，CF，由已知得EF∥AB，且，从而四边形CDEF是平行四边形，由此能证明DE∥平面PBC．（1）（法二）：取AB的中点F，连接DF，EF，由已知得四边形BCDF为平行四边形，从而DF∥BC，由此能证明DE∥平面PBC．（2）取AD的中点O，连接PO，由已知得PO⊥平面ABCD，由此能求出三棱锥A﹣PBC 的体积．【解答】（1）证明：（方法一）：取PB的中点F，连接EF，CF．∵点E，F分别是PA，PB的中点∴EF∥AB，且又CD∥AB，且∴EF∥CD，且EF=CD∴四边形CDEF是平行四边形，∴DE∥CF．又DE⊄平面PBC，CF⊂平面PBC∴DE∥平面PBC．（1）证明：（方法二）：取AB的中点F，连接DF，EF．在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，CD=2，所以BF∥CD，且BF=CD．所以四边形BCDF为平行四边形，所以DF∥BC．在△PAB中，PE=EA，AF=FB，所以EF∥PB．又DF∩EF=F，PB∩BC=B，所以平面DEF∥平面PBC．因为DE⊂平面DEF，所以DE∥平面PBC．（2）解：取AD的中点O，连接PO．在△PAD中，PA=PD=AD=2，所以PO⊥AD，PO=又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PO⊥平面ABCD，所以PO就是三棱锥P﹣ABC的高．在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，AD=2，AB⊥AD，所以．故．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．20．已知椭圆E ：（a ＞b ＞0），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）为椭圆的两个焦点，M 为椭圆上任意一点，且|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3．（1）求椭圆E 的方程；（2）若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且⊥，求出该圆的方程．【分析】（1）通过|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3．列出方程，求出a 、b ，即可求椭圆E 的方程；（2）假设以原点为圆心，r 为半径的圆满足条件．（ⅰ）若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y=kx+m ，则r=，然后联立直线方程与椭圆方程，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），结合x 1x 2+y 1y 2=0，即可求圆的方程．（ⅱ）若AB 的斜率不存在，设A （x 1，y 1），则B （x 1，﹣y 1），利用⊥，求出半径，得到结果．【解答】解：（1）由题知2|F 1F 2|=|MF 1|+|MF 2|，即2×2c=2a ，得a=2c ．①又由，得②且a 2=b 2+c 2，综合解得c=1，a=2，b=．∴椭圆E 的方程为+=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）假设以原点为圆心，r 为半径的圆满足条件．（ⅰ）若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y=kx+m ，则r=，r 2=，①消去y ，整理得（3+4k 2）x 2+8kmx+4（m 2﹣3）=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），又∵⊥，∴x1x2+y1y2=0，即4（1+k2）（m2﹣3）﹣8k2m2+3m2+4k2m2=0，化简得m2=（k2+1），②由①②求得r2=．所求圆的方程为x2+y2=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（ⅱ）若AB的斜率不存在，设A（x1，y1），则B（x1，﹣y1），∵⊥，∴=0，得x=．此时仍有r2=|x|=．综上，总存在以原点为圆心的圆x2+y2=满足题设条件．【点评】考查椭圆的方程和基本性质，与向量相结合的综合问题．考查分析问题解决问题的能力．21．设函数f（x）=x2﹣（a+b）x+ablnx（其中e为自然对数的底数，a≠e，b∈R），曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y=﹣e2．（1）求b；（2）若对任意x∈[，+∞），f（x）有且只有两个零点，求a的取值范围．【分析】（1）求导，从而求b；（2）由（1）得，，从而①当时，要使得f（x）在上有且只有两个零点，只需=，②当时，求导确定零点个数，③当a＞e时，求导确定零点个数．【解答】解：（1），∵f′（e）=0，a≠e，∴b=e；（2）由（1）得，，①当时，由f′（x）＞0得x＞e；由f′（x）＜0得．此时f（x）在上单调递减，在（e，+∞）上单调递增．∵，；∴要使得f（x）在上有且只有两个零点，则只需=，即；②当时，由f′（x）＞0得或x＞e；由f′（x）＜0得a＜x＜e．此时f（x）在（a，e）上单调递减，在和（e，+∞）上单调递增．此时，∴此时f（x）在[e，+∞）至多只有一个零点，不合题意；③当a＞e时，由f′（x）＞0得或x＞a，由f′（x）＜0得e＜x＜a，此时f（x）在和（a，+∞）上单调递增，在（e，a）上单调递减，且，∴f（x）在至多只有一个零点，不合题意．综上所述，a的取值范围为．【点评】本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义的应用，同时考查了分类讨论的思想应用，属于中档题．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目记分．作答时，请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BEBD﹣AEAC．【分析】（1）连接AD，利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系，通过证明A，D，E，F四点共圆即可证得结论；（2）由（1）知，BDBE=BABF，再利用△ABC∽△AEF得到比例式，最后利用线段间的关系即求得AB2=BEBD﹣AEAC．【解答】证明：（1）连接AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，（1分）又EF⊥AB，∠AFE=90°，（1分）则A，D，E，F四点共圆（2分）∴∠DEA=∠DFA（1分）（2）由（1）知，BDBE=BABF，（1分）又△ABC∽△AEF∴，即ABAF=AEAC（2分）∴BEBD﹣AEAC=BABF﹣ABAF=AB（BF﹣AF）=AB2（2分）【点评】本小题主要考查与圆有关的比例线段、四点共圆的证明方法、三角形相似等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016福安市校级模拟）极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），曲线C 2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线θ=φ，θ=φ﹣，θ=φ+，与曲线C1分别交异于极点O的四点A、B、C、D．（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和曲线C2化成直角坐标方程；（Ⅱ）求|OA||OC|+|OB||OD|的值．【分析】（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），展开可得：，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．把C2的方程化为直角坐标方程为y=a，根据曲线C1关于曲线C2对称，故直线y=a经过圆心解得a，即可得出．（Ⅱ）由题意可得，|OA|，|OB|，|OC|，|OD|，代入利用和差公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），展开可得：，化为直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．把C2的方程化为直角坐标方程为y=a，∵曲线C1关于曲线C2对称，故直线y=a经过圆心（1，1），解得a=1，故C2的直角坐标方程为y=1．（Ⅱ）由题意可得，，，，，．【点评】本题考查了直角坐标与极坐标的互化、圆的对称性、直线与圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．=|x+m|．（Ⅰ）解关于m的不等式f（1）+f（﹣2）≥5；（Ⅱ）当x≠0时，证明：．【分析】（Ⅰ）问题等价于|m+1|+|m﹣2|≥5，通过讨论m的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）根据绝对值的性质证明即可．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（1）+f（﹣2）≥5等价于|m+1|+|m﹣2|≥5，可化为，解得m≤﹣2；或，无解；或，解得m≥3；综上不等式解集为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）…（5分）（Ⅱ）证明：当x≠0时，，|x|＞0，，…（10分）【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质，是一道中档题．。

2021届全国新高考仿真模拟试题(二)数学(文)(解析版)

∴CD⊥平面
ABD，∴CD
是三棱锥
C

ABD
的高，∴VC

ABD＝13×12×2×2×sin
60°×2＝2 3， 3
故选 A.
8．答案：C
解析：由射线测厚技术原理公式得I20＝I0e－7.6×0.8μ，∴12＝e－6.08μ，－ln 2＝－6.08μ，μ≈0.114，
故选 C.
9．答案：C
解析：从题图(1)可以看出，该品牌汽车在 1 月份所对应的条形图最高，即销售量最多，
商品销售 25.0 30.0 34.0 37.0 39.0 41.0 42.0 44.0 48.0 y10
额 y/万元
且已知错误!i＝380.0
(1)求第 10 年的年收入 x10. (2)若该城市居民年收入 x 与该种商品的销售额 y 之间满足线性回归方程y^＝363x＋^a，
254 (ⅰ)求该种商品第 10 年的销售额 y10； (ⅱ)若该城市居民年收入为 40.0 亿元，估计这种商品的销售额是多少？(精确到 0.01) 附：①在线性回归方程y^＝b^x＋^a中，b^＝错误!，^a＝－y －b^－x ；
(1)求轨迹Γ的方程； (2)过点 F 作互相垂直的直线 AB 与 CD，其中直线 AB 与轨迹Γ交于点 A，B，直线 CD 与轨迹Γ交于点 C，D，设点 M，N 分别是 AB 和 CD 的中点，求△FMN 的面积的最小值．
-5-
21．(12 分)[2020·安徽省示范高中名校高三联考]函数 f(x)＝aex＋x2－ln x(e 为自然对数的底数，a 为常数)，曲线 f(x)在 x＝1 处的切线方程为(e＋1)x－y＝0.
于 8 月份，所以该公司 7 月份汽车的总销售量比 8 月份少，所以选项 C 是错误的；从题图(1)

东北三省三校2017届高三第三次模拟数学(文)试题 Word版含答案

东北三省三校2017届高三第三次模拟数学(文)试题 Word版含答案XXX2017年高三第三次模拟考试文科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1.答题前，务必填写姓名、准考证号码，并将条形码准确粘贴在指定区域。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔记清晰。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效。

在草稿纸、试题卷上答题也无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠、弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，从每小题的四个选项中选出一个符合题意的答案）1.设复数z满足z×(1+i)=2i（i是虚数单位），则z=（）A.2B.2.C.1.D.52.已知A=xy=lg(x-1)，B=yy=4-x^2，则A∩B=（）A.[0,2]B.(1,2]C.[1,2)D.(1,4]3.已知cosα-sinα=2，则sin2α的值为（）A.-11/8B.-7/8C.7/8D.11/84.已知实数x，y满足2x+y≥3，则z=x+y的取值范围为（）A.[0,3]B.[2,7]C.[3,7]D.[2,0]5.已知x∈(0,π/2)，p:sinx<x，q:sinx<x^2，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图时，若输入a，b分别为18,27，则输出的a=（）A.0.B.9.C.18.D.547.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.2/3B.3/4C.4/3D.8/38.直线x+2y=m（m＞2）与εO:x+y=5交于A，B两点，若OA+OB>2AB，则m的取值范围是（）A.(5,25)B.(25,5)C.(5,5)D.(2,5)9.已知函数$f(x)=2\sin(2x-\frac{\pi}{2})-1$，在$[0,\frac{\pi}{2}]$随机取一个实数$a$，则$f(a)>0$的概率为$\frac{6323}{}$。

四川省成都市2021届高中毕业班第一次诊断性检测数学文试题 Word版含解析

成都市2021届高中毕业班第一次诊断性检测数学试题（文科）【试卷综述】本试卷是高三文科试卷，以基础学问和基本技能为载体，以力量测试为主导，在留意考查学科核心学问的同时，突出考查考纲要求的基本力量，重视同学科学素养的考查.学问考查留意基础、留意常规、留意主干学问，兼顾掩盖面.试题重点考查：集合、不等式、向量、三视图、导数、简洁的线性规划、直线与圆、数列、充要条件等；考查同学解决实际问题的综合力量，是份较好的试卷。

【题文】一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】1．设全集{|0}=≥U x x ，集合{1}=P ，则UP =（A ）[0,1)(1,)+∞ （B ）(,1)-∞ （C ）(,1)(1,)-∞+∞ （D ）(1,)+∞【学问点】集合的补集 A1【答案】【解析】A 解析：由于{|0}=≥U x x ，{1}=P ，所以UP =[0,1)(1,)+∞故选A.【思路点拨】由补集运算直接计算可得.【题文】2．若一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的正方形，则这个几何体的俯视图不行能是（）（A ）（B ）（C ）（D ）【学问点】三视图 G2 【答案】【解析】C 解析：由题意可得，A 是正方体，B 是三棱柱，C 是半个圆柱，D 是圆柱，C 不能满足正视图和侧视图是两个全等的正方形，故选C. 【思路点拨】由三视图的基本概念即可推断.【题文】3．命题“若22≥+x a b ，则2≥x ab ”的逆命题是（A ）若22<+x a b ，则2<x ab （B ）若22≥+x a b ，则2<x ab（C ）若2<x ab ，则22<+x a b （D ）若2≥x ab ，则22≥+x a b 【学问点】四种命题 A2【答案】【解析】D 解析：“若p 则q ”的逆命题是“若q 则p ”,故选D. 【思路点拨】将原命题的条件和结论互换位置即可得到逆命题.【题文】4．函数31,0()1(),03xx x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩的图象大致为（A ）（B ）（C ）（D ）【学问点】函数的图像 B6,B8【答案】【解析】A 解析：当0x <时，将3y x =的图像向上平移一个单位即可；当0x ≥时，取1()3xy =的图像即可，故选A.【思路点拨】由基本函数3y x =和1()3xy =的图像即可求得分段函数的图像. 【题文】5．复数5i(2i)(2i)=-+z （i 是虚数单位）的共轭复数为（）（A ）5i3- （B ）5i 3 （C ）i - （D ）i【学问点】复数运算 L4【答案】【解析】C 解析：5i (2i)(2i)=-+z 25545i iii ===-，z i ∴=-，故选C.【思路点拨】化简得z i =，从而可求z i =-.【题文】6．若关于x 的方程240+-=x ax 在区间[2,4]上有实数根，则实数a 的取值范围是（）（A ）(3,)-+∞ （B ）[3,0]- （C ）(0,)+∞ （D ）[0,3] 【学问点】二次函数B5【答案】【解析】B 解析：由于240+-=x ax 在区间[2,4]上有实数根，令2(x)4f x ax =+-所以(2)(4)0f f ≤ ，即()21240a x +≤，30a ∴-≤≤ ，故选B.【思路点拨】二次函数在给定区间上根的分布问题，只需找准条件即可，不能丢解.【题文】7．已知53cos()25+=πα，02-<<πα，则sin 2α的值是（A ）2425 （B ）1225 （C ）1225- （D ）2425-【学问点】诱导公式，二倍角公式 C2 C6yx OxyOxy Ox yO【答案】【解析】D 解析：由于53cos()cos()sin 225ππααα+=+=-=，所以3sin 5α=-，又2-<<πα，4cos 5α=，()24sin 22sin cos 25ααα∴==- ，故选D.【思路点拨】由53cos()sin 25παα+=-=，得3sin 5α=-，4cos 5α=，再依据二倍角公式即可求得24sin 225α=-.【题文】8．已知抛物线:C 28y x =，过点(2,0)P 的直线与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OA OB ⋅的值为（A ）16- （B ）12- （C ）4 （D ）0 【学问点】抛物线及其标准方程 H7【答案】【解析】B 解析：由题意可知，点P 为抛物线的焦点，所以不妨设AB x ⊥轴，从而()()2,4,2,4A B -，OA OB ⋅224(4)12=⨯+⨯-=-，故选B.【思路点拨】解本题若是留意到点P 为抛物线的焦点，就可以利用特殊状况（AB x ⊥轴）求解；此题还可以设出直线方程，联立抛物线:C 28y x =，利用OA OB ⋅1212x x y y =+进行求解. 【题文】9．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，且n ⊂β，则下列叙述正确的是（A ）若//m n ，m ⊂α，则//αβ （B ）若//αβ，m ⊂α，则//m n （C ）若//m n ，m α⊥，则αβ⊥ （D ）若//αβ，m n ⊥，则m α⊥ 【学问点】线线关系，线面关系 G4 G5【答案】【解析】C 解析：A 中α，β还可能相交；B 中m ，n 还可能异面；D 中可能//m α，故选C. 【思路点拨】生疏空间中线线，线面关系的推断，逐一排解即可. 【题文】10．如图，已知正方体1111ABCD A BC D -棱长为4，点H 在棱1AA 上，且11HA =．点E ，F 分别为棱11B C ，1C C的中点，P 是侧面11BCC B 内一动点，且满足⊥PE PF .则当点P 运动时，2HP的最小值是（）（A ）72- （B ）2762- （C ）51142- （D ）1422- 【学问点】点、线、面间的距离计算 G11 【答案】【解析】B 解析：以EF 为直径在平面11BCC B 内作圆，该圆的半径为2，再过H 引1BB的垂线，垂足为G ，连接GP ，所以222HP HG GP =+ ，其中HG 的长为棱长4，因此当GP 最小时，HP 就取最小值，点G 到圆心的距离为3，所以GP 的最小值为：32-，所以2HP 的最小值为：2234(2)7622-+-＝，故选B. 【思路点拨】由P 是侧面11BCC B 内一动点，且满足⊥PE PF ，想到以EF 为直径在平面11BCC B 内作圆，点P 在圆上，在GPH 中，222HP HG GP =+，当GP 最小时，HP 就取最小值，从而转化为圆外一点到圆上点的距离问题.【题文】二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．【题文】11．已知100名同学某月饮料消费支出状况的频率分布直方图如右图所示.则这100名同学中，该月饮料消费支出超过150元的人数是________．【学问点】频率分布直方图 I2【答案】【解析】30解析：由图知，该月饮料消费支出超过150元的人占的比例为()0.0040.002500.3+⨯=，所以人数为1000.330⨯=.故答案为30【思路点拨】求出该月饮料消费支出超过150元的人占的比例即可.【题文】12．若非零向量a ，b 满足a b a b +=-，则a ，b 的夹角的大小为__________．【学问点】向量的夹角 F3 【答案】【解析】090解析：a b a b +=-22||||a b a b ∴+=-，即0a b =，所以a b ⊥，a ，b 的夹角为090，故答案为090.【思路点拨】由a b a b +=-可得0a b =，所以夹角为090.【题文】13．在∆ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2=c a ，4=b ，1cos 4=B ．则边c 的长度为__________．【学问点】余弦定理 C8【答案】【解析】4解析：由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得222116444a a a =+-⨯，2,4a c ∴==.【思路点拨】由余弦定理2222cos b a c ac B =+-可求24a =.【题文】14．已知关于x 的不等式()(2)0---≤x a x a 的解集为A ，集合{|22}=-≤≤B x x ．若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是__________．【学问点】充分必要条件 A2【答案】【解析】[2,0]-解析：由题得[,2]A a a =+，由于“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以A B ⊄，即22022a a a ≥-⎧∴-≤≤⎨+≤⎩.故答案为[2,0]-.【思路点拨】由于“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以A B ⊄，列式求解即可.【题文】15．已知函数21()()2f x x a =+的图象在点n P (,())n f n （*n ∈N ）处的切线n l 的斜率为n k ，直线nl 交x 轴，y 轴分别于点(,0)n n A x ，(0,)n n B y ，且11y =-．给出以下结论：①1a =-； ②记函数()=ng n x （*n ∈N ），则函数()g n 的单调性是先减后增，且最小值为1；③当*n ∈N 时，1ln(1)2n n n y k k ++<+；④当*n ∈N时，记数列的前n 项和为n S，则1)n n S n -<．其中，正确的结论有（写出全部正确结论的序号）【学问点】命题的真假推断A2【答案】【解析】①②④ 解析：'()f x x k == ①'11(1)1,1k f y ===-,11,(1)0x f ∴==,因此1a =-，正确；②n k n =，切线n l ：n (n)k (x n)y f -=-，即()2112y nx n =-+，212n n x n += 112n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ，亦即11(n)2g n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，明显(n)g 在0,1（）上减，在1,+∞（）上增，正确；③()2112n y n =-，左边()()211111222n n n n =-++=+，右边ln(n 1)=+ ，当1n =时，左=1，右=ln 21< ，即左>右，所以错误；④令n a ===（2n ≥），221(n 1)n ->-，112()1n n<=--，且11a ==，12111112(11)2231n n S a aa n n =+++<+-+-++-- 12(2)n =-=故正确.所以答案为①②④.【思路点拨】依题意， n k n =， 212n n x n +=，()2112n y n =-，依次进行推断即可.【题文】三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【题文】16．（本小题满分12分）口袋中装有除编号外其余完全相同的5个小球，编号依次为1,2,3,4,5．现从中同时取出两个球，分别记录下其编号为,m n ．（Ⅰ）求“5+=m n ”的概率；（Ⅱ）求“5≥mn ”的概率．【学问点】古典概型 K2【答案】【解析】（Ⅰ）15（Ⅱ）710解析：同时取出两个球，得到的编号,m n 可能为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)， (2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)………6分（Ⅰ）记“5+=m n ”为大事A ，则21()105==P A ．…………………………………………………………………3分（Ⅱ）记“5≥mn ”为大事B ，则37()11010=-=P B ．……………………………………………………………… 3分【思路点拨】由题意列出全部的基本大事，再去求符合题意的基本大事有几个，即可求解. 【题文】17．（本小题满分12分）如图，在多面体ECABD 中，EC ⊥平面ABC ，//DB EC ，ABC ∆为正三角形，F 为EA 的中点，2EC AC ==，1BD =．（Ⅰ）求证：DF //平面ABC ；（Ⅱ）求多面体ECABD 的体积．DBC AFE【学问点】线面平行，几何体体积 G4 G8 【答案】【解析】（Ⅰ）略（Ⅱ）3 （Ⅰ）证明：作AC 的中点O ，连结BO ．在∆AEC 中，//=FO 12EC ，又据题意知，//=BD 12EC ．∴//=FO BD ，∴四边形FOBD 为平行四边形． ∴//DF OB ，又⊄DF 面ABC ，⊂OB 平面ABC ． ∴//DF 面ABC ．………………………6分（Ⅱ）据题意知，多面体ECABD 为四棱锥-A ECBD ．过点A 作⊥AH BC 于H ．∵⊥EC 平面ABC ，⊂EC 平面ECBD ， ∴平面⊥ECBD 平面ABC ．又⊥AH BC ，⊂AH 平面ABC ，平面ECBD 平面=ABC BC ，∴⊥AH 面ECBD ．∴在四棱锥-A ECBD 中，底面为直角梯形ECBD ，高3=AH∴1(21)23332-+⨯=⨯=A ECBD V∴多面体ECABD 36分【思路点拨】（Ⅰ）求证线面平行，可以利用线线平行，本题很简洁找出//DF OB ；（Ⅱ）求多面体ECABD 的体积转化成四棱锥-A ECBD 的体积，底面为直角梯形ECBD ，高很好求，所以利用锥体体积公式即可.【题文】18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122+=-n n S ；数列{}n b 满足11b =，12n n b b +=+．*n ∈N .（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记n n nc a b =，*n ∈N .求数列{}n c 的前n 项和n T ．【学问点】等差数列，等比数列 D2 D3 【答案】【解析】（Ⅰ）2nn a =,21n b n =-（Ⅱ）1(23)24+=-+n n T n（Ⅰ）∵122+=-n n S ①当2≥n 时，122-=-n n S ②①-②得，2=n na （2≥n ）．∵当2≥n 时，11222--==nn n n a a ，且12=a ．∴数列{}n a 是以2为首项，公比为2的等比数列，∴数列{}n a 的通项公式为1222-=⋅=n nn a ．…………………………………4分又由题意知，11b =，12n n b b +=+，即12+-=n n b b∴数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，∴数列{}n b 的通项公式为1(1)221=+-⨯=-n b n n ．………………………2分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，(21)2=-nn c n ……………………………………………………1分∴231123252(23)2(21)2-=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅n nn T n n231121232(25)2(23)2(21)2-+=⨯+⨯++-⋅+-⋅+-⋅n n n n T n n n ④由-④得2311222222222(21)2-+-=+⨯+⨯++⋅+⋅--⋅n n n n T n ………………1分23112(12222)(21)2-+-=++++--⋅n n n n T n∴12222(21)212+-⋅-=⨯--⋅-n n n T n ………………………………………1分∴111224222+++-=⋅--⋅+n n n n T n 即1(32)24+-=-⋅-n n T n∴1(23)24+=-+n n T n∴数列{}n c 的前n 项和1(23)24+=-+n n T n ………………………………3分【思路点拨】（Ⅰ）由条件直接求解即可；（Ⅱ）数列(21)2=-nn c n ，为差比数列，利用错位相减法直接求解.【题文】19．（本小题满分12分）某大型企业一天中不同时刻的用电量y （单位：万千瓦时）关于时间t （024t ≤≤，单位：小时）的函数()y f t =近似地满足()sin()(0,0,0)f t A t B A ωϕωϕπ=++>><<，下图是该企业一天中在0点至12点时间段用电量y 与时间t 的大致图象．（Ⅰ）依据图象，求A ，ω，ϕ，B 的值；（Ⅱ）若某日的供电量()g t （万千瓦时）与时间t （小时）近似满足函数关系式205.1)(+-=t t g （012t ≤≤）．当该日内供电量小于该企业的用电量时，企业就必需停产．请用二分法计算该企业当日停产的大致时刻（精确度0.1）. 参考数据:【学问点】函数模型及其应用B10 【答案】【解析】（Ⅰ）1,22A B == ,12T =，6πω=（Ⅱ）11．625时（Ⅰ）由图知12T =，6πω=．………………………………………………………1分2125.15.22min max =-=-=y y A ，225.15.22min max =+=+=y y B ．……………2分t （时）10 11 12 11.5 11.25 11.75 11.625 11.6875 ()f t （万千瓦时） 2．25 2.433 2.5 2.48 2.462 2.496 2.490 2.493 ()g t （万千瓦时） 53.522.753.1252.3752.5632.469∴0.5sin()26y x πϕ=++．又函数0.5sin()26y x πϕ=++过点(0,2.5)．代入，得22k πϕπ=+，又0ϕπ<<，∴2πϕ=．…………………………………2分综上，21=A ，6πω=，2πϕ=，21=B ． ………………………………………1分即2)26sin(21)(++=ππt t f ．（Ⅱ）令)()()(t g t f t h -=，设0)(0=t h ，则0t 为该企业的停产时间．由0)11()11()11(<-=g f h ，0)12()12()12(>-=g f h ，则)12,11(0∈t ．又0)5.11()5.11()5.11(<-=g f h ，则)12,5.11(0∈t ．又0)75.11()75.11()75.11(>-=g f h ，则)75.11,5.11(0∈t ．又0)625.11()625.11()625.11(<-=g f h ，则)75.11,625.11(0∈t ．又0)6875.11()6875.11()6875.11(>-=g f h ，则)6875.11,625.11(0∈t ．…4分∵1.00625.0625.116875.11<=-． ……………………………………………1分∴应当在11．625时停产．……………………………………………………………1分（也可直接由0)625.11()625.11()625.11(<-=g f h ，0)6875.11()6875.11()6875.11(>-=g f h ，得出)6875.11,625.11(0∈t ；答案在11．625—11．6875之间都是正确的；若换算成时间应为11点37分到11点41分停产）【思路点拨】（Ⅰ）由三角函数图像可直接求）1,22A B == ,12T =，6πω=，代点(0,2.5)可求2πϕ=；（Ⅱ）理解二分法定义即可求解本题.【题文】20．（本小题满分13分）已知椭圆Γ：12222=+b y a x （0>>b a ）的右焦点为)0,22(，且过点(23,0)．（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）设直线:()l y x m m =+∈R 与椭圆Γ交于不同两点A 、B ，且32AB =．若点0(,2)P x 满足=PA PB，求0x 的值．【学问点】直线与椭圆 H8【答案】【解析】（Ⅰ）141222=+y x （Ⅱ）0x 的值为3-或1-.（Ⅰ）由已知得23=a ，又22=c ． ∴2224=-=b a c ．∴椭圆Γ的方程为141222=+y x ．…………………………………………………4分（Ⅱ）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,1412,22y x m x y 得01236422=-++m mx x ① ………………………1分∵直线l 与椭圆Γ交于不同两点A 、B ，∴△0)123(163622>--=m m ，得216<m ．设),(11y x A ，),(22y x B ，则1x ，2x 是方程①的两根，则2321mx x -=+， 2123124-⋅=m x x ．∴2222129312(312)21244=+-=⨯--=⨯-+AB k x x m m m ．又由32AB =，得231294-+=m ，解之2m =±．……………………………3分据题意知，点P 为线段AB 的中垂线与直线2=y 的交点．设AB 的中点为),(00y x E ，则432210m x x x -=+=，400mm x y =+=，当2m =时，31(,)22E - ∴此时，线段AB 的中垂线方程为13()22y x -=-+，即1y x =--．令2=y ，得03x =-．…………………………………………………………………2分当2m =-时，31(,)22E - ∴此时，线段AB 的中垂线方程为13()22y x +=--，即1y x =-+．令2=y ，得01x =-．………………………………………………………………2分综上所述，0x 的值为3-或1-．【思路点拨】联立直线与椭圆，可得2m =±，由于=PA PB，所以点P 为线段AB 的中垂线与直线2=y 的交点，分状况争辩即可求0x .【题文】21．（本小题满分14分）已知函数()ln 2mf x x x =+，()2g x x m =-，其中m ∈R ，e 2.71828=为自然对数的底数．（Ⅰ）当1m =时，求函数()f x 的微小值；（Ⅱ）对1[,1]e x ∀∈，是否存在1(,1)2m ∈，使得()()1>+f xg x 成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设()()()F x f x g x =，当1(,1)2m ∈时，若函数()F x 存在,,a b c 三个零点，且a b c <<，求证： 101e a b c <<<<<．【学问点】函数综合 B14【答案】【解析】（Ⅰ）=极小值)(x f 1ln2-（Ⅱ）4(,1)5∈m （Ⅲ）略（Ⅰ）1m =时，1()ln ,02=+>f x x x x ．∴221121()22-'=-=x f x x x x ………………………………………………………………1分由()0'>f x ，解得12>x ；由()0'<f x ，解得102<<x ；∴()f x 在1(0,)2上单调递减，1(,)2+∞上单调递增．……………………………………2分∴=极小值)(x f 11()ln 11ln 222f =+=-．…………………………………………… 2分（II ）令1()()()1ln 21,,12⎡⎤=--=+-+-∈⎢⎥⎣⎦m h x f x g x x x m x x e ，其中1(,1)2m ∈由题意，()0h x >对1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， ∵2221221()1,,122-+-⎡⎤'=--=∈⎢⎥⎣⎦m x x m h x x x x x e ∵1(,1)2m ∈，∴在二次函数222=-+-y x x m 中，480∆=-<m ， ∴2220-+-<x x m 对∈x R 恒成立，∴()0'<h x 对1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， ∴()h x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单减． ∴min 5()(1)ln11212022==+-+-=->m h x h m m ，即45>m ．故存在4(,1)5∈m 使()()f x g x >对1,1⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦x e 恒成立．……………………4分（III ）()(ln )(2),(0,)2mF x x x m x x =+-∈+∞，易知2x m =为函数()F x 的一个零点，∵12>m ，∴21>m ，因此据题意知，函数()F x 的最大的零点1>c ，下面争辩()ln 2mf x x x =+的零点状况，∵2212()22m x mf x x x x -'=-=．易知函数()f x 在(0,)2m 上单调递减，在(,)2m+∞上单调递增．由题知()f x 必有两个零点，∴=极小值)(x f ()ln 1022=+<m mf ，解得20<<m e ， ∴122<<m e ，即(,2)2∈eme ．…………………………………………………………3分∴11(1)ln10,()ln 11102222=+=>=+=-<-=m m em emf f e e ．…………………1分又10101010101()ln 10100224---=+=->->m m f e e e e e ．101()0,()0,(1)0f e f f e -∴><>． 10101e a b c e -∴<<<<<<．101a b c e ∴<<<<<，得证．……………………………………………………………1分.【思路点拨】（Ⅰ）1m =时，221121()22-'=-=x f x x x x ，由导数推断函数的单调性，可求得=极小值)(x f 1ln2-；（Ⅱ）令1()()()1ln 21,,12⎡⎤=--=+-+-∈⎢⎥⎣⎦m h x f x g x x x m x x e ，2221221()1,,122-+-⎡⎤'=--=∈⎢⎥⎣⎦m x x m h x x x x x e ，得()0'<h x ，∴()h x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单减，∴min()(1)0h x h =>，所以4(,1)5∈m （Ⅲ）()(ln )(2),(0,)2mF x x x m x x =+-∈+∞，当1(,1)2m ∈时，若函数()F x 存在,,a b c 三个零点，易知2x m =为函数()F x 的一个零点，从而()f x 必有两个零点，则只需求解()0f x <极小值，1(1)0,()0f f e ><.。

2021年全国高考真题乙卷数学试卷真题(文科)(word版,含答案)

2021年普通高等学校招生全国统一考试试题数学(乙卷·文科)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合M ＝{1，2}，N ＝{3，4}，则 U (M ∪N)＝( ) A ．{5}B ．{1，2}C ．{3，4}D ．{1，2，3，4}2．设iz ＝4＋3i ，则z ＝( ) A ．−3−4iB ．−3＋4iC ．3−4iD ．3＋4i3．已知命题p ：∃x ∈R ，sinx <1；命题q ：∀x ∈R ，e |x|⩾1，则下列命题中为真命题的是( ) A ．p ∧qB ．¬p ∧qC ．p ∧¬qD ．¬(p ∨q)4．函数f(x)＝sin x 3＋cos x 3的最小正周期和最大值分别是( ) A ．3π和√2B ．3π和2C ．6π和√2D ．6π和25．若x ，y 满足约束条件{x ＋y ⩾4，x −y ⩽2，则z ＝3x ＋y 的最小值为y ⩽3，( )A ．18B ．10C ．6D ．46．cos 2π12−cos 25π12＝( )A ．12B ．√33C ．√22D ．√327．在区间(0，12)随机取1个数，则取到的数小于12的概率为( ) A ．34B ．23C ．13D ．168．下列函数中最小值为4的是( ) A ．y ＝x 2＋2x ＋4 B ．y ＝|sinx|＋4|sinx|C ．y ＝2x ＋22xD ．y ＝lnx ＋4lnx9．设函数f(x)＝1−x 1＋x，则下列函数中为奇函数的是( ) A ．f(x −1)−1B ．f(x −1)＋1C ．f(x ＋1)−1D ．f(x ＋1)＋110．在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为B 1D 1的中点，则直线PB 与AD 1所成的角为( ) A ．π2B ．π3C ．π4D ．π611．设B 是尼圆C ：x 25＋y 2＝1的上顶点，点P 在C 上，则|PB|的最大值为( ) A ．52B ．√6C ．√5D ．212．设a ≠0，若x ＝a 为函数f(x)＝a(x −a)2(x −b)的极大值点，则( )A．a<b B．a>b C．ab<a2D．ab>a2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

东北三省三校(哈师大附中)2021届高三第三次模拟考试 (三模)数学(理) 含答案

哈师大附中三模（理科）数学答案一、选择题：ＤＤＤＢＤ　ＤＡＡＢＡ　ＡＣ二、填空题：１３．－３；１４．２１６；１５．２０；１６．（－∞，－２），（－２，＋∞），［－１，２］１７．选择条件是：；△ＡＢＣ（１分）解：由已知：２ｓｉｎＡ＋π()６＝２　∴ｓｉｎＡ＋π()６＝１（４分）∵Ａ＋π６∈π６，７π()６　∴Ａ＋π６＝π２　∴Ａ＝π３（７分）选①：由Ｓ△ＡＢＣ＝１２ｂｃｓｉｎＡ＝槡３４ｂｃ槡＝３　∴ｂｃ＝４（８分）由余弦定理：４＝ｂ２＋ｃ２－ｂｃ（１０分）解得：ｂ＝２，ｃ＝２（１２分）选②：由已知：ｂ＋ｃ槡＝２３由余弦定理得：４＝ｂ２＋ｃ２－ｂｃ（１０分）解得：ａ＝槡４３３，ｂ＝槡２３３或ａ＝槡２３３，ｂ＝槡４３３（１２分）选③：由→ ＡＢ·→ ＡＣ＝３得：ｂｃ＝６（８分）由余弦定理：４＝ｂ２＋ｃ２－ｂｃ≥２ｂｃ－ｂｃ　∴ｂｃ≤４矛盾∴△ＡＢＣ不存在（１２分）１８．解：（１）由已知得：小明中奖概率为２３，小红中奖的概率为２５．且两人中奖与否互不影响．（１分）设“这两人的累计得分Ｘ≤３”为事件Ａ，则Ａ的对立事件为“Ｘ＝５”∵Ｐ（Ｘ＝５）＝２３×２５＝４１５（４分）∴Ｐ（Ａ）＝１－Ｐ（Ｘ＝５）＝１１１５（６分）（２）设小明、小红都选择方案甲，抽奖中奖次数为Ｘ１，都选择乙方案抽奖，中奖次数为Ｘ２，则这两人选择甲方案抽奖，累计得分的期望为Ｅ（２Ｘ１），选择乙方案抽奖累计得分期望为Ｅ（３Ｘ２）（８分）由已知：Ｘ１～Ｂ２，()２３；Ｘ２～Ｂ２，()２５（１０分）∴Ｅ（Ｘ１）＝２×２３＝４３，Ｅ（Ｘ２）＝２×２５＝４５∴Ｅ（２Ｘ１）＝２Ｅ（Ｘ１）＝８３，Ｅ（３Ｘ２）＝３×４５＝１２５∵Ｅ（２Ｘ１）＞Ｅ（３Ｘ２）∴他们选择甲方案抽奖时，累计得分的期望较大（１２分）—１—∴ＰＤ⊥ＡＤ，ＰＤ⊥ＣＤ　在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＤ⊥ＣＤ∴ＤＡ、ＤＣ、ＤＰ三条线两两垂直（１分）如图，分别以ＤＡ、ＤＣ、ＤＰ所在直线为ｘ轴、ｙ轴、ｚ轴建立空间直角坐标系则：Ａ（２，０，０），Ｂ（２，４，０），Ｃ（０，４，０），Ｐ（０，０，４）（２分）∵→ ＰＥ＝３→ ＥＣ　∴Ｅ（０，３，１）；∵→ ＰＦ＝２→ ＦＢ　∴→ ＰＦ＝２３→ ＰＢ＝４３，８３，()８３∴→ ＡＦ＝→ ＡＰ＋→ ＰＦ＝（－２，０，４）＋４３，８３，－()８３＝－２３，８３，()４３设→ ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ）为平面ＢＤＥ的一个法向量由→ ｎ·→ ＤＥ＝０→ ｎ·→ ＤＢ{＝０　得：２ｘ＋４ｙ＝０３ｙ＋ｚ{＝０　取→ ｎ＝（－２，１，－３）（４分）∵→ ＡＦ·→ ｎ＝４３＋８３－４＝０∴→ ＡＦ⊥→ ｎ又∵ＡＦ平面ＢＤＥ　∴ＡＦ∥平面ＢＤＥ（７分）（２）假设存在Ｍ满足→ ＡＭ＝λ→ ＡＰ（０≤λ≤１），使ＣＭ⊥平面ＢＤＥ→ ＣＭ＝→ ＣＡ＋→ ＡＭ＝（２，－４，０）＋λ（－２，０，４）＝（２－２λ，－４，４λ）（８分）若ＣＭ⊥平面ＢＤＥ，则→ ＣＭ∥→ ｎ∴２－２λ－２＝－４１＝４λ－３（１０分）即：２－２λ＝８１２＝４{λ　∴λ∈故不存在满足条件的点Ｍ（１２分）２０．解：（１）由已知：Ｃ２（４，０）；Ｃ１的准线为：ｘ＝－１４．（２分）∴圆心Ｃ２到Ｃ１准线距离为４－－()１４＝１７４（３分）（２）设Ｐ（ｙ２０，ｙ０），Ａ（ｙ２１，ｙ１）·Ｂ（ｙ２２，ｙ２）切线ＰＡ：ｘ－ｙ２０＝ｍ１（ｙ－ｙ０）由ｘ＝ｍ１ｙ＋ｙ２０－ｍ１ｙ０ｙ２＝{ｘ　得：ｙ２－ｍ１ｙ－ｙ２０＋ｍ１ｙ０＝０由ｙ０＋ｙ１＝ｍ１　得：ｙ１＝ｍ１－ｙ０切线ＰＢ：ｘ－ｙ２０＝ｍ２（ｙ－ｙ０）同理可得：ｙ２＝ｍ２－ｙ０依题意：Ｃ２（４，０）到ＰＡ：ｘ－ｍ１ｙ－ｙ２０＋ｍ１ｙ０＝０距离　｜４－ｙ２０＋ｍ１ｙ０｜ｍ２１槡＋１＝１—２—同理：　（ｙ２０－１）ｍ２２＋（８ｙ０－２ｙ３０）ｍ２＋ｙ４０－８ｙ２０＋１５＝０∴　ｍ１＋ｍ２＝２ｙ３０－８ｙ０ｙ２０－１　（ｙ２０≠１）（９分）∵　ｋ１＝ｙ０ｙ２０－４，ｋ２＝ｙ１－ｙ２ｙ２１－ｙ２２＝１ｙ１＋ｙ２＝１ｍ１＋ｍ２－２ｙ０＝ｙ２０－１－６ｙ０∴　ｋ１ｋ２＝ｙ０ｙ２０－４·ｙ２０－１－６ｙ０＝－５２４．解得：ｙ＝±４故所求Ｐ点坐标为（１６，４）或（１６，－４）（１２分）２１．解：（１）由已知：ｆ′（ｘ）＝ａ＋１＋ｌｎｘ（１分）依题意：ｆ（ｅ）＝３ｅ－３ｅ＝０＝ａｅ＋ｅｌｎｘ＋ｂｆ′（ｅ）＝ａ＋１＋ｌｎｅ＝ａ{＋２＝３解得：ａ＝１，ｂ＝－２ｅ（４分）（２）由（１）知：ｆ（ｘ）＝ｘ＋ｘｌｎｘ－２ｅｆ（ｘ）＋２ｅｘ－１＞ｎ　即：ｘ＋ｘｌｎｘｘ－１＞ｎ设：ｇ（ｘ）＝ｘ＋ｘｌｎｘｘ－１，（ｘ＞１）　原问题转化为ｇ（ｘ）ｍｉｎ＞ｎ（５分）ｇ′（ｘ）＝（１＋１＋ｌｎｘ）（ｘ－１）－（ｘ＋ｘｌｎｘ）（ｘ－１）２＝ｘ－ｌｎｘ－２（ｘ－１）２令ｈ（ｘ）＝ｘ－ｌｎｘ－２，（ｘ＞１）∵ｈ′（ｘ）＝１－１ｘ＝ｘ－１ｘ＞０∴ｈ（ｘ）在（１，＋∞）上递增．又∵ｈ（３）＝１ｌｎ３＜０　ｈ（４）＝２－２ｌｎ２＞０∴ｈ（ｘ）存在唯一零点，设为ｘ０，ｘ０∈（３，４）　ｈ（ｘ）＞０ｘ＞ｘ０，　ｈ（ｘ）＜０｜＜ｘ＜ｘ０∴ｇ′（ｘ）＞０ｘ＞ｘ０，　ｇ′（ｘ）＜０｜＜ｘ＜ｘ０∴ｇ（ｘ）在（１，ｘ０）递减，（ｘ０，＋∞）上递增∴ｇ（ｘ）ｍｉｎ＝ｇ（ｘ０）＝ｘ０＋ｘ０ｌｎｘ０ｘ０－１（９分）∵ｇ′（ｘ０）＝０　∴ｘ０－ｌｎｘ０－２＝０　∴ｌｎｘ０＝ｘ０－２∴ｇ（ｘ）ｍｉｎ＝ｘ０＋ｘ０（ｘ０－２）ｘ０－１＝ｘ０∈（３，４）　∴ｘ０＞ｎ（１１分）∴ｎ的最大值为３（１２分）—３—２２．解：（１）消参得ｌ的普通方程为：ｙ＝１－ｘ（２分）∵ρ２＝１２３ｃｏｓ２θ＋４ｓｉｎ２θ　∴３ρ２ｃｏｓ２θ＋４ρ２ｓｉｎ２θ＝１２∵ρｃｏｓθ＝ｘρｓｉｎθ＝{ｙ　∴３ｘ２＋４ｙ２＝１２　∴ｘ２４＋ｙ２３＝１∴Ｃ的直角坐标方程为：ｘ２４＋ｙ２３＝１．（５分）（２）设Ａ、Ｂ对应参数为ｔ１，ｔ２，则Ｍ对应参数为ｔ１＋ｔ２２由ｔ的几何意义知：｜ＰＭ｜＝｜ｔ１＋ｔ２｜２将ｘ＝－槡２２ｔｙ＝１＋槡２２ｔ　代入３ｘ２＋４ｙ２－１２＝０　得：３ｘ１２ｔ２＋４ｔ２２槡＋２ｔ()＋１－１２＝０　∴７ｔ２槡＋８２ｔ－１６＝０　Δ＞０∴ｔ１＋ｔ２＝－槡８２７　∴｜ＰＭ｜＝｜ｔ１＋ｔ２｜２＝槡４２７（１０分）２３．（１）解：当ｘ＜－１时，ｆ（ｘ）＝１－２ｘ－２ｘ－２＝－４ｘ－１≥４　∴ｘ≤－５４　∴ｘ≤－５４当－１≤ｘ≤１２时，ｆ（ｘ）＝１－２ｘ＋２ｘ＋２＝３≥４　∴ｘ∈当ｘ＞１２时，ｆ（ｘ）＝２ｘ－１＋２ｘ＋２＝４ｘ＋１≥４　∴ｘ≥３４　∴ｘ≥３４∴不等式解集为：－∞，－(]５４∪３４，＋[)∞（５分）（２）ｆ（ｘ）＝｜２ｘ－１｜＋｜２ｘ＋２｜＝｜１－２ｘ｜＋｜２ｘ＋２｜≥｜（１－２ｘ）＋（２ｘ＋２）｜＝３当且仅当（１－２ｘ）（２ｘ＋２）≥０，即：－１≤ｘ≤１２时，ｆ（ｘ）ｍｉｎ＝３　∴ｍ＝３（７分）∴ａ＋２ｂ＋３ｃ＝３由柯西不等式可得：（ａ２＋ｂ２＋ｃ２）（１２＋２２＋３２）≥（ａ＋２ｂ＋３ｃ）２∴ａ２＋ｂ２＋ｃ２≥３２１２＋２２＋３２＝９１４当且仅当ａ１＝ｂ２＝ｃ３即：ａ＝３１４，ｂ＝６１４，ｃ＝９１４时：ａ２＋ｂ２＋ｃ２最小值为９１４（１０分）—４—。

安徽省部分高中(皖南八校)2021届高三第三次联考数学(文)试题 Word版含答案

安徽省部分高中（皖南八校）2021届高三第三次联考数学（文）试题一、选择题：每小题5分，共50分．在四个选项中只有一项是正确的．1．若复数z满足z+2=（z﹣2）•i，则复数z 的共轭复数=（）A．﹣2i B．2i C．2+I D．2﹣i2．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|0＜x＜3}，则（）A．A∪B=B B．A∩∁U B=∅C．B⊆A D．A⊆B3．计算（log32﹣log318）÷81﹣=（）A．﹣B．﹣6 C．D．64．如图所示的程序框图的输出结果是（）A．2B．C．﹣D．﹣15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）A．B．C．D ．6．已知命题p：∀x∈R，2x＞x2；命题q：∃x（﹣2，+∞），使得（x+1）•e x≤1，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）7．在边长为1的正三角形ABC中任取一点M，则AM ＜的概率为（）A．B．C．D ．8．等比数列{a n}满足a3=16，a15=，则a6=（）A．±2 B．2C．4D．±49．已知函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0）与直线y=a（a＞0）相切，且y=a与x轴及函数的对称轴围成的图形面积为π，则ω的值不行能是（）A．1B．2C．4D．810．在平面直角坐标系中xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣4y+3=0，若直线x﹣ty+2=0上至多存在一点使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C相切，则t的范围为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0]C．（0，+∞）D．[0，+∞）二、填空题：每小题5分．11．已知平面对量，满足||=||=|﹣|=1，则|+|=．12．若x，y 满足约束条件，则z=8x﹣4y的最小值为．13．若函数f（x）=2x+在[1，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围是．14．已知F是抛物线x2=2py的焦点，A、B是该抛物线上的两点，且满足|AF|+|BF|=3p，则线段AB的中点到x轴的距离为．15．下列命题：①已知函数f（x）=，则f[f（﹣2）]=4；②已知O为平面内任意一点，A、B、C 是平面内互不相同的三点，且满足=x +y．x+y=1，则A、B、C三点共线；③已知平面α∩平面β=l，直线a⊂α且a⊥直线l，直线b⊂β，则a⊥b是α⊥β的充要条件；④若△ABC是锐角三角形，则cosA＜sinB；⑤若f（x）=sin（2x+φ）﹣cos（2x﹣φ）的最大值为1，且φ∈（0，），则f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）．其中真命题的序号为（填写全部真命题的序号）．三、解答题：共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．16．（12分）△ABC中，角A、B、C所对额定边分别为a，b，c，且b＜c；（Ⅰ）若a=c•cosB，求角C；（Ⅱ）若cosA=sin（B﹣C），求角C．17．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为平行四边形，且满足：BD=BA，BD⊥BA，AD=2，又PA=PD=，M、N分别为AD、PC的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面PAB．（Ⅱ）连接PM、BM，若∠PMB=45°，（i）证明：平面PBC⊥平面ABCD；（ii）求四周体N﹣ABD的体积．18．（12分）某校2021届高三班级有1200人，在期末统考中，某学科得分的频率分布直方图如图所示；已知频率分布直方图的前四个小长方形上端的中点都在曲线y=•2上，且题干频率分布直方图中各组中间值估量总体的平均分为72.5分．（Ⅰ）分别求分数在[80，90），[90，100]范围内的人数；（Ⅱ）从分数在[40，50）和[90，100]内的同学中，按分层抽样抽取6人，再从这6人中任取两人，求这两人平均分不超过60分的概率．19．（13分）已知函数f（x）=x3﹣2ax2+3a2x﹣2．（1）若的单调递减区间为（﹣3，﹣1），求a的值；（2）若f（x）在（0，2a）上有两个零点，求a3的取值范围．20．（13分）下列数表中各数均为正数，且各行依次成等差数列，各列依次成等比数列，公比均相等，已知a11=1，a23=14，a32=16；a11a12a13 (1)a21a22a23 (2)…a n1 a n2 a n3…a nm（1）求数列{a n1}的通项公式；（2）设b n =，T n为数列{b n}的前n项和，若T n＜m2﹣7m对一切nN*都成立，求最小的正整数m的值．21．（13分）已知椭圆C ：+=1（a＞b＞0）的焦距为2c，离心率为e，左焦点为F，点M （c ，ce）在椭圆C上，O是坐标原点．（Ⅰ）求e的大小；（Ⅱ）若C上存在点N满足|FN|等于C 的长轴长的，求直线ON的方程．安徽省皖南八校联考2021届高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，共50分．在四个选项中只有一项是正确的．1．若复数z满足z+2=（z﹣2）•i，则复数z 的共轭复数=（）A．﹣2i B．2i C．2+I D．2﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．解答：解：∵z+2=（z﹣2）•i，∴z+2=zi﹣2i，化为z（1﹣i）=﹣2（1+i），∴z（1﹣i）（1+i）=﹣2（1+i）2，化为2z=﹣2（2i），∴z=﹣2i．则复数z 的共轭复数=2i．故选：B．点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．2．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|0＜x＜3}，则（）A．A∪B=B B．A∩∁U B=∅C．B⊆A D．A⊆B考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出集合A，B的等价条件，依据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，B={x|0＜x＜3}，则B⊆A，故选：C点评：本题主要考查集合的基本运算和集合关系的推断，比较基础．3．计算（log32﹣log318）÷81﹣=（）A．﹣B．﹣6 C．D．6考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：依据对数的运算性质和幂的运算性质化简计算即可．解答：解：（log32﹣log318）÷81﹣=log 3÷=﹣2÷=﹣6，故选：B．点评：本题考查了对数的运算性质和幂的运算性质，属于基础题．4．如图所示的程序框图的输出结果是（）A．2B．C．﹣D．﹣1考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，i的值，当i=6时，不满足条件i＜6，退出循环，输出s的值为﹣1．解答：解：模拟执行程序框图，可得i=1，s=2满足条件i＜6，s=，i=2满足条件i＜6，s=﹣1，i=3满足条件i＜6，s=2，i=4满足条件i＜6，s=，i=5满足条件i＜6，s=﹣1，i=6不满足条件i＜6，退出循环，输出s的值为﹣1．故选：D．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的s，i的值是解题的关键，属于基础题．5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）A．B．C．D ．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：首先依据三视图把平面图复原成立体图形，进一步利用几何体的体积公式求出结果．解答：解：依据三视图得知：该几何体是有一个棱长为2的正方体，在每个角上的三条棱的中点处截去一个三棱锥体，共截去8个小三棱锥．则：该几何体的体积为：V==故选：A点评：本题考查的学问要点：三视图与立体图之间的转换，几何体的体积公式的应用．主要考查同学的空间想象力量和应用力量．6．已知命题p：∀x∈R，2x＞x2；命题q：∃x（﹣2，+∞），使得（x+1）•e x≤1，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）考点：复合命题的真假．专题：简易规律．分析：先推断命题p，q的真假，再依据真值表进行推断即可．解答：解：命题p：∀x∈R，2x＞x2；当x=﹣1时，2﹣1＜（﹣1）2，故命题p为假命题，则￢p为真命题，命题q：∃x（﹣2，+∞），使得（x+1）•e x≤1，当x=﹣1时，0＜1，故命题q为真命题，则￢q为假命题，故p∧q为假命题，p∨￢q为假命题，￢p∧q为真命题，￢p∧￢q为假命题，故选：C．点评：本题借助考查复合命题的真假推断，解题的关键是娴熟把握复合命题的真假规律．7．在边长为1的正三角形ABC中任取一点M，则AM ＜的概率为（）A．B．C．D ．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：由题意可得三角形的面积和扇形的面积，由几何概型的概率公式可儿的．解答：解：由题意该几何概型的总的基本大事的区域为边长为1的正三角形的面积S==，而满足AM ＜的区域为扇形的面积S′==，∴所求概率P==故选：D点评：本题考查几何概型，涉及正三角形的面积和扇形的面积，属中档题．8．等比数列{a n}满足a3=16，a15=，则a6=（）A．±2 B．2C．4D．±4考点：等比数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：依据等比数列的通项公式，求出q的值，再求a6的值．解答：解：等比数列{a n}中，a3=16，a15=，∴=q12==，∴q3=±；∴a6=a3•q3=16×（±）=±4．故答案为：D．点评：本题考查了等比数列的通项公式的应用问题，也考查了同学机敏的计算力量，是基础题目．9．已知函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0）与直线y=a（a＞0）相切，且y=a与x轴及函数的对称轴围成的图形面积为π，则ω的值不行能是（）A．1B．2C．4D．8考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题可得a=2，且a•k ==π，k∈N*，求得ω=2k，从而得出结论．解答：解：依据函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0）与直线y=a（a＞0）相切，可得a=2，而函数的相邻的2条对称轴之间的距离为=，故由y=a与x轴及函数的对称轴围成的图形面积为π，可得a•k ==π，k∈N*，求得ω=2k，是偶数，故选：A．点评：本题主要考查正弦函数的图象的对称性、正弦函数的最值，属于中档题．10．在平面直角坐标系中xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣4y+3=0，若直线x﹣ty+2=0上至多存在一点使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C相切，则t的范围为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0]C．（0，+∞）D．[0，+∞）考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：圆C化成标准方程，得圆心为C（0，2），半径r=1，依据题意可得点C到直线x﹣ty+2=0的距离大于或等于2，利用点到直线的距离公式建立关于t的不等式，解之得t的范围．解答：解：∵圆C的方程为x2+y2﹣4y+3=0，∴整理得：x2+（y﹣2）2=1，可得圆心为C（0，2），半径r=1．又∵直线x﹣ty+2=0上至多存在一点使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C相切，∴点C到直线x﹣ty+2=0的距离大于或等于2，可得≥2，解之得t≤0．故选：B．点评：本题给出定圆与经过定点的直线，当直线与圆有公共点时求参数k的取值范围，着重考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等学问，属于中档题．二、填空题：每小题5分．11．已知平面对量，满足||=||=|﹣|=1，则|+|=．考点：平面对量数量积的运算．专题：平面对量及应用．分析：依据已知条件简洁求出2，从而可以求出，从而求得||．解答：解：=；∴；∴；∴．故答案为：．点评：考查向量数量积的运算，把握这种要求先求的方法，也可写成．12．若x，y 满足约束条件，则z=8x﹣4y 的最小值为3．考点：简洁线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．解答：解：作作出不等式组对应的平面区域如图：由z=8x﹣4y ，得y=2x﹣表示，平移直线y=2x﹣，当直线y=2x﹣经过点A时，此时直线y=x﹣z截距最大，z最小．由，解得，即A（，），此时z min=8×﹣4×=3．故答案为：3．点评：本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，留意利用数形结合来解决．13．若函数f（x）=2x+在[1，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围是（﹣∞，2]．考点：利用导数争辩函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：先求出函数的导数，问题转化为∴a≤（2x2）min，求出函数y=2x2的最小值即可．解答：解：若函数f（x）=2x+在[1，+∞）上为增函数，则f′（x）=2﹣≥0在[1，+∞）恒成立，∴a≤（2x2）min=2，故答案为：（﹣∞，2]．点评：本题考查了导数的应用，考查了转化思想，考查函数的最值问题，是一道基础题．14．已知F是抛物线x2=2py的焦点，A、B是该抛物线上的两点，且满足|AF|+|BF|=3p，则线段AB的中点到x轴的距离为p．考点：抛物线的简洁性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：依据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点纵坐标，求出线段AB的中点到x轴的距离．解答：解：抛物线x2=2py的焦点F（0，）准线方程y=﹣，设A（x1，y1），B（x2，y2）∴|AF|+|BF|=y1++y2+=3p解得y1+y2=2p，∴线段AB的中点纵坐标为p∴线段AB的中点到x轴的距离为p．故答案为：p．点评：本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离．15．下列命题：①已知函数f（x）=，则f[f（﹣2）]=4；②已知O为平面内任意一点，A、B、C是平面内互不相同的三点，且满足=x+y．x+y=1，则A、B、C三点共线；③已知平面α∩平面β=l，直线a⊂α且a⊥直线l，直线b⊂β，则a⊥b是α⊥β的充要条件；④若△ABC是锐角三角形，则cosA＜sinB；⑤若f（x）=sin（2x+φ）﹣cos（2x﹣φ）的最大值为1，且φ∈（0，），则f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）．其中真命题的序号为①②④（填写全部真命题的序号）．考点：命题的真假推断与应用．专题：函数的性质及应用；简易规律．分析：①利用已知可得f（﹣2）=22=4，f（4）=22=4，即可推断出正误；②利用向量共线定理即可推断出正误；③由面面垂直的判定与性质定理即可推断出正误；④若△ABC 是锐角三角形，则，可得，即可推断出正误；⑤f（x）=（cosφ﹣sinφ）的最大值为1，可得cosφ﹣sinφ=，cos（φ+）=，且φ∈（0，），解得φ=或．可得f（x）=±，分类争辩利用正弦函数的单调性即可推断出正误．解答：解：①已知函数f（x）=，则f[f（﹣2）]=f（4）=22=4，因此正确；②由O为平面内任意一点，A、B、C 是平面内互不相同的三点，且满足=x +y．x+y=1，由共线定理可知：A、B、C三点共线，正确；③由平面α∩平面β=l，直线a⊂α且a⊥直线l，直线b⊂β，则a⊥b是α⊥β的必要不充分条件，因此不正确；④若△ABC 是锐角三角形，则，∴，∴cosA＜sinB，因此正确；⑤f（x）=sin（2x+φ）﹣cos（2x﹣φ）=（cosφ﹣sinφ）（sin2x﹣cos2x）=（cosφ﹣sinφ）的最大值为1，∴cosφ﹣sinφ=，∴cos（φ+）=，且φ∈（0，），∴φ=或．∴f（x）=±，由或≤，解得kπ﹣≤x≤kπ+，或≤x≤kπ+（k∈Z），则f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z ）或（k∈Z），因此不正确．综上可得：真命题为①②④．故答案为：①②④．点评：本题考查了简易规律的判定方法、分段函数的性质、向量共线定理、面面垂直的判定与性质定理、三角函数的单调性、两角和差的正弦公式等基础学问，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．三、解答题：共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．16．（12分）△ABC中，角A、B、C所对额定边分别为a，b，c，且b＜c；（Ⅰ）若a=c•cosB，求角C；（Ⅱ）若cosA=sin（B﹣C），求角C．考点：正弦定理；余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：（Ⅰ）由正弦定理化简已知等式得sinA=sinCcosB，整理可得sinBcosC=0，结合B为内角，可求cosC=0，即可求得C的值．（Ⅱ）由cosA=sin（B﹣C）利用三角形内角和定理和两角和的余弦函数公式化简可得（sinB+cosB）（sinC﹣cosC）=0，结合b＜c，由（sinB+cosB）≠0，可解得sinC﹣cosC=0，即可求得C的值．解答：解：（Ⅰ）由a=c•cosB及正弦定理，可得sinA=sinCcosB，既有：sinBcosC+cosBsinC=sinCcosB，故：sinBcosC=0，而在△ABC中，sinB≠0，所以cosC=0，既得C=90°．…6分（Ⅱ）由cosA=sin（B﹣C）得﹣cos（B+C）=sinBcosC﹣cosBsinC，即有：sinBsinC﹣cosBcosC=sinBcosC﹣cosBsinC，从而：（sinB+cosB）（sinC﹣cosC）=0，又由于b＜c，所以B＜C，所以（sinB+cosB）≠0，既有sinC﹣cosC=0，故解得：C=45°．…12分点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形内角和定理和两角和的余弦函数公式的应用，属于基本学问的考查．17．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为平行四边形，且满足：BD=BA，BD⊥BA，AD=2，又PA=PD=，M、N分别为AD、PC的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面PAB．（Ⅱ）连接PM、BM，若∠PMB=45°，（i）证明：平面PBC⊥平面ABCD；（ii）求四周体N﹣ABD的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）取PB的中点E，连接AE，NE．又M、N分别为AD、PC的中点．利用三角形中位线定理、平行四边形的性质可得：NE AM，可得四边形AMNE是平行四边形，MN∥AE，即可证明MN∥平面PAB．（II）（i）由PA=PD，AM=MD，可得PM⊥AD，PM=．在△PMB中，由余弦定理可得：PB2，利用PB2+BM2=PM2，可得PB⊥AB．同理可得PB⊥DB，即可证明PB⊥平面ABCD，得到平面PBC⊥平面ABCD；（ii）利用V N﹣ABD =••S△ABD即可得出．解答：（I）证明：取PB的中点E，连接AE，NE．又M、N分别为AD、PC的中点．∴AM，∴四边形AMNE是平行四边形，∴MN∥AE，又MN⊄平面PAB，∴AE⊂平面PAB．∴MN∥平面PAB．（II）（i）证明：∵PA=PD，AM=MD，∴PM⊥AD，∴PM==2．在△PMB中，由余弦定理可得：PB2=PM2+BM2﹣2PM•BMcos45°=2，∴PB2+BM2=PM2，∴PB⊥AB．同理可得PB⊥DB，BD∩BM=B，∴PB⊥平面ABCD，∴平面PBC⊥平面ABCD；（ii）解：∵N是PC的中点，PB⊥平面ABCD，∴点N到平面ABCD的距离h=PB．∴V N﹣ABD =••S△ABD =×=．点评：本题考查了线面面面平行与垂直的判定定理与性质定理、三棱锥的体积计算公式、三角形中位线定理、余弦定理、勾股定理的逆定理、平行四边形的判定与性质定理，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．18．（12分）某校2021届高三班级有1200人，在期末统考中，某学科得分的频率分布直方图如图所示；已知频率分布直方图的前四个小长方形上端的中点都在曲线y=•2上，且题干频率分布直方图中各组中间值估量总体的平均分为72.5分．（Ⅰ）分别求分数在[80，90），[90，100]范围内的人数；（Ⅱ）从分数在[40，50）和[90，100]内的同学中，按分层抽样抽取6人，再从这6人中任取两人，求这两人平均分不超过60分的概率．考点：列举法计算基本大事数及大事发生的概率；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由题意可得各组的频率，可得要求的人数；（Ⅱ）由（Ⅰ）知抽出的分数在[40，50）和[90，100]内的同学人数均为3人，分别记为a、b、c和1、2、3，列举由概率公式可得．解答：解：（Ⅰ）由题意可知前四组的频率分别为，，，，∴分数在[80，90），[90，100]两组的频率是和，∴分数在[80，90）内的人数是×1200=240，分数在[90，100）内的人数是×1200=60；（Ⅱ）由（Ⅰ）知抽出的分数在[40，50）和[90，100]内的同学人数均为3人，分别记为a、b、c和1、2、3，从中抽取2人的情形为（a，b），（a，c），（a，1），（a，2），（a，3），（b，c），（b，1），（b，2），（b，3），（c，1），（c，2），（c，3），（1，2），（1，3），（2，3）共15种，其中两人平均分不超过60分的有（a，b），（a，c），（b，c）共3种，∴所求概率为P==．点评：本题考查列举法计算基本大事数及大事发生的概率，涉及频率分布直方图，属基础题．19．（13分）已知函数f（x）=x3﹣2ax2+3a2x﹣2．（1）若的单调递减区间为（﹣3，﹣1），求a的值；（2）若f（x）在（0，2a）上有两个零点，求a3的取值范围．考点：利用导数争辩函数的单调性；函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：（1）先求导，再依据函数的单调区间，即可求出a的值；（2）依据函数的零点判定定理，即可求出a的值范围．解答：解：（1）∵f（x）=x3﹣2ax2+3a2x﹣2，∴f′（x）=x2﹣4ax+3a2=（x﹣3a）（x﹣a），∵函数f（x）的单调递减区间为（﹣3，﹣1），∴，即a=﹣1；（2）∵f（x）在（0，2a）上有两个零点，∴a＞0，且，解得故a3的取值范围为（，3）点评：本题考查了应用导数争辩函数的单调性、零点以及函数在闭区间上的最值问题，同时考查分析问题、解决问题的力量以及分类争辩的数学思想．20．（13分）下列数表中各数均为正数，且各行依次成等差数列，各列依次成等比数列，公比均相等，已知a11=1，a23=14，a32=16；a11a12a13 (1)a21a22a23 (2)…a n1 a n2 a n3…a nm（1）求数列{a n1}的通项公式；（2）设b n =，T n为数列{b n}的前n项和，若T n＜m2﹣7m对一切nN*都成立，求最小的正整数m的值．考点：数列的求和；归纳推理．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由题意可设第一行的等差数列的公差为d，各列依次成等比数列，公比相等设为q＞0．由a11=1，a23=14，a32=16，可得，解得d，q．即可得出a n1．（2）由（1）可得a1n=a11+3（n ﹣1）=3n﹣2．可得b n ==，利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式可得T n．由T n＜m2﹣7m对一切n∈N*都成立，可得m2﹣7m＞（T n）max，解出即可．解答：解：（1）由题意可设第一行的等差数列的公差为d，各列依次成等比数列，公比相等设为q＞0．∵a11=1，a23=14，a32=16，∴，解得d=3，q=2．∴a n1=2n﹣1．（2）由（1）可得a1n=a11+3（n﹣1）=3n﹣2．∴b n ==，∴T n =1++…+，=…+，∴=1+﹣=﹣﹣2=，∴T n=8﹣．∵T n＜m2﹣7m对一切n∈N*都成立，∴m2﹣7m＞（T n）max，∴m2﹣7m≥8，m＞0，解得m≥8，∴最小的正整数m的值是8．点评：本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”、不等式的性质、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理力量与计算力量，属于中档题21．（13分）已知椭圆C ：+=1（a＞b＞0）的焦距为2c，离心率为e，左焦点为F，点M （c ，ce）在椭圆C上，O是坐标原点．（Ⅰ）求e的大小；（Ⅱ）若C上存在点N满足|FN|等于C 的长轴长的，求直线ON的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）利用点M （c ，ce）在椭圆C上，建立方程，即可求e的大小；（Ⅱ）利用|FN|等于C 的长轴长的，求出N的坐标，即可求直线ON的方程．解答：解：（Ⅰ）∵点M （c ，ce）在椭圆C上，∴，∴b2=2c2，∴a2=3c2，∴e==；（Ⅱ）由（Ⅰ）C 的方程可化为，设N（x1，y1），则∵|FN|等于C 的长轴长的，∴|FN|2=（x1+c）2+y12=，∴4x12+24cx1﹣45c2=0，∴x1=c，∴y1=±c，∴直线ON的方程为．点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查直线方程，考查同学的计算力量，属于中档题．。

2025届福建省福州市三校联考高三第三次模拟考试数学试卷含解析

2025届福建省福州市三校联考高三第三次模拟考试数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{|A x y ==，2{|}10B x x x =-+≤，则A B =( ) A ．[12]-， B．[-C．(-D．⎡⎣2．若关于x 的不等式1127kxx ⎛⎫≤⎪⎝⎭有正整数解，则实数k 的最小值为（） A ．9B ．8C ．7D ．63．将函数()2sin(3)(0)f x x ϕϕπ=+<<图象向右平移8π个单位长度后，得到函数的图象关于直线3x π=对称，则函数()f x 在,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是（） A ．[1,2]-B．[C．⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．[4．已知点()11,A x y ，()22,B x y 是函数()2f x bx =的函数图像上的任意两点，且()y f x =在点1212,22x x x x f ⎛++⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线与直线AB 平行，则( ) A ．0a =，b 为任意非零实数 B ．0b =，a 为任意非零实数 C ．a 、b 均为任意实数D ．不存在满足条件的实数a ，b5．已知集合{2,3,4}A =，集合{},2B m m =+，若{2}A B =，则m =（）A ．0B ．1C ．2D ．46．已知1F 、2F 分别是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于点A 、B ，过点B 作x 轴的垂线，垂足恰为1F ，则双曲线C 的离心率为（） A ．2BC．D7．已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为9，若点，则的最大值为（）A ．3B ．6C ．9D ．128．已知命题p ：,x R ∃∈使1sin 2x x <成立．则p ⌝为（） A ．,x R ∀∈1sin 2x x ≥均成立 B ．,x R ∀∈1sin 2x x <均成立 C ．,x R ∃∈使1sin 2x x ≥成立D ．,x R ∃∈使1sin 2x x 成立 9．已知直线2:0l x m y +=与直线:0n x y m ++=则“//l n ”是“1m =”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（）A ．10112020B ．20192020C ．20202021D ．1010202111．已知向量(,1),(3,2)a m b m ==-，则3m =是//a b 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件12．如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 ( )A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021届山西省太原市高三第二学期模拟考试(一)(一模)数学(文科)试卷【含答案】

2021届山西省太原市高三第二学期模拟考试(一)（一模）数学(文科)试卷(考试时间：下午3：00－5：00)注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，第I卷1至4页，第II卷5至8页。

2.回答第I卷前，考生务必将自己的姓名考试编号填写在答题卡上。

3.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。

4.回答第II卷时，将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效。

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，3}，B＝{1，3，5}，则A∪(∁U B)＝A.{2，3，4}B.{2}C.{1，5}D.{1，3，4，5}2.已知复数z满足z(1－i)＝2i，则复数z＝A.1－iB.1＋iC.－1－iD.－1＋i3.公元前6世纪，古希腊毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割数512，其近似值为0.618，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为a＝2sin18°，若a2＋b＝4，则2a b1cos72-︒＝A.12B.251+D.44.函数f(x)＝cos(sinx)的部分图象大致是5.在区间[－1，1]上任取一个实数k ，则使得直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1有公共点的概率是 A.32 B.22 C.33 D.126.已知a ，b 为单位向量，且满足|a －b|2，则|2a ＋b|＝ 3 7 5 27.已知{a n }是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为S n ，且{S n }是等差数列，给出以下结论错误的是A.{a n ＋S n }是等差数列B.{a n ·S n }是等比数列C.{a n 2}是等差数列D.n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列 8.已知实数x ，y 满足3x y 302x 3y 90x 2y 10+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，则z ＝2x y 3x 2+--的取值范围是A.(－∞，1]∪(2，4]B.[1，2)∪(2，4]C.[1，2)∪[4，＋∞)D.(－∞，1]∪[4，＋∞) 9.已知a ＝2ln3π，b ＝3ln2π，c ＝2ln π3，则下列结论正确的是 A.b<c<a B.c<b<a C.b<a<c D.a<b<c10.已知正四面体ABCD 的棱长为4，点E 在棱AB 上，且BE ＝3AE ，过E 作四面体ABCD 外接球的截面，则所作截面面积的最小值为 A.103π B.3π C.3π311.已知过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F(12，0)的直线与该抛物线相交于A ，B 两点，若△AOF 的面积与△BOF(O 为坐标原点)的面积之比是2，则|AB|＝ A.94 B.134 C.54 D.7412.已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<2π)的图象关于x ＝－3π对称，且f(6π)＝0，将f(x)的图象向右平移3π个单位长度得到函数g(x)的图象，则下列结论正确的是 A.φ＝3π B.若g(x)是奇函数，则ω的最小值为1C.若f(x)在[3π，2π]上单调递增，则ω∈(0，23]D.若g(x)是周期最大的偶函数，则f(x)在[0，16π]上单调递增太原市2021年高三年级模拟考试(－～)数学试卷(理科) 第II 卷(非选择题共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

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2021届东北三省三校高三第一次模拟考试数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}*2,A x x x N =≤∈，{}2,B y y x x R ==∈，则A B =( ) A.{}0x x ≥B.{}1x x ≥C.{}1,2D.{}0,1,22.已知复数z 满足()12i z i +=，i 为虚数单位，则z 等于( ) A.1i -B.1i +C.1122i - D.1122i + 3.在下列向量中，可以把向量()3,1a =-表示出来的是( ) A.()10,0e =，()23,2e =B.()11,2e =-，()23,2e =C.()13,5e =，()26,10e =D.()13,5e =-，()23,5e =-4.在区间()0,3上任取一个实数x ，则22x <的概率是( ) A.23B.12C.13D.145.抛物线24y x =的焦点到准线的距离为( ) A.2B.1C.14D.186.已知,a b 都是实数，p ：直线0x y +=与圆()()222x a y b -+-=相切；q ：2a b +=，则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》，执行该程序框图若输出的4a =，则输入的,a b 不可能为( )A.4，8B.4，4C.12，16D.15，188.已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列说法不正确的是( )A.()f x 的一个周期为2πB.()f x 向左平移3π个单位长度后图象关于原点对称 C.()f x 在7,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D.()f x 的图象关于56x π=-对称9.函数()af x x x=+(其中a R ∈)的图象不可能是( )ABCD10.如图所示是一个三棱锥的三视图，则此三棱锥的外接球的体积为( )A.43π3556π11.设双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的两条渐近线与直线2a x c =分别交于,A B 两点，F 为该双曲线的右焦点，若6090AFB <<∠°°，则该双曲线离心率e 的取值范围是( ) A.(2B.23⎫+∞⎪⎪⎝⎭C.)2,2D.232⎝12.已知函数()()()21221221x x x x f x x --⎧-+-≤⎪=⎨->⎪⎩，()()1cos g x a x x R =-∈，若对任意的12,x x R ∈，都有()()12f x g x ≤，则实数a 的取值范围为( )A.[]0,2B.RC.[]2,0-D.(][),20,-∞-+∞二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若直线l ⊥平面β，平面α⊥平面β，则直线l 与平面α的位置关系为_____________. 14.若实数,x y 满足不等式组01030x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，则32y x +-的取值范围是_____________.15.甲、乙、丙三人中只有一人做了好事，他们各自都说了一句话，而且其中只有一句真话。

甲说：是乙做的。

乙说：不是我做的。

丙说：不是我做的。

则做好事的是_____________.(填甲、乙、丙中的一个)16.ABC △中，2BC =，AB =，则ABC △面积的最大值为_____________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列{}n a 的前n 项和为()()31*1227n n S n N +=-∈. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设2log n n b a =，求12231111n n b b b b b b ++++…. 18.中国政府实施“互联网+”战略以来，手机作为客户端越来越为人们所青睐，通过手机实现衣食住行消费已经成为一种主要的消费方式，“一机在手，走遍天下”的时代已经到来。

在某著名的夜市，随机调查了100名顾客购物时使用手机支付的情况，得到如下的22⨯列联表，已知其中从使用手机支付的人群中随机抽取1人，抽到青年的概率为710. (1)根据已知条件完成22⨯列联表，并根据此资料判断是否有99.5%的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关”？(2)现采用分层抽样从这100名顾客中按照“使用手机支付”和“不使用手机支付”中抽取得到一个容量为5的样本，设事件A 为“从这个样本中任选2人，这2人中至少有1人是不使用手机支付的”，求事件A 发生的概率？0k3.841 5.024 6.635 7.87922⨯列联表青年中老年合计使用手机支付 60 不使用手机支付 24 合计100附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++19.已知圆锥SO ，2SO =，AB 为底面圆的直径，2AB =，点C 在底面圆周上，且OC AB ⊥，E 在母线SC 上，且4SE CE =，F 为SB 中点，M 为弦AC 中点.(1)求证：AC ⊥平面SOM ； (2)求四棱锥O EFBC -的体积.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为22，()1,0F c -，()2,0F c 为椭圆C 的左、右焦点，M 为椭圆C 上的任意一点，12MF F △的面积的最大值为1，A 、B 为椭圆C 上任意两个关于x 轴对称的点，直线2a x c =与x 轴的交点为P ，直线PB 交椭圆C 于另一点E . (1)求椭圆C 的标准方程； (2)求证：直线AE 过定点.21.已知函数()34f x x ax =-+，x R ∈.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x 在[]1,1-上的最大值为1，求实数a 的取值集合.22.已知在极坐标系中曲线1C 的极坐标方程为：4cos ρθ=，以极点为坐标原点，以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，曲线2C的参数方程为：132x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，点()3,0A .(1)求出曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的普通方程； (2)设曲线1C 与曲线2C 相交于,P Q 两点，求AP AQ ⋅的值. 23.已知函数()2521f x x x =-++. (1)求不等式()1f x x >-的解集；(2)若()1f x a >-对于x R ∈恒成立，求实数a 的范围.2021届东北三省三校高三第一次模拟考试数学（文）试题参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.C2.A3.B4.C5.D6.B7.D8.B9.C 10.C 11.C 12.A 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13． //l α或l α⊂ 14． []5,2-- 15．丙 16．三、解答题（本大题共70分） 17.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）当2≥n 时，3+13232111(22)(22)277n n n n n n a S S ---=-=---= 当1=n 时，112a S ==312=2⨯-，符合上式所以32*2()n n a n -=∈N . （Ⅱ）由（Ⅰ）得322log 2=32n n b n -=-, 所以=+-++⨯+⨯=++++)13)(23(174141111113221n n b b b b b b n n 13)1311(31)]131231()7141()411[(31+=+-=+--++-+-n n n n n ． 18.（本小题满分12分）解：(Ⅰ)从使用手机支付的人群中随机抽取1人，抽到青年的概率为710∴使用手机支付的人群中的青年的人数为7604210⨯=人，则使用手机支付的人群中的中老年的人数为604218-=人，所以22⨯列联表为:2K 的观测值2100(42241816)1800=8.86758426040203k ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 28.8677.879(7.879)0.005P K >≥=，，故有99.5%的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关”.(Ⅱ) 这100名顾客中采用分层抽样从“使用手机支付”和“不使用手机支付”中抽取得到一个容量为5的样本中：使用手机支付的人有6053100⨯=人，记编号为1,2,3 不使用手机支付的人有2人，记编号为a,b ，则从这个样本中任选2人有(1,2)(1,3)(1,a)(1,b)(2,3)(2,a)(2,b)(3,a)(3,b)(a,b)共10种其中至少有1人是不使用手机支付的(1,a)(1,b) (2,a)(2,b)(3,a)(3,b)(a,b)共7种，故7()10P A =. 19.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：∵SO ⊥平面ABC ，∴SO AC ⊥，又∵点M 是圆O 内弦AC 的中点，AC MO ∴⊥，又SO MO O =AC ∴⊥平面SOM（Ⅱ）∵SO ⊥平面ABC ，SO 为三棱锥S OCB -的高，111112323S OCB O SCB V V --∴==⨯⨯⨯⨯=而O EFBC V -与O SCB V -等高，1sin 2215sin 2ESF SCBSE SF ESF S S SC SB CSB ∆∆⨯⨯∠==⨯⨯∠， ∴35SCB EFBC S S ∆=四边形因此，33115535O EFBC O SCB V V --==⨯=20.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）2c e a ==，当M 为椭圆C 的短轴端点时，12MF F ∆的面积的最大值为112112c b bc ∴⨯⨯=∴=，而222a b c =+1a b ∴==故椭圆C 标准方程为：2212x y += （Ⅱ）设112211(,),,),(,)B x y Ex y A x y -（，且12x x ≠， 2=2a x c=，(2,0)P ∴由题意知BP 的斜率必存在，设BP ：(2)y k x =-，代入2212x y +=得 2222(21)8820k x k x k +-+-=0∆>得212k <22121222882,2121k k x x x x k k -+=⋅=++12x x ≠∴AE 斜率必存在，AE ：121121()y y y y x x x x ++=--由对称性易知直线AE 过的定点必在x 轴上，则当0y =时，得121122112211121212()(2)(2)()4y x x y x y x k x x k x x x x y y y y k x x k-+-+-=+==+++-2222121221228282222()2121=184421k k x x x x k k k x x k -⋅-⋅-+++==+--+ 即在212k <的条件下，直线AE 过定点（1，0）.21. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）2()12f x x a '=-+.当0a =时，3()4f x x =-在R 上单调递减；当0a <时，2()120f x x a '=-+<，即3()4f x x ax =-+在R 上单调递减；当0a >时，2()12f x x a '=-+.(,x ∈-∞时，()0f x '<，()f x在(,-∞上递减；(66x ∈-时，()0f x '>，()f x在(,66-上递增；)6x ∈+∞时，()0f x '<，()f x在)6+∞上递减；综上，当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减；当0a >时，()f x 在(,)6-∞-上递减；在(上递增；)+∞上递减. （Ⅱ）∵函数()f x 在[1,1]-上的最大值为1. 即对任意[1,1]x ∈-，()1f x ≤恒成立。