清华大学概率论与数理统计复习课件
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概率论与数理统计课件ppt
简化数据结构，解释变量间的关系。
操作步骤
计算相关系数矩阵、求特征值和特征 向量、确定主成分个数。
实例
分析消费者对不同品牌手机的偏好。
聚类分析
聚类分析
常见方法
目的
实例
将类似的对象归为同一 组，即“簇”，不同簇
的对象尽可能不同。
层次聚类、K均值聚类、 DBSCAN等。
揭示数据的内在结构， 用于分类、猜测和决策
用数学符号表示一个随机实验的结果 。
随机变量可以取到任何实数值，且取 每个结果的概率为一个确定的函数。
离散型随机变量
随机变量可以取到所有可能的结果， 且取每个结果的概率为一个确定的数 。
随机变量的函数变换
线性变换
对于随机变量X和常数a、b，有 aX+b的散布与X的散布不同。
非线性变换
对于随机变量X和函数g(x)，g(X)的散 布与X的散布不同。
置信区间
根据样本数据对总体参数进行估计的一个范围，表示我们对 估计的可靠程度。
假设检验与置信水平
假设检验
通过样本数据对总体参数或散布进行 假设，然后根据检验结果判断假设是 否成立。
置信水平
假设检验中，我们相信结论正确的概 率，通常表示为百分比。
05 数理统计的应用
方差分析
方差分析（ANOVA）
随机进程在通讯、气象、物理等领域有广泛应用。
马尔科夫链蒙特卡洛方法
01
马尔科夫链蒙特卡洛方法是一种 基于蒙特卡洛模拟的统计推断方 法，通过构造一个马尔科夫链来 到达近似求解复杂问题的目的。
02
马尔科夫链蒙特卡洛方法在许多 领域都有应用，如物理学、化学 、经济学等。
04 数理统计基础
样本与样本空间
操作步骤
计算相关系数矩阵、求特征值和特征 向量、确定主成分个数。
实例
分析消费者对不同品牌手机的偏好。
聚类分析
聚类分析
常见方法
目的
实例
将类似的对象归为同一 组，即“簇”，不同簇
的对象尽可能不同。
层次聚类、K均值聚类、 DBSCAN等。
揭示数据的内在结构， 用于分类、猜测和决策
用数学符号表示一个随机实验的结果 。
随机变量可以取到任何实数值，且取 每个结果的概率为一个确定的函数。
离散型随机变量
随机变量可以取到所有可能的结果， 且取每个结果的概率为一个确定的数 。
随机变量的函数变换
线性变换
对于随机变量X和常数a、b，有 aX+b的散布与X的散布不同。
非线性变换
对于随机变量X和函数g(x)，g(X)的散 布与X的散布不同。
置信区间
根据样本数据对总体参数进行估计的一个范围，表示我们对 估计的可靠程度。
假设检验与置信水平
假设检验
通过样本数据对总体参数或散布进行 假设，然后根据检验结果判断假设是 否成立。
置信水平
假设检验中，我们相信结论正确的概 率，通常表示为百分比。
05 数理统计的应用
方差分析
方差分析（ANOVA）
随机进程在通讯、气象、物理等领域有广泛应用。
马尔科夫链蒙特卡洛方法
01
马尔科夫链蒙特卡洛方法是一种 基于蒙特卡洛模拟的统计推断方 法，通过构造一个马尔科夫链来 到达近似求解复杂问题的目的。
02
马尔科夫链蒙特卡洛方法在许多 领域都有应用，如物理学、化学 、经济学等。
04 数理统计基础
样本与样本空间
概率论与数理统计ppt课件
04
理解基本概念和原理
做大量练习题，培养解题能力
05
06
阅读相关书籍和论文，拓宽知识面
02
概率论基础
概率的基本概念
试验
一个具有有限个或无限个 可能结果的随机试验。
事件
试验中的某些结果的总称 。
概率
衡量事件发生可能性的数 值，通常表示为0到1之间 的实数。
必然事件
概率等于1的事件。
不可能事件
概率等于0的事件。
01 点估计
用样本统计量估计总体参数，如用样本均值估计 总体均值。
02 区间估计
给出总体参数的估计区间，如95%置信区间。
03 估计量的性质
无偏性、有效性和一致性。
假设检验
假设检验的基本思想
先假设总体参数具有某种 特性，然后通过样本信息 来判断这个假设是否合理 。
双侧检验
当需要判断两个假设是否 相等时，如总体均值是否 等于某个值。
连续型随机变量
取值无限的随机变 量。
方差
衡量随机变量取值 分散程度的数值。
03
数理统计基础
总体与样本
总体
研究对象的全体。
抽样方法
简单随机抽样、分层抽样、系统抽样等。
样本
从总体中随机抽取的一部分个体，用于估 计和推断总体的特性。
样本大小
样本中包含的个体数量，需要根据研究目 的和资源来确定。
参数估计
单因素方差分析
单因素方差分析的定义
单因素方差分析是方差分析的一种形式，它只涉及一个实验因素。通过对不同组的均值进行比 较，可以确定这个因素对实验结果的影响是否显著。
单因素方差分析的步骤
单因素方差分析通常包括以下步骤：首先，对实验数据进行分组；其次，计算每组的均值；接 着，计算总的均值和总的变异性；然后，计算组间变异性和组内变异性；最后，通过比较这两 种变异，得出因素的显著性。
概率论与数理统计期末复习课件
置信水平
用于确定样本统计量的不 确定性范围。
置信区间
根据置信水平和抽样分布， 估计未知参数的可能值范 围。
点估计与最优性
点估计
用单一的数值估计未知参数的值。
无偏估计
样本统计量的期望值等于真实参数 值。
最小方差估计
选择一个点估计，使得预测误差的 方差最小。
假设检验与p值
假设检验
根据样本数据对未知参数 提出假设，并进行检验。
详细描述
一元线性回归是一种最简单的回归分析方 法，用于研究一个因变量和一个自变量之 间的线性关系。
一元线性回归模型通常表示为`Y = β0 + β1*X + ε`，其中Y是因变量，X是自变量， ε是误差项。β0和β1是需要估计的参数。
重要概念
适用范围
一元线性回归模型假设因变量Y和自变量X 之间存在线性关系，即Y的变化可以由X的 变化来解释。
02
置信区间
根据自助法计算的统计量的置信区间，可以用来估计总体参数的区间范
围。
03
应用
在社会科学和医学研究中，自助法和置信区间被广泛应用于估计样本参
数的可靠性和精度。例如，在估计人口平均年龄的置信区间时，自助法
可以用来确定样本大小和置信水平之间的关系。
CHAPTER 06
实验设计初步
完全随机设计
描述 马尔科夫链通常用状态转移图来表示，其中每个状态通过 箭头连接到其他状态，箭头上标记了从一个状态转移到另 一个状态的概率。
实例 例如天气预报、股票价格等都可以被视为马尔科夫链。
平稳过程与遍历性
定义
平稳过程是一类特殊的随机过程，它具有“时间齐次性”和“空 间齐次性”的性质。
描述
概率论总复习ppt课件
解 令 A 灯泡能用到1000小时, B 灯泡能用到 1500小时
所求概率为
PBAP(AB) P(B)0.41
P(A) P(A) 0.8 2
2021/4/25
BA
三．全概率公式
定义
若事件组B1,…Bn,满足：
（1） （2）
B1,…Bn互不相容且P(Bi)>0，i=1,…,n
n Bi S
i 1
则称事件B1,…Bn为样本空间的一个划分
三.概率的频率定义
例2：从同一型号同一批次的反坦克弹中任抽一发反 坦克弹射击目标，观测命中情况。设A代表“命中” 这一事件，求P(A)?
1 . 事件的频率 在一组不变的条件下，重复作n次试验，记
m是n次试验中事件A发生的次数。 频率 f = m/n
2. 频率的稳定性
掷一枚均匀硬币，记录前400次掷硬币试验中 频率P*的波动情况。
离散型随机变量的概念
定义 若随机变量 X 的可能取值是有限多个或 无穷可列多个，则称 X 为离散型随机变量
描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率 分布或分布律，即
P ( X x k ) p k ,k 1 ,2 ,
概率分布的性质
2021/4/25
p k0 ,k 1 ,2 ,
pk 1
k 1
非负性 规范性
称 X 服从参数为n, p 的二项分布，记作 X~B(n,p)
0 – 1 分布是 n = 1 的二项分布
2021/4/25
例6 设有同类型设备90台，每台工作相互独立，每台设 备发生故障的概率都是 0.01. 在通 情况下，一台设备发 生故障可由一个人独立维修，每人同时也只能维修一台 设备. 问至少要配备多少维修工人，才能保证当设备发 生故障时不能及时维修的概率小于0.01?
所求概率为
PBAP(AB) P(B)0.41
P(A) P(A) 0.8 2
2021/4/25
BA
三．全概率公式
定义
若事件组B1,…Bn,满足：
（1） （2）
B1,…Bn互不相容且P(Bi)>0，i=1,…,n
n Bi S
i 1
则称事件B1,…Bn为样本空间的一个划分
三.概率的频率定义
例2：从同一型号同一批次的反坦克弹中任抽一发反 坦克弹射击目标，观测命中情况。设A代表“命中” 这一事件，求P(A)?
1 . 事件的频率 在一组不变的条件下，重复作n次试验，记
m是n次试验中事件A发生的次数。 频率 f = m/n
2. 频率的稳定性
掷一枚均匀硬币，记录前400次掷硬币试验中 频率P*的波动情况。
离散型随机变量的概念
定义 若随机变量 X 的可能取值是有限多个或 无穷可列多个，则称 X 为离散型随机变量
描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率 分布或分布律，即
P ( X x k ) p k ,k 1 ,2 ,
概率分布的性质
2021/4/25
p k0 ,k 1 ,2 ,
pk 1
k 1
非负性 规范性
称 X 服从参数为n, p 的二项分布，记作 X~B(n,p)
0 – 1 分布是 n = 1 的二项分布
2021/4/25
例6 设有同类型设备90台，每台工作相互独立，每台设 备发生故障的概率都是 0.01. 在通 情况下，一台设备发 生故障可由一个人独立维修，每人同时也只能维修一台 设备. 问至少要配备多少维修工人，才能保证当设备发 生故障时不能及时维修的概率小于0.01?
《概率论与数理统计》全套课件PPT(完整版)
m?????若对于一随机试验每个样本点出现是等可能的样本空间所含的样本点个数为无穷多个且具有非零的有限的几何度量即则称这一随机试验是一几何概型的20义定义当随机试验的样本空间是某个区域并且任量意一点落在度量长度面积体积相同的子区域是等可能的则事件a的概率可定义为?mamap??说明当古典概型的试验结果为连续无穷多个时就归结为几何概率
P(B| A) P(AB) P(A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率2.9
2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件, 即
10 对于每一个事件B, 有 1 P(B | A) 0.
20 P(S | A) 1.
30 设B1 , B2 ,两两互不相容, 则
P( Bi | A) P(B i | A).
i1
i1
此外, 条件概率具有无条件概率类似性质.例如：
(1) P( | A) 0.
(2) 设B1 ,B2 ,, Bn两两互不相容,则
n
n
P( Bi | A) P(B i | A).
30
i1
i1
(3) P(B | A) 1 P(B | A).
(4) P(B C | A) P(B | A) P(C | A) - P(BC | A).
在其中计算B发生的概率, 从而得到P(B|A). 例2. 在1, 2, 3, 4, 5这5个数码中, 每次取一个数码, 取后不放回, 连取两次, 求在第1次取到偶数的条 件下, 第2次取到奇数的概率.
32
(二) 乘法公式: 由条件概率定义, 立即可得P(A) 0, 则有 P(AB) P(A)P(B | A).
注 当A＝S时, P(B｜S)=P(B), 条件概率化为无 条件概率, 因此无条件概率可看成条件概率.
P(B| A) P(AB) P(A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率2.9
2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件, 即
10 对于每一个事件B, 有 1 P(B | A) 0.
20 P(S | A) 1.
30 设B1 , B2 ,两两互不相容, 则
P( Bi | A) P(B i | A).
i1
i1
此外, 条件概率具有无条件概率类似性质.例如：
(1) P( | A) 0.
(2) 设B1 ,B2 ,, Bn两两互不相容,则
n
n
P( Bi | A) P(B i | A).
30
i1
i1
(3) P(B | A) 1 P(B | A).
(4) P(B C | A) P(B | A) P(C | A) - P(BC | A).
在其中计算B发生的概率, 从而得到P(B|A). 例2. 在1, 2, 3, 4, 5这5个数码中, 每次取一个数码, 取后不放回, 连取两次, 求在第1次取到偶数的条 件下, 第2次取到奇数的概率.
32
(二) 乘法公式: 由条件概率定义, 立即可得P(A) 0, 则有 P(AB) P(A)P(B | A).
注 当A＝S时, P(B｜S)=P(B), 条件概率化为无 条件概率, 因此无条件概率可看成条件概率.
概率论与数理统计期末复习PPT课件
P(B | A) P(B | A); (3)当0 P( A) 1, 0 P(B) 1时，
P(B | A) P(B| A) 1
第11页/共50页
2) 若事件A和B相互独立，则 (1) 事件A与事件B也相互独立 (2)事件 A与事件B也相互独立； (3) 事件A与事件B也相互独立.
n
3)若A1, A2 , An相互独立,则P A1, A2 An P Ai i 1
第1页/共50页
2.概率的几何定义
设样本空间是一个有限区域。若样本点落在
内的任何区域G中的事件A的概率与区域G的测度
（或长度、或面积、或体积等）成正比，
则区域内任意一点落在区域G的概率为区域G的
测度与区域的测度的比值，即
P(
A)
G的测度 的测度
.
第2页/共50页
3.概率的公理化定义
设E是一个随机试验，为它的样本空间,
x
4 F (x)为右连续函数,即对任意的实数x, 有F (x 0) F (x).
反之, 具有以上四个性质的函数, 一定是某个随机变量的分布函数.
二、离散型随机变量
第24页/共50页
定义 设X是一个离散型随机变量，它可
能取值为 x1, x2 ,, x并k ,且取, 各个值的对应概
率为
p1, p即2 ,, pk ,,
(A)P(A | B) P(A | B) (B)P(A | B) P(A | B)
(C)P(AB) P(A)P(B)
3．计算与证明题
(D)P(AB) P(A)P(B)
(1)设A, B是任意两个随机事件,其中A的概率
不等于0和1,证明: P(B | A) P(B | A)是随机 事件A与B独立的充要条件.
P(B | A) P(B| A) 1
第11页/共50页
2) 若事件A和B相互独立，则 (1) 事件A与事件B也相互独立 (2)事件 A与事件B也相互独立； (3) 事件A与事件B也相互独立.
n
3)若A1, A2 , An相互独立,则P A1, A2 An P Ai i 1
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2.概率的几何定义
设样本空间是一个有限区域。若样本点落在
内的任何区域G中的事件A的概率与区域G的测度
（或长度、或面积、或体积等）成正比，
则区域内任意一点落在区域G的概率为区域G的
测度与区域的测度的比值，即
P(
A)
G的测度 的测度
.
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3.概率的公理化定义
设E是一个随机试验，为它的样本空间,
x
4 F (x)为右连续函数,即对任意的实数x, 有F (x 0) F (x).
反之, 具有以上四个性质的函数, 一定是某个随机变量的分布函数.
二、离散型随机变量
第24页/共50页
定义 设X是一个离散型随机变量，它可
能取值为 x1, x2 ,, x并k ,且取, 各个值的对应概
率为
p1, p即2 ,, pk ,,
(A)P(A | B) P(A | B) (B)P(A | B) P(A | B)
(C)P(AB) P(A)P(B)
3．计算与证明题
(D)P(AB) P(A)P(B)
(1)设A, B是任意两个随机事件,其中A的概率
不等于0和1,证明: P(B | A) P(B | A)是随机 事件A与B独立的充要条件.
清华大学概率论与数理统计复习ppt
i 1
令
d
ln L( ) d
n
n i 1
ln
xi
0
解得的极大似然估计量为ˆ n n
ln Xi
i 1
（3）当 2时，X的概率密度函数为：
f
(
x)
2 2
x3
,
0,
似然函数为：
x x
L( )
n
f
(
xi
)
(
2n 2n
x 1
,
0,
x 1, 其中未知参数 1,
x 1.
X1,L , Xn为来自X的简单随机样本，
求（1）的矩估计量；
（2）的最大似然估计量。
解：1，由于E( X )
x f ( x; )d x
1
x
x 1d x
, 1
令 X，解得参数的矩估计量ˆ X .
考题（3 2008级 48学时）
三、(本题10分)设总体X 在[0, ]上服从均匀分布， 其中 ( 0)未知，(X1,L , Xn)为来自总体X的样本， 求的矩估计量。（见教材P127-128的例6.2)
考题（4 2008级 48学时）
七、(10分)设某种元件的使用寿命X的概率密度为
f
ln L() N ln (n N ) ln(1 )
令 d ln L = N n N 0, 解得：ˆ N
d 1
n
所以的极大似然估计为ˆ N n
考题（7 2006级 32学时）
三、(本题14分)设总体X的概率密度为：
概率论与数理统计图文课件最新版-第1章-随机事件与概率
AB
注 ▲ 它是由事件 A与 B 的所有
公共样本点构成的集合。
n
▲ 称 I Ak 为 n 个事件 A1 , A2 ,L An 的积事件 k 1
I
k 1
Ak
为可列个事件
A1
,
A2
,L
L
的积事件
概率统计
5．事件的差： 若事件 A 发生而事件 B 不发生，则称 这样的事件为事件 A 与事件 B 的差。
A B 记作： A B x x A且x B
2
0.4
18 0.36
4
0.8
27 0.54
247 0.494
251 0.502 26波2 动0最.52小4
258 0.516
概率统计
从上述数据可得:
(1) 频率有随机波动性
即对于同样的 n, 所得的 f 不一定相同.
(2) 抛硬币次数 n 较小时, 频率 f 的随机波动幅 度较大, 但随 n 的增大 , 频率 f 呈现出稳定性.
解： S1 ｛正面，反面｝
S2 0,1, 2, 3,
概率统计
S3 1, 2, 3, S4 0,1, 2, 3, ,10
S5 1, 2, 3,4,5,6
注
E3 ：射手射击一个目标， 直到射中为止，观 察 其射击的次数
E4：从一批产品中抽取十 件，观察其次品数。
E5：抛一颗骰子，观察其 出现的点数。
义上提供了一个理
H
想试验的模型：
(H,T)： H (T,H): T (T,T)： T
T
在每次试验中必
有一个样本点出
H
现且仅有一个样
本点出现 .
T
概率统计
例4．若试验 E是测试某灯泡的寿命. 试写出该试验 E 的样本空间. 解：因为该试验的样本点是一非负数，
高等数学 概率论与数理统计课件(一)
高等数学概率论与数理统计课件(一)高等数学概率论与数理统计课件1. 课程简介•高等数学概率论与数理统计是大学数学专业的一门重要课程。
•它是数学学科的基础，也是应用数学的重要工具。
•本课程旨在帮助学生掌握概率论与数理统计的基本概念、理论和方法。
2. 概率论部分2.1 概率的基本概念•概率的定义和性质•随机事件的概率计算方法•条件概率与独立事件2.2 随机变量和概率分布•随机变量的定义和性质•离散型随机变量和连续型随机变量•常见概率分布：离散型和连续型2.3 随机变量的数字特征•期望、方差、标准差的定义和计算•切比雪夫不等式•大数定律和中心极限定理3. 数理统计部分3.1 统计基础•总体和样本的统计特征•参数估计和区间估计•假设检验的基本思想3.2 参数估计•点估计和区间估计的概念•常见的参数估计方法：极大似然估计、矩估计等•置信区间的计算和解释3.3 假设检验•假设检验的基本原理•假设检验的步骤和流程•常见的假设检验方法：单样本、两样本和多样本检验4. 课程学习方法•注重理论和实践相结合，理论指导实践、实践检验理论。
•多做习题，通过刷题巩固知识点。
•参考相关教材和参考书，拓宽知识广度和深度。
•加强课后讨论和交流，与同学共同解决问题。
•关注概率论与数理统计的应用领域，扩展应用实践。
5. 课程考核方式•平时成绩：课堂参与、作业完成情况等。
•期中考试：对课程前半部分的知识进行考核。
•期末考试：对整个课程的知识进行考核。
•课程项目：根据实际情况进行论文、实验等形式进行综合评估。
6. 学习资源推荐•《高等数学》教材，北京大学出版社。
•《概率论与数理统计教程》教材，清华大学出版社。
•《概率论与数理统计习题集》辅导书，高等教育出版社。
•在线学习资源：Coursera、edX、网易云课堂等平台提供的相关课程。
7. 小结•高等数学概率论与数理统计课程是数学专业学生不可或缺的重要课程。
•本课程旨在帮助学生掌握概率论与数理统计的基本概念、理论和方法。
清华大学概率论与数理统计课件强大数定理
lim
n
An
lim
n
An＝lim n
An
称
lim
n
An为随机事件序列{
An
}的极限事件.
引理5.4.1 (博雷尔－康特立引理)
(1) 若随机事件序列{ An }满足 P( An ) ,则 n1
P
(lim n
An
)
0,
P(lim An ) 1 n
(2) 若随机事件序列{An }相互独立,则 P( An )＝
定义 设A1, A2 , , An , 为一列事件，记
lnimAn
An
k 1 nk
称lnimAn为事件序列{ An }的上限事件. 记
lim An
An
n
k 1 nk
称lim An为事件序列系
上限事件lnimAn表示事件An发生无穷多次.下 限事件 lim An表示事件An至多只有有限个不发生.
若{i }是独立随机变量序列，Di
2 i
,
(i 1, 2, n),则对任意的 0，均有
P{max m jn
j
(i E(i ))
i 1
} 1 2
n
2 j
j 1
科尔莫戈罗夫不等式是概率论中最重要的不等 式之一，当n=1时，科尔莫戈罗夫不等式就退化为 车贝晓夫不等式，而咯依克－瑞尼不等式又是科 尔莫戈罗夫不等式的推广.
n1
成立的充要条件为
P(lnimAn ) 1,
或者 P(lim An ) 0 n
定理5.4.1 n ( ) a.s. ( ) n( ) P ( )
反例(p298例一) n ( ) a.s. ( ) NO n ( ) P ( )
概率论与数理统计第一二三章复习PPT
当 X k (0 k n) 时，得X的分布律
X0
1
k
n
pk
qn
C
1 n
pq
n
1
C
k n
pkqnk
pn
E:将一枚均匀骰子抛掷3次. 令X 表示3次中出现“4”点的次数
X ~ B(3,1/6)，
X的分布律是：
P{
X
k}
C3k
1 6
k
5 6
3k
,
k
0,1,
2,3.
Y b(3, p)
p P{X 1}
连续型随机变量的边缘分布
设连续型随机变量 ( X,Y )的概率密度为 f ( x, y )， 则 ( X,Y )的联合分布函数为
F x, y P{ X x,Y y} y x f u,v dudv
则 ( X,Y )关于 Y 的边缘分布函数为
FY y PY y PX ,Y y F , y
1
2 f (x)dx
1 2
2xdx
1
2
0
4
P{Y
2}
C32
(
1 4
)2
(
3 4
)
9 64
泊松分布
设随机变量 X所有可能的取值为一切 自然数 0,1,2，， 而取各个值的概率为
P{ X k } k e , k 0,1,2, ,
k!
其中 0是常数 .则称 X 服从参数为 的泊松分布， 记为 X ~ π( ), 或X ~ P( ).
= f ( x, y)dxdy =2 e(2x y)dxdy
D
O
x
G
G
D
= 2
+
概率论与数理统计期末总复习PPT
A S - A.
注：(1) 事件的关系与运算可用维恩图形象表之
(2) 事件的和与积的运算可推广到有限个事 件或可数无限个事件的情形.
(3) 事件的和与积的另一记法：A B A B, A B AB.
８. 完备事件组
设 A1, A2 ,, An , 是有限或可数个事件，若其
满足：
(1)Ai Aj , i j, i, j 1,2,;
y
y
f (x)
f (x)
P{a X b}
F( x)
Ox
x
Oa b
x
三、分布密度（概率密度）
离散型：P{ X xi } pi , i 1,2, 连续型： f ( x )
1、分布密度的性质
(1) 离散型： pi 0,i 1,2,; pi 1.
i
(2) 连续型：f ( x) 0;
f ( x)dx 1.
i 1
性质3 P( A) 1 - P( A).
性质4 P( A - B) P( A) - P( AB). 特别地，若 B A, 则
(1) P( A - B) P( A) - P(B); (2) P( A) P(B). 性质5 对任一事件A，P( A) 1.
例. 设 A、B 都出现的概率与 A、B 都不出现的概率 相等，且 P( A) p, 求 P(B).
3. 可列可加性: 对任意可数个两两互不相容的
事件 A1, A2 ,, An ,, 有 P(A1 A2 An ) P(A1) P(A2 )
P(An ) , 则称 P(A)为事件A的概率.
三、概率的性质
性质1 P() 0.
性质2
(有限可加性)设
n
A1 ,
A2 ,, An
注：(1) 事件的关系与运算可用维恩图形象表之
(2) 事件的和与积的运算可推广到有限个事 件或可数无限个事件的情形.
(3) 事件的和与积的另一记法：A B A B, A B AB.
８. 完备事件组
设 A1, A2 ,, An , 是有限或可数个事件，若其
满足：
(1)Ai Aj , i j, i, j 1,2,;
y
y
f (x)
f (x)
P{a X b}
F( x)
Ox
x
Oa b
x
三、分布密度（概率密度）
离散型：P{ X xi } pi , i 1,2, 连续型： f ( x )
1、分布密度的性质
(1) 离散型： pi 0,i 1,2,; pi 1.
i
(2) 连续型：f ( x) 0;
f ( x)dx 1.
i 1
性质3 P( A) 1 - P( A).
性质4 P( A - B) P( A) - P( AB). 特别地，若 B A, 则
(1) P( A - B) P( A) - P(B); (2) P( A) P(B). 性质5 对任一事件A，P( A) 1.
例. 设 A、B 都出现的概率与 A、B 都不出现的概率 相等，且 P( A) p, 求 P(B).
3. 可列可加性: 对任意可数个两两互不相容的
事件 A1, A2 ,, An ,, 有 P(A1 A2 An ) P(A1) P(A2 )
P(An ) , 则称 P(A)为事件A的概率.
三、概率的性质
性质1 P() 0.
性质2
(有限可加性)设
n
A1 ,
A2 ,, An
《概率论与数理统计》课件
n
XXXX大学
单选题 1分
下列对古典概型说法正确的个数是 ( )。 A ①试验中可能出现的基本事件只有有限个；
②每个事件出现的可能性相等；
B ③若基本事件总数为n ，事件 A 包括 k 个基本事件，则P(A) = k n ；
④每个基本事件出现的可能性相等。 C A. 0
B. 1 C. 2 D D. 3
柯尔莫哥洛夫
概率的公理化定义
概率的性质
频率方法：
频率= nA n
概率=频率的稳定值
Ⅰ.规范性 Ⅱ.非负性 Ⅲ.可列可加
Ⅰ.P( ) = 0 ； Ⅱ.有限可加性 Ⅲ.对
立事件概率Ⅳ.减法公式； Ⅴ加法公式
概率
三种计算方法
几何方法：一维线段的长度；
二维区域的面积； 三维立体的体积.
古典方法：
Ⅰ .随机试验中只有有限个可能的结果；
AB
A
B
A = (A− B) + AB 显然A− B与AB互斥
2
P(A) = P(A− B) + P(AB)
P(A− B) = P(A) − P(AB)
B 仁 A，则P(A− B) = P(A) − P(B). 显然P(A) > P(B)
1.3.2概率的公理化定义及其性质
P( ) = 0;
A1 , A2 , , An
A
B. P(AB) = 1− P(A) − P(B) + P(AB) C. P(AB) = P(A)P(B)
B
D. P(A− B) = 0
C
P(A− B) = P(A) − P(AB) ，排除选项 A。
D
1− P(A) − P(B) + P(AB)=P(A) −1+ P(B) + P(A B)
XXXX大学
单选题 1分
下列对古典概型说法正确的个数是 ( )。 A ①试验中可能出现的基本事件只有有限个；
②每个事件出现的可能性相等；
B ③若基本事件总数为n ，事件 A 包括 k 个基本事件，则P(A) = k n ；
④每个基本事件出现的可能性相等。 C A. 0
B. 1 C. 2 D D. 3
柯尔莫哥洛夫
概率的公理化定义
概率的性质
频率方法：
频率= nA n
概率=频率的稳定值
Ⅰ.规范性 Ⅱ.非负性 Ⅲ.可列可加
Ⅰ.P( ) = 0 ； Ⅱ.有限可加性 Ⅲ.对
立事件概率Ⅳ.减法公式； Ⅴ加法公式
概率
三种计算方法
几何方法：一维线段的长度；
二维区域的面积； 三维立体的体积.
古典方法：
Ⅰ .随机试验中只有有限个可能的结果；
AB
A
B
A = (A− B) + AB 显然A− B与AB互斥
2
P(A) = P(A− B) + P(AB)
P(A− B) = P(A) − P(AB)
B 仁 A，则P(A− B) = P(A) − P(B). 显然P(A) > P(B)
1.3.2概率的公理化定义及其性质
P( ) = 0;
A1 , A2 , , An
A
B. P(AB) = 1− P(A) − P(B) + P(AB) C. P(AB) = P(A)P(B)
B
D. P(A− B) = 0
C
P(A− B) = P(A) − P(AB) ，排除选项 A。
D
1− P(A) − P(B) + P(AB)=P(A) −1+ P(B) + P(A B)
概率论与数理统计期末复习知识点.ppt
E( X ) x f ( x)dx
(2-2)函数：Y = g(X)（g 为连续函数）
E(Y ) E[g( X )] g( x) f ( x)dx
(2-3)设(X,Y)是连续型随机变量,
概率密度为 f (x , y). 若 Z=g(X,Y)（g为二元连续函数）
n
n
n
ai X i ~ N ( ai i , ai 2 i 2 )
i 1
i 1
i 1
两个随机变量的函数的分布
(1) Z=X+Y 的分布
分布函数: FZ (z ) P{Z z} f ( x, y)dxdy
x yzBiblioteka 概率密度:fZ(z)
f (z y, y)dy
f (x, z x)dx
3 °可列可加性: 设A1，A2，… 是两两互不相容
的事件，即对于 i j, Ai Aj ,i, j 1,2, , 则
P(A1∪A2 ∪ …)=P(A1)+P(A2 )+ …
• 概率性质
(1) P(φ)=0 ．
(2) (有限可加性) 若A1，A2，… An 两两不相容，
P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+ … +P(An) (3) 若A B，则有 P(B– A)=P(B) – P(A) ;
1.条件概率
P(B
A)
P( AB) ,
P( A) 0
P( A)
2.乘法公式 P( AB) P( A)P( A B)
n
3.全概率公式 P( A) P( A Bi )P(Bi ) i 1
4.贝叶斯公式
P( Bi A)
P( A Bi )P( Bi )
概率论与数理统计[PPT]
![概率论与数理统计[PPT]](https://img.taocdn.com/s3/m/38bf38c9998fcc22bcd10dc5.png)
m 5 解： , m 5, F到渐近线l的距离 m 5 3 3
将 乐 一 中 廖 凡
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2-1抛物线复习
6、直线y x m与曲线 1 y 2 x有两个不同交点， 则实数m的取值范围为（B ） A.( 2, 2) B.( 2, 1] C.( 2,1] D.[1, 2)
3、标准方程： (2)焦点在y轴
p F (0, ) 2Fra bibliotekp l:y 2
l:y
p 2
F (0,
p ) 2
抛物线：x2 2py( p 0)
抛物线：x2 2py( p 0)
一般式 |a| a a x ay(a 0) , p p ,焦点(0, ), 准线y 2 4 4 焦点:一次除以4二次零，准线:一次除以4的相反数
解：设 | PF1 | r1 ,| PF2 | r2 ，则 r1 r2 2 a (1), r1 r2 2 m
2 2
(2),
将 乐 一 中 廖 凡
(1) (2) 得4 r1r2 4a 4m, r1r2 a m
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2-1抛物线复习
x2 y 2 5 5、若双曲线 1的渐近线l方程为y x, 9 m 3 则双曲线焦点F 到渐近线l的距离为( C )
解：F1 (1, 0), F2 (1, 0), A 0, 2 , | PA | | PF1 || AF1 | 5
| PA | | PF1 || PA | (2a | PF2 |) | PA | | PF2 | 2a | AF2 | 2a 5 2 2
A
解：F 1, 0 , 设直线AC与BD的方程分别为
概率论与数理统计课件总复习-PPT课件
kkn k P ( k ) C p q , k 0 , 1 , , n n n
0 p , q 1 ,p q 1
五. 概念
1.条件概率 2.独立性 六. 注
概率统计-总复习-7
P ( AB ) P B A P ( A)
P ( AB ) P ( A ) P ( B )
概率统计-总复习-5
3.减法公式：差
4.乘法公式：交
P ( B A ) P ( B ) P ( AB )
P (AB ) P (A ) P (B A )P (B)P ( A B)
P ( A A A ) P ( A ) P A A P A A A P A A A A 1 2 n 1 2 1 3 1 2 n 1 2 n 1
P ( X B )
x B k
P ( X x) p
k k x B k
P ( a X b ) F ( b ) F ( a )
5.常见分布5（0-1,二项,超几何, 泊松,几何）
最可能取值，极限分布，泊松定理
二.连续型r.v. 1.概率密度（2个性质）
概率统计-总复习-10
5.求概率（2个工具：分布律、分布函数）
P (( X , Y ) D )
(x y D i, j)
p ij
6.联合与边缘分布律表
联合分布律及边缘分布律
§2.6 随机变量函数的分布
一.离散型r.v.
概率统计-总复习-9
1.概率分布律（2个性质）P ( X x ) p , k 1 , 2 , k k
( x ) P ( X x ), x 2.分布函数（4个性质） F 3.分布律与分布函数互求
0 p , q 1 ,p q 1
五. 概念
1.条件概率 2.独立性 六. 注
概率统计-总复习-7
P ( AB ) P B A P ( A)
P ( AB ) P ( A ) P ( B )
概率统计-总复习-5
3.减法公式：差
4.乘法公式：交
P ( B A ) P ( B ) P ( AB )
P (AB ) P (A ) P (B A )P (B)P ( A B)
P ( A A A ) P ( A ) P A A P A A A P A A A A 1 2 n 1 2 1 3 1 2 n 1 2 n 1
P ( X B )
x B k
P ( X x) p
k k x B k
P ( a X b ) F ( b ) F ( a )
5.常见分布5（0-1,二项,超几何, 泊松,几何）
最可能取值，极限分布，泊松定理
二.连续型r.v. 1.概率密度（2个性质）
概率统计-总复习-10
5.求概率（2个工具：分布律、分布函数）
P (( X , Y ) D )
(x y D i, j)
p ij
6.联合与边缘分布律表
联合分布律及边缘分布律
§2.6 随机变量函数的分布
一.离散型r.v.
概率统计-总复习-9
1.概率分布律（2个性质）P ( X x ) p , k 1 , 2 , k k
( x ) P ( X x ), x 2.分布函数（4个性质） F 3.分布律与分布函数互求
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份成绩的平均值X=66.5分，标准差S=15分。取 0.05
（1）求的置信度为1 的置信区间(ˆ1, ˆ2)(6分） （2）已知在显著性水平下，H0 : 0这一假设
被接受，试求0的范围，并判定是否就是（ˆ1, ˆ）
附 表 ： t 分 布 表 : P { t ( n ) t ( n ) }
X
2 i
4};
i 1
10
（2）未知，求概率P{ ( Xi X)2 2.85}。
i 1
清华大学概率论与数理统计复习
此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！
清华大学概率论与数理统计复习
附 表 ： t 分 布 表 : P { t ( n ) t p ( n ) } p
tp(n)
p
n
0.95
0.975
35
1.6896
2.0301
36
1.6883
2.0281
清华大学概率论与数理统计复习
考题1（ 9 2003级 256学时） 八、(6分+5分=11)大批学生参加考试，设考试成绩
X~N(, 2 ), 2未知，从中抽取36名学生，求得这36
（2） 当 1时 ， 求 未 知 参 数 的 极 大 似 然 估 计 量 ；
（3） 当 2时 ， 求 未 知 参 数 的 极 大 似 然 估 计 量 。
清华大学概率论与数理统计复习
二、有关区间估计及假设检验方面的题型 考题（ 1 2009级 24学时） 四、(本题12分)测定某种溶液中的水分，它的10个 测定值给出样本均值为：x 0.452%,样本均方差为：
n
0.05
0.025
35
1.6896
2.0301
36
1.6883
2.0281
清华大学概率论与数理统计复习
三、其他（包括估计量优良准则及求概率等方面 的题型）
考题（ 1 2009级 24学时）
三、(本题12分)从正态总体X ~N(,0.52)中抽取
容量为10的样本X1, , X10，
10
（1）已知 0,求概率P{
题型分析
一、有关矩估计法及极大似然估计法方面的题型 考 题（1 2009级 24学 时 ）
五 、 (本 题18分 )设 随 机 变 量 X 的 分 布 函 数 为 ：
F
(
x;
,
)
1
(
x
)
,
x ， 其 中 参 数 0, 1,
0,
x
设
X
1
,
X
，
2
,
X
是
n
来
自
X
的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
简
单
随
机
样
本
，
（1） 当 1时 ， 求 未 知 参 数 的 矩 估 计 量 ；
s 0.037%,设测定值总体服从正态分布N(,2),试在 5%显著水平下，分别检验假设（1）H0： 0.5%; （2）H0： 0.04%。
清华大学概率论与数理统计复习
考题1（ 8 2004级 32学时） 六、(本题10分)某种材料的断裂程度X(kg/cm2) 服从正态分布N(,2),现从中抽取36个样本，得 其平均断裂强度X=66.5kg/cm2，标准差S=15kg/cm2。 问在显著性水平 0.05下，是否可以认为这种材料 的平均断裂强度为70kg/cm2？并给出检验过程。