弹塑性力学第十一章标准详解
(完整)弹塑性力学简答题
弹塑性力学简答题第一章 应力1、 什么是偏应力状态？什么是静水压力状态？举例说明？静水压力状态时指微六面体的每个面只有正应力作用,偏应力状态是从应力状态中扣除静水压力后剩下的部分。
2、应力边界条件所描述的物理本质是什么？物体边界点的平衡条件。
3、对照应力张量ij δ与偏应力张量ij S ，试问：两者之间的关系？两者主方向之间的关系?相同。
110220330S S S σσσσσσ=+=+=+.4、为什么定义物体内部应力状态的时候要采取在一点的领域取极限的方法？不规则，内部受力不一样。
5、解释应力空间中为什么应力状态不能位于加载面之外？保证位移单值连续。
连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续。
6、Pie 平面上的点所代表的应力状态有何特点?该平面上任意一点的所代表值的应力状态1+2+3=0,为偏应力状态，且该平面上任一法线所代表的应力状态其应力解不唯一。
固体力学解答必须满足的三个条件是什么？可否忽略其中一个？第二章 应变1、从数学和物理的不同角度，阐述相容方程的意义。
从数学角度看，由于几何方程是6个，而待求的位移分量是3个，方程数目多于未知函数的数目,求解出的位移不单值.从物理角度看,物体各点可以想象成微小六面体,微单元体之间就会出现“裂缝”或者相互“嵌入"，即产生不连续.2、两个材料不同、但几何形状、边界条件及体积力(且体积力为常数）等都完全相同的线弹性平面问题，它们的应力分布是否相同？为什么？相同。
应力分布受到平衡方程、变形协调方程及力边界条件，未涉及本构方程，与材料性质无关.3、应力状态是否可以位于加载面外？为什么？不可以.保证位移单值连续。
连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续.4、给定单值连续的位移函数，通过几何方程可求出应变分量,问这些应变分量是否满足变形协调方程？为什么？满足。
弹塑性力学第十一章标准详解
弹塑性⼒学第⼗⼀章标准详解第⼗⼀章习题答案11.3使⽤静⼒法和机动法求出图⽰超静定梁的极限载荷。
解1：（1）静⼒法⾸先该超静定梁（a ）化为静定结构（b ）、（c ）。
分别求出其弯矩图，然后叠加，得该超静定梁的弯矩图（f ）在极限情况下,A sB s M M M M =-=设C 点⽀反⼒为C R ，则：12C s R l Pl M -=- 1(2)C s R l l M -=由上⼆式得()()11142p M l l P l l l *-=-当P 值达到上述数值时，结构形成破坏机构，故P 为该梁的完全解。
（2）机动法设破坏机构如图（g ），并设B 点挠度为δ，则：11,(2)A C l l l θδθδ==-()1122B A C l l l l δθθθ=+=-外⼒功e W P δ=内⼒功()11142i A A B B s l l W M M M l l l θθδ-=+=-由e i W W =，可得极限载荷上限为()11142s l l P M l l l *-=-先将该超静定梁化为静定梁（b ）、（c ），分别作弯矩图，叠加得该超静定梁的弯矩图（f ）设A 点为坐标原点，此时弯矩⽅程为：()()()212B M x R l x q l x =---在极限状态时，有()0,0s x M M ==- ()11,s x x M x M == 令()0dM x dx=得1()B q l x R -= （1）⽽212B s R l ql M -=- （2）()()21112B s R l x q l x M ---= （3）联⽴解（1）、（2）、（3）得2122s s M qM ql l ??=-解得21122s M q l=取较⼤的值，可得0211.66sM q l ≈在以上0q 值作⽤下，梁已形成破坏机构，故其解为完全解。
（2）机动法如图（g ）设在A 、C 两点形成塑性铰,2A B C θθθθθ=== 内⼒功为()23i s s s W M M M θθθ=--+=g 外⼒功为e W q x dx q l θθ**==由虚功原理i W W =得：0221211.66s s M M q q l l*=>≈该解与完全解的误差为 03%q q q **-≈解3：（1）静⼒法设坐标原点在C 点，此时弯矩⽅程为：BC 段（02x l ≤≤）21()2c M x R x qx =-AB 段（2l x l ≤≤）11()24c M x R x ql x l ?? =--在x ξ=处，M 为极⼤值，设ξ在BC 段，由()0x dM x dx ξ==得0c R q ξ-= cR qξ=（1）在极限情况下()s M l M =- ， ()s M M ξ=即：238c s R l ql M -=- （2）21221889s M q l=取正号219.2s Mq l=由于此时形成破坏机构，故q 值完全解。
弹塑性力学讲义 第一章绪论
3
每个分量用一个标量（具有两个下标）与两个并在一起基矢量（并矢） ，称为二阶 张量。矢量可称为一阶张量，标量为零阶张量。 5.2 求和约定 在张量表示说明中，看到张量分量表示是一组符号之和，很长，特别是高阶张量， 为了书写简捷，采用求和约定。 求和约定：当在同一项中，有一个下标字母出现两次时，则表示该项在该指标的取 值范围内遍历求和，且称此种在同一项重复出现一次的下标为哑标。如：
e1 e2 a2 b2 e3
a b ai ei b j e j ai b j eijk ek ai b j ekij ek ， 则
c c k eijk ai b j ekij ai b j ， a b a1 b1
ij
自动消失。ij 也称为换标符号。
eijk ( i,j,k =1,2,3)
定义： eijk
共有 27 个元素。
1 若(i , j , k ) (1,2,3)或 ( 2,3,1)或 (3,1,2)时 正排列顺序 －1 若(i , j , k ) ( 2,1,3)或（1， 3， 2）或（3， 2， 1）时 逆排列顺序 0 若 i , j , k中任意两指标相同时
(i=1,2,3)，用 ri 表示矢径；
同样位移矢量 u，用 ui 表示位移，ij 表示应力
张量。
xi aij y j
i
x1 a11 y1 a12 y2 a13 y3 x2 a21 y1 a22 y2 a23 y3 x a y a y a y 31 1 32 2 33 3 3
矢量场的拉普拉斯算子定义为矢量场的梯度的散度：是一个向量
高等弹塑性力学11试卷
课程名称：高等弹塑性力学课程编号：S064B02 课程类型：学位课考试方式：开卷
学科专业、领域：采矿工程所在学院：资源学院任课教师：杨万斌
学生姓名：专业、班级：成绩：
河北工程大学研究生2011～ 2012 学年第一学期考试试卷（ A ）卷
一、概念题（每小题5分，共25分）
1. S-D效应
2. 偏平面
3. 流动法则
4．运动硬化
5. Hvoslev面
二、简答题（每小题10分，共50分）
1. D-P屈服准则在π平面上的屈服曲线是如何变化的？
2. 屈服、相继屈服和破坏的关系是什么？
3. 偏平面上的屈服曲线为什么是外凸的？
4. Roscoe 面是怎样构成的？
5. 极限荷载的上下限定理有什么意义？
三、分析题（25分）
1. 某物体的一点在σ1、σ2、σ3的作用下均表现为屈服状态，在屈服曲线上如图变化，试对该物
体进行分析其材料特点。
（7分）
2. 已知一点的应力张量为 ij 3
22σ2
10204-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，求I 1 ，I 2 ，I 3 ，J 2 ，J 3 ，并分析该点的应力状态。
（8分）
3. 设土体中某A 点应力为A （2σ，σ，0），当比例加载时，试按C-M 准则和D-P 准则分析，当
σ达到多少时，A 点开始屈服？（10分）。
弹塑性力学部分讲义
弹塑性力学引言一、固体力学在工程中的作用工程中的各种机械都是用固体材料制造而成的、各种结构物也都是用固体材料建造的。
为了使机械结构正常使用、实现其设计的功能，首先要保证它们在工作载荷与环境作用下不发生材料的破坏或影响使用的过大的变形，即保证它们具有足够的强度、刚度和稳定性。
在设计阶段，要根据要求实现的功能，对于设计的机械结构的形式按强度要求确定其各部分的形状和尺寸，以及所需选择的材料。
要完成这样的任务，首先要解决如下基本问题：在给定形状尺寸与材料的机械结构在设计规定载荷与环境（如温度）作用下所产生的变形与应力。
对于柔性结构，如细长梁、薄板、薄壳，以及它们的组合结构，还要分析其是否会丧失稳定性。
这些都是固体力学的基本问题。
如果机械结构所受载荷或环境的作用是随时间变化的，那么，它们的振动特性也对其性能有重要的影响。
在设计时往往要对其进行模态分析，求出影响最大的各个低阶固有频率与相应的振型，以确保不会与主要的激振载荷产生共振，导致过大的交变应力与变形，影响强度和舒适性。
有些情况下还要考虑它们在瞬态或冲击载荷作用下的瞬态响应。
这些也是固体力学的基本问题。
此外、许多机械零件和结构元件在制造工程中，采用各种成型工艺，材料要产生很大的塑性变形。
如何保证加工质量，提高形状准确性、减少残余应力、避免产生裂纹、皱曲等缺陷？如何设计加工用的各种模具，加工的压力，以及整个工艺流程，这里也都有固体力学问题。
正因为工程中提出了各种各样的固体力学问题，有时还有流体力学问题，在19世纪产生了弹性力学和流体力学，才导致力学逐渐从物理学中独立出来。
工程技术发展的要求是工程力学，包括固体力学、流体力学等发展的最重要的推动力。
而工程力学的发展则大大推动了许多工程技术的飞速发展。
因此，力学是许多工程部门设计研究人员的基本素质之一。
二、力学发展概况力学曾经是物理学的一个部分，最初也是物理学中最重要的组成部分。
力学知识最早起源于人们对自然现象的观察和在生产劳动中积累的经验。
《弹塑性力学》第十一章塑性力学基础
描述了塑性变形过程中应变和位移之 间的关系，是塑性力学的基本方程之 一。
塑性变形的增量理论
流动法则
描述了塑性变形过程中应力和应变增量之间的关系，是增量理论的核心。
屈服准则
描述了材料在受力达到屈服点时的行为，是增量理论的重要概念。
塑性变形的全量理论
全量应力和全量应变
描述了塑性变形过程中应力和应变的 状态，是全量理论的基本概念。
100%
材料性能
塑性力学为材料性能的描述提供 了理论基础，有助于深入了解材 料的变形和破坏行为。
80%
科学基础
塑性力学是连续介质力学的一个 重要分支，为研究物质宏观性质 的变化规律提供了科学基础。
塑性力学的发展历程
初创期
塑性力学作为独立学科始于20 世纪初，初期主要研究简单的 应力状态和理想塑性材料。
有限元法的优点在于其灵活性和通用性，可以处 理复杂的几何形状和边界条件，适用于各种类型 的塑性变形问题。
然而，有限元法在处理大规模问题时可能会遇到 计算效率和精度方面的问题，需要进一步优化算 法和网格划分技术。
边界元法在塑性力学中的应用
01
02
03
04
边界元法是一种仅在边界上离 散化的数值方法，通过将问题 转化为边界积分方程来求解。
发展期
随着实验技术的进步，塑性力 学在20世纪中叶得到了快速发 展，开始涉及更复杂的材料和 应力状态。
深化期
进入20世纪末至今，塑性力学 与计算机技术、先进材料等交 叉融合，研究领域不断扩大和 深化。
塑性力学的基本假设
02
01
03
连续性
材料内部是连续的，没有空洞或缝隙。
塑性变形不可逆
塑性变形发生后，不会消失或还原。
弹塑性力学部分习题
第六章 弹性力学平面问题的直 坐标系解答
§6-1平面问题的分类
§6-2平面问题的基本方程和边界条件
§6-3平面问题的基本解法
§6-4多项式应力函数运用举例
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8
第七章弹性力学平面问题的极坐 标系解答
§7-1平面极坐标下的基本公式 §7-2轴对称问题 §7-3轴对称应力问题——曲梁 的纯弯曲 §7-4圆孔的孔边应力集中问题 §7-5曲梁的一般弯曲 §7-6楔形体在楔顶或楔面受力
弹塑性力学
第 六 章 弹性力学平面问题的直角坐标系解答 第 七 章 弹性力学平面问题的极坐标系解答 第 八 章 等截面直杆的扭转 第 九 章 空间轴对称问题 第 十 章 弹性力学问题的能量原理 第 十一 章 塑性力学基础知识
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1
参考书目
1.徐芝纶， 弹性力学：上册 .第三版,高等教育
w k x, y
其中 k 为待定常数，(x‚y)为待定函数， 试写出应力分量的表达式和位移法方程。
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题1-6 半空间体在自重 g 和表面均布压力 q 作用下的位移解为 u = v = 0,
1 g 2 2 w q h z h z 2G 2
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在 V上
16
题1-4 等截面柱体在自重作用下，应力解为
x=y=xy=yz=zx=0 , z=gz，试求位移。
z l y
Fbz g
x
x
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题1-5 等截面直杆（无体力作用），杆轴 方向为 z 轴,已知直杆的位移解为
u kyz
v kxz
15第10章经典弹塑性本构关系、第11章岩土本构关系和第12章 弹塑性力学边值问题分析(第15讲)
A+
∂f ∂σ ij
Dijkl
∂g ∂σ kl
dσ ij
= Dijkl dε kl − Dijkl
∂g ∂σ kl
∂f ∂σ ij
Dijkl
A+
∂f ∂σ ij
Dijkl
∂g ∂σ kl
d ε kl
=
( Dijkl
−
Dijkl A+
∂g ∂σ kl ∂f ∂σ ij
∂f ∂σ ij
Dijkl
Dijkl
¾塑性应变εijp硬化定律： ¾塑性功Wp硬化定律： ¾ 塑性体应变εvp 硬化定律
2
¾塑性应变εijp硬化定律：
ξβ
=
ξβ
(ε
p ij
)
由
dΦ
= ∂Φ ∂σ ij
d σ ij
+ ∂Φ ∂ξβ
d ξβ
=
∂Φ ∂σ ij
d σ ij
+ ∂Φ ∂ξβ
∂ξβ
∂ε
p ij
dε
p ij
=0
得：
∂Φ ∂σ ij
=
dsij
/
2G,
dε
p ij
= deipj ,
dεm
=
1 3K
dσ
m
∂f / ∂sij = sij ,
dε
p ij
=
dλsij
展开为
dε
p x
=
dε
p y
=
dε
p z
=
dγ
p xy
=
dγ
p yz
=
dγ
p zx
=
dλ
sx
sy
第十一章塑性本构关系
其中：k
E
31 2
0
2 3
-体积模量
§11-2 加卸载判别准则
一、理想弹塑性材料
屈服面
当 d ij 与屈服面相切时，为加载，这时可发生 任意的塑性变形。当d ij 指向屈服面内时，则 为卸载，此时不产生新的塑性变形。
f ij 0, f ij dij 0 加载
,
E
2 1
8
当ξβ固定时，（3）式
11
1 E
11
22
33 ,23
1
E
23
化为应力率与应变率之 间的弹性关系：
11
1 E
22
33
11 ,31
1
E
31
rp
s
0 r rp
s rp r R
卸去的应力： （按弹性计算） e M pr
Mp
2R3 s
3
1
1 4
rp R
I
3
p
4r s
3R
1
ijp ，相应的应力为
3
ij
2
ij
ij
。最后，
再通过某一弹性卸载路径使应力由
3回到初值
ij
4
ij
1
ij
，此段材料未产
生新的塑性变形。
得不等式：
2
ij
弹塑性力学(浙大通用课件)通用课件
塑性力学
研究材料在塑性状态下应 力和应变行为的科学。
塑性力学的基本假 设
塑性变形是连续的，且不改变物质的性质。 塑性变形过程中，应力和应变之间存在单值关系，且该关系是连续的。 塑性变形过程中，材料内部的应力状态是稳定的，不会出现应力振荡或波动。
塑性力学的基本方程
应力平衡方程
在塑性状态下，物体的内部应力场满 足平衡方程，即合力为零。
应变协调方程
本构方程
在塑性状态下，应力和应变之间的关 系由本构方程描述，该方程反映了材 料的塑性行为特性。
在塑性状态下，物体的应变状态满足 应变协调方程，即应变是连续的。
塑性力学的边值问题
01
塑性力学中的边值问题是指给定 物体的边界条件和初始条件，求 解物体内部的应力和应变状态的 问题。
02
边值问题可以通过求解微分方程 或积分方程来解决，具体方法取 决于问题的具体形式和条件。
04
材料弹塑性性质
材料弹性性质
弹性模量
材料在弹性变形阶段所表现出的 刚度，反映了材料抵抗弹性变形
的能力。
泊松比
描述材料在受到压力时横向膨胀 的程度，反映了材料在弹性变形
阶段的横向变形特性。
弹性极限
材料在弹性变形阶段所能承受的 最大应力，超过该应力值材料将
发生不可逆的塑性变形。
材料塑性性 质
屈服点
解析法的优点是精度高、理论严 谨，但缺点是适用范围较窄，对
于复杂问题难以得到解析解。
有限元法
有限元法是一种将连续的求解域离散化为有限个小的单元，通过求解这些小单元的 解来逼近原问题的求解方法。
它适用于各种复杂的几何形状和边界条件，能够处理大规模的问题，并且可以方便 地处理非线性问题。
应用弹塑性力学习题解答
应用弹塑性力学习题解答张宏编写西北工业大学出版社目录第二章习题答案 ..... 错误!未定义书签。
第三章习题答案 ..... 错误!未定义书签。
第四章习题答案 ..... 错误!未定义书签。
第五章习题答案 ..... 错误!未定义书签。
第六章习题答案 ..... 错误!未定义书签。
第七章习题答案 ..... 错误!未定义书签。
第八章习题答案 ..... 错误!未定义书签。
第九章习题答案 ..... 错误!未定义书签。
第十章习题答案 ..... 错误!未定义书签。
第十一章习题答案 ... 错误!未定义书签。
第二章 习题答案设某点应力张量ijσ的分量值已知，求作用在过此点平面ax by cz d ++=上的应力矢量(,,)n nx ny nz p p p p ，并求该应力矢量的法向分量n σ。
解 该平面的法线方向的方向余弦为l a d m b d n c d d ====，，，而应力矢量的三个分量满足关系nx x xy xz ny xy y yz nz xz yz z p l m n p l m n p l m nστττστττσ⎧=++⎪=++⎨⎪=++⎩ 而法向分量n σ满足关系n nx ny nx p l p m p n σ=++最后结果为()()()()22222222222nx x xy xz ny xy y yz nx xz yz z n x y z xy yz zx p a b c d p a b c a p a b c da b c ab bc ca d d a b c στττστττσσσσστττ=++=++=++=+++++=++利用上题结果求应力分量为0,2,1,1,2,0x y z xy xz yz σσστττ======时，过平面31x y z ++=处的应力矢量n p ，及该矢量的法向分量n σ及切向分量n τ。
解求出l m n ===,,nx ny nz p p p 及n σ，再利用关系222222n nx ny nz n np p p p στ=++=+可求得n τ。
弹塑性力学11塑性极限分析
ss
Pe
b h2 6l
ss
Mp
bh2 4
ss
Pp
b h2 4l
s
s
Pe P PP
Ms
Me 2
3
4
he2 h2
he 1 3 2P(l x)
h2
Pel
Ms Mp
M Ppl Me Pel
Pe 2 Pp 3
l
3
o
x
l z
P x
Mp
Me
ss
h/2
z ss
§11－2 塑性极限分析定理与方法
若给物体一微小的虚变形（位移）。则外力的
虚功必等于应力的虚功（物体内储存的虚应变
能）。
fi ui*dV Fi ui*dS s ij i*jdV
V
ST
V
Fi ST
Su
ui
V
虚变形（位移）：结构约束所允许的无限小位移。
证明： fiui*dV Fiui*dS s ij i*jdV
平衡方程： 边界条件：
塑性极限弯矩
z
ss
x
l 6
h/2
PP
4MP l
bh2 l
s
s
塑性极限载荷
M
PP 2
l 2
Me
Pel 4
l
6
z ss
确定塑性区位置
❖塑性铰：在全塑性阶段，跨中 截面的上下两塑性区相连，使 跨中左右两截面产生像结构 （机械）铰链一样的相对转动 －－塑性铰。
❖ 特点：
塑性铰的存在是由于该截面上的 弯矩等于塑性极限弯矩；故不能 传递大于塑性极限弯矩的弯矩。
x j
V
s
x
ij j
弹塑性力学
• 三重标量积可写为
U (V W ) ijk uiv jwk
• 对交错张量和克罗内尔符号，有下列关 系式：
ijk ist js kt jt ks
• 可用指标方法证明：
A(B C) (AC)B (A B)C
A(B C) (A B)C
• 叉积
U V ijk u jvk ei
• 证明：对分量1，对于表达式 1 jk u jvk
由于下标1，j，k必须互不相同，所以可 能的组合有1，j=2，k=3和1，j=3，k=2， 因而
1 jk u jvk 123u2v3 132u3v2 u2v3 u3v2
• 同理可对其它分量计算，合并得证。
2.2.5 标量场和矢量场
• 函数 (x1, x2, x3) c 称为一个标量场，梯
度
grad
e1
x1
e2
x2
e3
x3
( , , )
x1 x2 x3
• 构成矢量场， 垂直于 =常数的表面。
• 矢量的散度：
V v1 v2 v3 x1 x2 x3
2.2.1 矢量代数
• 矢量既有大小又有方向，在坐标系中 通常用箭头表示。
• 对空间任一点Ｐ，坐标是（v1， v２， v３），可以表示为矢量ＯＰ或Ｖ。
• 由单位矢量叠加有：
V v1e1 v2e2 v3e3
• 或简洁写为：
V (v1, v2, v3 )
vi ui ,i 1,2,3
• ≤弹性与塑性力学≥，陈惠发、A. F. 萨里普 著，北京：建筑工业出版社，2004
目录
弹塑性力学
—— 作用于物体表面单位面积上的外力
z
Q
X Y Z —— 面力矢量在坐标轴上投影
单位： 1N/m2 =1Pa (帕)
Z
k i
x O j
X
S Y
y
1MN/m2 = 106Pa = 1MPa (兆帕)
(1) F 是坐标的连续分布函数；
说明： (2) F 的加载方式是任意的;
l,m,n的线性齐次方程。若有非零解，则此方程组的 系数行列式应当等于零，即
x v xy xz yx y v yz 0 zx zy z v
展开行列式得到 其中
v I1 v I 2 v I 3 0
3 2
2 2 2 I 2 x y y z z x ( xy yz zx ) 2 2 2 I 3 x y z 2 xy yz zx ( x yz y zx z xy ) I1 x y z
( x v )l xy m xz n 0 yx l ( y v )m yz n 0 zx l zy m ( z v )n 0
几何关系
l m n 1
2 2 2
l,m,n不能同时为零 ，因此前式为包括三个未知量
y
x
Z
t/2
y
薄板如图：厚度为t,以薄板的中面为xy面,以垂直 于中面的任一直线为z轴,建立坐标系如图所示。 因板面上（z = t/2）不受力，所以有：
(
z z t 2
)
0, (
zx z t 2
)
0, (
弹塑性力学课件-塑性基本概念
1.2塑性变形的特点
a) 应力—应变关系非线性，应力与应变间不存在单值对应关系。应力（内 力）和应变（变形）之间的关系依赖于加载路径（加载历史）。由于加 载路径不同，同一个应力可对应于不同应变，或同一个应变可对应于不 同的应力。这种非单值性具体来说是一种路径相关性（path-dependency ）。
弹性与塑性的根本区别不在于应力-应 变关系是否线性，而在于卸载后变形 是否可恢复
没有明显屈服平台的应力应变曲线 有明显屈服阶段的拉伸曲线（低碳钢类） （铝合金类）
卸载后再加载
经过屈服阶段后，材料又恢复了抵抗变形的能力。 在第二次加载过程中，弹性系数仍保持不变，但 弹性极限及屈服极限有升高现象，后继屈服应力 升高程度与塑性变形的历史有关，决定于前面塑 性变形的程度。这种现象称为材料的应变强化。
的两个函数值
是与塑性应变历史有关
4.应力分析
4.1一点处的应力状态
4.1.1应力张量及其分解
物体内一点处沿坐标轴x、y、z方向取一个微小的平行六面体，六面体
上的应力即代表该点的应力。共有9个应力分量，按一定规则排列，即
x xy xz
11 12 13
yx y yz 或 21 22 23
当 s 当 s
应变可由下列公式求出：
/ E
E
(
s
)(
1 E'
1 )sign E
当 s 当 s
线性强化刚塑性模型，用于弹性应变比塑性应变小 得多且强化性质明显的材料
幂次强化模型
为简化计算中的解析式，可将应力 -应变关系解析式写为
应用弹塑性力学习题解答
应用弹塑性力学习题解答目录第二章习题答案 (2)第三章习题答案 (6)第四章习题答案 (9)第五章习题答案 (27)第六章习题答案 (38)第七章习题答案 (50)第八章习题答案 (55)第九章习题答案 (59)第十章习题答案 (60)第十一章习题答案 (63)第二章习题答案2.6设某点应力张量的分量值已知，求作用在过此点平面上的应力矢量，并求该应力矢量的法向分量。
解该平面的法线方向的方向余弦为而应力矢量的三个分量满足关系而法向分量满足关系最后结果为2.7利用上题结果求应力分量为时，过平面处的应力矢量，及该矢量的法向分量及切向分量。
解求出后，可求出及，再利用关系可求得。
最终的结果为2.8已知应力分量为，其特征方程为三次多项式，求。
如设法作变换，把该方程变为形式，求以及及的关系。
解求主方向的应力特征方程为式中：是三个应力不变量，并有公式代入已知量得为了使方程变为形式，可令代入，正好项被抵消，并可得关系代入数据得，，2.9已知应力分量中，求三个主应力。
解在时容易求得三个应力不变量为，，特征方程变为求出三个根，如记，则三个主应力为记2.10已知应力分量，是材料的屈服极限，求及主应力。
解先求平均应力，再求应力偏张量，，，，，。
由此求得然后求得，，解出然后按大小次序排列得到，，2.11已知应力分量中，求三个主应力，以及每个主应力所对应的方向余弦。
解特征方程为记，则其解为，，。
对应于的方向余弦，，应满足下列关系（a）（b）（c）由（a）,(b)式，得，，代入（c）式，得，由此求得对，，代入得对，，代入得对，，代入得2.12当时，证明成立。
解由，移项之得证得第三章习题答案3.5取为弹性常数，，是用应变不变量表示应力不变量。
解：由，可得，由，得3.6物体内部的位移场由坐标的函数给出，为，，，求点处微单元的应变张量、转动张量和转动矢量。
解：首先求出点的位移梯度张量将它分解成对称张量和反对称张量之和转动矢量的分量为，，该点处微单元体的转动角度为3.7电阻应变计是一种量测物体表面一点沿一定方向相对伸长的装置，同常利用它可以量测得到一点的平面应变状态。
弹塑性力学基本理论及应用-刘士光著
弹塑性力学基本理论及应用-刘士光著第一章绪论1.1弹塑性力学的任务固体力学是研究固体材料及其构成的物体结构在外部干扰(载荷、温度交化等)下的力学响应的科学，按其研究对象区分为不同的学科分支。
弹性力学和塑性力学是固体力学的两个重要分支。
弹性力学是研究固体材料及由其构成的物体结构在弹性变形阶段的力学行为，包括在外部干扰下弹性物体的内力(应力)、变形(应变)和位移的分布，以及与之相关的原理、理论和方法；塑性力学则研究它们在塑性变形阶段的力学响应。
大多数材料都同时具有弹性和塑性性质，当外载较小时，材料呈现为弹性的或基本上是弹性的；当载荷渐增时，材料将进入塑性变形阶段，即材料的行为呈现为塑性的。
所谓弹性和塑性，只是材料力学性质的流变学分类法中两个典型性质或理想模型；同一种材料在不同条件下可以主要表现为弹性的或塑性的。
因此，所谓弹性材料或弹性物体是指在—定条件下主要呈现弹性性态的材料或物体。
塑性材料或塑性物体的含义与此相类。
如上所述。
大多数材料往往都同时具有弹性和塑性性质，特别是在塑性变形阶段，变形中既有可恢复的弹性变形，又有不可恢复的塑性变形，因此有时又称为弹塑性材料。
本书主要介绍分析弹塑性材料和结构在外部干扰下力学响应的基本原理、理论和方法。
以及相应的“破坏”准则或失效准则。
以弹性分析为基础的结构设计是假定材料为理想弹性，相应于这种设计观点就以分析结果的实际适用范作为设计的失效准则，即认为应力(严柞地说是应力的某一函数值)到达一定限值(弹性界限)，将进入塑性变形阶段时、材料将破坏。
结构中如果有一处或—部分材料“破坏”，则认为结构失效(丧失设计所规定的效用)。
由于一般的结构都处于非均匀受力状态，当高应力点或高应力区的材料到达弹性界限时，类他的大部分材料仍处于弹性界限之内；而实际材料在应力超过弹性界限以后并不实际发生破坏，仍具有一定的继续承受应力(载荷)的能力，只不过刚度相对地降低。
因此弹性设计方法不能充分发挥材料的潜力，导致材料的某种浪费。
弹塑性力学讲义第十一章塑性力学基础知识（精品PDF）
截面形状
1.5
1.7
1.15-1.17
（2）梁弹塑性弯曲时的变形
在线弹性阶段，梁弯矩和曲率的关系为线性关系
M=EI
( M Me ), 或
M EI
,
将应力与弯矩关系式 My 代入上式，可得 I
Ey
。
在弹塑性阶段，由于梁弯曲时截面仍然保持平面，可得
s Ey0
，
或
y0
s E
代入梁弹塑性弯曲时 M 的表达式
将发生塑性变形。确定材料发生塑性变形的条件为
f () = - s = 0 初始屈服条件（函数） 当软钢应力达到 A 点后，软钢有明显屈服（塑性流动）阶段。
经过屈服阶段后，荷载可再次增加（称为强化阶段，BC 段），但
强化阶段 增幅较少。对于此种材料（有明显屈服流动，强化阶段
应力较少）屈服条件是不变的。当应力满足屈服条件时，卸载将有
2 3
J
* 2
类似于e 的定义，在三维应力状态定义等效应变e：
1
e
2 3
J
* 2
2 3
1 2
eij
eij
2
2 3
eij
eij
2 3
1 2 2 2
3 2 3 1 2
1 2
1
2 3
x
y
2
y
z
2
z
x
23 2
2 xy
2 yz
2 zx
2
e 以发生塑性变形定义的量（由 1、2、3 定义）,在变形 过程中的每一瞬时，发生应变增量（d1、d2、d3），则可定义瞬
对于三维应力状态，定义每一点应力状态都存在力学效应相同
的等效应力e
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第十一章 习题答案11.3使用静力法和机动法求出图示超静定梁的极限载荷。
解1：（1）静力法首先该超静定梁（a ）化为静定结构（b ）、（c ）。
分别求出其弯矩图，然后叠加，得该超静定梁的弯矩图（f ） 在极限情况下,A sB s M M M M =-=设C 点支反力为C R ，则：12C s R l Pl M -=- 1(2)C s R l l M -=由上二式得()()11142p M l l P l l l *-=-当P 值达到上述数值时，结构形成破坏机构，故P 为该梁的完全解。
（2）机动法设破坏机构如图（g ），并设B 点挠度为δ，则：11,(2)A C l l l θδθδ==-()1122B A C l l l l δθθθ=+=-外力功e W P δ=内力功()11142i A A B B s l l W M M M l l l θθδ-=+=-由e i W W =，可得极限载荷上限为()11142s l l P M l l l *-=-由于在P *作用下，()s s M M x M -≤≤，故上式所示载荷为完全解的极限载荷。
解2：（1）静力法先将该超静定梁化为静定梁（b ）、（c ），分别作弯矩图，叠加得该超静定梁的弯矩图（f ）设A 点为坐标原点，此时弯矩方程为：()()()212B M x R l x q l x =---在极限状态时，有()0,0s x M M ==- ()11,s x x M x M == 令()0dM x dx=得1()B q l x R -= （1） 而212B s R l ql M -=- （2）()()21112B s R l x q l x M ---= （3）联立解（1）、（2）、（3）得2122s s M qM ql l ⎛⎫=- ⎪⎝⎭解得21122s M q l⎡=⎣取较大的值，可得0211.66sM q l ≈ 在以上0q 值作用下，梁已形成破坏机构，故其解为完全解。
（2）机动法 如图（g ）设在A 、C 两点形成塑性铰,2A B C θθθθθ=== 内力功为()23i s s s W M M M θθθ=--+=g 外力功为220124le W q x dx q l θθ**==⎰ 由虚功原理i W W =得：0221211.66s s M M q q l l*=>≈ 该解与完全解的误差为 03%q q q **-≈ 解3：（1）静力法设坐标原点在C 点，此时弯矩方程为：BC 段（02x l ≤≤）21()2c M x R x qx =-AB 段（2l x l ≤≤）11()24c M x R x ql x l ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在x ξ=处，M 为极大值，设ξ在BC 段，由()0x dM x dx ξ==得0c R q ξ-= cR qξ=（1）在极限情况下()s M l M =- ， ()s M M ξ=即：238c s R l ql M -=- （2）212c s R q M ξξ-= （3）联立解（1）、（2）、（3）得(21889s M q l=取正号219.2s Mq l=由于此时形成破坏机构，故q 值完全解。
（2）机动法,如图（g ）设此梁在A 和ξ处形成塑性铰，则()00,A C l θωξθωξ=--=，()A B l l ξωθθθξξ=+=-内力功为()0i A A B B C C s l W M M M M l ξθθθωξξ+=++=-外力功为2000l e x l x W q w dx q w dx l ξξξξ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎰⎰g g ()220038428()q q l l l ξωωξξξ=+-+- 由虚功原理i W W = 得()8(34)s l q M l l ξξξ+=-由极值条件0dq d ξ=得)122l ξ=代入q 的表达式，则得()q ξ的极小值(2281119.29s s M q M l l=+= 由于此结果满足s s M M M -≤≤，故所得q 的值为完全解的极限载荷。
11.4试用机动法求下列图示板的极限载荷 s P 。
(1)四边简支，边长为a的正方形板，载荷作用在板的中点；(2)三边简支一边自由的矩形板，在自由边中点承受集中力的作用；(3)四边简支矩形板，在板上任意点(,x y)承受集中力的作用．解（a）外力功eW Pw=如破坏时四角可以翘起。
内力功()08i sW M ctg ctg wϕψ=+其中34πψϕ=-代入上式后，得384i sW M ctg ctg wπϕϕ⎡⎤⎛⎫=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦由虚功原理e iW W=得384sP M ctg ctgπϕϕ⎡⎤⎛⎫=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦其中ϕ值由0dPdϕ=确定即22113sinsin4πϕϕ-+=⎛⎫-⎪⎝⎭由此得38πϕ=因此316 6.638s sP ctg M Mπ==（b）外力功eW Pw=内力功()02i sW M ctg ctg wαβ=+由e iW W=得()2sP M ctg ctgαβ=+而22a bctg ctgb aαβ==故2422s sa b a bP M Mb a b a⎛⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（c ）外力功0e W Pw =内力功()401i s i i i W M w ctg ctg αβ==+∑其中11223344,,,,,,y x a x y ctg ctg ctg ctg x y y a xb y a x x b yctg ctg ctg ctg a x b y b y xαβαβαβαβ-====----====---由e i W W =得()41s i i s i b a b a P M ctg ctg M x y a x b y αβ=⎛⎫=+=+++ ⎪--⎝⎭∑11.5使用机动法求图示连续梁的极限载荷。
解1：次梁为一次超静定梁，可能的破坏机构有两种，如图（b ）、（c ）。
若塑性铰在B 、D 处形成，此时外力功12e W P θ=g g 内力功23i s s s W M M M θθθ=⋅+⋅=由e i W W =得6sM P l= 若塑性铰在B 、E 处形成，设E 到C 得距离为x ，此时有()00000,,E B E w w w lw w w l x x l x x l x θθ===+=--- 外力功0022e l lW qlw Pw ==内力功()00i s s w lW M M w l x x l x =⋅+⋅-- 由e i W W =得()2s x lP M x l x +=⋅-令0dPdx=得0.41x l = 将0.41x l =代入P 的表达式11.66sM P l= 比较以上两种可知该梁的极限荷载为6sM P l*= 解2：该连续梁形成破坏机构有如下三种形式：（1） 形成两个塑性铰产生局部破坏有两处可能，图（b ）B 、C 形成塑性铰00003,22C E w w w w l l l lθθ==+=故0003522s i s w w MW M w ll l ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ 0e W Pw =由e i W W =得52sM P l=图（c ）E 、F 两点形成塑性铰，此时有00003,222E F w w w w l l l lθθ==+= 故0003222s i s w w M W M w l l l ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭0e W Pw =由e i W W =得2sM P l=（2） 形成三个塑性铰，产生局部破坏有三种可能：图（d ）在B 、D 、E 三点形成塑性铰，此时有0003,2,2B D E w w w l l lθθθ===()092s i s B D E MW M w lθθθ=++=02e W Pw =由e i W W =得94s M P l=图（e ）在C 、D 、F 三点形成塑性铰，此时000,2,3C D F w w w l l l θθθ===06s i MW w l= 00023e W Pw P w Pw =+⋅=由e i W W =得2s MP l=图（f ）在C 、D 、E 三点形成塑性铰，此时000,2,C D E w w w l l l θθθ===04s i MW w l= 0e W Pw =由e i W W =得4s MP l=（3） 形成三个塑性铰，产生整体破坏，只有一种可能性，如图（g ），此时0003,2,32B D F w w w l l l θθθ===0132s i M W w l =000024e W Pw Pw P w Pw =++⋅=由e i W W =得13 1.6258ss M M P l l== 比较上述六种情况，以（g ）的情况P 为最小，而且此载荷满足s s M M M -≤≤的塑性弯矩条件。
故破坏载荷为 1.625sM P l= 解3：该梁的可能破坏结构与第一题完全相同 若塑性铰在B 、D 处形成12s M P l=若塑性铰在B 、E 处形成11.66s MP l=比较可知梁的极限载荷为11.66s MP l=解4：此梁为一次超静定结构，当形成两个塑性铰时，梁即成为破坏机构，其破坏形式有（b ）（c ）（d ）三种可能。
按图（b ）形式破坏时00,2B D w w l l θθ=-=03s i MW w l= 02e W Pw =由e i W W =得32sM P l=按图（c ）形式破坏时，同上得3sM P l= 按图（d ）形式破坏时002,2E D w w l l θθ==04s i MW w l= 03e W Pw =由e i W W =得 1.33s MP l =比较得 1.33s MP l=11.6试求图示刚架的极限载荷．解（a ）设如图在ACDE 四点形成塑性铰，由e i W W =得222s s s P l P l M M M θθθθθ⋅⋅+⋅⋅=+⋅+ 得 1.5sM P l= 且此值满足s s M M M -≤≤，条件所以 1.5sM P l= 解2：如图设在ACDE 四点形成塑性铰，由B 点到C 点的距离x 待定。
()2122x l x x l δθθδ-===由e i W W =得144222s s x P P M M lδδθθ⋅+⋅⋅=+()22s x x P P M l l l x l δδδδ⎡⎤⋅+⋅=+⋅⎢⎥-⎣⎦化简得()()()42s l x M P l x l x -=-+ 令0dPdx=得 22860x lx l -+=故0.838x l = 1.48sM P l= 解3：如图设在ACDEFG 等处形成塑性铰。
外力功224e W P l Pl Pl θθθ=⋅+=内力功4311i s s s s s s s W M M M M M M M θθθθθθθ=+++++= 由e i W W =得411s Pl M =故 2.75sM P l= 11.7简支圆板半径为R ，受半径为轴对称均布载荷作用，试求其极限载荷．ABCDEFM θr解：圆板的平衡方程为()r r d rM M rQ drθ=+ 当0r =，r M M θ=对应于Tresca 条件的A 点，当r R =时，0,0r M M θ=>，对应于Tresca 条件的B 点，圆板r 从0到R 对应图上的AB 线，即r M M θ=，故平衡方程可写为()r r d rM M rQ drθ=+ 在0r a ≤≤处，存在如下平衡关系：0220rr rQ q rdr ππ+=⎰即212r rQ qr =-平衡方程为()212r d rM M qr dr θ=- 积分上式得2116r C M M qr r θ=-+由0r =处，r M M θ=，所以10C =因此有()2106r M M qr r a θ=-≤≤在a r R ≤≤处0220a r rQ q rdr ππ+=⎰即212r rQ qa =-故此时区域的平衡方程为()212r d rM M qa dr θ=- 积分上式得2212r C M M qa rθ=-+在r a =处连续条件，可得2221162C M qa M qa aθθ-=-+如3213C qa =因此有()321123r a M M qa qa r R rθ=-+≤≤当r R =时，0M θ=如3211023a M qa q rθ-+=得()2632M Rq a R a θ=-此式即为所求的极限载荷。