弹塑性力学讲义第十一章塑性力学基础知识

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弹塑性力学部分讲义（ＰＤＦ）

弹塑性力学引言一、固体力学在工程中的作用工程中的各种机械都是用固体材料制造而成的、各种结构物也都是用固体材料建造的。

为了使机械结构正常使用、实现其设计的功能，首先要保证它们在工作载荷与环境作用下不发生材料的破坏或影响使用的过大的变形，即保证它们具有足够的强度、刚度和稳定性。

在设计阶段，要根据要求实现的功能，对于设计的机械结构的形式按强度要求确定其各部分的形状和尺寸，以及所需选择的材料。

要完成这样的任务，首先要解决如下基本问题：在给定形状尺寸与材料的机械结构在设计规定载荷与环境（如温度）作用下所产生的变形与应力。

对于柔性结构，如细长梁、薄板、薄壳，以及它们的组合结构，还要分析其是否会丧失稳定性。

这些都是固体力学的基本问题。

如果机械结构所受载荷或环境的作用是随时间变化的，那么，它们的振动特性也对其性能有重要的影响。

在设计时往往要对其进行模态分析，求出影响最大的各个低阶固有频率与相应的振型，以确保不会与主要的激振载荷产生共振，导致过大的交变应力与变形，影响强度和舒适性。

有些情况下还要考虑它们在瞬态或冲击载荷作用下的瞬态响应。

这些也是固体力学的基本问题。

此外、许多机械零件和结构元件在制造工程中，采用各种成型工艺，材料要产生很大的塑性变形。

如何保证加工质量，提高形状准确性、减少残余应力、避免产生裂纹、皱曲等缺陷？如何设计加工用的各种模具，加工的压力，以及整个工艺流程，这里也都有固体力学问题。

正因为工程中提出了各种各样的固体力学问题，有时还有流体力学问题，在19世纪产生了弹性力学和流体力学，才导致力学逐渐从物理学中独立出来。

工程技术发展的要求是工程力学，包括固体力学、流体力学等发展的最重要的推动力。

而工程力学的发展则大大推动了许多工程技术的飞速发展。

因此，力学是许多工程部门设计研究人员的基本素质之一。

二、力学发展概况力学曾经是物理学的一个部分，最初也是物理学中最重要的组成部分。

力学知识最早起源于人们对自然现象的观察和在生产劳动中积累的经验。

工程弹塑性力学课件

工程弹塑性力学课件
目录
• 弹塑性力学基础 • 弹性力学基本理论 • 塑性力学基本理论 • 工程应用实例 • 工程弹塑性力学展望
01
弹塑性力学基础
弹塑性力学定义
弹塑性力学
弹塑性力学是一门研究材料在弹性极限和塑性极限内应力、应变行为的科学。它广泛应用于工程领域，为各种结构设计和分析提
供理论基础。
有限差分法
将物体的位移表示为离散的点的差分形式，通过求解这些点的位移来近似求解整个物体的位移。
边界元法
将物体的边界离散化为有限个小的单元，通过求解这些单元的力学行为来近似求解整个物体的边界力学行为。
03
塑性力学基本理论
塑性力学基本概念
01
02
03
塑性力学
塑性力学是研究材料在达到屈服点后，发生不可逆变形时行为和特性的学科。
边界元法
通过在边界上离散化求解微分方程的方法，可以减少未知数的数量，提高求解效率。
有限差分法
将微分方程转化为差分方程，通过迭代求解的方法得到近似解。
04
工程应用实例
桥梁工程弹塑性分析
总结词
桥梁结构稳定性
详细描述
桥梁工程弹塑性分析主要关注桥梁结构的稳定性，通过分析桥梁在不同载荷下的弹塑性响应，评估其承载能力和安全性。
总结词
材料非线性
详细描述
桥梁工程中的材料多为金属或复合材料，这些材料的弹塑性行为呈现出非线性特征。在分析过程中，需要考虑材料在不同应力水平下的弹塑性变形和破坏。
总结词
结构优化设计
详细描述
基于弹塑性分析的结果，可以对桥梁结构进行优化设计，提高其承载能力和稳定性，同时降低制造成本和维护成本。

弹塑性力学讲义第一章绪论

i 1 j 1

3

每个分量用一个标量（具有两个下标）与两个并在一起基矢量（并矢），称为二阶张量。矢量可称为一阶张量，标量为零阶张量。 5.2 求和约定在张量表示说明中，看到张量分量表示是一组符号之和，很长，特别是高阶张量，为了书写简捷，采用求和约定。求和约定：当在同一项中，有一个下标字母出现两次时，则表示该项在该指标的取值范围内遍历求和，且称此种在同一项重复出现一次的下标为哑标。如：
e1 e2 a2 b2 e3
a b ai ei b j e j ai b j eijk ek ai b j ekij ek ，则
c c k eijk ai b j ekij ai b j ， a b a1 b1
ij
自动消失。ij 也称为换标符号。
eijk ( i,j,k =1,2,3)
定义： eijk
共有 27 个元素。
1 若(i , j , k ) (1,2,3)或 ( 2,3,1)或 (3,1,2)时正排列顺序－1 若(i , j , k ) ( 2,1,3)或（1， 3， 2）或（3， 2， 1）时逆排列顺序 0 若 i , j , k中任意两指标相同时
(i=1,2,3)，用 ri 表示矢径；
同样位移矢量 u，用 ui 表示位移，ij 表示应力

张量。
xi aij y j
i

x1 a11 y1 a12 y2 a13 y3 x2 a21 y1 a22 y2 a23 y3 x a y a y a y 31 1 32 2 33 3 3
矢量场的拉普拉斯算子定义为矢量场的梯度的散度：是一个向量

《弹塑性力学》第十一章塑性力学基础

几何方程
描述了塑性变形过程中应变和位移之间的关系，是塑性力学的基本方程之一。
塑性变形的增量理论
流动法则
描述了塑性变形过程中应力和应变增量之间的关系，是增量理论的核心。
屈服准则
描述了材料在受力达到屈服点时的行为，是增量理论的重要概念。
塑性变形的全量理论
全量应力和全量应变
描述了塑性变形过程中应力和应变的状态，是全量理论的基本概念。
100%
材料性能
塑性力学为材料性能的描述提供了理论基础，有助于深入了解材料的变形和破坏行为。
80%
科学基础
塑性力学是连续介质力学的一个重要分支，为研究物质宏观性质的变化规律提供了科学基础。
塑性力学的发展历程
初创期
塑性力学作为独立学科始于20 世纪初，初期主要研究简单的应力状态和理想塑性材料。
有限元法的优点在于其灵活性和通用性，可以处理复杂的几何形状和边界条件，适用于各种类型的塑性变形问题。
然而，有限元法在处理大规模问题时可能会遇到计算效率和精度方面的问题，需要进一步优化算法和网格划分技术。
边界元法在塑性力学中的应用
01
02
03
04
边界元法是一种仅在边界上离散化的数值方法，通过将问题转化为边界积分方程来求解。
发展期
随着实验技术的进步，塑性力学在20世纪中叶得到了快速发展，开始涉及更复杂的材料和应力状态。
深化期
进入20世纪末至今，塑性力学与计算机技术、先进材料等交叉融合，研究领域不断扩大和深化。
塑性力学的基本假设
02
01
03
连续性
材料内部是连续的，没有空洞或缝隙。
塑性变形不可逆
塑性变形发生后，不会消失或还原。

弹塑性力学基本知识

dε p =
塑性功增量： dW = σ ij dε ij
p p
2 p p deij deij 3
（13）（14）
等效剪应变（或剪应变强度）： Γ=
2eij eij
（15）
T = 等效剪应力（或剪应力强度）： 4 3 1 3
1 2
sij sij
（16）
八面体剪应变： γ8 =
eij eij 2 3
P dε ij = dλ1
∂f1 ∂σ ij
（49）
特殊情况，若σ1 = σ 2 ≥ σ 3 ，则应力状态处于 f1 = σ 2 − σ 3 − σ s = 0 和 f 2 = σ 1 − σ 3 − σ s = 0
的交点处，则：
dε iP = dλ1
z 硬化模型（三类）等向硬化：
∂f1 ∂σ i
加载
中性变载
（37）
卸载
⎛ P ⎜ dε pq ∂f ∂g dσ ij = ⎜ 1 − i ∂σ ij ⎜ ∂ε pq ∂g dε mn ⎜ ∂ε mn ⎝
⎞ ⎟ ∂g ⎟ dε kl ⎟ ∂ε kl ⎟ ⎠
（条件：
∂g ∂ε ij
dε ij > 0 ）
（38）
注意：当材料处于硬化阶段时，采用
∂g ∂ε ij
第一、第二、第三偏应力不变张量：
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
（7）
J1 = skk = 0 J2 = 1 2
2 sij sij = I 2 + 3σ m
J 3 = det ( sij ) = sij s jk ski
第二偏应力不变张量：
⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭
（8）
J2 =
1

15第10章经典弹塑性本构关系、第11章岩土本构关系和第12章弹塑性力学边值问题分析(第15讲)

A+
∂f ∂σ ij
Dijkl
∂g ∂σ kl
dσ ij
= Dijkl dε kl − Dijkl
∂g ∂σ kl
∂f ∂σ ij
Dijkl
A+
∂f ∂σ ij
Dijkl
∂g ∂σ kl
d ε kl
=
( Dijkl
−
Dijkl A+
∂g ∂σ kl ∂f ∂σ ij
∂f ∂σ ij
Dijkl
Dijkl
¾塑性应变εijp硬化定律： ¾塑性功Wp硬化定律： ¾ 塑性体应变εvp 硬化定律
2
¾塑性应变εijp硬化定律：
ξβ
=
ξβ
(ε
p ij
)
由
dΦ
= ∂Φ ∂σ ij
d σ ij
+ ∂Φ ∂ξβ
d ξβ
=
∂Φ ∂σ ij
d σ ij
+ ∂Φ ∂ξβ
∂ξβ
∂ε
p ij
dε
p ij
=0
得：
∂Φ ∂σ ij
=
dsij
/
2G,
dε
p ij
= deipj ,
dεm
=
1 3K
dσ
m
∂f / ∂sij = sij ,
dε
p ij
=
dλsij
展开为
dε
p x
=
dε
p y
=
dε
p z
=
dγ
p xy
=
dγ
p yz
=
dγ
p zx
=
dλ
sx
sy

第十一章塑性本构关系

其中：k

E
31 2

0

2 3

-体积模量
§11-2 加卸载判别准则
一、理想弹塑性材料
屈服面
当 d ij 与屈服面相切时，为加载，这时可发生任意的塑性变形。当d ij 指向屈服面内时，则为卸载，此时不产生新的塑性变形。
f ij 0, f ij dij 0 加载

,

E
2 1

8
当ξβ固定时，（3）式
11

1 E
11

22
33 ,23

1
E

23

化为应力率与应变率之间的弹性关系：
11

1 E
22

33
11 ,31

1
E
31
rp
s
0 r rp
s rp r R
卸去的应力：（按弹性计算） e M pr
Mp

2R3 s
3

1
1 4

rp R

I
3
p

4r s
3R

1
ijp ，相应的应力为

3
ij

2
ij
ij
。最后，
再通过某一弹性卸载路径使应力由

3回到初值
ij

4
ij

1
ij
，此段材料未产
生新的塑性变形。
得不等式：

2
ij

《弹塑性力学》课件

结构弹塑性分析的方法包括有限元法、有限差分法、边界元法等数值计算方法。
材料的弹塑性行为模拟
材料的弹塑性行为模拟是研究材料在不同应力状态下表现出的弹塑性性质，对于理解材料的力学行为和优化材料设计具有重要意义。
材料弹塑性行为模拟的方法包括分子动力学模拟、有限元分析等。
通过实验和数值模拟相结合的方法，可以研究材料的微观结构和宏观性能之间的关系，预测材料的弹塑性行为。
THANKS
感谢观看
弹塑性力学在工程实践中的挑战与解决方案
工程实践中，由于材料和结构的复杂性，弹塑性力学应用面临诸多挑战，如非线性行为、边界条件和初始条件
的确定等。
为了解决这些挑战，需要采用先进的数值计算方法和实验技术，提高模拟精度和可
靠性。
此外，加强跨学科合作，将弹塑性力学与计算机科学、物理学等学科相结合，可以推动工程实践中的弹塑性力学应用不断发展。
《弹塑性力学》课件
目录
• 弹塑性力学概述 • 弹性力学基础 • 塑性力学基础 • 材料弹塑性性质 • 弹塑性力学在工程中的应用
01
弹塑性力学概述
弹塑性力学的定义

弹塑性力学是一门研究材料在弹性和塑性范围内行为的学科。它主要关注材料在外力作用下发生的变形行为，以及这种行为与材料内部应力、应变的关系。
塑性
材料在应力超过屈服极限后发生的不可逆变形。
屈服准则
描述材料开始进入塑性状态的应力条件。
塑性力学的基本方程
应力平衡方程
01
描述受力物体内部应力分布的平衡关系。
几何方程
02
描述材料在塑性变形过程中应变与位移的关系。
屈服准则
03
确定材料进入塑性状态的条件。

塑性力学基础知识ppt课件

• 由于材料的屈服极限是唯一的，所以应该用应力或应力的组合作为判断材料是否进入了塑性状态的准则。
• 根据不同应力路径所进行的实验，可以定出从弹性阶段进入塑性阶段的各个界限。这个分界面即称为屈服面，而描述这个屈服面的数学表达式称为屈服函数或称为屈服条件。
12
本标准适用于已投入商业运行的火力发电厂纯凝式汽轮发电机组和供热汽轮发电机组的技术经济指标的统计和评价。燃机机组、余热锅炉以及联合循环机组可参照本标准执行，并增补指标。
19
简单弹塑性力学问题本标准适用于已投入商业运行的火力发电厂纯凝式汽轮发电机组和供热汽轮发电机组的技术经济指标的统计和评价。燃机机组、余热锅炉以及联合循环机组可参照本标准执行，并增补指标。
• 梁的弯曲 • 圆柱体的扭转 • 旋转圆盘 • 受内压或外压作用的厚壁筒和
厚壁球体
20
本标准适用于已投入商业运行的火力发电厂纯凝式汽轮发电机组和供热汽轮发电机组的技术经济指标的统计和评价。燃机机组、余热锅炉以及联合循环机组可参照本标准执行，并增补指标。
塑性力学的任务
• 当作用在物体上的外力取消后，物体的变形不完全恢复，而产生一部分永久变形时，我们称这种变形为塑性变形，研究这种变形和作用力之间的关系，以及在塑性变形后物体内部应力分布规律的学科称为塑性力学。
2
本标准适用于已投入商业运行的火力发电厂纯凝式汽轮发电机组和供热汽轮发电机组的技术经济指标的统计和评价。燃机机组、余热锅炉以及联合循环机组可参照本标准执行，并增补指标。
屈服条件的概念，
• 屈服条件又称塑性条件，它是判断材料处于弹性阶段还是处于塑性阶段的准则。.

工程弹塑性力学教学课件

实验设备与实验原理介绍
实验设备
弹塑性力学实验中常用的设备包括压力机、拉伸机、压缩机、弯曲机等。
实验原理
介绍弹塑性力学的基本原理，包括弹性变形和塑性变形的基本概念、应力应变关系、屈服准则等。
实验操作与数据处理方法介绍
实验操作
详细介绍实验操作步骤，包括试样制备、加载方式选择、数据采集等。
数据处理方法
工程弹塑性力学教学课件
目录
• 弹塑性力学概述 • 弹塑性力学基础知识 • 弹塑性力学分析方法 • 弹塑性力学在工程中的应用案例 • 弹塑性力学实验与实践教学 • 总结与展望
01 弹塑性力学概述
弹塑性力学定义与分类
弹塑性力学定义
弹塑性力学是研究物体在受力状态下，弹性变形和塑性变形相互作用的学科。
塑性力学的基本方程
包括屈服条件方程、流动法则方程、强化法则方程等。
弹塑性力学基本原理
弹塑性本构关系
描述材料在弹塑性状态下的应力应变关系。
弹塑性稳定性理论
研究结构在弹塑性状态下的稳定性问题。
弹塑性极限分析
确定结构在弹塑性状态下的极限承载能力。
03 弹塑性力学分析方法
弹性力学分析方法
弹性力学基本原理
弹塑性力学基础知识
02
弹性力学基础知识
弹性力学的基本假设
包括连续性假设、均匀性假设、各向同性假设等。
弹性力学的基本概念
包括应力、应变、弹性模量等。
弹性力学的基本方程
包括平衡方程、几何方程和物理方程等。
塑性力学基础知识
塑性力学的基本概念
塑性力学的基本应用
包括屈服条件、流动法则、强化法则等。
包括压力加工、材料强度、结构稳定性等。

弹塑性力学11塑性极限分析

ss
Pe
b h2 6l
ss
Mp
bh2 4
ss
Pp
b h2 4l
s
s
Pe P PP
Ms
Me 2
3
4
he2 h2
he 1 3 2P(l x)
h2
Pel
Ms Mp
M Ppl Me Pel
Pe 2 Pp 3
l
3
o
x
l z
P x
Mp
Me
ss
h/2
z ss
§11－2 塑性极限分析定理与方法
若给物体一微小的虚变形（位移）。则外力的
虚功必等于应力的虚功（物体内储存的虚应变
能）。
fi ui*dV Fi ui*dS s ij i*jdV
V
ST
V
Fi ST
Su
ui
V
虚变形（位移）：结构约束所允许的无限小位移。
证明： fiui*dV Fiui*dS s ij i*jdV
平衡方程：边界条件：
塑性极限弯矩
z
ss
x
l 6
h/2
PP
4MP l
bh2 l
s
s
塑性极限载荷
M
PP 2
l 2
Me
Pel 4
l
6
z ss
确定塑性区位置
❖塑性铰：在全塑性阶段，跨中截面的上下两塑性区相连，使跨中左右两截面产生像结构（机械）铰链一样的相对转动－－塑性铰。
❖ 特点：
塑性铰的存在是由于该截面上的弯矩等于塑性极限弯矩；故不能传递大于塑性极限弯矩的弯矩。
x j
V
s
x
ij j

塑性力学基础知识

9.4 （弹）塑性本构关系的几个关键点
1、什么时候塑性开始产生？即塑性条件，初始屈服条件，或初始屈服准则。
复杂应力情形呢？
应力空间，主应力空间
屈服函数！
屈服面
9.4 （弹）塑性本构关系的几个关键点
2、什么是后继屈服条件？
1. 后继屈服条件的概念
什么是后继屈服？后继屈服条件的一般形式？
简单拉伸：
弹性力学是我们研究塑性力学的基础！仍然要记住，弹塑性力学也是以数学函数，也就是数学场为研究对象的，可以研究整个区域内的力状态和变形状态。
9.4 （弹）塑性本构关系的几个关键点
1、什么时候塑性开始产生？即塑性条件，初始屈服条件，或初始屈服准则。
(a)理想弹塑性材料
一维问题-单向应力情形
(c) 线性硬化弹塑性材料
s A
A1 1
C C1
B B1
o εA
εB εC ε
可见，弹塑性问题与加载路径有关。
9.3 （弹）塑性力学VS.弹性力学
1、问题的来源
同弹性力学相同！
9.3 （弹）塑性力学VS.弹性力学
2、研究任务
研究由于载荷或者温度改变，弹塑性体内部所产生的位移、变形和应力分布等。
为解决工程结构的强度，刚度和稳定性问题作准备。
塑性力学则研究它们在塑性变形阶段的力学响应。
弹塑性力学
9.2 应力-应变曲线
1、实际试验资料
9.2 应力-应变曲线
1、实际试验资料
9.2 应力-应变曲线
2、弹塑性变形的特点
（1）存在一个从弹性进入塑性的分界。
（2）在塑性阶段卸载，然后再加载，加载路径几乎沿着卸载路径回到原来的卸载点继续加载。换句话说，这个卸载点成为了新的弹性-塑性的界限。

弹塑性力学基础

温加工
冷加工在不产生回复和再结晶温度以下
改善产品组织性能
降低金属变形抗力改善金属塑性提高强度
冷加工－退火表面光洁，尺寸精确，组织性能良好
加热温度变形终了温度变形程度冷却速度
冷变形及热变形
冷变形
变形温度低于回复温度时，金属在变形过程中只有加工硬化而无回复与再结晶现象，变形后的金属只具有加工硬化组织，这种变形称为冷变形。
继续提高变形速度，塑性又开始下降：随变形速度↑，变形抗力
升高，达到相应于更小变形程度下的断裂抗力之值。第二次上升：热效应起作用，温度↑ ，变形抗力下降。
第二次下降：热效应极大，把金属加热到出现液相或大大降
低其晶间物质的强度。
4.变形程度变形程度对塑性的影响，是同加工硬化及加工过程中伴随着塑性变形的发展而产生的裂纹倾向联系在一起的。在热变形过程中，变形程度与变形温度-速度条件是相互联系着的，当加工硬化与裂纹胚芽的修复速度大于发生速
4、具有纤维组织的金属，各个方向上的机械性能不相同。顺纤维方向的机械性能比横纤维方向的好。金属的变形程度越大，纤维组织就越明显，机械性能的方向性也就越显著。
使纤维分布与零件的轮廓相符合而不被切断；使零件所受的最大拉应力与纤维方向一致，最大切应力与纤维方向垂直。
实例：
当采用棒料直接经切削加工制造螺钉时，螺钉头部与杆部的纤维被切断，不能连贯起来，受力时产生的切应力顺着纤维方向，故螺钉的承载能力较弱(如图a示 )。当采用同样棒料经局部镦粗方法制造螺钉时(如图b示)，纤维不被切断且连贯性好，纤维方向也较为有利，故螺钉质量较好。
3）金属表面形成吸附润滑层，塑性↑
提高金属塑性的主要途径
提高塑性的主要途径有以下几个方面： (1)控制化学成分、改善组织结构，提高材料的成分和组织的均匀性； (2)采用合适的变形温度—速度制度；

弹塑性力学课件-塑性基本概念

的塑性阶段卸载 d 0 d Ed
1.2塑性变形的特点
a) 应力—应变关系非线性，应力与应变间不存在单值对应关系。应力（内力）和应变（变形）之间的关系依赖于加载路径（加载历史）。由于加载路径不同，同一个应力可对应于不同应变，或同一个应变可对应于不同的应力。这种非单值性具体来说是一种路径相关性（path-dependency ）。
弹性与塑性的根本区别不在于应力-应变关系是否线性，而在于卸载后变形是否可恢复
没有明显屈服平台的应力应变曲线有明显屈服阶段的拉伸曲线（低碳钢类）（铝合金类）
卸载后再加载
经过屈服阶段后，材料又恢复了抵抗变形的能力。在第二次加载过程中，弹性系数仍保持不变，但弹性极限及屈服极限有升高现象，后继屈服应力升高程度与塑性变形的历史有关，决定于前面塑性变形的程度。这种现象称为材料的应变强化。
的两个函数值
是与塑性应变历史有关
4.应力分析
4.1一点处的应力状态
4.1.1应力张量及其分解
物体内一点处沿坐标轴x、y、z方向取一个微小的平行六面体，六面体
上的应力即代表该点的应力。共有9个应力分量，按一定规则排列，即
x xy xz
11 12 13
yx y yz 或 21 22 23
当 s 当 s
应变可由下列公式求出：
/ E

E
(

s
)(
1 E'

1 )sign E
当 s 当 s
线性强化刚塑性模型，用于弹性应变比塑性应变小得多且强化性质明显的材料
幂次强化模型
为简化计算中的解析式，可将应力 -应变关系解析式写为

弹塑性力学基础知识复习

n
n
n
F ix0, F iy0, F iz0
i1
i1
i1
（2）空间力偶系的平衡方程空间力偶系的主矢恒等于零，所以独立的平衡方程为
n
n
n
M x(F i) 0 , M y(F i) 0 , M z(F i) 0
i 1
i 1
i 1
（3）空间平行力系的平衡方程
令z 轴与力系各力的作用线平行，则各力在x, y 轴上投
第二节力的平移定理
力的平移定理是简化复杂力系的基础。
如图，把作用在刚体上A 点的力平行移动到刚体上的O点，
力对刚体的作用效果是否会改变，如果改变，则变化如何呢？
我们在刚体上的O点加一对由和 F组成的F平衡力，并
且
F 根F 据加F 减平衡力系公理这并不会改变原力系
对刚体的作用效果，则利用刚学过的力偶的知识，我们知道
I zb
L FN L EA
TL GI p
ML EI z
知识点
绪论内力（截面法求解）；
应力应变
lim pm
A0
F A
正应力切应力
线应变
x
du dx
切应变 xy
轴向拉压 1、强度校核 2、截面设计
maxFA Nmax FNA ma x
A
FN m ax
3、确定许可载荷 FNA
专题部分
动载荷交变应力
实验应力分析
斜弯曲
拉（压）弯组合
偏心拉（压）弯扭组合
基本变形
应力分布规律用图表达
受力、变形特点内力应力强度条件变形刚度条件
轴向拉压剪切
扭转弯曲
FN
FN []

弹塑性力学基本知识

2
面在 π 平面上的投影为圆形。根据式（18）可知，Mises 屈服条件的物理意义为：当材料的八面体剪应力达到一定值时，材料屈服；根据式（26）可知，Mises 屈服条件的物理意义也为：当材料的剪切应变能达到一定值时，材料屈服。注意，Mises 屈服条件考虑了中间主应力的影响，但也忽略了静水压力的影响。
0
则材料稳定，（2）加载面 f σ ij , ξ β = 0 外凸。这也可以由式（42）推出。（3）正交流动法则（ dλ 的物理意义：反映塑性应变增量的大小，称作比例因子。）：
P dε ij = dλ
(
)
∂f ∂σ ij ∂f s ∂σ ij
（43）
或： dε ij = dλs
P
（44）
p
得：
h=−
∂
( ∫ dε )
p
∂f
2 ∂f
∂f
3 ∂σ ij ∂σ ij
（60）
对于 Mises 材料，设材料等向硬化，且内变量为累积塑性应变，结合式（51），有：
2 ∂f
∂f
3 ∂σ ij ∂σ ij
=1
（61）
结合式（61），（59），（60），可得：
dλ = d ε p ； h =
( 2σ 2 − σ 1 − σ 3 )
当采用极坐标表示时，则有：
⎧ rσ = x 2 + y 2 = 2 J 2 ⎪ ⎨ y 1 ⎛ 2σ 2 − σ 1 − σ 3 ⎞ 1 μσ ⎪ tan θσ = = ⎜ ⎟= x 3 ⎝ σ1 − σ 3 3 ⎩ ⎠
z Tresca 屈服条件当 τ max =
（59）
结合式（43）和式（14），（注意：当屈服与静水压力无关，体积应力不产生塑性应变），可得：

第十一章塑性本构关系

也可改写为偏应力率和偏应变率之间的关系：
1 ij e E 1 ij 10 s s ij 2 1 2 1 kk kk 11 kk 3k E
其中： k
E 2 0 -体积模量 3 1 2 3
x
z

l/2 l/2
x
纵向纤维互不挤压：不计挤压应力，横截面上只有正应力。
x
x
x ( x, z), y z xy yz zx 0
小挠度假设：在梁达到塑性极限状态瞬间之前，挠度与横截面尺寸相比为一微小量，可用变形前梁的尺寸进行计算。 1
Pl/4
弹性极限荷载
s

s
s

s
3．弹塑性阶段（约束塑性变形阶段）
M s Me
he
塑性区扩展
h/ 2
s
he h / 2
M s 2b x zdz 2b s zdz
0 he
z M s 2b s zdz 2b s zdz he 0 he
h/ 2
he
z s P o l/2 z l/2 x
加载
d ij
屈服面
f ij
ij
d ij 卸载
ij
中性变载
加载卸载
加载面
d ij
f ij
二、硬化材料的加卸载准则
当应力状态处于当前加载面上，再施加应力增量会出现3种可能性并由此产生3种不同的变形情况。
ij
d ij 卸载
d ij 加载
ij
1、加载：应力增量指向加载面外，应力状态到达新的加载面上； 2、中性变载：应力增量与加载面相切，不产生新的塑性变形； 3、卸载：应力增量指向加载面内，变形从塑性状态回到弹性状态。