八年级数学上册第六章一次函数教案北师大版

课题：一次函数
教学目标：了解一次函数的概念,掌握一次函数的图象和性质,能正确画出一次函数的图象,并能根据图象探索函数的性质.能根据具体条件列出一次函数的关系式。
教学重点：根据不同条件求一次函数的解析式.
教学难点：根据函数图象探索其性质.
变化的世界
1．概念：若两个变量x，y间的关系式可以表示成（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量），特别地，当0时，称y是x的正比例函数.
2.坐标轴的函数表达式
函数关系式0的图像是y轴，反之，y轴可以用函数关系式0表示； 函数关系式0的图像是x轴，反之，x轴可以用函数关系式0表示．
3.一次函数与二元一次方程组的关系
一般地，每个二元一次方程组，都对应着两个一次函数，于是也就是对应着两条直线，从“数”的角度看，解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这两函数值是何值；从形的角度考虑，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标，所以一次函数及其图像与二元一次方程组有着密切的联系．
②k程度，即越大，直线与x轴相交的锐角度数越大（直线陡），越小，直线与x轴相交的锐角度数越小（直线缓）；
（3）b的正、负决定直线与y轴交点的位置；
①当b＞0时，直线与y轴交于正半轴上；
②当b＜0时，直线与y轴交于负半轴上；
③当0时，直线经过原点，是正比例函数．
（2）当k＞0时，图象经过第一、三象限随x的增大而增大；
（3）当k＜0时，图象经过第二、四象限随x的增大而减小．
点P（x0，y0）与直线的图象的关系
（1）如果点P（x0，y0）在直线的图象上，那么x00的值必满足解析式；
（2）如果x0，y0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x0，y0为坐标的点P（1，2）必在函数的图象上．
（4）当0，0时，它不是一次函数.
把一个函数的自变量x与所对应的y的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线．
一次函数的图象
由于一次函数（k，b为常数，k≠0）的图象是一条直线，所以一次函数的图象也称为直线．
例如：点P（1，2）满足直线1，即1时，2，则点P（1，2）在直线的图象上；点P′（2，1）不满足解析式1，因为当2时，3，所以点P′（2，1）不在直线的图象上．
确定正比例函数及一次函数表达式的条件
（1）由于正比例函数（k≠0）中只有一个待定系数k，故只需一个条件（如一对x，y的值或一个点）就可求得k的值．
由于两点确定一条直线，描出适合关系式的两点，再连成直线，一般选取两个特殊点：直线与y轴的交点（0，b），直线与x轴的交点（- ，0）.画正比例函数的图象时，只要描出点（0，0），（1，k）即可.
1. 一次函数（k，b为常数，k≠0）的性质
（1）k的正、负决定直线的倾斜方向；
①k＞0时，y的值随x值的增大而增大；
（2）由于一次函数（k≠0）中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点或两对x，y的值．
1.一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的关系
一次函数及其图像与一元一次方程及一元一次不等式有着密切的关系，函数（a≠0，a，b为常数）中，函数的值等于0时自变量x的值就是一元一次方程0（a≠0）的解，所对应的坐标（－ ，0）是直线与x轴的交点坐标，反过来也成立； 直线在x轴的上方，也就是函数的值大于零，x的值是不等式>0（a≠0）的解；在x轴的下方也就是函数的值小于零，x的值是不等式<0（a≠0）的解．
（1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.
（2）一次函数（k，b为常数，k≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x的次数为1，一次项系数k必须是不为零的常数，b可为任意常数.
（3）当0，k≠0时，仍是一次函数.(正比例函数)
由题意可知，
解 ∴此函数的关系式为 ．
1．常数k，b对直线(k≠0）位置的影响．
①当b＞0时，直线与y轴的正半轴相交；
当0时，直线经过原点；
当b﹤0时，直线与y轴的负半轴相交．
②当k，b异号时，即- ＞0时，直线与x轴正半轴相交；
当0时，即 0时，直线经过原点；
当k，b同号时，即- ﹤0时，直线与x轴负半轴相交．
③当k＞O，b＞O时，图象经过第一、二、三象限；
当k＞0，0时，图象经过第一、三象限；
当b＞O，b＜O时，图象经过第一、三、四象限；
当k﹤O，b＞0时，图象经过第一、二、四象限；
当k﹤O，0时，图象经过第二、四象限；
当k＜O，b＜O时，图象经过第二、三、四象限．
2． 直线（k≠0）与直线(k≠0)的位置关系．
用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤：一设，二代，三解，四代入
（1）设函数表达式为；
（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；
（3）求出k与b的值；
（4）将k、b的之带入，得到函数表达式。
例如：已知一次函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3）求此一次函数的关系式．
解：设一次函数的关系式为y＝（k≠0），
4.两条直线的位置关系与二元一次方程组的解
（1）二元一次方程组 有唯一的解 直线11不平行于直线22 k1≠k2．
（2）二元一次方程组 无解 直线11∥直线22 k12，b1≠b2．
（3）二元一次方程组 有无数多个解 直线11与22重合 k12，b12．
5. 待定系数法
先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．其中未知系数也叫待定系数．例如：函数中，k，b就是待定系数．
（4）由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同；
（5）由于决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线＋1可以看作是正比例函数向上平移一个单位得到的．
2. 正比例函数（k≠0）的性质
（1）正比例函数的图象必经过原点；