等腰三角形存在性(讲义+练习含答案)

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(完整word版)等腰三角形存在性问题(带答案).doc

等腰三角形存在性问题（两圆一线）类型一、格点中的等腰三角形1、在如图所示的 5×5方格中，每个小方格都是边长为 1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC 有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（）2、 .如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点C，使得△ABC是等腰三角形，且AB 为其中一腰．这样的 C 点有 ()个．3 、如图， A、B 是网格中的两个格点，点 C 也是网格中的一个格点，连接AB、 BC、AC，当△ ABC为等腰三角形时，格点 C 的不同位置有处，设网格中的每个小正方形的边长为1，则所有满足题意的等腰三角形ABC的面积之和等于．4、如图，在图中能画出与△ABC全等的格点三角形有几个？类型二、定边几何法讨论：两圆一线5、以线段AB 为一边的等腰直角三角形有个，请在下列图中画出来6、（ 1）如图所示，线段OD 的一个端点O 在直线 AB 上，以 OD 为一边的等腰三角形ODP，并且使点P 也在 AB 上，这样的等腰三角形能画个（在图中作出点P）（ 2）若∠ DOB=60°，其它条件不变，则这样的等腰三角形能画个，（只写出结果）（ 3）若改变（ 2）中∠ DOB的度数，其他条件不变，则等腰三角形ODP的个数和（ 2）中的结果相同，则改变后∠DOB=．7、如图，南北向的公路上有一点A，东西向的公路上有一点B，若要在南北向的公路上确定点P，使得△ PAB 是等腰三角形，则这样的点P 最多能确定（）个．8、线段 AB 和直线 l 在同一平面上．则下列判断可能成立的有个直线 l 上恰好只有个 1 点 P，使△ ABP为等腰三角形直线 l 上恰好只有个 2 点 P，使△ ABP为等腰三角形直线 l 上恰好只有个 3 点 P，使△ ABP为等腰三角形直线 l 上恰好只有个 4 点 P，使△ ABP为等腰三角形直线 l 上恰好只有个 5 点 P，使△ ABP为等腰三角形直线 l 上恰好只有个 6 点 P，使△ ABP为等腰三角形．9、如图AOB ,当AOB为 30 ， 60 ， 120 时，请在射线OA 上找点 P，使POB 为等腰三角形，并分析出当AOB 发生变化时，点P 个数的情况；类型三、三角形、长方形和正方形中的等腰三角形10、如图，在长方形ABCD中， AB=4， AD=10，点 Q 是 BC的中点，点P 在 AD 边上运动，若△ BPQ 是腰长为 5 的等腰三角形，则满足题意的点P有()个11、如图所示，在长方形ABCD 的对称轴上找一点P，使得△ PAB，△ PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P 有()个12、如图，边长为 6 的正方形 ABCD内部有一点P，BP=4，∠ PBC=60°，点 Q 为正方形边上一动点，且△ PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q 点有 ____个．13、在等边△ ABC所在的平面内求一点P，使△ PAB，△ PBC，△ PAC都是等腰三角形，请画出所有满足条件的点；等腰三角形存在性问题（两圆一线）答案类型一、格点中的等腰三角形1、在如图所示的 5×5方格中，每个小方格都是边长为 1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC 有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（4）2、 .如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点C，使得△ABC是等腰三角形，且AB 为其中一腰．这样的 C 点有 ( B)个．A.8B.9C.10D.113 、如图， A、B 是网格中的两个格点，点 C 也是网格中的一个格点，连接AB、 BC、AC，当△ ABC为等腰三角形时，格点 C 的不同位置有3处，设网格中的每个小正方形的边长为1，则所有满足题意的等腰三角形ABC 的面积之和等于15．【解答】解：格点 C 的不同位置分别是：C、C′、 C″，∵网格中的每个小正方形的边长为1，∴S△ABC= × 4× 3=6，S△ABC′=20﹣2× 3﹣=6.5，S△ABC″=2.5，∴S△ABC+S△ABC′+S△ABC″=6+6.5+2.5=15．故答案分别为： 3； 15．4、如图，在图中能画出与△ABC全等的格点三角形有几个？类型二、定边几何法讨论：两圆一线5、以线段AB 为一边的等腰直角三角形有个，请在下列图中画出来6、（ 1）如图所示，线段OD 的一个端点O 在直线 AB 上，以 OD 为一边的等腰三角形ODP，并且使点P 也在 AB 上，这样的等腰三角形能画4个（在图中作出点P）（ 2）若∠ DOB=60°，其它条件不变，则这样的等腰三角形能画2个，（只写出结果）（ 3）若改变（ 2）中∠ DOB的度数，其他条件不变，则等腰三角形ODP的个数和（ 2）中的结果相同，则改变后∠DOB= 90 °．7、如图，南北向的公路上有一点A，东西向的公路上有一点B，若要在南北向的公路上确定点P，使得△ PAB 是等腰三角形，则这样的点P 最多能确定（）个．8、线段 AB 和直线 l 在同一平面上．则下列判断可能成立的有 5 个直线 l 上恰好只有个 1 点 P，使△ ABP为等腰三角形直线 l 上恰好只有个 2 点 P，使△ ABP为等腰三角形直线 l 上恰好只有个 3 点 P，使△ ABP为等腰三角形直线 l 上恰好只有个 4 点 P，使△ ABP为等腰三角形直线 l 上恰好只有个 5 点 P，使△ ABP为等腰三角形直线 l 上恰好只有个 6 点 P，使△ ABP为等腰三角形．9、如图AOB ,当AOB为 30 ， 60 ， 120 时，请在射线OA 上找点 P，使POB 为等腰三角形，并分析出当AOB 发生变化时，点P 个数的情况；【结论】当AOB 为锐角，AOB60 ，有三个点，当AOB =60，只有一个点；当 AOB 为钝角或直角，只有一个点；类型三、三角形、长方形和正方形中的等腰三角形10、如图，在长方形ABCD中， AB=4， AD=10，点Q 是BC的中点，点P 在AD 边上运动，若△ BPQ 是腰长为 5 的等腰三角形，则满足题意的点P 有 ( B )A.2 个B.3 个C.4 个D.5 个11、如图所示，在长方形ABCD 的对称轴上找一点P，使得△ PAB，△ PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P 有(C )A.1 个B.3 个C.5 个D.无数多个12、如图，边长为 6 的正方形 ABCD内部有一点P，BP=4，∠ PBC=60°，点 Q 为正方形边上一动点，且△ PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q 点有 ____个．13、在等边△ ABC所在的平面内求一点P，使△ PAB，△ PBC，△ PAC都是等腰三角形，请画出所有满足条件的点；。

专题11 存在性-等腰直角三角形(解析版)

中考数学压轴题--二次函数--存在性问题第11节等腰直角三角形的存在性方法点拨第一步：易证ΔBAD∽ΔECB，如果再加一个条件BD=BE，此时ΔBAD≌ΔECB （AAS）所以，AB=CE，AD=CB第二步：根据点坐标来表示线段长度，列等式求解。

例题演练1．如图所示，抛物线y＝a（x+1）（x﹣5）（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）当a＝﹣时，①求点A、B、C的坐标；②如果点P是抛物线上一点，点M是该抛物线对称轴上的点，当△OMP是以OM为斜边的等腰直角三角形时，求出点P的坐标；（2）点D是抛物线的顶点，连接BD、CD，当四边形OBDC是圆的内接四边形时，求a 的值．【解答】解：对于y＝a（x+1）（x﹣5）（a≠0），令y＝a（x+1）（x﹣5）＝0，解得x ＝5或﹣1，令x＝0，则y＝﹣5a，故点A、B、C的坐标分别为（5，1）、（﹣1，0）、（0，﹣5a），当x＝2时，y＝a（x+1）（x﹣5）＝﹣9a，顶点的坐标为（2，﹣9a）．（1）①当a＝﹣时，函数的表达式为y＝﹣（x+1）（x﹣5），则点A、B、C的坐标分别为（5，1）、（﹣1，0）、（0，2）；②过点P作y轴的平行线交过点M与x轴的平行线于点F，交x轴于点E，设点P的坐标为（x，﹣（x+1）（x﹣5）），∵∠MPO＝90°，∴∠MPF+∠OPE＝90°，∵∠OPE+∠POE＝90°，∴∠POE＝∠MPF，∵∠PFM＝∠OEP＝90°，PM＝PO，∴△PFM≌△OEP（AAS），∴PE＝MF，则﹣（x+1）（x﹣5）＝x﹣2，解得x＝﹣或4，故点P的坐标为（﹣，﹣）或（4，2）；（2）点B、C的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣5a），顶点D的坐标为（2，﹣9a）．当四边形OBDC是圆的内接四边形时，则BC的中点为该圆的圆心，设BC的中点为点Q，由中点坐标公式得，点Q（，﹣a），则OQ＝DQ，即（）2+（﹣）2＝（2﹣）2+（﹣9a+a）2，解得a＝±．2．如图，已知抛物线y＝ax2+4x+c与直线AB相交于点A（0，1）和点B（3，4）．（1）求该抛物线的解析式；（2）设C为直线AB上方的抛物线上一点，当△ABC的面积最大时，求点C的坐标；（3）将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，是否存在点E使得△ADE是以AD为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将A、B两点代入到解析式中，得，，解得，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+1；（2）设直线AB为：y＝k1x+1，代入点B，得，3k1+1＝4，解得k1＝1，∴直线AB为：y＝x+1，设C（m，﹣m2+4m+1），过C作CM∥y轴交AB于M，如图1，则M（m，m+1），∴CM＝﹣m2+4m+1﹣m﹣1＝﹣m2+3m，∴S△ABC＝S△ACM+S△BCM＝＝，∵C为直线AB上方抛物线上一点，∴0＜m＜3，∴时，△ABC的面积最大值为，此时C（）；（3）∵抛物线y＝﹣（x﹣2）2+5，∴将抛物线向右平移2个单位后得到的抛物线为：y＝﹣x2+5，联立，解得，∴D（1，4），①如图2，当DA＝DE，∠EDA＝90°，E在AD右侧时，过D作x轴平行线交y轴于N，过E作y轴平行线，两线交于F点∵∠DAN+∠NDA＝∠NDA+∠EDF＝90°∴∠DAN＝∠EDF，又∠DNA＝∠EFD＝90°，DA＝DE，∴△DNA≌△EFD（AAS），∴DN＝EF＝1，AN＝DF＝3，∴E（4，3），②当DA＝DE，∠EDA＝90°，E在AD左侧，同理可得，E（﹣2，5），③当AD＝AE，∠DAE＝90°，E在AD左侧时，同理可得，E（﹣3，2），④当AD＝AE，∠DAE＝90°，E在AD右侧时，同理可得，E（3，0），综上所述，E（4，3）或（﹣2，5）或（﹣3，2）或（3，0）．3．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）抛物线与直线y＝﹣x﹣1交于A、E两点，P是x轴上点B左侧一动点，当以P、B、C为顶点的三角形与△ABE相似时，求点P的坐标；（3）若F是直线BC上一动点，在抛物线上是否存在动点M，使△MBF为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；否则说明理由．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）联立直线AE和抛物线的函数关系式成方程组，得：，解得：，，∴点E的坐标为（4，﹣5），∴AE＝＝5，在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝0，得：﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1，∴点B的坐标为（3，0），∵C（0，3），∴OB＝OC＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠CBO＝45°，BC＝3，∵直线AE的函数表达式为y＝﹣x﹣1，∴∠BAE＝45°＝∠CBO．设点P的坐标为（m，0），则PB＝3﹣m，∵以P、B、C为顶点的三角形与△ABE相似，∴＝或＝，∴＝或＝，解得：m＝或m＝﹣，∴点P的坐标为（，0）或（﹣，0）；（3）∵∠CBO＝45°，∴存在两种情况（如图2）．①取点M1与点A重合，过点M1作M1F1∥y轴，交直线BC于点F1，∵∠CBM1＝45°，∠BM1F1＝90°，∴此时△BM1F1为等腰直角三角形，∴点M1的坐标为（﹣1，0）；②取点C′（0，﹣3），连接BC′，延长BC′交抛物线于点M2，过点M2作M2F2∥y 轴，交直线BC于点F2，∵点C、C′关于x轴对称，∠OBC＝45°，∴∠CBC′＝90°，BC＝BC′，∴△CBC′为等腰直角三角形，∵M2F2∥y轴，∴△M2BF2为等腰直角三角形．∵点B（3，0），点C′（0，﹣3），∴直线BC′的函数关系式为y＝x﹣3，联立直线BC′和抛物线的函数关系式成方程组，得：，解得：，，∴点M2的坐标为（﹣2，﹣5），综上所述：点M的坐标为（﹣1，0）或（﹣2，﹣5）．4．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a＞0）与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，OB＝3，抛物线经过点（2，5）．（1）求该抛物线解析式；（2）如图1，该抛物线顶点D，连接BD、BC，点P是线段BD下方抛物线上一点，过点P作PE∥y轴，分别交线段BD、BC于点F、E，过点P作PG⊥BD于点G，求2PG+EF 的最大值，及此时点P的坐标；（3）如图2，在y轴左侧抛物线上有一动点M，在y轴上有一动点N，是否存在以AN 为直角边的等腰直角三角形AMN？若存在，请直接写出点M的坐标．【解答】解：（1）∵OB＝3，∴B（﹣3，0）把C（﹣3，0）和点（2，5），代入抛物线y＝ax2+bx﹣3，得，解得，∴抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3；（2）延长PE与x轴交于点M，FM⊥x轴，PG⊥BD，如图所示，∠FMB＝90°，∠PGF＝90°，∵∠BFM＝∠PFG，∴∠MBF＝∠GPF，∴B（﹣3，0），D（﹣1，﹣4），B、D两点的横坐标距离为2，纵坐标距离为4，由勾股定理得BD＝＝2，∴cos∠MBF＝cos∠GPF＝，∴2PG+EF＝EF+2FP，∴C（0，﹣3），设直线BC解析式为l BC：y＝kx+b（b≠0），把B（﹣3，0）和C（0，﹣3）代入得，，解得，∴l BC：y＝﹣x﹣3，同理，直线BD得解析式为：y＝﹣2x﹣6，设E（m，﹣m﹣3），P（m，m2+2m﹣3），F（m，﹣2m﹣6），∴EF+2FP＝[﹣m﹣3﹣（﹣2m﹣6）]+2[（﹣2m﹣6）﹣（m2+2m﹣3）]＝﹣2（m+）2+，∴当m＝﹣时，EF+2FP有最大值，∵2PG+EF＝EF+2FP，∴此时，P点坐标为P（﹣，﹣）；（3）存在，设N（0，y1），M（x2，+2x2﹣3），当y＝0时，代入抛物线y＝x2+2x+3中，解得两根为﹣3和1，A在y轴右侧，∴A（1，0），∴AN2＝OA2+ON2＝1+y12，AM2＝（x2﹣1）2+（+2x2﹣3）2，MN2＝+（+2x2﹣3﹣y1）2，①当AN⊥MN时，此时由AN＝MN，等腰直角三角形各边比为1：1：，∴M点横坐标为﹣﹣1或﹣3﹣1，将M的横坐标为﹣﹣1或﹣3﹣1，代入y＝x2+2x﹣3中得，∴M点坐标为（﹣﹣1，﹣2）或（﹣3﹣1，14），②由AN⊥MA得：M点横坐标为﹣2﹣2或﹣2﹣2，将M点横坐标为﹣2﹣2或﹣2﹣2代入y＝x2+2x+3中，得M点坐标为（﹣2﹣2，17+8﹣4﹣4）或（﹣2﹣2，33+8﹣4﹣4），综上所述，M点坐标为（﹣﹣1，﹣2）或（﹣3﹣1，14），（﹣2﹣2，17+8﹣4﹣4）或（﹣2﹣2，33+8﹣4﹣4），5．如图，抛物线C1：y＝x2+bx+c经过原点，与x轴的另一个交点为（2，0），将抛物线C1向右平移m（m＞0）个单位得到物度C2，C2交x轴于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C．（1）求抛物线C1的解析式及顶点坐标；（2）以AC为斜边向上作等腰直角三角形ACD，当点D落在抛物线C2的对称轴上时，求抛物线C2的解析式及D点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线C1经过原点，与x轴的另一个交点为（2，0），∴，解得，∴抛物线C1的解析式为y＝x2﹣2x，∴抛物线C1的顶点坐标（1，﹣1）．（2）如图，∵抛物线C1的向右平衡m（m＞0）个单位得到抛物线C2，∴C2的解析式为y＝（x﹣m﹣1）2﹣1，∴A（m，0），B（m+2，0），C（0，m2+2m），过点C作CH⊥对称轴DE，垂足为H，∵△ACD为等腰直角三角形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∴∠CDH+∠ADE＝90°，∴△HCD＝△ADE，∵∠DEA＝90°，∴△CHD≌△DEA，∴AE＝HD＝1，CH＝DE＝m+1，∴EH＝HD+DE＝1+m+1＝m+2，由OC＝EH得m2+2m＝m+2，解得m1＝1，m2＝﹣2（舍去），∴抛物线C2的解析式为：y＝（x﹣2）2﹣1，∴D点坐标（2，2）．6．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点B（6，0），C（﹣2，0），与y轴交于点A，点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）如图，连接P A、PB．设△P AB的面积为S，点P的横坐标为m．请说明当点P运动到什么位置时，△P AB的面积有最大值？（2）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点B（6，0），C（﹣2，0），∴可设抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣6），∴﹣12a＝6，解得a＝﹣，∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+6，∴A（0，6）∴直线AB的表达式为：y＝﹣x+6，点P的横坐标为m，则P（m，﹣m2+2m+6），过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，则D（m，﹣m+6），∴S＝×OB×PD＝×6×（﹣m2+2m+6+m﹣6）＝＝﹣（m﹣3）2+，∴当m＝3时，S的值取最大，此时P（3，）；（2）存在，理由如下：由题意可知，PD⊥PE，若△PDE是等腰直角三角形，则PE＝PD，由（1）可得，PD＝﹣m2+2m+6+m﹣6＝﹣m2+3m，∵PE∥x轴，∴E（4﹣m，﹣m2+2m+6），∴PE＝|2m﹣4|，∴|2m﹣4|＝﹣m2+3m，解得m1＝﹣2（舍），m2＝4，m3＝5+（舍），m4＝5﹣，∴当△PDE是等腰直角三角形时，点P的坐标为（4，6），（5﹣，3﹣5）．7．如图1．二次函数y＝﹣x2+6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求出点A，B，C的坐标；（2）连接AC，求直线AC的表达式；（3）如图2，点D为线段AC上的一个动点，连接BD，以点D为直角顶点，BD为直角边，在x轴的上方作等腰直角三角形BDE，若点E在y轴上时，求点D的坐标；（4）若点D在线段AC上，点D由A到C运动的过程中，以点D为直角顶点，BD为直角边作等腰直角三角形BDE，当抛物线的顶点C在等腰直角三角形BDE的边上（包括三角形的顶点）时，请直接写出顶点E的坐标．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝6．∴C点坐标为（0，6）．当y＝0时，．解得x1＝﹣4，x2＝4．∵A点在B点左侧，∴点A坐标为（﹣4，0），点B坐标为（4，0）．（2）设直线AC的表达式为：y＝kx+b．∵点A坐标为（﹣4，0），点C坐标为（6，0）．∴．解得．∴直线AC的表达式为．（3）如答图1，过点D分别作DF⊥x轴于点F，DG⊥y轴于G. ∴四边形DGOF为矩形，∠FDG＝90°．∵△BDE为等腰直角三角形，BD为直角边．∴BD＝ED，∠EDB＝90°．∴∠EDB﹣∠GDB＝∠FDG﹣∠GDB．即∠EDG＝∠BDF．在△BDF和△EDG中，．∴△BDF≌△EDG（AAS）．∴DF＝DG．设点D的坐标为（m，）．∴．解得m＝，∴点D的坐标为（）．（4）由（2）可得直线AC的表达式为．∵点D在直线AC上，∴设点D坐标为（）．设直线BC的解析式为：y＝kx+b．将B（4，0），C（0，6）代入得．解得．∴直线BC的解析式为．①当C位于斜边BE上时，∵点E在直线BC上，∴设点E坐标为（b，）．如答图2所示.作EM⊥x轴于点M，DQ⊥x轴于点Q，DN⊥EM于点N．易知四边形DQMN为矩形．∴∠QDN＝90°．∵△BDE为等腰直角三角形，BD为直角边．∴BD＝ED，∠EDB＝90°．∴∠EDB﹣∠NDB＝∠QDN﹣∠NDB．即∠EDN＝∠BDQ．在△BDQ和△EDN中，．∴△BDQ≌△EDN（AAS）．∴DN＝DQ，EN＝BQ．∵E坐标为（b，），D坐标为（）．∴DN＝b﹣a，EN＝．DQ＝，BQ＝4﹣a．∴．解得．∴＝．∴点E的坐标是（）．②当点D在直角边DE上时，BD交y轴于点F，如答图3所示．∵∠CDF＝∠BOF＝90°，∠CFD＝∠BFO．∴∠DCF＝∠OBF．∴tan∠DCF＝tan∠OBF．即．亦即．∴OF＝．∴点F坐标为（0，）．设直线BF解析式为y＝kx+b．将B（4，0），F（0，）代入得．解得．∴直线BF解析式为y＝．∵B、F、D三点共线，亦即直线BD解析式为y＝．联立直线AC解析式得解得．故点D坐标为（）．∵BD⊥AC，BD＝DE，∴BD2＝DE2．∴．解得b＝．∴＝．∴点E的坐标为（）．③当点D与点C重合时，即点C为直角顶点时．如答图4所示.作EG⊥y轴于点G．∵∠BCE＝90°．∴∠ECG+∠BCO＝90°．又∵∠ECG+∠GEC＝90°∴∠BCO＝∠GEC．在△GEC和△OCB中，．∴△GEC≌△OCB（AAS）．∴GE＝OC＝6，GC＝OB＝4．∴点E的坐标为（6，10）．由图知点E关于点C对称的点E'亦满足题意．则由中点坐标公式可得点E'的横坐标为2×0﹣6＝﹣6，纵坐标为2×6﹣10＝2．故点E'坐标为（﹣6，2）．综上所述，点E的坐标为（）或（）或（6，10）或（﹣6，2）．8．如图，抛物线y＝ax2+bx+5交x轴于A（﹣1，0）、B（5，0）两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是对称轴上一点，当P A+PC达到最小值时，求点P的坐标；（3）M、N为线段BC上两点（N在M的右侧，且M、N不与B、C重合），MN＝2，在第一象限的抛物线上是否存在这样的点R，使△MNR为等腰直角三角形？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+5交x轴于A（﹣1，0），B（5，0），∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5；（2）当x＝0时，y＝5，∴C（0，5），∵A与B关于抛物线的对称轴对称，∴直线BC与对称轴的交点就是点P，此时P A+PC达到最小值，∵y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，∴抛物线对称轴为直线x＝2，设直线BC的解析式为：y＝kx+b（k≠0），∵点B坐标为（5，0），则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+5，与对称轴的交点为（2，3），∴点P的坐标（2，3）；（3）分三种情况：①以点M为直角顶点，如图1，∵MN＝2，∴RN＝MN＝4，∵C（0，5），B（5，0），∴OC＝OB＝5，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵∠RNM＝45°＝∠BCO，∴RN∥OC，由（2）知：直线BC的解析式为y＝﹣x+5，设R（m，﹣m2+4m+5），则N（m，﹣m+5），则RN＝（﹣m2+4m+5）﹣（﹣m+5）＝4，解得m1＝4，m2＝1，∵点N在点M右侧，∴m＝4，∴R（4，5）；②以点R为直角顶点，如图2，∵MN＝2，∴RN＝MN＝2，设R（m，﹣m2+4m+5），则Q（m，﹣m+5），∴RN＝（﹣m2+4m+5）﹣（﹣m+5）＝2，解得m1＝，m2＝，∵点N在点M右侧，∴m＝，∴R（，）；③以点N为直角顶点，如图3，∵MN＝2，∴RM＝MN＝4，∵∠RMN＝∠OBC＝45°，∴MR∥OB，设R（m，﹣m2+4m+5），则M（m﹣4，﹣m2+4m+5），把M（m﹣4，﹣m2+4m+5）代入y＝﹣x+5，得﹣（m﹣4）+5＝﹣m2+4m+5，解得m1＝4，m2＝1，此时点M（0，5），因为点M在线段BC上运动，且不与B、C重合，所以不存在以N为直角顶点的情况；综上所述：当R（4，5）或（，）时，△MNR为等腰直角三角形．9．抛物线y＝ax2﹣6ax+4（a≠0）交y轴正半轴于点C，交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，且AB＝10．（1）如图（1），求抛物线的解析式；（2）如图（2），连接BC，点P为第一象限抛物线上一点，设点P横坐标为t，△PBC 的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不用写出自变量t的取值范围）；（3）如图（3），在（2）的条件下，连接P A交y轴于点D，过点P作x轴的垂线，交x轴于点E，交BC于点F，连接DF，当∠APE+∠CFD＝90°时，在抛物线上是否存在点Q，使得点Q、PE的中点N、点C、是构成以CN为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）如图1中，设A（m，0），B（n，0），由题意：，解得，∴A（﹣2，0），B（8，0），把A（﹣2，0）代入y＝ax2﹣6ax+4，得到a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4．（2）如图2中，连接OP．设P（t，﹣t2+t+4），∵B（8，0），C（0，4），∴OB＝8，OC＝4，∴S＝S△POC+S△POB﹣S△OBC＝×4×t+×8×（﹣t2+t+4）﹣×4×8＝﹣t2+8t（0＜t＜8）．（3）存在．理由：如图3中，设P（t，﹣t2+t+4），∵A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），∴直线P A的解析式为y＝﹣（t﹣8）x﹣t+4，直线BC的解析式为y＝﹣x+4，∵PE⊥x轴，∴F（t，﹣t+4），∵D（0，﹣t+4），∴FD∥AB，∴∠CFD＝∠CBA，∵∠APF+∠CFD＝90°，∠APF+∠P AE＝90°，∴∠P AB＝∠CFD＝∠CBO，∴tan∠CBO＝tan∠P AB＝＝，∴＝，∵OA＝2，∴OD＝1，∴﹣t+4＝1，∴t＝6，∴P（6，4），E（6，0），∵PN＝NE，∴N（6，2），∵C（0，4），△CNQ是等腰直角三角形，CN是斜边，当点Q在CN的上方时，如图3，过点Q作x轴的平行线交y轴于点G，交EP的延长线于点H，设点Q（s，k），易证△QGC≌△NHQ（AAS），则GC＝QH，GQ＝HN，即s＝k﹣2，k﹣4＝6﹣s，解得，∴点Q的坐标为（4，6），∵当x＝4时，y＝﹣×42+×4+4＝6，∴点Q在抛物线y＝﹣x2+x+4上，∴满足条件的点Q的坐标为（4，6）．10．如图，抛物线y＝ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．（1）求抛物线的表达式；（2）直接写出点C的坐标和△ABC的面积．（3）点P是抛物线对称轴上一点，且使得P A﹣PC最大，求点P的坐标．（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x．（2）如图1中，∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴对称轴x＝2，∵B，C关于对称轴对称，B（1，3），∴C（3，3），∴S△ABC＝×2×3＝3．（3）如图1中，∵A（4，0），C（3，3），∴直线AC的解析式为y＝﹣3x+12，∵P A﹣PC≤AC，∴当点P在直线AC上时，P A﹣PC的值最大，此时P（2，6）．（4）如图4﹣1中，如图，当∠CNM＝90°，NC＝NM时，可知N（4，0），M（1，﹣1），CN＝NM＝，∴S△MNC＝×CN×MN＝5．如图4﹣2中，当∠CMN＝90°，MN＝MC时，M（1，﹣2），N（﹣4，0），可知MN ＝MC＝＝，∴S△MNC＝．如图4﹣3中，当∠CMN＝90°，MC＝MN时，可知M（1，2），N（2，0），MN＝CM ＝＝，∴S△MNC＝××＝，如图4﹣4中，当∠CNM＝90°，CN＝MN时，N（﹣2，0），M（1，﹣5），可得S△MNC ＝17．综上所述，满足条件的△MNC的面积为5或或或17．。

一次函数之等腰直角三角形的存在性 (讲义及答案)

一次函数之等腰直角三角形的存在性(讲义及答案).1. 在正方形网格中，网格线交点称为格点。

已知A、B是两个格点，若点C也是格点且使△ABC为等腰直角三角形，则符合条件的点C只有一个。

2. 做讲义第一题时，先看知识点，再用铅笔计算并将演算保留在讲义上。

如果思路受阻（例如某个点做了2-3分钟），重复上述动作。

如果仍无法解决，重点听课堂讲解。

知识点：1. 解决存在性问题的处理思路①分析不变特征：分析所求图形中的定点、定线、定角等不变特征。

②分类、画图：结合所求图形的形成因素，依据其判定、定义等确定分类，并画出符合题意的图形。

通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形。

③求解、验证：围绕不变特征、画图依据来设计方案进行求解。

验证时，要回归点的运动范围，画图或推理，判断是否符合题意。

注：复杂背景下的存在性问题往往需要研究背景图形，几何背景往往研究点、线、角；函数背景研究点坐标、表达式等。

2. 等腰直角三角形存在性的特征分析及操作要点：三角形的三个顶点分别为直角顶点进行分类，在直角的基础上，再考虑等腰。

通常借助构造弦图模型进行求解。

精讲精练：1. 如图，直线y=-2x+6与x轴、y轴分别交于点A、B。

点P是第一象限内的一个动点，若以A、B、P为顶点的三角形为等腰直角三角形，则点P的坐标为。

2. 如图，直线y=-x+b与x轴、y轴分别交于点A、B。

点C在直线y=-x+b上，且其纵坐标为1。

△___的面积为。

（1）求直线y=-x+b的表达式及点C的坐标。

（2）点P是第二象限内的一个动点，若△ACP是等腰直角三角形，则点P的坐标为。

3. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)。

点P是y轴正半轴上的一个动点，Q是直线x=3上的一个动点。

若△APQ为等腰直角三角形，则点P的坐标为。

4. 如图，直线y=3x+4与y轴交于点A，点P是直线x=6上的一个动点，点Q是直线y=3x+4上的一个动点，且点Q在第一象限。

等腰直角三角形存在性(通用版)(含答案)

等腰直角三角形存在性（通用版）试卷简介:考查在动态框架和函数框架下等腰直角三角形存在性的处理原则，调用存在性问题的处理手段，分析定点、动点，从直角入手，确定分类，借助等腰三角形自身的性质或构造弦图模型解决问题。

一、单选题(共5道，每道20分)1.如图，抛物线交x轴于A，C两点（点A在点C的右侧），交y轴于点B．点D的坐标为（-1，0），若在直线AB上存在点P，使得以A，D，P为顶点的三角形是等腰直角三角形，则点P的坐标为( )A. B.（-1，3）或（1，2）C.（-1，4）或（1，2）D.（-1，4），（1，2）或（5，-2）答案：C解题思路：1．解题要点①观察题目特征，确定为等腰直角三角形存在性问题．②分析定点、动点、不变特征．从直角入手，分类讨论．③画图，表达线段长，借助等腰直角三角形性质建等式．2．解题过程由题意得，A（3，0），B（0，3），AO=BO=3．在△ADP中，A，D为定点，P为直线AB上的动点．①当点A是直角顶点时，在直线AB上不存在点P，使△ADP为等腰直角三角形．②如图，当点D为直角顶点时，过点D作⊥DA，交直线AB于点．由∠1=45°可得，为等腰直角三角形，点满足题意．此时，点的坐标为（-1，4）．③如图，当点P为直角顶点时，过点D作⊥AB于点．易知为等腰直角三角形，点满足题意．过点作轴于点M．易得，OM=1，∴点的坐标为（1，2）．综上得，点P的坐标为（-1，4）或（1，2）．试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形存在性2.如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．P是线段AC上的一个动点（不与点A，C重合），过点P作平行于x轴的直线，交BC于点Q，若在x轴上存在点R，使得△PQR是等腰直角三角形，则点R的坐标为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：1．解题要点①观察题目特征，确定为等腰直角三角形存在性问题．②分析定点、动点、不变特征．从直角入手，分类讨论．③画图，表达线段长，借助等腰直角三角形性质建等式．2．解题过程由题意，得A（-1，0），B（3，0），C（0，2），则，．设，则，PQ=-2m+4．①如图，当点Q为直角顶点时，PQ=RQ．，，由-2m+4=m，得，∴．②如图，当点P为直角顶点时，PQ=PR．，，由-2m+4=m，得，∴．③如图，当点R为直角顶点时，RP=RQ．过点R作RD⊥于点D，则，由，得m=1，∴．综上得，点R的坐标为．试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形存在性3.如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，P是x轴上的一动点（不与点A重合），连接DP，过点P作PE⊥DP交y轴于点E．当△PED是等腰直角三角形时，点P的横坐标为( )A.-4B.-3C.-3或-4D.-4或4答案：D解题思路：∵，∴A（-3，0），B（1，0）．∵四边形ABCD是正方形，∴D（-3，4）．∵∠DPE=90°，要使得△PED是等腰直角三角形，只能是DP=PE．设点P的横坐标为．①如图，当时，∵∠DAP=∠DPE=90°，∴∠ADP+∠DPA=∠OPE+∠DPA，∴∠ADP =∠OPE．又∵∠DAP=∠POE=90°，DP=PE，∴△ADP≌△OPE，∴OP=AD=4，∴．②如图，当时，易证△DAP≌△POE，∴OP=AD=4，∴（不合题意，舍去）．③如图，当时，易证△DAP≌△POE，∴OP=AD=4，∴．综上得，当△PED是等腰直角三角形时，点P的横坐标为-4或4．试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形存在性4.如图，已知直线经过A（0，1），B（1，0）两点，P是x轴正半轴上的一动点，且OP的垂直平分线交直线于点Q，交x轴于点M，直线经过点A且与x轴平行．若在直线上存在点C，使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形，则点C的坐标为( )A.（1，1）B.（1，1）或（2，1）C.（2，1）D.（1，1）或（0，1）答案：A解题思路：1．解题要点①观察题目特征，确定为等腰直角三角形存在性问题．②分析定点、动点、不变特征．③从已知出发，借助等腰直角三角形的性质（直角和两腰相等）和坐标系处理斜放置直角的原则，构造弦图模型解决问题．2．解题过程由题意得，OA=OB=1，△AOB为等腰直角三角形，点C的纵坐标为1．①如图，当点Q在x轴上方时，延长MQ交直线于点E，则ME⊥．易证△CEQ≌△QMP，△QMB为等腰直角三角形，四边形AOME为矩形，∴CE=QM=MB，AE=OM，∴AC=AE+CE=OM+MB=OB=1，∴点C的坐标为（1，1）．②如图，当点Q在x轴下方时，延长QM交直线于点F．同理，得CF=QM=MB，AF=OM，∴AC=AF-CF=OM-MB=OB=1，∴点C的坐标为（1，1）．综上得，点C的坐标为（1，1）．试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形存在性5.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，D为线段AB 上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为点C，CD的延长线交抛物线于点E，连接BE．若△DBE为等腰直角三角形，则点D的坐标为( )A.（-2，2）B.（-2，6）C.（-3，4）或（-2，6）D.（-3，1）或（-2，2）答案：D解题思路：由题意得，A（-4，0），B（0，4），∴OA=OB．又∵∠AOB=90°，∴∠BAO=45°．∵CD⊥x轴，∴∠ADC=45°，∴EDB=45°．在△DBE中，B是定点，D，E均为动点，要使得△DBE为等腰直角三角形，需从直角出发进行分类讨论．①如图，当点E为直角顶点时，BE∥AO．此时点E的纵坐标为4，代入二次函数表达式可得点E的坐标为（-3，4），∴，∴．②如图，当点B为直角顶点时，BE⊥AB．由直线AB的斜率为1可知直线BE的斜率为-1，结合点B的坐标（0，4），可求得直线BE的表达式为y=-x+4．由得，，∴点E的坐标为（-2，6），∴，∴．综上得，点D的坐标为（-3，1）或（-2，2）．试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形存在性。

一次函数之等腰直角三角形的存在性 (讲义及答案).

一次函数之等腰直角三角形的存在性（讲义）➢课前预习1.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B 是两个格点，若点C 也是图中的格点，且使得△ABC 为等腰直角三角形，则符合条件的点C 有个．2.用铅笔做讲义第1 题，并将计算、演草保留在讲义上，先看知识点睛，再做题，思路受阻时（某个点做了2~3 分钟）重复上述动作，若仍无法解决，课堂重点听．➢知识点睛1.存在性问题的处理思路①分析不变特征分析所求图形中的定点、定线、定角等不变特征．②分类、画图结合所求图形的形成因素，依据其判定、定义等确定分类，并画出符合题意的图形．通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形．③求解、验证围绕不变特征、画图依据来设计方案进行求解；验证时，要回归点的运动范围，画图或推理，判断是否符合题意．注：复杂背景下的存在性问题往往需要研究背景图形，几何背景往往研究点，线，角；函数背景研究点坐标，表达式等．2.等腰直角三角形存在性的特征分析及特征下操作要点：三角形的三个顶点分别为直角顶点进行分类，在直角的基础上，再考虑等腰，通常借助构造弦图模型进行求解．➢精讲精练1.如图，直线y=-2x+6 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，点P 是第一象限内的一个动点，若以A，B，P 为顶点的三角形是等腰直角三角形，则点P 的坐标为．2.如图，直线y =-1x +b 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，点C 3在直线y =-1x +b 上，且其纵坐标为1，△OAC 的面积为3．3 2（1）求直线y =-1x +b 的表达式及点C 的坐标；3（2）点P 是第二象限内的一个动点，若△ACP 是等腰直角三角形，则点P 的坐标为．3.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(2，0)，点P 是y轴正半轴上一个动点，Q是直线x=3 上的一个动点，若△APQ 为等腰直角三角形，则点P 的坐标为．4.如图，直线y=3x+4 与y 轴交于点A，点P 是直线x=6 上的一个动点，点Q 是直线y=3x+4 上的一个动点，且点Q 在第一象限，若△APQ 为等腰直角三角形，则点Q 的坐标为．5. 如图，直线 l 1：y =x +6 与 x 轴、y 轴分别交于点 A ，B ，直线 l 2：y = - 1 x - 3 与 x 轴交于点 A ，点 M 是线段 AB 上的一动点，2过点 M 作 y 轴的平行线交直线 l 2 于点 N ，在 y 轴上是否存在点 P ，使△MNP 为等腰直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】➢ 课前预习1. 6➢ 精讲精练1. (9，3)，(6，9)，( 9 ， 9 )2 22. （1） y = - 1 x -1，C (-6，1)3（2）(-2，3)，(-5，4)，(-4，2)3. (0，1)，(0，3)，(0，4)4. (2，10)，(3，13)，( 3 ， 17 )2 2 5. 存在，点 P 的坐标为(0， 12 )，(0， - 6 )，(0， 6 )5 5 7。

最短路径问题及等腰三角形的存在性(讲义)文档

最短路径问题及等腰三角形的存在性（讲义）一、知识点睛1.五种基本作图：①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角；③作已知角的角平分线；④作已知线段的垂直平分线；⑤过平面内一点，作已知直线的垂线．2.轴对称最值问题：（1）特征：有定点，有动点，动点在____________上运动，求动点与定点连接组成的线段和（周长）最小．（2）解决方法：以动点所在的直线为对称轴，作定点的对称点，________________，利用两点之间线段最短进行处理．例题：在直线l上找一点P，使得在直线同侧的点A，B到点P的距离之和AP+BP最小．BAl二、精讲精练1.作已知线段的垂直平分线．已知：线段MN．求作：直线AB，使AB垂直平分MN．N作法：（1）分别以_______，______为圆心，___________为半径作弧，两弧相交于点A和点B；（2）_______________________________________．_______________________________________．2.（1）过直线上一点，作已知直线的垂线．已知：A为直线MN上一点．求作：直线AB，使AB⊥MN．A作法：①________________________________________________________________________________________________；②________________________________________________________________________________________________；③________________________________________________．________________________________________________．（2）过直线外一点，作已知直线的垂线．已知：A为直线MN外一点．求作：直线AB，使AB⊥MN．AM N作法：①________________________________________________；②________________________________________________________________________________________________；③________________________________________________________________________________________________；④________________________________________________．________________________________________________．3.电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m，n的距离也必须相等，发射塔P应修建在什么位置？4. 为打造“宜居城市”，某市拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M 到广场的两个入口A ，B 的距离相等，且到广场管理处C 的距离等于A ，B 之间距离的一半，A ，B ，C的位置如图所示．请在题目给的原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M 的位置．5. 已知：如图，点P ，Q 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的两个定点，在BC 上求作一点R ，使△PQR 的周长最小．6. 已知：如图，∠ABC =30°，P 为∠ABC 内部一点，BP =4，如果点M ，N 分别为边AB ，BC 上的两个动点，请画图说明当M ，N 在什么位置时使得△PMN 的周长最小，并求出△PMN 周长的最小值．7. 如图，在四边形ABCD 中，∠BAD =120°，∠B =∠D =90°，在BC ，CD 上分别找一点M ，N ．当△AMN 的周长最小时， ∠AMN +∠ANM 的度数为_________．ABCDNMD C B A8. 已知：如图，点P ，Q 为∠AOB 内部两点，点M ，N 分别为OA ，OB 上的两个动点，作四边形PMNQ ，请作图说明当点M ，N 在何处时，四边形PMNQ 的周长最小．9. 已知：如图，线段AB 的端点A 在直线l 上，AB 与l 的夹角为30°，请在直线l 上另找一点C ，使△ABC 是等腰三角形．这样的点能找几个？求出每个等腰三角形顶角的度数．10.如图，在Rt △点P，使得△。

八年级数学一次函数之等腰直角三角形存在性(人教版)(专题)(含答案)

一次函数之等腰直角三角形存在性（人教版）（专
题）
一、单选题(共4道，每道25分)
1.如图，直线y=2x+2与x轴、y轴分别交于点A，点B，点P是平面内一点且在直线AB下方，若使△ABP为等腰直角三角形，则点P的坐标为( )
A.（-3，1），（-2，3）或
B.（1，-1），（2，1）或
C.（1，-1），（2，1），（-3，1）或（-2，3）
D.（1，-1），（2，1）（-3，1），（-2，3），或
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：略
2.如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D是线段OA的中点，点P 是第一象限内一点，且使△BDP是等腰直角三角形，则点P的坐标为( )
A. B.
C.（2，8），（8，2），（4，4）
D.（2，5），（5，3），（4，4）
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：略
3.如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，其中点．点P 是平面内一点，若△ABP是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，则点P的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：略
4.如图，直线y=2x-4与x轴、y轴分别交于点A，点B，点P是平面内一点，若△ABP是以线段AB为直角边的等腰直角三角形，则点P的坐标为( )
A.(6，-2)或(4，-6)
B.(-2，2)，(4，-6)或（3，-3）
C.(-2，2)，(6，-2)，(-4，-2)或(4，-6)
D.(-2，2)，(6，-2)，(-4，-2)，(4，-6)，（3，-3）或（1，-1）
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：略。

等腰三角形的存在性问题

等腰三角形的存在性问题专题攻略如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．针对训练1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点D在坐标为(3，4)，点P是x轴正半轴上的一个动点，如果△DOP是等腰三角形，求点P的坐标．2．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时则停止运动．在P、Q两点移动过程中，当△PQC为等腰三角形时，求t的值．3．如图，直线y＝2x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是x轴正半轴上的一个动点，直线PQ与直线AB垂直，交y轴于点Q，如果△APQ是等腰三角形，求点P的坐标．三年真题4．如图，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC 的中点．P(0,m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当△APD是等腰三角形时，求m的值；（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2）．当点P从O向C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路长（不必写解答过程）．图1 图26．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝m （m 是大于0的常数），BC ＝8，E 为线段BC 上的动点（不与B 、C 重合）．连结DE ，作EF ⊥DE ，EF 与射线BA 交于点F ，设CE =x ，BF ＝y ．（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）若m ＝8，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？（3）若12y m=，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？两年模拟7．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝16，DE ＝4．动线段DE （端点D 从点B 开始）沿BC 以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，当端点E 到达点C 时运动停止．过点E 作EF //AC 交AB 于点F （当点E 与点C 重合时，EF 与CA 重合），联结DF ，设运动的时间为t 秒（t ≥0）．（1）直接写出用含t 的代数式表示线段BE 、EF 的长；（2）在这个运动过程中，△DEF 能否为等腰三角形？若能，请求出t 的值；若不能，请说明理由；（3）设M 、N 分别是DF 、EF 的中点，求整个运动过程中，MN 所扫过的面积．8．如图，在平面直角坐标系xoy 中，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，且AB ＝3，BC ＝32，直线y ＝323-x 经过点C ，交y 轴于点G ．（1）点C 、D 的坐标分别是C （），D （）；（2）求顶点在直线y ＝323-x 上且经过点C 、D 的抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线沿直线y ＝323-x 平移，平移后的抛物线交y 轴于点F ，顶点为点E （顶点在y 轴右侧）．平移后是否存在这样的抛物线，使△EFG 为等腰三角形？若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．自编原创9．如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ＝6，BC ＝8，点D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，∠ADE ＝∠B ．设BD 的长为x ，CE 的长为y ．（1）当D 为BC 的中点时，求CE 的长；（2）求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）如果△ADE 为等腰三角形，求x 的值．备用图备用图。

专题55 一次函数背景下的图形存在性问题(解析版)-中考数学解题大招复习讲义

例题精讲考点一：一次函数中等腰三角形存在性问题【例1】．如果一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，M点在x轴上，并且使得以点A、B、M为定点的三角形是等腰三角形，则M点的坐标为（﹣8，0）或（﹣2，0）或（18，0）或（﹣，0）．解：一次函数y＝﹣x+6中令x＝0，解得y＝6；令y＝0，解得x＝8，∴A（8，0），B（0，6），即OA＝8，OB＝6，在直角三角形AOB中，根据勾股定理得：AB＝10，分四种情况考虑，当BM＝BA时，由BO⊥AM，根据三线合一得到O为MA的中点，此时M1（﹣8，0）；当AB＝AM时，由AB＝10，得到OM＝﹣2或18，此时M2（﹣2，0），M3（18，0）；当MA＝MB时，∵A（8，0），B（0，6），∴AB的中点的坐标为（4，3），设直线AB的垂直平分线的解析式为y＝x+b，代入（4，3）得3＝+b，解得b＝﹣，∴直线AB的垂直平分线的解析式为y＝x﹣，令y＝0，解得x＝，此时M4（，0）．综上，这样的M点有4个，分别为（﹣8，0）或（﹣2，0）或（18，0）或（，0）．故答案为（﹣8，0）或（﹣2，0）或（18，0）或（，0）．变式训练【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，直线MN的函数解析式为y＝﹣x+3，点A在线段MN上且满足AN＝2AM，B点是x轴上一点，当△AOB是以OA为腰的等腰三角形时，则B点的坐标为（2，0）或（，0）或（，0）．解：∵在y＝﹣x+3中，令x＝0，则y＝3；令y＝0，则﹣x+3＝0，解得x＝3，∴N（3，0），M（0，3），∴OM＝ON＝3，∵AN＝2AM，∴A（1，2），∴OA＝＝，当AO＝OB时，则OB＝，∴点B的坐标为（﹣，0）或（，0）；②当AO＝AB时，设点B的坐标为（m，0），则＝，整理得，（1﹣m）2＝1，解得m＝2或m＝0（舍去），∴点B的坐标为（2，0）．综上所述：点B的坐标为（2，0）或（，0）或（，0）．【变1-2】．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+12与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y＝x交于点C．（1）求点C的坐标．（2）若P是x轴上的一个动点，直接写出当△OPC是等腰三角形时P的坐标．解：（1）联立两直线解析式成方程组，得，解得：，∴点C的坐标为（4，4）；（2）设点P（m，0），而点C（4，4），点O（0，0）；PC2＝（m﹣4）2+16，PO2＝m2，OC2＝42+42＝32；当PC＝PO时，（m﹣4）2+16＝m2，解得：m＝4；当PC＝OC时，同理可得：m＝0（舍去）或8；当PO＝OC时，同理可得：m＝±4；故点P的坐标为（4，0）或（8，0）或（4，0）或（﹣4，0）．考点二：一次函数中直角三角形存在性问题【例2】．已知点A、B的坐标分别为（2，2）、（5，1），试在x轴上找一点C，使△ABC为直角三角形．解：当△ABC为直角三角形时，设点C坐标为（x，0），分三种情况：①如果A为直角顶点，则AB2+AC2＝BC2，即（2﹣5）2+（2﹣1）2+（2﹣x）2+22＝（5﹣x）2+1，解得：x＝，②如果B为直角顶点，那么AB2BC2＝AC2，即（2﹣5）2+（2﹣1）2+（5﹣x）2+1＝（2﹣x）2+22，解得x＝，③如果C为直角顶点，那么AB2＝AC2+BC2，即（2﹣5）2+（2﹣1）2＝（2﹣x）2+22+（5﹣x）2+1，解得x＝3或4，综上可知，使△PAB为直角三角形的点C坐标为（，0）或（，0）或（3，0）或（4，0）．变式训练【变2-1】．如图，一次函数y＝kx+1的图象过点A（1，2），且与x轴相交于点B．若点P 是x轴上的一点，且满足△ABP是直角三角形，则点P的坐标是（1，0）或（3，0）．解：∵一次函数y＝kx+1的图象过点A（1，2），∴2＝k+1，解得k＝1，∴一次函数的解析式为y＝x+1．∴当∠APB＝90°时，P1（1，0）；当∠BAP＝90°时，∵一次函数的解析式为y＝x+1，∴设直线AP的解析式为y＝﹣x+b，∵A（1，2），∴2＝﹣1+b，解得b＝3，∴直线AP的解析式为y＝﹣x+3，∴当y＝0时，x＝3，∴P2（3，0）．综上所述，点P的坐标是（1，0）或（3，0）．【变2-2】．如图，已知一次函数y＝x﹣2的图象与y轴交于点A，一次函数y＝4x+b的图象与y轴交于点B，且与x轴以及一次函数y＝x﹣2的图象分别交于点C、D，点D的坐标为（﹣2，﹣4）．（1）关于x、y的方程组的解为．（2）求△ABD的面积；（3）在x轴上是否存在点E，使得以点C，D，E为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵一次函数y＝x﹣2的图象与一次函数y＝4x+b的图象交于点D，且点D的坐标为（﹣2，﹣4），∴关于x、y的方程组的解是，∴关于x、y的方程组的解是，故答案为：；（2）把点D的坐标代入一次函数y＝4x+b中得：﹣8+b＝﹣4，解得：b＝4，∴B（0，4），∵A（0，﹣2），∴AB＝4﹣（﹣2）＝6，＝＝6；∴S△ABD（3）存在，如图1，当点E为直角顶点时，过点D作DE⊥x轴于E，∵D（﹣2，﹣4），∴E（﹣2，0）；当点C为直角顶点时，x轴上不存在点E；当点D为直角顶点时，过点D作DE⊥CD交x轴于点E，作DF⊥x轴于F，设E（t，0），当y＝0时，4x+4＝0，∴x＝﹣1，∴C（﹣1，0），∵F（﹣2，0），∴CE＝﹣1﹣t，EF＝﹣2﹣t，∵D（﹣2，﹣4），∴DF＝4，CF＝﹣1﹣（﹣2）＝1，在Rt△DEF中，DE2＝EF2+DF2＝42+（﹣2﹣t）2＝t2+4t+20，在Rt△CDF中，CD2＝12+42＝17，在Rt△CDE中，CE2＝DE2+CD2，∴（﹣1﹣t）2＝t2+4t+20+17，解得t＝﹣18，∴E（﹣18，0），综上，点E的坐标为：（﹣2，0）或（﹣18，0）．考点三：一次函数中平行四边形存在性问题【例3】．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（1，3），B（﹣2，﹣1）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．（1）求该一次函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）平面内是否存在一点M，使以点M、C、O、B为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）将A（1，3）、B（﹣2，﹣1），代入y＝kx+b得：，解得，∴一次函数的表达式为y＝x+；（2）在y＝x+中，令x＝0得y＝，∴OD＝，＝OD•|x A|＝××1＝，∴S△AODS△BOD＝OD•|x B|＝××2＝，＝S△BOD+S△AOD＝；∴△AOB的面积S△AOB（3）存在，理由如下：在y＝x+中，令y＝0得y＝﹣，∴C（﹣，0），设M（m，n），而B（﹣2，﹣1），O（0，0），①以OB、CM为对角线，则OB的中点即是CM的中点，如图：∴，解得，∴M（﹣，﹣1）；②以BC、OM为对角线，则BC的中点即是OM的中点，如图：∴，解得，∴M（﹣，﹣1）；③以BM、CO为对角线，则BM的中点即是CO的中点，如图：∴，解得，∴M（，1）；综上所述，M的坐标为：（﹣，﹣1）或（﹣，﹣1）；或（，1）．变式训练【变3-1】．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴相交于A、B两点，点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上，过点D作DE⊥x轴于点E．（1）求证：△BOC≌△CED；（2）如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B'C'D'，当B'C'经过点D时，求△BCD平移的距离及点D的坐标；（3）若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．（1）证明：∵∠BOC＝∠BCD＝∠CED＝90°，∴∠OCB+∠OBC＝90°，∠OCB+∠ECD＝90°，∴∠OBC＝∠ECD．∵将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，∴BC＝CD．在△BOC和△CED中，，∴△BOC≌△CED（AAS）．（2）解：∵直线y＝﹣x+3与x轴、y轴相交于A、B两点，∴点B的坐标为（0，3），点A的坐标为（6，0）．设OC＝m，∵△BOC≌△CED，∴OC＝ED＝m，BO＝CE＝3，∴点D的坐标为（m+3，m）．∵点D在直线y＝﹣x+3上，∴m＝﹣（m+3）+3，解得：m＝1，∴点D的坐标为（4，1），点C的坐标为（1，0）．∵点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（1，0），∴直线BC的解析式为y＝﹣3x+3．设直线B′C′的解析式为y＝﹣3x+b，将D（4，1）代入y＝﹣3x+b，得：1＝﹣3×4+b，解得：b＝13，∴直线B′C′的解析式为y＝﹣3x+13，∴点C′的坐标为（，0），∴CC′＝﹣1＝，∴△BCD平移的距离为．（3）解：设点P的坐标为（0，m），点Q的坐标为（n，﹣n+3）．分两种情况考虑，如图3所示：①若CD为边，当四边形CDQP为平行四边形时，∵C（1，0），D（4，1），P（0，m），Q（n，﹣n+3），∴，解得：，∴点P1的坐标为（0，）；当四边形CDPQ为平行四边形时，∵C（1，0），D（4，1），P（0，m），Q（n，﹣n+3），∴，解得：，∴点P2的坐标为（0，）；②若CD为对角线，∵C（1，0），D（4，1），P（0，m），Q（n，﹣n+3），∴，解得：，∴点P的坐标为（0，）．综上所述：存在，点P的坐标为（0，）或（0，）．考点四：一次函数中矩形存在性问题【例4】．Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA、OB的长满足|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∠ABO的平分线交x轴于点C过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求线段AB的长；（2）求直线CE的解析式；（3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∴OA＝8，OB＝6，在直角△AOB中，AB＝＝＝10；（2）∵BC平分∠ABO，CD⊥AB，AO⊥BO，∴OC＝CD，设OC＝x，则AC＝8﹣x，CD＝x．∵△ACD和△ABO中，∠CAD＝∠BAO，∠ADC＝∠AOB＝90°，∴△ACD相似于△ABO，∴，即，解得：x＝3．即OC＝3，则C的坐标是（﹣3，0）．设AB的解析式是y＝kx+b，根据题意得解得：则直线AB的解析式是y＝x+6，设CD的解析式是y＝﹣x+m，则4+m＝0，则m＝﹣4．则直线CE的解析式是y＝﹣x﹣4；（3）①当AB为矩形的边时，如图所示矩形AM1P1B，易知BC的直线方程为y＝2x+6，设M1（m，2m+6），P1（x，y），因为A（﹣8，0），B（0，6），则AM12＝（m+8）2+（2m+6）2，＝5m2+40m+100，BM12＝m2+（2m+6﹣6）2＝5m2，AB＝10，根据AB2+AM12＝BM12得100+5m2+40m+100＝5m2，m＝﹣5，∴M1（﹣5，﹣4），根据平移规律可以解得P1（3，2）②当AB为矩形的对角线时，此时有AB2＝AM22+BM22，即100＝5m2+40m+100+5m2，m ＝﹣4或m＝0（舍去），∴M2（﹣4，﹣2），根据平移规律可以解得P2（﹣4，8）综上可得，满足条件的P点的坐标为P1（3，2）或P2（﹣4，8）．变式训练【变4-1】．如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC的长是方程x2﹣4x+3＝0的两个根，且OC＞BC．（1）求直线BD的解析式；（2）求点H到x轴的距离；（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）x2﹣4x+3＝0，解得：x＝3或1，故BC＝1，OC＝3，即点C（0，3）、点A（﹣1，0），则点B（﹣1，3），点D（3，0），点E（3，1），将B、D点的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线BD的表达式为：y＝﹣x+…①；（2）同理可得：直线OE的表达式为：y＝x…②，联立①②并解得：y＝，即点H到x轴的距离为：；（3）直线BD的表达式为：y＝﹣x+，则点F（0，），①当FD是矩形的一条边时，当点M在x轴上时，∵MF⊥BD，则直线MF的表达式为：y＝x+，当y＝0，x＝﹣，即点M（﹣，0），点F向右平移3个单位向下平移单位得到D，则点M向右平移3个单位向下平移单位得到N，则点N（，﹣）；当点M在y轴上时，同理可得：点N（﹣3，﹣）；②当FD是矩形的对角线时，此时点M在原点O，则点N（3，）；综上，点N的坐标为：（，﹣）或（﹣3，﹣）或（3，）．考点五：一次函数中菱形存在性问题【例5】．如图1，直线y＝x+6与x，y轴分别交于A，B两点，∠ABO的角平分线与x轴相交于点C．（1）求点C的坐标；（2）在直线BC上有两点M，N，△AMN是等腰直角三角形，∠MAN＝90°，求点M 的坐标；（3）点P在y轴上，在平面上是否存在点Q，使以点A、B、P、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）对于直线y＝x+6，令x＝0，得到y＝6，∴B（0，6），令y＝0，得到x＝﹣8，∴A（﹣8，0）．∵A（﹣8，0），B（0，6），∴OA＝8，OB＝6，∵∠AOB＝90°，∴AB＝＝10，过点C作CH⊥AB于H，设OC＝t，∵BC平分∠ABO，∠AOB＝90°，∴CH＝OC＝t，＝S△ABC+S△BCO，∵S△ABO∴OA•OB＝AB•CH+OC•OB，∴6×8＝10t+6t，∴t＝3，∴OC＝3，∴C（﹣3，0）；（2）设线BC的表达式为：y＝kx+b，∵B（0，6），C（﹣3，0），∴直线BC的表达式为：y＝2x+6，设点M（m，2m+6）、N（n，2n+6），过点M作MF⊥x轴于点F，过点N作NE⊥x轴于点E，∵△AMN为等腰直角三角形，故AM＝AN，∵∠NAE+∠MAF＝90°，∠MAF+∠AMF＝90°，∴∠NAE＝∠AMF，∵∠AFM＝∠NEA＝90°，AM＝AN，∴△FMA≌△EAN（AAS），∴EN＝AF，MF＝AE，即﹣2n﹣6＝m+8，2m+6＝8+n，解得：m＝﹣2，n＝﹣6，故点M的坐标为（﹣2，2）、点N（﹣6，﹣6）；由于M，N的位置可能互换，故点N的坐标为（﹣2，2）、点M（﹣6，﹣6）；综上所述，点M的坐标为（﹣2，2）或（﹣6，﹣6）；（3）设点P（0，p），∴BP2＝（p﹣6）2，AP2＝82+p2，①当AB是边时，如图，∵点A、B、P、Q为顶点的四边形为菱形，∴BP＝AB＝10，BP′＝AB＝10，OB＝OP″，∵B（0，6），∴P（0，16），P′（0，﹣4），P″（0，﹣6），∵A（﹣8，0），∴Q（﹣8，10），Q′（﹣8，﹣10），Q″（8，0）；②当AB是对角线时，如图，∵点A、B、P、Q为顶点的四边形为菱形，∴AP＝BP，∴BP2＝AP2，∴（p﹣6）2＝82+p2，解得p＝﹣，∴P（0，﹣），∵A（﹣8，0），B（0，6），∴Q（﹣8，）；综上所述，点Q的坐标为（﹣8，10）或（﹣8，﹣10）或（8，0）或（﹣8，）．变式训练【变5-1】．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点D、C，直线AB与y轴交于点B（0，﹣2），与直线CD交于点A（m，2）．（1）求直线AB的解析式；（2）点E是射线CD上一动点，过点E作EF∥y轴，交直线AB于点F，若以O、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，请求出点E的坐标；（3）设P是射线CD上一点，在平面内是否存在点Q，使以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵点A（m，2）在直线y＝x+4上∴m+4＝2解得m＝﹣2∴点A的坐标为（﹣2，2）设直线AB的解析式为y＝kx+b∴解得∴直线AB的解析式为y＝﹣2x﹣2；（2）如图1，由题意设点E的坐标为（a，a+4），则∵EF∥y轴，点F在直线y＝﹣2x﹣2上∴点F的坐标为（a，﹣2a﹣2）∴EF＝|a+4﹣（﹣2a﹣2）|＝|3a+6|，∵以点O、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，且EF∥OC∴EF＝OC∵直线y＝x+4与y轴交于点C∴点C的坐标为（0，4）∴OC＝4，即|3a+6|＝4解得：a＝﹣或a＝﹣∴点E的坐标为（﹣，）或（﹣，）；（3）如图2，当BC为对角线时，点P，Q都是BC的垂直平分线，且点P和点Q关于BC对称，∵B（0，﹣2），C（0，4），∴点P的纵坐标为1，将y＝1代入y＝x+4中，得x+4＝1，∴x＝﹣3，∴P''（﹣3，1），∴Q''（3，1）当CP是对角线时，CP是BQ的垂直平分线，设Q（m，n），∴BQ的中点坐标为（，），代入直线y＝x+4中，得+4＝①，∵CQ＝CB，∴m2+（n﹣4）2＝36②，联立①②得，（舍）或，∴Q'（﹣6，4），当PB是对角线时，PC＝BC＝6，设P（c，c+4），∴c2+（c+4﹣4）2＝36，∴c＝3（舍）或c＝﹣3，∴P（﹣3，﹣3+4），设Q（d，e）∴（﹣3+0）＝（0+d），（﹣3+4﹣2）＝（e+4），∴d＝﹣3，e＝﹣3﹣2，∴Q（﹣3，﹣3﹣2），即：点Q的坐标为（3，1），（﹣6，4）或（﹣3，﹣3﹣2）．1．一次函数y＝x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，在x轴上取一点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的点C的坐标为（﹣8，0）（3，0）（2，0）（，0）．解：当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝﹣3，即A（﹣3，0），B（0，4），OA＝3，OB＝4，由勾股定理得：AB＝5，有三种情况：①以A为圆心，以AB为半径交x轴于两点，此时AC＝AB＝5，C的坐标是（2，0）和（﹣8，0）；②以B为圆心，以AB为半径交x轴于一点（A除外），此时AB＝BC，OA＝OC＝3，C的坐标是（3，0）；③作AB的垂直平分线交x轴于C，设C的坐标是（a，0），A（﹣3，0），B（0，4），∵AC＝BC，由勾股定理得：（a+3）2＝a2+42，解得：a＝，∴C的坐标是（，0），故答案为：（﹣8，0）（3，0）（2，0）（，0）．2．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（2，1），连接OA，点P是x轴上的一动点，如果△OAP是等腰三角形，请你写出符合条件的点P坐标P1（4，0），P2（，0），P3（﹣，0），P4（，0）．解：设P（x，0），当OA＝AP时，∵A（2，1），∴P1（4，0）；当OA＝OP时，∵A（2，1），∴OA＝＝，∴P2（，0），P3（﹣，0）；当AP＝OP时，∵P（x，0），（2，1），∴（2﹣x）2+12＝x2，解得x＝，∴P4（，0）．综上所述，P点坐标为：P1（4，0），P2（，0），P3（﹣，0），P4（，0）．故答案为：P1（4，0），P2（，0），P3（﹣，0），P4（，0）．3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y 的正半轴上，且OB＝2OC，在直角坐标平面内确定点D，使得以点D、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请写出点D的坐标为（3，2）（﹣3，2）（5，﹣2）．解：如图，①当BC为对角线时，易求M1（3，2）；②当AC为对角线时，CM∥AB，且CM＝AB．所以M2（﹣3，2）；③当AB为对角线时，AC∥BM，且AC＝BM．则|M y|＝OC＝2，|M x|＝OB+OA＝5，所以M3（5，﹣2）．综上所述，符合条件的点D的坐标是M1（3，2），M2（﹣3，2），M3（5，﹣2）．故答案为：（3，2）（﹣3，2）（5，﹣2）．4．如图，一次函数y＝k2x+b的图象与y轴交于点B，与正比例函数y＝k1x的图象相交于点A（3，4），且OA＝OB．（1）分别求出这两个函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）点P在x轴上，且△POA是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．解：（1）∵正比例函数y＝k1x的图象经过点A（3，4），∴3k1＝4，∴k1＝，∴正比例函数解析式为y＝x．如图1中，过A作AC⊥x轴于C，在Rt△AOC中，OC＝3，AC＝4，∴AO＝＝5，∴OB＝OA＝5，∴B（0，﹣5），∴，解得，∴一次函数的解析式为y＝3x﹣5．（2）如图1中，过A作AD⊥y轴于D，∵A（3，4），∴AD＝3，＝；∴S△AOB（3）当OP＝OA时，P1（﹣5，0），P2（5，0），当AO＝AP时，P3（6，0），当PA＝PO时，线段OA的垂直平分线为y＝﹣，∴，满足条件的点P的坐标（﹣5，0）或（5，0）或（6，0）或．5．直线l1交x轴于点A（6，），交y轴于B（0，6）．（1）如图，折叠△AOB，使BA落在y轴上，折痕所在直线为l2，直线l2与x轴交于C 点，求C点坐标及l2的解析式；（2）在直线l1上找点M，使得以M、A、C为顶点的三角形是等腰三角形，求出所有满足条件的M点的坐标．解：∵点A（6，0），交y轴于B（0，6）．∴OA＝6，OB＝6，∴tan∠OAB＝＝，∴∠OAB＝30°，∴∠OBA＝60°，∵折叠△AOB，∴∠OBC＝∠ABC＝30°，∴BC＝2OC，BO＝OC＝6，∴OC＝2，∴点C（2，0），设直线BC解析式为：y＝kx+b，解得：∴直线BC解析式为：y＝﹣x+6；（2）当点M与点B重合时，由（1）可知：∠AMC＝∠MAC＝30°，∴CM＝AC，∴△ACM是等腰三角形，∴当M为（0，6）时，△ACM是等腰三角形，∵OC＝2，OA＝6，∴AC＝4，若AM＝AC＝4，如图1：过点M作MH⊥AC，∵∠MAH＝30°，∴MH＝AM＝2，AH＝2MH＝6，∴OH＝6﹣6或6+6，∴点M（6﹣6，2）或（6+6，﹣2）若AM＝MC，如图2，过点M作MH⊥AC，∵AM＝MC，MH⊥AC，∴AH＝CH＝2，∴OC＝4，∵∠MAH＝30°，∴AH＝MH，∴MH＝2，∴点M（4，2），综上所述：点M（6﹣6，2）或（6+6，﹣2）或（4，2）或（0，6）．6．在平面直角坐标系中，直线y＝kx+8k（k是常数，k≠0）与坐标轴分别交于点A，点B，且点B的坐标为（0，6）．（1）求点A的坐标；（2）如图1，将直线AB绕点B逆时针旋转45°交x轴于点C，求直线BC的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC上有一点M，坐标平面内有一点P，若以A、B、M、P 为顶点的四边形是菱形，请直接写出点P的坐标．解：（1）令y＝kx+8k＝0，解得x＝﹣8，故点A的坐标为（﹣8，0）；（2）过点A作AD⊥AB交BC于点D，过点A作y轴的平行线交过点B与x轴的平行线于点M，交过点D与x轴的平行线于点N，∵∠ABC＝45°，故△ABD为等腰直角三角形，则AD＝AB，∵∠BAM+∠DAN＝90°，∠DAN+∠ADN＝90°，∴∠BAM＝∠ADN，∵∠BMA＝∠AND＝90°，∴△BMA≌△AND（AAS），∴AN＝BM＝8，ND＝AM＝6，故点D的坐标为（﹣2，﹣8），设直线BC的表达式为y＝kx+b，则，解得，故直线BC的表达式为y＝7x+6；（3）设点M的坐标为（m，7m+6），点P（s，t），而点A、B的坐标分别为（﹣8，0）、（0，6），①当AB是边时，点A向右8个单位向上6个单位得到点B，同样，点M（P）向右8个单位向上6个单位得到点P（M），且AB＝BP（AB＝BM），则或，解得或或（不合题意的值已舍去）；故点P的坐标为（﹣8，7）或（﹣﹣8，﹣7）或（6，﹣2）；②当AB是对角线时，由中点坐标公式和AM＝BM得：，解得，故点P的坐标为（﹣7，7）；综上，点P的坐标为（﹣8，7）或（﹣﹣8，﹣7）或（6，﹣2）或（﹣7，7）．7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y＝x的图象交于点C（m，6）．（1）求一次函数的解析式；（2）求△BOC的面积；（3）在x轴上是否存在一点P，使得△ABP是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵将点C（m，6）代入y＝x，∴6＝m，∴m＝4，∴C（4，6），设一次函数的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x+3；（2）在y＝x+3中，令x＝0得y＝3，∴B（0，3），＝OB•|x C|＝×3×4＝6；∴S△BOC（3）在x轴上存在一点P，使得△ABP是等腰三角形，理由如下：∵A（﹣4，0），B（0，3），∴AB＝5，OA＝4，当B为等腰三角形顶角顶点时，P点与A点关于y轴对称，∴P（4，0）；当A为等腰三角形顶角顶点时，AP＝AB＝5，∴P（﹣9，0）或P（1，0）；当P为等腰三角形顶角顶点时，设P（t，0），∵PA＝PB，∴（t+4）2＝t2+9，解得t＝﹣，∴P（﹣，0），综上所述：P点坐标为（﹣9，0）或（1，0）或（4，0）或（﹣，0）．8．如图，已知一次函数y＝x+m的图象与x轴交于点A（﹣6，0），交y轴于点B．（1）求m的值与点B的坐标（2）问在x轴上是否存在点C，使得△ABC的面积为16？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由．（3）问在x轴是否存在点P，使得△ABP为等腰三角形，求出点P坐标．（4）一条经过点D（0，2）和直线AB上的一点的直线将△AOB分成面积相等的两部分，请求出这条直线的函数表达式．解：（1）把点A（﹣6，0）代入y＝x+m，得m＝8，∴点B坐标为（0，8）．（2）存在，设点C坐标为（a，0），由题意•|a+6|•8＝16，解得a＝﹣2或﹣10，∴点C坐标（﹣2，0）或（﹣10，0）．（3）如图1中，①当AB＝AP时，AP＝AB＝＝10，可得P1（﹣16，0），P2（4，0）．②当BA＝BP时，OA＝OP，可得P3（6，0）．③当PA＝PB时，∵线段AB的垂直平分线为y＝﹣x+，可得P4（，0），综上所述，满足条件的点P坐标为（﹣16，0）或（4，0）或（6，0）或（，0）．（4）如图2中，设过点D的直线交AB于E，设E（b，），由题意BD•（﹣b）＝××6×8，∴b＝﹣4，∴点E坐标（﹣4，），设直线DE的解析式为y＝kx+b则有，解得，∴这条直线的函数表达式y＝﹣x+2．9．在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+2的图象交x轴、y轴分别于A、B两点，交直线y＝kx于P（2，a）．（1）求点A、B的坐标；（2）若Q为x轴上一动点，△APQ为等腰三角形，直接写出Q点坐标；（3）点C在直线AB上，过C作CE⊥x轴于E，交直线OP于D，我们规定若C，D，E 中恰好有一点是其他两点所连线段的中点，则称C，D，E三点为“和谐点”，求出C，D，E三点为“和谐点”时C点的坐标．解：（1）当x＝0时，y＝﹣x+2＝2，∴点B的坐标为（0，2）；当y＝0时，有﹣x+2＝0，解得：x＝4，∴点A的坐标为（4，0）；（2）∵一次函数y＝﹣x+2的图象交直线y＝kx于P（2，a）．∴a＝﹣×2+2＝1，∴点P的坐标为（2，1），设点Q（m，0），而点A、P的坐标分别为：（4，0）、（2，1），则AP＝＝，AQ＝|4﹣m|，PQ＝，当AP＝AQ时，则＝|4﹣m|，解得m＝4±，∴点Q（4±，0）；当AP＝PQ时，＝，解得m＝0或4（舍去），∴点Q（0，0）；当PQ＝AQ时，即＝|4﹣m|，解得：m＝，∴点Q（，0）；综上，点Q的坐标为（4±，0）或（0，0）或（，0）；（3）∵y＝kx过P（2，1）．∴2k＝1，解得k＝，∴y＝x，设点C的坐标为（n，﹣n+2），则点D的坐标为（n，n），点E的坐标为（n，0），∴CD＝|﹣n+2﹣n|＝|2﹣n|，DE＝|n|，CE＝|﹣n+2|＝|n﹣2|，当D为CE的中点时，CD＝DE，∴|2﹣n|＝|n|，解得n＝或4（舍去），∴点C的坐标为（，）；当C为DE的中点时，CD＝CE，∴|2﹣n|＝|n﹣2|，解得n＝或0（舍去），∴点C的坐标为（，）；当E为CD的中点时，DE＝CE，∴|n|＝|n﹣2|，无解；综上，C，D，E三点为“和谐点”时C点的坐标为（，）或（，）．10．如图所示，直线l：y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点C（0，4）．（1）求△AOB的面积；（2）动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动，求△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；（3）当动点M在x轴上移动的过程中，在平面直角坐标系中是否存在点N，使以点A，C，N，M为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）令y＝0，，解得x＝．令x＝0，y＝．∴A（，0），B（0，）．＝．∴△AOB的面积为12．（2）∵动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动，∴AM＝t．当0≤t≤时，OM＝，OC＝．∴＝＝．当t＞时，OM＝t﹣．∴＝＝．综上，△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式：S＝．（3）在平面直角坐标系中存在点N，使以点A，C，N，M为顶点的四边形为菱形．①当AC，AM为菱形的边时，情况一：如图1，当点M在点A的左侧时，Rt△AOC中，＝，∴NC＝AC＝．∵NC∥AM，∴点N（，）．情况二，如图1′，当点M在点A的右侧时，由情况一同理可得点N的坐标为．②当AC为菱形的对角线时，如图2，此时M，O重合，四边形OANC为正方形，则点N（，）．③如图3，当AC为菱形的边，AM为菱形的对角线时，此时点C，N关于x轴对称，∴点N（0，﹣）．综上，在平面直角坐标系中存在点N，使以点A，C，N，M为顶点的四边形为菱形，此时点N的坐标为：（，），，（，），（0，﹣）．11．如图，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线BC与x轴、y轴分别交于C、B两点，连接BC，且OC＝OB．（1）求点A的坐标及直线BC的函数关系式；（2）点M在x轴上，连接MB，当∠MBA+∠CBO＝45°时，求点M的坐标；（3）若点P在x轴上，平面内是否存在点Q，使点B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）对于直线y＝﹣x+4，令x＝0的y＝4，令y＝0得x＝4，∴A（4，0），B（0，4），∴OB＝OA＝4，∵OC＝OB，∴OC＝3，∴C（﹣3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线BC的解析式为y＝x+4．（2）如图1中，当点M在点A的左边时，∵OB＝OA＝4，∠AOB＝90°，∴∠ABO＝45°，∴∠CBO+∠MBA＝∠MBA+∠MBO＝45°，∴∠CBO＝∠OBM，∵∠CBO+∠BCO＝90°，∠BMO+∠OBM＝90°，∴∠BCO＝∠BMO，∴BC＝BM，OC＝OM＝3，∴M（3，0），作点M关于直线AB的对称点N，作直线BN交x轴于M1，则∠M1BA＝∠MBA，点M1满足条件．∵N（4，1），B（0，4），∴直线BN的解析式为y＝﹣x+4，令y＝0，得x＝，∴M1（，0），综上所述，满足条件的点M的坐标为（3，0）或（，0）．（3）如图2中，∵BC＝＝5，当BC为菱形的边时，四边形CP1Q1B，四边形CP3Q3B，四边形BCQ2P2是菱形，此时Q1（﹣5，4），Q3（5，4），Q2（0，4），当BC是菱形的对角线时，四边形CP4BQ4是菱形，可得Q4（﹣，4）．综上所述，满足条件的点Q的坐标为（﹣5，4）或（5，4）或（0，﹣4）或．12．已知，一次函数y＝的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线y＝相交于点C．过点B作x轴的平行线l．点P是直线l上的一个动点．（1）求点A，点B的坐标．（2）求点C到直线l的距离．＝S△BCP，求点P的坐标．（3）若S△AOC（4）若点E是直线y＝上的一个动点，当△APE是以AP为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出点E的坐标．解：（1）∵一次函数y＝的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，∴令y＝0，则＝0，∴x＝8，令x＝0，则y＝6，∴点A、B的坐标分别为：（8，0）、（0，6）；（2）解：得，，∴点C（3，），则C到直线l的距离为6﹣＝；＝×8×＝15＝S△BCP＝×BP×（y P﹣y C）＝BP×，（3）∵S△AOC解得：BP＝，故点P（，6）或（﹣，6）；（4）设点E（m，m）、点P（n，6）；①当∠EPA＝90°时，当点P在y轴右侧时，当点P在点E的左侧时，如图1，∵∠MEP+∠MPE＝90°，∠MPE+∠NPA＝90°，∴∠MEP＝∠NPA，AP＝PE，∵△EMP≌△PNA（AAS），则ME＝PN＝6，MP＝AN，即m﹣n＝6，m﹣6＝8﹣n，解得：m＝，当点P在点E的右侧时，如图，同理可得m＝16，当∠EAP＝90°时，当点P在y轴左侧时，如图2，同理可得：m﹣8＝6，m＝8﹣n，解得：m＝14，故点E（14，）；故点E（，）或（14，）或（16，20）；如图3，同理可得：△AMP≌△ANE（AAS），故MP＝EN，AM＝AN＝6，即m＝n﹣8，|8﹣m|＝6，解得：m＝2或14（不合题意舍去），故点E（2，）；综上，E（，）或（16，20）或（2，）或（14，）．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+与y＝x相交于点A，与x轴交于点B．（1）求点A，B的坐标；（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在一点C，使得以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，试求出所有符合条件的点C的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）在直线OA上，是否存在一点D，使得△DOB是等腰三角形？如果存在，试求出所有符合条件的点D的坐标，如果不存在，请说明理由．解：（1）∵直线y＝﹣x+与y＝x相交于点A，∴联立得，解得，∴点A（1，1），∵直线y＝﹣x+与x轴交于点B，∴令y＝0，得﹣x+＝0，解得x＝3，∴B（3，0），（2）存在一点C，使得以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形．①如图1，过点A作平行于x轴的直线，过点O作平行于AB的直线，两直线交于点C，∵AC∥x轴，OC∥AB，∴四边形CABO是平行四边形，∵A（1，1），B（3，0），∴AC＝OB＝3，∴C（﹣2，1），②如图2，过点A作平行于x轴的直线，过点B作平行于AO的直线，两直线交于点C，∵AC∥x轴，BC∥AO，∴四边形CAOB是平行四边形，∵A（1，1），B（3，0），∴AC＝OB＝3，∴C（4，1），③如图3，过点O作平行于AB轴的直线，过点B作平行于AO的直线，两直线交于点C，∵OC∥AB，BC∥AO，∴四边形CBAO是平行四边形，∵A（1，1），B（3，0），∴AO＝BC，OC＝AB，作AE⊥OB，CF⊥OB，易得OE＝EF＝FB＝1，∴C（2，﹣1），（3）在直线OA上，存在一点D，使得△DOB是等腰三角形，①如图4，当OB＝OD时，作DE⊥x轴，交x轴于点E∵OB＝3，点D在OA上，∠DOE＝45°∴DE＝OE＝，∴D（﹣，﹣），②如图5，当OD＝OB时，作DE⊥x轴，交x轴于点E∵OB＝3，点D在OA上，∠DOE＝45°∴DE＝OE＝，∴D（，），③如图6，当OB＝DB时，∵∠AOB＝∠ODB＝45°，∴DB⊥OB，∵OB＝3，∴D（3，3），④如图7，当DO＝DB时，作DE⊥x轴，交x轴于点E∵∠AOB＝∠OBD＝45°，∴OD⊥DB，∵OB＝3，∴OE＝，AE＝，∴D（，）．综上所述，在直线OA上，存在点D（﹣，﹣），D（，），D（3，3）或D（，），使得△DOB是等腰三角形，14．如图，经过点B（0，2）的直线y＝kx+b与x轴交于点C，与正比例函数y＝ax的图象交于点A（﹣1，3）（1）求直线AB的函数的表达式；（2）直接写出不等式（kx+b）﹣ax＜0的解集；（3）求△AOC的面积；（4）点P是直线AB上的一点，且知△OCP是等腰三角形，写出所有符合条件的点P的坐标．解：（1）依题意得：，解得，∴所求的一次函数的解析式是y＝﹣x+2．（2）观察图形可知：不等式（kx+b）﹣ax＜0的解集；x＜﹣1．（3）对于y＝﹣x+2，令y＝0，得x＝2∴C（1，0），∴OC＝2．＝×2×3＝3．∴S△AOC（4）①当点P与B重合时，OP1＝OC，此时P1（0，2）；②当PO＝PC时，此时P2在线段OC的垂直平分线上，P2（1，1）；③当PC＝OC＝2时，设P（m．﹣m+2），∴（m﹣2）2+（﹣m+2）2＝4，∴m＝2±，可得P3（2﹣，），P4（2+，﹣），综上所述，满足条件的点P坐标为：（1，1）或（0，2）或P（2+，﹣）或（2﹣，）．15．如图1，已知直线l1：y＝kx+4交x轴于A（4，0），交y轴于B．（1）直接写出k的值为﹣1；（2）如图2，C为x轴负半轴上一点，过C点的直线l2：经过AB的中点P，点Q（t，0）为x轴上一动点，过Q作QM⊥x轴分别交直线l1、l2于M、N，且MN＝2MQ，求t的值；（3）如图3，已知点M（﹣1，0），点N（5m，3m+2）为直线AB右侧一点，且满足∠OBM＝∠ABN，求点N坐标．解：（1）把A（4，0）代入y＝kx+4，得0＝4k+4．解得k＝﹣1．故答案是：﹣1；（2）∵在直线y＝﹣x+4中，令x＝0，得y＝4，∴B（0，4），∵A（4，0），∴线段AB的中点P的坐标为（2，2），代入，得n＝1，∴直线l2为，∵QM⊥x轴分别交直线l1、l2于M、N，Q（t，0），∴M（t，﹣t+4），，∴，MQ＝|﹣t+4|＝|t﹣4|，∵MN＝2MQ，∴，分情况讨论：①当t≥4时，，解得：t＝10．②当2≤t＜4时，，解得：．③当t＜2时，，解得：t＝10＞2，舍去．综上所述：或t＝10．（3）在x轴上取一点P（1，0），连接BP，作PQ⊥PB交直线BN于Q，作QR⊥x轴于R，∴∠BOP＝∠BPQ＝∠PRQ＝90°，∴∠BPO＝∠PQR，∵OA＝OB＝4，∴∠OBA＝∠OAB＝45°，∵M（﹣1，0），∴OP＝OM＝1，∴BP＝BM，∴∠OBP＝∠OBM＝∠ABN，∴∠PBQ＝∠OBA＝45°，∴PB＝PQ，∴△OBP≌△RPQ（AAS），∴RQ＝OP＝1，PR＝OB＝4，∴OR＝5，∴Q（5，1），∴直线BN的解析式为，将N（5m，3m+2）代入，得3m+2＝﹣×5m+4解得，∴．16．如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OA＜OB）且OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣（+1）x+＝0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC＝1：2（1）求A、C两点的坐标；（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM 的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）x2﹣（+1）x+＝0，（x﹣）（x﹣1）＝0，解得x1＝，x2＝1，∵OA＜OB，∴OA＝1，OB＝，∴A（1，0），B（0，），∴AB＝2，又∵AB：AC＝1：2，∴AC＝4，∴C（﹣3，0）；（2）∵AB＝2，AC＝4，BC＝2，∴AB2+BC2＝AC2，即∠ABC＝90°，由题意得：CM＝t，CB＝2．①当点M在CB边上时，S＝2﹣t（0≤t）；②当点M在CB边的延长线上时，S＝t﹣2（t＞2）；（3）存在．①当AB是菱形的边时，如图所示，在菱形AP1Q1B中，Q1O＝AO＝1，所以Q1点的坐标为（﹣1，0），在菱形ABP2Q2中，AQ2＝AB＝2，所以Q2点的坐标为（1，2），在菱形ABP3Q3中，AQ3＝AB＝2，所以Q3点的坐标为（1，﹣2），②当AB为菱形的对角线时，如图所示的菱形AP4BQ4，设菱形的边长为x，则在Rt△AP4O中，AP42＝AO2+P4O2，即x2＝12+（﹣x）2，解得x＝，所以Q4（1，）．综上可得，平面内满足条件的Q点的坐标为：Q1（﹣1，0），Q2（1，2），Q3（1，﹣2），Q4（1，）．17．如图1，在平面直角坐标系中．直线与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C 在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上时，过点D作DE⊥x轴于点E．（1）求证：△BOC≌△CED；（2）如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B'C'D'，当直线B′C′经过点D时，求点D的坐标；（3）若点P在y轴上，点Q在直线AB上．是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．（1）证明：∵∠BOC＝∠BCD＝∠CED＝90°，∴∠OCB+∠DCE＝90°，∠DCE+∠CDE＝90°，∴∠BCO＝∠CDE，在△BOC和△CED中，。

专题08 等腰三角形(考点串讲)(解析版)

专题08 等腰三角形【考点剖析】1.等腰三角形的性质（1）等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）（2）等腰三角形性质2：文字：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一）图形：如下所示；21DCBA符号：在ABC ∆中，AB ＝AC ，1212,,;,,;,12.BD CD AD BC AD B BD CD AD BC C BD CD ∠=∠⎧⎪=⊥∠=∠⊥∠=∠⎨⎪⊥⎩==若则若则若，则2.等腰三角形的判定（1）等腰三角形的判定方法1：（定义法）有两条边相等的三角形是等腰三角形；（2）等腰三角形的判定方法2：有两个角相等的三角形是等腰三角形；(简称：等角对等边)3.等边三角形的性质（1）等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等；（2）等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于60︒；（3）等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.4.等边三角形的判定（1）等边三角形的判定方法1：（定义法：从边看）有三条边相等的三角形是等边三角形；（2）等边三角形的判定方法2：（从角看）三个内角都相等的三角形是等边三角形；（3）等边三角形的判定方法3：（从边、角看）有一个内角等于60︒的等腰三角形是等边三角形. 【典例分析】例1 （杨浦2019期末14）在ABC ∆中，AB=AC ，把ABC ∆折叠，使点B 与点A 重合，折痕交AB 于点M ，交BC 于点N. 如果CAN ∆是等腰三角形，则B ∠的度数为 . 【答案】4536︒︒或；【解析】因为把ABC ∆折叠，使点B 与点A 重合，折痕交AB 于点M ，交BC 于点N.所以MN 是AB 的中垂线，∴NB=BA ，B BAN ∴∠=∠，AB AC B C =∴∠=∠Q ，设B x ∠=，则C BAN x ∠=∠=. （1）当AN=NC 时，CAN C x ∠=∠=，在ABC ∆中，根据三角形内角和定理得4180x =︒，得45x =︒，故45B ∠=︒；（2）当AN=AC 时，ANC C x ∠=∠=，而ANC B BAN ∠=∠+∠，故此时不成立；（3）当CA=CN 时，1802x NAC ANC ︒-∠=∠=，于是得1801802xx x x ︒-+++=︒，解得36x =︒. 综上所述：4536B ∠=︒︒或.NM CBA例2 （浦东2018期末18）如图，在ABC ∆中，A=120,=40B ∠︒∠︒，如果过点A 的一条直线把ABC ∆分割成两个等腰三角形，直线l 与BC 交于点D ，那么ADC ∠的度数是 .CBA【答案】14080︒︒或；【解析】如图所示，把BAC ∠分为1000︒︒和2或者4080︒︒和，可得ADC=14080∠︒︒或.ABCDC BA20°80°80°40°40°20°20°40°40°100°例3 （闵行2018期末17）有下列三个等式①AB ＝DC ；②BE ＝CE ；②∠B ＝∠C ．如果从这三个等式中选出两个作为条件，能推出Rt △AED 是等腰三角形，你认为这两个条件可以是（写出一种即可）EDCBA【答案】①②或①③或②③．（答案不唯一）【解析】解：当AB ＝DC ，BE ＝CE ，∠AEB ＝∠DEC 时，Rt △ABE ≌Rt △DCE （HL ），故AE ＝DE ，即Rt △AED 是等腰三角形；当AB ＝DC ，∠B ＝∠C ，∠AEB ＝∠DEC 时，△ABE ≌△DCE （AAS ），故AE ＝DE ，即Rt △AED 是等腰三角形；当BE ＝CE ，∠B ＝∠C ，∠AEB ＝∠DEC 时，△ABE ≌△DCE （ASA ），故AE ＝DE ，即Rt △AED 是等腰三角形．故答案为：①②或①③或②③．（答案不唯一）例4 （黄浦2018期末27）如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥,垂足为点D ，AD 平分BAC ∠，点O 是线段AD 上一点，线段的延长线交边AC 于点F ，线段CO 的延长线交边AB 于点E ．（1）说明ABC ∆是等腰三角形的理由；（2）说明BF=CE 的理由.O FE DC BA【答案与解析】（1）AD BC ADB=ADC ⊥∴∠∠Q ，Q AD 平分BAC ∠，BAD=CAD ∴∠∠.ADB=DAC+ACD ADC=BAD+ABD ∠∠∠∠∠∠Q ，，ABD=ACD ∴∠∠，AB=AC ∴即ABC ∆是等腰三角形；（2）ABC ∆Q 是等腰三角形，AD BC ⊥,BD=CD ∴.在BDO CDO ∆∆与中，DO DO ADB ADC BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BDO CDO ∴∆∆≌OBD OCD ∴∠=∠.在BEC CFB ∆∆与中ECB FBCBC CBABC ACB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩BEC CFB ∴∆∆≌，BF CE ∴=. 【真题训练】一、选择题1.（宝山2018期末18）如图7，在ABC ∆中，AB=AC ，30A ∠=︒，以B 为圆心，BC 的长为半径作弧，交AC 于点D ，联结BD ，则ABD ∠等于（）A. 45︒；B. 50︒；C. 60︒；D. 75︒.DABC【答案】A ；【解析】因为在ABC ∆中，AB=AC ，30A ∠=︒，所以18030752ABC ACB ︒-︒∠=∠==︒，又因为以B为圆心，BC 的长为半径作弧，交AC 于点D ，所以,75BD BC BCA BDC =∴∠=∠=︒，30CBD ∴∠=︒，故753045ABD ABC CBD ∠=∠-∠=︒-︒=︒. 故答案选A.2．（长宁2019期末20）在平面直角坐标系，O 为坐标原点，点A的坐标为，M 为坐标轴上一点，且使得MOA ∆为等腰三角形，那么满足条件的点M 的个数为（） A. 4； B.5； C.6； D.8 【答案】C ；【解析】分三种情况：（1）当OA=OM 时，可得M 点坐标可以为：（0，2）、（0，-2）、（2，0）、（-2，0）；当AO=AM 时，M 点坐标可以为（2，0）、(0,；当MO=MA 时，（2，0）、(0,3；故一共有6个不同的点. 故选C. 二、填空题3.（浦东2018期末13）已知一个等腰三角形两边长分别为2和4，那么这个等腰三角形的周长是 . 【答案】10；【解析】依题，（1）若腰长为2、底为4，不可能构成等腰三角形，舍去；（2）若腰长为4、底为2，符合题意，周长为4+4+2=10；由上可知，这个等腰三角形的周长为10. 4.（宝山2018期末7）已知实数x 、y满足|3|0x -=，那么以x 、y 的值为两边长的等腰三角形的周长是 . 【答案】15；【解析】因为实数x 、y满足|3|0x -=，所以x=3，y=6，故符合题意的等腰三角形三边长分别为6、6、3，故此等腰三角形的周长为6+6+3=15.5．（闵行2018期末15）如图，直线l 1∥l 2∥l 3，等边△ABC 的顶点B 、C 分别在直线l 2、l 3上，若边BC 与直线l 3的夹角∠1＝25°，则边AB 与直线l 1的夹角∠2＝．l 3l 2l 1【答案】35°．【解析】解：∵直线l 1∥l 2∥l 3，∠1＝25°，∴∠1＝∠3＝25°．∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC ＝60°，∴∠4＝60°﹣25°＝35°，∴∠2＝∠4＝35°．故答案为：35°．1l 2l 36．（普陀2018期末17）如图，已知△ABC 中，∠ABC 的角平分线BE 交AC 于点E ，DE ∥BC ，如果点D 是边AB 的中点，AB=8，那么DE 的长是．E D CBA【答案】4；【解析】解：连接BE ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE=∠CBE ，∵DE ∥BC ，∴∠DEB=∠ABE ， ∴∠ABE=∠DEB ，∴BD=DE ，∵D 是AB 的中点，∴AB=BD ，∴DE=12AB=4，故答案为：4 AD BCE7.（宝山2018期末13）如图，已知Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC=AE ，BC=BD ，则ACD BCE ∠+∠= ______-︒.ECBA【答案】45；【解析】过点C 作CH AB ⊥于点H ，因为AC ＝AE ，所以ACE AEC ∠=∠，因为CH AB ⊥，所以90AEC HCE ∠+∠=︒，又90ACE BCE ∠+∠=︒，所以=BCE HCE ∠∠；同理可得：ACD HCD ∠=∠；故+=+BCE ACD HCE HCD ∠∠∠∠即+=45BCE ACD ∠∠︒．HED CBA8.（黄浦2018期末19）已知等腰三角形的一个内角为50度，则这个等腰三角形的顶角为 ︒. 【答案】50︒或80︒；【解析】（1）当顶角为50︒时，这个等腰三角形的顶角为50︒；（2）当底角为50︒时，则顶角为180-250=80︒⨯︒︒；综上述，这个等腰三角形的顶角为50︒或80︒.9.（长宁2018期末14）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40︒，那么这个等腰三角形的顶角为____度.【答案】50130︒︒或.【解析】（1）如下图1，4050ABD A ∠=︒∴∠=︒，（2）如图2，40130ABD BAC ∠=︒∴∠=︒，故这个等腰三角形的顶角为50130︒︒或（图2）(图1）10.（黄浦2018期末14）等腰三角形底边上的中线垂直于底边且平分顶角，用符号来表示为：如图，如果在ABC ∆中，AB=AC ，且，那么AD BC ⊥且 .DCBA【答案】BD=CD ；BAD CAD ∠=∠；【解析】等腰三角形底边上的中线垂直于底边且平分顶角，用符号来表示为：如图，如果在ABC ∆中，AB=AC ，且BD=CD ，那么AD BC ⊥且BAD CAD ∠=∠.故答案为：BD=CD ；BAD CAD ∠=∠. 11.（杨浦2019期末13）如图，已知在ABC ∆中，AB=AC ，点D 在边BC 上，要使BD=CD ，还需添加一个条件，这个条件是 .（只需填上一个正确的条件）D B A【答案】BAD CAD ∠=∠或者AD BC ⊥（只填一个）【解析】解：在ABC ∆中，AB=AC ，BAD CAD ∠=∠，BD CD ∴=；或者在ABC ∆中，AB=AC ，AD BC ⊥，BD CD ∴=；故答案为：BAD CAD ∠=∠或者AD BC ⊥. 考查等腰三角形的三线合一。

初中数学等腰三角形存在性问题(含答案)

等腰三角形存在性问题几何图形存在性问题是中考二次函数压轴题一大常见类型，等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形等均有涉及，本系列从等腰三角形开始，逐一介绍各种问题及常规解法．等腰三角形存在性问题【问题描述】如图，点 A坐标为（ 1,1），点 B坐标为（ 4,3），在 x轴上取点 C使得△ ABC是等腰三角形．几何法】“两圆一线”得坐标1）以点 A 为圆心， AB 为半径作圆，与 x 轴的交点即为满足条件的点 C，有AB=AC；2）以点 B 为圆心， AB 为半径作圆，与 x 轴的交点即为满足条件的点 C，有BA=BC；3）作 AB 的垂直平分线，与 x 轴的交点即为满足条件的点 C，有 CA=CB ．y【注意】若有三点共线的情况，则需排除．作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求．AC1=AB= (4-1)2+(3-1)2= 13 作AH x轴于 H点， AH=1 C1H=C2H= 13-1=2 3C1(1-2 3,0) C2(1+2 3,0)C3、C4 同理可求，下求 C5．显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果 A、B 均往下移一个单位，当点为（ 1,0），点 B坐标为（ 4,2）时，可构造直角三角形勾股解：AH =3， BH=2设AC5= x，则 BC5=x，C5H=3-x13解得： x=619故 C5坐标为（ ,0）而对于本题的 C5 ，或许代数法更好用一些．A 坐标222(3-代数法】表示线段构相等1）表示点：设点 C 5坐标为（ m ， 0），又 A 点坐标（ 1,1 ）、 B 点坐标（ 4,3），2)表示线段： AC 5 (m 1) (0 1) ， BC 5 (m 4) (0 3) 3）分类讨论：根据 AC 5 BC 5 ，可得：（m 1）2 12（m 4）2 32 ，【小结】几何法：（ 1）“两圆一线 ”作出点；（2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标．代数法：（1）表示出三个点坐标 A 、 B 、C ；（2）由点坐标表示出三条线段： AB 、AC 、BC ；（3）根据题意要求取① AB=AC 、②AB=BC 、③ AC=BC ；（4）列出方程求解．问题总结：1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上；2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解； 3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口． 2018 泰安中考】4）求解得答案：解得： 23 6故 C 5 坐标为23,0如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y ax2 bx c交x轴于点 A( 4,0) 、 B(2,0) ，交y轴于点 C(0,6) ，在y轴上有一点 E(0, 2) ，连接AE ．1)求二次函数的表达式；2)若点D为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE 面积的最大值；3)抛物线对称轴上是否存在点P，使AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由．分析】 1) y3x 2 3x 6； 422) 可用铅垂法，当点 D 坐标为 ( 2,6 )时，△ ADE 面积最大，最大值为 14； 3) 这个问题只涉及到 A 、 E 两点及直线 x=-1(对称轴)① 当 AE=AP 时，以 A 为圆心， AE 为半径画圆，与对称轴交点即为所求 P 点．∵AE=2 5 ，∴ AP 1=2 5，又 AH=3，∴ P 1H故P 1( 1, 11)、 P 2 ( 1, 11)．② 当 EA=EP 时，以 E 点为圆心， EA 为半径画圆，故 P 5 ( 1,1) ． P 5 ( 1,1)．补充】“代数法”用点坐标表示出线段，列方程求解亦可以解决．P 1HP 4Bx11，与对称轴交点即为所求 P 点．过点 E 作EM 垂直对称轴于 M 点，则 EM=1， 1, 2 19)故P 3( 1, 2 19)、 P 4( 作 AE 的垂直平分线，与对称轴交点即为所求 ③当 PA=PE 时，P 点．设 P 5 ( 1,m )，P 5A 2 2 2 2 ( 1 4)2 (m 0)2， P 5E 2=( 1 0)2(m 2)2 ∴ m 2 9 (m2)2 1，解得： m=1 ．综上所述， P 点坐标为 P 1( 1, 11)、P 2( 1, 11 )、P 3( 1,19 )、P 4 ( 1, 2 19)、19 ，P 3M P4 M【 2019 白银中考（删减）】如图，抛物线 y ax2 bx 4交x轴于 A（ 3,0）， B（4,0）两点，与y轴交于点 C ，连接AC ，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作 PM x轴，垂足为点M ，PM 交 BC 于点 Q ．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点 Q，使得以A， C ， Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由；yCP分析】1) y1x2 1x 4 ；332)①当 CA=CQ 时，∵ CA=5，∴ CQ=5，考虑到 CB 与 y 轴夹角为 45°，故过点 Q作 y 轴的垂线，垂足记为 H ，则 CH QH 5 2，故 Q 点坐标为5 2,4 5 2．2 2 2②当 AC=AQ 时，考虑直线 BC 解析式为 y=-x+4，可设 Q 点坐标为( m， -m+4)，AQ (m 3)2( m 4 0)2，即(m 3) ( m 4 0) 5 ，解得： m=1 或 0(舍)，故 Q 点坐标为( 1， 3)．③当 QA=QC 时，作 AC 的垂直平分线，显然与线段 BC 无交点，故不存在．综上所述， Q点坐标为5 2 ,4 5 2或( 1， 3)．22记直线 x=2 与 x 轴交点为 H 点， ∵ OH =2，∴ BH=1，故 B 点坐标为（ 2，1）或（ 2，-1），k=-1 或 -3． ②当 AO=AB 时，易知 B 点坐标为（ 2，0），k=-2．综上所述， k 的值为 -1或-2 或-3．【 2018 贵港中考(删减) 】2019 盐城中考删减】如图所示，二次函数 y k （x 1）2 2 的图像与一次函数 y kx k 2 的图像交于 A 、B 两点，点 B 在点 A 的右侧，直线 AB 分别与 x 、 y 轴交于 C 、 D 两点，其中 k 0 ． 1）求 A 、 B 两点的横坐标；2）若 OAB 是以 OA 为腰的等腰三角形，求 k 的值．分析】1）A 、B 两点横坐标分别为 1、 2；B 点横坐标始终为 2 ，故点 B 可以看成是直线 x=2 上的一个动点，满足△ OAB 是以 OA 为腰的等腰三角形，又 A 点坐标为（ 1， 2），故 OA 5 ① 当 OA=OB 时，即 OB 5 ，如图，已知二次函数 y ax2 bx c 的图像与x 轴相交于 A( 1,0) ， B(3,0) 两点，与y 轴相交于点 C(0, 3) ．(1)求这个二次函数的表达式；(2)若P是第四象限内这个二次函数的图像上任意一点，P H x轴于点H ，与线段 BC 交于点M ，连接 PC ．当 PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标．y② 当 MP =MC 时，（表示线段列方程）设 P 点坐标为（m,m 22m 3），则 M 点坐标为（m, m 3），故线段 PM （m 3）（m 2 2m 3） m 2 3m 故点M 作y 轴的垂线，垂足记为 N ，则 MN =m ，考虑△ MCN 是等腰直角三角形，故 MC 2m ，m 2 3m 2m ，解得 m 32 或 0（舍），故 P 点坐标为 (3 2,2 综上所述， P点坐标为（ 2， -3）或（3 2,2 分析】1） y x 2 2 x 3 ；2）①当 PM=PC 时，（特殊角分析）考虑∠ PMC =45°，∴∠ PCM=45°，即△ PCM 是等腰直角三角形， P 点坐标为（ 2，-3）；4 2 )．【2019 眉山中考删减】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y 4 x2 bx c经过点 A（ 5,0）和点 B（1,0）．9（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）如图，连接AD、BD，点M在线段AB上（不与A 、B重合），作 DMN DBA，MN 交线段AD 于点 N ，是否存在这样点M ，使得 DMN 为等腰三角形？若存在，求出 AN 的长；若不存在，请说明理由．x分析】1) y 4 x2 16 x 20，顶点 D 坐标为( 2,4 )；9 9 92)考虑到∠ DAB=∠DBA=∠DMN，即有△ BMD ∽△ ANM(一线三等角)①当 MD=MN 时，有△ BMD≌△ ANM，可得 AM=BD =5，故 AN=BM=1；②当 NM=ND 时，则∠ NDM =∠ NMD =∠DAB，③当 DM=DN时，∠ DNM =∠DMN =∠DAB，显然不成立，故不存在这样的点M．△ MAD ∽△ DAB ，可得AM=25，6BM116ANBMAM，即BDAN116256，5解得： AN5536AN 的值为 1 或55．综上，36【2019 葫芦岛中考（删减）】如图，直线 y x 4与x轴交于点B，与y轴交于点 C，抛物线 y x2 bx c经过B，C 两点，与x轴另一交点为A．点P以每秒 2个单位长度的速度在线段 BC上由点B向点 C 运动（点P 不与点B 和点 C 重合），设运动时间为 t 秒，过点P 作x 轴垂线交x轴于点E ，交抛物线于点M ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，连接AM 交 BC 于点D ，当PDM 是等腰三角形时，直接写出 t 的值．y分析】1） y x2 3x 4 ；2）①考虑到∠ DPM =45°，当 DP=DM 时，即∠ DMP =45°，直线 AM ：y=x+1，联立方程：x 3 x 4 x 1，解得： x1 3 ， x2 1 （舍）．此时 t=1 ．②当 PD=PM 时，∠ PMD =∠ PDM =67.5°，∠ MAB=22.5°，考虑 tan∠ 22.5 °= 2 1 ，直线 AM ：综上所述， t 的值为附： tan22.5 =° 2 1 ．总结】具体问题还需具体分析题目给的关于动点的条件，选取恰当的方法，联立方程：x2 3 x 4 ( 2 1)x 21解得：x1 5 2 ， x2 1 （舍）．此时 t= 2 1．222.5 °tan 22.5 1 2 121可减轻计算量．。

2020年秋人教版八年级数学上册第13章《等腰三角形》(讲义、随堂测试、习题及答案)

人教版八年级数学上册第13章等腰三角形（讲义）➢ 课前预习1. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ．（1）若∠1=∠2，则BD ____DC （填“>”，“<”或“=”）；（2）若BD =CD ，则AD ____BC （填“⊥”或“∥”）；（3）若AD ⊥BC ，则∠1____∠2（填“>”，“<”或“=”）．D CB A 212. 已知等腰三角形的两边长分别为5和8，则这个三角形的周长为_________．➢ 知识点睛1. ______________的三角形叫做等腰三角形．2. 等腰三角形是_________图形．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“__________”），它们所在的直线都是等腰三角形的_________．3. 等腰三角形的两个底角________，简称______________．如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也______，简称_________________．4. 三边都______的三角形是等边三角形．等边三角形三边都相等，三个内角都是________． 5. “三线合一”模块书写：已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ．求证：BD =CD ．证明：➢ 精讲精练1. 在下面的等腰三角形中，∠A 是顶角，请分别将它们底角的度数标注在相应的图上．CB C B C B AAA108°60°2. 如图，在△ACD 中，AD =BD =BC ，若∠C =25°，则∠ADB =____．D CB ADCBAEDCBA第2题图第3题图3. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，BD =BE ，∠A =100°，则∠DEC =________．4. 如图，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，D 为边BC 上一点，CD =AC ，AD =BD ，则∠BAC =______．CD B AABCE第4题图第5题图5. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AC 上，AD =AE ，若∠BAD =50°，则∠CDE =________．6. 如图，在△ABC 中，已知AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ，过点D 作DE ∥AB 交AC 于点E ．求证：AE =ED ．7. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 在△ABC 外，CD ⊥AD于点D ，12CD BC．求证：∠ACD =∠B ． E CB AAB CD8. 已知：如图，△ABC 是等边三角形，D 是BC 的中点，DF ⊥AC 于F ，延长DF 到E ，使EF =DF ，连接AE ．求∠E 的度数．FE DCBA9. 若等腰三角形的周长为13 cm ，其中一边长为3 cm ，则该等腰三角形的底边长为_______________．10. 若等腰三角形的一个内角为40°，则此等腰三角形的顶角为______________．11.若等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为40°，则此等腰三角形的顶角为______________．12.已知：如图，线段AB的端点A在直线l上（AB与l不垂直），请在直线l上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点能找几个？请你找出所有符合条件的点．13.已知：如图，线段AB的端点A在直线l上，AB与l的夹角为60°，请在直线l上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点能找几个？请你找出所有符合条件的点．➢课前预习1.（1）=（2）⊥（3）=2.18或21➢知识点睛1.有两边相等2.轴对称，三线合一，对称轴3.相等，等边对等角相等，等角对等边4.相等，60°5.证明：如图∵AB=AC，AD平分∠BAC∴D为BC的中点（等腰三角形三线合一）∴BD=CD➢精讲精练1.60°，60°；45°，45°；36°，36°2.80°3.100°4.108°5.25°6.证明略提示：根据等腰三角形三线合一可得∠BAD=∠CAD，再由平行可以得到∠CAD=∠BAD=∠ADE，从而AE=DE7.证明略提示：过点A作AE⊥BC于点E，根据等腰三角形三线合一可得BE=CD，再证△ABE≌△ACD即可．8.∠E=60°提示：连接AD，利用垂直平分线定理得AD=AE，从而∠E=∠ADE9.3cm10.40°或100°11.50°或130°12.这样的点能找4个，作图略13.这样的点能找2个，作图略等腰三角形（随堂测试）1.如图，在△ABC中，D为AC边上一点，且AD=BD=BC．若∠A=40°，则∠DBC=______．CDB 2.已知等腰三角形的周长为28cm，其中一边长为10cm，则该等腰三角形的底边长为_______________．3. 已知：如图，在△ABC 中，E 为BC 边上一点，连接AE ，D 为AE 的中点，连接BD ，∠BAD =∠EAC +∠C ．求证：AD ⊥BD ．【参考答案】1. 20°2. 10cm 或8cm3. 证明略提示：利用外角可以得到∠AEB =∠BAD ，根据等角对等边，得BA =BE ，因为D 是AE 的中点，利用等腰三角形三线合一，可以得到AD ⊥BD等腰三角形（习题）➢ 例题示范E DCB A例1：如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 在△ABC 外，CD ⊥AD 于点D ，12CD BC =．求证：∠ACD =∠B ．【思路分析】 ① 读题标注：② 梳理思路：由条件12CD BC =，可尝试取BC 的中点E ，此时结合等腰构造三线合一的线AE ，如图所示．要证∠ACD =∠B ，可以证明△ABE ≌△ACD ．【过程书写】证明：如图，取BC 的中点E ，连接AE ．∵E 是BC 的中点∴12BE BC =∵12CD BC = ∴BE =CD∵AB =AC ，E 是BC 的中点 ∴AE ⊥BC ∴∠AEB =90° ∵CD ⊥AD ∴∠D =90°∴∠AEB =∠D =90°在Rt △ABE 和Rt △ACD 中 AB AC BE CD =⎧⎨=⎩（已知）（已证）∴Rt △ABE ≌Rt △ACD （HL ） ∴∠ACD =∠B例2：等腰三角形的周长为12cm ，其中一边长为5cm ，则该等腰三角形的底边长为__________cm ．【思路分析】ACDEA B C D A CD等腰三角形一边长为5cm ，这一边可能是底，也可能是腰，故需分类讨论： ① 如果5cm 为底，则根据周长为12cm ，可知腰长为3.5cm ．此时两边之和大于第三边，这个三角形存在．② 如果5cm 为腰，则根据周长为12cm ，可知底边长为2cm ．此时两边之和大于第三边，这个三角形存在．综上，该等腰三角形的底边长为5cm 或2cm ． ➢ 巩固练习1. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =80°，求∠C 的度数．2. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，BE ∥AC ，∠BDE =100°，∠BAD =70°，则∠E =______．第2题图第3题图3. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 为AB 边上一点，若CD =AD =BC ，则∠A =_________．4. 如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线和∠ACB 的平分线相交于点E ，过点E作MN ∥BC ，交AB 于点M ，交AC 于点N ．若BM +CN =9，则线段MN 的长为（）CBAED CB ADB AA ．6B ．7C ．8D ．95. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD 是BC 边上的中线，点P 在AD 上．求证：PB=PC ．6. 已知：如图，B ，D ，E ，C 在同一直线上，AB =AC ，AD =AE ．求证：BD =CE ．N M EC BADCBAPA B CD E7.已知等腰三角形的两边长分别为4和8，则该等腰三角形的周长为_________________．8.若等腰三角形的一个角比另一个角大30°，则该等腰三角形的顶角的度数为_____________．9.已知：如图，线段AB的端点A在直线l上，AB与l的夹角是30°，请在直线l上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点能找几个？请找出所有符合条件的点．➢思考小结1.要证明边相等或角相等，可以考虑两种思路：①如果边或者角在两个三角形里面，则证明两个三角形__________；②如果边或角在一个三角形里面，证明三角形是_______三角形．2.将两个含30°角的三角板如图放置，则△ABD是_________三角形（“等腰”或“等边”），故AB_____BD，BC=____BD，所以BC=____AB，从而得到对于含有30°角的直角三角形，30°角所对的直角边是斜边的_______．【参考答案】➢巩固练习 1.50° 2.50° 3.36° 4. D5. 证明略提示：利用等腰三角形三线合一的性质，得AD 垂直平分BC ，从而得到PB =PC6. 证明略提示：根据等边对等角可得∠B =∠C ，∠ADE =∠AED ，进而可得∠BAD =∠CAE ，从而证明△ABD ≌△ACE ，根据全等三角形对应边相等，可得BD =CE7. 20 D C B A8.80°或40°9.这样的点能找4个，作图略➢思考小结1.①全等②等腰2.等边，=，12，12，一半。

等腰三角形存在性问题(带标准答案)

等腰三角形存在性问题（两圆一线）类型一、格点中的等腰三角形1、在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（）2、.如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点C，使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中一腰．这样的C点有( )个．3、如图，A、B是网格中的两个格点，点C也是网格中的一个格点，连接AB、BC、AC，当△ABC为等腰三角形时，格点C的不同位置有处，设网格中的每个小正方形的边长为1，则所有满足题意的等腰三角形ABC的面积之和等于．4、如图，在图中能画出与△ABC全等的格点三角形有几个？类型二、定边几何法讨论：两圆一线5、以线段AB为一边的等腰直角三角形有个，请在下列图中画出来6、（1）如图所示，线段OD的一个端点O在直线AB上，以OD为一边的等腰三角形ODP，并且使点P也在AB 上，这样的等腰三角形能画个（在图中作出点P）（2）若△DOB=60°，其它条件不变，则这样的等腰三角形能画个，（只写出结果）（3）若改变（2）中△DOB的度数，其他条件不变，则等腰三角形ODP的个数和（2）中的结果相同，则改变后△DOB=．7、如图，南北向的公路上有一点A，东西向的公路上有一点B，若要在南北向的公路上确定点P，使得△PAB是等腰三角形，则这样的点P最多能确定（）个．8、线段AB和直线l在同一平面上．则下列判断可能成立的有个直线l上恰好只有个1点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个2点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个3点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个4点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个5点P，使△ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个6点P ，使△ABP 为等腰三角形．9、如图AOB ∠,当ο30为AOB ∠，ο60，ο120时，请在射线OA 上找点P ，使POB ∆为等腰三角形，并分析出当AOB ∠发生变化时，点P 个数的情况；类型三、三角形、长方形和正方形中的等腰三角形10、如图，在长方形ABCD 中，AB=4，AD=10，点Q 是BC 的中点，点P 在AD 边上运动，若△BPQ 是腰长为5的等腰三角形，则满足题意的点P 有( )个11、如图所示，在长方形ABCD的对称轴上找一点P，使得△PAB，△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P有( )个12、如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P，BP=4，△PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且△PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有____个．13、在等边△ABC所在的平面内求一点P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，请画出所有满足条件的点；等腰三角形存在性问题（两圆一线）答案类型一、格点中的等腰三角形1、在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（4）2、.如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点C，使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中一腰．这样的C点有( B )个．A.8B.9C.10D.113、如图，A、B是网格中的两个格点，点C也是网格中的一个格点，连接AB、BC、AC，当△ABC为等腰三角形时，格点C的不同位置有3处，设网格中的每个小正方形的边长为1，则所有满足题意的等腰三角形ABC的面积之和等于15．【解答】解：格点C的不同位置分别是：C、C′、C″，∵网格中的每个小正方形的边长为1，∴S△ABC=×4×3=6，S△ABC′=20﹣2×3﹣=6.5，S△ABC″=2.5，∴S△ABC+S△ABC′+S△ABC″=6+6.5+2.5=15．故答案分别为：3；15．4、如图，在图中能画出与△ABC全等的格点三角形有几个？类型二、定边几何法讨论：两圆一线5、以线段AB为一边的等腰直角三角形有个，请在下列图中画出来6、（1）如图所示，线段OD的一个端点O在直线AB上，以OD为一边的等腰三角形ODP，并且使点P也在AB 上，这样的等腰三角形能画4个（在图中作出点P）（2）若△DOB=60°，其它条件不变，则这样的等腰三角形能画2个，（只写出结果）（3）若改变（2）中△DOB的度数，其他条件不变，则等腰三角形ODP的个数和（2）中的结果相同，则改变后△DOB= 90°．7、如图，南北向的公路上有一点A，东西向的公路上有一点B，若要在南北向的公路上确定点P，使得△PAB是等腰三角形，则这样的点P最多能确定（）个．8、线段AB和直线l在同一平面上．则下列判断可能成立的有5个直线l上恰好只有个1点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个2点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个3点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个4点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个5点P，使△ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个6点P ，使△ABP 为等腰三角形．9、如图AOB ∠,当ο30为AOB ∠，ο60，ο120时，请在射线OA 上找点P ，使POB ∆为等腰三角形，并分析出当AOB ∠发生变化时，点P 个数的情况；【结论】当AOB ∠为锐角，AOB ∠ο60≠，有三个点，当AOB ∠=ο60，只有一个点；当AOB ∠为钝角或直角，只有一个点；类型三、三角形、长方形和正方形中的等腰三角形10、如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=10，点Q是BC的中点，点P在AD边上运动，若△BPQ是腰长为5的等腰三角形，则满足题意的点P有( B )A.2个B.3个C.4个D.5个11、如图所示，在长方形ABCD的对称轴上找一点P，使得△PAB，△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P有( C )A.1个B.3个C.5个D.无数多个12、如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P，BP=4，△PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且△PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有____个．13、在等边△ABC所在的平面内求一点P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，请画出所有满足条件的点；。

八年级数学一次函数之等腰三角形存在性(人教版)(专题)(含答案)

∴
∵AE=2，
∴
∴
又∵ ，
BC=OE=1，
∴
②如图，当AB为底时，作线段AB的垂直平分线，交直线x=-1于
点，并记AB的中点为D．
易得直线的表达式为：y=x
∴ ．
综上，符合题意的点P的坐标为：
．
故选C．
试题难度：三颗星知识点：略
5.如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是坐标轴上一动点，若使△ABP为等腰三角形，则符合条件的点P共有( )
A.8个B.6个
C.4个D.2个
答案：B
解题思路：
特征：
A，B为定点，P为坐标轴上的动点，
定线段AB当腰当底来分类，
当腰时利用两圆来找点，当底时利用一线来找点.
操作：
①当AB为腰时，以点A为圆心，AB长为半径作圆，与x轴交于点P1，P2，与y轴交于点P3；再以点B为圆心，AB长为半径作圆，与x轴的交点与P2重合（因为△ABP2是等边三角形），与y轴交于点P4，P5；
A.
B.
C.
D.
答案：D
解题思路：
研究背景图形：
由直线y=-x+2知，B（0，2），A（2，0），∠OAB=45°，
∴∠OBA=45°，
特征：
O，B为定点，P为直线AB上的动点.
定线段OB当腰当底来分类，
当腰时利用两圆来找点，当底时利用一线来找点.
操作：
①如图，当OB为腰时，分别以点O，B为圆心，OB长为半径作圆，与直线AB分别交于点P1，P2，P3，
则有，
∴
∴
在等腰中，
∴ ，
∴
②如图，当AB为底时，作线段AB的垂直平分线，与y轴交于点P4，
在等腰中，，

一次函数之等腰直角三角形的存在性 (习题及答案).

一次函数之等腰直角三角形的存在性（习题）
1.如图，直线y =-1
x + 2 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，点D 3
是线段OA 的中点，点P 是第一象限内一点，且使△BDP 是等腰直角三角形，则点P 的坐标为．
2.如图，直线AB：y=-x+b 交y 轴于点A(0，4)，交x 轴于点B，
直线l 垂直平分OB 交AB 于点D，交x 轴于点E，点P 是直线l 上一点，且在点D 的上方，PD=4．
（1）求点P 的坐标；
（2）以PB 为直角边作等腰直角△PBQ，直接写出所有符合条件的点Q 的坐标．
3.如图，直线y=-2x+4 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，点P 是
直线x=5 上的一个动点，点Q 是射线AB 上的一个动点，若△APQ 为等腰直角三角形，则点Q 的坐标为．
4.如图，直线l1：y=-x+10 与y 轴交于点A，与直线l2：y 1 x 2
交于点B，点C 是线段AB 上的一动点，过点C 作y 轴的平行线交直线l2 于点D，点P 是y 轴上一动点，且满足△CDP 是等腰直角三角形，则点P 的坐标为．
【参考答案】
1. (2，5)，(5，3)，( 5
，
5
)．
2 2
2. （1）点P 的坐标为(2，6)；
（2）点Q 的坐标为(-4，4)，(8，8)，(-2，-2) 或(10，2)．
3. ( 1
，3)，(-4，12)，(-1，6)；
2
4. (0，6)，(0，2)，(0，30
)．7。

等腰三角形存在性问题(带答案)

( 带答等腰三角形存在性问题等腰三角形存在性问题（两圆一线）类型一、格点中的等腰三角形1、在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为 1 的正方形，△ ABC 是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ ABC 有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（）2、. 如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点C，使得△ ABC是等腰三角形，且AB为其中一腰．这样的C 点有（）个．3、如图，A、B 是网格中的两个格点，点C也是网格中的一个格点，连接AB、BC、AC，当△ ABC为等腰三角形时，格点 C 的不同位置有处，设网格中的每个小正方形的边长为1，则所有满足题意的等腰三角形ABC的面积之和等于．4、如图，在图中能画出与△ ABC全等的格点三角形有几个？类型二、定边几何法讨论：两圆一线5、以线段AB为一边的等腰直角三角形有个，请在下列图中画出来6、（1）如图所示，线段OD的一个端点O在直线AB 上，以OD为一边的等腰三角形ODP，并且使点P 也在AB上，这样的等腰三角形能画个（在图中作出点P）2）若∠ DOB=6°0 ，其它条件不变，则这样的等腰三角形能画个，（只写出结果）（3）若改变（2）中∠ DOB的度数，其他条件不变，则等腰三角形ODP的个数和（2）中的结果相同，则改变后∠DOB= ．7、如图，南北向的公路上有一点A，东西向的公路上有一点B，若要在南北向的公路上确定点P，使得△ PAB是等腰三角形，则这样的点P 最多能确定（）个．8、线段AB和直线l 在同一平面上．则下列判断可能成立的有个直线l 上恰好只有个 1 点P，使△ ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个 2 点P，使△ ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个 3 点P，使△ ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个 4 点P，使△ ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个 5 点P，使△ ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个 6 点P，使△ ABP为等腰三角形．9、如图AOB, 当AOB为30 ，60 ，120 时，请在射线OA上找点P，使POB为等腰三角形，并分析出当AOB发生变化时，点P 个数的情况；类型三、三角形、长方形和正方形中的等腰三角形10、如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=10，点Q是BC的中点，点P在AD边上运动，若△ BPQ是腰长为 5 的等腰三角形，则满足题意的点P有( )个11、如图所示，在长方形ABCD的对称轴上找一点P，使得△PAB，△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P有( ) 个12、如图，边长为 6 的正方形ABCD内部有一点P，BP=4，∠PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且△ PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有个．13、在等边△ ABC所在的平面内求一点P，使△ PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，请画出所有满足条件的点；等腰三角形存在性问题（两圆一线）答案类型一、格点中的等腰三角形1、在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为 1 的正方形，△ ABC 是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ ABC 有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（ 4 ）2、. 如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点C，使得△ ABC是等腰三角形，且AB为其中一腰．这样的 C 点3、如图， A 、B 是网格中的两个格点，点 C 也是网格中的一个格点，连接 AB 、BC 、AC ，当△ ABC 为等腰三角形时，格点 C 的不同位置有 3 处，设网格中的每个小正方形的边长为 1，则所有满足题意的等腰三角形 ABC 的面积之和等于 15 ．∵网格中的每个小正方形的边长为 1， ∴ S △ABC= ×4×3=6，S△ABC ′=20﹣2×3﹣ =6.5 ，故答案分别为： 3；15．格点 C 的不同位置分别是： C 、C ′、C ″，S△A BC ″=2.54、如图，在图中能画出与△ ABC全等的格点三角形有几个？类型二、定边几何法讨论：两圆一线5、以线段AB为一边的等腰直角三角形有个，请在下列图中画出来6、（1）如图所示，线段OD的一个端点O在直线AB上，以OD为一边的等腰三角形ODP，并且使点P 也在AB 上，这样的等腰三角形能画 4 个（在图中作出点P）（2）若∠ DOB=6°0 ，其它条件不变，则这样的等腰三角形能画 2 个，（只写出结果）（3）若改变（2）中∠ DOB的度数，其他条件不变，则等腰三角形ODP的个数和（2）中的结果相同，则改变后∠ DOB= 907、如图，南北向的公路上有一点A，东西向的公路上有一点B，若要在南北向的公路上确定点P，使得△ PAB是等腰三角形，则这样的点P 最多能确定（）个．8、线段AB和直线l 在同一平面上．则下列判断可能成立的有5 个直线l 上恰好只有个1点P，使△ ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个2点P，使△ ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个3点P，使△ ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个4点P，使△ ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个5点P，使△ ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个6点P，使△ ABP为等腰三角形．9、如图AOB, 当AOB为30 ，60 ，120 时，请在射线OA上找点P，使POB为等腰三角形，并分析出当AOB发生变化时，点P 个数的情况；结论】当AOB为锐角，AOB 60 ，有三个点，当AOB= 60 ，只有一个点；当AOB 为钝角或直角，只有一个点；类型三、三角形、长方形和正方形中的等腰三角形10、如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=10，点Q是BC的中点，点P在AD边上运动，若△ BPQ是腰长为 5 的等腰三角形，则满足题意的点P有( B )A.2 个B.3 个C.4 个D.5 个11、如图所示，在长方形ABCD的对称轴上找一点P，使得△PAB，△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P 有( C ) A.1 个 B.3 个 C.5 个 D. 无数多个12、如图，边长为 6 的正方形ABCD内部有一点P，BP=4，∠PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且△ PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有个．13、在等边△ ABC所在的平面内求一点P，使△ PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，请画出所有满足条件的点；。

2023学年浙江九年级数学上学期章节重难点讲义第07讲抛物线中等腰三角形的存在性问题专题探究含详解

第7讲抛物线中等腰三角形的存在性问题专题探究考点一 “两定一动”型等腰三角形存在性问题【知识点睛】❖ 如图，已知定点A 、O ，在x 轴上找点P ，使△OAP 为等腰三角形则P 1、P 2、P 3、P 4即为符合题意的点P解决策略：⎩⎨⎧“勾股定理”求点“两圆一线”找点（有时也可用两点间距离公式求值）即：①当OA=OP 时，以O 点为圆心，OA 长为半径画圆，与目标直线x 轴的交点即为所求点②当OA=AP 时，以A 点为圆心，OA 长为半径画圆，与目标直线x 轴的交点即为所求点③当AP=OP 时，线段OA 的中垂线与目标直线x 轴的交点即为所求点【类题训练】1．（2019秋•云梦县期末）如图，已知抛物线y ＝x 2+bx +4与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，若已知A 点的坐标为A （﹣2，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求线段BC 所在直线的解析式；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△ACP 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的P 点坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2021秋•南昌期末）如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象交x 轴于A（﹣2，0），B （1，0），交y 轴于C （0，2）．（1）求二次函数的解析式；（2）连接AC ，在直线AC 上方的抛物线上是否存在点N ，使△NAC 的面积最大，若存在，求出这个最大值及此时点N 的坐标，若不存在，说明理由；（3）若点M 在x 轴上，是否存在点M ，使以B 、C 、M 为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，说明理由．3．（2020•佛山模拟）如图①，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点D的坐标为（1，0），点P为第一象限内抛物线上的一点，求四边形BDCP面积的最大值；（3）如图②，动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，到达点B时停止运动，且不与点O、B重合．设运动时间为t秒，过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC于点Q，连接OQ，是否存在t值，使得△BOQ为等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．4．（2022•河池）在平面直角坐标系中，抛物线L1：y＝ax2+2x+b与x轴交于两点A，B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线L1的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标；（2）如图，连接BD，若点E在线段BD上运动（不与B，D重合），过点E作EF⊥x轴于点F，设EF＝m，问：当m为何值时，△BFE与△DEC的面积之和最小；（3）若将抛物线L1绕点B旋转180°得抛物线L2，其中C，D两点的对称点分别记作M，N．问：在抛物线L2的对称轴上是否存在点P，使得以B，M，P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点二 “一定两动”型等腰三角形存在性问题【知识点睛】❖ 如图，P 、Q 分别为AB 、CB 上一动点，当△BPQ 是等腰三角形时，有以下几种情况：①BP=BQ ②BQ=PQ ③BP=PQ解决策略：⎩⎨⎧的线段间的等量关系转化或找与定点有关系分类讨论即BQ=PQ 可转化为:85=BP BQ ;BP=PQ 可转化为:85=BQ BP ☆特别地：当题目给出的数据还好时，也可选择用代数法来分类讨论等腰三角形步骤如下：①根据点的坐标，表示出三边的平方②根据等腰三角形的性质，可得到两两相等的的三个方程③分别解出这三个方程，再依据结果判断是否存在【类题训练】1．（2021•陕西模拟）如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的对称轴为直线x ＝1，且该抛物线与y 轴负半轴交于C 点，与x 轴交于A ，B 两点，其中B 点的坐标为（3，0），且OB ＝OC ．（1）求此抛物线的函数表达式；（2）若平行于x 轴的直线与该抛物线交于M 、N 两点（其中点M 在点N 的右侧），在x 轴上是否存在点Q ，使△MNQ 是以MN 为一直角边的等腰直角三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2021秋•铅山县期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2+bx +c经过A （1，0），C （0，5）两点，与x 轴的另一交点为B ．（1）求抛物线解析式；（2）若点M为直线BC下方抛物线上一动点，MN⊥x轴交BC于点N．①当线段MN的长度最大时，求此时点M的坐标及线段MN的长度；②如图2，连接BM，当△BMN是等腰三角形时，求此时点M的坐标．3．（2021秋•大连期末）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a，b是常数，a＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．（1）填空：b＝（用含a的代数式表示）；（2）当﹣1≤x≤0时，抛物线上的点到x轴的最大距离为5，求a的值；（3）若点A的坐标为（﹣1，0），点E的坐标为（x，0）（其中x≥0），点Q为抛物线上一动点，是否存在以CQ为斜边的等腰直角三角形CEQ？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【课后综合练习】1．（2022春•北碚区校级期末）如图，已知点（0，）在抛物线C1：y＝x2+bx+c上，且该抛物线与x轴正半轴有且只有一个交点A，与y轴交于点B，点O为坐标原点．（1）求抛物线C1的解析式；（2）抛物线C1沿射线BA的方向平移个单位得到抛物线C2，如图2，抛物线C2与x轴交于C，D两点，与y轴交于点E，点M在抛物线C2上，且在线段ED的下方，作MN∥y轴交线段DE于点N，连接ON，记△EMD的面积为S1，△EON的面积为S2，求S1+2S2的最大值；（3）如图3，在（2）的条件下，抛物线C2的对称轴与x轴交于点F，连接EF，点P在抛物线C2上且在对称轴的右侧，满足∠PEC＝∠EFO．①直接写出P点坐标；②是否在抛物线C2的对称轴上存在点H，使得△PDH为等腰三角形，若存在，请直接写出H点的坐标；若不存在请说明理由．第7讲抛物线中等腰三角形的存在性问题专题探究考点一 “两定一动”型等腰三角形存在性问题【知识点睛】❖ 如图，已知定点A 、O ，在x 轴上找点P ，使△OAP 为等腰三角形则P 1、P 2、P 3、P 4即为符合题意的点P解决策略：⎩⎨⎧“勾股定理”求点“两圆一线”找点（有时也可用两点间距离公式求值）即：①当OA=OP 时，以O 点为圆心，OA 长为半径画圆，与目标直线x 轴的交点即为所求点②当OA=AP 时，以A 点为圆心，OA 长为半径画圆，与目标直线x 轴的交点即为所求点③当AP=OP 时，线段OA 的中垂线与目标直线x 轴的交点即为所求点【类题训练】1．（2019秋•云梦县期末）如图，已知抛物线y ＝x 2+bx +4与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，若已知A 点的坐标为A （﹣2，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求线段BC 所在直线的解析式；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△ACP 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的P 点坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A （﹣2，0）代入抛物线的解析式即可求得答案；（2）先求得点B 、点C 的坐标，利用待定系数法即可求得直线BC 的解析式；（3）设P （2，t ），然后表示出△ACP 的三边长度，分三种情况计论，根据腰相等得出方程，求解即可．【解答】解：（1）将点A （﹣2，0）代入y ＝x 2+bx +4中，得，解得：b ＝，∴抛物线的解析式为y ＝x 2+x +4；（2）当x ＝0时，y ＝4， ∴点C 的坐标为（0，4），当y＝0时，x2+x+4＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝6，∴点B的坐标为（6，0），设直线BC的解析式为y＝kx+n，将点B（6，0），点C（0，4）代入解析式y＝kx+n，得：，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4；（3）∵抛物线y＝x2+x+4与x轴相交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，∴抛物线的对称轴为x＝，假设存在点P，设P（2，t），则AC＝＝，AP＝＝，CP＝＝，∵△ACP为等腰三角形，故可分三种情况：①当AC＝AP时，，解得：t＝±2，∴点P的坐标为（2，2）或（2，﹣2）；②当AC＝CP时，，解得：t＝0或t＝8，∴点P的坐标为（2，0）或（2，8），设直线AC的解析式为y＝mx+n，将点A（﹣2，0）、C（0，4）代入得，解得：，∴直线AC的解析式为y＝2x+4，当x＝2时，y＝4+4＝8，∴点（2，8）在直线AC上，∴A、C、P在同一直线上，点（2，8）应舍去；③当AP＝CP时，，解得：t＝，∴点P的坐标为（2，）；综上可得，符合条件的点P存在，点P的坐标为：（2，2）或（2，﹣2）或（2，0）或（2，）．2．（2021秋•南昌期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣2，0），B（1，0），交y轴于C（0，2）．（1）求二次函数的解析式；（2）连接AC，在直线AC上方的抛物线上是否存在点N，使△NAC的面积最大，若存在，求出这个最大值及此时点N的坐标，若不存在，说明理由；（3）若点M在x轴上，是否存在点M，使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）用待定系数法即得二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣x+2；（2）过N作ND∥y轴，交AC于D，由A（﹣2，0）、C（0，2）得直线AC的解析式为y＝x+2，设N（n，﹣n2﹣n+2），则D（n，n+2），可得ND＝﹣n2﹣2n，即得S△NAC＝ND•|x C﹣x A|＝﹣（n+1）2+1，根据二次函数性质可得答案；（3）设M（t，0），可得BM2＝（t﹣1）2，CM2＝t2+4，BC2＝12+22＝5，分三种情况：①当BC＝CM 时，t2+4＝5，得M（﹣1，0）；②当BM＝BC时，（t﹣1）2＝5，得M（+1，0）或（﹣+1，0）；③当BM＝CM时，（t﹣1）2＝t2+4，得M（﹣，0）．【解答】解：（1）由二次函数y＝ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣2，0），B（1，0），设二次函数的解析式为：y＝a（x+2）（x﹣1），把C（0，2）代入得：2＝a（0+2）（0﹣1），解得a＝﹣1，∴二次函数的解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣1）＝﹣x2﹣x+2，答：二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣x+2；（2）在直线AC上方的抛物线上存在点N，使△NAC的面积最大，过N作ND∥y轴，交AC于D，如图：设直线AC的解析式为y＝kx+b，把A（﹣2，0）、C（0，2）代入得：，解得：，∴直线AC的解析式为y＝x+2，设N（n，﹣n2﹣n+2），则D（n，n+2），∴ND＝（﹣n2﹣n+2）﹣（n+2）＝﹣n2﹣2n，∴S△NAC＝ND•|x C﹣x A|＝×（﹣n2﹣2n）×2＝﹣n2﹣2n＝﹣（n+1）2+1，∵﹣1＜0，∴当n＝﹣1时，S△NAC有最大值为1，此时N（﹣1，2），答：在直线AC上方的抛物线上存在点N（﹣1，2），使△NAC的面积最大为1；（3）在x轴上存在点M，使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，设M（t，0），而B（1，0），C（0，2），∴BM2＝（t﹣1）2，CM2＝t2+4，BC2＝12+22＝5，①当BC＝CM时，t2+4＝5，解得t＝1（与B重合，舍去）或t＝﹣1，∴M（﹣1，0）；②当BM＝BC时，（t﹣1）2＝5，解得t＝+1或t＝﹣+1，∴M（+1，0）或（﹣+1，0）；③当BM＝CM时，（t﹣1）2＝t2+4，解得t＝﹣，∴M（﹣，0），综上所述，M坐标为（﹣1，0）或（+1，0）或（﹣+1，0）或（﹣，0）．3．（2020•佛山模拟）如图①，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点D的坐标为（1，0），点P为第一象限内抛物线上的一点，求四边形BDCP面积的最大值；（3）如图②，动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，到达点B时停止运动，且不与点O、B重合．设运动时间为t秒，过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC于点Q，连接OQ，是否存在t值，使得△BOQ为等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；（2）连接BC，过点P作PE⊥AB交BC于点E，先求出BC解析式，设点P（m，﹣m2+2m+3），则点E（m，﹣m+3），利用面积的和差关系和二次函数的最值可求解；（3）分两种情况讨论，利用等腰三角形的性质可求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），∴∴∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）如图，连接BC，过点P作PE⊥AB交BC于点E，∵抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C，∴点C（0，3）∴直线BC解析式为y＝﹣x+3，设点P（m，﹣m2+2m+3），则点E（m，﹣m+3）∴四边形BDCP面积＝×2×3+×3×（﹣m2+2m+3+m﹣3）＝﹣（m﹣）2+∴当m＝时，四边形BDCP面积的最大值为；（3）∵OC＝OB＝3，∴∠CBO＝45°，若OB＝QB＝3，∵∠QBM＝45°，QM⊥AB，∴∠BQM＝∠QBM＝45°，∴QM＝BM＝＝，∴OM＝OB﹣BM＝3﹣，∴t＝＝（s），若OQ＝BQ，且QM⊥AB，∴OM＝OB＝，∴t＝＝s综上所述：当t＝s或s时，使得△BOQ为等腰三角形．4．（2022•河池）在平面直角坐标系中，抛物线L1：y＝ax2+2x+b与x轴交于两点A，B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线L1的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标；（2）如图，连接BD，若点E在线段BD上运动（不与B，D重合），过点E作EF⊥x轴于点F，设EF＝m，问：当m为何值时，△BFE与△DEC的面积之和最小；（3）若将抛物线L1绕点B旋转180°得抛物线L2，其中C，D两点的对称点分别记作M，N．问：在抛物线L2的对称轴上是否存在点P，使得以B，M，P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法求出a，b的值即可；（2）如图1中，连接BC，过点C作CH⊥BD于点H．设抛物线的对称轴交x轴于点T．首先证明∠DCB＝90°，利用面积法求出CH，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；（3）如图2中，由题意抛物线L2的对称轴x＝5，M（6，﹣3）．设P（5，m），分三种情形：当BP ＝BM＝3时，当PB＝PM时，当BM＝PM时，分别构建方程求解即可．【解答】解：（1）∵y＝ax2+2x+b 经过B（3，0），C（0，3），∴，∴，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线的顶点D（1，4）；（2）如图1中，连接BC，过点C作CH⊥BD于点H．设抛物线的对称轴交x轴于点T．∵C（0，3），B（3，0），D（1，4），∴BC＝3，CD＝，BD＝＝2，∴BC2+CD2＝BD2，∴∠BCD＝90°，∵•CD•CB＝•BD•CH，∴CH＝＝，∵EF⊥x轴，DT⊥x轴，∴EF∥DT，∴＝＝，∴＝＝，∴BE＝m，BF＝m，∴△BFE与△DEC的面积之和S＝×（2﹣m）×+×m×m＝（m﹣）2+，∵＞0，∴S有最小值，最小值为，此时m＝，∴m＝时，△BFE与△DEC的面积之和有最小值．解法二：求两个三角形面积和的最小值，即就是求四边形OCEF面积的最大值．求出四边形OCEF 的面积的最大值即可．（3）存在．理由：如图2中，由题意抛物线L2的对称轴x＝5，M（6，﹣3）．设P（5，m），当BP＝BM＝3时，22+m2＝（3）2，∴m＝±，∴P1（5，），P2（5，﹣），当PB＝PM时，22+m2＝12+（m+3）2，解得，m＝﹣1，∴P3（5，﹣1），当BM ＝PM 时，（3）2＝12+（m +3）2，解得，m ＝﹣3±， ∴P 4（5，﹣3+），P 5（5，﹣3﹣），综上所述，满足条件的点P 的坐标为P 1（5，），P 2（5，﹣），P 3（5，﹣1），P 4（5，﹣3+），P 5（5，﹣3﹣）．考点二 “一定两动”型等腰三角形存在性问题【知识点睛】❖ 如图，P 、Q 分别为AB 、CB 上一动点，当△BPQ 是等腰三角形时，有以下几种情况：①BP=BQ ②BQ=PQ ③BP=PQ解决策略：⎩⎨⎧的线段间的等量关系转化或找与定点有关系分类讨论即BQ=PQ 可转化为:85=BP BQ ;BP=PQ 可转化为:85=BQ BP ☆特别地：当题目给出的数据还好时，也可选择用代数法来分类讨论等腰三角形步骤如下：①根据点的坐标，表示出三边的平方②根据等腰三角形的性质，可得到两两相等的的三个方程③分别解出这三个方程，再依据结果判断是否存在【类题训练】1．（2021•陕西模拟）如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的对称轴为直线x ＝1，且该抛物线与y 轴负半轴交于C 点，与x 轴交于A ，B 两点，其中B 点的坐标为（3，0），且OB ＝OC ．（1）求此抛物线的函数表达式；（2）若平行于x 轴的直线与该抛物线交于M 、N 两点（其中点M 在点N 的右侧），在x 轴上是否存在点Q ，使△MNQ 是以MN 为一直角边的等腰直角三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据OB ＝OC ，可得C （0，﹣3），由抛物线的对称轴为直线x ＝1，可得A （﹣1，0），利用待定系数法可得出答案；（2）设点M （m ，m 2﹣2m ﹣3）且m ＞1，则MN ＝2（m ﹣1），①当点M 、N 在x 轴下方时，若∠QMN＝90°，且MN＝MQ时，△MNQ为等腰直角三角形，建立方程求解即可，②当点M、N在x轴上方时，若∠QMN＝90°，且MN＝MQ时，△MNQ为等腰直角三角形，建立方程求解即可．【解答】解：（1）∵B点的坐标为（3，0），且OB＝OC，∴C点的坐标为（0，﹣3），∵抛物线的对称轴为直线x＝1，B点的坐标为（3，0），∴A点的坐标为（﹣1，0），设抛物线的函数表达式为y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0）．将C（0，﹣3）代人y＝a（x+1）（x﹣3）中，解得：a＝1，∴抛物线的函数表达式为y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3．（2）∵MN∥x轴，且M、N在抛物线上，∴M、N关于直线x＝1对称，设点M（m，m2﹣2m﹣3）且m＞1，则MN＝2（m﹣1），①当点M、N在x轴下方时，若∠QMN＝90°，且MN＝MQ时，△MNQ为等腰直角三角形，∴MQ⊥MN，即MQ⊥x轴，∴2（m﹣1）＝﹣（m2﹣2m﹣3），解得：m1＝，m2＝﹣（舍去），∴点M为（，2﹣2），Q1（，0）．由MQ1＝MN可得﹣（2﹣2）＝﹣x N，解得：x N＝2﹣，∴点N为（2﹣，2﹣2），故当∠MNQ2＝90°，MN＝NQ2时，点Q2的坐标为（2﹣，0）．②当点M、N在x轴上方时，若∠QMN＝90°，且MN＝MQ时，△MNQ为等腰直角三角形，∴MQ⊥MN，即MQ⊥x轴，∴2（m﹣1）＝m2﹣2m﹣3，解得：m1＝2+，m2＝2﹣（舍去），∴点M为（2+，2+2），点Q3为（2+，0），由MQ3＝MN，可得2+2＝2+﹣x N，解得x N＝﹣，∴点N为（﹣，2+2）．当∠MNQ4＝90°，MN＝NQ4时，点Q4的坐标为（﹣，0）．综上所述，存在满足条件的点Q，其坐标分别为（，0）或（2﹣，0）或（2+，0）或（﹣，0）．2．（2021秋•铅山县期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x2+bx+c经过A（1，0），C（0，5）两点，与x轴的另一交点为B．（1）求抛物线解析式；（2）若点M为直线BC下方抛物线上一动点，MN⊥x轴交BC于点N．①当线段MN的长度最大时，求此时点M的坐标及线段MN的长度；②如图2，连接BM，当△BMN是等腰三角形时，求此时点M的坐标．【分析】（1）把A，C代入抛物线，求得b，c即可；（2）①先求出BC的解析式，再设M（m，m2﹣6m+5），则N（m，﹣m+5），表示出MN的长，再配方即可；②设出M，N的坐标，再表示出MN和BN，再分三种情况：MN＝BN或MN＝BM或BM＝BN，分别计算即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（1，0），C（0，5）两点，∴c＝5，1+b+5＝0，解得b＝﹣6，∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5；（2）①令y＝0，即x2﹣6x+5＝0，解得：x1＝1，x2＝5，∴B（5，0），∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+5，设M（m，m2﹣6m+5），则N（m，﹣m+5），∴MN＝（﹣m+5）﹣（m2﹣6m+5），∴，∴当时，MN的最大值为，∴线段MN的长度最大时，当M的坐标为，线段MN的长度最大为；②∵点M在抛物线y＝x2﹣6x+5上，点N在直线y＝﹣x+5上，设M（m，m2﹣6m+5），则N（m，﹣m+5），∴MN＝﹣m2+5m，BN＝，∵OB＝OC，∴∠MNB＝∠OCB＝45°，i．当MN＝BN时，﹣m2+5m＝，解得：m＝，m＝5（舍去），∴M（，），ii．当BM＝MN时，则∠NBM＝∠MNB＝45°，∴∠NMB＝90°，则m2﹣6m+5＝0，解得m＝1或m＝5（舍去），∴M（1，0），iii．当BM＝BN时，∠BMN＝∠BNM＝45°，∴∠NBM＝90°，∴﹣（m2﹣6m+5）＝﹣m+5，解得m＝2或m＝5（舍），∴M（2，﹣3），当△BMN是等腰三角形时，点M的坐标为（，）或（1，0）或（2，﹣3）．3．（2021秋•大连期末）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a，b是常数，a＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．（1）填空：b＝﹣2a（用含a的代数式表示）；（2）当﹣1≤x≤0时，抛物线上的点到x轴的最大距离为5，求a的值；（3）若点A的坐标为（﹣1，0），点E的坐标为（x，0）（其中x≥0），点Q为抛物线上一动点，是否存在以CQ为斜边的等腰直角三角形CEQ？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据抛物线对称轴公式x＝即可解决问题；（2）分别算出﹣x＝1和x＝0对应的函数值即可求得a的值；（3）分类讨论，应用一线三直角模型构造全等三角形，找到线段关系，从而求出点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3对称轴为直线x＝1，∴对称轴为直线x＝，∴b＝﹣2a，故答案为：﹣2a；（2）当x＝0时，y＝﹣3，此时点（0，﹣3）到x轴的距离小于5，当x＝﹣1时，y＝a+2a﹣3＝3a﹣3.3a﹣3＝5，解得a＝；（3）存在，∵△CEQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，∴设Q（x，x2﹣2x﹣3），①如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，∵∠CEQ＝90°，∴∠QEN+∠CEM＝90°，∵∠QEN+∠NQE＝90°，∴∠EQN＝∠CEM，∵∠CME＝∠QNE＝90°，EC＝EQ，∴△ENQ≌△CME（AAS），∴CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，∴﹣x+x2﹣2x﹣3＝3，解得x＝或x＝（舍去），∴OE＝CM＝，∴E（，0）；②如图，∵点A（﹣1，0）与点B关于直线x＝1对称，∴B点的坐标为（3，0）．∴点E和点O重合，点Q和点B重合，此时E（0，0）；③如图，过点E作x轴的垂线l'，再分别过点C和点Q作垂线l'的垂线，分别交于点M'和点N'，同理：△EM'C≌△QN'E（AAS），CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，∴x+3＝x2﹣2x﹣3，解得x＝，x＝（舍去），∴OE＝CM＝，∴E（，0），综上所述，点E的坐标为（，0）或（0，0）或（，0）．【课后综合练习】1．（2022春•北碚区校级期末）如图，已知点（0，）在抛物线C1：y＝x2+bx+c上，且该抛物线与x轴正半轴有且只有一个交点A，与y轴交于点B，点O为坐标原点．（1）求抛物线C1的解析式；（2）抛物线C1沿射线BA的方向平移个单位得到抛物线C2，如图2，抛物线C2与x轴交于C，D两点，与y轴交于点E，点M在抛物线C2上，且在线段ED的下方，作MN∥y轴交线段DE于点N，连接ON，记△EMD的面积为S1，△EON的面积为S2，求S1+2S2的最大值；（3）如图3，在（2）的条件下，抛物线C2的对称轴与x轴交于点F，连接EF，点P在抛物线C2上且在对称轴的右侧，满足∠PEC＝∠EFO．①直接写出P点坐标；②是否在抛物线C2的对称轴上存在点H，使得△PDH为等腰三角形，若存在，请直接写出H点的坐标；若不存在请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法解答即可；（2）利用（1）的结论和已知条件求得抛物线C2的解析式，依据图象求得S1+2S2的值，利用二次函数的性质求得结论；（3）①设EP与x轴交于点H，利用相似三角形的判定与性质求得线段CH的长，得到点H的坐标，利用待定系数法解答即可；②利用分类讨论的思想方法分三种情况讨论解答，利用等腰三角形的性质和勾股定理求得对应相等的长度即可求得结论．【解答】解：（1）∵点在抛物线C1：y＝x2+bx+c上，∴c＝．∵该抛物线与x轴正半轴有且只有一个交点A，∴b＜0，b2﹣4××＝0．∴b＝﹣．∴抛物线C1的解析式为y＝﹣x+．（2）∵y＝﹣x+＝，又∵抛物线C1沿射线BA的方向平移个单位得到抛物线C2，∴抛物线C2的解析式为y＝＝x+2，令x＝0，则y＝2，∴E（0，2）．∴OE＝2．令y＝0，则﹣x+2＝0，解得：x＝1或3，∴C（1，0），D（3，0）．∴OC＝1，OD＝3，∴CD＝2．∵点M在抛物线C2上，∴设M（m，﹣m+2），设直线ED的解析式为y＝kx+n，∴，解得：，∴直线ED的解析式为y＝﹣x+2．∵MN∥y轴交线段DE于点N，∴N（m，﹣m+2），∵点M在线段ED的下方，∴MN＝﹣x+2﹣（﹣m+2）＝﹣+2m，∵S△EMD＝S△EMN+S△DMN＝×MN•OD＝﹣m2+3m，OE×m＝m，∴S1+2S2＝﹣m2+2m+2m＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，∵﹣1＜0，∴当m＝2时，S1+2S2有最大值4；（3）①点P的坐标为（，），理由：设直线EP与x轴交于点G，如图，∵抛物线C2的解析式为y＝，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，∴F（2，0）．∴OF＝2．∵OC＝1，∴CF＝OF﹣OC＝1．EC＝＝＝，∵∠PEC＝∠EFO，∠PEC＝∠PEF+∠CEF，∠EFO＝∠PEF+∠G，∴∠CEF＝∠G．∵∠ECF＝∠GCE，∴△ECF∽△GCE，∴．∴CE2＝CF•CG，∴CG＝5，∴OG＝OC+CG＝6，∴G（6，0）．设直线EG的解析式为y＝ax+2，∴6a+2＝0，∴a＝﹣．∴直线EG的解析式为y＝﹣x+2，∴，解得：或，∴P（，）；②在抛物线C2的对称轴上存在点H，使得△PDH为等腰三角形，理由：过点P作PG⊥抛物线对称轴与点G，PH⊥x轴于点H，连接PD，如图，∵P（，），∴OK＝，PK＝，∴DK＝OK﹣OD＝，PG＝KF＝OK﹣OF＝，∴DP＝＝＜1，∵DF＝1，∴抛物线C2的对称轴上不存在点H，使得HD＝DP，HP＝PD；当HP＝HD时，设H（2，h），则HF＝h，过点P作PG⊥抛物线对称轴与点G，如图，则PG＝KF＝OK﹣OF＝，GF＝，∵HP＝HD，∴＝．∴12+h2＝+，解得：h＝，∴H（2，）．综上，在抛物线C2的对称轴上存在点H，使得△PDH为等腰三角形，点H的坐标为（2，）．。

初中数学等腰三角形的存在性问题(word版+详解答案)

等腰三角形的存在性问题【考题研究】近几年各地的中考数学试题中，探索等腰三角形的存在性问题频频出现，这类试题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思精巧，要求学生要有较高的分析问题的能力和解决问题的能力，这类问题符合课标对学生能力提高的要求。

【解题攻略】在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法．①如图1，如果AB＝AC，直接列方程；②如图2，如果BA＝BC，那么；③如图3，如果CA＝CB，那么．代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．【解题类型及其思路】解题类型：动态类型：1.一动点类型问题；2.双动点或多动点类型问题背景类型：1.几何图形背景；2.平面直角坐标系和几何图形背景解题思路：几何法一般分三步：分类、画图、计算；代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．【典例指引】类型一【二次函数综合题中根据条件判定三角形的形状】典例指引1．抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A ，点B （1，0），与y 轴交于点C （0，﹣3），点M 是其顶点．（1）求抛物线解析式；（2）第一象限抛物线上有一点D,满足∠DAB=45°,求点D 的坐标；（3）直线x t = (﹣3＜t ＜﹣1)与x 轴相交于点H ．与线段AC ，AM 和抛物线分别相交于点E ，F ，P ．证明线段HE ，EF ，FP 总能组成等腰三角形.【举一反三】（2020·江西初三期中）如图①，已知抛物线y=ax 2+bx+3（a≠0）与x 轴交于点A （1，0）和点B （-3，0），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．类型二【利用二次函数的性质与等腰三角形的性质确定点的坐标】典例指引2．（2019·山东初三期末）如图1，已知抛物线2()30y ax bx a =++≠与x 轴交于点(1,0)A 和点(3,0)B -，与y 轴交于点C .（l ）求抛物线的表达式；（2）如图l ，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接,BE CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标；（3）如图2，在x 轴上是否存在一点D 使得ACD ∆为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点D 的坐标；若不存在，请说明理由.【举一反三】（2019·广东省中山市中山纪念中学三鑫双语学校初三期中）如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A （2，0），B （﹣8，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣8）．（1）求抛物线的解析式；（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，求出点F的坐标；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由．类型三【确定满足等腰三角形的动点的运动时间】典例指引3．（2018济南中考）如图1，抛物线平移后过点A（8，,0）和原点，顶点为B，对称轴与轴相交于点C，与原抛物线相交于点D．（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积；（2）如图2，直线AB与轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，为直角，边MN与AP相交于点N，设，试探求：①为何值时为等腰三角形；②为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少．【举一反三】如图所示，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．点D从C出发，沿线段CO以1个单位/秒的速度向终点O运动，过点D作OC的垂线交BC于点E，作EF∥OC，交抛物线于点F．（1）求此抛物线的解析式；（2）小明在探究点D运动时发现，①当点D与点C重合时，EF长度可看作O；②当点D与点O重合时，EF长度也可以看作O，于是他猜想：设点D运动到OC中点位置时，当线段EF最长，你认为他猜想是否正确，为什么？（3）连接CF、DF，请直接写出△CDF为等腰三角形时所有t的值．【新题训练】1．（2020·江西初三）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(﹣2，﹣4)，直线x=﹣2与x轴相交于点B，连接OA，抛物线y=﹣x2从点O沿OA方向平移，与直线x=﹣2交于点P，顶点M到点A时停止移动．（1）线段OA 所在直线的函数解析式是；（2）设平移后抛物线的顶点M 的横坐标为m ，问：当m 为何值时，线段PA 最长？并求出此时PA 的长．（3）若平移后抛物线交y 轴于点Q ，是否存在点Q 使得△OMQ 为等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2018·山东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()4,0A -、()2,0B ，交y 轴于点()0,6C ，在y 轴上有一点()0,2E -，连接AE .（1）求二次函数的表达式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE ∆面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由.3．（2016·广西中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--+与x 轴交于A ，B 两点（A 在B的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ．（1）请直接写出点A ，C ，D 的坐标；（2）如图（1），在x 轴上找一点E ，使得△CDE 的周长最小，求点E 的坐标；（3）如图（2），F 为直线AC 上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．4．（2019·广东广州市第二中学初三）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCO，B点坐标为（4，3），抛物线y＝12-x2＋bx＋c经过矩形ABCO的顶点B、C，D为BC的中点，直线AD与y轴交于E点，与抛物线y＝12-x2＋bx＋c交于第四象限的F点．（1）求该抛物线解析式与F点坐标；（2）如图，动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AE 13个单位长度的速度向终点E运动．过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为t秒．①问EP＋PH＋HF是否有最小值，如果有，求出t的值；如果没有，请说明理由．②若△PMH是等腰三角形，求出此时t的值．5．（2019·湖南中考模拟）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y 轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M 同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．6．（2018·山东中考模拟）如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．7．（2019·山东中考模拟）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C （﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P 使△PDE 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．8．（2018·广东中考模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数24y ax bx =+-（0a ≠）的图象与x 轴交于A （﹣2，0）、B （8，0）两点，与y 轴交于点B ，其对称轴与x 轴交于点D ．（1）求该二次函数的解析式；（2）如图1，连结BC ，在线段BC 上是否存在点E ，使得△CDE 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点P （m ，n ）是该二次函数图象上的一个动点（其中m ＞0，n ＜0），连结PB ，PD ，BD ，求△BDP 面积的最大值及此时点P 的坐标．9．（2019·四川中考模拟）如图，已知二次函数y ＝﹣x 2+bx+c （c ＞0）的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OB ＝OC ＝3，顶点为M ．（1）求二次函数的解析式；（2）点P 为线段BM 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线PQ ，垂足为Q ，若OQ ＝m ，四边形ACPQ 的面积为S ，求S 关于m 的函数解析式，并写出m 的取值范围；（3）探索：线段BM 上是否存在点N ，使△NMC 为等腰三角形？如果存在，求出点N 的坐标；如果不存在，请说明理由．10．（2019·甘肃中考模拟）如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴相交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴相交于点C （0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH ⊥x 轴于点H ，与BC 交于点M ，连接PC ． ①求线段PM 的最大值；②当△PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标．11．（2019·安徽中考模拟）如图，已知直线1y x =+与抛物线2y ax 2x c =++相交于点()1,0A -和点()2,B m 两点.（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，当PAB ∆的面积S 最大时，求此时PAB ∆的面积S 及点P 的坐标；（3）在x 轴上是否存在点Q ，使QAB ∆是等腰三角形？若存在，直接写出Q 点的坐标（不用说理）；若不存在，请说明理由.12．（2018·江苏中考模拟）（2017南宁，第26题，10分）如图，已知抛物线2239y ax ax a =--与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中C （0，3），∠BAC 的平分线AE 交y 轴于点D ，交BC 于点E ，过点D 的直线l 与射线AC ，AB 分别交于点M ，N ．（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P的坐标；（3）证明：当直线l绕点D旋转时，11AM AN均为定值，并求出该定值．13．（2019·重庆中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的对称轴为直线，与y轴负半轴交于C点，与x轴交于A、B两点，其中B点的坐标为（3，0），且OB＝OC．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点（其中点M在点N的右侧），在x轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．14．（2019·辽宁中考模拟）抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与直线y＝kx+c（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点，且抛物线与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）求出C、D两点的坐标（3）在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，求出点P的坐标．15．（2020·浙江初三期末）如图，抛物线y＝﹣12x2+2x+6交x轴于A，B两点（点A在点B的右侧），交y轴于点C，顶点为D，对称轴分別交x轴、线段AC于点E、F．（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；（2）连结AD，CD，求△ACD的面积；（3）设动点P从点D出发，沿线段DE匀速向终点E运动，取△ACD一边的两端点和点P，若以这三点为顶点的三角形是等腰三角形，且P为顶角顶点，求所有满足条件的点P的坐标．16．（2020·湖北初三期末）如图，已知二次函数的图象经过点A（4，4），B（5，0）和原点O，P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA相较于点C．（1）求出二次函数的解析式；（2）当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值；（3）当点P在直线OA的上方时，是否存在一点P，使射线OP平分∠AOy，若存在，请求出P点坐标；若不存在．请说明理由；（4）当m＞0时，探索是否存在点P，使得△PCO为等腰三角形，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．17．（2019·吉林初三）如图1，抛物线与y ＝﹣211433x x ++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接AC 、BC ，点D 是线段AB 上一点，且AD ＝CA ，连接CD ．（1）如图2，点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，在线段BC 上有一动点Q ，连接PC 、PD 、PQ ，当△PCD 面积最大时，求PQ +10CQ 的最小值；（2）将过点D 的直线绕点D 旋转，设旋转中的直线l 分别与直线AC 、直线CO 交于点M 、N ，当△CMN 为等腰三角形时，直接写出CM 的长．18．（2020·江苏初三期末）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x mx n =-++与x 轴交于点A,B ( A 在B的左侧)(1)如图1，若抛物线的对称轴为直线3,4x AB =-= .①点A 的坐标为( ， )，点B 的坐标为( ， ); ②求抛物线的函数表达式;(2)如图2，将(1)中的抛物线向右平移若干个单位，再向下平移若干个单位，使平移后的抛物线经过点O ，且与x 正半轴交于点C ，记平移后的抛物线顶点为P ，若OCP ∆是等腰直角三角形，求点P 的坐标.等腰三角形的存在性问题【考题研究】近几年各地的中考数学试题中，探索等腰三角形的存在性问题频频出现，这类试题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思精巧，要求学生要有较高的分析问题的能力和解决问题的能力，这类问题符合课标对学生能力提高的要求。

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一次函数与等腰三角形存在性问题重点内容梳理一、等腰三角形存在核心思想：——分类讨论（顶点未知，讨论顶点即可）1. A为顶点：AP=AB→以A为圆心B为半径画圆（E为共线点）为顶点：BP=BA→以B为圆心A为半径画圆（F为共线点）为顶点：PA=PB→AB的中垂线（o为共线点）求取方法：1.采用两圆一线找到特殊位置点——找交点2.两点之间距离公式表示等长线段，求取点坐标￥3.最终结论注：该类问题相对较综合，点坐标的求取方法较灵活，需综合运用几何与代数相关定理。

引例：已知，平面内点A（0,2），B（2,0）（1）求，AB所在直线解析式（2）若坐标轴上存在一点，使△ABC①—②A为顶点，AB=AC，A为圆心，AB为半径画圆，③B为顶点，AB=BC，B为圆心，AB为半径画圆④C为圆心，AB中垂线例题例题1.——x轴上的点1.（2019秋•金水区校级月考）如图，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于点A，B，且OA＝8，OB＝6.（1）求直线AB的解析式．（2）在x轴上是否有在点Q，使以A，B，Q为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．|【解答】解：（1）∵OA＝8，OB＝6，∴A（8，0）、B（0，6），把点A、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b，∴b＝6，k＝﹣，∴直线AB的表达式为：y＝﹣x+6；（2）设点Q（s，0），则AB2＝100，AQ2＝（8﹣s）2，BQ2＝s2+36，①当AB＝AQ时，100＝（8﹣s）2，解得：s＝18或s＝﹣2；②当AB＝BQ时，100＝s2+36，可得：s＝±8（舍去8）；③当AQ＝BQ时，（8﹣s）2＝s2+36，可得：s＝，、综上，点Q的坐标为：（18，0）或（﹣2，0）或（﹣8，0）或（，0）．易错：1. 两圆一线找交点，看清点的位置保证不重不漏2.求取点的坐标，注意舍根（2019秋•昌江区校级期末）如图，长方形AOBC，以O为坐标原点，OB、OA分别在x轴、y 轴上，点A的坐标为（0，8），点B的坐标为（10，0），点E是BC边上一点，把长方形AOBC沿AE翻折后，C点恰好落在x轴上点F处．（1）求点E、F的坐标；（2）求AF所在直线的函数关系式；（3）在x轴上求一点P，使△PAF成为以AF为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．（2019秋•金牛区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝kx+b与x轴交于点A（﹣6，0），与y轴交于点B（0，4），与直线l2：y＝x相交于点C．（1）求直线l1的函数表达式；（2）求△COB的面积；…（3）在x轴上是否存在一点P，使△POC是等腰三角形．若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点P的坐标．例题2.——y轴上的点（2019秋•普宁市期末）一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，9），并与直线y＝x相交于点B，与x轴相交于点C，其中点B的横坐标为3．（1）求B点的坐标和k，b的值；（2）在y轴上是否存在点P使△PAB是等腰三角形若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．【【解答】解：（1）y＝x相交于点B，则点B（3，5），将点A、B的坐标代入一次函数表达式并解得：k＝﹣，b＝9；（2）设点P（0，m），而点A、B的坐标分别为：（0，9）、（3，5），则AB2＝25，AP2＝（m﹣9）2，BP2＝9+（m﹣5）2，当AB＝AP时，25＝（m﹣9）2，解得：m＝14或4；当AB＝BP时，同理可得：m＝9（舍去）或﹣1；当AP＝BP时，同理可得：m＝；综上点P的坐标为：（0，4）或（0，14）或（0，﹣1）或（0，）》练习如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴和y轴分别交于点A和B，再将△AOB沿直线CD 对折，使点A与点B重合，直线CD与x轴交于点C，与AB交于点D．连接BC．（1）求点A和点B的坐标；（2）求S△BOC；（3）在y轴上有一点P，且△PAB是等腰三角形，求出点P的坐标．~练习（2017秋•金华期末）如图，已知直线l：y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴交于A、B两点，A（﹣2，0），B（0，1）．（1）求直线l的函数表达式；（2）若P是x轴上的一个动点，请直接写出当△PAB是等腰三角形时P的坐标；（（3）在y轴上有点C（0，3），点D在直线l上，若△ACD面积等于4，求点D的坐标．例题3——平行于坐标轴的点23．（2018秋•景德镇期末）如图，已知直线y＝2x+b交x轴于点A（﹣2，0），交y轴于点B，直线y＝2交AB于点C，交y轴于点D，P是直线y＝2上一动点，设P（m，2）．（1）求直线AB的解析式和点B，点C的坐标；（2）直接写出m为何值时，△ABP是等腰三角形；；【解答】解：（1）将点A的坐标代入y＝2x+b得：0＝2×（﹣2）+b，解得：b＝4，故直线AB的表达式为：y＝2x+4，则点B（0，4），当y＝2时，x＝﹣1，即点C（﹣1，2）；（2）点A（﹣2，0）、点B（0，4），点P（m，2），则AB2＝20，AP2＝（m+2）2+4，PB2＝m2+4，）①当AB＝AP时，即20＝（m+2）2+4，解得：m＝2或﹣6，②当AB＝BP时，同理可得：m＝4或﹣4，③当AP＝BP时，同理可得：m＝﹣1，综上，m＝﹣4或﹣6或2或4或﹣1；（2019秋•太仓市期末）如图，平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+3（k≠0）交x轴于点A（4，0），交y轴正半轴于点B，过点C（0，2）作y轴的垂线CD交AB于点E，点P从E出发，沿着射线ED向右运动，设PE＝n．（1）求直线AB的表达式；（2）当△ABP为等腰三角形时，求n的值；(（2015秋•上城区期末）A（0，4）是直角坐标系y轴上一点，P是x轴上一动点，从原点O 出发，沿正半轴运动，速度为每秒1个单位长度，以P为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△APB．设P点的运动时间为t秒．（1）若AB∥x轴，求t的值；（2）当t＝3时，平面直角坐标系内有一点M（3，a），请直接写出使△APM为等腰三角形的点M的坐标．》例题4——动点相关（2014秋•屏南县校级期末）直线AB：y＝﹣x+b分别与x，y轴交于A（8、0）、B两点，过点B的直线交x轴负半轴于C，且OB：OC＝4：3（1）求点B的坐标为；（2）求直线BC的解析式；（3）动点M从C出发沿CA方向运动，运动的速度为每秒1个单位长度．设M运动t秒时，当t为何值时△BCM为等腰三角形．/【解答】解：（1）y＝﹣x+b分别与x轴交于A（8、0），得﹣8+b＝0．解得b＝8，即函数解析式为y＝﹣x+8，当x＝0时，y＝8，B点坐标是（0，8）；（2）由OB：OC＝4：3，BC＝8，得8：BC＝4：3，解得BC＝6，即C（﹣6，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，图象经过点B，C，得，解得，直线BC的解析式为y＝x+8；*（3）设M点坐标（a，0），由勾股定理，得BC＝＝10，①当MC＝BC＝10时，由路程处以速度等于时间，得10÷1＝10（秒），即M运动10秒，△BCM为等腰三角形；②当MC＝MB时，MC2＝MB2，即（a+6）2＝a2+82，化简，得12a＝28，解得a＝即M（，0）．MC＝﹣（﹣6）＝+6＝，由路程除以速度等于时间，得÷1＝（秒），即M运动秒时，△BCM为等腰三角形；③当BC＝BM时，得OC＝OM＝6，|即MC＝6﹣（﹣6）＝6+6＝12，由路程除以速度等于时间，得12÷1＝12（秒），即M运动12秒时，△BCM为等腰三角形，综上所述：t＝10（秒），t＝（秒），t＝12（秒）时，△BCM为等腰三角形．练习（2017秋•平阴县期末）如图，直线L1：y1＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P （m，3）为直线L1上一点，另一直线L2：y2＝x+b经过点P．（1）求点P坐标和b的值：（2）若点C是直线L2与x轴的交点，动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动，设点Q的运动时间为t秒．}①请写出当点Q运动过程中，△APQ的面积S与t的函数关系式；②求出t为何值时，△APQ的面积等于3；③是否存在t的值，使△APQ为等腰三角形若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．（2018春•新田县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣分别交x，y轴于A，B两点，C为线段AB的中点，D（t，0）是线段OA上一动点（不与A点重合），射线BF ∥x轴，延长DC交BF于点E．（1）求证：AD＝BE；*（2）连接BD，记△BDE的面积为S，求S关于t的函数关系式；（3）是否存在t的值，使得△BDE是以BD为腰的等腰三角形若存在，求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．（2019秋•顺德区期末）如图，在平面直角坐标系中，点D是边长为4cm的正方形ABCO的边AB的中点，直线y＝x交BC于点E，连接DE并延长交x轴于点F．（1）求出点E的坐标；（2）求证：△ODE是直角三角形；（3）过D作DH⊥x轴于点H，动点P以2cm/s的速度从点D出发，沿着D→H→F方向运动，设运动时间为t，当t为何值时，△PEH是等腰三角形—提升1.如图，直线y＝﹣x+6与坐标轴交于A、B两点，与直线y＝2x交于C点，直线是过A点且垂直x轴的直线，点P是直线l上的一动点．（1）求C点的坐标；（2）当△APC是等腰三角形时，直接写出P点的坐标；'（3）当PC⊥OC时，求四边形OAPC的面积．提升2.如图，直线y＝kx﹣2与x轴，y轴分别交于点B，C，且OC＝2OB，A为直线BC上一动点．（1）求B点的坐标和k的值；（2）当△AOB的面积是4时，求A点在第一象限的坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形若存在，请直接写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．提升3.（2012•沙坪坝区校级模拟）如图，已知平行于y轴的动直线a的解析式为x＝t，直线b的解析式为y＝x，直线c的解析式为y＝﹣x+2，且动直线a分别交直线b、c于点D、E （E在D的上方），P是y轴上一个动点，且满足△PDE是等腰直角三角形，则点P的坐标是．提升4.（2018秋•吴江区期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与y轴的正半轴交于点A，与x轴交于点B（﹣2，0），△ABO的面积为2．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度在射线BO上运动，动点Q从O出发，沿x轴的正半轴与点P同时以相同的速度运动，过P作PM⊥X轴交直线AB于M．（1）求直线AB的解析式．（2）当点P在线段OB上运动时，设△MPQ的面积为S，点P运动的时间为t秒，求S与t的函数关系式（直接写出自变量的取值范围）．（3）过点Q作QN⊥x轴交直线AB于N，在运动过程中（P不与B重合），是否存在某一时刻t（秒），使△MNQ是等腰三角形若存在，求出时间t值．。