线性代数复习总结

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线性代数复习要点

线性代数复习要点

线性代数复习要点线性代数是数学中的一个分支,其研究对象包括向量空间、线性变换、矩阵、线性方程组等。

线性代数广泛应用于各个领域,如物理学、计算机科学、工程学等。

下面是线性代数复习的要点:1.向量和向量空间-向量是指具有大小和方向的量,用箭头表示。

-向量空间是指由一组向量生成的集合,满足加法和数乘运算的封闭性。

-基是一个向量空间中独立且能够生成该向量空间的向量组。

-向量组的线性组合是指对向量组中的向量进行加法和数乘运算的结果。

-向量组的生成子空间是指向量组的所有线性组合所形成的空间。

2.矩阵和线性变换-矩阵是一个按照矩形排列的数。

矩阵的大小由行数和列数确定。

-矩阵的加法和数乘运算定义为对应元素的运算。

-矩阵的转置是指行变为列,列变为行的操作。

-矩阵的乘法是指矩阵的行与列的对应元素相乘后求和的运算。

-线性变换是指将一个向量空间映射到另一个向量空间的变换,保持线性关系。

3.行列式和特征值特征向量-行列式是一个与矩阵相关的数,用于描述矩阵的性质。

-二阶和三阶矩阵的行列式可以通过对应元素相乘后求和的方式计算。

-行列式的值为0表示矩阵不可逆,即不存在逆矩阵。

-特征值是指矩阵对一些向量进行线性变换后,仍然与原向量方向相同的结果。

-特征向量是指通过线性变换后,与其特征值对应的向量。

4.线性方程组的求解-线性方程组是一组线性方程的集合,其中未知量的次数等于方程的个数。

-列向量和矩阵可以表示线性方程组的系数和常数项。

-线性方程组的解可以通过高斯消元法、矩阵的逆等方法进行求解。

-高斯消元法是将方程组化为行阶梯形式,再通过回代求解。

-线性方程组的解可以有唯一解、无解或者无穷多解。

5.特殊矩阵和矩阵的分解-单位矩阵是指主对角线上的元素为1,其余元素为0的矩阵。

-零矩阵是指所有元素均为0的矩阵。

-对角矩阵是指主对角线以外的元素均为0的矩阵。

-逆矩阵是指一个矩阵与其逆矩阵相乘得到单位矩阵。

-矩阵的分解包括LU分解、QR分解、特征值分解等。

自考本线性代数知识点总结

自考本线性代数知识点总结

自考本线性代数知识点总结一、向量和矩阵1. 向量的定义向量是有向线段的数学表示,通常用加粗的小写字母来表示,如a、b等。

向量有大小和方向,可以表示为一组有序的数值,例如a=(a1, a2, ..., an)。

2. 向量的运算向量可以进行加法、数乘和内积运算。

加法是指对应位置上的数值相加,数乘是指一个标量与向量的每个分量相乘,内积是指两个向量对应位置上的数值相乘后再相加得到一个标量。

3. 矩阵的定义矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。

矩阵通常用大写字母来表示,如A、B 等,可以表示为一个矩形数表格。

4. 矩阵的运算矩阵可以进行加法、数乘和乘法等运算。

矩阵的加法是指对应位置上的元素相加,数乘是指一个标量与矩阵的每个元素相乘,矩阵的乘法则是一种复杂的运算,需要满足一定的规则。

5. 矩阵的转置和逆矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵,用A^T表示。

矩阵的逆是指对于一个n阶方阵A,存在一个n阶方阵B,使得A与B的乘积为单位矩阵。

二、行列式和特征值1. 行列式行列式是矩阵的一个重要性质,它可以用来描述矩阵线性变换前后的面积或体积的缩放比例。

行列式的计算是一个重要的线性代数知识点,非常重要。

2. 特征值和特征向量特征值是矩阵的一个重要性质,它是矩阵A的一个标量λ,使得矩阵A减去λ乘以单位矩阵的行列式为0。

特征向量是对应于特征值的非零向量,它可以用来描述矩阵线性变换的方向。

三、线性方程组和矩阵的应用1. 线性方程组线性方程组是由线性方程组成的方程组,它可以用矩阵的形式表示为AX=B,其中A为系数矩阵,X为未知数向量,B为常数向量。

2. 矩阵的应用矩阵在各个领域都有着广泛的应用,如在工程学中可以用来描述结构的受力分布,计算机科学中用来表示图像和二维图形的变换,物理学中用来描述物质的状态等。

四、线性变换和空间1. 线性变换线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射,它满足两个性质:对于所有的向量u和v以及标量c,有T(u+v) = T(u) + T(v),T(cu) = cT(u)。

线性代数知识点归纳

线性代数知识点归纳

线性代数知识点归纳线性代数复习要点第一部分行列式1.排列的逆序数2.行列式按行(列)展开法则3.行列式的性质及行列式的计算行列式的定义行列式的计算:①(定义法)②(降阶法)行列式按行(列)展开定理:行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论:行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.③(化为三角型行列式)上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积④若都是方阵(不必同阶)则⑤关于副对角线:⑦型公式:⑧(升阶法)在原行列式中增加一行一列,保持原行列式不变的方法.⑨(递推公式法)对阶行列式找出与或,之间的一种关系——称为递推公式,其中,,等结构相同,再由递推公式求出的方法称为递推公式法.(拆分法)把某一行(或列)的元素写成两数和的形式,再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和,使问题简化以例计算.⑩(数学归纳法)2.对于阶行列式,恒有:,其中为阶主子式;3.证明的方法:①、;②、反证法;③、构造齐次方程组,证明其有非零解;④、利用秩,证明;⑤、证明0是其特征值.4.代数余子式和余子式的关系:第二部分矩阵矩阵的运算性质矩阵求逆矩阵的秩的性质矩阵方程的求解矩阵的定义由个数排成的行列的表称为矩阵.记作:或(同型矩阵:两个矩阵的行数相等、列数也相等.(矩阵相等:两个矩阵同型,且对应元素相等.(矩阵运算a.矩阵加(减)法:两个同型矩阵,对应元素相加(减).b.数与矩阵相乘:数与矩阵的乘积记作或,规定为.c.矩阵与矩阵相乘:设,,则,其中注:矩阵乘法不满足:交换律、消去律,即公式不成立.a.分块对角阵相乘:b.用对角矩阵乘一个矩阵相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的向量;用对角矩阵乘一个矩阵相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的向量d.两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,⑤矩阵的转置:把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵,叫做的转置矩阵,记作.a.对称矩阵和反对称矩阵:是对称矩阵.是反对称矩阵.b.分块矩阵的转置矩阵:⑥伴随矩阵:,为中各个元素的代数余子式.,,.分块对角阵矩阵转置的性质:矩阵可逆的性质:伴随矩阵的性质:(无条件恒成立) 2.逆矩阵的求法方阵可逆.①伴随矩阵法:②初等变换法③分块矩阵的逆矩阵:④,⑤配方法或者待定系数法(逆矩阵的定义)行阶梯形矩阵可画出一条阶梯线,线的下方全为;每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的行数,阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1,且这些非零元所在列的其他元素都是时,称为行最简形矩阵初等变换与初等矩阵对换变换、倍乘变换、倍加(或消法)变换初等变换初等矩阵初等矩阵的逆初等矩阵的行列式 () () () ?矩阵的初等变换和初等矩阵的关系:(对施行一次初等变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵乘;(对施行一次初等变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵乘.注意:初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵.矩阵的秩关于矩阵秩的描述:①、,中有阶子式不为0,阶子式(存在的话)全部为0;②、,的阶子式全部为0;③、,中存在阶子式不为0;矩阵的秩的性质:①;;≤≤②③④⑤≤⑥若、可逆,则;即:可逆矩阵不影响矩阵的秩.⑦若;若⑧等价标准型.⑨≤,≤≤⑩,求秩矩阵方程的解法):设法化成第三部分线性方程组1.向量组的线性表示2.向量组的线性相关性3.向量组的秩4.向量空间5.线性方程组的解的判定6.线性方程组的解的结构(通解)(1)齐次线性方程组的解的结构(基础解系与通解的关系)(2)非齐次线性方程组的解的结构(通解)线性表示:对于给定向量组,若存在一组数使得,则称是的线性组合,或称称可由的线性表示.线性表示的判别定理:可由的线性表示由个未知数个方程的方程组构成元线性方程:①、有解②、③、(全部按列分块,其中);④、(线性表出)⑤、有解的充要条件:(为未知数的个数或维数)2.设的列向量为的列向量为,,为的解可由线性表示.即:的列向量能由的列向量线性表示,为系数矩阵. 同理:的行向量能由的行向量线性表示,为系数矩阵. 即:线性相关性判别方法:法1法2法3推论线性相关性判别法(归纳)线性相关性的性质零向量是任何向量的线性组合零向量与任何同维实向量正交单个零向量线性相关;单个非零向量线性无关部分相关整体必相关;整体无关部分必无关原向量组无关接长向量组无关;接长向量组相关原向量组相关两个向量线性相关对应元素成比例;两两正交的非零向量组线性无关向量组中任一向量≤都是此向量组的线性组合若线性无关,而线性相关则可由线性表示且表示法一向量组的秩向量组的极大无关组所含向量的个数,称为这个向量组的秩.记作矩阵等价经过有限次初等变换化为向量组等价和可以相互线性表示记作:矩阵的行向量组的秩列向量组的秩阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数矩阵的初等变换不改变矩阵的秩且不改变行向量间的线性关系向量组可由向量组线性表示且,则线性相关向量组线性无关且可由线性表示则.向量组可由向量组线性表示且则两向量组等价任一向量组和它的极大无关组等价向量组极大无关组若两个线性无关的向量组等价则它们包含的向量个数相等设是矩阵若,的行向量线性无关;线性方程组的矩阵式向量式(1)解得判别定理(2)线性方程组解的性质:判断是的基础解系的条件:①线性无关;②是的解;③.(4)求非齐次线性方程组Ax=b的通解的步骤(5)其他性质一个齐次线性方程组的基础解系不唯一.√若是的一个解,是的一个解线性无关√与同解(列向量个数相同):①它们的极大无关组相对应从而秩相等②它们对应的部分组有一样的线性相关性③它们有相同的内在线性关系与的行向量组等价齐次方程组与同解(左乘可逆矩阵);矩阵与的列向量组等价(右乘可逆矩阵).第四部分方阵的特征值及特征向量1.施密特正交化过程2.特征值、特征向量的性质及计算3.矩阵的相似对角化,尤其是对称阵的相似对角化1.(标准正交基个维线性无关的向量两两正交每个向量长度为1与的内积(.记为:④向量的长度⑤是单位向量的向量.2.内积的性质:①正定性:②对称性:③线性:(设A是一个n阶方阵,若存在数和n维非零列向量,使得,则称是方阵A的一个特征值,为方阵A的对应于特征值的一个特征向量.(的特征矩阵).(的特征多项式).④是矩阵的特征多项式⑤,称为矩阵的迹.⑥上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的各元素若则为的的基础解系即为属于的线性无关的特征向量.⑧一定可分解为=、,从而的特征值为:,.为各行的公比,为各列的公比.⑨若的全部特征值,是多项式,则:①若满足的任何一个特征值必满足②的全部特征值为;.⑩与有相同的特征值,但特征向量不一定相同.特征值与特征向量的求法(1)写出矩阵A的特征方程,求出特征值.(2)根据得到A对应于特征值的特征向量.设的基础解系为其中.则A对应于特征值的全部特征向量为其中为任意不全为零的数.(与相似(为可逆矩阵)(与正交相似(为正交矩阵)(可以相似对角化与对角阵相似.(称是的相似标准形)6.相似矩阵的性质:①,从而有相同的特征值,但特征向量不一定相同.是关于的特征向量,是关于的特征向量.②③从而同时可逆或不可逆④⑤若与相似,则的多项式与的多项式相似.矩阵对角化的判定方法①n阶矩阵A可对角化(即相似于对角阵)的充分必要条件是A有n 个线性无关的特征向量.这时,为的特征向量拼成的矩阵,为对角阵,主对角线上的元素为的特征值.设为对应于的线性无关的特征向量,则有:.②可相似对角化,其中为的重数恰有个线性无关的特征向量.:当为的重的特征值时,可相似对角化的重数基础解系的个数.③若阶矩阵有个互异的特征值可相似对角化.实对称矩阵的性质:①特征值全是实数,特征向量是实向量;②不同特征值对应的特征向量必定正交;:对于普通方阵,不同特征值对应的特征向量线性无关;③一定有个线性无关的特征向量.若有重的特征值,该特征值的重数=;④必可用正交矩阵相似对角化,即:任一实二次型可经正交变换化为标准形;⑤与对角矩阵合同,即:任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形;⑥两个实对称矩阵相似有相同的特征值.9.正交矩阵正交矩阵的性质①;②;③正交阵的行列式等于1或-1④是正交阵则也是正交阵⑤两个正交阵之积仍是正交阵⑥的行(列)向量都是单位正交向量组.10.11.施密特线性无关单位化:其中为对称矩阵,(与合同.()(正惯性指数二次型的规范形中正项项数负惯性指数二次型的规范形中负项项数符号差(为二次型的秩)④两个矩阵合同它们有相同的正负惯性指数他们的秩与正惯性指数分别相等.⑤两个矩阵合同的充分条件是:与等价⑥两个矩阵合同的必要条件是:2.经过化为标准形.(正交变换法(配方法(1)若二次型含有的平方项,则先把含有的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量同样进行,直到都配成平方项为止,经过非退化线性变换,就得到标准形;若二次型中不含有平方项,但是(),则先作可逆线性变换,化二次型为含有平方项的二次型,然后再按(1)中方法配方.(初等变换法3. 正定二次型不全为零,.正定矩阵正定二次型对应的矩阵.4.为正定二次型(之一成立):(1),;(2)的特征值全大于;(3)的正惯性指数为;(4)的所有顺序主子式全大于;(5)与合同,即存在可逆矩阵使得;(6)存在可逆矩阵,使得;5.(1)合同变换不改变二次型的正定性.(2)为正定矩阵;.(3)为正定矩阵也是正定矩阵.(4)与合同,若为正定矩阵为正定矩阵(5)为正定矩阵为正定矩阵,但不一定为正定矩阵. 半正定矩阵的判定一些重要的结论:全体维实向量构成的集合叫做维向量空间.√关于:①称为的标准基,中的自然基,单位坐标向量;②线性无关;③;④;⑤任意一个维向量都可以用线性表示.7第1页共20页。

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第一章行列式一、行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式相等,即|A | = |A T|.(行列互换,行列式不变)性质2互换行列式的两行(列),行列式变号.推论1如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零.性质3行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一个倍数k,等于用数k 乘以此行列式.a ua i2a i3anai2^13ka na i2a i3a2Xa22a23 — ka 2xka’2 転23 = ka 2}a22 a23角1 a 32 «33a 3i角2 。

33脳31«33若行列式中有一行(列)为0,则行列式为0.行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式为零.坷 1坷]a n 纠341 a n 坷 3a21+b l a 22+b 2 如+4—a 21 a 22"23+ b l b 2 S。

31 “32 。

33。

31 “32 “33。

31 “32 “33 性质6把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列(行) 对应的元素上去,行列式不变.a\\a i2ai3au a n + ka !3 a i3 aCL CLa CL + kaaW21 u 22w23^21 "22 ' e"23 "23 “31 °32 "33°31 “32 + 氐 °33 。

33性质7 (Laplace 定理)行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余 子式乘积之和,BP : | A| = a ix A i} + a i2A i2 + • • • + a in A in (1 = 1,2,• • •, n )推论2性质4 。

21 ^22a31 “32ka [{ ka {2。

13。

23a 33 。

21 °3a n"12 "13 a22 ^23a 32= 40 = 0性质5行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式为零.二. 行列式的计算 1、字母型(用性质求值)2a I 】(1)、若三阶行列式£>= a tJ =3,则2°3i"1 “3—2d] -2^2—2a*(2)、若三阶行列式D = S b 2 g=-1,则 -2叽-2b 2 -2b.C] c 2 c 3-2C] -2C 2 -2C 32、四阶行列式计算降阶计算。

线性代数复习总结

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1概念、性质、定理、公式必须清楚,解法必须熟练,计算必须准确(),nT A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E οοοββ==⇔∀≠≠≠⇔∀∈=≅可逆 的列(行)向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ,0总有唯一解 是正定矩阵 R 12,s iA p p p p nB AB E AB E⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪=⋅⋅⋅⎪==⎪⎩ 是初等阵存在阶矩阵使得 或 ○注:全体n 维实向量构成的集合nR 叫做n 维向量空间. ()A r A n A A A Ax A ολ<=⇔==不可逆 0的列(行)向量线性相关 0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩特征向量○注 ()()a b r aE bA n aE bA aE bA x οολ+<⎧⎪+=⇔+=⎨⎪⎩有非零解=-⎫⎪≅⎪−−−→⎬⎪⎪⎭具有向量组等价矩阵等价()反身性、对称性、传递性矩阵相似()矩阵合同()2√ 关于12,,,n e e e ⋅⋅⋅:①称为n的标准基,n中的自然基,单位坐标向量87p 教材;②12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性无关; ③12,,,1n e e e ⋅⋅⋅=; ④tr =E n ;⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性表示.1212121112121222()1212()n n nn n j j j n j j nj j j j n n nna a a a a a D a a a a a a τ==-∑1√ 行列式的计算:①行列式按行(列)展开定理:行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论:行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.②若A B 与都是方阵(不必同阶),则==()mn A OA A O A BO BO BBO A AA B B O B O*==**=-1(拉普拉斯展开式)③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.3④关于副对角线:(1)211212112111()n n nnn n n n n n n a Oa a a a a a a Oa O---*==-1 (即:所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积的代数和)⑤范德蒙德行列式:()1222212111112n ijnj i nn n n nx x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏111由m n ⨯个数排成的m 行n 列的表111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭称为m n ⨯矩阵.记作:()ij m n A a ⨯=或mn A ⨯()1121112222*12n Tn ijnnnn A A A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭,ij A 为A 中各个元素的代数余子式. √ 逆矩阵的求法:① 1A A A *-= ○注: 1a b d b c d c a ad bc --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1 主换位副变号②1()()A E E A -−−−−→初等行变换4③1231111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3211111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭√ 方阵的幂的性质:m n m n A A A += ()()m nmnA A =√ 设,,m n n s A B ⨯⨯A 的列向量为12,,,n ααα⋅⋅⋅,B 的列向量为12,,,s βββ⋅⋅⋅,则m sAB C ⨯=⇔()()1112121222121212,,,,,,s s n s n n ns b b b b b b c c c b b b ααα⎛⎫⎪⎪⋅⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⇔i iA c β= ,(,,)i s =1,2⇔iβ为iAx c =的解⇔()()()121212,,,,,,,,,s s s A A A Ac c c ββββββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⇔12,,,s c c c 可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示.即:C 的列向量能由A 的列向量线性表示,B 为系数矩阵. 同理:C 的行向量能由B 的行向量线性表示,TA 为系数矩阵.即: 1112111212222212n n n n mn n m a a a c a a a c a a a c βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⇔11112212121122222211222n n m m mn ma a a c a a a c a a a c βββββββββ+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩√ 用对角矩阵Λ○左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○行向量; 用对角矩阵Λ○右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.5√ 分块矩阵的转置矩阵:TTT TT A B A C C D BD ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭分块矩阵的逆矩阵:111A A B B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 111A B BA---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111A C A A CB O B OB ----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1111A O A OC B B CAB ----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 分块对角阵相乘:11112222,A B A B A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒11112222A B AB A B ⎛⎫=⎪⎝⎭,1122nn n A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭分块对角阵的伴随矩阵:***A BA B AB ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ *(1)(1)mn mn A A B BB A **⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭√ 矩阵方程的解法(0A ≠):设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II)A B E X −−−−→初等行变换(I)的解法:构造()()T T T TA XB X X=(II)的解法:将等式两边转置化为, 用(I)的方法求出,再转置得① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关;单个非零向量线性无关.③ 部分相关,整体必相关;整体无关,部分必无关. (向量个数变动)④ 原向量组无关,接长向量组无关;接长向量组相关,原向量组相关. (向量维数变动)6⑤ 两个向量线性相关⇔对应元素成比例;两两正交的非零向量组线性无关114p 教材. ⑥ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅中任一向量i α(1≤i ≤)n 都是此向量组的线性组合.⑦ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关⇔向量组中至少有一个向量可由其余n -1个向量线性表示. 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关⇔向量组中每一个向量i α都不能由其余n -1个向量线性表示. ⑧ m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关()r A n ⇔<; m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关()r A n ⇔=.⑨ 若12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关,而12,,,,n αααβ⋅⋅⋅线性相关,则β可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且表示法唯一. ⑩ 矩阵的行向量组的秩=列向量组的秩=矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.可画出一条阶梯线,线的下方全为0;每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的行数,阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1,且这些非零元所在列的其他元素都是0⑪ 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系; 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系. 即:矩阵的初等变换不改变矩阵的秩. √ 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系:对A 施行一次初等○行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○左乘A ;7对A 施行一次初等○列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○右乘A .如果矩阵A 存在不为零的r 阶子式,且任意r +1阶子式均为零,则称矩阵A 的秩为r .记作()r A r =向量组12,,,n ααα的极大无关组所含向量的个数,称为这个向量组的秩.记作12(,,,)n r αααA 经过有限次初等变换化为B . 记作:A B =12,,,n ααα⋅⋅⋅和12,,,n βββ⋅⋅⋅可以相互线性表示. 记作:()()1212,,,,,,n n αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⑫ 矩阵A 与B 等价⇔PAQ B =,,P Q 可逆⇔()(),,,r A r B A B A B =≠>为同型矩阵作为向量组等价,即:秩相等的向量组不一定等价.矩阵A 与B 作为向量组等价⇔1212(,,,)(,,,)n n r r αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=1212(,,,,,,)n n r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒ 矩阵A 与B 等价.⑬ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示⇔AX B =有解⇔12(,,,)=n r ααα⋅⋅⋅1212(,,,,,,)n s r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅≤12(,,,)n r ααα⋅⋅⋅. ⑭ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且s n >,则12,,,s βββ⋅⋅⋅线性相关.向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅线性无关,且可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,则s ≤n .⑮ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅,则两向量组等价; ⑯ 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价. ⑰ 向量组的极大无关组不唯一,但极大无关组所含向量个数唯一确定. ⑱ 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.8⑲ 设A 是m n ⨯矩阵,若()r A m =,A 的行向量线性无关;若()r A n =,A 的列向量线性无关,即:12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关. √ 矩阵的秩的性质:①()A O r A ≠⇔若≥1 ()0A O r A =⇔=若 0≤()m n r A ⨯≤min(,)m n ②()()()TTr A r A r A A == p 教材101,例15 ③()()r kA r A k =≠ 若0④()(),,()0m n n s r A r B n A B r AB B Ax ⨯⨯+≤⎧=⇒⎨=⎩若若0的列向量全部是的解⑤()r AB ≤{}min (),()r A r B⑥()()()()A r AB r B B r AB r A ⇒=⇒=若可逆若可逆 即:可逆矩阵不影响矩阵的秩.⑦若()()()m n Ax r AB r B r A n AB O B OA AB AC B C ο⨯⇔=⎧⎪=⎧⎪=⎨⎪⇒=⇒=⎧⎨⎪⎨⎪⎪=⇒=⎩⎩⎩ 只有零解在矩阵乘法中有左消去律;若()()()n s r AB r B r B n B ⨯=⎧=⇒⎨⎩在矩阵乘法中有右消去律.⑧()rrE O E O r A r A A OO OO ⎛⎫⎛⎫=⇒⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若与唯一的等价,称为矩阵的等价标准型.9⑨()r A B ±≤()()r A r B + {}max (),()r A r B ≤(,)r A B ≤()()r A r B + p 教材70 ⑩()()A O O A r r A r B O B B O ⎛⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()A C r r A r B O B ⎛⎫≠+ ⎪⎝⎭121212,,,0,,,()(),,,A n n A n Ax A n Ax Ax r A r A Ax A n βαααβαααβββααα⇔=−−−−−→=<⇔⇒⇔=⇔=⇔=⇔=−−−−−→≠⇒=⇔⇒当为方阵时当为方阵时有无穷多解0表示法不唯一线性相关有非零解可由线性表示有解有唯一组解0克莱姆法则表示法唯一 线127()(),,,()()()1()n Ax r A r A Ax r A r A r A r A οββαααβββ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⇔=⎪⎩⎧⇔≠⎪⇔=⇔<⎨⎪⇔+=⎩教材72讲义8性无关只有零解不可由线性表示无解 ○注:Ax Axββ⇒=<≠⇒=<≠有无穷多解其导出组有非零解有唯一解其导出组只有零解Ax β=1122n n x x x αααβ+++=1112111212222212,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A x a a a x b β⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 12,,2,,j j j mj j n αααα⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1101212(,,,)n n x xx αααβ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭线性方程组解的性质:1212121211221212(1),,(2),,(3),,,,,,,,(4),,(5),,(6k k k k Ax Ax k k Ax k Ax Ax Ax Ax Ax ηηοηηηοηηηηολλλληληληγβηογηβηηβηηο=+⎫⎪=⎪⎬=⎪⎪++⎭==+==-= 是的解也是它的解 是的解对任意也是它的解齐次方程组 是的解对任意个常数 也是它的解 是的解是其导出组的解是的解 是的两个解是其导出组的解211212112212112212),(7),,,,100k k k k k k k Ax Ax Ax Ax Ax ηβηηηοηηηβληληληβλλλληληληλλλ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪=⇔-=⎪=⎪⎪++=⇔++=⎪⎪++=⇔++=⎩ 是的解则也是它的解是其导出组的解 是的解则也是的解 是的解√ 设A 为m n ⨯矩阵,若()r A m =⇒()()r A r A β=⇒Ax β=一定有解,当m n <时,一定不是唯一解⇒<方程个数未知数的个数向量维数向量个数,则该向量组线性相关.m 是()()r A r A β和的上限. √ 判断12,,,s ηηη是Ax ο=的基础解系的条件:① 12,,,s ηηη线性无关; ② 12,,,s ηηη都是Ax ο=的解;③ ()s n r A =-=每个解向量中自由未知量的个数.√ 一个齐次线性方程组的基础解系不唯一. √ 若η*是Ax β=的一个解,1,,,s ξξξ是Ax ο=的一个解⇒1,,,,s ξξξη*线性无关√ Ax ο=与Bx ο=同解(,A B 列向量个数相同),则:① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等; ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性; ③ 它们有相同的内在线性关系.√ 两个齐次线性线性方程组Ax ο=与Bx ο=同解⇔()()A r r A r B B ⎛⎫==⎪⎝⎭. √ 两个非齐次线性方程组Ax β=与Bx γ=都有解,并且同解⇔()()A r r A r B B βγ⎛⎫==⎪⎝⎭.√ 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯的行向量组等价⇔齐次方程组Ax ο=与Bx ο=同解⇔PA B =(左乘可逆矩阵P );101p 教材 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯的列向量组等价⇔AQ B =(右乘可逆矩阵Q ). √ 关于公共解的三中处理办法:① 把(I)与(II)联立起来求解;② 通过(I)与(II)各自的通解,找出公共解;当(I)与(II)都是齐次线性方程组时,设123,,ηηη是(I)的基础解系, 45,ηη是(II)的基础解系,则 (I)与(II)有公共解⇔基础解系个数少的通解可由另一个方程组的基础解系线性表示.即:1231231425(,,)(,,)r r c c ηηηηηηηη=+当(I)与(II)都是非齐次线性方程组时,设11122c c ξηη++是(I)的通解,233c ξη+是(II)的通解,两方程组有公共解⇔2331c ξηξ+-可由12,ηη线性表示. 即:12122331(,)(,)r r c ηηηηξηξ=+-③ 设(I)的通解已知,把该通解代入(II)中,找出(I)的通解中的任意常数所应满足(II)的关系式而求出公共解。

知识点总结线代

知识点总结线代

知识点总结线代1. 向量和向量空间向量是一个有大小和方向的量,它可以表示空间中的一个点或者物体的位移。

向量空间是由一组向量构成的集合,它满足一些特定的性质,比如对任意的向量加法和数乘运算封闭。

2. 矩阵和矩阵运算矩阵是一个长方形的数组,它由行和列组成。

在线性代数中,矩阵表示了线性映射的具体表达形式,可以用来描述向量之间的线性关系。

矩阵的加法、数乘、乘法等运算是线性代数中重要的概念。

3. 行列式和特征值行列式是矩阵的一个重要性质,在计算矩阵的逆、求解线性方程组等问题时起着重要的作用。

特征值是一个矩阵的固有性质,它表示了矩阵在某个方向上的伸缩比例。

4. 线性方程组和矩阵的逆线性方程组是线性代数中的一个重要问题,它的解决可以用来描述物理系统的平衡状态、工程问题的最优解等。

矩阵的逆是一个矩阵的重要性质,它可以用来求解线性方程组和描述线性映射的反演关系。

5. 线性变换和正交变换线性变换是线性代数中的一个重要概念,它描述了向量空间中的一个映射,满足加法和数乘的线性关系。

正交变换是一种特殊的线性变换,在物理学和工程中有着广泛的应用。

6. 对称矩阵和正定矩阵对称矩阵是一个重要的矩阵类别,在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。

正定矩阵是一个特殊的对称矩阵,它的特征值都是正数,具有很好的性质和应用价值。

7. 线性代数在计算机科学中的应用线性代数在计算机科学中有着广泛的应用,比如在图形学、机器学习、计算机图像处理等领域都离不开线性代数的支持。

矩阵的运算、线性变换等概念在计算机科学中有着重要的应用价值。

总之,线性代数是数学中的一个重要分支,它研究的是向量空间、线性映射和矩阵等概念,具有很强的理论性和应用性。

通过学习线性代数,我们可以了解向量空间的性质、矩阵的运算规律以及线性方程组的求解方法,从而在物理、工程、计算机科学等领域有着广泛的应用和实际价值。

希望通过本文的总结,读者能够对线性代数有一个更深入的理解,从而在学习和应用过程中更加得心应手。

线性代数知识点总结复习整理

线性代数知识点总结复习整理

2
定理
a11 a12 a1n
n 阶行列式
D
a21
a22
a2 n
等于它的任意一行(列)的各
an1 an2 ann
元素与其对应的代数余子式的乘积之和,即 D ai1Ai1 ai2 Ai2 ain Ain ,
(i 1, 2,, n) 或D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj , ( j 1, 2,, n) 。
k个
Am Ak Amk , Am k Amk m, k为正整数 。规定:A0=E
(只有方阵
才有幂运算)
注意 矩阵不满足交换律,即 AB BA , ABk Ak Bk (但也有例外)
转置矩阵 把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵,叫做 A 的转 置矩阵,记作 A ,
1 AT T A ; 2 A BT AT BT ; 3 AT AT ; 4 ABT BT AT 。
称为一个 n 维向量,记为
a1 a2 ...
(列向量形式)或
初等列变换:把初等行变换中的行变为列,即为初等列变换,所用记 号是把“r”换成“c”。 矩阵等价 如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B,就称矩阵 A 与 B 等价。
7
行阶梯形矩阵:可画出一条阶梯线,线的下方全为零,每个台阶只有
一行,台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线(每段竖线的长度为一
行)后面的第一个元素为非零元,也是非零行的第一个非零元。(非
推论 2 D 中某一行(列)所有元素为零,则 D=0。
性质 4 若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和,则
a11 a12 (a1i a1i ) a1n a11 a12 a1i a1n a11 a12 a1i a1n

线性代数期末复习知识点资料整理总结

线性代数期末复习知识点资料整理总结

行列式1.行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式相等TD D =.性质2互换行列式的两行(列),行列式变号.推论1如果行列式有两行(列)的对应元素完全相同,则此行列式的值为零.性质3行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k ,等于用数k 乘此行列式.如111213111213212223212223313233313233a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a =推论2如果行列式中有两行(列)元素成比例,则此行列式的值为零.性质4若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和,则这个行列式等于两个行列式之和.如111213111213111213212122222323212223212223313233313233313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''''''+++=+性质5把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去,行列式的值不变.如111213111213212223212223313233311132123313a a a a a a a a a a a a a a a a ka a ka a ka =+++例1已知,那么()A.-24B.-12C.-6D.12答案B解析2.余子式与代数余子式在n 阶行列式中,把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后,留下来的n-1阶行列式叫做元素ij a 的余子式,记作ij M ,i jij ij A (1)M +=-叫做元素ij a 的代数余子式.3.行列式按行(列)展开法则定理1行列式的值等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即1122i i i i in in D a A a A a A =+++ 或 1122j j j j nj njD a A a A a A =+++ ()1,2,,;1,2i n j n ==定理2行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即12120,j j i i jn i n a A a A a A +++= 或,11220.j j j j nj nj a A a A a A i j +++=≠ ()1,2,,;1,2i n j n == 例.设3阶矩阵()ij A a =的行列式12A =,ij A 为ij a 的代数余子式.那么313132323333a A a A a A ++=___12____;213122322333a A a A a A ++=___0___.4.行列式的计算(1)二阶行列式1112112212212122a a a a a a a a =-(3)对角行列式1212n nλλλλλλ=,n(m 1)21212nn(1)λλλλλλ-=- (4)三角行列式1111121n 2122222n1122nnn1n2nnnna a a a a a a a a a a a a a a ==(5)消元法:利用行列式的性质,将行列式化成三角行列式,从而求出行列式的值.(6)降阶法:利用行列式的性质,化某行(列)(一般选择有0元素的行或列)只有一个非零元素,再按该行(列)展开,通过降低行列式的阶数求出行列式的值.(7)加边法:行列式每行(列)所有元素的和相等,将各行(列)元素加到第一列(行),再提出公因式,进而求出行列式的值.例:思路:将有0的第三行化为只有一个非0元素33=1,按该行展开,D=3333,不用忘记B 。

完整版线性代数知识点总结

完整版线性代数知识点总结

完整版线性代数知识点总结线性代数是数学的一个分支,研究向量空间及其上的线性变换。

它在各个领域中都有广泛的应用,包括物理学、计算机科学、工程学等。

以下是线性代数的一些重要知识点总结:1.向量和向量空间:向量是有方向和大小的量,可以用来表示力、速度、位移等。

向量空间是向量的集合,具有加法和标量乘法运算,同时满足一定的性质。

2.线性方程组和矩阵:线性方程组是一组线性方程的集合,研究其解的性质和求解方法。

矩阵是一个由数构成的矩形数组,可以用来表示线性方程组中的系数和常数。

3.矩阵的运算:包括矩阵的加法、减法和乘法运算。

矩阵乘法是一种重要的运算,可以用来表示线性变换和复合变换。

4.行列式和特征值:行列式是一个标量,表示矩阵的一些性质,如可逆性和面积/体积的变换。

特征值是矩阵对应的线性变换中特殊的值,表示该变换在一些方向上的伸缩程度。

5.向量的内积和正交性:向量的内积是一种二元运算,可以用来表示向量之间的夹角和长度。

正交向量是指内积为零的向量,可以用来表示正交补空间等概念。

6.向量的投影和正交分解:向量的投影是一个向量在另一个向量上的投影,可以用来表示向量的分解。

正交分解是将一个向量分解为与另一个向量正交和平行的两个向量之和。

7.线性变换和线性映射:线性变换是指保持向量加法和标量乘法运算的变换。

线性映射是向量空间之间的函数,具有保持线性运算的性质。

8.特征值和特征向量:特征值和特征向量是线性变换或矩阵中一个重要的概念,用于描述变换的性质和方向。

9.正交矩阵和对称矩阵:正交矩阵是一个方阵,其列向量组成的矩阵是正交的。

对称矩阵是一个方阵,其转置等于自身。

10.奇异值分解:奇异值分解(SVD)是一种矩阵的分解方法,用来将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积。

SVD在数据压缩、图像处理和机器学习等领域有广泛的应用。

11.最小二乘法:最小二乘法是一种数学优化方法,用来找到一条曲线或超平面,使得这些数据点到该曲线或超平面的距离平方和最小。

《线性代数》复习总结

《线性代数》复习总结
定理2 设有非齐次线性方程组(1) Amn X , 0
设rA r,如果rA rA r n,则
1方程组AX 必有无穷多解;
2设是AX 的一个特解,设1,2,,nr是AX 0的基础解系,
则AX 的通解为:
X k11 k22 knr nr ,k1,k2,,knr R
的矩阵 与对角矩阵 合同.
求正交变换
化二次型为标准形
找正交矩阵, 使
2、正定矩阵的判别方法:
定义法 利用特征值全大于零; 顺序主子式全大于零。
与 E 合同 A CTC (C可逆)
五、两个矩阵合同、相似的判别
1、合同
标准形(规范性)正、负、零的个数分别对应相等(惯性定理) 特征值的正、负、零的个数分别对应相等
(2) r( AT ) r( A)
(3) r(PAQ ) r( A) r(PA) r( AQ )(P ,Q 可 逆 )
(4) m ax r ( A ), r ( B ) r A B r ( A ) r ( B )
(5) r(A B) r(A) r(B)
(6) r( A ) r(B ) n r( AmnBn p ) m in{r( A ), r(B )} Amn Bn p O r( A) r(B ) n
矩阵的等价: 如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B, 就称矩阵A与矩阵B等价。 与矩阵的相似、合同相互比较
初等矩阵: 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵。
定理: 左乘行变换,右乘列变换
5、矩阵的秩
Ⅰ、秩(A):A的不等于0的子式的最高阶数。
Ⅱ、秩的基本性质:
(1) 0 r ( Am n ) min m , n
考虑:还有那些极大无关组?
1,2 ,5 1,3 ,4 1,3 ,5

线性代数复习总结

线性代数复习总结

概念、性质、定理、公式必须清楚,解法必须熟练,计算必须准确(),nT A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E οοοββ==⇔∀≠≠≠⇔∀∈=≅可逆 的列(行)向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ,0总有唯一解 是正定矩阵 R 12,s iA p p p p nB AB E AB E⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪=⋅⋅⋅⎪==⎪⎩ 是初等阵存在阶矩阵使得 或 ○注:全体n 维实向量构成的集合nR 叫做n 维向量空间. ()A r A n A A A Ax A ολ<=⇔==不可逆0的列(行)向量线性相关 0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩特征向量○注 ()()a b r aE bA n aE bA aE bA x οολ+<⎧⎪+=⇔+=⎨⎪⎩有非零解=-⎫⎪≅⎪−−−→⎬⎪⎪⎭:;具有向量组等价矩阵等价()反身性、对称性、传递性矩阵相似()矩阵合同()√ 关于12,,,n e e e ⋅⋅⋅:①称为n¡的标准基,n¡中的自然基,单位坐标向量87p 教材;②12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性无关; ③12,,,1n e e e ⋅⋅⋅=; ④tr =E n ;⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性表示.1212121112121222()1212()n n nn n j j j n j j nj j j j n n nna a a a a a D a a a a a a τ==-∑LL L L L M M M L1√ 行列式的计算:①行列式按行(列)展开定理:行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论:行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.②若A B 与都是方阵(不必同阶),则==()mn A OA A O A BO BO BBO A AA B B O B O*==**=-1(拉普拉斯展开式)③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.④关于副对角线:(1)211212112111()n n nnn n n n n n n a Oa a a a a a a Oa O---*==-K NN 1 (即:所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积的代数和)⑤范德蒙德行列式:()1222212111112n i j nj i nn n n nx x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L111由m n ⨯个数排成的m 行n 列的表111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪=⎪⎪⎝⎭L L M M M L 称为m n ⨯矩阵.记作:()ij m n A a ⨯=或m nA ⨯()1121112222*12n Tn ijn n nn A A A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭L L M M M L ,ij A 为A 中各个元素的代数余子式. √ 逆矩阵的求法:① 1A A A *-= ○注: 1a b d b c d c a ad bc --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1 L L 主换位副变号 ②1()()A E E A -−−−−→MM 初等行变换③1231111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3211111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭√ 方阵的幂的性质:m n m n A A A += ()()m nmnA A =√ 设,,m n n s A B ⨯⨯A 的列向量为12,,,n ααα⋅⋅⋅,B 的列向量为12,,,s βββ⋅⋅⋅,则m sAB C ⨯=⇔()()1112121222121212,,,,,,s s n s n n ns b b b b b b c c c b b b ααα⎛⎫⎪⎪⋅⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭L LL M M M L ⇔i iA c β= ,(,,)i s =L 1,2⇔iβ为iAx c =的解⇔()()()121212,,,,,,,,,s s s A A A A c c c ββββββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=L ⇔12,,,s c c c L 可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示.即:C 的列向量能由A 的列向量线性表示,B 为系数矩阵.同理:C 的行向量能由B 的行向量线性表示,T A 为系数矩阵.即:1112111212222212n n n n mn n m a a a c a a a c a a a c βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L M M M M M L ⇔11112212121122222211222n n m m mn ma a a c a a a c a a a c βββββββββ+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L L √ 用对角矩阵Λ○左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○行向量; 用对角矩阵Λ○右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.√ 分块矩阵的转置矩阵:TTT TT A B A C C D BD ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭分块矩阵的逆矩阵:111A A B B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 111A B BA---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111A C A A CB O B OB ----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1111A O A OC B B CAB ----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 分块对角阵相乘:11112222,A B A B A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒11112222A B AB A B ⎛⎫=⎪⎝⎭,1122nn n A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭分块对角阵的伴随矩阵:***A BA B AB ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ *(1)(1)mn mn A A B BB A **⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭√ 矩阵方程的解法(0A ≠):设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II)A B E X −−−−→MM 初等行变换(I)的解法:构造()()T T T TA XB X X=(II)的解法:将等式两边转置化为, 用(I)的方法求出,再转置得① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关;单个非零向量线性无关.③ 部分相关,整体必相关;整体无关,部分必无关. (向量个数变动)④ 原向量组无关,接长向量组无关;接长向量组相关,原向量组相关. (向量维数变动) ⑤ 两个向量线性相关⇔对应元素成比例;两两正交的非零向量组线性无关114p 教材.⑥ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅中任一向量i α(1≤i ≤)n 都是此向量组的线性组合.⑦ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关⇔向量组中至少有一个向量可由其余n -1个向量线性表示. 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关⇔向量组中每一个向量i α都不能由其余n -1个向量线性表示. ⑧ m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关()r A n ⇔<; m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关()r A n ⇔=.⑨ 若12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关,而12,,,,n αααβ⋅⋅⋅线性相关,则β可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且表示法唯一. ⑩ 矩阵的行向量组的秩=列向量组的秩=矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.可画出一条阶梯线,线的下方全为0;每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的行数,阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1,且这些非零元所在列的其他元素都是0⑪ 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系; 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系. 即:矩阵的初等变换不改变矩阵的秩. √ 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系:对A 施行一次初等○行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○左乘A ; 对A 施行一次初等○列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○右乘A .如果矩阵A 存在不为零的r 阶子式,且任意r +1阶子式均为零,则称矩阵A 的秩为r .记作()r A r =向量组12,,,n αααL 的极大无关组所含向量的个数,称为这个向量组的秩.记作12(,,,)n r αααLA 经过有限次初等变换化为B . 记作:A B =%12,,,n ααα⋅⋅⋅和12,,,n βββ⋅⋅⋅可以相互线性表示. 记作:()()1212,,,,,,n n αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅%⑫ 矩阵A 与B 等价⇔PAQ B =,,P Q 可逆⇔()(),,,r A r B A B A B =≠>为同型矩阵作为向量组等价,即:秩相等的向量组不一定等价.矩阵A 与B 作为向量组等价⇔1212(,,,)(,,,)n n r r αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=1212(,,,,,,)n n r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒ 矩阵A 与B 等价.⑬ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示⇔AX B =有解⇔12(,,,)=n r ααα⋅⋅⋅1212(,,,,,,)n s r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅≤12(,,,)n r ααα⋅⋅⋅. ⑭ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且s n >,则12,,,s βββ⋅⋅⋅线性相关.向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅线性无关,且可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,则s ≤n .⑮ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅,则两向量组等价; ⑯ 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价. ⑰ 向量组的极大无关组不唯一,但极大无关组所含向量个数唯一确定. ⑱ 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. ⑲ 设A 是m n ⨯矩阵,若()r A m =,A 的行向量线性无关;若()r A n =,A 的列向量线性无关,即:12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关. √ 矩阵的秩的性质:①()A O r A ≠⇔若≥1 ()0A O r A =⇔=若 0≤()m n r A ⨯≤min(,)m n ②()()()T Tr A r A r A A == p 教材101,例15 ③()()r kA r A k =≠ 若0④()(),,()0m n n s r A r B n A B r AB B Ax ⨯⨯+≤⎧=⇒⎨=⎩若若0的列向量全部是的解⑤()r AB ≤{}min (),()r A r B⑥()()()()A r AB r B B r AB r A ⇒=⇒=若可逆若可逆 即:可逆矩阵不影响矩阵的秩.⑦若()()()m n Ax r AB r B r A n AB O B OA AB AC B C ο⨯⇔=⎧⎪=⎧⎪=⎨⎪⇒=⇒=⎧⎨⎪⎨⎪⎪=⇒=⎩⎩⎩ 只有零解在矩阵乘法中有左消去律;若()()()n s r AB r B r B n B ⨯=⎧=⇒⎨⎩在矩阵乘法中有右消去律.⑧()rrE O E O r A r A A O O O O ⎛⎫⎛⎫=⇒⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若与唯一的等价,称为矩阵的等价标准型. ⑨()r A B ±≤()()r A r B + {}max (),()r A r B ≤(,)r A B ≤()()r A r B + p 教材70⑩()()A O O A r r A r B O B B O ⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()A C r r A r B O B ⎛⎫≠+ ⎪⎝⎭121212,,,0,,,()(),,,A n n A n Ax A n Ax Ax r A r A Ax A n βαααβαααβββααα⇔=−−−−−→=<⇔⇒⇔=⇔=⇔=⇔=−−−−−→≠⇒=⇔⇒L L M L 当为方阵时当为方阵时有无穷多解0表示法不唯一线性相关有非零解可由线性表示有解有唯一组解0克莱姆法则表示法唯一 线127()(),,,()()()1()n Ax r A r A Ax r A r A r A r A οββαααβββ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⇔=⎪⎩⎧⇔≠⎪⇔=⇔<⎨⎪⇔+=⎩M L M M 教材72讲义8性无关只有零解不可由线性表示无解 ○注:AxAx ββ⇒=<≠⇒=<≠有无穷多解其导出组有非零解有唯一解其导出组只有零解Ax β=1122n n x x x αααβ+++=L1112111212222212,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A x a a a x b β⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L M M M M ML 12,,2,,j j j mj j n αααα⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L M 11212(,,,)n n x x x αααβ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭L M线性方程组解的性质:1212121211221212(1),,(2),,(3),,,,,,,,(4),,(5),,(6k k k k Ax Ax k k Ax k Ax Ax Ax Ax Ax ηηοηηηοηηηηολλλληληληγβηογηβηηβηηο=+⎫⎪=⎪⎬=⎪⎪++⎭==+==-=L L 是的解也是它的解 是的解对任意也是它的解齐次方程组 是的解对任意个常数 也是它的解 是的解是其导出组的解是的解 是的两个解是其导出组的解211212112212112212),(7),,,,100k k k k k k k Ax Ax Ax Ax Ax ηβηηηοηηηβληληληβλλλληληληλλλ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪=⇔-=⎪=⎪⎪++=⇔++=⎪⎪++=⇔++=⎩L 是的解则也是它的解是其导出组的解 是的解则也是的解 是的解√ 设A 为m n ⨯矩阵,若()r A m =⇒()()r A r A β=M⇒Ax β=一定有解, 当m n <时,一定不是唯一解⇒<方程个数未知数的个数向量维数向量个数,则该向量组线性相关.m 是()()r A r A βM和的上限. √ 判断12,,,s ηηηL 是Ax ο=的基础解系的条件: ① 12,,,s ηηηL 线性无关; ② 12,,,s ηηηL 都是Ax ο=的解;③ ()s n r A =-=每个解向量中自由未知量的个数.√ 一个齐次线性方程组的基础解系不唯一.√ 若η*是Ax β=的一个解,1,,,s ξξξL 是Ax ο=的一个解⇒1,,,,s ξξξη*L 线性无关√ Ax ο=与Bx ο=同解(,A B 列向量个数相同),则:① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等; ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性; ③ 它们有相同的内在线性关系.√ 两个齐次线性线性方程组Ax ο=与Bx ο=同解⇔()()A r r A r B B ⎛⎫==⎪⎝⎭. √ 两个非齐次线性方程组Ax β=与Bx γ=都有解,并且同解⇔()()A r r A r B B βγ⎛⎫==⎪⎝⎭MM .√ 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯的行向量组等价⇔齐次方程组Ax ο=与Bx ο=同解⇔PA B =(左乘可逆矩阵P );101p 教材 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯的列向量组等价⇔AQ B =(右乘可逆矩阵Q ). √ 关于公共解的三中处理办法:① 把(I)与(II)联立起来求解;② 通过(I)与(II)各自的通解,找出公共解;当(I)与(II)都是齐次线性方程组时,设123,,ηηη是(I)的基础解系, 45,ηη是(II)的基础解系,则 (I)与(II)有公共解⇔基础解系个数少的通解可由另一个方程组的基础解系线性表示.即:1231231425(,,)(,,)r r c c ηηηηηηηη=+M当(I)与(II)都是非齐次线性方程组时,设11122c c ξηη++是(I)的通解,233c ξη+是(II)的通解,两方程组有公共解⇔2331c ξηξ+-可由12,ηη线性表示. 即:12122331(,)(,)r r c ηηηηξηξ=+-M③ 设(I)的通解已知,把该通解代入(II)中,找出(I)的通解中的任意常数所应满足(II)的关系式而求出公共解。

线性代数知识点总结汇总

线性代数知识点总结汇总

线性代数知识点总结1行列式(一)行列式概念和性质1、逆序数:所有的逆序的总数2、行列式定义:不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质:(用于化简行列式)(1)行列互换(转置),行列式的值不变(2)两行(列)互换,行列式变号(3)提公因式:行列式的某一行(列)的所有元素都乘以同一数k,等于用数k乘此行列式(4)拆列分配:行列式中如果某一行(列)的元素都是两组数之和,那么这个行列式就等于两个行列式之和。

(5)—行(列)乘k加到另一行(列),行列式的值不变。

(6)两行成比例,行列式的值为0。

(二)重要行列式4、上(下)三角(主对角线)行列式的值等于主对角线元素的乘积5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘6、Laplace展开式:(A是m阶矩阵,B是n阶矩阵),则★ 8对角线的元素为a ,其余元素为b 的行列式的值:(三)按行(列)展开 9、按行展开定理:(1)任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等 于行列式的值(2)行列式中某一行(列)各个元素与另一行(列)对应元素 的代数余子式乘积之和等于 0 (四)行列式公式 10、行列式七大公式: (1) |kA|=kn|A|1 1…ik £…益■y (v)」IT=n厲-号)klXn7、n 阶(n 》2)范德蒙德行列式数学归纳法证明(2) |AB|=|A| • |B|(3) |AT|=|A|(4) |A-1|=|A|-1(5) |A*|=|A|n-1(6) 若A的特征值入1、入2、……入n,贝y P(7) 若A与B相似,则|A|=|B|(五)克莱姆法则11、克莱姆法则:(1 )非齐次线性方程组的系数行列式不为0,那么方程为唯解(2)如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解,则它的系数行列式必为0(3 )若齐次线性方程组的系数行列式不为0,则齐次线性方程组只有0解;如果方程组有非零解,那么必有D=0b2矩阵(一)矩阵的运算1、矩阵乘法注意事项:(1)矩阵乘法要求前列后行一致;(2)矩阵乘法不满足交换律;(因式分解的公式对矩阵不适用,但若B=E,O,A-1,A*,f(A)时,可以用交换律)(3)AB=O不能推出A=O或B=O2、转置的性质( 5 条)( 1)( A+B) T=AT+BT( 2)( kA) T=kAT( 3)( AB) T=BTAT( 4) |A|T=|A|( 5)( AT) T=A(二)矩阵的逆3、逆的定义:B=A-1 AB=E或 BA=E成立,称A可逆,B是A的逆矩阵,记为注:A可逆的充要条件是|A|工04、逆的性质:( 5 条)(1)( kA) - 1=1/k ・A-1 (k 工0)(2)(AB)-仁B- 1 ・A-1(3)|A-1|=|A|-1( 4)( AT) -1= ( A-1 ) T( 5)( A-1 ) -1=A5、逆的求法:( 1 ) A 为抽象矩阵:由定义或性质求解(2) A为数字矩阵:(A|E初等行变换E|A-1 )(三)矩阵的初等变换6、初等行(列)变换定义:(1)两行(列)互换;(2)一行(列)乘非零常数c(3)一行(列)乘k 加到另一行(列)7、初等矩阵:单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵。

学习线性代数期末总结

学习线性代数期末总结

学习线性代数期末总结线性代数是数学中的一门重要学科,它研究向量空间及其上的线性变换和线性方程组,对于计算机科学、物理学、工程学等多个领域都有广泛的应用。

在过去的一个学期中,我学习了线性代数的基本概念、定理和方法,并通过习题和实例的练习,逐渐掌握了线性代数的基本知识和解题技巧。

在本篇总结中,我将回顾学习线性代数的整个过程,并总结出一些重要的学习心得和经验。

在学习线性代数的过程中,我首先学习了向量的概念和运算。

向量是线性代数中最基本的概念之一,它可以表示多个数的组合,具有大小和方向。

学习向量时,我重点掌握了向量的加法、减法和数量乘法等运算法则,并学会了求向量的模长、夹角和投影等常用计算方法。

此外,我还学习了向量的线性相关性和线性无关性,它们在解决线性方程组和矩阵的问题时起到了重要的作用。

接着,我学习了矩阵的概念和运算。

矩阵是线性代数中另一个重要的概念,它可以表示多个数按照一定规则排列成的矩形数表。

矩阵的加法、减法和数量乘法分别对应向量的加法、减法和数量乘法,这样使得矩阵能够模拟很多实际问题。

在学习矩阵的过程中,我重点掌握了矩阵相等、矩阵乘法和逆矩阵等概念和性质,并学会了通过矩阵的运算来解决线性方程组的问题。

此外,我还学习了矩阵的转置、行列式和特征值等重要概念,并通过习题的练习加深了对它们的理解。

接下来,我学习了线性变换的概念和性质。

线性变换是将一个向量空间映射到另一个向量空间的变换,它是线性代数中的一个核心概念。

在学习线性变换的过程中,我重点掌握了线性变换的定义、线性变换矩阵和标准基变换矩阵等基本概念,并学会了通过线性变换来解决向量的旋转、投影和放缩等问题。

此外,我还学习了线性变换的复合、逆变换、核和像等重要性质,并通过实例的分析和计算来加深了对线性变换的理解。

最后,我学习了线性方程组的概念和求解方法。

线性方程组是线性代数中最基本和最重要的问题之一,它广泛应用于科学、工程和经济等领域。

在学习线性方程组的过程中,我首先学习了线性方程组的解的概念和性质,明确了解的存在唯一性和解的结构。

线性代数知识点总结

线性代数知识点总结

线性代数知识点总结线性代数知识点总结「篇一」第一章行列式知识点1:行列式、逆序数知识点2:余子式、代数余子式知识点3:行列式的性质知识点4:行列式按一行(列)展开公式知识点5:计算行列式的方法知识点6:克拉默法则第二章矩阵知识点7:矩阵的概念、线性运算及运算律知识点8:矩阵的乘法运算及运算律知识点9:计算方阵的幕知识点10:转置矩阵及运算律知识点11:伴随矩阵及其性质知识点12:逆矩阵及运算律知识点13:矩阵可逆的判断知识点14:方阵的行列式运算及特殊类型的矩阵的运算知识点15:矩阵方程的求解知识点16:初等变换的概念及其应用知识点17:初等方阵的概念知识点18:初等变换与初等方阵的关系知识点19:等价矩阵的概念与判断知识点20:矩阵的子式与最高阶非零子式知识点21:矩阵的秩的概念与判断知识点22:矩阵的秩的性质与定理知识点23:分块矩阵的概念与运算、特殊分块阵的运算知识点24:矩阵分块在解题中的技巧举例第三章向量知识点25:向量的概念及运算知识点26:向量的线性组合与线性表示知识点27:向量组之间的线性表示及等价知识点28:向量组线性相关与线性无关的概念知识点29:线性表示与线性相关性的关系知识点30:线性相关性的判别法知识点31:向量组的最大线性无关组和向量组的秩的概念知识点32:矩阵的秩与向量组的秩的关系知识点33:求向量组的最大无关组知识点34:有关向量组的定理的综合运用知识点35:内积的概念及性质知识点36:正交向量组、正交阵及其性质知识点37:向量组的正交规范化、施密特正交化方法知识点38:向量空间(数一)知识点39:基变换与过渡矩阵(数一)知识点40:基变换下的坐标变换(数一)第四章线性方程组知识点41:齐次线性方程组解的性质与结构知识点42:非齐次方程组解的性质及结构知识点43:非齐次线性线性方程组解的各种情形知识点44:用初等行变换求解线性方程组知识点45:线性方程组的公共解、同解知识点46:方程组、矩阵方程与矩阵的乘法运算的关系知识点47:方程组、矩阵与向量之间的联系及其解题技巧举例第五章矩阵的特征值与特征向量知识点48:特征值与特征向量的概念与性质知识点49:特征值和特征向量的求解知识点50:相似矩阵的概念及性质知识点51:矩阵的相似对角化知识点52:实对称矩阵的相似对角化。

线性代数知识点总结汇总

线性代数知识点总结汇总

线性代数知识点总结1 行列式(一)行列式概念和性质1、逆序数:所有的逆序的总数2、行列式定义:不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质:(用于化简行列式)(1)行列互换(转置),行列式的值不变(2)两行(列)互换,行列式变号(3)提公因式:行列式的某一行(列)的所有元素都乘以同一数k,等于用数k 乘此行列式(4)拆列分配:行列式中如果某一行(列)的元素都是两组数之和,那么这个行列式就等于两个行列式之和。

(5)一行(列)乘k加到另一行(列),行列式的值不变。

(6)两行成比例,行列式的值为0。

(二)重要行列式4、上(下)三角(主对角线)行列式的值等于主对角线元素的乘积5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘6、Laplace展开式:(A是m阶矩阵,B是n阶矩阵),则7、n阶(n≥2)范德蒙德行列式数学归纳法证明★8、对角线的元素为a,其余元素为b的行列式的值:(三)按行(列)展开9、按行展开定理:(1)任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值(2)行列式中某一行(列)各个元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于0(四)行列式公式10、行列式七大公式:(1)|kA|=k n|A|(2)|AB|=|A|·|B|(3)|A T|=|A|(4)|A-1|=|A|-1(5)|A*|=|A|n-1(6)若A的特征值λ1、λ2、……λn,则(7)若A与B相似,则|A|=|B|(五)克莱姆法则11、克莱姆法则:(1)非齐次线性方程组的系数行列式不为0,那么方程为唯一解(2)如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解,则它的系数行列式必为0 (3)若齐次线性方程组的系数行列式不为0,则齐次线性方程组只有0解;如果方程组有非零解,那么必有D=0。

2 矩阵(一)矩阵的运算1、矩阵乘法注意事项:(1)矩阵乘法要求前列后行一致;(2)矩阵乘法不满足交换律;(因式分解的公式对矩阵不适用,但若B=E,O,A-1,A*,f(A)时,可以用交换律)(3)AB=O不能推出A=O或B=O。

线性代数知识点归纳

线性代数知识点归纳

线性代数知识点归纳线性代数是现代数学中的一个重要分支,主要研究向量空间及其上的线性映射。

它在许多科学领域中都有广泛的应用,包括物理学、计算机科学、经济学等。

本文将对线性代数中的一些重要知识点进行归纳总结,以帮助读者更好地理解和掌握这门学科。

一、向量与矩阵1. 向量的定义与运算- 向量的表示:向量可以用有序数组表示,也可以用线段箭头表示。

- 向量的加法与减法:向量之间可以进行加法和减法运算,满足交换律和结合律。

- 向量的数乘:向量与实数之间可以进行数乘运算。

- 内积与外积:向量之间有内积和外积两种运算,分别表示向量的夹角和与之垂直的面积。

2. 矩阵的定义与运算- 矩阵的表示:矩阵可以用二维数组表示,其中每个元素称为矩阵的一个元。

- 矩阵的加法与减法:矩阵之间可以进行加法和减法运算,要求矩阵的维度相同。

- 矩阵的数乘:矩阵与实数之间可以进行数乘运算。

- 矩阵乘法:矩阵乘法满足结合律,但不满足交换律。

二、线性方程组与矩阵运算1. 线性方程组- 线性方程组的定义:线性方程组由一组线性方程组成,其中每个方程都是线性的。

- 解的存在性与唯一性:线性方程组的解可能没有,可能有唯一解,也可能有无穷多解。

- 线性方程组的求解方法:高斯消元法、矩阵求逆、克拉默法则等。

2. 矩阵的逆与行列式- 矩阵的逆:若矩阵A存在逆矩阵A^-1,满足A·A^-1 = A^-1·A = I,其中I为单位矩阵。

- 行列式:行列式是一个与矩阵相关的标量值,用于判断矩阵的可逆性和计算矩阵的特征值。

三、线性映射与特征值问题1. 线性映射- 线性映射的定义:线性映射是一个满足线性性质的函数,将一个向量空间映射到另一个向量空间。

- 线性映射的表示与运算:线性映射可以用矩阵表示,可以进行加法、减法和数乘。

- 线性映射的核与像:线性映射的核是所有映射到零向量的向量集合,像是所有映射到的向量集合。

2. 特征值与特征向量- 特征值与特征向量的定义:对于一个线性映射,若存在一个非零向量使得线性映射作用于该向量后相当于对该向量进行标量乘法,该向量称为特征向量,该标量称为特征值。

(完整版)线性代数知识点全归纳

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1线性代数知识点1、行列式1.n 行列式共有2n 个元素,展开后有!n 项,可分解为2n 行列式;2. 代数余子式的性质:①、ij A 和ij a 的大小无关;②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0; ③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A ; 3.代数余子式和余子式的关系:(1)(1)i j i j ij ijij ijM A A M ++=-=-4. 设n 行列式D :将D 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为1D ,则(1)21(1)n n D D -=-; 将D 顺时针或逆时针旋转90,所得行列式为2D ,则(1)22(1)n n D D -=-;将D 主对角线翻转后(转置),所得行列式为3D ,则3D D =;将D 主副角线翻转后,所得行列式为4D ,则4D D =;5. 行列式的重要公式:①、主对角行列式:主对角元素的乘积;②、副对角行列式:副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -;③、上、下三角行列式( = ◥◣):主对角元素的乘积; ④、 ◤和 ◢:副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -;⑤、拉普拉斯展开式:A O A C AB CB O B==、(1)m n CA OA AB B OB C==-⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积; ⑦、特征值;6. 对于n 阶行列式A ,恒有:1(1)nnk n k k k E A S λλλ-=-=+-∑,其中k S 为k 阶主子式;7. 证明0A =的方法:①、A A =-; ②、反证法;③、构造齐次方程组0Ax =,证明其有非零解; ④、利用秩,证明()r A n <; ⑤、证明0是其特征值;22、矩阵1.A 是n 阶可逆矩阵:⇔0A ≠(是非奇异矩阵); ⇔()r A n =(是满秩矩阵) ⇔A 的行(列)向量组线性无关; ⇔齐次方程组0Ax =有非零解; ⇔n b R ∀∈,Ax b =总有唯一解;⇔A 与E 等价;⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积; ⇔A 的特征值全不为0; ⇔T A A 是正定矩阵;⇔A 的行(列)向量组是n R 的一组基; ⇔A 是n R 中某两组基的过渡矩阵;2. 对于n 阶矩阵A :**AA A A A E == 无条件恒成立;3.1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----===***111()()()T T T AB B A AB B A AB B A ---===4. 矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和;5. 关于分块矩阵的重要结论,其中均A 、B 可逆:若12s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则: Ⅰ、12s A A A A =;Ⅱ、111121s A A A A ----⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; ②、111A O A O O B OB ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;(主对角分块) ③、111O A O B B O A O ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;(副对角分块) ④、11111A C A A CB O B OB -----⎛⎫-⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;(拉普拉斯) ⑤、11111A O A O C B B CAB -----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭;(拉普拉斯)33、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m n ⨯矩阵A ,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一确定的:rm nEO F OO ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭; 等价类:所有与A 等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵; 对于同型矩阵A 、B ,若()()r A r B A B = ⇔ ;2. 行最简形矩阵:①、只能通过初等行变换获得;②、每行首个非0元素必须为1;③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;3. 初等行变换的应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换)①、若(,)(,)rA E E X ,则A 可逆,且1X A -=;②、对矩阵(,)A B 做初等行变化,当A 变为E 时,B 就变成1A B -,即:1(,)(,)cA B E A B - ~ ;③、求解线形方程组:对于n 个未知数n 个方程Ax b =,如果(,)(,)rA b E x ,则A 可逆,且1x A b -=;4. 初等矩阵和对角矩阵的概念:①、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;②、12n ⎛⎫⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭λλλ,左乘矩阵A ,i λ乘A 的各行元素;右乘,iλ乘A 的各列元素;③、对调两行或两列,符号(,)E i j ,且1(,)(,)E i j E i j -=,例如:1111111-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;④、倍乘某行或某列,符号(())E i k ,且11(())(())E i k E i k-=,例如:1111(0)11kk k -⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; ⑤、倍加某行或某列,符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-,如:11111(0)11k k k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;5. 矩阵秩的基本性质:①、0()min(,)m n r A m n ⨯≤≤;②、()()T r A r A =; ③、若AB ,则()()r A r B =;④、若P 、Q 可逆,则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===;(可逆矩阵不影响矩阵的秩) ⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+;(※) ⑥、()()()r A B r A r B +≤+;(※) ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤;(※)4⑧、如果A 是m n ⨯矩阵,B 是n s ⨯矩阵,且0AB =,则:(※) Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解(转置运算后的结论);Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若A 、B 均为n 阶方阵,则()()()r AB r A r B n ≥+-;6. 三种特殊矩阵的方幂:①、秩为1的矩阵:一定可以分解为列矩阵(向量)⨯行矩阵(向量)的形式,再采用结合律;②、型如101001a c b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭的矩阵:利用二项展开式; 二项展开式:01111110()nn n n m n m mn n n n m m n mn n n n n n m a b C a C a b C a b C a b C b C a b-----=+=++++++=∑;注:Ⅰ、()n a b +展开后有1n +项;Ⅱ、0(1)(1)!1123!()!--+====-m n n n n n n n m n C C C m m n mⅢ、组合的性质:111102---+-===+==∑nmn m mm m r nr r nnn n nnn n r C C CC CCrC nC ;③、利用特征值和相似对角化:7. 伴随矩阵:①、伴随矩阵的秩:*()()1()10()1n r A n r A r A n r A n = ⎧⎪==-⎨⎪<-⎩; ②、伴随矩阵的特征值:*1*(,)AAAX X A A A A X X λλλ- == ⇒ =;③、*1A A A -=、1*n A A-=8. 关于A 矩阵秩的描述:①、()r A n =,A 中有n 阶子式不为0,1n +阶子式全部为0;(两句话)②、()r A n <,A 中有n 阶子式全部为0; ③、()r A n ≥,A 中有n 阶子式不为0;9. 线性方程组:Ax b =,其中A 为m n ⨯矩阵,则:①、m 与方程的个数相同,即方程组Ax b =有m 个方程;②、n 与方程组得未知数个数相同,方程组Ax b =为n 元方程;10. 线性方程组Ax b =的求解:①、对增广矩阵B 进行初等行变换(只能使用初等行变换);②、齐次解为对应齐次方程组的解; ③、特解:自由变量赋初值后求得;511. 由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程:①、11112211211222221122n n n n m m nm n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩; ②、1112111212222212n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax b a a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(向量方程,A 为m n ⨯矩阵,m 个方程,n 个未知数)③、()1212n n x x aa a x β⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭(全部按列分块,其中12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭); ④、1122n n a x a x a x β+++=(线性表出)⑤、有解的充要条件:()(,)r A r A n β=≤(n 为未知数的个数或维数)4、向量组的线性相关性1.m 个n 维列向量所组成的向量组A :12,,,m ααα构成n m ⨯矩阵12(,,,)m A =ααα;m 个n 维行向量所组成的向量组B :12,,,T TTm βββ构成m n ⨯矩阵12T T T m B βββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭;含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应;2. ①、向量组的线性相关、无关 0Ax ⇔=有、无非零解;(齐次线性方程组)②、向量的线性表出 Ax b ⇔=是否有解;(线性方程组) ③、向量组的相互线性表示 AX B ⇔=是否有解;(矩阵方程)3. 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯行向量组等价的充分必要条件是:齐次方程组0Ax =和0Bx =同解;(101P 例14)4.()()T r A A r A =;(101P 例15)5.n 维向量线性相关的几何意义:①、α线性相关⇔0α=; ②、,αβ线性相关 ⇔,αβ坐标成比例或共线(平行);③、,,αβγ线性相关 ⇔,,αβγ共面;6. 线性相关与无关的两套定理:若12,,,s ααα线性相关,则121,,,,s s αααα+必线性相关;若12,,,s ααα线性无关,则121,,,s ααα-必线性无关;(向量的个数加加减减,二者为对偶)若r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量,构成n 维向量组B :6若A 线性无关,则B 也线性无关;反之若B 线性相关,则A 也线性相关;(向量组的维数加加减减) 简言之:无关组延长后仍无关,反之,不确定;7. 向量组A (个数为r )能由向量组B (个数为s )线性表示,且A 线性无关,则r s ≤; 向量组A 能由向量组B 线性表示,则()()r A r B ≤;向量组A 能由向量组B 线性表示AX B ⇔=有解; ()(,)r A r A B ⇔=向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ⇔ ==8. 方阵A 可逆⇔存在有限个初等矩阵12,,,l P P P ,使12l A P P P =;①、矩阵行等价:~rA B PA B ⇔=(左乘,P 可逆)0Ax ⇔=与0Bx =同解 ②、矩阵列等价:~cA B AQ B ⇔=(右乘,Q 可逆); ③、矩阵等价:~A B PAQ B ⇔=(P 、Q 可逆);9. 对于矩阵m n A ⨯与l n B ⨯:①、若A 与B 行等价,则A 与B 的行秩相等;②、若A 与B 行等价,则0Ax =与0Bx =同解,A 与B 的任何对应的列向量组有相同的线性相关性; ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩; ④、矩阵A 的行秩等于列秩;10. 若m s s n m n A B C ⨯⨯⨯=,则:①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示,B 为系数矩阵; ②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示,T A 为系数矩阵;(转置)11. 齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解,【考试中可以直接作为定理使用,而无需证明】 ①、0ABx = 只有零解0Bx ⇒ =只有零解;②、0Bx = 有非零解0ABx ⇒ =一定存在非零解;12. 设向量组12:,,,n r r B b b b ⨯可由向量组12:,,,n s s A a a a ⨯线性表示为:1212(,,,)(,,,)r s b b b a a a K =(B AK =)其中K 为s r ⨯,且A 线性无关,则B 组线性无关()r K r ⇔=;(B 与K 的列向量组具有相同线性相关性)(必要性:()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴=;充分性:反证法)注:当r s =时,K 为方阵,可当作定理使用;13. ①、对矩阵m n A ⨯,存在n m Q ⨯,m AQ E = ()r A m ⇔=、Q 的列向量线性无关;②、对矩阵m n A ⨯,存在n m P ⨯,n PA E = ()r A n ⇔=、P 的行向量线性无关;14. 12,,,s ααα线性相关⇔存在一组不全为0的数12,,,s k k k ,使得11220s s k k k ααα+++=成立;(定义)⇔1212(,,,)0s s x xx ααα⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有非零解,即0Ax =有非零解;⇔12(,,,)s r s ααα<,系数矩阵的秩小于未知数的个数;715. 设m n ⨯的矩阵A 的秩为r ,则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩为:()r S n r =-;16. 若*η为Ax b =的一个解,12,,,n r ξξξ-为0Ax =的一个基础解系,则*12,,,,n r ηξξξ-线性无关;5、相似矩阵和二次型1. 正交矩阵T A A E ⇔=或1T A A -=(定义),性质:①、A 的列向量都是单位向量,且两两正交,即1(,1,2,)0T i j i j a a i j n i j=⎧==⎨≠⎩;②、若A 为正交矩阵,则1T A A -=也为正交阵,且1A =±; ③、若A 、B 正交阵,则AB 也是正交阵;注意:求解正交阵,千万不要忘记施密特正交化和单位化;2. 施密特正交化:12(,,,)r a a a11b a =;1222111[,][,]b a b a b b b =-121121112211[,][,][,][,][,][,]r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----=----;3. 对于普通方阵,不同特征值对应的特征向量线性无关;对于实对称阵,不同特征值对应的特征向量正交;4. ①、A 与B 等价 ⇔A 经过初等变换得到B ;⇔=PAQ B ,P 、Q 可逆; ()()⇔=r A r B ,A 、B 同型;②、A 与B 合同 ⇔=T C AC B ,其中可逆; ⇔T x Ax 与T x Bx 有相同的正、负惯性指数; ③、A 与B 相似 1-⇔=P AP B ;5. 相似一定合同、合同未必相似;若C 为正交矩阵,则T C AC B =⇒A B ,(合同、相似的约束条件不同,相似的更严格);6. A 为对称阵,则A 为二次型矩阵;7.n 元二次型T x Ax 为正定:A ⇔的正惯性指数为n ;A ⇔与E 合同,即存在可逆矩阵C ,使T C AC E =; A ⇔的所有特征值均为正数;A ⇔的各阶顺序主子式均大于0;0,0ii a A ⇒>>;(必要条件)8第一章 随机事件互斥对立加减功,条件独立乘除清; 全概逆概百分比,二项分布是核心; 必然事件随便用,选择先试不可能。

线性代数各章复习重点汇总

线性代数各章复习重点汇总

线性代数各章复习重点汇总线性代数是数学的一个重要分支,研究向量空间、线性变换、线性方程组等概念和性质。

下面是线性代数各章的复习重点汇总。

1.线性方程组:-线性方程组的基本概念和性质,包括齐次线性方程组、非齐次线性方程组等。

-线性方程组的解的存在性与唯一性,以及求解线性方程组的方法(高斯消元法、矩阵求逆法、克拉默法则等)。

-线性方程组的等价关系与等价变换。

2.矩阵与行列式:-矩阵的基本概念和性质,如矩阵的加法、减法、乘法等运算。

-方阵的特殊性质,如对称矩阵、反对称矩阵、单位矩阵等。

-行列式的定义和性质,包括行列式的展开定理、行列式的性质推导等。

3.向量空间:-向量空间的定义和性质,如线性相关性、线性无关性、基、维数等。

-子空间的概念和性质,包括子空间的交、和、直和等操作。

-线性组合、张成空间、极大线性无关组等概念。

4.线性变换与矩阵:-线性变换的定义和性质,包括线性变换的特征值、特征向量等。

-线性变换的矩阵表示,以及矩阵与线性变换之间的转换关系。

-线性变换的合成、逆变换等操作,以及线性变换的标准形式(例如,矩阵的对角化)。

5.特征值与特征向量:-特征值与特征向量的定义和性质,包括特征值的重数、特征向量的线性无关性等。

-特征值与特征向量的计算方法,如特征方程的求解、特征值的代入等。

-特征值与特征向量的应用,如对角化矩阵、相似矩阵等。

6.正交性与标准正交基:-向量的正交性和标准正交性的概念和性质,包括向量的点积、向量的夹角等。

-标准正交基的定义和求解方法,如施密特正交化过程等。

-正交矩阵的定义和性质,以及正交矩阵与标准正交基之间的关系。

以上是线性代数各章的复习重点汇总,希望能够帮助你理清知识重点,并提高复习效率。

祝你取得好成绩!。

线性代数复习总结(重点精心整理)

线性代数复习总结(重点精心整理)

线性代数复习总结大全第一章 行列式二三阶行列式N 阶行列式:行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ(奇偶)排列、逆序数、对换行列式的性质:①行列式行列互换,其值不变。

(转置行列式T D D =) ②行列式中某两行(列)互换,行列式变号。

推论:若行列式中某两行(列)对应元素相等,则行列式等于零。

③常数k 乘以行列式的某一行(列),等于k 乘以此行列式。

推论:若行列式中两行(列)成比例,则行列式值为零; 推论:行列式中某一行(列)元素全为零,行列式为零。

④行列式具有分行(列)可加性⑤将行列式某一行(列)的k 倍加到另一行(列)上,值不变 行列式依行(列)展开:余子式ij M 、代数余子式ij ji ij M A +-=)1(定理:行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。

克莱姆法则:非齐次线性方程组 :当系数行列式0≠D 时,有唯一解:)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组 :当系数行列式01≠=D 时,则只有零解 逆否:若方程组存在非零解,则D 等于零 特殊行列式:①转置行列式:332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:333122211312110a a a a a a a 方法:用221a k 把21a 化为零,。

化为三角形行列式 ⑤上(下)三角形行列式: 行列式运算常用方法(主要)行列式定义法(二三阶或零元素多的) 化零法(比例)化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵n *(零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) ---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA ,不满足消去律;由AB=0,不能得A=0或B=0 转置A A T T =)( TT T B A B A +=+)( T T kA kA =)( TT T A B AB =)((反序定理) 方幂:2121k k k kA AA +=2121)(k k k k A A +=矩阵:对角矩阵:若AB 都是N 阶对角阵,k 是数,则kA 、A+B 、 数量矩阵:相当于一个数(若……)单位矩阵、上(下)三角形矩阵(若……) 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵:每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 注:把分出来的小块矩阵看成是元素阶方阵,若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的, B A=-1(非|A|=0、伴随矩阵)2.、非零k 乘某一行(列)3、将某行(列)的K 倍加到另 初等矩阵都可逆倍乘阵 倍加阵) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr 矩阵的秩r(A):满秩矩阵 降秩矩阵 若A 可逆,则满秩若A 是非奇异矩阵,则r (AB )=r (B ) 初等变换不改变矩阵的秩求法:1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别:都是数表;行列式行数列数一样,矩阵不一样;行列式最终是一个数,只要值相等,就相等,矩阵是一个数表,对应元素相等才相等;矩阵n ij n ij a k ka )()(=,行列式nij n nija k ka =逆矩阵注:①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆; ③不是所有的方阵都存在逆矩阵;④若A 可逆,则其逆矩阵是唯一的。

线性代数知识点及总结

线性代数知识点及总结

线性代数知识点总结第一章 行列式1. n 阶行列式()()121212111212122212121==-∑n nnn t p p p n p p np p p p n n nna a a a a a D a a a a a a 2.特殊行列式1212n nλλλλλλ=,()()1122121n n n nλλλλλλ-=-3.行列式的性质定义记111212122212nn n n nna a a a a a D a a a =,112111222212n n T nnnna a a a a a D a a a =,行列式TD 称为行列式D 的转置行列式。

性质1行列式与它的转置行列式相等。

性质2 互换行列式的两行()↔i j r r 或列()↔i j c c ,行列式变号。

推论如果行列式有两行〔列〕完全一样〔成比例〕,则此行列式为零。

性质3 行列式*一行〔列〕中所有的元素都乘以同一数()⨯j k r k ,等于用数k 乘此行列式; 推论1 D 的*一行〔列〕中所有元素的公因子可以提到D 的外面; 推论2 D 中*一行〔列〕所有元素为零,则=0D 。

性质4 假设行列式的*一列〔行〕的元素都是两数之和,则1112111212222212()()()i i n i i n n n ni ninna a a a a a a a a a D a a a a a '+'+='+11121111121121222*********12i n i n i n i n n n ninnn n ninna aa a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''=+' 性质6 把行列式的*一列〔行〕的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去,行列式的值不变。

而算得行列式的值。

4. 行列式按行〔列〕展开余子式在n 阶行列式中,把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后,留下来的1n -阶行列式叫做元素ij a 的余子式,记作ij M 。

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线性代数复习总结大全第一章 行列式二三阶行列式 N阶行列式:行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ(奇偶)排列、逆序数、对换行列式的性质:①行列式行列互换,其值不变。

(转置行列式T D D =) ②行列式中某两行(列)互换,行列式变号。

推论:若行列式中某两行(列)对应元素相等,则行列式等于零。

③常数k 乘以行列式的某一行(列),等于k 乘以此行列式。

推论:若行列式中两行(列)成比例,则行列式值为零; 推论:行列式中某一行(列)元素全为零,行列式为零。

④行列式具有分行(列)可加性⑤将行列式某一行(列)的k 倍加到另一行(列)上,值不变 行列式依行(列)展开:余子式ij M 、代数余子式ij ji ij M A +-=)1(定理:行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。

克莱姆法则:非齐次线性方程组 :当系数行列式0≠D 时,有唯一解:)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组 :当系数行列式01≠=D 时,则只有零解 逆否:若方程组存在非零解,则D 等于零 特殊行列式:①转置行列式:332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a →②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:333122211312110a a a a a a a 方法:用221a k 把21a 化为零,。

化为三角形行列式 ⑤上(下)三角形行列式: 行列式运算常用方法(主要)行列式定义法(二三阶或零元素多的) 化零法(比例)化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵n *(零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) ---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA ,不满足消去律;由AB=0,不能得A=0或B=0 转置A A TT =)( TTTB A B A +=+)( TTkA kA =)( TTTA B AB =)((反序定理) 方幂:2121k k k kA AA += 2121)(k k k k A A +=阵:对角矩阵:若AB 都是N 阶对角阵,k 是数,则kA 、A+B 、 数量矩阵:相当于一个数(若……) 单位矩阵、上(下)三角形矩阵(若……) 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵:每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方都是0分块矩阵:加法,数乘,乘法:类似,转置:每块转置并且每个子块也要转置 注:把分出来的小块矩阵看成是元素逆矩阵:设A 是N 阶方阵,若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的, B A =-1(非奇异矩阵、奇异矩阵|A|=0、伴随矩阵)初等变换1、交换两行(列)2.、非零k 乘某一行(列)3、将某行(列)的K 倍加到另一行(列)初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆初等矩阵:单位矩阵经过一次初等变换得到的(对换阵 倍乘阵 倍加阵) 等价标准形矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr 矩阵的秩r(A):满秩矩阵 降秩矩阵 若A 可逆,则满秩 若A 是非奇异矩阵,则r (AB )=r (B ) 初等变换不改变矩阵的秩求法:1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别:都是数表;行列式行数列数一样,矩阵不一样;行列式最终是一个数,只要值相等,就相等,矩阵是一个数表,对应元素相等才相等;矩阵n ij n ij a k ka )()(=,行列式nij n nij a k ka =逆矩阵注:①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆; ③不是所有的方阵都存在逆矩阵;④若A 可逆,则其逆矩阵是唯一的。

矩阵的逆矩阵满足的运算律:1、可逆矩阵A 的逆矩阵也是可逆的,且A A =--11)(2、可逆矩阵A 的数乘矩阵kA 也是可逆的,且111)(--=A kkA 3、可逆矩阵A 的转置TA 也是可逆的,且T T A A )()(11--=4、两个可逆矩阵A 与B 的乘积AB 也是可逆的,且111)(---=A B AB但是两个可逆矩阵A 与B 的和A+B 不一定可逆,即使可逆,但11)(--+≠+B A B A A 为N 阶方阵,若|A|=0,则称A 为奇异矩阵,否则为非奇异矩阵。

5、若A 可逆,则11--=A A伴随矩阵:A 为N 阶方阵,伴随矩阵:⎪⎪⎭⎫⎝⎛=22211211*A AA A A (代数余子式) 特殊矩阵的逆矩阵:(对1和2,前提是每个矩阵都可逆)1、分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C O B A D 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-----11111C O BC A AD 2、准对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321A A A A A , 则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-----141312111A A A A A 3、 I A A A AA ==**4、1*-=A A A (A 可逆) 5、1*-=n AA 6、()()A AA A1*11*==--(A 可逆) 7、()()**T T A A = 8、()***A B AB =判断矩阵是否可逆:充要条件是0≠A ,此时*11A AA =- 求逆矩阵的方法:定义法I AA =-1伴随矩阵法AA A *1=-初等变换法()()1||-=A II A nn 只能是行变换初等矩阵与矩阵乘法的关系: 设()n m ij aA *=是m*n 阶矩阵,则对A 的行实行一次初等变换得到的矩阵,等于用同等的m 阶初等矩阵左乘以A :对A 的列实行一次初等变换得到的矩阵,等于用同种n 阶初等矩阵右乘以A (行变左乘,列变右乘)第三章 线性方程组消元法 非齐次线性方程组:增广矩阵→简化阶梯型矩阵r(AB)=r(B)=r 当r=n 时,有唯一解;当n r ≠时,有无穷多解 r(AB)≠r(B),无解齐次线性方程组:仅有零解充要r(A)=n 有非零解充要r(A)<n 当齐次线性方程组方程个数<未知量个数,一定有非零解 当齐次线性方程组方程个数=未知量个数,有非零解充要|A|=0 齐次线性方程组若有零解,一定是无穷多个N 维向量:由n 个实数组成的n 元有序数组。

希腊字母表示(加法数乘) 特殊的向量:行(列)向量,零向量θ,负向量,相等向量,转置向量 向量间的线性关系: 线性组合或线性表示向量组间的线性相关(无):定义179P 向量组的秩:极大无关组(定义P188)定理:如果r j j j ααα,.....,21是向量组s ααα,.....,21的线性无关的部分组,则它是 极大无关组的充要条件是:s ααα,.....,21中的每一个向量都可由r j j j ααα,.....,21线性表出。

秩:极大无关组中所含的向量个数。

定理:设A 为m*n 矩阵,则r A r =)(的充要条件是:A 的列(行)秩为r 。

现性方程组解的结构:齐次非齐次、基础解系线性组合或线性表示注:两个向量αβ,若βαk =则α是β线性组合 单位向量组任意向量都是单位向量组的线性组合 零向量是任意向量组的线性组合任意向量组中的一个都是他本身的线性组合 向量组间的线性相关(无)注: n 个n 维单位向量组一定是线性无关 一个非零向量是线性无关,零向量是线性相关含有零向量的向量组一定是线性相关 若两个向量成比例,则他们一定线性相关向量β可由n ααα,..,21线性表示的充要条件是)...()...(2121T T n T T T n T Tr r βαααααα=判断是否为线性相关的方法:1、定义法:设n k k k ....21,求n k k k ....21(适合维数低的)2、向量间关系法183P :部分相关则整体相关,整体无关则部分无关3、分量法(n 个m 维向量组)180P :线性相关(充要)n r T n T T<⇒)....(21ααα线性无关(充要)n r T n T T=⇒)....(21ααα推论①当m=n 时,相关,则0321=TTTααα;无关,则0321≠TTTααα ②当m<n 时,线性相关推广:若向量s ααα,...,21组线性无关,则当s 为奇数时,向量组13221,...,αααααα+++s 也线性无关;当s 为偶数时,向量组也线性相关。

定理:如果向量组βααα,,...,21s 线性相关,则向量β可由向量组s ααα,...,21线性表出,且 表示法唯一的充分必要条件是s ααα,...,21线性无关。

极大无关组注:向量组的极大无关组不是唯一的,但他们所含向量的个数是确定的; 不全为零的向量组的极大无关组一定存在; 无关的向量组的极大无关组是其本身; 向量组与其极大无关组是等价的。

齐次线性方程组(I )解的结构:解为...,21αα (I )的两个解的和21αα+仍是它的解; (I )解的任意倍数αk 还是它的解;(I )解的线性组合s s c c c ααα+++....2211也是它的解,s c c c ,...,21是任意常数。

非齐次线性方程组(II )解的结构:解为...,21μμ(II )的两个解的差21μμ-仍是它的解;若μ是非齐次线性方程组AX=B 的一个解,v 是其导出组AX=O 的一个解,则u+v 是(II )的一个解。

定理:如果齐次线性方程组的系数矩阵A 的秩n r A r <=)(,则该方程组的基础解系存在,且在每个基础解系中,恰含有n-r 个解。

若μ是非齐次线性方程组AX=B 的一个解,v 是其导出组AX=O 的全部解,则u+v 是(II )的全部解。

第四章 向量空间向量的内积 实向量定义:(α,β)=n n Tb a b a b a +++=....2211αβ性质:非负性、对称性、线性性 (α,k β)=k(α,β); (k α,k β)=2k (α,β);(α+β,δγ+)=(α,γ)+(α,δ)+(β,γ)+(β,δ); ),(),(1111j i sj j r i i j sj jr i ii l k lk βαβα∑∑∑∑===== n R ∈δγβα,,,,向量的长度),(ααα= 0=α的充要条件是α=0;α是单位向量的充要条件是(α,α)=1单位化 向量的夹角正交向量:αβ是正交向量的充要条件是(α,β)=0 正交的向量组必定线性无关 正交矩阵:n阶矩阵A I A A AA TT== 性质:1、若A 为正交矩阵,则A可逆,且T A A =-1,且1-A 也是正交矩阵;2、若A 为正交矩阵,则1±=A ;3、若A 、B为同阶正交矩阵,则AB也是正交矩阵;4、n阶矩阵A=(ij a )是正交矩阵的充要条件是A的列(行)向量组是 标准正交向量;第五章 矩阵的特征值和特征向量特征值、特征向量A 是N 阶方阵,若数λ使AX=λX ,即(λI-A )=0有非零解,则称λ为A 的一 个特征值,此时,非零解称为A 的属于特征值λ的特征向量。

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