2017年江苏省南京市高三一模数学试卷

2017年江苏省南京市高三一模数学试卷
一、填空题（共14小题；共70分）
1. 若集合，，则 ______．
2. 复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为______．
3. 已知命题：，是真命题，则实数的取值范围是______．
4. 从长度为，，，的四条线段中任选三条，能构成三角形的概率为______ .
5. 某个容量为的样本的频率分布直方图如下，则在区间上的数据的频数为______．
6. 在如图所示的算法流程图中，若输出的的值为，则输入的的值为______ .
7. 在平面直角坐标系中，点为抛物线的焦点，则点到双曲线的渐近
线的距离为______．
8. 已知，为实数，且，，则 ______ ．（填“”、“”或“”）
9. 是直角边等于的等腰直角三角形，是斜边的中点，，向量
的终点在的内部（不含边界），则的取值范围是______．
10. 已知四数，，，依次成等比数列，且公比不为．将此数列删去一个数后得到的数
列（按原来的顺序）是等差数列，则正数的取值集合是______．
11. 已知棱长为的正方体，是棱的中点，是线段上的动点，则
与的面积和的最小值是______．
12. 已知函数的值域为，若关于的不等式的
解集为，则实数的值为______．
13. 若，均有成立，则称函数为函数到函数在区间
上的“折中函数”．已知函数，，，且是到在区间上的“折中函数”，则实数的取值范围为______．
14. 若实数，满足，则的取值范围是______．
二、解答题（共10小题；共130分）
15. 如图，在平面直角坐标系上，点，点在单位圆上，．
（1）若点，求的值；
（2）若，，求．
16. 如图，六面体中，面面，面．
（1）求证： 面；
（2）若，，求证：．
17. 如图，某城市有一条公路正西方通过市中后转向北偏东角方向的，位于该市的某大
学与市中心的距，且，现要修筑一条铁路，在上设一站，在上设一站，铁路在部分为直线段，且经过大学，其中，，．
（1）求大学在站的距离；
（2）求铁路段的长．
18. 设椭圆的离心率，直线与以原点为圆心、椭圆的
短半轴长为半径的圆相切．
（1）．求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于不同的两点，，以线段为直径作圆，若圆与轴相交于不同的两点，，求的面积；
（3）如图，，，，是椭圆的顶点，是椭圆上除顶点外的任意点，直线交轴于点，直线交于点，设的斜率为，的斜率为，求证：为定值．
19. 已知数列的前项和为，且满足．
（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）若，数列的前项和为．求满足不等式的的最小值．
20. 已知函数，，其中．设．
（1）若在处取得极值，且，求函数的单调区间；
（2）若时，函数有两个不同的零点，．
①求的取值范围；
②求证：．
21. 已知点，先对它作矩阵对应的变换，再作对应的变换，得到
的点的坐标为，求实数，值．
22. 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合，若直线的极坐标方
程为．
（1）把直线的极坐标方程化为直角坐标系方程；
（2）已知为椭圆：上一点，求到直线的距离的最小值．
23. 抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有，，，的正四面体，其底面落于桌面，记所得
数字分别为，．设为随机变量，若为整数，则；若为小于的分数，则；
若为大于的分数，则．
（1）求概率；
（2）求的分布列，并求其数学期望．
24. 已知．
（1）求及；
（2）试比较与的大小，并说明理由．
答案
第一部分
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
第二部分
15. （1）由点，所以，，，
所以．
（2）因为，所以．
，
所以，解得，因为，所以．
所以
16. （1）过点作，为垂足.
面面，又面面，面，
所以面．
又面，则．
又面，面，故 面．
（2）由（1）知面，面，
所以．
又，且，平面，则面．
因为面，
所以．
又，，面，则面．
又面，故可得．
17. （1）在中，，，且，，
由余弦定理可得：
所以可得：，大学在站的距离为．
（2）因为，且为锐角，
所以，
在中，由正弦定理可得：，即，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以，，
所以，
又因为，
所以．
在中，，由正弦定理可得：，即，
所以解得，即铁路段的长为．
18. （1）因为直线与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切．
，化为．
因为离心率，，联立解得，．
所以椭圆的方程为；
（2）把代入椭圆方程可得：，解得．
所以的方程为：．
令，解得，
所以，
所以．
（3）由（1）知：，，，
所以直线的方程为，
由题意，直线的方程为，，且，
由解得．
设，则由得．所以，
所以，．
所以．
设，则由，，三点共线得，．
即，
所以，
所以．
所以的斜率．
所以为定值．
19. （1）当时，，所以．
因为，，所以，，
两式相减得，，即，，
所以数列为以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，．
（2），
所以，
所以，
两式相减可得，所以，
所以可化为，
因为，，
所以满足不等式的的最小值为．
20. （1）因为，所以，
由可得．
又在处取得极值，
所以，
所以，，
所以，其定义域为，，，令，得，
当时，；当时，；
所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．
（2）当时，，其定义域为，
①由得，记，
由题意得与函数的图象有两个不同的交点，
又，，
令，且，得；令，且，得；
所以在上单调递减，在上单调递增；
所以当时，取得最小值，
又，所以当时，，而当时，，当时，，
因为与函数的图象有两个不同的交点，所以的取值范围是．
②由题意得，，
所以，，
所以，
则，不妨设，
要证，只需要证，
即证，
设（），则，
令（），
所以，
所以函数在上单调递增，
所以，即，
所以，即．
21. 由题意，，
由逆矩阵公式得，，
所以，即有，．
22. （1）直线的极坐标方程为，整理得：
即，则直角坐标系中的方程为，即；
（2）设，
所以点到直线的距离
则到直线的距离的最小值为．
23. （1）依题意，数对共有种，其中使为整数的有以下种：
，，，，，，，，
所以；
（2）随机变量的所有取值为，，，
有以下六种：
，，，，，，
故，
有以下种：，，
故，
所以，
所以的分布列为：的数学期望为．
24. （1）令，则，
令，则，
所以．
（2）要比较与的大小，只要比较与的大小．当时，，
当或时，，
当或时，．
猜想：当时，．下面用数学归纳法证明：
①由上述过程可知，当时，结论成立．
②假设当时结论成立，即，
两边同乘以，得，而
所以，
即时结论也成立．
由①②可知，当时，成立．
综上所述，当时，；
当或时，，；
当时，．。