弹塑性力学第八章

而
dx dy dy dx l =− = , m= =− , dn ds dn ds
o
MT
-dx
x n
dy y
∂ϕ τzx = , ∂y
∂ϕ τzy = − ∂x
代入边界条件， 代入边界条件，得
∂ϕ dy ∂ϕ dx + =0 ⇒ ∂y ds ∂x ds
lτzx+mτzy = 0
dϕ =0 ds
2 2
——扭矩 T与K 和ψ(x,y)的关系。 扭矩M 的关系。 扭矩 的关系
小结： 小结：
用位移法求解扭转问题归结为求解扭曲函数 ψ(x,y)和单位扭转角 。 和单位扭转角K。 和单位扭转角
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§8-1 位移法求解
在V 上 由 ∂ψ ∂ψ 在杆侧边上 求ψ(x,y) l( − y) + m ( + x) =0
⇒
∂ψ ∂ψ G ( 2 + 2 ) =0 K ∂x ∂y
2 2
或
∇
2
ψ = 0
6
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§8-1 位移法求解
基本方程仅为一个， 的方程。 基本方程仅为一个，求解ψ(x,y)的方程。由 的方程 为一个调合函数。 基本方程可见ψ(x,y)为一个调合函数。 为一个调合函数 扭曲函数ψ(x,y)除了满足 除了满足 要满足边界条件， 要满足边界条件， ∇2 ψ = 0,还需
§8-1 位移法求解
对于一般等截面杆扭转，可设位移分量： 对于一般等截面杆扭转，可设位移分量： u= -Kyz , v= Kxz , （u、v与园杆扭转一致） 与园杆扭转一致） 与园杆扭转一致 w= Kψ(x,y) w不能为零, 为x,y函数。而ψ(x,y)称为 不能为零, 函数。 不能为零 函数 称为 扭曲函数。 扭曲函数。
∂z ∂x ∂x ∂x ∂v ∂w ∂ψ ∂ψ γ zy = + = K +Kx = K( + x) ∂z ∂y ∂y ∂y
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§8-1 位移法求解
应力分量： 应力分量：σx=σy=σz=τxy=0， ，
∂ψ τzx =G ( − y) K ∂x
∂ψ τzy =G ( + x) K ∂y
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§8-1 位移法求解 l(∂ψ − y) + m(∂ψ + x) =0 ∂x ∂y ∂ψ ∫∫AτzxdA= KG∫∫A( − y)dA
∂ψ 2 ∇ 2ψ = = K ∫∫( G − y + x∇ψ)dA ∂x ∂ ∂ψ ∂ ∂ψ = K ∫∫ x( G − y) + x( + x) dxdy ∂y ∂y ∂x ∂x
2
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§8-2 按应力函数求解
则相容方程中有四个自然满足， 则相容方程中有四个自然满足，仅剩下两个 控制方程 ∇2τzx =0 和
∇2τzy =0
∂τzx (x, y) ∂τzy (x, y) =0 + ∂x ∂y
按应力法求解 基本方程为三个
∇2τzx =0 ∇2τzy =0
a b
b2 − a2
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§8-2 按应力函数求解
按位移法求解扭转问题要求在V内求解调和方 程 ∇2ψ = 0,其边界条件 , ( ψ(x,y) 的微分形式） 的微分形式 ） 但能满足边界条件
∂ψ =ly − m x ∂n
调合函数 ψ (x,y) 是不易找到的 。 下面讨论按 是不易找到的。 应力法求解等截面杆扭转问题基本方程以及 应力函数法求解等截面杆扭转问题的作法。 应力函数法求解等截面杆扭转问题的作法。
MT y τzx = − Iρ
位移分量： 位移分量： u=-Kyz , v=Kxz , w=0 , K为单位长扭转角。 为单位长扭转角。 为单位长扭转角
M K= T Gρ I
MT x τzy = Iρ
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2
对于一般等截面杆扭转w 对于一般等截面杆扭转 ≠ 0 称为自由 扭转，为了求解一般等截面杆自由扭转， 扭转，为了求解一般等截面杆自由扭转，参 考圆杆扭转解进行假设——半逆解。 半逆解。 考圆杆扭转解进行假设 半逆解
∂n = ∂x dn + ∂y dn =l ∂x +m ∂y
代入侧面边界条件
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∂ψ ∂ψ dx ∂ψ dy = + =ly −m x ∂n ∂x dn ∂y dn
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§8-1 位移法求解
在扭杆端面（ 在扭杆端面（如z = 0): 法线的方向余弦 (l,m,n)=(0,0,-1) )=(0,0,y
2
∂ϕ(x, y) ∂ψ τzy = =G ( k + x) ∂x ∂y
2
∂ψ ∂ψ ∇ ϕ =G ( k −1 −G ( ) k +1 =− G =C ) 2 k ∂x∂y ∂x∂y
2
将应力函数ϕ代入杆侧边的边界条件 lτzx+mτzy = 0
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§8-2 按应力函数求解
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§8-2 按应力函数求解
边界条件： 边界条件： 在侧边： 在侧边：方向余弦 (l,m,n)=(l,m,0) 面力： 前两个方程满足； 面力： =Y = Z = 0；前两个方程满足； X 第三个力边界条件：lτzx+mτzy = 0 第三个力边界条件： 在端面： 在端面：方向余弦 (l,m,n)=(0,0,-1) 面力： 满足。 面力： = − z = 0 满足。 Z σ
同时在基本方程中不出现K。 的确定当然也应 同时在基本方程中不出现 。K的确定当然也应 通过边界条件来确定。 通过边界条件来确定。
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§8-1 位移法求解
首先考察扭杆侧边的边界条件： 主要边界） 首先考察扭杆侧边的边界条件 ： （ 主要边界 ） 在侧边上方向余弦 (l,m,n)=(l,m,0) MT 面力： 面力：
∂ϕ(x, y) τzy =− ∂x
∂ϕ(x, y) τzx = , ∂y
则应力法第一个基本方程（平衡微分方程） 则应力法第一个基本方程（平衡微分方程）自 然满足。 然满足。
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§8-2 按应力函数求解
将上式代入应力法的其它两个基本方程， 将上式代入应力法的其它两个基本方程，得
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∂y
−y
∂x
)dA——扭转刚度 扭转刚度
作业： 作业：
证明扭曲函数 ψ = b2 + a2 xy 能用来求椭圆截 x2 y2 的扭转问题，其中a和 面杆 2 + 2 =1 的扭转问题，其中 和 b 为 椭圆截面的半轴长度， 椭圆截面的半轴长度，并且扭矩为
G πa3b3 K Mz = 2 2 a +b
o
MT x
MT z
σ 杆端截面法线方向面力 Z = − z = 0 满足； ，满足；
而在杆端截面面内的面力分布不清楚， 而在杆端截面面内的面力分布不清楚，应用圣 维南原理， 方向面力分量不清楚, 维南原理，在,x,y方向面力分量不清楚,但要求 方向面力分量不清楚 合力为零 合力矩为零
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∂x
0
利用格 林公式
∂ψ ∂ψ = K ∫ x( G − y)l +( + x)m ds =0 s ∂x ∂y
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§8-1 位移法求解
而第三个方程为： 而第三个方程为：
∂ψ ∂ψ K ∫∫ (x + y + x G − y )dA= Mz A ∂y ∂x
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§8-1 位移法求解
无体力等截面杆扭转位移表达式已设定。 无体力等截面杆扭转位移表达式已设定。 未知量为： 和 。 未知量为：K和ψ(x,y)。 u= -Kyz , v= Kxz , 工程）应变分量： （工程）应变分量： w= Kψ(x,y)
∂u ∂v ∂u ∂v ∂w εx = =0, εy = =0, εz = =0, γ xy = ∂y + ∂x = 0 ∂y ∂z ∂x ∂u ∂w ∂ψ ∂ψ γ zx = + = K −K = K( y − y)
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§8-2 按应力函数求解
2.1 按应力法求解方程 同圆杆扭转类似， 同圆杆扭转类似，设 σx=σy=σz=τxy=0 仅存在 τzx(x,y)=τxz 和 τzy(x,y)=τyz 两个应力分量， 两个应力分量，将应力分量代入应力法的 基本方程九个（三个平衡和六个相容方程） 基本方程九个（三个平衡和六个相容方程）
o
X =Y = Z = 0
Xi =njσij ⇒ =n
x
y MT z
X = 0 =lσx +m xy +nτzx = 0 τ
Y = 0 =lτxy +m y +nτzy = 0 σ
满足
∂ψ ∂ψ Z = 0 = lτzx +m zy +nσz =lG ( − y) +m K( + x) τ K G ∂x ∂y
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§8-2 按应力函数求解
在 x,y 方向面力应用圣维南原理
∫∫ τ
A
zx
dA= ∫∫ X = 0 dA
A
∫∫ τ
A
zy
dA= ∫∫YdA= 0
A
(− zx y +τzyx)dA= Mz τ ∫∫
A
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