2017年江苏省南京市高三一模数学试卷
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2017年江苏省南京市高三一模数学试卷
一、填空题(共14小题;共70分)
1. 若集合,,则 ______.
2. 复数(是虚数单位)是纯虚数,则实数的值为______.
3. 已知命题:,是真命题,则实数的取值范围是______.
4. 从长度为,,,的四条线段中任选三条,能构成三角形的概率为______ .
5. 某个容量为的样本的频率分布直方图如下,则在区间上的数据的频数为______.
6. 在如图所示的算法流程图中,若输出的的值为,则输入的的值为______ .
7. 在平面直角坐标系中,点为抛物线的焦点,则点到双曲线的渐近
线的距离为______.
8. 已知,为实数,且,,则 ______ .(填“”、“”或“”)
9. 是直角边等于的等腰直角三角形,是斜边的中点,,向量
的终点在的内部(不含边界),则的取值范围是______.
10. 已知四数,,,依次成等比数列,且公比不为.将此数列删去一个数后得到的数
列(按原来的顺序)是等差数列,则正数的取值集合是______.
11. 已知棱长为的正方体,是棱的中点,是线段上的动点,则
与的面积和的最小值是______.
12. 已知函数的值域为,若关于的不等式的
解集为,则实数的值为______.
13. 若,均有成立,则称函数为函数到函数在区间
上的“折中函数”.已知函数,,,且是到在区间上的“折中函数”,则实数的取值范围为______.
14. 若实数,满足,则的取值范围是______.
二、解答题(共10小题;共130分)
15. 如图,在平面直角坐标系上,点,点在单位圆上,.
(1)若点,求的值;
(2)若,,求.
16. 如图,六面体中,面面,面.
(1)求证: 面;
(2)若,,求证:.
17. 如图,某城市有一条公路正西方通过市中后转向北偏东角方向的,位于该市的某大
学与市中心的距,且,现要修筑一条铁路,在上设一站,在上设一站,铁路在部分为直线段,且经过大学,其中,,.
(1)求大学在站的距离;
(2)求铁路段的长.
18. 设椭圆的离心率,直线与以原点为圆心、椭圆的
短半轴长为半径的圆相切.
(1).求椭圆的方程;
(2)设直线与椭圆交于不同的两点,,以线段为直径作圆,若圆与轴相交于不同的两点,,求的面积;
(3)如图,,,,是椭圆的顶点,是椭圆上除顶点外的任意点,直线交轴于点,直线交于点,设的斜率为,的斜率为,求证:为定值.
19. 已知数列的前项和为,且满足.
(1)证明:数列为等比数列,并求数列的通项公式;
(2)若,数列的前项和为.求满足不等式的的最小值.
20. 已知函数,,其中.设.
(1)若在处取得极值,且,求函数的单调区间;
(2)若时,函数有两个不同的零点,.
①求的取值范围;
②求证:.
21. 已知点,先对它作矩阵对应的变换,再作对应的变换,得到
的点的坐标为,求实数,值.
22. 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与轴的正半轴重合,若直线的极坐标方
程为.
(1)把直线的极坐标方程化为直角坐标系方程;
(2)已知为椭圆:上一点,求到直线的距离的最小值.
23. 抛掷甲,乙两枚质地均匀且四面上分别标有,,,的正四面体,其底面落于桌面,记所得
数字分别为,.设为随机变量,若为整数,则;若为小于的分数,则;
若为大于的分数,则.
(1)求概率;
(2)求的分布列,并求其数学期望.
24. 已知.
(1)求及;
(2)试比较与的大小,并说明理由.
答案
第一部分
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
第二部分
15. (1)由点,所以,,,
所以.
(2)因为,所以.
,
所以,解得,因为,所以.
所以
16. (1)过点作,为垂足.
面面,又面面,面,
所以面.
又面,则.
又面,面,故 面.
(2)由(1)知面,面,
所以.
又,且,平面,则面.
因为面,
所以.
又,,面,则面.
又面,故可得.
17. (1)在中,,,且,,
由余弦定理可得:
所以可得:,大学在站的距离为.
(2)因为,且为锐角,
所以,
在中,由正弦定理可得:,即,
所以,
所以,
所以,
因为,
所以,,
所以,
又因为,
所以.
在中,,由正弦定理可得:,即,
所以解得,即铁路段的长为.
18. (1)因为直线与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切.
,化为.
因为离心率,,联立解得,.
所以椭圆的方程为;
(2)把代入椭圆方程可得:,解得.
所以的方程为:.
令,解得,
所以,
所以.
(3)由(1)知:,,,
所以直线的方程为,
由题意,直线的方程为,,且,
由解得.
设,则由得.所以,
所以,.
所以.
设,则由,,三点共线得,.
即,
所以,
所以.
所以的斜率.
所以为定值.
19. (1)当时,,所以.
因为,,所以,,
两式相减得,,即,,
所以数列为以为首项,为公比的等比数列,
所以,所以,.
(2),
所以,
所以,
两式相减可得,所以,
所以可化为,
因为,,
所以满足不等式的的最小值为.