辽宁省高一数学上学期期末考试试题
辽宁省大连市2022-2023学年高一上册12月期末考试数学试卷(含解析)
辽宁省大连市2022-2023学年高一上册12月期末考试数学试卷（含解析）第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合{}1,2,3,4A =，集合()(){}130B x x x =+-<，则A B = （）A.{}1,0,1,2,3- B.{}1,2,3 C.{}1,2 D.{}2【答案】C2.已知向量()1,2a =r ，(),4b x =- ，且//a b r r，则实数x =（）A.2B.1C.1- D.2-【答案】D3.若1x ，2x ，…，10x 的方差为2，则131x +，231x +，…，1031x +的方差是（）A.18B.7C.6D.2【答案】A4.中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京开幕．党的二十大报告鼓舞人心，内涵丰富．某学校党支部评选了5份优秀学习报告心得体会（其中教师2份，学生3份），现从中随机抽选2份参展，则参展的优秀学习报告心得体会中，学生、教师各一份的概率是（）A.120 B.35C.310D.910【答案】B5.下列函数中，其图像如图所示的函数为（）A.13y x-= B.23y x=C.13y x = D.23y x -=【答案】A6.“北溪”管道泄漏事件的爆发，使得欧洲能源供应危机成为举世瞩目的国际公共事件．随着管道泄漏，大量天然气泄漏使得超过8万吨类似甲烷的气体扩散到海洋和大气中，将对全球气候产生灾难性影响．假设海水中某种环境污染物含量P （单位：mg L ）与时间t （单位：天）间的关系为：0ektP P -=⋅，其中0P 表示初始含量，k 为正常数．令2121P P t t μ-=-为[]12,t t 之间海水稀释效率，其中1P ，2P 分别表示当时间为1t 和2t 时的污染物含量．某研究团队连续20天不间断监测海水中该种环境污染物含量，按照5天一期进行记录，共分为四期，即(]0,5，(]5,10，(]10,15，(]15,20分别记为Ⅰ期，Ⅱ期，Ⅲ期，Ⅳ期，则下列哪个时期的稀释效率最高（）．A.Ⅰ期B.Ⅲ期C.Ⅲ期D.Ⅳ期【答案】A7.已知0x >，0y >，且满足20x y xy +-=，则92x y+的最大值为（）A.9 B.6 C.4D.1【答案】D8.已知定义域为D 的函数()f x ，若1x D ∀∈，都2x D ∃∈，满足()122x f x a +=，则称函数()f x 具有性质()P a ．若函数()f x 具有性质()1P ，则“()f x 存在零点”是“2D ∈”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B二、多项选择题（本大题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）9.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a ，b ，R c ∈，则下列命题正确的是（）A.若0ab ≠且a b <，则11a b> B.若a b >，01c <<，则a bc c <C.若1a b >>，1c >，则log log a b c c<D.若1a b <<-，0c >，则c ca b b a ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】BCD10.同时掷红、蓝两枚质地均匀的骰子，事件A 表示“两枚骰子的点数之和为5”，事件B 表示“红色骰子的点数是偶数”，事件C 表示“两枚骰子的点数相同”，事件D 表示“至少一枚骰子的点数是奇数”，则（）A.A 与C 互斥B.B 与D 对立C.A 与D 相互独立D.B 与C 相互独立【答案】AD11.已知点P 为ABC 所在平面内一点，且230PA PB PC ++=，若E 为AC 的中点，F 为BC 的中点，则下列结论正确的是（）A.向量PA 与PC可能平行B.点P 在线段EF 上C.:2:1PE PF =D.::1:2:3PAB PAC PBC S S S =△△△【答案】BC12.已知函数()()21350f x x x x =+->，()22e2xf x x =+-，()3ln 24f x x x =+-的零点分别为1x ，2x ，3x ，则下列结论正确的是（）A.123x x x <<B.232x x +=C.()310f x <D.()()3223f x f x =【答案】BC第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本大题功4小题，每小题5分，共20分．）13.2log 522log 4+=______．【答案】714.已知向量a ，b满足()1,2a =- ，(),1b x =r ，3a b += ，则实数x =______．【答案】115.在考察某中学的学生身高时，采用分层抽样的方法抽取男生24人，女生16人，得到了男生的平均身高是170cm ，女生的平均身高是165cm ，则估计该校全体学生的平均身高是______cm ．【答案】16816.函数()()()224f x xxax b =-++满足：x ∀∈R ，都有()()20222024f x f x -=-，则函数()f x 的最大值为______．【答案】16四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.如图所示，在ABC 中，D 为BC 边上一点，且2BD DC =．过D 点的直线EF 与直线AB 相交于E 点，与直线AC 相交于F 点（E ，F 两点不重合）．（1）用AB，AC 表示AD；（2）若AE AB λ=，AF AC μ=，求12λμ+的值．【答案】（1）1233AD AB AC=+（2）3.【解析】【小问1详解】在ABD △中，由AD AB BD =+,又2BD DC =，所以23BD BC =，所以23AD AB BD AB BC=+=+ ()23AC ABAB =+- 2233AB ACAB =-+ 1233AB AC =+【小问2详解】因为1233AD AB AC =+ ，又AE AB λ= ，AF ACμ=所以1AB AE λ= ，1AC AF μ=，所以3231A E D A A F μλ=+，又,,D E F 三点共线，且A 在线外，所以有：12133λμ+=，即123λμ+=.18.已知集合{}13A x x =-≤≤，集合{}22,R B x m x m m =-≤≤+∈．（1）若{}03A B x x ⋂=≤≤，求实数m 的值；（2）若:p x A ∈，R :q x B ∈ð，且p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．【答案】（1）2m =（2）{5m m >或}3m <-．【解析】【小问1详解】因为{}03A B x x ⋂=≤≤，所以2023m m -=⎧⎨+≥⎩，所以21m m =⎧⎨≥⎩，所以2m =；【小问2详解】{R 2B x x m =<-ð或}2x m >+，:p x A ∈，R :q x B ∈ð，且p 是q 的充分条件由已知可得R A B ⊆ð，所以23m ->或21m +<-，所以5m >或3m <-，故实数m 的取值范围为{5m m >或}3m <-．19.近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行的营销形式．某直播平台800个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图1所示．（1）该直播平台为了更好地服务买卖双方，打算随机抽取40个直播商家进行问询交流．如果按照分层抽样的方式抽取，则应抽取小吃类、玩具类商家各多少家？（2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的40个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率分布直方图如图2所示．请根据频率分布直方图计算下面的问题；（ⅰ）估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（结果保留一位小数，求平均数时同一组中的数据用该组区间的中点値作代表）；（ⅱ）若将平均日利润超过420元的商家成为“优秀商家”，估计该直播平台“优秀商家”的个数．【答案】（1）小吃类16家，玩具类4家；（2）（i ）中位数为342.9，平均数为352.5；（2）128.【解析】【小问1详解】()40125%15%10%5%5%16⨯-----=，4010%4⨯=，所以应抽取小吃类16家，玩具类4家.【小问2详解】（i ）根据题意可得()0.00130.0030.0050.007501a ⨯++++⨯=，解得0.002a =，设中位数为x ，因为()0.0010.003500.2+⨯=，()0.0010.0030.007500.55++⨯=，所以()3000.0070.20.5x -⨯+=，解得342.9x ≈，平均数为()2250.0012750.0033250.0073750.0054250.0024750.0015250.00150352.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，所以该直播平台商家平均日利润的中位数为342.9，平均数为352.5.（ii ）4504200.0020.0010.0015080012850-⎛⎫⨯++⨯⨯=⎪⎝⎭,所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为128.20.第56届世界乒乓球团体锦标赛于2022年在中国成都举办，国球运动又一次掀起热潮．现有甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用7局4胜制，每局11分制，每赢一球得1分，选手只要得到至少11分，并且领先对方至少2分（包括2分），即赢得该局比赛．在一局比赛中，每人只发2个球就要交换发球权，如果双方比分为10：10后，每人发一个球就要交换发球权．（1）已知在本场比赛中，前三局甲赢两局，乙赢一局，在后续比赛中，每局比赛甲获胜的概率为35，乙获胜的概率为25，且每局比赛的结果相互独立，求甲乙两人只需要再进行两局比赛就能结束本场比赛的概率；（2）已知某局比赛中双方比分为8：8，且接下来两球由甲发球，若甲发球时甲得分的概率为23，乙发球时乙得分的概率为12，各球的结果相互独立，求该局比赛甲得11分获胜的概率．【答案】（1）925；（2）49.【解析】【小问1详解】设“甲乙两人只需要再进行两局比赛就能结束本场比赛”为事件A ，若两局比赛就能结束，则只能甲连胜两局，所以()3395525P A =⨯=；【小问2详解】设“该局比赛甲得11分获胜”为事件B ，甲得11分获胜有两类情况：甲连得3分，则甲11:8获胜；甲得3分，乙得1分，则甲11:9获胜，此时有三种情况，每球得分方分别为乙甲甲甲，甲乙甲甲，甲甲乙甲，所以()22112112111221143323322332233229P B =⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=.21.已知函数()14xb f x a =++的定义域为R ，其图像关于点11,22⎛⎫⎪⎝⎭对称．（1）求实数a ，b 的值；（2）求122022202320232023f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值；（3）若函数()412log 22xg x f x x+⎛⎫=++ ⎪-⎝⎭，判断函数()g x 的单调性（不必写出证明过程），并解关于t 的不等式()()2121g t g t -++>．【答案】（1）2,2a b ==-（2）1011（3）103t -<<【解析】【小问1详解】有条件可知函数()f x 经过点11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，()()112210122f f f ⎧⎛⎫= ⎪⎪⎪⎝⎭∴⎨⎪+=⨯⎪⎩，即12112411114b a b b aa ⎧+=⎪⎪+⎨⎪+++=⎪++⎩，解得：2,2a b ==-，()2414242xx xf x -=+=++；【小问2详解】由于120222************1,1,,1202320232023202320232023+=+=+= ，1202222021101110121,1,,1202320232023202320232023f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1220221011202320232023f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；【小问3详解】由于42log 2x y x +=-是奇函数，根据函数平移规则，()()12h x g x =-也是奇函数，并且由于()f x 是增函数，42log 2xy x+=-也是增函数，()h x ∴也是增函数，定义域为()2,2-不等式()()2121g t g t -++>等价于()()11212022g t g t --++->，即()()2120h t h t -++>，()()()2122h t h t h t ->-+=--，由于()h x 是增函数，2122212222t t t t ->--⎧⎪∴-<-<⎨⎪-<+<⎩，解得103t -<<；综上，（1）2,2a b ==-；（2）1220221011202320232023f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）103t -<<.22.已知函数()f x 的图像与函数()31xg x =-的图像关于直线y x =对称，函数()()9log 1h x x a =-+．（1）若4a =，求()()()F x f x h x =⋅在[]0,4x ∈上的最大值；（2）设()()(){}max ,2H x f x h x =，[]0,4x ∈，求()H x 的最小值，其中{},max ,,a a ba b b a b ≥⎧=⎨<⎩．【答案】（1）()F x 在[]0,4x ∈上的最大值为12（2）()H x 的最小值()()()3min 33log 1,0log 1,082log 3,8a a a H x a a a ⎧-≤⎪⎪⎛⎫=+<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-≥⎩【解析】【小问1详解】解：因为函数()f x 的图像与函数()31xg x =-的图像关于直线y x =对称，即()f x 与()g x 互为反函数，所以()()3log 1f x x =+当4a =，有()()9log 41h x x =-+，则()()()()()3939log 1log 41log 1log 5F x x x x x =+⋅-+=+⋅-()()331log 1log 52x x =+⋅-，又[]0,4x ∈时，[][]11,5,51,5x x +∈-∈，所以()()33log 10,log 50x x +≥-≥，所以()()()()()()()()2233223333log 1log 511111log 1log 5log 15log 29222882x x F x x x x x x ⎛⎫++-⎡⎤=+⋅-≤=+-=--+≤ ⎪⎣⎦⎝⎭，当且仅当()()33log 1log 52x x x ⎧+=-⎨=⎩，即2x =时等号同时成立，所以()F x 在[]0,4x ∈上的最大值为12；【小问2详解】解：()()()9322log 1log 1h x x a x a =-+=-+，()()2f x h x <等价于11x x a +<-+，即x x a <-，因为[]0,4x ∈，当0a ≤时，x a x a x -=-≥恒成立，所以()()2f x h x ≤，则()()3log 1H x x a =-+，所以()H x 在[]0,4x ∈上单调递增，所以()()()min 30log 1H x H a ==-；当04a <<时，[)[],0,,,4a x x a x a x a x a ⎧-∈⎪-=⎨-∈⎪⎩，此时当0,2a x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()2f x h x <，当,42a x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()()2f x h x >，所以()()()33log 1,0,2log 1,42a a x x H x a x x ⎧⎡⎤-+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎤⎪+∈ ⎥⎪⎝⎦⎩，()H x 在0,2a x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,42a x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递增，所以()min 3log 122a a H x H ⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当4a ≥时，x a a x -=-，当48a ≤<时，()H x 与上一种情况相同，所以()min 3log 122a a H x H ⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当8a ≥时，x a a x x -=-≥恒成立，所以()()2f x h x <，则()()3log 1H x a x =-+，所以()H x 在[]0,4x ∈上单调递减，所以()()()min 34log 3H x H a ==-；综上，()H x 的最小值()()()3min 33log 1,0log 1,082log 3,8a a a H x a a a ⎧-≤⎪⎪⎛⎫=+<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-≥⎩.。
辽宁省大连市高一上学期期末考试数学试题(原卷版)
6.根据天气预报，某一天A城市和B城市降雨的概率均为0.6，假定这一天两城市是否降雨相互之间没有影响，则该天这两个城市中，至少有一个城市降雨的概率为（）
A. 0.16B. 0.48C. 0.52D. 0.84
7.函数 的图像大致为（）
A. B.
C D.
8.关于频率和概率，下列说法正确的是（）
13.已知 ， ，则 ________.
14.现统计出甲、乙两人在8次测验中的数学成绩如下（其中乙的一个成绩被污损）：
甲：86，79，82，91，83，89，94， 89
乙：90，92， ，80，84，95，94，90
已知乙成绩的平均数恰好等于甲成绩的60%分位数，则乙成绩的平均数为________， 的值为________.
④将一个均匀的骰子抛掷6000次，则出现点数大于2的次数大约为4000次.
A.②④B.①④C.①②D.②③
9.已知平面上的非零向量 ， ， ，下列说法中正确的是（）
①若 ， ，则 ；
②若 ，则 ；
③若 ，则 ， ；
④若 ，则一定存在唯一的实数 ，使得 .
A ①③B. ①④C. ②③D. ②④
10.已知定义在R上的函数 ，下列说法中正确的个数是（）
1.已知集合 ， 则 （）
A. B. C. D.
2.已知命题 ， ，则 为（）
A. ， B. ，
C. ，. B. C. D.
4.如果 平均数 ，方差 ，则 的平均数和方差分别为（）
A.5，5B.5，4C.4，3D.4，2
5.已知向量 ， 满足 ， ， ，则 （）
男性：
评分结果
频数
50
200
350
辽宁省辽阳市2022-2023学年高一上学期期末数学试题
A. 每十万人中拥有高中（含中专）文化程度地人数最少 B. 每十万人中拥有大专及以上文化程度的人数少于 2 万 C. 每十万人中拥有小学文化程度地人数最多 D. 每十万人中拥有初中和高中（含中专）文化程度地人数占比不到 50% 【结果】B
3. 函数 y 7 x ln x 4 地定义域为（ ）
7 【结果】 0.7 ##
10
16. 已知幂函数 f x 地图象过点 2,16 ,则 f x ______, f x 1 f 3x 1 地解集为______.
【结果】 ①. x4 ②. , 0 1,
四，解答题：本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 求值：
【结果】 log1 x （结果不唯一)
2
r
14. 若向量 a 3,1 , b 2, 4 , c 25,10 ,则 3a 2b c ______.
【结果】13
15. 甲､乙､丙三名运动员地投篮命中率分别为 0.8､0.6 和 0.5 ,现甲､乙､丙三名运动员各投篮一次,则至少有
两人命中地概率为___________.
甲
26
37
29
36
34
30
乙
32
28
37
33
27
35
有关这 6 次测试数据,下面表达正确地是（ ）
A. 甲地极差等于乙地极差
C. 甲地方差大于乙地方差
【结果】BCD
12.
设函数
f
x
x2 2x
4x, x a, x 1
1
,则（
）
A. 当 a 1时, f x 地值域为 (, 4]
B. 甲地平均数等于乙地平均数 D. 选派乙去参加比赛比较合适
辽宁省大连市2023-2024学年高一上学期期末考试数学答案
大连市2023～2024学年度第一学期期末考试高一数学参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 一、单项选择题：1．C 2．C 3．D 4．A 5．B 6．B 7．D 8．A 二、多项选择题：9．AC 10．ACD 11．BCD 12．BC 三、填空题：13．1 14．2()f x x -=（答案不唯一） 15．8；8.7 16．四、解答题：17．（本小题满分10分）解：（1）2(2,3)2(1,2)(2,3)(2,4)(4,1)+=+-=+-=-a b …………………2分|2|+==a b …………………4分（2）方法一：由已知得(2,3)(1,2)(2,23)λλλλ+=+-=+-+a b ，(2,3)(1,2)(21,32)λλλλ+=+-=+-a b …………………6分因为与共线，所以(2)(32)(21)(23)λλλλ+-=+-+ …………………8分 解得1λ=或1λ=-． …………………10分方法二：由已知(2,3)=a ，(1,2)=-bλ+a b λ+a b因为2(2)13⨯-≠⨯，所以a 与b 不共线， …………………6分 所以a b λ+≠0，因为与共线，所以存在实数μ，使得()a b a b λμλ+=+ …………………8分即a b a b λμλμ+=+，所以1λμλμ=⎧⎨=⎩，解得1λ=或1λ=- …………………10分18．（本小题满分12分） 解：（1）由频率分布直方图可知，(0.0050.0050.00750.020.0025)201a +++++⨯=解得0.01=a ． …………………3分 （2）估计80%分位数为0.80.10.10.150.41101150.01----+=． ……………6分（3）由频率分布直方图可知，得分在[50,70)分数段的人数为1000.0052010⨯⨯=人，得分在[70,90)分数段的人数为1000.00752015⨯⨯=人． …………………7分 由分层抽样可知，在[50,70)分数段抽取两人，分别记为12,a a ，在[70,90)分数段抽取三人，分别记为123,,b b b ， …………………8分 因此这个试验的样本空间可记为{}12111213212223121323Ω,,,,,,,,,a a a b a b a b a b a b a b b b b b b b =， 共包含10个样本点． …………………9分方法一：记A ：抽取的这2名学生至少有1人成绩在[70,90)内，则}111213212223121323{,,,,,,,,=A a b a b a b a b a b a b b b b b b b ，包含9个样本点，……………10分 所以()109=P A ． …………………12分 方法二：记A ：抽取的这2名学生至少有1人成绩在[70,90)内， 则A ：抽取的这2名学生成绩都在[50,70)内，}12{=A a a ，包含1个样本点， …………………10分所以()101=P A ， λ+a b λ+a b从而1()1()911010=-=-=P A P A ． …………………12分 19．（本小题满分12分）解：设,(1,2,3)=i i A B i 分别表示甲、乙在第i 次投篮投中． （1）所求的概率为1111211()()()323==⨯=P A B P A P B ． …………………4分（2）所求的概率为111211223111211223()()()()++=++P A A B A A B A B A P A P A B A P A B A B A1211212111333233232327=+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=． …………………8分 （3）所求的概率为11211221121122()()()+=+P A B A A B A B P A B A P A B A B2112121232332329=⨯⨯+⨯⨯⨯=． …………………12分 20．(本小题满分12分)（1）当时，01<-xx 可化为(1)0-<x x ， 所以原不等式的解集(0,1)=M ． …………………2分（2）①因为322a =221=，所以2221(log )log 2y x x =- ……………3分 令2log t x =，则(0,2)t ∈所以211[,3)216=-∈-y t t ，即1[,3)16A =- …………………5分可化为()(1)0--<x m x 当1>m 时，(1,)M m =，不合题意； …………………7分当1=m 时，=∅M ，不合题意； …………………9分 当1<m 时，(,1)M m =， 因为，所以116<-m ． …………………11分 0m =01x mx -<-{|3}MA x m x =<<综上所述，116<-m ． …………………12分 ②因为313log 18log 2a =+=29log 3=，所以21(2)22x x y =-⋅ ………………3分 令2x t =，则(0,2)t ∈所以211[,3)216=-∈-y t t ，即1[,3)16A =- …………………5分可化为 ()(1)0--<x m x 当1>m 时，(1,)M m =，不合题意； …………………7分当1=m 时，=∅M ，不合题意； …………………9分 当1<m 时，(,1)M m =， 因为，所以116<-m ． …………………11分 综上所述，116<-m ． …………………12分 21．(本小题满分12分)（1）证明：令()(1)1=+-g x f x ，因为∈x R , …………………1分()()(1)(1)2g x g x f x f x +-=++-+-所以222(12)220121212x x x x-+=+-=-=+++…………………3分所以函数()g x 为奇函数， …………………4分 函数()f x 的图象关于点(1,1)对称． …………………5分 （2）解：方法一：由（1）知2()(1)1112-=+-=-+xg x f x ，任取12,x x ∈R ，且21>x x ，因为2121122121222(22)()()12122(12)(12)--+----=-=++++x x x x x x x x g x g x ，因为21>x x ，所以21220->x x ，所以21()()>g x g x ，01x mx -<-{|3}MA x m x =<<所以函数()g x 在R 上为增函数， …………………7分 因为2()(21)2+->f a f a ，所以2(11)11(221)-+->--+f a f a ，所以2(1)(22)->--g a g a ， …………………9分 因为函数()g x 为奇函数，所以2(1)(22)->-+g a g a ， …………………10分 因为函数()g x 在R 上为增函数，所以2122->-+a a ， …………………11分 即2230+->a a ，解得31<->或a a . …………………12分 方法二：任取12,x x ∈R ，且21>x x ，因为21211221211111224(22)()()12122(12)(12)x x x x x x x x f x f x --+----=-=++++，因为21>x x ，所以21220->x x ，所以21()()>f x f x ，所以函数()f x 在R 上为增函数， …………………7分 由（1）有()(2)2+-=f x f x …………………8分 因为2()(21)2+->f a f a ，所以22(2)(21)2--+->f a f a ，所以2(21)(2)->-f a f a ， …………………10分 因为函数()f x 在R 上为增函数，所以2212a a ->-， …………………11分 即2230+->a a ，解得31<->或a a . …………………12分 22．(本小题满分12分)解：（1）因为3x x e e -+=，所以2310x x e e -+=令=xs e ，则1s ，2s 为2310-+=s s 的两根，所以1212121+⋅=⋅==x x x xs s e e e ，得120+=x x ． …………………2分（2）22()2()12x x x x g x e e a e e --=+-++ 令-=+x x t e e ，因为0>x e ，所以2-=+≥x x t e e当且仅当x x e e -=，即0=x 时等号成立． …………………3分 因为2222--=+x x t e e ，所以222212210(2)=--+=-+≥y t at t at t 的最小值为1 当2≤a 时，1441-=a ，解得134=a ，不合题意 …………………5分 当2>a 时，2101-+=a ，解得3a =±，所以3a =． …………………7分 综上所述3=a ． …………………8分 （3）因为()x F x e =，所以1()ln F x x -=，所以ln 1ln()1()ln()=ln()x mx h x me mx e mx --=++ …………………9分方法一：令ln()1mx u e -=，则ln ln()1u mx =- 所以ln 12=++≥y u u ，因为ln 1=++y u u 在(0,)+∞上是增函数，且当1=u 时，2=y所以ln()11mx u e -=≥，即ln()1ln ln 10mx m x -=+-≥， …………………11分 所以1ln ln -≤m x 在(,)∈+∞x e 上恒成立，所以1ln 1-≤m ，解得1≥m ． …………………12分方法二：令ln()v mx =，则12v y e v -=+≥，因为1v y e v -=+在R 上是增函数，且当1v =时，2=y所以1v ≥，即ln()ln ln 1v mx m x ==+≥， …………………11分 所以1ln ln -≤m x 在(,)∈+∞x e 上恒成立，所以1ln 1-≤m ，解得1≥m ． …………………12分。
辽宁省鞍山市普通高中2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题含答案
（2）设 ， ， （ 的反函数），当 时，试比较 ， ， 大小．
21.某班级体育课进行一次篮球定点投篮测试，规定每人最多投3次，每次投篮的结果相互独立.在 处每投进一球得3分，在 处每投进一球得2分，否则得0分.将学生得分逐次累加并用 表示，如果 的值高于3分就判定为通过测试，立即停止投篮，否则应继续投篮，直到投完三次为止.现有两种投篮方案：方案1：先在 处投一球，以后都在 处投；方案2：都在 处投篮.已知甲同学在 处投篮的命中率为 ，在 处投篮的命中率为 .
（2）若 是 上的倒函数，当 时， ，方程 是否有正整数解？并说明理由；
（3）若 是 上的倒函数，其函数值恒大于0，且在 上是增函数．设 ，若 ，求解不等式 ．
鞍山市普通高中2022-2023学年度上学期高一质量监测
数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
A.17天B.19天C.21天D.23天
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.在疫情防护知识竞赛中，对某校的2000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为 ， ， ， ， ， ，若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，则下列说法中正确的是（）
（1）若甲同学选择方案1，求他测试结束后所得总分 的所有可能的取值以及相应的概率；
（2）你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大？说明理由.
22.一般地，设函数 的定义城为D，如果对D内的任意一个x，都有 ，且 ，则称 为倒函数．请根据上述定义回答下列问题：
辽宁省高一上学期期末考试数学试题(解析版)
高一数学注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，满分150分.2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3.答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答题标号；答非选择题时，将答案写在答题卡上相应区域内，超出答题区域或写在本试卷上无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）{}2,1,0,1,2A =--{}21B x x =-<≤A. B.C.D.{}2,1--{}2,2-{}0,1{}1,0,1-【答案】B 【解析】【分析】根据韦恩图确定集合的运算关系为，在根据补集与交集的运算即可得答案. ()R B A ⋂ð【详解】集合，，韦恩图中表示的集合为， {}2,1,0,1,2A =--{}21B x x =-<≤()R B A ⋂ð则或，所以. R {|1B x x =≤-ð1}x >(){}R 2,2B A ⋂=-ð故选：B.2. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） 2log 0.7a =0.21.2b -=0.43c =a b c A. B.C.D.b c a <<b a c <<a c b <<a b c <<【答案】D 【解析】【分析】根据对数函数与指数函数的性质，并借助中间值即可比较大小. 【详解】由题可知，，，故，，的大小关系为.a<001,1b c <<>a b c a b c <<故选：D3. 甲、乙、丙3位同学每位同学都要从即将开设的3门校本课程中任选一门学习，则他们选择的校本课程各不相同的概率为（ ） A.B.C.D.293882789【答案】A 【解析】【分析】利用古典概型的概率公式即可求解.【详解】甲，乙，丙3位同学从开设的3门校本课程中任选一门参加的事件数为， 33甲，乙，丙3位同学参加的校本课程各不相同的事件数为， 3216⨯⨯=故所求概率为 36239P ==故选：A4. 降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度随开窗通风换气时间的关系如图所示，则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度()c ()t 最快的是（ ）A. B. C. D.[]5,10[]15,20[]25,30[]30,35【答案】B 【解析】【分析】连接图上的点，利用直线的斜率与平均变化率的定义判断即可；【详解】如图分别令、、、、、、所对应的点为5t =10t =15t =20t =25t =30t =35t =,,,,,,,A B C D E F G0,0,0,AB CD EF CD FG CD k k k k k k >>>>>>所以内空气中微生物密度变化的平均速度最快； []15,20故选：B5. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足关系式，其中星等为的星的亮度为．已知牛郎星的星等是0.75，织21552111lg lg 22m m E E -=-k m ()1,2k E k =女星的星等是0，则牛郎星与织女星的亮度的比值为（ ） A .B.C. D. 3101031010-3lg1010lg3【答案】B 【解析】【分析】根据题目中所给公式直接计算可得.【详解】因为，所以． 55212211115lg lg lg0.75222E m m E E E -=-==-3210110E E -=故选：B6. 已知向量，，且，则为（ ）()2,0a = ()1,2b =()()()3//2R a b a kb k -+∈2a kb + A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】首先求出、的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，求出参数的值，最3a b - 2a kb +k 后根据向量模的坐标表示计算可得.【详解】因为，，所以， ()2,0a = ()1,2b =()1,63a b ---= ，()()()222,01,24,2a kb k k k +=+=+又，所以，解得，()()3//2a b a kb -+()1264k k -⨯=-⨯+6k =-所以，则.()22,12a kb +=-- 2a kb +== 故选：A7. 分别抛掷3枚质地均匀的硬币，设事件“至少有2枚正面朝上”，则与事件M 相互独立的是M =（ ）A. 3枚硬币都正面朝上B. 有正面朝上的，也有反面朝上的C. 恰好有1枚反面朝上D. 至多有2枚正面朝上【答案】B 【解析】【分析】由已知运用列举法列出样本空间，事件M 、选项A 、B 、C 、D 的事件，再利用古典概率公式和检验事件独立性的概率公式逐一检验可得选项.【详解】解：样本空间为{（正，正，正），（正，正，反）．（正，反，正）．（正，反，反），（反，Ω=正，正）（反，正，反）（反，反，正）．（反，反，反）}，而事件{（正，正，正），（正，正，反）．（正，反，正），（反，正，正）}，设“有正面朝上的，M =B =也有反面朝上的”，对于A 选项：设事件{（正，正，正）}． A =∴，，， ()4182P M ==()18P A =()18P AM =∴，事件A 与M 不相互独立，故A 不正确；()()()P AM P M P A ≠对于B 选项：设事件{（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，B =反），（反，反，正）}． ∴，，， ()4182P M ==()6384P B ==()38P BM =∴，事件B 与M 相互独立，故B 正确；()()()P BM P M P B =对于C 选项：设事件{（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）}． C =∴，，， ()4182P M ==()38P C =()38P CM =∴，事件C 与M 不相互独立，故C 不正确；()()()P CM P M P C ≠对于D 选项：设事件{（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，D =反），（反，反，正），（反，反，反）}． ∴，，， ()4182P M ==()78P D =()38P DM =∴，事件D 与M 不相互独立，故D 不正确； ()()()P DM P M P D ≠故选：B.8. 若，则（ ） 3322x y x y --->-A.B.C.D.ln 0x y ->ln 0x y -<1ln01y x <-+1ln01y x >-+【答案】C 【解析】【分析】构造函数，由其单调性可得，结合选项可得答案.()32x x f x -=-x y >【详解】令，因为为增函数，为减函数，所以为减函数； ()32x x f x -=-2x y =3x y -=()f x 因为，所以，所以. 3322x y x y --->-()()f x f y >x y <由于与1无法确定大小，所以A,B 均不正确； x y -因为，所以，所以，C 正确，D 不正确；11y x -+>1011y x <<-+1ln 01y x <-+故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知，则下列不等式中成立的是（ ） 0a b <<A. B.C.D. a b ab +<2ab b <11b b a a +<+11a b b a+<+【答案】AD 【解析】【分析】利用不等式的性质可得正误，利用特值可得C 的正误，利用作差比较法可得D 的正误. 【详解】对于A ，因为，所以，所以，A 正确； 0a b <<0,0ab a b >+<a b ab +<对于B ，因为，所以，B 错误； 0a b <<2ab b >对于C ，当，，C 错误； 2,1a b =-=-11b b a a +>+对于D ，， ()1111a b a b b a ab ⎛⎫⎛⎫+-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，所以，，所以，即，D 正确. 0a b <<0ab >0a b -<()110a b ab ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭11a b b a+<+故选：AD.10. 为了解某地区经济情况，对该地区家庭年收入进行抽样调查，将该地区家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：则下列结论正确的是（ ） A. 图中的值是0.16a B. 估计该地区家庭年收入的中位数为7.5万元 C. 估计该地区家庭年收入的平均值不超过7万元D. 估计该地区家庭年收入不低于9.5万元的农户比例为20% 【答案】BD 【解析】【分析】根据频率分布直方图频率和为1即可求,可结合选项逐一计算中位数,平均值以及所占的比重判断a 得解.【详解】对于A ， 根据频率分布直方图频率和为1,得(0.130.0420.024+0.22)11,0.14a a ⨯+⨯+⨯⨯+⨯==，故A 错误；对于B ，设该地农户家庭年收入的中位数为万元，x 则，即，则中位数是，故B 正确;0.020.040.100.140.20.5++++=7.5x =7.5对于C ，该地农户家庭年收入的平均值为 30.0240.0450.1060.1470.280.290.1x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，故C 错误；100.1110.04120.02130.02140.027.68+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=对于D ，设该地家庭年收入不低于9.5万元的农户比例为 ，故D 正确；0.10.040.0230.2++⨯=故选：BD. 11. 关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值是（ ） x 241x k x x x x-=--k A. B. 0C. 1D. 54-【答案】ABD 【解析】【分析】由方程有意义可得且，并将方程化为；根据方程解集中仅含有一个元素0x ≠1x ≠240x x k +-=可分成三种情况，由此可解得所有可能的值.k【详解】由已知方程得：，解得：且；2100x x x -≠⎧⎨-≠⎩0x ≠1x ≠由得：； 241x k xx x x-=--240x x k +-=若的解集中只有一个元素，则有以下三种情况： 241x k x x x x-=--①方程有且仅有一个不为和的解，，解得：， 240x x k +-=011640k ∴∆=+=4k =-此时的解为，满足题意；240x x k +-=2x =-②方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为；240x x k +-=01由得：，，此时方程另一根为，满足题意； 0400k +⨯-==0k 240x x ∴+=4x =-③方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为；240x x k +-=10由得：，，此时方程另一根为，满足题意； 1410k +⨯-=5k =2450x x ∴+-=5x =-综上所述：或或. 4k =-05故选：ABD12. 已知是函数的零点（其中为自然对数的底数），下列说法正确的是0x ()e 2xf x x =+-e 2.71828= （ ） A. B.C.D.()00,1x ∈()00ln 2x x -=00e0x x --<020e x x ->【答案】ABC 【解析】【分析】根据给定条件确定所在区间，再逐一分析各个选项即可判断作答. 0x 【详解】函数在上单调递增，而，()e 2xf x x =+-R ()00e 210f =-=-<， 12113(e 20222f =+-=->而是方程的零点，则，即，A 正确；0x ()e 2xf x x =+-01(0,)2x ∈()00,1x ∈由得：，整理得：，B 正确；()00f x =002e xx -=00)n(2l x x -=因，且在上单调递增,则有，C 正确; 0102x <<e x y x -=-10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭001e 02xx --<<当，，则， D 不正确. 0102x <<021x ->02001xx x -<<故选：ABC .三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知命题：，为假命题，则实数的取值范围是______. p R x ∀∈220x x λ-+≥λ【答案】或λ<-λ>【解析】【分析】利用给定条件为假命题，说明有解，结合二次函数图象可得答案. 220x x λ-+<【详解】因为，为假命题，所以有解， R x ∀∈220x x λ-+≥220x x λ-+<所以，解得或280λ->λ<-λ>故答案为：或λ<-λ>14. 某厂生产A ，B 两种充电电池.现采用分层随机抽样从某天生产的产品中抽取样本，并分别计算所抽取的A ，B 两种产品的样本可充电次数的均值及方差，结果如下：则由20个产品组成的总样本的平均数为______；方差为______. 【答案】 ①. 204 ②. 28【解析】【分析】结合平均数与方差的概念推导即可求解.【详解】设A 产品可充电次数分别为：，A 产品可充电次数平均数为，方差为，B 产品1238,,,a a a a a 21s 可充电次数分别为，B 产品可充电次数平均数为，方差为，则，12312,,,,b b b b b 22s 8182101680ii a==⨯=∑，()()()22222118148s a aa aa a ⎡⎤=-+-++-=⎢⎥⎣⎦即，，()2221281288232a a a a a a a a ++++-+++= 222128832a a a a +++-= ，2222128328352832a a a a +++=+=同理，，121200122400i i b ==⨯=∑()()()2222212121412s b b b bb b ⎡⎤=-+-++-=⎢⎥⎣⎦即，()21222211222112248b b b b b b b b +-++++++= ，222121224812480048b b b b =+++=+ 则20个产品组成的总样本的平均数： ， ()()128121211168024002042020x a a a b b b =+++++++=+= 方差为：()()()()()()22222221281212120s a x axa xb x bxb x ⎡⎤=-+-++-+-+-++-=⎢⎥⎣⎦()221228122222221218112120220x x a a a b b b a a a b b b ⎡⎤++-+++++++⎣⎦++++++ ()2222222212811212020a a ab b x b =++-+++++ ()21352832480048202042820=+-⨯=故答案为：204；2815. 实数，满足，则的最小值是______.a b 22431a b b +=22a b +【解析】【分析】根据条件可得，代入，结合基本不等式求解. 42213b a b-=22a b +【详解】因为，所以， 22431a b b +=42213b a b-=所以 22221233b a b b +=+≥=当且仅当时，等号成立； 22a b ==. 16. 函数是定义在上的偶函数，且，若对任意两个不相等的正数，()f x {}R0x x ∈≠∣()11f =-1x 2x ，都有，则不等式的解集为______.()()2112121x f x x f x x x ->-()102f x x +<-【答案】 ()(),11,2∞--⋃【解析】【分析】设，则由可得，即在120x x >>()()2112121x f x x f x x x ->-()()121211f x f x x x ++>()()1f xg x x+=上单调递增，然后得出的奇偶性和取值情况，然后分、、三种情况解()0,∞+()g x 2x >02x <<0x <出不等式即可.【详解】设，则由可得120x x >>()()2112121x f x x f x x x ->-()()211212x f x x f x x x ->-所以，所以 ()()12122111f x f x x x x x ->-()()121211f x f x x x ++>所以可得在上单调递增()()1f x g x x+=()0,∞+因为函数是定义在上的偶函数， ()f x {}R0x x ∈≠∣所以函数是定义在上的奇函数 ()g x {}R0x x ∈≠∣因为，所以，()11f =-()10g =所以当或时，当或时， 10x -<<1x >()0g x >1x <-01x <<()0g x <所以由可得当时，，，此时无解()102f x x +<-2x >()10f x +<()()10f x g x x+=<当时，，，此时.02x <<()10f x +>()()10f x g x x+=>12x <<当时，，，所以0x <()10f x +>()()10f x g x x+=<1x <-综上：不等式的解集为.()102f x x +<-()(),11,2∞--⋃故答案为：.()(),11,2∞--⋃四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数的定义域为集合，集合. ()()2lg 3f x x x=-A 313a B x x a -⎧⎫=≤≤+⎨⎬⎩⎭（1）若，求； 0a =A B ⋃（2）“”是“”的充分不必要条件.求实数的取值范围.x A ∈x B ∈a 【答案】（1） {}13x x -≤<（2）{}23a a ≤≤【解析】【分析】（1）先化简集合然后用并集的定义即可求解；,,A B （2）利用题意可得到 ，然后列出对应不等式即可A B 【小问1详解】由题意集合，{}{}23003A x x x x x =->=<<当时，，0a ={}11B x x =-≤≤所以{}13A B x x ⋃=-≤<【小问2详解】因为“”是“”的充分不必要条件，所以 ，x A ∈x B ∈A B 因为，， {}03A x x =<<313a B x x a -⎧⎫=≤≤+⎨⎬⎩⎭所以，解得，30313a a -⎧≤⎪⎨⎪+≥⎩23a ≤≤所以实数的取值范围是. a {}23a a ≤≤18. 为普及消防安全知识，某学校组织相关知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；4535在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，，甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. 2334（1）甲在比赛中恰好赢一轮的概率；（2）从甲、乙两人中选1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？（3）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.【答案】（1） 25（2）派甲参赛获胜的概率更大（3） 223300【解析】【分析】（1）根据独立事件的乘法公式计算即可；（2）利用独立事件的乘法公式分别求出甲乙赢的概率，据此即可得出结论；（3）先求出两人都没有赢得比赛，再根据对立事件的概率公式即可得解.【小问1详解】设“甲在第一轮比赛中胜出”，“甲在第二轮比赛中胜出”，1A =2A =“乙在第一轮比赛中胜出”，“乙在第二轮比赛中胜出”，1B =2B =则，，，相互独立，且，，，， 1A 2A 1B 2B ()145P A =()223P A =()135P B =()234P B =设“甲在比赛中恰好赢一轮”C =则； ()()()()121212124112625353155P C P A A A P A A P A =+=+=⨯+⨯==【小问2详解】因为在两轮比赛中均胜出赢得比赛，则“甲赢得比赛”，“乙赢得比赛”，12A A =12B B =所以， ()()()12124285315P A A P A P A ==⨯=， ()()()12123395420P B B P B P B ==⨯=因为，所以派甲参赛获胜的概率更大； 891520>【小问3详解】设“甲赢得比赛”，“乙赢得比赛”，D =E =于是“两人中至少有一人赢得比赛”，D E = 由（2）知，， ()()12815P D P A A ==()()12920P E P B B ==所以， ()()87111515P D P D =-=-=， ()()911112020P E P E =-=-=所以. ()()()()7112231111520300P D E P DE P D P E =-=-=-⨯= 19. 已知函数是奇函数. ()321x a f x =-+（1）求的值； a （2）判断在上的单调性，并证明；()f x R （3）求关于的不等式的解集. x ()()2251240f x x f x --+-<【答案】（1）6（2）单调递增，证明见解析 （3） 5|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义即可求的值；a （2）判断函数在的定义取值、作差、变形、定号、下结论即可证明单调性； R （3）结合函数的奇偶性与单调性，可将不等式转化为一元二次不等式即可得解集.【小问1详解】由函数是奇函数 ()()3R 21x a f x x =-∈+所以即， ()()f x f x -=-332121x x a a -⎛⎫-=-- ⎪++⎝⎭化简可得，解得. 262121x x x a a ⋅+=++6a =【小问2详解】函数在上单调递增，理由如下：()f x R 在上任取两个实数，，设，R 1x 2x 12x x <则 ()()()()()1212211212622666633212121212121x x x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---=-= ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭因为，所以，所以，，，12x x <12022x x <<12220x x -<1210x +>2210x +>所以，即，()()120f x f x -<()()12f x f x <所以在上单调递增.()f x R 【小问3详解】由得， ()()2251240f x x f x --+-<()()225124f x x f x --<--由得，所以 ()()f x f x -=-()()2424f x f x --=-+()()225124f x x f x --<-+又在上单调递增，在恒成立，()f x R 225124x x x --<-+R 即，解得， 22350x x --<512x -<<所以原不等式解集为. 5|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭20. 在中，点，分别在边和边上，且，，交于点，ABC A D E BC AB 2DC BD =2BE AE =AD CE P 设，. BC a = BA b =（1）若，试用，和实数表示；EP tEC = a b t BP （2）试用，表示； a b BP（3）在边上有点，使得，求证：，，三点共线.AC F 5AC AF = B P F 【答案】（1） ()213BP ta t b =+- （2） 1477BP a b =+ （3）证明见解析【解析】【分析】(1)根据向量加减法运算即可;(2)根据向量的数量关系及向量加减法表示;(3)应用向量共线且有公共点证明即可.【小问1详解】由题意，所以， 2233BE BA b == 23EC EB BC a b =+=- ① ()2221333BP BE EP BE tEC b t a b ta t b ⎛⎫=+=+=+-=+- ⎪⎝⎭ 【小问2详解】设，由，， DP k DA = 1133BD BC a == 13DA DB BA b a =+=- ② ()1111333BP BD DP a k b a k a kb ⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭ 由①、②得，， ()()211133ta t b k a kb +-=-+ 所以，解得，所以； ()()113213t k t k ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩1747t k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1477BP a b =+ 【小问3详解】由，得，所以， AC a b =- ()1155AF AC a b ==- 1455BF BA AF a b =+=+ 所以，因为与有公共点，所以，，三点共线. 75BF BP = BF BP B B P F 21. 某学习小组在社会实践活动中，通过对某种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足（()P x x ()1k P x x=+k 为正常数），该商品的日销售量（单位：个）与时间部分数据如下表所示： ()Q x x (天) x 510 15 20 25 30 (个)()Q x 55 60 65 70 65 60 已知第10天该商品的日销售收入为72元.（1）求的值；k（2）给出以下二种函数模型：①，②，请你根据上表中的数据，从中()Q x ax b =+()20Q x a x b =-+选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间的关系，并求出该函数的解析式； ()Q x x （3）求该商品的日销售收入（，）（单位：元）的最小值.()f x 130x ≤≤*x ∈N 【答案】（1）2（2）(，) ()2070Q x x =--+130x ≤≤*x ∈N （3）64元【解析】【分析】(1)利用日销售收入等于日销售价格乘以日销售量列式计算即得.()P x ()Q x (2)由表中数据知，当时间变化时，日销售量有增有减不单调，选择模型②，再从表中任取两组值列式计算即可.(3)利用(2)的信息求出函数的解析式，再分段求出最值即可作答.()f x 【小问1详解】依题意，该商品的日销售收入，因第10天该商品的日销售收入为72元，()()()f x P x Q x =⋅则，即，解得， (10)(10)(10)f P Q =⋅(1)607210k +⨯=2k =所以的值是2.k 【小问2详解】由表中数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，则选择模型， ()20Q x a x b =-+从表中任取两组值，不妨令，解得，即，显然表中(10)1060(20)70Q a b Q b =+=⎧⎨==⎩170a b =-⎧⎨=⎩()2070Q x x =--+其它各组值均满足这个函数，所以该函数的解析式为(，).()2070Q x x =--+130x ≤≤*x ∈N 【小问3详解】由(1)知， ，由(2)知，2()1,130,N P x x x x*=+≤≤∈， ()50,120,N 207090,2030,N x x x Q x x x x x **⎧+≤≤∈=--+=⎨-+<≤∈⎩于是得， 10052,120,N ()()()18088,2030,N x x x x f x P x Q x x x x x **⎧++≤≤∈⎪⎪=⋅=⎨⎪-++<≤∈⎪⎩当时，在上单调递减，在上单调递增，当120,N x x *≤≤∈100()52f x x x=++[1,10][10,20]10x =时，取得最小值(元)，()f x (10)72f =当时，在上单调递减，当时，取得最小值2030,N x x *<≤∈180()88f x x x=-++(20,30]30x =()f x (元)，(30)64f =显然，则当，时，(元)，7264>130x ≤≤*x ∈N min ()(30)64f x f ==所以该商品的日销售收入的最小值为64元.22. 函数且，函数 . ()3x f x =(2)18f a +=()34ax xg x =-（1）求的解析式；()g x （2）若关于的方程在区间上有实数根，求实数的取值范围； x ()80xg x m -⋅=[]22-,m （3）设的反函数为，，若对任意()3x f x =()()()()23,[]log p x h x p x p x x λ=-++()21x x ϕλλ=+-的，均存在，满足 ，求实数的取值范围.1x ⎤∈⎦[]21,1x ∈-()()12h x x ϕ≤λ【答案】（1）()24x x g x =-（2）1,124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（3）)5⎡-+∞⎣【解析】【分析】（1）直接根据解得即可；(2)18f a +=32a =（2）含有参数的方程有实数根，分离参数然后求得在上的值域即可； m 222x x m --=-[]22-,（3）将问题转化为恒成立，然后根据参数的取值范围进行分类讨论，先求得()()12max h x x ϕ≤λ()2x ϕ的最大值，然后转化为恒成立问题即可【小问1详解】由，可得：(2)18f a +=2318a +=解得：32a =则有： ()24x xg x =-故的解析式为： ()g x ()24x xg x =-【小问2详解】由，可得： ()80xg x m -⋅=222x x m --=-不妨设2x t -=则有： 221124m t t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭又22x -≤≤则有： 144t ≤≤故当时，取得最小值为；当时，取得最大值为 1t =m 14-4t =m 12故 1124m -≤≤故实数的取值范围为： m 1,124⎡⎤-⎢⎣【小问3详解】的反函数为：()3x f x =()3log p x x =若对任意的，均存在，满足1x ⎤∈⎦[]21,1x ∈-()()12h x x ϕ≤则只需：恒成立()()12max h x x ϕ≤()()()23[]log h x p x p x x λ=-++不妨设，则设 3log x b =()()21b s b b λ=-++，则 1x ⎤∈⎦122b ≤≤在上可分如下情况讨论：()21x x ϕλλ=+-[]21,1x ∈- 当时，，此时，不满足恒成立 0λ=()1x ϕ=-()2s b b b =-+()()12max h x x ϕ≤②当时，，此时只需：在上恒成立 0λ<()()1max 11x ϕϕλ=-=-()211b b λλ-++≤-122b ≤≤则只需：在上恒成立 ()2110b b λλ++-≥-1,22b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则只需：时，不等式成立 12b =()2110b b λλ++-≥-解得：，与矛盾； 52λ≥0λ<③当时，，此时，只需保证：0λ>()()1max 131x ϕϕλ==-()2131b b λλ-++≤-则只需：在上恒成立 ()21310b b λλ++-≥-1,22b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦当时，只需保证：当时，成立 122λ+≤12b λ+=()21310b b λλ++-≥-则有：21050λλ-+≤解得：55λ-≤≤+又，故有： 122λ+≤53λ-≤≤当时，只需保证：当时，成立 122λ+>2b =()21310b b λλ++-≥-此时解得：1λ>-又故有：122λ+>3λ>故当时，0λ>5λ≥-综上所述，解得：实数的取值范围为：λ)5⎡-+∞⎣【点睛】结论：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数 ， ， ，，则有： ()y f x =[],x a b ∈()y g x =[],x c d ∈（1）若 ，， 恒成立， ； []1,x a b ∀∈[]2,x c d ∀∈()()12f x g x ≤()()12max min f x g x ≤（2）若 ，， 能成立，[]1,x a b ∀∈[]2,x c d ∃∈()()12f x g x ≤()()12max max f x g x ≤。
辽宁省抚顺市六校2024_2025学年高一数学上学期期末考试试题
辽宁省抚顺市六校2024-2025学年高一数学上学期期末考试试题考试时间：120分钟 试卷满分：150分第I 卷(共60分)一、选择题(1－10为单选题(每题5分)，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.11－12为多选题(每题5分)，在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
将答案填在答题纸相应位置上。
)1、已知集合A ＝{x|－1<x<2}，B ＝{x|x<－4或x>1}，则A ∪B ＝A 、{x|x<－4或x>2}B 、{x|x<－4或x>1}C 、{x|1<x<2}D 、{x|x<－4或x>－1}2、函数ln(1)()2x f x x +=-的定义域 A 、(－1，＋∞) B 、(－1，2)∪(2，＋∞) C 、(－1，2) D 、[－1，2)(2，＋∞)3、一组数据的平均数为x ，方差为s 2，将这组数据的每个数都乘以a(a>0)得到一组新数据，则下列说法正确的是A 、这组新数据的平均数为xB 、这组新数据的平均数为a ＋xC 、这组新数据的方差为as 2D 、这组新数据的标准差为a 2s 4、下列函数中，满意f(xy)＝f(x)·f(y)的单调递增函数是A 、f(x)＝x 3B 、31()f x x=- C 、f(x)＝log 3x D 、f(x)＝3x 5、在同始终角坐标系中，函数f(x)＝x a (x ≥0)，g(x)＝－log a x 的图像可能是6、已知f(2x ＋1)＝3x －2，若a 是函数y ＝f(x)－4的一个零点，则a 的值为A 、2B 、5C 、143 D 、12- 7、设a ＝0.66， b ＝60.6， c ＝log 0.66，则a ，b ，c 的大小关系是A 、a<c<bB 、a<b<cC 、c<b<aD 、c<a<b8、已知a>b>0，下列不等式中正确的是A 、c c a b >B 、ab<b 2C 、－a 2<－abD 、1111a b <-- 9、某射击运动员射击一次命中目标的概率为p ，已知他独立地连续射击三次，至少有一次命中的概率为3764，则p 为A 、14B 、34C 10、定义在R 上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，若f(－1)＝2，且f(x －2)≤2，则x 的取值范围是A 、[1，3]B 、(1，3)C 、[1，＋∞)D 、[3，＋∞)11、若“∀x ∈M ，|x|>x ”为真命题，“∃x ∈M ，x>3”为假命题，则集合M 可以是A 、(－∞，－5)B 、(－3，－1]C 、(3，＋∞)D 、[0，3]12、下列结论中正确的是A 、已知函数f(x)的定义域为R ，且f(x)在任何区间内的平均改变率均比g(x)＝2在同一区间内的平均改变率小，则函数f(x)在R 上是减函数；B 、已知总体的各个个体的值由小到大依次为2，3，3，7，10，11，12，a ，18，20，且总体的平均数为10，则这组数的75%分位数为13；C 、方程log 5(2x ＋1)＝log 5(x 2－2)的解集为{－1，3}；D 、一次函数y ＝kx ＋b(k ≠0)肯定存在反函数。
辽宁高一上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．设，则“”是“”的（ ） x ∈R 0x <()ln 10x +<A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】解出，然后判断即可 ()ln 10x +<【详解】因为， ()ln 10x +<所以01110x x <+<⇒-<<由为的真子集， {|10}x x -<<{|0}x x <所以“”是“”的必要不充分条件 0x <()ln 10x +<故选：B.2．已知向量，则（ ）()()1,23,5a b -= =，2a b += A ．(4，3) B ．(5，1) C ．(5，3) D ．(7，8)【答案】B【分析】根据向量的坐标运算即得. 【详解】∵， ()()1,23,5a b -==，∴．()()()221,23,55,1a b +=-+=故选：B. 3．若，，，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） 0.15a =21log 32b =3log 0.8c =A ．a >b >c B ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b【答案】A【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，借助0,1比较大小即可.【详解】，且，0.1551a =>= 1222log 3log 0b ==>22log log 1b =<=，， 33log 0.8log 10c =<=c b a ∴<<故选：A4．定义在R 上的偶函数在上单调递增，，，，则a ，()f x [)0,∞+()ln 3a f =32b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()1c f =b ，c 的大小关系为（ ） A ．B ． a b c ＞＞b c a ＞＞C ．D ．a cb ＞＞b ac ＞＞【答案】D【分析】先根据奇偶性把自变量全部转到 上，再比较 与 的大小关系，再根据单调[)0,∞+ln 332性判断.【详解】，又，即，即，所以， ln 3ln e 1>=233e <323e <3ln 32<31ln 32<<因为为偶函数，所以，又在上单调递增，()f x 3322f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x [)0,∞+所以．即；()()31ln 32f f f <⎛⎫< ⎪⎝⎭b ac ＞＞故选：D ．5．如图，在正六边形ABCDEF 中，点O 为其中心， 则下列判断错误的是A ．B ．∥AB OC = AB DEC ．D ．AD BE = AD FC = 【答案】D【详解】根据正六边形的性质及向量相等的概念易知，∥且，∴选项AB OC = AB DEAD BE = A 、B 、C 正确，故选D6．据某地区气象局发布的气象数据，未来某十天内该地区每天最高温度（单位：℃）分别为：31，29，24，27，26，25，24，26，26，23，则这组数据的第40百分位数为（ ） A ．27 B ．26.5C ．25.5D ．25【答案】C【分析】先将所给数据按 小到大排序，再根据百分位数的定义求第40百分位数.【详解】先将这些数据按照从小到大进行排序，分别为23，24，24，25，26，26，26，27，29，31，又，所以该组数据的第40百分位数为排序后的数列的第4个数和第5个数的平均数，1040%4⨯=即， 252625.52+=故选：C ．7．某篮球运动员练习罚篮，共20组，每组50次，每组命中球数如下表： 命中球数 46 47 48 49 50 频数 24464则这组数据的中位数和众数分别为（ ）A ．48，4 B ．48.5，4C ．48，49D ．48.5，49【答案】D【分析】根据中位数和众数的定义即可求解. 【详解】数据总个数为20个，因此中位数是第10个与第11个数据的中位数，即， 484948.52+=众数为出现最多的数据，即数据49（出现6次）， 故选：D. 8．若，，，则事件与的关系是（ ）()16P AB =()13P A =()14P B =A B A ．互斥 B ．相互独立 C ．互为对立 D ．无法判断【答案】B【分析】利用独立事件，互斥事件和对立事件的定义判断即可 【详解】解：因为，所以，又，所以事件与事件不对立，()13P A =()23P A =()14P B =A B 又因为，所以有，所以事件与相互独立但不一定互斥. ()16P AB =()()()P AB P A P B =A B 故选：B二、多选题9．已知向量，若，则以下结论正确的是（ ）()(),2,1,1a m b m ==+ a bA A ．时与同向B ．时与同向1m =a b1m =-a bC ．时与反向D ．时与反向2m =a b2m =-a b【答案】AD【分析】由共线向量的坐标运算求出或，代入判断与的方向即可. 1m =2m =-a b【详解】解：，则即或，a b∥()12m m +=1m =2m =-当时，与的方向相同，故A 成立； 1m =()()1,2,1,2,,a b a b a === b当时，与的方向相反，故D 成立. 2m =-()()2,2,1,1,2,a b a b a =-=-=-b 故选:AD.10．已知函数，设命题p ：对任意，的定义域与值域都相同．下()f x =(0,)m ∈+∞()f x 列判断正确的是（ ） A ．p 是真命题B ．p 的否定是“对任意的定义域与值域都不相同” (0,),()m f x ∈+∞C ．p 是假命题D ．p 的否定是“存在，使得的定义域与值域不相同” (0,)m ∈+∞()f x 【答案】AD【分析】由（）解得函数的定义域，再根据240x mx -+≥0m >()f x）求得函数的值域，即可判断选项A 、()f x ==04m x ≤≤()f x C ；再由命题的否定得到p 的否定即可判断选项B 、D.【详解】函数的定义域为，()f x {}2|40x x mx -+≥又，所以函数的定义域为，(0,)m ∈+∞()f x |04m x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭设（），()24t x x mx =-+04m x ≤≤则，当时，，()224816m m t x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭04m x ≤≤()2016m t x ≤≤此时，函数，()0,4m f x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦由上知，当时，函数的定义域与值域均为，(0,)m ∈+∞()f x 0,4m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以p 是真命题，且p 的否定是“存在，使得的定义域与值域不相同”． (0,)m ∈+∞()f x 故选：AD.11．2022年夏天，我国部分地区迎来罕见的高温干旱天气，其特点是持续时间长、范围广、强度大、干旱少雨、极端性强．中央气象局国家气象中心发布的统计数据显示，本次高温热浪的综合强度，已达1961年有完整气象记录以来最强．某地气象部门统计当地进入8月份以来（8月1日至8月10日）连续10天中每天的最高温和最低温，得到如下的折线图：根据该图，关于这10天的气温，下列说法中正确的有（ ） A ．最高温的众数为37℃ B ．最高温的平均值为37.9℃ C ．第9天的温差最小 D ．最高温的方差大于最低温的方差【答案】AB【分析】根据折线图一一判断.【详解】对于A ．最高温37℃出现4次，所以最高温的众数为37℃，A 正确． 对于B ．，所以B 正确； ()13837373938393837393737.9C 10x =+++++++++=︒对于C ．第9天的温差为8℃．而第2和8天的温差为7°C ，所以C 不正确；对于D ．最高温的波动比最低温小，所以最高温的方差小于最低温的方差，所以D 不正确． 故选：AB ．12．已知函数，则下列关于函数的性质说法正确的是（ ） ()1e 1exxf x -=+()f x A ．在区间的值域为 ()f x []01，1e ,01e -⎡⎤⎢⎥+⎣⎦B ．为奇函数()f x C ．在区间上存在零点 ()()1g x f x x =--()1,0-D ． ()01f =【答案】ABC【分析】A.首先函数变形为，再根据函数的定义域求值域； ()211e xf x =-++B.根据奇函数的定义，即可判断； C.根据零点存在性定理，即可判断；D.代入，即可求解.0x =【详解】A.,， ()()e 121e 211e 1e 1e x x x x xf x -++-===-++++[]0,1x ∈，则，则，故A 正确； []1e 2,1e x +∈+22,11e 1e x ⎡⎤∈⎢⎥++⎣⎦21e 1,01e 1e x -⎡⎤-+∈⎢⎥++⎣⎦B.函数的定义域为，，所以函数是奇函数，R ()()1e e 11e 1e x x x x f x f x -----===-++()f x 故B 正确；C.，，并且函数在区间上连续，所以根据零点()111e 11101e g ----=+->+()()00010g f =--<()1,0-存在定理可知，函数在区间上存在零点，故C 正确； ()1,0-D.，故D 错误.()01e 001e f -==+故选：ABC三、填空题13．某校共有学生480人；现采用分层抽样的方法从中抽取80人进行体能测试；若这80人中有30人是男生，则该校女生共有___________. 【答案】人##300300【分析】根据人数占比直接计算即可. 【详解】该校女生共有人. 803048030080-⨯=故答案为：人.30014．已知向量，，若A ，B ，C 三点共线，则____________． ()3,24AB m =- ()2,4BC =m =【答案】5【分析】由向量共线的坐标表示求解.【详解】由A ，B ，C 三点共线知，则，解得． //AB BC()34242m ⨯=-⨯5m =故答案为：5．15．已知函数，则函数的零点为__________.()20log ,0x f x x x x ≤=+>⎪⎩()3y f x =-【答案】和8-2【分析】分和两种情况讨论，通过解方程或结合函数单调性处理零点问题. 0x ≤0x >【详解】当时，令，解得；0x ≤()330y f x =-==8x =-当时，则在上单调递增，且， 0x >()23log 3y f x x x =-=+-()0,∞+2|0x y ==故在内有且仅有一个零点2； ()3y f x =-()0,∞+综上所述：函数的零点为和. ()3y f x =-8-2故答案为：和.8-216．函数的图像恒过定点，若点在直线上，其中，则()log 41a y x =+-A A 10mx ny ++=0mn >的最小值为___________. 11m n+【答案】4+4+【分析】先求出定点，再将点代入直线中，结合基本不等式即可求解. A A 【详解】解：函数的图像恒过定点 ()log 41a y x =+-A 所以()3,1A --又点在直线上 A 10mx ny ++=所以，即310m n --+=31m n +=()111111134443m n m n m n m n m n n m ⎛⎫⎛⎫+=+⨯=+⋅+=++≥+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当时，取等号. 3n m nm=所以的最小值为 11m n+4+故答案为：.4+四、解答题17．在△中，延长到，使，在上取点，使与交于，OAB BA C AC BA =OB D 13DB OB DC =，OA E 设，用表示向量及向量.OA a OB b == ，a b，OC DC【答案】；2OC a b =-523DC a b =-【分析】用平面基底向量表示向量，结合平面向量的线性运算求解.【详解】∵A 是的中点，则， BC ()2222OC OB BC OB BA OB OA OB OA OB a b =+=+=+-=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r u u r u u u r u u r u u u r r r 故，2OC a b =-，22522333DC OC OD OC OB a b b a b =-=-=--=- 故.523DC a b =- 18．已知幂函数为奇函数.()()23122233m m f x m m x++=-+(1)求函数的解析式；()f x (2)若，求的取值范围.()()132f a f a +<-a 【答案】(1)()3f x x =(2)2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题意得出，求得或，代入解析式，结合为奇函2331m m -+=1m =2m =()f x 数，即可求解；（2）由（1）得到在上为增函数，不等式转化为，即可求解. ()f x R 132a a +<-【详解】（1）解：由题意，幂函数，()()23122233m m f x m m x++=-+可得，即，解得或， 2331m m -+=2320m m -+=1m =2m =当时，函数为奇函数，1m =()311322f x x x ++==当时，为非奇非偶函数，2m =()21152322f x xx ++==因为为奇函数，所以.()f x ()3f x x =（2）解：由（1）知，可得在上为增函数，()3f x x =()f x R 因为，所以，解得， ()()132f a f a +<-132a a +<-23<a 所以的取值范围为.a 2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭19．函数的定义域为.()1423x x f x +=-+11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦（1）设，求t 的取值范围； 2x t =（2）求函数的值域.()f x【答案】（1）（2）. t ∈2,5⎡-⎣【分析】（1）由题意，可先判断函数，单调性，再由单调性求出函数值的取值范2x t =11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦围即可；（2）由于函数是一个复合函数，可由，将此复合函数转化为二次函数()1423x x f x +=-+2x t =，此时定义域为，求出二次函数在这个区间上的值域即可得到函数()223g t t t =-+t ∈的值域.()f x 【详解】（1）在上单调递增2x t = 11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.t ∴∈（2）函数可化为：， ()y f x =()223g t t t =-+t ∈在上单调递减，在上单调递增 ()y g t = ⎤⎥⎦⎡⎣比较得，g g<，()()12min f x g ∴==()5max f x g ==-所以函数的值域为.25⎡-⎣，【点睛】本题考查了对数函数的值域的求法，对数函数与一元二次函数组成的复合函数的值域的求法，解题的关键是熟练掌握指数函数的性质与二次函数的性质，本题的重点在第二小题，将求复合函数的值域转化为求两个基本函数的值域，先求内层函数的值域再求外层函数的值域，即可得到复合函数的值域，求复合函数的值域问题时要注意此技能使用.20．公司检测一批产品的质量情况，共计件，将其质量指标值统计如下所示.1000(1)求的值以及这批产品质量指标的平均值以及方差；(同组中的数据用该组区间的中点值表a x 2s 示)(2)若按照分层抽样的方法在质量指标值为的产品中随机抽取件，再从这件中任取[)185,205553件，求至少有件产品的质量指标在的概率. 2[)195,205【答案】(1)，， 0.002a =200x =2150s =(2) 710【分析】（1）根据频率和为1计算得到，根据公式计算平均值和方差即可.0.002a =（2）根据分层抽样的比例关系得到各层的个数，列举出所有情况，统计满足条件的情况，得到概率.【详解】（1），解得； ()100.0090.0220.0330.0240.0081a a ++++++=0.002a =；1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯200= ()()()22221702000.021802000.091902000.22s =-⨯+-⨯+-⨯.()()()2222102000.242202000.082302000.02150+-⨯+-⨯+-⨯=（2）由分层抽样可知，质量指标在的产品中抽个，记为； [)185,19522052550⨯=A B ，在的产品中抽个，记为，则任取个，[)195,20531,2,33所有的情况为，共()()()()()()()()()(),,1,,,2,,,3,,1,2,,1,3,,2,3,,1,2,,1,3,,2,3,1,2,3A B A B A B A A A B B B 种，10其中满足条件的为，共种， ()()()()()()(),1,2,,1,3,,2,3,,1,2,,1,3,,2,3,1,2,3A A A B B B 7故所求概率. 710P =21．乒乓球比赛规则规定，一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球． （I ） 求开球第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（II ） 求开始第5次发球时，甲得分领先的概率．【答案】10.352 20.3072（）（）【分析】本试题主要是考查了关于独立事件的概率的求解，以及分布列和期望值问题．首先要理解发球的具体情况，然后对于事件的情况分析，讨论，并结合独立事件的概率求解结论． 【详解】【点评】首先从试题的选材上来源于生活，同学们比较熟悉的背景，同时建立在该基础上求解进行分类讨论的思想的运用，以及能结合独立事件的概率公式求解分布列的问题．情景比较亲切，容易入手，但是在讨论情况的时候，容易丢情况．22．已知函数，．2()2f x x ax =++R a ∈(1)若不等式的解集为[1，2]，求不等式的解集；()0f x …2()1f x x -…(2)若对于任意的，，不等式恒成立，求实数a 的取值范围；[1x ∈-1]()2(1)4f x a x -+…(3)已知，若方程在有解，求实数a 的取值范围． 2()(2)1g x ax a x =+++()()f x g x =1(,3]2【答案】(1)，， (-∞1[12)∞+(2) 13a ≤(3)[0，1）．【分析】（1）根据不等式的解集转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系求出，然后解一a 元二次不等式即可；（2）问题转化为在，恒成立，令，，，根据函数的单调性求出222x a x --…[1x ∈-1]22()2x h x x -=-[1x ∈-1]的范围即可； a （3）利用参数分离法进行转化求解即可．【详解】（1）解：若不等式的解集为，，()0f x …[12]即1，2是方程的两个根，220x ax ++=则，即，123a +=-=3a =-则，由得，2()32f x x x =-+2()1f x x -...22321x x x -+-...即得，得或， 22310x x -+...(21)(1)0x x --...1x (12)x …即不等式的解集为，，．(-∞1][12 )∞+（2）解:不等式恒成立，()2(1)4f x a x -+…即在，恒成立， 222x a x --…[1x ∈-1]令，，， 22()2x h x x -=-[1x ∈-1]则， 2242()(2)x x h x x -+'=-令，解得：，()0h x '=2x =故在，递增，在，递减，()h x [1-2(21]故（1）或，()min h x h =1()h -而（1），，h 1=1(1)3h -=故． 13a …（3）解：由得，()()f x g x =22(2)12ax a x x ax +++=++，即，2(1)210a x x ∴-+-=2(1)12a x x -=-若方程在，有解，等价为有解， ()()f x g x =1(23]2212121x a x x x--==-设， 22121()(1)1h x x x x =-=--，，，， 1(2x ∈ 3]∴11[3x ∈2)即，即，则， 1()0h x -<…110a --<…01a <…即实数的取值范围是，．a [01)。
辽宁省沈阳市东北育才学校2022-2023学年高一上学期期末数学试题
2022-2023学年度上学期东北育才高中部高一数学期末考试试卷第I 卷（选择题，共60分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合(){},20A x y x y =+-=，(){},40B x y x y =--=，则A B = （）A ．()3,1-B ．{}3,1-C ．3x =，1y =-D ．(){}3,1-2．若,R a b ∈且0ab ≠.则2211a b >成立的一个充分非必要条件是（）A ．0a b >>B ．b a>C ．0b a <<D ．()0ab a b -<3．某中学举行运动会，有甲､乙､丙､丁四位同学参加100米短跑决赛，现将四位同学随机地安排在1,2,3,4这4个跑道上，每个跑道安排一名同学，则甲不在1跑道且乙不在4跑道的概率为（）A ．12B ．712C ．23D ．344．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，已知3,,AE EF AB a AD b === ，则AE =（）A ．1292525a b+ B ．16122525a b+C ．4355a b+D ．3455a b+5．命题“*R,N x n ∀∈∃∈，使得n x ≤”的否定形式是（）A ．*R,N x n ∀∈∃∈，使得n x >B ．R,N ,x n *∀∈∀∈都有n x >C ．*R,N x n ∃∈∃∈，使得n x>D ．R,N x n *∃∈∀∈，都有n x>6．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直观，形无数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”.函数()22411x x f x x ++=+的部分图象大致是（）A ．B ．C ．D ．7．已知实数和b 满足20222023a =，20232022b =．则下列关系式中正确的是（）A ．22log log 1a b +<B ．2a b +<C ．221a b +<D ．224a b +<8．已知O 是ABC ∆内一点，且0OA OB OC ++=，点M 在OBC ∆内（不含边界），若AM AB AC λμ=+ ，则2λμ+的取值范围是A ．51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,2C ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9．已知a 为实数，0a ≠且1a ≠，函数1()1ax f x x -=-，则下列说法正确的是（）A ．当2a =时，函数()f x 的图像关于(1,2)中心对称B ．当1a >时，函数()f x 为减函数C ．函数1()y f x =图像关于直线y x =成轴对称图形D ．函数()f x 图像上任意不同两点的连线与x 轴有交点10．某次智力竞赛的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得10分，部分选对的得5分，有选错的得0分.”已知某选择题的正确答案是CD ，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是（）A ．甲同学仅随机选一个选项，能得5分的概率是12B ．乙同学仅随机选两个选项，能得10分的概率是16C ．丙同学随机选择选项，能得分的概率是15D ．丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是11011．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数．例如：[ 3.2]4-=-，[2.3]2=．已知函数21()122x x f x =-+，则关于函数()[()]g x f x =的叙述中正确的是（）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 在R 上是增函数C ．()g x 是偶函数D ．()g x 的值域是{}1,0-12．已知函数()42log 4,0log ,0241,2x x f x x x x x ⎧+≤⎪=<≤⎨⎪-->⎩，若方程()f x a =有六个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 且123456x x x x x x <<<<<则下列说法正确的是（）A ．()0,1a ∈B ．12343x x x x ++⋅=-C ．()4122341624x x x x x ⎡⎤-++∈⎣⎦⋅D ．()63123,04x f x x x ⎛⎫∈- ⎪+⎝⎭第II 卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设命题p ：函数21()lg()16f x ax x a =-+的定义域是R ；命题q ：不等式39x x a -<对一切正实数x 均成立.如果命题p 和q 有且只有一个是真命题，则实数a 的取值范围是______.14．为了解某企业员工对党史的学习情况，对该企业员工进行问卷调查，已知他们的得分都处在A ，B ，C ，D 四个区间内，根据调查结果得到下面的统计图.已知该企业男员工占35，则下列结论中，正确结论的个数是______.①男、女员工得分在A 区间的占比相同；②在各得分区间男员工的人数都多于女员工的人数；③得分在C 区间的员工最多；④得分在D 区间的员工占总人数的20%.15．已知()33f x x x =+，x 为实数且满足8（r1）3−3≥3−6r1，则()f x 的最大值为___________．16．根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和．现在对直角三角形CDE 按上述操作作图后，得如图所示的图形，若AF AB AD x y =+，则x y -=____________．四、解答题（本大题共70分。
辽宁省沈阳市2022-2023学年高一上学期期末数学试题
2023年沈阳市高中一年级教学质量监测数学第Ⅰ卷（共60分）一，选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1. 集合{}13A x x =<<,{B x y ==,则A B = （ ）A. {}23x x << B. {}23x x ≤< C. {}3x x < D. {}1x x >【结果】B2. 对于任意实数1x ,2x ,则“12x x >”是“3312x x >”（ ）A 充分不必要款件 B. 不要不充分款件 C. 充要款件 D. 既不充分也不必要款件【结果】C3. 若样本1x ,2x ,3x ,…n x 平均数为10,方差为20,则样本125x -,225x -,325x -,…,25n x -地平均数和方差分别为（ ）A. 平均数为20,方差为35B. 平均数为20,方差为40C. 平均数为15,方差为75D. 平均数为15,方差为80【结果】D4. 《九章算术》第七卷“盈不足”：主要讲盈亏问题地一种双假设算法,提出了盈不足,盈适足和不足适足，两盈和两不足这三种类型地盈亏问题,以及若干可通过两次假设化为盈不足问题地一般解法.这种解法传到西方后,产生了极大地影响,在当时处于世界领先地位高中数学教材中就引用了这样一道题“今有人共买羊,人出五,不足四十五：人出七,不足三.问人数，羊价各几何？“译文如下：“今有人合伙买羊,每人出5钱,差45钱。
每人出7钱,差3钱问合伙人数，羊价各是多少？（ ）A 21，105 B. 21，150 C. 24，165 D. 24，171【结果】B5. 设2log 5a =,0.52b =,4log 10c =,则a ,b ,c 地大小关系为（ ）A. b c a<< B. c b a << C. b a c << D. c a b<<【结果】A 6. 若函数()()22f x ax a b x b =+-+是定义在(),22a a --上地偶函数,则223a b f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）的..A. 13 B. 0 C. 1 D. 3【结果】D7. 函数21()21x x f x x -=⋅+地图象大约是（ ）A. B.C. D.【结果】B8. 已知函数()()1,1ln 1,1x x f x x x -+≤⎧=⎨->⎩,则函数()()2g x f f x ⎡⎤⎣⎦=-地零点个数为（ ）A. 3B. 4C. 2D. 1【结果】A 二，选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出地四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对地得5分,有选错地得0分,部分选对地得2分.9. 先后抛掷质地均匀地硬币两次,下面表达正确地有（ ）A. 样本空间中一共含有4个样本点B. 事件“至少一次正面向上”与事件“至少一次背面向上”是互斥事件C. 事件“至少一次正面向上”与事件“两次背面向上”是对立事件D. 事件“一次正面向上一次背面向上”发生地概率是12【结果】ACD10. 最近,EDG 电子竞技俱乐部首次夺得英雄联盟全球总决赛冠军地消息在网络上轰动一时,这是对电子竞技体育主流价值地一种认可,也是一场集体地自我证明,电竞并不等同于打游戏,其需要很强地责任心和自律精神,我国体育总局已经将电子竞技项目列为正式体育竞赛项目现某公司推出一款全新电子竞技游戏,下面雷达图给出该游戏中3个人物地5种特征思路.则下面表达正确地是：（ ）A. 小轲生命值低,却法力，防衡力，移动速度都很出色,适合快速进攻B. 小娜地各项特征均衡,组队进攻时,可以弥补小轲地弱点C. 小班地生命值比小轲大,所以游戏中一定比小轲活得久D. 假如进行一对一对抗赛,小班比小娜地胜率大【结果】AB11. 如图所示,已知P ,Q ,R 分别是ABC 三边地AB ,BC ,CA 地四等分,假如AB a = ,AC b =,以下向量表示正确地是（ ）A. 3142QP a b =-- B. 3142QR a b =-+ C. 1344PR a b =-+ D. BC a b =-【结果】BC 12. 已知直线2y x =-+分别与函数e x y =和ln y x =地图象交于点()11,A x y ,()22,B x y ,则下面表达正确地是（）的A. 122x x += B. 12e e 2e x x +> C. 12e ln 22x x +< D. 12x x <【结果】ABD 第Ⅱ卷（非选择题共90分）三，填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13. 求值:22223log log 32log log 64⎛⎫-+= ⎪⎝⎭____________．【结果】314. 设0a >,0b >,若2a b +=,则416a b +地最小值为______.【结果】1815. 命题“()0,x ∀∈+∞,有关x 地方程210mx x -+=不成立”地否定是真命题,则实数m 地取值范围是______.【结果】14⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，16. 若1122m x m -<≤+（其中m 为整数）,则m 叫做离实数x 最近地整数,记作{}x m =.设函数(){}f x x x =-,则函数()f x 地最大值是______.【结果】12##0.5四，解答题：本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知向量()1,2a =r ,(1,3)=- b ,()4,3c =r .（1）求与6a b +共线地单位向量。
辽宁省沈阳市高一(上)期末数学试卷(含解析)
高一（上）期末数学试卷注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
1. 已知集合，集合，则( ) A ={x|log 2x <1}B ={y|y =2−x }A ∪B =A.B.C.D.(0,+∞)[0,2)(0,2)[0,+∞)2. 设函数的定义域为，则函数的定义域为( ) f(x)(−1,3)g(x)=f(1+x)ln (1−x)A.B. C.D.(−2,1)(−2,0)∪(0,1)(0,1)(−∞,0)∪(0,1)3. 在人类中，双眼皮由显性基因控制，单眼皮由隐性基因控制，当一个人的基因型为A a 或时，这个人就是双眼皮，当一个人的基因型为时，这个人就是单眼皮．随机从父AA Aa aa 母的基因中各选出一个或者基因遗传给孩子组合成新的基因．根据以上信息，则“父母A a 均为单眼皮”是“孩子为单眼皮”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 当时，函数( ) x <0y =x +A. 有最大值B. 有最小值C. 有最大值D. 有最小值−4−4445. 设，，，则( ) a =log 32b =log 64c =log 3e (2e)A.B.C.D.c <b <a a <b <c b <a <c a <c <b 6. 某商场推出抽奖活动，在甲抽奖箱中有四张有奖奖票．六张无奖奖票；乙抽奖箱中有三张有奖奖票，七张无奖奖票．每人能在甲乙两箱中各抽一次，以表示在甲抽奖箱中中奖的A 事件，表示在乙抽奖箱中中奖的事件，表示两次抽奖均末中奖的事件．下列结论中正确B C 的是( )A.B. 事件与事件相互独立 A BC. 与和为D. 事件与事件互斥P(AB)P(C)54%A B7. 我国东汉末数学家赵爽在周髀算经中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后《》人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵副弦图”中，已知，，，则( ) ⃗AE =3⃗EF ⃗AB =⃗a ⃗AD =⃗b ⃗AE=A. B. C. D.8. 已知函数，若互不相等，f(x)={|log 2x|,x >0|x +1|,x ≤0f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=f(x 4)(x 1,x 2,x 3,x 4)则的取值范围是注：函数在上单调递减，在上单x 1+x 2+x 3+x 4(ℎ(x)=x +1x (0,1](1,+∞)调递增( ))A. (−12,0)B. [−12,0]C. [0,12)D.(0,12]9. 若某地区规定在一段时间内没有发生大规模群体病毒感染的标准为“连续天，每天新10增疑似病例不超过人”，根据该地区下列过去天新增疑似病例的相关数据，可以认为该710地区没有发生大规模群体感染的是( )A. 平均数为，中位数为 23B. 平均数为，方差大于 10.5C. 平均数为，众数为 22D. 平均数为，方差为2310. 如图，由到的电路中有个元件，分别标为元件，元件，元件，元件，电流能M N 41234通过元件，元件的概率都是，电流能通过元件，元件的概率都是，电流能否通过各12p 340.9元件相互独立．已知元件，元件中至少有一个能通过电流的概率为，则( )120.96A.B. 元件和元件恰有一个能通的概率为 12C. 元件和元件都通的概率是 340.81D. 电流能在与之间通过的概率为M N 0.950411. 在中，是中线，，则下列等式中一定成立的是( ) △ABC AD ⃗AG =2⃗GD A. ⃗AB +⃗AC =2⃗AD B. ⃗AG=13⃗AB +13⃗ACC.S △ABC =3S △GBC D. ⃗AG=13⃗AB +23⃗AC12. 氡又名氭，是一种化学元素，符号是氡元素对应的单质是氡气，为无色、(Radon)Rn.无臭、无味的惰性气体，具有放射性．已知放射性元素氡的半衰期是天，经天衰变后3.82x 变为原来的且，取，则( )a'(a >0a ≠1)0.8347.64=A. 经过天以后，空元素会全部消失 7.64B. 经过天以后，氡元素变为原来的 15.28C.a =0.834D. 经过天以后剩下的氡元素是经过天以后剩下的氡元素的3.827.6413. 袋子中有四个小球，分别写有“中、华、民、族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”华”两个字都取到才停止．用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生到之间取整数值的随机数，分别用，，，代表“中、华，030123民、族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取三次的结果，经随机模拟产生了以下18组机数：232ㅤ321ㅤ230ㅤ023ㅤ123ㅤ021ㅤ132ㅤ220ㅤ001231ㅤ130ㅤ133ㅤ231ㅤ031ㅤ320ㅤ122ㅤ103ㅤ233由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为______．14. 设，且，则______．2a =5b =m 2a +1b =1m =15. 北京冬奥会期间，吉祥物冰墩墩成为“顶流”，吸引了许多人购买，使一“墩”2022难求．甲、乙、丙人为了能购买到冰墩墩，商定人分别去不同的官方特许零售店购买，若33甲、乙人中至少有人购买到冰墩墩的概率为，丙购买到冰墩墩的概率为，则甲、乙、丙211213人中至少有人购买到冰墩墩的概率为______． 3116. 在中，点为线段上任一点不含端点，若，则△ABC F BC ()⃗AF =x ⃗AB +2y ⃗AC(x >0,y >0)的最小值为______．17. 已知，． ⃗a=(1,0)⃗b =(2,1)当为何值时，与共线；(1)k k ⃗a+⃗b ⃗a −2⃗b 若，且，，三点共线，求的值．(2)⃗AB =⃗a +3⃗b ⃗BC =⃗a −m ⃗b A B C m18. 年月日召开的国务院常务会议明确将进一步推动网络提速降费工作落实，推动201844我国数字经济发展和信息消费，今年移动流量资费将再降以上，为响应国家政策，某通30%讯商计划推出两款优惠流量套餐，详情如下： 套餐名称月套餐费元/月套餐流量/M A 30 3000B506000这两款套餐均有以下附加条款：套餐费用月初一次性收取，手机使用流量一旦超出套餐流量，系统就会自动帮用户充值流量，资费元；如果又超出充值流量，系统再次自2000M 20动帮用户充值流量，资费元，以此类推．此外，若当月流量有剩余，系统将自动2000M 20清零，不可次月使用．小张过去个月的手机月使用流量单位：的频数分布表如下： 50(M)月使用流量分组 [2000,3000] (3000,4000] (4000,5000] (5000,6000] (6000,7000](7000,8000]频数451116122根据小张过去个月的手机月使用流量情况，回答以下几个问题：50若小张选择套餐，将以上频率作为概率，求小张在某一个月流量费用超过元的概(1)A 50率．小张拟从或套餐中选定一款，若以月平均费用作为决策依据，他应订购哪一种套餐？(2)A B 说明理由．19. 已知函数，，其中，且，f(x)=log a x g(x)=log a (2x +m−2)x ∈[1,3]a >0a ≠1m ∈R．若且函数的最大值为，求实数的值．(1)m =5F(x)=f(x)+g(x)2a 当时，不等式在有解，求实数的取值范围．(2)0<a <1f(x)<2g(x)x ∈[1,3]m 20. 甲、乙两人进行围棋比赛，比赛要求双方下满五盘棋，已知第一盘棋甲赢的概率为，由于心态不稳，若甲赢了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率依然为，若甲输了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率就变为已知比赛没有和棋，且前两盘棋都是甲赢． .求第四盘棋甲赢的概率；(1)求比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率．(2)21. 已知定义域为的函数是奇函数．R f(x)=n−3x3+3x +1(1)y=f(x)求的解析式；(2)f(log4x⋅log28x)+f(4−2a)>0a若恒成立，求实数的取值范围．y=f(x)[a,b]x0(a<x0<b)22. 定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足；，则y=f(x)[a,b]x0称函数是上的“平均值函数”，是它的平均值点．(1)y=2x2[−1,1]函数是否是上的“平均值函数”，如果是请求出它的平均值点，如果不是，请说明理由；(2)y=−22x+1+m⋅2x+1+1[−1,1]m现有函数是上的平均值函数，求实数的取值范围．答案和解析1.【答案】D 【解析】解：集合， ∵A ={x|log 2x <1}={x|0<x <2}集合， B ={y|y =2−x }={y|y ≥0} ∴A ∪B =[0,+∞)故选：．D 求出集合，集合，再根据并集的定义，求出．A B A ∪B 本题考查对数不等式的解法，并集及其运算，考查运算求解能力，属于基础题．2.【答案】B 【解析】解：函数的定义域为，则对于函数， ∵f(x)(−1,3)g(x)=f(1+x)ln (1−x)应有，求得或， {−1<1+x <31−x >01−x ≠1−2<x <00<x <1故函数的定义域为， g(x)(−2,0)∪(0,1)故选：．B 由题意，利用函数的定义域的定义和求法，得出结论． 本题主要考查函数的定义域的定义和求法，属于基础题．3.【答案】A 【解析】解：若“父母均为单眼皮”，即父母的基因型都是，所以孩子的基因型也一定为aa aa ，所以一定有“孩子为单眼皮”，若“孩子为单眼皮”，则孩子的基因型，但是父母的基因型可能都是或一个是，一个是aa Aa Aa ，所以父母中有可能有双眼皮，aa 所以“父母均为单眼皮”是“孩子为单眼皮”的充分不必要条件． 故选：．A 根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．4.【答案】A∵x<0∴−x>0【解析】解：，，∴x=−2，当且仅当时等号成立，A故选：．利用基本不等式可直接得到函数的最值．本题主要考查了利用基本不等式求最值，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：由已知得，a−b==ln6−ln9<0a−b<0a<b A C，显然，故，，排除，；b−c===，1−ln2>0ln2−ln3<0b−c<0b<c显然，，故，得，a<b<c故．B故选：．a b c因为，，都大于零，可先换底，然后利用作差或作商法比较大小．本题考查对数运算性质和换底公式，以及对数的大小比较问题，属于中档题．6.【答案】ABC【解析】解：由题意可知，，，A对于，，故A正确；B A B B对于，在甲抽奖箱抽奖和在乙抽奖箱抽奖互不影响，故事件和事件相互独立，项正确；C B P(AB)对于，由可知，所以，故C正确；D A B对于，事件与事件相互独立而非互斥，故D错误．ABC故选：．P(A)P(B)P(C)P(AB)AC分别求出，，进一步求出与，判断选项，在甲抽奖箱抽奖和在乙抽奖箱A B BD抽奖互不影响，故事件和事件相互独立，判断选项．本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了独立事件和对立事件的定义，属于基础题．7.【答案】A 【解析】解：因为，⃗AE =3⃗EF 所以， ⃗AF =⃗AB +⃗BF =⃗AB +⃗ED =⃗AB +(⃗EA +⃗AD )=⃗AB +(−⃗AE +⃗AD )所以，整理得，．⃗AE =⃗AB +⃗AD −⃗AE ⃗AE =(⃗AB +⃗AD )=⃗a +⃗b 故选：．A 根据平面向量的线性运算法则，即可得解．本题考查平面向量的线性运算，熟练掌握平面向量的加法和数乘的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．8.【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合以及计算能力，是中档题．画出函数的图象，利用，转化求解f(x)={|log 2x|,x >0|x +1|,x ≤0f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=f(x 4)x 1+x 2+x 3的取值范围． +x 4【解答】解：作出函数的图象，如下图，f(x)={|log 2x|,x >0|x +1|,x ≤0或时，，x =122f(x)=1令，t =f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=f(x 4)设，则有，，且， x 1<x 2<x 3<x 4x 1+x 2=−2x 3⋅x 4=112≤x 3<1故，x 1+x 2+x 3+x 4=−2+x 3+x 4=−2+x 3+1x 3因为函数在上单调递减，在上单调递增， ℎ(x)=x +1x (0,1](1,+∞)故．x 3+1x 3∈(2,52]的取值范围是， x 1+x 2+x 3+x 4(0,12]故选：．D9.【答案】AD 【解析】解：对于，因个数的平均数为，中位数为，将个数从小到大排列，设后面个A 1023104数从小到大依次为，，，，显然有，而，则的最大值a b c d d ≥c ≥b ≥a ≥3a +b +c +d ≤14d 为，符合条件；5A 对于，平均数为，方差大于，可能存在大于的数，如连续天的数据为：，，，，B 10.571000000，，，，，，其平均数为，方差大于，不符合；00001010.5B 对于，平均数为，众数为，可能存在大于的数，如连续天的数据为：，，，，，C 22710000222，，，，，其平均数为，众数为，不符合；222822C 对于，设连续天的数据为，，，因平均数为，方差为，D 10x i i ∈N ∗i ≤1023则有，于是得，而，，，因此，11010i =1(x i −2)2=3(x i −2)2≤30x i ∈N i ∈N ∗i ≤10x i ≤7i ∈N ∗，，符合条件． i ≤10D 故选：．AD 根据给定条件，利用平均数、中位数、方差的意义计算推理判断，；举例说明判断，作A D B C 答．本题考查了求平均数、众数、中位数与方差的问题，是中档题．10.【答案】ACD 【解析】解：对于，由题意，可得，整理可得，则A C 12p(1−p)+p 2=0.96p 2−2p +0.96=0，则，故A 正确； (p−1.2)(p−0.8)=0对于，，故B 错误；B 对于，，故C 正确；C 0.9×0.9=0.81对于，元件，元件中至少有一个能通过电流的概率为，D 34C 12×0.9×(1−0.9)+C 22×0.92=0.99则电流能在与之间通过的概率为，故D 正确．M N 0.96×0.99=0.9504故选：．ACD 根据独立事件的概率乘法公式以及互斥事件的概率的加法公式，可得答案．本题主要考查了独立事件的概率乘法公式以及互斥事件的概率的加法公式，属于基础题．11.【答案】ABC 【解析】解：，在中，是中线，，A 正确，A ∵△ABC AD ∴⃗AB +⃗AC =2⃗AD ∴，在中，是中线，，，B 正确，B ∵△ABC AD ⃗AG =2⃗GD ∴⃗AG =23⃗AD =23×12(⃗AB +⃗AC )=13⃗AB +13⃗AC ∴D 错误，，设的高为，，则的高为， C △GBC ℎ∵⃗AG =2⃗GD △ABC 3ℎ，C 正确，∴S △ABC =12BC ⋅3ℎ=3⋅12BC ⋅ℎ=3S △GBC ∴故选：．ABC 利用平面向量的线性运算，中线的性质判断，利用三角形的面积公式判断．ABD D 本题考查平面向量的线性运算，中线的性质，三角形的面积公式，属于中档题．12.【答案】BC 【解析】解：因为天后，氡元素变为原来的，A 错误；7.64=2×3.82经过天以后剩下的氡元素是原来的，经过天以后剩下的氡元素是原来的，D 错误； 3.827.64要使得氡元素变为原来的，需要经过天，B 正确；=()44×3.82=15.28因为放射性元素氡的半衰期是天，则，3.82f(3.82)=m 所以，a 3.82=因为，0.8347.64=(0.8343.82)2=所以，0.8343.82=所以，C 正确．a =0.834故选：．BC 由已知结合指数的运算性质，结合指数函数的性质可求．本题主要考查了指数运算性质在实际问题中的应用，属于基础题．13.【答案】【解析】解：根据题意，随机数中只有，，，，共种情况，0210011300311035则可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为， 故答案为：，根据题意可得出满足题意的随机数，利用古典概型定义可解．本题考查古典概型定义，属于基础题．14.【答案】20【解析】解：，∵2a =5b =m >0，， ∴a =lgm lg2b =lgm lg5， ∵2a +1b=1， ∴2lg2lgm +lg5lgm=1，∴lgm =lg20则．m =20故答案为：．20把指数式化为对数式，再利用对数运算性质即可得出．本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.【答案】23【解析】解：因为甲乙人中至少有人购买到冰墩墩的概率为．2112所以甲乙人均购买不到冰墩墩的概率．2P 1=1−12=12同理，丙购买不到冰墩墩的概率．P 2=1−13=23所以，甲乙丙人都购买不到冰墩墩的概率．3P 3=P 1⋅P 2=12×23=13于是甲乙丙人中至少有人购买到冰墩墩的概率．31P =1−P 3=23故答案为：．23先算出甲乙人均购买不到冰墩墩的概率，然后算出丙购买不到冰墩墩的概率，进而算出甲乙丙23人都购买不到冰墩墩的概率，最后算出答案．本题主要考查相互独立事件的概率，属于基础题．16.【答案】9【解析】解：因为点为线段上任一点不含端点，F BC ()若，则， ⃗AF =x ⃗AB +2y ⃗AC(x >0,y >0)x +2y =1，当且仅当且，即时取等号．=()(x +2y)=5+=9x =y x +2y =1x =y =故答案为：． 9由已知结合向量共线定理可得，然后结合乘法及基本不等式即可求解．x +2y =11本题主要考查了向量共线定理，基本不等式求解最值，属于中档题．17.【答案】解：，， (1)∵⃗a=(1,0)⃗b =(2,1)，， ∴k ⃗a +⃗b=(k +2,1)⃗a −2⃗b =(−3,−2)又与共线，k ⃗a +⃗b ⃗a −2⃗b ，∴−2(k +2)−1×(−3)=0解得；，， (2)⃗AB =⃗a +3⃗b =(7,3)⃗BC =⃗a −m ⋅⃗b=(1−2m,−m)、、三点共线，，∵A B C ∴−7m−3(1−2m)=0解得．m =−3【解析】由已知求得与的坐标，再由向量共线的坐标运算列式求解；(1)k ⃗a +⃗b ⃗a −2⃗b 由已知求得的坐标，再由两向量共线的坐标运算求解．(2)⃗AB ,⃗BC 本题主要考查了向量共线的性质，考查了方程思想，属于基础题．18.【答案】解：设使用流量，流量费用为，(1)xM y 依题意，当时，；2000≤x ≤3000y =30当时，；3000<x ≤5000y =50所以流量费用超过元概率：； 50P(y >50)=16+12+250=35设表示套餐的月平均消费，设表示套餐的月平均消费，(2)y A A y B B， ∴y A =150(30×4+50×16+70×28+90×2)=61.2， y B =150(50×36+70×14)=55.6，∴y A >y B 故选套餐．B 【解析】设使用流量，流量费用为，所以流量费用超过元概率：(1)xM y 50P(y >50)=； 16+12+250=35分别求出订购套餐和订购套餐的月平均费用，比较大小后得答案．(2)A B 本题考查函数在实际问题中的应用，考查概率统计问题，是中档题．19.【答案】解：当时，，所以(1)m =5g(x)=log a (2x +3)F(x)=f(x)+g(x)=log a x +log a ，，(2x +3)=1o g a (2x 2+3x)x ∈[1,3]当时，在定义城内单调递增，，解得， a >1F(x)F(x )max =F(3)=1o g a 27=2a =33当时，在定义域内单调递减，，解得，不符合0<a <1F(x)F(x )max =F(1)=1o g a 5=2a =5题意，舍去，综上，实数的值为；a 33要使在上有意义，则，解得，(2)g(x)x ∈[1,3]2x +m−2>0m >0由，即 ，因为，所以， f(x)<2g(x)1o g a x <log a (2x +m−2)20<a <1x >(2x +m−2)2即，得，令，，记， x >2x +m−2m <−2x +x +2t =x t ∈[1,3]ℎ(t)=−2t 2+t +2对称轴为，，t =14ℎ(t )max =ℎ(14)=−2×(14)2+14+2=178若不等式在有解，则在有解f(x)<2g(x)x ∈[1,3]m <−2x +x +2x ∈[1,3]即在有解，即．m <ℎ(t )max x ∈[1,3]m <178综上所述，实数的取值薇围为m (0,178).【解析】将代入函数得出解析式，根据复合函数同增异减的性质，分类时论(1)m =5F(x)a >1和即可；由对数函数性质可得，再由对数单调性可符，利用0<a <1(2)m >0m <−2x +x +2换元法结合二次函数的性质求出不等式右边的最大值，即可得到的取值范围．m 本题考查函数性质，属于中档题．20.【答案】解：设第四盘棋甲赢为事件，第四盘棋甲赢分两种情况：(1)A 第三盘棋和第四盘棋都是甲赢，则，①P =×=第三盘棋乙赢，第四盘棋甲赢，则，②P =×=则．P(A)=+=设比赛结束时，甲恰好赢三盘棋为事件，分三种情况：(2)B 若甲赢第三盘，则概率为，①××(1−)=若甲赢第四盘，则概率为，②××(1−)=若甲赢第五盘，则概率为，③(1−)×=则．P(B)=++=【解析】第四盘棋甲赢分两种情况，再分别求出概率即可．(1)若甲恰好赢三盘棋分三种情况，再分别求出概率即可．(2)本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式，属于中档题．21.【答案】解：因为函数是奇函数， (1)f(x)=n−3x 3+3x +1所以，即， f(−x)=−f(x)n−3−x 3+3−x +1=−n−3x 3+3x +1所以，n ⋅3x −13x +1+3=−n−3x3+3x +1所以，n ⋅3x −1=−n +3x 可得，n =1所以函数．f(x)=1−3x3+3x +1由知， (2)(1)f(x)=1−3x3+3x +1=−13⋅3x −13x +1=−13+23(3x +1)易得在上单调递减，f(x)R 由，得，f(lo g 4x ⋅lo g 28x )+f(4−2a)>0f(lo g 4x ⋅lo g 28x )>−f(4−2a)因为函数是奇函数，f(x)所以，f(lo g 4x ⋅lo g 28x )>f(2a−4)所以，lo g 4x ⋅lo g 28x <2a−4整理得，12log 2x ⋅(3−log 2x)<2a−4设，， t =log 2x t ∈R则，12(3t−t 2)<2a−4当时，有最大值，最大值为，t =32y =12(3t−t 2)98所以，2a−4>98解得，a >4116即实数的取值范围是．a (4116,+∞)【解析】由是奇函数可得，从而可求得值，即可求得的解析式；(1)f(x)f(−x)=−f(x)n f(x)由复合函数的单调性判断在上单调递减，结合函数的奇偶性将不等式恒成立问题转化为(2)f(x)R ，令，利用二次函数的性质求得的最大值，即可求得12log 2x ⋅(3−log 2x)<2a−4t =log 2x 12(3t−t 2)的取值范围．a 本题主要考查函数的奇偶性，函数单调性的判断，考查不等式恒成立问题，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：若，，因为，令，解得， (1)f(x)=2x 2x ∈[−1,1]=02x 2=0x =0∈(−1,1)故是上的“平均值函数”，且平均值点为；y =2x 2[−1,1]0由题意知，(2)=假设是平均值点，则，整理得，x 0f(x 0)=2⋅22x 0+2−4m ⋅2x 0+1+6m−19=0令，显然该函数是增函数，则要使结论成立，t =2x 0+1∈(1,4)只需在上有解即可，即在上有零点即可， g(t)=2t 2−4mt +6m−19=0(1,4)g(t)(1,4)，，g(t)=2t 2−4mt +6m−19Δ=(−4m )2−8×(6m−19)=16(m−)2+116>0若在上只有一个零点时，只需，解得或；①g(t)(1,4)g(1)g(4)<0m <若在上有两个不同零点时，只需，解集为；②g(t)(1,4)⇒⌀综上可知或，故的取值范围是，．m ()∪(+∞)【解析】直接求出，令，判断该方程在上是否有解即可；(1)k =f(x)(−1,1)由题设，设是平均值点，则，令，则(2)x 02⋅22x 0+2−4m ⋅2x 0+1+6m−19=0t =2x 0+1∈(1,4)只需让在上有解即可，结合二次函数的性质，容易求得结论．2t 2−4mt +6m−19=0(1,4)本题是一个新定义问题，侧重于考查利用函数的单调性、最值等研究函数零点的存在性问题，属于较难的题目．。
辽宁省高一上学期期末数学试题(解析版)
高一年级数学试卷第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知集合满足，那么这样的集合M 的个数为（）M {}{}2,31,2,3,4,5M ⊆⊆A. 6 B. 7C. 8D. 9【答案】C 【解析】【分析】根据集合的包含关系一一列举出来即可. 【详解】因为，{}{}2,31,2,3,4,5M ⊆⊆所以集合可以为：，M {}{}{}{}{}2,3,1,2,3,2,3,4,2,3,5,1,2,3,5共8个，{}{}{}1,2,3,4,2,3,4,5,1,2,3,4,5故选：C.2. 已知，，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） 5log 6a =0.5log 0.2b =0.80.5c =A. a ＜b ＜c B. a ＜c ＜b C. b ＜c ＜a D. c ＜a ＜b【答案】D 【解析】【分析】根据题意，由指数，对数函数的单调性分别得到的范围，即可得到其大小关系. ,,a b c 【详解】因为，即 5552log 25log 6log 51=>>=()1,2a ∈且，即 0.512221log 0.2log log 5log 425==>=2b >，即800.0.5100.5<<=()0,1c ∈所以 c<a<b 故选:D3. 对于非零向量、，“”是“”的（ ）a b 0a b += //a b A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据向量共线的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】对于非零向量、，ab若，则，∴由向量共线定理可知， 0a b += a b =- //a b 若，则，不一定成立，//a b a b λ= 0a b ∴+= ∴是的充分不必要条件， 0a b +=//a b故选：A4. 如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的中位数为17，乙组数据的平均数为17.4，则的值为（ ）x y +A. 12B. 13C. 14D. 15【答案】C 【解析】【分析】观察茎叶图，利用甲组数据的中位数与乙组数据的平均数分别求出，相加即可. x y 、【详解】因为甲组数据的中位数为17，所以， 7x =因为乙组数据的平均数为17.4，所以，解得，91616(10)2917.45y +++++=7y =所以. 14x y +=故选：C【点睛】本题考查根据茎叶图求数据的中位数与平均数，属于基础题.5. 要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取50袋进行检验，将它们编号为000、001、002、…、499，利用随机数表抽取样本，从第8行第5列的数开始，按3位数依次向右读取，到行末后接着从下一行第一个数继续，则第三袋牛奶的标号是（ ）（下面摘取了某随机数表的第8行至第9行）84421 75331 57245 50688 77047 44767 21763 35025 83921 20676 63016 47859 16955 56719 A. 572 B. 455C. 169D. 206【答案】B 【解析】【分析】利用随机数表法进行一一抽样即可【详解】由题所给随机数表：从第8行第5列的数开始，按3位数依次向右读取， 则牛奶抽到标号分别为：175,331,455，068,... 故第三袋牛奶的标号是：445， 故选：B6. 已知函数过点，若的反函数为，则的值域为（ ） ()log a f x x =(4,2)1()3,()f x f x ≤≤()g x ()g x A.B.C. D.11,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦[1,3][2,8]【答案】D 【解析】【分析】把点代入，求得解析式，可得反函数解析式，由，得(4,2)()log a f x x =()f x ()g x 1()3f x ≤≤的定义域为，可求值域.()g x []1,3【详解】函数过点，则，解得， ()log a f x x =(4,2)log 42a =2a =∴，的反函数为，得，2()log f x x =()f x ()g x ()2x g x =由，∴的定义域为，当，有，则的值域为.1()3f x ≤≤()g x []1,3[]1,3x ∈[]22,8x∈()g x [2,8]故选：D7. 已知,,,则的最小值是（ ）. 0x >0y >lg 4lg 2lg8x y +=142x y+A. 3 B.C.D. 9944615【答案】A 【解析】【分析】由已知结合指数与对数的运算性质可得,从而根据,展开23x y +=()141142232x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭后利用基本不等式可得解.【详解】,,, 0x >0y >428x y lg lg lg +=所以,即,428x y =A 23x y +=则, ()14114181255232323y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝3=当且仅当且即,时取等号, 82y x x y =23x y +=12x =2y =则的最小值是3. 142x y+故选：A【点睛】本题主要考查了指数与对数的运算性质及利用基本不等式求解最值,要注意应用条件的配凑.属于中档题.8. 若函数为定义在上的奇函数，且在为增函数，又，则不等式()f x R ()0,∞+()20f =的解集为（ ） ()1ln 0e xf x ⎛⎫⋅>⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭A. B. ()()2,00,2-⋃()(),20,2-∞- C. D.()()2,02,-+∞ ()(),22,∞∞--⋃+【答案】A 【解析】【分析】分析出函数在上的单调性，可得出，分、两种情()f x (),0∞-()()220f f -=-=0x <0x >况解原不等式，即可得出原不等式的解集.【详解】因为函数为定义在上的奇函数，且在为增函数， ()f x R ()0,∞+则该函数在上也为增函数，且，(),0∞-()()220f f -=-=由可得. ()1ln 0e xf x ⎛⎫⋅>⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭()0xf x <当时，则，解得；0x <()()02f x f >=-20x -<<当时，则，解得.0x >()()02f x f <=02x <<综上所述，不等式的解集为. ()1ln 0exf x ⎛⎫⋅>⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭()()2,00,2-⋃故选：A.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则a b >22ac bc >0,0a b d c >><<a d b c ->-C. 若，则 D. 若，则0a b >>11a b b a+>+0a b >>b b ma a m+<+【答案】BC 【解析】【分析】由不等式的基本性质可判断ABC ，由作差法可判断D. 【详解】对于A ，当时，，故A 错误； 0c =22ac bc =对于B ，若，则， 0d c <<d c ->-而，则，B 正确；0a b >>a d b c ->-对于C ，若，则 0a b >>1b >而，则，C 正确；0a b >>11a b b a+>+对于D ，， ()()b b m m b a a a m a a m +--=++因为，当时，，0a b >>0a m -<<()0()m b a a a m ->+即有，故D 错误. b b m a a m+>+故选：BC10. 下列说法正确的有（ ）A. 掷一枚质地均匀的骰子一次，事件M ＝“出现奇数点”，事件N ＝“出现3点或4点”，则 ()16P MN =B. 袋中有大小质地相同的3个白球和2个红球．从中依次不放回取出2个球，则“两球同色”的概率是310C. 甲，乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶率为0.8，乙的中靶率为0.9，则“至少一人中靶”的概率为0.98D. 某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为 1313【答案】AC 【解析】【分析】计算古典概率判断A ；利用列举法结合古典概型计算判断B ；利用对立事件及相互独立事件求出概率判断CD 作答.【详解】对于A ，依题意，事件=“出现3点”，而掷骰子一次有6个不同结果，所以，MN ()16P MN =A 正确；对于B ，记3个白球为，2个红球为，从5个球中任取2个的不同结果有：123,,a a a 12,b b ，共10个，12131112232122313212,,,,,,,,,a a a a a b a b a a a b a b a b a b b b 其中两球同色的结果有：，共4个，所以“两球同色”的概率是，B 错误； 12132312,,,a a a a a a b b 42105=对于C ，依题意，“至少一人中靶”的概率为，C 正确；1(10.8)(10.9)0.98---=对于D ，该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯，即在前两个路口都没有遇到红灯，第3个路口遇到红灯，所以到第3个路口首次遇到红灯的概率为，D 错误. 2114(13327-⨯=故选：AC11. 已知中，，，若与交于点，则（ ）ABC A 2BD DC = AE EB =AD CE O A.B.1233AD AB AC =+ 2133AD AB AC =+C. D.2AOC COD S S =A A 4ABC BOC S S =A A 【答案】AD 【解析】【分析】根据平面向量线性运算法则及几何关系计算即可判断A 、B ，再根据平面向量共线定理及推论可得，即可得到是上靠近的一个四等分点，即可得到面积比，从而判311442AO AD AB AC ==+O AD D 断C 、D ；【详解】解：因为，，所以，，2BD DC = AE EB =23BD BC = 12AE AB = 所以，故A 正确，B 错误； ()22123333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+因为、、三点共线，故设，C O E ()()1112AO AE AC AB AC λλλλ=+-=+-又、、三点共线，设，A O D 12123333AO AD AB AC AB AC μμμμ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭所以，解得，1123213λμλμ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩1234λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，即是上靠近的一个四等分点，311442AO AD AB AC ==+O AD D 即，所以，故C 错误；3AO OC =3AOC COD S S =A A 即，同理可得， 14ADC COD S S =A A 14ABD BOD S S =A A 所以，()11114444BOC BOD COD ABD ADC ABD ADC ABC S S S S S S S S =+=+=+=A A A A A A A A即，故D 正确；4ABC BOC S S =A A故选：AD12. 函数，则正确的有（ ）()2()ln e1xf x x =+-A. 的定义域为B. 的值域为()f x R ()f x RC. 是偶函数D. 在区间上是增函数()f x ()f x [)0,∞+【答案】ACD 【解析】【分析】根据给定的函数，求出定义域并变形解析式，再逐项分析判断作答. ()f x 【详解】依题意，函数的定义域为R ，A 正确；2()ln(e 1)x f x x =+-，2()ln(e 1)ln e ln(e e )x x x x f x -=+-=+对于B ，因为，当且仅当，即时取等号，又函数在e e 2-+≥=x x e e x x -=0x =ln y x =上递增，(0,)+∞因此，B 错误；()ln 2f x ≥对于C ，，因此函数是R 上的偶函数； ()ln(e e )()x x f x f x --=+=()f x 对于D ，令，，()e e (0)x x g x x -=+≥1212,[0,),x x x x ∀∈+∞<，11221212121()()e e (e e )(e e )(1)e e x x x x x x x x g x g x ---=+-+=--⋅因为，则，即有，因此，120x x ≤<12e 1e x x ≤<12121e e 0,10e e x xx x -<->⋅12()()<g x g x 即函数在上单调递增，又函数在上递增，所以函数在()e e x x g x -=+[0,)+∞ln y x =(0,)+∞()f x [0,)+∞上递增，D 正确. 故选：ACD第Ⅱ卷 非选择题（共90分）三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13. 函数的单调递增区间为______ ()2lg 28y x x =--【答案】 ()4,+∞【解析】【分析】先求函数的定义域，再根据复合函数单调性分析求解. 【详解】令，解得或， 2280x x -->>4x <2x -故函数的定义域为.()2lg 28y x x =--()(),24,-∞-+∞ ∵在R 上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，lg y u =228u x x =--(),2-∞-()4,+∞∴在上单调递减，在上单调递增，()2lg 28y x x =--(),2-∞-()4,+∞故函数的单调递增区间为.()2lg 28y x x =--()4,+∞故答案为：.()4,+∞14. 某公司生产甲、乙两种产品的数量之比为，现用分层抽样的方法抽出一个样本，已知样本中甲种5:3产品比乙种产品多6件，则甲种产品被抽取的件数为_______. 【答案】15 【解析】【分析】甲种产品被抽取的件数为，乙种产品被抽取的件数为，按照比例即可得出结果. x 6x -【详解】设甲种产品被抽取的件数为，则，解得. x ():65:3x x -=15x =故答案为：15【点睛】本题考查了分层抽样，考查了计算能力，属于一般题目.15. 关于x 的函数的两个零点均在区间内，则实数m 的取值范围是____________． 2y x mx m =-+[1,3]【答案】 9(4,]2【解析】【分析】根据零点的分布以及判别式性质列不等式组即可求解. 【详解】设2()f x x mx m =-+因为函数的两个零点均在区间内，2()f x x mx m =-+[1,3]所以有，解得：. 2Δ=4>0132(1)0(3)0m m m f f ≤≤≥≥⎧-⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩942m <≤即 9(4,2m ∈故答案为：9(4,]216. 已知，若存在三个不同实数使得，则的取值范()202311,03log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩,,a b c ()()()f a f b f c ==abc 围是______．【答案】 (]3,0-【解析】【分析】作出函数的图像，由图像可知，可设，利用对数()y f x =()()()(]0,1f a f b f c ==∈a b c <<运算可求得，结合图像可得的取值范围，由此可得出的取值范围.1bc =a abc 【详解】作出函数的图像如下图所示：()202311,03log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩设，由图像可知， a b c <<()()()(]0,1f a f b f c ==∈则，解得， ()(]110,13f a a =+∈30a -<≤由可得，即，可得.()()f b f c =20232023log log b c -=()2023log 0bc =1bc =.(]3,0abc a ∴=∈-故答案为：.(]3,0-四、解答题（本题共6小题，共70分．应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 已知向量，，．()3,2a =()1,2b =- ()4,1c = （1）求；23a b c +-（2）若，求实数的值．()()//2a kc b a +-k 【答案】（1）()2311,3a b c +-=-（2） 1613k =-【解析】【分析】（1）利用平面向量的坐标运算可求得的坐标；23a b c +-（2）求出向量、的坐标，利用平面向量共线的坐标表示可求得实数的值.a kc + 2b a - k 【小问1详解】解：因为，，．()3,2a = ()1,2b =- ()4,1c = 所以，.()()()()233,221,234,111,3a b c +-=+--=- 【小问2详解】解：由已知可得，()()()3,24,143,2a kc k k k +=+=++ ，()()()221,23,25,2b a -=--=- 因为，则，解得. ()()//2a kc b a +- ()()24352k k +=-+1613k =-18. 已知幂函数的图象经过点 ()()()12*m m f x x m -+=∈N (（1）试求的值并写出该幂函数的解析式.m （2）试求满足的实数的取值范围.()()13f a f a +>-a 【答案】（1），1m =()12f x x =（2）13a <£【解析】【分析】（1）将点代入函数解析式即可求出参数m 的值和该幂函数的解析式；(（2）根据函数的定义域和单调性，即可利用不等式求的取值范围.a 【小问1详解】，所以， ()122m m -+=()1212m m -+=所以，解得或，又，所以，22m m +=1m =2m =-*m ∈N 1m =则该幂函数的解析式为. ()12f x x =【小问2详解】的定义域为，且在上单调递增，()f x [)0,∞+[)0,∞+则有，解得，103013a a a a +≥⎧⎪-≥⎨⎪+>-⎩13a <£所以的取值范围为.a 13a <£19. 某学校1000名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组，第二组，…第五组，右图是按上述分组方[)13,14[)14,15[]17,18法得到的频率分布直方图．（1）请估计学校1000名学生中，成绩在第二组和第三组的人数；（2）请根据频率分布直方图，求样本数据的平均数和中位数（所有结果均保留两位小数）．【答案】（1）540；（2）平均数15.70；中位数15.74.【解析】【分析】（1）根据频率直方图求出第二组和第三组的频率，进而求第二组和第三组的人数；（2.【小问1详解】成绩在第二组和第三组的频率，0.160.380.54+=所以学校1000名学生中成绩在第二组和第三组的人数：．10000.54540⨯=【小问2详解】 样本数据的平均数：， 13.50.0614.50.1615.50.3816.50.3217.50.0815.70x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=中位数：第一二组的频率为．10.0610.160.225⨯+⨯=<0.第一二三组的频率为，10.0610.1610.380.65⨯+⨯+⨯=>0.所以中位数一定落在第三组，设中位数为x ，则，解得. ()10.0610.16150.385x ⨯+⨯+-⨯=0.29915.7419x =≈20. 设函数. ()()22log 2log 16x f x x =⋅（1）解方程；()60f x +=（2）设不等式的解集为，求函数的值域.23224+-≤x x x M ()()f x x M ∈【答案】（1）或2x =4x =（2） 25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）化简，由解得可得答案； ()f x ()222log 3log 4=--x x ()60f x +=2log x （2）利用指数函数的单调性解不等式求出，化简，令，转化M ()()222log 3log 4=--f x x x 2log t x =为，再根据抛物线的性质和的范围可得答案. ()234=--g t t t t 【小问1详解】()()()()()222222log 2log log log 161log log 4=+⋅-=+⋅-f x x x x x ，()222log 3log 4x x =--由得，解得或，()60f x +=()222log 3log 20x x -+=2log 1x =2log 2x =所以或.2x =4x =所以方程的解是；()60f x +=2x =4x =【小问2详解】由得，即，解得，， 23224+-≤x x x 26422+-≤x x x 264+≤-x x x 14x ≤≤{}|14M x x =≤≤，()()()()2222222log 2log log log 16log 3log 4=+⋅-=--f x x x x x 令，所以， 2log t x =02t ≤≤则为开口向上对称轴为的抛物线， ()223253424⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭g t t t t 32t =因为，所以， 02t ≤≤()2544g t -≤≤-所以函数的值域为. ()()f x x M ∈25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦21. 工业废气在排放前需要过滤．已知在过滤过程中，废气中的某污染物含量P （单位：毫克/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系式为（e 为自然对数的底数，为污染物的初始含0()e ktP t P =0P量）．过滤1小时后检测，发现污染物的含量为原来的． 45（1）求函数的关系式；()P t （2）要使污染物的含量不超过初始值的，至少需过滤几小时？（参考：） 1100lg 20.3≈【答案】（1） 04()5t P t P ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）20【解析】【分析】（1）由得出，进而得出函数的关系式； 00e 45k P P =e 45k =()P t （2）由对数的运算解不等式即可. 24105t -⎛⎭≤⎫ ⎪⎝【小问1详解】因为过滤1小时后检测，发现污染物的含量为原来的，所以，即. 4500e 45k P P =e 45k =故 ()000e 45()ekt k t t P t P P P ⎛⎫== =⎪⎝⎭【小问2详解】 由，得， ()00415100t P t P P ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭24105t-⎛⎭≤⎫ ⎪⎝两边取10为底的对数，，整理得， 32lg 210t ≤-(13lg 2)2t -≥，因此，至少还需过滤20小时. 0.12,20t t ∴⨯≥≥22. 已知函数是偶函数. 2()log 22x x k f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（1）求实数k 的值；（2）当时，方程有实根，求实数m 的取值范围；0x ≥()f x x m =+（3）设函数，若函数只有一个零点，求实数n 的取值范围. ()2()log 22x g x n n =⋅-()()()x f x g x ϕ=-【答案】（1）1k =（2） (0,1]（3）或 {|1n n >n =【解析】 【分析】（1）根据是偶函数，列出方程，即可求解；()f x （2）当时，由，转化为在上有解，设0x ≥21log (2)2x x x m +=+21log (1)4xm =+[0,)+∞，结合指数函数的性质，即可求解； 21()log (1)4xh x =+（3）把函数只有一个零点，转化为只有一个解，令()()()x f x g x ϕ=-2(1)(2)2210x x n n --⋅-=（），得到有且仅有一个正实数根，分，和，三种情况讨2x t =0t >2(1)210n t nt ---=1n =1n >1n <论，即可求解.【小问1详解】解：因为是偶函数，所以， 2()log (22xx k f x =+()()f x f x -=即，解得. 221()log (2)log (2)()22x x x x k f x k f x ---=+=+⋅=1k =【小问2详解】解：当时，方程有实根，即， 0x ≥()f x x m =+21log (2)2x x x m +=+即，即在上有解，设21log (2)2x x m x =+-22211log (2)log 2log (124x x x x m =+-=+[0,)+∞， 21()log (1)4x h x =+因为，所以，所以， 0x ≥11124x <+≤0()1h x <≤所以实数的取值范围为.m (0,1]【小问3详解】解：函数只有一个零点，()()()x f x g x ϕ=-则关于的方程只有一个解，x 22log (22)log (41)x x n n x ⋅-=+-所以方程只有一个解，即，2222x x x n n -⋅-=+2(1)(2)2210x x n n --⋅-=令（），则有且仅有一个正实数根.2x t =0t >2(1)210n t nt ---=①当，即时，此方程的解为，不满足题意； 10n -=1n =12t =-②当，即时，，， 10n ->1n >244(1)0n n ∆=+->12101x x n =-<-此时方程有一个正根和一个负根，故满足题意；③当，即时，要使方程只有一个正根， 10n -<1n <2(1)210n t nt ---=令， ()2(1)21h t n t nt =---因为，要使得函数与 轴的正半轴只有一个公共点，()010h =-<()h x x 则满足，解得()()2Δ44102021n n n n ⎧=+-=⎪⎨>⎪-⎩n =综上，实数的取值范围为或. n {|1n n >n =。
辽宁省营口市2022-2023学年高一上学期期末数学试题
营口市普通高中2021-202学年度上学期期末教学质量检测一年级数学试题第I 卷一，选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地．1. 已知{1,1,3}A =-,{|||3}=∈<B x Z x ,则A B = （ ）A. {1} B. {1,1}- C. {1,3}D. {}113-,,【结果】B 【思路】【思路】先求出集合B ,然后再求两集合地交集即可【详解】因为{}{|||3}2,1,0,1,2B x Z x =∈<=--,{1,1,3}A =-,所以A B = {1,1}-,故选：B2. 函数1()ln(1)=++f x x x地定义域是（ ）A. (1,)-+∞ B. (0,)+∞ C. (1,0)(0,)-+∞ D. [1,0)(0,)-+∞ 【结果】C 【思路】【思路】由题知100x x +>⎧⎨≠⎩,解不等式即可得结果.【详解】解：要使函数有意义,则满足10x x +>⎧⎨≠⎩,解得1x >-且0x ≠所以函数1()ln(1)=++f x x x地定义域是(1,0)(0,)-+∞ 故选：C3. 已知(1,2)a =与(1,)=- b t 共线,则t =（ ）A. 2B. 1C. 1- D. 2-【结果】D【思路】【思路】依据向量共线地性质直接计算即可.【详解】由(1,2)a =与(1,)=-b t 共线,则()1210t ⨯-⨯-=,解得2t =-,故选：D.4. 下面函数在区间(0,)+∞上单调递减地是（ ）A. 3y x-= B. 12y x= C. 12xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D.12log (1)y x =-【结果】A 【思路】【思路】依据指数函数,对数函数,幂函数地性质依次判断各选项即可得结果.【详解】解：对于A 选项,由幂函数性质得3y x -=在(0,)+∞上单调递减,故正确。
对于B 选项,由幂函数性质得12y x =在(0,)+∞上单调递增,故错误。
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2017-2018学年度上学期期末考试高一年级数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合}0)3)(1(|{},0|{<++=≥=x x x N x x M ，则=⋃N M （ ）A ．)3,1(-B ．),1(+∞-C ．)3,0(D ．)3,0[2.倾斜角为ο60，在y 轴上的截距为1-的直线方程是（ ）A ．013=--y xB ．013=+-y xC ．0133=--y xD ．0133=-+y x3.函数8)(2++=bx ax x f 满足条件)3()1(f f =-，则)2(f 的值（ ）A ．5B ．6C ．8D ．与b a ,值有关4.正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为ο30，则该四棱锥的侧面积（ ）A ．32B ．48 C. 64 D ．332 5.直线433=+y x 与圆422=+y x 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切 C.相离 D ．位置关系不确定6.下列命题中真命题的个数为（ ）①平行于同一平面的两直线平形；②平行于同一平面的两个平面平行；③垂直于同一平面的两直线平行；④垂直于同一平面的两平面垂直；A ．0个B ．1个 C. 2个 D ．3个7.一个容器装有细沙3acm ，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地均速漏出，min t 后剩余的细沙量为)(3cm ae y bt -=，经过min 8后发现容器内还有一半的沙子，则再经过（ ）min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一.A ．8B ．16 C. 24 D ．328.如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．5B ．213 C. 7 D ．215 9.已知三点)7,1(),2,4(),3,1(-C B A ，则ABC ∆外接圆的圆心到原点的距离为（ ）A ．10B ．64 C. 5 D ．510.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥ABC P -为鳖臑，⊥PA 平面5,4,3,===AC AB PA ABC ，三棱锥ABC P -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）A ．π17B ．π25 C. π34 D ．π5011.已知函数))((R x x f ∈是奇函数且当),0(+∞∈x 时是减函数，若0)1(=f ，则函数|)|2(2x x f y -=的零点共有（ ）A ．4个B ．5个 C. 6个 D ．7个12.已知正方形ABCD 的边长为2，若将正方形ABCD 沿对角线BD 折叠为三棱锥BCD A -，则在折叠过程中，不能出现（ ）A ．AC BD ⊥B ．平面⊥ABD 平面CBD C. 32=-CBD A V D ．CD AB ⊥第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若直线0422=+-+m my x 与直线022=+-+m y mx 平行，则实数=m ．14.已知幂函数m m x m m y 422)22(+--=的图象关于原点对称且与x 轴、y 轴均无交点，则整数m 的值为 ． 15.已知圆1)3()1(:22=-+-y x C 和两点)0)(,0(),,0(>-m m B m A ，若圆C 上存在点P ，使得ο90=∠APB ，则实数m 的取值范围为 ．16.已知函数)1,0(||1|log |)(≠>-=a a x x f a ，若4321x x x x <<<，且)()()()(4321x f x f x f x f ===，则=+++43211111x x x x ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知三个集合},12|{},1)95(log |{4232=∈==+-∈=-x R x B x x R x A}019|{22>-+-∈=a ax x R x C .（1）求B A ⋂；（2）已知=⋂C A ∅，=⋂C B ∅，求实数a 的取值范围.18. 如图，四棱锥ABCD P -，侧面PAD 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是ο60=∠ABC 的棱形，M 为PC 的中点.（1）求证：AD PC ⊥；（2）求MAC D V -.19. 设函数x x aa k x f ---=)12()(（0>a 且1≠a ）是定义域为R 的奇函数. （1）求k 的值；（2）若65)1(-=f ，不等式0)12()3(≥+-+-x f t x f 对]1,1[-∈x 恒成立，求实数t 的最小值.20. 已知两个定点)0,1(),0,4(--B A ，动点P 满足||2||PB PA =.设动点P 的轨迹为曲线E ，直线4:-=kx y l .（1）求曲线E 的轨迹方程；（2）若l 与曲线E 交于不同的D C ,两点，且ο90=∠COD （O 为坐标原点），求直线l 的斜率；（3）若Q k ,21=是直线l 上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线QN QM ,，切点为N M ,，探究：直线MN 是否过定点.21. 在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为棱形，AC PAB PAD ,∠=∠交BD 于O .（1）求证：平面⊥PAC 平面PBD ；（2）延长BC 至G ，使CG BC =，连结DG PG ,.试在棱PA 上确定一点E ，使//PG 平面BDE ，并求此时EPAE 的值. 22. 设函数)3(log )(a x x f a -=（0>a 且1≠a ），当点),(y x P 是函数)(x f y =图象上的点时，点),2(y a x Q --是函数)(x f y =图象上的点.（1）写出函数)(x f y =的解析式；（2）把)(x f y =的图象向左平移a 个单位得到)(x h y =的图象，函数)(2)(2][)(x h x h a a x F --+-=，是否存在实数)(,n m n m <，使函数)(x F 的定义域为),(n m ，值域为),(n m .如果存在，求出n m ,的值；如果不存在，说明理由；（3）若当]3,2[++∈a a x 时，恒有1|)()(|≤-x g x f ，试确定a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:BACAB 6-10:CBCDC 11、12：DD二、填空题13. 2- 14. 1- 15. ]3,1[ 16. 2三、解答题17.解：（1）}3,2{}395|{2==+-∈=x x R x A Θ. }2,2{}04|{2-==-∈=x R x B}2{=⋂B A（2）≠⋂C A Θ∅，=⋂C B ∅，C C C ∈∉-∉∴3,2,2}019|{22>-+-∈=a ax x R x C Θ⎪⎩⎪⎨⎧>--≤-+≤--010301520152222a a a a a a即⎪⎩⎪⎨⎧-<>≤≤-≤≤-253553a a a a 或解得23-<≤-a .所以实数a 的取值范围是)2,3[--.18.解：（1）取AD 中点O 连接AC OC OP ,,，依题意可知ACD PAD ∆∆,均为正三角形，AD OP AD OC ⊥⊥∴,又⊂=⋂OC O OP OC ,平面⊂OP POC ,平面POC⊥∴AD 平面POC又⊂PC 平面POCAD PC ⊥∴（2）由（1）可知AD OP ⊥，又平面⊥PAD 平面ABCD平面⋂PAD 平面ABCD ⊂=OP AD ,平面PAD⊥∴PO 平面ABCD即OP 为三棱锥ACD P -的高又PAD ∆是边长为2的正三角形，3=∴PO 由PO S V ACD ACD P ⋅=∆-31 又1,32432=∴=⨯=∆-ADC P V ADC 又M 为PC 的中点2121===∴---ADC P ADC M MAC D V V V . 19.解：（1）)(x f Θ是定义在R 上的奇函数，)()(x f x f -=-∴对于任意的实数x 恒成立，即0))(22(=+--xx a a k 对于任意的实数x 恒成立， 1=∴k .（2）由（1）知x x a a x f --=)(，因为65)1(-=f ，所以651-=-a a ， 解得32=a 或23-=a （舍去），故x x x f )23()32()(-= 任取21,x x 且21x x <，则])23()23[(])32()32[(])23()32[()23()32()()(2121221121x x x x x x x x x f x f ---=---=- 由指数函数的单调性知，2121)23()23(,)32()32(x x x x >> )()(21x f x f >∴故函数)(x f 是R 上的减函数0)12()3(≥+-+-x f t x f Θ，由函数)(x f 为奇函数且单调递减，知123),12()3(-≤--≥-∴x t x x f t x f ，即1+≥x t 在]1,1[-上恒成立则2≥t ，即实数t 的最小值是2.20.解：（1）设点P 坐标为),(y x由||2||PB PA =，得：2222)1(2)4(y x y x ++=++整理得：曲线的E 轨迹方程为422=+y x（2）依题意21|4|2=+=k d7±=∴k（3）由题意可知：N M Q O ,,,四点共圆且在以OQ 为直径的圆上，设)421,(-t t Q ， 其方程为0)421()(=+-+-t y y t x x ，即：0)42(22=--+-y t y tx x 又N M ,在曲线4:22=+y x E 上，04)42(=--+=y t tx l MN 即0)1(4)2(=+-+y t y x ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+0102y y x 得⎪⎩⎪⎨⎧-==121y x ， ∴直线MN 过定点)1,21(-. 21.解：（1）AB AD PAB PAD =∠=∠,ΘPAB PAD ∆≅∆∴，得PD PB =，O Θ为BD 中点，BD PO ⊥∴，Θ底面ABCD 为菱形，⊥∴=⋂⊥∴BD O PO AC BD AC ,,Θ平面PAC ，⊂BD Θ平面∴，PBD 平面⊥PAC 平面PBD . （2）连接AG 交BD 于M ，在PAG ∆中，过M 作PG ME //交PA 于E ，连接ED 和EB ， ⊄PG Θ平面⊂ME BDE ,平面//,PG BDE ∴平面BDE21~,2,//==∴∆∆=BG AD GM AM BGM ADM AD BG BG AD Θ， 21,//==∴MG MA EP EA ME PG Θ，即21=EP AE . 22.（1）解：设点Q 的坐标为),(y x ''，则y y a x x -='-=',2，即y y a x x '-=+'=,2.Θ点),(y x P 在函数)3(log a x y a -=图象上， )32(log a a x y a -+'='-∴，即a x y a -'='1log ax x g a -=∴1log )( （2）)0(2)(2>+-=x x x x F ，]1,(),(],1,()(-∞⊆∴-∞∈n m x F Θ，故1≤n)(x F ∴在),(n m 上单调递增，⎩⎨⎧==n n F m m F )()(，即n m 、为x x F =)(的两相异的非负的实数 即x x x =+-22，解得1,0==n m（3）函数ax a x x g x f a a ---=-1log )3(log )()( 由题意]3,2[++∈a a x ，则0223)2(>+-=-+a a a ， 又0>a ，且10,1<<∴≠a a|)34(log ||1log )3(log ||)()(|22a ax x ax a x x g x f a a a +-=---=- 1)34(log 11|)()(|22≤+-≤-∴≤-a ax x x g x f a Θ， 又2234)(a ax x x r +-=对称轴为a x 2= a a a 2210>+∴<<Θ，则2234)(a ax x x r +-=在]3,2[++a a 上为增函数， ∴函数)34(log )(22a ax x x u a +-=在]3,2[++a a 上为减函数， 从而)69(log )3()]().[44(log )2()]([min max a a u x u a a u x u a a -=+=-=+= 又10<<a ，则⎩⎨⎧≤--≥-1)44(log 1)69(log a a a a125790-≤<∴a .。