沪教版(上海)数学高二上册-8.2 向量数量积中的最值问题 课件 教学课件

例1.在平行四边形ABCD中，A ，边AB，AD的长 3
分别为2、1，若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足
| BM | | CN |，求AM AN的取值范围. | BC | | CD |
D
N
C
b
M
A
aB
法一：基向量法：
选取基底AB a, AD b，a b 1，记BM BC,CN CD, 0,1，
2
2
则OA
BC
cos
1 2
3 2
,
1 2
.
法三 : 几何法 OA BC等于OA的模 OA 与BC在OA的方向上的投影的乘积.
当C点与圆的左端点重合的时候，BC在OA方向上的投影最小为 3，OA BC 3，
2
2
当C点与A点重合的时候，BC在OA方向上的投影最大为
1 2
，DA
BC
1 2
.则OA
夹角为150，点C是AOB的外接圆上优弧AB上的一个动点，
求OA OC的最大值.
解：在AOB中由余弦定理得：cos150 OA2 OB2 AB2 ， 2OA OB
故AB
7，又由正弦定理得2R
AB sin AOB
7 sin 150
2
7，
所以外接圆半径R 7.
因为OA OC OA OC cos AOC，要使OA OC最大，
D.P1P2 , P1P6
课前导学
3.已知ABC是边长为2的法1：利用数量积定义，用三角形法则拆分向量后再用定义（定义法）
3.已知ABC是边长为2的等边三角形，D是边BC上的点，求DA BC的最值.
方法2：利用数量积定义，确定基向量，转化后用定义（基向量法）
当你的才华还撑不起你的野心时，你就该努力。心有猛虎，细嗅蔷薇。我TM竟然以为我竭尽全力了。能力是练出来的，潜能是逼出来的，习惯是养成的，我的 成功是一步步走出来的。不要因为希望去坚持，要坚持的看到希望。最怕自己平庸碌碌还安慰自己平凡可贵。
a
b
3.已知ABC是边长为2的等边三角形，D是边BC上的点，求DA BC的最值.
方法3：建系用坐标求解（坐标法）
3.已知ABC是边长为2的等边三角形，D是边BC上的点，求DA BC的最值.
方法4：利用数量积的几何意义（投影法）
定义
a b a b cos，其中为a与b的夹角.
向量数量积的运算 坐标运算
记BM BC,CN CD, 0,1，
故M (2 , 3 ), N (2 5 , 3 )，
22
22
所以AM
AN
2
2
2
5 2
3 3 2 2
2 2 5 ( 1)2 6，
0,1， AM AN 2,5
例2.若A, B是半径为1的圆O上两点，且AOB 600, 若点C是圆O上任意一点,求OA BC的取值范围.
向量数量积中的最值问题
课前导学
1.已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，
则DE CB的值为 _____1___，DE DC的最大值为 __1___ .
2.已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是( A)
A.P1P2 , P1P3
B.P1P2 , P1P4
C.P1P2 , P1P5
则AM AN (AB BM ) (AD DN ) (a b) (b (1 )a)
= 2 2 5 ( 1)2 6 ， 0,1， AM AN 2,5
法二：坐标法： 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，过点A与AB垂直 的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，
则A(0, 0), B(2, 0),C( 5 , 3 ), D(1 , 3 )， 22 22
课堂小结
1．向量数量积运算的常用解法：
用三角形法则拆分向量再用定义
1）用定义
确定基向量，转化后用定义
2）建系用坐标求解（坐标运算法）
3) 几何法（投影法） 这里“转化”应该是解题的灵魂； 注意方法的选择 2. 数学思想 “等价转化”、“数形结合”等重要数学思想穿插在数 量积运算中，要细细体会。
数缺形时少直观， 形少数时难入微； 数形结合百般好， 隔离分家万事休．
a (x1, y1),b (x2, y2), a b x1x2 y1y2
几何意义(投影） 数量积a b等于 a 的模 a 与b在
a 的方向上的投影 b cos的乘积.
求两个向量数量积常用方法
利用数量积定义
用三角形法则拆分向量再用定义
确定基向量，转化后用定义
建系用坐标求解（坐标运算法）
几何法（投影法）
显然AOC必为锐角，设点C在直线OA上的投影为点D，
由向量的几何意义知：OA OC OD ，因为点C在优弧AB上运动，
由图知当CD与圆M 相切，即CD MC时，OD 最长.
作弦OA的弦心距MN，易得MNDC为矩形，
所以 OD =ON ND 1 7，故OA OC的最大值是 1 7.
2
2
BC
3 2
,
1 2
.
变式1：直角三角形ABC中，AB 3，AC 4，BC 5， 点M 是三角形ABC外接圆O上任意一点，
求AB AM的最大值.
法一：利用向量数量积的几何意义
解：因为AB AM AB AM cos MAB，
要使AB AM最大，显然MAB必为锐角， 设点M 在直线AB上的投影为点D， 由向量的几何意义知：AB AM 3 AD ，
因为点M 是三角形ABC外接圆O上任意一点， 由图知当MD与圆O相切，即MD AB时，AD 最长.
作弦AB的弦心距OE，易得OEDM 为矩形， 所以 AD =AE ED 3 5 4，故AB AM的最大值是12
22
法二：坐标法
建立如图所示的平面直角坐标系，
A(0, 0), B(3, 0),C(0, 4)，三角形ABC外接圆
法一：定义法
记OA与OC的夹角为 0, ，
OA BC OA OC OB OAOC OAOB
cos
1 2
3 2
,
1 2
.
法二：坐标法 建立如图所示的坐标系，
则A(1, 0), B(1 , 3 ),C(cos ,sin )，
22
则OA (1, 0), BC (cos 1 ,sin 3 )，
(x 3)2 ( y 2)2 25，设M ( 3 5 cos, 2 5 sin )，
2
4
22
2
则AB (3, 0), AM ( 3 5 cos , 2 5 sin ),
22
2
AB AM 9 15 cos 12.
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变式2：如图，已知 OA 1, OB 3,OA与OB的