印度的数学

由于希腊数学的巨大影响力， 由于希腊数学的巨大影响力，这种情形一直持 续了几百年。 续了几百年。 然而就在古希腊数学文明衰微， 然而就在古希腊数学文明衰微，欧洲处于长达 1000年的中世纪黑暗时期，“西方不亮东方亮”， 年的中世纪黑暗时期， 西方不亮东方亮” 年的中世纪黑暗时期 在世界的东方，希腊残留的火花得到了保存与传播， 在世界的东方，希腊残留的火花得到了保存与传播， 这就是印度 阿拉伯的数学 印度与 的数学。 这就是印度与阿拉伯的数学。
巴克沙利手稿中的数码
瓜廖尔石碑中的数码
印度数学也很早就引进了负数。 印度数学也很早就引进了负数。 负数 婆罗门笈多在628年左右系统地给出了负数四则运算的正确法则。 年左右系统地给出了负数四则运算的正确法则。 婆罗门笈多在 年左右系统地给出了负数四则运算的正确法则 婆什迦罗在《根的计算》中又进一步讨论了负数， 婆什迦罗在《根的计算》中又进一步讨论了负数，他把负数 叫做“负债” 损失” 并用在数码上加一点表示负数， 叫做“负债”或“损失”，并用在数码上加一点表示负数，在数 码的右下方加一点表示减号。不过， 码的右下方加一点表示减号。不过，当一个问题得出正负两个解 的时候，他会解释说： 负数解不合适，因为人们不赞成负数， 的时候，他会解释说：“负数解不合适，因为人们不赞成负数， 故应舍弃。 故应舍弃。”
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《丽罗娃提》 丽罗娃提》
印度的算术
在印度数学中最值得称道 的是印度数码 印度数码和 进位值记数 的是印度数码和10进位值记数 人们所说的“阿拉伯数码” 法。人们所说的“阿拉伯数码” 实际上最早是由印度人发明的， 实际上最早是由印度人发明的， 这是他们对数学乃至整个人类 文化的重要贡献。 文化的重要贡献。 印度数码的完善经历了漫长的 发展过程。 发展过程。 例如“ 例如“1,2,3”在公元 世纪时 ”在公元3世纪时 还是“ 二 三 直到4世纪 还是“一,二,三”，直到 世纪 在巴克沙利手稿中才比较接近 于现在的形式。 于现在的形式。
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3 2=5
即-3-2=5
印度人分数的概念也是很早的， 印度人分数的概念也是很早的，除了在天文学中的分数仍沿 分数的概念也是很早的 用巴比伦的60进制记号外 进制记号外， 用巴比伦的 进制记号外，他们在其他场合都用整数之比表示分 他们会对分数进行四则运算， 数。他们会对分数进行四则运算，在分数相加减时取分母的乘积 为公分母而不求它们的最小公倍数。 为公分母而不求它们的最小公倍数。 在著名的巴克沙里手稿中，印度人将分子记在分母之上， 在著名的巴克沙里手稿中，印度人将分子记在分母之上，无 分数线分隔。在带分数的情形，则把整数部分写在分子之上。 分数线分隔。在带分数的情形，则把整数部分写在分子之上。
开平方和开立方的方法最早见于阿耶波多的著作。 开平方和开立方的方法最早见于阿耶波多的著作。 当开方不尽时，他们用近似值表示。 当开方不尽时，他们用近似值表示。 婆什迦罗“按照整数那样”对无理数进行运算， 婆什迦罗“按照整数那样”对无理数进行运算， 并给出具体的运算法则。例如无理数相加， 并给出具体的运算法则。例如无理数相加，用现代 记号表示即
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3.1印度的数学 印度的数学
主讲人：何莉
印度数学
地处恒河流域的印度和古巴比伦、埃及和中国一样， 地处恒河流域的印度和古巴比伦、埃及和中国一样， 也是人类文明的发祥地之一。 也是人类文明的发祥地之一。 印度文明最早可以上溯到公元前3500年左右居住在 印度文明最早可以上溯到公元前 年左右居住在 印度河流域的达罗毗荼人的哈拉帕青铜文化。 印度河流域的达罗毗荼人的哈拉帕青铜文化。
关于公元前2世纪至 关于公元前 世纪至 公元后3世纪的印度 公元后 世纪的印度 数学， 数学，可参考资料很 所幸于1881年 少，所幸于 年 在今巴基斯坦西北地 巴 的 ， 的 在 的所 巴
巴 克 沙 利 手 稿
在各类记数制中，零的记号是该进位制是否先进的一个重要标 在各类记数制中，零的记号是该进位制是否先进的一个重要标 志。 关于与零有关的运算，摩诃毗罗说： 一个数乘以零得零， 关于与零有关的运算，摩诃毗罗说：“一个数乘以零得零，加上 减去零或除以零这个数都不变。 零、减去零或除以零这个数都不变。” 直到婆什迦罗才弄清楚作除数产生什么结果。他的《根的计算》 直到婆什迦罗才弄清楚作除数产生什么结果。他的《根的计算》 一书中指出： 被除数为3、除数为0时 得商3/0，这个分母为0 一书中指出：“被除数为 、除数为 时，得商 ，这个分母为 的分数称为无限大量。 表示零的点号后来逐渐演变为圆圈， 的分数称为无限大量。”表示零的点号后来逐渐演变为圆圈，即 现在通用的“ ” 这一过程至迟于公元 世纪已完成 公元9世纪已完成。 现在通用的“0”号，这一过程至迟于公元 世纪已完成。有一块 公元876年的石碑，因存于印度中央邦西北地区的瓜廖尔城而以 年的石碑， 公元 年的石碑 瓜廖尔石碑”著称，上面以记有明白无疑的数“ ” “瓜廖尔石碑”著称，上面以记有明白无疑的数“0”。
在阿耶波多的著作中还给出了一些级数求和公式， 在阿耶波多的著作中还给出了一些级数求和公式，例如
憾的是， 憾的是，我们还不能搞清楚他们是如何得到这些计算公 式的，可能是通过具体计算归纳出来的， 式的，可能是通过具体计算归纳出来的，也可能是从希 腊人那里学来的。 腊人那里学来的。
谢谢观赏
印度数学
婆罗门笈多：婆罗摩笈多的两部天文著作《 婆罗门笈多：婆罗摩笈多的两部天文著作《婆罗摩修正 体系》（ 》（628）和《肯德卡迪亚格》（约665），都含有大量 肯德卡迪亚格》（ 》（约 ），都含有大量 体系》（ ） ）， 的数学内容，其代数成就十分可贵。他把0作为一个数来处理 作为一个数来处理。 的数学内容，其代数成就十分可贵。他把 作为一个数来处理。 婆罗摩笈多对负数有明确的认识，提出了正负数的乘除法则。 婆罗摩笈多对负数有明确的认识，提出了正负数的乘除法则。 他曾利用色彩名称来作为未知数的符号， 他曾利用色彩名称来作为未知数的符号，并给出二次方程的求 根公式。他还利用内插公式造了一张正弦表， 根公式。他还利用内插公式造了一张正弦表，其著作曾译成阿 拉伯文，对伊斯兰教国家的数学和天文都产生过重大影响。 拉伯文，对伊斯兰教国家的数学和天文都产生过重大影响。 毗罗：著有《数学九章》， 》，其内容主要是算术运算开平 摩诃 毗罗：著有《数学九章》，其内容主要是算术运算开平 方和开立方二次方程及组合问题，也讲到二次不定方程。 方和开立方二次方程及组合问题，也讲到二次不定方程。
婆什伽罗： 婆什伽罗：是古代 最杰出的数学家， 最杰出的数学家，对天 文学也颇有研究。 文学也颇有研究。他的 名著有《丽罗娃提》 名著有《丽罗娃提》和 算法原本》。 》。这两部 《算法原本》。这两部 著作除了整理前人的成 果之外还论述了有理数 的四则运算、 的四则运算、线形方程 组和不定方程。 组和不定方程。 他指出二次方程有两个 根，并对形如 Cx + 1 = y 的二次方程提出解法。 的二次方程提出解法。 他的著作还被译成波斯 影响很大。 文，影响很大。
印度数学
印度数学的繁荣时期：公元 世纪至 世纪至12世纪是印度数学的繁 印度数学的繁荣时期：公元3世纪至 世纪是印度数学的繁 荣时期，其繁荣的标志表现为出现了一些著名的天文学家兼数学 荣时期， 家。 阿耶波多：又译圣使。印度数学家，天文学家。 阿耶波多：又译圣使。印度数学家，天文学家。生于华氏 今属比哈尔邦巴特那市）。他受教育于柯苏布罗城， ）。他受教育于柯苏布罗城 城（今属比哈尔邦巴特那市）。他受教育于柯苏布罗城，499年 年 阿耶波多文集》，全书分四部分， 》，全书分四部分 著《 阿耶波多文集》，全书分四部分，由118行诗组成 ，其中 行诗组成 有一章专讲数学，介绍了比例˴ 有一章专讲数学，介绍了比例˴ 开方˴ 二次方程˴ 一次不定方程˴ 算术级数等问题，并且他得出了圆周率为3.1416的较精确的近 算术级数等问题，并且他得出了圆周率为 的较精确的近 似值。 年印度学者勃豪·丹吉始获抄本 似值。此书长期失传 ，至1864年印度学者勃豪 丹吉始获抄本。 年印度学者勃豪 丹吉始获抄本。 阿耶波多改进了希腊托勒密的工作， 阿耶波多改进了希腊托勒密的工作，用几何方法算得正弦表 ， 在三角学史上占有重要地位。 在三角学史上占有重要地位。1976年，为纪念阿耶波多诞生 年 1500周年，印度发射了以阿耶波多命名的第一颗人造卫星。 周年， 周年 印度发射了以阿耶波多命名的第一颗人造卫星。
古印度历史
达罗毗荼人 雅利安人 摩揭陀国 波斯帝国
笈多王朝
贵霜帝国
孔雀王朝
莫尔雅帝国
白匈奴
阿拉伯人
突厥人
蒙古人
英国人
大约在5000 大约在 年前印度人 就兴建起了 具有相当规 模的城市与 宫殿， 宫殿，并且 有了书写、 有了书写、 计算和度量 衡的体系。 衡的体系。
印度的泰姬陵
印度数学
由于印度以农业为经济来源，很早就开始观察星象， 由于印度以农业为经济来源，很早就开始观察星象，编 造历书，因而带动了数学研究。 造历书，因而带动了数学研究。 如果说希腊数学与其哲学密切相关， 如果说希腊数学与其哲学密切相关，那么古代印度数学 则更多地受到其宗教的影响。 宗教的影响 则更多地受到其宗教的影响。 印度是一个宗教盛行的国家， 印度是一个宗教盛行的国家，释迦牟尼创建的佛教曾流 传到中国等地，这一教派的“绳法经” 传到中国等地，这一教派的“绳法经”在科学文化方面有较 高的水平， 高的水平，也是在数学史上有意义的为数不多的宗教作品之 一。 绳法经》大约为公元前8世纪至公元前 世纪的作品， 世纪至公元前2世纪的作品 《绳法经》大约为公元前 世纪至公元前 世纪的作品，其 中有一些几何内容和建筑中的代数计算问题，如勾股定理、 中有一些几何内容和建筑中的代数计算问题，如勾股定理、 矩形对角线的性质、相似直线形的性质，以及一些作图法等。 矩形对角线的性质、相似直线形的性质，以及一些作图法等。 属于古代婆罗门教的经典，可能成书于公元前6世纪 世纪， 属于古代婆罗门教的经典，可能成书于公元前 世纪，是在数 学史上有意义的宗教作品。 学史上有意义的宗教作品。
3 来自东方的继承者与传播者 来自东方的继承者与传播者——印 印 度与阿拉伯的数学
当希腊人在爱琴海创造高度数学文明被来自 异族的侵略者毁灭以后，延续了1000多年的古希 异族的侵略者毁灭以后，延续了 多年的古希 腊文明虽在数学上留给后人无比丰富的遗产， 腊文明虽在数学上留给后人无比丰富的遗产，但 同时也留下了许多问题 问题。 同时也留下了许多问题。
首先，希腊数学的严格演绎推理的特点在发明创 首先，希腊数学的严格演绎推理的特点在发明创 演绎推理的特点在 时却是一个缺陷， 造时却是一个缺陷，因为许多发明创造都是以不甚严 谨的猜想推测作为出发点的， 谨的猜想推测作为出发点的，而正是这一点又为希腊 数学所不齿。 数学所不齿。 因此，希腊数学失去了许多发明创造的大好时机。 因此，希腊数学失去了许多发明创造的大好时机。 如希腊人的穷竭法关于无限的讨论已相当深入， 穷竭法关于无限的讨论已相当深入 如希腊人的穷竭法关于无限的讨论已相当深入，但是 囿于严谨而终与发现微积分的一般方法失之交臂。 微积分的一般方法失之交臂 囿于严谨而终与发现微积分的一般方法失之交臂。 再者，同样由于严谨性的考虑，代数学相对来说 再者，同样由于严谨性的考虑，代数学相对来说 受到了冷遇。 受到了冷遇。