二次函数压轴题总结精华
《一题可破万题——二次函数压轴题常见模型小结》
——二次函数压轴题常见模型小结DBO AxyC问题1：求抛物线解析式和顶点D 坐标12()()y a x x x x =--2y ax bx c=++2()y a x h k=-+十字相乘配方法（★）12轴交点(，0)、(，0)x x x 轴交点（0，c ）y 顶点（h,k ）原始三角形：重视四点围成的三角形（边、角关系）函数 点形2223(3)(1)(1)4y x x y x x y x =+-=+-=+-问题2：判断△ACD 的形状，并说明理由DBOAxyCD （-1，-4）BOA （-3,0）xyC （0，-3）问题3：E是y轴上一动点，若BE=CE,求点E的坐标DB OA xyCB（1,0）O xyC（0，-3）B（1,0）O xyC（0，-3）问题4：抛物线上有一动点P，过点P作PM⊥x轴于点M,交直线AC与点N，在线段PM、MN中，若其中一条线段是另一条线段的2倍，求点P的坐标。
DB OA xyC最大值及此时点P 的坐标DBO Ax yC PH DB O Ax yC PHEFDB O AxyC PHE F于G ，PH 为邻边作矩形PEGH ，求矩形PEGH 周长的最大值。
DBO Ax yCDB O AxyC PHEG问题7：在对称轴上找一点P，使得△BCP的周长最小，求出P点坐标及△BCP的周长DB OA xyCB（1,0）OA（-3,0）xyC（0，-3）.x=1P问题8：在对称轴上找一点P，使得∣PA-PC∣最大，求出P点坐标DB OA xyCB（1,0）OA（-3,0）xyC（0，-3）.x=1P问题9：线段MN=1，在对称轴上运动（M 点在N 点上方），求四边形BMNC 周长的最小值及此时M 点坐标DBOAxyC已知抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，OA=OC=3,顶点为D 2y x bx c =++B （1,0）OA （-3,0）xyC （0，-3）.x=1NB ’ B ’’M将军饮马：这个将军饮的不是马，是数学！解题依据：两点间线段最短；点到直线的垂直距离最短；翻折，对称。
中考数学——二次函数的综合压轴题专题复习含答案解析
中考数学——二次函数的综合压轴题专题复习含答案解析一、二次函数1．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3），顶点为G．（1）求抛物线和直线AC的解析式；（2）如图，设E（m，0）为x轴上一动点，若△CGE和△CGO的面积满足S△CGE＝S△CGO，求点E的坐标；（3）如图，设点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，运动时间为ts，点M为射线AC上一动点，过点M作MN∥x轴交抛物线对称轴右侧部分于点N．试探究点P在运动过程中，是否存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；直线AC解析式为：y＝3x+3；（2）点E 坐标为（1，0）或（﹣7，0）；（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为或或．【解析】【分析】（1）用待定系数法即能求出抛物线和直线AC解析式．（2）△CGE与△CGO虽然有公共底边CG，但高不好求，故把△CGE构造在比较好求的三角形内计算．延长GC交x轴于点F，则△FGE与△FCE的差即为△CGE．（3）设M的坐标（e，3e+3），分别以M、N、P为直角顶点作分类讨论，利用等腰直角三角形的特殊线段长度关系，用e表示相关线段并列方程求解，再根据e与AP的关系求t 的值．【详解】（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3），, 解得：，∴抛物线解析式为：y=-x2+2x+3，设直线AC解析式为y=kx+3，∴-k+3=0，得：k=3，∴直线AC解析式为：y=3x+3.（2）延长GC交x轴于点F，过G作GH⊥x轴于点H，∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴G（1，4），GH=4，∴S△CGO=OC•x G=×3×1=，∴S△CGE=S△CGO=×=2，①若点E在x轴正半轴上，设直线CG：y=k1x+3，∴k1+3=4 得：k1=1，∴直线CG解析式：y=x+3，∴F（-3，0），∵E（m，0），∴EF=m-（-3）=m+3，∴S△CGE=S△FGE-S△FCE=EF•GH-EF•OC=EF•（GH-OC）=（m+3）•（4-3）=，∴=2，解得：m=1，∴E的坐标为（1，0）.②若点E在x轴负半轴上，则点E到直线CG的距离与点（1，0）到直线CG距离相等，即点E到F的距离等于点（1，0）到F的距离，∴EF=-3-m=1-（-3）=4，解得：m=-7 即E（-7，0），综上所述，点E坐标为（1，0）或（-7，0）.（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，设M（e，3e+3），则y N=y M=3e+3，①若∠MPN=90°，PM=PN，如图2，过点M作MQ⊥x轴于点Q，过点N作NR⊥x轴于点R，∵MN∥x轴，∴MQ=NR=3e+3，∴Rt△MQP≌Rt△NRP（HL），∴PQ=PR，∠MPQ=∠NPR=45°，∴MQ=PQ=PR=NR=3e+3，∴x N=x M+3e+3+3e+3=7e+6，即N（7e+6，3e+3），∵N在抛物线上，∴-（7e+6）2+2（7e+6）+3=3e+3，解得：e1=-1（舍去），e2=−，∵AP=t，OP=t-1，OP+OQ=PQ，∴t-1-e=3e+3，∴t=4e+4=，②若∠PMN=90°，PM=MN，如图3，∴MN=PM=3e+3，∴x N=x M+3e+3=4e+3，即N（4e+3，3e+3），∴-（4e+3）2+2（4e+3）+3=3e+3，解得：e1=-1（舍去），e2=−，∴t=AP=e-（-1）=−+1＝，③若∠PNM=90°，PN=MN，如图4，∴MN=PN=3e+3，N（4e+3，3e+3），解得：e=−，∴t=AP=OA+OP=1+4e+3=，综上所述，存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为或或．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标系中三角形面积计算，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，考查了分类讨论和方程思想．第（3）题根据等腰直角三角形的性质找到相关线段长的关系是解题关键，灵活运用因式分解法解一元二次方程能简便运算．2．如图，抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）（OA＜OB），与y轴交于点C，且满足x12+x22﹣x1x2＝13．（1）求抛物线的解析式；（2）以点B为直角顶点，BC为直角边作Rt△BCD，CD交抛物线于第四象限的点E，若EC ＝ED，求点E的坐标；（3）在抛物线上是否存在点Q，使得S△ACQ＝2S△AOC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）E 113+113+3）点Q的坐标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．理由见解析.【解析】【分析】（1）由根与系数的关系可得x1+x2＝m，x1•x2＝﹣（m+1），代入x12+x22﹣x1x2＝13，求出m1＝2，m2＝﹣5．根据OA＜OB，得出抛物线的对称轴在y轴右侧，那么m＝2，即可确定抛物线的解析式；（2）连接BE、OE．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BE＝12CD＝CE．利用SSS证明△OBE≌△OCE，得出∠BOE＝∠COE，即点E在第四象限的角平分线上，设E点坐标为（m，﹣m），代入y＝x2﹣2x﹣3，求出m的值，即可得到E点坐标；（3）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，根据三角形的面积公式可得S△ACQ＝S△ACF．由S△ACQ＝2S△AOC，得出S△ACF＝2S△AOC，那么AF＝2OA＝2，F（1，0）．利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．根据AC∥FQ，可设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b，将F（1，0）代入，利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3，把它与抛物线的解析式联立，得出方程组22333y x xy x⎧=--⎨=-+⎩，求解即可得出点Q的坐标．【详解】（1）∵抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0），∴x1+x2＝m，x1•x2＝﹣（m+1），∵x12+x22﹣x1x2＝13，∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝13，∴m2+3（m+1）＝13，即m2+3m﹣10＝0，解得m1＝2，m2＝﹣5．∵OA＜OB，∴抛物线的对称轴在y轴右侧，∴m＝2，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）连接BE、OE．∵在Rt△BCD中，∠CBD＝90°，EC＝ED，∴BE＝12CD＝CE．令y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵C（0，﹣3），∴OB ＝OC ，又∵BE ＝CE ，OE ＝OE ，∴△OBE ≌△OCE （SSS ），∴∠BOE ＝∠COE ，∴点E 在第四象限的角平分线上，设E 点坐标为（m ，﹣m ），将E （m ，﹣m ）代入y ＝x 2﹣2x ﹣3，得m ＝m 2﹣2m ﹣3，解得m ＝1132±， ∵点E 在第四象限，∴E 点坐标为（113+，﹣113+）； （3）过点Q 作AC 的平行线交x 轴于点F ，连接CF ，则S △ACQ ＝S △ACF ．∵S △ACQ ＝2S △AOC ，∴S △ACF ＝2S △AOC ，∴AF ＝2OA ＝2，∴F （1，0）．∵A （﹣1，0），C （0，﹣3），∴直线AC 的解析式为y ＝﹣3x ﹣3．∵AC ∥FQ ，∴设直线FQ 的解析式为y ＝﹣3x +b ，将F （1，0）代入，得0＝﹣3+b ，解得b ＝3，∴直线FQ 的解析式为y ＝﹣3x +3．联立22333y x x y x ⎧=--⎨=-+⎩， 解得11312x y =-⎧⎨=⎩，2223x y =⎧⎨=-⎩， ∴点Q 的坐标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到一元二次方程根与系数的关系，求二次函数的解析式，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数图象与几何变换，待定系数法求直线的解析式，抛物线与直线交点坐标的求法，综合性较强，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．3．已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y 轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）94；（3）点P（1，0）或（2，﹣1）；（4）M（2，﹣3）．【解析】试题分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解；（2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答；（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，②求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，∠PAD是直角，分别写出点P的坐标即可；（4）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MA﹣MC|最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可．试题解析：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），∴93010b cb c++=⎧⎨++=⎩，解得43bc=-⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；（2）令x=0，则y=3，∴点C（0，3），则直线AC的解析式为y=﹣x+3，设点P（x，x2﹣4x+3）．∵PD∥y轴，∴点D（x，﹣x+3），∴PD=（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣32）2+94．∵a=﹣1＜0，∴当x=32时，线段PD的长度有最大值94；（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，此时，点P（1，0），②∵y=x2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）．∵A（3，0），∴点P为在抛物线顶点时，∠PAD=45°+45°=90°，此时，点P（2，﹣1）．综上所述：点P（1，0）或（2，﹣1）时，△APD能构成直角三角形；（4）由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB，∴MA=MB，由三角形的三边关系，|MA﹣MC|＜BC，∴当M、B、C三点共线时，|MA﹣MC|最大，为BC的长度，设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），则3k bb+=⎧⎨=⎩，解得：33kb=-⎧⎨=⎩，∴直线BC的解析式为y=﹣3x+3．∵抛物线y=x2﹣4x+3的对称轴为直线x=2，∴当x=2时，y=﹣3×2+3=﹣3，∴点M （2，﹣3），即，抛物线对称轴上存在点M（2，﹣3），使|MA﹣MC|最大．点睛：本题是二次函数综合题，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数的对称性以及顶点坐标的求解，（2）整理出PD的表达式是解题的关键，（3）关键在于利用点的坐标特征作出判断，（4）根据抛物线的对称性和三角形的三边关系判断出点M的位置是解题的关键．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；（3）符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139），【解析】分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-13x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-13x+3，再解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得3p qq-+=⎧⎨=⎩，解得33pq=⎧⎨=⎩，∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b，把C（0，3）代入得b=3，∴直线PC的解析式为y=﹣13x+3，解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝，解得3xy=⎧⎨=⎩或73209xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则此时P点坐标为（73，209）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，把A（﹣1，0）代入得13+b=0，解得b=﹣13，∴直线PC的解析式为y=﹣13x﹣13，解方程组2231133y x xy x⎧-++⎪⎨--⎪⎩＝＝，解得1xy=-⎧⎨=⎩或103139xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P点坐标为（103，﹣139）.综上所述，符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139）.点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．5．已知，点M 为二次函数2()41y x b b =--++图象的顶点，直线5y mx =+分别交x 轴正半轴，y 轴于点,A B .（1）如图1，若二次函数图象也经过点,A B ，试求出该二次函数解析式，并求出m 的值. （2）如图2，点A 坐标为(5,0)，点M 在AOB ∆内，若点11(,)4C y ，23(,)4D y 都在二次函数图象上，试比较1y 与2y 的大小.【答案】（1）2(2)9y x =--+,1m =-；（2）①当102b <<时，12y y >；②当12b =时，12y y =；③当1425b <<时，12y y < 【解析】 【分析】 （1）根据一次函数表达式求出B 点坐标，然后根据B 点在抛物线上，求出b 值，从而得到二次函数表达式，再根据二次函数表达式求出A 点的坐标，最后代入一次函数求出m 值.（2）根据解方程组，可得顶点M 的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案． 【详解】（1）如图1，∵直线5y mx =+与y 轴交于点为B ，∴点B 坐标为(0,5)又∵(0,5)B 在抛物线上，∴25(0)41b b =--++，解得2b =∴二次函数的表达式为2(2)9y x =--+ ∴当0y =时，得15=x ，21x =- ∴(5,0)A代入5y mx =+得，550m +=，∴1m =-（2）如图2，根据题意，抛物线的顶点M 为(,41)b b +，即M 点始终在直线41y x =+上，∵直线41y x =+与直线AB 交于点E ，与y 轴交于点F ，而直线AB 表达式为5y x =-+解方程组415y xy x=+⎧⎨=-+⎩，得45215xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点421(,)55E，(0,1)F∵点M在AOB∆内，∴45b<<当点,C D关于抛物线对称轴（直线x b=）对称时，1344b b-=-，∴12b=且二次函数图象的开口向下，顶点M在直线41y x=+上综上：①当12b<<时，12y y>；②当12b=时，12y y=；③当1425b<<时，12y y<.【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合应用，难度系数大同学们需要认真分析即可.6．如图，在平面直角坐标系中有抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2和y＝a（x﹣h）2，抛物线y＝a （x﹣2）2﹣2经过原点，与x轴正半轴交于点A，与其对称轴交于点B；点P是抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2上一动点，且点P在x轴下方，过点P作x轴的垂线交抛物线y＝a（x﹣h）2于点D，过点D作PD的垂线交抛物线y＝a（x﹣h）2于点D′（不与点D重合），连接PD′，设点P的横坐标为m：（1）①直接写出a的值；②直接写出抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2的函数表达式的一般式；（2）当抛物线y＝a（x﹣h）2经过原点时，设△PDD′与△OAB重叠部分图形周长为L：①求PDDD'的值；②直接写出L与m之间的函数关系式；（3）当h为何值时，存在点P，使以点O、A、D、D′为顶点的四边形是菱形？直接写出h 的值．【答案】（1）①12；②y ＝212x ﹣2x ； （2）①1；②L ＝2(22)(02)21(221)4(24)2m m m m π⎧+<⎪⎨-++<<⎪⎩…； （3）h ＝±3 【解析】 【分析】（1）①将x ＝0，y ＝0代入y ＝a （x ﹣2）2﹣2中计算即可；②y ＝212x ﹣2x ； （2）将（0，0）代入y ＝a （x ﹣h ）2中，可求得a ＝12，y ＝12x 2，待定系数法求OB 、AB 的解析式，由点P 的横坐标为m ，即可表示出相应线段求解；（3）以点O 、A 、D 、D ′为顶点的四边形是菱形，DD ′＝OA ，可知点D 的纵坐标为2，再由AD ＝OA ＝4即可求出h 的值． 【详解】解：（1）①将x ＝0，y ＝0代入y ＝a （x ﹣2）2﹣2中， 得：0＝a （0﹣2）2﹣2， 解得：a ＝12； ②y ＝212x ﹣2x ；． （2）∵抛物线y ＝a （x ﹣h ）2经过原点，a ＝12； ∴y ＝12x 2， ∴A （4，0），B （2，﹣2），易得：直线OB 解析式为：y ＝﹣x ，直线AB 解析式为：y ＝x ﹣4 如图1，222111,2,,,(,0),(,),,222P m m m D m m E m F m m D m m '⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，①221122,222PD m m m m DD m '⎛⎫=--== ⎪⎝⎭PD 2m 1DD 2m'∴== ②如图1，当0＜m ≤2时，L ＝OE +EF +OF ＝2(22)m m m m ++=+，当2＜m ＜4时，如图2，设PD ′交x 轴于G ，交AB 于H ，PD 交x 轴于E ，交AB 于F ，则222111,2,,,(,0),(,4),,222P m m m D m m E m F m m D m m '⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2211(4)23422PF m m m m m ⎛⎫=---=-+- ⎪⎝⎭，2222322m 22,PG m 22m 2422FH PH PF ===-+-=-+ ∵DD ′∥EGEG PE DD PD '∴=，即：EG •PD ＝PE •DD ′，得：EG •（2m ）＝（2m ﹣12m 2）•2m ∴EG ＝2m ﹣12m 2，EF ＝4﹣m ∴L ＝EG +EF +FH +GH ＝EG +EF +PG2212242222m m m m ⎛⎫=-+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭221m (221)m 42+=-+++ 2(22)m(0m 2)21m (221)m 4(2m 4)L ⎧+<⎪∴=⎨+-+++<<⎪⎩…；（3）如图3，∵OADD ′为菱形 ∴AD ＝AO ＝DD ′＝4， ∴PD ＝2，23PA =23h ∴=±【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，菱形的性质，抛物线的平移等，解题时要注意考虑分段函数表示方法．7．如图，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣1(a ≠0)交x 轴于A ，B (1，0)两点，交y 轴于点C ，一次函数y ＝x +3的图象交坐标轴于A ，D 两点，E 为直线AD 上一点，作EF ⊥x 轴，交抛物线于点F (1)求抛物线的解析式；(2)若点F 位于直线AD 的下方，请问线段EF 是否有最大值？若有，求出最大值并求出点E 的坐标；若没有，请说明理由；(3)在平面直角坐标系内存在点G ，使得G ，E ，D ，C 为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G 的坐标．【答案】(1)抛物线的解析式为y＝13x2+23x﹣1；(2)4912，(12，72)；(3)点G的坐标为(2，1)，(﹣2，﹣2﹣1)，2，2﹣1)，(﹣4，3)．【解析】【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式；（2）由函数图象上点的坐标特征：可设点E的坐标为（m，m+3），点F的坐标为（m，1 3m2+23m﹣1），由此得到EF＝﹣13m2+13m+4，根据二次函数最值的求法解答即可；（3）分三种情形①如图1中，当EG为菱形对角线时．②如图2、3中，当EC为菱形的对角线时，③如图4中，当ED为菱形的对角线时，分别求解即可．【详解】解：(1)将y＝0代入y＝x+3，得x＝﹣3．∴点A的坐标为(﹣3，0)．设抛物线的解析式为y＝a(x﹣x1)(x﹣x2)，点A的坐标为(﹣3，0)，点B的坐标为(1，0)，∴y＝a(x+3)(x﹣1)．∵点C的坐标为(0，﹣1)，∴﹣3a＝﹣1，得a＝13，∴抛物线的解析式为y＝13x2+23x﹣1；(2)设点E的坐标为(m，m+3)，线段EF的长度为y，则点F的坐标为(m，13m2+23m﹣1)∴y＝(m+3)﹣( 13m2+23m﹣1)＝﹣13m2+13m+4即y＝-13(m﹣12) 2+4912，此时点E的坐标为(12，72)；(3)点G的坐标为(2，1)，(﹣2，﹣2﹣1)，2，2﹣1)，(﹣4，3)．理由：①如图1，当四边形CGDE为菱形时．∴EG 垂直平分CD ∴点E 的纵坐标y ＝132-+＝1， 将y ＝1带入y ＝x +3，得x ＝﹣2． ∵EG 关于y 轴对称， ∴点G 的坐标为(2，1)；②如图2，当四边形CDEG 为菱形时，以点D 为圆心，DC 的长为半径作圆，交AD 于点E ，可得DC ＝DE ，构造菱形CDEG 设点E 的坐标为(n ，n +3)， 点D 的坐标为(0，3)∴DE ＝22(33)n n ++-＝22n ∵DE ＝DC ＝4， ∴22n ＝4，解得n 1＝﹣22，n 2＝22．∴点E 的坐标为(﹣22，﹣22+3)或(22，22+3) 将点E 向下平移4个单位长度可得点G ，点G 的坐标为(﹣22，﹣22﹣1)(如图2)或(22，22﹣1)(如图3)③如图4，“四边形CDGE 为菱形时，以点C 为圆心，以CD 的长为半径作圆，交直线AD 于点E ，设点E 的坐标为(k ，k +3)，点C 的坐标为(0，﹣1)． ∴EC ＝22(0)(31)k k -+++＝22816k k ++． ∵EC ＝CD ＝4， ∴2k 2+8k +16＝16， 解得k 1＝0(舍去)，k 2＝﹣4． ∴点E 的坐标为(﹣4，﹣1) 将点E 上移1个单位长度得点G ． ∴点G 的坐标为(﹣4，3)．综上所述，点G 的坐标为(2，1)，(﹣22，﹣22﹣1)，(22，22﹣1)，(﹣4，3)．【点睛】本题考查二次函数综合题、轴对称变换、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用对称解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．8．已知抛物线2(5)6y x m x m =-+-+-. （1）求证：该抛物线与x 轴总有交点；（2）若该抛物线与x 轴有一个交点的横坐标大于3且小于5，求m 的取值范围；（3）设抛物线2(5)6y x m x m =-+-+-与y 轴交于点M ，若抛物线与x 轴的一个交点关于直线y x =-的对称点恰好是点M ，求m 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）1?<?m?3<；（3）56m m ==或 【解析】 【分析】（1）本题需先根据判别式解出无论m 为任何实数都不小于零，再判断出物线与x 轴总有交点．（2）根据公式法解方程，利用已有的条件，就能确定出m 的取值范围，即可得到结果． （3）根据抛物线y=-x 2+（5-m ）x+6-m ，求出与y 轴的交点M 的坐标，再确定抛物线与x 轴的两个交点关于直线y=-x 的对称点的坐标，列方程可得结论． 【详解】（1）证明：∵()()()222454670b ac m m m ∆=-=-+-=-≥ ∴抛物线与x 轴总有交点.（2）解：由（1）()27m ∆=-，根据求根公式可知，方程的两根为：257m m x （）-±-=即1216x x m =-=-+， 由题意，有 3<-m 6<5+1<?m 3∴<(3)解：令 x = 0， y =6m -+ ∴ M （0，6m -+）由（2）可知抛物线与x 轴的交点为（-1，0）和（6m -+，0）， 它们关于直线y x =-的对称点分别为（0 ， 1）和（0， 6m -）， 由题意，可得：6166m m m 或-+=-+=- 56m m ∴==或 【点睛】本题考查对抛物线与x 轴的交点，解一元一次方程，解一元一次不等式，根的判别式，对称等，解题关键是熟练理解和掌握以上性质，并能综合运用这些性质进行计算．9．如图，菱形ABCD 的边长为20cm ，∠ABC ＝120°，对角线AC ，BD 相交于点O ，动点P 从点A 出发，以4cm /s 的速度，沿A →B 的路线向点B 运动；过点P 作PQ ∥BD ，与AC 相交于点Q ，设运动时间为t 秒，0＜t ＜5．（1）设四边形PQCB 的面积为S ，求S 与t 的关系式；（2）若点Q 关于O 的对称点为M ，过点P 且垂直于AB 的直线l 交菱形ABCD 的边AD （或CD ）于点N ，当t 为何值时，点P 、M 、N 在一直线上？（3）直线PN 与AC 相交于H 点，连接PM ，NM ，是否存在某一时刻t ，使得直线PN 平分四边形APMN 的面积？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) S=﹣231003t +0＜t ＜5）； (2) 307;(3)见解析. 【解析】 【分析】（1）如图1，根据S=S △ABC -S △APQ ，代入可得S 与t 的关系式；（2）设PM=x ，则AM=2x ，可得3，计算x 的值，根据直角三角形30度角的性质可得3AM=AO+OM ，列方程可得t 的值；（3）存在，通过画图可知：N 在CD 上时，直线PN 平分四边形APMN 的面积，根据面积相等可得MG=AP ，由AM=AO+OM ，列式可得t 的值． 【详解】解：（1）如图1，∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC=60°，AC ⊥BD ， ∴∠OAB=30°， ∵AB=20，∴OB=10，3 由题意得：AP=4t ，∴PQ=2t ，AQ=23t ， ∴S=S △ABC ﹣S △APQ ， =11··22AC OB PQ AQ -， =111020322322t t ⨯⨯-⨯⨯ ， =﹣23t 2+1003（0＜t ＜5）； （2）如图2，在Rt △APM 中，AP=4t ， ∵点Q 关于O 的对称点为M ， ∴OM=OQ ， 设PM=x ，则AM=2x ， ∴AP=3x=4t ， ∴x=3， ∴AM=2PM=3， ∵AM=AO+OM ，∴3=103+103﹣23t ，t=307； 答：当t 为307秒时，点P 、M 、N 在一直线上； （3）存在，如图3，∵直线PN 平分四边形APMN 的面积， ∴S △APN =S △PMN ，过M 作MG ⊥PN 于G ，∴11··22PN AP PN MG = ， ∴MG=AP ，易得△APH ≌△MGH ，∴3，∵AM=AO+OM ，同理可知：3﹣3，3333t ，t=3011． 答：当t 为3011秒时，使得直线PN 平分四边形APMN 的面积．【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，对称的性质，三角形和四边形的面积，二次根式的化简等知识点，计算量大，解答本题的关键是熟练掌握动点运动时所构成的三角形各边的关系.10．已知，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A （﹣1，0）和C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使PA +PC 的值最小？如果存在，请求出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设点M 在抛物线的对称轴上，当△MAC 是直角三角形时，求点M 的坐标．【答案】（1）223y x x =-++；（2）当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2；（3）点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】()1由点A 、C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B 的坐标，由点B 、C 的坐标利用待定系数法即可求出直线BC 的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P 的坐标；()3设点M 的坐标为()1,m ，则22CM (10)(m 3)=-+-，()22AC [01](30)10=--+-=，()22AM [11](m 0)=--+-，分AMC 90∠=o 、ACM 90∠=o 和CAM 90∠=o 三种情况，利用勾股定理可得出关于m 的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m 的值，进而即可得出点M 的坐标． 【详解】解：()1将()1,0A -、()0,3C 代入2y x bx c =-++中， 得：{103b c c --+==，解得：{23b c ==，∴抛物线的解析式为223y x x =-++．()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，如图1所示．当0y =时，有2230x x -++=， 解得：11x =-，23x =，∴点B 的坐标为()3,0．Q 抛物线的解析式为2223(1)4y x x x =-++=--+， ∴抛物线的对称轴为直线1x =．设直线BC 的解析式为()0y kx d k =+≠， 将()3,0B 、()0,3C 代入y kx d =+中， 得：{303k d d +==，解得：{13k d =-=，∴直线BC 的解析式为3y x =-+． Q 当1x =时，32y x =-+=，∴当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2．()3设点M 的坐标为()1,m ，则22(10)(3)CM m =-+-，()22[01](30)10AC =--+-=()22[11](0)AM m =--+-分三种情况考虑：①当90AMC ∠=o 时，有222AC AM CM =+，即22101(3)4m m =+-++，解得：11m =，22m =，∴点M 的坐标为()1,1或()1,2；②当90ACM ∠=o 时，有222AM AC CM =+，即224101(3)m m +=++-，解得：83m =， ∴点M 的坐标为81,3⎛⎫⎪⎝⎭；③当90CAM ∠=o 时，有222CM AM AC =+，即221(3)410m m +-=++，解得：23m =-， ∴点M 的坐标为21,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭综上所述：当MAC V 是直角三角形时，点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫⎪⎝⎭或21,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查待定系数法求二次(一次)函数解析式、二次(一次)函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：()1由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；()2由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点P 的位置；()3分AMC 90∠=o 、ACM 90∠=o 和CAM 90∠=o 三种情况，列出关于m 的方程．11．如图，直线y ＝﹣x +4与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过B ，C 两点，与x 轴另一交点为A ．点P 以每秒2个单位长度的速度在线段BC 上由点B 向点C 运动（点P 不与点B 和点C 重合），设运动时间为t 秒，过点P 作x 轴垂线交x 轴于点E ，交抛物线于点M ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，过点P 作y 轴垂线交y 轴于点N ，连接MN 交BC 于点Q ，当12MQ NQ =时，求t 的值；（3）如图②，连接AM 交BC 于点D ，当△PDM 是等腰三角形时，直接写出t 的值． 【答案】（1）y ＝﹣x 2+3x +4；（2）t 的值为12；（3）当△PDM 是等腰三角形时，t ＝1或t ﹣1． 【解析】 【分析】（1）求直线y=-x+4与x 轴交点B ，与y 轴交点C ，用待定系数法即求得抛物线解析式． （2）根据点B 、C 坐标求得∠OBC=45°，又PE ⊥x 轴于点E ，得到△PEB 是等腰直角三角形，由PB =求得BE=PE=t ，即可用t 表示各线段，得到点M 的横坐标，进而用m 表示点M 纵坐标，求得MP 的长．根据MP ∥CN 可证MPQ NCQ V V ∽，故有12MP MQ NC NQ ＝＝，把用t 表示的MP 、NC 代入即得到关于t 的方程，求解即得到t 的值． （3）因为不确定等腰△PDM 的底和腰，故需分3种情况讨论：①若MD=MP ，则∠MDP=∠MPD=45°，故有∠DMP=90°，不合题意；②若DM=DP ，则∠DMP=∠MPD=45°，进而得AE=ME ，把含t 的式子代入并解方程即可；③若MP=DP ，则∠PMD=∠PDM ，由对顶角相等和两直线平行内错角相等可得∠CFD=∠PMD=∠PDM=∠CDF 进而得CF=CD ．用t 表示M 的坐标，求直线AM 解析式，求得AM 与y 轴交点F 的坐标，即能用t 表示CF 的长．把直线AM 与直线BC 解析式联立方程组，解得x 的值即为点D 横坐标．过D 作y 轴垂线段DG ，得等腰直角△CDG ，用DG 即点D 横坐标，进而可用t 表示CD 的长．把含t 的式子代入CF=CD ，解方程即得到t 的值． 【详解】（1）直线y ＝﹣x +4中，当x ＝0时，y ＝4 ∴C （0，4）当y ＝﹣x +4＝0时，解得：x ＝4 ∴B （4，0）∵抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过B ，C 两点 ∴1640004b c c -++=⎧⎨++=⎩ 解得：34b c =⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2+3x +4（2）∵B （4，0），C （0，4），∠BOC ＝90° ∴OB ＝OC∴∠OBC ＝∠OCB ＝45° ∵ME ⊥x 轴于点E ，PBt ∴∠BEP ＝90°∴Rt △BEP 中，2PE sin PBE PB ∠=＝∴BE PE t ＝＝， ∴4M P P x x OE OBBE t y PE t ＝＝＝﹣＝﹣，＝＝ ∵点M 在抛物线上∴2243445M y t t t t +++＝﹣（﹣）（﹣）＝﹣， ∴24MP MP y y t t +＝﹣＝﹣ ， ∵PN ⊥y 轴于点N∴∠PNO ＝∠NOE ＝∠PEO ＝90° ∴四边形ONPE 是矩形 ∴ON ＝PE ＝t ∴NC ＝OC ﹣ON ＝4﹣t ∵MP ∥CN ∴△MPQ ∽△NCQ ∴12MP MQ NC NQ == ∴24142t t t -+=-解得：12142t t ＝，＝（点P 不与点C 重合，故舍去） ∴t 的值为12（3）∵∠PEB ＝90°，BE ＝PE ∴∠BPE ＝∠PBE ＝45° ∴∠MPD ＝∠BPE ＝45°①若MD ＝MP ，则∠MDP ＝∠MPD ＝45° ∴∠DMP ＝90°，即DM ∥x 轴，与题意矛盾 ②若DM ＝DP ，则∠DMP ＝∠MPD ＝45° ∵∠AEM ＝90° ∴AE ＝ME∵y ＝﹣x 2+3x +4＝0时，解得：x 1＝﹣1，x 2＝4 ∴A （﹣1，0）∵由（2）得，x M ＝4﹣t ，ME ＝y M ＝﹣t 2+5t ∴AE ＝4﹣t ﹣（﹣1）＝5﹣t ∴5﹣t ＝﹣t 2+5t解得：t 1＝1，t 2＝5（0＜t ＜4，舍去）③若MP ＝DP ，则∠PMD ＝∠PDM如图，记AM 与y 轴交点为F ，过点D 作DG ⊥y 轴于点G ∴∠CFD ＝∠PMD ＝∠PDM ＝∠CDF ∴CF ＝CD∵A （﹣1，0），M （4﹣t ，﹣t 2+5t ），设直线AM 解析式为y ＝ax +m ∴()2045a m a t m t t -+=⎧⎨-+=-+⎩ 解得：a tm t =⎧⎨=⎩ ， ∴直线AM ：y tx t +＝ ∴F （0，t ） ∴CF ＝OC ﹣OF ＝4﹣t ∵tx +t ＝﹣x +4，解得：41tx t -=+， ∴41D x tt DG -=+＝＝， ∵∠CGD ＝90°，∠DCG ＝45° ∴)2421t CD DG t -+＝＝，∴)2441t t t -+﹣ 解得：21t ＝﹣综上所述，当△PDM 是等腰三角形时，t ＝1或21t ＝﹣． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解二元一次方程组和一元二次方程，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，涉及等腰三角形的分类讨论，要充分利用等腰的性质作为列方程的依据．12．已知，如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(1,9)M ，经过抛物线上的两点(3,7)A --和(3,)B m 的直线交抛物线的对称轴于点C ．（1）求抛物线的解析式和直线AB 的解析式．（2）在抛物线上,A M 两点之间的部分（不包含,A M 两点），是否存在点D ，使得2DAC DCM S S ∆∆=？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点,,,A M P Q 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P 的坐标．【答案】（1）抛物线的表达式为：228y x x =-++，直线AB 的表达式为：21y x =-；（2）存在，理由见解析；点P (6,16)-或(4,16)--或(17,2)+或(17,2)．【解析】 【分析】（1）二次函数表达式为：y=a （x-1）2+9，即可求解； （2）S △DAC =2S △DCM ，则()()()()()21112821139112222DAC C A S DH x x x x x x =-=-++-++=--⨯V ，，即可求解；（3）分AM 是平行四边形的一条边、AM 是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】解：（1）二次函数表达式为：()219y a x =-+， 将点A 的坐标代入上式并解得：1a =-， 故抛物线的表达式为：228y x x =-++…①， 则点()3,5B ，将点,A B 的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线AB 的表达式为：21y x =-； （2）存在，理由：二次函数对称轴为：1x =，则点()1,1C ， 过点D 作y 轴的平行线交AB 于点H ，设点()2,28D x x x -++，点(),21H x x -，∵2DAC DCM S S ∆∆=， 则()()()()()21112821139112222DAC C A S DH x x x x x x =-=-++-++=--⨯V ， 解得：1x =-或5（舍去5）， 故点()1,5D -；（3）设点(),0Q m 、点(),P s t ，228t s s =-++， ①当AM 是平行四边形的一条边时，点M 向左平移4个单位向下平移16个单位得到A ，同理，点(),0Q m 向左平移4个单位向下平移16个单位为()4,16m --，即为点P ， 即：4m s -=，6t -=，而228t s s =-++， 解得：6s =或﹣4， 故点()6,16P -或()4,16--； ②当AM 是平行四边形的对角线时，由中点公式得：2m s +=-，2t =，而228t s s =-++， 解得：17s =±故点()17,2P 或()17,2；综上，点()6,16P -或()4,16--或()17,2或()17,2． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．13．已知矩形ABCD 中，AB =5cm ，点P 为对角线AC 上的一点，且AP =25cm .如图①，动点M 从点A 出发，在矩形边上沿着A B C →→的方向匀速运动(不包含点C ).设动点M 的运动时间为t (s )，APM ∆的面积为S (cm ²)，S 与t 的函数关系如图②所示： (1)直接写出动点M 的运动速度为 /cm s ，BC 的长度为 cm ;(2)如图③，动点M 重新从点A 出发，在矩形边上，按原来的速度和方向匀速运动.同时，另一个动点N 从点D 出发，在矩形边上沿着D C B →→的方向匀速运动，设动点N 的运动速度为()/v cm s .已知两动点M 、N 经过时间()x s 在线段BC 上相遇(不包含点C )，动点M 、N 相遇后立即停止运动，记此时APM DPN ∆∆与的面积为()()2212,S cm S cm . ①求动点N 运动速度()/v cm s 的取值范围;②试探究12S S ⋅是否存在最大值.若存在，求出12S S ⋅的最大值并确定运动速度时间x 的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)2，10；(2)①2/6/3cm s v cm s ≤＜；②当154x =时，12S S ⋅取最大值2254. 【解析】 【分析】（1）由题意可知图像中0~2.5s 时，M 在AB 上运动，求出速度，2.5~7.5s 时，M 在BC 上运动，求出BC 长度；（2）①分别求出在C 点相遇和在B 点相遇时的速度，取中间速度，注意C 点相遇时的速度不能取等于；②过M 点做MH ⊥AC ，则125MH CM ==得到S 1，同时利用12()PAD CDM ABM N ABCD S S S S S S ∆∆∆+=---（N ）矩形=15，得到S 2，再得到12S S ⋅关于x 的二次函数，利用二次函数性质求得最大值 【详解】(1)5÷2.5=2/cm s ；（7.5-2.5）×2=10cm (2)①解：在C 点相遇得到方程57.5v= 在B 点相遇得到方程152.5v= ∴5=7.515=2.5vv⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得 23=5v v ⎧=⎪⎨⎪⎩。
二次函数压轴题(精华版)
2016年10月26日二次函数压轴题1一．解答题〔共30小题〕1．如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过点A〔2，4〕与B〔6，0〕．〔1〕求a，b的值；〔2〕点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x〔2＜x＜6〕，写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．2．如图，抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为〔3，0〕〔1〕求m的值与抛物线的顶点坐标．〔2〕点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．3．如图，直线y=x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y=x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为〔1，0〕．〔1〕求该抛物线的解析式；〔2〕动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标．4．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3a经过A〔﹣1，0〕、C〔0，﹣3〕两点，与x轴交于另一点B．〔1〕求此抛物线的解析式；〔2〕点D〔m，﹣m﹣1〕在第四象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点D'的坐标．〔3〕在〔2〕的条件下，连接BD，问在x轴上是否存在点P，使∠PCB=∠CBD？假如存在，请求出P点的坐标；假如不存在，请说明理由．5．如图，二次函数y=ax2+bx﹣3的图象与x轴交于B、C两点〔点B在点C的左侧〕，一次函数y=mx+n的图象经过点B和二次函数图象上另一点A，点A的坐标〔4，3〕，．〔1〕求二次函数和一次函数的解析式；〔2〕假如点P在第四象限的抛物线上，求△ABP面积S的最大值并求出此时点P的坐标；〔3〕假如点M在直线AB上，且与点A的距离是到x轴距离的倍，求点M的坐标．6．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A〔3，0〕，与y轴的交点为B〔0，3〕，其顶点为C，对称轴为x=1．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标．7．点A〔2，a〕在抛物线y=x2上〔1〕求A点的坐标；〔2〕在x轴上是否存在点P，使△OAP是等腰三角形？假如存在写出P点坐标；假如不存在，说明理由．8．如图，对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为〔﹣3，0〕，点C为抛物线与y轴的交点．〔1〕求函数的解析式；〔2〕假如点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P的坐标；〔3〕设点Q为线段AC上的动点，作QO⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．9．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A〔﹣2，0〕和点B〔6，0〕，与y轴交于点C〔0，3〕，点D是抛物线上的点，且CD∥x轴，点E是抛物线的顶点．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕平移该抛物线的对称轴所在直线L，当L平移到何处时，恰好将△BCD的面积分为相等的两局部？〔3〕点F在线段CD上，假如以点C，E，F为顶点的三角形与△COE相似，试求点F的坐标．10．如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A〔1，0〕和B〔4，0〕．〔1〕求抛物线的解析式与对称轴；〔2〕假如抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方对称轴上一点，FC∥x轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C，且四边形OECF是平行四边形，求点C的坐标．11．如图，抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕与x轴交于点A〔﹣4，0〕，B〔1，0〕，与y轴交于点D〔0，4〕，点C〔﹣2，n〕也在此抛物线上．〔1〕求此抛物线的解析式与点C的坐标；〔2〕设BC交y轴于点E，连接AE，AC请判断△ACE的形状，并说明理由；〔3〕连接AD交BC于点F，试问：以A，B，F为顶点的三角形与△ABC相似吗？请说明理由．12．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点〔点A在点B的左侧〕，点A的坐标为〔﹣1，0〕，与y轴交于点C〔0，3〕，作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x 轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m．〔1〕求抛物线的解析式和直线BC的解析式；〔2〕当点P在线段OB上运动时，求线段MN的最大值；〔3〕当点P在线段OB上运动时，假如△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时，求m的值；〔4〕当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出m的值．13．：如下列图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A〔1，0〕，B〔3，0〕．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕设点P在该抛物线上滑动，且满足条件S△PAB=1的点P有几个？并求出所有点P的坐标；〔3〕设抛物线交y轴于点C，问该抛物线对称轴上是否存在点M，使得△MAC的周长最小？假如存在，求出点M的坐标；假如不存在，请说明理由．14．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A〔﹣3，0〕、B〔1，0〕、C〔0，3〕．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕假如点P为抛物线在第二象限上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；〔3〕设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是等腰直角三角形？假如存在，请直接写出点M的坐标；假如不存在，请说明理由．15．抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕过点A〔﹣3，0〕，B〔1，0〕，C〔0，3〕三点．〔1〕求该抛物线的函数关系式；〔2〕假如抛物线的顶点为P，连接PA、AC、CP，求△PAC的面积；〔3〕过点C作y轴的垂线，交抛物线于点D，连接PD、BD，BD交AC于点E，判断四边形PCED的形状，并说明理由．16．如图，二次函数y=x2+2x+c的图象与x轴交于点A和点B〔1，0〕，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，同时动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿CB匀速运动，当点Q到达终点B时，点P停止运动，设运动时间为t秒．连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．〔1〕求点A的坐标；〔2〕当点P在线段AO〔点P不与A、O重合〕上运动至何处时，线段OE的长有最大值，并求出这个最大值；〔3〕在P，Q运动过程中，求当△DPE与以D，C，Q为顶点的三角形相似时t的值；〔4〕是否存在t，使△DCQ沿DQ翻折得到△DC′Q，点C′恰好落在抛物线的对称轴上？假如存在，请求出t的值；假如不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与抛物线y=ax2+bx﹣3〔a≠0〕交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为5．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点〔不与点A、B 重合〕，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为1：2？假如存在，直接写出m的值；假如不存在，请说明理由．18．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的三个顶点B〔1，0〕，C〔3，0〕，D〔3，4〕，以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C，动点P从点A出发，以每秒个单位的速度沿线段AD向点D运动，运动时间为t秒，过点P作PE⊥x轴交抛物线于点M，交AC于点N．〔1〕直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；〔2〕当t为何值时，△ACM的面积最大？最大值为多少？〔3〕点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CD向点D运动，当t为何值时，在线段PE上存在点H，使以C，Q，N，H为顶点的四边形为菱形？19．如图，二次函数y=﹣x2﹣+3〔其中m是常数，且m＞0〕的图象与x轴交于A、B〔点A位于点B的左侧〕，与y轴交于点C，作CD∥AB，点D在二次函数的图象上，连接BD，过点B作射线BE交二次函数的图象于点E，使得AB平分∠DBE．〔1〕求点C的坐标；〔2〕求证：为定值；〔3〕二次函数y=﹣x2﹣+3的顶点为F，过点C、F作直线与x轴交于点G，试说明：以GF、BD、BE的长度为三边长的三角形是什么三角形？请说明理由．20．如图1，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为〔﹣2，0〕、〔0，﹣3〕，过点B，C的抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点D，E〔D在E的左侧〕，直线DC与线段AB交于点F．〔1〕求抛物线y=x2+bx+c的表达式；〔2〕求点F的坐标；〔3〕如图2，设动点P从点E出发，以每秒1个单位的速度沿射线ED运动，过点P作直线DC的平行线l，过点F作x轴的平行线，交直线l于点Q．设点P的运动时间为t秒．①当点P在射线ED上运动时，四边形PQFD能否成为菱形？假如能，求出相应的t的值；假如不能，说明理由；②当0≤t≤4时，设四边形PQFD与四边形ODBC重合局部的面积为S，直接写出S与t的函数关系式以与相应的自变量t的取值围．21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣4a与直线y=﹣x+4交两坐标轴于点B，C，且与x轴交另一点A．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕点D〔m，m+1〕在第一象限抛物线的图象上，求点D关于直线BC对称的点D′坐标；〔3〕在〔2〕的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求△ABP的面积．22．如图，点P是直线l：y=﹣2x﹣2上的点，过点P的另一条直线m交抛物线y=x2于A，B 两点．〔1〕假如直线m的解析式为y=﹣x+2，求P，A，B三点的坐标；〔2〕假如点P的坐标为〔﹣2，2〕，当PA=PB时，求点A的坐标；〔3〕求证：对于直线l上任意一点P，在抛物线上都能找到两个不同位置的点A，使得PA=PB 成立？23．抛物线y=ax2+bx+c〔a＜0〕经过点A〔﹣3，0〕、B〔1，0〕，且与y轴交于点C，设抛物线的顶点为D．〔1〕求点C、D的坐标〔用含a的式子表示〕；〔2〕当a变化时，△ACD能否为直角三角形？假如能？求出所有符合条件的a的值；假如不能，请说明理由．24．如图1，正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，假如∠AEF=90°，且EF交正方形的外角∠DCM的平分线CF于点F．〔1〕图1中假如点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF，请表示你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等〔不要求证明〕；〔2〕如图2，假如点E在线段BC上滑动〔不与点B，C重合〕．①AE=EF是否一定成立？说出你的理由；②在如图2所示的直角坐标系中抛物线y=ax2+x+c经过A、D两点，当点E滑动到某处时，点F恰好落在此抛物线上，求此时点F的坐标．25．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A〔﹣1，0〕、B〔2，0〕两点，与y轴交于点C〔0，﹣2〕，过A、C画直线．〔1〕求二次函数的解析式；〔2〕点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；〔3〕假如M为线段OB上的一个动点，过点M做MN平行于y轴交抛物线于点N，当点M运动到何处时，四边形AB的面积最大？求出此时点M的坐标与四边形AB面积的最大值？26．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2﹣3x的图象与x轴相交于O、A两点．〔1〕求A点和顶点C的坐标；〔2〕在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；〔3〕对于〔2〕中的点B，在直线OB下方的抛物线上是否存在点P，使得△POB的面积最大？假如存在，求出△POB的最大面积；假如不存在，请说明理由．27．如图，抛物线的对称轴是直线x=1，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标分别是〔﹣1，0〕、〔0，3〕〔1〕求此抛物线对应的函数解析式；〔2〕假如点P是抛物线上位于x轴上方的一个动点，求△ABP面积的最大值；〔3〕假如过点A〔﹣1，0〕的直线AD与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形的面积为6，求此直线的解析式．28．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于点AB，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，连接BC、BD．〔1〕点A的坐标是，点B的坐标是，点D的坐标是；〔2〕假如点E是x轴上一点，连接CE，且满足∠ECB=∠CBD，求点E坐标；〔3〕假如点P在x轴上且位于点B右侧，点A、Q关于点P中心对称，连接QD，且∠BDQ=45°，求点P的坐标〔请利用备用图解决问题〕29．如图〔1〕，在平面直角坐标系xOy中，▱OABC的顶点A的坐标为〔2，0〕，点C的坐标为〔2，2〕，点P在射线OA上沿OA方向以2个单位长度/s的速度向右运动，点Q在线段AB上沿AB方向以个单位长度/s的速度从点A向点B运动，设点Q运动的时间为t s〔0≤t ≤2〕，射线PQ交射线CB于点D，连接CP．〔1〕求出过O、A、B三点的抛物线的函数关系式；〔2〕当0＜t＜1时，求出△PAQ的面积 S与t的函数关系式，并求出当t取何值时，S有最大值；〔3〕在点P运动的过程中，∠CPD是一个定值，这个定值是；并求出当△PCD为等腰三角形时t的值；〔4〕当1≤t≤2时，线段DP的中点M运动的总路程为．30．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为〔1，0〕，点B的坐标为〔0，4〕，点E〔m，0〕是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．〔1〕求该抛物线的解析式；〔2〕当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；〔3〕在〔2〕的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似？假如存在，求出此时m的值；假如不存在，请说明理由．2016年10月26日二次函数压轴题1参考答案与试题解析一．解答题〔共30小题〕1．〔2016•〕如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过点A〔2，4〕与B〔6，0〕．〔1〕求a，b的值；〔2〕点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x〔2＜x＜6〕，写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的最值．【专题】计算题；二次函数图象与其性质．【分析】〔1〕把A与B坐标代入二次函数解析式求出a与b的值即可；〔2〕如图，过A作x轴的垂直，垂足为D〔2，0〕，连接CD，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F，分别表示出三角形OAD，三角形ACD，以与三角形BCD的面积，之和即为S，确定出S关于x的函数解析式，并求出x的围，利用二次函数性质即可确定出S的最大值，以与此时x的值．【解答】解：〔1〕将A〔2，4〕与B〔6，0〕代入y=ax2+bx，得，解得：；〔2〕如图，过A作x轴的垂直，垂足为D〔2，0〕，连接CD，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F，S△OAD=OD•AD=×2×4=4；S△ACD=AD•CE=×4×〔x﹣2〕=2x﹣4；S△BCD=BD•CF=×4×〔﹣x2+3x〕=﹣x2+6x，如此S=S△OAD+S△ACD+S△BCD=4+2x﹣4﹣x2+6x=﹣x2+8x，∴S关于x的函数表达式为S=﹣x2+8x〔2＜x＜6〕，∵S=﹣x2+8x=﹣〔x﹣4〕2+16，∴当x=4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以与二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．2．〔2016•〕如图，抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为〔3，0〕〔1〕求m的值与抛物线的顶点坐标．〔2〕点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．【考点】二次函数的性质．【专题】动点型．【分析】〔1〕首先把点B的坐标为〔3，0〕代入抛物线y=﹣x2+mx+3，利用待定系数法即可求得m的值，继而求得抛物线的顶点坐标；〔2〕首先连接BC交抛物线对称轴l于点P，如此此时PA+PC的值最小，然后利用待定系数法求得直线BC的解析式，继而求得答案．【解答】解：〔1〕把点B的坐标为〔3，0〕代入抛物线y=﹣x2+mx+3得：0=﹣32+3m+3，解得：m=2，∴y=﹣x2+2x+3=﹣〔x﹣1〕2+4，∴顶点坐标为：〔1，4〕．〔2〕连接BC交抛物线对称轴l于点P，如此此时PA+PC的值最小，设直线BC的解析式为：y=kx+b，∵点C〔0，3〕，点B〔3，0〕，∴，解得：，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3，当x=1时，y=﹣1+3=2，∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为：〔1，2〕．【点评】此题考查了二次函数的性质、待定系数法求解析式以与距离最短问题．注意找到点P的位置是解此题的关键．3．〔2016•模拟〕如图，直线y=x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y=x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为〔1，0〕．〔1〕求该抛物线的解析式；〔2〕动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标．【考点】二次函数的性质．【分析】〔1〕根据直线的解析式求得点A〔0，1〕，那么把A，B坐标代入y=x2+bx+c即可求得函数解析式；〔2〕让直线解析式与抛物线的解析式结合即可求得点E的坐标．△PAE是直角三角形，应分点P为直角顶点，点A是直角顶点，点E是直角顶点三种情况探讨．【解答】解：〔1〕∵直线y=x+1与y轴交于点A，∴A〔0，1〕，∵y=x2+bx+c过〔1，0〕和〔0，1〕，如此，解得．∴抛物线的解析式为y=x2﹣x+1；〔2〕设点E的横坐标为m，如此它的纵坐标为m2﹣m+1即E点的坐标〔m，m2﹣m+1〕，又∵点E在直线y=x+1上，∴m2﹣m+1=m+1解得m1=0〔舍去〕，m2=4，∴E的坐标为〔4，3〕．〔Ⅰ〕当A为直角顶点时，过A作AP1⊥DE交x轴于P1点，设P1〔a，0〕易知D点坐标为〔﹣2，0〕，由Rt△AOD∽Rt△P1OA得=，即=，∴a=，∴P1〔，0〕．〔Ⅱ〕同理，当E为直角顶点时，过E作EP2⊥DE交x轴于P2点，由Rt△AOD∽Rt△P2ED得，=，即=，∴EP2=，∴DP2==，∴a=﹣2=，P2点坐标为〔，0〕．〔Ⅲ〕当P为直角顶点时，过E作EF⊥x轴于F，设P3〔b、0〕，由∠OPA+∠FPE=90°，得∠OPA=∠FEP，Rt△AOP∽Rt△PFE，由=得=，解得b1=3，b2=1，∴此时的点P3的坐标为〔1，0〕或〔3，0〕，综上所述，满足条件的点P的坐标为〔，0〕或〔1，0〕或〔3，0〕或〔，0〕．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，直线和抛物线的交点等；分类讨论的思想是解题的关键．4．〔2016•株洲模拟〕如图，抛物线y=ax2+bx﹣3a经过A〔﹣1，0〕、C〔0，﹣3〕两点，与x轴交于另一点B．〔1〕求此抛物线的解析式；〔2〕点D〔m，﹣m﹣1〕在第四象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点D'的坐标．〔3〕在〔2〕的条件下，连接BD，问在x轴上是否存在点P，使∠PCB=∠CBD？假如存在，请求出P点的坐标；假如不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】〔1〕将A〔﹣1，0〕、C〔0，﹣3〕两点坐标代入抛物线y=ax2+bx﹣3a中，列方程组求a、b的值即可；〔2〕将点D〔m，﹣m﹣1〕代入〔1〕中的抛物线解析式，求m的值，再根据对称性求点D 关于直线BC对称的点D'的坐标；〔3〕分两种情形①过点C作CP∥BD，交x轴于P，如此∠PCB=∠CBD，②连接BD′，过点C 作CP′∥BD′，交x轴于P′，分别求出直线CP和直线CP′的解析式即可解决问题．【解答】解：〔1〕将A〔﹣1，0〕、C〔0，﹣3〕代入抛物线y=ax2+bx﹣3a中，得，解得，∴y=x2﹣2x﹣3；〔2〕将点D〔m，﹣m﹣1〕代入y=x2﹣2x﹣3中，得m2﹣2m﹣3=﹣m﹣1，解得m=2或﹣1，∵点D〔m，﹣m﹣1〕在第四象限，∴D〔2，﹣3〕，∵直线BC解析式为y=x﹣3，∴∠BCD=∠BCO=45°，CD′=CD=2，OD′=3﹣2=1，∴点D关于直线BC对称的点D'〔0，﹣1〕；〔3〕存在．满足条件的点P有两个．①过点C作CP∥BD，交x轴于P，如此∠PCB=∠CBD，∵直线BD解析式为y=3x﹣9，∵直线CP过点C，∴直线CP的解析式为y=3x﹣3，∴点P坐标〔1，0〕，②连接BD′，过点C作CP′∥BD′，交x轴于P′，∴∠P′CB=∠D′BC，根据对称性可知∠D′BC=∠CBD，∴∠P′CB=∠CBD，∵直线BD′的解析式为y=x﹣1，∵直线CP′过点C，∴直线CP′解析式为y=x﹣3，∴P′坐标为〔9，0〕，综上所述，满足条件的点P坐标为〔1，0〕或〔9，0〕．【点评】此题考查了二次函数的综合运用．关键是由条件求抛物线解析式，根据抛物线的对称性，直线BC的特殊性求点的坐标，学会分类讨论，不能漏解．5．〔2016•东平县一模〕如图，二次函数y=ax2+bx﹣3的图象与x轴交于B、C两点〔点B 在点C的左侧〕，一次函数y=mx+n的图象经过点B和二次函数图象上另一点A，点A的坐标〔4，3〕，．〔1〕求二次函数和一次函数的解析式；〔2〕假如点P在第四象限的抛物线上，求△ABP面积S的最大值并求出此时点P的坐标；〔3〕假如点M在直线AB上，且与点A的距离是到x轴距离的倍，求点M的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】〔1〕过点A作AD⊥x轴于点D，如此D〔4，0〕，∠ADB=90°，在Rt△ADB中，根据正切函数的定义求出BD=6，如此B点坐标为〔﹣2，0〕，再将B，A两点的坐标代入y=ax2+bx ﹣3，运用待定系数法求出二次函数的解析式；将B，A两点的坐标代入y=mx+n，运用待定系数法求出一次函数的解析式；〔2〕根据〔1〕中求出的抛物线的解析式可设点P的坐标为〔t，t2﹣t﹣3〕，过点P作PH垂直于x轴交AB于H点，如此H〔t，t+1〕，用含t的代数式表示PH的长度，再根据S△ABP=PH•BD，求出S△ABP=﹣t2+3t+12，配方后根据二次函数的性质即可求解；〔3〕根据〔1〕中求出的直线AB的解析式可设点M的坐标为〔p，p+1〕，由点M与点A 的距离是它到x轴距离的倍，列出关于p的方程，解方程即可．【解答】解：〔1〕过点A〔4，3〕作AD⊥x轴于点D，如此D〔4，0〕，∠ADB=90°．在Rt△ADB中，∵tan∠ABD===，∴BD=6，B点坐标为〔﹣2，0〕．将B〔﹣2，0〕，A〔4，3〕代入y=ax2+bx﹣3，得，解得：，∴二次函数的解析式为y=x2﹣x﹣3；将B〔﹣2，0〕，A〔4，3〕代入y=mx+n，得，解得，∴一次函数解析式为y=x+1；〔2〕设点P的坐标为〔t，t2﹣t﹣3〕，过点P作PH垂直于x轴交AB于H点，如此H 〔t，t+1〕，∴PH=〔t+1〕﹣〔t2﹣t﹣3〕=﹣t2+t+4，∴S△ABP=S△AHP+S△BHP=PH•DM+PH•BM=PH•BD=〔﹣t2+t+4〕•6=﹣t2+3t+12=﹣〔t ﹣1〕2+，∴当t=1即P点坐标为〔1，﹣3〕时，△ABP的面积S最大，此时S△ABP=；〔3〕设点M的坐标为〔p，p+1〕，由题意，得=×|p+1|，化简整理，得p2﹣12p+20=0，解得p=2或10，当p=2时，p+1=×2+1=2；当p=10时，p+1=×10+1=6．故所求点M的坐标为〔2，2〕或〔10，6〕．【点评】此题综合考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数〔二次函数和一次函数〕的解析式，三角形的面积，两点间的距离公式，平面直角坐标系的点到坐标轴的距离等重要知识点，难度不是很大．运用数形结合与方程思想是解题的关键．6．〔2016•二模〕如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A〔3，0〕，与y轴的交点为B〔0，3〕，其顶点为C，对称轴为x=1．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式．【分析】〔1〕直接根据题意列出关于a、b、c的方程组，解方程组即可解决问题．〔2〕运用分类讨论的数学思想，根据等腰三角形的定义，分类讨论，数形结合，即可解决问题．【解答】解：〔1〕由题意得：，解该方程组得：a=﹣1，b=2，c=3，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．〔2〕由题意得：OA=3，OB=3；由勾股定理得：AB2=32+32，∴AB=3．当△ABM为等腰三角形时，①假如AB为底，∵OA=OB，∴此时点O即为所求的点M，故点M的坐标为M〔0，0〕；②假如AB为腰，以点B为圆心，以长为半径画弧，交y轴于两点，此时两点坐标为M〔0，3﹣3〕或M〔0，3+3〕，以点A为圆心，以长为半径画弧，交y轴于点〔0，﹣3〕；综上所述，当△ABM为等腰三角形时，点M的坐标分别为〔0，0〕、〔0，3﹣3〕、〔0，3+3〕、〔0，﹣3〕．【点评】该题主要考查了抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次函数的解析式等知识点与其应用问题；解题的关键是灵活运用、大胆猜测、科学解答．7．〔2016•丹阳市校级模拟〕点A〔2，a〕在抛物线y=x2上〔1〕求A点的坐标；〔2〕在x轴上是否存在点P，使△OAP是等腰三角形？假如存在写出P点坐标；假如不存在，说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】〔1〕直接将A点代入解析式求出即可A点坐标即可；〔2〕分别根据以O为顶点时，以A为顶点时，以P为顶点时求出符合题意的点的坐标即可．【解答】解：〔1〕∵点A〔2，a〕在抛物线y=x2上，∴a=22=4，∴A点的坐标为：〔2，4〕；〔2〕如下列图：以O为顶点时，AO=P1O=2或AO=AP2=2∴点P坐标：〔2，0〕，〔﹣2，0〕，以A为顶点时，AO=OP，∴点P坐标：〔4，0〕；以P为顶点时，OP′=AP′，∴AE2+P′E2=P′A2，设AP′=x，如此42+〔x﹣2〕2=x2，解得：x=5，∴点P坐标：〔5，0〕，综上所述：使△OAP是等腰三角形如此P点坐标为：〔2，0〕，〔﹣2，0〕，〔4，0〕，〔5，0〕．【点评】此题主要考查了二次函数图象上点的性质以与等腰三角形的判定，利用分类讨论得出是解题关键．8．〔2016•宁津县二模〕如图，对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A，B 两点，其中点A的坐标为〔﹣3，0〕，点C为抛物线与y轴的交点．〔1〕求函数的解析式；〔2〕假如点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P的坐标；〔3〕设点Q为线段AC上的动点，作QO⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．【考点】二次函数综合题．【分析】〔1〕由抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，交x轴于A、B两点，其中A点的坐标为〔﹣3，0〕，根据二次函数的对称性，即可求得B点的坐标；〔2〕a=1时，先由对称轴为直线x=﹣1，求出b的值，再将B〔1，0〕代入，求出二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3，得到C点坐标，然后设P点坐标为〔x，x2+2x﹣3〕，根据S△POC=4S 列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；△BOC〔3〕先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=﹣x﹣3，再设Q点坐标为〔x，﹣x﹣3〕，如此D点坐标为〔x，x2+2x﹣3〕，然后用含x的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值．【解答】解：〔1〕∵对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=x2+bx+c〔a≠0〕与x轴相交于A、B两点，∴A、B两点关于直线x=﹣1对称，∵点A的坐标为〔﹣3，0〕，∴点B的坐标为〔1，0〕；〔2〕∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，∴﹣=﹣1，解得b=2．将B〔1，0〕代入y=x2+2x+c，得1+2+c=0，解得c=﹣3．如此二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3，∴抛物线与y轴的交点C的坐标为〔0，﹣3〕，OC=3．设P点坐标为〔x，x2+2x﹣3〕，∵S△POC=4S△BOC，∴×3×|x|=4××3×1，∴|x|=4，x=±4．当x=4时，x2+2x﹣3=16+8﹣3=21；当x=﹣4时，x2+2x﹣3=16﹣8﹣3=5．∴点P的坐标为〔4，21〕或〔﹣4，5〕；〔3〕设直线AC的解析式为y=kx+t 〔k≠0〕将A〔﹣3，0〕，C〔0，﹣3〕代入，得，解得，即直线AC的解析式为y=﹣x﹣3．设Q点坐标为〔x，﹣x﹣3〕〔﹣3≤x≤0〕，如此D点坐标为〔x，x2+2x﹣3〕，QD=〔﹣x﹣3〕﹣〔x2+2x﹣3〕=﹣x2﹣3x=﹣〔x+〕2+，∴当x=﹣时，QD有最大值．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以与三角形面积、线段长度问题．此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考常考题型．9．〔2016•模拟〕如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A〔﹣2，0〕和点B〔6，0〕，与y 轴交于点C〔0，3〕，点D是抛物线上的点，且CD∥x轴，点E是抛物线的顶点．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕平移该抛物线的对称轴所在直线L，当L平移到何处时，恰好将△BCD的面积分为相等的两局部？〔3〕点F在线段CD上，假如以点C，E，F为顶点的三角形与△COE相似，试求点F的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】〔1〕利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；〔2〕首先求得D的坐标，如此CD的长即可求得，进而求得△BCD的面积，当l平移至l1，l1与CD、BC分别交于点M、N，易证△CMN∽△BOC，求得CM和MN的关系，利用三角形的面积公式即可求解；〔3〕分成△COE∽△ECF和△COE∽△FCE两种情况，利用相似三角形的对应边的比相等即可求解．【解答】解：〔1〕根据题意得：，解得：．如此抛物线的解析式是y=﹣x2+x+3；〔2〕抛物线y=﹣x2+x+3的对称轴是x=2．∵CD∥x轴，C的坐标是〔0，3〕，∴D的坐标是〔4，3〕，∴S△BCD=CD•OC=×4×3=6．如图，当l平移至l1，l1与CD、BC分别交于点M、N．∴∠M=∠CBO，∠CMN=∠BOC=90°，∴△CMN∽△BOC，∴===2，∴CM=2MN，∴S△CMN=CM•MN=CM2．∵S△CMN=S△BCD，∴CM2=3，∴CM=2．∴当l平移到直线x=2处时，恰好将△BCD的面积分成面积相等的两局部；〔3〕设对称轴l交CD于点P，过点E作EQ⊥y轴，垂足为点Q．∵E〔2，4〕，C〔0，3〕，CD∥x轴，∴==，又∵∠EQO=∠EPC=90°，∴△EQC∽△EPC，∴∠COE=∠ECD．∵C〔0，3〕，E〔2，4〕，∴CE=，OE=2．分成两种情况：当△COE∽△ECF是，=，∴CF=，∴F的坐标是〔，3〕；当△COE∽△FCE时，=，∴CF=．∴F的坐标是〔，3〕．如此满足条件的F的坐标是〔，3〕或〔，3〕．【点评】此题考查了待定系数法求函数的解析式以与相似三角形的判定与性质，正确分成△COE∽△ECF和△COE∽△FCE两种情况进展讨论是关键．10．〔2016•模拟〕如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A〔1，0〕和B〔4，0〕．〔1〕求抛物线的解析式与对称轴；〔2〕假如抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方对称轴上一点，FC∥x轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C，且四边形OECF是平行四边形，求点C的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】〔1〕由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再由抛物线的对称轴为x=﹣，代入数据即可得出结论；〔2〕由平行四边形的性质即可得出点C的横坐标，代入抛物线解析式中即可得出点C的坐标．【解答】解：〔1〕将点A〔1，0〕、B〔4，0〕代入y=ax2+bx+2中，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y=．抛物线的对称轴为x=﹣=．〔2〕∵OECF是平行四边形，OE=，∴FC=，∴C点横坐标x=OE+FC=5，令y=中x=5，如此y=2，∴点C的坐标为〔5，2〕．【点评】此题考查了待定系数法求函数解析式以与平行四边形的性质，解题的关键是：〔1〕利用待定系数法求出函数解析式；〔2〕根据平行四边形找出点C的横坐标．此题属于根底题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．11．〔2016•模拟〕如图，抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕与x轴交于点A〔﹣4，0〕，B〔1，0〕，与y轴交于点D〔0，4〕，点C〔﹣2，n〕也在此抛物线上．〔1〕求此抛物线的解析式与点C的坐标；〔2〕设BC交y轴于点E，连接AE，AC请判断△ACE的形状，并说明理由；〔3〕连接AD交BC于点F，试问：以A，B，F为顶点的三角形与△ABC相似吗？请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】〔1〕由A、B、D三点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式，把C点坐标代入解析式可求得n的值，可求得C点坐标；〔2〕把C点坐标代入抛物线解析式可求得n，可得C点坐标，利用待定系数法可求得直线BC的解析式，如此可求得E点坐标，利用勾股定理可求得AC、AE、CE的长，如此可判断△ACE的形状；〔3〕由A、D坐标可先求得直线AD解析式，联立直线BC、AD解析式可求得F点坐标，又可求得BF、BC和AB的长，由题意可知∠ABF=∠CAB，假如以A，B，F为顶点的三角形与△ABC相似只有∠BFA=∠CAB，如此判定和是否相等即可．【解答】解：〔1〕∵抛物线经过A、B、D三点，∴代入抛物线解析式可得，解得，。
2022年中考数学复习之二次函数压轴题40个问题
中考复习之二次函数压轴40个问题主要题型：1.二次函数之面积问题2.二次函数之特殊三角形的存在性问题3.二次函数之特殊四边形的存在性问题4.二次函数之线段最值问题5.二次函数之角度问题题目：如图,抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝OC＝３，OA＝１，顶点为D第1问.如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D.求二次函数的解析式；解:设:设二次函数解为y=a(x+1)(x-3)将(0,3)代入得a=-1,故二次函数解析式为y=-x2+2x +3第2问.如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,OB=OC=3,OA=1.顶点为D1.判断∆BCD的形状；解:D(1,4),B(3,0),C(0,3),方法一:BC=32,CD=2,BD=25,BC2+CD2=BD2,故∆BCD是直角三角形；方法二:KCD =1,KBC=-1,KCD∙KBC=-1,故CD⊥CB,所以∆BCD是直角三角形；yxBCAODyxBCAODyxBCAODyxBCAOD第3问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OB=OC=3,OA=1.顶点为D, 2. 四边形ABDC 的面积解:BC:y =-x +3,铅垂法:E(1,2)DE=2,S BCD ∆=21∙2∙3=3 S ABDC 四=21∙4∙3+3=9第4问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D, 1. P 为直线BC 上方抛物线上一点,求∆PBC 面积最大值及P 点坐标；解:方法一:设P(m,-m+2m+3)S PBC ∆=21∙3∙[-m 2+2m+3-(m+3)] =23(-m 2+3m),当m=23时,S 有最大值,此时P(23,415)S m ax =827 方法二:平移BC 至抛物线相切时,面积可取最大值设切线为y =-x +n,与抛物线y =-x 2+2x+3联立得x2-3x +n -3=0,∆=0,n=23,y =415,故P(23,415)S m ax =827y xBCAODy xBCAODEy xBCAOD第5问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D5点M 为BC 上方抛物线上一点,过点M 作y 轴的平行线交BC 于点N,求MN 的最大值；解:设点M(m,-m 2+2m+3),BC:y =-x +3,则点N(m,-m+3)MN=-m 2+2m+3-(-m+3)=-m 2+3m 当m=23时,MN m ax =49第6问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OC=3,OA=1,顶点为D, 6. 在对称轴上找一点P,使∆ACP 的周长最小,并求出最小值解:点A 、B 关于对称轴对称,连接BP,则BP=AP,PA+PC=PB+PC,当点B 、P 、C 三点共线时,可取最小值,此时P(1,2),∆ACP 周长的最小值为10+32第7问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1. 在y 轴上找一点E,使∆BDE 为直角三角形,求出E 点坐标, 方法一:y xBCAOPDy xBCAODy xNBCAODMy xBCAOD P1.DE ⊥BE 时,设E(0,m)易知∆DEF~∆EBO,OE DF =BO EF ,即m 1=34m-,m=3或1,故E 1(0,1)、E 2(0,3)2. DE ⊥DB 时,设E(0,m)易知∆DEN~∆BDM,BM DN =DM EN ,即m 1=34m -,m=27故E ；(0,27)3. DB ⊥BE 时,设E(0,m),易知∆DBF~∆BEG,BG DF =EG BF ,即m -2=34,m=-23,故E 4(0,-23)第8问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1. 在y 轴上找一点F,使∆BDF 为等腰三角形,求出F 点坐标；2. BD=DF,设F(0,m),22)4()01(m -+-=25,m=4+9 或4-19,F 1(0,4+19);F 2(0,4-19)yxFBCAODExyN MBCAODExy GFEBCAODxy BCAODF2.BD=BF,设F(0,m),22)0()03(m -+-=25,m=±11,F 1(0,11),F 2(0,-11)3.DF=BF,设F(0,m),22)0()03(m -+-=22)4()01(m -+-,m=1,F 4(0,1)第9问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1. 求抛物线上一点N,使S ABN ∆=S ABC ∆；解:设N 点的坐标(m,n),则∆ABC 与∆ABN 底相同,故n=±3,-m 2+2m+3=3或者-m 2+2m+3=3得m 1=0,m 2=2,m 3=1-7,m 4=1+7,N(0,3),(2,3),(1-7,-3),(1+7,-3)第10问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D, 1. 在抛物线上找一点Q,使S BDQ ∆=S AOC ∆解:设Q(m,-m 2+2m+3),S AOC ∆=23,BD ：y =-2x +6,铅垂高QS=|-m 2+2m+3-(-2m+6)| S BDQ ∆=|-m 2+2m+3-(-2m+6)|∙21∙1=23得m=0或4Q(0,3),(4,-5),xBCAODFBCAOD FBCAODFBCAODN第11问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.在抛物线上找一点E,使BE 平分∆ABC 的面积； 解:BE 平分∆ABC 的面积,故BE 经过AC 的中点,AC 中点(-21,23),BE:y =-73x +79; 与抛物线联立得-x 2+2x +3=-73+79x =-74或722,E(-74;4919)或(722；491849)第12问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA =1,顶点为D 1.在对称轴上找一点M,使|MB -MC|取最大值,并求出最大值；解:点B 关于对称轴对称的点A,连接MA,则MB=MA,MA -MC<AC, 当点A 、C 、M 共线时,|MB -MA|m ax =AC=10, AC:y =3x x +3,M(1,6)第13问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.M 、N 为对称轴上的两点(M 在N 点上方),且MN=1,求四边形ACNM 周长的最小值； 解:A 关于对称轴对称的点B,连接BN,则BN=AN,将点向下平移1个单位得C’、N,则C’N=CM, 故CM+BN=C’N+BN,当C’、N 、B 共线时,取最小值(CM+BN)m in =13,故ACNM 周长得最小值为1+10+13BCAODQABCODEABCODM第14问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.E 在抛物线对称轴上,在抛物线上找一点F,使得点四边形ACFE 为平行四边形； 解:设E(1,m)F(n,-n 2+2n+3),A(-1,0),C(0,3),A 平行至点C 与E 平移至点F, n=1+1=2,m+3=-n 2+2n+3,m=0,故E(1,0)F(2,3)第15问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.M 为y 轴上一点,在坐标平面内找一点N,使A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为菱形； 解:当 ACM 为等腰三角形时,问题转化为等腰三角形问题 1.ACNM 为菱形时,M(0,3),N(1,0),2.AMCN 为菱形时,M(0,34),N(-1,35),3.ACMN 为菱形时,M(0,3+10),N(-1,10)ABCODMNABCODM NC'ABCODEFABCODMN ABCONDM4.ACMN 为菱形时,M(0,3-10),N(-1,-10)第16问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.E 为x 轴上一点,以BE 为边的正方形BEFG ； 另一点G 在抛物线上,求点F 坐标；设E(m,0)则EF=|-m 2+2m+3|由EF=EB 得3-m=|-m 2+2m+3|,m=0或m=-2故F(0,3)或F(-2,-5)第17问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.P 是抛物线上任意一点,过点P 作PE ⊥y 轴于点E,交直线BC 于点G ；过点G 作GF ⊥x 轴,连接EF,求EF 的最小值；连接OG,则OG=EF,当OG ⊥BC 时,OG 最小,即EF 最小,故EF m in =233x C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D1.M 在抛物线上CB 上方一点过点M 作y 轴的平行线,交BC 于点E,则ME 的最大值是多少? 解:设M(m,-m 2+2m+3),BC :y =-x +3,E(m,3-m),ME=-m 2+2m+3-(3-m)=-m 2+3m,当m=23ABCONDMABCNODMGCABO EFF CABOE GFEGCABOPFEGCABOP时,ME m ax =49第19问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.求一点P,使∠POC=∠PCO ； 解:点P 在OC 得垂直平分线上,-x2+2x +3=23,x =1±210P 1(1-210,23)P 2(1+210,23)第20问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D1.E(2,-2),M 为x 轴上一点,且∠EMO=∠CMO ； 1.M 在右侧时,易知∆CMO~∆EMG,设M(m,0)则有2-m m =23,m=6 2.M 在左侧时,同理易知∆CMO~∆EMG ,m m --2=23,m=6(舍) 第21问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.P 是直线y =x 上的动点,当直接y =x 平分∠APB 时,求点P 的坐标； 如图,∆PAO ≅∆PEO,此时OE=OA=1,故E(0,-1),EB ：y =31x -1,与y =x 得x =-23,P(-23,-23) ECABOMPPCABOCABOEMG第22问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.点P 在抛物线上,且∠ABP=∠CBD,求P 坐标；解:C(0,3)D(1,4)B(3,0)tan ∠CBD=31,故tan ∠PBO=31,OE=1或者OF=1,PB ：y =-31x +1或y 且=31x -1,联立可得P 1(-32,911)P 2(-23,-23)第23问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D1.在抛物线上找一点P,使∠ACP=450；方法1:∠OCB=∠ACP=450,得∠ACO=∠ECB,故tan ∠ECB=31,作EH ⊥BC,设BH=m,则EH=m;CH=3m,故4m=32,m=423,E(23,0)故CE:y =-2x +3,联立得P(4,-5) 方法2:由12345模型得tan ∠ECO=21得E(23,0)第24问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.P 在抛物线上,∠DBP=450； 由tan ∠CBD=31,∠CBD+∠CBP=450,而∠PBO+∠CBP=450,故tan ∠PBO=31,BP:y =-31x +1,P(-32,911) ECABOPPEFCABODPPHECABOPDP第25问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.点P 在抛物线上,∠PCB=150,求点P 的坐标；解:由∠BCO=450得∠PCO=30或∠PCO=600,故PC:y =-3x +3或y =-33x +3联立得P(2+3,-23)P(2+33,3328-)第26问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D1.直线y =31x -1与y 轴交于点E,求∠EBC -∠CBD ； 由tan ∠DBC=tan ∠EBO=31,故∠EBC -∠CBD=450第27问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.过点P(3,0)作直线与抛物线交于F 、G 、FM 、GN 分别垂直于x 轴,求PM,PN ；设F(1x ,1y )G(2x ,2y ),直线y =k (x +3)与抛物线y =-2x +2x +3联立得2x +(k -2)x +3k -3=0;1x +2x =2-k ,1x •2x =3k -3,PM •PN=(1x +3)(2x +3)=1x •2x +3(1x +2x )+9=12CABOPDPPF CABODPEECABODENMGFCABOPD第28问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为DP 是第一象限抛物线上,PE ⊥AB,求BEAE的值,若PE 2=AE •BE,求P 点坐标 设P(m,-m 2+2m+3),AE=m+1,BE=3-m,BE AE =mm -+31,(m+1)(3-m)=(-m 2+2m+3)2得m=1+3,P(1+3,1)第29问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D M 为直线y =33x 3上的点,N(0,-1),求23BM+MN 的最小值, 过点B 作I ⊥x 轴,MH ⊥I,∠MBH=600,MH=23BM,23BM+MN=MH+MN,当N 、M 、H 共线且垂直于I 时取最值(23BM+MN)min=3第30问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D M 为直线y =33x 3上的点,求21BM+OM 的最小值 过点B 作I:y =3x -33,MH ⊥I,∠MBH=300,MH=21BH,21BH+OM=MH+OM,当Q 、M 、H共线且垂直于I 时取最值(21BM+MN )min=233xy EBCAOPxy BCA O MN H第31问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D M 为直线y =33x 3上的点,求22BM+OM 的最小值 过点B 作I,I 与直线MN 夹角450,MH ⊥I,∠MBH=450,MH=22BM,22BM+OM=MH+OM,当Q 、M 、H 共线且垂直于I 时取最值两着色三角形相似,得cos150=426,(21BM +MN)min=423-63第32问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D在AB 上是否存在点M,使CM+21BM 取最小值. 过点B 作I,I 与x 轴夹角为300,MH=21BM,21BM+CM=MH+CM,当C 、M 、H 共线且垂直于I 时取最值(21BM+CM)min=2333+第33问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为Dxy BCAMO Hxy BCAMOHxy BCAO M EHM 是抛物线上一点,作MH ⊥x 轴,交BC 于点E,当ME:EH=3:2时,求M 点的横坐标, 设M(m,-m 2+2m+3),则E(m,3-m),ME=-m 2+2m+3-(3-m),EH=3-m,ME:EH=3：2 即有-m 2+2m+3-(3-m)=23(3-m) m=23第34问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于顶点为D P 是抛物线上一点,且∠PAB=2CBD,求P 点坐标. tan ∠CBD=31,tan ∠PAB=tan2∠CBD=43(12345模型) 设P(m,-m 2+2m+3)(1)tan ∠PAB=1322+++-m m m =43,m=49,P(49,1639)(2)tan ∠PAB=1322+--m m m =43,m=415,P(415,1657)第35问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为DF(1,415)直线y =417,(1)证明:M 上任意一点到直线y =417距离等于到F 点的距离, M(m,-m 2+2m+3),MH=417-(-m 2+2m+3)=m 2-2m+45MF=222)41532()1(-++-+-m m m =m 2-2m+45,故MH=MF xyEBCAOMHxy BCAODPP第36问:如图,抛物线与x 轴交于、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为DF(1,415)直线y =417,(2)证明:N(2,-1)M 为抛物线上一点,求NM+MF 的最小值 由(1)可知MF=MH,故NM+MF=MN+MH,(NM+MF)min=421第37问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D ∠BAC 的角平分线交y 轴于点M,绕点M 作直线I,与x 轴交于点E,与A 交于点F,求证:AE 1+AF 1为定值 过点M 、F 、C 作x 轴的平行线,交AC 于点G,交AM 于点H 、I ，易知:∆AEM~∆HFM,∆AFH~∆ACI,AO GM =AC CG ,CI GM =AC AG ,相加得AO GM +CI GM =AC CG +ACAG=1 即有AO 1+AC 1=GM 1,同理可得AE 1+AF 1=GM1=1+1010第38问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D P 为第四象限抛物线上一点,且tan ∠APC=21,求出点P 的坐标； 过点C 作CE ⊥AC,取一点E 使CE=2AC,过点C 作MN||x 轴,作A M ⊥MN 、EN ⊥MN,易知∆ACM~∆CEN,CN=6,EN=2,E(6,1),P 为以AE 为直径的圆与抛物线的交点AE 的中点F,F(25,21) xy BCOFMHxy BCNOFMHA过点易知AE HF AFACGM AO =CG AC ，GM CI =AGAC，GM AO +GM CI =CG AC +AGAC =1即有1AO +1AC =1GM，同1AE +1AF =1GM =11010xy H G FEMBCOIPF=225,设P(m,-m 2+2m+3),PF 2=(m -25)2+(-m 2+2m+325)2=225m=255,y =2531--,P(255,2531--)第39问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 直线y =x -3与抛物线交于点P,在x 轴正半轴上找一点E,使tan(∠PBO+∠PEO)=25 在x 轴上找一点F,使tan ∠HPF=25,∠HPF=450+∠BPH=∠PBO+∠PEO=450+∠PEO, 故∠BPF=∠PEO,故∆BEP~∆BPF,BP BE =BF BP ,即253-m =21525,m -3=320,m=329故E(329,0)第40问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 对称轴与BC 交于点E,在直线BC 上找一点P,使∆ABP 与∆DEB 相似,∠BED=1350=∠ABP,故P 在CB 的延长线上,DE=2,BE=22,AB=3,1.当∆EDB~∆BAP,AB DE =BP EB ,即42=BP22,BP=42,P(7,-4) 2.∆EDB~∆BPA 时,BP=22,P(5,-2)AxyN MPFEBCOAH PE FAxyIHEBCODP 1P 2。
(完整word)中考数学中二次函数压轴题分类总结,推荐文档
yBE AFNx关于二次函数的压轴题一、抛物线关于三角形面积问题例题 二次函数 y = (x + m )2 + k 的图象，其顶点坐标为 M(1， -4 ).（1） 求出图象与 x 轴的交点 A ，B 的坐标；（2） 在二次函数的图象上是否存在点 P ，使S请说明理由；∆PAB= 5 S4∆MAB ,若存在，求出 P 点的坐标；若不存在， （3） 将二次函数的图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线 y = x + b (b < 1) 与此图象有两个公共点时， b 的取值范围.练习： 1.如图．平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为（－2，2），点 B 的坐标为（6，6），抛物线经过 A 、O 、B 三点，线段 AB 交 y 轴与点 E ．（1） 求点 E 的坐标； （2） 求抛物线的函数解析式；（3） 点 F 为线段 OB 上的一个动点（不与 O 、B 重合），直线 EF 与抛物线交与 M 、N 两点（点N 在 y 轴右侧），连结 ON 、BN ，当点 F 在线段 OB 上运动时，求∆ BON 的面积的最大值，并求出此时点 N 的坐标；xAOEQ P F y B2. 如图，已知抛物线 y = - 1x 2 + x + 4 交 x 轴的正半轴于点 A ，交 y 轴于点 B ．2（1） 求 A 、B 两点的坐标，并求直线 AB 的解析式；（2） 设 P (x , y ) （ x > 0 ）是直线 y = x 上的一点，Q 是 OP 的中点（O 是原点），以 PQ 为对角线作正方形 PEQF ．若正方形 PEQF 与直线 AB 有公共点，求 x 的取值范围；（3） 在（2）的条件下，记正方形 PEQF 与△OAB 公共部分的面积为 S ，求 S 关于 x 的函数解析式，并探究 S 的最大值．二、抛物线中线段长度最小问题例题如图，对称轴为直线 x ＝－1 的抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与 x 轴相交于 A 、B 两点，其中点 A 的坐标为（－3，0）．（1） 求点 B 的坐标；（2） 已知 a =1，C 为抛物线与 y 轴的交点．①若点 P 在抛物线上，且 S △POC ＝4S △BOC ，求点 P 的坐标；②设点 Q 是线段 AC 上的动点，作 QD ⊥x 轴，QD 交抛物线于点 D ，求线段 QD 长度的最大值．yBCN MAODEx练习：1. 如图， Rt △ABO 的两直角边 OA 、OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上，O 为坐标原点， A 、B 两点的坐标分别为（ -3 ，0）、（0，4），抛物线 y = 2x 2 + bx + c 经过 B 点，且顶点在直线3 x =5 上．2（1） 求抛物线对应的函数关系式；（2） 若△DCE 是由△ABO 沿 x 轴向右平移得到的，当四边形 ABCD 是菱形时，试判断点 C 和点D 是否在该抛物线上，并说明理由；（3） 若 M 点是 CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点 M 作 MN 平行于 y 轴交 CD 于点N ．设点 M 的横坐标为 t ，MN 的长度为 l ．求 l 与 t 之间的函数关系式，并求 l 取最大值时，点 M 的坐标．三、抛物线与线段和最小的问题例题 如图，已知抛物线 y = 1(x - 2)(x + a )(a > 0)与 x 轴交于点 B 、C ，与 y 轴交于点 E ，且点 Ba在点 C 的左侧．（1） 若抛物线过点 M （﹣2，﹣2），求实数 a 的值； （2） 在（1）的条件下，解答下列问题；①求出△BCE 的面积；②在抛物线的对称轴上找一点 H ，使 CH+EH 的值最小，直接写出点 H 的坐标．练习：1.如图，已知二次函数y =ax2- 4x +c 的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点B（0，-5）．（1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP 的周长最小．请求出点P 的坐标．2.如图，抛物线y = ax2 + bx + 4 与x 轴的两个交点分别为A（－4，0）、B（2，0），与y 轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F、G．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标；（2）在直线EF 上求一点H，使△CDH 的周长最小，并求出H 的坐标；（3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时，△EFK 的面积最大？并求出最大面积．四、抛物线与等腰三角形例题：已知抛物线y＝ax2＋bx＋c 经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l 是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P 是直线l 上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点P 的坐标；(3)在直线l 上是否存在点M，使△MAC 为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．练习：1..如图，抛物线与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交C 点，点A 的坐标为（2，0），点C 的坐标为1（0，3）它的对称轴是直线x =-2（1）求抛物线的解析式；（2）M 是线段AB 上的任意一点，当△MBC 为等腰三角形时，求M 点的坐标．2.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（m，m），点B 的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B 三点，连接OA、OB、AB，线段AB 交y 轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0 的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 为线段OB 上的一个动点（不与点O、B 重合），直线PC 与抛物线交于D、E 两点（点D 在y 轴右侧），连接OD、BD．①当△OPC 为等腰三角形时，求点P 的坐标；②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D 的坐标．3.如图1，在直角坐标系中，已知△AOC 的两个顶点坐标分别为A（2，0），C（0，2）．（1）请你以AC 的中点为对称中心，画出△AOC 的中心对称图形△ABC，此图与原图组成的四边形OABC 的形状是，请说明理由；（2）如图2，已知D（ 1，0），过A，C，D 的抛物线与（1）所得的四边形OABC 的边BC 交2于点E，求抛物线的解析式及点 E 的坐标；（3）在问题（2）的图形中，一动点P 由抛物线上的点A 开始，沿四边形OABC 的边从A﹣B ﹣C 向终点C 运动，连接OP 交AC 于N，若P 运动所经过的路程为x，试问：当x 为何值时，△AON 为等腰三角形（只写出判断的条件与对应的结果）？4.如图，已知抛物线于x 轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y 轴交于点C（0，3）.（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC 是等腰三角形，若存在，求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由：（3）若点M 是抛物线上一点，以B、C、D、M 为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M 的坐标。
中考压轴题-二次函数综合(八大题型+解题方法)——冲刺2024年中考数学考点押题(全国通用)(解析)
中考压轴题-二次函数综合 （八大题型+解题方法）1、求证“两线段相等”的问题：借助于函数解析式,先把动点坐标用一个字母表示出来；然后看两线段的长度是什么距离即是“点点”距离,还是“点轴距离”,还是“点线距离”,再运用两点之间的距离公式或点到x 轴y 轴的距离公式或点到直线的距离公式,分别把两条线段的长度表示出来,分别把它们进行化简,即可证得两线段相等;2、“平行于y 轴的动线段长度的最大值”的问题：由于平行于y 轴的线段上各个点的横坐标相等常设为t,借助于两个端点所在的函数图象解析式,把两个端点的纵坐标分别用含有字母t 的代数式表示出来,再由两个端点的高低情况,运用平行于y 轴的线段长度计算公式-y y 下上,把动线段的长度就表示成为一个自变量为t,且开口向下的二次函数解析式,利用二次函数的性质,即可求得动线段长度的最大值及端点坐标;3、求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题：先用点斜式或称K ,且与已知直线垂直的直线解析式,再求出两直线的交点坐标,最后用中点坐标公式即可;4、“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离最大”的问题：方法1先求出定直线的斜率,由此可设出与定直线平行且与抛物线相切的直线的解析式注意该直线与定直线的斜率相等,因为平行直线斜率k 相等,再由该直线与抛物线的解析式组成方程组,用代入法把字母y 消掉,得到一个关于x 的的一元二次方程,由题有△=2b -4ac=0因为该直线与抛物线相切,只有一个交点,所以2b -4ac=0从而就可求出该切线的解析式,再把该切线解析式与抛物线的解析式组成方程组,求出x 、y 的值,即为切点坐标,然后再利用点到直线的距离公式,计算该切点到定直线的距离,即为最大距离; 方法2该问题等价于相应动三角形的面积最大问题,从而可先求出该三角形取得最大面积时,动点的坐标,再用点到直线的距离公式,求出其最大距离;方法3先把抛物线的方程对自变量求导,运用导数的几何意义,当该导数等于定直线的斜率时,求出的点的坐标即为符合题意的点,其最大距离运用点到直线的距离公式可以轻松求出;5、常数问题：1点到直线的距离中的常数问题：“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离等于一个 固定常数”的问题：先借助于抛物线的解析式,把动点坐标用一个字母表示出来,再利用点到直线的距离公式建立一个方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,进而利用抛物线解析式,求出动点的纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了;2三角形面积中的常数问题：“抛物线上是否存在一点,使之与定线段构成的动三角形的面积等于一个定常数”的问题：先求出定线段的长度,再表示出动点其坐标需用一个字母表示到定直线的距离,再运用三角形的面积公式建立方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,再利用抛物线的解析式,可求出动点纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了;3几条线段的齐次幂的商为常数的问题：用K 点法设出直线方程,求出与抛物线或其它直线的交点坐标,再运用两点间的距离公式和根与系数的关系,把问题中的所有线段表示出来,并化解即可;6、“在定直线常为抛物线的对称轴,或x 轴或y 轴或其它的定直线上是否存在一点,使之到两定点的距离之和最小”的问题：先求出两个定点中的任一个定点关于定直线的对称点的坐标,再把该对称点和另一个定点连结得到一条线段,该线段的长度〈应用两点间的距离公式计算〉即为符合题中要求的最小距离,而该线段与定直线的交点就是符合距离之和最小的点,其坐标很易求出利用求交点坐标的方法;7、三角形周长的“最值最大值或最小值”问题：① “在定直线上是否存在一点,使之和两个定点构成的三角形周长最小”的问题简称“一边固定两边动的问题：由于有两个定点,所以该三角形有一定边其长度可利用两点间距离公式计算,只需另两边的和最小即可;② “在抛物线上是否存在一点,使之到定直线的垂线,与y 轴的平行线和定直线,这三线构成的动直角三角形的周长最大”的问题简称“三边均动的问题：在图中寻找一个和动直角三角形相似的定直角三角形,在动点坐标一母示后,运用=C C 动动定定斜边斜边,把动三角形的周长转化为一个开口向下的抛物线来破解;8、三角形面积的最大值问题：① “抛物线上是否存在一点,使之和一条定线段构成的三角形面积最大”的问题简称“一边固定两边动的问题”：方法1：先利用两点间的距离公式求出定线段的长度；然后再利用上面３的方法,求出抛物线上的动点到该定直线的最大距离;最后利用三角形的面积公式= 12底×高;即可求出该三角形面积的最大值,同时在求解过程中,切点即为符合题意要求的点;方法2：过动点向y 轴作平行线找到与定线段或所在直线的交点,从而把动三角形分割成两个基本模型的三角形,动点坐标一母示后,进一步可得到）（）（左（定）右（定）下（动）上（动）动三角形x x y y 21−⋅−=S ,转化为一个开口向下的二次函数问题来求出最大值;②“三边均动的动三角形面积最大”的问题简称“三边均动”的问题：先把动三角形分割成两个基本模型的三角形有一边在x 轴或y 轴上的三角形,或者有一边平行于x 轴或y 轴的三角形,称为基本模型的三角形面积之差,设出动点在x 轴或y 轴上的点的坐标,而此类题型,题中一定含有一组平行线,从而可以得出分割后的一个三角形与图中另一个三角形相似常为图中最大的那一个三角形;利用相似三角形的性质对应边的比等于对应高的比可表示出分割后的一个三角形的高;从而可以表示出动三角形的面积的一个开口向下的二次函数关系式,相应问题也就轻松解决了;9、“一抛物线上是否存在一点,使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题”：由于该四边形有三个定点,,即可得到一个定三角形的面积之和,所以只需动三角形的面积最大,就会使动四边形的面积最大,而动三角形面积最大值的求法及抛物线上动点坐标求法与7相同;10、“定四边形面积的求解”问题： 有两种常见解决的方案：方案一：连接一条对角线,分成两个三角形面积之和；方案二：过不在x 轴或y 轴上的四边形的一个顶点,向x 轴或y 轴作垂线,或者把该点与原点连结起来,分割成一个梯形常为直角梯形和一些三角形的面积之和或差,或几个基本模型的三角形面积的和差11、“两个三角形相似”的问题： 两个定三角形是否相似：（1）已知有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出已知角的两条夹边,看看是否成比例 若成比例,则相似;否则不相似;（2）不知道是否有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出两个三角形各边的长,看看是否成比例若成比例,则相似;否则不相似;一个定三角形和动三角形相似：（1）已知有一个角相等的情形：先借助于相应的函数关系式,把动点坐标表示出来一母示,然后把两个目标三角形题中要相似的那两个三角形中相等的那个已知角作为夹角,分别计算或表示出夹角的两边,让形成相等的夹角的那两边对应成比例要注意是否有两种情况,列出方程,解此方程即可求出动点的横坐标,进而求出纵坐标,注意去掉不合题意的点;2不知道是否有一个角相等的情形：这种情形在相似性中属于高端问题,破解方法是,在定三角形中,由各个顶点坐标求出定三角形三边的长度,用观察法得出某一个角可能是特殊角,再为该角寻找一个直角三角形,用三角函数的方法得出特殊角的度数,在动点坐标“一母示”后,分析在动三角形中哪个角可以和定三角形中的那个特殊角相等,借助于特殊角,为动点寻找一个直角三角形,求出动点坐标,从而转化为已知有一个角相等的两个定三角形是否相似的问题了,只需再验证已知角的两边是否成比例若成比例,则所求动点坐标符合题意,否则这样的点不存在;简称“找特角,求动点标,再验证”;或称为“一找角,二求标,三验证”;12、“某函数图象上是否存在一点,使之与另两个定点构成等腰三角形”的问题：首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点;若某边底,则只有一种情况；若某边为腰,有两种情况；若只说该三点构成等腰三角形则有三种情况;先借助于动点所在图象的解析式,表示出动点的坐标一母示,按分类的情况,分别利用相应类别下两腰相等,使用两点间的距离公式,建立方程;解出此方程,即可求出动点的横坐标,再借助动点所在图象的函数关系式,可求出动点纵坐标,注意去掉不合题意的点就是不能构成三角形这个题意;13、“某图象上是否存在一点,使之与另外三个点构成平行四边形”问题：这类问题,在题中的四个点中,至少有两个定点,用动点坐标“一母示”分别设出余下所有动点的坐标若有两个动点,显然每个动点应各选用一个参数字母来“一母示”出动点坐标,任选一个已知点作为对角线的起点,列出所有可能的对角线显然最多有3条,此时与之对应的另一条对角线也就确定了,然后运用中点坐标公式,求出每一种情况两条对角线的中点坐标,由平行四边形的判定定理可知,两中点重合,其坐标对应相等,列出两个方程,求解即可;进一步有：①若是否存在这样的动点构成矩形呢先让动点构成平行四边形,再验证两条对角线相等否若相等,则所求动点能构成矩形,否则这样的动点不存在;②若是否存在这样的动点构成棱形呢先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边相等否若相等,则所求动点能构成棱形,否则这样的动点不存在;③若是否存在这样的动点构成正方形呢先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边是否相等和两条对角线是否相等若都相等,则所求动点能构成正方形,否则这样的动点不存在;14、“抛物线上是否存在一点,使两个图形的面积之间存在和差倍分关系”的问题：此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉,后面的19实为本类型的特殊情形;先用动点坐标“一母示”的方法设出直接动点坐标,分别表示如果图形是动图形就只能表示出其面积或计算如果图形是定图形就计算出它的具体面积,然后由题意建立两个图形面积关系的一个方程,解之即可;注意去掉不合题意的点,如果问题中求的是间接动点坐标,那么在求出直接动点坐标后,再往下继续求解即可;15、“某图形〈直线或抛物线〉上是否存在一点,使之与另两定点构成直角三角形”的问题：若夹直角的两边与y轴都不平行：先设出动点坐标一母示,视题目分类的情况,分别用斜率公式算出夹直角的两边的斜率,再运用两直线没有与y轴平行的直线垂直的斜率结论两直线的斜率相乘等于-1,得到一个方程,解之即可;若夹直角的两边中有一边与y 轴平行,此时不能使用斜率公式;补救措施是：过余下的那一个点没在平行于y轴的那条直线上的点直接向平行于y的直线作垂线或过直角点作平行于y轴的直线的垂线与另一相关图象相交,则相关点的坐标可轻松搞定;16、“某图象上是否存在一点,使之与另两定点构成等腰直角三角形”的问题;①若定点为直角顶点,先用k点法求出另一直角边所在直线的解析式如斜率不存在,根据定直角点,可以直接写出另一直角边所在直线的方程,利用该解析式与所求点所在的图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再用两点间的距离公式计算出两条直角边等否若等,该交点合题,反之不合题,舍去;②若动点为直角顶点：先利用k点法求出定线段的中垂线的解析式,再把该解析式与所求点所在图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再分别计算出该点与两定点所在的两条直线的斜率,把这两个斜率相乘,看其结果是否为-1 若为-1,则就说明所求交点合题；反之,舍去;17、“题中含有两角相等,求相关点的坐标或线段长度”等的问题：题中含有两角相等,则意味着应该运用三角形相似来解决,此时寻找三角形相似中的基本模型“A”或“X”是关键和突破口;18、“在相关函数的解析式已知或易求出的情况下,题中又含有某动图形常为动三角形或动四边形的面积为定常数,求相关点的坐标或线段长”的问题：此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉,本类型实际上是前面14的特殊情形;先把动图形化为一些直角梯形或基本模型的三角形有一边在x 轴或ｙ轴上,或者有一边平行于x 轴或y 轴面积的和或差,设出相关点的坐标一母示,按化分后的图形建立一个面积关系的方程,解之即可;一句话,该问题简称“单动问题”,解题方法是“设点动点标,图形转化分割,列出面积方程”;19、“在相关函数解析式不确定系数中还含有某一个参数字母的情况下,题中又含有动图形常为动三角形或动四边形的面积为定常数,求相关点的坐标或参数的值”的问题：此为“双动问题”即动解析式和动图形相结合的问题;如果动图形不是基本模型,就先把动图形的面积进行转化或分割转化或分割后的图形须为基本模型,设出动点坐标一母示,利用转化或分割后的图形建立面积关系的方程或方程组;解此方程,求出相应点的横坐标,再利用该点所在函数图象的解析式,表示出该点的纵坐标注意,此时,一定不能把该点坐标再代入对应函数图象的解析式,这样会把所有字母消掉;再注意图中另一个点与该点的位置关系或其它关系,方法是常由已知或利用2问的结论,从几何知识的角度进行判断,表示出另一个点的坐标,最后把刚表示出来的这个点的坐标再代入相应解析式,得到仅含一个字母的方程,解之即可;如果动图形是基本模型,就无须分割或转化了,直接先设出动点坐标一母式,然后列出面积方程,往下操作方式就与不是基本模型的情况完全相同;一句话,该问题简称“双动问题”,解题方法是“转化分割,设点标,建方程,再代入,得结论”;常用公式或结论：1横线段的长 = 横标之差的绝对值 =-x x 大小=-x x 右左纵线段的长=纵标之差的绝对值=-y y 大小=-y y 下上 2点轴距离：点P 0x ,0y 到X 轴的距离为0y ,到Y 轴的距离为o x ; 3两点间的距离公式：若A 11,x y ,B 2,2x y , 则AB=目录：题型1：存在性问题 题型2：最值问题 题型3：定值问题 题型4：定点问题题型5：动点问题综合 题型6：对称问题 题型7：新定义题 题型8：二次函数与圆题型1：存在性问题1．（2024·四川广安·二模）如图，抛物线2y x bx c =−++交x 轴于()4,0A −，B 两点，交y 轴于点()0,4C ．(1)求抛物线的函数解析式．(2)点D 在线段OA 上运动，过点D 作x 轴的垂线，与AC 交于点Q ，与抛物线交于点P ，连接AP 、CP ，求四边形AOCP 的面积的最大值．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得以点A 、C 、M 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点M【答案】(1)234y x x =−−+；(2)四边形AOCP 的面积最大为16；(3)点M 的坐标为35,22⎛⎫−− ⎪⎝⎭或311,22⎛⎫− ⎪⎝⎭．【分析】本题主要考查了二次函数综合，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）把()4,0A −，()0,4C 代入2y x bx c =−++，求出b 和c 的值，即可得出函数解析式； （2）易得182AOCSOA OC =⋅=，设()2,34P t t t −−+，则(),4Q t t +，求出24PQ t t =−−，则()()212282ACP C A S PQ x x t =⋅−=−++，根据四边形AOCP 的面积()22216ACP AOCS St =+=−++，结合二次函数的增减性，即可解答；（3）设3,2M m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，根据两点之间距离公式得出232AC =，22254AM m =+，229(4)4CM m =+−，然后分情况根据勾股定理列出方程求解即可．【解析】（1）解：把()4,0A −，()0,4C 代入2y x bx c =−++得：01644b c c =−−+⎧⎨=⎩，解得：34b c =−⎧⎨=⎩，∴该二次函数的解析式234y x x =−−+；（2）解：∵()4,0A −，()0,4C ，∴4,4OA OC ==，∴1144822AOC S OA OC =⋅=⨯⨯=△，设直线AC 的解析式为4y kx =+， 代入()4,0A −得，044k =−+，解得1k =，∴直线AC 的解析式为4y x =+， 设()2,34P t t t −−+，则(),4Q t t +，∴()223444PQ t t t t t=−−+−+=−−∴()()()22114422822ACPC A SPQ x x t t t =⋅−=−−⨯=−++，∴四边形AOCP 的面积()22216ACP AOCSSt =+=−++，∵20−<，∴当2t =−时，四边形AOCP 的面积最大为16； （3）解：设3,2M m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，∵()4,0A −，()0,4C ，∴2224432AC =+=，2222325424AM m m ⎛⎫=−++=+ ⎪⎝⎭，()()2222394424CM m m ⎛⎫=−+−=+− ⎪⎝⎭，当斜边为AC 时，AM CM AC 222+=，即()2225943244m m +++−=，整理得：24150m m ++=，无解；当斜边为AM 时，222AC CM AM +=，即2292532(4)44m m ++−=+，解得：112m =；∴311,22M ⎛⎫− ⎪⎝⎭当斜边为CM 时，222AC AM CM +=，即2225932(4)44m m ++=+−， 解得：52m =−；∴35,22M ⎛⎫−− ⎪⎝⎭综上：点M 的坐标为35,22⎛⎫−− ⎪⎝⎭或311,22⎛⎫− ⎪⎝⎭．2．（2024·内蒙古乌海·模拟预测）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线()240y ax bx a =+−≠与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为()1,0−，且OC OB =，点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称．(1)分别求出a ，b 的值和直线AD 的解析式；(2)直线AD 下方的抛物线上有一点P ，过点P 作PH AD ⊥于点H ，作PM 平行于y 轴交直线AD 于点M ，交x 轴于点E ，求PHM 的周长的最大值；(3)在（2）的条件下，如图2，在直线EP 的右侧、x 轴下方的抛物线上是否存在点N ，过点N 作NG x ⊥轴交x 轴于点G ，使得以点E 、N 、G 为顶点的三角形与AOC 相似？如果存在，请直接写出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)1a =，3b =−，=1y x −−(2)4+(3)存在，点G的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，掌握二次函数的交点式、配方法求二次函数的最值、相似三角形的判定、等腰直角三角形的判定、一元二次方程的求根公式，列出PM 的长与a 的函数关系式是解题的关键．（1）先求得C 的坐标，从而得到点B 的坐标，设抛物线的解析式为()()14y a x x =+−，将点C 的坐标代入求解即可；先求得抛物线的对称轴，从而得到点()3,4D −，然后可求得直线AD 的解析式=1y x −−；（2）求得45BAD ∠=︒，接下来证明PMD △为等腰直角三角形，所当PM 有最大值时三角形的周长最大，设()2,34P a a a −−，()1M a −−，则223PM aa =−++，然后利用配方可求得PM 的最大值，最后根据MPH△的周长(1PM=求解即可；（3）当90EGN ∠=︒时，如果OA EG OC GN = 或OA GNOC EN =时，则AOC ∽EGN △，设点G 的坐标为(),0a ，则()2,34N a a a −−，则1EG a =−，234NG aa =−++，然后根据题意列方程求解即可．【解析】（1）点A 的坐标为()1,0−，1OA ∴=．令0x =，则4y =−，()0,4C ∴−，4OC =，OC OB =Q ， 4OB ∴=，()4,0B ∴，设抛物线的解析式为()()14y a x x =+−，将0x =，4y =−代入得：44a −=−，解得1a =，∴抛物线的解析式为234y x x =−−；1a ∴=，3b =−； 抛物线的对称轴为33212x −=−=⨯，()0,4C −，点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称，()3,4D ∴−；设直线AD 的解析式为y kx b =+．将()1,0A −、()3,4D −代入得：034k b k b −+=⎧⎨+=−⎩，解得1k =−，1b =-，∴直线AD 的解析式=1y x −−；（2）直线AD 的解析式=1y x −−，∴直线AD 的一次项系数1k =−，45BAD ∴∠=︒． PM 平行于y 轴，90AEP ∴∠=︒，45PMH AME ∴∠=∠=︒．MPH ∴的周长(122PM MH PH PM MP PM PM =++=++=． 设()2,34P a a a −−，则(),1M a a −−， 则()22213423(1)4PM a a a a a a =−−−−−=−++=−−+．∴当1a =时，PM 有最大值，最大值为4．MPH ∴的周长的最大值(414=⨯=+（3）在直线EP 的右侧、x 轴下方的抛物线上存在点N ，过点N 作NG x ⊥轴交x 轴于点G ，使得以点E 、N 、G 为顶点的三角形与AOC 相似；理由如下：设点G 的坐标为(),0a ，则()2,34N a a a −−①如图2.1，若OA EG OC GN = 时，AOC ∽EGN △． 则 211344a a a −=−++，整理得：280a a +−=．得：a =负值舍去)，∴点G为⎫⎪⎪⎝⎭； ②如图2.2，若OA GN OC EN =时，AOC ∽NGE ，则21434a a a −=−++，整理得：2411170a a −−=，得：a =负值舍去)，∴点G为⎫⎪⎪⎝⎭， 综上所述，点G的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭． 3．（2024·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx =+x 轴交于点()1,0A −，()5,0B ，与y 轴交于点C ，连接BC ，AC ．(1)求抛物线的表达式；(2)P 为直线BC 上方抛物线上一点，过点P 作PD BC ⊥于点D ，过点P 作PE x 轴交抛物线于点E，求4+PD PE 的最大值及此时点P 的坐标； (3)点C 关于抛物线对称轴对称的点为Q ，将抛物线沿射线CAy '，新抛物线y '与y 轴交于点M ，新抛物线y '的对称轴与x 轴交于点N ，连接AM ，MN ，点R 在直线BC 上，连接QR ．当QR 与AMN 一边平行时，直接写出点R 的坐标，并写出其中一种符合条件的解答过程．【答案】(1)2y x x =++(2)当154t =时，PE的最大值，15,416P ⎛ ⎝⎭， (3)R点的坐标为⎛ ⎝⎭或6,⎛ ⎝⎭或(．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可；（2）先求得2y x =2x =，过点P 作PG x ⊥轴交BC 于点F ，利用勾股定理求得BC ==DPF OBC ∽，得PF DP BC OB =即PF PD=，从而得PF =，求出设直线BC的解析式后，设2,P t ⎛+ ⎝，则,F t ⎛+ ⎝，从而2PF =+，当点P在E 点右侧时()424PE t t t =−−=−，从而得2154t ⎫=−⎪⎝⎭，利用二次函数的性质即可求解；当点P 在E 点左侧时：442PE t t t =−−=−时，同理可求．然后比较4+PE 的最大值即可得出答案. （3）先求得1OA=，OC AC =设抛物线2y =H ⎛ ⎝⎭平移后为P ，过点P 作PW ⊥直线2x =，则AOC PWH ∽，得1OA OC AC WP HW PH ====，进而得平移后的抛物线2y x +'=，从而求得()1,0N，M ⎛ ⎝⎭，然后分QR AM ∥，QR MN ∥，QR AN ∥三种情况，利用二次函数的性质及一次函数的与二元一次方程的关系求解即可得解．【解析】（1）解：∵抛物线2y ax bx =+x 轴交于点()1,0A −，()5,0B 两点，代入坐标得：02550a b a b ⎧−=⎪⎨+=⎪⎩，解得：a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数表达式为255y x x =−++（2）解：∵)2225555y x x x =−+=−−+，∴2y x =2x=，顶点为⎛ ⎝⎭ 过点P 作PG x ⊥轴交BC 于点F ，当0x =时，200y =∴(C ∵()5,0B ∴BC ==∵PG x ⊥轴，PD BC ⊥，x 轴y ⊥轴，∴909090CBO BFG DPF PFD PDF BOC ∠∠∠∠∠∠+=︒+=︒==︒，，∵PFD BFG ∠∠=∴DPF CBO ∠∠=∴DPF OBC ∽，∴PF DP BC OB =即PF PD =，∴PF PD =∴44+PD PE =PF +PE ，设直线BC ：y kx b =+，把(C ，()5,0B 代入得：05k b b =+⎧⎪=，解得5k b ⎧=−⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC：y =设2,P t ⎛ ⎝，则,F t ⎛+ ⎝，∴22PF ⎛⎛=−+=+ ⎝⎝，∵2y x =2x =，PE x 轴，∴24,E t ⎛−+ ⎝当点P 在E 点右侧时：()424PE t t t =−−=−，当24PE t =−时：∴+PD PE =PF +()221524545416t t ⎛⎫=−+−=−−+ ⎪⎝⎭ ∴当154t =时，的最大值∴2151544⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴154P ⎛ ⎝⎭； 当点P 在E 点左侧时：442PE t t t =−−=−时，∴+PD PE =PF +()225424t t ⎫=−=−⎪⎝⎭， ∴当54t =时，的最大值．2,55P t ⎛−+ ⎝∴25544⎛⎫ ⎪⎝⎭∴5,416P ⎛ ⎝⎭，∵> 综上所诉，当点P 在E 点右侧时：即154t =时，的最大值，154P ⎛ ⎝⎭， （3）解：设直线AC ：y mx n =+，把()1,0A −，(C ， ∴1OA =，OC =∴AC ==设抛物线2y x =H ⎛ ⎝⎭平移后为P ， 过点P 作PW ⊥直线2x =，则AOC PWH ∽，∴1OA OC AC WP HW PH ====∴1PW =，HW=∴21,5P ⎛−⎝即1,5P ⎛ ⎝⎭，∴平移后的抛物线)22155555y x x x =−−+=−++'， ∴()1,0N令0x =，y '=，∴M ⎛ ⎝⎭ 如图，当QR AM ∥时，设直线AM 的解析式为：y px q =+，把M ⎛ ⎝⎭，()1,0A −代入得：0p q q =−+⎧=解得p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线AM的解析式为：y =， ∴设直线QR的解析式为：y x n =∵(C ，Q 和C 关于2x =对称，∴(Q把(Q代入5y x n =+45n +，解得n =，∴直线QR的解析式为：y = 联立直线QR的解析式y =与直线BC：y x =+55y x y x ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴R ⎛ ⎝⎭ 同理可得：当QR MN ∥时，6,5R ⎛− ⎝⎭ 当QR AN ∥时，(R所有符合条件的R点的坐标为⎛ ⎝⎭或6,⎛ ⎝⎭或(． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，勾股定理，抛物线的性质，抛物线平移，一次函数的平移，相似三角形的判定及性质，图形与坐标，掌握待定系数法求抛物线解析式，抛物线的性质，抛物线平移，相似三角形的判定及性质，图形与坐标，利用辅助线画出准确图形是解题关键．题型2：最值问题4．（2024·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线23y ax bx =+−与x 轴交于()1,0A −，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求a ，b 的值；(2)点M 为线段BC 上一动点（不与B ，C 重合），过点M 作MP x ⊥轴于点P ，交抛物线于点N ． （ⅰ）如图1，当3PA PB=时，求线段MN 的长； （ⅱ）如图2，在抛物线上找一点Q ，连接AM ，QN ，QP ，使得PQN V 与APM △的面积相等，当线段NQ 的长度最小时，求点M 的横坐标m 的值．【答案】(1)1a =，2b =−(2)（ⅰ）2MN =；（ⅱ）m 的值为32或12【分析】本题考查诶粗函数的图象和性质，掌握待定系数法和利用函数性质求面积是解题的关键．（1）运用待定系数法求函数解析式即可；（2）（ⅰ）先计算BC 的解析式，然后设(),3M m m −，则3PM PB m ==−，1PA m =+，根据题意得到方程133m m +=−求出m 值，即可求出MN 的长；（ⅱ）作QR PN ⊥于点R ，由（ⅰ）可得1PA m =+，3PB PM m =−−，223PN m m =−++，然后分为点Q 在PN 的左侧和点Q 在PN 的右侧两种情况，根据勾股定理解题即可．【解析】（1）由题意得309330a b a b −−=⎧⎨+−=⎩，解得12a b =⎧⎨=−⎩；（2）（ⅰ）当0x =时，3y =−，∴()0,3C −，设直线BC 为3y kx =−，∵点()3,0B ，∴330k −=，解得1k =，∴直线BC 为3y x =−，设(),3M m m −，则3PM PB m ==−，1PA m =+， ∵3PA PB =， ∴133m m +=−，解得2m =，经检验2m =符合题意，当2m =时，222233y =−⨯−=−， ∴3PN =，31PM PB m ==−=，∴2MN =；（ⅱ）作QR PN ⊥于点R ，由（ⅰ）可得1PA m =+，3PB PM m =−−，223PN m m =−++，PQN V 的面积为()21232m m QR −++⋅，APM △的面积为()()1312m m −+，∴()()()211233122m m QR m m −++⋅=−+，解得1QR =；当点Q 在PN 的左侧时，如图1，Q 点的横坐标为1m QR m −=−，纵坐标为()()2212134m m m m −−⨯−−=−，∴R 点的坐标为()2,4m mm−，∵N 点坐标为()2,23m mm −−，∴32RN m =−，∴()22231NQ m =−+，∴当32m =时，NQ 取最小值；当点Q 在PN 的右侧时，如图2，Q 点的横坐标为1m QR m +=+，纵坐标为()()2212134m m m +−⨯+−=−，∴R 点的坐标为()2,4m m−，∵N 点的坐标为()2,23m mm −−，∴21RN m =−， ∴()222211NQ m =−+，∴当12m =时，NQ 取最小值．综上，m 的值为32或12．。
二次函数多结论压轴小题精选30道(必考点分类集训)(原卷版)—2024-2025学年九年级数学上册
二次函数多结论压轴小题精选30道1．（2024春•岳麓区校级期末）已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，则下列结论中，正确的有（ ）①abc ＞0；②b 2＞4ac ；③a ﹣b +c ＜0；④2a ﹣b ＞0；⑤a +c ＜1．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．（2024•宝安区校级模拟）已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论①abc ＜0，②a +b +c ＝2，③a ＞12④0＜b ＜1中正确的有（ ）A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④3．（2024•凤凰县模拟）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，在下列5个结论：①abc ＜0；②b ＜a +c ；③4a +2b +c ＞0；④2c ＜3b ；⑤a +b ＜m （am +b ）（m ≠1的实数）．其中正确结论个数有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4．（2024•汝阳县一模）图形结合法既可以由数解决形的问题，也可以由形解决数的问题．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论：①ab＞0；②4a﹣2b+c＜0；③2a﹣b＜0；④|a+c|＜|b|．其中正确的个数有（ ）A．1B．2C．3D．45．（2024•斗门区校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的为（ ）A．①④B．②③④C．①②④D．①②③④6．（2024•岚山区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点为（4，0），其对称轴为直线x＝1，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＜0；③8a+c＝0；④若关于x 的方程ax2+bx+c＝﹣1有两个实数根x1x2，且满足x1＜x2，则x1＜﹣2，x2＞4；⑤直线y＝kx﹣4k（k≠0）经过点（0，c），则关于x的不等式ax2+（b﹣k）x+c+4k＞0的解集是0＜x＜4．其中正确结论的个数为（ ）A．5B．4C．3D．27．（2024•旺苍县三模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b2＜4ac；③2c＜3b；④a+b＞m（am+b）（m≠1）；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为2．其中正确的结论有（ ）A．2个B．3个C．4个D．5个8．（2023秋•龙港区期中）函数y＝ax2+bx+c与y＝kx的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②a+b+c＝0；③x＝﹣2时，函数y＝﹣ax2+（k﹣b）x﹣c有最大值；④关于x的方程ax2+（b﹣k）x+c＝0的根是x1＝﹣1，x2＝﹣3，其中正确的个数是（ ）A．1B．2C．3D．49．（2023•石城县模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③m为任意实数，则a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax21+bx1=ax22+bx2且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（ ）A．①④B．③④C．②⑤D．②③⑤10．（2024•苍溪县模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的图象关于直线x＝﹣1对称，则下列五个结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③9a﹣3b+c＜0；④a（m2﹣1）+b（m+1）≤0（m为任意实数）；⑤3a+c＜0．其中结论正确的个数为（ ）A．2个B．3个C．4个D．5个11．（2024•高青县校级一模）小明从图所示的二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面五条信息：①c＜0；②abc＞0；③a﹣b+c＞0；④2a﹣3b＝0；⑤c﹣4b＞0，你认为其中正确信息的个数有（ ）A．2个B．3个C．4个D．5个12．（2024•沂源县一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示，其中对称轴为：x ＝1，下列结论：①abc＞0；②a+c＞0；③2a+3b＞0；④a+b＞am2+bm（m≠1）；上述结论中正确结论的个数为（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个13．（2024•桃江县一模）抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点坐标为（2，﹣a ）（如图所示），则下列说法：①abc ＜0；②（a +b ）2≥c ；③关于x 的方程ax 2+bx ＝0有两个不相等的实数根；④﹣1≤a ≤0．则正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14．（2023秋•中山市校级期末）二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示．下列结论：①2a +b ＝0；②3a +c ＞0；③m 为任意实数，则a +b ＞am 2+bm ；④若A （x 1，0），B （x 2，0），则x 1+x 2＝2，其中正确的有（ ）A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④15．（2023秋•西城区校级月考）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，则下列结论：①a ＜0；②9a +3b +c ＞0；③c ＞0；④﹣3＜―b 2a＜0其中正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个16．（2023•东港区校级三模）函数y ＝x 2+bx +c 与y ＝x 的图象如图所示，有以下结论：①b 2﹣4c ＞0；②b +c ＝0；③2b +c +3＝0；④当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x +c ＜0其中正确的有（ ）个．A ．4B ．3C ．2D ．117．（2023•双台子区校级一模）二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，给出四个结论：①abc ＞0；②4a ﹣2b +c ＞0；③对于任意实数m ，有am 2+bm +c ＜a ﹣b +c ；④c a ＞―3，其中正确的有（ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④18．（2023•遂溪县模拟）如图是二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象，对称轴是直线l ，则以下说法：①a ﹣b +c ＝0；②4a +b ＝0；③ab c＞0；④16a +5b +2c ＞0，其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．419．（2023秋•义乌市期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc ＞0；②b2＞4ac；③a（m2﹣1）+b（m﹣1）＜0（m≠1）；④关于x的方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，且这四个根的和为4．其中正确的结论有（ ）A．①②③B．②③④C．①④D．②③20．（2023秋•铜梁区校级期中）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①abc＞0；②2a+b＜0；③若﹣1＜m＜n＜1，则m+n＜―b a ；④3|a|+|c|＜2|b|．其中正确的结论有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个21．（2023•仁怀市模拟）如图，根据二次函数y＝ax2+bx+c的图象得到如下结论：①abc＞0 ②2a﹣b＝0 ③a+b+c＝0 ④3a+c＜0 ⑤当x＞﹣2时，y随x的增大而增大⑥一定存在实数x0，使得ax20+bx0＞a﹣b 成立．上述结论，正确的是（ ）A．①②⑤B．②③④C．②③⑥D．③④⑤22．（2023•广东模拟）二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，有如下结论：①abc ＜0；②2a ﹣b +c ≤0；③3b ﹣2c ＜0；④对任意实数m ，都有2am 2+2bm ﹣b ≥0．其中正确的有（ ）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④23．（2023•凤凰县模拟）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论①abc ＜0；②3a +b ＞―13c ；③2c ＜3b ；④（k +1）（ak +a +b ）≤a +b ，其中正确的是（ ）A ．①③④B ．C ．①④D ．②③④24．（2024•黄石模拟）已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ＜0）与x 轴交于点（x 1，0），（2，0），其中﹣1＜x 1＜0．下列四个结论：①abc ＜0；②a ﹣b +c ＞0；③2b ﹣c ＜0；④不等式ax 2+bx +c ＞―c 2x +c 的解集为0＜x ＜2．其中正确结论的序号为（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①④25．（2024•殷都区模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y 1＝mx +n 与抛物线y 2=ax 2+bx ―3相交于点A ，B ．结合图象，判断下列结论：①当﹣3＜x ＜2时，y 1＞y 2；②x ＝﹣3是方程ax 2+bx ﹣3＝0的一个解；③若（﹣4，t 1），（1，t 2）是抛物线上的两点，则t 1＞t 2；④对于抛物线y 2=ax 2+bx ―3，当﹣3＜x ＜2时，y 2的取值范围是0＜y 2＜5．其中正确结论的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个26．（2024•东港区校级一模）如图，抛物线 y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0），顶点坐标为（1，n ），与y 轴的交点在（0，2）和（0，3）两点之间（包含端点）．下列结论中正确的是（ ）①不等式ax 2+c ＜﹣bx 的解集为x ＜﹣1或x ＞3；②9a 2﹣b 2＜0；③一元二次方程cx 2+bx +a ＝0的两个根分别为x 1=13，x 2＝﹣1；④6≤3n ﹣2≤10．A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④二．填空题（共4小题）27．（2024•射洪市一模）二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的大致图象如图所示（1＜x ＝h ＜2，0＜x A ＜1）．下列结论：①abc ＜0；②2a +b ＞0；③若OC ＝2OA ，则2b ﹣ac ＝4；④3a ﹣c ＜0．其中正确的有 ．（只填写序号）28．（2023秋•太康县期末）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0，a 、b 、c 为常数）的图象如图所示．下列4个结论：①b ＞0；②b ＜a +c ；③c ＜4b ；④a +b ＜k 2a +kb （k 为常数，且k ≠1）．其中正确的结论序号是 ．29．（2023秋•青山区期末）已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点（2，c ），且满足a ﹣b +c ＝0．下列四个结论：①抛物线的对称轴是直线x ＝1；②b 与c 同号；③若a +2b +4c ＞0，则不等式ax 2+bx +c ＜﹣2ax ﹣a ﹣b 的解集﹣2＜x ＜2；④抛物线上的两个点M （m ﹣1，y 1），N （m +2，y 2），当c ＜0，且y 1＞y 2时，m ＜12．其中一定正确的是 .（填写序号）30．（2023秋•城厢区校级月考）如图，是抛物线y 1＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为A （1，3），与x 轴的一个交点为B （4，0），点A 和点B 均在直线y 2＝mx +n （m ≠0）上．①2a +b ＝0；②abc ＞0；③抛物线与x 轴的另一个交点是（﹣4，0）；④方程ax 2+bx +c ＝﹣3有两个不相等的实数根；⑤a ﹣b +c ＜4m +n ；⑥不等式mx +n ＞ax 2+bx +c 的解集为1＜x ＜4．其中正确的是 ．。
(完整版)中考数学二次函数压轴题题型归纳
中考二次函数综合压轴题型归类一、常考点汇总1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-=2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：⎪⎭⎫⎝⎛++22B A B A y y x x ，直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系：（1）两直线平行⇔21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交⇔21k k ≠ （3）两直线重合⇔21k k =且21b b = （4）两直线垂直⇔121-=k k3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下：① 用∆和参数的其他要求确定参数的取值范围；② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式）③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。
例：关于x 的一元二次方程()01222＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。
4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。
（方法同上）例：若抛物线()3132+++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定此抛物线的解析式。
5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。
举例如下：已知关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。
解：当0=m 时，1=x ；当0≠m 时，()032≥-=∆m ，()m m x 213∆±-=，mx 321-=、12=x ；综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。
6、函数过固定点问题，举例如下：已知抛物线22-+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122；∴ ⎩⎨⎧=-=+-01 02 2x x y ，解得：⎩⎨⎧=-=1 1 x y ；∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二次函数常见压轴y=x2-2x-3（以下几种分类的函数解析式就是这个）和最小，差最大在对称轴上找一点P，使得PB+PC的和最小，求出P点坐标在对称轴上找一点P，使得PB-PC的差最大，求出P点坐标yB OCDA x 求面积最大连接AC,在第四象限找一点P，使得∆ACP面积最大，求出P坐标y讨论直角三角连接AC,在对称轴上找一点P，使得∆ACP为直角三角形，求出P坐标或者在抛物线上求点△P，使ACP是以AC为直角边的直角三角形．B OCy DA x讨论等腰三角连接AC,在对称轴上找一点P，使得∆ACPB O A x为等腰三角形，求出P坐标C yD讨论平行四边形1、点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上，且以B，A，F，E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F的坐标B O A x CD的 和最小差最大如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 OABC 的边长为 2cm ，点 A 、C 分别在 y 轴的负半轴和 x 轴的正半轴上，抛物线 y =ax 2+b x +c 经过点 A 、B 和 D (4,2 3) .（1）求抛物线的解析式.（2）如果点 P 由点 A 出发沿 AB 边以 2cm /s 的速度向点 B 运动，同时点 Q 由点 B 出发沿 BC 边以 1cm /s 的速度向点 C 运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动. 设 S =PQ 2(cm 2)①试求出 S 与运动时间 t 之间的函数关系式，并写出 t 的取值范围；②当 S 取 5 4时，在抛物线上是否存在点 R ，使得以 P 、B 、（第 22 题）Q 、R 为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在，求出 R 点的坐标； 如果不存在，请说明理由.（3）在抛物线的对称轴上求点 M ，使得 M 到 D 、A 的距离之差最大，求出点 M 的坐标.如图 13，抛物线 y=ax 2＋bx ＋c(a≠0) 顶点为（1,4），交 x 轴于 A 、B ，交 y 轴于 D ，其中 B 点的坐标为（3,0）（1）求抛物线的解析式（2）如图 14，过点 A 的直线与抛物线交于点 E ，交 y 轴于点 F ，其中 E 点的横坐标为 2，若直线 PQ 为抛物线 的对称轴，点 G 为 PQ 上一动点，则 x 轴上是否存在一点 H ，使 D 、G 、F 、H 四点围成的四边形周长最小.若存 在，求出这个最小值及 G 、H 的坐标；若不存在，请说明理由.（3）如图 15，抛物线上是否存在一点 T ，过点 T 作 x 的垂线，垂足为 M ，过点 M 作直线 M N ∥BD ，交线段 AD 于点 N ，连接 △M D ，使 DNM ∽△BMD ，若存在，求出点 T 的坐标；若不存在，说明理由.0 A OB x面积最大如图，在平面直角坐标系中，点A 、C 的坐标分别为(－1， )、(0，－ 3 )，点 B 在 x 轴上．已知某二次函数的图 象经过 A 、B 、C 三点，且它的对称轴为直线 x ＝1，点 P 为直线 BC 下方的二次函数图象上的一个动点（点 P 与 B 、C 不重合），过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 F ． （1）求该二次函数的解析式；（2）若设点 P 的横坐标为 m ，试用含 m 的代数式表示线段 PF 的长；（3）求△PBC 面积的最大值，并求此时点 P 的坐标．yFCPx ＝1在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 A （－4，0），B （0，－4），C （2，0）三点． （1）求抛物线的解析式；（2）若点 M 为第三象限内抛物线上一动点，点 M 的横坐标为 m △， AMB 的面积为 S ．求 S 关于 m 的函数关系 式，并求出 S 的最大值．（3）若点 P 是抛物线上的动点，点 Q 是直线 y ＝－x 上的动点，判断有几个位置能够使得点 P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点 Q 的坐标．yA OC xMBxA3 用 ）（2011•广元）如图，抛物线 y=ax 2+2ax+c （a≠0）与 y 轴交于点 C （0，4），与 x 轴交于点 A （﹣4，0）和 B ． （1）求该抛物线的解析式；（2）点 Q 是线段 AB 上的动点，过点 Q 作 QE ∥AC ，交 BC 于点 E ，连接 CQ ．当△ CEQ 的面积最大时，求点 Q 的坐标；（3）平行于 x 轴的动直线 l 与该抛物线交于点 P ，与直线 AC 交于点 F ，点 D 的坐标为（﹣2，0）．问是否有直 线 l △，使 ODF 是等腰三角形？若存在，请求出点 F 的坐标；若不存在，请说 明理由．讨论等腰如图，已知抛物线 y ＝ 1 x 2＋b x ＋c 与 y 轴相交于 C ，与 x 轴相交于 A 、B ，点 A 的坐标为（2，0），点 C 的坐标2为（0，－1）．（1）求抛物线的解析式；（2）点 E 是线段 AC 上一动点，过点 E 作 DE ⊥x 轴于点 D ，连结 △DC ，当 DCE 的面积最大时，求点 D 的坐标； （3）在直线 BC 上是否存在一点 △P ，使 ACP 为等腰三角形，若存在，求点 P 的坐标，若不存在，说明理由．y yD BO B O ECCA x（湖北省武汉市新洲区）如图，已知抛物线 y ＝x 2＋b x ＋3 与 x 轴交于点 B （备，0图， 与 y 轴交于点 A ，P 是抛物线上的一个动点，点 P 的横坐标为 m （m ＞3），过点 P 作 y 轴的平行线 PM ，交直线 AB 于点 M ． y（1）求抛物线的解析式；（2）若以 AB 为直径的⊙N 与直线 PM 相切，求此时点 M 的坐标；（3）在点 P 的运动过程中，△APM 能否为等腰三角形？若能，求出点 M 的坐标；P若不能，请说明理由．AOBxM1 1 2讨论直角三角如图，已知点A （一1，0）和点B （1，2），在坐标轴上确定点P ，使得△ABP 为直角三角形，则满足这样条件的点P 共有（ ）．(A ）2个 （B ）4个 （C ）6个（D ）7个已知：如图一次函数 y ＝ x ＋1 的图象与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ；二次函数 y ＝ x ＋bx ＋c 的图象与一2 2次函数 y ＝ 12x ＋1 的图象交于 B 、C 两点，与 x 轴交于 D 、E 两点且 D 点坐标为（1，0）（1）求二次函数的解析式；（2）求四边形 BDEC 的面积 S ；（3）在 x 轴上是否存在点 P ，使得△PBC 是以 P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点 P ，若不存在，请说明理由．yC2BxAO D E（甘肃省天水市、庆阳市、定西市、白银市、嘉峪关市等九市联考）如图，抛物线与x 轴交于 A （－1，0）、B （3，0）两点，与 y 轴交于点 C （0，－3），设抛物线的顶点为 D ． （1）求该抛物线的解析式与顶点 D 的坐标；（2）以 B 、C 、D 为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？（3）探究坐标轴上是否存在点 P ，使得以 P 、A 、C 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，请指出符合条件的点 P 的位置，并直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．yA O Bx（辽宁省抚顺市）已知：如图所示，关于x 的抛物线 y ＝ax 2＋x ＋c （a ≠0）与 x 轴交于点 A （－2，0），点 B （6，讨论四边形二次函数 y ＝x 2＋p x ＋q （p ＜0）的图象与 x 轴交于 A 、B 两点，与 y 轴交于点 C (0，－1)，△ABC 的面积为 54．（1）求该二次函数的关系式；（2）过 y 轴上的一点 M (0，m )作 y 轴的垂线，若该垂线与△ABC 的外接圆有公共点，求 m 的取值范围； （3）在该二次函数的图象上是否存在点 D ，使四边形 ACBD 为直角梯形？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由．y已知：抛物线 y ＝x 2－2x ＋a （a ＜0）与 y 轴相交于点 A ，顶点为 M ．直线 y ＝1 2 OB xACx －a 分别与 x 轴，y 轴相交于 B ，C 两点，并且与直线 AM 相交于点 N ．（1）填空：试用含 a 的代数式分别表示点 M 与 N 的坐标，则 M （， ），N （ ， ）；（△2）如图，将 NAC 沿 y 轴翻折，若点 N 的对应点 N ′恰好落在抛物线上，AN ′与 x 轴交于点 D ，连结 CD ，求 a 的值和四边形 ADCN 的面积；（3）在抛物线 y ＝x 2－2x ＋a （a ＜0）上是否存在一点 P ，使得以 P ，A ，C ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，试说明理由．y y CCNON ′ NOBDxB xA A0），与 y 轴交于点 C ．M M（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；备用图（2）在抛物线上有一点 D ，使四边形 ABDC 为等腰梯形，写出点 D 的坐标，并求出直线 AD 的解析式；（3）在（2）中的直线 AD 交抛物线的对称轴于点 M ，抛物线上有一动点 P ，x 轴上有一动点 Q ．是否存在以A 、M 、P 、Q 为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．yCx 2－ x －10 与 x 轴的交点为 A ，与 y 轴的交综合型题目（山东省烟台市）如图，抛物线 y ＝ax 2＋b x －3 与 x 轴交于 A ，B 两点，与 y 轴交于 C 点，且经过点（2，－3a ）， 对称轴是直线 x ＝1，顶点是 M ．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）经过 C ，M 两点作直线与 x 轴交于点 N ，在抛物线上是否存在这样的点 P ，使以点 P ，A ，C ，N 为顶点 的四边形为平行四边形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设直线 y ＝－x ＋3 与 y 轴的交点是 D ，在线段 BD 上任取一点 E （不与 B ，D 重合），经过 A ，B ，E 三 点的圆交直线 BC 于点 △F ，试判断 AEF 的形状，并说明理由；（4）当 E 是直线 y ＝－x ＋3 上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）yA O1B x-3CM（湖北省黄冈市）如图，在平面直角坐标系 xoy 中，抛物线 y ＝ 1 18 4 9点为点 B ，过点 B 作 x 轴的平行线 BC ，交抛物线于点 C ，连结 AC ．现有两动点 P ，Q 分别从 O ，C 两点同时出发，点 P 以每秒 4 个单位的速度沿 OA 向终点 A 移动，点 Q 以每秒 1 个单位的速度沿 CB 向点 B 移动，点 P 停 止运动时，点 Q 也同时停止运动．线段 OC ，PQ 相交于点 D ，过点 D 作 DE ∥OA ，交 CA 于点 E ，射线 QE 交 x轴于点F．设动点P，Q移动的时间为t(单位：秒)（1）求A，B，C三点的坐标和抛物线的顶点坐标；（2）当t为何值时，四边形PQCA为平行四边形？请写出计算过程；（3）当0＜t＜92时，△PQF的面积是否总为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由；（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？请写出解答过程．yPO A F xDEB Q C。