完整版一次函数动点问题
一次函数动点问题
一次函数是指函数的最高次幂为1的多项式函数，其一般形式为y = mx + b，其中m 和b 是常数。
针对一次函数的动点问题，我们可以考虑一个点在直线上的运动情况。
假设有一条直线，用一次函数的方程y = mx + b 来表示，其中m 是斜率，b 是截距。
给定一点的初始位置(x₀, y₀)，我们可以根据一次函数的方程计算点在直线上的位置。
假设时间t 经过后，点的位置为(x, y)。
根据直线上任意一点的坐标计算公式，我们可以得到：
x = x₀+ vt,
y = y₀+ mt,
其中v 是点在x 轴上的速度，m 是斜率。
这样，我们可以通过给定初始位置、速度和斜率来描述一次函数的动点问题。
根据给定的条件和问题要求，我们可以进一步计算点的运动轨迹、到达特定位置的时间等。
需要注意的是，一次函数的动点问题通常与直线运动或直线关系有关，其中斜率和截距是重要的参数。
具体问题的解决方法和计算步骤可能会因问题的具体条件而有所不同，所以在解决具体问题时，需要根据问题的要求和给定条件来进行适当的数学建模和计算。
完整版)八年级数学一次函数动点问题
完整版)八年级数学一次函数动点问题八年级数学一次函数动点问题1、如图所示，以等边三角形OAB的边OB所在直线为x 轴，点O为坐标原点，在第一象限建立平面直角坐标系。
其中，△OAB边长为6个单位。
点P从O点出发沿折线OAB 向B点以3单位/秒的速度运动，点Q从O点出发沿折线OBA向A点以2单位/秒的速度运动。
两点同时出发，运动时间为t（单位：秒），当两点相遇时运动停止。
①点A的坐标为（3，3），P、Q两点相遇时交点的坐标为（3，3）；②当t=2时，△OPQ的面积为3/2；当t=3时，△OPQ的面积为9/4；③设△OPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式为S=(3t-t^2)/4；④当△OPQ的面积最大时，在y轴上无法找到一点M，使得以M、P、Q为顶点的三角形是直角三角形。
2、如图所示，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动。
设点P、Q移动的时间为t秒。
1) 直线AB的解析式为y=-x+6；2) 当t=5时，△APQ的面积为24/5平方单位；3) △OPQ为直角三角形的时间范围为2≤t≤4；4) 无论t为何值，△OPQ都不可能为正三角形。
若点Q的运动速度为4个单位/秒，则此时t=2.3、如图所示，在直角三角形△AOB中，∠AOB=90°，OA=3cm，OB=4cm，以点O为坐标原点建立坐标系，设P、Q分别为AB、OB边上的动点。
它们同时分别从点A、O向B 点匀速运动，速度均为1cm/秒。
设P、Q移动时间为t（≤t≤4）。
1）过点P做PM⊥OA于M，求证：AM：AO=PM：BO=AP：AB，并求出P点的坐标（用t表示）。
证明：由于△OPM与△OAB相似，因此有PM/OB=AO/AB，即PM=AO*OB/AB=9/5.又因为△APM与△AOB相似，因此有AM/OA=PM/OB，即AM=OA*PM/OB=27/20.因此AM：AO=PM：BO=AP：AB=9：15：20.P点的坐标为（3t/5，18t/5）。
(完整版)一次函数动点问题
一次函数动点问题1．模型介绍：古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸侧的两个军营A、B，他总是先去A营，再到河边饮马，之后再去B营，如图①，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题如图②，作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．请你在下列的阅读、应用的过程中，完成解答．（1）理由：如图③，在直线L上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上∴CB=，C′B=∴AC+CB=AC+CB′=．在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小归纳小结：本问题实际是利用轴对称变换的思想，把A、B在直线的同侧问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C为AB′与l的交点，即A、C、B′三点共线）．本问题可拓展为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．（2）模型应用如图④，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，F是AC上一动点．求EF+FB的最小值分析：解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与D关于直线AC对称，连结ED交AC于F，则EF+FB的最小值就是线段的长度，EF+FB的最小值是．如图⑥，一次函数y=﹣2x+4的图象与x，y轴分别交于A，B两点，点O为坐标原点，点C与点D分别为线段OA，AB的中点，点P为OB上一动点，求：PC+PD 的最小值，并写出取得最小值时P点坐标．2．已知一次函数图象经过点A（3，5）和点B（﹣4，﹣9）两点，①求此一次函数的解析式；②若点（a，2）在该函数的图象上，试求a的值．③若此一次函数的图象与x轴交点C，点P（m，n）是图象上一个动点（不与点C重合），设△POC的面积是S，试求S关于m的函数关系式．3．已知函数y=kx+b的图象经过点A（4，3）且与一次函数y=x+1的图象平行，点B（2，m）在一次函数y=kx+b的图象上（1）求此一次函数的表达式和m的值？（2）若在x轴上有一动点P（x，0），到定点A（4，3）、B（2，m）的距离分别为PA和PB，当点P的横坐标为多少时，PA+PB的值最小．4．已知：一次函数图象如图：（1）求一次函数的解析式；（2）若点P为该一次函数图象上一动点，且点A为该函数图象与x轴的交点，若S=2，求点P的坐标．△OAP5．阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义．下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线给出它们平行的定义：设一次函数y=k1x+b1（k1≠0）的图象为直线l1，一次函数y=k2x+b2（k2≠0）的图象为直线l2，若k1=k2，且b1≠b2，我们就称直线l1与直线l2互相平行．解答下面的问题：（1）已知正比例函数y=﹣x的图象为直线l1，求过点P（1，3）且与已知直线l1平行的直线l2的函数表达式；（2）设直线l2分别与y轴、x轴交于点A、B，求l1和l2两平行线之间的距离；（3）若Q为OA上一动点，求QP+QB的最小值时Q点的坐标为．（4）在x轴上找一点M，使△BMP为等腰三角形，求M的坐标．（直接写出答案）6．阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线互相垂直的定义，下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们相互垂直的定义：设一次函数y=k1x+b1（k1≠0）的直线为l1，一次函数y=k2x+b2（k2≠0）的图象为直线l2．若k1•k2=﹣1，我们就称直线l1与直线l2相互垂直，现请解答下面的问题：已知直线l与直线y=﹣x﹣1互相垂直，且直线l的图象过点P（﹣1，4），且直线l分别与y轴、x轴交于A、B两点．（1）求直线l的函数表达式；（2）若点C是线段AB上一动点，求线段OC长度的最小值；（3）若点Q是AO上的一动点，求△BPQ周长的最小值，并求出此时点Q的坐标；（4）在（3）的条件下，若点P关于BQ的对称点为P′，请求出四边形ABOP′的面积．一次函数动点问题参考答案与试题解析一．解答题（共6小题）1．模型介绍：古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸侧的两个军营A、B，他总是先去A营，再到河边饮马，之后再去B营，如图①，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题如图②，作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．请你在下列的阅读、应用的过程中，完成解答．（1）理由：如图③，在直线L上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上∴CB=CB'，C′B=C'B'∴AC+CB=AC+CB′=AB'．在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小归纳小结：本问题实际是利用轴对称变换的思想，把A、B在直线的同侧问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C为AB′与l的交点，即A、C、B′三点共线）．本问题可拓展为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．（2）模型应用如图④，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，F是AC上一动点．求EF+FB的最小值分析：解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与D关于直线AC对称，连结ED交AC于F，则EF+FB的最小值就是线段DE的长度，EF+FB的最小值是．如图⑤，已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值是2；如图⑥，一次函数y=﹣2x+4的图象与x，y轴分别交于A，B两点，点O为坐标原点，点C与点D分别为线段OA，AB的中点，点P为OB上一动点，求：PC+PD 的最小值，并写出取得最小值时P点坐标．【解答】解：（1）理由：如图③，在直线L上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上∴CB=CB'，C′B=C'B'∴AC+CB=AC+CB′=AB'．在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小故答案为：CB'，C'B'，AB'；（2）模型应用①解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与D关于直线AC对称，连结ED交AC于F则EF+FB的最小值就是线段DE的长度，EF+FB的最小值是．在正方形ABCD中，AB=AD=2，∠BAD=90°∵点E是AB中点，∴AE=1，根据勾股定理得，DE=，即：EF+FB的最小值，故答案为：DE，；②如图⑤，由圆的对称性可知，A与A'关于直径CD对称，连结A'B交CD于F，则AE+EB的最小值就是线A'BE的长度，∴∠AOD=∠A'OD=60°∵点B是的中点，∴∠AOB=∠BOD=∠AOD=30°，∴∠A'OB=90°∵⊙O的直径为4，∴OA=OA'=OB=2，在Rt△A'OB中，A'B=2，∴BP+AP的最小值是2．故答案为2，③如图⑥，由平面坐标系中的对称性可知，C与C'关于直径y轴对称，连结C'D交y轴于P，则PC+PD的最小值就是线C'D的长度，∵一次函数y=﹣2x+4的图象与x，y轴分别交于A，B两点，∴A（2，0），B（0，4），∴C（1，0），D（1，2），∵C与C'关于直径y轴对称，∴C'（﹣1，0），∴C'D==2，∴PC+PD的最小值为2，∵C'（﹣1，0），D（1，2），∴直线C'D的解析式为y=x+1，∴P（0，1）．2．已知一次函数图象经过点A（3，5）和点B（﹣4，﹣9）两点，①求此一次函数的解析式；②若点（a，2）在该函数的图象上，试求a的值．③若此一次函数的图象与x轴交点C，点P（m，n）是图象上一个动点（不与点C重合），设△POC的面积是S，试求S关于m的函数关系式．【解答】解：①设一次函数解析式为y=kx+b，依题意，得，解得，∴一次函数解析式为y=2x﹣1；②将点（a，2）代入y=2x﹣1中，得2a﹣1=2，③由y=2x﹣1，令y=0得x=，∴C（，0），又∵点P（m，n）在直线y=2x﹣1上，∴n=2m﹣1，∴S=××|n|=|（2m﹣1）|=|m﹣|．3．已知函数y=kx+b的图象经过点A（4，3）且与一次函数y=x+1的图象平行，点B（2，m）在一次函数y=kx+b的图象上（1）求此一次函数的表达式和m的值？（2）若在x轴上有一动点P（x，0），到定点A（4，3）、B（2，m）的距离分别为PA和PB，当点P的横坐标为多少时，PA+PB的值最小．【解答】解：（1）∵函数y=kx+b的图象经过点A（4，3）且与一次函数y=x+1的图象平行，∴，解得：，∴一次函数的表达式为y=x﹣1．当x=2时，m=x﹣1=2﹣1=1，∴m的值为1．（2）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点P，此时PA+PB取最小值，如图所示．∵点B的坐标为（2，1），∴点B′的坐标为（2，﹣1）．设直线AB′的表达式为y=ax+c，将（2，﹣1）、（4，3）代入y=ax+c，，解得：，∴直线AB′的表达式为y=2x﹣5．当y=0时，2x﹣5=0，∴当点P的横坐标为时，PA+PB的值最小．4．已知：一次函数图象如图：（1）求一次函数的解析式；（2）若点P为该一次函数图象上一动点，且点A为该函数图象与x轴的交点，若S=2，求点P的坐标．△OAP【解答】解：（1）设一次函数解析式为y=kx+b，把（﹣2，3）、（2，﹣1）分别代入得，解得，所以一次函数解析式为y=﹣x+1；（2）当y=0时，﹣x+1=0，解得x=1，则A（1，0），设P（t，﹣t+1），=2，因为S△OAP所以×1×|﹣t+1|=2，解得t=﹣3或t=5，所以P点坐标为（﹣3，4）或（5，﹣4）．5．阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义．下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线给出它们平行的定义：设一次函数y=k1x+b1（k1≠0）的图象为直线l1，一次函数y=k2x+b2（k2≠0）的图象为直线l2，若k1=k2，且b1≠b2，我们就称直线l1与直线l2互相平行．解答下面的问题：（1）已知正比例函数y=﹣x的图象为直线l1，求过点P（1，3）且与已知直线l1平行的直线l2的函数表达式；（2）设直线l2分别与y轴、x轴交于点A、B，求l1和l2两平行线之间的距离；（3）若Q为OA上一动点，求QP+QB的最小值时Q点的坐标为Q（0，）．（4）在x轴上找一点M，使△BMP为等腰三角形，求M的坐标．（直接写出答案）【解答】解：（1）根据正比例函数y=﹣x的图象为直线l1，设直线l2的函数表达式为y=﹣x+b，把P（1，3）代入得：3=﹣1+b，即b=4，则过点P（1，3）且与已知直线l1平行的直线l2的函数表达式为y=﹣x+4；（2）过O作ON⊥AB，如图1所示，ON为l1和l2两平行线之间的距离，对于直线y=﹣x+4，令x=0，得到y=4；令y=0，得到x=4，∴A（0，4），B（4，0），即OA=OB=4，∵△ABC为等腰直角三角形，∴AB==4，且ON为斜边上的中线，∴ON=AB=2，则l1和l2两平行线之间的距离为2；（3）找出B关于y轴的对称点B′（﹣4，0），连接PB′，与y轴交于点Q，连接PQ，此时QP+QB最小，设直线B′P的解析式为y=mx+n，把B′和P坐标代入得：，解得：m=，n=，∴直线B′P的解析式为y=x+，令x=0，得到y=，即Q（0，）；故答案为：Q（0，）；（4）如图2所示，分三种情况考虑：当PM1=PB时，由对称性得到M1（﹣2，0）；当PM2=BM2时，M2为线段PB垂直平分线与x轴的交点，∵直线PB的解析式为y=﹣x+4，且线段PB中点坐标为（2.5，1.5），∴线段PB垂直平分线解析式为y﹣1.5=x﹣2.5，即y=x﹣1，令y=0，得到x=1，即M2（1，0）；当PB=M3B==3时，OM3=OB+BM3=4+3，此时M3（4﹣3，0），M3（4+3，0）．综上，M的坐标为（﹣2，0）或（1，0）或（4﹣3，0）或（4+3，0）．6．阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线互相垂直的定义，下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们相互垂直的定义：设一次函数y=k1x+b1（k1≠0）的直线为l1，一次函数y=k2x+b2（k2≠0）的图象为直线l2．若k1•k2=﹣1，我们就称直线l1与直线l2相互垂直，现请解答下面的问题：已知直线l与直线y=﹣x﹣1互相垂直，且直线l的图象过点P（﹣1，4），且直线l分别与y轴、x轴交于A、B两点．（1）求直线l的函数表达式；（2）若点C是线段AB上一动点，求线段OC长度的最小值；（3）若点Q是AO上的一动点，求△BPQ周长的最小值，并求出此时点Q的坐标；（4）在（3）的条件下，若点P关于BQ的对称点为P′，请求出四边形ABOP′的面积．【解答】解：（1）设直线l的解析式为y=kx+b，∵直线l与直线y=﹣x﹣1互相垂直，∴﹣k=﹣1，解得k=2，∵直线l的图象过点P（﹣1，4），∴﹣k+b=4，即﹣2+b=4，解得b=6，∴直线l的解析式为y=2x+6；（2）如图1，过O作OC⊥AB于点C，此时线段OC的长度最小，在y=2x+6中，令x=0可得y=6，令y=0可求得x=﹣3，∴A（0，6），B（﹣3，0），∴OA=6，OB=3∴AB==3，∵AB•OC=OA•OB，∴3OC=3×6，∴OC=，即线段OC长度的最小值为；（3）如图2，作点P关于y轴的对称点P″，连接BP″交y轴于点Q，过P″作P″G ⊥x轴于点G，则PQ=P″Q，∴PQ+BQ=BQ+QP″，∵点B、Q、P″三点在一条线上，∴BQ+PQ最小，∵P（﹣1，4），∴P″（1，4），∴P″G=4，OG=1，∴BG=BO+OG=4=P″G，∴∠OBQ=45°，BP″=4，∴OQ=BO=3，∴Q点坐标为（0，3），又BP==2，此时△BPQ的周长=BP+BP″=4+2；（4）由（3）可知∠OBQ=∠OQB=45°，∴∠PQA=∠P″QA=45°，∴PQ ⊥BQ ，如图3，延长PQ 到点P′，使PQ=P′Q ，则P′即为点P 关于BQ 的对称点，过P′作P′H ⊥y 轴于点H ，由（3）可知PQ=QP′=，∴QH=HP′=1， ∴OH=OQ ﹣QH=3﹣1=2，∴S 四边形ABOP′=S △AOB +S △AOP′=×6×3+×6×1=12，即四边形ABOP′的面积为12．。
一次函数中的动点问题
一次函数中的动点问题一次函数是学生在初中阶段学习的第一个函数，它是最基础的函数，是初中数学中的重要内容之一．本文例析一次函数中的动点问题，供同学们学习时参考．一、动点与函数问题例1 正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，点P自点D出发沿D→C→B的路径匀速移动（到点B后就停止）．设P点经过的路径长为x，△APD的面积是y，求y与x的函数关系式．解析由于点P的位置有两种可能，可能在DC边上，也可能在边BC上，故应该分两种情况讨论：如图1，当点P在DC边上（0≤x≤4）时，y＝12．AD．DP＝12×4x＝2x；如图2，当点P在BC边上（当4<x≤8）时，y＝12．AD．PQ＝14×4×4＝8．所以y＝() () 2,04 8,48 x xx⎧≤≤⎪⎨<≤⎪⎩二、动点与距离问题例2 如图3，在平面直角坐标系中，点A为直线y＝2x＋3上的一个动点．问当点A运动到何处时，点A到y轴的距离为1，求出点A的坐标．解析根据点A到y轴的距离为1，可以得到点A的横坐标的绝对值等于1．故点A的横坐标等于1或者－1，即x A＝±1．当x A＝1时，代入y＝2x＋3，得到y＝2x1＋3＝5，故点A的坐标为(1，5)；当x A＝－1时，代入y＝2x＋3，得到y＝2×（－1）＋－3＝1，故点A的坐标为（－1，1）．所以点A的坐标为(1，5)或者（－1，1）．三、动点与最值问题例3 如图4，在平面直角坐标系中，A（－3，2），B(2，3)，点M为x轴上的一个动点，当点M运动到x轴上何处时，MA与MB的和最短．解析点A和点B在x轴的同侧，在x轴上的确定点M的位置，根据最短路径问题的思路，想到利用轴对称知识解决问题，作点A（－3，2）关于x轴的对称点A'（－3，－2），连结A'B交x轴于点M，则有MA＋MB＝MA'＋MB＝A'B，根据两点之间线段最短，可以得到此时的MA与MB的和最短．设经过点A'（－3，－2）、B(2，3)的一次函数的关系式为y＝kx＋b．根据题意，得方程组32 23k bk b-+=-⎧⎨+=⎩解得11kb=⎧⎨=⎩，∴y＝x＋1．把y＝0代入y＝x＋1，得x＝－1，所以点M的坐标为（－1，0）．所以，当点M运动到（－1，0）时，MA与MB的和最短．四、动点与面积问题例4 如图5，在平面直角坐标系中，一次函数y＝－2x＋4的图象交y轴于点A，交x轴于点B，点N是直线y＝－2x＋4上的一动点．若AON的面积等于△AOB面积的二分之一，求点N的坐标．所以点N的坐标为(1，2)，（－1，6）．五、动点与不等式问题例5（2013年河北中考题）如图6，A(0，1)，M(3，2)，N(4，4)，动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P的直线l:y＝－x＋b也随之移动，设移动时间为t秒，(1)当t＝3时，求l的解析式；(2)若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围；(3)直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上．t＝2时，落在x轴上．六、动点与等腰三角形问题例6（2013龙岩中考题）如图7，在平面直角坐标系xOy中，A(0，2)，B(0，6)，动点C在直线y＝x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求符合条件的点C的个数．解析如图8，AB的垂直平分线与直线y＝x相交于点C1．∵A(0，2)，B(0，6)，∴AB＝6－2＝4．以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y＝x的交点为C2，C3．∵OB＝6．∴点B到直线y＝x的距离为6=∵，∴以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y＝x没有交点，所以，点C的个数是1＋2＝3．。
(完整版)北师大版八上一次函数的动点问题面积问题
一次函数的动点问题类型一 面积问题 23. 如图，直线133+-=x y 和两坐标轴交于点B A ,, 以线段AB 为边在第一象限作等边三角形ABC ， 存在点)21,(m P ， 使ABC ∆的面积与ABP ∆的面积相等，求m 的值。
练习1 已知如图，直线121+-=x y 和两坐标轴交于点B A ,, 把线段AB 绕点A 顺时针旋转90°得到线段'AB . （1）求直线'AB 的解析式。
(2) 若动点),1(a C 使得'ABB ABC S S ∆∆=的面积相等，求a 的值。
练习2 如图，已知一次函数b x y +-=21的图像过)3,2(A , x AB ⊥轴于点B ， 连接OA 。
（1）求一次函数解析式。
（2）设点P 为直线b x y +-=21上一点，且在第一象限内，经过点P （不与A 重合）作x 轴的垂线，若AOB POQ S S ∆∆=, 求点P 的坐标。
练习3 已知)0,0(),0,2(),2,0(C B A 三个点为顶点的三角形被直线a ax y -=分成两部分， （1）填空: 不论a 为何值，直线a ax y -=必定经过一顶点C ， 则该顶点为 。
（2）若所分的两部分面积之比为7:1， 求a 的值。
如图， 已知直线42+=x y 的图像交两坐标轴于点B A ,, 点C 为OB 的中点，直线l 经过点C ，与AB 交于点D , 把AOB ∆的面积分为2:1， 求直线l 的解析式。
如图，直线32+=x y 与x 轴交于点A ， 与y 轴交于点B 。
（1）求点B A ,的坐标。
（2）过点B 作直线BP 与x 轴交于点P ， 若415=∆ABP S , 求直线BP 的解析式。
二 动点问题一条直线上顺次有C B A ,,三个港口，甲乙两船分别从B A ,港口出发，沿直线行驶到C 港口，最终到达C 港口在一条直线上依次有A 、B 、C 三个港口,甲乙两船同时分别从A 、B 港口出发,沿直线匀速驶向C 港．最终到达C 港.设甲、乙两船行驶x(h)后,与B 港的距离分别为y1、y2（km ）,y1、y2与x 的函数关系如图所示.（1）填空：A 、C 两港口间的距离____km,a= _____； （2）求图中点P 的坐标,并解释该点坐标所表示的实际意义；（3）若两船的距离不超过10km 时能够相互望见,求甲、乙两船可以相互望见时,x 的取值范围．两城B A ,间的公路长为450千米，甲、乙两车同时从A 城出发沿这一公路驶向B 城，甲车到达B 城1小时后沿原路返回．如图是它们离A 城的路程y （千米）与行驶时间 x （小时）之间的函数图像． （1）求甲车返回过程中y 与x 之间的函数解析式，并写出x 的取值范围； （2）乙车与返回的甲车相遇距离B 城还有多远？特殊三角形问题已知)4,4(A, 在y轴上找一点C，使得ABC0,1(B),为等腰三角形，求出点C的坐标。
一次函数之动点问题(作业及答案)
一次函数之动点问题（作业）例1：如图，直线y =x +4与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，直线y =-x +b 过点B ，且与x 轴交于点C ． （1）求直线BC 的表达式．（2）动点P 从点C 出发，沿CA 方向以每秒1个单位长度的速度向点A 运动（点P 不与点A ，C 重合），动点Q 从点A 同时出发，沿折线AB -BC 以每秒2个单位长度的速度向点C 运动（点Q 不与点A ，C 重合），当其中一点到达终点时，另一点也随之停止．设△CPQ 的面积为S ，运动的时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．【思路分析】1．研究背景图形，如图 （把函数信息转为几何信息）2．分析运动过程0 < t < 8CA 4s4s8s B （2/s ） Q ：A（1/s ） P ：C3．画图，设计方案计算当04t <≤时，21122S t t t =⋅⋅= 当48t <<时，211(8)422S t t t t =-=-+221(04)214(48)2t t S t t t ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-+<<⎪⎩8-t t82-2t E P Q xy A BCOt Q P E 2tt 445°42424445°y=-x+4y=x+4xyAB C Oxy A BC O1. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形AOBC 是正方形，已知点A 的坐标为(0，2)，点D 在x 轴正半轴上，B 是OD 的中点，连接CD ．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿O →A →C →B 的方向匀速运动，动点Q 从点O 同时出发，以相同的速度沿O →B →D →B 的方向匀速运动．过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，设△PEQ 的面积为S ，点P 运动的时间为t 秒（06t <<）．求S 与t 之间的函数关系式．Q PxO y A CD B (E )xO y ACD BxO y ACD B2. 如图，直线y =-x +42与x 轴交于点A ，与直线y =x 交于点B ． （1）求点B 的坐标．（2）判断△AOB 的形状，并说明理由．（3）动点D 从原点O 出发，以每秒2个单位长度的速度沿OA 向终点A 运动（不与点O ，A 重合），过点D 作DC ⊥x 轴，交线段OB 或线段AB 于点C ，过点C 作CE ⊥y 轴于点E ．设运动的时间为t 秒，矩形ODCE 与△AOB 重叠部分的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式．EDAO C x ByyBx O AyBxO A3. 如图，直线33334y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与直线3y x =交于点C ．动点E 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿AO 向终点O 运动，动点F 从原点O 同时出发，以相同的速度沿折线OC -CA 向终点A 运动，设点F 运动时间为t 秒．（1）设△EOF 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．（这里规定线段是面积为0的三角形） （2）当24t ≤≤时，是否存在某一时刻，使得△AEF 是等腰三角形？若存在，求出相应的t 值；若不存在，请说明理由．xO yA CBxO yA CBx O yA CB【参考答案】1．2210222241618 462tt S t t t t ⎧<⎪⎪=<⎨⎪⎪-+<<⎩≤≤（）（）（）2．（1）(2222)B ，（2）△OAB 是等腰直角三角形，理由略（3）22023161624tt S t t t ⎧<⎪=⎨-+-<<⎪⎩≤（）（）3．（1）2233024133232 24420 42+23t t t S t t t t ⎧-+⎪⎪⎪+⎪=-++<⎨⎪⎪<⎪⎪⎩≤≤≤≤（）（）（）（2）存在，t 的值为2，31+或23（资料素材和资料部分来自网络，供参考。
(完整word版)一次函数动点问题专题练习(含答案)
动点问题专题练习
1、如图，已知在平面直角坐标系中，直线l：y=x+2分别交两坐标轴于A、B
两点，M是线段AB上一个动点，设M的横坐标为x，三角形OMB的面积为S；
（1）写出S与x的函数关系式,并画出函数图象；
（2）若△OMB的面积为3，求点M的坐标；
（3）当△OMB是以OB为底的等腰三角形时,求它的面积。
2、在边长为2的正方形ABCD的边BC上，点P从B点运动到C点，设PB=x,四
边形APCD的面积为 y，
（1）写出y与自变量x的函数关系式，并画出它的图象。
（2）当x为何值时，四边形APCD的面积等于
3、如图，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停
止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图所示，
（1）求△ABC的面积。
（2）求Y关于x的函数解析式。
4、如图①在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=60°，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿着A→B→C→D的方向不停移动，直到点P到达点D后才停止．已知△PAD 的面积S（单位：cm2）与点P移动的时间（单位：s）的函数如图②所示，则点P 从开始移动到停止移动一共用了多少秒（结果保留根号）
5、如图，A、B分别是x轴上位于原点左右两侧的点，点P(2,p)在第一象限，直线PA交y轴于点C（0,2）,直线PB交y轴于点D，S△AOP=6.
（1）求△COP的面积
（2）求点A的坐标及P的值
（3）若S△AOP=S△BOP，求直线BD的函数解析式。
一次函数有关的动点问题
一次函数中有关的动点问题例题1：如图，直线1l 的解析表达式为33y x =-+，且1l 与x 轴交于点D ，直线2l 经过点A B ，，直线1l ，2l 交于点C ．（1）求点D 的坐标； （2）求直线2l 的解析表达式； （3）求ADC △的面积；（4）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得ADP △与ADC △的面积相等，请直接．．写出点P 的坐标．:例题2：如图，在平面直角坐标系中，两个一次函数y=x ，y=-2x+12的图象相交于点A ，动点E 从O 点出发，沿OA 方向以每秒1个单位的速度运动，作EF ∥y 轴与直线BC 交于点F ，以EF 为一边向x 轴负方向作正方形EFMN ，设正方形EFMN 与△AOC 的重叠部分的面积为S ．（1）求点A 的坐标；（2）当点E 在线段OA 上运动时，求出S 与运动时间t （秒）的函数表达式；例题3：（湖南邵阳）如图（十二），直线l 的解析式为4y x =-+，它与x 轴、y 轴分别相交于A B 、两点．平行于直线l 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴的正方形以每秒1个单位长度的速度运动，它与x 轴、y 轴分别相交于M N 、两点，设运动时间为t 秒（04t <≤）． （1）求A B 、两点的坐标；（2）用含t 的代数式表示MON △的面积1S ；（3）以MN 为对角线作矩形OMPN ，记MPN △和OAB △重合部分的面积为2S ， ①当2t <≤4时，试探究2S 与t 之间的函数关系式； ②在直线m 的运动过程中，当t 为何值时，2S 为OAB △面积的516？模仿练习：（衡阳市）如图，直线4+-=x y 与两坐标轴分别相交于A.B 点，点M 是线段AB 上任意一点（A.B 两点除外），过M 分别作MC ⊥OA 于点C ，MD ⊥OB 于D ． （1）当点M 在AB 上运动时，你认为四边形OCMD 的周长是否发生变化？并说明理由； （2）当点M 运动到什么位置时，四边形OCMD 的面积有最大值？最大值是多少？（3）当四边形OCMD 为正方形时，将四边形OCMD 沿着x 轴的正方向移动，设平移的距离为)40<<a a （，正方形OCMD 与△AOB 重叠部分的面积为S ．试求S 与a 的函数关系式并画出该函数的图象．图（1）图（2）图（3）例题4：如图，在平面直角坐标系内，已知点A （0，6）、点B （8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动,设点P 、Q 移动的时间为t 秒． (1) 求直线AB 的解析式；(2) 当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似？ (3) 当t 为何值时，△APQ 的面积为524个平方单位？例题5：（济宁市）在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC 的两顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，点O 在原点.现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，当A 点第一次落在直线y x =上时停止旋转，旋转过程中，AB 边交直线y x =于点M ，BC 边交x 轴于点N （如图）.（1）求边OA 在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN 和AC 平行时，求正方形OABC 旋转的度数；（3）设MBN ∆的周长为p ，在旋转正方形OABC 的过程中，p 值是否有变化？请证明你的结论.x。
一次函数动点问题含答案
例题1：如图，直线1l 的解析表达式为 ，且1l 与x 轴交于点D ，直线2l 经过点A B ，，直线1l ，2l 交于点C ．（1）求点D 的坐标；（2）求直线2l 的解析表达式；（3）求ADC △的面积；（4）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得ADP △与ADC △的面积相等，请直接．．写出点P 的坐标．例题2：如图，在平面直角坐标系内，已知点A （0，6）、点B （8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动,设点P 、Q 移动的时间为t 秒．(1) 求直线AB 的解析式；(2) 当t 为何值时，△APQ 的面积为个平方单位？当堂巩固：如图，直线 与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ，点E 的坐标为（-8，0），点A 的坐标为（-6，0）。
（1）求k 的值；（2）若点P （x ，y ）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P 的运动过程中，试写出△OPA 的面积S 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）探究：当点P 运动到什么位置时，△OPA 的面积为278，并说明理由。
524例题3、如图1，等边△ABC中，BC=6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ，设动点运动时间为x秒．（图2、图3备用）（1）填空：BQ= ，PB= （用含x的代数式表示）；（2）当x为何值时，PQ∥AC？（3）当x为何值时，△PBQ为直角三角形？一次函数压轴题1．如图1，已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC 。
（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式．（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD=AC，求证：BE=DE．（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于M，P（，k）是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图直线ℓ：y=kx+6与x轴、y轴分别交于点B、C，点B的坐标是（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0）（1）求k的值．（2）若P（x，y）是直线ℓ在第二象限内一个动点，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为9，并说明理由．3．如图①，过点（1，5）和（4，2）两点的直线分别与x轴、y轴交于A、B两点．（1）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数有10个（请直接写出结果）；（2）设点C（4，0），点C关于直线AB的对称点为D，请直接写出点D的坐标（6，2）；（3）如图②，请在直线AB和y轴上分别找一点M、N使△CMN的周长最短，在图②中作出图形，并求出点N的坐标．4．已知如图，直线y=﹣x+4与x轴相交于点A，与直线y=x相交于点P．（1）求点P的坐标；（2）求S△OPA的值；（3）动点E从原点O出发，沿着O→P→A的路线向点A匀速运动（E不与点O、A重合），过点E分别作EF⊥x轴于F，EB⊥y轴于B．设运动t秒时，F的坐标为（a，0），矩形EBOF 与△OPA重叠部分的面积为S．求：S与a之间的函数关系式．5．如图，将边长为4的正方形置于平面直角坐标系第一象限，使AB边落在x轴正半轴上，且A点的坐标是（1，0）．（1）直线经过点C，且与x轴交于点E，求四边形AECD的面积；（2）若直线l经过点E，且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线l的解析式；（3）若直线l1经过点F（）且与直线y=3x平行．将（2）中直线l沿着y轴向上平移1个单位，交x轴于点M，交直线l1于点N，求△NMF的面积．1.考点：一次函数综合题。
一次函数之动点问题(作业及答案)
一次函数之动点问题（作业）例1：如图，直线y =x +4与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，直线y =-x +b 过点B ，且与x 轴交于点C ． （1）求直线BC 的表达式．（2）动点P 从点C 出发，沿CA 方向以每秒1个单位长度的速度向点A 运动（点P 不与点A ，C 重合），动点Q 从点A 同时出发，沿折线AB -BC 以每秒2个单位长度的速度向点C 运动（点Q 不与点A ，C 重合），当其中一点到达终点时，另一点也随之停止．设△CPQ 的面积为S ，运动的时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．【思路分析】1．研究背景图形，如图 （把函数信息转为几何信息）2．分析运动过程0 < t < 8CA 4s4s8s B （2/s ） Q ：A（1/s ） P ：C3．画图，设计方案计算当04t <≤时，21122S t t t =⋅⋅= 当48t <<时，211(8)422S t t t t =-=-+221(04)214(48)2t t S t t t ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-+<<⎪⎩8-t t82-2t E P Q xy A BCOt Q P E 2tt 445°42424445°y=-x+4y=x+4xyAB C Oxy A BC O1. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形AOBC 是正方形，已知点A 的坐标为(0，2)，点D 在x 轴正半轴上，B 是OD 的中点，连接CD ．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿O →A →C →B 的方向匀速运动，动点Q 从点O 同时出发，以相同的速度沿O →B →D →B 的方向匀速运动．过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，设△PEQ 的面积为S ，点P 运动的时间为t 秒（06t <<）．求S 与t 之间的函数关系式．Q PxO y A CD B (E )xO y ACD BxO y ACD B2. 如图，直线y =-x +42与x 轴交于点A ，与直线y =x 交于点B ． （1）求点B 的坐标．（2）判断△AOB 的形状，并说明理由．（3）动点D 从原点O 出发，以每秒2个单位长度的速度沿OA 向终点A 运动（不与点O ，A 重合），过点D 作DC ⊥x 轴，交线段OB 或线段AB 于点C ，过点C 作CE ⊥y 轴于点E ．设运动的时间为t 秒，矩形ODCE 与△AOB 重叠部分的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式．EDAO C x ByyBx O AyBxO A3. 如图，直线33334y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与直线3y x =交于点C ．动点E 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿AO 向终点O 运动，动点F 从原点O 同时出发，以相同的速度沿折线OC -CA 向终点A 运动，设点F 运动时间为t 秒．（1）设△EOF 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．（这里规定线段是面积为0的三角形） （2）当24t ≤≤时，是否存在某一时刻，使得△AEF 是等腰三角形？若存在，求出相应的t 值；若不存在，请说明理由．xO yA CBxO yA CBx O yA CB【参考答案】1．2210222241618 462tt S t t t t ⎧<⎪⎪=<⎨⎪⎪-+<<⎩≤≤（）（）（）2．（1）(2222)B ，（2）△OAB 是等腰直角三角形，理由略（3）22023161624tt S t t t ⎧<⎪=⎨-+-<<⎪⎩≤（）（）3．（1）2233024133232 24420 42+23t t t S t t t t ⎧-+⎪⎪⎪+⎪=-++<⎨⎪⎪<⎪⎪⎩≤≤≤≤（）（）（）（2）存在，t 的值为2，31+或23（资料素材和资料部分来自网络，供参考。
一次函数中的动点运动问题
一次函数中的动点运动问题一次函数中的动点问题一直是难点。
其难度在于:①直线或点的旋转、平移、翻折运动；②因动直线或动点产生的面积问题；③因动点产生的三角形存在性问题。
解法分析：本题的第1问是点的平移，点的平移运动遵循“上加下减，左减右加”；本题的第2问是直线的左右平移，尽管是新的背景，但是直线的平移就是直线上点的平移运动，只要找准直线上的一个点进行平移运动，代入即可；本题的第3问是点的旋转运动，经过的路径长就是以O为圆心，AO为半径，圆心角为90°的弧长；本题的第4问是直线的旋转运动，只要求出直线上的任意两点(一般选与坐标轴的两交点)绕旋转中心旋转后的对应点，即可求出型的直线表达式。
(旋转后构造“一线三直角模型”，即可求出旋转后对应点的坐标)对于直线的左右平移按照以下方法进行：①从直线上任意取一点进行左右平移，得到平移后的点的坐标；②设出平移后的直线表达式；③将平移后的点代入平移后的表达式中，即可求出b，得到新的表达式。
对于平面直角坐标系中点的旋转运动，往往可以通过构造一线三直角模型，借助全等三角形找到对应的等边。
解法分析：本题的第1问和第2问是手拉手旋转型模型，难度不大，围绕旋转角相等，证明▲AOE'≌▲BOF'，即可得到AE'=BF'，AE'⊥BF'。
本题的第3问是求P纵坐标的最大值，这是本题的难点，从动态的角度来看，当P与D'重合时，可以求得点P的纵坐标的最大值。
通过画出图形，进行分析，可以得到此时∠A为30°，以此通过30°-60°-90°直角三角形的性质得到点P的纵坐标。
因动点产生的三角形存在性问题有以下几类：①等腰三角形的存在性问题(设点、利用距离公式，线段相等即可求出点的坐标)；②直角三角形的存在性问题(设点，利用距离公式和勾股定理求出点的坐标)；③等腰直角三角形的存在性问题(根据题意画出图形，利用等腰直角三角形的性质求出点的坐标)。
(完整版)八年级数学一次函数动点问题
（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围。
（3）试求题(2)中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值。
（4）随着P、Q两点的运动，当点M在线段CB上运动时，设PM的延长线与直线 相交于点N。试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．
（3）在坐标平面内存在这样的点M，使得△MAC为等腰三角形且底角为30°，写出所有符合要求的点M的坐标。
6、如图，在平面直角坐标系中．四边形OABC是平行四边形．直线 经过O、C两点．点A的坐标为(8，o)，点B的坐标为(11．4)，动点P在线段OA上从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2 个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O一C—B相交于点M。当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒( )．△MPQ的面积为S．
为（-6，0）。（1）求 的值；（2）若点P（ ， ）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P的运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）探究：当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为 ，并说明理由。
5、己知如图在直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC所在直线的解析式为 。
（2）当 为等腰三角形时，求点 的坐标．
（3）在直线 上是否存在点 ，使得以点 为顶点的四边形是平行四边形？
9、如图：直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点， ，点C(x,y)是直线y＝kx＋3上与A、B不重合的动点。（1）求直线 的解析式；（2）当点C运动到什么位置时△AOC的面积是6；（3）过点C的另一直线CD与y轴相交于D点，是否存在点C使△BCD与△AOB全等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由。
一次函数动点问题
一次函数动点问题题目描述：已知一次函数 y = kx + b，其中 k 和 b 为常数，画出该函数的图像，并在坐标系上放置一个点 P，使该点具有以下性质：1. 在坐标系中，点 P 的横坐标在 2 和 5 之间。
2. 点 P 的纵坐标的值是在 3 和 7 之间随机生成的。
3. 点 P 在坐标系中的位置是随机生成的。
求：1. 该函数在点 P 处的函数值。
2. 该函数在点 P 处斜率的值。
解题思路：由题目可知，该函数为一次函数，因此可以根据已知的 k 和 b，画出函数的图像。
然后在坐标系中随机生成一个点 P，满足题目所给出的条件。
最后，根据点P 的坐标和已知的函数公式，计算出该函数在点 P 处的函数值和斜率的值。
代码实现：为了方便起见，我们可以将代码分成三个部分，分别是：1. 定义一次函数及绘制函数图像的函数。
2. 生成随机坐标的函数。
3. 计算函数在随机点处的函数值和斜率的函数。
第一部分：定义一次函数及绘制函数图像的函数。
def line(k, b, x):return k*x + bimport matplotlib.pyplot as pltdef plot_line(k, b, x_min, x_max):x = [i for i in range(x_min, x_max+1)]y = [line(k, b, i) for i in x]plt.plot(x, y)plt.show()该代码中，line() 函数用于计算一次函数在某个点 x 处的函数值，plot_line() 函数用于绘制一条一次函数的图像。
其中，k 和 b 为一次函数的系数，x_min 和 x_max 为绘制函数图像的横坐标范围。
第二部分：生成随机坐标的函数。
import randomdef random_point(x_min, x_max, y_min, y_max):x = random.uniform(x_min, x_max)y = random.uniform(y_min, y_max)return (x, y)该代码中，random_point() 函数用于生成一个横坐标在 x_min 和 x_max 之间，纵坐标在 y_min 和 y_max 之间的随机点。
一次函数之动点问题(含解析)
一次函数之动点问题一、 框架套路和标准动作动点问题的特征是速度已知，主要考查运动的过程． 1. 一次函数背景下研究动点问题的思考方向：①把函数信息（坐标或表达式）转化为背景图形的信息； ②分析运动过程，注意状态转折，确定对应的时间范围； ③画出符合题意的图形，研究几何特征，设计解决方案． 2. 解决具体问题时会涉及线段长的表达，需要注意两点：①路程即线段长，可根据s=vt 直接表达已走路程或未走路程；②根据研究几何特征的需求进行表达，既要利用动点的运动情况，又要结合背景图形信息．二、 例题解析（1）读题标注，整合信息（即研究背景图形）由直线AB 的表达式y +()(400A B -，，， 即4OA OB ==，8AB =，∠BAC =60°．又由∠ABC =60°， 可得△ABC 是等边三角形，且AB =BC =AC =8，OA =OC =4． 如图：（2）分析特征，有序思考，设计方案（分析运动过程）： 分析运动过程，核心是运动过程的四要素：①起点、终点、速度；②时间范围；③状态转折点；④目标．具体操作：①起点、终点、速度；动点P 从点A 沿AC 向点C 运动，可以确定点P 的起点（点A ）、终点（点C ），速度为1/s ；动点Q 从点C 沿CB —BA 向点A 运动，可以确定点Q 的起点（点C ）、终点（点A ），速度为2/s ，图示如下：AQ :BC (2/s)(1/s)A P :②时间范围根据路程、时间和速度的公式s =vt ，已知动点的速度，结合基本图形中线段长的研究，可以确定动点的运动时间．例如：动点P 的速度是1/s ，AC =8，故动点P 由A 到C 共经过8s ；动点Q 的速度是2/s ，CB =BA =8，故每段各走4s ，共8s ，综上0≤t ≤8．图示如下：AQ :B C4s(2/s)(1/s)（0≤t ≤8）A P :③状态转折点状态转折点即点的运动发生变化的点，常常为动点的运动方向发生改变、或者是动点的速度发生改变．例如：动点P 从点A 到点C ，速度和方向均未变化，故点P 没有状态转折点；动点Q 从点C 沿CB —BA 向点A 运动，在点B 处运动方向发生了变化，故点B 为状态转折点，由状态转折点可对运动过程进行分段．图示如下：4 < t ≤ 80 ≤ t ≤ 4①②Q :C(2/s)(1/s)（0≤t ≤8）A P :④确定目标确定目标是正确高效解题的保证，是有序操作的重要一环．本题求S 与t 之间的函数关系式，即用t 来表示△APQ 的面积S ．图示如下：△APQ S (t )4 < t ≤ 80 ≤ t ≤ 4①②Q :C(2/s)(1/s)（0≤t ≤8）A P : （3）根据方案作出图形、有序操作（分段作图，求解）作图需要充分借助动点的运动路线图，利用运动路线图可以确定每段时间范围内点的位置． 例如：①当04t ≤≤时，点P 在AO 上，点Q 在CB 上，连接AQ ，PQ ；要求△APQ 的面积，先从表达开始，可以表达动点的已走路程，得到AP =t ，CQ =2t 。
一次函数动点问题 精心总结版
11、直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动．（1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式；（3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标． （2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇，由题意，得1532104x x =+⨯， 解得803x =秒．∴点P 共运动了803803⨯=厘米．∵8022824=⨯+，∴点P 、点Q 在AB 边上相遇，∴经过803秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇2解（1）A （8，0）B （0，6）（2）86OA OB == ，10AB ∴=点Q 由O 到A 的时间是881=（秒）∴点P 的速度是61028+=（单位/秒） 当P 在线段OB 上运动（或03t ≤≤）时，2OQ t OP t ==， 2S t =当P 在线段BA 上运动（或38t <≤）时，6102162OQ t AP t t ==+-=-，, 如图，作PD OA ⊥于点D ，由PD AP BO AB =，得4865tPD -=， 21324255S OQ PD t t ∴=⨯=-+ （3）82455P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12382412241224555555I M M 2⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，， 2 如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点A 的坐标为（－3，4），点C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ． （1）求直线AC 的解析式；（2）连接BM ，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位／秒的速度向终点C 匀速运动，设△PMB 的面积为S （S ≠0），点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，∠MPB 与∠BCO 互为余角，并求此时直线OP 与直线AC 所夹锐角的正切值．xAO QP B y23.（2010年金华） 如图，把含有30°角的三角板ABO 置入平面直角坐标系中，A ，B 两点坐标分别为（3，0）和(0，33）.动点P 从A 点开始沿折线AO-OB-BA 运动，点P 在AO ，OB ，BA 上运动的速度分别为1，3，2 (长度单位/秒)﹒一直尺的上边缘l 从x 轴的位置开始以33(长度单位/秒)的速度向上平行移动（即移动过程中保持l ∥x 轴），且分别与OB ，AB 交于E ，F 两点﹒设动点P 与动直线l 同时出发，运动时间为t 秒，当点P 沿折线AO -OB -BA 运动一周时，直线l 和动点P 同时停止运动． 请解答下列问题：（1）过A ，B 两点的直线解析式是 ▲ ；（2）当t ﹦4时，点P 的坐标为 ▲ ；当t ﹦ ▲ ，点P 与点E 重合； （3）① 作点P 关于直线EF 的对称点P′. 在运动过程中，若形成的四边形PEP′F 为 菱形，则t 的值是多少？② 当t ﹦2时，是否存在着点Q ，使得△FEQ ∽△BEP ?若存在, 求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）333+-=x y ；（2）（0,3），29=t（3）①当点P 在线段AO 上时，过F 作FG ⊥x 轴，G 为垂足（如图1）∵FG OE =,FP EP =,∠=EOP ∠=FGP 90° ∴△EOP ≌△FGP ，∴PG OP =﹒又∵t FG OE 33==,∠=A 60°,∴t FG AG 3160tan 0== BFAP E O xy l(第24题(图1) BFP Ey M P′ H3而t AP =，∴t OP -=3,t AG AP PG 32=-= 由t t 323=-得 59=t ； 当点P 在线段OB 上时，形成的是三角形，不存在菱形； 当点P 在线段BA 上时，过P 作PH ⊥EF ，PM ⊥OB ，H 、M 分别为垂足（如图2）∵t OE 33=,∴t BE 3333-=,∴3360tan 0t BE EF -==∴6921tEF EH MP -===， 又∵)6(2-=t BP 在Rt △BMP 中，MP BP =⋅060cos 即6921)6(2t t -=⋅-，解得745=t ②存在﹒理由如下：∵2=t ，∴332=OE ,2=AP ，1=OP 将△BEP 绕点E 顺时针方向旋转90°，得到 △EC B '（如图3）∵OB ⊥EF ，∴点B '在直线EF 上， C 点坐标为（332，332－1） 过F 作FQ ∥C B '，交EC 于点Q , 则△FEQ ∽△EC B '由3=='=QE CE FE E B FE BE ，可得Q 的坐标为（－32，33） 根据对称性可得，Q 关于直线EF 的对称点Q '（－32，3）也符合条件 9．（2010，浙江义乌）如图1，已知∠ABC ＝90°，△ABE 是等边三角形，点P 为射线BC 上任意一点（点P 与点B 不重合），连结AP ，将线段AP 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AQ ，连结QE并延长交射线BC 于点F .（1）如图2，当BP ＝BA 时，∠EBF ＝ ▲ °，猜想∠QFC ＝ ▲ °；（2）如图1，当点P 为射线BC 上任意一点时，猜想∠QFC 的度数，并加以证明； （3）已知线段AB ＝32，设BP ＝x ，点Q 到射线BC 的距离为y ，求y 关于x 的函数关系式．第9题【答案】（1）=∠EBF 30°.QFC ∠＝ 60° （2）QFC ∠＝60°不妨设BP ＞3AB , 如图1所示∵∠BAP ＝∠BAE+∠EAP ＝60°+∠EAP ∠EAQ ＝∠QAP+∠EAP ＝60°+∠EAP ∴∠BAP ＝∠EAQ在△ABP 和△AEQ 中 AB ＝AE ，∠BAP ＝∠EAQ ， AP ＝AQ ∴△ABP ≌△AEQ （SAS ） ∴∠AEQ ＝∠ABP ＝90°∴∠BEF 180180906030AEQ AEB =︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒ ∴QFC ∠＝∠EBF +∠BEF ＝30°+30°＝60° (事实上当BP ≤3AB 时，如图2情形，不失一般性结论仍然成立，不分类讨论不扣分）(3) 在图1中，过点F 作FG ⊥BE 于点G∵△ABE 是等边三角形 ∴BE ＝AB ＝32，由（1）得=∠EBF 30°A BE QPFC图1ACBEQF P yBF AP E OxQ′B′ Q CC 1D 1 (图3)4在Rt △BGF 中，32BE BG == ∴BF ＝2cos30BG=︒∴EF ＝2 ∵△ABP ≌△AEQ ∴QE ＝BP ＝x ∴QF ＝QE ＋EF 2x =+过点Q 作QH ⊥BC ，垂足为H 在Rt △QHF 中，3sin 60(2)2y QH QF x ==︒=+ （x ＞0）即y 关于x 的函数关系式是：332y x =+11已知一个直角三角形纸片OAB ，其中9024AOB OA OB ∠===°，，．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边AB 交于点D ．（Ⅰ）若折叠后使点B 与点A 重合，求点C 的坐标；解（Ⅰ）如图①，折叠后点B 与点A 重合， 则ACD BCD △≌△.设点C 的坐标为()()00m m >，.则4BC OB OC m =-=-. 于是4AC BC m ==-.在Rt AOC △中，由勾股定理，得222AC OC OA =+，即()22242m m -=+，解得32m =.∴点C 的坐标为302⎛⎫ ⎪⎝⎭， （Ⅱ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，设OB x '=，OC y =，试写出y 关于x 的函数解析式，并确定y 的取值范围；（Ⅱ）如图②，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ',则B CD BCD '△≌△.由题设OB x OC y '==，，则4B C B C O B O C y'==-=-， 在Rt B OC '△中，由勾股定理，得222B C OC OB ''=+.()2224y y x ∴-=+，即2128y x =-+ 由点B '在边OA 上，有02x ≤≤， ∴ 解析式2128y x =-+()02x ≤≤为所求. 当02x ≤≤时，y 随x 的增大而减小y ∴的取值范围为322y ≤≤.（Ⅲ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，且使B D OB '∥，求此时点C 的坐标．x yBO A xyBy B5（Ⅲ）如图③，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ''，且B D OB ''∥. 则OCB CB D ''''∠=∠.又CBD CB D OCB CBD ''''∠=∠∴∠=∠ ，，有CB BA ''∥. Rt Rt COB BOA ''∴△∽△.有OB OCOA OB''=，得2OC OB ''=. 在Rt B OC ''△中，设()00OB x x ''=>，则02OC x =.由（Ⅱ）的结论，得2001228x x =-+， 解得0008450845x x x =-±>∴=-+ ．，.∴点C 的坐标为()08516-，.。
(完整版)八年级《一次函数动点问题》
一次函数动点问题的典例分析1、已知如图，直线与x 轴相交于点A ，与直线相交于点P 。
（1）求点P 的坐标； （2）求的值；（3）动点E 从原点O 出发，沿着O-P-A 的路线向点A 匀速运动（E 不与点O 、A 重合），过点E 分别作EF ⊥x 轴于F ，EB ⊥y 轴于B 。
设运动t 秒时，F 的坐标为（a ，0），矩形EBOF 与重叠部分的面积为S 。
求S 与a 之间的函数关系式。
OyxB FE A POyxB FEA P2、如图，在平面直角坐标系内，直线1+=x y 与343+-=x y 交于点A ，分别交x 轴于点B 和点C ，点D 是直线AC 上的一个动点。
（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）当△CBD 为等腰三角形时，求点D 的坐标。
3、如图，在菱形ABCD中，AB=2cm，∠BAD=60︒,E为CD边的中点，点P从点A开始沿AC方向2cm的速度运动，同时，点Q从点D出发沿DB方向以每秒1cm的速度运动，当点以每秒3P到达点C时，P、Q同时停止运动，设运动的时间为x秒。
当点P在线段AO上运动时，（1）请用含x的代数式表示OP的长度；（2）若记四边形PBEQ的面积为y，求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）。
4、如图，矩形ABCD 的两条边在坐标轴上，点D 与原点重合，对角线BD 所在直线的函数关系式为x y 43=，AD=8，矩形ABCD 沿DB 方向以每秒1个单位长度运动，同时点P 从点A 出发做匀速运动，沿矩形ABCD 的边经过点B 到达点C ，用了14（1）求矩形ABCD 的周长；（2）如图所示，图形运动到第5秒时，求点D 的坐标；（3）设矩形运动的时间为t ，当60≤≤t 时，点P 所经过的路线是一条线段，请求出线段所在直线的函数关系式。
5、如图1，在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm ，点P 从A 点出发，沿A —B —C —D 的路线运动，到D 点停止；点Q 从D 点出发，沿D —C —B —A 运动，到A 点停止。
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一次函数动点问题，大致内容如下：古希腊“将军饮马问题”1．模型介绍：古希腊有一个著名的营，再到河，他总是先去AA一位将军，每天都要巡查河岸侧的两个军营、B①，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和营，如图边饮马，之后再去B最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题就是所求，点CAB′与直线l交于点C如图②，作B关于直线l的对称点B′，连接的位置．请你在下列的阅读、应用的过程中，完成解答．，B′C′，连接AC′，BC′，（1）理由：如图③，在直线L上另取任一点C′上lC，C′在∵直线l是点B，B′的对称轴，点CB=，C′B=∴．∴AC+CB=AC+CB′=在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小归纳小结：本问题实际是利用轴对称变换的思想，把A、B在直线的同侧问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C为AB′与l的交点，即A、C、B′三点共线）．本问题可拓展为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．（2）模型应用如图④，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，F是AC上一动点．求EF+FB的最小值分析：解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与D关第1页（共18页）FB 的最小值就是线段的AC于直线AC对称，连结ED交于F，则EF+长度，EF+FB的最小值是．如图⑥，一次函数y=﹣2x+4的图象与x，y轴分别交于A，B两点，点O为坐标原点，点C与点D分别为线段OA，AB的中点，点P为OB上一动点，求：PC+PD 的最小值，并写出取得最小值时P点坐标．第2页（共18页）2．已知一次函数图象经过点A（3，5）和点B（﹣4，﹣9）两点，①求此一次函数的解析式；②若点（a，2）在该函数的图象上，试求a的值．③若此一次函数的图象与x轴交点C，点P（m，n）是图象上一个动点（不与点C重合），设△POC的面积是S，试求S关于m的函数关系式．3．已知函数y=kx+b的图象经过点A（4，3）且与一次函数y=x+1的图象平行，点B（2，m）在一次函数y=kx+b的图象上（1）求此一次函数的表达式和m的值？（2）若在x轴上有一动点P（x，0），到定点A（4，3）、B（2，m）的距离分别为PA和PB，当点P的横坐标为多少时，PA+PB的值最小．第3页（共18页）4．已知：一次函数图象如图：（1）求一次函数的解析式；（2）若点P为该一次函数图象上一动点，且点A为该函数图象与x轴的交点，若S=2，求点P的坐标．OAP△页）18页（共4第．阅读下面的材料：5下面就两个一次函数的图象所确在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义．）的图象为≠0x+b（k定的两条直线给出它们平行的定义：设一次函数y=k111，b=k，且b≠（bk≠0）的图象为直线l，若k，一次函数直线ly=kx+222212121互相平行．l 我们就称直线l与直线21解答下面的问题：l，3）且与已知直线的图象为直线l，求过点P（1）已知正比例函数（1y=﹣x11的函数表达式；平行的直线l2两平行线之间的距离；lB，求l和、l（2）设直线分别与y轴、x轴交于点A212点的坐标为QB的最小值时Q ．上一动点，求）若（3Q为OAQP+（4）在x轴上找一点M，使△BMP为等腰三角形，求M的坐标．（直接写出答案）第5页（共18页）6．阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线互相垂直的定义，下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们相互垂直的定义：设一次函数y=kx+b（k≠0）的直线为l，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象为2111212直线l．若k?k=﹣1，我们就称直线l与直线l相互垂直，现请解答下面的21221﹣x﹣1互相垂直，且直线l的图象过点P（﹣1问题：已知直线l与直线y=，4），且直线l分别与y轴、x轴交于A、B两点．（1）求直线l的函数表达式；（2）若点C是线段AB上一动点，求线段OC长度的最小值；（3）若点Q是AO上的一动点，求△BPQ周长的最小值，并求出此时点Q的坐标；（4）在（3）的条件下，若点P关于BQ的对称点为P′，请求出四边形ABOP′的面积．第6页（共18页）一次函数动点问题参考答案与试题解析小题）一．解答题（共6，大致内容如下：古希腊一”“1．模型介绍：古希腊有一个著名的将军饮马问题营，再到河边A位将军，每天都要巡查河岸侧的两个军营A、B，他总是先去①，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最饮马，之后再去B营，如图短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题就是所求交于点lC，点C如图②，作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线的位置．请你在下列的阅读、应用的过程中，完成解答．，BC′，B′C′AC′1）理由：如图③，在直线L上另取任一点C′，连接，（上在lC′B，B′的对称轴，点C，l∵直线是点C'B'CB=CB'，C′B=∴．AB'AC+CB=AC+CB′=∴在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小归纳小结：本问题实际是利用轴对称变换的思想，把A、B在直线的同侧问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C为AB′与l的交点，即A、C、B′三点共线）．本问题可拓展为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．第7页（共18页））模型应用2（上一动点．是AC为AB的中点，FABCD如图④，正方形的边长为2，E的最小值+FB求EF关D分析：解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与DE的最小值就是线段的长F于直线AC对称，连结ED交AC于，则EF+FB度，EF+FB的最小值是．如图⑤，已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是的中点，在；直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值是2如图⑥，一次函数y=﹣2x+4的图象与x，y轴分别交于A，B两点，点O为坐标原点，点C与点D分别为线段OA，AB的中点，点P为OB上一动点，求：PC+PD 的最小值，并写出取得最小值时P点坐标．【解答】解：（1）理由：如图③，在直线L上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上∴CB=CB'，C′B=C'B'∴AC+CB=AC+CB′=AB'．在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小故答案为：CB'，C'B'，AB'；（2）模型应用①解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与D关于直线AC对称，连结ED交AC于F则EF+FB的最小值就是线段DE的长度，EF+FB的最小值是．页（共第818页）在正方形ABCD中，AB=AD=2，∠BAD=90°∵点E是AB中点，∴AE=1，DE=根据勾股定理得，，，+FB的最小值即：EF；，故答案为：DE②如图⑤，由圆的对称性可知，A与A'关于直径CD对称，连结A'B交CD于F，则AE+EB的最小值就是线A'BE的长度，∴∠AOD=∠A'OD=60°是B的中点，∵点BOD=∠AOD=30°AOB=∠，∴∠∴∠A'OB=90°∵⊙O的直径为4，∴OA=OA'=OB=2，A'B=2中，，在Rt△A'OB．2的最小值是∴BP+AP，2故答案为③如图⑥，第9页（共18页），轴于PC'D交y与由平面坐标系中的对称性可知，CC'关于直径y轴对称，连结的长度，的最小值就是线C'DPC+PD则两点，，By轴分别交于A2x+4的图象与x，∵一次函数y=﹣，）0，4，0），B（∴A（2，）1，20），D（∴C（1，轴对称，yC'关于直径∵C与，），0∴C'（﹣1，C'D=∴=22的最小值为PD，∴PC+，2）D（1，∵C'（﹣1，0），，+1C'D的解析式为y=x∴直线．），（01∴P）两点，9（﹣4，﹣3，5）和点B（2．已知一次函数图象经过点A①求此一次函数的解析式；的值．a2）在该函数的图象上，试求②若点（a，）是图象上一个动点（不与点，n，点P（m轴交点③若此一次函数的图象与xC 的函数关系式．mSS，试求关于C重合），设△POC的面积是，b解：①设一次函数解析式为y=kx+【解答】，依题意，得，解得；﹣1∴一次函数解析式为y=2x，1=22a﹣1中，得﹣y=2x2a②将点（，）代入1810第页（共页）a=；解得x=，y=0得y=2x﹣1，令③由（，0）∴C，又∵点P（m，n）在直线y=2x﹣1上，∴n=2m﹣1，﹣|．|m1|（2m﹣∴）S=|××|n|==3．已知函数y=kx+b的图象经过点A（4，3）且与一次函数y=x+1的图象平行，点B（2，m）在一次函数y=kx+b的图象上（1）求此一次函数的表达式和m的值？（2）若在x轴上有一动点P（x，0），到定点A（4，3）、B（2，m）的距离分别为PA和PB，当点P的横坐标为多少时，PA+PB的值最小．【解答】解：（1）∵函数y=kx+b的图象经过点A（4，3）且与一次函数y=x+1的图象平行，，解得：∴，∴一次函数的表达式为y=x﹣1．当x=2时，m=x﹣1=2﹣1=1，∴m的值为1．（2）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点P，此时PA+PB取最小值，如图所示．∵点B的坐标为（2，1），∴点B′的坐标为（2，﹣1）．设直线AB′的表达式为y=ax+c，将（2，﹣1）、（4，3）代入y=ax+c，，解得：，∴直线AB′的表达式为y=2x﹣5．当y=0时，2x﹣5=0，第11页（共18页）x=，解得：的横坐标为时，PA+∴当点PPB的值最小．4．已知：一次函数图象如图：（1）求一次函数的解析式；（2）若点P为该一次函数图象上一动点，且点A为该函数图象与x轴的交点，若S=2，求点P的坐标．OAP△【解答】解：（1）设一次函数解析式为y=kx+b，，解得1，）分别代入得2，3）、（，﹣把（﹣2；+1所以一次函数解析式为y=﹣x，）（1，0，则）当（2y=0时，﹣x+1=0，解得x=1A，t+1）设P（t，﹣，因为S=2OAP△，﹣3或t=5t=1|所以×1×﹣t+|=2，解得．44，）或（5，﹣）3P所以点坐标为（﹣．阅读下面的材料：512第页（共18页）下面就两个一次函数的图象所确我们学过两条直线平行的定义．在平面几何中，）的图象为by=kx+（k≠0定的两条直线给出它们平行的定义：设一次函数111，k=k，且≠bbb直线l，一次函数y=kx+（k≠0）的图象为直线l，若221122122互相平行．与直线l我们就称直线l21解答下面的问题：l）且与已知直线1，3（1）已知正比例函数y=﹣x的图象为直线l，求过点P（11的函数表达式；平行的直线l2两平行线之间的距离；和l轴交于点分别与y轴、xA、B，求l2（）设直线l221Q（0，）点的坐标为的最小值时Q（3）若为OA上一动点，求QP+QBQ．（4）在x轴上找一点M，使△BMP为等腰三角形，求M的坐标．（直接写出答案）【解答】解：（1）根据正比例函数y=﹣x的图象为直线l，设直线l的函数表达21式为y=﹣x+b，把P（1，3）代入得：3=﹣1+b，即b=4，则过点P（1，3）且与已知直线l平行的直线l的函数表达式为y=﹣x+4；21（2）过O作ON⊥AB，如图1所示，ON为l和l两平行线之间的距离，21第13页（共18页），x=4y=0，得到，令x=0，得到y=4；令﹣对于直线y=x+4，OA=OB=4），即（4，0（∴A0，4），B为等腰直角三角形，∵△ABC为斜边上的中线，，且AB=ON=4∴，ON=AB=2∴2；两平行线之间的距离为l和l则21，连接Q，与y轴交于点，0），连接PB′43（）找出B关于y轴的对称点B′（﹣最小，QBQP+PQ，此时，ny=mx+设直线B′P的解析式为，坐标代入得：把B′和P，，解得：n=m=+，y=B′P∴直线的解析式为x，Qy=（；0x=0令，得到，即）；）Q（0，故答案为：所示，分三种情况考虑：24（）如图1814第页（共页）；），0时，由对称性得到M（﹣2当PM=PB11轴的交点，垂直平分线与x时，M 为线段PB=BM当PM222，1.5）PB中点坐标为（2.5，PB的解析式为y=﹣x+4，且线段∵直线，﹣12.5，即y=x﹣∴线段PB垂直平分线解析式为y1.5=x﹣；0）（1，令y=0，得到x=1，即M2，﹣3，此时M（=4当PB=M=3B=时，OM=OB+BM+433333．0）3），04，M（+334﹣1，0）或（M，30）．综上，的坐标为（﹣2，0）或（4，0）或（+．阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线互相垂直的定义，下面6就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们相互垂直的定义：设一）的图象为≠0b（k，一次函数≠0）的直线为ly=kx+（次函数y=kx+bk2211112相互垂直，现请解答下面的l，我们就称直线l与直线．若lk?k=﹣1直线22211，1P（﹣﹣1互相垂直，且直线ll问题：已知直线与直线y=的图象过点﹣x两点．、B轴、x轴交于A）4，且直线l分别与y的函数表达式；）求直线l（1长度的最小值；OC是线段AB上一动点，求线段（2）若点C的坐周长的最小值，并求出此时点Q是AO上的一动点，求△BPQQ（3）若点标；的ABOP′，请求出四边形关于PBQ的对称点为P′）的条件下，若点）在（（43面积．1815第页（共页）解：【解答】，+b的解析式为1）设直线ly=kx（互相垂直，﹣y=1﹣x∵直线l与直线，，解得k=2k=﹣1∴﹣，），（﹣14∵直线l的图象过点P，b=6+b=4，解得∴﹣k+b=4，即﹣2；6y=2x+∴直线l的解析式为，于点COCO作⊥AB（2）如图1，过的长度最小，此时线段OC，3可求得x=﹣中，令x=0可得y=6，令y=06在y=2x+，），（﹣30，0∴A（，6）BOB=3，∴OA=6，∴AB==3页）18页（共16第，OA?OBAB?OC=∵，6OC=3∴×3，∴OC=长度的最小值为即线段OC；P″GP″作y轴于点Q，过P关于y轴的对称点P″，连接BP″交）如图（32，作点，轴于点G⊥x，则PQ=P″Q，QP″+PQBQ=BQ+∴三点在一条线上，P″、Q、∵点B最小，PQ∴BQ+，），4∵P（﹣1，4）1∴P″（，，，OG=1∴P″G=4，+OG=4=P″G∴BG=BO，OBQ=45°，BP″=4∴∠，∴OQ=BO=3，3点坐标为（0，）Q∴，BP=又=2BP″=4的周长BPQ=BP+；+2此时△1817第页（共页）（4）由（3）可知∠OBQ=∠OQB=45°，∴∠PQA=∠P″QA=45°，∴PQ⊥BQ，如图3，延长PQ到点P′，使PQ=P′Q，则P′即为点P关于BQ的对称点，过P′作P′H⊥y轴于点H，PQ=QP′=）可知，由（3，QH=HP′=1∴∴OH=OQ﹣QH=3﹣1=2，+×6×1=12×+=S∴SS=×63，AOP′ABOP′AOB△四边形△即四边形ABOP′的面积为12．第18页（共18页）。