弹塑性力学讲义屈服2
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土体弹塑性力学（讲义）2
2
1 ν1 E1
ν 31 E3
ν 32
3
1 νE
ν 2 E2 2
ν 3
E
Eν 2
图 3-1 各向异性与同性材料
ν 3 E3 3
当材料为各向同性时，方程(3-1)用 E-ν 形式可以写成：
σ ij
=
E
1+ν
eij
+
νE
(1+ν )(1− 2ν
) εkkδij
(3-2a)
ε ij
=
1+ν
E
sij
+ 1− 2ν
σ ij = Kε kkδij + 2Geij
ε ij
=
1 9K
σ kkδij
+
1 2G
sij
(3-4)
(3-5a) (3-5b)
为了更直观地表示各张量分量之间的关系，可以将方程(4-5)写成矩阵形式：
{σ } = ⎡⎣De ⎤⎦{ε}
(3-6a)
{ε} = ⎡⎣Ce ⎤⎦{σ}
(3-6b)
其中{σ} ，{ε} 分别为应力、应变列向量， ⎡⎣De ⎤⎦ 为弹性刚度矩阵， ⎡⎣Ce ⎤⎦ 为弹性柔度矩阵。
=
81 个分量，对
于正交各向异性材料有 9 个分量，对于横观各向同性材料有 5 个分量，而对于各向同性材料就 2 个分量。对于各向同性材
料，这两个分量分别是弹性模量 E 和泊松比 ν 来表示。在有的时候，我们也可以用体积弹性模量 K 与剪切弹性模量 G 来表
示这两个分量。
1 νE112 ν13
ν 21 ν 23 E2
2G −1 3K
2G −1 3K
0
0
1 ν1 E1
ν 31 E3
ν 32
3
1 νE
ν 2 E2 2
ν 3
E
Eν 2
图 3-1 各向异性与同性材料
ν 3 E3 3
当材料为各向同性时，方程(3-1)用 E-ν 形式可以写成：
σ ij
=
E
1+ν
eij
+
νE
(1+ν )(1− 2ν
) εkkδij
(3-2a)
ε ij
=
1+ν
E
sij
+ 1− 2ν
σ ij = Kε kkδij + 2Geij
ε ij
=
1 9K
σ kkδij
+
1 2G
sij
(3-4)
(3-5a) (3-5b)
为了更直观地表示各张量分量之间的关系，可以将方程(4-5)写成矩阵形式：
{σ } = ⎡⎣De ⎤⎦{ε}
(3-6a)
{ε} = ⎡⎣Ce ⎤⎦{σ}
(3-6b)
其中{σ} ，{ε} 分别为应力、应变列向量， ⎡⎣De ⎤⎦ 为弹性刚度矩阵， ⎡⎣Ce ⎤⎦ 为弹性柔度矩阵。
=
81 个分量，对
于正交各向异性材料有 9 个分量，对于横观各向同性材料有 5 个分量，而对于各向同性材料就 2 个分量。对于各向同性材
料，这两个分量分别是弹性模量 E 和泊松比 ν 来表示。在有的时候，我们也可以用体积弹性模量 K 与剪切弹性模量 G 来表
示这两个分量。
1 νE112 ν13
ν 21 ν 23 E2
2G −1 3K
2G −1 3K
0
0
弹塑性力学部分讲义（ＰＤＦ）
弹塑性力学引言一、固体力学在工程中的作用工程中的各种机械都是用固体材料制造而成的、各种结构物也都是用固体材料建造的。
为了使机械结构正常使用、实现其设计的功能，首先要保证它们在工作载荷与环境作用下不发生材料的破坏或影响使用的过大的变形，即保证它们具有足够的强度、刚度和稳定性。
在设计阶段，要根据要求实现的功能，对于设计的机械结构的形式按强度要求确定其各部分的形状和尺寸，以及所需选择的材料。
要完成这样的任务，首先要解决如下基本问题：在给定形状尺寸与材料的机械结构在设计规定载荷与环境（如温度）作用下所产生的变形与应力。
对于柔性结构，如细长梁、薄板、薄壳，以及它们的组合结构，还要分析其是否会丧失稳定性。
这些都是固体力学的基本问题。
如果机械结构所受载荷或环境的作用是随时间变化的，那么，它们的振动特性也对其性能有重要的影响。
在设计时往往要对其进行模态分析，求出影响最大的各个低阶固有频率与相应的振型，以确保不会与主要的激振载荷产生共振，导致过大的交变应力与变形，影响强度和舒适性。
有些情况下还要考虑它们在瞬态或冲击载荷作用下的瞬态响应。
这些也是固体力学的基本问题。
此外、许多机械零件和结构元件在制造工程中，采用各种成型工艺，材料要产生很大的塑性变形。
如何保证加工质量，提高形状准确性、减少残余应力、避免产生裂纹、皱曲等缺陷？如何设计加工用的各种模具，加工的压力，以及整个工艺流程，这里也都有固体力学问题。
正因为工程中提出了各种各样的固体力学问题，有时还有流体力学问题，在19世纪产生了弹性力学和流体力学，才导致力学逐渐从物理学中独立出来。
工程技术发展的要求是工程力学，包括固体力学、流体力学等发展的最重要的推动力。
而工程力学的发展则大大推动了许多工程技术的飞速发展。
因此，力学是许多工程部门设计研究人员的基本素质之一。
二、力学发展概况力学曾经是物理学的一个部分，最初也是物理学中最重要的组成部分。
力学知识最早起源于人们对自然现象的观察和在生产劳动中积累的经验。
弹塑性力学讲义—本构关系
例2-1 对Mises屈服条件，证明
f J 2 sij ij ij
证： Mises屈服条件为
2 f J2 s 0 3
J 2 J 2 sk l 1 1 smn smn k l pp k l ij sk l ij sk l 2 3 ij
量是x=，y=0，且x，y，z均为应力的主方向。若材料为理想塑
性，Poisson比<1/2，单轴拉伸屈服极限为s，试利用Mises屈服 条件求出该材料单元达到屈服时的值。记屈服时的值为0，屈服
后加载使得x=0+d，求z方向的应力增量dz。
解：屈服处于弹性阶段，对于平面应变状态，因此根据虎克定律，有 z=(x+y)= 偏应力分量为 1 1 1 sx= (2)，sy= (1+)，sz= (12)，sxy=syz=szx=0 3 3 3
d 3 d ij d ij s 2
sij
2 s diΒιβλιοθήκη 3dij dij d p
p p 2d 2 d1p d 3 p d1p d 3
ud p u
• Tresca屈服条件相关联的流动法则 不规定主应力大小顺序，Tresca屈服条件可写成
例2-4： 有一受内水压p和轴向力共同作用的薄壁圆筒，内半径为r，壁 厚为t，若圆筒保持直径不变，只产生轴向伸长，假设材料是不可压缩的，
在忽略弹性变形的情况下，试求圆筒达到塑性状态时需要多大的内水压力。
解∶ 环向应变=0，轴向伸长靠筒壁变薄实现，各应变分量为 =0 z = r 或 e=0 ez = er Levy-Mises流动理论 s=0 sz = sr
ij
0 p (ij ij )d ij 0
f J 2 sij ij ij
证： Mises屈服条件为
2 f J2 s 0 3
J 2 J 2 sk l 1 1 smn smn k l pp k l ij sk l ij sk l 2 3 ij
量是x=，y=0，且x，y，z均为应力的主方向。若材料为理想塑
性，Poisson比<1/2，单轴拉伸屈服极限为s，试利用Mises屈服 条件求出该材料单元达到屈服时的值。记屈服时的值为0，屈服
后加载使得x=0+d，求z方向的应力增量dz。
解：屈服处于弹性阶段，对于平面应变状态，因此根据虎克定律，有 z=(x+y)= 偏应力分量为 1 1 1 sx= (2)，sy= (1+)，sz= (12)，sxy=syz=szx=0 3 3 3
d 3 d ij d ij s 2
sij
2 s diΒιβλιοθήκη 3dij dij d p
p p 2d 2 d1p d 3 p d1p d 3
ud p u
• Tresca屈服条件相关联的流动法则 不规定主应力大小顺序，Tresca屈服条件可写成
例2-4： 有一受内水压p和轴向力共同作用的薄壁圆筒，内半径为r，壁 厚为t，若圆筒保持直径不变，只产生轴向伸长，假设材料是不可压缩的，
在忽略弹性变形的情况下，试求圆筒达到塑性状态时需要多大的内水压力。
解∶ 环向应变=0，轴向伸长靠筒壁变薄实现，各应变分量为 =0 z = r 或 e=0 ez = er Levy-Mises流动理论 s=0 sz = sr
ij
0 p (ij ij )d ij 0
塑性力学2屈服条件
1 3 1 2 2 z 4 z 2 2
z 2 z 2 ( ) 4( ) 1 s s
• Mises屈服条件为
J2
(
1 1 2 2 2 2 6 ( z 3 2 z z z ) 6 3
z 2 ) 3( z ) 2 1 s s
Mises圆
外切 Tresca六边形
内接 Tresca 六边形
e '
e '
2 4 两种屈服条件的简单算例1 2.4
设一应力状态为σ1=30， σ2=25， σ3=10，材料的强度极限 σs=20. 试用Tresca条件和Mises条件判断材料是否屈服。
* *
对Tresca条件： σ1-σ3=30-10=20，2k= σs =20 即σ1-σ3 = 2k 材料开始屈服 对Mises条件： 条件
2 2 初始屈服条件和初始屈服面1 2.2
2 2 初始屈服条件和初始屈服面2 2.2
*
2 2 初始屈服条件和初始屈服面3 2.2
*
2 2 初始屈服条件和初始屈服面4 2.2
几何意义
屈服条件 服条件 f ij 0 在以应力分量为坐标的应力空间中为一曲面。
称为屈服曲面。 屈服曲面是区分弹性和塑性的分界面。
中性变载 加载准则
2 6 几种硬化法则1-1 2.6 1 1
实际材料的加载曲面的演化规律非常复杂，在应用中使用简化模型。 1、等向强化（各向同性强化）模型 认为后继屈服曲面（加载曲面）就是屈服曲面在应力空间的相似扩大。 等向强化模型的表达式可写成：
f ( ij ) K 0
其中f是初始屈服函数，
其中f 是初始屈服函数，
ˆ ij 是后继屈服曲面中心在应力空间中的位置，它是 是后继屈服曲面中心在应力空间中的位置 它是 h 的函数。 的函数
塑性力学第三章-屈服条件讲课稿
后继屈服条件
进入塑性后，屈服面的变化规律
后继屈服函数： 对于理想塑性材料：
f
对于强化材料，后继屈服函数可写成
(ij,ha)0
（1）等向强化（各向同性）模型
f (ij) K 0
K K(ha)
_____
K( dp),
_____
dp
32dipjdipj
K( dWp), dWp ijdipj
T:maxsk
M: 3s Tresca 六边形外切于Mises 圆
2
y
0
2k 2
3
3
s
s
2
:T
s
s
3
:
M
1
x
屈服条件的实验验证
薄壁管轴向拉伸和内压作用下的实验比较 薄壁管轴向拉伸和扭转作用下的实验比较
薄壁管轴向拉伸和内压作用下的实验(Lode,1926)
qR h,z2P R,h r0 P
令
1 ,2 z,3 r 0
x , y, z 0 ,x,yy z zx 0
x y 2 y z 2 z x 2 6 x 2 2 y y z 2 z 2 x s 2
x2y 2x y3x 2y s 2
两种屈服条件的比较
（1）单向拉伸时重合：
Tres:cmaa x2s k
Mis:ess Tresca 六边形内接于Mises 圆 （2）纯剪切时重合：
2 2k
2
2 2k
122k
1 2k
12k 0
2 2k
1
122k
2、Mises 屈服条件
Mises条件的常用形式： （1）应力偏张量第二不变量形式：
J2 k22
1 6 x y 2 y z 2 z x 2 6 x 2 y y 2 z z 2x k 2 2
弹塑性力学
硬（软）化塑性： 化塑性：
加载面Φ(σij,hα) < 0：弹性 加载面 ： 加载面Φ(σij,hα)＝0：屈服，屈服为一系列曲面， ＝ ：屈服，屈服为一系列曲面， 加载面 因而可在某一屈服面外（硬化），亦可在 因而可在某一屈服面外（硬化），亦可在 ）， 屈服面内（软化） 屈服面内（软化）
哈工大 土木工程学院
14 / 72
哈工大 土木工程学院
06 屈服准则
则平面上一点坐标S(r 在π平面上取极坐标系（r, θ）则平面上一点坐标 σ ,θσ)： 平面上取极坐标系（ ： σ′2 y
120°
r
′ rσ = xσ 2 + yσ 2 = 2 I 2
S
θ
x σ′1
30°
σ′3 三种特殊情况： 三种特殊情况： 单向拉伸： 单向拉伸： 纯 剪 切： 单向压缩： 单向压缩：
120°
r
′ x = σ 1′ cos 30° − σ 3 cos 30°
S
θ
x e′1 ′
30°
e′3 ′
2 3 = σ1 − 3 2 1 = (σ 1 − σ 3 ) 2
2 3 σ3 3 2
′ ′ y = σ 2 − σ 1′ sin 30° − σ 3 sin 30°
=
1 6
( 2σ 2 − σ 1 − σ 3 )
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06 屈服准则
考虑材料初始各向同性， 考虑材料初始各向同性，坐标变换对初始屈服条件应 该没有影响，故可用主应力和应力不变量表示： 该没有影响，故可用主应力和应力不变量表示：
f (σ1，σ2，σ3) = 0 f (I1， I2， I3) = 0
对于金属材料因为静水应力不影响屈服， 对于金属材料因为静水应力不影响屈服，故屈服条件 也可用应力偏量表示： 也可用应力偏量表示：
第三章 屈服准则
• 这一章研究材料的屈服. 我们已经知道,对于单向拉伸情况比 较简单,只有一个应力,实验可以得到应力应变的曲线, 应力应 变关系是一目了然. 但对于复杂应力状态, 材料在什么情况下 屈服这就不太好说了.这章的Tresca屈服条件和Mises屈服条件 就是解决这个问题的.
• 下一章来解决材料屈服后的应力应变的本构关系.
弹塑性力学基础－－－主讲：韩志仁
1. 屈服
物体受到荷载作用后，
随着荷载增大，由弹性状
态到塑性状态的这种过渡，
叫做屈服。
加载路径
2. 屈服条件
屈服点
物体内某一点开始产 生塑性应变时，应力或应 变所必需满足的条件，叫 做屈服条件。
only twist
Twist and extension
著名的Taylor和Quinney铜管拉扭 屈服试验(1931)
弹塑性力学基础－－－主讲：韩志仁
3. 屈服函数
一般情况下，屈服条件 与应力、应变、时间、温度 等有关，而且是它们的函数， 这个函数F称为屈服函数。
在不考虑时间效应(如应 变率)和温度的条件下：
在不考虑应力主轴旋转 情况下，可以用三个主应力 分量或应力不变量表示：
F( ij ,ij ,t,T ) 0
弹塑性力学基础－－－主讲：韩志仁
第三章 屈服准则
(yield criteria)
弹塑性力学基础－－－主讲：韩志仁
塑性模型三要素
屈服条件 流动法则
硬化规律
判断何时 达到屈服
屈服后塑性应变 增量的方向，也 即各分量的比值
决定给定的应力 增量引起的塑性 应变增量大小
弹塑性计算分 析的首要条件
弹塑性力学基础－－－主讲：韩志仁
这条曲线如图所示的红色曲线. 如果一个应力状态在这条曲线
• 下一章来解决材料屈服后的应力应变的本构关系.
弹塑性力学基础－－－主讲：韩志仁
1. 屈服
物体受到荷载作用后，
随着荷载增大，由弹性状
态到塑性状态的这种过渡，
叫做屈服。
加载路径
2. 屈服条件
屈服点
物体内某一点开始产 生塑性应变时，应力或应 变所必需满足的条件，叫 做屈服条件。
only twist
Twist and extension
著名的Taylor和Quinney铜管拉扭 屈服试验(1931)
弹塑性力学基础－－－主讲：韩志仁
3. 屈服函数
一般情况下，屈服条件 与应力、应变、时间、温度 等有关，而且是它们的函数， 这个函数F称为屈服函数。
在不考虑时间效应(如应 变率)和温度的条件下：
在不考虑应力主轴旋转 情况下，可以用三个主应力 分量或应力不变量表示：
F( ij ,ij ,t,T ) 0
弹塑性力学基础－－－主讲：韩志仁
第三章 屈服准则
(yield criteria)
弹塑性力学基础－－－主讲：韩志仁
塑性模型三要素
屈服条件 流动法则
硬化规律
判断何时 达到屈服
屈服后塑性应变 增量的方向，也 即各分量的比值
决定给定的应力 增量引起的塑性 应变增量大小
弹塑性计算分 析的首要条件
弹塑性力学基础－－－主讲：韩志仁
这条曲线如图所示的红色曲线. 如果一个应力状态在这条曲线
弹塑性力学-15 屈服理论
S
等倾线
L P
2
一点的应力矢量 OP 1e1 2e2 3e3
15.1 屈服理论分析
2. 屈服条件的一般形式
3 QL
OP 1e1 2e2 3e3
P
n
1 3
e1
1 3
e2
1 3 e3
平面 o S
2
1
OQ OP n
1 3
(1
2
3
)
15.1 屈服理论分析
3. 屈服条件的一般形式
ij
0
ABCA
对整个循环，附加应力
( ij
0 ij
)d
p ij
0
在弹性变形上做功为零 ABCA
AB ( ij
0 ij
)d
p ij
BC
( ij
0 ij
)d
p ij
CA ( ij
0 ij
)d
p ij
0
15.1 屈服理论分析
6. Drucker公设
AB ( ij
0 ij
)d
p ij
BC ( ij
4
xy s
2
1
均为
x s
2
3
xy s
2
1
椭圆
15.2 经典屈服准则
3. 屈服准则的验证 M
P
薄壁圆筒承受拉扭
M P
Mises准 则更好！
xy / s
0.6
Mises准则
0.4 铜 0.2 软钢 Tresca准则
铝
0 0.2 0.4 0.6 0.8 x / s
塑性屈服理论
15.1 屈服理论分析 15.2 经典屈服准则 15.3 后继屈服与硬化
弹塑性力学与有限元-屈服总则和弹塑性应力-应变关系
静水压力部分对塑性变形的影响可忽略，故屈服条件也可用主偏 量应力或其不变量表示：
f(S1，S2，S3) 0 f(J1，J2，J3) 0 f(J2，J3) 0 (6.4)
《弹塑性力学与有限元》
屈服总则和弹塑性应力-应变关系
屈服总则定义
➢ 应力空间和主应力空间
为讨论方便，在此引入应力空间的概念，所谓应力空间就是以应力 为坐标轴的空间。显然应力空间是一个六维空间，空间中的每一个点 都代表一个应力状态，应力的变化在应力空间中将会给出一条曲线， 称为应力路径，根据不同应力路径所进行的实验，可以定出从弹性阶 段进入塑性阶段的各个界限，即屈服点。把这些点连接起来就形成了 一个曲面（超曲面）称为屈服面，而描述这个屈服面的数学表达式称 为屈服函数或屈服条件。对于各向同性材料，屈服条件不应与坐标轴 的选取有关，因此屈服条件可以在主应力空间中表示.
《弹塑性力学与有限元》
屈服总则和弹塑性应力-应变关系
屈服总则定义
➢ 应力空间和主应力空间 L直线：主应力空间中过原点并与坐标轴成等角的直线。
其方程为 s1 s2 s3 显然，
L直线上的点代表物体中承受静 水应力的点的状态，这样的应力 状态将不产生塑性变形。
s1
s3
L直线
s2
《弹塑性力学与有限元》
《弹塑性力学与有限元》
屈服总则和弹塑性应力-应变关系
屈服总则定义
➢ 屈服曲线的方程
屈服曲面是一个等截面
柱面，其母线平行于L直线
，并且此柱面垂直于π平面 。屈服曲线：屈服曲面与π 平面相交所得的一条封闭曲 线，或称屈服轨迹。
屈服曲面
s 3 L(s1 s 2 s3)
平面
屈服曲线
o
s2
弹塑性力学第七章屈服条件
其他领域中的屈服条件应用
生物医学
在生物医学领域，如人体骨骼、牙齿等组织 的力学性能分析中，需要考虑材料的屈服条 件。
能源工程
在核能、太阳能等能源工程领域，相关设备的材料 选择和设计需要考虑其屈服条件。
环境工程
在环境工程领域，如土压力、岩石压力等问 题的分析中，需要利用屈服条件来评估结构 的稳定性和安全性。
20世纪初，德国科学家R.Von Mises 提出Von Mises屈服条件，成为弹塑 性力学中最为广泛应用的屈服条件之 一。
现代屈服条件的进展
随着计算机技术和数值计算方法的不 断发展，现代屈服条件的研究更加深 入和广泛。
目前，研究者们正在探索更加精确和 实用的屈服条件，以适应各种复杂材 料和工程应用的需求。
弹塑性力学的重要性在于，许多工程结构和材料在承受外力 时，其变形行为既不是完全弹性也不是完全塑性，而是介于 两者之间。因此，理解弹塑性行为对于准确预测结构的响应 和保证工程安全至关重要。
屈服条件的概述
屈服条件是弹塑性力学中的一个基本概念，它描述了材料在应力达到某一特定值时开始发生屈服（即 塑性变形）的条件。
07 总结与展望
总结
屈服条件的定义与分类
总结了屈服条件的定义，以及按不同标准分类的屈服条件类型， 如按材料性质、应力状态等。
屈服条件的物理意义
解释了屈服条件在材料力学行为中的物理意义，包括材料内部的微 观结构变化、应力分布等。
屈服条件的应用场景
列举了屈服条件在不同工程领域中的应用，如结构稳定性分析、材 料强度设计等。
混合阶段中，应力-应变关系表现为非线性，材料同时具有弹性和 塑性行为。
加载和卸载路径的影响
在混合阶段，材料的响应不仅取决于当前的应力状态，还受到之前 加载和卸载路径的影响。
弹塑性力学 第七章 屈服条件
2 f( ) J k 0 i j 2 2
1 2 2 2 2 2 2 J ( ) ( ) ( ) 6 ( ) 2 x y y z z x x y y z z x 6 1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 1 2 2 3 3 1 6
§3 两种常用屈服条件
一、Tresca屈服条件 最大剪应力屈服假设：当最大剪应力达到某个极限值时 材料发生屈服。
设 1 2 3 1 3 屈 服 条 件f ( ) k i j 1 0 2 如不规定 1, 2 ,3 的大小顺序，则屈服条件为
1 2 k1 1 3 k1 2 3 k1
s • 屈服条件： ) 0 • 用应力函数表示： f( s
3、对复杂应力状态，物体内一点的应力状态由6个 应力分量确定。可认为当6个应力分量满足某种函 数关系时，这一点进入屈服。即： 屈服函数 f ( ij ) 0
复杂应力状态，有6个应力分量各种不同的应 力组合和应力路径，不可能对每种应力组合和应 力路径都进行实验，这就需要给出一种适用于复 杂应力的屈服条件，即屈服函数的数学描述，且 可以通过有限的实验确定屈服函数中的力学参量。
主应力排序为 r 最大剪应力为 1 m a x r 2 代入Tresca和Mises条件发 现它们有一样的屈服条件:
x
r
r s
§4 后继屈服条件及加,卸载准则 1. 后继屈服条件的概念 • 从单向应力谈起, 如图所示我 们曾经提到过初始屈服点和后 继屈服点的概念. • 对应于复杂应力,就有初始屈 服面(比如我们前面提到的屈服 条件)和后继屈服面. 如右图所示, 一点应力状态O, 随加载达到初始屈服面 0 A 点,再加载到达后继屈服面 1 B点, 此时卸载再加载再到 达 后继屈服面 1 C点,然后 再加载到达后继屈服面 2 D 点.
1 2 2 2 2 2 2 J ( ) ( ) ( ) 6 ( ) 2 x y y z z x x y y z z x 6 1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 1 2 2 3 3 1 6
§3 两种常用屈服条件
一、Tresca屈服条件 最大剪应力屈服假设：当最大剪应力达到某个极限值时 材料发生屈服。
设 1 2 3 1 3 屈 服 条 件f ( ) k i j 1 0 2 如不规定 1, 2 ,3 的大小顺序，则屈服条件为
1 2 k1 1 3 k1 2 3 k1
s • 屈服条件： ) 0 • 用应力函数表示： f( s
3、对复杂应力状态，物体内一点的应力状态由6个 应力分量确定。可认为当6个应力分量满足某种函 数关系时，这一点进入屈服。即： 屈服函数 f ( ij ) 0
复杂应力状态，有6个应力分量各种不同的应 力组合和应力路径，不可能对每种应力组合和应 力路径都进行实验，这就需要给出一种适用于复 杂应力的屈服条件，即屈服函数的数学描述，且 可以通过有限的实验确定屈服函数中的力学参量。
主应力排序为 r 最大剪应力为 1 m a x r 2 代入Tresca和Mises条件发 现它们有一样的屈服条件:
x
r
r s
§4 后继屈服条件及加,卸载准则 1. 后继屈服条件的概念 • 从单向应力谈起, 如图所示我 们曾经提到过初始屈服点和后 继屈服点的概念. • 对应于复杂应力,就有初始屈 服面(比如我们前面提到的屈服 条件)和后继屈服面. 如右图所示, 一点应力状态O, 随加载达到初始屈服面 0 A 点,再加载到达后继屈服面 1 B点, 此时卸载再加载再到 达 后继屈服面 1 C点,然后 再加载到达后继屈服面 2 D 点.
弹塑性力学讲义
(1) 受力分析及静力平衡条件 (力的分析)
(2) 变形分析及几何相容条件 (几何分析)
(3) 受力与变形间的本构关系 (物理分析)
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01 绪 论
◆ 材料力学研究问题的基本方法：
选一维构 件整体为 研究对象
变形前，在某表 面绘制标志线； 变形后，观察总 结构件表面变形 的规律
1969年，Roscoe等人出版了《临界状态土力学》专著，这 是世界上第一本关于岩土塑性理论的专著，详细研究了土的 实用模型。
1982年，Desai等人也出版了一本《工程材料本构定律》
专著，进一步阐明了岩土材料变形机制，形成了较系统的岩 土塑性力学。
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01 绪 论
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01 绪 论
弹塑性力学的任务：根据对弹塑性体的实验观察结
果寻求物体在弹塑性状态下的变形规律，建立本构关系及 有关基本理论。
1．建立求解固体的应力、应变和位移分布规律的基本方程 和理论；
2．给出初等理论无法求解的问题的理论和方法，以及对初 等理论可靠性与精确度的度量；
样的结论，同时进一步 证明了各向同性体有两个独立的弹性
系数。
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01 绪 论
线性各向同性体弹性力学的发展时期：
1850年，基尔霍夫解决了平板的平衡和震动问题； 1855-1856年，圣维南提出了局部性原理和半逆解法； 1862年，艾里解决了弹性力学的平面问题； 19世纪70年代，建立了各种能量原理，并提出了这些原 理的近似计算方法。
01 绪 论
现代力学的发展及其特点 1、现代力学的发展
【弹塑性力学】5-屈服准则
(3Rt a 1) (3Rt a 1)
• 其中 R t 为单轴抗拉强度,a为系数
2
a 1
mm1
1 Rt
mRc /Rt
R c 为单轴抗压强度
32
双剪应力屈服准则（俞茂鋐,1961）
f
(13,12 )
13
12
1
1 2
( 2
3) kb
0
当12
23或 2
1 2
( 1
3 )时
f
(13, 23)
p 3st/R
对于Tresca屈服条件: 13 =k=2s p = 2st/R
39
（2）管段的两端是封闭的:
应力状态为,z= pR/2t， = pR/t，r=0， zr=r=z=0
1 J2 = +66([(2zrzr2r)2+(2rz)]=)162+23((pR/tz))22
13 = = pR/t
（1）单轴拉伸:屈服时 1 =s,2 =3 =0，代入屈 服条件
J23s2 k2,
ks
3
（2）剪切：屈服时 =s 1= s，2=0，3= s,，屈服条件
J2s2k2, ks
12
两种屈服条件比较
• 如假定单轴拉伸时
两个屈服面重合,则
Tresca六边形内接于
MisesБайду номын сангаас;
外 切 T resca六 边 形
• （1）圆外接于六边形
32 3ssin in ,k
6cco s 33sin
• （2）圆内接于六边形
32 3ssin in ,k
6cco s 33sin
29
Zienkiewicz-Pande条件:
塑性力学讲义-屈服条件
（4）由于拉压屈服极限相等，曲线C对称于 原点O。 由上面的分析可知屈服曲线C可分成形 状相同的12个部分，只需考虑C的1/12即可。 实验时，采用Lode应力参数 0 1 这样一 个取值范围内的应力组合就能确定屈服曲线 的具体形状。
屈服曲线
2
C
B
O
A
30
B
当应力分量满足某一关系时，材料将重新进 入塑性状态而产生新的塑性变形，这种现象 叫强化。在复杂应力状态下，由于会有各种 应力状态的组合能达到初始屈服或后继屈服， 在应力空间中这些应力点的集合而成的面就 是初始屈服面或后继屈服面。 如果是理想塑性材料，后继屈服面和初 始屈服面是重合的。但对强化材料，两者不 重合。随着塑性变形的发展，后继屈服面是 不断变化的，故后继屈服面又称为加载面。 材料在初始屈服以后再进入塑性状态时 应力分量间所必须满足的函数关系叫做强化
2 2 2 2 2 2
2
6 xy yz zx 2 s
Mises条件：当应力强度达到一定数值时， 材料开始屈服，进入塑性状态。
i 2k s
Mises条件可看成为当形状改变比能达 到一定数值时开始屈服。或认为只要应力偏 张量的第二不变量达到某一数值时，或八面 体剪应力达到一定数值时开始屈服，进入塑 性状态。
屈服线上有角点，给数学处理带来了困难， 没有考虑平均应力对屈服的影响。 二、Von.Mises屈服条件 Mises指出Trecsa屈服条件在偏量平面 上的六个角点虽然由试验得出，但是六边 形则是直线连接假设的结果，且数学上使用 起来不方便。于1913年提出以外接圆柱代替 六棱柱似乎更合理，且避免了因曲线不光滑 在数学上引起的困难。屈服曲线就是Tresca 六边形的外接圆。方程为
弹塑性力学讲义
弹塑性力学讲义弹塑性力学1 弹塑性的概念所谓弹塑性指的是物体在外力作用下发生变形而外力除去后变形不能完全恢复的性质。
变形中可回复的部分称为弹性变形，变形中不可回复的部分称为塑性变形。
塑性变形总是在外力的作用超过一定的限度后出现。
2 简单拉压状态下金属材料弹塑性行为及其数学模型（1）理想塑性材料的弹塑性行为σs主要特点：屈服后加载，表现出一种流动变形现象，材料失去进一步承载的能力；屈服后卸载，应力应变增量大致与弹性变形段相同。
卸载至零后再次加载，应力应变关系相当于原应力应变关系曲线在应变轴方向作了一个平移，平移量为残余塑性应变。
数学表达：Eε(0 ε εs)σ σ(ε)σ(ε ε)s s Eε( εs ε 0)σ σ(ε)(ε εs) σs（2）线性强化材料的弹塑性行为σσs主要特点：屈服后加载，材料仍有进一步承载的能力，但应力应变增量的比例较弹性段小；屈服后卸载，应力应变增量大致与弹性变形段相同。
卸载至零后再次加载，屈服应力为卸载前的应力值（较先前的屈服应力大），应力应变关系相当于原应力应变关系曲线在应变轴方向作了一个平移，平移量为残余塑性应变，同时应力轴伸长。
两种常用的强化模型数学表达：Eε(0 ε εs)σ σ(ε)σ E(ε ε)(ε ε)ss sEε( εs ε 0)σ σ(ε)σs E(ε εs)(ε εs)上述描述弹塑性材料应力应变关系的数学模型称为全量型本构关系。
显然不能代表弹塑性变形规律的全貌。
它描述了单调应力-应变过程。
为了描述弹塑性力学行为的“过程相依”，需要建立增量型本构关系。
记当前应力为σ0，应力增量为dσ，应变增量为dε，分析弹塑性行为可以得出相应的增量变形法则。
理想塑性材料的增量型弹塑性关系（1）由dσ决定dε当σs σ0 σs时，dε dσ/E 当σ0 σs时，dεdλσ0ifdσ 0 dσ/Eifdσ 0dλσ0ifdσ 0当σ0 σs时，dεdσ/Eifdσ 0（2）由dε决定dσ当σs σ0 σs时，dσ Edε0ifdε 0当σ0 σs时，dσEdεifdε 0当σ0 σs时，dσ0ifdε 0 Edεifdε 0例：已经测得某理想弹塑性材料的细杆所经受的轴向应变过程如图所示，试求此杆中的应力过程。
弹塑性力学讲义屈服条件
还有,由于拉压屈服应力相等,因而可得到σ1-σ2空间中的另外六个应 力屈服点 A3:(σ1,σ2,σ3) = (3t,t,0) A4:(σ1,σ2,σ3) = (t,3t,0) B3:(σ1,σ2,σ3) = (3t,2t,0) B4:(σ1,σ2,σ3) = (2t,3t,0) C3:(σ1,σ2,σ3) = (2t,t,0) C4:(σ1,σ2,σ3) = (t,2t,0) 因此,根据这些点的数据,可以作出在σ1-σ2空间中的屈服面.容易证
e3 '
e1 '
σ3
σ1
J2 的物理意义
J2与弹性状态的形状改变能成正比
1 sijeij= 1 sijsij= 1 J2 2 4G 2G
J2也与材料八面体上的剪应力成比例
材料常数k2由简单实验确定 (1)单轴拉伸:屈服时 σ1 =σs,σ2 =σ3 =0,代入屈服条件
σ2 J 2 = s = k 22 3
k2 =
1 3
σs
(2)剪切:屈服时τ =τs σ1= τs,σ2=0,σ3= τs,,屈服条件 J2= τ2 =k2 s k2 = τs. 因此,如果材料服从Mises屈服条件,则 σs= 3τs
两种屈服条件比较
e2'
如假定单轴拉伸时两个屈 服面重合,则Tresca六边形 内接于Mises圆;
s1 = 1 2 x 1 6 y= 2 2π rσ sin(θ σ + ) 3 3
s2 =
2 y= 3
1 2
2 rσ sin θБайду номын сангаасσ 3
1 6 2 2π rσ sin(θ σ ) 3 3
s3 =
x
y=
屈服面的一般形状
弹塑性力学-屈服条件
不会出现反向屈服。恢复掉的弹性应变是：
e
=1 E
1 s
因此，C点的应变是 C=Be=9s
（3） = 01 当= (1)s，材料产生反向屈服，当从D点到E点时，产生压缩塑
性应变是
p=
1 D h
18 s
而从C点到E点产生的弹性应变是e = (1+)s，最后的应变是
E= (1+)s18s+9s= (1+10)s
• 背应力增量应平行于塑性应变增量 dij=c dipj
式中c是材料常数，由试验确定。 • 对于Mises屈服条件，该模型可写成
ij
c
p ij
3 2
sij
c
p ij
sij
c
p ij
s
单轴加载（拉伸或压缩）时
s11=
2 3
s22=s33=
1 3
1p1 p
p 22
p 33
1 2
p
强化模型式简化为：
中性变载?d
n
d 加载
卸载?d
ij
加载面
任何一种应力状态都不能位于加载面之外
• 增量前 f (ij，) = 0， • 增量后 f (ij+dij，+d) = 0
• 一致性条件：
f ij
dij
f
d
0
f (ijdij , d f (ij,
内变量的性质
• 随加载过程，内变量不断地增加 • 中性变载或者卸载时，则内变量保持不变
hp=s
（1） = 0 1 当=s时，材料屈服，当s<<1即从A到B点，产生塑性变形，
B点的总应变为
(p)B
1
s h
e
=1 E
1 s
因此，C点的应变是 C=Be=9s
（3） = 01 当= (1)s，材料产生反向屈服，当从D点到E点时，产生压缩塑
性应变是
p=
1 D h
18 s
而从C点到E点产生的弹性应变是e = (1+)s，最后的应变是
E= (1+)s18s+9s= (1+10)s
• 背应力增量应平行于塑性应变增量 dij=c dipj
式中c是材料常数，由试验确定。 • 对于Mises屈服条件，该模型可写成
ij
c
p ij
3 2
sij
c
p ij
sij
c
p ij
s
单轴加载（拉伸或压缩）时
s11=
2 3
s22=s33=
1 3
1p1 p
p 22
p 33
1 2
p
强化模型式简化为：
中性变载?d
n
d 加载
卸载?d
ij
加载面
任何一种应力状态都不能位于加载面之外
• 增量前 f (ij，) = 0， • 增量后 f (ij+dij，+d) = 0
• 一致性条件：
f ij
dij
f
d
0
f (ijdij , d f (ij,
内变量的性质
• 随加载过程，内变量不断地增加 • 中性变载或者卸载时，则内变量保持不变
hp=s
（1） = 0 1 当=s时，材料屈服，当s<<1即从A到B点，产生塑性变形，
B点的总应变为
(p)B
1
s h
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初始屈服面
后继屈服面
B O C D A
Mises初始屈服条件 σ2 J2 s = 0 3
加载(后继屈服)条件
3J 2 σ s = 0
3J 2 ψ (ξβ ) = 0
3 sij sij ψ (ξβ ) = 0 2
σ ψ ( dε p ) = 0
函数ψ可通过单轴拉伸下实验曲线σε确定
∫
单轴下的随动强化
单轴拉伸下的强化
随加载,屈服极限会不断提高,称为强化或硬化 新的屈服极限: (σs)new = Max history σ
后继屈服条件(也称加载条件) σ=(σ σ (σs)new 处于屈服状态
σ<(σs)new, 处于卸载状态
Max history σ 随塑性变形历史单调增长,
Max history σ=ψ(εp) 后继屈服条件即加载条件也可表示为 σψ(εp)=0
nij =
f σ ij
是屈服面外法线
加载条件还可以表示为 f(σij)=0 dσn=0 加载 σ f(σij)=0 dσn<0 卸载 σ
强化材料的加卸载准则
当应力状态处在当前加载面上,再施加应力增量,产生三种情况 (1)加载:应力增量指向加载面外,推动加载面变化, 产生新的塑性变形(同时会产生弹性变形). (2)中性变载:应力增量沿着加载面,即与加载面相切, 不产生新的塑性变形,会产生弹性变形. (3)卸载:应力增量指向加载面内,变形从塑性状态回到弹性状态. 只产生弹性变形
(
)(
)
单轴加载(拉伸或压缩)时
2 s11= σ 3
p ε 11 = ε p
s22=s33=
1 σ 3
p p ε 22 = ε 33 =
1 p ε 2
强化模型式简化为:
3 cεp = σs 2 若材料强化实验曲线近似为线性,则可表示为
σ
σ=σs+hεp 式中h是实验确定的材料常数.
混合强化
几何特点: 加载面大小,位置和中心都改变,它是前面两种情况的综合, 数学表达: f (σijαij) k(ξβ)= 0 与随动强化不同的是,这里k随加载的历史而变化. 说明: 以上关于屈服条件和加载条件的讨论都是在应力空间中进行的. 对应变软化材料来说,应变空间中讨论会更方便些.
内变量的性质
随加载过程,内变量ξβ不断地增加 中性变载或者卸载时,则内变量ξβ保持不变 总之:内变量ξβ只会增加,不会减少. 且只有产生新的塑性变形时,它才会增加. 是塑性变形的不可逆性所决定的.
等向强化
几何特点(在应力空间): 加载面形状和中心位置都不变,大小变化,形状相似的扩大. 物理意义: 假定材料在强化后仍保持各向同性的性质. 数学表示: f (σij) k(ξβ) = 0 f(J2,J3) k(ξβ) = 0 进一步解释:等向强化可理解为材料某一方向上因加载屈服极限得到提 高,所有其它方向的屈服极限都将因此而得到同等程度的提高.
σ
加载 dσ>0
卸载 dσ<0
ε
中性变载
dσ
n dσ 加载
卸载 dσ
σij
加载面
加载面:f(σij,ξβ)= f*(σij)ψ(ξβ) = 0 加,卸载的判别准则 f(σij,ξβ)=0 df*(σij)>0 f(σij,ξβ)=0 df*(σij)=0 f (σij,ξβ)=0 df*(σij)<0 f(σij,ξβ)<0 加载 中性变载 卸载 弹性状态
(3)σ = 0→σ1 当σ= (1α)σs,材料产生反向屈服,当从D点到E点时,产生压缩塑 性应变是 εp= ( σ 1 σ D ) = 18αε s h 而从C点到E点产生的弹性应变是εe = (1+α)εs,最后的应变是
εE= (1+α)εs18αεs+9αεs= (1+10α)εs
理想塑性材料的加卸载准则
单轴情况下
ห้องสมุดไป่ตู้
σ 加载 dσ=0
卸载 dσ<0 ε
复杂应力状态下
n 屈服面 dσ 加载 卸载 dσ
σ ij
f(σij)<0 f(σij)=0, df (σij)= 0 f(σij)=0, df(σij) < 0 df (σij)可以表达成
f df(σij) = dσij σ ij
弹性状态 加载 卸载
σ ασs=σs
σ σ1 σs
Ε
1
B A
1
0.1Ε
O
C
2σs ε
D E
σ1
(2)σ = σ1→0 当σ = σ1→0,材料处于卸载状态.由于α<1,σ 在0 -σ1之间, 不会出现反向屈服.恢复掉的弹性应变是:
σ εe = 1 = (1 + α )ε s E
因此,C点的应变是 εC=εBεe=9αεs
σ C σ* σs σp A' A B
O
E εp ε
e
ε
复杂应力状态
使用一组内变量ξβ(β=1,2,…,n)描述塑性变形历史, 后继屈服条件 f (σij,ξβ)=0 随塑性变形的发展,ξβ不断变化,后继屈服面或加载面也随之改变. 定义内变量ξβ应该根据材料内部细微结构不可逆的改变, 通常根据宏观实验结果,引用宏观变量定义内变量ξβ 累积塑性变形 塑性功
f f df (σ ij ) = dσ ij = dσ ij = dσn σ σ ij σ ij
加载条件还可表示为: f(σij,ξβ)=0 dσn >0 σ f(σij,ξβ)=0 dσn=0 σ f(σij,ξβ)=0 dσn<0 σ 加载; 中性变载; 卸载
�
后继屈服面 初始屈服面
例1-3 简单拉伸下材料的关系曲线用线性强化模型近似表示为
Eε σ= p σ s + hε 0 < ε < ε s (σ s / E ) ε s <ε
其中,常数h=E/9.材料质点经历了如下单轴应力历史: σ = 0 → σ1→0 →σ1 其中,σ1= (1+α)σs,0<α<1.试确定线性随动强化模型下的相应应变历史 解: 线性随动强化模型下,其强化条件均可表示为 σhεp=σs
卸载 dσ dσ n dσ 加载
中性变载
σij
加载面
任何一种应力状态都不能位于加载面之外 增量前 f (σij,ξβ) = 0, 增量后 f (σij+dσij,ξβ+dξβ) = 0 一致性条件:
f (σij+dσij , ξ β + dξβ) = 0
f (σij , ξβ ) = 0
f f dσ ij + dξ β = 0 σ ij ξβ
αij是一个表征加载面中心移动,称为背应力(back stress)
后继屈服面
初始屈服面
Prager随动强化模型
背应力增量应平行于塑性应变增量
p dαij=c dε ij
式中c是材料常数,由试验确定. 对于Mises屈服条件,该模型可写成
p σ σ ij cε ij =
(
)
3 p p s ij cε ij s ij cε ij = σ s 2
某一个方向上的屈服极限提高,则相反方向上的屈服极限会降低. 由A点加载到B点,屈服应力由原来的σs提高到σ*.σB=σ*>σs 再反向加载,当应力达到σBσC=2σs时屈服, 而σC<σs.
*
B A
s
s
C
反向屈服点
随动(运动)强化
几何特点(在应力空间): 形状和大小不变,中心位置,加载面作刚体移动. 物理意义: 材料在强化后为各向异性. 数学表示: f (σijαij) k = 0
dε p ∫
2 p p ε ij ε ij 3
εp =
只有在塑性应变增量各分量之间的比例在整个加载过程中始终保持不 变时,两者才能相等
应力状态与屈服面的关系
当应力状态σij处在加载面上 f (σij,ξβ) = 0, 再施加增量dσij,产生三种情况: (1)加载:dσij指向加载面外 (2)中性变载:dσij沿着加载面 (3)卸载:dσij指向加载面内
dξ β =
2 p p dε ij dε ij = dε p 3
p dξβ = σ ij dε ij = dw p
累积塑性应变与等效应变的不同
将整个加载过程看作是许许多多的应力增量过程dσ所组成.
p 将每一个应力增量过程中所产生的塑性应变增量 dε ij 计算出 dε p
然后累加起来,即计算积分 等效塑性应变 ε p
(1)σ = 0 → σ1 当σ=σs时,材料屈服,当σs<σ<σ1即从A到B点,产生塑性变形, (εp)B = (σ1 σ s ) = 9(σ1 σ s ) = 9αε s h E
B点的总应变为
εB=εe+εp = 得强化条件为
σ1 + ε p = (1+ α )ε s + 9αε s = (1+10α )ε s E