大学物理中国矿业大学出版社

有一质点沿着x 轴作直线运动，t 时刻的坐标为23

4.52x t t =-，试求：⑴ 第2秒内的平均速度⑵ 第2秒末的瞬时速度⑶ 第2秒内的路程。

解：⑴ 当1t s =时，1 2.5x m = 当2t s =时，218162x m =-=平均速度为

()212 2.50.5m v x x =-=-=-⑵第2秒末的瞬时速度()22966m s t dx

v t t dt

==

=-=-⑶ 第2秒内的路程：（在此问题中必须注意有往回走的现象）当 1.5t s =时，速度0v =，

2 3.375x m =;当1t s =时，1 2.5x m = ;当2t s =时，32x m =;所以路程为：

3.375 2.5 3.3752 2.25m -+-=

一艘正在沿直线行驶的电船，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反，即dv/dt=-k v ∧2,试证明电艇在关闭发动机后又行驶x 距离时的速度为v=v0e ∧-kx 式中，v0是关闭发动机后的速度。 证明：由题可知：

2dv dx kv kv dt dt =-=- 所以有： dv kvdx =- 变换为： dv kdx v

=- 两边同时积分就可得到：00v

x v dv kdx v =-⎰⎰ 0ln v

v v kx =-即0

ln v kx v =- 所以有0k x v v e -=

迫击炮射击山顶上的一个目标，已知初速度为v0，抛射角为⊙,上坡与水平面成a 角，求炮

弹的射程及到达山坡时的速度。 解：

炮弹的运动轨迹如上图的虚线所示，如

图建立坐标轴,x y 。将初速度0v v

沿坐标轴分解可得0000cos sin x y v v v v θθ=⎧⎨=⎩

⑴ 加速度g 沿坐标轴分解可得 sin cos x y a g a g α

α=-⎧⎨=-⎩ ⑵ 在任意时刻t 的速度为

0000cos sin sin cos x x x y y y v v a t v gt v v a t v gt θα

θα

=+=-⎧⎨

=+=-⎩⑶

任

意

时

刻

t

的位移为

2200220011cos sin 22

11sin cos 22

x x y y x v t a t v t gt y v t a t v t gt θαθα⎧

=+=-⎪⎪⎨

⎪=+=-⎪⎩⑷ ⑴ 炮弹射程为0y =时，所对应的x 。

y g

y =对应的时刻

02sin cos v t g θα

=

，代入可得

()()

220022

2sin cos cos sin sin 2sin cos cos cos v v x g g θθαθαθθααα

-+== ⑵ 将02sin cos v t g θ

α

=

代入方程组⑶可得

00000002sin cos sin cos 2sin tan cos 2sin sin cos sin cos x

y v v v g v v g v v v g v g θθαθθααθθαθ

α⎧

=-=-⎪⎪

⎨

⎪=-=-⎪⎩

速度的大小为

v =

=

=

= 方向可以由 tan 2tan cot y x

v v βαθ=

=- ()arctan 2tan cot βαθ=-

一质点沿半径为（m ）的圆周运动，其角坐标⊙可用下式来表示：⊙=2+4t ∧3 请问：（1）当t=2(s)时，法向加速度和切向加速度各是多少？（2）当⊙角等于多少时，其总加速度与半径成45°角。 解：3

24rad t θ=+，角速度为212rad s d t dt

θ

ϖ== 角加速度为224rad s t β= ⑴ 当2s t =时，2

48rad s β=

2220.148230.4m s n a r ϖ==⨯= 20.148 4.8m s a r τβ==⨯=

⑵ 在t 时刻，法向加速度与切向加速度分别为

()2

22420.11214.4m n a r t t ϖ==⨯= ()20.124 2.4m s a r t t τβ==⨯=

总加速度与半径夹角为45o

时，n a a τ=

可得 3

1

0.1676

t =

≈，即 2.167rad θ= 质量为2kg 的质点的运动方程为()()22ˆˆ61331r t i t t j =++++v ，

求证质点受恒力而运动，

并求力的方向和大小，采用国际单位制。

解：质点的运动方程为()()

22ˆˆ61331r t i t t j =++++v ，

那么通过对上式两边求导，便可得到速度()ˆˆ1263v t i t j =++v

加速度为：ˆˆ126a i

j =+v

因此质点所受的力为ˆˆ2412N F ma i j ==+v

v

质量为m 的质点在Oxy 平面内运动，质点的运动方程为ˆˆcos sin r a t i

b t j ϖϖ=+v ，,,a b ϖ为正常数，⑴ 求质点的动量；⑵ 证明作用于质点的合力总指向原点。 解：⑴ 由质点的运动方程可得质点的速度为：ˆˆsin cos v a t i b t j ϖϖϖϖ=-+v 质点的动量为：ˆˆsin cos p mv m a t i

m b t j ϖϖϖϖ==-+v v ⑵ 质点的加速度为：22ˆˆcos sin a a t i

b t j ϖϖϖϖ=--v 作用于质点的合力为：

()

2222ˆˆcos sin ˆˆcos sin F ma m a t i m b t j

m a t i b t j

m r

ϖϖϖϖϖϖϖϖ==--=-+=-v v v

方向为r -v

的方向，也就是总指向原点。

圆柱A 重500N ，半径0.30m A R =，圆柱B 重1000N ，半径0.50m B R =，都放置在宽度为 1.20m l =的槽内，各接触点都是光滑的。求A ，B 柱间的压力及A ，B 柱与槽壁和槽底间的压力。