讲义一 递归的消除

递归算法具有两个特性：

(1) 递归算法是一种分而治之、把复杂问题分解为简单问题的求解问题方法，对求解某些复杂问题，递归算法分析方法是有效的。

（2）递归算法的时间效率差，其时间效率低。

为此，对求解某些问题时，我们希望用递归算法分析问题，用非递归算法求解具体问题； 消除递归原因：

其一：有利于提高算法时空性能，因为递归执行时需要系统提供隐式栈实现递归，效率低，费时。

其二：无应用递归语句的语言设施环境条件，有些计算机语言不支持递归功能，如FORTRAN 、C 语言中无递归机制 。

其三，递归算法是一次执行完，这在处理有些问题时不合适，也存在一个把递归算法转化为非递归算法的需求。

理解递归机制，是掌握递归程序技能必要前提。消除递归要基于对问题的分析，常用的有两类消除递归方法。

一类是简单递归问题的转换，对于尾递归和单向递归的算法，可用循环结构的算法替代。 另一类是基于栈的方式，即将递归中隐含的栈机制转化为由用户直接控制的明显的栈。利用堆栈保存参数，由于堆栈的后进先出特性吻合递归算法的执行过程，因而可以用非递归算法替代递归算法。

在大量复杂的情况下，递归的问题无法直接转换成循环，需要采用工作栈消除递归。工作栈提供一种控制结构，当递归算法进层时需要将信息保留；当递归算法出层时需要从栈区退出信息。

栈及其应用

一.栈的特点：

栈是一种线性表，对于它所有的插入和删除都限制在表的

同一端进行，这一端叫做栈的“顶”，另一端则叫做栈的“底”，

其操作特点是“后进先出”。

二.栈的抽象数据定义：

1、栈的数组表示 — 顺序栈

s 为栈、p 为指向栈顶的指针

type

stack=record

data:array[1..m] of datatype;

p:0..m

end;

var

s:stack; 2、栈的链接表示 — 链式栈

bottom

当栈的容量无法估计时，可采用链表结构

－－链式栈.

链式栈的栈顶在链头.

无栈满问题，空间可扩充.

进栈（插入）与出栈（删除）都在栈顶处执行.

三.栈的基本操作：

(1)进栈操作push(s,x)：往栈中推入元素x的项目；

若p=m则write('overflow')

否则p:=p+1;s[p]:=x;

(2)出栈操作pop(s)：将栈顶元素中弹出；

若p=0则write('underflow')

否则p:=p-1;

(3)读栈顶元素top(s,x)：把栈顶元素的值读到变量x中，栈保持不变；

若p=0则write('error')

否则x:=s[p];

(4)判栈是否为空sempty(s)：这是一个布尔函数，当栈sp中没有元素(即t=0)时，称它为空栈，函数取真值，否则值为假。

若p=0则sempty:=true

否则sempty:=false;

(5)链式栈的进栈、出栈操作

进栈：数据元素进栈时，先生成一个新结点P，置数据域为X、指针域指向原栈顶结点，栈顶结点指向P。（在链头插入一个新结点）

出栈：先从栈顶取出数据元素至X，然后把S结点指到它的直接后继结点，原S结点清空。（在链头删去一个结点）

例9、Ackermann函数

[问题描述]

已知Ackermann函数定义如下：

1、手工计算Ack(3,2) 和Ack(3,6)。

解答：29和509

2、写出计算Ack(m，n)的递归算法程序。

program ackermann1;

var m,n:longint;

function ack(m,n:longint):longint;

begin

if m=0

then ack:=n+1

else if n=0

then ack:=ack(m-1,1)

else ack:=ack(m-1,ack(m,n-1))

end;

begin

write('Input m,n:');

readln(m,n);

writeln(ack(m,n))

end.

3、写出计算Ack(m，n)的非递归算法程序。

program ackermann2;

type stack=array [1..8000,1..2] of longint;

var m,n,top:longint;

s:stack;

begin

write('Input m,n:');

readln(m,n);

s[1,1]:=m; s[1,2]:=n;

top:=1;

while top>0 do

begin

m:=s[top,1];

n:=s[top,2];

top:=top-1;

if (top=0) and (m=0) then

begin writeln(n+1); exit end;

if m=0

then s[top,2]:=n+1

else if n=0

then begin top:=top+1; s[top,1]:=m-1; s[top,2]:=1 end

else begin top:=top+1; s[top,1]:=m-1;

top:=top+1; s[top,1]:=m; s[top,2]:=n-1 end

end

end.

下面,我们就以ack(2,1)为例,开始分析递归调用树,采用一个栈记忆每次递归调用时的实参值，每个结点两个域{vm, vn}。对以上实例，递归树以及栈的变化如下：