高中数学人教新课标A版必修2第三章直线与方程3.2.1直线的点斜式方程B卷

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2020-2021学年人教A版高中数学必修2:3.2.1直线的点斜式方程

2020-2021学年人教A版高中数学必修2:3.2.1直线的点斜式方程

课时分层作业(十八) 直线的点斜式方程(建议用时:45分钟)一、选择题1.过点(1,-2)且斜率为0的直线方程为( )A.x =1B .y =1 C.x =-2 D .y =-2D [由点斜式得y +2=0×(x -1),整理得y =-2,故应选D.]2.直线y =ax -1a 的图象可能是( )A B C DB [由y =ax -1a 可知,斜率和截距必须异号,故B 正确.]3.直线y -2m =m (x -1)与y =x -1垂直,则直线y -2m =m (x -1)过点( )A.(-1,2)B .(2,1) C.(1,-2) D .(1,2)C [直线y -2m =m (x -1)的斜率为m ,由于两条直线垂直,故m =-1.故直线方程为y +2=-(x -1),过点(1,-2).]4.经过点(0,-1)且与斜率为-23的直线平行的直线方程为( )A.2x +3y +3=0B .2x +3y -3=0 C.2x +3y +2=0 D .3x -2y -2=0A [∵直线的斜率为-23,与直线平行的直线的斜率也为-23,∴经过点(0,-1)且斜率为-23的直线,其斜截式方程为y =-23x -1,整理得2x +3y +3=0,故选A.]5.直线l 的倾斜角为45°,且过点(0,-1),则直线l 的方程是( )A.x -y +1=0 B .x -y -1=0C.x +y -1=0 D .x +y +1=0B [直线斜率为1,又过点(0,-1),故其方程为y =x -1,即x -y -1=0.]二、填空题6.直线y =x +m 过点(m ,-1),则其在y 轴上的截距为________.-12 [将点(m ,-1)代入并解得m =-12,所以直线方程为y =x -12.故其在y轴上的截距为-12.]7.在y 轴上的截距为2,且与直线y =-3x -4平行的直线的斜截式方程为________.y =-3x +2 [∵直线y =-3x -4的斜率为-3,所求直线与此直线平行,∴斜率为-3.又截距为2,∴由斜截式方程可得y =-3x +2.]8.设点A (-1,0),B (1,0),直线2x +y -b =0与线段AB 相交,则b 的取值范围是________.[-2,2] [b 为直线y =-2x +b 在y 轴上的截距,如图,当直线y =-2x +b 过点A (-1,0)和点B (1,0)时,b 分别取得最小值和最大值.∴b 的取值范围是[-2,2].]三、解答题9.求倾斜角是直线y =-3x +1的倾斜角的14,且分别满足下列条件的直线方程.(1)经过点(3,-1);(2)在y 轴上的截距是-5.[解] ∵直线y =-3x +1的斜率k =-3,∴其倾斜角α=120°,由题意,得所求直线的倾斜角α1=14α=30°,故所求直线的斜率k1=tan 30°=3 3.(1)∵所求直线经过点(3,-1),斜率为3 3,∴所求直线方程是y+1=33(x-3).(2)∵所求直线的斜率是33,在y轴上的截距为-5,∴所求直线的方程为y=33x-5.10.根据条件写出下列直线方程的斜截式.(1)经过点A(3,4),在x轴上的截距为2;(2)斜率与直线x+y=0相同,在y轴的截距与直线y=2x+3的相同.[解](1)法一:易知直线的斜率存在,设直线方程为y=k(x-2),∵点A(3,4)在直线上,∴k=4,∴y=4×(x-2)=4x-8,∴所求直线方程的斜截式为y=4x-8.法二:由于直线过点A(3,4)和点(2,0),则直线的斜率k=4-03-2=4,由直线的点斜式方程得y-0=4×(x-2)=4x-8,∴所求直线方程的斜截式为y=4x-8.(2)因为直线x+y=0的方程可化为y=-x,斜率为-1,直线y=2x+3在y轴上的截距为3,所以所求直线方程的斜截式为y=-x+3.1.直线y=kx+b经过第一、三、四象限,则有() A.k>0,b>0B.k>0,b<0C.k<0,b>0 D.k<0,b<0B[由于直线过第一、三、四象限,故k>0,b<0.]2.与斜率为-23的直线平行,且与x ,y 轴交点的横、纵坐标之和为56的直线l的方程为________.y =-23x +13 [由题意知,直线l 的斜率为-23,设其方程为y =-23x +b ,分别令x =0,y =0,得直线在y ,x 轴上的截距分别为b ,32b ,则b +32b =56,解得b =13,故直线l 的方程为y =-23x +13.]莘莘学子,最重要的就是不要去看远方模糊的,而要做手边清楚的事。

2021_2022年高中数学第三章直线与方程2

2021_2022年高中数学第三章直线与方程2

8.已知直线l的斜率为6.且在两坐标轴上的截距之和为10,求 此直线l的方程.
解法1:设直线方程为y=6x+b,
令x=0,得y=b,令y=0得
xb, 6
由题意 b b =10.∴b=12.
6
所以所求直线方程为6x-y+12=0.
题型二:直线的斜截式方程
9.求斜率为 3 , 且与两坐标轴围成的三角形的周长为12的直 4
2
∴直线l的方程为y=- 1 x,即x+2y=0.
2
(2)当直线在y轴上的截距不为零时,由题意可设直线l的方程
为 x y 1,
3b b
又直线l过点P(-6,3),
∴ 6 3 1
,解得b=1.
3b b
∴直线l的方程为
x +y=1.源自3即x+3y-3=0.
综上所述,所求直线l的方程为x+2y=0或x+3y-3=0.
技 能 演 练(学生用书P71)
技能演练
基础强化
1.过两点(2,5),(2,-5)的直线方程是( ) A.x=5 B.y=2 C.x=2 D.x+y=2
答案:C
2.在x,y轴上截距分别为4,-3的直线方程是( )
A. x y 1 B. x y 1
4 3
3 4
C. x y 1 D. x y 1
名师讲解
1.直线的两点式方程
如果直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2,且y1≠y2),则直线l的 斜率为 k y2 y1 , 由直线的点斜式方程得
x2 x1
y
y1
y2 x2
y1 x1
(
x
x1
),即

高中数学 第03章 直线与方程 专题3.2.1 直线的点斜式方程 3.2.2 直线的两点式方程试题

高中数学 第03章 直线与方程 专题3.2.1 直线的点斜式方程 3.2.2 直线的两点式方程试题

直线的点斜式方程3.2.2 直线的两点式方程一、直线的点斜式方程 1.直线的点斜式方程的定义已知直线l 经过点000(,)P x y ,且斜率为k ,则直线l 的方程为. 这个方程是由直线上一定点及其斜率确定的,因此称为直线的,简称.当直线l 的倾斜角为0°时(如图1),tan 00=,即k =0,这时直线l 与x 轴平行或重合,l 的方程就是00y y -=,或0y y =.当直线l 的倾斜角为90°时(如图2),直线没有斜率,这时直线l 与y 轴平行或重合,它的方程不能用点斜式表示.因为这时l 上每一点的横坐标都等于0x ,所以它的方程是00x x -=,或0x x =.深度剖析(1)当直线的斜率存在时,才能用直线的点斜式方程.(2)当k 取任意实数时,方程00()y y k x x -=-表示过定点00(,)x y 的无数条直线.2.直线的点斜式方程的推导如图,设点(,)P x y 是直线l 上不同于点000(,)P x y 的任意一点,根据经过两点的直线的斜率公式得y y k x x -=- (1),即00()y y k x x -=- (2).注意方程(1)与方程(2)的差异:点0P 的坐标不满足方程(1),但满足方程(2),因此,点0P 不在方程(1)表示的图形上,而在方程(2)表示的图形上,方程(1)不能称为直线l 的方程.上述过程可以证明直线上每个点的坐标都是方程(2)的解.对上面的过程逆推,可以证明以方程(2)的解为坐标的点都在直线l 上,所以这个方程就是过点0P ,斜率为k 的直线l 的方程. 二、直线的斜截式方程 1.直线的斜截式方程的定义我们把直线l 与y 轴交点(0,)b 的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的.如果直线l 的斜率为k ,且在y 轴上的截距为b ,则方程为(0)y b k x -=-,即叫做直线的,简称.当b =0时,y kx =表示过原点的直线;当k =0且b ≠0时,y b =表示与x 轴平行的直线;当k =0且b =0时,0y =表示与x 轴重合的直线.深度剖析(1)纵截距不是距离,它是直线与y 轴交点的纵坐标,所以可取一切实数,即可为正数、零或负数. 纵截距也可能不存在,比如当直线与y 轴平行时.(2)由于有些直线没有斜率,即有些直线在y 轴上没有截距,所以并非所有直线都可以用斜截式表示.2.直线的斜截式方程的推导已知直线l 在y 轴上的截距为b ,斜率为k ,求直线l 的方程.这个问题相当于给出了直线上一点(0,)b及直线的斜率k ,求直线的方程,是点斜式方程的一种特殊情况,代入点斜式方程可得(0)y b k x -=-,即y kx b =+. 三、直线的两点式方程 1.直线的两点式方程的定义已知直线l 过两点111222(,),(,)P x y P x y ,当1212,x x y y ≠≠时,直线l 的方程为.这个方程是由直线l 上的两点确定的,因此称为直线的两点式方程,简称两点式. 2.直线的两点式方程的推导已知直线l 过两点111222(,),(,)P x y P x y (其中1212,x x y y ≠≠),此时直线的位置是确定的,也就是直线的方程是可求的.当12x x ≠时,所求直线的斜率2121y y k x x -=-.任取12,P P 中的一点,例如取111(,)P x y ,由点斜式方程,得211121()y y y y x x x x --=--,当12y y ≠时,可写为112121y y x x y y x x --=--.四、直线的截距式方程1.直线的截距式方程的定义已知直线l 过点(,0)A a ,(0,)B b (0,0a b ≠≠),则由直线的两点式方程可以得到直线l 的方程为___________.我们把直线l 与x 轴的交点的横坐标a 叫做直线在x 轴上的_____________,此时直线在y 轴上的截距是___________.这个方程由直线l 在两个坐标轴上的截距a 和b 确定,因此叫做直线的截距式方程,简称截距式. 2.直线的截距式方程的推导已知直线l 与x 轴的交点为(,0)A a ,与y 轴的交点为(0,)B b ,如图,其中0,0a b ≠≠.将两点(,0)A a ,(0,)B b 的坐标代入两点式,得000y x a b a --=--,即1x ya b+=. 五、中点坐标公式若点12,P P 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ,且线段12P P 的中点M 的坐标为(,)x y ,则____________________x y =⎧⎨=⎩.此公式为线段12P P 的中点坐标公式. 六、直线系方程 1.过定点的直线系方程当直线过定点000(,)P x y 时,我们可设直线方程为00()y y k x x -=-.由此方程可知,k 取不同的值时,它就表示不同的直线,且每一条直线都经过定点000(,)P x y ,当k 取遍所允许的每一个值后,这个方程就表示经过定点0P 的许多直线,所以把这个方程叫做过定点0P 的直线系方程.由于过点000(,)P x y 与x 轴垂直的直线不能被00()y y k x x -=-表示,因此直线系00()y y k x x -=- (k ∈R )中没有直线0x x =. 2.平行直线系方程在斜截式方程(0)y kx b k =+≠中,若k 一定,而b 可变动,方程表示斜率为k 的一束平行线,这些直线构成的集合我们称之为平行直线系.K 知识参考答案:一、00()y y k x x -=- 点斜式方程 点斜式 二、截距 y kx b =+斜截式方程 斜截式三、112121y y x x y y x x --=-- 四、1x ya b+=截距 b 五、122x x +122y y +K —重点直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程,根据直线方程判定两直线的平行与垂直K —难点直线系问题、直线方程的综合应用K —易错忽略直线重合的情形或直线方程成立的条件致错、忽略直线方程的局限性致错1.直线的点斜式方程用点斜式求直线的方程,确定直线的斜率和其上一个点的坐标后即可求解. 【例1】已知点(3,3)A 和直线l :3542y x =-.求: (1)过点A 且与直线l 平行的直线方程; (2)过点A 且与直线l 垂直的直线方程.【例2】已知在第一象限的△ABC 中,A (1,1),B (5,1),且∠CAB =60°,∠CBA =45°,求边AB ,AC 和BC 所在直线的点斜式方程.【解析】由A (1,1),B (5,1)可知边AB 所在直线的斜率为0,故边AB 所在直线的方程为y -1=0. 由AB ∥x 轴,且△ABC 在第一象限,知边AC 所在直线的斜率k AC =tan 60°=,边BC 所在直线的斜率k BC =tan(180°-45°)=-1,所以,边AC 所在直线的方程为y -1=(x -1),边BC 所在直线的方程为y -1=-(x -5).2.直线的斜截式方程根据斜率和截距的几何意义判断k ,b 的正负时,(1)0k >直线呈上升趋势;0k <直线呈下降趋势;0k =直线呈水平状态.(2)0b >直线与y 轴的交点在x 轴上方;0b <直线与y 轴的交点在x 轴下方;0b =直线过原点. 【例3】已知直线l 与直线y =-2x+3的斜率相同,且在y 轴上的截距为5,求直线l 的斜截式方程,并画出图形.【解析】因为直线l 与直线y =-2x+3的斜率相同,所以直线l 的斜率为-2. 又直线l 在y 轴上的截距为5,所以直线l 的斜截式方程为y =-2x+5. 在直线l 上取一点(1,3),作出图形如图所示.【名师点评】直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊情形. 【例4】已知直线l 的斜率为16,且和两坐标轴围成的三角形的面积为3,求直线l 的方程.3.直线的两点式方程已知直线上两点的坐标求解直线方程,可直接将两点的坐标代入直线的两点式方程,化简即得.代入点的坐标时注意横纵坐标的对应关系.若点的坐标中含有参数,需注意当直线平行于坐标轴或与坐标轴重合时,不能用两点式求解.【例5】已知三角形的三个顶点Α(-4,0),B (0,-3),C (-2,1),求: (1)BC 边所在的直线的方程; (2)BC 边上中线所在的直线的方程.4.直线的截距式方程(1)由已知条件确定横、纵截距.(2)若两截距为零,则直线过原点,直接写出方程即可;若两截距不为零,则代入公式1x ya b+=中,可得所求的直线方程.(3)如果题目中出现直线在两坐标轴上的截距相等、截距互为相反数或在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的多少倍等条件时,采用截距式求直线方程时一定要注意考虑“零截距”的情况. 【例6】已知直线过点,且在两坐标轴上的截距之和为12,求直线的方程.【解析】设直线的方程为1x ya b+=,则,①又直线过点,∴341a b-+=,② 由①②得93a b =⎧⎨=⎩或416a b =-⎧⎨=⎩. ∴直线的方程为193x y +=或1416x y+=-,即或.5.中点坐标公式的应用(1)利用中点坐标公式可求以任意已知两点为端点的线段的中点坐标.(2)从中点坐标公式可以看出线段12P P 中点的横坐标只与12,P P 的横坐标有关,中点的纵坐标只与12,P P 的纵坐标有关. 【例7】已知7(3,),(1,2),(3,1)2M A B ,则过点M 和线段AB 的中点的直线方程为 A .425x y +=B .425x y -= C .25x y +=D .25x y -= 【答案】B【解析】由题意可知线段AB 的中点坐标为1321(,)22++,即3(2,)2.故所求直线方程为732372322y x --=--,整理,得4250x y --=,故选B. 6.直线过定点问题本题考查了直线过定点的问题,实际上就是考查直线方程的点斜式,同时要利用数形结合的思想解题. 若直线存在斜率,则可以把直线方程化为点斜式00()y y k x x -=-的形式,无论直线的斜率k 取何值时,直线都过定点00(,)x y .【例8】已知直线:21l y kx k =++. (1)求证:直线l 过一个定点;(2)当33x -<<时,直线上的点都在x 轴上方,某某数k 的取值X 围.【解析】(1)由21y kx k =++,得1(2)y k x -=+.由直线方程的点斜式可知,直线过定点(2,1)-.(2)设函数()21f x kx k =++,显然其图象是一条直线(如图),若使33x -<<时,直线上的点都在x 轴上方,需满足(3)0(3)0f f -≥⎧⎨≥⎩,即32103210k k k k -++≥⎧⎨++≥⎩,解得115k -≤≤. 所以实数k 的取值X 围是115k -≤≤. 7.直线的平移规律直线y kx b =+上下(或沿y 轴)平移(0)m m >个单位长度,得y kx b m =+±(上加下减);直线y kx b =+左右(或沿x 轴)平移(0)m m >个单位长度,得()y k x m b =±+(左加右减).【例9】已知直线1:23l y x =-,将直线1l 向上平移2个单位长度,再向左平移4个单位长度得到直线2l ,则直线2l 的方程为. 【答案】27y x =+【解析】根据直线的平移规律,可得直线2l 的方程为2(4)32y x =+-+,即27y x =+. 8.点斜式和斜截式的实际应用由直线的斜截式方程与一次函数的表达式的关系,利用一次函数的图象和性质求出直线方程,可以解决实际问题.9.忽略了直线重合的情形致错【例11】已知直线12:60,:(2)320l x my l m x y m ++=-++=,当12l l ∥时,求m 的值. 【错解】∵2l 的斜率223m k -=-,12l l ∥,∴1l 的斜率1k 也一定存在, 由1l 的方程得11k m =-,由12k k =,得213m m--=-, 解得3m =或1m =-. ∴m 的值为3或1-.【错因分析】忽略了直线重合的情况,从而导致错误.【误区警示】当两直线的斜率存在时,两直线平行的等价条件是斜率相等且纵截距不相等,做题时容易忽略纵截距不相等,从而导致错解. 10.忽略直线方程的局限性致错【例12】求经过点(2,3)P ,并且在两坐标轴上截距相等的直线l 的方程. 【错解】设直线方程为1x y a a +=,将2,3x y ==代入,得231a a+=,解得5a =. 故所求的直线方程为50x y +-=.【错因分析】截距相等包含两层含义,一是截距不为0时的相等,二是截距为0时的相等,而后者常常被忽略,导致漏解.【正解】(1)当截距为0时,直线l 过点(0,0),(2,3), ∵直线l 的斜率为303202k -==-, ∴直线l 的方程为32y x =,即320x y -=. (2)当截距不为0时,可设直线l 的方程为1x ya a+=, ∵直线l 过点(2,3)P ,∴231a a+=,∴5a =, ∴直线l 的方程为50x y +-=.综上,直线l 的方程为320x y -=或50x y +-=.【误区警示】不同形式的方程均有其适用条件,在解题时应注意截距式方程的应用前提是截距均不为0且不垂直于坐标轴.1.经过点(-2,2),倾斜角是60°的直线方程是A .y +23x -2) B .y -23x +2)C .y -2=33(x +2)D .y +2=3(x -2) 2.直线的方程00()y y k x x --= A .可以表示任何直线 B .不能表示过原点的直线 C .不能表示与y 轴垂直的直线 D .不能表示与x 轴垂直的直线 3.直线1x ya b+=过一、二、三象限,则 A .a >0,b >0 B .a >0,b <0 C .a <0,b >0 D .a <0,b <0 4.直线1y ax a=-的图象可能是5.与直线21y x =+垂直,且在y 轴上的截距为4的直线的斜截式方程是 A .142y x =+ B .y =2x +4C .y =−2x +4D .142y x =-+ 6.在y 轴上的截距是-3,且经过A (2,-1),B (6,1)中点的直线方程为 A .143x y +=B .143x y-= C .134x y +=D .136x y-= 7.已知直线l 1过点P (2,1)且与直线l 2:y =x +1垂直,则l 1的点斜式方程为. 8.直线32()y ax a a =-+∈R 必过定点.9.斜率与直线32y x =的斜率相等,且过点(4,3)-的直线的斜截式方程是. 10.已知△ABC 中,A (1,-4),B (6,6),C (-2,0),则△ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的两点式方程是.11.写出下列直线的点斜式方程:(1)经过点A (2,5),且与直线y =2x+7平行; (2)经过点C (-1,-1),且与x 轴平行.12.已知直线l 的斜率与直线326x y -=的斜率相等,且直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1,求直线l 的斜截式方程. 13.已知的顶点是,,.直线平行于,且分别交边、于、,的面积是面积的14.(1)求点、的坐标; (2)求直线的方程.14.两直线1x y m n -=与1x yn m-=的图象可能是图中的A B C D15.若直线l 1:y =k (x-4)与直线l 2关于点(2,1)对称,则直线l 2过定点A .(0,4)B .(0,2)C .(-2,4)D .(4,-2)16.若三点()()()2,2,,,0)0,0(A B a C b ab ≠共线,则11a b+=. 17.已知直线l 过定点A (−2,3),且与两坐标轴围成的三角形面积为4,求直线l 的方程.1 2 3 4 5 6 14 15 BDCBDBBB1.【答案】B【解析】k 3,则点斜式方程为y -23x +2).5.【答案】D【解析】因为所求直线与y =2x +1垂直,所以设直线方程为12y x b =-+.又因为直线在y 轴上的截距为4,所以直线的方程为142y x =-+. 6.【答案】B【解析】易知A (2,-1),B (6,1)的中点坐标为(4,0),即直线在x 轴上的截距为4,则所求直线的方程为143x y-=. 7.【答案】y -1=-(x -2)【解析】根据题意可知直线l 1的斜率为−1,所以l 1的点斜式方程为y -1=-(x -2). 8.【答案】(3,2)【解析】将直线方程变形为y −2=a (x −3),由直线方程的点斜式可知,直线过定点(3,2). 9.【答案】392y x =+ 【解析】因为所求直线的斜率与直线32y x =的斜率相等,所以所求直线的斜率32k =.又直线过点(4,3)-,所以直线方程为33(4)2y x -=+,所以直线的斜截式方程为392y x =+.11.【解析】(1)由题意知,直线的斜率为2,所以其点斜式方程为y-5=2(x-2).(2)由题意知,直线的斜率k =tan 0°=0,所以直线的点斜式方程为y-(-1)=0,即y =-1. 12.【解析】由题意知,直线l 的斜率为32,故可设直线l 的方程为32y x b =+,所以直线l 在x 轴上的截距为23b -,在y 轴上的截距为b ,所以213b b --=,35b =-,所以直线l 的方程为3325y x =-. 13.【解析】(1)因为,且的面积是面积的14,所以、分别是、的中点,由中点坐标公式可得点的坐标为502,⎛⎫ ⎪⎝⎭,点的坐标为722,⎛⎫ ⎪⎝⎭.(2)由两点式方程,可知直线的方程为502752022y x --=--,即.14.【答案】B【解析】由1x y m n -=,得y =n m x -n ;由1x y n m -=,得y =mnx -m ,即两条直线的斜率同号且互为倒数,故选B. 15.【答案】B【解析】因为直线l 1:y =k (x-4)过定点(4,0),所以原问题转化为求(4,0)关于(2,1)的对称点.设直线l 2过定点(x ,y ),则422012x y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩,解得x =0,y =2.故直线l 2过定点(0,2).16.【答案】12【解析】易知直线BC 的方程为1x y a b +=,由点A 在直线BC 上,得221a b +=,故1112a b +=.。

高中数学 同步教学 直线的点斜式方程

高中数学 同步教学 直线的点斜式方程
互动探究学案
数 学 必 修 ② 人 教 版
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第三章 直线与方程
命题方向1 ⇨直线的点斜式方程
典例 1 求满足下列条件的直线的点斜式方程: (1)过点P(-4,3),斜率k=-3; (2)过点P(3,-4),且与x轴平行; (3)过P(-2,3)、Q(5,-4)两点.
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新课标导学
数学
必修② ·人教A版
第三章
直线与方程
3.2 直线的方程
3.2.1 直线的点斜式方程
1
自主预习学案

2
互动探究学案
3
课时作业学案
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第三章 直线与方程
自主预习学案
数 学 必 修 ② 人 教 版
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第三章 直线与方程
斜拉桥又称斜张桥,桥身简约刚毅,力感十足.若以桥面所在直线为x轴,桥塔 所在直线为y轴建立平面直角坐标系,那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直 线.怎样表示直线的方程呢?
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第三章 直线与方程
1.经过点(-3,2),斜率为 3的直线方程是
A.y+2= 3(x-3)
B.y-2= 33(x+3)
C.y-2= 3(x+3)
D.y+2= 33(x-3)

[解析] 由直线的点斜式方程的定义可知选项C正确.




人 教

( C)
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第三章 直线与方程
2.(2018·郑州一中检测)已知直线的方程是y+2=-x-1,则

又∵直线过点 P(-2,3),

必 修
∴直线的点斜式方程为 y-3=-(x+2).

高中数学 第三章 直线与方程 3.2.1 直线的点斜式方程学案(含解析)新人教A版必修2

高中数学 第三章 直线与方程 3.2.1 直线的点斜式方程学案(含解析)新人教A版必修2

3.2.1 直线的点斜式方程学习目标 1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程;2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程;3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题.知识点一 直线的点斜式方程思考1 如图,直线l 经过点P 0(x 0,y 0),且斜率为k ,设点P (x ,y )是直线l 上不同于点P 0的任意一点,那么x ,y 应满足什么关系?答案 由斜率公式得k =y -y 0x -x 0, 则x ,y 应满足y -y 0=k (x -x 0).思考2 经过点P 0(x 0,y 0)的所有直线是否都能用点斜式方程来表示?答案 斜率不存在的直线不能用点斜式表示,过点P 0斜率不存在的直线为x =x 0.知识点二 思考1 已知直线l 的斜率为k ,且与y 轴的交点为(0,b ),得到的直线l 的方程是什么? 答案 将k 及点(0,b )代入直线方程的点斜式得:y =kx +b .思考2 方程y =kx +b ,表示的直线在y 轴上的截距b 是距离吗?b 可不可以为负数和零? 答案 y 轴上的截距b 不是距离,可以是负数和零. 思考3 对于直线l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2. ①l 1∥l 2⇔________________, ②l 1⊥l 2⇔________________.答案 ①k 1=k 2且b 1≠b 2 ②k 1k 2=-1类型一 直线的点斜式方程例1 (1)经过点(-3,1)且平行于y 轴的直线方程是________.(2)直线y =2x +1绕着其上一点P (1,3)逆时针旋转90°后得直线l ,则直线l 的点斜式方程是________.(3)一直线l 1过点A (-1,-2),其倾斜角等于直线l 2:y =33x 的倾斜角的2倍,则l 1的点斜式方程为________. 答案 (1)x =-3 (2)y -3=-12(x -1)(3)y +2=3(x +1)解析 (1)∵直线与y 轴平行,∴该直线斜率不存在, ∴直线方程为x =-3.(2)由题意知,直线l 与直线y =2x +1垂直,则直线l 的斜率为-12.由点斜式方程可得l 的方程为y -3=-12(x -1).(3)∵直线l 2的方程为y =33x , 设其倾斜角为α,则tan α=33得α=30°, 那么直线l 1的倾斜角为2×30°=60°, 则l 1的点斜式方程为y +2=tan 60°(x +1),即y +2=3(x +1).跟踪训练1 写出下列直线的点斜式方程: (1)经过点A (2,5),斜率是4; (2)经过点B (2,3),倾斜角是45°; (3)经过点C (-1,-1),与x 轴平行. 解 (1)y -5=4(x -2);(2)∵直线的斜率k =tan 45°=1, ∴直线方程为y -3=x -2; (3)y =-1.类型二 直线的斜截式方程例 2 (1)倾斜角为60°,与y 轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜截式方程是_________________.答案 y =3x +3或y =3x -3 解析 ∵直线的倾斜角是60°, ∴其斜率k =tan 60°=3,∵直线与y 轴的交点到原点的距离是3, ∴直线在y 轴上的截距是3或-3,∴所求直线方程是y =3x +3或y =3x -3.(2)已知直线l 1的方程为y =-2x +3,l 2的方程为y =4x -2,直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同,求直线l 的方程.解 由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1=-2,又因为l ∥l 1.由题意知l 2在y 轴上的截距为-2,所以l 在y 轴上的截距b =-2,由斜截式可得直线l 的方程为y =-2x -2.反思与感悟 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在.当b =0时,y =kx 表示过原点的直线;当k =0时,y =b 表示与x 轴平行(或重合)的直线.(2)截距不同于日常生活中的距离,截距是一个点的横(纵)坐标,是一个实数,可以是正数,也可以是负数和零,而距离是一个非负数.跟踪训练2 (1)已知直线l 的斜率为16,且和两坐标轴围成面积为3的三角形,求l 的斜截式方程;(2)已知直线l 1的方程为y =-2x +3,l 2的方程为y =4x -2,直线l 与l 1垂直且与l 2在y 轴上的截距互为相反数,求直线l 的方程.解 (1)设直线方程为y =16x +b ,则x =0时,y =b ;y =0时,x =-6b .由已知可得12·|b |·|-6b |=3,即6|b |2=6,∴b =±1.故所求直线方程为y =16x +1或y =16x -1.(2)∵l 1⊥l ,直线l 1:y =-2x +3,∴l 的斜率为12,∵l 与l 2在y 轴上的截距互为相反数, 直线l 2:y =4x -2,∴l 在y 轴上的截距为2, ∴直线l 的方程为y =12x +2.类型三 平行与垂直的应用例3 (1)当a 为何值时,直线l 1:y =-x +2a 与直线l 2:y =(a 2-2)x +2平行? (2)当a 为何值时,直线l 1:y =(2a -1)x +3与直线l 2:y =4x -3垂直? 解 (1)由题意可知,12212l l k k a =-,=-,∵l 1∥l 2,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2-2=-1,2a ≠2,解得a =-1.故当a =-1时,直线l 1:y =-x +2a 与直线l 2:y =(a 2-2)x +2平行.(2)由题意可知,12214l l k a k =-,=, ∵l 1⊥l 2,∴4(2a -1)=-1,解得a =38.故当a =38时,直线l 1:y =(2a -1)x +3与直线l 2:y =4x -3垂直.反思与感悟 设直线l 1和l 2的斜率k 1,k 2都存在,其方程分别为l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2,那么:(1)l 1∥l 2⇔k 1=k 2,且b 1≠b 2;(2)k 1=k 2,且b 1=b 2⇔两条直线重合;(3)l 1⊥l 2⇔k 1·k 2=-1. 跟踪训练3 已知在△ABC 中,A (0,0),B (3,1),C (1,3). (1)求AB 边上的高所在直线的方程; (2)求BC 边上的高所在直线的方程; (3)求过A 与BC 平行的直线方程. 解 (1)直线AB 的斜率k 1=1-03-0=13,AB 边上的高所在直线斜率为-3且过点C ,所以AB 边上的高所在直线的方程为y -3=-3(x -1).(2)直线BC 的斜率k 2=3-11-3=-1,BC 边上的高所在直线的斜率为1且过点A ,所以BC 边上的高所在直线的方程为y =x .(3)由(2)知,过点A 与BC 平行的直线的斜率为-1,其方程为y =-x .1.方程y =k (x -2)表示( ) A .通过点(-2,0)的所有直线 B .通过点(2,0)的所有直线C .通过点(2,0)且不垂直于x 轴的所有直线D .通过点(2,0)且除去x 轴的所有直线 答案 C解析 易验证直线通过点(2,0),又直线斜率存在,故直线不垂直于x 轴. 2.倾斜角是30°,且过(2,1)点的直线方程是____________. 答案 y -1=33(x -2) 解析 ∵斜率为tan 30°=33, ∴直线的方程为y -1=33(x -2). 3.(1)已知直线y =ax -2和y =(a +2)x +1互相垂直,则a =________;(2)若直线l 1∶y =-2a x -1a与直线l 2∶y =3x -1互相平行,则a =________.答案 (1)-1 (2)-23解析 (1)由题意可知a (a +2)=-1,解得a =-1.(2)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧-2a=3,-1a ≠-1,解得a =-23.4.(1)求经过点(1,1),且与直线y =2x +7平行的直线的方程; (2)求经过点(-2,-2),且与直线y =3x -5垂直的直线的方程. 解 (1)∵与直线y =2x +7平行, ∴该直线斜率为2, 由点斜式方程可得y -1=2(x -1),即y =2x -1∴所求直线的方程为y =2x -1. (2)∵所求直线与直线y =3x -5垂直,∴该直线的斜率为-13,由点斜式方程得:y +2=-13(x +2),即y =-13x -83.故所求的直线方程为y =-13x -83.1.求直线的点斜式方程的方法步骤2.直线的斜截式方程的求解策略(1)用斜截式求直线方程,只要确定直线的斜率和截距即可,同时要特别注意截距和距离的区别. (2)直线的斜截式方程y =kx +b 不仅形式简单,而且特点明显,k 是直线的斜率,b 是直线在y 轴上的截距,只要确定了k 和b 的值,直线的图象就一目了然.因此,在解决直线的图象问题时,常通过把直线方程化为斜截式方程,利用k ,b 的几何意义进行判断. 3.判断两条直线位置关系的方法直线l 1:y =k 1x +b 1,直线l 2:y =k 2x +b 2. (1)若k 1≠k 2,则两直线相交. (2)若k 1=k 2,则两直线平行或重合, 当b 1≠b 2时,两直线平行; 当b 1=b 2时,两直线重合.(3)特别地,当k 1·k 2=-1时,两直线垂直. (4)对于斜率不存在的情况,应单独考虑.一、选择题1.过点(4,-2),倾斜角为150°的直线方程的点斜式为( )A .y -2=-33(x +4) B .y -(-2)=-33(x -4) C .y -(-2)=33(x -4) D .y -2=33(x +4) 答案 B解析 由题意知k =tan 150°=-33,所以直线的点斜式方程为y -(-2)=-33(x -4). 2.已知直线的方程是y +2=-x -1,则( ) A .直线经过点(-1,2),斜率为-1 B .直线经过点(2,-1),斜率为-1 C .直线经过点(-1,-2),斜率为-1 D .直线经过点(-2,-1),斜率为1 答案 C解析 ∵方程变形为y +2=-(x +1), ∴直线过点(-1,-2),斜率为-1.3.已知直线l 1:y =x +12a ,l 2:y =(a 2-3)x +1,若l 1∥l 2,则a 的值为( )A .4B .2C .-2D .±2答案 C解析 因为l 1∥l 2,所以a 2-3=1,a 2=4,所以a =±2, 又由于l 1∥l 2,两直线l 1与l 2不能重合,则12a ≠1,即a ≠2,故a =-2.4.下列选项中,在同一直角坐标系中,表示直线y =ax 与y =x +a 正确的是( )答案 C解析 ①当a >0时,直线y =ax 的倾斜角为锐角,直线y =x +a 在y 轴上的截距a >0,A ,B ,C ,D 都不成立;②当a =0时,直线y =ax 的倾斜角为0°,A ,B ,C ,D 都不成立;③当a <0时,直线y =ax 的倾斜角为钝角,直线y =x +a 的倾斜角为锐角且在y 轴上的截距a <0,只有C 成立.5.直线y =kx +b 通过第一、三、四象限,则有( ) A .k >0,b >0 B .k >0,b <0 C .k <0,b >0 D .k <0,b <0答案 B解析 ∵直线经过第一、三、四象限,∴图形如图所示,由图知,k >0,b <0.6.已知直线kx -y +1-3k =0,当k 变化时,所有的直线恒过定点( ) A .(1,3) B .(-1,-3) C .(3,1) D .(-3,-1)答案 C解析 直线kx -y +1-3k =0变形为y -1=k (x -3), 由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1). 二、填空题7.将直线y =3x 绕原点逆时针旋转90°,再向右平移1个单位长度,所得到的直线方程为______________. 答案 y =-13x +13解析 直线y =3x 绕原点逆时针旋转90°所得到的直线方程为y =-13x ,再将该直线向右平移1个单位得到的直线方程为y =-13(x -1),即y =-13x +13.8.直线y =ax -3a +2(a ∈R )必过定点________. 答案 (3,2)解析 ∵y =a (x -3)+2,即y -2=a (x -3), ∴直线过定点(3,2).9.已知直线y =(3-2k )x -6不经过第一象限,则k 的取值范围为________. 答案 k ≥32解析 由题意知,需满足它在y 轴上的截距不大于零,且斜率不大于零,则⎩⎪⎨⎪⎧-6≤0,3-2k ≤0,得k ≥32.10.与直线l :y =34x +1平行,且在两坐标轴上截距之和为1的直线l 1的方程为________________.答案 y =34x -3解析 根据题意知直线l 的斜率k =34,故直线l 1的斜率k 1=34,设直线l 1的方程为y =34x +b 1,则令y =0得它在x 轴上的截距a 1=-43b 1.∵a 1+b 1=-43b 1+b 1=-13b 1=1,∴b 1=-3.∴直线l 1的方程为y =34x -3.11.斜率为34,且与坐标轴所围成的三角形的周长是12的直线方程是________.答案 y =34x ±3解析 设所求直线方程为y =34x +b ,令y =0得x =-4b3,由题意得:|b |+⎪⎪⎪⎪⎪⎪-43b + b 2+16b 29=12,|b |+43|b |+53|b |=12,4|b |=12,∴b =±3, ∴所求直线方程为y =34x ±3.三、解答题12.已知三角形的顶点坐标是A (-5,0),B (3,-3),C (0,2),试求这个三角形的三条边所在的斜截式方程.解 直线AB 的斜率k AB =-3-03--=-38,过点A (-5,0),∴直线AB 的点斜式方程为y =-38(x +5),即所求的斜截式方程为y =-38x -158.同理,直线BC 的方程为y -2=-53x ,即y =-53x +2.直线AC 的方程为y -2=25x ,即y =25x +2.∴直线AB ,BC ,AC 的斜截式方程分别为y =-38x -158,y =-53x +2,y =25x +2.13.已知直线l 的斜率与直线3x -2y =6的斜率相等,且直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1,求直线l 的方程.解 由题意知,直线l 的斜率为32,故设直线l 的方程为y =32x +b ,l 在x 轴上的截距为-23b ,在y轴上的截距为b ,所以-23b -b =1,b =-35,所以直线l 的方程为y =32x -35.。

2021_2022年高中数学第三章直线与方程2

2021_2022年高中数学第三章直线与方程2
数表示直线,但是有些直线的方程不一定能写成一次函数的形式.
特别提醒 应用斜截式方程时,应注意斜率是否存在,当斜率
不存在时,不能表示成斜截式方程.
跟踪练习
写出满足下列条件的直线的方程. (1)斜率为 5,在 y 轴上截距为-1,________; (2)倾斜角 30°,在 y 轴上截距为 3,________. [答案] (1)5x-y-1=0 (2)x- 3y+3=0 [解析] (1)方程为 y=5x-1,即 5x-y-1=0. (2)方程为 y=xtan30°+ 3,即 x- 3y+3=0.
B.-1
C.3
D.-3
[答案] B
2.直线y=-2x+3的斜率是________,在y轴上的截距是
________,在x轴上的截距是________.
[答案]
-2
3
3 2
[解析] 斜率是-2;在 y 轴上的截距是 3;令 y=0 得 x=32, 即在 x 轴上的截距是32.
3.写出下列直线的点斜式方程并化成斜截式:
特别提醒 若已知含参数的两条直线平行或垂直,求参数的值
时,要注意讨论斜率是否存在,若是平行关系注意考虑b1≠b2
这个条件.
跟踪练习
(1)已知直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,则a=______. (2)经过点(1,1),且与直线y=2x+7平行的直线的方程为_____. [答案] (1)-1 (2)2x-y-1=0 [解析] (1)由两直线垂直可得a(a+2)=-1,即a2+2a+1=0 ,所以a=-1; (2)由y=2x+7得k1=2,由两直线平行知k2=2.∴所求直线方程 为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.
规律总结
①使用点斜式方程,必须注意前提条件是斜率存在. ②注意方程x=1的含义:它表示一条垂直于x轴的直线,这条

高中数学第三章直线与方程3.2直线的方程3.2.1直线的点斜式方程检测新人教A版必修2(2021年

高中数学第三章直线与方程3.2直线的方程3.2.1直线的点斜式方程检测新人教A版必修2(2021年

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3。

2.1 直线的点斜式方程A级基础巩固一、选择题1.直线y=2x-3的斜率和在y轴上的截距分别等于()A.2,3 B.-3,-3C.-3,2 D.2,-3解析:直线y=2x-3为斜截式方程,其中斜率为2,截距为-3。

答案:D2.与直线y=2x+1垂直,且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是( )A.y=错误!x+4 B.y=2x+4C.y=-2x+4 D.y=-错误!x+4解析:由题意知,所求直线斜率为-错误!,又直线在y轴上的截距为4,故其方程为y=-错误!x+4,故选D.答案:D3.过点(1,0)且与直线y=12x-1平行的直线方程是()A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0解析:由题意知,所求直线斜率为错误!,故所求直线方程为y=错误!(x-1),即x-2y-1=0。

答案:A4.过点(-1,3) 且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为()A.2x+y-1=0 B.2x+y-5=0C.x+2y-5=0 D.x-2y+7=0解析:在斜率存在的条件下,两条直线垂直的充要条件是斜率互为负倒数,则所求直线的斜率为-2,所以所求直线的方程为y-3=-2(x+1),即2x+y-1=0。

3.2.1直线的点斜式方程

3.2.1直线的点斜式方程

合作探究 课堂互动
数学 必修2
第三章 直线与方程
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
直线的点斜式方程
(1) 经 过 点 ( - 5,2) 且 平 行 于 y 轴 的 直 线 方 程 为 ________. (2)经过点(2,1)且垂直于y轴的直线方程为________. (3)直线y=x+1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直 线l,求直线l的点斜式方程.
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第三章 直线与方程
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直线的斜截式方程的求解策略 (1) 用斜截式求直线方程,只要确定直线的斜率和截距即 可,同时要特别注意截距和距离的区别. (2)直线的斜截式方程y=kx+b不仅形式简单,而且特点明 显,k是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距,只要确定了k和 b的值,直线的图象就一目了然.因此,在解决直线的图象问
[ 问题 2]
如图,若直线 l 经过点 A(-1,3),斜率为-2,点
P 是在直线 l 上异于点 A 的点,则点 P 的坐标(x,y)满足怎样的 关系式?
[ 提示 2]
y-3 =-2, x--1
即 y-3=-2[ x-(-1)] .
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第三章 直线与方程
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直,直线上所有点的横坐标相等都为x0,故直线方程为x=x0.
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第三章 直线与方程
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1.过点(-3,2),倾斜角为 60° 的直线方程为( A.y+2= 3(x-3) C.y-2= 3(x+3) 3 B.y-2= (x+3) 3 3 D.y+2= (x+3) 3

人教版高中数学必修二教材用书直线与方程3.2-1直线的点斜式方程word版含答案2

人教版高中数学必修二教材用书直线与方程3.2-1直线的点斜式方程word版含答案2

3.2直线的方程3.2.1直线的点斜式方程点斜式、斜截式[提出问题]如图,过点A(1,1)作直线l.问题1:试想直线l确定吗?提示:不确定.因为过一点可画无数条直线.问题2:若直线l的倾斜角为45°,直线确定吗?提示:确定.问题3:若直线l的斜率为2,直线确定吗?提示:确定.[导入新知]1.直线的点斜式方程(1)定义:如图所示,直线l过定点P(x0,y0),斜率为k,则把方程y-y0=k(x-x0)叫做直线l的点斜式方程,简称点斜式.(2)说明:如图所示,过定点P(x0,y0),倾斜角是90°的直线没有点斜式,其方程为x-x0=0,或x=x0.2.直线的斜截式方程(1)定义:如图所示,直线l的斜率为k,且与y轴的交点为(0,b),则方程y=kx+b叫做直线l的斜截式方程,简称斜截式.(2)说明:一条直线与y轴的交点(0,b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距.倾斜角是直角的直线没有斜截式方程.[化解疑难]1.关于点斜式的几点说明:(1)直线的点斜式方程的前提条件是:①已知一点P(x0,y0)和斜率k;②斜率必须存在.只有这两个条件都具备,才可以写出点斜式方程.(2)方程y -y 0=k (x -x 0)与方程k =y -y 0x -x 0不是等价的,前者是整条直线,后者表示去掉点P (x 0,y 0)的一条直线.(3)当k 取任意实数时,方程y -y 0=k (x -x 0)表示恒过定点(x 0,y 0)的无数条直线.2.斜截式与一次函数的解析式相同,都是y =kx +b 的形式,但有区别,当k ≠0时,y =kx +b 即为一次函数;当k =0时,y =b 不是一次函数,一次函数y =kx +b (k ≠0)必是一条直线的斜截式方程.截距不是距离,可正、可负也可为零.直线的点斜式方程[例1] (1)经过点(-5,2)且平行于y 轴的直线方程为________________.(2)直线y =x +1绕着其上一点P (3,4)逆时针旋转90°后得直线l ,则直线l 的点斜式方程为________________.(3)求过点P (1,2)且与直线y =2x +1平行的直线方程为________________. [答案] (1)x =-5 (2)y -4=-(x -3) (3)2x -y =0 [类题通法]已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标,均可用直线方程的点斜式表示,直线方程的点斜式,应在直线斜率存在的条件下使用.当直线的斜率不存在时,直线方程为x =x 0.[活学活用]若直线l 过点(2,1),分别求l 满足下列条件时的直线方程:(1)倾斜角为135°;(2)平行于x 轴;(3)平行于y 轴;(4)过原点.解:(1)直线的斜率为k =tan 135°=-1, 所以由点斜式方程得y -1=-1×(x -2), 即方程为x +y -3=0.(2)平行于x 轴的直线的斜率k =0,故所求的直线方程为y =1. (3)过点(2,1)且平行于y 轴的直线方程为x =2. (4)过点(2,1)与点(0,0)的直线的斜率k =12,故所求的直线方程为y =12x .直线的斜截式方程[例2] (1)倾斜角为________________.(2)已知直线l 1的方程为y =-2x +3,l 2的方程为y =4x -2,直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同,求直线l 的方程.[解] (1)y =-33x -3 (2)由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1=-2,又∵l ∥l 1,∴l 的斜率k =k 1=-2.由题意知l 2在y 轴上的截距为-2,∴l 在y 轴上的截距b =-2,由斜截式可得直线l 的方程为y =-2x -2.[类题通法]1.斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在.当b =0时,y =kx 表示过原点的直线;当k =0时,y =b 表示与x 轴平行(或重合)的直线.2.截距不同于日常生活中的距离,截距是一个点的横(纵)坐标,是一个实数,可以是正数,也可以是负数或零,而距离是一个非负数.[活学活用]写出下列直线的斜截式方程:(1)直线斜率是3,在y 轴上的截距是-3; (2)直线倾斜角是60°,在y 轴上的截距是5; (3)直线在x 轴上的截距为4,在y 轴上的截距为-2. 解:(1)y =3x -3.(2)∵k =tan 60°=3,∴y =3x +5.(3)∵直线在x 轴上的截距为4,在y 轴上的截距为-2,∴直线过点(4,0)和(0,-2), ∴k =-2-00-4=12,∴y =12x -2.两直线平行与垂直的应用[例3] 当a (1)两直线y =ax -2与y =(a +2)x +1互相垂直? (2)两直线y =-x +4a 与y =(a 2-2)x +4互相平行? [解] (1)设两直线的斜率分别为k 1,k 2,则k 1=a ,k 2=a +2. ∵两直线互相垂直,∴k 1k 2=a (a +2)=-1,解得a =-1. 故当a =-1时,两条直线互相垂直. (2)设两直线的斜率分别为k 3,k 4,则k 3=-1,k 4=a 2-2. ∵两条直线互相平行,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2-2=-1,4a ≠4,解得a =-1. 故当a =-1时,两条直线互相平行. [类题通法]判断两条直线位置关系的方法直线l 1:y =k 1x +b 1,直线l 2:y =k 2x +b 2. (1)若k 1≠k 2,则两直线相交. (2)若k 1=k 2,则两直线平行或重合, 当b 1≠b 2时,两直线平行; 当b 1=b 2时,两直线重合.(3)特别地,当k 1·k 2=-1时,两直线垂直. (4)对于斜率不存在的情况,应单独考虑. [活学活用]1.若直线l 1:y =(2a -1)x +3与直线l 2:y =4x -3垂直,则a =________. 答案:382.若直线ax +2y +3a =0与直线3x +(a -1)y =-7+a 平行,则实数a 的值为________. 答案:37.斜截式判断两条直线平行的误区[典例] 已知直线l 1:x +my +6=0,l 2:(m -2)·x +3y +2m =0,当l 1∥l 2时,求m 的值. [解] 由题设l 2的方程可化为y =-m -23x -23m ,则其斜率k 2=-m -23,在y 轴上的截距b 2=-23m .∵l 1∥l 2,∴l 1的斜率一定存在,即m ≠0. ∴l 1的方程为y =-1m x -6m .由l 1∥l 2,得⎩⎪⎨⎪⎧-m -23=-1m,-23m ≠-6m,解得m =-1. ∴m 的值为-1. [易错防范]1.两条直线平行时,斜率存在且相等,截距不相等.当两条直线的斜率相等时,也可能平行,也可能重合.2.解决此类问题要明确两直线平行的条件,尤其是在求参数时要考虑两直线是否重合. [成功破障]当a 为何值时,直线l 1:y =-2ax +2a 与直线l 2:y =(a 2-3)x +2平行? 解:∵l 1∥l 2,∴a 2-3=-2a 且2a ≠2, 解得a =-3.[随堂即时演练]1.直线的点斜式方程y -y 1=k (x -x 1)( ) A .可以表示任何一条直线 B .不能表示过原点的直线 C .不能表示与坐标轴垂直的直线 D .不能表示与x 轴垂直的直线 答案:D2.直线l 经过点P (2,-3),且倾斜角α=45°,则直线的点斜式方程是( ) A .y +3=x -2 B .y -3=x +2 C .y +2=x -3 D .y -2=x +3答案:A3.直线y =3x -2在y 轴上的截距为________. 答案:-24.在y 轴上的截距为2,且与直线y =-3x -4平行的直线的斜截式方程为________________. 答案:y =-3x +25.(1)求经过点(1,1),且与直线y =2x +7平行的直线的方程; (2)求经过点(-2,-2),且与直线y =3x -5垂直的直线的方程. 解:(1)2x -y -1=0 (2)x +3y +8=0[课时达标检测]一、选择题1.已知直线的方程是y +2=-x -1,则( ) A .直线经过点(-1,2),斜率为-1 B .直线经过点(2,-1),斜率为-1 C .直线经过点(-1,-2),斜率为-1 D .直线经过点(-2,-1),斜率为1 答案:C2.直线y =ax +b 和y =bx +a 在同一直角坐标系中的图形可能是( )答案:D3.与直线y =2x +1垂直,且在y 轴上的截距为4的直线的斜截式方程是( ) A .y =12x +4B .y =2x +4C .y =-2x +4D .y =-12x +4答案:D4.过点(-1,3)且垂直于直线x -2y +3=0的直线方程为( ) A .2x +y -1=0 B .2x +y -5=0 C .x +2y -5=0 D .x -2y +7=0 答案:A5.直线y =2x +3与y -2=2(x +3)的位置关系是( ) A .平行 B .垂直 C .重合 D .无法判断 答案:A 二、填空题6.过点(-3,2)且与直线y -1=23(x +5)平行的直线的点斜式方程是________________.答案:y -2=23(x +3)7.直线y =ax -3a +2(a ∈R)必过定点____________. 答案:(3,2)8.已知斜率为2的直线的方程为5ax -5y -a +3=0,此直线在y 轴上的截距为________.答案:15三、解答题9.已知三角形的顶点坐标是A (-5,0),B (3,-3),C (0,2),试求这个三角形的三条边所在直线的方程.解:直线AB 的斜率k AB =-3-03-?-5?=-38,过点A (-5,0),由点斜式得直线AB 的方程为y =-38(x +5),即3x +8y +15=0;同理,k BC =2+30-3=-53,k AC =2-00+5=25,直线BC ,AC 的方程分别为5x +3y -6=0,2x -5y +10=0.10.已知直线l 的斜率与直线3x -2y =6的斜率相等,且直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1,求直线l 的方程.解:由题意知,直线l 的斜率为32,故设直线l 的方程为y =32x +b ,l 在x 轴上的截距为-23b ,在y 轴上的截距为b ,所以-23b -b =1,b =-35,直线l 的方程为y =32x -35,即15x -10y -6=0.。

(新课标人教版A)数学必修二:3-2-1直线的方程

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【题后反思】 (1)用待定系数法求直线方程的步骤:①设方程; ②定参数;③写答案.(2)设直线方程的点斜式时,要注意点斜 式的适用条件.
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【变式 3】 直线 l 经过点 P(-5,-4),且 l 与坐标轴围成的三 角形的面积为 5,试求直线 l 的方程. 解 易知直线 l 与坐标轴不垂直,因为 l 过点 P(-5,-4),所 以可设直线 l 的方程为 y+4=k(x+5),则直线 l 与 x 轴的交点
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2.直线 l 在坐标轴上的截距 (1)直线在 y 轴上的截距:直线 l 与 y 轴的交点(0,b) 的 纵坐标b . (2)直线在 x 轴上的截距:直线 l 与 x 轴的交点(a,0) 的 横坐标a .
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试一试:试探究直线在 y 轴上的截距和直线与 y 轴交点到原点 的距离的关系. 提示 直线在 y 轴上的截距是它与 y 轴交点的纵坐标,截距是
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方法技巧 数形结合思想在直线方程中的应用 数形结合的数学思想,包含“以形助数”和“以数辅形”两个 方面.在本节中主要借助形的生动性和直观性来阐明数形之间 的联系,即以形作为手段,数作为目的,达到解决问题的效果.
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3 【示例】 直线 l1 过点 P(-1,2),斜率为- ,把 l1 绕点 P 按 3 顺时针方向旋转 30° 角得直线 l2,求直线 l1 和 l2 的方程. [思路分析] l1 的方程可以由点斜式直接写出,2 经过点 P, l 因此, 关键是求出 k2,数形结合,找出 l2 的倾斜角是关键.

3 直线的点斜式方程

3   直线的点斜式方程

y
l
代入点斜式方程得,直线l 的方程:y-b=k(x-0),
即y= kx+b. 点斜式特例
P(0,b)
O
x
归纳总结
y
Q(a,0) O
直线的斜截式方程
l
截距:1.直线l与y轴交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l
P(0,b)
在y轴上的纵截距.
x 2.直线l与x轴交点(a,0)的横坐标a叫做直线l在x轴
上的横截距.
吗?
y=2x-1的斜率为2,在y轴上的截距为-1; y=3x的斜率为3,在y轴上的截距为0; y=-x+3的斜率为-1,在y轴上的截距为3.

思考7: 若直线l的斜率为k,在x轴上的截距为a,则直
y 线l的方程是什么?
Q(a,0) O
y=k(x-a)
x
知识探究
例2
已知直线l1:y=k1x
b1,l2:y=k
思考2:在直角坐标系中,由直线的斜率不能确定其位置,再附加一 个什么条件,直线的位置就确定了?
思考3:已知直线l经过点P0(x0,y0),且斜率为k,设点P(x,y)是直线l上不同 于点P0的任意一点,那么x,y应满足什么关系?
y
l
P(x,y)
k = y - y0 x - x0
P0(x0, y0)
o
直 线 已知 方 条件 程
结构形式
点 斜 式
点 P1(x1,y1) 和斜率k
y - y1 = k(x - x1)
斜 斜率k和直 截 线在y轴上 式 的截距b
y = kx + b
适用范围
能表示不 垂直于x轴 的 直线 能表示不 垂直于x轴 的 直线
注意:截距不是距离,截距可正、可负、可为零.

人教高中数学必修二(A版)第三章3.2直线的方程直线的点斜式方程

人教高中数学必修二(A版)第三章3.2直线的方程直线的点斜式方程

也就是: y kx b
我们把直线与 y轴交点的纵坐标b
叫作直线在轴上的截距.
y
l
P0 b
O
x
该方程由直线的斜率与它在 y 轴上的截距确定,
所以该方程叫作直线方程的斜截式.
直线的斜截式方程
视察方程 y kx b ,它的情势具有什么特点?
我们发现,左端 y的系数恒为1,右端 x的系数
k 和常数项 b均有明显的几何意义: k是直线的斜率, b是直线在 y 轴上的截距.
以它的方程就是
x x0 0 ,或 x x0
故 y轴所在直线的方程是:
x0
yl
P0
O
x
典型例题
例1 直线 l经过点 P0 2,3,且倾斜角 45,
求直线 l 的点斜式方程,并画出直线 l .
解:直线l 经过点P0 2,3 ,斜率 k tan 45 1,
代入点斜式方程得:y 3 x 2.
问题引入
在平面直角坐标系内,如果给定一条直线 l经
过的一个点P0 x0 , y0 和斜率 k,能否将直线上所有
的点的坐标 x, y满足的关系表示出来呢?
y l
P0
O
x
问题引入
直线经过点 P0 x0 , y0 ,且斜率为 k,设点Px, y
是直线上不同于点 P0的任意一点,因为直线 l的斜率
为k,由斜率公式得:
直线 l与 x轴平行或重合,l 的方程就是
y y0 0 ,或 y y0
故 x 轴所在直线的方程是: y 0
y
P0 l
O
x
坐标轴的直线方程
(2)y轴所在直线的方程是什么?
当直线 l的倾斜角为 90时,直线没有斜率,这

高中数学必修2(人教A版)配套课件:全科33套3.2.1 直线

高中数学必修2(人教A版)配套课件:全科33套3.2.1 直线

A(b,0)和 B(0,b),
所以直角三角形 OAB 的两个直角边长都为|b|,所以其面积
为1b2,由1b2=1,解得,b=±1,
2
22
所以所求直线的方程为 y=-x+1 或 y=-x-1.
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第三章 直线与方程
题型四 直线在平面直角坐标系中位置的确定
例4 方程 y=ax+1a表示的直线可能是(
(2)∵倾斜角
α=150°,∴斜率
k=tan
150°=-
3, 3
由斜截式可得直线方程为 y=- 33x-2.
栏目 导引
第三章 直线与方程
(3)∵直线的倾斜角为 60°, ∴其斜率 k=tan 60°= 3. ∵直线与 y 轴的交点到原点的距离为 3, ∴直线在 y 轴上的截距 b=3 或 b=-3. ∴所求直线方程为 y= 3x+3 或 y= 3x-3. 【名师点评】利用斜截式写直线方程时,首先要考虑斜率 是否存在,其次要注意截距与距离的区别与联系.
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第三章 直线与方程
2.直线l的截距 (1)直线在y轴上的截距:直线与y轴的交点(0,b)的 _纵__坐__标__b__. (2)直线在x轴上的截距:直线与x轴的交点(a,0)的 _横__坐__标__a___
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第三章 直线与方程
想一想 2.直线在y轴上的截距和直线与y轴交点到原点 的距离是一回事吗? 提示:直线在y轴上的截距是它与y轴交点的纵坐标,截 距是一个数值,可正、可负、可为零.当截距非负时, 它等于直线与y轴交点到原点的距离;当截距为负时,它 等于直线与y轴交点到原点距离的相反数. 做一做 2.直线l的斜截式方程是y=-3x+2,则直线l在 y轴上的截距为________. 答案:2

新人教A版必修2高中数学第三章直线与方程3.2.1直线的点斜式方程

新人教A版必修2高中数学第三章直线与方程3.2.1直线的点斜式方程
【解析】不能.直线的点斜式方程的两要素为斜率k与点 P0(x0,y0),故只有斜率存在的直线才能用点斜式表示.
直线的点斜式方程
【例1】 (1)一条直线经过点P1(-2,3),斜率为2,则这条 直线的方程为________.
(2)经过点(2,1)且垂直于y轴的直线方程为______. (3)经过点(2,5)且倾斜角为45°的直线方程为_________.
因为l∥l1,所以l的斜率k=k1=-2. 由题意知l2在y轴上的截距为-2, 所以l在y轴上的截距b=-2. 由斜截式可得直线l的方程为y=-2x-2.
8
(1)用斜截式求直线方程,只要确定直线的斜率和截距即 可,要特别注意截距和距离的区别.
(2)直线的斜截式方程y=kx+b不仅形式简单,而且特点明 显,k是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距,只要确定了k和 b的值,直线的图象就一目了然.因此,在解决直线的图象问 题时,常通过把直线方程化为斜截式方程,利用k,b的几何意 义进行判断.
【解题探究】(1)写直线的点斜式方程的两个前提条件是什 么?
(2)垂直于y轴的直线的斜率存在吗? (3)一条直线的倾斜角与其斜率有何对应关系? 【答案】(1)y=2x+7 (2)y=1 (3)y=x+3
【解析】(1)由直线的点斜式方程得y-3=2(x+2),即y= 2x+7.
(2)直线垂直于y轴,故其斜率为0,所以此直线方程为y= 1.
3.2 直线的方程 3.2.1 直线的点斜式方程
目标定位
1.掌握直线的点斜式方程和直线的 斜截式方程. 2.结合具体实例理解直线的方程 和方程的直线概念及直线在y轴上 的截距的含义. 3.会根据斜截式方程判断两直线 的位置关系.
重点难点
重点:直线的点斜式 方程和斜截式方程. 难点:直线的点斜式 方程和斜截式方程的 推导及应用.

高中数学必修2(人教A版)第三章直线与方程3.2知识点总结含同步练习及答案

高中数学必修2(人教A版)第三章直线与方程3.2知识点总结含同步练习及答案
直线的基本量与方程
三、知识讲解
1.直线的基本量与方程 描述: 直线的倾斜角 当直线l 与x 轴相交时,我们取 x 轴作为基准,x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α叫做直 线l 的倾斜角(angle of inclination).直线倾斜角α 的取值范围为0 ∘ ≤ α < 180 ∘ .
直线斜率 直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率(slope).斜率常用小写字母k 表示,即k = tan α. 倾斜角是90∘ 的直线没有斜率.我们得到经过两点P1 (x1 , y 1 ),P2 (x2 , y 2 )(x1 ≠ x2 ) 的直线斜率 公式k = 直线的方程 点斜式:直线 l 经过点P0 (x 0 , y 0 ),且斜率为k ,设点P (x, y) 是直线 l 上不同于点P0 的任意一 点,因为直线 l 的斜率为k ,由斜率公式得k =
y x + = 1 表示 a b
√3 ,与 x 轴交点的横坐标为 −7; 2 (2)过点 P (−1, 2) 且与 x 轴有相同斜率; (3)过点 A(−5, 0) 和点 C (0, 2) ; (4)过点 P (2, 3) ,且在两坐标轴上的截距的绝对值相等.
(1)斜率为 解:(1)由直线与 x 轴交点的横坐标为 −7,得直线过点 (−7, 0) ,又斜率为 方程为 y − 0 =
x 轴,y 轴上的截距均为 a ,
3. 若直线 ax + by + c = 0 通过第一、二、三象限,则 ( A.ab > 0, bc > 0
答案: D 解析: 由
)
D.ab < 0, bc < 0
B.ab > 0, bc < 0
C.ab < 0, bc > 0
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高中数学人教新课标A版必修2 第三章直线与方程 3.2.1直线的点斜式方程B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共4题;共8分)
1. (2分) (2018高一下·百色期末) 已知直线经过点,且斜率为,则直线的方程为()
A .
B .
C .
D .
2. (2分)已知直线l1:(m-1)x+2y-1=0,l2:mx-y+3=0 若,则m的值为()
A . 2.
B . -1
C . 2或-1
D .
3. (2分)两直线与的图象可能是图中的()
A .
B .
C .
D .
4. (2分) (2020高一上·长春期末) 下列各式中,值为的是()
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共2题;共2分)
5. (1分)已知A(3,5),O为坐标原点,则与OA垂直的直线斜率为________.
6. (1分) (2018高二上·台州期末) 已知直线 :与 :垂直,则 ________.
三、解答题 (共3题;共25分)
7. (10分) (2019高二上·唐山月考) 已知圆O:x2+y2=8内有一点P0(﹣1,2),AB为过点P0且倾斜角为α的弦.
(1)当α=135°时,求弦AB的长;
(2)当弦AB被P0平分时,求直线AB的方程.
8. (10分) (2016高二上·鹤岗期中) 已知两直线l1:x+8y+7=0和l2:2x+y﹣1=0.
(1)求l1与l2交点坐标;
(2)求过l1与l2交点且与直线x+y+1=0平行的直线方程.
9. (5分) (2017高一下·双鸭山期末) 已知点,求的边上的中线所在的直线方程。

参考答案一、单选题 (共4题;共8分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
二、填空题 (共2题;共2分)
5-1、
6-1、
三、解答题 (共3题;共25分)
7-1、
7-2、
8-1、8-2、9-1、。

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