三角形的角及倒角模型
三角形角度计算模型
三角形角度计算模型1. 三角形的角三角形的内角与外角：三角形的相邻两条边所组成的角叫做三角形的内角．三角形的任意一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角．2. 三角形内角和定理三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°，即在△ABC 中，180A B C ∠+∠+∠=°． 三角形内角和定理的推论：推论：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．利用三角形内角和定理及其推论的关键是：根据图形特点，将若干个分散的角集中到一个三角形中．3. 三角形常见角度计算模型（1）“A ”字型：如图1，D 、E 分别为AB 、AC 上的点，则B C ADE AED ∠+∠=∠+∠．如图2，180BDE CED A ∠+∠=°+∠．（2）“8”字型：如图3，AD 、BC 相交于点O ，则A B C D ∠+∠=∠+∠．（3）燕尾型：如图4，BOC A B C ∠=∠+∠+∠．如图5，A O BDO CEO ∠+∠=∠+∠．（4）两个内角平分线所成的角与第三个角之间的关系：如图6，∠ABC 、∠ACB 的内角平分线相交于点P ，则1902P A ∠=°+∠．DCABO图3 BOA图4 图7图8ABC FPEBCDE A 图1C PBA 图6B 图5CDE A O BCDE A图2（5）一个内角平分线与一个外角平分线所成的角与第三个角之间的关系： 如图7，∠ACE 与∠ABC 的平分线相交于点P ，则12P A ∠=∠．（6）两个外角平分线所成的角与第三个角之间的关系：如图8，∠CBF 与∠BCE 的平分线相交于点P ，则1902P A ∠=°−∠．（7）同角或等角的余角相等在两个直角三角形中，如果题中隐含着一个直角三角形的一个锐角与另一个直角三角形的锐角相等（同角或对顶角），则剩下的另一组锐角也相等．如图9，在Rt △ABC 和Rt △CDE 中，B 、C 、D 在一条直线上，则A DCE ∠=∠，ACB E ∠=∠． 如图10，在Rt △ABC 中，90C ∠=°，DE ⊥AB ，由于C C ∠=∠（公共角），则B AED ∠=∠． 如图11，在Rt △ABC 和Rt △ACD 中，由于C C ∠=∠（公共角），所以DAC B ∠=∠． 如图12，在Rt △ABC 和Rt △CDE 中，由于C C ∠=∠（公共角），所以B E ∠=∠． 如图12，在Rt △AEF 和Rt △BDF 中，由于AFE BFD ∠=∠（对顶角），所以B E ∠=∠．图11EDCBA 图12FAB C D E 图9AB C D 图10E。
三角形的四大模型
三角形的四大模型三角形是几何学中最基本的形状之一，它具有许多重要的性质和特点。
在研究三角形时，我们可以采用不同的模型来帮助我们理解和解决问题。
下面将介绍三角形的四大模型：欧拉模型、特里希亚特中心模型、边-角模型和向量模型。
一、欧拉模型欧拉模型通过研究三角形的顶点、边和面之间的关系来理解三角形的性质。
欧拉公式是欧拉模型中的重要定理之一，它表达了三角形的顶点数、边数和面数之间的关系。
根据欧拉公式，三角形的顶点数加上面数减去边数等于2。
这个定理可以用来验证三角形是否构成一个封闭的几何图形。
欧拉模型还可以帮助我们研究三角形的垂心、重心、外心和内心等特殊点的性质。
这些特殊点有助于我们理解三角形的对称性、平衡性和内切性质。
二、特里希亚特中心模型特里希亚特中心模型是通过研究三角形的三个特殊点来理解三角形的性质。
特里希亚特中心包括三角形的重心、外心和内心。
重心是三角形三条中线的交点，外心是三角形三条外接圆的交点，内心是三角形三条内切圆的交点。
特里希亚特中心模型可以帮助我们研究三角形的平衡性、外接性和内切性质。
例如，通过研究重心，我们可以了解三角形的平衡点和质心的性质；通过研究外心，我们可以了解三角形的外接圆和外心角的性质；通过研究内心，我们可以了解三角形的内切圆和内心角的性质。
三、边-角模型边-角模型是通过研究三角形的边和角之间的关系来理解三角形的性质。
边-角模型可以帮助我们研究三角形的角度关系、边长关系和面积关系。
在边-角模型中，我们可以利用三角函数来计算三角形的角度、边长和面积。
例如，正弦定理可以用来计算三角形的边长，余弦定理可以用来计算三角形的角度，海伦公式可以用来计算三角形的面积。
四、向量模型向量模型是通过利用向量的特性来理解三角形的性质。
向量模型可以帮助我们研究三角形的平行性、共线性和向量运算等。
在向量模型中，我们可以用向量的减法来计算两个向量之间的夹角，用向量的叉乘来计算两个向量构成的平行四边形的面积。
三角形倒角8个基本型
三角形倒角8个基本型
三角形倒角8个基本型
一、直角三角形型
指三角形的三条边均为直线，作工时采ユ直角三角形的两个外角倒角。
该型可分为正直角三角形和倒直角三角形两种型型。
二、锐角三角形型
指三角形的三条边均为直线，作工时采ユ锐角三角形的两个外角倒角。
该型可分为正锐角三角形和倒锐角三角形两种型型。
三、圆角三角形型
指三角形的三条边均为弧线，作工时采ユ圆角三角形的两个外角倒角。
该型可分为正圆角三角形和倒圆角三角形两种型型。
四、菱形型
指四条边均为直线的多边形，作工时采ユ菱形的两个外角倒角。
该型可分为正菱形和倒菱形两种型型。
五、六边形型
指六条边均为直线的多边形，作工时采ユ六边形的四个外角倒角。
该型可分为正六边形和倒六边形两种型型。
六、椭圆型
指四条边均为椭圆的多边形，作工时采ユ椭圆的两个外角倒角。
该型可分为正椭圆和倒椭圆两种型型。
七、不规则四边形型
指由不同正方形、长方形或多边形组成的不规则四边形，作工时
采ユ不规则四边形的四个外角倒角。
该型可分为正不规则四边形和倒不规则四边形两种型型。
八、五角形型
指五条边均为直线的多边形，作工时采ユ五角形的五个外角倒角。
该型可分为正五角形和倒五角形两种型型。
2024中考数学常见几何模型归纳总结—三角形中的倒角模型-高分线模型、双(三)垂直模型
2024中考数学常见几何模型归纳总结—三角形中的倒角模型-高分线模型、双（三）垂直模型近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。
熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。
本专题高分线模型、双垂直模型、子母型双垂直模型（射影定理模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1：高分线模型条件：AD 是高，AE 是角平分线结论：∠DAE=2B C∠∠-例1．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在ABC 中，30A ∠=︒，50B ∠=︒，CD 为ACB ∠的平分线，CE AB ⊥于点E ，则ECD ∠度数为（）A ．5︒B ．8︒C ．10︒D ．12︒【答案】C 【分析】依据直角三角形，即可得到40BCE ∠=︒，再根据30A ∠=︒,CD 平分ACB ∠,即可得到BCD ∠的度数,再根据DCE BCD BCE ∠=∠-∠进行计算即可．【详解】解：50,B CE AB ∠=︒⊥ ,40BCE ∴∠=︒,又30A ∠=︒ ,CD 平分ACB ∠,1118050305022()BCD BCA ∴∠=∠=⨯︒-︒-︒=︒，504010DCE BCD BCE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒,故选：C ．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180︒是解答此题的关键．例2．（2023春·河南南阳·七年级统考期末）如图，在△ABC 中，∠1＝∠2，G 为AD 的中点，BG 的延长线交AC 于点E ，F 为AB 上的一点，CF 与AD 垂直，交AD 于点H ，则下面判断正确的有（）①AD 是△ABE 的角平分线；②BE 是△ABD 的边AD 上的中线；③CH 是△ACD 的边AD 上的高；④AH 是△ACF 的角平分线和高A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【详解】解：①根据三角形的角平分线的概念，知AG 是△ABE 的角平分线，故此说法错误；②根据三角形的中线的概念，知BG 是△ABD 的边AD 上的中线，故此说法错误；③根据三角形的高的概念，知CH 为△ACD 的边AD 上的高，故此说法正确；④根据三角形的角平分线和高的概念，知AH 是△ACF 的角平分线和高线，故此说法正确．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段．透彻理解定义是解题的关键．例3．（2023·安徽合肥·七年级统考期末）如图，已知AD 、AE 分别是Rt △ABC 的高和中线，AB ＝9cm ，AC ＝12cm ，BC ＝15cm ，试求：（1）AD 的长度；（2）△ACE 和△ABE 的周长的差．【答案】（1）AD 的长度为365cm ；（2）△ACE 和△ABE 的周长的差是3cm ．【分析】（1）利用直角三角形的面积法来求线段AD 的长度；（2）由于AE 是中线，那么BE ＝CE ，再表示△ACE 的周长和△ABE 的周长，化简可得△ACE 的周长﹣△ABE 的周长＝AC ﹣AB 即可．【详解】解：（1）∵∠BAC ＝90°，AD 是边BC 上的高，∴S △ACB =12AB•AC ＝12BC•AD ，∵AB ＝9cm ，AC ＝12cm ，BC ＝15cm ，∴AD ＝AB AC CB ⋅＝91215⨯＝365（cm ），即AD 的长度为365cm ；（2）∵AE 为BC 边上的中线，∴BE ＝CE ，∴△ACE 的周长﹣△ABE 的周长＝AC+AE+CE ﹣（AB+BE+AE ）＝AC ﹣AB ＝12﹣9＝3（cm ），即△ACE 和△ABE 的周长的差是3cm ．【点睛】此题主要考查了三角形的面积，关键是掌握直角三角形的面积求法．例4．（2023·广东东莞·八年级校考阶段练习）如图，在ABC 中，AD ，AE 分别是ABC 的高和角平分线，若30B ∠=︒，50C ∠=︒．(1)求DAE ∠的度数．(2)试写出DAE ∠与C B ∠-∠关系式，并证明．(3)如图，F 为AE 的延长线上的一点，FD BC ⊥于D ，这时AFD ∠与C B ∠-∠的关系式是否变化，说明理由．【答案】(1)10︒(2)()12DAE C B ∠=∠-∠(3)不变，理由见解析【分析】（1）根据三角形内角和求出BAC ∠，根据角平分线的定义得到50BAE ∠=︒，根据高线的性质得到90ADE ∠=︒，从而求出60BAD ∠=︒，继而根据角的和差得到结果；（2）根据角平分线的定义得到12BAE BAC ∠=∠，根据三角形内角和求出119022EAC B C ∠=︒-∠-∠，根据角的和差得到结果；（3）过A 作AG BC ⊥于G ，结合（2）知1()2EAG C B ∠=∠-∠，证明FD AG ∥，得到AFD EAG ∠=∠，即可证明．【详解】（1）解：∵30B ∠=︒，50C ∠=︒，∴1805030100BAC ∠=︒-︒-︒=︒，∵AE 平分BAC ∠，∴1502BAE CAE BAC ∠=∠=∠=︒，∵AD 是高，∴90ADE ∠=︒，∵30B ∠=︒，∴60BAD ∠=︒，∴10DAE BAD BAE ∠=∠-∠=︒；（2）()12DAE C B ∠=∠-∠，证明如下：∵AE 平分BAC ∠，∴12EAC BAC ∠=∠，∵180BAC B C ∠=︒-∠-∠，∴()11101902822B C B C EAC ︒-∠-∠-∠︒-==∠∠，∴EAD EAC DAC ∠=∠-∠()11090922B C C =︒∠---∠︒-∠()12C B =∠-∠；（3）不变，理由是：如图，过A 作AG BC ⊥于G ，由（2）可知：1()2EAG C B ∠=∠-∠，AG BC ⊥ ，90AGB ∠=︒，FD BC ⊥ ，90FDC ∴∠=︒，AGD FDC ∴∠=∠，FD AG ∴∥，AFD EAG ∴∠=∠，1()2AFD C B ∴∠=∠-∠．【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理、角平分线的性质、直角三角形的性质和平行线的判定与性质，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的性质是解题的关键．模型2：双垂直模型结论：①∠A =∠C ；②∠B =∠AFD =∠CFE ；③AB CD AE BC ⋅=⋅。
三角形的角及倒角模型
第二讲三角形的角及倒角模型(总7页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第二讲 三角形的角及倒角模型1、 如图1，求证：AB ＋AE ＞BC ＋CD ＋DE2、 如图2，AC 、BD 是四边形ABCD 的对角线，且AC 、BD 相交于点O ，求证：AC ＋BD ＞21（AB ＋BC ＋CD ＋AD ）。
3、 如图3，⊿ADE 和⊿ABC 中，∠EAD ＝∠AED ＝∠BAC ＝∠BCA ＝45°又有∠BAD ＝∠BCF ，（1） 求∠ECF ＋∠DAC ＋∠ECA 的度数；（2） 判断ED 与FC 的位置关系，并对你的结论加以证明。
4、 求∠a 的度数。
5、如图5，∠A ＝30°，求∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E 的度数。
6、将图6-1中线段AD上一点E（点A、D除外）向下拖动，依次可得图6-2、图6-3、图6-4，分别探究图6-2、图6-3、图6-4中∠A、∠B、∠C、∠D、∠E（∠AED）之间有什么关系7、如图7，在⊿ABC中D是BC上任意一点，E是AD上任意一点，试说明：AB＋AC＞BE＋EC。
8、如图8，已知DM平分∠ADC，BM平分∠ABC，且∠A＝27°，∠M＝33°，则∠C＝。
9、如图9所示，点E和点D分别在⊿ABC的边BA和CA的延长线上，CF、EF 分别平分∠ACB和∠AED，试探索∠F与∠B，∠D的关系：。
10、如图10，⊿ABC的一条外角平分线是CE，F是CA延长线上一点，FG∥EC 交AB于点G，已知∠DCE＝50°，∠ABC＝40°，求∠FGA的度数。
11、如图11，在⊿ABC中，∠B＝∠C，FD⊥BC，ED⊥AB，∠AFD＝158°，则∠EDF＝。
12、如图12-1，BP、CP是任意⊿ABC的∠B、∠C的角平分线。
（1）探求∠BPC与∠A的数量关系。
三角形的倒角
三角形的倒角题型一：三角形的倒角模型“飞镖模型”“8字模型”注意：飞镖和8字模型不可以直接使用，需要证明后再用．【例1】（1）如下左图，∠B=45°，∠A=30°，∠C=25°，试求∠ADC的角度．（2）如下右图，∠A=30°，∠B=45°，∠D=50°，试求∠C的角度．【例2】如图：在∠M的两边上分别取点P、点Q，在∠M内部取一点N，连接PN、QN，探索∠PNQ、∠M、∠MPN与∠MQN之间的数量关系，并证明你的结论．【例3】（1）如图1，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=__________．（2）如图2，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=__________．图1 图2题型二：三角形中常见倒角构图图1I为∠A、∠B平分线的交点图2E为△ABC两外角平分线的交点图3P为∠B的平分线和△ABC外角平分线的交点图4AD为∠BAC的平分线，AE为BC上的高图5E为∠ABC，∠ADC平分线的交点图6BE，DE为∠AB C和∠ADC的平分线【例4】已知：如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．试解答下列问题：图1 图2 图3（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系，并说明理由；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：______个；（3）在图2中，若∠D=40°，∠B=36°，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．利用（1）的结论，试求∠P的度数；（4）如果图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结论即可）（5）如图3所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=_________．【例5】如图1，∠MON=90°，点A、B分别在射线OM、ON上，（1）∠MAB和∠NBA的平分线相交于点P，点A和点B在运动过程中，∠P的大小是否发生变化？（2）如图2，若延长BA至E，在∠ABO的内部作射线BF交OM于点C，若∠ABC、∠CAE和∠ACF的角平分线交于点G，过点G作GH⊥BE于H，判断∠AGH与∠BGC的大小关系，并说明理由．图1 图2【例6】如图，在△ABC 中，1BO 、2BO 是∠ABC 的三等分线，1CO 、2CO 是∠ACB 的三等分线，（1）当∠A =60°时，∠C BO 2=______°；（2）请你探究∠C BO 1与∠C BO 2之间的数量关系．【演练1】（1）如图∠A =30°，求∠B +∠C +∠D +∠E 的度数．（2）如图1，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =____________． （3）如图2，求∠A +∠B +∠C +∠D =____________．图1 图2【演练2】将图1中线段AD 上一点E （点A 、D 除外）向下拖动，依次可得图2、图3、图4．分别探究图2、图3、图4中∠A 、∠B 、∠C 、∠D 、∠E （∠AED ）之间有什么关系？图1 图2 图3 图4【演练3】（1）如图①，分别在△ABC 的两个外角内部作射线BM 、CM ，相交于点P ， 则∠A +∠ABM +∠ACN +∠BPC（2）如图②，分别在△C B A ''的两个外角作射线''M B 、''N C ，相交于点'P ，探索∠'A 、∠'''M B A 、'''N C A 与∠'''C P B 之间的数量关系，并证明你的结论．（3）如图③，分别在△C B A ''的一个内角和一个外角作射线''M B 、''N C ，相交于点'P ，探索∠'A 、∠'''M B A 、'''N C A 与∠'''C P B 之间的数量关系，并证明你的结论．图① 图② 图③【演练4】（1）如图①，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，AB∥CD，∠ADC=40°，∠ABC=30°，求∠AEC的大小；（2）如图②，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∠ADC=m°，∠ABC=n°，求∠AEC的大小；（3）如图③，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，则∠AEC与∠ADC、∠ABC之间是否仍存在某种等量关系？若存在，请写出你得结论，并给出证明；若不存在，请说明理由．图①图②图③【演练5】同学们都知道，平面内两条直线的位置关系只有相交和平行两种．已知AB∥CD．如图1，点P在AB、CD外部时，由AB∥CD，有∠B=∠BOD，B∠D．又因为∠BOD 是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠（1）已知AB∥CD．如图2，点P在AB、CD内部时，上述结论是否成立？若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请你说明你的结论；（2）在图2中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图3，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？说明理由；（3）利用第（2）小题的结论求图4中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．图1 图2 图3 图4。
第4讲 倒角模型(学生版)
巩固1
如图，
，
，
，则
．
巩固2
如下图，
，
，
，则 的度数为
度．
巩固3 如图，
度．
巩固4
如图，点 和点 分在
的边 和 的延长线上， ， 分别平分
和
，若
，
，则 的大小是
．
巩固5
如图，点 是
两个内角平分线的交点，点 是
，则
的度数为（ ）
两个外角平分线的交点，如果
A.
B.
C.
D.
巩固6
如图，在
中，
交于点 ，依次类推，
，
与
的角平分线交于 ，
与
的角平分线交于点 ，则
与
的角平分线
的度数是
度．
巩固7
如图⑴， 、 是任意
的 、 的角平分线．
(1) 探求
与 的数量关系.
(2)
能等于 吗？说明理由.
(3) 当 为多少度时，
？
(4) 把图⑴中的
变成图⑵中的四边形
， 、 仍然是 ， 的平分线，猜想
与 、 有何数量关系？（只写出猜想结果，不写过程）
首先得到：当 时，如图 ，
，
当 时，如图 ，
，
如图 ，猜想
．
A
B
C
图
图
图
三、数学万花筒
帕斯卡12岁证明任意三角形内角和180度 帕斯卡12岁证明任意三角形内角和180度。 任意两个相同直角三角形一定能拼成长方形，每一个长方形的内角和是360（四个直角）恰好包含了直 角三角形的6个内角，所以一个直角三角形的内角和是360÷2=180。
；
的平
三角形中的倒角模型——飞镖模型、风筝模型以及翻角模型 学生版
初中几何专题01.三角形中的倒角模型--飞镖模型、风筝模型以及翻角模型一、模型简介近年来，各地中考数学中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算(内角和定理、外角定理等)。
熟悉此类模型可以快速得到角的关系，求出所需的角，本专题就飞镖模型、风筝模型以及翻角模型进行梳理及对应试题分析，方便同学们掌握。
模型1、“飞镖”模型(“燕尾”模型)图1图2图3条件：如图1，凹四边形ABCD；结论：①∠BCD=∠A+∠B+∠D；②AB+AD>BC+CD。
条件：如图2，线段BO平分∠ABC，线段OD平分∠ADC；结论：∠O=12(∠A+∠C)。
条件：如图3，线段AO平分∠DAB，线段CO平分∠BCD；结论：∠O=12(∠D-∠B)。
模型常用辅助线添加技巧1在劳动课上，小雅同学设计了一个形状如图所示的零件，其中∠A=52°，∠B=25°，∠C=30°，∠E =72°，∠F=65°，则∠D的度数为()A.35°B.45°C.30°D.24°2封闭折线ABCDEFGA组成的“七角形”，其七个角∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F、∠G之和为()A.180°B.270°C.360°D.720°3请阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和．(即如图1．∠ADB=∠A+∠B+∠C)理由如下：方法一：如图2，连结AB，则在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又∵在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C．方法二：如图3，连结CD并延长至F，∵∠1和∠3分别是△ACD和△BCD的一个外角，⋯大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论．任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是；(2)探索及应用：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分．2、风筝模型(鹰爪模型)或角内翻模型图1图21)风筝(鹰爪)模型：结论：∠A+∠O=∠1+∠2；2)风筝(鹰爪)模型(变形)：结论：∠A+∠O=∠2-∠1。
初中数学倒角模型
初中数学中的倒角模型通常指的是涉及两个或多个直线或者线段在相交处形成90度角的情况，这种特殊的角度组合在解决与直角三角形、相似性、勾股定理以及面积计算等相关几何问题时非常常见。
以下是几个常见的倒角模型及其相关性质和应用：
1. 直角三角形模型：
直角三角形的基本性质：直角三角形斜边上的高线将斜边分为两个等腰直角三角形，因此，高等于两直角边的乘积除以斜边。
勾股定理：直角三角形的两条直角边满足a² + b² = c²，其中c为斜边的长度。
2. 两直线垂直模型：
当两条直线在同一平面上且互相垂直时，它们的斜率之积为1，即m₁
m₂ = 1，这里m₁和m₂分别为两条直线的斜率。
或者说，在坐标系中，如果一条直线经过点A(x₁, y₁)，斜率为k，则与其垂直的直线过点B(x₂, y₂)且斜率为k，即y y₂ = k(x x₂) 和 y y₁ = k(x x₁)。
3. 倒角直角梯形模型：
若一个直角梯形的两个底角均为90度，则它的高线同时也是中位线，与上底和下底分别垂直，此时可以用分割法求得面积，即面积=上底长×高/2 + 下底长×高/2。
4. 猪蹄模型：
这是一种描述两个图形相切且其中一个图形内部有一个90度角的模型，例如圆与正方形或矩形相切，圆心到相切直线的距离等于半径。
在这种情况下，可以通过构建直角三角形来解决问题，如半径、内切圆的半径和外切圆半径之间的关系等。
初中数学——三角形的内外角和倒角模型
飞镖模型
A
12
D
B
34
C
结论：∠BDC=∠A+∠B+∠C
A
D B
连接BC
∵三角形内角和180°
∴∠A+∠ABC+ ∠ACB =180°
∠DBC+∠D+ ∠DCB=180°
C
∴∠A+∠ABC+ ∠ACB= ∠DBC+∠D+ ∠DCB 又∵ ∠ABC= ∠ABD+ ∠DBC
∠ACB= ∠ACD+ ∠DCB
∠A+∠B+∠F=∠BOF
在飞镖模型EDCO中
∠D+∠E+∠C=∠EOC
∠BOF=∠EOC=105 °(对顶角相等)
O
∴ ∠A+∠B+∠C +∠D+∠E+∠F=210°
“8”字模型
∵三角形内角和180°
∴∠A+∠B+ ∠1 =180° ∠C+∠D+ ∠2=180°
∠A+∠B+ ∠1 =∠C+∠D+ ∠2
∴∠A+∠ABC+∠ACB=∠BDC
飞镖模型
A
D
B
C
实现角的数量转换
飞镖模型
连接BD 在飞镖模型ABDN中 ∠A+∠ABD+∠NDB=∠AND=100 ° 在飞镖模型BDCM中 ∠C+∠BDA+∠DBM=∠CMB=130 ° ∴ ∠A+∠ABM+∠C+∠NDC=230 °
M N
在飞镖模型ABOF中
∵∠1=∠2（对顶角相等）
∴∠A+∠B=∠C+∠D
初中数学三角形中的倒角模型-“8”字模型、“A”字模型与三角板模型及参考答案
三角形中的倒角模型-“8”字模型、“A”字模型与三角板模型近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算(内角和定理、外角定理等)。
熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。
本专题“8”字模型、“A”字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1、“8”字模型图1图28字模型(基础型)条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①∠A+∠B=∠C+∠D；②AB+CD<AD+BC。
8字模型(加角平分线)条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D1(2021·河北·统考中考真题)下图是可调躺椅示意图(数据如图)，AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E 保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD=110°，则图中∠D应(填“增加”或“减少”)度．2(2023·浙江·八年级假期作业)如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数．3(2023·山东德州·八年级校考阶段练习)如图1，已知线段AB,CD相交于点O，连接AC,BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．(1)求证：∠A+∠C=∠B+∠D；(2)如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD,AB分别相交于点M、N．①若∠B=100°,∠C=120°，求∠P的度数；②若角平分线中角的关系改为“∠CAP=13∠CAB,∠CDP=13∠CDB”，试探究∠P与∠B,∠C之间的数量关系．4(2023春·广东深圳·七年级统考期末)定理：三角形任意两边之和大于第三边．(1)如图1，线段AD，BC交于点E，连接AB，CD，判断AD+BC与AB+CD的大小关系，并说明理由；(2)如图2，OC平分∠AOB，P为OC上任意一点，在OA，OB上截取OE=OF，连接PE，PF．求证：PE=PF；(3)如图3，在△ABC中，AB>AC，P为角平分线AD上异于端点的一动点，求证：PB-PC>BD-CD．5(2023春·江苏苏州·七年级校联考期中)阅读：基本图形通常是指能够反映一个或几个定理，或者能够反映图形基本规律的几何图形．这些图形以基本概念、基本事实、定理、常用的数学结论和基本规律为基础，图形简单又具有代表性．在几何问题中，熟练把握和灵活构造基本图形，能更好地帮助我们解决问题．我们将图1①所示的图形称为“8字形”．在这个“8字形”中，存在结论∠A+∠B=∠C+∠D．我们将图1②所示的凹四边形称为“飞镖形”．在这个“飞镖形”中，存在结论∠AOC=∠A+∠C+∠P．(1)直接利用上述基本图形中的任意一种，解决问题：如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，说明：∠P=12∠B+∠D．(2)将图2看作基本图形，直接利用(1)中的结论解决下列问题：①如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠B=30°，∠D=20°，求∠P的度数．②在图4中，AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系(直接写出结果，无需说明理由)．③在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系(直接写出结果，无需说明理由)．模型2、“A”字模型结论：①∠3+∠4=∠D+∠E；②∠1+∠2=∠A+180°。
三角形中的倒角模型-双角平分线(三角形)模型(解析版)
三角形中的倒角模型-双角平分线(三角形)模型模型1、双角平分线模型图1图2图31)两内角平分线的夹角模型条件：如图1，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线BE ，CF 交于点G ；结论：∠BGC =90°+12∠A ．2)两外角平分线的夹角模型条件：如图2，在△ABC 中，BO ，CO 是△ABC 的外角平分线；结论：∠O =90°-12∠A ．3)一个内角一个外角平分线的夹角模型条件：如图3，在△ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB 的外角，两条角平分线相交于点P ；结论：∠P =12∠A ．图4图5图64)凸多边形双内角平分线的夹角模型条件：如图4，BP 、CP 平分∠ABC 、∠DCB ，两条角平分线相交于点P ；结论：2∠P =∠A +∠D5)两内角平分线的夹角模型条件：如图5，BP 、DP 平分∠BCD 、∠CDE ，两条角平分线相交于点P ；结论：2∠P =∠A +∠B +∠E -180°6)一个内角一个外角平分线的夹角模型(累计平分线)条件：如图6，∠A =α，∠ABC ,∠ACD 的平分线相交于点P 1，∠P 1BC ,∠P 1CD 的平分线相交于点P 2，∠P 2BC ，∠P 2CD 的平分线相交于点P 3⋯⋯以此类推；结论：∠P n 的度数是α2n．7)旁心模型旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点条件：如图，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB 的外角，两条角平分线相交于点D ；结论：AD 平分∠CAD 1(2022秋·安徽阜阳·八年级统考期中)如图，在△ABC 中，点P 是△ABC 内一点，且点P 到△ABC 三边的距离相等，若∠BPC =124°，则∠A =．【答案】68°【分析】由条件可知BP 、CP 平分∠ABC 和∠ACB ，利用三角形内角和可求得∠A ．【详解】解：∵点P 到△ABC 三边的距离相等，∴BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB ，∴∠A =180°-(∠ABC +∠ACB )，=180°-2(∠PBC +∠PCB )=180°-2×(180°-∠BPC )=180°-2×(180°-124°)=68°故答案为：68°．【点睛】本题考查角平分线的性质与判定，掌握角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解题的关键．2(2022·湖北十堰·八年级统考期末)如图，在五边形ABCDE 中，∠A +∠B +∠E =a ，DP ，CP 分别平分∠EDC ，∠BCD ，则∠P 的度数是．【答案】12α-90°【分析】利用多边形内角和公式、三角形内角和定理和角平分线的定义即可求解．【详解】解：∵五边形的内角和为5-2 ×180°=540°，∴∠EDC +∠BCD =540°-α，∵DP,CP分别为∠EDC、∠BCD的平分线，∴∠PDC=12∠EDC，∠PCD=12∠BCD，∴∠PDC+∠PCD=12∠EDC+∠BCD=12540°-α，∴∠P=180°-12540°-α=12α-90°，故答案为：12α-90°．【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，牢记n边形的内角和为n-2×180°是解题关键．3(2023·山东济南·校考模拟预测)如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．(1)求证：∠AOC=90°+12∠ABC；(2)当∠ABC=90°时，且AO=3OD(如图2)，判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明．【答案】(1)见解析(2)43AE+CD=AC，证明见解析【分析】(1)求出∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，根据角平分线定义求出∠OAC=12∠BAC，∠OCA=12∠BCA，即可求出∠OAC+∠OCA的度数，根据三角形内角和定理求出即可；(3)在AC上分别截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，连接OM，ON，证△AEO≌△AMO，△DCO≌△NCO，推出∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON，求出∠MON=∠MOA=45°，根据角平分线性质求出MK=ML，据此计算即可求解．【详解】(1)证明：∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，∵∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．∴∠OAC=12∠BAC，∠OCA=12∠BCA，∴∠OAC+∠OCA=12(∠BAC+∠BCA)=12(180°-∠ABC)=90°-12∠ABC，∴∠AOC=180°-(∠OAC+∠OCA)=180°-90°-12∠ABC，即∠AOC=90°+12∠ABC；(2)解：43AE+CD=AC，证明：如图2，∵∠AOC=90°+12∠ABC=135°，∴∠EOA=45°，在AC上分别截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，连接OM，ON，则在△AEO和△AMO中，AE=AM∠EAO=∠MAO AO=AO，∴△AEO≌△AMO，同理△DCO≌△NCO，∴∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON，∴∠EOA=∠MOA=∠CON=∠COD=45°，∴∠MON=∠MOA=45°，过M作MK⊥AD于K，ML⊥ON于L，∴MK=ML，S△AOM=12AO×MK，S△MON=12ON×ML，∴AOON=SΔAOMSΔMON，∵SΔAOMSΔMON=AMMN，∴AOON=AMMN，∵AO=3OD，∴AOOD =31，∴AOON=AMMN=31，∴AN=43AM=43AE，∵AN+NC=AC，∴43AE+CD=AC．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线定义和性质，三角形的面积，三角形内角和定理的应用，熟练掌握各性质定理是解答此题的关键．4(2023秋·成都市·八年级专题练习)如图，在△ABC中，∠B=58°，三角形两外角的角平分线交于点E，则∠AEC=．【答案】61°【分析】先根据三角形的内角和定理和平角定义求得∠DAC+∠ACF的度数，再根据角平分线的定义求得∠EAC+∠ECA的度数，即可解答．【详解】解：∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°，∴∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-58°= 122°，∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°，∴∠DAC+∠ACF=360°-(∠BAC+∠BCA)=360°-122°=238°，∵AE 平分∠DAC ，CE 平分∠ACF ，∴∠EAC =12∠DAC ，∠ECA =12∠ACF ，∴∠EAC +∠ECA =12(∠DAC +∠ACF )=119°，∵∠EAC +∠ECA +∠AEC =180°，∴∠AEC =180°-(∠EAC +∠ECA )=180°-119°=61°，故答案为：61°．【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、平角定义，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解答的关键．5(2023·湖北·八年级专题练习)如图，已知在ΔABC 中，∠B 、∠C 的外角平分线相交于点G ，若∠ABC =m °，∠ACB =n °，求∠BGC 的度数.【答案】∠BGC =12m °+n ° 【分析】运用角平分线的知识列出等式求解即可．解答过程中要注意代入与之有关的等量关系．【详解】解：∠B 、∠C 的外角平分线相交于点G ，在ΔBCG 中，∠BGC =180°-12∠EBC +12∠BCF=180°-12(∠EBC +∠BCF )=180°-12(180°-∠ABC +180°-∠ACB )=180°-12(180°-m °+180°-n °)；=12m °+n ° 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理以及角平分线的知识．此类题的关键是找出与之相关的等量关系简化计算得出．6(2023·辽宁葫芦岛·八年级统考期中)如图，CD 、BD 分别平分∠ACE 、∠ABC ，∠A =70°，则∠BDC =()A.35°B.25°C.70°D.60°【答案】A 【分析】根据角平分线的定义可得∠CBD =12∠ABC ，∠DCE =12∠ACE ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠DCE =∠D +∠CBD ，∠ACE =∠A +∠ABC ，然后整理求出∠D=12∠A．【详解】解：∵CD、BD分别平分∠ACE、∠ABC，∴∠CBD=12∠ABC，∠DCE=12∠ACE，由三角形的外角性质得，∠DCE=∠D+∠CBD，∠ACE=∠A+∠ABC，∴∠D+∠CBD=12(∠A+∠ABC)∴∠D=12∠A，∵∠A=70°，∴∠D=12×70°=35°．故选：A．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，注意整体思想的利用是解答的关键．7(2022秋·八年级课时练习)如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1 BD的平分线，CA2是∠A1CD的平分线，BA3是∠A2BD的平分线，CA3是∠A2CD的平分线，⋯⋯以此类推，若∠A=α，则∠A2020=．【答案】α22020【分析】根据角平分线的定义可得∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可得解∠A1=12∠A，同理求出∠A2，∠A3，可以发现后一个角等于前一个角的12，根据此规律即可得解．【详解】∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，∴∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12∠ACD，又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，∴1 2(∠A+∠ABC)=12∠ABC+∠A1，∴∠A1=12∠A，∵∠A=α．∠A1=12∠A=12α，同理可得∠A2=12∠A1=122α，根据规律推导，∴∠A2020=α22020，故答案为α22020．【点睛】本题主要考查的是三角形外角性质，角平分线定理，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义是解题的关键．8(2023春·成都市七年级课时练习)如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E，记∠BAC=∠1，∠BEC=∠2，则以下结论①∠1= 2∠2，②∠BOC=3∠2，③∠BOC=90°+∠1，④∠BOC=90°+∠2，正确的是．(把所有正确的结论的序号写在横线上)【答案】①④【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠1=2∠2，∠BOC=90°+12∠1，∠BOC=90°+∠2，再分析判断．【详解】∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，∴∠DCE=12∠ACD，∠DBE=12∠ABC，又∵∠DCE是△BCE的外角，∴∠2=∠DCE-∠DBE=12(∠ACD-∠ABC)=12∠1，故①正确；∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC=12ABC，∠OCB=12∠ACB，∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-12(∠ABC+∠ACB)=180°-12(180°-∠1)=90°+12∠1，故②、③错误；∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，∴∠ACO=12∠ACB，∠ACE=12∠ACD，∴∠OCE=12(∠ACB+∠ACD)=12×180°=90°，∵∠BOC是△COE的外角，∴∠BOC=∠OCE+∠2=90°+∠2，故④正确；故答案为：①④．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义．9(2023秋·广东佛山·八年级校考期末)(1)如图1所示，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线将于点O，则有∠BOC=90°+12∠A，请说明理由．(2)如图2所示，在△ABC中，内角的平分线∠ABC和外角∠ACD的平分线交于点O，请直接写出∠BOC与∠BAC之间的关系，不必说明理由．(3)如图3所示，AP，BP分别平分∠CAD，∠CBD，则有∠P=12(∠C+∠D)，请说明理由．(4)如图4所示，AP，BP分别平分∠CAM，∠CBD，请直接写出∠P与∠C，∠D之间的关系，不必说明理由．【答案】(1)理由见解析；(2)∠BAC=2∠BOC；(3)理由见解析；(4)∠P=12∠D+12∠C+90°【分析】(1)根据OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACB的角平分线，利用三角形的内角和等于180°即可得出结果；(2)根据OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACD的角平分线，利用三角形的外角性质即可得出结果；(3)根据AP是∠DAC的角平分线，BP是∠DBC的角平分线，利用三角形的外角性质列出等式∠D +∠DAP=∠P+∠DBP，∠P+∠PAC=∠PBC+∠C，分析等式即可得出结果；(4)AP是∠MAC的角平分线，BP是∠DBC的角平分线，设∠DBP=∠PBC=x，∠MAP=∠PAC =y，利用三角形外角性质和内角和性质即可得出结果．【详解】解：(1)∵OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACB的角平分线∴∠ABO=OBC，∠ACO=∠OCB∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°∴∠OCB+∠OBC=180°-∠A÷2=90°-12∠A∴∠BOC==180°-90°-12∠A=90°+12∠A(2)∵OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACD的角平分线∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCD∵∠BAC+∠ABC=∠ACD，∠OBC+∠BOC=∠OCD∴2∠OBC+2∠BOC=2∠OCD∴∠ABC+2∠BOC=∠ACD∴∠BAC=2∠BOC(3)∵AP是∠DAC的角平分线，BP是∠DBC的角平分线∴∠DAP=∠PAC，∠DBP=∠PBC∵∠D+∠DAP=∠P+∠DBP，∠P+∠PAC=∠PBC+∠C∴∠D-∠P=∠P-∠C∴∠P=12(∠C+∠D)(4)∵AP是∠MAC的角平分线，BP是∠DBC的角平分线∴∠MAP=∠PAC，∠DBP=∠PBC设∠DBP=∠PBC=x，∠MAP=∠PAC=y∴∠AGB=∠C+2x∴∠BEP=∠AEG=180°-(∠C+2x)-y∴∠P=180°-∠BEP-∠DBP=∠C+x+y∵∠D+∠AEG=∠MAP∴∠D+180°-(∠C+2x)-y =y∴x+y=12∠D-12∠C+90°∴∠P=12∠D-12∠C+90°+∠C∴∠P=12∠D+12∠C+90°【点睛】本题主要考查的是角平分线性质的综合运用，正确的掌握角平分线的性质以及运用是解题的关键．10(2023·江苏八年级课时练习)(1)如图所示，在△ABC中，BO,CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，证明：∠BOC=90°+12∠A．(2)如图所示，△ABC的外角平分线BD和CD相交于点D，证明：∠BDC=90°-12∠A．(3)如图所示，△ABC的内角平分线BD和外角平分线CD相交于点D，证明：∠D=12∠A．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析【详解】(1)设∠ABO=∠OBC=x,∠ACO=∠BCO=y．由△ABC的内角和为180°，得∠A+2x+2y=180°．①由△BOC的内角和为180°，得∠BOC+x+y=180°．②由②得x+y=180°-∠BOC．③把③代入①，得∠A+2180°-∠BOC=180°，即2∠BOC=180°+∠A，即∠BOC=90°+12∠A(2)∵BD、CD为△ABC两外角∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠BCD=12∠A+∠ABC、∠DBC=12∠A+∠ACB，由三角形内角和定理得，∠BDC=180°-∠BCD-∠DBC，=180°-12[∠A+(∠A+∠ABC+∠ACB)]，=180°-12(∠A+180°)，=90°-12∠A；(3)如图：∵BD为△ABC的角平分线，交AC与点E，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，两角平分线交于点D∴∠1=∠2，∠5=12(∠A+2∠1)，∠3=∠4，在△ABE中，∠A=180°-∠1-∠3∴∠1+∠3=180°-∠A①在△CDE中，∠D=180°-∠4-∠5=180°-∠3-12(∠A+2∠1)，即2∠D=360°-2∠3-∠A-2∠1=360°-2(∠1+∠3)-∠A②，把①代入②得∠D=12∠A．【点睛】此题考查的是三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，三角形内角和定理，属中学常规题．课后专项训练1(2023·成都·八年级月考)如图，ΔABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP 交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=()A.40°B.45°C.50°D.60°【解答】解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，设∠PCD=x°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，∴PF=PM，∵∠BPC=40°，∴∠ABP=∠PBC=∠PCD-∠BPC=(x-40)°，∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-(x°-40°)-(x°-40°)=80°，∴∠CAF=100°，在RtΔPFA和RtΔPMA中，PA=PA PM=PF，∴RtΔPFA≅RtΔPMA(HL)，∴∠FAP=∠PAC=50°．故选：C．2(2023秋·绵阳市·八年级专题练习)如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是()A.∠BAC=70°B.∠DOC=90°C.∠BDC=35°D.∠DAC=55°【答案】B【分析】根据三角形的内角和定理列式计算即可求出∠BAC，即可判断A选项；根据角平分线的定义求出∠ABO，再利用三角形的内角和定理求出∠AOB，然后利用对顶角，即可判断B选项；根据邻补角的定义和角平分线的定义求出∠DCO，再利用三角形的内角和定理求出∠BDC，即可判断C选项；利用角平分线的性质，推出AD为△ABC的外角平分线，然后列式计算求出∠DAC，即可判断D选项．【详解】解：∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-50°-60°=70°，故A选项正确，不符合题意；∵BD平分∠ABC，∴∠ABO=12∠ABC=12×50°=25°，在△ABO中，∠AOB=180°-∠BAC-∠ABO=180°-70°-25°=85°，∴∠DOC=∠AOB=85°，故B选项错误，符合题意；∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=12∠ACE=12180°-∠ACB=12180°-60°=60°，在△COD中，∠BDC=180°-∠COD-∠ACD=180°-85°-60°=35°，故C选项正确，不符合题意；∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线，∴D到AB、AC、BC的距离相等，∴AD是△ABC的外角平分线，∴∠DAC=12180°-∠BAC=12180°-70°=55°，故D选项正确，不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理和概念是解题关键．3(2022春·北京海淀·七年级校考期中)如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴在正半轴、x轴正半轴分别交A、B两点，点C在BA的延长线上，AD平分∠CAO，BD平分∠ABO，则∠D的度数是()A.30°B.45°C.55°D.60°【答案】B【分析】由OA⊥OB即可得出∠OAB+∠ABO=90°、∠AOB=90°，再根据角平分线的定义以及三角形内角和定理即可求出∠D的度数．【详解】解：∵OA⊥OB，∴∠OAB+∠ABO=90°，∠AOB=90°．∵DA平分∠CAO，∴∠DAO=12∠OAC=12(180°-∠OAB)．∵DB平分∠ABO，∴∠ABD=12∠ABO，∴∠D=180°-∠DAO-∠OAB-∠ABD=180°-12(180°-∠OAB)-∠OAB-12∠ABO=90°-12(∠OAB+∠ABO)=45°．故选：B．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是找出∠D=90°-12(∠OAB+∠ABO)．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练运用三角形内角和定理解决问题是关键．4(2022秋·河北张家口·八年级统考阶段练习)如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，连接OB,OC．若∠BOC=120°，则∠A的度数是()A.30°B.45°C.60°D.70°【答案】C【分析】由点O在△ABC内，且到三边的距离相等，可知O是角平分线的交点，则∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，由∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°，可得∠ABC+∠ACB=120°，根据∠A+∠ABC+∠ACB=180°，计算求解即可．【详解】解：∵点O在△ABC内，且到三边的距离相等，∴O是角平分线的交点，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∵∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°，∴12∠ABC+12∠ACB+120°=180°，即∠ABC+∠ACB=120°，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠A=60°，故选：C．【点睛】本题考查了角平分线的判定定理，三角形内角和定理．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．5(2022秋·四川绵阳·八年级统考期末)如图，在△ABC中，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于()A.10°B.15°C.20°D.30°【答案】B【分析】先根据角平分线的定义得到∠1=∠2，∠3=∠4，再根据三角形外角性质得∠1+∠2=∠3+∠4 +∠A，∠1=∠3+∠D，则2∠1=2∠3+∠A，利用等式的性质得到∠D=12∠A，然后把∠A的度数代入计算即可．【详解】解答：解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠ACE=∠A+∠ABC，即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A，∴2∠1=2∠3+∠A，∵∠1=∠3+∠D，∴∠D=12∠A=12×30°=15°．故选：B．【点睛】本题考查了三角形内角和定理和三角形外角性质、角平分线的性质等，根据三角形内角和是180°和三角形外角性质进行分析是解题关键．6(2023春·福建漳州·七年级统考期末)如图，在△ABC中，∠ACB<∠A,BD是角平分线，BE是边AC上的高，延长BD与外角∠ACF的平分线交于点G．以下四个结论：①∠ABD=∠CBD；②∠ABE+∠A=90°；③∠G=45°；④∠A-∠ACB=2∠EBD．其中结论正确的个数是()A.1B.2C.3D.4【答案】C【分析】由三角形的角平分线的含义可判断①，由三角形的高的含义可判断②，证明∠ABC=2∠GBC，∠ACF=2∠GCF，∠ACF=∠ABC+∠A，∠GCF=∠GBC+∠G，可判断③，由2∠BED=290°-∠ADB，∠ADB=∠DBC+∠ACB，可得2∠BED=180°-2∠DBC+2∠ACB，从而可判断④，从而可得答案．【详解】解：∵BD是△ABC角平分线，∴∠ABD=∠CBD，故①符合题意；∵BE是边AC上的高，∴∠ABE+∠A=90°，故②符合题意；∵BD是△ABC角平分线，CG平分∠ACF，∴∠ABC=2∠GBC，∠ACF=2∠GCF∠A，∵∠ACF=∠ABC+∠A，∠GCF=∠GBC+∠G，∴2∠GCF=2∠GBC+∠A，∴∠G=12∵∠A<90°，∴∠G<45°，故③不符合题意；∵2∠BED=290°-∠ADB，∠ADB=∠DBC+∠ACB，∴2∠BED=180°-2∠DBC+2∠ACB=180°-∠ABC+2∠ACB=180°-180°-∠A+∠ACB=∠A-∠ACB，故④符合题意；故选C【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的角平分线与高的含义，三角形的外角的性质，灵活运用三角形的外角的性质解决问题是关键．7(2022秋·贵州遵义·八年级校考阶段练习)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=16°，∠ACB的平分线与外角∠ABD的平分线交于点E，连接AE，则∠AEC的度数为．【答案】37°/37度【分析】由角平分线的性质可得EF=EH=EG，进而可证明EA是∠BAC的外角平分线，再利用三角形的内角和定理解答即可．【详解】解：过E点分别作EF⊥AC于F，作EG⊥AB于点G，作EH⊥CD于H，∵EC 是∠ACB 的平分线，EB 是∠ABD 的平分线，∴EF =EH ，EG =EH ，∴EF =EG ，∴EA 是∠BAC 的外角平分线，∵∠ACB =90°，∠BAC =16°，∴∠ACE =45°，∴∠EAB =∠FAB 2=180°-16°2=82°，∴∠AEC =180°-∠EAC +∠ACE =180°-82°+16°+45° =180°-143°=37°．故答案为：37°．【点睛】本题考查了三角形内角平分线和外角平分线的定义，掌握角平分线的定义是解题的关键．8(2023春·江苏南通·七年级统考阶段练习)如图，BA 1和CA 1分别是△ABC 的内角平分线和外角平分线，BA 2是∠A 1BD 的平分线，CA 2是∠A 1CD 的平分线，BA 3是∠A 2BD 的平分线，CA 3是∠A 2CD 的平分线，若∠A =α，则∠A 999=．【答案】α2999【分析】根据角平分线的定义可得∠A 1BD =12∠ABC ，∠A 1CD =12∠ACD ，再根据三角形外角的性质可得12∠ABC +∠A =12∠ABC +∠A 1，化简可得∠A 1=12∠A ，进一步找出其中的规律，即可求出∠A 999的度数．【详解】解：∵BA 1和CA 1分别是△ABC 的内角平分线和外角平分线，∴∠A 1BD =12∠ABC ，∠A 1CD =12∠ACD ，又∵∠ACD =∠ABC +∠A ，∠A 1CD =∠A 1BD +∠A 1，∴12∠ABC +∠A =12∠ABC +∠A 1，∴∠A 1=12∠A =12α，同理可得：∠A 2=12∠A 1=12×12α=122α，∠A 3=122∠A 1=123α，...... 则A 999=12999∠A =α2999，故答案为：α2999．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，找出∠A 1，∠A 2，∠A 3与∠A 的规律是解题的关键．9(2022秋·北京大兴·八年级统考期末)如图，在△ABC 中，AB <AC ，∠BAC 的平分线与外角∠BCD 的平分线相交于点M ，作AB 的延长线得到射线AE ，作射线BM ，有下面四个结论：①∠MCD >∠MAB ；②BM =CM ；③射线BM 是∠EBC 的角平分线；④∠BMC =90°-12∠BAC ．所有正确结论的序号是．【答案】①③④【分析】由角平分线的定义可知∠MAB=∠MAC．再根据三角形外角的性质得出∠MCD=∠MAC+∠AMC，即可确定∠MCD>∠MAB，故①正确；过点M作MF⊥AD于点F，MG⊥BC于点G，MH⊥AE于点H，由角平分线的性质定理可得出MF=MG=MH．即易证Rt△BMG≌Rt△BMH(HL)，得出∠MBG=∠MBH，即说明射线BM是∠EBC的角平分线，故③正确；利用反证法，假设BM=CM，易证∠CBE=∠BCD，即得出∠ABC=∠ACB．由AB<AC，可知∠ABC≠∠ACB，即说明BM= CM不成立，故②错误；由∠BMC=∠BMG+∠CMG，即得出∠BMC=(90°-∠MBG)+(90°-∠MCG)．再根据角平分线的定义即得出∠BMC=90°-12∠CBE+90°-12∠BCD，最后结合三角形内角和定理即可求出结论，可判断④正确．【详解】解：∵AM为∠BAC的平分线，∴∠MAB=∠MAC．∵∠MCD=∠MAC+∠AMC，∴∠MCD>∠MAC，∴∠MCD>∠MAB，故①正确；如图，过点M作MF⊥AD于点F，MG⊥BC于点G，MH⊥AE于点H，∵AM为∠BAC的平分线，CM为∠BCD的平分线，∴MF=MG=MH．又∵BM=BM，∴Rt△BMG≌Rt△BMH(HL)，∴∠MBG=∠MBH，即射线BM是∠EBC的角平分线，故③正确；假设BM=CM，∴∠MBC=∠MCB．∵CM为∠BCD的平分线，BM是∠EBC的角平分线，∴∠MBE=∠MBC，∠MCB=∠MCD，∴∠MBE+∠MBC=∠MCB+∠MCD，即∠CBE=∠BCD，∴180°-∠CBE=180°-∠BCD，即∠ABC=∠ACB．∵AB<AC，∴∠ABC≠∠ACB，∴假设不成立，故②错误；∵∠BMC=∠BMG+∠CMG，∴∠BMC=(90°-∠MBG)+(90°-∠MCG)．∵∠MBG=12∠CBE，∠MCG=12∠BCD，∴∠BMC=90°-12∠CBE+90°-12∠BCD，∴∠BMC=90°-12∠CBE+90°-12∠BCD=180°-12∠CBE-12∠BCD=180°-12(180°-∠ABC)-12(180°-∠ACB)=12(∠ABC+∠ACB)=12(180°-∠BAC)=90°-12∠BAC，∴④正确．综上可知所有正确结论的序号是①③④．故答案为：①③④．【点睛】本题考查角平分线的定义，角平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质及三角形内角和的应用等知识．正确作出辅助线构造全等三角形，并利用数形结合的思想是解题关键．10(2023春·河北·七年级专题练习)如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，延长BO与∠ACB的外角平分线交于点D，若∠BOC=130°，则∠D=【答案】40°【分析】根据角平分线的定义结合三角形外角的性质即可得到结论．【详解】解：∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，∴∠ACO=12∠ACB，∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=12∠ACE，∵∠ACB+∠ACE=180°，∴∠OCD=∠ACO+∠ACD=12(∠ACB+∠ACE)=12×180°=90°，∵∠BOC=130°，∴∠D=∠BOC-∠OCD=130°-90°=40°，故答案为：40°．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，熟练掌握相关性质和概念正确推理计算是解题的关键．11(2023·浙江杭州·八年级期末)如图，在四边形中，，的平分线与的平分线交于点，则．(用含字母的代数式表示)【答案】【分析】根据四边形的内角和是360°，求出∠ABC+∠BCD的度数，然后根据角平分线的定义及三角形的内角和定理求出∠P的度数即可．【详解】解：∵∠A+∠D=m°，且四边形内角和为360°，∴∠ABC+∠BCD=360°-m°，∵PB、PC是∠ABC、∠BCD的角平分线，∴∠PBC=12∠ABC，∠BCP=12∠BCD，∴∠PBC+∠BCP=12∠ABC+12∠BCD=12∠ABC+∠BCD=12360°-m°∴∠P=180°-(∠PBC+∠BCP)=180°-12360°-m°=12m°故答案为：12m°．【点睛】本题考查了四边形的内角和及三角形的内角和与角平分线相关的角度计算问题，解题的关键是表达出∠PBC+∠BCP的度数．12(2023春·河南·七年级专题练习)如图，点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两外角平分线的交点，如果∠CMB：∠CNB=3：2，那么∠CAB=．【答案】36°【分析】由角平分线的定义得∠NCM=∠MBN=12×180°=90°，再比的关系可求得∠CMB=108°，再由内角平分线及三角形内角和即可求得结果．【详解】由题意得：∠NCM=∠MBN=12×180°=90°，∴∠CMB+∠CNB=180°，又∠CMB：∠CNB=3：2，∴∠CMB=108°，∴12(∠ACB+∠ABC)=180°-∠CMB=72°，∴∠ACB+∠ABC=144°，∴∠CAB=180°-(∠ACB+∠ABC)=36°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形角平分线的定义等知识，由条件得到∠NCM=∠MBN= 90°是关键．13(2023·黑龙江八年级课时练习)(1)如图(1)所示，已知在△ABC中，O为∠ABC和∠ACB的平分线BO，CO的交点．试猜想∠BOC和∠A的关系，并说明理由．(2)如图(2)所示，若O为∠ABC的平分线BO和∠ACE的平分线CO的交点，则∠BOC与∠A的关系又该怎样？为什么？【答案】(1)∠BOC =12∠A +90°；理由见解析；(2)∠BOC =12∠A ；理由见解析【分析】(1)根据三角形内角和定理得出∠A +∠ABC +∠ACB =180°，∠BOC +∠OBC +∠OCB =180°，根据角平分线的性质得出∠ABC =2∠OBC ，∠ACB =2∠OCB ，然后得出∠BOC +12∠ABC +12∠ACB =180°，最后得出结论；(2)根据外角的性质得出∠A +∠ABC =∠ACE ，∠OBC +∠BOC =∠OCE ，然后根据角平分线的性质得出∠ABC =2∠OBC ，∠ACE =2∠OCE ，最后根据∠BOC =∠OCE -∠OBC 得出答案．【详解】(1)∠BOC =12∠A +90°．在△ABC 中，∠A +∠ABC +∠ACB =180°，在△BOC 中，∠BOC +∠OBC +∠OCB =180°，又∵BO ，CO 分别是∠ABC ，∠ACB 的平分线，∴∠ABC =2∠OBC ，∠ACB =2∠OCB ．∴∠BOC +12∠ABC +12∠ACB =180°．∴∠BOC =180°-12(∠ABC +∠ACB )=180°-12(180°-∠A )=90°+12∠A ．(2)∠BOC =12∠A ．∵∠A +∠ABC =∠ACE ，∠OBC +∠BOC =∠OCE ，∴∠A =∠ACE -∠ABC ，∠BOC =∠OCE -∠OBC又∵BO ，CO 分别是∠ABC 和∠ACE 的平分线，∴∠ABC =2∠OBC ，∠ACE =2∠OCE ．∴∠BOC =∠OCE -∠OBC =12∠ACE -12∠ABC =12(∠ACE -∠ABC )=12∠A ．【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握外角性质并能正确计算是解题关键．14(2023·北京昌平·八年级校考阶段练习)认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题.探究1：如图l ，在△ABC 中，O 是∠ABC 与∠ACB 的平分线BO 和CO 的交点，通过分析发现∠BOC=90°+12∠A ,理由如下：∵BO 和CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线∴∠1=12∠ABC , ∠2=12∠ACB∴∠l+∠2=12(∠ABC+∠ACB)=12(180°-∠A)=90°-12∠A∴∠BOC=180°-(∠1+∠2)=180°-90°-12∠A=90°+12∠A(1)探究2；如图2中，O是12∠ABC与外角12∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．(2)探究3：如图3中, O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？(直接写出结论)(3)拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？(直接写出结论)【答案】(1)探究2结论：∠BOC=12∠A；(2)探究3：结论∠BOC=90°-12∠A；(3)拓展：结论∠BOC=12∠A+∠D【分析】(1)根据角平分线的定义可得∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义可得∠2=12∠ACD=12(∠A+∠ABC)，∠BOC=∠2-∠1，然后整理即可得解；(2)根据三角形的外角性质以及角平分线的定义表示出∠OBC和∠OCB，再根据三角形的内角和定理解答；(3)同(1)的求解思路．【详解】(1)探究2结论：∠BOC=12∠A．理由如下：如图，∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACD，又∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠2=12∠ACD=12(∠A+∠ABC)=12∠A+∠1，∵∠2是△BOC的一个外角，∴∠BOC=∠2-∠1=12∠A+∠1-∠1=12∠A，即∠BOC=12∠A；(2)由三角形的外角性质和角平分线的定义，∠OBC=12(∠A+∠ACB)，∠OCB=12(∠A+∠ABC)，在△BOC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-12(∠A+∠ACB)-12(∠A+∠ABC)，=180°-12(∠A+∠ACB+∠A+∠ABC)，=180°-12(180°+∠A)，=90°-12∠A；故答案为∠BOC=90°-12∠A．(3)∠OBC+∠OCB=12(360°-∠A-∠D)，在△BOC中，∠BOC=180°-12(360°-∠A-∠B)=12(∠A+∠D)．故答案为∠BOC=12(∠A+∠D)．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图，整体思想的利用是解题的关键．15(2023春·江苏无锡·七年级校考阶段练习)如图1，点A、B分别在射线OM、ON上运动(不与点O重合)，AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，BC延长线交OM于点G．(1)若∠MON=60°，则∠ACG=°；若∠MON=90°，则∠ACG=°；(2)若∠MON=n°，请求出∠ACG的度数；(用含n的代数式表示)(3)如图2，若∠MON=n°，过C作直线与AB交于F，若CF∥OA时，求∠BGO-∠ACF的度数．(用含n的代数式表示)．【答案】(1)60°；45°；(2)90°-12n；(3)90°-12n．【分析】(1)根据三角形的内角和求出∠ABO+∠BAO的度数，再根据角平分线的定义及外角的性质即可得到∠ACG的度数；(2)根据(1)中的结论即可求出答案；(3)根据角平分线的性质，平行线的性质得到∠ACF=∠CAO=∠BAC，利用外角的性质得到∠BGO-∠ACF=∠ACG，由此得到答案.【详解】(1)∵∠MON+∠ABO+∠BAO=180°，∴∠ABO+∠BAO=180°-∠MON，∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，∴∠ABC=12∠ABO，∠BAC=12∠BAO，当∠MON=60°，∠ACG=∠ABC+∠BAC=12(∠ABO+∠BAO)=12(180°-∠MON)=60°，当∠MON=90°，∠ACG=∠ABC+∠BAC=12(∠ABO+∠BAO)=12(180°-∠MON)=45°，故答案为：60°，45°；(2)由(1)知∠ACG=12(180°-∠MON)，∵∠MON=n°，∴∠ACG=12(180°-∠MON)=90°-12n；(3)∵AC平分∠BAO，∴∠BAC=∠CAO∵CF∥OA，∴∠ACF=∠CAO=∠BAC，∵∠BGO=∠ABG+∠BAO=∠ABG+2∠ACF,∴∠BGO-∠ACF=∠ABG+2∠ACF-∠ACF=∠ABG+∠ACF=∠ABG+∠BAC=∠ACG,∵∠MON=n°时∠ACG=90°-12n，∴∠BGO-∠ACF=90°-12n.【点睛】此题考查三角形的内角和定理，外角的性质定理，平行线的性质定理，解题时注意共性思想的理解和利用.16(2023·山西晋城·七年级统考期末)在△ABC中，已知∠A=α．(1)如图1，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D．①当α=70°时，∠BDC度数=度(直接写出结果)；②∠BDC的度数为(用含α的代数式表示)；(2)如图2，若∠ABC的平分线与∠ACE角平分线交于点F，求∠BFC的度数(用含α的代数式表示)．(3)在(2)的条件下，将△FBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC，∠GBC的角平分线与∠GCB的角平分线交于点M(如图3)，求∠BMC的度数(用含α的代数式表示)．【答案】(1)(1)①125°；②90°+12α，(2)∠BFC=12α；(3)∠BMC=90°+14α【分析】(1)①由三角形内角和定理易得∠ABC+∠ACB=110°，然后根据角平分线的定义，结合三角形内角和定理可求∠BDC；②由三角形内角和定理易得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，采用①的推导方法即可求解；(2)由三角形外角性质得∠BFC=∠FCE-∠FBC，然后结合角平分线的定义求解；(3)由折叠的对称性得∠BGC=∠BFC，结合(1)②的结论可得答案．【详解】解：(1)①∵∠DBC=12∠ABC，∠DCB=12∠ACB，∴∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB =180°-12(∠ABC+∠ACB)=180°-12(180°-70°)=125°②∵∠DBC=12∠ABC，∠DCB=12∠ACB，∴∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB =180°-12(∠ABC+∠ACB)=180°-12(180°-∠A)=90°+12∠A=90°+12α．故答案分别为125°，90°+12α．(2)∵BF和CF分别平分∠ABC和∠ACE∴∠FBC=12∠ABC，∠FCE=12∠ACE，∴∠BFC=∠FCE-∠FBC=12(∠ACE-∠ABC)=12∠A即∠BFC=12α．(3)由轴对称性质知：∠BGC=∠BFC=12α，由(1)②可得∠BMC=90°+12∠BGC，∴∠BMC=90°+14α．【点睛】本题考查三角形中与角平分线有关的角度计算，熟练掌握三角形内角和定理，以及三角形的外角性质是解题的关键．17(2023·江苏连云港·七年级统考期中)在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验．【结论发现】小明在处理教材第43页第21题后发现：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半．【结论探究】(1)如图1，在△ABC中，点E是△ABC内角∠ACB平分线CE与外角∠ABD的平分线BE的交点，则有∠E=12∠A．请补齐下方的说理过程．理由如下：因为∠EBC+∠EBD=180°，又因为在△EBC中，∠EBC+∠E+∠ECB=180°，所以∠EBC+∠EBD=∠EBC+∠E+∠ECB．所以∠EBD=∠E+∠．(理由是：等式性质)同理可得：∠ABD=∠A+∠．又因为BE和CE分别是∠ABD和∠ACB的角平分线，所以∠EBD=12∠ABD，∠=12∠ACB．所以12∠ABD=∠E+12∠ACB．即∠E=12∠ABD-12∠ACB=12(∠ABD-∠ACB)．所以∠E=12∠A．请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题：【简单应用】(2)如图2，在△ABC中，∠ABC=40°．延长BA至G，延长AC至H，已知∠BAC、∠CAG 的角平分线与∠BCH的角平分线及其反向延长线交于E、F，求∠F的度数；【变式拓展】(3)如图3，四边形ABCD的内角∠BCD与外角∠ABG的平分线形成如图所示形状．①已知∠A=150°，∠D=80°，求∠E+∠F的度数；②直接写出∠E+∠F与∠A+∠D的关系．【答案】(1)ECB，ACB，ECB；(2)70°；(3)①205°；②∠E+∠F=12(∠A+∠D)+90°【分析】(1)根据三角形外角的性质以及角平分线的定义，即可得到答案；(2)先推出∠AEC=12∠ABC=20°，再推出∠EAC+∠FAC==90°，进而即可求解；(3)①延长BA、CD交于点M，延长CE、BF交于点N，可得∠N=12∠M，进而即可求解；②根据∠N= 12∠M，结合平角的意义以及三角形内角和定理，即可得到结论．【详解】解：(1)因为∠EBC+∠EBD=180°，又因为在△EBC中，∠EBC+∠E+∠ECB=180°，所以∠EBC+∠EBD=∠EBC+∠E+∠ECB．所以∠EBD=∠E+∠ECB．(理由是：等式性质)同理可得：∠ABD=∠A+∠_ACB_．又因为BE和CE分别是∠ABD和∠ACB的角平分线，所以∠EBD=12∠ABD，∠__ECB____=12∠ACB．所以12∠ABD=∠E+12∠ACB．即∠E=12∠ABD-12∠ACB=12(∠ABD-∠ACB)．所以∠E=12∠A．故答案是：ECB，ACB，ECB；(2)∵∠ABC=40°，∴∠AEC=12∠ABC=20°，∵∠BAC、∠CAG的角平分线与∠BCH的角平分线及其反向延长线交于E、F，∴∠EAC+∠FAC=12∠ABC+12∠CAG=12(∠ABC+∠CAG)=12×180°=90°，∴∠F=180°-90°-20°=70°；(3)①延长BA、CD交于点M，延长CE、BF交于点N，∵BF，CE平分∠ABG、∠DCB，∴∠N=12∠M，∵∠BAD=150°，∠ADC=80°，∴∠M=180°-(180°-150°)-(180°-80°)=50°，∴∠N=25°，∴∠AEF+∠BFE=360°-(180°-25°)=205°；②∵∠AEF+∠BFE=360°-(180°-∠N)=180°+∠N，∠BAD+∠ADC=180°+∠M，又∵∠N=12∠M，∴∠AEF+∠BFE-180°=12(∠BAD+∠ADC-180°)，即：∠E+∠F=12(∠A+∠D)+90°．【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义，掌握三角形外角的性质，是解题的关键．18(2023春·江苏南京·七年级期中)(1)问题发现：如图1，在△ABC中，∠A=40°，∠ABC和∠ACB的平分线交于P，则∠BPC的度数是(2)类比探究：如图2，在△ABC中，∠ABC的平分线和∠ACB的外角∠ACE的角平分线交于P，则∠BPC与∠A的关系是，并说明理由．(3)类比延伸：如图3，在△ABC中，∠ABC外角∠FBC的角平分线和∠ACB的外角∠BCE的角平分线交于P，请直接写出∠BPC与∠A的关系是．。
第4讲 倒角模型(教师版)
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析
根据三角形外角性质，可得：
，
，
，
，
∴
，
，
∴
又∵ 、 分别平分
、
∴
，
，
∴
，
∴
，
即
故选 ．
． ，
．
二、角平分线模型
知识总结
模型
图形
双内角分线模型
模型
图形
双外角分线模型
模型
图形
结论 结论 结论
一内一外角分线模型
注：角平分线模型在大题中不可直接使用，必须证明后再用．
典型例题
例题4
的平分线相交于点 ，得 ；…，
于点 ，得
，则
．
的平分线交于点 ，得 的平分线与
；
的平
的平分线相交
A1
答案
解析 ∵ ∴
， 的角平分线与
角平分线交于点 ， ，
∴
．
∴依此类推得：
，
∴
．
故答案为：
．
…，
4 如图，已知射线
， 、 为 、 上两动点，
中
的平分线与
的外角
平分线所在的直线交于点 ，则 （ ）．
A.
第4讲 倒角模型
一、“飞镖”与“8字模型”
知识总结
模型
图形
结论
飞镖模型
∠BDC=∠A+∠B+∠C
模型
图形
结论
“8”字模型
∠A+∠B=∠C+∠D
【注】1．证明思路：构造三角形，利用三角形内角和定理证明； 2．飞镖模型、“8”字模型在大题中不可直接使用，必须证明后再用．
三角形倒角模型结论和证明
三角形倒角模型结论和证明1. 引言好啦，今天咱们聊聊三角形倒角模型！这个名字听起来挺高大上的，但其实说白了就是把一个三角形的角给“修整”一下，让它看起来更柔和，更圆润。
就像我们在生活中总是希望把事情搞得圆滑一点，避免那些尖锐的冲突一样，倒角模型的主要目的是为了优化、提高效率，简直是“顺其自然”的典范嘛。
接下来，我会跟大家细说这个模型的结论和证明，保证你听完后，不仅会觉得有趣，还能带点干货回家。
2. 三角形倒角模型的基本概念2.1 什么是倒角？首先，咱得弄明白啥叫“倒角”。
通俗点说，就是把三角形的角切掉，留下一个小平面。
你可以想象一下，如果你有一个三角形的饼干，把那尖尖的角削平，这样就不会刮到嘴巴，吃起来也更爽口了。
倒角的目的是为了降低尖锐的边界，给人一种更加温和、亲切的感觉。
这就像我们在社交场合中，总是希望用更柔和的方式与人交流，不让人觉得不适。
2.2 倒角的应用在很多地方，倒角都是一个关键的设计元素。
比如说，在工业设计中，很多产品的边角都是经过倒角处理的，这样既好看，又能提高安全性。
想象一下，家里的家具如果都有尖角，那可真是个安全隐患。
小孩玩耍时不小心撞到，家长可就要心疼得直叫唤了！而且，倒角还可以让产品在生产时更容易加工，减少磨损，简直是一举两得，聪明得不得了。
3. 三角形倒角模型的结论3.1 模型的结论通过对三角形倒角模型的分析，我们得出一个结论：倒角处理可以有效提升结构的稳定性，同时降低受力集中现象。
这听起来可能有点抽象，简单来说，就是给三角形的角“减负”，让它在受到外力时不容易崩溃。
就像一个团队，大家都团结一致，才能更好地面对外部挑战，毕竟“团结就是力量”嘛！3.2 生活中的反思再说说这个模型在生活中的启示吧。
我们每个人都是一座小小的三角形，在生活中不可避免地会遇到各种冲突和挑战。
如果我们能够像倒角那样，适度地“软化”自己的态度，处理问题时就会更有智慧，减少不必要的摩擦。
比如说，当朋友之间有误会时，咱不妨先放下架子，真诚沟通，总比剑拔弩张要强得多。
三角形中角度计算相关的模型(飞镖模型、8字模型、角分线模型)
三角形中与角度计算相关的模型两个定理：一、平面内，三角形的三个内角和为180°。
二、平面内，三角形的一个外角等于其不相邻的两个外角和。
由上述两个定理可导出本文如下说要讲述的相关模型：8字模型、飞镖模型、两内角角平分线模型、两外角角平分线模型、内外角角平分线模型、共顶点的角平分线与高线夹角模型。
下面一一推导证明。
条件：AD、BC相交于点O。
结论：∠A+∠B=∠C+∠D。
(上面两角之和等于下面两角之和)证明：在∠ABO中，由内角和定理：∠A+∠B+∠BOA=180°在∠CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°，∠∠A+∠B+∠BOA=180°=∠C+∠D+∠COD，由对顶角相等：∠BOA=∠COD故有∠A+∠B=∠C+∠D应用：如下左图所示，五角星中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°条件：四边形ABDC如上左图所示。
结论：∠D=∠A+∠B+∠C。
(凹四边形凹外角等于三个内角和)证明：如上右图，连接AD并延长到E，则：∠BDC=∠BDE+∠CDE=(∠B+∠1)+(∠2+∠C)=∠B+∠BAC+∠C。
本质为两个三角形外角和定理证明。
应用：如下左图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=260°(下右图中两个飞镖)。
条件：△ABC 中，BI 、CI 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且相交于点I 。
结论：A I ∠+︒=∠2190 证明： ∵BI 是∠ABC 平分线，∴ABC ∠=∠212 ∵CI 是∠ACB 平分线，∴ACB ∠=∠213由A →B →I →C →A 的飞镖模型可知： ∠I =∠A +∠2+∠3=∠A +ABC ∠21+ACB ∠21=∠A +)180(21A ∠-︒=A ∠+︒2190. 应用：如上图，BI 、CI 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且相交于点I 。
(1) 若∠A =60° ，则∠I =120° (2) 若∠I =110°，则∠A =40° (3) 若∠A =α，则∠I =α2190+︒。
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第二讲 三角形的角及倒角模型
1、 如图1，求证：AB ＋AE ＞BC ＋CD ＋DE
2、 如图2，AC 、BD 是四边形ABCD 的对角线，且AC 、BD 相交于点O ，求证：AC ＋BD ＞2
1（AB ＋BC ＋CD ＋AD ）。
3、 如图3，⊿ADE 和⊿ABC 中，∠EAD ＝∠AED ＝∠BAC ＝∠BCA ＝45°又有∠BAD ＝∠BCF ，
（1） 求∠ECF ＋∠DAC ＋∠ECA 的度数；
（2） 判断ED 与FC 的位置关系，并对你的结论加以证明。
4、 求∠a 的度数。
5、如图5，∠A ＝30°，求∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E 的度数。
6、将图6-1中线段AD 上一点E （点A 、D 除外）向下拖动，依次可得图6-2、图6-3、图6-4，分别探究图6-2、图6-3、图6-4中∠A 、∠B 、∠C 、∠D 、∠E （∠AED ）之间有什么关系？
7、如图7，在⊿ABC 中D 是BC 上任意一点，E 是AD 上任意一点，试说明：AB ＋AC ＞BE ＋EC 。
8、如图8，已知DM 平分∠ADC ，BM 平分∠ABC ，且∠A ＝27°，∠M ＝33°，则∠C ＝ 。
9、如图9所示，点E 和点D 分别在⊿ABC 的边BA 和CA 的延长线上，CF 、EF 分别平分∠ACB 和∠AED ，试探索∠F 与∠B ，∠D 的关系： 。
10、如图10，⊿ABC 的一条外角平分线是CE ，F 是CA 延长线上一点，FG ∥EC 交AB 于点G ，已知∠DCE ＝50°，∠ABC ＝40°，求∠FGA 的度数。
11、如图11，在⊿ABC 中，∠B ＝∠C ，FD ⊥BC ，ED ⊥AB ，∠AFD ＝158°，则∠EDF
＝。
12、如图12-1，BP、CP是任意⊿ABC的∠B、∠C的角平分线。
（1）探求∠BPC与∠A的数量关系。
（2）∠BPC能等于90度吗？说明理由。
（3）当∠A为多少度时，∠BPC＝2∠A？
（4）把图12-1中的⊿ABC变成图12-2中的四边形ABCD，BP、CP仍然是∠B、∠C 的角平分线，猜想∠BPC与∠A，∠D有何数量关系？（只写出猜想结果，不写说理过程）。
13、如图13，在⊿ABC中，∠ABC的两个外角平分线交于点F，探索∠F和∠A的关系。
14、如图14，在⊿ABC中，∠ABC的平分线与∠ABC的外角平分线交于点A
1
，若∠A
＝40°，则∠A
1为度；同样的方法作出∠A
2
，则∠A
2
的度数是度；
依次下去，当作出∠A
n
时，它的度数是度。
15、如图15，由图15-1的⊿ABC沿DE折叠得到图15-2；图3；图4。
（1）如图2，猜想∠BDA＋CEA与∠A的关系，并说明理由；
（2）如图3，猜想∠BDA＋CEA与∠A的关系，并说明理由；
（3）如图4，猜想∠BDA＋CEA与∠A的关系，并说明理由；
16、如图16，已知⊿ABC，将点A向下拖动，依次可得到图1、图2、图3。
分别探究图中
∠A、∠B、∠C、∠D、∠E有什么关系？
17、（1）小明有两根5㎝、8㎝的木棒，他想以这两根木棒为边做一个等腰三角形，还需再选用一根（）长的木棒。
A、5㎝
B、8㎝
C、5㎝或8㎝
D、大于3㎝且小于13㎝的任意长
（2）⊿ABC中，有两边长分别为6和7，则周长l的取值范围是（）
A、1＜l＜13
B、13＜l＜25
C、14＜l＜26
D、无法确定（3）已知⊿ABC的边长分别为2x＋1，3x，5，则⊿ABC的周长L的取值范围是（）A、6＜L＜36 B、10＜L≤11 C、11≤L＜36 D、10＜L ＜36
（4）设a，b，c是⊿ABC的三边长，则：|a＋b＋c|＋|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c －b－a|＝。
18、（1）已知四根长度分别为3、6、8、10的木棒，任意选取三根木棒组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为（）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
（2）长为9、6、5、3的四根木条，选其中三根组成三角形，共有（）种选法。
A、4
B、3
C、2
D、1
19、⑴盒中装有四根长度分别为1、3、4、5的细木棒，小明手中有一根长度为3的细木棒，现从盒中取出两根细木棒与小明手中的细木棒放在一起组成三角形，则不同的取法有（）
A、3种
B、4种
C、5种
D、6种
⑵设a，b，c均为自然数，且a≤b≤c，a＋b＋c＝11，试问以a，b，c不边长的三角形有多少个？
20、如图，⊿ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点在，点E是AB上的一个动点，若CD＝4，则DE的最小值为。
21、如图，在⊿ABC中，点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，且S⊿ABC＝6平方厘米，则S阴影＝。
22、给出下列命题：
①三角形的一个外角大于它的任何一个内角；
②若一个三角形的三个内角之比为1：3：4，它肯定是直角三角形；
③三角形的最小内角不能大于60°；
④三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
其中真命题有（）个
23、在⊿ABC中，2∠A＝3∠B，且∠C－30°＝∠A＋∠B，则⊿ABC是（）
A、锐角三角形
B、钝角三角形
C、有一个角是30度的直角三角形
D、等腰直角三角形
24、如图，在⊿ABC中，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1＋∠2＝。
25、如图，⊿ABC的三条角平分线交于I点（∠ACB＞∠ABC），AI交BC于D，作IE ⊥BC于E，下列结论：①∠CID＋∠ABI＝90°；②∠BID＝∠CIE；③∠IBD＝∠DIE；
④∠DIE＝∠ACI－∠ABI。
其中正确的结论是（）（填序号）
26、⑴如图，∠ACD是⊿ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，……，∠An-1BC的平分线与∠An-1CD 的平分线交于点An，同样操作，作⊿ABC的两个外角的平分线BP1，CP1交于点P1，⊿A1BC中两个外角的平分线BP2，CP2交于点P2，……，⊿An-1BC两个外角的平分线BPn，CPn，交于点Pn，设∠A＝a，则∠BPnC＝。
⑵如图，在⊿ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2012BC和∠A2012CD的平分线
交于点A2013，则∠A2013＝度。
⑶已知∠ACE是⊿ABC的外角，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，∠BAC＝50°，则∠BDC的度数为，∠CAD的度数为。
⑷如右图所示，在⊿ABC中，CD、BE是外角平分线，BD、CE是内角平分线，BE、CE 交于E，BD、CD交于D，试探索∠D与∠E的关系：。
27、阅读下面的材料，并解决问题：已知在⊿ABC中，∠A＝60°，
如图1∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，则可求得∠BOC＝120°；
如图2，∠ABC、∠ACB的三等分点交于点O1、O2，则∠BO1C＝。
如图3，∠ABC、∠ACB的n等分线交于点O1、O2、……On，则∠BO1C ＝。
∠BOn-1C＝。
（用含n的代数式表示）。