数学归纳法 说课稿 教案 教学设计

数学归纳法

第一课时 2.3 数学归纳法（一）

教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.

教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.

教学难点：数学归纳法中递推思想的理解.

教学过程：

一、复习准备： 1. 问题1： 在数列{}n a 中，*111,,()1n n n a a a n N a +==∈+，先算出a 2，a 3，a 4的值，再推测通项a n 的公式. （过程：212a =，313a =，414a =，由此得到：*1,n a n N n =∈） 2. 问题2：2()41f n n n =++，当n ∈N 时，()f n 是否都为质数？

过程：(0)f =41，(1)f =43，(2)f =47，(3)f =53，(4)f =61，(5)f =71，(6)f =83，(7)f =97，(8)f =113，(9)f =131，(10)f =151，… (39)f =1 601．但是(40)f =1 681=412是合数

3. 问题3：多米诺骨牌游戏. 成功的两个条件：（1）第一张牌被推倒；（2）骨牌的排列，保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒.

二、讲授新课：

1. 教学数学归纳法概念：

① 给出定义：归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法. 特点：由特殊→一般.

不完全归纳法：根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫不完全归纳法.

完全归纳法：把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法.

② 讨论：问题1中，如果n =k 猜想成立，那么n =k +1是否成立？对所有的正整数n 是否成立？

③ 提出数学归纳法两大步：（i ）归纳奠基：证明当n 取第一个值n 0时命题成立；（ii ）归纳递推：假设n =k （k ≥n 0， k ∈N *）时命题成立，证明当n =k +1时命题

也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都

成立.

原因：在基础和递推关系都成立时，可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1，n 0+2，…，命题都成立. 关键：从假设n =k 成立，证得n =k +1成立.

2. 教学例题： ① 出示例1：2222*(1)(21)123,6n n n n n N ++++++=∈. 分析：第1步如何写？n =k 的假设如何写？ 待证的目标式是什么？如何从假设出发？

小结：证n =k +1时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形.

② 练习：

求证：2*1427310(31)(1),n n n n n N ⨯+⨯+⨯+++=+∈

. ③ 出示例2：设a

n

…n

a n <12(n ＋1)2. 关键：a 1k +<12(k ＋1)22212(k +1)2+(k +32)

＝1

2(k +2)2 小结：放缩法，对比目标发现放缩途径. 变式：求证a n >12n (n ＋1) 3. 小结：书写时必须明确写出两个步骤与一个结论，注意“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”；从n =k 到n =k +1时，变形方法有乘法公式、因式分解、添拆项、配方等.

三、巩固练习： 1. 练习：教材108 练习1、2题 2. 作业：教材108 B 组1、2、3题.

第二课时 2.3 数学归纳法（二）

教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.

教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.

教学难点：经历试值、猜想、归纳、证明的过程来解决问题.

教学过程：

一、复习准备：

1. 练习：已知()*()13521,f n n n N =++++-∈，猜想()f n 的表达式，并给出证明？

过程：试值(1)1f =，(2)4f =，…，→ 猜想2()f n n = → 用数学归纳法证明.

2. 提问：数学归纳法的基本步骤？

二、讲授新课：

1. 教学例题： ① 出示例1：已知数列1111,,,,2558811(31)(32)n n ⋅⋅⋅⨯⨯⨯-⨯+，猜想n S 的表达式，并证明.

分析：如何进行猜想？（试值1234,,,S S S S →猜想n S ） →学生练习用数学归纳

法证明

→ 讨论：如何直接求此题的n S ？ （裂项相消法）

小结：探索性问题的解决过程（试值→猜想、归纳→证明）

② 练习：是否存在常数a 、b 、c 使得等式132435......(2)n n ⨯+⨯+⨯+++=21()6n an bn c ++对一切自然数n 都成立，试证明你的结论.

解题要点：试值n =1,2,3， → 猜想a 、b 、c → 数学归纳法证明

2. 练习： ① 已知 0(1,2,,)i a i n >=，考察111()1i a a ⋅≥；121211()()()4ii a a a a ++≥；123123

111()()()9iii a a a a a a ++++≥之后，归纳出对12,,,n a a a 也成立的类似不等式，并证明你的结论. ② （89年全国理科高考题）是否存在常数a 、b 、c ，使得等式 （答案：

a =3,

b =11,

c =10） 12222(1)223.....(1)()12n n n n an bn c +⨯+⨯+++=++对一切自然数n 都成立？并证明你的结论

3. 小结：探索性问题的解决模式为“一试验→二归纳→三猜想→四证明”.

三、巩固练习：

1. 平面内有n 个圆，任意两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点，求证这n 个圆将平面分成f (n )=n 2－n +2个部分.