证明线段相等的技巧
证明圆中线段相等的几个途径
数学篇学思导引圆的知识是平面几何中的重要内容.它与平行线、等腰三角形、相似三角形、特殊四边形的知识有着密切的联系.因此，证明圆中线段相等的方法灵活多样，而且很复杂.对此，笔者归纳了如下几种证明方法，以期对同学们解题有所帮助.一、利用“等角对等边”等角对等边是指在同一三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.它是判定等腰三角形的重要依据，也是证明线段相等的重要方法.在求证圆中线段相等问题时，当所要证明的两条线段是同一个三角形的两边，同学们可以利用“等角对等边”的性质，证得两边所对的角相等，这样就能证得这两条线段相等.例1如图1，在Rt△MNP中，∠MPN=90°，以MP为直径的⊙O交MN于点Q，过点Q作⊙O的切线RS交NP于点S.求证：NS=QS.图1分析：观察图形，不难看出，NS、QS这两条线段同在△NQS中，因此，在求证时不妨考虑等腰三角形，利用“等角对等边”的性质得到NS=QS.证明：如图1所示，连接PQ.因为MP为⊙O的直径，所以∠MQP=∠NQP=90°，所以∠PQS+∠SQN=90°，∠N+∠QPN=90°.又因为∠MPN=90°，MP为⊙O的直径，所以NP与⊙O相切于点P.因为RS与⊙O相切于点Q，所以QS=SP，所以∠PQS=∠QPN，∠N=∠SQN，所以NS=QS.评注：利用“等角对等边”证明圆中线段相等，关键在于证明圆中同一个三角形的两个角相等，而证明两角相等则可以从同位角、内错角相等，以及全等三角形等方面予以考虑.二、利用“全等三角形对应边相等”我们都知道，全等三角形的对应边相等.在证明圆中线段相等时，若圆中所要证明的线段不在同一个三角形中，此时同学们要注意思考圆中待证的两条线段所在的三角形是否全等，然后借助两个三角形全等，得出它们的对应边相等，即所证的目标线段相等.例2如图2，在⊙O中，P、Q分别是半径OM、ON上的点，且MP=NQ，点R为弧MN的中点，连接RP、RQ.求证：RP=RQ.图2分析：线段RP、RQ在同一个圆中，但并不在同一个三角形中，直接证明行不通.不妨证明圆中线段相等的几个途径江苏省盐城市新洋第二实验学校孙鸽林28数学篇学思导引添加辅助线，连接OR ，这样圆中四边形OPRQ 就被分割为△OPR 和△OQR 两个三角形，只要证明△OPR ≌△OQR ，再根据全等三角形对应边相等，即可得到目标线段相等.证明：如图2所示，连接OR .因为MP =NQ ，OM =ON ，所以OP =OQ .因为点R 为弧MN 的中点，所以有 MR =NR ，所以∠MOR =∠NOR .在△OPR 和△OQR 中，ìíîïïOP =OQ ,∠MOR =∠NOR OR =OR ,，所以△OPR ≌△OQR （SAS ），所以RP =RQ .评注：利用“全等三角形对应边相等”是证明圆中线段相等的一种有效方法.它的关键点是在圆中寻找或构造全等三角形，再利用“全等三角形对应边相等”这一性质证明线段相等.三、利用“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”由圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理可知，在同圆或等圆中，倘若两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量是相等的，那么它们所对应的其余各组量也是相等的.因此，在求证圆中线段相等时，若题目涉及圆心角、弧、弦、弦心距等时，同学们要注意结合已知条件，巧用圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理及推论来解答问题.例3如图3所示，MN 是☉O 的直径，MP 为弦，过弧MP 的中点Q 作QR ⊥MN 于点S .求证：QR =MP.图3分析：根据题意和图形，很容易看出QR 、MP 是圆中的两条弦，所以要证明QR =MP ，可以从圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系入手.证明：因为直径MN ⊥QR ，所以 MQ =MR （根据垂径定理），又因为 MQ =QP ，所以 MR = MR = PC ，所以 QR = MP ，所以 QR = MP .评注：利用“圆心角、弧、弦、弦心距关系定理及推论”是证明圆中线段相等的常用方法之一.如果所证明的相等线段是弦、弦心距、弓形高中的一种，就可以通过证明其他的量相等，从而证得所需要的结论.上期《<不等式与不等式组>巩固练习》参考答案1.C ；2.A ；3.D ；4.D ；5.B ；6.0；7.≥-12；8.m >-1；9.2（答案不唯一）；10.-2<x <3，a ≥2；11.解：（1）设A 型电动公交车的单价为x 万元，B 型电动公交车的单价为y 万元．依题意，得ìíî2x +y =112,x +y =76,解得ìíîx =36,y =40;答：A 型电动公交车的单价是36万元，B型电动公交车的单价是40万元．（2）设购买A 型电动公交车m 辆，则购买B 型电动公交车（30-m ）辆．依题意得36m +40（30-m ）≤1128，解得m ≥18.又m ≤20，∴18≤m ≤20．设购买这两种电动公交车共30辆的总费用为w 万元，依题意，得w =36m +40（30-m ）=-4m +1200.∵-4<0，∴w 随m 的增大而减小．∴当m =20时，w 取得最小值.此时30-m =30-20=10．∴最省钱的购买方案为：购买A 型电动公交车20辆，B 型电动公交车10辆．29。
初二几何证明方法 总结
初二几何证明方法总结一、证两线段相等方法1、证明三角形全等：全等三角形的对应边相等；2、两线段在同一三角形中，通常利用等角对等边；3、角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；4、线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；5、等腰三角形的性质：三线合一，即等腰三角形的顶角平分线或底边上的高平分底边；6、等边三角形三边相等；7、线段的和、差、倍、分，即根据等式性质：等量的和、差、倍、分仍是相等，如：若a=b，则a－c=b－c；若a=b，则a+c=b+c；8、三角形中线或中点的定义；9、等量代换，即等于同一条线段的两线段相等，如a=b,b=c,则a=c；二、证明两角相等1、证明三角形全等：全等三角形的对应角相等；2、两个角在同一三角形中，通常证明等边对等角；3、等量代换即等于同一个角的两角相等；4、角平分线的定义；5、角平分线性质：到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上，再由角平分线的定义可证得两角相等6、同角或等角的余角（或补角）相等；7、证明两直线平行，同位角、内错角相等；8、等腰三角形的性质：三线合一，即等腰三角形的底边上的中线或高平分顶角，再由角平分线的定义可证得两角相等；9、等边三角形各角都相等，并且每个角都等于60°；10、角的和、差、倍、分，即根据等式性质：等量的和、差、倍、分仍是相等；其中有常用方法是：两个三角形如果分别有两个角相等，那么第三个角也相等；11、对顶角相等；三、证垂直或证一个角是直角的方法：1、线段垂直平分线的性质：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，即若有到线段两个端点的距离相等的两个点，则过这两点的直线是线段的垂直平分线；2、若∠1+∠2=180°，∠1=∠2，则∠1=∠2=90°，即证互补的两个角相等；3、等腰三角形的性质：三线合一，即若有等腰三角形的顶角平分线，则平分底边并垂直于底边；4、利用角的和、差、倍、分计算出90°，根据垂直定义，证明垂直；5、轴对称的性质：对称轴垂直平分任意一对对应点的连线。
中考数学：证明线段相等的一些常见方法
证明线段相等的一些常见方法证明线段相等，是初中阶段学生学习几何后经常遇到的一类问题，是学生学习几何的常见入门题，也是学生后继学习的基础.本文以一道题为例，介绍证明线段相等的常见方法.问题如图1，在四边形ABCD 中，105ACB BAD ∠=∠=︒，45ABC ABD ∠=∠=︒，求证：CD AB =方法1如图2，过点C 作CE AB ⊥于点E ，再过点A 作AF CD ⊥于点F .则可证ACE ACF∆≅∆于是有CE CF AF AE ==，.45ABC ABD ∠=∠=︒CE CF AF AE∴==，得AB CD=方法2如图3，过C 点作AB 的平行线交AD 于M 点，则由条件，易得30ACM BAC DCM ∠=∠=∠=︒，75AMC CAM ∠=∠=︒AC CM∴=ABC CDM ∴∆≅∆，于是有AB CD=方法3如图4，过点A 作CD 的垂线交BC 的延长线于E 点.10545ACB ABC ∠=︒∠=︒，30BAC ∴∠=︒10545BAD ADC ∠=︒∠=︒，7560DAC ACD ∴∠=︒∠=︒，30CAE ∴∠=︒75AEC ACE AE AC∴∠=∠=︒=，故由ABE CDA ∆≅∆，得AB CD=方法4如图5，过A 作AE DC ⊥于点E ，并延长到点N ，使AN AB =，连CN ，则有ABC ANC∆≅∆45N D ∴∠=∠=︒DE AE EN EC∴==，DC AN AB∴==方法5如图6，过点C 作CH AB ⊥于点H ，并延长到点G ，使CG CD =，连AG ,则有ADC AGC∆≅∆45G D ∴∠=∠=︒AH HG GH BH∴==，DC CG AB∴==实际上，方法4和方法5都是利用了对称的思想，分别以AC 所在直线为对称轴.方法6如图7，过C 点作DC 的垂线交DA 的延长线于P 点.则有PAC BCA∆≅∆得AB CP CD==方法7如图8，过A 点作AB 的垂线交BC 的延长线于Q 点，则有QAC DCA ∆≅∆，得AB CQ CD==方法8如图9，以AB BC 、为邻边构造ABCE ，连DE .由45ADC AEC ∠=∠=︒，可知A E D C 、、、四点共圆(当然也可通过三角形相似解决)，得75DEC DAC ∠=∠=︒30ADE ACE ∠=∠=︒75DEC EDC ∴∠=∠=︒DC EC AB∴==方法9如图10，以AD DC 、为邻边构造ADCR ，连BR ;类似方法8得解.方法10如图11，分别过D C 、点作AD AC 、的垂线交于E 点.易知A D E C 、、、四点共圆，DC 平分ADE ∠,EC AC∴=EDC CBA CD AB∴∆≅∆=，方法11如图12，分别过A B 、点作AC BC 、的垂线交于E 点;类似方法10得解.方法12如图13，分别作ADC ∆和ABC ∆的外接圆⊙1O ，和⊙2O .45ABC ADC ∠=∠=︒ 2sin sin AC AC r D B ∴==∠∠，（r 为外接圆半径）∴⊙1O ，和⊙2O 为等圆，故CD AB=反思1、本题纯以角度为条件，由条件可以求出所有角的度数，由此联想到寻找特殊角度，构造含特殊角度的直角三角形，所以首先想到方法1.2、构造全等是我们解决证明线段相等的常见手段.当把相关线段放在三角形中发现不全等时，用“一定、二看、三构造”的策略构造全等形，方法2和方法3就呼之而出.3、全等变换在初中阶段不常用，但用之有效.本例中方法4、方法5、方法6、方法7都用了轴对称;方法8和方法9都用到了中心对称的思想;方法10和方法11既有轴对称又有中心对称的思想.4、利用等边对等角的性质，构造辅助圆，结合利用正弦定理.5、巧妙利用45度的特殊角，构造等腰直角三角形，转移线段建立联系.如方法6和方法7.6、实际上解决本题的方法还有很多.如构造相似三角形，利用相似，通过中间比证明线段相等.利用“双A形”结合平行线分线段成比例定理证明线段相等等.本例中，用到的方法贯穿整个初中阶段，同学们要注意方法的提炼、总结、归类，由此掌握数学思想方法，提高解决数学问题的能力.。
证明线段相等角相等平行垂直的方法 Microsoft Word 文档
平面几何定理总结1、证明两条线段相等的方法（1）全等三角形的对应边、对应角相等（2）在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等（3）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（4）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形（5）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半（6）直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半（7）线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等（8）直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方（9）平行四边形的对边相等（10）夹在两条平行线间的平行线段相等（11）矩形的对角线相等（12）菱形的四条边都相等（13）正方形的四条边相等、两条对角线相等（14）等腰梯形的两条对角线相等（15）如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等（16）经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰（17）经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边（18）三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半（19）梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半（20）垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧（21）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等（22）从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等（23）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等（24）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦2、证明角相等的方法（1）同角或等角的补角相等（2）同角或等角的余角相等（3）两直线平行，同位角相等（4）两直线平行，内错角相等（5）两直线平行，同旁内角互补（6）等腰三角形的两个底角相等（7）平行四边形的对角相等（8）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（9）等腰梯形两底角相等（10）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（11）同弧或等弧所对的圆周角相等（12）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角（13）如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等（14）圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角（15）从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角（16）等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于603、证明平行的方法（1）如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行（2）同位角相等，两直线平行（3）内错角相等，两直线平行（4）同旁内角互补，两直线平行（5）三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半（6）梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半（7）如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边（8）到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线4、证明垂直的方法（1）等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合（3）和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上（4）三角形两边a、b的平方和、等于第三边c的平方，则此三角形直角三角形（5）矩形的四个角都是直角（6）菱形的对角线互相垂直（7）正方形的四个角都是直角（8）平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧（9）半圆(或直径)所对的圆周角是直角（10）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形（11）圆的切线垂直于经过切点的半径5、证明全等或相似的方法（1）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（2）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（3）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（4）有三边对应相等的两个三角形全等（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（6）关于某条直线对称的两个图形是全等形（7）关于中心对称的两个图形是全等的（8）平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似（9）两角对应相等，两三角形相似（10）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（11）三边对应成比例，两三角形相似（12）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似（13）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似6、有关比例的定理（1）比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc（2）合比性质如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d（3）等比性质如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b（4）三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例（5）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例（6）平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例（7）相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比（8）相似三角形周长的比等于相似比（9）相似三角形面积的比等于相似比的平方（10）相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等（11）如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项（12）切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项（13）从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等7、几何不等式（1）三角形两边的和大于第三边（2）三角形两边的差小于第三边（3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和（4）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
证明两线段相等 1
证明两线段相等1.两全等三角形中对应边相等。
2.同一三角形中等角对等边。
3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。
4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。
5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。
6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。
7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。
*9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。
*10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。
11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。
*12.两圆的内（外）公切线的长相等。
13.等于同一线段的两条线段相等。
证明两个角相等1.两全等三角形的对应角相等。
2.同一三角形中等边对等角。
3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。
4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。
5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。
*6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
*7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
8.相似三角形的对应角相等。
*9.圆的内接四边形的外角等于内对角。
10.等于同一角的两个角相等。
证明两直线平行1.垂直于同一直线的各直线平行。
2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。
3.平行四边形的对边平行。
4.三角形的中位线平行于第三边。
5.梯形的中位线平行于两底。
6.平行于同一直线的两直线平行。
7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。
证明两条直线互相垂直1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。
2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。
3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。
《证明线段相等-角相等-线段垂直》的方法总结
《段相等，角相等，线段垂直》的专题复习一.证明线段相等的方法：1.中点：2.等式的性质3.全等三角形4借助中介线段二.证明角相等的方法1.对顶角相等2.等式的性质3.角平分线4垂直的定义5.两直线平行（同位角，内错角）6.全等三角形7.同角的余角相等8等角的余角相等9.同角的补角相等10等角的补角相等11.三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和三．证明垂直的方法1.证明两直线夹角=90°2.证明邻补角相等3.证明邻补角的平分线互相垂直4证明三角形两内角之和=90°5.垂直于平行线中的一条直线，必定垂直于另一条6.证明此角所在的三角形与已知的直角三角形全等经典题型：.利用角平分线的定义例题1.如图，已知AB=AC，AD//BC，求证2、基本图形“双垂直”本节常用辅助线是围绕角平分线性质构造双垂直（需对其对称性形成感觉）。
例题2.如图，，与的面积相等．求证：OP平分．例题3、如图，，E是BC的中点，DE平分．求证：AE是的平分线．3.利用等腰三角形三线合一例题4.正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AE=DC+CE，求证：AF平分∠DAE。
4.利用定理定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
例5.如图，已知ΔABC的两个外角∠MAC、∠NCA的平分线相交于点P，求证点P在∠B的平分线上。
5..和平行线结合使用，容易得到相等的线段。
基本图形：P是∠CAB的平分线上一点，PD∥AB，则有∠1=∠2=∠3，所以AD=DP。
例6.如图，ΔABC中，∠B的平分线与∠C外角的平分线交于D，过D作BC的平行线交AB、AC于E、F，求证EF=BE-CF。
6.利用角平分线的对称性。
例7.如图，已知在ΔABC中，AB>AC，AD是ΔABC的角平分线，P是AD上一点，求证AB-AC>PB-PC。
7.角平分线与垂直平分线综合例题8、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC，且平分BC于G，DE⊥AB于E，DF⊥AC延长线于F．（1）求证：BE=CF．角平分线专题复习（解答部分）一、平分线的应用。
证明线段相等的方法常用的9种方法
证明线段相等的方法常用的9种方法线段相等是几何学中的基本概念之一，它是指两条线段的长度相等。
在几何学中，我们常常需要证明两条线段相等，这时我们可以使用以下9种方法来证明。
1. 利用勾股定理：如果两个直角三角形的两条直角边分别相等，那么它们的斜边也相等。
因此，如果我们能够证明两条线段是直角三角形的两条直角边，那么它们的长度就相等了。
2. 利用等腰三角形的性质：如果两条线段分别是等腰三角形的两条等边，那么它们的长度也相等。
3. 利用相似三角形的性质：如果两个三角形相似，那么它们的对应边长成比例。
因此，如果我们能够证明两条线段是相似三角形的对应边，那么它们的长度也相等。
4. 利用平移的性质：如果我们能够将一条线段平移至另一条线段上，使得它们的起点和终点重合，那么这两条线段的长度就相等了。
5. 利用旋转的性质：如果我们能够将一条线段绕着一个点旋转，使得它与另一条线段重合，那么这两条线段的长度也相等了。
6. 利用反证法：假设两条线段长度不相等，那么它们之间必然存在一个距离。
我们可以通过构造一个三角形来证明这个距离是不存在的，从而推出两条线段的长度相等。
7. 利用重心的性质：如果两条线段分别是一个三角形的两条边，且这个三角形的重心恰好在这两条线段的中点，那么这两条线段的长度也相等了。
8. 利用垂线的性质：如果两条线段分别是一个直角三角形的两条直角边，且它们的中点连成一条线段与直角边垂直相交，那么这两条线段的长度也相等了。
9. 利用向量的性质：如果我们能够将两条线段表示成向量的形式，那么它们的长度相等当且仅当它们的向量相等。
证明线段相等的方法有很多种，我们可以根据具体情况选择不同的方法来证明。
在实际应用中，我们需要根据题目的要求和条件来选择最合适的方法，以便更快更准确地得出结论。
专题14证明线段相等的常用方法
证明线段相等的常用方法平面几何中线段相等的证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦，恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。
【基本模型】（一）常用轨迹中：①两平行线间的距离处处相等.②线段中垂线上任一点到线段两端点的距离相等.③角平分线上任一点到角两边的距离相等.④平行线等分线段定理：若一组平行线在一条直线上截得的线段相等,则在其它直线上截得的线段也相等. （二）三角形中：①同一三角形中,等角对等边.（等腰三角形两腰相等、等边三角形三边相等）②任意三角形的外心到三顶点的距离相等.③任意三角形的内心到三边的距离相等.④等腰三角形顶角的平分线（或底边上的高、中线）平分底边.⑤直角三角形中,斜边的中线等于斜边一半.⑥有一角为60°的等腰三角形是等腰三角形是等边三角形.⑦中位线：过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边.⑧同底或等底的三角形,若面积相等,则高也相等.同高或等高的三角形,若面积相等,则底也相等.（三）特殊四边形中：①平行四边形对边相等,对角线相互平分.②矩形对角线相等,且其的交点到四顶点的距离相等.③菱形中四边相等.④等腰梯形两腰相等、两对角线相等.⑤梯形中位线：过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰.（四）圆中：①同圆或等圆的半径相等、直径相等；等弧或等圆心角、等圆周角所对的弦、弦心距相等.②同圆或等圆中,等弦所对的弦心距相等,等弦心距所对的弦相等.③任意圆中,任一弦总被与它垂直的半径或直径平分.④自圆外一点所作圆的两切线长相等.⑤两相交圆的公共弦总被连心线垂直平分.（五）全等形中：全等形中,一切对应线段（对应的边、高、中线、角平分线、外接圆半径、内切圆半径……）都相等.（六）等量代换或线段运算：①等于同一线段的两条线段相等.②对应相等线段的和相等；对应相等线段的差相等.③对应相等线段乘以相等倍数所得的积相等；对应相等线段除以相等倍数所得的商相等.【典例分析】［例1］（2019苏州）如图，ABC △中，点E 在BC 边上，AE AB =，将线段AC 绕点A 旋转到AF 的位置，使得CAF BAE ∠=∠，连接EF ，EF 与AC 交于点G ．求证：EF BC =.【点拨】利用全等三角形的性质证明线段相等，如果所证两条线段分别在不同的三角形中，它们所在三角形看似全等，或者，通过简单处理，它们所在三角形看似全等，可考虑这种方法。
巧用全等三角形证明线段相等五例
巧用全等三角形证明线段相等五例三角形全等是证明线段相等、角相等的重要工具，而掌握三角形全等的判断方法，一方面可以培养同学们的逻辑推理能力，另一方面又可以为今后的进一步学习作好准备。
为帮助大家顺利掌握利用全等三角形证明线段相等的有关知识，现举几例供大家参考——（一）利用“SAS”判定两三角形全等，从而得到线段相等例1．如图①，已知点B 是线段AC 的中点，且有DB = EB ，∠EBA=∠DBC. 试说明AD=CE 成立的理由。
解：∵点B 是线段AC 的中点(已知)，∴AB=CB（线段中点的意义）.又∵∠EBA=∠DBC(已知)，∴∠DBA=∠DBE＋∠EBA=∠DBE＋∠DBC=∠EBC.在△ABD 和△CBE 中：AB=CB DBA=EBC()DB=EB )⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，已知，(已知． ∴△ABD≌△CBE（SAS ）.∴AD=CE（全等三角形的对应边相等）.评注：本例的解题依据是——有一个角和夹这个角的两边对应相等的两个三角形全等（简称为“边角边”）。
（二）利用“ASA”判定两三角形全等，从而得到线段相等例2．如图②，已知∠ABC＝∠DCB，∠ABD＝∠DCA，试说明AC=DB 成立的理由。
解：∵∠ABC＝∠DC B ，∠ABD＝∠DCA (已知).∴∠ABC－∠ABD =∠DCB－∠DCA（等式的性质），即∠DBC＝∠ACB.在△ABC 和△DCB 中：DBC=ACB BC=CB ABC=DCB )∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩，（公共边)，(已知．∴△ABC≌△DCB（ASA ）.∴AC=DB（全等三角形的对应边相等）.评注：本例的解题依据是——有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等（简称为“角边角”）。
（三）利用“AAS”判定两三角形全等，从而得到线段相等例3．如图③，已知△ABC 中，∠ACB=90°，且AC=BC 。
过点C 作一条射线CE⊥AE 于E ，再过点B 作BD⊥CE 于D.试说明AE=CD 成立的理由。
例举线段相等的证明方法
例举线段相等的证明方法作者：黄文军来源：《理科考试研究·初中》2014年第01期证明线段相等的常用方法有：（一）一般方法：全等三角形的性质；2线段的垂直平分线或角平分线的性质；3等腰三角形的性质或“三线合一”的性质；4特殊四边形的性质；成比例线段；6圆中垂径定理，或切线长定理，或在同圆（等圆）中，等弧对等弦、弦心距等则弦等、弦等则弦心距等；7中间量传递；8计算证明（二）特殊方法：方程法、面积法、三角函数法、补形法、反证法、同一法大多数题有多种解法，需要对各种解法进行优化，找出最直接、最简单的一种有些题还需要用两种或两种以上的方法合并解决例如图，菱形ABCD中，∠B=60°，点E在边BC上，点F在边CD上（）如图，若E是BC的中点，∠AEF=60°，求证：BE=DF；（2）如图2，若∠EAF=60°，求证：△AEF是等边三角形分析与解（）如图3，连结AC，在菱形ABCD中，∠B=60°，根据菱形的性质，易得△ABC是等边三角形因为E是BC的中点，根据“三线合一”，可得AE⊥BC因为∠AEF=60°，所以∠FEC=90°-∠AEF=30°，∠CFE=80°-∠FEC-∠C=80°-30°-20°=30°，继而求得∠FEC=∠CFE，即可得EC=CF，继而证得BE=DF（2）如图4，连结AC，可得△ABC是等边三角形，即可得AB=AC，求得∠ACF=∠B=60°因为AD∥BC，所以∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD，∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD，所以∠AEB=∠AFC根据“AAS”定理，证得△AEB≌△AFC，所以AE=AF又因为∠EAF=60°，所以△AEF是等边三角形点评此题主要运用了数形结合思想，合理构造辅助线，继而利用菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的判定与性质证明线段相等例2 如图，在ABCD中，BE交对角线AC于点E，DF∥BE交AC于点F（）写出图中所有的全等三角形（不得添加辅助线）；（2）求证：BE=DF分析与解（）根据平行四边形性质推出AD=BC，AB=CD，根据“SSS”证出△ABC≌△CDA；根据平行线性质推出∠AFD=∠CEB，∠DAF=∠BCE，根据“AAS”证出△AFD≌△CEB；推出∠AEB=∠CFD，∠BAE=∠DCF，根据“AAS”证出△ABE≌△CDF；（2）因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，所以∠DAF=∠BCE因为DF∥BE，所以∠AFD=∠CEB即∠AFD=∠CEB，∠DAF=∠BCE，AD=BC，所以△AFD≌△CEB （AAS），所以BE=DF点评本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的性质和判定的应用主要考查了学生运用性质进行推理的能力当然，问题（2）也可以通过证明△ABE≌△CDF解决关键只要能找到分别有BE、DF为对应边的两个全等三角形例3 如图6，在四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，CD与以AB为直径的半圆相切于点E，EF⊥AB于点F，EF交BD于点G，设AD=a，BC=b（）求CD的长度（用a，b表示）；（2）求EG的长度（用a，b表示）；（3）试判断EG与FG是否相等，并说明理由分析与解（）因为AB为半圆的直径，∠DAB=∠ABC=90°，所以DA、BC为半圆O的切线又因为CD与以AB为直径的半圆相切于点E，所以DE=DA=a，CE=CB=b，所以CD=a+b（2）因为EF⊥AB，所以EG∥BC，所以EG∶BC=DE∶DC，即EG∶b=a∶（a+b），所以EG=点评一道大题目下，如果有几个小问题，而且这几个小问题都没有增添附加条件，那么前面小问题的结论，就可以作为解决后续小问题的条件本题充分运用平行线成比例线段，设而不求，分别用字母a、b表示所证线段EG、FG，通过计算、比较获得结论在具体写比例式时，用直线BD上的三条线段DG、BG、BD作为桥梁进行过渡，也是成功解决线段相等问题的关键。
初中数学学习技巧掌握几何形的判定方法
初中数学学习技巧掌握几何形的判定方法初中数学学习技巧：掌握几何形的判定方法几何形的判定在初中数学学习中是非常重要的一部分。
几何形的判定方法可以帮助我们准确地辨认和描述各种几何形状，进而解决相关的几何问题。
下面将介绍几种常见的几何形的判定方法及其应用。
一、判定线段的相等在几何学中，判定线段的相等需要根据给定条件判断。
常见的线段相等的判定方法有以下几种：1. 等分线段的判定方法当一条线段被分为两段，且这两段长度相等时，可以判定这两段线段相等。
2. 同位角相等法如果两条直线上的两个角度，且这两对角度的度数相等，则这两条直线上的线段也相等。
3. 垂直角相等法如果两条直线的交叉角度相等, 那么这两条直线所在的线段的长度也相等。
二、判定角的相等几何学中的判定角的相等也是非常重要的。
下面介绍几种常见的判定角的相等方法：1. 测量工具法使用直尺、量角器等测量工具可以有效判断角的大小，并据此判断角的相等。
2. 基础角相等法如果两个角都是由同一条直线和同一条射线形成的，并且这两个角的度数相等，那么这两个角是相等的。
3. 同位角相等法如果两条直线上的两个角度，且这两对角度的度数相等，则这两对角相等。
三、判定三角形的形状在几何学中，判定三角形的形状需要根据给定条件进行分析。
以下是几种常见的判断三角形形状的方法：1. 三边相等法如果一个三角形的三条边的长度都相等，则这个三角形是等边三角形。
2. 两边相等法如果一个三角形的两条边的长度相等，那么这个三角形是等腰三角形。
3. 两角相等法如果一个三角形的两个角度的度数相等，那么这个三角形是等角三角形。
四、判定四边形的形状四边形在几何学中也是常见的形状之一，以下是几种常见的判断四边形形状的方法：1. 四边相等法如果一个四边形的四条边的长度都相等，那么这个四边形是等边四边形。
2. 对角线相等法如果一个四边形的对角线的长度相等，那么这个四边形是菱形。
3. 两组对边平行法如果一个四边形的两组对边都是平行的，那么这个四边形是平行四边形。
平面几何中线段相等的证明几种方法
平面几何中线段相等的证明几种方法平面几何中线段相等的证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦，特别是在有限的两个小时考试中。
恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。
笔者在教学中总结了几种方法，供中学生读者参考。
一、利用全等三角形的性质证明线段相等这种方法很普遍，如果所证两条线段分别在不同的三角形中，它们所在三角形看似全等，或者，通过简单处理，它们所在三角形看似全等，可考虑这种方法。
［例1］如图，C是线段AB上一点，△ACD和△BCE是等边三角形。
求证：AE=BD。
证明∵△ACB和△BCE都是等边三角形∴∠ACD=60°，∠BCE=60°，∠DCE=60°∴∠ACE=∠ACD＋∠DCE=120°∠BCD=∠BCE＋∠DCE=120°∴AC=CD，CE=CB∴△ACE≌△DCB（SAS）∴AE=DB［例2］如图，已知△ABC中，AB=AC，点E在AB上，点F在AC的延长线上，且BE=CF，EF与BC交于D，求证：ED=DF。
证明：过点E作EG//AF交BC于点G∴∠EGB=∠ACB，∠EGD=∠FCD∵AB=AC∴∠B=∠ACB，∠B=∠FGB，BE=GE∵BE=CF，∴GE=CF在△EGD和△FCD中，∠EGD=∠FCD，∠EDG=∠FDC，GE=CF∴△EGD≌△FCD（AAS）∴ED=FD二、利用等腰三角形的判定（等角对等边）证明线段相等如果两条所证线段在同一三角形中，证全等一时难以证明，可以考虑用此法。
［例1］如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE=AC，延长BE交AC于F。
求证：AF=EF。
证明：延长AD到G，使DG=AD，连结BG。
∵AD=GD，∠ADC=∠GDB，CD=BD∴△ADC≌△GDB∴AC=GB，∠FAE=∠BGE∵BE=AC∴BE=BG，∠BGE=∠BEG∴∠FAE=∠BGE=∠BEG=∠AEF∴AE=EF［例2］如图，已知△ABC中，AB=AC，DF⊥BC于F，DF与AC交于E，与BA的延长线交于D，求证：AD=AE。
证明线段相等的10种方法
※．在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为AB 上一点，E 为AC 延长线上一点，且BD ＝CE ，连DE 交BC 于F ，求证：DF ＝EF 。
［证法1］过D 作DG ∥AC 交BC 于G 。
∵AB ＝AC ，∴ABC ∠＝ACB ∠。
∵DG ∥AC ，∴DGB ∠＝ACB ∠，∴ABC ∠＝DGB ∠，∴BD ＝DG ， 又BD ＝CE ，∴BD ＝CE 。
∵DG ∥AC ，∴FDG ∠＝FEC ∠、FGD ∠＝FCE ∠，而BD ＝CE ，∴DFG ∆≌EFC ∆，∴DF ＝EF 。
［证法2］过D 作DG ∥AC 交BC 于G 。
∵AB ＝AC ，∴ABC ∠＝ACB ∠。
∵DG ∥AC ，∴DGB ∠＝ACB ∠，∴ABC ∠＝DGB ∠，∴BD ＝DG ，又BD ＝CE ，∴DG ＝CE ，而DG ∥CE ，∴四边形DGEC 是平行四边形，∴DF ＝EF 。
［证法3］过E 作EH ∥BD 交BC 的延长线于H 。
∵AB ＝AC ，∴ABC ∠＝ACB ∠＝ECH ∠。
∵EH ∥BD ，∴ABC ∠＝EHC ∠，∴ECH ∠＝EHF ∠，∴CE ＝EH ， 又BD ＝CE ，∴BD ＝EH 。
∵EH ∥BD ，∴DBF ∠＝EHF ∠、BDF ∠＝HEF ∠，而BD ＝EH ，∴BDF ∆≌HEF ∆，∴DF ＝EF 。
［证法4］过E 作EH ∥BD 交BC 的延长线于H 。
∵AB ＝AC ，∴ABC ∠＝ACB ∠＝ECH ∠。
∵EH ∥BD ，∴ABC ∠＝EHC ∠，∴ECH ∠＝EHF ∠，∴CE ＝EH ，又BD ＝CE ，∴BD ＝EH ，而BD ∥EH ，∴四边形BDHE 是平行四边形，∴DF ＝EF 。
［证法5］过D 作DJ ∥BC 交AC 于J 。
∵DJ ∥BC ，∴AB BD ＝AC CJ，而AB ＝AC ，∴BD ＝CJ ，又BD ＝CE ， ∴CJ ＝CE 。
初中阶段求证线段相等的几种证法
线段相等的几种证法在数学教学过程中，证明线段相等是经常遇到的问题，选用恰当的方法，可取得事半功倍的效果．现依据教学经验，总结出几种证明线段相等的基本方法，以供参考．一、利用全等三角形的性质证明线段相等当所要证明的线段分属两个三角形时，应首先分析这两个三角形是否有等量关系，要证其全等尚缺少什么条件．然后通过证明其他三角形全等或运用其他方法，补足所缺条件．若无现成的三角形，需添加辅助线构成全等三角形．例1、已知：平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，过O作直线交AB于E，交CD于F．求证：AE＝CF．分析：要证AE＝CF，需证在这两个三角形中有一对对顶角，又根据平行四边形的性质知道，对边平行，对角线互相平分．此题得证．例2、正方形ABCD，G为AB上任一点，EF⊥DG，交DA、CB分别于E、F．求证：EF＝DG．分析：（如图1）此题EF不在三角形中，可过E作EH⊥BC于H，构成Rt△EHF再利用全等三角形的性质证明线段相等．二、用中介线段证明线段相等当所要证明的两条线段中有一条或两条都不属于三角形的边，且不在一条直线上时，一般要寻求与两线段相等的第三条线段作媒介．例3、已知：△ABC中，∠B的平分线交AC于D，过D作DE∥BC，交AB于E，过E 作EF∥AC，交BC于F．求证：BE＝CF．分析：所要证的BE与CF两条线段不是同一三角形的边．由题设可知四边形EFCD为平行四边形，得CF＝DE，所以需证BE＝DE，由角平分线及等腰三角形的判定可证．本题中是以DE作为媒介．三、利用等腰三角形的判定或平行四边形的性质证明线段相等如果两条所证线段在同一三角形中，证全等一时难以证明，可以考虑用此法．例4、已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F．求证：AF＝EF．分析：延长AD到G，使DG＝AD，连结BG．得到△ADC≌△GDB，可知AC＝GB，∠FAE ＝∠BGE．再由BE＝AC推出BE＝BG．利用对顶角相等和等角对等边可得出结论．四、利用三角形（或梯形）的中位线证明线段相等若两条线段在同一直线上，且图中有关线段中点，常证明两线段是过三角形一边的中点且平行于另一边的直线所分第三边的两部分；或利用平行四边形的性质来证对角线相互平分．应用这种方法证题，若图形不完整，可适当添加辅助线将图形补充完整．例5、四边形ABCD中，对角线BD与AC相等且相交于E，M、N分别为AD、BC的中点，线段MN与AC、BD分别相交于F、G．求证：EF＝EG分析：要证EF＝EG，需证∠EFG＝∠EGF．此题中出现了两个中点，但这两点的连线不是中位线，所以应增加AB的中点P，连结MP、NP，利用三角形中位线性质，可证MP＝NP、NP∥AC和MP∥BD．再利用平行线性质和等腰三角形的判定可证结论．五、利用线段中垂线和角平分线的性质证明线段相等当题目中出现线段垂直平分线或角平分线时，常利用线段中垂线的性质和角平分线的性质证明线段相等．例6、已知：ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，AB的垂直平分线交AD于O，∠B的平分线交AD于I．求证：（1）OA＝OB＝OC；（2）I到BC、CA、AB的距离相等．分析：由于ABC是等腰三角形，AD为底边上的中线，同时也是底边上的高，所以O点既在BC边的垂直平分线上，又在AB的垂直平分线上．利用线段垂直平分线的性质易证得⑴，利用角平分线的性质易证得⑵．六、利用相似三角形或比例线段证明线段相等若题目中出现比例线段，四条比例线段所在的两个三角形不相似或不能构成两个三角形．此时需要添加辅助线，作平行线转移比例，构造出相似三角形，然后利用相似三角形的性质来证．例7、直线EFD与△ABC的边AB、AC分别交于F、D，交CB边的延长线于E，且＝求证：BE＝AD分析：（如图2）由四条线段成比例，但这四条线段又不能构成两个三角形，可利用作平行线构造相似三角形．过D作DG∥BC，交AB于G，可得出△GDF∽△BEF、△ADG∽△ACB，由相似三角形的性质得出＝＝通过转移比例得出：＝，证得两线段相等．上述几种证明线段相等的方法，有一定的规律可循．但在遇到此类问题是仍要具体问题具体分析，灵活运用解题方法．在教学中，通过归类总结，使学生掌握解答问题的技巧，可以提高解题效率，锻炼学生的思维能力，从而提高学生素质．如果在教学中能够引导学生灵活地使用这些方法，则可使学生在解题中拓展思路，培养其分析问题解决问题的能力，提高其数学思维品质。
证明线段之间关系的技巧
证明线段之间数量关系的技巧证明两线段相等★1.两全等三角形中对应边相等。
★2.同一三角形中等角对等边。
3.等腰三角形三线合一。
★4.直角三角形中斜边上的中点到三个顶点距离相等。
6.中垂线上任意一点到线段两端距离相等。
7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。
★9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。
证明线段的和差倍分1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。
2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。
3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。
4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段。
5.利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等）。
2.*证明线段不等1.同一三角形中，大角对大边。
2.垂线段最短。
3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
4.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小。
5.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大。
证明两条线段（直线）之间位置关系的技巧证明两条直线互相垂直★1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。
2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。
3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。
4.邻补角的平分线互相垂直。
5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。
6.两条直线相交成直角则两直线垂直。
7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。
★8.利用勾股定理的逆定理。
9.利用菱形的对角线互相垂直。
★10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。
★11.利用半圆上的圆周角是直角。
证明两直线平行1.垂直于同一直线的各直线平行。
2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。
3.平行四边形的对边平行。
★4.三角形的中位线平行于第三边。
证明两线段相等七法
中，Ｆ Ｃ Ｂ 、 Ｅ是 高 ， 是 Ｂ Ｃ边 的 中
点， ＭＮ上Ｅ Ｆ于 Ⅳ， 求证 ：Ｎ＝ Ｆ Ｅ Ⅳ ．
分析 欲 证 Ｅ ： ，’ Ｎ ’ ＭＮ ．
Ｍ
点 Ｄ， Ｃ ＝Ａ Ｅ、 使 Ｄ Ｂ， Ｆ分 别 为 Ｂ Ａ 的 中 点 ， 胛 Ｃ、Ｄ 连
分 析 欲 证 Ａ Ｆ＝Ａ ， 需 证 Ｇ＝ ＬＡ Ｇ ‘ Ｅ、 Ｇ只 ＿ Ｆ ．． Ｆ ‘
擎
上 肼 ，‘ 接 ＭＥ、 ， 只 需 证 ． ．连 △肘 Ｆ为 等 腰 三 角 形 ， 这 由 已 而 知 是 不 难 证 得 ＭＥ＝ＭＦ， 明 请 证
图６
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并 延长 交 Ｂ 的延 长 线 于 Ｇ 求 证 Ａ Ａ ． Ａ ， Ｆ： Ｇ
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本 文 与 同学 们 谈 一 谈 证 明 两 线 段 相 等 的 一 些 常 规
分 别是 Ｂ 、Ｄ边 上 的 中点 ，． 接 ＣＡ ．连 ‘ Ｄ 并 取 其 中点 Ｐ 连 接 Ｐ Ｐ 则 Ｂ， Ｅ、Ｆ
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方法 ， 同学们学习时参考． 供
腰ｃ Ｄ上的中点，一 Ａ ・ 取 日的中点 二＿一 ・ ＝＿ 二－
Ｆ
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麓ＦＢＥ 中 图 ． ． Ｂ 垂 ４ ’为 ＥＡ． Ａ Ｅ Ｆ 的 上 ．
例 ５ 已知 如 图 ５ 四 边 形 ， Ｄ
Ｃ
线 ，． ＝ Ｂ 证明请同学们 自己完成． ．酣 Ｅ ． ・ ＡＣ Ｂ Ｄ中 ， Ｂ＝ ／Ｄ＝９ 。 Ｃ ／ ＿ ０ ， Ｅ∥
证明线段相等的常用方法
~A CB DP QB证明线段相等的常用方法1.证明两线段是全等三角形的对应边如果所证两条线段分别在不同的三角形中，它们所在三角形看似全等，或者，通过简单处理，它们所在三角形看似全等，可考虑这种方法。
例1.如图， B 、C 、D 在一直线上，△ABC 与△ECD 都是等边三角形，BE 、AD 分别交AC 、EC 于点G 、F 。
（1）求证：AE=BD （2）求证 CG=CF。
例2．如图，四边形ABCD 是矩形，△PBC 和△QCD 都是等边三角形，且点P 在矩形上方，点Q 在矩形内．求证：（1）∠PBA =∠PCQ =30°；（2）PA =PQ ．￥例3.已知：如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 为圆上两点，且弧CB ＝弧CD ，CF ⊥AB 于点F ，CE ⊥AD 的延长线于点E ． .（1）试说明：DE ＝BF ；$&二、利用等腰三角形的判定（等角对等边）证明线段相等如果两条所证线段在同一三角形中，证全等一时难以证明，可以考虑用此法例1.如图，已知△ABC中，AB=AC，DF⊥BC于F，DF与AC交于E，与BA的延长线交于D，求证：AD=AE。
]例2. 如图11，一张矩形纸片ABCD，其中AD=8cm，AB=6cm，先沿对角线BD折叠，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G.（1）求证：AG=C′G；、例3.如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，若∠MAC＝∠ABC，D 是弧AC 的中点，连接BD交AC 于G , 过D 作DE⊥AB于E，交AC于F．求证：FD＝FG(！二、证明两线段都等于第三线段或者第三个量等量代换：若a=b ，b=c ，则a=c ； 等式性质：若a=b ，则a －c=b －c例1.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，分别以两腰CD AB 、为边向两边作正方形ABGE 和正方形DCHF ，联结EF ，设线段EF 的中点为M ．求证：MD MA =．`&例2.例3.如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，OC AB BC ,=交⊙O 于点F ，直线AF 交BC 于E ．求证：CF BE =．《，F O A 第4题图第9题图GME FHDCBA【巩固练习】1、已知，如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在AB 上和AD 的延长线上，且BE=DF ，连接EF ，G 为EF 的中点．求证：（1）CE=CF ；（2）DG 垂直平分AC ．)2、在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD=CD,∠ABC=60°,延长AD 到E,使DE=AD,延长DC 到F ，使DC=CF,连接BE 、BF 和EF.⑴求证：△ABE ≌△CFB; ⑵如果AD=6,tan ∠EBC 的值.$《3.直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠C=90°，AB=BC ，M 为BC 边上一点．A-BDECF（1）若∠DMC=45°，求证：AD=AM．（2）若∠DAM=45°，AB=7，CD=4，求BM的值．·4、已知梯形ABCD中，AB∥CD，BD⊥AC于E，AD=BC，AC=AB，DF⊥AB于F，AC、DF 相交于DF的中点O．（1）若点G为线段AB上一点，且FG=4，CD=3，GC=7，过O点作OH⊥GC于H，试证：OH=OF；（2）求证：AB+CD=2BE．￥->5.已知，矩形ABCD 中，延长BC 至E ，使BE=BD ，F 为DE 的中点，连结AF 、CF.求证： (1)∠ADF=∠BCF ；(2) AF ⊥CF.>6、如图，在直角梯形ABCD 中，AD ⊥DC ，AB ∥DC ，AB=BC ，AD 与BC 延长线交于点F ，G 是DC 延长线上一点，AG ⊥BC 于E ． （1）求证：CF=CG ；（2）连接DE ，若BE=4CE ，CD=2，求DE 的长．…7．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥CD ，AC=AB ，∠DAC=30度．点E 、F 是梯形ABCD 外的两点，且∠EAB=∠FCB ，∠ABC=∠FBE ，∠CEB=30°． （1）求证：BE=BF ；（2）若CE=5，BF=4，求线段AE 的长．'F E D C B A 12 3 。
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证明线段相等的技巧
要证明两条线段相等，一般的思路是从结论入手，结合已知分析，主要看要证明的两条线段分布的位置怎样，无外乎有三种情况：
（1）要证明的两条线段分别在两个三角形中；（2）要证明的两条线段在同一个三角形中；（3）要证明的两条线段在同一条直线上或其它情况。
一、如果要证明的两条线段分别在两个三角形中
一般的思路是利用两条线段所在的两个三角形全等。
例1 已知：如图1，B、C、E三点在一条直线上，△ABC和△DCE均为等边三角形，连结AE、DB，求证：AE=DB。
二、如果要证明的两条线段在同一三角形中
一般的思路是利用等角对等边。
例2 已知：如图2，△ABC中AB=AC，D为BC上一点，过D作DF⊥BC交AC于E，交BA的延长线于F，求证：AE=AF。
三、如果要证明的线段在同一直线上或其它情况
一般的思路是作辅助线构成全等三角形或利用面积法来证明。
例3 已知：如图3，△ABC中AB=AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，且BD=EC，连结DE交BC于F，求证：DF=EF。
例4 已知：如图5，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AD、CD上一点，且BE=BF，AG⊥BF于F，CH⊥BE于H，求证：AG=CH。
分析：从结论入手，要证线段AG=CH就看线段AG、CH是否在同一三
角形中的两条边或两个三角形中的两条边，这里的AG、CH虽然在两
个三角形中，但显然不全等，作辅助线构成全等三角形也无法作，由
于BE=BF要证明的线段AG、CH恰是这两边上的高，这时就应该想到
面积法，作辅助线构成两个等底等高的三角形或平行四边形，很显然
结合已知条件可知构成平行四边形，延长AD到S使DS=AE，连结CS。
延长ACD到R使DR=CF，连结AR证明略。
证明线段和角相等的技巧
⒈怎样证明两线段相等
证明两线段相等的常用方法和涉及的定理、性质有：
⑴三角形
①两线段在同一三角形中，通常证明等角对等边；
②证明三角形全等：全等三角形的对应边相等，全等形包括平移型、旋转型、翻折型；
③等腰三角形顶角的平分线或底边上的高平分底边；
④线段中垂线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；
⑤角平分线性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等；
⑥过三角形一边的中点平行于另一边的直线必平分第三边；
⑵证特殊四边形
①平行四边形的对边相等、对角线互相平分；
②矩形的对角线相等，菱形的四条边都相等；
③等腰梯形两腰相等，两条对角线相等；
⑶圆
①同圆或等圆的半径相等；
②圆的轴对称性（垂径定理及其推论）：垂直于弦的直径平分这条弦；平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦；
③圆的旋转不变性：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量
都相等；
④从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；
⑷ 等量代换：若a=b ，b=c ，则a=c ；
等式性质：若a=b ，则a －c=b －c ；若c
b c a ，则a=b. 此外，也有通过计算证明两线段相等，有些条件下可以利用面积法、相似线段成比例的性质等证明线段相等.
⒉ 怎样证明两角相等
证明两角相等的方法和涉及的定理、性质有：
⑴ 同角（或等角）的余角、补角相等；
⑵ 证明两直线平行，同位角、错角相等；
⑶ 到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上；
⑷ 全等三角形、相似三角形的对应角相等；
⑸ 同一三角形中，等边对等角，等腰三角形三线合一；
⑹ 平行四边形的对角相等；等腰梯形同一底上的两个角相等； ⑺ 同圆中，同弧或等弧所对的圆周角、圆心角相等；。