布拉格方程的讨论
布拉格方程的意义
布拉格方程的意义
布拉格方程是一个为了解释晶体物理中X射线和中子衍射的方程。
该方程给出了晶体内散射的光路差，它定义了在具有空间周期性的结构中散射的相位差，以确定射线在晶体中的位置。
布拉格方程的形式为：
nλ = 2d sinθ
其中n是衍射阶数，λ是入射X射线或中子波长，d是晶面间距，θ是入射射线和晶面的夹角。
该方程表明，在满足特定条件下，晶体内的反射是有序的。
这种有序性导致了衍射图案，该模式被广泛用于解析晶体结构。
布拉格方程的意义可以从以下几个方面进行阐释：
1. 解析晶体结构
布拉格方程的最重要的应用是解析晶体结构。
通过衍射图案，可以确定晶体的最小结构单元，也就是晶胞。
由此可以确定晶体的空间群，原胞和其它晶体学参数。
2. 研究材料内部的性质
布拉格方程可以通过衍射图案来提供材料内部的信息。
例如，在用X 射线衍射进行分析时，晶胞中的原子分布会影响衍射图案的形状和强度。
因此，通过衍射图案，可以获得材料中原子的位置和晶胞大小等信息。
3. 应用于材料表征
应用布拉格方程可以非常准确地刻画材料的物理性质，同时可以用来评估材料的研发和设计。
例如，借助X射线的衍射技术，可以探测出材料的结晶性和非晶性质。
并且，这种方法的优势是可以无需破坏样品，也可以解析非晶态材料的结构。
总之，布拉格方程为研究晶体结构和探索材料内部性质提供了重要的理论支持，并且还有着广泛的应用。
这个方程的意义不仅限于晶体学领域，也扩展到了材料科学和物理学等领域。
对于物理学、材料科学及相关行业的人士来说，对这个方程有基本的了解和应用是非常必要的。
布拉格方程的表达式
布拉格方程的表达式
嘿，宝子们！今天咱们来唠唠布拉格方程。
这布拉格方程啊，在晶体学里那可是相当重要的存在呢。
它的表达式是2dsinθ = nλ。
这里面的每个字母都有它独特的意义哦。
先说这个“d”吧，它表示的是晶面间距。
啥是晶面间距呢？就好比是晶体里那些原子排列成的面之间的距离啦。
这个距离的大小对晶体的很多性质都有影响呢。
然后就是“θ”啦，这个是掠射角哦。
想象一下，有一束光或者别的什么射线照到晶体上，和晶面之间形成的这个角度就是掠射角啦。
“n”呢，它是一个整数，也就是所谓的衍射级数。
这个就像是给不同的衍射情况编个号似的，不同的n值对应着不同的衍射图案呢。
最后是“λ”，这个表示的是入射波的波长。
不管是X射线啊，还是别的什么波来探测晶体，这个波长就是这个波自身的一个特性啦。
这布拉格方程就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们理解晶体的结构。
比如说，我们想知道一个晶体里晶面的间距是多少，我们就可以用已知波长的射线去照射晶体，测量出掠射角，然后根据这个方程就可以算出晶面间距啦。
在实际的研究或者工业应用中，这个方程可帮了大忙呢。
比如说在材料科学里，我们要研究某种新型材料的晶体结构，就可以用
这个方程来分析。
又或者在地质学里，分析矿石的晶体结构的时候也能用到它。
概括来说呢，布拉格方程虽然看起来就这么简单的一个表达式，但是它背后蕴含的知识和能发挥的作用可大着呢。
宝子们要是对晶体学感兴趣的话，一定要好好掌握这个方程哦。
[]第三章X射线衍射原理
![[]第三章X射线衍射原理](https://img.taocdn.com/s3/m/8b17018f02d276a200292e37.png)
M
反 射 面 法 线
N
要在散射方向互相加强，程差应该是波长的整数倍，因此 在晶体产生衍射的条件是：
2dsinθ=nλ
2dsinθ=nλ
这就是著名的布拉格方程，它表示不同晶 面的反射线若要加强，必要的条件是相邻 晶面反射线的程差为波长的整数倍。
式中的θ为入射线（或反射线）与晶面的夹 角，称为掠射角或者反射角；入射线与衍 射线之间的夹角为2θ，称为衍射角；d为晶 面间距，λ为X射线的波长，n为反射的级。
小结
劳埃方程是利用衍射几何原理，利用晶体在三维 空间中周期排列的特点推导出来的一组方程； 劳埃方程中只有三个未知量，但实质上它包括四 个方程式，因此一般情况下是无解的；这意味着当 用单色 X 射线照射不动的单晶体时，一般不可能获 得衍射； 获得衍射的方法有劳埃法、旋转晶体法和粉末法； 其中用劳埃方程组可以计算劳埃法获得的衍射花样， 但是不能确定衍射的级和衍射斑的强度。
晶体可以看成是由平行的原子面堆垛而成，所 以晶体的衍射线也应当是由这些原子面的衍射 线叠加而得。因此问题变为，晶体在某些方向 能否产生衍射，取决于处于反射面位置的晶面 能否使反射线方向的X射线互相加强的问题。
既然出现衍射时，一定会有一个实际存在的晶 面，正好处于入射线和反射线的反射平面位置； 那么反过来，当用单色X射线照射固定的单晶体 时，能不能产生衍射，取决于晶体中所有晶体 学平面在反射线位置能否加强，如果有加强的， 就有可能产生衍射（还要考虑消光）。 而对于某一个平面来讲，能否产生衍射，取决 于各层原子面在它的反射方向能否加强。
A
B
C M
D
N
E F
O
P
Q
原子面的入射束和反射束具有如下的特点： 同光程的入射束经原子面反射以后，仍然是同光程的； 晶体要在反射方向产生衍射，只需要相邻的两层原子面 中任意两支光线的程差等于X射线波长的整数倍即可。
布拉格方程两种表达式
布拉格方程两种表达式
布拉格方程是物理学中一个重要的公式，它描述了光的衍射现象。
通过布拉格方程，我们可以计算出衍射光的角度和波长之间的关系。
布拉格方程的两种表达式如下：
1. 第一种表达式：
布拉格方程可以用以下方式表示：nλ = 2dsinθ。
其中，n是正整数，表示衍射的次序；λ是光的波长；d是晶格间距；θ是衍射角度。
这个方程告诉我们，当我们知道晶格间距和波长时，可以通过测量衍射角度来确定光的波长。
2. 第二种表达式：
布拉格方程还可以用以下方式表示：λ = 2dsinθ / n。
这个表达式告诉我们，当我们知道晶格间距和衍射角度时，可以通过测量衍射的次序来确定光的波长。
布拉格方程的发现对于理解光的衍射现象和研究晶体结构有着重要的意义。
通过布拉格方程，科学家们可以确定光的波长，从而推断出晶体结构的特性。
这项发现对于材料科学、化学、生物学等领域的研究都有着重要的应用价值。
在实际应用中，布拉格方程被广泛用于X射线衍射、中子衍射等技术中。
通过衍射实验，科学家们可以了解物质的晶体结构，从而揭
示物质的性质和行为。
布拉格方程的应用使得科学家们能够更好地理解和探索自然界中的奥秘。
布拉格方程是物理学中的重要公式，它描述了光的衍射现象并在科学研究中有着广泛的应用。
通过布拉格方程，我们可以推断出光的波长和晶体结构的特性，为材料科学、化学、生物学等领域的研究提供了重要的工具和方法。
布拉格方程的发现对于人类的科学探索有着重要的贡献，也为我们更好地理解自然界提供了帮助。
布拉格方程教学
布拉格父子的贡献
英国物理学家威廉·布拉格和其子威廉·亨利·布拉格通过对X射线衍射现象的研究，提出了著名的布拉格方程，为晶体学研究奠定了基础。
方程形式与参数解释
方程形式
布拉格方程表示为2dsinθ=nλ，其中d为晶面间距，θ为入射线、反射线与反射晶面之间的夹角，λ为波长，n为反射级数。
实验观测与理论计算结果对比
02
理论计算
根据布拉格方程和晶体结构理论，我们可以计算出晶面间距d和衍射角2θ等理论值。
03
结果对比
将实验观测结果与理论计算结果进行对比，可以验证布拉格方程的正确性和适用性，同时也可以评估实验数据的准确性和可靠性。通过对比实验观测和理论计算结果，我们可以更好地理解晶体结构和X射线衍射现象，并为后续的材料科学研究和应用提供有力支持。
实验观测
在实验中，我们可以通过X射线衍射仪观测到晶体的衍射图谱，从而得到晶面间距d和衍射角2θ等实验数据。
01
第三部分
波长λ与反射级数n影响因素分析
X射线波长λ选择依据及影响因素
影响因素
X射线波长λ受到多种因素的影响，包括X射线管的电压和电流、阳极材料的种类以及过滤片的使用等。这些因素的变化都会导致X射线波长的改变，从而影响布拉格方程的满足条件和衍射结果。
参数解释
d代表晶面间距，即相邻两个晶面之间的距离；θ代表入射线与反射晶面之间的夹角；λ代表X射线的波长；n代表反射级数，是一个整数。
适用范围及限制条件
适用范围
布拉格方程适用于X射线在晶体中的衍射现象，可以用来计算晶面间距、确定晶体结构等。
布拉格方程
dθ λ Z
Component analysis
三、布拉格方程的讨论
1、X射线衍射与可见光反射的区别
⑴ X射线衍射具有“选择反射”特性。即只有当λ 、 θ 、d三者之间满足布拉格方程时才能发生反射； 而可见光可以在任何入射角反射。
即d一定时，能够产生衍射的波长必须小于d的二倍。 ⑵ d ≧λ /2
即波长一定时，能够反射的晶面族其d 值必须大于 λ /2。
就是说，能在晶体中产生衍射的波长是有限度的；在 晶体中能够产生衍射晶面族也是有限的。
3、干涉面和干涉指数
将布拉格方程2d h k l sinθ = nλ 改写为 2（d h k l / n）sinθ =λ 令d HKL =d h k l/n，则：
§3-1 X射线在晶体中的衍射
• 主要是通过X射线在晶体中产生的衍射研究晶体结构 中的各类问题;
• 当一束X射线照射到晶体上时，首先被电子所散射， 每个电子都是一个新的辐射波源，向空间辐射出与 入射波同频率的球面波。
• 可以把晶体中每个原子都看作新的波源，它们各自 向空间辐射与入射波同频率的电磁波(球面波)。
• 1）用单色（标识）X射线照射转动的单晶 体，使反射球永远有机会与某些倒易阵点相交。 这种衍射方法称为转动晶体法。
• 2）用多色（连续）X射线照射固定不动的 单晶体这种实验方法称为劳厄法
• 3）用单色（标识）X射线照射多晶体试 样。多晶体中，由于各晶粒的取向是任 意分布的，因此，固定不动的多晶体就 其晶粒间的位向关系而言。相当于单晶 体转动的情况。在实验过程中尽管多晶 体试样不动；也完全可以使反射球有充 分的机会与某些倒易阵点相交，如果多 晶体转动；就更增加了这种巩会。这样 的实验方法总称为多晶体衍射方法
X射线衍射原理
二、布拉格方程
❖ 利用X射线研究晶体结构，主要通过X射线在晶体中产生的衍射。 ❖ X射线照射到晶体时，被晶体中电子散射，每个电子都是一个新
的辐射波源，向空间辐射出与入射波同频率的电磁波。 ❖ 把晶体中每个原子都看作一个新的散射波源，它们各自向空间辐
射与入射波同频率的电磁波；这些散射波干涉： 某些方向叠加，可得到衍射线； 某些方向互相抵消，无衍射线。
四、厄瓦尔德图解——布拉格方程的几何图解
r*HKL为反射晶面（HKL）的倒易矢量， r*HKL的起点（倒易原点O*） 为入射线单位矢量S0的终点，S0与（HKL）晶面反射线S的夹角2θ为
.1 定义：晶体点阵中平行于某轴向[uvw]的所有晶面称为[uvw]晶
带（注意和晶面族的区别）。 晶带轴：同一晶带中的。 2．晶带定律
如果某晶面（hkl）属于晶带[u，v，w]，必定有 hu+kv+lw=0 (a,b,c)为点阵基矢
证明一：晶带轴r的指向矢量为：r = ua + vb + wc
AB ＝ OB – OA ＝ b/K - a/H r*HKL·AB＝(Ha*1+Ka*2+La*3 )·(b/K-a/H)
r*HKL·AB ＝ 0
（二）倒易点阵
(2)倒易点阵与正点阵（HKL）晶面的对应关系
1)一个倒易矢量与一组（HKL）晶面对应，倒易矢量的大小与方向
表达了（HKL）在正点阵中的方位与晶面间距；
在晶轴a、b、c上截距分别为1/h、1/k、1/l。很显然a/h在晶面法线
nhkl上的投影就等于这个晶面的面间距d。即: dhkl=（a/h）·nhkl=（b/k）·nhkl
=（c/l）·nhkl 由右图可知，ABC面的单位法向量可表示 为：
x射线衍射原理
X射线在晶体中的衍射现象，实质上是大量的原子散射 波互相干涉的结果。每种晶体所产生的衍射花样都反映出 晶体内部的原子分布规律。
衍射花样的特征可以认为由两个方面内容组成：一方面 是衍射线在空间的分布规律（称之为衍射几何），由晶胞 的大小、形状和位向决定；另一方面是衍射线束的强度， 取决于原子的品种和它们在晶胞中的位置。
2OA (ss0)
考虑干涉加强方向，衍射矢量方程代入上式，有 2 O r H *A K 2 ( x j a L y j b z j c ) ( H * K * a L * b ) c
2 (Hj xKj y Lj)z
－ X射线衍射原理 第二节 X射线衍射强度
1、晶胞散射波合成与结构因子
－ X射线衍射原理 第二节 X射线衍射强度
1、小单晶散射波合成与干涉函数
小晶体合成散射波振幅为：
N 1 1 N 2 1 N 3 1
T A ce A le l F HK e i( k m L n a p b ) c A e F HK e im k La e in kb e i p kc
I e I e x I e z I 2 0 R 2 m e 4 2 c 4 s 2 i z n I 2 0 R 2 m e 4 2 c 4 s 2 i x n I 0 R 2 m e 4 2 c 4 ( 1 c 2 2 2 o ) s
这里，z＝90 º- 2； x=90 º。由此可知，电子散射在各个方向 的强度不同，非偏振X光被偏振化了，故称(1+cos22)/2为偏振因子。
－ X射线衍射原理 第二节 X射线衍射强度
二、原子散射强度
一个原子对X射线的散射是原子中各电子散射波总的叠加
（1）理想情形：一个原子中Z个电子集中在一点，则原子散射振幅Ea： Ea=Z字母，从而原子散射强度Ia：Ia=Z2Ie
固体化学X射线衍射布拉格方程
金属Fe的立方晶胞参数 的立方晶胞参数a=2.860 Å，求 例5: 金属 的立方晶胞参数 ， d110， d200， d211。 当 CuKα1 辐射 （ 辐射（ ， ， 。 λCuKα1 = 1.5406 Å）入射到该晶体时，计算 ）入射到该晶体时， 衍射面110, 200, 211对应的 对应的Bragg角。 衍射面 对应的 角
−1
干涉面 干涉面指数 = 1 1 0 干涉面指数= 2 2 0 干涉面指数 干涉面 干涉面指数 = 3 3 0 干涉面指数 干涉面指数= 4 4 0 干涉面 干涉面指数 = 5 5 0
2d(hkl)sinθn=nλ θ λ
2dHKL sin θ = λ
(110) n=5 (110) (110) n=3 (110) n=2 n=1 (110) n=4
2θ θ
550 n=1 110 220 330 440
2θ θ
（4）布拉格方程的应用 ） 布拉格方程 2dsinθ = n λ 表达了反射线 ( 或入射线）与晶面的夹角（ 或入射线）与晶面的夹角（ θ ）、晶面间 ）、入射线波长 距（d）、入射线波长（ λ）的相互关系。 ）、入射线波长（ ）的相互关系。
+ k2 + l2 1 h = d2 a2
2
立方晶体，任何平面 立方晶体， 间距公式: 组(hkl)的d间距公式 的 间距公式
已知 a=2.860 Å，则 d110 = 2.022 Å ， d200 = 1.430 Å d211 = 1.168 Å
已知λ 已知λ=1.5406Å, d110=2.023Å， ⇒ θ110 = 22.38° ， ° d200=1.430Å，⇒ θ200 = 32.58° ， ° d211=1.168Å，⇒ θ211 = 41.26° ， ° 2θ=44.77° θ ° d=2.023Å 110 hkl=110 2θ=82.53° θ ° d=1.168Å hkl=211 2θ=65.17° θ ° d=1.430Å 200 hkl=200
布拉格方程的物理意义
布拉格方程的物理意义1. 引言布拉格方程是研究晶体衍射现象的重要工具，它描述了入射光束和晶体间的衍射方程。
由两位科学家Max von Laue和William Lawrence Bragg在20世纪初提出和发展，布拉格方程在物理学和材料科学中具有广泛的应用。
本文将探讨布拉格方程的物理意义和应用。
2. 布拉格方程的推导布拉格方程可以通过布拉格法则的推导得到。
布拉格法则通过等效的光程差条件，揭示了衍射光的相干叠加的规律。
设入射光的波长为λ，入射角为θ，晶面的间距为d，光束的反射角为φ。
根据几何关系可得到下面的三角形关系：sinθ = λ / 2d将上述关系转化为布拉格方程的形式，可得：2dsinθ = nλ其中，n为正整数，表示衍射条纹的阶数。
3. 布拉格方程的物理解释布拉格方程的物理意义在于通过衍射现象揭示了晶体的结构信息。
当入射光线在晶体中传播时，会与晶体中原子的排列相互作用。
由于晶体具有周期性的结构，入射光线将被晶体中的原子周期性地散射和衍射。
布拉格方程中的左侧项表示光束在晶体中传播的距离，右侧项表示光束的衍射波长。
当两者相等时，发生共振现象，衍射条纹会出现。
这些衍射条纹的间距、亮度和角度可以提供有关晶体结构的重要信息。
4. 布拉格方程的应用布拉格方程在材料科学和物理学的许多领域有着广泛的应用。
以下列举了一些重要的应用：a. X射线衍射X射线衍射是最常见的应用之一。
通过研究晶体中的X射线衍射条纹，可以确定晶体的晶格结构和晶体平面的间距。
这对于材料科学和结晶学的研究具有重要意义。
b. 中子衍射中子衍射是研究原子和分子结构的重要方法之一。
与X射线不同，中子与晶体中的原子相互作用较强，因此能够提供更详细的原子位置和结构信息。
c. 电子衍射电子衍射在透射电子显微镜中有广泛应用。
通过控制电子束的入射角度和能量，可以研究材料的晶格结构、微观形貌以及晶体缺陷等。
d. 傅里叶光学布拉格方程也被用于解释傅里叶光学现象。
布拉格方程
一、劳厄方程：波长为λ的一束X射线，以入射角α投射到晶体中原子间距为a的原子列上（图1）。
假设入射线和衍射线均为平面波，且晶胞中只有一个原子，原子的尺寸忽略不计，原子中各电子产生的相干散射由原子中心点发出，那么由图1可知，相邻两原子的散射线光程差为：若各原子的散射波互相干涉加强，形成衍射，则光程差必须等于入射X射线波长λ德整数倍：式中：H为整数（0，1，2…），称为衍射级数。
入射X射线的方向S0确定后，则决定各级衍射方向α/角可由下式求得：由于只要α/角满足上式就能产生衍射，因此，衍射线将分布在以原子列为轴，以α/角为半顶角的一系列圆锥面上，每一个H值对应于一个圆锥。
在三维空间中，设入射X射线单位矢量S0与三个晶轴a，b，c的交角分别为α，β，γ。
若产生衍射，则衍射方向的单位矢量S与三个晶轴的交角α/，β/，γ/必须满足：a（COSα/－COSα）= Hλb（COSβ/－COSβ）= Kλc （COSγ/－COSγ）= Lλ式中H，K，L均为整数，a，b，c分别为三个晶轴方向的晶体点阵常数。
上式由劳厄在1912年提出，称为劳厄方程，是确定衍射方向的基本方程。
由于S 与三晶轴的交角具有一定的相互约束，因此，α/，β/，γ/不是完全相互独立，也受到一定关系的约束。
图1 一维原子列的衍射二、布拉格方程：X射线在传播途中，与晶体中束缚较紧的电子相遇时，将发生经典散射。
晶体由大量原子组成，每个原子又有多个电子。
各电子所产生的经典散射线会相互干涉，使在某些方向获得加强，另一些方向则被削弱。
电子散射线干涉的总结果被称为衍射。
可以回顾一个波的干涉的概念：振动方向相同、波长相同的两列波叠加，将造成某些固定区域的加强或减弱。
如若叠加的波为一系列平行波，则形成固定的加强和减弱的必要条件是：这些波或具有相同的波程（周相），或者其波程差为波长的整数倍（相当于周相差为2π的整数倍）。
排列在一直线上无穷多的电子称为电子列。
早期的研究指出，当X射线照射到电子列时，散射线相互干涉的结果，只能在某些力向上获得加强。
2019-分享教案-11布拉格方程
§2.2 布拉格方程X射线在传播途中，大量原子组成，每个原子又有多个电子。
各电子所产生的相干散射线会相互干涉，使某可以回顾一个波的干涉的概念：振动方向相同、波长相同的两列波叠加，将造成某些固定区域的加强或减弱。
如若叠加的波为一系列平行波，则形成固定的加强和减弱的这些波或具有相同的波程（相位），或者其波程差为波长的整数倍（相当于相位差为2π的整数倍）。
X射线照射到电子列时，散射线相互干涉的结果，只能在某些方向上获得加强。
在这些方向上，相邻电子散射线为同波程或波程差为波长的整数倍。
如果忽略同原子中各电子散射线的相位差，原子列对X射线的散射，其情况与电子列相同。
劳埃在1912年指出：当X射线照射晶体时，若要在某方向上能获得衍射加强，必须同时满足三个劳埃方程即：在晶体中三个相互垂直的方向上相邻原子散射线的波程差为波长的整数倍。
劳埃方程式从本质上解决了X射线在晶体中的衍射方向问题，但理论比较复杂，在使用上亦欠方便。
从实用角度来说，该理论有简化的必要。
晶体既然可看成由平行的原子面所组成，晶体的衍射线也应当是由原子面的衍射线叠加而得。
这些衍射线会由于相互干涉而大部分被抵消，但其中一些可得到加强。
更详细的研究指出，能够保留下来的那些衍射线，相当于某些网平面的反射线。
按照这一观格在1912年导出。
次年，俄国的结晶学家吴里夫也独立地导出了这一方程。
一、布拉格方程的导出先考虑同一晶面上的原子的散射线叠加条件。
如图2－7所示，一束平行的单色X 射线，以θ角照射到原子面AA上，如果入射线在LL1处为同相位，则面上的原子M1和M的散射线中，处于反射线位置的MN和M1N1在到达NN1时为同光程。
这说明同一晶面上的原子的散射线，在原子面的反射线方向上是可以互相加强的。
2图2－7 布拉格方程的导出X 射线不仅可照射到晶体表面，而且可以照射到晶体内一系列平行的原子面。
如果相邻两个晶面的反射线的波程差为波长的整数倍（或相位差为2π的整数倍），则所有平行晶面的反射线可一致加强，从而在该方向上获得衍射。
第九章广角X射线衍射
图9-5 X射线与物质的作用
9
在许多情况下，X射线衍射研究工作中使用单色X射线，而X 射线管发出的X射线有连续谱和特征谱。由于特征X射线产生尖锐 的衍射峰，而伴随的连续谱产生的是漫散射，影响特征X射线衍射 花样观察。因为非晶态的衍射本身就是漫散峰或晕环，连续谱漫 散射的存在，进入非晶散射，很难扣除，在这种情况下需要对X射 线进行单色化。
2. 空间点阵 在研究物质的晶体结构时，都是将其原子假定为刚性的小球， 彼此接触，紧密地按一定规则堆积在一起的。如图9-10所示的 NaCl晶体模型，为了便于分析原子在晶体中的排列规律，可以将 它抽象为一些几何点，每个点代表原子的中心，或是原子的振动 中心。这些几何点的空间排列称为空间点阵,或简称为点阵。
1
2
Sˊ ︳Sˊ- S ︱= 2sinq
q
q
d
2q
d
S’
20
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图9-14 X射线衍射示意图
二、布拉格方程的讨论 （一）产生衍射的条件 衍射只产生在波的波长和散射中间距为同一数量级或更小的
时候。 （二）反射级数与干涉指数 布拉格方程nλ=2dˊsinθ表示面间距为dˊ的（hkl）晶面上产生
及其强度之间的比例不变。
8
当前第8页\共有63页\编于星期五\22点
3. X射线与物质的作用
X射线在通过物质时都存在着某种程度的吸收，吸收作用 包括散射和“真吸收”。
散射分为相干散射和非相干散射。 真吸收是由于光电效应造成的。
入射X射线 I0, l0
当前第9页\共有63页\编于星期五\22点
热能
透射X射线 散射X射线(l=l0 相干散射和l1>l0非相干散射)
布拉格方程的推导
布拉格方程的推导布拉格方程是一个非常重要的物理方程，用于描述物质中晶体的X射线衍射现象。
本文将讲解布拉格方程的推导过程和含义。
1. X射线衍射和布拉格定理X射线衍射是一种研究物质晶体结构的方法，是当我们将一束X射线照射在物质晶体时，X射线被晶体中的原子所散射出来，在屏幕上形成一种特定的花样，这种花样就称为衍射花样。
布拉格定理描述了X射线衍射的原理，它认为晶体内部原子的排列结构会使得X射线在某些角度出现相长干涉，这个干涉现象就是X射线的衍射。
2. 布拉格方程的推导假设我们有一个晶体，在晶体内部两个原子间距离为d，我们将一束波长为λ的X射线投射在晶体上，X射线散射出来的波与晶体内的原子之间存在干涉现象。
这个干涉现象的条件是，从入射面I到距离d的点P的路程差应该为λ的整数倍，即：I到P的路程 - P到出射面F的路程= nλ路程可表示为距离乘以物质密度，因此可以得到：(1) ID + PD - FD = nλ其中，ID表示入射线I到点P的距离，PD表示点P到晶面的距离，FD表示点P到出射面F的距离。
可以通过简单的几何关系，发现ΔPOQ = ΔQMN，即：(2) sin(θ) = PM/PN = d/2d = 1/2其中，θ为入射线与出射线的夹角，PN为矢量d在晶面上的投影长度，PM为PN的一半，也即d/2。
因此，根据三角函数的定义，可以得到：(3) θ = arcsin(nλ/2d)这个式子就是布拉格方程，它从几何上描述了晶体对于射入的X射线的反射性质。
3. 布拉格方程的意义布拉格方程告诉我们，在得到X射线衍射花样中的某一个点时，我们能够可以根据它的位置、晶体的晶格类型和X射线的波长来计算晶体的晶格结构。
因此，布拉格方程是物理学家们在研究材料科学、生物医学和许多其他领域时非常实用的工具。
尽管布拉格方程是基于一些理性假设推导出来的，并且忽略了原子的一些量子效应，但它仍然是十分精确的，并在许多实验和工程应用中得到广泛的使用。
材料科学研究：布拉格方程图解与衍射方法
课程内容
一 布拉格方程的厄瓦尔德图解 二 布拉格方程的应用 三 常见的衍射方法
一、布拉格方程的厄瓦尔德图解
1
sin d
2d 2 1
二 、布拉格方程的应用
1．结构分析：由已知波长的X射线照射晶体，由测量衍射角求得对应的 晶面间距，获得晶体结构信息。 2．X射线谱分析：由已知晶面间距的分光晶体衍射从晶体中发射出来的 特征X射线，测定衍射角，算得特征X射线的波长，获得晶体成分信息。
三 、常见的衍射方法
1．劳埃法 采用连续X射线照射不动的单晶体以获得衍射花样的方法。
（a）原理图
（b）实验图
三 、常见的衍射方法Байду номын сангаас
2．转晶法
（a）原理图
（b）实验图
采用单一波长的X射线照射转动着的单晶体以获得衍射花样的方法。
三 、常见的衍射方法
3．粉末法 它是采用单色X射线照射多晶试样以获得多晶体衍射花样的方法。
（a）原理图
（b）实验图
三 、常见的衍射方法
三 、常见的衍射方法
3．粉末法 衍射锥
单色X射线
试样 2 2
2
柱状试样不转动受吸收对强度影响
S 单色X射线
H
D
O 2
衍射锥母 线
F
平板试样转动可忽略吸收对强度影响
三 、常见的衍射方法
X射线衍射
电子衍射
单晶体
多晶体
材料测试与分析技术-2.2 布拉格方程的讨论
产生衍射的条件： 2d 对于一定波长的X射线而言，晶体中能产生
衍射的晶面数是有限的。 对于一定晶体而言，在不同波长的X射线下，
能产生衍射的晶面数是不同的。
布拉格方程是X射线在晶体中产生衍射的 必要条件而非充分条件
2.2.2 反射级数和干涉指数 将布拉格方程中的n隐含在d中得到简化的布拉格方程：
面间距为dHKL的晶面并不一定是晶体中的原子面， 而是为了简化布拉格方程所引入的假想晶面，我
们把这样的假想晶面称为干涉面。把干涉面的面 指数称为干涉指数，通常用HKL来表示。
干涉指数与晶面指数的关系
斜方晶系晶面间距
dhkl
1h2 a2Biblioteka k2 b2
l2 c2
其对应干涉晶面面间距
d HKL
dhkl n
1 n
1
(nh)2 a2
(nk )2 b2
(nl)2 c2
1
H2 a2
K2 b2
L2 c2
1
h2 a2
k2 b2
l2 c2
H＝nh；K＝nk；L＝n1。干涉指数与晶面指数之间 的明显差别是干涉指数中有公约数，而晶面指数 只能是互质的整数。干涉指数是广义的晶面指数。
第二章 X射线运动学衍射理论
2.1 X射线衍射方向 2.2 布拉格方程的讨论 2.3 倒易点阵 2.4 X射线衍射强度
2.2 布拉格方程的讨论
2.2.1 产生衍射的条件 根据布拉格方程， sin不能大于1，故
对衍射而言，n的最小值为1，所以在任何可观测 的衍射角下，产生衍射的条件为：
第2章X射线衍射原理
X射线晶体学中最基本的方程之一
据此，每当我们观测到一束衍射线，由衍射角θ便可依据布拉格方程计算出 这组晶面的 晶面 间距（X射线波长已知）
布拉格方程的讨论
2.2.3 布拉格方程的讨论 1).选择反射：
仅当d、、三者满足布拉格方程时才能产 生衍射，所以布拉格方程是X射线在晶体中产 生衍射必须满足的基本条件； 意义： 建立了衍射线方向（即空间分布，表征） 与晶体结构（d表征）之间的关系
衍射仪法
基本原理： 表面与测角仪中心轴严格重合的试样 绕测角仪中心轴旋转。改变其表面与入 射单色X射线的夹角，同时计数器按2 沿测角仪圆同向运动，从而使晶体中所 有晶面产生的衍射线均被探测、记录。 最终得到试样的X射线衍射谱图（I－ 2）。
X射线衍射谱图（I－2）
140 120 100 80 60 40 20 0 15 25 35 45 55 65 75 85
n=1
n=1
d111
d333 d222
2d sinθ = λ
2.2.5 X射线衍射基本方法
（1）基本原理 基于布拉格方程： 通过连续改变 （使用白色 X 射线入 射），或者连续改变，以使被测晶体 中的各种晶面都有满足布拉格方程 （产生衍射的基本条件）的机会而产 生衍射线，从而使晶体特征均能在衍 射花样上得到反映。
2.2.4、布拉格方程的应用
1、已知入射x射线的波长，通过测量θ，求 晶面间距。并通过晶面间距，测定晶体结 构或进行物相分析。
2、已知晶体的d值。通过测量θ，求特征x 射线的λ，并通过λ判断产生特征x射线的元 素。这主要应用于x射线荧光光谱仪和电子 探针中元素分析。
练习题：
1、用CrKα辐射α－Fe多晶试样， 求最多可能得到几条衍射线? 解：查附录13和附录2：
布拉格方程和谢乐方程
布拉格方程和谢乐方程布拉格方程和谢洛方程是物理学中的两个重要方程，它们分别描述了光的衍射和散射现象。
这两个方程的提出，极大地推动了光学领域的发展，为我们理解光的行为和性质提供了重要的理论基础。
布拉格方程是由德国物理学家布拉格父子提出的，它描述了光通过晶体时的衍射现象。
布拉格方程可以用如下形式表示：nλ = 2d sinθ其中，n是正整数，表示衍射的级数；λ是光的波长；d是晶体的晶面间距；θ是入射光线与晶面的夹角。
布拉格方程告诉我们，当入射光线满足特定的角度和波长条件时，会出现衍射峰，从而产生衍射图样。
这个方程的提出，为研究晶体结构提供了重要的工具和方法。
谢洛方程是由德国物理学家谢洛提出的，它描述了光在粒子表面散射时的现象。
谢洛方程可以用如下形式表示：I(θ) = |f(θ)|^2其中，I(θ)是散射光的强度；f(θ)是散射振幅。
谢洛方程告诉我们，光在散射时会发生干涉现象，从而产生不同方向上的散射光。
这个方程的提出，为我们研究材料的光学性质提供了重要手段。
布拉格方程和谢洛方程的提出，不仅为光学理论的发展做出了重要贡献，也为实际应用提供了理论基础。
例如，在材料科学中，利用布拉格方程可以研究晶体的结构和性质，从而设计出更好的材料。
在生物医学中，利用谢洛方程可以研究细胞、分子等微小结构。
这些应用都离不开布拉格方程和谢洛方程的指导。
布拉格方程和谢洛方程是物理学中两个重要的方程，它们描述了光的衍射和散射现象。
这两个方程的提出，推动了光学领域的发展，为我们理解光的行为和性质提供了重要的理论基础。
通过研究和应用这两个方程，我们可以更深入地认识光学现象，从而为科学研究和实际应用提供更多的可能性。
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波长选定后，不同晶 系或同一晶系而晶胞 大小不同的晶体，其 衍射束的方向不同。 因此，研究衍射束的 方向，可以确定晶胞 的形状大小。 衍射束的方向与原子 在晶胞中的位置和原 子种类无关，只有通 过衍射束强度的研究， 才能解决这类问题。
布拉格方程的讨论------产生衍射的条件
2d sin n n sin 2d sin 1 n 1 2d n 1 d
2
只有面间距d ≥ λ/2的晶面才能产生 衍射。 例如一组晶面间距从大到小依次 为：2.02Å, 1.43Å, 1.17Å, 1.01 Å, 0.90 Å, 0.83 Å, 0.76 Å …… 当用波长为λkα=1.94Å的铁靶照射 时，只有四个d值大于λkα/2，故产 生衍射的晶面组有四个。 用铜靶进行照射，因λkα/2=0.77Å， 前六个晶面组都能产生衍射。
布拉格方程的讨论------选择反射
可见光的镜面反射效率可达100%，而X射线的 晶面反射效率却微乎其微。 可见光的镜面反射只发生在反射面上，而X射 线的晶面反射是晶体内部多个原子面的反射线 干涉的结果。 可见光以任意角度投射到镜面上时都可以产生 反射，即反射不受条件限制。而X射线是有选 择地反射：只有满足布拉格方程的入射角才能 发生反射。 因此，将X射线的晶面反射称为选择反射。
布拉格方程的讨论
选自第二章：X射线衍射方向 第4节:布拉格方程的讨论
内容回顾
晶体对X射线的衍射可视为晶体中某些 原子面对X射线的“反射”。 干涉加强的必要条件为： 2dsinθ=nλ
d-晶面间距 θ -衍射角 n-衍射级数 λ-X射线的波长
布拉格方程的讨论------选择反射
Ⅹ射线在晶体中的衍射，实质上是晶体中各原 子相干散射波之间互相干涉的结果。 但因衍射线的方向恰好相当于原子面对入射线 的反射，故可用布拉格定律代表反射规律来描 述衍射线束的方向。在以后的讨论中，常用 “反射”这个术语描述衍射问题，或者将“反 射”和“衍射”作为同义词混合使用。 但应强调指出，X射线在原子面的反射和可见 光的镜面反射不同。
布拉格方程的讨论------衍射线方向
2dsinθ=λ
波长选定后，衍射线束的方 向（用θ表示）是晶面间距d 的函数。 将晶面间距公式代入布拉格 方程得： 立方系
2
sin 2
4a 2
H
2
K 2 L2
斜方（正交）系 2 2 2 2 H K L 2 sin 2 2 2
布拉格方程的讨论------干涉面和干涉指数
2dsin n
d HKL d hkl n
L2 L3 L1 N2 N3
θ
A
θ
N1
d200 d200
C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
θ θ
B
D
d100
2d HKL sin
d hkl 2 sin n
n=2
晶面间距为dhkl的(hkl)晶面的n级反 射，可以看成由晶面间距为 dHKL=dhkl/n的HKL晶面的1级反射。
布拉格方程的讨论------干涉面和干涉指数
面间距为dHKL的晶面不一定是晶体中真实存在 的原子面，而是为了简化布拉格公式而引入的 反射面，常将它称为干涉面。 HKL称为干涉指数。 干涉指数有公约数n，而晶面指数只能是互质 的整数。当干涉指数也互为质数时，它就代表 一组真实的晶面，因此，干涉指数为晶面指数 的推广，是广义的晶面指数。