FFT在电力系统谐波分析中的应用与研究
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t
图 4 FFT 结果模值
从图 3 中可以看出由于含有高次谐波，所以波形不平滑，在实际系统中这种信号时不允 许出现的，这里只是用它来验证结果是否合理。
我们用 MATLAB 对输入信号进行 64 点离散采样后，得到了 64 个样本点，我们将以 64 点样本点为采样数据，分别用 MATLAB 和系统分析对其进行 FFT 变ห้องสมุดไป่ตู้从而来实现谐波分析。
三相交流电中含有高次谐波，在仿真的时候，为了能够更加准确的反映出系统运行的性 能，所以特别夸大了高次谐波的含量，由于系统要求分析从 0 到 31 次谐波的分量，所以用 来仿真的波形中只含有这些信号量，取基波频率为 50HZ，而且我们将初相角都设为 0，现 设一个信号，其原始图形如下。
-3-
s s
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从结果可知，经 FFT 分析得到的谐波系数和真实值完全相等，所以 FFT 分析方法可用
于谐波的分析。
谐波有效值 1．1001
表 2 三种方法得到有效值比较 FFT 分析谐波有效值 1.1001
系统分析谐波有效值 1.1023
谐波有效值即：根据原图形信号的各次谐波的幅值的平方和开方后所得的真实有效值； 而 FFT 分析谐波有效值即：在原图形信号抽样 64 点后，对抽样信号做 FFT，应用 FFT 结果，根据公式（8）（9）可计算信号出有效值； 系统分析谐波有效值即：在原图形信号抽样 64 点后，不做 FFT，而是直接根据系统分 析谐波的公式（此处未列出），计算信号有效值。 可见，从利用 FFT 结果频谱分析出来的有效值和谐波真实的有效值相比较，是正确的， 而系统分析谐波则存在误差，所以 FFT 在系统谐波分析中得到广泛的应用。
-1-
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http://www.paper.edu.cn
而且还不能采取简单的措施来使得采样频率和信号频率同步，即在采样的过程中必定有 同步误差的存在。正因为有同步误差的存在，给谐波分析带来或多或少的误差，所以如何减 小同步误差对谐波分析的影响一直是一个广为关注的课题[3][4] 。
2.2 FFT 谐波分析方法及参数计算方法
3 MATLAB 仿真结果及比较
一个模拟信号，经过 ADC 采样之后，就变成了数字信号。采样定理告诉我们，采样频 率要大于信号频率的两倍，采样得到的数字信号，就可以做 FFT 变换了。N 个采样点，经 过 FFT 之后，就可以得到 N 个点的 FFT 结果。为了方便进行 FFT 运算，通常 N 取 2 的整 数次方。
2 N −1
− jnk 2π
∑ X (k) = x(n)e 2N = X r (k) + jXi (k)
k =0
k=0,1,2,…,127
（4）
其中 X (k) 是有实部 X r (k ) 和虚部 X i (k) 组成的复数。振幅谱可以有下式求得：
-2-
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（2)间谐波、次谐波和分数谐波不属于以上定义的谐波范围。 傅里叶级数是一种研究和分析谐波畸变的有效方法。通过傅立叶分解能够对畸变波形的 各种分量进行检查【1】【2】。
2 利用 FFT 进行谐波分析
2.1 同步采样
对电力系统谐波进行分析主要分为三个步骤：必须对信号进行采样，变换为离散序列；
建立数据窗，忽略数据窗前后的信号波形;最后用谐波分析方法对数据窗进行分析。 在进行以上三个步骤时，必须满足以下要求:首先满足采样定理，以免引起混叠，这一
1 2
U
2 mr
(k
)
+
U
2 mi
(k
)
（6）
•
AIm (k ) = Im (k ) =
1 2
I
2 mr
(k
)
+
I
2 mi
(k
)
（7）
其中，m=1，2，3； AUm (k) , AIm (k ) 分别为三相交流电压和电流第 k 次的谐波分量的
幅值[5][6] 。
2.2.2.有效值的计算 非正弦周期电压或电流的有效值等于各次谐波电压电流有效值的平方和的开方，由此，
The analysis and research of FFT in electric power system harmonic
Wang Wenwen
School of Information and Electrical Engineering of CUMT, Jiangsu Xuzhou（221008）
表 1 摘取了部分谐波系数来说明 FFT 分析方法的准确性以及和系统分析方法的比较。
谐波次数
0 1 5 10 15 20 25 30
频率（HZ）
0 50 250 500 750 1000 1250 1500
表 1 部分谐波系数分析表
谐波系数
谐波系数
FFT 分析
0.0016
0.0016
0.9600
0.9600
0.0800
0.0800
0.0640
0.0640
0.0600
0.0600
0.0040
0.0040
0.0016
0.0016
0.0006
0.0006
谐波系数 系统分析
0.0010 0.9600 0.0802 0.0656 0.0638 0.0092 0.0061 0.0022
绝对误差
0.0006 0.0000 0.0002 0.0016 0.0038 0.0052 0.0045 0.0016
AX (k) = X (k) =
X
2 r
(k)
+
X
2 i
(k
)
k=0,1,2,…,127
（5）
在三相交流电采集系统中，对于每一条被测线路各有三个电压输入和三个电流输入：
u1(n), u2 (n),u3(n), i1(n), i2 (n),i3(n), 根据上式可得电压和电流的振幅：
•
AUm (k) = Um (k ) =
可得电压与电流的有效值为：
U m=
127
∑ A2 Um
(k
)
k =1
2
（8）
127
∑ A2 Im
(k
)
I m=
k =1
2
（9）
其中，m=1，2，3；U m , I m 分别为被测电压电流u1(n), u2 (n),u3(n), i1(n), i2 (n),i3(n),
的有效值。由此可以滤出信号中的直流分量，而又含有基波至 127 次的有效值。
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FFT 在电力系统谐波分析中的应用与研究
王文文
中国矿业大学信息与电气学院，江苏 徐州（221008）
E-mail:wangww714@yahoo.cn
摘 要：本文首先简单介绍了电力系统谐波的基本概念，利用 FFT 结果对电力系统谐波参 数进行分析与研究，主要包括谐波系数的计算和有效值的计算，对电力系统谐波进行分析主 要分为三个步骤：必须对信号进行采样，变换为离散序列；建立数据窗，忽略数据窗前后的 信号波形;用谐波分析方法对数据窗进行分析。最后使用 MATLAB 对其仿真，并对 FFT 分 析方法和系统分析方法得到的结果进行比较。 关键词：谐波；FFT；MATLAB 中图分类号：TN919.5
随着计算机和微电子技术的发展，开始采用基于快速傅里叶变换（FFT）的方法来检测 电力谐波。快速傅里叶变换时离散傅里叶变换（DFT）的一种快速算法，能够满足利用计算 机对有限长序列进行频谱分析的要求。
设序列 x(n)的长度为 N，其 DFT 为：
N −1
∑ X (k) = x(n)WNnk n=0
反变换（IDFT）为：
点容易做到；其次采样频率必须与信号频率同步。也就是说，当数据窗为 l 倍(l 为整数)信号
1
周期 T、数据窗内采样次数为 N (N 为整数)、采样频率为 时,则当
Ts
lT = N Ts
（1）
时成立，即 N 个采样点恰好采集了整数个信号周期时，称采样频率与信号频率同步， 此时称为同步采样。同步采样法又被称为等间隔整周期采样或等周期均匀采样。但是在实际
k=0,1,…,N-1
（2）
∑ x(n)
=
1 N
N −1
X (k )WN−nk
k=0
n=0,1,…,N-1
（3）
其中WN
=
−
e
j
2n N
。直接计算
DFT，乘法次数和加法次数都和
N
2
成正比，当
N
较大时，
运算量太大。快速傅里叶变换利用系数WNnk 的对称性，周期性和可约性的特性，采用蝶形
结构来完成离散傅里叶变换，起结构如图 1 所示
X 1(k )
X1(k) + wNk X2 (k)
X2(k)
wNK
图 1 信号蝶形流图
X1(k)−wNk X2(k)
当 N = 2L 时，共有 L 级蝶形，每级都有 N 2 个蝶形运算组成，每对蝶形运算之间的距 离为 2m−1 。图中，m 表示第 m 级；k 表示第 k 行；把 k 值表示成 L 位的二进制数，左移 L-m 位，将右边空出的位置补零，即为 r 的二进制数。快速傅里叶变换的运算量和( N ) log 2N .
1 概述
什么是电力系统谐波？国际上公认的谐波含义是：“谐波是一个周期电气量的正弦波的 分量，其频率为基波频率的整数倍。”在中华人民共和国国家标准中，谐波的定义是：“谐 波是对周期性的交流量进行傅立叶级数分解，得到的频率大于 1 的整数倍分量”。从定义中 可以看到：
(1)谐波次数必须是个正整数。例如我国电力系统的额定频率是 50Hz，则 n 次谐波的频 率为 n×50Hz;有些国家电力系统的额定频率为 60Hz，则其基波频率为 60Hz, n 次谐波的频 率为 n×60Hz 。
Abstract This article describes the basic definition of Power System Harmonic(PSH) , then analyzes and researches on parameters of PSH consisting essentially of the calculation of harmonic coefficient and effective values through the Fast Fourier Transform (FFT) way.PSH is divided into three steps: the signal must be sampled, transformed into discrete sequence; establish the data window and ignore the signal wave after the data window; harmonic analysis method to analyze the data window though the harmonic analysis method . Finally, uses MATLAB software to simulate it. At last the paper compares the results which were got from the analysis of the FFT method and system analysis. Key words: harmonic;FF;MATLAB
-4-
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参考文献
[1] 吴竞昌.供电系统谐波[M]. 北京:中国电力出版社，1998 [2」中华人民共和国国家标准.电能质量公用电网谐波[M]. GB/T 14549-9 [3] 陈文进，江道灼.电力系统数据采样的几种同步方法〔J〕.继电器，2003, 31(11):2s-29 [4] 毛筱，肖雁鸿，龚理专等.FFT 应用于谐波测量中频谱泄漏的分析和处理[J]电工技术杂志，2001, 2: 3-4 [5] 陈怀琛，吴大正，高西全，MATLAB 及在电子信息课程中的应用[第 2 版]，北京，电子工业出版社， 2003 [6] 薛年喜，MATLAB 在数字信号处理中的应用，清华大学出版社，2003
测量过程中，采样频率和信号频率由于受到很多因素的影响，会随时变化，严格意义上的同 步采样是难以实现的，因为：
(1) 信号周期 T 的测量不会绝对准确，并且信号周期有时还是变化的； (2)定时器的定时不可能绝对准确，其精度至少要受到最小定时单位(分辨率)的限制； (3) A/D 转换、程序执行等都会产生时间延迟。
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原始信号图像
1.5
1
0.5
采样后的信号图像 1.5
1
0.5
0 0
-0.5 -0.5
-1 -1
-1.5 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 t
图 3 原始图形
-1.5 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02
2
成正比，运算量大大减少。 电流信号经变流器后，在一个周期内对其做等间隔的同步采样。对所获得的 N 点时域
离散数据进行快速傅里叶变换，得到信号的频域数据，即可算出基波和各次谐波的幅值，相 位以及谐波电流含量，总畸变率等参数。
2.2.1.谐波系数的计算
通过 FFT 运算，假设我们已经求得了被测信号 x(n) 高达 127 次的各次谐波分量：
由 FFT 的实现原理可知，只要求出[0，N/2-1]区间内的各个整数 K 值所对应的U 1(k ) 及 U 2(k) 值，即可求出[0, N-1]区间内的全部 U(k) 值，这就是快速傅里叶变换 FFT 能够大量节
省计算的关键所在。经验证，FFT 算法较 DFT 的计算量减少 1 到 2 个数量级，而且随着 N 的增大，优点更加突出。目前电力系统的谐波分析中，大都是采用快速傅里叶算法—FFT。
图 4 FFT 结果模值
从图 3 中可以看出由于含有高次谐波，所以波形不平滑，在实际系统中这种信号时不允 许出现的，这里只是用它来验证结果是否合理。
我们用 MATLAB 对输入信号进行 64 点离散采样后，得到了 64 个样本点，我们将以 64 点样本点为采样数据，分别用 MATLAB 和系统分析对其进行 FFT 变ห้องสมุดไป่ตู้从而来实现谐波分析。
三相交流电中含有高次谐波，在仿真的时候，为了能够更加准确的反映出系统运行的性 能，所以特别夸大了高次谐波的含量，由于系统要求分析从 0 到 31 次谐波的分量，所以用 来仿真的波形中只含有这些信号量，取基波频率为 50HZ，而且我们将初相角都设为 0，现 设一个信号，其原始图形如下。
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从结果可知，经 FFT 分析得到的谐波系数和真实值完全相等，所以 FFT 分析方法可用
于谐波的分析。
谐波有效值 1．1001
表 2 三种方法得到有效值比较 FFT 分析谐波有效值 1.1001
系统分析谐波有效值 1.1023
谐波有效值即：根据原图形信号的各次谐波的幅值的平方和开方后所得的真实有效值； 而 FFT 分析谐波有效值即：在原图形信号抽样 64 点后，对抽样信号做 FFT，应用 FFT 结果，根据公式（8）（9）可计算信号出有效值； 系统分析谐波有效值即：在原图形信号抽样 64 点后，不做 FFT，而是直接根据系统分 析谐波的公式（此处未列出），计算信号有效值。 可见，从利用 FFT 结果频谱分析出来的有效值和谐波真实的有效值相比较，是正确的， 而系统分析谐波则存在误差，所以 FFT 在系统谐波分析中得到广泛的应用。
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而且还不能采取简单的措施来使得采样频率和信号频率同步，即在采样的过程中必定有 同步误差的存在。正因为有同步误差的存在，给谐波分析带来或多或少的误差，所以如何减 小同步误差对谐波分析的影响一直是一个广为关注的课题[3][4] 。
2.2 FFT 谐波分析方法及参数计算方法
3 MATLAB 仿真结果及比较
一个模拟信号，经过 ADC 采样之后，就变成了数字信号。采样定理告诉我们，采样频 率要大于信号频率的两倍，采样得到的数字信号，就可以做 FFT 变换了。N 个采样点，经 过 FFT 之后，就可以得到 N 个点的 FFT 结果。为了方便进行 FFT 运算，通常 N 取 2 的整 数次方。
2 N −1
− jnk 2π
∑ X (k) = x(n)e 2N = X r (k) + jXi (k)
k =0
k=0,1,2,…,127
（4）
其中 X (k) 是有实部 X r (k ) 和虚部 X i (k) 组成的复数。振幅谱可以有下式求得：
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（2)间谐波、次谐波和分数谐波不属于以上定义的谐波范围。 傅里叶级数是一种研究和分析谐波畸变的有效方法。通过傅立叶分解能够对畸变波形的 各种分量进行检查【1】【2】。
2 利用 FFT 进行谐波分析
2.1 同步采样
对电力系统谐波进行分析主要分为三个步骤：必须对信号进行采样，变换为离散序列；
建立数据窗，忽略数据窗前后的信号波形;最后用谐波分析方法对数据窗进行分析。 在进行以上三个步骤时，必须满足以下要求:首先满足采样定理，以免引起混叠，这一
1 2
U
2 mr
(k
)
+
U
2 mi
(k
)
（6）
•
AIm (k ) = Im (k ) =
1 2
I
2 mr
(k
)
+
I
2 mi
(k
)
（7）
其中，m=1，2，3； AUm (k) , AIm (k ) 分别为三相交流电压和电流第 k 次的谐波分量的
幅值[5][6] 。
2.2.2.有效值的计算 非正弦周期电压或电流的有效值等于各次谐波电压电流有效值的平方和的开方，由此，
The analysis and research of FFT in electric power system harmonic
Wang Wenwen
School of Information and Electrical Engineering of CUMT, Jiangsu Xuzhou（221008）
表 1 摘取了部分谐波系数来说明 FFT 分析方法的准确性以及和系统分析方法的比较。
谐波次数
0 1 5 10 15 20 25 30
频率（HZ）
0 50 250 500 750 1000 1250 1500
表 1 部分谐波系数分析表
谐波系数
谐波系数
FFT 分析
0.0016
0.0016
0.9600
0.9600
0.0800
0.0800
0.0640
0.0640
0.0600
0.0600
0.0040
0.0040
0.0016
0.0016
0.0006
0.0006
谐波系数 系统分析
0.0010 0.9600 0.0802 0.0656 0.0638 0.0092 0.0061 0.0022
绝对误差
0.0006 0.0000 0.0002 0.0016 0.0038 0.0052 0.0045 0.0016
AX (k) = X (k) =
X
2 r
(k)
+
X
2 i
(k
)
k=0,1,2,…,127
（5）
在三相交流电采集系统中，对于每一条被测线路各有三个电压输入和三个电流输入：
u1(n), u2 (n),u3(n), i1(n), i2 (n),i3(n), 根据上式可得电压和电流的振幅：
•
AUm (k) = Um (k ) =
可得电压与电流的有效值为：
U m=
127
∑ A2 Um
(k
)
k =1
2
（8）
127
∑ A2 Im
(k
)
I m=
k =1
2
（9）
其中，m=1，2，3；U m , I m 分别为被测电压电流u1(n), u2 (n),u3(n), i1(n), i2 (n),i3(n),
的有效值。由此可以滤出信号中的直流分量，而又含有基波至 127 次的有效值。
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FFT 在电力系统谐波分析中的应用与研究
王文文
中国矿业大学信息与电气学院，江苏 徐州（221008）
E-mail:wangww714@yahoo.cn
摘 要：本文首先简单介绍了电力系统谐波的基本概念，利用 FFT 结果对电力系统谐波参 数进行分析与研究，主要包括谐波系数的计算和有效值的计算，对电力系统谐波进行分析主 要分为三个步骤：必须对信号进行采样，变换为离散序列；建立数据窗，忽略数据窗前后的 信号波形;用谐波分析方法对数据窗进行分析。最后使用 MATLAB 对其仿真，并对 FFT 分 析方法和系统分析方法得到的结果进行比较。 关键词：谐波；FFT；MATLAB 中图分类号：TN919.5
随着计算机和微电子技术的发展，开始采用基于快速傅里叶变换（FFT）的方法来检测 电力谐波。快速傅里叶变换时离散傅里叶变换（DFT）的一种快速算法，能够满足利用计算 机对有限长序列进行频谱分析的要求。
设序列 x(n)的长度为 N，其 DFT 为：
N −1
∑ X (k) = x(n)WNnk n=0
反变换（IDFT）为：
点容易做到；其次采样频率必须与信号频率同步。也就是说，当数据窗为 l 倍(l 为整数)信号
1
周期 T、数据窗内采样次数为 N (N 为整数)、采样频率为 时,则当
Ts
lT = N Ts
（1）
时成立，即 N 个采样点恰好采集了整数个信号周期时，称采样频率与信号频率同步， 此时称为同步采样。同步采样法又被称为等间隔整周期采样或等周期均匀采样。但是在实际
k=0,1,…,N-1
（2）
∑ x(n)
=
1 N
N −1
X (k )WN−nk
k=0
n=0,1,…,N-1
（3）
其中WN
=
−
e
j
2n N
。直接计算
DFT，乘法次数和加法次数都和
N
2
成正比，当
N
较大时，
运算量太大。快速傅里叶变换利用系数WNnk 的对称性，周期性和可约性的特性，采用蝶形
结构来完成离散傅里叶变换，起结构如图 1 所示
X 1(k )
X1(k) + wNk X2 (k)
X2(k)
wNK
图 1 信号蝶形流图
X1(k)−wNk X2(k)
当 N = 2L 时，共有 L 级蝶形，每级都有 N 2 个蝶形运算组成，每对蝶形运算之间的距 离为 2m−1 。图中，m 表示第 m 级；k 表示第 k 行；把 k 值表示成 L 位的二进制数，左移 L-m 位，将右边空出的位置补零，即为 r 的二进制数。快速傅里叶变换的运算量和( N ) log 2N .
1 概述
什么是电力系统谐波？国际上公认的谐波含义是：“谐波是一个周期电气量的正弦波的 分量，其频率为基波频率的整数倍。”在中华人民共和国国家标准中，谐波的定义是：“谐 波是对周期性的交流量进行傅立叶级数分解，得到的频率大于 1 的整数倍分量”。从定义中 可以看到：
(1)谐波次数必须是个正整数。例如我国电力系统的额定频率是 50Hz，则 n 次谐波的频 率为 n×50Hz;有些国家电力系统的额定频率为 60Hz，则其基波频率为 60Hz, n 次谐波的频 率为 n×60Hz 。
Abstract This article describes the basic definition of Power System Harmonic(PSH) , then analyzes and researches on parameters of PSH consisting essentially of the calculation of harmonic coefficient and effective values through the Fast Fourier Transform (FFT) way.PSH is divided into three steps: the signal must be sampled, transformed into discrete sequence; establish the data window and ignore the signal wave after the data window; harmonic analysis method to analyze the data window though the harmonic analysis method . Finally, uses MATLAB software to simulate it. At last the paper compares the results which were got from the analysis of the FFT method and system analysis. Key words: harmonic;FF;MATLAB
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参考文献
[1] 吴竞昌.供电系统谐波[M]. 北京:中国电力出版社，1998 [2」中华人民共和国国家标准.电能质量公用电网谐波[M]. GB/T 14549-9 [3] 陈文进，江道灼.电力系统数据采样的几种同步方法〔J〕.继电器，2003, 31(11):2s-29 [4] 毛筱，肖雁鸿，龚理专等.FFT 应用于谐波测量中频谱泄漏的分析和处理[J]电工技术杂志，2001, 2: 3-4 [5] 陈怀琛，吴大正，高西全，MATLAB 及在电子信息课程中的应用[第 2 版]，北京，电子工业出版社， 2003 [6] 薛年喜，MATLAB 在数字信号处理中的应用，清华大学出版社，2003
测量过程中，采样频率和信号频率由于受到很多因素的影响，会随时变化，严格意义上的同 步采样是难以实现的，因为：
(1) 信号周期 T 的测量不会绝对准确，并且信号周期有时还是变化的； (2)定时器的定时不可能绝对准确，其精度至少要受到最小定时单位(分辨率)的限制； (3) A/D 转换、程序执行等都会产生时间延迟。
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原始信号图像
1.5
1
0.5
采样后的信号图像 1.5
1
0.5
0 0
-0.5 -0.5
-1 -1
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图 3 原始图形
-1.5 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02
2
成正比，运算量大大减少。 电流信号经变流器后，在一个周期内对其做等间隔的同步采样。对所获得的 N 点时域
离散数据进行快速傅里叶变换，得到信号的频域数据，即可算出基波和各次谐波的幅值，相 位以及谐波电流含量，总畸变率等参数。
2.2.1.谐波系数的计算
通过 FFT 运算，假设我们已经求得了被测信号 x(n) 高达 127 次的各次谐波分量：
由 FFT 的实现原理可知，只要求出[0，N/2-1]区间内的各个整数 K 值所对应的U 1(k ) 及 U 2(k) 值，即可求出[0, N-1]区间内的全部 U(k) 值，这就是快速傅里叶变换 FFT 能够大量节
省计算的关键所在。经验证，FFT 算法较 DFT 的计算量减少 1 到 2 个数量级，而且随着 N 的增大，优点更加突出。目前电力系统的谐波分析中，大都是采用快速傅里叶算法—FFT。