弹塑性力学讲义程序设计1
塑性力学(一)
（四）学习塑性力学的基本方法 塑性力学是连续介质力学的一个分支，故研 究时仍采用连续介质力学中的假设和基本方法。 (1) 受力分析及静力平衡条件(力的分析) 对一点单元体的受力进行分析。若物体受力作用 ，处于平衡状态，则应当满足的条件是什么？（静力 平衡条件）
(2) 变形分析及几何相容条件(几何分析) 材料是连续的，物体在受力变形后仍应是连续 的。固体内既不产生“裂隙”，也不产生“重叠”。则 材料变形时，对一点单元体的变形进行分析，应满 足的条件是什么？（几何相容条件） (3)力与变形间的本构关系 (物理分析) 固体材料受力作用必然产生相应的变形。不同的 材料，不同的变形，就有相应不同的物理关系。则对 一点单元体的受力与变形间的关系进行分析，应满足 的条件是什么？（物理条件，也即本构方程。）
（一）σ-ε曲线的简化 （二）σ-ε的关系式（分为三个不同的状态）
鉴于学习塑性力学问题的复杂性，通常在塑性理 论中要采用简化措施。为此得到基本上能反映材料的 力学性质，又便于数学计算的简化模型。 （一）σ-ε曲线的简化 理想弹塑性模型（软钢） 分段模型 大致分为两类： 连续模型 线性强化弹塑性模型 幂次强化模型 R-O模型
（6）包氏效应
卸载后，如果进行反向加载 （拉伸改为压缩）首先出现压缩 的弹性变形，后产生塑性变形， 但这时新的屈服极限将有所降 低，即压缩应力应变曲线比通常 的压缩试验曲线屈服得更早了。 这种由于拉伸时的强化影响到压 缩时的弱化现象称为包辛格 (Bauschinger)效应 (一般塑性理 论中都忽略它的影响) 。
小结： 由两个实验我们得到了四个结论： 1）应力－应变关系不再一一对应，且一般是非线性 的。 2）应力－应变的多值性。（出现卸载时） 3）在静水压力作用下，体积的改变都是弹性变形， 没有塑性变形。 4）在静水压力作用下，材料的塑性行为不受影响。
弹塑性_塑性力学基本方程和解法
在加载过程中物体各点处的偏应力分量 sij 保持比例不变。在工程允许精度下，也可推
广应用于稍为偏离简单加载的情况。
以上各种理论中涉及的一些假设，例如：塑性应变偏量的增在单一的函数关系等假设，都得到了常用金属材
料大量试验的验证。
z 强化规律 对于理想弹塑性材料，材料一旦屈服，其应力状态点在主应力空间中就落在屈服
变形， Hα 也不变，于是
∂f ∂σ ij
除等向强化外，有些强化材料表现为随动强化（图 7.7b），即，在强化过程中，屈
服面的大小和形状保持不变，只随塑性变形的发展而在应力空间中平移。还有些材料
在强化过程中随动强化与等向强化同时发生，称为混合强化。
由于在应力和强化参数空间中，表示应力状态的应力点只可能位于后继屈服面
（或加载面）上或其内，不可能位于曲面之外，若加载面是一个正则曲面，则有
⎯2⎯
研究生学位课弹塑性力学电子讲义
姚振汉
⎧ε = 0 ⎨⎩σ = σ s
当 σ <σs 当 ε >0
(2)
图 7.5 理想弹塑性和刚塑性
当考虑材料强化性质时，可在理想弹塑性模型的基础上加以改进，采用线性强化 弹塑性模型来近似：
⎧σ = Eε
⎨⎩σ = σ s +E1 (ε − εs )
当 ε ≤εs 当 ε >εs
(5)
⎯3⎯
第七章 塑性力学的基本方程与解法
其中 k 可由单向拉伸或其它材料试验测得的σ s 确定， k = σ s 2 。当不能确定主应力的 排序时，在以三个主应力为坐标轴的应力空间中，由特雷斯卡条件所包围的弹性状态 的应力空间为
σ1 −σ 2 ≤ 2k, σ 2 −σ 3 ≤ 2k, σ 3 −σ1 ≤ 2k
弹塑性力学部分讲义（ＰＤＦ）
弹塑性力学引言一、固体力学在工程中的作用工程中的各种机械都是用固体材料制造而成的、各种结构物也都是用固体材料建造的。
为了使机械结构正常使用、实现其设计的功能，首先要保证它们在工作载荷与环境作用下不发生材料的破坏或影响使用的过大的变形，即保证它们具有足够的强度、刚度和稳定性。
在设计阶段，要根据要求实现的功能，对于设计的机械结构的形式按强度要求确定其各部分的形状和尺寸，以及所需选择的材料。
要完成这样的任务，首先要解决如下基本问题：在给定形状尺寸与材料的机械结构在设计规定载荷与环境（如温度）作用下所产生的变形与应力。
对于柔性结构，如细长梁、薄板、薄壳，以及它们的组合结构，还要分析其是否会丧失稳定性。
这些都是固体力学的基本问题。
如果机械结构所受载荷或环境的作用是随时间变化的，那么，它们的振动特性也对其性能有重要的影响。
在设计时往往要对其进行模态分析，求出影响最大的各个低阶固有频率与相应的振型，以确保不会与主要的激振载荷产生共振，导致过大的交变应力与变形，影响强度和舒适性。
有些情况下还要考虑它们在瞬态或冲击载荷作用下的瞬态响应。
这些也是固体力学的基本问题。
此外、许多机械零件和结构元件在制造工程中，采用各种成型工艺，材料要产生很大的塑性变形。
如何保证加工质量，提高形状准确性、减少残余应力、避免产生裂纹、皱曲等缺陷？如何设计加工用的各种模具，加工的压力，以及整个工艺流程，这里也都有固体力学问题。
正因为工程中提出了各种各样的固体力学问题，有时还有流体力学问题，在19世纪产生了弹性力学和流体力学，才导致力学逐渐从物理学中独立出来。
工程技术发展的要求是工程力学，包括固体力学、流体力学等发展的最重要的推动力。
而工程力学的发展则大大推动了许多工程技术的飞速发展。
因此，力学是许多工程部门设计研究人员的基本素质之一。
二、力学发展概况力学曾经是物理学的一个部分，最初也是物理学中最重要的组成部分。
力学知识最早起源于人们对自然现象的观察和在生产劳动中积累的经验。
工程弹塑性力学课件
目 录
• 弹塑性力学基础 • 弹性力学基本理论 • 塑性力学基本理论 • 工程应用实例 • 工程弹塑性力学展望
01
弹塑性力学基础
弹塑性力学定义
弹塑性力学
弹塑性力学是一门研究材料在弹 性极限和塑性极限内应力、应变 行为的科学。它广泛应用于工程 领域，为各种结构设计和分析提
供理论基础。
有限差分法
将物体的位移表示为离散的点的 差分形式，通过求解这些点的位 移来近似求解整个物体的位移。
边界元法
将物体的边界离散化为有限个小 的单元，通过求解这些单元的力 学行为来近似求解整个物体的边 界力学行为。
03
塑性力学基本理论
塑性力学基本概念
01
02
03
塑性力学
塑性力学是研究材料在达 到屈服点后，发生不可逆 变形时行为和特性的学科 。
边界元法
通过在边界上离散化求解微分方程的方法，可以减少未知数的数量 ，提高求解效率。
有限差分法
将微分方程转化为差分方程，通过迭代求解的方法得到近似解。
04
工程应用实例
桥梁工程弹塑性分析
总结词
桥梁结构稳定性
详细描述
桥梁工程弹塑性分析主要关注桥梁结构的稳定性，通过分 析桥梁在不同载荷下的弹塑性响应，评估其承载能力和安 全性。
总结词
材料非线性
详细描述
桥梁工程中的材料多为金属或复合材料，这些材料的弹塑 性行为呈现出非线性特征。在分析过程中，需要考虑材料 在不同应力水平下的弹塑性变形和破坏。
总结词
结构优化设计
详细描述
基于弹塑性分析的结果，可以对桥梁结构进行优化设计， 提高其承载能力和稳定性，同时降低制造成本和维护成本 。
弹塑性力学第一章弹塑性力学绪论资料
１、弹塑性本构关系
本构关系是指材料内任意一点的应力－应变之间的关 系，是材料本身的物理特性所决定的。弹性本构关系 是广义胡克定律，而塑性本构关系远比弹性本构关系 复杂。在不同的加载条件下要服从不同的塑性本构关 系。塑性本构关系有增量理论和全量理论。
6
２．研究荷载作用下物体内任意一点的应力和变形 在荷载作用下，物体内会产生内力，因此通常
广泛地探讨了许多复杂的问题，出现了许多边缘分支：
各向异性和非均匀体的理论，非线性板壳理论和非线性
弹性力学，考虑温度影响的热弹性力学，研究固体同气
体和液体相互作用的气动弹性力学和水弹性理论以及粘
弹性理论等。磁弹性和微结构弹性理论也开始建立起来。
此外，还建立了弹性力学广义变分原理。这些新领域的
发展，丰富了弹性力学的内容，促进了有关工程技术的
弹塑性力学
1
第一章 绪 论
§1-1 弹塑性力学基本概念和主要任务 §1-2 弹塑性力学的发展史
§1-3 基本假设及试验资料 §1-4 简化模型
2
1.1 弹塑性力学基本概念和主要任务
一、弹性（塑性）变形，弹性（塑性）阶段
可变形固体在外力作用下将发生变形。根据变形 的特点，固体在受力过程中的力学行为可分为两个明 显不同的阶段：当外力小于某一极限值（通常称为弹 性极限荷载）时，在引起变形的外力卸除后，固体能 完全恢复原来的形状，这种能恢复的变形称为弹性变 形，固体只产生弹性变形的阶段称为弹性阶段；外力 超过弹性极限荷载，这时再卸除荷载，固体将不能恢 复原状，其中有一部分不能消失的变形被保留下来， 这种保留下来的永久变形就称为塑性变形，这一阶段 称为塑性阶段。
10
在这个时期，弹性力学的一般理论也有很大的发展。
弹塑性本构模型理论课件
。
材料屈服强度影响规律
屈服强度定义
材料开始发生明显塑性变形的最小应力值，反映了材料抵抗塑性变 形的能力。
屈服强度对弹塑性行为的影响
屈服强度越大，材料抵抗塑性变形的能力越强，进入塑性阶段所需 的应力水平越高，材料的塑性变形能力越差。
屈服强度的影响因素
材料的晶体结构、化学成分、温度、应变速率等都会影响屈服强度 的大小。
材料弹性模量影响规律
弹性模量定义
01
材料在弹性阶段内，应力与应变之比，反映了材料抵抗弹性变
形的能力。
弹性模量对弹塑性行为的影响
02
弹性模量越大，材料的刚度越大，相同应力作用下产生的弹性
变形越小，进入塑性阶段所需的应力水平越高。
弹性模量的影响因素
03
材料的晶体结构、化学成分、温度等都会影响弹性模量的大小
弹性阶段
材料在受力初期表现出弹性行为，应 力与应变呈线性关系，卸载后无残余 变形。
屈服阶段
当应力达到屈服强度时，材料进入塑 性阶段，应力不再增加但应变继续增 加，卸载后有残余变形。
强化阶段
材料在塑性阶段表现出应变硬化特性 ，随着塑性应变的增加，屈服强度逐 渐提高。
理想弹塑性模型
无强化阶段的弹塑性模型，屈服后应 力保持恒定，应变无限增加。
通过实验测定金属材料的弹性模量、屈服强度、硬化模量等参 数，为模拟提供准确数据。
利用有限元软件建立金属材料的弹塑性行为模型，进行加载、 卸载等模拟过程。
将模拟结果与实验结果进行对比，验证弹塑性本构模型在金属 材料行为模拟中的准确性和可靠性。
实例二：混凝土结构弹塑性损伤评估
损伤模型选择
针对混凝土结构的损伤特点，选择合适 的弹塑性损伤本构模型，如塑性损伤模
弹性与塑性力学简明教程课程设计
弹性与塑性力学简明教程课程设计一、引言弹性与塑性力学是力学中的重要分支，它涉及材料的形变、强度、破坏等基本问题，对于工程设计和材料研究具有重要意义。
本次课程设计旨在通过讲解弹性力学和塑性力学的基本概念、理论和实践应用，帮助学生深入了解弹性和塑性力学的基本原理，并掌握相关的计算和分析方法。
二、课程设计目标本次课程设计主要目标包括：•掌握弹性力学和塑性力学的基础概念和理论；•熟悉材料力学的相关计算方法和实践应用；•培养学生计算、分析和解决材料力学问题的能力。
三、课程设计内容本次课程设计主要涵盖以下内容：1. 弹性力学基础1.1 弹性体的概念和假设弹性力学是固体力学的重要分支，主要研究固体在受力下的变形和应力分布规律，以及回复到原始状态的能力。
在弹性力学中，将材料看作是由弹簧和球组成的弹性体，其特点是可以在一定范围内发生可逆形变。
1.2 应力、应变及其关系应力是指材料受到的单元面积的力，可以用F/A表示。
在力学中，应力是一个矢量量，其方向与受力面相同。
而应变则是材料在受力下产生的单位变形，通常用$\\Delta L/L$表示。
应力和应变之间的关系可以用杨氏模量、切模量等参数表示。
1.3 弹性本构关系弹性体的变形与应力之间存在一定的函数关系，这种关系称为弹性本构关系。
弹性本构关系通常用弹性模量表示，弹性模量是该材料在弹性阶段的恢复能力大小的参考值。
2. 塑性力学基础2.1 塑性体的概念和假设塑性力学是研究材料在超过一定应力后，出现不可逆形变的行为和过程。
与弹性体不同，塑性体在受力后会出现残余变形，在撤离力后不会完全恢复到原始状态。
塑性体的特性可以用屈服强度、断裂强度等指标来表示。
2.2 塑性体的变形状态和本构关系塑性体的变形状态通常用应力应变曲线来描述，其中塑性变形曲线是非线性的。
而塑性本构关系则是塑性体在不同应力下的变形与应变之间的关系，通常采用背景理论模型来描述。
四、课程设计方法本次课程设计采用课堂讲述和练习相结合的方式，重点讲解材料力学及相关概念和理论，帮助学生识别和计算材料的应力和应变，并进行材料力学的应用练习。
弹塑性力学第一章
1. INTRODUCTION1.1. Elasticity and plasticityEssential properties of deformable bodies subjected to external force or other external action are elastic and plastic behavior. As discussed in the discipline of mechanics of materials, that is, if the external forces producing deformation do not exceed a certain limit, that is so called yield criteria, the deformation disappears with the removal of the forces, then we consider this properties as elasticity. Otherwise, the deformation do not disappeared after removal of the forces, then we consider the property as plasticity. Another main difference between perfect elasticity and plasticity, in mathematical view, is a linear problem and a nonlinear problem, respectively.The atom forces in the material internal structure determine the mechanism of this two kind deformation. In fact, the internal structure of solid materials is always stable, on the basis of balance forces between atoms in solids. The suction force makes the atoms tend to close up to each other, and the repulsion force makes the atoms maintain some reasonable distance. In normal cases, these two forces are in Equilibrium State. Atomic structure will not be considered here. It will be interested in the macroscopically response only. When a solid body is subject to external loading, there are two different responses: elastic response and plastic response.Elastic deformation is a simple case easy to be understood. Plastic deformation is a more complex case. Figure 1.1 show the typical curve for a simple tension specimen of metal. The initial elastic region generally appears as a straight line OA, where Adefines the limit ofproportionality.On furtherstraining, the relation betweenstress and strain is no longerlinear but the material is stillelastic, and upon release of theload, the specimen reverts to itsoriginal length. The maximumstress point B at which the loadcan be applied without causingany permanent deformation Fig.1.1 Stress-strain diagram for an annealed cast-steelspecimen.(a) (b) (c) (d)Fig. 1.2 Stress-strain diagrams: (a) ductile metal, (b) cast iron and glass, (c) typical concrete or rock,(d) soils, triaxial compression. (Experimental data taken from reference [15].)defines the elastic limit . The point B is also called the yield point , for it marks the initiation of plastic or irreversible deformation. Usually, there is very little difference between the proportional limit, A, and the elastic limit, B. The behavior in the flat region BC is generally referer to as plastic flow . After C the material is exhibited strain hardening or also known as work hardening. Over some point D the material may be exhibit strain softening, as shown in figure 1.1.Now, consider the unloading from some point E beyond the yield point. The behavior is as indicated in figure 1.1. That is, when the stress is reduced, the strain decreases along an almost elastic unloading line OA .So we say that the unloading obey the elastic rule.Fig. 1.2 is the typical graph of stresses versus relative elongation (compression) for four kinds of materials.1.2. Basic hypothesisThe subject of theory of elasticity and plasticity is concerned with the deformation and motion of elastic-plastic bodies or structures under the action of applied load or other disturbances. The general assumptions employed in the study of theory of elasticity and plasticity are the same as those used in the mechanics of continuous medium. Therefore, throughout this book, we have: (a), continuum hypothesis, we shell suppose that the macroscopic behavior of the solid bodies is the same as if they were perfectly continuous in structure; and physical quantities such as the mass and momentum associated with the matter contained within a given small volume will be regarded as being spread uniformly and without any caves, cracks and discontinuous.(b), Uniform hypothesis and isotropic hypothesis, that is, the materials of elastic-plastic body is homogeneous and uniformly distributed over its volume so that the smallest element cut from the body possesses the same specific physical properties as the body. The elastic properties are the same in all directions. (c), small deformation hypothesis, in this book, we discuss small deformation only.1.3. Historical remarksBefore the engineering design of structures, one must not only know the internal force field acting on the structural material and but also know the material response. It means that we need give an analysis of the stresses, deformation and displacement of structural elements. Therefore we have to know the constitutive relation of materials. Seeking some methods to solve these problems, many researchers have continually studied for over 2000 years.The pioneering works of theory of elasticity and plasticity are given by Augustin Cauchy (1789-1857), Marie-Henri Navier (1785-1836), Leonard Euler (1707-1783), Simon Denis Poisson (1781-1840), Barre de Saint-venant (1797-1886), Nikolai Ivanobich Mushihailishibili (1691-1976),Ludwig Prandtl (1875-1858), Thomas Young (1773-1829), Richard von Mises (1883-1953), and many others.The general principles employed in the study of theory of elasticity and plasticity are the same as those used in studying the mechanics of continuous medium. Their basic formulations can be attributed primarily to the work of Euler and Cauchy. Euler first brought forward the general principles of linear and angular momentum balance for continuous media upon which rest all continuum mechanics, including theory elasticity and plasticity. Cauchy first given the concept of the stress and strain at a point and also found the general differential equations of motion or equilibrium of a continuum in term of the stress. Cauchy’s work on elasticity provided a detailedkinematical theory of strain and deformation. The extension of the mathematical theory to more general solids was first made by Navier in 1821 using special assumption concerning the molecular forces of elastic solids. Technical application began earliest in 1855, when Saint-Venant solved the problem of the twisting of prismatic bars and worked out detailed numerical results. Saint-Venant also took up the problem of plastic flow and developed two-dimensional governing equations which were subsequently generalized to three dimensions by M.Levy in 1871. In 1864 H. Tresca reported experiments to the French Academy, which suggested that the plastic yielding of a metal occured when the maximum shear stress reached to a critical value. After Tresca in 1913 R.V on Mises published his yield condition theory based on theory of distortional energy.In the last century (1901-2000) the theory of elasticity and plasticity have rapidly developed in theory and engineering practical. Many great contributors should be mentioned. Such as B.G.Galerkin, G.R.Kirchhoff, S.P.Timoshenko, grange, A.Nadai, A.A.Il’yushin, W.W.Sokolovsky, W.Prager, R.Hill, Kh.A.Rakhmatulin, G.I.Taylor, P.Perzyna, and many others.In this period, especially in last 50 years, theory of elasticity and plasticity rapidly developed in China too. Qian Xueshen, Qian Weichang, Hu Haichang ,Wang Ren, Huang Kezhi, Xu Benye,Wu Jike, Huang zhuping, Gao yuchen, Wang ziqiang, and many others developed the theory of elasticity and plasticity, specially in the engineering applications. In this period published many valuable books about elasticity and plasticity on theoretical and engineering application.。
应用弹塑性力学第二版教学设计
应用弹塑性力学第二版教学设计一、课程介绍本课程为大学本科专业课，适用于工程力学相关专业。
课程旨在介绍应用弹塑性力学的基础理论和应用技巧，探究材料的强度和变形性能，并且涵盖了数值模拟、结构分析等内容。
通过学习本课程，学生能够理解弹塑性力学的基本原理，掌握有限元分析的方法，从而为实际工程问题提供合理的解决方案。
二、课程目标1.理解弹塑性力学的基本概念和理论基础。
2.掌握有限元分析的方法，应用于实际工程问题的解决。
3.培养学生的实际应用能力和解决问题的能力。
4.启发学生的批判性思维和创新能力。
三、课程安排第一章弹塑性力学的基本概念和理论本章将介绍弹塑性力学的基本概念和理论基础，包括应力、应变、弹性模量、塑性流动理论以及材料的应力-应变曲线等内容。
第二章有限元分析的基本思想和方法本章将介绍有限元分析的基本思想和方法，包括网格划分、单元类型、位移插值函数、边界条件和材料属性等内容。
第三章弹性结构分析本章将介绍基于弹性力学原理的结构分析方法，包括应力分析、应变能原理、虚功原理等内容。
第四章弹塑性结构分析本章将介绍基于弹塑性力学原理的结构分析方法，包括受力分析、变形分析、屈曲分析等内容。
第五章有限元分析在结构工程中的应用本章将介绍有限元分析在结构工程中的应用，包括工程应用的实例，在分析过程中的注意事项等内容。
四、教学方法1.讲授法：针对课程理论知识部分，采用讲课的形式。
2.实践教学：针对课程应用和分析部分，采用上机实践教学的形式。
3.课堂讨论：重点讨论难点和疑问，并引导学生批判性思考和创新思维。
五、考核方式1.平时成绩：包括课堂表现、作业、实验报告等。
2.期中考试：占总评成绩的30%。
3.期末考试：占总评成绩的50%。
4.实践考核：占总评成绩的20%。
六、参考教材1.。
弹性与塑性力学教学设计
弹性与塑性力学教学设计前言弹性与塑性力学是一门涉及到物体形变行为的力学学科。
它在机械、土木等工程学科中都具有重要的应用。
如何设计一门深入浅出、易于理解的弹性与塑性力学课程是我们需要考虑的问题。
本文将从以下方面考虑，设计弹性与塑性力学课程：学科背景介绍、教学目标、教学方法、教学资源、实践环节与评估体系。
学科背景介绍弹性力学主要研究物体形变力学，它指的是物体受到外力作用后，发生形状变化，但最终状态是没有变形的力学现象。
塑性力学指的是物体受到外力作用后，发生形状变化，最终状态物体会有塑性变形。
教学目标本课程旨在通过弹性与塑性力学的基础知识，让学生掌握弹性和塑性变形的计算方法，具有以下核心目标：1.掌握力学问题分析的基本方法，以体会科学研究的逻辑。
2.了解材料的力学特性，如杨氏模量、泊松比、屈服点等。
3.掌握理解弹性与塑性变形的计算方法，能够分析力学问题。
4.实验操作能力的培养，能够进行有限元分析、力学实验等相关实践操作。
教学方法本篇教学设计主要采用“引导学生、激发思考” 的教学方式。
1.学生自学：课前先让学生通过PPT或者教材阅读等方式自学相关的基础知识，学生自己整理笔记。
2.课堂讲解：教师在课堂上讲解相关的重点、难点问题，并通过例题进行演示，引导学生思考并探究问题。
3.理论演练：通过课后练习或者模拟实验，让学生进行理论练习。
4.实践操作：在教学过程中，安排一些实践操作，如有限元分析、力学实验等。
教学资源1.教师教案：请教师在课前为学生准备详细的教学教案、课件PPT。
2.教学书籍：推荐教师选用李永久的《理论力学课程》或者高华祥的《材料本构理论及其应用》等教学书籍。
3.网络资源：推荐教师让学生通过网络获取更多相关资料，如学术论文、实验视频、技术文献等。
实践环节在本次课程设计中，安排一些实践操作如有限元分析、力学实验等，有助于学生加深对于理论知识的理解，同时能够培养学生的实践操作能力以及实验室管理和实验操作的技能。
弹塑性力学-01
材料力学的研究对象
2
弹性力学 • 研究对象－块体板壳
弹塑性力学 • 研究对象广泛 • 数学方法
3
构件的四项基本要求
•强 •刚 度：抵抗破坏（断裂或过量塑性变形）的 度：抵抗弹性变形的能力。
能力。 • 稳定性：保持其原有平衡状态的能力。
•韧
性：抵抗大塑性变形而不破裂的能力。
4
基本任务
• 研究可变形固体受到外载荷、温度变化及边界约束
1-2
弹塑性力学的基本任务
• 工程问题的对象是结构
• 结构的功能——承受载荷
• 结构的基本单元——构件
• 构件的属性 – 承受载荷、可变形、由固体材料构成
1
构件的种类——杆件、板、壳、块体
材料力学 • 研究对象－杆件
结构力学 • 研究对象－杆系
弹塑性力学 给出用材料力学和结构力学方 法无法准确求解问题的解法 给出材料力学和结构力学无法 给出的可靠性和精确度的度量
边界条件
边值问题 求解
对工程 问题作 出评价
20
1-5 弹塑性力学中的基本假设
• 按照物体的性质以及求解的范围，忽
略一些可以暂不考虑的因素，而提出 一些基本假设，使所研究的问题限制
在方便可行的范围以内。
21
一、连续性假设：物质密实地充满物体所在空间，毫无空隙。 （应力应变和位移等力学量可以用坐标的连续函数表示，可 用微积分数学工具） 二、均匀性假设：物体内，各处的力学性质完全相同。 三、各向同性假设：组成物体的材料沿各方向的力学性质完全 相同。（这样的材料称为各项同性材料；沿各方向的力学 性质不同的材料称为各项异性材料。） 四、小变形假设：材料力学所研究的构件在载荷作用下的变形 与原始尺寸相比甚小，故对构件进行受力分析时可忽略其 变形。 五、无初应力，物体原来处于一种无应力的自然状态，在外力 作用之前，物体内各点应力为零 22
弹塑性力学讲义-应变共26页
▪ 球形张量对应的应变状态只有体积等向膨胀或收缩，而没有形状畸变； ▪ 偏应变张量对应的变形状态，只有形状畸变而没有体积改变
变形协调方程
▪ 问题 根据几何方程去求位移分量，多组位移解 表明物体发生裂缝或者相互嵌入，产生不连续。 因此，6个应变分量不能任意给定，必须满足一定的协调关系，
▪ 位移单值连续的必要条件，对单连通体，其充分条件是
1yzn＝0 2
1 zxl+ 1 zym+(z)n＝0
2
2
应变张量的分解
x
1 2
yx
1 2
xy
y
1 2
xz
1 2
yz
0 0
0
0
0
0
1 2
zx
1 2 zy
z
0 0 0
x - 0
1 2 yx
1 2
zx
1 2 xy
y - 0
1 2
zy
1 2 xz
1 2
yz
z
0
位移
z
A'
A
u
r R
y
x
u(x、y、z) = rx Rx
v(x、y、z) = ry Ry
w(x、y、z) = rz Rz
应变
考察物体内任意一微小线段 ▪ 长度的相对改变 正（线）应变
l l l x
▪ 方向的相对改变 剪（角）应变
900
x
z
B
l
B'
l'
A A'
y
z
B
l
l'
B'
0
A 90
A'
▪ 变形分解 （1）随A点平动； AB AB （2）相对A点刚体转动； AB AB （3）纯变形。 AB AB。
弹塑性力学引论教学设计
弹塑性力学引论教学设计一、教学目的本门课程是力学中比较重要的一门课，主要内容是弹塑性物体的力学行为及其相关问题。
本门课程旨在培养学生对物理事物的感知能力、分析能力、计算能力以及实际应用能力。
具体来说，本门课程的目的是：1.了解和掌握弹塑性力学的基本理论和知识；2.掌握相关实际应用中弹塑性力学的解决思路与方法；3.能够分析并解决工程实际问题中的弹塑性力学问题。
二、教学内容1.弹性问题：应变、应力、弹性模量、泊松比、弹性平衡方程等；2.材料的塑性本构：理想弹塑性材料、屈服准则、塑性延性、硬化规律和本构方程；3.塑性问题：刚塑性体单轴拉伸和材料本身的塑性极限；4.应用实例：轴对称问题与平面问题。
三、教学方法本门课程采用对基础原理讲解和实际应用实例解析相结合的教学方法。
其中，对基础原理讲解采用理论教学与实例讲解相结合的方式，突出理论教学和实例讲解的结合，在实际应用中体现理论的实用性和指导性，树立理论和实际应用紧密结合的思想。
同时，为了增强学生的学习积极性，本门课程还将采用案例式教学、网上互动等现代教学手段，以提高学生的学习效果。
四、教学步骤教学步骤如下：1.弹性基础：导入弹性问题和弹性平衡方程，讲授应力和应变的概念；2.塑性本构：讲授理想弹塑性材料、屈服准则、塑性延性、硬化规律和本构方程；3.塑性基础：讲解刚塑性体单轴拉伸和材料本身的塑性极限；4.应用扩展：讨论轴对称问题与平面问题的实际应用，并提供解决方案；5.学生互动：收集学生对于本课程的意见和想法，并提供听课笔记以便巩固学习。
五、教学要求1.要求学生掌握弹塑性力学基本理论；2.要求学生了解弹塑性力学在工程实际问题中的应用；3.要求学生能够掌握实际应用中弹塑性力学的解决思路与方法；4.通过理论分析与实例分析，激发学生学习和研究的兴趣。
六、总结本文介绍了弹塑性力学引论教学设计的相关内容，主要是教学目的、内容、方法、步骤、要求等。
通过讲解弹塑性力学的基本理论和相关实际应用，让学生了解和掌握弹塑性力学的基本概念和处理方法，从而培养学生的分析能力和实际应用能力。
弹塑性力学第一章
当i 当i
jj时时（i,
j
1,2,3)
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§1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张 量基本知识
由 ij 定义9个
元素组成矩 阵为单位阵：
11 21 31
12 22 32
13 1
23
0
33 0
一个下标。
x3
3
u u1e1 u2e2 u3e3 ui ei
i 1
r
e3 x2
x1 e1 e2
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§1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、 张量基本知识
3. 张量：有大小，并具有多重方向性的量
如应力 、应变 ，张量的符号记法。
3 3
同样位移矢量u，用ui表示位移，ij 表示 应力 张量。
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§1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、 张量基本知识
x a y i
ij
j
x1 x2
a11 y1 a21 y1
a12 y2 a22 y2
a13 y3 a23 y3
x3
a31 y1
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§1-1 弹塑性力学的任务和对象
如果当外因去掉，变形体未能恢复原状并 存在永久变形，变形固体在外因作用时已进
入塑性阶段， 曲线不是单值函数。
当然变形体常遇到在物 体某一局部处于弹性、而另 一区域处于塑性状态，弹塑
性交织在一起 。
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弹塑性力学讲义
(1) 受力分析及静力平衡条件 (力的分析)
(2) 变形分析及几何相容条件 (几何分析)
(3) 受力与变形间的本构关系 (物理分析)
哈工大 土木工程学院
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01 绪 论
◆ 材料力学研究问题的基本方法：
选一维构 件整体为 研究对象
变形前，在某表 面绘制标志线； 变形后，观察总 结构件表面变形 的规律
1969年，Roscoe等人出版了《临界状态土力学》专著，这 是世界上第一本关于岩土塑性理论的专著，详细研究了土的 实用模型。
1982年，Desai等人也出版了一本《工程材料本构定律》
专著，进一步阐明了岩土材料变形机制，形成了较系统的岩 土塑性力学。
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01 绪 论
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01 绪 论
弹塑性力学的任务：根据对弹塑性体的实验观察结
果寻求物体在弹塑性状态下的变形规律，建立本构关系及 有关基本理论。
1．建立求解固体的应力、应变和位移分布规律的基本方程 和理论；
2．给出初等理论无法求解的问题的理论和方法，以及对初 等理论可靠性与精确度的度量；
样的结论，同时进一步 证明了各向同性体有两个独立的弹性
系数。
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01 绪 论
线性各向同性体弹性力学的发展时期：
1850年，基尔霍夫解决了平板的平衡和震动问题； 1855-1856年，圣维南提出了局部性原理和半逆解法； 1862年，艾里解决了弹性力学的平面问题； 19世纪70年代，建立了各种能量原理，并提出了这些原 理的近似计算方法。
01 绪 论
现代力学的发展及其特点 1、现代力学的发展
弹塑性力学-1 应力分析
斜截面上的应力 分量计算公式
如果作用在物体表面上的外面载荷用Fx，Fy，Fz表 示，而斜面为边界面，此时上式中的Pvx,Pvy,Pvz都 换成Fx，Fy，Fz，则上式亦可作为应力边界条件。
2 2 2 pvy pvz 总应力 pv pvx
正应力 v lPvx mP vy nP vz l 2 x m2 y n2 z 2lm xy 2mn yz 2nl zx 剪应力 v pv2 v2
对于动力学问题，还要给出初始条件。
弹塑性力学的基本解法： 根据基本方程求解 精确解法 即能满足弹塑性力学中全部方程的解。 近似解法 即根据问题的性质，采用合理的简化假 设，从而获得近似结果。 有限元数值分析方法 它不受物体或构件几何形状的限制，对于各种复 杂的物理关系都能算出正确的结果。
1-2 三维应力状态分析
z
pvz
斜截面的法线v与坐标轴 正向夹角余弦：
xy y yx xz yz zy zx pvx x z
x
pvy
cos(v, x) l , cos(v, y ) m, cos(v, z ) n
y
四面体平行于坐标轴的棱 边长度为dx，dy，dz 斜截面的面积为dS 静力平衡方程
3 基本方程与基本解法
弹塑性力学基本方程的建立需要从几何学、运动学 和物理学三方面来进行研究。 几何学方面 建立位移和应变之间的关系。 几何方程，位移边界条件 运动学方面 建立物体的平衡条件。 运动（或平衡）微分方程，载荷的边界条件
以上两类方程与材料的力学性质无关，属于普适方程。
物理学方面 建立应力与应变之间的关系。 本构方程
正应力 p cos cos2 剪应力 p sin sin cos
弹塑性力学一
坐标变换包括平移、旋转和反射。 对右手坐标系，平移和旋转变换后仍 保持右手系，反射变换则变成左手系。
对平移变换，一点的应力分量保持不变。 本节主要讨论坐标旋转变换时应力分量的变化 规律
考察物体内任一点o，设oxyz为旧坐标系，其 单位矢量为ex、ey、ez，相应的应力分量为
z z’
设ox’y’z’为新坐标，其单位 矢量为ex’、ey’ 、ez’ 。相应 的应力分量为
应力分量 单位:
应力的法向分量 应力的切向分量 MPa (兆帕)
—— 正应力 —— 剪应力
应力关于坐标连续分布的
应力分量沿坐标轴的分量： 用 表示坐标轴单位矢量
重要公式
(2) 一点的应力状态
通过一点P 的各个面上应力状况的集合 —— 称为一点的应力状态 x面的应力： x , xy , xz y面的应力： z面的应力：
F
y
0, Fz 0
可以得出其余两式。
斜面应力(Cauchy)公式
重要公式
设三角形ABC上的正应力为N , 则由投影可得 重要公式
将Cauchy公式代入，得
斜面应力矢量大小
重要公式 重要公式
斜面剪应力分量大小
重要公式
在物体的任意一点，如果已知六个应力分量
就可以求得任一斜面上的正应力和剪应力。就
y , yx , yz
z , zx , zy
用矩阵表示：
z
z
x xy xz yx y yz zx zy z
应力符号的意义：
x
O
xz xy y y yx yz x zx zy z
y yz P
弹性与塑性力学简明教程教学设计
弹性与塑性力学简明教程教学设计一、教学目标本课程旨在让学生了解弹性和塑性材料的特性，并掌握弹性和塑性材料的应力应变关系和材料变形行为，以及如何设计满足特定工程需求的结构。
二、教学大纲1. 弹性力学•弹性材料的特性•应力应变关系•弹性模量计算方法•应力和应变的平面状态方程•弹性力学应用2. 塑性力学•塑性材料的特性•应力应变关系•塑性模量计算方法•应力和应变的平面状态方程•塑性力学应用3. 弹塑性力学•弹塑性材料的特性•应力应变关系•应力和应变的平面状态方程•弹塑性力学应用4. 结构设计•弹性和塑性材料的应用•结构设计原则•结构优化设计三、教学方法1. 经验教学课程采用传统经验教学法，通过讲解理论知识，结合经典实例分析弹性和塑性材料的应用，让学生加深对弹性和塑性材料的理解。
2. 实验教学为了更好地帮助学生掌握课程内容，课程还配有实验教学环节，让学生通过实验了解材料的应力应变和变形行为，帮助他们更好地理解弹性和塑性材料。
四、教学评估课程评估将采用项目作业和期末论文的形式。
期末论文要求学生根据所学内容设计一个满足特定工程需求的结构，并对设计过程进行描述和分析。
项目作业要求学生应用所学知识，对一些常见的弹性和塑性材料进行实验，然后编写实验报告并进行展示。
五、教学资源教学资源将主要通过网络进行。
课程资料将以Markdown文本格式发布在学院的在线教学平台上，供学生在线阅读和下载。
此外，学生还可通过网络获取相关的资料和资源，加深对课程内容的理解。
六、教学进度安排课程内容授课时间弹性力学第1周-第2周塑性力学第3周-第4周弹塑性力学第5周-第6周结构设计第7周-第8周七、教学过程第1周-第2周弹性力学•弹性材料的特性•应力应变关系•弹性模量计算方法•应力和应变的平面状态方程•弹性力学应用第3周-第4周塑性力学•塑性材料的特性•应力应变关系•塑性模量计算方法•应力和应变的平面状态方程•塑性力学应用第5周-第6周弹塑性力学•弹塑性材料的特性•应力应变关系•应力和应变的平面状态方程•弹塑性力学应用第7周-第8周结构设计•弹性和塑性材料的应用•结构设计原则•结构优化设计八、教学反馈为了检验课程的实用性和教学效果，我们将收集学生的反馈，包括对课程内容和教学方法的评价，以及对涉及实验的反馈。
弹塑性力学 第一章 绪论
σ
o
ε
1
3. 塑性力学与弹性力学的关联和区别： 密切性——弹性力学中的一些基本假设、应力应变分析、与 材料物理性质无关的基本概念、连续介质力学的宏观方法等 与塑性力学一致； 区别性——（A）应力应变关系，即本构关系：弹性力学有 广义胡克定律统一的应力应变关系，而塑性力学没有；（B） 与弹性力学不同，塑性力学的方程是非线性的，变形与加载 历程有关，数学求解更加困难。 4. 塑性力学所研究的问题： (1) 以试验观察所得结果为出发点，建立塑性状态下变形的基本
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应用弹塑性力学
APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS
强化阶段： 此阶段材料抵抗变形的能力有所增强。 如要增加应变，必须增大应力。 材料的强化 强度极限b —对应点G (拉伸强度)， 最大名义应力。 强化阶段的卸载再加载规律： 若在强化阶段卸载，则卸载过程 - 关系为直线。 立即再加载时，-关系起初基本上 沿卸载直线上升直至当初卸载的荷载， 然后沿卸载前的曲线断裂—冷作硬化 现象。
松木顺纹拉伸、压缩和横纹压缩时的s —e 曲线 特点： a、顺纹拉伸强度很高，但受木节等缺 陷的影响波动； b、顺纹压缩强度稍低于顺纹拉伸强度， 但受木节等缺陷的影响小。 c、横纹压缩时可以比例极限作为其强 度指标。 d、横纹拉伸强度很低，工程中应避免 木材横纹受拉。 许用应力 [] 和弹性模量 E 均 应随应力方向与木纹方向倾角 不同而取不同数值。
p0.2
对应于p=0.2% 时的应力值
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应用弹塑性力学
APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS
塑性力学-绪论与第一章N
比例极限、弹性极限；线性弹性、弹性
§1.2
一种没有 明显的屈 服阶段， 例如一些 铝材的拉 伸试验曲 线。
一种有明显 的屈服阶段， 例如低碳钢 的拉伸试验 曲线。在这 种情形下， 在“屈服平 台”上应力 保持不变， 应变可以有 很大增长。
2. 如果应力超过弹性极限还继续加载，则完全卸载后应 变仍不为零，残留的应变称为塑性应变。记为 P 。 因此，弹性极限是产生不产生塑性应变的分界应力。
地震时混凝土构件中钢筋的塑性变形
切削中的塑性变形
图片引自周增文主编：《机械加工工艺基础》
材料的破坏伴随着塑性变形
（金属）材 料破坏区域 在破坏前经 历了明显的 （有时是非 常剧烈的） 塑性变形
材料的破坏伴随着塑性变形
（金属）材 料破坏区域 在破坏前经 历了明显的 （有时是非 常剧烈的） 塑性变形
尽管已取得很大成就，未解决的问题依然很多。特别是各种材料 的本构描述及小尺度下的材料塑性性质等方面。
塑性力学的应用
估计（或预测）工程结构的强度和寿命（塑 性力学通常会被用到）
寻找充分发挥材料的强度潜力的方法（例如 研究在哪些条件下可以允许结构中某些部 位进入塑性变形，以充分发挥材料的强度 潜力，减少用料，减轻结构自重 ）
线性强化
§1.3
2 线性强化弹塑性模型 （材料的强化率较高且强化率在一 定范围内变化不大）
为分析简便，将材料
E'
的应变强化假定为线性强
化、并假定拉伸和压缩的 s
屈服应力绝对值相同、强 E 化模量也相同。
s E'
s E
于是单调载荷下（即 不考虑卸载时）的应力应 变关系可以写为：
o
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C C---COMPUTE LOWER TRIANGULAR PART BY SYMMETRY C NL = NEL + NEL DO 200 I = 2,NEL DO 200 J = 1, I 200 S(I,J) = S(J,I) RETURN END
线性方程组求解 特点: 稀疏 对称 正定
d j 1 -U a j 1 j d j
U a j 1 .U a j 1 - U a j U a j .U a j
j
2. 预条件共轭梯度法 条件数：最大特征值与最小特征值之比 条件数越大，迭代收敛越困难 预条件目的：减小刚度矩阵的条件数 BKa =Br P = BK c = Br Pa = c
C C---COMPUTE JACOBIAN DETERMINANT C XSJ = XS(1,1)*XS(2,2) - XS(1,2)*XS(2,1) C C--- TRANSFORM NATURAL DERIVATIVES TO C--- X,Y DERIVATIVES C DO 300 I = 1,4 TEMP = (XS(2,2)*SHP(1,I) – XS(2,1)*SHP(2,I))/XSJ SHP(2,I) = (XS(2,2)*SHP(1,I) – XS(2,1)*SHP(2,I))/XSJ 300 SHP(1,I) = TEMP RETURN END
有限元程序
• 数据输入(前处理) • 求解计算 • 结果整理与输出(后处理)
数据输入(前处理)
• 单元几何: 单元编号; 节点坐标
• 材料性质
• 边界条件(约束)
• 荷载(体积力, 面积力)
求解计算
• 单元刚度矩阵(形函数矩阵，B矩阵，D矩阵，高斯积分)
• 单元荷载列阵
• 组集整体刚度矩阵和整体荷载列阵
• 方程组求解
结果整理（后处理）
• 等值线
• 矢量图
• 变形网格图
编程基本原则
• 结构化，模块化
• 可读性强
变量命名简单直观，适当注释
程序条理清楚，逻辑性强
• 节约内存，计算效率优化
FEAP程序
输入基本变量 D(10,NUMAT) F(NDF,NUMNP) ID(NDF,NUMNP) IE(NUMMAT) IX(NEN1,NUMEL) T(NUMNP) X(NDM, NUMNP) 材料性质数组 节点力数组 约束信息数组 各组材料对应的单元类型 单元编号及材料组号 节点温度 节点坐标
D矩阵
D11 D 12 0 D12 D11 0 0 0 D33
单元刚度矩阵
k ij BiT DB j
D11 N j, x Q j D12 N j, x D33 N j, y D12 N j, y D11 N j, y Q33 N j, x
B矩阵
N i, x Bi 0 N i, y
0
N i, y N i, x
D矩阵
D11 D 12 0 D12 D11 0 0 0 D33
SUBROUTINE SHAPEF(S, T, XL, XSJ, SHP) C--- shape function routine for 4-node isoparametric quadrilateral C SHP(1,I) = X-direivative fo I –node shape function C SHP(2,I) = Y-direivative fo I –node shape function C SHP(3,I) = shape function for I-node C XJ = Jacobian array C XSJ = Jacobian determinant C DIMENSION SHP(3,4), XL(2,4), XS(2,2), SI(4), TI(4) DATA SI,TI/-0.5, 0.5, 0.5, -0.5, -0.5, -0.5, 0.5, 0.5 / C C---COMPUTE SHAPE FUNCTIONS AND DERIVATIVES C--- IN NATURAL COORDINATES C
STRE
输出位移
输出应力
TANG
单元数据定位
计算整体刚度矩阵
XL（NDM, NEN) 单元内节点坐标数组 UL (NDM, NEN) LD(NDF*NEN) 单元内节点位移数组 方程编号
单元数组的计算
以平面四边形等参单元为例 形函数
Ni 1 1 i 1 i 4
x N i xi u N i ui
形函数导数
y N i yi v N i vi
N i, x , y , N i, x N i, x , y , N i, y
N i, x 1 y , - y , N i, N i, y J - x , x , N i,
C C---- FOR EACH J NODE COMPUTE DB = D*B C DO 100 J = 1, NEL DB11 = D11*SHP(1,J) DB12 = D12*SHP(2,J) DB21 = D12*SHP(1,J) DB22 = D11*SHP(2,J) DB31 = D33*SHP(2,J) DB32 = D33*SHP(1,J)
C---- SG,TG ARE INTERGRATION POINTS IN C---NATRUAL COORDINATES C---- WG IS THE INTERGARION WEIGHT C C---- FOR EACH INTERGRATION COMPUTE C---- CONTRIBUTION TO ELEMENT STIFFNESS C DO 100 L = 1,LINT CALL SHAPEF(SG(L),TG(L),XL, XSJ, SHP) DV = XSJ*WG(L) D11 = D(1)*DV D22 = D(2)*DV D33 = D(3)*DV
1
-1 -1
k Jdd
1 ij
i j i i
k W W f ,
i j
C----ISOPARAMETRIC ELEMENT STIFFNESS COMPUTATION C---- FOR ISOTROPCI LINEAR ELASTICITY C----PLANE STRESS AND PLANE STRAIN DIFFER ONLY IN C--- VALUES OF THE CONSTANTS D(1),D(2) ,D(3) SUPPLIED C C----FOR PLANE STRESS C--- D(1) = E/(1.-NU*NU) C---- D(2) = NU*D(1) C---- D(3) = E/(2.*(1.+NU)) C---- DV IS AN AREA WEIGHTING C---- LINT IS THE NUMBER FO INTEGRATION POINTS C---- NEL IS THE NUMBER OF NODES ON THE ELEMENT C---- S IS THE ELMENT
SUBROUTINE PGAUSS(L,LINT,R,Z,W) C C---- GAUSS POINTS AND WEIGHTS FOR TWO DIMENSIONS C DATA LR/-1,1,1,-1,0,1,0,-1,0/,LZ/-1,-1,1,1,-1,0,1,0,0/ LW/4/ LINT = L + L GO TO (1,2,3) L C---- 11 INTERGRATION 1 R(1) = 0. Z(1) = 0. W(1) = 4. RETURN
Q j DB j
N i, x Q11 N i, x Q31 k ij N i, y Q21 N i, x Q31
N i, x Q12 N i, y Q32 N i, y Q22 N i, x Q32
k
ij
e ij
e
t
C C---FOR EACH I NODE COMPUTE S = BT*DB C DO 100 I = 1,J S(I+I-1,J+J-1) = S(I+I-1,J+J-1) + SHP(1,I)*DB11+SHP(2,I)*DB31 S(I+I-1,J+J-1) = S(I+I-1,J+J ) + SHP(1,I)*DB12+SHP(2,I)*DB32 S(I+I ,J+J-1) = S(I+I ,J+J-1) + SHP(1,I)*DB31+SHP(2,I)*DB21 100 S(I+I , J+J) = S(I+I ,J+J ) + SHP(1,I)*DB32SHP(2,I)*DB22
C---- 2 2 INTERGRATION 2 G = 1./SQRT(3.) DO 21 I = 1,4 R(I) = G*LR(I) Z(I) = G*LZ(I) 21 W(I) = 1. RETURN C---- 3 3 INTERGRATION 3 G = 1./SQRT(0.6) H = 1./81. DO 31 I = 1,9 R(I) = G*LR(I) Z(I) = G*LZ(I) 31 W(I) = H*LW(I) RETURN END
解法: 直接解法 迭代解法
直接解法
1.
一维变带宽储存 带宽优化 对应关系: 每行(每列)的最大宽度(最大高度)， 对角线元素位置 PROFIL 子程序完成 2 求解 三角分解
Ka=r K=LU
1 L 12 L . Ln1 0 1 . ... ... ... 0 0 . 1