2020年中考数学复习专题训练——二次函数的图像与性质
2020中考数学二次函数的图像和性质专题练习（包含答案）
2020中考数学二次函数的图像和性质专题练习（包含答案）2020中考数学二次函数的图像和性质专题练习（含答案）一、单选题（共有10道小题）1.抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数），a ＞0，顶点坐标为（，m ），给出下列结论：①若点（n ，y 1）与（﹣2n ，y 2）在该抛物线上，当n ＜时，则y 1＜y 2；②关于x 的一元二次方程ax 2﹣bx +c ﹣m +1＝0无实数解，那么（） A ．①正确，②正确 B ．①正确，②错误 C ．①错误，②正确D ．①错误，②错误2.已知1a <-，点(1a -，1)y ，(a ，2)y ，(1a +，3)y 都在函数2y x =的图象上，则（）A. 123y y y <<B. 132y y y <<C. 321y y y <<D. 213y y y <<3.如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是（）A ．h m =B ．k n =C ．k n >D ．00h k >>，4.二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b c y x++=在同一坐标系内的图象大致为（）14（x-h ）2+kABC5.函数ky x=与22(0)y kx k k =+≠在同一坐标系中图象大致是图中的（）6.已知，如图所示为二次函数2y ax bx c =++的图象，则一次函数y ax bc =+的图象不经过（）A.第一象限B.D.第四象限7.在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和函数222y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可能．．是（）8.2y ax bx c =++的图象如图所示．并设|||||2||2| M abca b c a b a b =++--+++--，则（）DB ADC DC B AA ．0M >B ．0M =C ．0M <D ．不能确定M 为正，为负或为09.已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<；⑤1c a -> 其中所有正确结论的序号是（） A ．①② B ．①③④C ．①②③⑤D ．①②③④⑤10.如下右图所示，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点()12-，，且与x 轴交点的横坐标分别为1x ，2x ，其中121x -<<-，201x <<，下列结论：①420a b c -+<；②20a b -<；③1b <-；④284b a ac +>．其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、多选题（共有1道小题）11.下列函数中，哪些是二次函数？并指出二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项．⑴2y x = ⑵ 21y x =-⑶ 221y x x =-- ⑷(1)y x x =-⑸2(1)(1)(1)y x x x =--+-三、填空题（共有6道小题）12.将抛物线22y x =的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为．13.若二次函数21my mx +=有最小值，则m =________．14.二次函数23(2)my m x -=-在其图象对称轴的左侧，y 随着x 的增大而减小，则m 的值为_____．15.已知点()15A x ，，()25B x，是函数223y x x =-+上两点，则当12x x x =+时，函数值y =___________．16.已知二次函数()()2223y m x mx m =-+--的图象的开口向上，顶点在第三象限，且交于y 轴的负半轴，则m 的取值范围是_________________．17.已知二次函数()2110y a x b =-++和()2250y b x a =--+分别有最大值、最小值，则这两个二次函数的图像有个交点．四、解答题（共有7道小题）18.若20x -≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值．19.已知函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象，如图所示．求证：22()a c b +<20.二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示，求a 的取值范围21.设二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，若OA OB =，求abc 的取值范围.22.设直线y kx b =+与抛物线2y ax =的两个交点的横坐标分别是12,x x ，且直线与x轴的交点的横坐标为3x ，求证：123111x x x +=．23.分别求出在下列条件下，函数2231y x x =-++的最值：⑴x 取任意实数；⑵当20x -≤≤时；⑶当13x ≤≤时；⑷当12x -≤≤时．24.已知函数222y x x =-+在1t x t ≤≤+范围内的最小值为s ，写出函数s 关于t 的函数解析式，并求出s 的取值范围．讲评卷一、单选题（共有10道小题）1.抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数），a ＞0，顶点坐标为（，m ），给出下列结论：①若点（n ，y 1）与（﹣2n ，y 2）在该抛物线上，当n ＜时，则y 1＜y 2；②关于x 的一元二次方程ax 2﹣bx +c ﹣m +1＝0无实数解，那么（） A ．①正确，②正确 B ．①正确，②错误 C ．①错误，②正确D ．①错误，②错误参考答案:A解：①∵顶点坐标为（，m ），n ＜，∴点（n ，y 1）关于抛物线的对称轴x ＝的对称点为（1﹣n ，y 1），∴点（1﹣n ，y 1）与（﹣2n ，y 2）在该抛物线上，∵（1﹣n ）﹣（﹣2n ）＝n ﹣＜0，∴1﹣n ＜﹣2n ，∵a ＞0，∴当x ＞时，y 随x 的增大而增大，∴y 1＜y 2，故此小题结论正确；②把（，m ）代入y ＝ax 2+bx +c 中，得m ＝a +b +c ，∴一元二次方程ax 2﹣bx +c ﹣m +1＝0中，△＝b 2﹣4ac +4am ﹣4a ＝b 2﹣4ac +4a （a +b +c ）﹣4a ＝（a +b ）2﹣4a ＜0，∴一元二次方程ax 2﹣bx +c ﹣m +1＝0无实数解，故此小题正确2.已知1a <-，点(1a -，1)y ，(a ，2)y ，(1a +，3)y 都在函数2y x =的图象上，则（）A. 123y y y <<B. 132y y y <<C. 321y y y <<D. 213y y y <<参考答案:C3.如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是（）A ．h m =B ．k n =C ．k n >D ．00h k >>，参考答案:B4.二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bxb ac =+-与反比例函数a b c y x++=在同一坐标系内的图象大致为（）参考答案:D5.函数ky x=与22(0)y kx k k =+≠在同一坐标系中图象大致是图中的（）14（x-h ）2+kABCD参考答案:A6.已知，如图所示为二次函数2y ax bx c =++的图象，则一次函数y ax bc =+的图象不经过（）A.第一象限B.D.第四象限参考答案:B7.在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和函数222y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可能．．是（）参考答案:D8.2y ax bx c =++的图象如图所示．并设|||||2||2|M a b c a b c a b a b =++--+++--，则（）A ．0M >B ．0M =C ．0M <D ．不能确定M 为正，为负或为0B DC DC B A参考答案:C9.已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<；⑤1c a -> 其中所有正确结论的序号是（） A ．①② B ．①③④C ．①②③⑤D ．①②③④⑤参考答案:C10.如下右图所示，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点()12-，，且与x 轴交点的横坐标分别为1x ，2x ，其中121x -<<-，201x <<，下列结论：①420a b c -+<；②20a b -<；③1b <-；④284b a ac +>．其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个参考答案:D二、多选题（共有1道小题）11.下列函数中，哪些是二次函数？并指出二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项．⑴2y x = ⑵ 21y x =-⑶ 221y x x =-- ⑷(1)y x x =-⑸2(1)(1)(1)y x x x =--+-参考答案:⑴二次项系数为1，一次项系数和常数项为0．⑵虽然次数为2，但x 位于分母位置，所以不是二次函数．⑶二次项系数为2，一次项系数为-1，常数项为-1．⑷2(1)y x x x x =-=-+，二次项系数为-1，一次项系数为1，常数项为0．⑸将括号展开，二次项消去，所以不是二次函数．三、填空题（共有6道小题）12.将抛物线22y x =的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为．参考答案:y ＝2（x +1）2﹣2 13.若二次函数21m y mx +=有最小值，则m =________．参考答案:∵二次函数21my mx +=有最小值，∴0m >．又∵212m +=，∴1m =±．∴1m =．14.二次函数23(2)m y m x -=-在其图象对称轴的左侧，y 随着x 的增大而减小，则m 的值为_____．参考答案:根据题设条件，画图草图（如下图）：由二次函数图象性质可知：20m ->，同时，232m -=，解方程，得：m =，因为20m ->，∴m =．15.已知点()15A x ，，()25B x ，是函数223y x x =-+上两点，则当12x x x =+时，函数值y =___________．参考答案:由题意可知：A ，B 关于抛物线的对称轴对称，故12222bx x x a-=+=?=，∴当2x =时，4433y =-+=16.已知二次函数()()2223y m x mx m =-+--的图象的开口向上，顶点在第三象限，且交于y 轴的负半轴，则m 的取值范围是_________________．参考答案:考察函数图像与系数之间的关系．因为函数图像开口向上，所以()20m ->，又因为顶点在第三象限，所以函数对称轴在y 轴左侧，所以20m >；因为函数图像又与y 轴的负半轴相交，所以()30m --<．综上所述可得()202200330m m m m m m ?->>>?><--<??∴23m <<17.已知二次函数()2110y a x b =-++和()2250y b x a =--+分别有最大值、最小值，则这两个二次函数的图像有个交点．参考答案:0四、解答题（共有7道小题）18.若20x -≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值．参考答案:由函数图像开口向上，且120<4x -≤≤，故当2x =-时，y 取最大值为7，当0x =时，y 取最小值为1．19.已知函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象，如图所示．求证：22()a c b +<参考答案:方法一：根据图象得： 0,0a c <<122bb a a-=?=-?224b a =① 又∵240b ac ->，∴2440a ac -> 即：4()0a a c -> ∴220204()a c a c a a a a c a a c -<?<++② 由①②式得：22()a c b +< 方法二：根据图象得，当1x =时0y >，即0a b c ++>，∴()b a c >-+由0a <，12ba-=得：0b > 当0x =时0y <得0c <∴22()0()b a c b a c >-+>?>+即：22()a c b +<．20.二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示，求a 的取值范围参考答案:根据二次函数图象可知0a <，又此二次函数图象经过(10)，，(01)，则有0a b c ++=，1c =，得(1)b a =-+，于是22214(1)(1)1()24a a a y ax a x a x a a+--=-++=-+ 根据函数图象可知102a x a +=<，24(1)14a a a--> 于是有10a -<<．21.设二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，若OA OB =，求abc 的取值范围.参考答案:设点A 的坐标为(m ，0)，0m <，则B 的坐标为(0，)m ，于是20am bm c ++=且c m =，即20am bm m ++=，∴1b am =--.∴22111()244ab ma a m a m m m=--=-++≥，由图知，0a >，对称轴在y 轴右侧，故02ba->，0b <，∴104ab m≤<，两边同时乘以负数c m =，即得104abc <≤．22.设直线y kx b =+与抛物线2y ax =的两个交点的横坐标分别是12,x x ，且直线与x轴的交点的横坐标为3x ，求证：123111x x x +=．参考答案:由题意有220y kx bax kx b y ax=+??--=?=?ｕ两个交点的横坐标分别是12,x x ，故1212k b x x x x a a+==-，．∴12121211x x k x x x x b ++==-．直线y kx b =+与x 轴交点的横坐标为3bx k=-，故31k x b =-．故123111x x x +=． 23.分别求出在下列条件下，函数2231y x x =-++的最值：⑴x 取任意实数；⑵当20x -≤≤时；⑶当13x ≤≤时；⑷当12x -≤≤时．参考答案:⑴函数的最大值为178，无最小值；⑵当0x =时，函数取得最大值1；当2x =-时，函数取得最小值13-；⑶当1x =时，函数取得最大值2；当3x =时，函数取得最小值8-；⑷当34x =时，函数取得最大值178；当1x =-时，函数取得最小值4-．24.已知函数222y x x =-+在1t x t ≤≤+范围内的最小值为s ，写出函数s 关于t 的函数解析式，并求出s 的取值范围．参考答案:二次函数222y x x =-+的对称轴是1x =，①当1t >时，对称轴在x t =左边，∴222s t t =-+；②当11t t ≤≤+，即01t ≤≤时，最小值s 在顶点处取得，∴1s =；③当11t +<，即0t <时，对称轴在1x t =+右边，∴21s t =+．综上所述：221(0),1(01),22(1)t t s t t t t ?+<?=≤≤??-+>?∴s 的取值范围为1s ≥．。
2020中考数学专题复习 二次函数图像性质与系数关系专题
函数图像与系数关系一．选择题（共35小题）1．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（）A．B．C．D．2．在同一坐标中，一次函数y＝﹣kx+2与二次函数y＝x2+k的图象可能是（）A．B．C．D．3．小明将如图两水平线l1、l2的其中一条当成x轴，且向右为正方向；两条直线l3、l4的其中一条当成y轴，且向上为正方向，并在此坐标平面中画出二次函数y＝ax2﹣2a2x+1的图象，则（）A．l1为x轴，l3为y轴B．l2为x轴，l3为y轴C．l1为x轴，l4为y轴D．l2为x轴，l4为y轴4．已知a，b，c满足a+b+c＝0，4a+c＝2b，则二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为（）A．直线x＝1B．直线x＝﹣1C．直线x＝D．直线x＝﹣5．抛物线y＝（x+3）2﹣5的顶点为（）A．（3，﹣5）B．（﹣3，5）C．（﹣3，﹣5）D．（3，5）6．关于函数y＝﹣（x+2）2﹣1的图象叙述正确的是（）A．开口向上B．顶点（2，﹣1）C．与y轴交点为（0，﹣1）D．对称轴为直线x＝﹣27．函数y＝﹣x2﹣4x﹣3图象顶点坐标是（）A．（2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（2，1）8．已知：二次函数y＝ax2+c，当x＝1时，﹣4≤y≤﹣2，当x＝2时，﹣1≤y≤2，则当x ＝3时，y的取值范围为（）A．≤y≤12B．≤y≤10C．≤y≤9D．1≤y≤99．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c＝0；②b＞2a；③ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；④a﹣2b+c＞0．其中正确的命题是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③④10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），过（1，y1）（2，y2）．①若y1＞0时，则a+b+c＞0②若a＝b时，则y1＜y2③若y1＜0，y2＞0，且a+b＜0，则a＞0④若b＝2a﹣1，c＝a﹣3，且y1＞0，则抛物线的顶点一定在第三象限上述四个判断正确的有（）个．A．1B．2C．3D．411．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：①abc＞0；②3a+c＜0；③a+b≥am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（）个．A．2B．3C．4D．512．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b ＞0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．413．二次函数y＝2（x+2）2﹣1的图象是（）A．B．C．D．14．如图，已知抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x．我们约定：当x任取值时，x对应的函数值分别为y1，y2，若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M，若y1＝y2，记M＝y1＝y2，下列判断：①当x＞2时，M＝y1；②若M＝2，则x＝1．其中正确的有（）A．①②B．①C．②D．无法判断15．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0两根为x1，x2，x2+x1＝﹣，x2．x1＝．如果抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，2），若abc＝4，且a≥b≥c，则|a|+|b|+|c|的最小值为（）A．5B．6C．7D．816．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于（x1，0）、（x2，0）两点，且0＜x1＜1，1＜x2＜2与y轴交于（0，﹣2），下列结论：①2a+b＞1；②a+b＜2；③3a+b＞0；④a＜﹣1，其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个17．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示（1＜x＝h＜2，0＜x A＜1）．下列结论：①2a+b＞0；②abc＜0；③若OC＝2OA，则2b﹣ac＝4；④3a﹣c＜0．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个18．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OB ＝OC，下列结论：①b＞1且b≠2；②b2﹣4ac＜4a2；③a＞；其中正确的个数为（）A．0B．1C．2D．319．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是x＝﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（）A．①②B．②③C．①②④D．②③④20．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，﹣3），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图所示，则以下结论：①abc＞0；②a+b+c＜0；③a﹣c ＝3；④方程ax2+bx+c+3＝0有两个相等的实根，其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．421．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，在下列四个结论中：①2a﹣b＜0；②abc＜0；③a+b+c＜0；④a﹣b+c＞0．错误的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个22．如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，对称轴是x＝1，则下列说法：①b＞0；②2a+b＝0；③4a﹣2b+c＞0；④3a+c＞0；⑤m（ma+b）＜a+b（常数m≠1）．其中正确的个数为（）A．2B．3C．4D．523．如图，二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为x＝1，则下列说法正确的有（）①abc＜0，②2a+b＝0，③a﹣b+c＞0，④若4a+2b+c＞0．A．①②③B．②③④C．①②④D．①②③④24．如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①abc＜0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤，你认为其中正确信息的个数有（）A．2B．3C．4D．525．已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①abc＞0；②a+b+c＝2；③a ＜；④b＞1．其中正确的结论是（）A．①②B．②③C．③④D．②④26．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（x1，0），（x2，0）两点，且0＜x1＜1，1＜x2＜2，与y轴交于（0，﹣2），下列结论：①2a+b＞1；②a+b＜2；③3a+b＞0；④a ＜﹣1．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．427．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC．则下列结论：①abc＜0；②＞0；③ac﹣b+1＝0；④OA•OB＝﹣．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．128．如图所示的是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是x＝﹣1，有下列结论：①b﹣2a＝0；②4a﹣2b+c＜0；③a﹣b+c＝﹣9a；④若（﹣3，y1），（﹣4，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2，其中结论正确的序号是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④29．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x＝1，有如下结论：①abc＜0；②a﹣b+c＞0；③b2＞4ac；④3a﹣2b+c＜0，则正确的结论是（）A．①②③B．①③④C．②③④D．①②③④30．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0），下列结论：①ab＜0，②b2＞4a，③0＜b＜1，④当x＞﹣1时，y＞0，其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个31．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出以下结论：①b2＞4ac；②abc＞0；③2a﹣b＝0；④8a+c＜0；⑤9a+3b+c＜0，其中结论正确有（）个．A．2个B．3个C．4个D．5个32．如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：①a＞0 ②2a+b＝0 ③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x＜3时，y＞0其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．433．如图是函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象与x轴正半轴交于点（3，0），对称轴为直线x＝1，则下列结论：①b2＞4ac；②当﹣1＜x＜3时，ax2+bx+c＞0；③无论m为何实数，a+b≥m（ma+b）；④若t为方程ax2+bx+c+1＝0的一个根，则﹣1＜t＜3，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个34．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，x＝﹣1是对称轴，有下列判断：①b﹣2a＝0；②4a﹣2b+c＜0；③a﹣b+c＝﹣9a；④若（﹣3，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2，其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④35．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（）A．①②③B．②④C．②⑤D．②③⑤二．填空题（共5小题）36．已知抛物线y＝x2+ax+a的顶点的纵坐标为，且当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，则a的值为．37．函数y＝x2+bx+c与y＝x的图象如图所示，有以上结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1＝0；③3b+c+6＝0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确的是（填序号）．38．已知二次函数y＝x2+2x+t2的图象经过点（﹣m，﹣1）和（m，n），则n的值为．39．若直线y＝x+m与函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象有四个公共点，则m的取值范围为．40．抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，直线x＝1为对称轴，以下结论①a＜0，②b ＞0，③2a+b＝0，④3a+c＜0正确的有（填序号）．参考答案与试题解析一．选择题（共35小题）1．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（）A．B．C．D．【分析】本题可先由二次函数y＝ax2+bx+c图象得到字母系数的正负，再与一次函数y ＝ax+b的图象相比较看是否一致．【解答】解：A、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b ＜0，故本选项正确；B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；C、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；D、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误．故选：A．【点评】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法．2．在同一坐标中，一次函数y＝﹣kx+2与二次函数y＝x2+k的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与y轴的交点为（0，2），二次函数的开口向上，据此判断二次函数的图象．【解答】解：由二次函数y＝x2+k可知，抛物线开口向上，由一次函数y＝﹣kx+2可知，直线与y轴的交点为（0，2），当k＞0时，二次函数顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、四象限；当k＜0时，二次函数顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、三象限．故选：A．【点评】此题主要考查了二次函数及一次函数的图象的性质，用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标．3．小明将如图两水平线l1、l2的其中一条当成x轴，且向右为正方向；两条直线l3、l4的其中一条当成y轴，且向上为正方向，并在此坐标平面中画出二次函数y＝ax2﹣2a2x+1的图象，则（）A．l1为x轴，l3为y轴B．l2为x轴，l3为y轴C．l1为x轴，l4为y轴D．l2为x轴，l4为y轴【分析】根据抛物线的开口向下，可得a＜0，求出对称轴为：直线x＝2a，则可确定l4为y轴，再根据图象与y轴交点，可得出l2为x轴，即可得出答案．【解答】解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∴抛物线与y轴的负半轴相交，∴l2为x轴，l4为y轴．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质，开口方向由a确定，与y轴的交点由c确定，左同右异确定b的符号．4．已知a，b，c满足a+b+c＝0，4a+c＝2b，则二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为（）A．直线x＝1B．直线x＝﹣1C．直线x＝D．直线x＝﹣【分析】根据a+b+c＝0，4a+c＝2b，可以求得a、b、c之间的关系，从而可以求得该函数的对称轴，本题得以解决．【解答】解：∵a+b+c＝0，4a+c＝2b，∴c＝﹣2a，a＝b，∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），∴对称轴是直线x＝＝，故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．5．抛物线y＝（x+3）2﹣5的顶点为（）A．（3，﹣5）B．（﹣3，5）C．（﹣3，﹣5）D．（3，5）【分析】根据二次函数的顶点式容易得出其顶点坐标．【解答】解：∵y＝（x+3）2﹣5，∴其顶点坐标为（﹣3，﹣5），故选：C．【点评】本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握二次函数的顶点式y＝a（x﹣h）2+k 的顶点坐标为（h，k）是解题的关键．6．关于函数y＝﹣（x+2）2﹣1的图象叙述正确的是（）A．开口向上B．顶点（2，﹣1）C．与y轴交点为（0，﹣1）D．对称轴为直线x＝﹣2【分析】根据题目中的函数图象和二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．【解答】解：∵函数y＝﹣（x+2）2﹣1，∴该函数图象开口向下，故选项A错误，顶点坐标为（﹣2，﹣1），故选项B错误，当x＝0时，y＝﹣5，即该函数与y轴的交点坐标为（0，﹣5），故选项C错误，对称轴是直线x＝﹣2，故选项D正确，故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．7．函数y＝﹣x2﹣4x﹣3图象顶点坐标是（）A．（2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（2，1）【分析】将二次函数的一般形式化为顶点式后即可直接说出其顶点坐标；【解答】解：∵y＝﹣x2﹣4x﹣3＝﹣（x2+4x+4﹣4+3）＝﹣（x+2）2+1∴顶点坐标为（﹣2，1）；故选：B．【点评】主要考查了二次函数的性质和求抛物线的对称轴和顶点坐标的方法．除去用配方法外还可用公式法．8．已知：二次函数y＝ax2+c，当x＝1时，﹣4≤y≤﹣2，当x＝2时，﹣1≤y≤2，则当x ＝3时，y的取值范围为（）A．≤y≤12B．≤y≤10C．≤y≤9D．1≤y≤9【分析】由当x＝1时，﹣4≤y≤﹣2，当x＝2时，﹣1≤y≤2，将y＝ax2+c代入得到关于a、c的两个不等式组，再设x＝3时y＝9a+c＝m（a+c）+n（4a+c），求出m、n的值，代入计算即可．【解答】解：由x＝1时，﹣4≤y≤﹣2得，﹣4≤a+c≤﹣2…①由x＝2时，﹣1≤y≤2得，﹣1≤4a+c≤2…②x＝3时，y＝9a+c＝m（a+c）+n（4a+c）得，解得，故≤﹣（a+c）≤，﹣≤（4a+c）≤，∴≤y≤12．故选：A．【点评】本题考查了二次函数性质的运用，熟练解不等式组是解答本题的关键．9．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c＝0；②b＞2a；③ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；④a﹣2b+c＞0．其中正确的命题是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③④【分析】根据抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）对①进行判断；根据对称轴方程为x ＝﹣＝﹣1对②进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0）和（1，0），由此对③进行判断；根据抛物线与y轴的交点在x轴下方，得到c＜0，而a+b+c＝0，则a﹣2b+c＝﹣3b，由b＞0，于是可对④进行判断．【解答】解：∵x＝1时，y＝0，∴a+b+c＝0，所以①正确；∵x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a，所以②错误；∵点（1，0）关于直线x＝﹣1对称的点的坐标为（﹣3，0），∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0）和（1，0），∴ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1，所以③正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，而a+b+c＝0，b＝2a，∴c＝﹣3a，∴a﹣2b+c＝﹣3b，∵b＞0，∴﹣3b＜0，所以④错误．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x＝﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）．10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），过（1，y1）（2，y2）．①若y1＞0时，则a+b+c＞0②若a＝b时，则y1＜y2③若y1＜0，y2＞0，且a+b＜0，则a＞0④若b＝2a﹣1，c＝a﹣3，且y1＞0，则抛物线的顶点一定在第三象限上述四个判断正确的有（）个．A．1B．2C．3D．4【分析】①若y1＞0时，当x＝1时，y1＝a+b+c，此时，确定不了y的值，∴a+b+c＞0，正确；②若a＝b时，即函数的对称轴是x＝﹣，分两种情况，a＝b＞0，则y2＞y1，否则，故y1＜y2，故错误；③若y1＜0，y2＞0，即：a+b+c＜0，4a+2b+c＞0，而a+b＜0，即：﹣2a＜0，a＞0，正确；④若b＝2a﹣1，c＝a﹣3，且y1＞0，即：a+b+c＞0，把b、c的值代入上式得：a＞1，则b＞1，c＞﹣2，代入顶点坐标即可求解，正确．【解答】解：①若y1＞0时，当x＝1时，y1＝a+b+c＞0此时，正确；②若a＝b时，即函数的对称轴是x＝﹣，也确定不了y1、y2的大小，故y1＜y2，错误；③若y1＜0，y2＞0，即：a+b+c＜0，4a+2b+c＞0，解得：﹣3a﹣b＜0，而a+b＜0，即：﹣2a＜0，∴a＞0，正确；④若b＝2a﹣1，c＝a﹣3，且y1＞0，即：a+b+c＞0，把b、c的值代入上式得：a＞1，则b＞1，c＞﹣2，顶点的x坐标＝﹣＜0，顶点的y坐标＝＝﹣2﹣＜0，故顶点一定在第三象限，正确；故选：C．【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，涉及到函数基本性质、解不等式等相关知识，难度较大．11．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：①abc＞0；②3a+c＜0；③a+b≥am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（）个．A．2B．3C．4D．5【分析】由抛物线开口方向得到a＜0，利用抛物线的对称轴方程得到b＝﹣2a＞0，由抛物线与x轴的交点位置得到c＞0，则可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）与（0，0）之间，所以当x＝﹣1时，a﹣b+c＜0，则可对④进行判断；把b＝﹣2a代入可对②进行判断；利用二次函数的最值问题对③进行判断；把ax12+bx1＝ax22+bx2进行变形得到（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，从而得到a（x1+x2）+b＝0，再利用b＝﹣2a可对⑤进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∵抛物线与x轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①错误；∵抛物线与x轴的一个交点在（2，0）与（3，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）与（0，0）之间，∴当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，所以④错误；∴a+2a+c＜0，即3a+c＜0，所以②正确；∵x＝1时，y有最大值，∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，所以③正确；∵ax12+bx1＝ax22+bx2，∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，而x1≠x2，∴a（x1+x2）+b＝0，∴x1+x2＝﹣＝﹣＝2，所以⑤正确．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置．也考查了二次函数的性质．12．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b ＞0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】由抛物线的对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①∵抛物线对称轴是y轴的右侧，∴ab＜0，∵与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确；②∵a＞0，x＝﹣＜1，∴﹣b＜2a，∴2a+b＞0，故②正确；③∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故③正确；④当x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，故④正确．故选：D．【点评】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．13．二次函数y＝2（x+2）2﹣1的图象是（）A．B．C．D．【分析】先根据解析式确定抛物线的顶点坐标、对称轴，然后对图象进行讨论选择．【解答】解：∵a＝2＞0，∴抛物线开口方向向上；∵二次函数解析式为y＝2（x+2）2﹣1，∴顶点坐标为（﹣2，﹣1），对称轴x＝﹣2．故选：C．【点评】判断图象的大体位置根据：（1）根据a的正负确定开口方向；（2）根据顶点坐标或对称轴确定图象位于哪些象限．14．如图，已知抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x．我们约定：当x任取值时，x对应的函数值分别为y1，y2，若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M，若y1＝y2，记M＝y1＝y2，下列判断：①当x＞2时，M＝y1；②若M＝2，则x＝1．其中正确的有（）A．①②B．①C．②D．无法判断【分析】若y1＝y2，记M＝y1＝y2．首先求得抛物线与直线的交点坐标，利用图象可得当x＞2时，利用函数图象可以得出y2＞y1；当0＜x＜2时，y1＞y2；当x＜0时，利用函数图象可以得出y2＞y1；然后根据当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；即可求得答案．【解答】解：∵当y1＝y2时，即﹣x2+4x＝2x时，解得：x＝0或x＝2，∴当x＞2时，利用函数图象可以得出y2＞y1；∴①正确；∵如图：当0＜x＜2时，y1＞y2；当M＝2，2x＝2，x＝1；x＞2时，y2＞y1；当M＝2，﹣x2+4x＝2，x1＝2+，x2＝2﹣（舍去），∴使得M＝2的x值是1或2+，∴②错误；【点评】此题主要考查了二次函数与一次函数综合应用．注意掌握函数增减性是解题关键，注意数形结合思想与方程思想的应用．15．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0两根为x1，x2，x2+x1＝﹣，x2．x1＝．如果抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，2），若abc＝4，且a≥b≥c，则|a|+|b|+|c|的最小值为（）A．5B．6C．7D．8【分析】易知：b+c＝2﹣a，bc＝，可将b、c看做是一元二次方程x2﹣（2﹣a）x+＝0的两实根，那么可根据△≥0，求得a的大致取值范围为a≥4．由于abc＝4＞0，且a ≥b≥c，则说明：①a、b、c均大于0，由于a≥4，如果三数均为正数，显然a+b+c＞4≠2，因此不合题意．②a正，b、c为负，那么此时|a|+|b|+|c|＝a﹣（b+c）＝a﹣（2﹣a）＝2a﹣2，根据得出的a的取值范围，即可求出|a|+|b|+|c|的最小值．【解答】解：∵a≥b≥c，若a＜0，则b＜0，c＜0，a+b+c＜0，与a+b+c＝2矛盾，∴a＞0；∵b+c＝2﹣a，bc＝，∴b，c是一元二次方程x2﹣（2﹣a）x+＝0的两实根．∴△＝（2﹣a）2﹣4×≥0，∴a3﹣4a2+4a﹣16≥0，即（a2+4）（a﹣4）≥0，故a≥4．∵abc＞0，∴a，b，c为全大于0或一正二负．①若a，b，c均大于0，∵a≥4，与a+b+c＝2矛盾；②若a，b，c为一正二负，则a＞0，b＜0，c＜0，则|a|+|b|+|c|＝a﹣b﹣c＝a﹣（2﹣a）＝2a﹣2，∵a≥4，故2a﹣2≥6当a＝4，b＝c＝﹣1时，满足题设条件且使不等式等号成立．故|a|+|b|+|c|的最小值为6．【点评】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系、韦达定理的应用及不等式的相关知识．16．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于（x1，0）、（x2，0）两点，且0＜x1＜1，1＜x2＜2与y轴交于（0，﹣2），下列结论：①2a+b＞1；②a+b＜2；③3a+b＞0；④a＜﹣1，其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：如图：0＜x1＜1，1＜x2＜2，并且图象与y轴相交于点（0，﹣2），可知该抛物线开口向下即a＜0，c＝﹣2，①当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，即4a+2b＜﹣c；∵c＝﹣2，∴4a+2b＜2，∴2a+b＜1，故①错误；②∵当x＝1时，y＞0，∴a+b+c＞0，∵c＝﹣2，∴a+b＞2，故②错误；③∵0＜x1＜1，1＜x2＜2，∴1＜x1+x2＜3，又∵x1+x2＝﹣，∴1＜﹣＜3，∴﹣a＜b＜﹣3a，∴3a+b＜0，④∵0＜x1x2＜2，x1x2＝＜2，又∵c＝﹣2，∴a＜﹣1．故④正确．故选：A．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点及二次函数图象与系数的关系，根据图象找到所需的条件，同时利用根与系数的关系及不等式的性质是解题的基本思路．17．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示（1＜x＝h＜2，0＜x A＜1）．下列结论：①2a+b＞0；②abc＜0；③若OC＝2OA，则2b﹣ac＝4；④3a﹣c＜0．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】①根据抛物线的开口向下即可得出a＜0，再根据抛物线的对称轴在x＝1和x ＝2之间即可得出b＞﹣2a，①正确；②由b＞﹣2a可得出b＞0，再根据抛物线与y轴交于y轴负半轴可得出c＜0，由此即可得出abc＞0，②错误；③将A（﹣，0）代入抛物线解析式中，整理后可得出2b﹣ac＝4，③正确；④根据抛物线的对称轴1＜﹣＜2可得出﹣2a＜b＜﹣4a，再由当x＝1时y＞0即可得出a+b+c＞0，进而即可得出3a﹣c＜0，④正确．综上即可得出结论．【解答】解：①∵抛物线的开口向下，∴a＜0．∵抛物线的对称轴﹣＞1，∴b＞﹣2a，即2a+b＞0，①成立；②∵b＞﹣2a，a＜0，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，②错误；③∵OC＝2OA，∴A（﹣，0），∴ac2﹣bc+c＝0，整理得：2b﹣ac＝4，③成立；④∵抛物线的对称轴1＜﹣＜2，∴﹣2a＜b＜﹣4a，∵当x＝1时，y＝a+b+c＞0，∴a﹣4a+c＞0，即3a﹣c＜0，④正确．综上可知正确的结论有3个．故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数的图象找出系数间的关系是解题的关键．18．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OB ＝OC，下列结论：①b＞1且b≠2；②b2﹣4ac＜4a2；③a＞；其中正确的个数为（）A．0B．1C．2D．3【分析】由根与系数的关系及二次函数y＝ax2+bx+c的图象坐标逐一求判定即可．【解答】解：①∵OB＝OC，∴C（0，c），B（﹣c，0）把B（﹣c，0）代入y＝ax2+bx+c得0＝ac2﹣bc+c，即0＝ac2+c（1﹣b），∵a＞0，∴1﹣b＜0，即b＞1，如果b＝2，由0＝ac2﹣bc+c，可得ac＝1，此是△＝b2﹣4ac＝0，故b＞1且b≠2正确，②∵a＞0，b＞0，c＞0，设C（0，c），B（﹣c，0）∵AB＝|x1﹣x2|＜2，∴（x1+x2）2﹣4x1x2＜4，∴（﹣）2﹣4×＜4，即﹣＜4，∴b2﹣4ac＜4a2；故本项正确．③把B（﹣c，0）代入y＝ax2+bx+c可得ac+1＝b，代入y＝ax2+bx+c得y＝ax2+（ac+1）x+c＝ax2+acx+x+c＝ax2+x+acx+c＝x（ax+1）+c（ax+1）＝（x+c）（ax+1），解得x1＝﹣c，x2＝﹣，由图可得x1，x2＞﹣2，即﹣＞﹣2，∵a＞0，∴＜2，∴a＞；正确．所以正确的个数是3个．故选：D．【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系．解题的关键是根与系数的灵活运用．19．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是x＝﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（）A．①②B．②③C．①②④D．②③④【分析】根据抛物线开口方向得到a＞0，根据抛物线的对称轴得b＝2a＞0，则2a﹣b＝0，则可对②进行判断；根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，则abc＜0，于是可对①进行判断；由于x＝2时，y＞0，则得到4a+2b+c＞0，则可对③进行判断；通过点（﹣5，y1）和点（，y2）离对称轴的远近对④进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a＞0，则2a﹣b＝0，所以②正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＜0，所以①正确；∵x＝2时，y＞0，∴4a+2b+c＞0，所以③错误；∵点（﹣5，y1）离对称轴要比点（，y2）离对称轴要远，∴y1＞y2，所以④错误．故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）．抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac ＜0时，抛物线与x轴没有交点．20．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，﹣3），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图所示，则以下结论：①abc＞0；②a+b+c＜0；③a﹣c ＝3；④方程ax2+bx+c+3＝0有两个相等的实根，其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】抛物线开口向上a＞0，对称轴在y轴左侧，b＞0，抛物线和y轴负半轴相交，c ＜0，则abc＜0，由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，所以当x＝1时，y＞0，则a+b+c＞0；由抛物线的顶点为D（﹣1，﹣3）得a﹣b+c＝﹣3，由抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1得b＝2a，所以a﹣c＝3；根据二次函数的最大值问题，当x＝﹣1时，二次函数有最大值为﹣3，即b2﹣4ac＝12a，b2﹣4a（c+3）＝b2﹣4ac﹣12a＝0，所以说方程ax2+bx+c+3＝0两个相等实数根．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴左侧，∴b＞0，∵抛物线和y轴负半轴相交，∴c＜0，∴abc＜0，故①错误；∵当x＝1时，y＞0，∴y＝a+b+c＞0，故②错误；∵抛物线的顶点为D（﹣1，﹣3）∴a﹣b+c＝﹣3，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1得b＝2a，把b＝2a代入a﹣b+c＝﹣3，得a﹣2a+c＝﹣3，∴c﹣a＝﹣3，∴a﹣c＝3，故③正确；∵二次函数y＝ax2+bx+c有最大值为﹣3，∴b2﹣4ac＝12a，∴方程ax2+bx+c+3＝0的判别式△＝b2﹣4a（c+3）＝b2﹣4ac﹣12a＝0，∴方程ax2+bx+c+3＝0有两个相等的实数根，故④正确；故选：B．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x＝﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac＝0，抛物线与x 轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．21．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，在下列四个结论中：①2a﹣b＜0；②abc＜0；③a+b+c＜0；④a﹣b+c＞0．错误的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据对称轴方程，抛物线开口方向、与y轴交点坐标位置确定a、b、c的负号，根据图象知x＝﹣1与x＝1时所对应的y的负号进行判断．【解答】解：如图所示，∵抛物线开口方向向下，∴a＜0．又对称轴﹣1＜x＝﹣＜0，∴b＜0，且b＞2a，则2a﹣b＜0．故①正确；∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴abc＜0．故②正确；如图所示，当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0．故③正确；④如图所示，当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0．故④错误．综上所述，错误的个数是1．故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．22．如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，对称轴是x＝1，则下列说法：①b＞0；②2a+b＝0；③4a﹣2b+c＞0；④3a+c＞0；⑤m（ma+b）＜a+b（常数m≠1）．其中正确的个数为（）A．2B．3C．4D．5【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴x＝1计算2a+b与偶的关系；再由根的判别式与根的关系，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①由抛物线的开口向下知a＜0，对称轴为x＝﹣＞0，则b＞0，故本选项正确；②由对称轴为x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，则2a+b＝0，故本选项正确；③由图象可知，当x＝﹣2时，y＜0，则4a﹣2b+c＜0，故本选项错误；④从图象知，当x＝﹣1时，y＝0，则a﹣b+c＝0，∵b＝﹣2a，∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，故本选项错误；⑤∵对称轴为x＝1，∴当x＝1时，抛物线有最大值，∴a+b+c＞m2a+mb+c，∴m（ma+b）＜a+b（常数m≠1），故本选项正确；故选：B．【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．23．如图，二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为x＝1，则下列说法正确的有（）①abc＜0，②2a+b＝0，③a﹣b+c＞0，④若4a+2b+c＞0．A．①②③B．②③④C．①②④D．①②③④【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：A、根据图示知，抛物线开口方向向上，则a＞0．抛物线的对称轴x＝﹣＝1＞0，则b＜0．抛物线与y轴交与正半轴，则c＞0，所以abc＜0．故本选项正确；B、∵x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0．故本选项正确；C、∵抛物线开口方向向上，与y轴交与正半轴，∴当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0．故本选项正确；D、由x＝2时，y＝4a+2b+c，由图象知：y＝4a+2b+c＞0，故本选项正确；故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．24．如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①abc＜0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤，你认为其中正确信息的个数有（）A．2B．3C．4D．5【分析】利用函数图象分别求出a，b，c的符号，进而得出x＝1或﹣1时y的符号，进而判断得出答案．【解答】解：①∵图象开口向下，∴a＜0，∵对称轴x＝﹣＝﹣，∴3b＝2a，则a＝b，∴b＜0，∵图象与x轴交与y轴正半轴，∴c＞0，∴abc＞0，故选项①错误；选项⑤正确；②由图象可得出：当x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，故此选项正确；③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，∴b﹣b+c＞0，∴b+2c＞0，故此选项正确；④当x＝﹣时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∴a﹣2b+4c＞0，故此选项正确．故正确的有4个．故选：C．【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，正确得出a，b的关系以及x＝1，﹣1时y的符号是解题关键．25．已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①abc＞0；②a+b+c＝2；③a ＜；④b＞1．其中正确的结论是（）A．①②B．②③C．③④D．②④【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c＜0，∵对称轴为x＝＜0，∴a、b同号，即b＞0，∴abc＜0，故本选项错误；②当x＝1时，函数值为2，∴a+b+c＝2；故本选项正确；③∵对称轴x＝＞﹣1，解得：＜a，∵b＞1，∴a＞，故本选项错误；④当x＝﹣1时，函数值＜0，即a﹣b+c＜0，（1）又a+b+c＝2，将a+c＝2﹣b代入（1），2﹣2b＜0，∴b＞1故本选项正确；综上所述，其中正确的结论是②④；故选：D．【点评】二次函数y＝ax2+bx+c系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0．（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x＝判断符号．（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．（4）b2﹣4ac的符号由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2﹣4ac＞0；1个交点，b2﹣4ac＝0；没有交点，b2﹣4ac＜0．（5）当x＝1时，可确定a+b+c的符号，当x＝﹣1时，可确定a﹣b+c的符号．（6）由对称轴公式x＝，可确定2a+b的符号．26．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（x1，0），（x2，0）两点，且0＜x1＜1，1＜x2＜2，与y轴交于（0，﹣2），下列结论：①2a+b＞1；②a+b＜2；③3a+b＞0；④a ＜﹣1．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：∵y轴交于点（0，﹣2），∴c＝﹣2，∵0＜x1＜1，1＜x2＜2，x1•x2＝，∴0＜＜2，∵c＝﹣2，∴a＜﹣1，④正确，∵函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（x1，0），（x2，0）两点，且0＜x1＜1，1＜x2＜2，∴＜﹣＜，3a+b＞0，③正确；∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（x1，0），（x2，0）两点，且0＜x1＜1，1＜x2＜2，与y轴交于（0，﹣2），∴4a+2b+c＜0，∴4a+2b＜﹣c，即4a+2b＜2，∴2a+b＜1，①错误，又a+b+c＞0，∴a+b＞﹣c∵c＝﹣2∴a+b＞2，②错误，故选：B．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点及二次函数图象与系数的关系，根据图象找到所需的条件，同时利用根与系数的关系及不等式的性质是解题的基本思路．27．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC．则下列结论：①abc＜0；②＞0；③ac﹣b+1＝0；④OA•OB＝﹣．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1【分析】由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线的对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0，则可对①进行判断；根据抛物线与x轴的交点个数得到b2﹣4ac ＞0，加上a＜0，则可对②进行判断；利用OA＝OC可得到A（﹣c，0），再把A（﹣c，0）代入y＝ax2+bx+c得ac2﹣bc+c＝0，两边除以c则可对③进行判断；设A（x1，0），B （x2，0），则OA＝﹣x1，OB＝x2，根据抛物线与x轴的交点问题得到x1和x2是方程ax2+bx+c ＝0（a≠0）的两根，利用根与系数的关系得到x1•x2＝，于是OA•OB＝﹣，则可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，。
2020年中考一轮复习 二次函数的图像与性质 讲义
二次函数的图像与性质中考一轮复习教学目标1.理解懂得二次函数的图像的开口、对称轴、顶点坐标与a、b、c的关系；会根据图像推断a、b、c及相关式子的符号；2.能借助二次函数的图像进行推理探究；3.学会进行数形转化，能从图形中抽象出数量关系，建立方程模型和不等式模型求解.4.经典考题【例1】根据下表中的二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的图象与x轴( ) A.只有一个交点B.有两个交点，且它们分别在x轴两侧C.有两个交点，且它们均在y轴同侧D.无交点x…-1 0 1 2 …y…-174--274-…【解法指导】本题要先画出啊、二次函数的图像。
根据对称性知（1，-2）是抛物线的顶点，且其开口向上。
因而二次函数的图像与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧。
本题应选B。
【变式题组】1.2x…-2 -1 0 1 2 …y…162--4122--2122-…根据表格上的信息回答问题：该二次函数y=ax+bx+c在x=3时，y= 。
2.已知二次函数2x…-1 0 1 2 3 4 …y…10 5 2 1 2 5 …(1)(2)当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？(3)若两点A(m,y1),B(m+1,y2)都在该函数的图像上，试比较y1与y2的大小.【例2】函数y=ax+1与y=ax2+bx+c（0a≠）的图像可能是（）【解法指导】本题应用逐一排除法.解：两函数图像与y轴交于同一点（0,1），A不正确；B中直线中a>0，抛物线中a<0,不正确；D中直线的a<0，抛物线中a>0，不正确。
故应选C。
【变式题组】3.已知0a≠，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图像有可能是（）4.在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和函数y=-mx2+2x+2(m是常数，且0m≠)的图像可能是（）5.二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则一次函数y=-bx-4ac+b2与反比例函数a b cyx++=在同一坐标系内的图像大致为（）【例3】已知二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于点（-2,0）、（x1，0），且1<x1<2,与y轴的正半轴的交点在(0,2)的下方。
2020年中考数学一轮专项复习13 二次函数图象及性质1(含解析)
2020年中考数学一轮专项复习——二次函数图象及性质课时1 二次函数图象与基本性质基础过关1. (2019衢州)二次函数y ＝(x －1)2＋3图象的顶点坐标是( ) A. (1，3) B. (1，－3) C. (－1，3)D. (－1，－3)2. (2019重庆B 卷)抛物线y ＝－3x 2＋6x ＋2的对称轴是( ) A. 直线x ＝2 B. 直线x ＝－2 C. 直线x ＝1D. 直线x ＝－13. (2019兰州)已知点A (1，y 1)，B (2，y 2)在抛物线y ＝－(x ＋1)2＋2上，则下列结论正确的是( ) A. 2>y 1>y 2 B. 2>y 2>y 1 C. y 1>y 2>2D. y 2>y 1>24. (2019咸宁)已知点A (－1，m )，B (1，m )，C (2，m －n )(n ＞0)在同一个函数的图象上，这个函数可能是( )A. y ＝xB. y ＝－2xC. y ＝x 2D. y ＝－x 25. (2019河南)已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋4经过(－2，n )和(4，n )两点，则n 的值为( ) A. －2B. －4C. 2D. 46. (2018岳阳)在同一直角坐标系中，二次函数y ＝x 2与反比例函数y ＝1x (x ＞0)的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同．．．．的点A (x 1，m )，B (x 2，m )，C (x 3，m )，其中m 为常数，令ω＝x 1＋x 2＋x 3，则ω的值为( )A. 1B. mC. m 2D. 1m第6题图7. (2019株洲)若二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象开口向下，则a ________0(填“＝”、“>”或“<”)． 8. (2019眉山模拟)如果点A (－4，y 1)、B (－3，y 2)是二次函数y ＝2x 2＋k (k 是常数)图象上的两点，那么y 1________y 2.(填“＞”、“＜”或“＝”)9. (2019甘肃省卷)将二次函数y ＝x 2－4x ＋5化成y ＝a (x －h )2＋k 的形式为__________． 10. 已知二次函数y ＝x 2－2x ＋3，当自变量x 满足－1≤x ≤2时，函数y 的最大值是________．满分冲关1. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图象的顶点在第一象限，且图象经过点(－1，0)，若a ＋b 为整数，则ab 的值为( )A. －2B. 1C. －34D. －142. (2018呼和浩特)若满足12<x ≤1的任意实数x ，都能使不等式2x 3－x 2－mx >2成立，则实数m 的取值范围是( )A. m <－1B. m ≥－5C. m <－4D. m ≤－43. (2020原创)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝x 2－2mx ＋m 2－1. (1)求抛物线的对称轴(用含m 的式子去表示)；(2)若点(m －2，y 1)，(m ，y 2)，(m ＋3，y 3)都在抛物线y ＝x 2－2mx ＋m 2－1上，求y 1，y 2，y 3的大小关系．课时2 二次函数图象与系数a 、b 、c 的关系及解析式的确定(建议时间：25分钟)基础过关1. (2019呼和浩特)二次函数y ＝ax 2与一次函数y ＝ax ＋a 在同一坐标系中的大致图象可能是( )2. (2019青岛)已知反比例函数y ＝abx 的图象如图所示，则二次函数y ＝ax 2－2x 和一次函数y ＝bx ＋a 在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )第2题图3. (2019济宁)将抛物线y ＝x 2－6x ＋5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是( )A. y ＝(x －4)2－6B. y ＝(x －1)2－3C. y ＝(x －2)2－2D. y ＝(x －4)2－24. (2019宜宾模拟)如图，关于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的结论正确的是( )①2a ＋b ＝0; ②当－1≤x ≤3时，y ＜0; ③若(x 1，y 1)，(x 2，y 2)在函数图象上，当x 1＜x 2时，y 1＜y 2; ④3a ＋c ＝0.A. ①②④B. ①④C. ①②③D. ③④第4题图5. (人教九上P 35例3改编)怎样移动抛物线y ＝－12x 2就可以得到抛物线y ＝－12(x ＋1)2－1( )A. 向左平移1个单位，再向上平移1个单位B. 向左平移1个单位，再向下平移1个单位C. 向右平移1个单位，再向上平移1个单位D. 向右平移1个单位，再向下平移1个单位6. 已知二次函数的图象经过(－1，0)，(2，0)，(0，2) 三点，则该函数解析式为( ) A. y ＝－x 2－x ＋2 B. y ＝x 2＋x －2 C. y ＝x 2＋3x ＋2D. y ＝－x 2＋x ＋27. (2019娄底改编)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，下列结论中正确的有( ) ① 4a ＋c ＞－2b ② b 2－4ac <0 ③ 2a >b ④ (a ＋c )2<b 2 A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个第7题图8. (人教九上P 40练习第2题改编)一个二次函数的图象经过(0，0)、(－1，－1)、(1，9)三点，这个二次函数的解析式是________．9. (2019天水)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，若M ＝4a ＋2b ，N ＝a －b .则M 、N 的大小关系为M ________N ．(填“>”、“＝”或“<”)第9题图能力提升如图，抛物线y 1＝a (x ＋2)2－3与y 2＝12(x －3)2＋1交于点A (1，3)，过点A 作x 轴的平行线，分别交两条抛物线于B 、C ，则以下结论：①无论x 取何值，y 2的值总是正数；②a ＝1；③2AB ＝3AC . 其中正确结论是( ) A. ①② B. ①③ C. ②③ D. 都正确题图满分冲关抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a 、b 、c 为常数)的顶点为P ，且抛物线经过点A (－1，0)，B (m ，0)，C (－2，n )(1<m <3，n <0)．下列结论：①abc >0；②3a ＋c <0；③a (m －1)＋2b >0；④a ＝－1时，存在点P 使△P AB 为直角三角形．其中正确结论的序号为________．课时3二次函数与方程、不等式的关系(建议时间：25分钟)基础过关1.二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，由图象可知不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为()第1题图A. x＜－1或x＞5B. x＞5C. －1＜x＜5D. 无法确定2. (2019荆门)抛物线y＝－x2＋4x－4与坐标轴的交点个数为()A. 0B. 1C. 2D. 33. (2019梧州)已知m>0，关于x的一元二次方程(x＋1)(x－2)－m＝0的解为x1，x2(x1<x2)，则下列结论正确的是()A. x1<－1<2<x2B. －1<x1<2<x2C. －1<x1<x2<2D. x1<－1<x2<24. (2019绵阳模拟)若抛物线y＝x2－6x＋m与x轴没有交点，则m的取值范围是()A. m＞9B. m≥9C. m＜－9D. m≤－95. (2019潍坊)抛物线y＝x2＋bx＋3的对称轴为直线x＝1.若关于x的一元二次方程x2＋bx＋3－t＝0(t 为实数)在－1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是()A ．2≤t ＜11B ．t ≥2C ．6＜t ＜11D ．2≤t ＜66. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)和正比例函数y ＝23x 的图象如图所示，则方程ax 2＋(b －23)x ＋c ＝0(a ≠0)的两根之和( )A. 大于0B. 等于0C. 小于0D. 不能确定第6题图7. 如图，二次函数y ＝ax 2＋c 的图象与反比例函数y ＝c x 的图象相交于A (－32，1)，则关于x 的不等式ax 2＋c >cx的解集为( )A. x <－32B. x >－32C. x <－32或x >0D. －32<x <1第7题图8. 一次函数y ＝－2x ＋6的图象与二次函数y ＝－2x 2＋4x ＋6的图象的交点坐标为________． 9. (2019镇江)已知抛物线y ＝ax 2＋4ax ＋4a ＋1(a ≠0)过点A (m ，3)，B (n ，3)两点，若线段AB 的长不大于4，则代数式a 2＋a ＋1的最小值是________．能力提升1. (2019绵阳模拟)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的大致图象如图所示，顶点坐标为(－2，－9a)，下列结论：①a－3b＋2c＞0；②3a－2b－c＝0；③若方程a(x＋5)(x－1)＝－1有两个根x1和x2，且x1<x2，则－5<x1<x2<1；④若方程|ax2＋bx＋c|＝1有四个根，则这四个根的和为－8.其中正确的结论有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个第1题图2. (2019安徽)在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线l分别与函数y＝x－a＋1和y＝x2－2ax的图象相交于P，Q两点．若平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围是________．3. (2019武汉)抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)，B(4，0)两点，则关于x的一元二次方程a(x－1)2＋c＝b－bx的解是________．满分冲关1. (2019杭州)在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝(x＋a)(x＋b)的图象与x轴有M个交点，函数y＝(ax＋1)(bx＋1)的图象与x轴有N个交点，则()A. M＝N－1或M＝N＋1B. M＝N－1或M＝N＋2C. M＝N或M＝N＋1D. M＝N或M＝N－12. (2019济宁)如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A(－1，p)，B(3，q)两点，则不等式ax2＋mx＋c>n的解集是________．参考答案课时1 二次函数图象与基本性质基础过关1. A 【解析】由二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的顶点坐标为(h ，k )，可得二次函数y ＝(x －1)2＋3的顶点坐标为(1，3)．2. C 【解析】∵抛物线y ＝－3x 2＋6x ＋2＝－3(x －1)2＋5，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1.3. A 【解析】把x 1＝1，x 2＝2分别代入y ＝－(x ＋1)2＋2，求得y 1＝－2，y 2＝－7，∴2＞y 1＞y 2.4. D 【解析】∵A (－1，m )，B (1，m )，∴点A 与点B 关于y 轴对称．∵函数y ＝x 和y ＝－2x 的图象关于原点对称，因此选项A 、B 错误；∵n ＞0，∴m －n ＜m ；由B (1，m )，C (2，m －n )可知，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，对于二次函数只有a ＜0时，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，∴D 选项正确．5. B 【解析】已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋4经过(－2，n )和(4，n )两点，∵两点的纵坐标相同，∴两点关于抛物线的对称轴对称，∴对称轴是直线x ＝－2＋42＝1，∴－b 2×（－1）＝1，解得b ＝2，∴抛物线的解析式是y ＝－x 2＋2x ＋4，当x ＝－2时，y ＝－4，∴n ＝－4.6. D 【解析】根据图象信息，可以发现，A 、B 、C 三点的横坐标中，抛物线上的两点横坐标互为相反数，∴ω的值即为反比例函数上的点的横坐标，依题意，当y ＝m 时，有x ＝1m ，则ω＝1m.7. ＜8. ＞ 【解析】∵该二次函数图象的对称轴为y 轴， ∴当x ＜0时，y 随x 的增大而减小， ∴y 1＞y 2. 9. y ＝(x －2)2＋1 【解析】配方可得y ＝x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1.10. 6 【解析】∵二次函数y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，∴该二次函数图象的对称轴为直线x ＝1，且a ＝1>0，∴当x ＝1时，函数有最小值2.当x ＝－1时，二次函数有最大值(－1－1)2＋2＝6.满分冲关1. D 【解析】依题意知a ＜0，－b2a ＞0，a －b ＋1＝0，∴b ＞0，且b ＝a ＋1，a ＋b ＝a ＋(a ＋1)＝2a＋1，∴－1＜a ＜0，∴－1＜2a ＋1＜1，又a ＋b 为整数，∴2a ＋1＝0，∴a ＝－12，b ＝12，∴ab ＝－14.2. D 【解析】∵12<x ≤1，∴不等式可化为2x 2－x －m >2x ，∴当 12<x ≤1时，2≤2x <4，∵y ＝2x 2－x －m＝2(x －14)2－18－m ，∴当12<x ≤1时，y 随x 的增大而增大，∴当x ＝12，y 取得最小值，要使2x 2－x －m >2x 成立，∴y ≥4，即2(12－14)2－18－m ≥4，解得m ≤－4.3. 解：(1)∵抛物线为y ＝x 2－2mx ＋m 2－1， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝－－2m2×1＝m ；(2)∵a ＝1>0，∴抛物线y ＝x 2－2mx ＋m 2－1开口向上，∴在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大，在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小， ∵对称轴为直线x ＝m ，m －2<m <m ＋3，m ＋3离对称轴的距离更远， ∴可得出y 3>y 1>y 2.课时2 二次函数图象与系数a 、b 、c 的关系及解析式的确定基础过关1. D 【解析】一次函数y ＝ax ＋a ＝0时，x ＝－1，因此排除A 、B 选项；C 选项中一次函数a >0，二次函数a <0，相互矛盾；D 选项中a >0，二次函数开口向上，一次函数过第一、二、三象限且过点(－1，0)．2. C 【解析】∵反比例函数y ＝ab x的图象在第一、三象限，∴ab ＞0，即a 与b 同号．当a ＞0，b ＞0时，y ＝ax 2－2x 的开口向上，且经过原点，令y ＝0，得ax 2－2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a＞0，即它与x 轴有两个交点，一个为原点，另一个在正半轴上，对于y ＝bx ＋a ，图象经过第一、二、三象限，∴选项C 正确，B 不正确．当a ＜0，b ＜0时，y ＝ax 2－2x 的开口向下，且经过原点，令y ＝0，得ax 2－2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a＜0，即它与x 轴有两个交点，一个为原点，另一个在负半轴上，∴选项A 、D 不正确，故选C . 3. D 【解析】∵y ＝x 2－6x ＋5＝(x －3)2－4，∴将抛物线y ＝x 2－6x ＋5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是y ＝(x －3－1)2－4＋2＝(x －4)2－2.4. B 【解析】①∵抛物线过点(－1，0)与(3，0)，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴－b 2a＝1，∴b ＋2a ＝0，故①正确；②由图象可知：当－1≤x ≤3时，y ≤0，故②错误；③当x 1＜x 2＜1时，y 1＞y 2，故③错误；④当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＝0，∵2a ＝－b ，∴a ＋2a ＋c ＝0，∴3a ＋c ＝0，故④正确．5. B6. D 【解析】∵二次函数的图象经过(－1，0)、(2，0)、(0，2)三点，∴设二次函数的解析式为y ＝a (x ＋1)·(x －2)，将点(0，2)代入，得2＝－2a ，解得a ＝－1，故函数解析式为y ＝－1(x ＋1)(x －2)，整理得y ＝－x 2＋x ＋2.7. A 【解析】由二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知，当x ＝2时，y ＝4a ＋2b ＋c ，此时y ＜0，即4a ＋2b ＋c ＜0，∴4a ＋c ＜－2b ，故①错误；二次函数的图象与x 轴交于两点，则当ax 2＋bx ＋c ＝0时，方程有两个不同的实数根，∴b 2－4ac >0，∴②错误. ∵二次函数的图象开口向下，∴a ＜0，∵对称轴为直线x ＝－b 2a ，∴－1＜－b 2a＜0，∴2a ＜b ，∴③错误；由图象知，当x ＝－1时，y >0，即a －b ＋c >0；当x ＝1时，y <0，即a ＋b ＋c <0，∴(a －b ＋c )(a ＋b ＋c )＜0，即(a ＋c )2＜b 2，∴④正确．共有1个正确结论．8. y ＝4x 2＋5x 【解析】∵这个二次函数的图象经过(0，0)，∴可设这个二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ，将点(－1，－1)和(1，9)代入得，⎩⎪⎨⎪⎧－1＝（－1）2a －b 9＝a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝5，∴这个二次函数的解析式为y ＝4x 2＋5x .9. < 【解析】观察图象可知，当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c >0，当x ＝2时，y ＝4a ＋2b ＋c <0.∵M ＝4a ＋2b ，N ＝a －b ，∴M ＋c <N ＋c .∴M <N .能力提升B 【解析】抛物线y 2＝12(x －3)2＋1，当x ＝3时，y 有最小值为1，∴无论x 取何值，y 2的值总是正数，∴①正确；把A (1，3)代入y 1＝a (x ＋2)2－3得a (1＋2)2－3＝3，解得a ＝23，∴②错误；∵抛物线y 1＝a (x ＋2)2－3的对称轴为直线x ＝－2，则B 点坐标为(－5，3)，∴AB ＝1－(－5)＝6，抛物线y 2＝12(x －3)2＋1的对称轴为直线x ＝3，则C 点坐标为(5，3)，∴AC ＝5－1＝4，∴2AB ＝3AC ，∴③正确．满分冲关1. ②③ 【解析】∵A (－1，0)，B (m ，0)，∴抛物线的对称轴x ＝m －12＝－b 2a ，∴－b a＝m －1，∵1＜m ＜3，∴m －1＞0，∴b a＜0，∴ab ＜0，∵抛物线与x 轴交于点A (－1，0)，B (m ，0)，且过C (－2，n )，n ＜0，∴a ＜0，∴b ＞0，将A (－1，0)代入抛物线的解析式，得a －b ＋c ＝0，∴c ＝b －a ＞0，∴abc ＜0，①错误；∵当x ＝－1时，a －b ＋c ＝0得b ＝a ＋c ，∴结合抛物线图象可知当x ＝3时，y ＜0，∴9a ＋3b ＋c ＝9a＋3(a ＋c )＋c ＝12a ＋4c ＝4(3a ＋c )＜0，∴3a ＋c ＜0，②正确；a (m －1)＋2b ＝a ×(－b a)＋2b ＝－b ＋2b ＝b ＞0，③正确；a ＝－1时，c ＝b －a ＝b ＋1, ∴y ＝－x 2＋bx ＋b ＋1，∴P (b 2，b ＋1＋b 24)，若△P AB 为直角三角形，则△P AB 为等腰直角三角形，∴∠P AB ＝45°，∴b ＋1＋b 24＝b 2＋1，解得b ＝0或b ＝－2，∵b ＞0，∴不存在点P 使△P AB 为直角三角形，④错误；故正确结论的序号为②③.2. D 【解析】∵12<x ≤1 ，∴不等式可化为2x 2－x －m >2x ，∴当 12<x ≤1时，2≤2x<4，∵y ＝2x 2－x －m ＝2(x －14)2－18－m ，∴当12<x ≤1时，y 随x 的增大而增大，∴当x ＝12，y 取得最小值，要使2x 2－x －m >2x成立，∴y ≥4，即2(12－14)2－18－m ≥4，解得m ≤－4.课时3 二次函数图象与方程、不等式的关系基础过关1. A 【解析】由二次函数的图象可知对称轴是直线x ＝2，与x 轴的一个交点坐标(5，0)，由二次函数的对称性可知，与x 轴另一个交点是(－1，0)，∴ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为x ＞5或x ＜－1.2. C 【解析】当x ＝0时，y ＝－x 2＋4x －4＝－4，则抛物线与y 轴的交点坐标为(0，－4)，当y ＝0时，－x 2＋4x －4＝0，解得x 1＝x 2＝2，抛物线与x 轴的交点坐标为(2，0)，∴抛物线与坐标轴有2个交点．3. A 【解析】如解图所示，关于x 的一元二次方程(x ＋1)(x －2)＝m 的两根即为抛物线y ＝(x ＋1)(x －2)与直线y ＝m (m >0)的交点的横坐标．∵抛物线与x 轴交于点(－1，0)，(2，0)，观察解图可知x 1<－1<2<x 2.第3题解图4. A5. A 【解析】∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋3的对称轴为直线x ＝1，∴b ＝－2，∴y ＝x 2－2x ＋3，∴一元二次方程x 2＋bx ＋3－t ＝0有实数根可以看做抛物线y ＝x 2－2x ＋3与函数y ＝t 的图象有交点，∵方程在－1＜x ＜4的范围内有实数根，当x ＝－1时，y ＝6; 当x ＝4时，y ＝11，函数y ＝x 2－2x ＋3在x ＝1时有最小值2，∴2≤t ＜11.6. A7. C 【解析】要求ax 2＋c >c x的解集，即求二次函数图象在反比例函数图象上方时x 的取值范围，由题图知x <－32或x >0时满足题意，∴不等式ax 2＋c >c x 的解集是x <－32或x >0. 8. (0，6)，(3，0) 【解析】联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋6y ＝－2x 2＋4x ＋6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0y 1＝6，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3y 2＝0，即一次函数与二次函数图象的交点坐标为(0，6)，(3，0)．9. 74【解析】∵抛物线y ＝ax 2＋4ax ＋4a ＋1＝a (x ＋2)2＋1(a ≠0)，∴顶点为(－2，1)，过点A (m ，3)，B (n ，3)两点，∴a ＞0，∵对称轴为直线x ＝－2，线段AB 的长不大于4，∴4a ＋1≥3，∴a ≥12，∴a 2＋a ＋1的最小值为：(12)2＋12＋1＝74. 能力提升1. C 【解析】∵抛物线的开口向上，∴a ＞0，∵抛物线的顶点坐标为(－2，－9a )，∴－b 2a ＝－2，4ac －b 24a＝－9a ，∴b ＝4a ，c ＝－5a ，∴抛物线的解析式为y ＝ax 2＋4ax －5a ，∴a －3b ＋2c ＝a －12a －10a ＝－21a ＜0，故①结论错误；3a －2b －c ＝3a －8a ＋5a ＝0，故②结论正确；∵抛物线y ＝ax 2＋4ax －5a 交x 轴于(－5，0)，(1，0)，∴若方程a (x ＋5)(x －1)＝－1有两个根x 1和x 2，且x 1＜x 2，则－5＜x 1＜x 2＜1，故结论③正确；若方程|ax 2＋bx ＋c |＝1有四个根，设方程ax 2＋bx ＋c ＝－1的两根分别为x 1、x 2，则x 1＋x 22＝－2，可得x 1＋x 2＝－4，设方程ax 2＋bx ＋c ＝1的两根分别为x 3、x 4，则x 3＋x 42＝－2，可得x 3＋x 4＝－4.所以这四个根的和为－8，故结论④正确．综上所述，共有2个正确的结论．2. a ＞1或a ＜－1 【解析】 当a ＜0时，令x 2－2ax <0，得2a <x <0，由于y ＝x －a ＋1中y 随x 增大而增大，即2a －a ＋1＜0，∴a ＜－1；同理得a ＞0时，令x 2－2ax <0，得0<x <2a ，由于y ＝x －a ＋1中y 随x 增大而增大，即－a ＋1＜0，∴a ＞1.综上得，a 的取值范围为a >1或a <－1.3. x 1＝－2或x 2＝5 【解析】设y 1＝a (x －1)2＋b (x －1)＋c ，将原抛物线ax 2＋bx ＋c 向右平移1个单位得y 1，由题意知当ax 2＋bx ＋c ＝0的解为x 1＝－3，x 2＝4，故方程a (x －1)2＋b (x －1)＋c ＝0的解为x 1＝－2或x 2＝5.满分冲关1. C 【解析】当a ＝0时，∵a ≠b ，∴b ≠0.∴y ＝(x ＋a )(x ＋b )＝x (x ＋b )．它与x 轴的交点为(0，0)，(－b ，0)有2个，即M ＝2.y ＝(ax ＋1)(bx ＋1)＝bx ＋1.它与x 轴的交点为(－1b，0)有1个交点，即N ＝1.∴M ＝N ＋1；当a ＝－b 时，且a ≠0，∴y ＝(x ＋a )(x ＋b )＝(x ＋a )(x －a )．它与x 轴的交点为(－a ，0)，(a ，0)，有2个交点，即M ＝2，y ＝(ax ＋1)(bx ＋1)＝(ax ＋1)(－ax ＋1)．它与x 轴的交点为(－1a ，0)，(1a，0)，有2个交点，N ＝2，∴M ＝N .综上所述，M ＝N 或M ＝N ＋1.2. x ＜－3或x ＞1 【解析】∵抛物线y ＝ax 2＋c 与直线y ＝mx ＋n 交于A (－1，p )，B (3，q )两点，∴－m ＋n ＝p ，3m ＋n ＝q ，∴抛物线y ＝ax 2＋c 与直线y ＝mx ＋n 交于(1，p )，Q (－3，q )两点．如解图，∴ax 2＋mx ＋c ＞n 可以转化为ax 2＋c ＞－mx ＋n ，观察函数图象可知，当x <－3或x >1时，直线y ＝－mx ＋n 在抛物线y ＝ax 2＋c 的下方．∴不等式ax 2＋mx ＋c >n 的解集为x ＜－3或x ＞1.第2题解图。
2020 最新中考数学复习 第12讲第1课时 二次函数的图象与性质
第12讲 二次函数第1课时 二次函数的图象与性质知识点1 二次函数的概念1．关于x 的函数y ＝(m ＋1)x 2＋(m －1)x ＋m ，当m ＝0时，它是二次函数；当m ＝－1时，它是一次函数．知识点2 二次函数的图象与性质2．已知h 与t 的函数关系式为h ＝12gt 2(g 为常数，t 为时间)，则函数图象为(A )3．抛物线y ＝12x 2，y ＝x 2，y ＝－x 2的共同性质是：①都是开口向上；②都以(0，0)为顶点；③都以y 轴为对称轴；④都关于x 轴对称．其中正确的个数有(B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如图，抛物线顶点坐标是P(1，3)，则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是(C )A ．x ＞3B ．x ＜3C ．x ＞1D ．x ＜15．二次函数y ＝x 2－2x －3的最小值是－4．知识点3 二次函数图象的平移6．抛物线y ＝(x ＋2)2－3由抛物线y ＝x 2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到．7．将抛物线y ＝2(x －1)2＋2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，那么得到的抛物线的表达式为y ＝2(x ＋2)2－2．知识点4 确定二次函数的解析式8．已知二次函数的图象如图，则其解析式为(B)A．y＝x2－2x＋3B．y＝x2－2x－3C．y＝x2＋2x－3D．y＝x2＋2x＋39．若抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是A(2，1)，且经过点B(1，0)，则抛物线的函数关系式为y＝－x2＋4x－3．知识点5二次函数与方程、不等式10．抛物线y＝x2＋2x＋m－1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是(A)A．m＜2 B．m＞2C．0＜m≤2 D．m＜－211．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是(A)A．－1＜x＜3B．x＞3C．x＜－1D．x＞3或x＜－1重难点1二次函数的图象和性质(2017·枣庄)已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，下列结论正确的是(D)A．当a＝1时，函数图象经过点(－1，1)B．当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点C．若a＜0，函数图象的顶点始终在x轴的下方D．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大【思路点拨】(1)将a＝1代入原函数解析式，令x＝－1求出y值，由此得出A选项不符合题意；(2)将a＝2代入原函数解析式，令y＝0，根据根的判别式Δ＝8＞0，可得出当a＝－2时，函数图象与x轴有两个不同的交点，即B选项不符合题意；(3)利用配方法找出二次函数图象的顶点坐标，令其纵坐标小于零，可得出a的取值范围，由此可得出C选项不符合题意；(4)利用配方法找出二次函数图象的对称轴，结合二次函数的性质，即可得出D选项符合题意．【变式训练1】(2016·兰州)点P1(－1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y＝－x2＋2x＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(D)A．y3>y2>y1B．y3>y1＝y2C．y1>y2>y3D．y1＝y2>y3【变式训练2】(2017·泰安)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表：x －1 0 1 3y －3 1 3 1下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x ＝1；③当x<1时，函数值y 随x 的增大而增大；④方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根大于4.其中正确的结论有(B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个,方法指导解决二次函数图象和性质相关题，首先需明确二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标等与解析式中相关字母的关系，若确定解析式，也可通过将解析式配方，得出函数的对称轴，顶点坐标，函数图象与坐标轴的交点等，从而画出函数大致图象，再利用数形结合思想解题．方法指导比较抛物线上点的纵坐标大小的基本方法有以下三种：(1)利用抛物线上对称点的纵坐标相等，把各点转化到对称轴的同侧，再利用二次函数的增减性进行比较； (2)当已知抛物线的解析式及相应点的横坐标时，可先求出相应点的纵坐标，然后比较大小；(3)利用“开口向上，抛物线上的点距离对称轴越近，点的纵坐标越小，开口向下，抛物线上的点距离对称轴越近，点的纵坐标越大”比较大小．重难点2 同一坐标系中的函数图象共存问题(2016·毕节)一次函数y ＝ax ＋c(a ≠0)与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)在同一个坐标系中的图象可能是(D )【变式训练3】 函数y ＝kx与y ＝－kx 2＋k(k ≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是(B )方法指导解决函数图象共存问题主要有以下三种方法：(1)排除法：根据已知条件中得出的结论直接排除某选项，如：本例由已知条件可知两个函数的常数项都是c ，说明两个函数图象与y 轴交于同一个点，所以排除A 选项；(2)同一法：一般可以先假定其中一种函数的图象(如：一次函数，反比例函数)，再根据函数图象得到该函数解析式中字母的范围，去判断另一个函数图象是否正确．如：本例B 选项，若一次函数图象正确，则a<0，c<0，这与抛物线开口向上相矛盾．故B 选项错误．重难点3 二次函数图象与字母系数的关系(2016·随州)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的部分图象如图所示，图象过点(－1，0)，对称轴为直线x＝2，下列结论：(1)4a ＋b ＝0；(2)9a ＋c>3b ；(3)8a ＋7b ＋2c>0；(4)若点A(－3，y 1)，点B(－12，y 2)、点C(72，y 3)在该函数图象上，则y 1<y 3<y 2；(5)若方程a(x ＋1)(x －5)＝－3的两根为x 1和x 2，且x 1<x 2，则x 1<－1<5<x 2.其中正确的结论有(B )A．2个B．3个C．4个D．5个【思路点拨】(1)利用对称轴公式判别；(2)观察形式发现当x＝－3时，y＝9a－3b＋c＜0，可得9a＋c＜3b；(3)根据对称轴为x＝2，得b＝－4a，则8a＋7b＋2c＝－20a＋2c，由a＜0，c>0，可得－20a＋2c>0；(4)抛物线的开口向下，距离对称轴越远，纵坐标越小；(5)方程a(x＋1)(x－5)＝－3的两根x1和x2为直线y＝－3与抛物线y＝a(x ＋1)(x－5)的两个交点的横坐标，这两个交点在抛物线y＝a(x＋1)(x－5)与x轴两交点的两侧，因此x1<－1<5<x2.【变式训练4】(2017·荆门)在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的大致图象如图所示，则下列结论正确的是(D)A．a<0，b<0，c>0B．－b2a＝1C．a＋b＋c<0D．关于x的方程ax2＋bx＋c＝－1有两个不相等的实数根变式训练4图变式训练5图【变式训练5】(2017·广安)如图所示，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为B(－1，3)，与x轴的交点A在点(－3，0)和(－2，0)之间，以下结论：①b2－4ac＝0；②a＋b＋c>0；③2a－b＝0；④c－a＝3，其中正确的有(B)A．1个B．2个C．3个D．4个方法指导解答二次函数的图象信息问题，通常先抓住抛物线的对称轴和顶点坐标，再依据图象与字母系数之间的关系求解．常考的一些式子的判断方法如下：(1)判断2a＋b与0的关系，需比较对称轴与1的大小；判断2a－b与0的关系，需比较对称轴与－1的大小；(2)判断a＋b＋c与0的关系，需看x＝1时的纵坐标，即比较x＝1时函数值与0的大小；判断a－b＋c与0的关系，需看x＝－1时的纵坐标，即比较x＝－1时函数值与0的大小；(3)判断4a＋2b＋c与0的关系，需看x＝2时的纵坐标，即比较x＝2时函数值与0的大小；判断4a－2b＋c与0的关系，需看x＝－2时的纵坐标，即比较x＝－2时函数值与0的大小．1．(人教九上教材P37练习的变式题)(2017·长沙)抛物线y＝2(x－3)2＋4的顶点坐标是(A)A．(3，4) B．(－3，4)C．(3，－4) D．(2，4)。
初中中考数学总结复习专题训练——二次函数的图像与性质.doc
2020 年中考数学复习专题训练——二次函数的图像与性质考点 1：二次函数的顶点、对称轴、增减性1.关于二次函数y=2x 2+4x-1 ，下列说法正确的是()A. 图像与 y 轴的交点坐标为（0，1）B.图像的对称轴在y 轴的右侧C.当时， x<0 的值随 y 值的增大而减小D.y 的最小值为 -32.如图，函数y=ax 2-2x+1 和 y=ax-a （a 是常数，且a≠ 0）在同一平面直角坐标系的图象可能是()3.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的 y 与 x 的部分对应值如下表：x -1 0 1 3y -3 1 3 1下列结论：①抛物线的开口向下;②其图象的对称轴为x=1; ③当 x<1 时,函数值 y 随 x 的增大而增大 ;④方程 ax 2有一个根大于其中正确的结论有+bx+c=04,()A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个已知二次函数2（h 为常数），当自变量x 的值满足 2≤x≤5时，与其对应的函数值y4.y=-(x-h)的最大值为 -1，则 h 的值为 ()第 1 页共 16 页A.3 或 6B.1 或 6C.1 或 3D.4 或 65.当 a≤ x≤ a+1 时，函数 y=x 2-2x+1 的最小值为1，则 a 的值为（）A.-1B.2C.0 或 2D.-1 或 26.对于抛物线y=ax 2+(2a-1)x+a-3 ，当 x=1 时， y，则这条抛物线的顶点一定在（）A. 第一象限B. 第二象限C.第三象限D.第四象限考点 2：抛物线特征和a,b,c 的关系1.已知二次函数图形如图所示，下列结论：①abc；②；③；④点 (-3,y 1),(1,y 2) 都在抛物线上，则有y1y2. 其中正确的结论有( )A.4 个B.3 个C.2 个D.1 个2.如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分 ,且过点 A(3,0), 二次函数图象的对称轴是直线x=1,下列结论正确的是()A.b 2<4ac B.ac>0C.2a- b=0D.a- b+c=0第 2 页共 16 页3.如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A（ -1， 0）， B（ 3 ，0），下列结论：① 2a-b=0；②；③当 -1时，y0；④当 a=1 ，将抛物线先向上平移 2 个单位，再向右平移 1 个单位，得到抛物线y=-2，其中正确的是()A. ①③B. ②③C. ②④D. ③④4.抛物线 y=ax 2+bx+c （a≠ 0）图象如图所示，下列结论错误的是（）A． abc ＜ 0 B ．a+c＜ b C ．b 2+8a ＞ 4ac D ． 2a+b ＞ 0考点 3：抛物线的平移、旋转、轴对称1.把抛物线 y=2x 2-4x+3 向左平移 1 个单位长度，得到的抛物线的解析式为_____.2.将抛物线 y=-5x 2+1 向左平移 1 个单位长度，再向下平移2 个单位长度，所得到的抛物线为 ()A.y=-5(x+1) 2-1B.y=-5(x-1) 2-1C.y=-5(x+1) 2+3D.y=-5(x-1)2+33.已知抛物线 y=-x 2+2x+3 与 x 轴交于 A ，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），将这条抛物线向右平第 3 页共 16 页移 a(a>0) 个单位长度，平移后的抛物线与 x 轴交于 C， D 两点（点 C 在点 D 的左侧），若 B， C 是线段 AD 的三等分点，则点 C 的坐标为 _____.抛物线2﹣1 可以由抛物线 y=x2平移而得到，下列平移正确的是（）4. y=（x ﹣2）A．先向左平移 2 个单位长度，然后向上平移 1 个单位长度B．先向左平移 2 个单位长度，然后向下平移 1 个单位长度C．先向右平移 2 个单位长度，然后向上平移 1 个单位长度D．先向右平移 2 个单位长度，然后向下平移 1 个单位长度5.若抛物线 y=x 2+ax+b 与 x 轴两个交点间的距离为 2,称此抛物线为定弦抛物线 ,已知某定弦抛物线的对称轴为直线 x=1, 将此抛物线向左平移 2 个单位 ,再向下平移 3 个单位 ,得到的抛物线过点()A.(-3,-6)B.(-3,0)C.(-3,-5)D.(-3,-1)考点 4：二次函数与方程、不等式的关系1.二次函数 y=x 2+2x- m 的图象与 x 轴有且只有 1 个交点，则m 的值为 ___.2.已知抛物线y=ax 2+bx+c(a,b,c为常数,a≠经0)过点(-1,0),(0,3),其对称轴在y轴右侧,有下列结论:①抛物线经过点(1,0);②方程 ax 2+bx+c=2 有两个不相等的实数根;③ -3<a+b<3. 其中 ,正确结论的个数为 ()A.0B.1C.2D.33.如图，若二次函数 y=ax 2+bx+c(a ≠ 图 0) 象的对称轴为 x=1 ，与 y 轴交于点 C ，与 x 轴交于点 A 、点 B(﹣ 1， 0)，则第 4 页共 16 页①二次函数的最大值为a+b+c ；② a ﹣ b+c ＜0；③ b 2﹣4ac ＜0；④当 y ＞0 时，﹣ 1＜x ＜ 3．其中正确的个数是 ()A ．1B ．2C ．3D ．44. 二次函数 y=ax 2+bx+c （ a ≠ 0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（ -2 ， -9a ），下列结论： ①4a+2b+c ＞ 0；② 5a-b+c=0 ；③若方程 a(x+5)(x-1)=-1有两个根 x 1 和 x 2，且 x 1＜ x 2，则 -5 ＜x 1＜ x 2 ＜1；④若方程 |ax 2+bx+c|=1 有四个根，则这四个根的和为-4．其中正确的结论有（）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个5.已知二次函数 y=x 2-x+ 1 m-1 的图象与 x 轴有交点，则m 的取值范围是（）4A.m ≤ 5B.m ≥ 2C.m ＜5D.m ＞2第 5 页共 16 页二次函数的综合应用考点 1：线段、周长问题1.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线的顶点坐标为（2， 0），且经过点（4，1 ），如图，直线 y= x 与抛物线交于 A 、B 两点，直线 l 为 y= ﹣1．（ 1）求抛物线的解析式；（2）在 l 上是否存在一点 P，使 PA+PB 取得最小值？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．第 6 页共 16 页2.如图，抛物线 y=ax 2+bx+c 经过 A（﹣ 1，0）， B（4，0）， C（0，3）三点， D 为直线 BC上方抛物线上一动点，DE ⊥BC 于 E．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图 1，求线段 DE 长度的最大值；第 7 页共 16 页23．如图 1 ，抛物线y＝﹣ x +bx+c 交 x 轴于点 A （，0）和点B，交 y 轴于点C（0，4），一次函数y＝ kx+m 的图象经过点B， C，点 P 是抛物线上第二象限内一点．（ 1）求二次函数和一次函数的表达式；（ 2）过点 P 作 x 轴的平行线交BC 于点 D，作 BC 的垂线PM 交 BC 于点 M ，设点 P 的横坐标为t，△ PDM 的周长为l ．①求 l 关于 t 的函数表达式；②求△ PDM 的周长的最大值时点P 的横坐标；第 8 页共 16 页考点 2：图形面积问题1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax 2+bx+c 交 x 轴于点 A（﹣ 4，0）、 B（ 2，0），交 y轴于点 C（0，6），在 y 轴上有一点 E（ 0，﹣ 2），连接 AE ．（ 1）求二次函数的表达式；（ 2）若点 D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值；第 9 页共 16 页2.如图，抛物线 y=a(x-1)(x-3) （a>0 ）与 x 轴交于 A 、B 两点，抛物线上另有一点 C 在 x 轴下方，且使△OCA ∽△ OBC ．（1）求线段 OC 的长度；（2）设直线 BC 与 y 轴交于点 M ，点 C 是 BM 的中点时，求直线 BM 和抛物线的解析式；（3）在（ 2）的条件下，直线 BC 下方抛物线上是否存在一点 P，使得四边形 ABPC 面积最大？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．第 10 页共 16 页考点 3：特殊三角形的存在性问题1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+bx+c 交 x 轴于点 A（﹣ 4， 0）、 B（ 2，0），交y 轴于点 C（ 0， 6），在 y 轴上有一点 E （0，﹣ 2），连接 AE ．（ 1）求二次函数的表达式；（ 2）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由．第 11 页共 16 页2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax 2+2x+c 与 x 轴交于 A（﹣ 1，0）B（3，0）两点，与 y轴交于点 C，点 D 是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线 AC 的解析式；（2）试探究：在拋物线上是否存在点 P，使以点 A ，P，C 为顶点， AC 为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．第 12 页共 16 页考点 4：特殊四边形的存在性问题1.如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c （ a ≠ 0）经过点 A （ 3 ， 0）， B （﹣ 1 ， 0）， C （ 0，﹣ 3）．（ 1）求该抛物线的解析式；（ 2）若点 Q 在 x 轴上，点 P 在抛物线上，是否存在以点 B ，C ，Q ，P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由第 13 页共 16 页2.如图 1 所示，直线 y=x+c 与 x 轴交于点 A(-4 ，0)，与 y 轴交于点 C，抛物线 y=-x 2+bx+c 经过点A，C.(1)求抛物线的解析式；()如图 2 所示， M 是线段 OA 上一个动点，过点 M 垂直于 x 轴的直线与直线 AC 和抛物线分别交于点P、N.②若点 P 恰好是线段 MN 的中点，点 F 是直线 AC 上一动点，在坐标平面内是否存在点 D，使以点 D， F，P， M 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 D 坐标，若不存在请说明理由.第 14 页共 16 页3.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=a -2ax-3a与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点 A 的直线 y=kx+b 与 y 轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD =4AC.⑴求 A 、 B 两点的坐标及抛物线的对称轴。
中考数学复习之二次函数的图像与性质,考点过关与基础练习题
18. 二次函数的应用➢ 知识过关1.二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 图像与系数a 、b 、c 的关系(1) 如果抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴有两个交点，则一元二次方程02=++c bx ax 有两个_____实数根.(2) 如果抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴只有1个交点，则一元二次方程02=++c bx ax 有两个_____实数根.(3) 如果抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴无交点，则一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根.3. 二次函数与一次交点一次函数)0(≠+=k n kx y 的图像L 与二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程nkx y cbx ax y +=++=2{的解的个数确定 (1)方程组有两组不同的解⇔L 与G 有______交点； (2)方程组只有一组解⇔L 与G 只有______交点； (3)方程组无解⇔L 与G_______交点. 4. 二次函数的实际应用建立二次函数模型—求出二次函数解析式—结合函数解析式—解答问题.➢ 考点分类考点1 二次函数图像与系数的关系例1二次函数的图像如图所示，现有下列结论：①042>-ac b ；①a>0;①b>0；①c>0; ①039<++c b a ，则其中结论正确的有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个考点2二次函数的实际应用例2某文具店购进一批纪念册，线本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y(本)与每本纪念册的售价x(元)之间满足一次函数关系；当销售单价为22元时，销量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本.(1)请直接写出y 与x 的函数关系式；(2)当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ (3)设该文具店每周销售这种纪念册所获昨的利润为w 元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？考点3二次函数的综合应用例3如图所示，直线与抛物线相交于点A 和点B ，点P 是线段AB 上异于A 、B 的动点，过点P 作PC①x 轴于点C ，交抛物线于点D. (1)求抛物线的解析式；(2)是否存在这样的P 点，使线段PD 的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；(3)当①PAD 为直角三角形时，求点P 的坐标.➢真题演练1．二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．2．函数y＝|ax2+bx+c|（a＞0，b2﹣4ac＞0）的图象是由函数y＝ax2+bx+c（a＞0，b2﹣4ac ＞0）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（）①2a+b＝0；②c＝3；③abc＞0；④将图象向上平移1个单位后与直线y＝5有3个交点．A．①②B．①③C．②③④D．①③④3．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴为直线x＝﹣1，且过点（0，1）．有以下四个结论：①abc＞0，②a﹣b+c＞1，③3a+c＜0，④若顶点坐标为（﹣1，2），当m≤x≤1时，y有最大值为2、最小值为﹣2，此时m的取值范围是﹣3≤m≤﹣1．其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个4．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象关于直线x＝1对称，与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点．若﹣2＜x1＜﹣1，则下列四个结论：①3＜x2＜4；②3a+2b＞0；③b2＞a+c+4ac；④a＞c＞b，正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，并与x轴交于A，B两点，若OA＝5OB，则下列结论中：①abc＞0；②（a+c）2﹣b2＝0；③9a+4c＜0；④若m为任意实数，则am2+bm+2b≥4a，正确的个数是（）A．1B．2C．3D．46．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x=−12，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x 的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（）A．①③B．②④C．③④D．②③7．如图，若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则下列结论：①abc＞0；②二次函数的最大值为a+b+c；③a﹣b+c＜0；④b2﹣4ac＜0；⑤当y＞0时，﹣1＜x＜3．⑥3a+c＝0；其中正确的结论有．8．公园草坪上，自动浇水喷头喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的离地高度y（米）关于水珠与喷头的水平距离x（米）的函数解折武是y=−13x2+43x（0≤x≤4）．那么水珠的最大离地高度是米．9．东方商厦将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销量就增加1个，为了获取最大利润，则应降价元．10．中国跳水队被称为“梦之队”，跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的抛物线．已知跳板AB长为1米，距水面的高OA为3米，C 为入水点，训练时跳水曲线在离起跳点B水平距离1米时达到距水面最大高度k米，分别以OC、OA所在直线为横轴和纵轴，点O为坐标原点建立平面直角坐标系．若跳水运动员在入水时点C与点O的距离在3.5米至4米（含3.5米和4米）才能达到训练要求，则k的取值范围是．11．随着我国经济、科技的进一步发展，我国的农业生产的机械化程度越来越高，过去的包产到户就不太适合机械化的种植，现在很多地区就出现了一种新的生产模式，很多农民把自己的承包地转租给种粮大户或者新型农村合作社，出现了大农田，这些农民则成为合作社里的工人，这样更有利于机械化种植．某地某种粮大户，去年种植优质水稻200亩，平均每亩收益480元．计划今年多承包一些土地，已知每增加一亩，每亩平均收益比去年每亩平均收益减少2元．（1）该大户今年应承租多少亩土地，才能使今年总收益达到96600元？（2）该大户今年应承租多少亩土地，可以使今年总收益最大，最大收益是多少？12．在新农村建设过程中，渣濑湾村采用“花”元素打造了一座花都村庄．如图，一农户用长为25m 的篱笆，一面利用墙，围成有两个小门且中间隔有一道篱笆的长方形花圃．已知小门宽为1m ，设花圃的宽AB 为x （m ），面积为S （m 2）． （1）求S 关于x 的函数表达式．（2）如果要围成面积为54m 2的花圃，AB 的长为多少米？（3）若墙的最大长度为10m ，则能围成的花圃的最大面积为多少？并求此时AB 的长．➢ 课后练习1．已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为x ＝1，与x 轴正半轴的交点为A （3，0），其部分图象如图所示，有下列结论：①abc ＞0； ②2c ﹣3b ＜0； ③5a +b +2c ＝0；④若B （43，y 1）、C （13，y 2）、D （−13，y 3）是抛物线上的三点，则y 1＜y 2＜y 3．其中正确结论的个数有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知抛物线y =12x 2﹣bx +c ，当x ＝1时，y ＜0；当x ＝2时，y ＜0．下列判断：①b 2＞2c ；②若c ＞1，则b ＞32；③已知点A （m 1，n 1），B （m 2，n 2）在抛物线y =12x 2﹣bx +c 上，当m 1＜m 2＜b 时，n 1＞n 2；④若方程12x 2﹣bx +c ＝0的两实数根为x 1，x 2，则x 1+x 2＞3．其中正确的有（ ）个． A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．如图是二次函数y ＝ax 2+bx +c 图象的一部分，图象过点A （﹣3，0），对称轴为直线x ＝﹣1，①b 2﹣4ac ＞0②4a +c ＜0③当﹣3≤x ≤1时，y ≥0④若B(−52，y 1)，C(−12，y 2)为函数图象上的两点，则y 1＞y 2，以上结论中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于点A （3，0），与y 轴的交点B 在（0，3）与（0，4）之间（不包括这两点），对称轴为直线x ＝1．下列结论：①abc ＜0；②43a +3b +c ＞0；③−43＜a ＜−1；④若x 1，x 2（x 1＜x 2）是方程ax 2+bx +c ＝m （m ＜0）的两个根，则有x 1＜﹣1＜3＜x 2．其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ＞0）与x 轴交于A （﹣3，0）、B 两点，与y 轴交于点C ，点（m ﹣5，n ）与点（3﹣m ，n ）也在该抛物线上．下列结论：①点B 的坐标为（1，0）；②方程ax 2+bx +c ﹣2＝0有两个不相等的实数根；③54a +c ＜0；④当x ＝﹣t 2﹣2时，y ≥c ．正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，且抛物线经过点（1，0），下面给出了四个结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c＞0；③5a+c＜b；④a﹣b=13c．其中结论正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图，物体从点A抛出，物体的高度y（m）与飞行时间t（s）近似满足函数关系式y=−1 5（t﹣3）2+5．（1）OA＝m．（2）在飞行过程中，若物体在某一个高度时总对应两个不同的时间，则t的取值范围是．8．某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离S（米）关于滑行的时间t（秒）的函数解析式是S＝﹣0.25t2+8t，无人机着陆后滑行秒才能停下来．9．图1是一个斜坡的横截面，tanα=12，斜坡顶端B与地面的距离为3米，为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A，喷头A喷出的水柱在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分，设喷出水柱的竖直高度为y（单位：米）（水柱的竖直高度是指水柱与地面的距离），水柱与喷头A的水平距离为x（单位：米），图2记录了y与x 的相关数据，则y与x的函数关系式为．10．如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2，则小球飞出s时，达到最大高度．11.开学季，福山振华量贩超市从厂家购进A、B两种型号的书包，两次购进书包的情况如表：进货批次A型书包（个）B型书包（个）总费用（元）一1002008000二20030013000（1）求A、B两种型号的书包进价各是多少元？（2）在销售过程中，A型书包因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B型书包的销售量，超市决定对B型书包进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B型书包降价多少元时，每天售出B型书包的利润达到最大？最大利润是多少？（3）第三次进货用10000元钱购进这两种书包，如果每销售出一个A型书包可获利9元，售出一个B型书包可获利6元，超市决定每售出一个A型书包就为当地“新冠疫情防控”捐b元用于购买防控物资．若A、B两种型号的书包在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b为多少？利润为多少？➢冲击A+已知△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC．（1）如图①，当∠BAC＝120°时，请直接写出线段AB，AC，AD之间满足的等量关系式：；（2）如图②，当∠BAC＝90°时，试探究线段AB，AC，AD之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）如图③，若BC＝5，BD＝4，求ADAB+AC的值．。
2020中考数学总复习：二次函数的图象与性质(结合2019中考真题)
[答案] C [解析]根据二次函数的性质进行判断,由二次函数y=(x-2)2+1,得它的顶点坐标是 (2,1),对称轴为直线x=2,当x=2时,函数的最小值是1,图象开口向上,当x≥2时,y的 值随x值的增大而增大,当x<2时,y的值随x值的增大而减小,可由y=x2的图象向右 平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到,所以C是错误的,故选C.
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(1)用配方法求抛物线的顶点坐标.
(2)求函数的最小值.
(3)x 取何值时,y 随 x 的增大而减小?
(4)若点(-3,y1),(1,y2),(3,y3)都在此抛物线上,比较 y1,y2,y3 的大小. (5)若抛物线与 x 轴的两个交点为 A,B,与 y 轴的交点为 C,求 S△ABC.
(4)在对称轴x=-1的左侧,y随x的增大而减小,在对称轴右侧,y随x的增大而增大, 且3-(-1)>(-1)-(-3),1-(-1)=(-1)-(-3), ∴y2=y1<y3.
例 1 已知抛物线 y=������������x2+x-������������. (5)若抛物线与 x 轴的两个交点为 A,B,与 y 轴的交点为 C,求 S△ABC.
C.y=(x-2)2-2
D.y=(x-4)2-2
y=(x-4)2-2.
【方法点析】解决抛物线平移的问题,通常要把解析式配方转化为顶点式,遵循 “括号内左加右减,括号外上加下减”的平移原则,确定平移后的解析式.
| 考向精练 |
1.[2019·绍兴]在平面直角坐标系中,抛物 线 y=(x+5)(x-3) 经 过 变 换 后 得 到 抛 物 线 y=(x+3)(x-5),则这个变换可以是 ( ) A.向左平移2个单位 B.向右平移2个单位 C.向左平移8个单位 D.向右平移8个单位
2020年中考数学总复习 第12讲 二次函数的图象与性质 新版 新人教版
结合几何图形
1根据几何图形的性质，探求图形中的关系式；
2根据几何图形的关系式确定二次函数解析式；
3利用配方法等确定二次函 数的最值，解决问题
由于 面积等于两条边的乘积，所以几何问题的面积的最值问题通常会通过二次函数来解决.同样需注意自变量的取值范围.
b2－4ac
决定抛物线与x轴的交点个数
b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点;
b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点;
b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点
知识点三：二次函数的平移
4.平移与解析式的关系
注意：二次函数的平移实质是顶点坐标的平移，因此只要找出原函数顶点的平移方式即可确定平移后的函数解析式
二、典例讲解
内参P44------3、4、6、7、10、11、12、14、16
P46-----19、20、4、5、7、8、9、13
三、课后反思：
第12讲二次函数的图象与性质
一、知识清单梳理
知识点一：二次函数的概念及解析式
关键点拨与对应举例
1.二次函数的定义
形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.
例：如果函数y=(a－1)x2是二次函数，那么a的取值范围是a≠0.
2.解析式
（1）三种解析式：①一般式：y=ax2+bx+c;②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是（h,k）;③交点式：y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标.
知识点一题目中未给出坐标系，则需要建立坐标系求解，建立的原则：①所建立的坐标系要使求出的二次函数表达式比较简单；②使已知点所在的位置适当（如在x轴，y轴、原点、抛物线上等），方便求二次函数丶表达式和之后的计算求解.
2020年中考数学一轮专项复习14 二次函数的图象及性质(含答案)
2020年中考数学一轮复习——二次函数的图象及性质一、选择题1.(2019·河南)已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋4经过(－2，n)和(4，n)两点，则n 的值为( ) A .－2 B .－4 C .2 D .42.(2019·兰州)已知点A(1，y 1)，B(2，y 2)在抛物线y ＝－(x ＋1)2＋2上，则下列结论正确的是( )A .2＞y 1＞y 2B .2＞y 2＞y 1C .y 1＞y 2＞2D .y 2＞y 1＞23.(2019·湖州)已知a ，b 是非零实数，|a |＞|b |，在同一平面直角坐标系中，二次函数y 1＝ax 2＋bx 与一次函数y 2＝ax ＋b 的大致图象不可能是( )4.(2019·陕西)在同一平面直角坐标系中，若抛物线y ＝x 2＋(2m －1)x ＋2m －4与y ＝x 2－(3m ＋n)x ＋n 关于y 轴对称，则符合条件的m ，n 的值为( )A .m ＝57，n ＝－187 B .m ＝5，n ＝－6C .m ＝－1，n ＝6D .m ＝1，n ＝－25.四位同学在研究函数y ＝x 2＋bx ＋c (b ，c 是常数)时，甲发现当x ＝1时，函数有最小值；乙发现－1是方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当x ＝2时，y ＝4，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是( )A .甲B .乙C .丙D .丁6.(2019·巴中)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，下列结论：①b 2＞4ac ，②abc ＜0，③2a ＋b －c ＞0，④a ＋b ＋c ＜0.其中正确的是( )A .①④B .②④C .②③D .①②③④ 二、填空题7.某个函数具有性质：当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，这个函数的表达式可以是 (只要写出一个符合题意的答案即可).8.将二次函数y ＝x 2－4x ＋5化成y ＝a (x －h)2＋k 的形式为 .9.(2019·武汉)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A(－3,0)，B(4,0)两点，则关于x 的一元二次方程a (x －1)2＋c ＝b －bx 的解是 .10.(2019·长春)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－2ax ＋83(a ＞0)与y 轴交于点A ，过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点M ，P 为抛物线的顶点.若直线OP 交直线AM 于点B ，且M 为线段AB 的中点，则a 的值为 .三、解答题11.(2019·温州)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝－12x 2＋2x ＋6的图象交x 轴于点A ，B(点A 在点B 的左侧).(1)求点A ，B 的坐标，并根据该函数图象写出y ≥0时x 的取值范围；(2)把点B 向上平移m 个单位得点B 1.若点B 1向左平移n 个单位，将与该二次函数图象上的点B 2重合；若点B 1向左平移(n ＋6)个单位，将与该二次函数图象上的点B 3重合.已知m ＞0，n ＞0，求m ，n 的值.12.(2019·黄石)如图，已知抛物线y ＝13x 2＋bx ＋c 经过点A(－1,0)，B(5,0).(1)求抛物线的解析式，并写出顶点M 的坐标；(2)若点C 在抛物线上，且点C 的横坐标为8，求四边形AMBC 的面积.13.设二次函数y ＝ax 2＋bx －(a ＋b )(a ，b 是常数，a ≠0).(1)判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，说明理由.(2)若该二次函数图象经过A(－1,4)，B(0，－1)，C(1,1)三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式.(3)若a＋b＜0，点P(2，m)(m＞0)在该二次函数图象上，求证：a＞0.14.(温州二模)如图，在平面直角坐标系中，点A(1,2)，B(5,0)，抛物线y＝ax2－2ax(a＞0)交x轴正半轴于点C，连结AO，AB.(1)求点C的坐标和直线AB的表达式；(2)设抛物线y＝ax2－2ax(a＞0)分别交边BA，BA延长线于点D，E.①若AE＝3AO，求抛物线表达式；②若△CDB与△BOA相似，则a的值为.(请直接写出答案)参考答案一、选择题1.(2019·河南)已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋4经过(－2，n)和(4，n)两点，则n 的值为( B ) A .－2 B .－4 C .2 D .42.(2019·兰州)已知点A(1，y 1)，B(2，y 2)在抛物线y ＝－(x ＋1)2＋2上，则下列结论正确的是( A )A .2＞y 1＞y 2B .2＞y 2＞y 1C .y 1＞y 2＞2D .y 2＞y 1＞23.(2019·湖州)已知a ，b 是非零实数，|a |＞|b |，在同一平面直角坐标系中，二次函数y 1＝ax 2＋bx 与一次函数y 2＝ax ＋b 的大致图象不可能是( D )4.(2019·陕西)在同一平面直角坐标系中，若抛物线y ＝x 2＋(2m －1)x ＋2m －4与y ＝x 2－(3m ＋n)x ＋n 关于y 轴对称，则符合条件的m ，n 的值为( D )A .m ＝57，n ＝－187 B .m ＝5，n ＝－6C .m ＝－1，n ＝6D .m ＝1，n ＝－25.四位同学在研究函数y ＝x 2＋bx ＋c (b ，c 是常数)时，甲发现当x ＝1时，函数有最小值；乙发现－1是方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当x ＝2时，y ＝4，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是( B )A .甲B .乙C .丙D .丁6.(2019·巴中)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，下列结论：①b 2＞4ac ，②abc ＜0，③2a ＋b －c ＞0，④a ＋b ＋c ＜0.其中正确的是( A )A .①④B .②④C .②③D .①②③④ 二、填空题7.某个函数具有性质：当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，这个函数的表达式可以是 y ＝x 2(答案不唯一) (只要写出一个符合题意的答案即可).8.将二次函数y ＝x 2－4x ＋5化成y ＝a (x －h)2＋k 的形式为 y ＝(x －2)2＋1 .9.(2019·武汉)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A(－3,0)，B(4,0)两点，则关于x 的一元二次方程a (x －1)2＋c ＝b －bx 的解是 x 1＝－2，x 2＝5 .10.(2019·长春)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－2ax ＋83(a ＞0)与y 轴交于点A ，过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点M ，P 为抛物线的顶点.若直线OP 交直线AM 于点B ，且M 为线段AB 的中点，则a 的值为 2 .三、解答题11.(2019·温州)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝－12x 2＋2x ＋6的图象交x 轴于点A ，B(点A 在点B 的左侧).(1)求点A ，B 的坐标，并根据该函数图象写出y ≥0时x 的取值范围；(2)把点B 向上平移m 个单位得点B 1.若点B 1向左平移n 个单位，将与该二次函数图象上的点B 2重合；若点B 1向左平移(n ＋6)个单位，将与该二次函数图象上的点B 3重合.已知m ＞0，n ＞0，求m ，n 的值.解：(1)A(－2,0)，B(6,0)，由函数图象得，当y ≥0时，－2≤x ≤6；(2)由题意得，B 1(6，m)，B 2(6－n ，m)，B 3(－n ，m)，函数图象的对称轴为直线x ＝2，∵点B 2，B 3在二次函数图象上且纵坐标相同，∴6－n ＋(－n)2＝2，∴n ＝1，∴m ＝－12×(－1)2＋2×(－1)＋6＝72，∴m ，n 的值分别为72，1.12.(2019·黄石)如图，已知抛物线y ＝13x 2＋bx ＋c 经过点A(－1,0)，B(5,0).(1)求抛物线的解析式，并写出顶点M 的坐标；(2)若点C 在抛物线上，且点C 的横坐标为8，求四边形AMBC 的面积.解：(1)函数的表达式为：y ＝13(x ＋1)(x －5)＝13(x 2－4x －5)＝13x 2－43x －53，点M 坐标为(2，－3)； (2)当x ＝8时，y ＝13(x ＋1)(x －5)＝9，即点C(8,9)，S 四边形AMBC ＝12AB(y C －y M )＝12×6×(9＋3)＝36.13.设二次函数y ＝ax 2＋bx －(a ＋b )(a ，b 是常数，a ≠0). (1)判断该二次函数图象与x 轴的交点的个数，说明理由.(2)若该二次函数图象经过A(－1,4)，B(0，－1)，C(1,1)三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式.(3)若a ＋b ＜0，点P(2，m)(m ＞0)在该二次函数图象上，求证：a ＞0.解：(1)由题意Δ＝b 2－4·a [－(a ＋b )]＝b 2＋4ab ＋4a 2＝(2a ＋b )2≥0，∴二次函数图象与x 轴的交点的个数有两个或一个；(2)当x ＝1时，y ＝a ＋b －(a ＋b )＝0，∴抛物线不经过点C ，把点A(－1,4)，B(0，－1)分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧4＝a －b －（a ＋b ），－1＝－（a ＋b ）， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2， ∴抛物线解析式为y ＝3x 2－2x －1；(3)当x ＝2时，m ＝4a ＋2b －(a ＋b )＝3a ＋b ＞0①，∵a ＋b ＜0，∴－a －b ＞0②， ①②相加得：2a ＞0，∴a ＞0.14.(温州二模)如图，在平面直角坐标系中，点A(1,2)，B(5,0)，抛物线y ＝ax 2－2ax (a ＞0)交x 轴正半轴于点C ，连结AO ，AB.(1)求点C 的坐标和直线AB 的表达式；(2)设抛物线y ＝ax 2－2ax (a ＞0)分别交边BA ，BA 延长线于点D ，E. ①若AE ＝3AO ，求抛物线表达式；②若△CDB 与△BOA 相似，则a 的值为 .(请直接写出答案)解：(1)∵x ＝－b2a＝1，∵O ，C 两点关于直线x ＝1对称，∴C(2,0)，设直线AB ：y ＝k x ＋b ，把A(1,2)，B(5,0)代入得y ＝－12x ＋52；(2)①∵A(1,2)，B(5,0)，O(0,0)，∴OA ＝5，OB ＝5，AB ＝25，∴OA 2＋AB 2＝OB 2，∴∠OAB ＝90°，∴∠OAE ＝90°，作EF ⊥AF ，AG ⊥x 轴，∵∠FEA ＝∠OAG ，∠F ＝∠AGO ＝90°，∴△EAF ∽△AOG ，∴EF AG ＝AF OG ＝3，∴E(－5,5)，代入解析式可得，a ＝17，∴y ＝17x 2－27x ；②若△CDB 与△BOA 相似，CD AO ＝BD AB ＝BC BO ，∴CD 5＝BD 25＝35，∴D(135，65)，代入解析式可得a ＝1013.。
2020年中考数学专题培优：二次函数图像和性质(含答案)
2020年中考数学专题培优 二次函数图像和性质一、单选题（共有10道小题）1.抛物线247y x x =--的顶点坐标是（ ）A ．(2，-11)B ．(-2，7)C ．(2，11)D ．(2，-3)2.把抛物线23y x =先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的解析式是（ ）A.()2332y x =+- B.()2322y x =++ C.()2332y x =--D.()2332y x =-+3.若抛物线22y x x c =-+与y 轴的交点坐标为（0，-3），则下列说法不正确的是（ ） A.抛物线的开口向上 B.抛物线的对称轴是直线x =1C.当x =1时，y 的最大值为-4D.抛物线与x 轴的交点坐标为（-1，0），（3，0）。
4.如图，二次函数()2,0y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且对称轴为1x =，点B 坐标为(－1，0)．则下面的四个结论中正确的个数是（）①20a b +=；②420a b c +<-；③0ac >；④当0y <时，1x <－或2x >． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5.将抛物线216212＝－＋yx x 向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为( )A ．21(8)52＝－＋yx B ．21(4)52＝－＋y x C ．21(8)32＝－＋y x D ．21(4)32＝－＋y x 6.已知二次函数()²,0y ax bx c c =++≠的图象如图所示，下列说法错误．．的是 ( )A.图像关于直线1x =对称B.函数()²,0y ax bx c c =++≠的最小值是－4C.－1和3是方程()²0,0ax bx c c ++=≠ 的两个根D.当1x <时，y 随x 的增大而增大CA B -1x=1xy O -11xyO7.对于二次函数22y x x =-+，有下列四个结论，其中正确的结论的个数为（）①它的对称轴是直线1x =；②设221112222,2y x x y x x =-+=-+，则21x x >时，有21y y >；③它的图象与x 轴的两个交点是(0，0)和(2，0) ④当02x << 时，0y > A.1B.2C.3D.48.已知二次函数c bx ax y ++=2的y 与x 的部分对应值如下表：x …… -1 0 1 3 …… y …… -3 1 3 1 …… 则下列判断中正确的是( )A.抛物线开口向上B.抛物线与y 轴交于负半轴C.图象对称轴为直线x=1D.方程02=++c bx ax 有一个根在3与4之间9.如图，一段抛物线24(22)＝－＋－yx x ≤≤为1C ，与x 轴交于0A ，1A 两点，顶点为1D ；将1C 绕点1A 旋转180°得到2C ，顶点为2D ；1C 与2C 组成一个新的图象，垂直于y 轴的直线l 与新图象交于点111()P x y ，，222()Px y ，，与线段12D D 交于点333()P x y ，，设123x x x ，，均为正数，123＝＋＋t x x x ，则t 的取值范围是( )A ．68t <≤B ．68t ≤≤C ．1012t <≤D ．1012t ≤≤10.在同一平面直角坐标系中，函数y mx m =+,和函数222,)0y mx x m m =-++≠（是常数,且的图象可能是( )yxC 2C 1A 0D 2D 1A 1OAxyOB xy OC x y ODxyO二、填空题（共有7道小题） 11.抛物线开口方向对称轴顶点坐标()232y x =--()2132y x =+12.抛物线()2241y x =--的开口 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ； 当x ＝ 时，y 有最 值为 ；在对称轴左侧，即当x 时，y 随x 的增大而 ， 在对称轴右侧，即当x 时，y 随x 的增大而 .13.在平面直角坐标系中，若将抛物线()132++-=x y 先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是 ．14.二次函数422-+=x x y 的图象的开口方向是 ，对称轴是 ，顶点坐标是15.抛物线3422+-=x x y 绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的表达式是 ．16.若抛物线c x x y +-=42的顶点在直线1+=x y 上，求c 的值______ 17.已知点P （m ，n ）在抛物线a x ax y --=2上，当m ≥﹣1时，总有n ≤1成立，则a 的取值范围是 .三、解答题（共有6道小题）18.抛物线()233y x =- 与x 轴交点为A ，与y 轴交点为B ，求A ，B 两点坐标及△AOB 的面积19.已知，在同一平面直角坐标系中，反比例函数xy 5=与二次函数c x x y ++-=22的图象交于点A (－1，m )． (1)求m ，c 的值；(2)求二次函数图象的对称轴和顶点坐标．20.已知抛物线32++=bx ax y 的对称轴是直线x=1．（1）求证：2a+b=0；（2）若关于x 的方程082=-+bx ax 的一个根为4，求方程的另一个根．21.当k 分别取-1，1，2时，函数()2145y k x x k =--+-都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有最大值，请求出最大值。
中考专题复习 二次函数的图象性质与应用
专题二次函数图象性质与应用一．选择题（共26小题）1.(2020成都中考)关于二次函数y=x2+2x-8,下列说法正确的是(D．)A.图象的对称轴在y轴的右侧B.图象与y轴的交点坐标为(0,8)C.图象与x轴的交点坐标为(-2 ,0)和(4 ,0)D.y的最小值为-92.(2020温州中考)已知(-3,y1),(-2,y2),(1,y3)是抛物线y=-3x2-12x+m上的点,则(B．) A.y3<y2<y1 B.y3<y1<y2C.y2<y3<y1D.y1<y3<y23.已知A(0,2),B(2,5)是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上的两点,若抛物线与x轴有两个交点,则该抛物线的对称轴不可能是(A．)A.x=1B.x=2C.x=5D.x=-44咸宁中考]在平面直角坐标系xOy中,将横、纵坐标相等的点称为“好点”.下列函数的图象中不存在“好点”的是(B．) A.y=-x B.y=x+2D. y=x2-2xC.y=2x5.[2020杭州中考]设函数y=a(x-h)2+k(a,h,k是实数,a≠0).当x=1时,y=1;当x=8时,y=8.(C．) A.若h=4,则a<0 B.若h=5,则a>0C.若h=6,则a<0D.若h=7,则a>06.二次函数y=ax2与一次函数y=ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是(D．)A B C D7.已知二次函数y=ax2-2ax-3a(a≠0),关于此函数的图象及性质,下列结论不一定成立的是(D．)A.该图象的顶点坐标为(1,-4a)B.该图象与x轴的交点坐标为(-1,0),(3,0)C.若该图象经过点(-2,5),则一定经过点(4,5)D.当x>1时,y随x的增大而增大8.[2020株洲中考]二次函数y=ax2+bx+c,若ab<0,a-b2>0,点A(x1,y1),B(x2,y2)在该二次函数的图象上,其中x1<x2,x1+x2=0,则(B．) A.y1=-y2 B.y1>y2C.y1<y2D.y1,y2的大小无法确定9.[2020襄阳中考]二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论:①ac<0;②3a+c=0;③4ac-b2<0;④当x>-1时,y随x的增大而减小.其中正确的有(B．)A.4个B.3个C.2个D.1个10.在平面直角坐标系xOy中,抛物线C1,C2上部分点的横坐标、纵坐标的对应值如下表:x…-1 0 1 2 2.5 3 4 …y1…0 m1-8 n1-8.75 -8 -5 …y2… 5 m2-11 n2-12.5 -11 -5 …下列结论正确的是(D．)A.抛物线C1,C2均开口向下B.抛物线C1的顶点坐标为(2.5,-8.75)C.当x>4时,y1>y2D.抛物线C1,C2必经过点(0,-5)11．（2020•株洲）二次函数y＝ax2+bx+c，若ab＜0，a﹣b2＞0，点A（x1，y1），B（x2，y2）在该二次函数的图象上，其中x1＜x2，x1+x2＝0，则（B）A．y1＝﹣y2B．y1＞y2C．y1＜y2D．y1、y2的大小无法确定12．（2020•襄阳）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0；②3a+c＝0；③4ac﹣b2＜0；④当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．其中正确的有（B）A．4个B．3个C．2个D．1个13．（2020•齐齐哈尔）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝l，结合图象给出下列结论：①ac＜0；②4a﹣2b+c＞0；③当x＞2时，y随x的增大而增大；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．其中正确的结论有（C）A．1个B．2个C．3个D．4个14．（2020•泸州）已知二次函数y＝x2﹣2bx+2b2﹣4c（其中x是自变量）的图象经过不同两点A（1﹣b，m），B（2b+c，m），且该二次函数的图象与x轴有公共点，则b+c的值为（C）A．﹣1 B．2 C．3 D．4 15．（2020•绥化）将抛物线y＝2（x﹣3）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（C）A．y＝2（x﹣6）2B．y＝2（x﹣6）2+4C．y＝2x2D．y＝2x2+416．（2020•滨州）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c ＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为（A）A．3 B．4 C．5 D．6 17．（2020•德州）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（D）A．若（﹣2，y1），（5，y2）是图象上的两点，则y1＞y2B．3a+c＝0C．方程ax2+bx+c＝﹣2有两个不相等的实数根D．当x≥0时，y随x的增大而减小18．（2020•成都）关于二次函数y＝x2+2x﹣8，下列说法正确的是（D）A．图象的对称轴在y轴的右侧B．图象与y轴的交点坐标为（0，8）C．图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（4，0）D．y的最小值为﹣919．（2020•哈尔滨）将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的拋物线为（D）A．y＝（x+3）2+5 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x+5）2+3 D．y＝（x﹣5）2+3 20．（2020•南充）关于二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5（a≠0）的三个结论：①对任意实数m，都有x1＝2+m与x2＝2﹣m对应的函数值相等；②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则−43＜a≤﹣1或1≤a＜43；③若抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，则a＜−54或a≥1．其中正确的结论是（D）A．①②B．①③C．②③D．①②③21.抛物线y=(k-1)x2-x+1与x轴有交点,则k的取值范围是k．≤．54且．k．≠．1．.22.[2020温州中考]已知抛物线y=ax2+bx+1经过点(1,-2),(-2,13).(1)求a,b的值;(2)若(5,y1),(m,y2)是抛物线上不同的两点,且y2=12-y1,求m的值.23.[2020黄石中考]若二次函数y=a2x2-bx-c的图象,过不同的六点A(-1,n),B(5,n-1),C(6,n+1),D(√2,y1),E(2,y2),F(4,y3),则y1,y2,y3的大小关系是(D．)A.y1<y2<y3B.y1<y3<y2C.y2<y3<y1D.y2<y1<y324.[2020临沂中考]已知抛物线y=ax2-2ax-3+2a2(a≠0).(1)求这条抛物线的对称轴;(2)若该抛物线的顶点在x轴上,求其解析式;(3)设点P(m,y1),Q(3,y2)在抛物线上,若y1<y2,求m的取值范围.25.[2020南充中考节选]已知二次函数图象过点A(-2,0),B(4,0),C(0,4).(1)求二次函数的解析式.(2)如图,当点P为AC的中点时,在线段PB上是否存在点M,使得∠BMC=90°?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.26.[2020河北中考]如图,现要在抛物线y=x(4-x)上找点P(a,b),针对b的不同取值,所找点P的个数,三人的说法如下,甲:若b=5,则点P的个数为0;乙:若b=4,则点P的个数为1;丙:若b=3,则点P的个数为1.下列判断正确的是(C．)A.乙错,丙对B.甲和乙都错C.乙对,丙错D.甲错,丙对27．（2020•临沂）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3+2a2（a≠0）．（1）求这条抛物线的对称轴；（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；（3）设点P（m，y1），Q（3，y2）在抛物线上，若y1＜y2，求m的取值范围．【解析】（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3+2a2＝a（x﹣1）2+2a2﹣a﹣3．∴抛物线的对称轴为直线x＝1；（2）∵抛物线的顶点在x轴上，∴2a2﹣a﹣3＝0，解得a=32或a＝﹣1，∴抛物线为y=32x2﹣3x+32或y＝﹣x2+2x﹣1；（3）∵抛物线的对称轴为x＝1，则Q（3，y2）关于x＝1对称点的坐标为（﹣1，y2），∴当a=32，﹣1＜m＜3时，y1＜y2；当a＝﹣1，m＜﹣1或m＞3时，y1＜y2．28．（2020•衡阳）在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2+px+q的图象过点（﹣1，0），（2，0）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；（3）一次函数y＝（2﹣m）x+2﹣m的图象与二次函数y＝x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．【解析】（1）由二次函数y ＝x 2+px +q 的图象经过（﹣1，0）和（2，0）两点， ∴{1−p +q =04+2p +q =0，解得{p =−1q =−2， ∴此二次函数的表达式y ＝x 2﹣x ﹣2； （2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x =−1+22=12， ∴在﹣2≤x ≤1范围内，当x ＝﹣2，函数有最大值为：y ＝4+2﹣2＝4；当x =12是函数有最小值：y =14−12−2=−94， ∴的最大值与最小值的差为：4﹣（−94）=254；（3）∵y ＝（2﹣m ）x +2﹣m 与二次函数y ＝x 2﹣x ﹣2图象交点的横坐标为a 和b ， ∴x 2﹣x ﹣2＝（2﹣m ）x +2﹣m ，整理得x 2+（m ﹣3）x +m ﹣4＝0∵a ＜3＜b ∴a ≠b∴△＝（m ﹣3）2﹣4×（m ﹣4）＝（m ﹣5）2＞0 ∴m ≠5 ∵a ＜3＜b当x ＝3时，（2﹣m ）x +2﹣m ＞x 2﹣x ﹣2，把x ＝3代入（2﹣m ）x +2﹣m ＞x 2﹣x ﹣2，解得m ＜−12 ∴m 的取值范围为m ＜−12．29．（2020•滨州）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？【解析】（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果＝500﹣10×（55﹣50）＝450千克；（2）设每千克水果售价为x元，由题意可得：8750＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]，解得：x1＝65，x2＝75，答：每千克水果售价为65元或75元；（3）设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元，由题意可得：y＝（m﹣40）[500﹣10（m﹣50）]＝﹣10（m﹣70）2+9000，∴当m＝70时，y有最大值为9000元，答：当每千克水果售价为70元时，获得的月利润最大值为9000元．30．（2020•甘孜州）某商品的进价为每件40元，在销售过程中发现，每周的销售量y （件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似看作一次函数y＝kx+b，且当售价定为50元/件时，每周销售30件，当售价定为70元/件时，每周销售10件．（1）求k，b的值；（2）求销售该商品每周的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数解析式，并求出销售该商品每周可获得的最大利润．【解析】（1）由题意可得：{30=50k+b 10=70k+b，∴{k =−1b =80， 答：k ＝﹣1，b ＝80；（2）∵w ＝（x ﹣40）y ＝（x ﹣40）（﹣x +80）＝﹣（x ﹣60）2+400， ∴当x ＝60时，w 有最大值为400元，答：销售该商品每周可获得的最大利润为400元．。
(新编)2020年中考数学专题培优：二次函数图像和性质(含答案)
2020 年中考数学专题培优 二次函数图像和性质（含答案）一、单项选择题（共有10 道小题）1. 抛物线 yx 2 4x 7 的极点坐标是（）A ． (2 ， -11)B ． (-2 ， 7)C ． (2 ， 11)D ．(2 ， -3)2. 把抛物线 y 3x 2 先向上平移 2 个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的分析式是（）2222A. y 3 x 3B. y 3 x 22222C. y 3 x 3D. y 3 x 33. 若抛物线 yx 2 2xc 与 y 轴的交点坐标为（ 0， -3 ），则以下说法不正确的选项是（ ）A. 抛物线的张口向上B.抛物线的对称轴是直线 x =1C. 当 x =1 时， y 的最大值为 -4D. 抛物线与 x 轴的交点坐标为（ -1 ， 0），（ 3， 0）。
4. 如图，二次函数 y ax 2 bx c, a 0 的图象与 x 轴交于 A 、B 两点，与 y 轴交于 C 点，且对称轴为 x1 ，点 B 坐标为 ( － 1，0) ．则下边的四个结论中正确的个数是（）y x=1① 2a b 0 ；C② 4a- 2b c 0 ；③ ac 0 ；-1④当 y 0 时， x －1 或 x 2 ．B OA xA ．1B ．2C ．3D ．45. 将抛物线 y ＝ 1x 2－6x ＋21 向左平移 2 个单位后，获得新抛物线的分析式为 ()2A ． y ＝ 1( x －8)2＋5 B ． y ＝ 1( x －4) 2＋5C ． y ＝ 1( x －8) 2＋3 D ． y ＝ 1( x －4) 2＋322226. 已知二次函数 yax2 bx c, c0 的图象以下图，以下说法错误．．的是 ( )yA. 图像对于直线 x 1 对称B. 函数 y ax2bx c, c 0 的最小值是－ 4 1C. － 1 和 3 是方程 ax2 bxc 0, c 0-1 Ox的两个根D. 当 x 1时， y 随 x 的增大而增大-47. 对于二次函数 yx 2 2x ，有以下四个结论，此中正确的结论的个数为（）①它的对称轴是直线 x 1 ；②设 y 1x 12 2x 1, y 2 x 22 2x 2 ，则 x 2x 1 时，有 y 2 y 1 ；③它的图象与 x 轴的两个交点是 (0 ，0) 和 (2 ， 0) ④当 0 x 2 时， yA.1B.2C.3D.48. 已知二次函数 yax 2bx c 的 y 与 x 的部分对应值以下表：x-1 0 1 3y-3 1 3 1则以下判断中正确的选项是 ( ) A. 抛物线张口向上B. 抛物线与 y 轴交于负半轴C. 图象对称轴为直线 x=1D.方程 ax 2 bx c 0 有一个根在 3 与 4 之间9. 如图，一段抛物线 y ＝－x 2＋4(－2 x2) 为 C 1 ，与 x 轴交于 A 0 ， A 1 两点，极点为 D 1 ；将 C 1 绕点 A 1 旋转 180°获得 C 2 ，极点为 D 2 ；C 1 与 C 2 构成一个新的图象，垂直于 y 轴的直线 l 与新图象交于点 P( x ， y ) ， P ( x ， y ) ，与线段 D D 交于点11122212P 3 (x 3， y 3 ) ，设 x 1， x 2， x 3 均为正数， t＝x 1＋x 2＋x 3 ，则 t 的取值范围是 ( )D 1yC 1A 0A 1Ox C 2D 2A ． 6 t 8B ． 6 t 8C ． 10 t 1210. 在同一平面直角坐标系中，函数ymx 2 2x 2,（ m 是常数 , 且 m 0)的图象可能是 ( )D ．10 t 12y mx m , 和 函 数yyyyOOOOxxxxA B C D二、填空题（共有 7 道小题）11.抛物线张口方向 对称轴 极点坐标2 y3 x 2y 1x 3 2 212. 抛物线 y 2 x21 的张口，极点坐标是，对称轴是；4当 x＝时， y 有最值为；在对称轴左边，即当x 时， y 随 x 的增大而，在对称轴右边，即当x 时， y 随 x 的增大而.13. 在平面直角坐标系中，若将抛物线y x 3 2 1先向左平移2个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的极点坐标是．14. 二次函数 y x2 2x 4 的图象的张口方向是，对称轴是，极点坐标是15. 抛物线 y 2x2 4x 3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的表达式是．16. 若抛物线 y x2 4x c 的极点在直线 y x 1上，求c的值______17. 已知点P（m，n）在抛物线y ax2x a 上，当m≥﹣1时，总有n≤1成立，则 a 的取值范围是.三、解答题（共有 6 道小题）18. 抛物线y 3 x2与 x 轴交点为 A，与 y 轴交点为 B，求 A，B 两点坐标及△ AOB的面3积19. 已知，在同一平面直角坐标系中，反比例函数 y 5与二次函数2 A －，mxy 2x c 的图象交于点．x ( 1 )(1)求 m，c 的值；(2)求二次函数图象的对称轴和极点坐标．20.已知抛物线 y ax2 bx 3 的对称轴是直线x=1．（ 1）求证： 2a+b=0；（ 2）若对于 x 的方程ax2bx 8 0的一个根为 4，求方程的另一个根．21. 当 k 分别取 -1 ， 1， 2 时，函数y k 1 x2 4x 5 k 都有最大值吗？请写出你的判断，并说明原因；如有最大值，恳求出最大值。
二次函数的图像与性质【十大题型】(原卷版)—2024年中考数学一轮复习【举一反三】系列(全国通用)
二次函数的图像与性质【十大题型】【题型1 根据二次函数解析式判断其性质】 (3)【题型2 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象和性质】 (4)【题型3 二次函数平移变换问题】 (5)【题型4 根据二次函数的对称性求字母的取值范围】 (6)【题型5 根据二次函数的性质求最值】 (6)【题型6 根据二次函数的最值求字母的取值范围】 (7)【题型7 根据二次函数自变量的情况求函数值的取值范围】 (7)【题型8 根据二次函数的增减性求字母的取值范围】 (8)【题型9 二次函数图象与各项系数符号】 (8)【题型10 二次函数与三角形相结合的应用方法】 (11)【知识点 二次函数的图像与性质】1.定义：一般的，形如y =ax 2+bx +c (a .b .c 是常数，a ≠0)的函数叫做二次函数。
其中x 是自变量，a .b .c 分别是函数解析式的二次项系数.一次项系数.常数项。
二次函数解析式的表示方法(1)一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (其中a ，b ，c 是常数，a ≠0)；(2)顶点式：y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0)，它直接显示二次函数的顶点坐标是(h ，k )；(3)交点式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，其中x 1，x 2是图象与x 轴交点的横坐标 ．注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -³时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.2.二次函数的图象是一条抛物线。
当a ＞0时，抛物线开口向上；当a ＜0时，抛物线开口向下。
|a |越大，抛物线的开口越小；|a |越小，抛物线的开口越大。
y =ax 2y =ax 2+k y =a (x -h )2y =a (x -h )2+k y =ax 2+bx +c 对称轴y 轴y 轴x =h x =h abx 2-=(0，0)(0，k )(h ，0)(h ，k )⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22顶点a >0时，顶点是最低点，此时y 有最小值；a <0时，顶点是最高点，此时y 有最大值。
二次函数的图像和性质练习(含答案)
二次函数的图像和性质一、选择题（每题3分）1．下列四个函数中，一定是二次函数的是（ ）A ．21y x x=+ B ．y=ax 2+bx+c C ．y=x 2﹣（x+7）2 D ．y=（x+1）（2x ﹣1）【答案】D【解析】试题分析：因为形如y=ax 2+bx+c （0a ≠）的函数叫二次函数，所以选项A 、B 、C 错误，D 正确，故选：D ．考点：二次函数的概念.2．若函数y=-2(x-1)2+(a-1)x 2为二次函数，则a 的取值范围为（ ） A.a≠0 B.a≠1 C.a≠2 D.a≠3【答案】D ．【解析】试题分析：根据二次函数的定义化成一般式为()2342y a x x =-+-， 则30a -≠3a ≠故选D ．考点：二次函数的定义．3.下列函数中，不是二次函数的是（ ）A ．y ＝1－x 2B ．y ＝2（x －1）2＋4C ．y ＝（x －1）（x ＋4）D ．y ＝（x －2）2－x 2【答案】D ．【解析】试题分析：选项A ，y=1-x 2=-x 2+1，是二次函数，选项A 正确；选项B ，y=2（x-1）2+4=2x 2-4x+6，是二次函数，选项B 正确；选项C ，y=（x-1）（x+4）=x 2+x-2，是二次函数，选项C 正确；选项 D ，y=（x-2）2-x 2=-4x+4，是一次函数，选项D 错误．故答案选D ．考点：二次函数的定义．二、填空题（每题3分）4.若函数y ＝（m －3）是二次函数，则m ＝______． 【答案】5．【解析】试题分析：已知函数y ＝（m －3）是二次函数，可得且m －3≠0，解得m=-5． 考点：二次函数的定义．5.．一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S 与底面半径r 的函数关系式为_________．【答案】S=4π2r【解析】试题分析：根据题意可得h=2r ，则S=2πrh=4π2r ．考点：二次函数的实际应用（时间：15分钟，满分25分）班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题（每题3分）1.下列函数中，不属于二次函数的是（ ）A ．y=（x ﹣2）2B ．y=﹣2（x+1）（x ﹣1）C ．y=1﹣x ﹣x 2D ．y=211x 【答案】D【解析】试题分析：整理一般形式后根据二次函数的定义判定即可：A 、整理为y=x 2﹣4x+4，是二次函数，不合题意；B 、整理为y=﹣2x 2+2，是二次函数，不合题意；C 、整理为y=﹣x 2﹣x+1，是二次函数，不合题意；D 、不是整式方程，符合题意．故选：D ．考点：二次函数的定义2．下列函数中属于二次函数的是（ ）A ．12-=x yB ．12-=ax yC ．222)1(2x x y --=D ．)2)(1(π+-=x x y【答案】D ．【解析】试题分析：A ．12-=x y 是一次函数，故本选项错误；B ．当0a =时，12-=ax y 不是二次函数，故本选项错误；C ．222)1(2x x y --==42x -+是一次函数，故本选项错误；D )2)(1(π+-=x x y 是二次函数，故本选项正确．故选D ．考点：二次函数的定义．3．若函数222(1)(1)y x a x =--+-为二次函数，则a 的取值范围为（ ）A ．0a ≠B ．1a ≠C ．2a ≠D ．3a ≠【答案】D ．【解析】试题分析：由原函数解析式得到：222(1)(1)y x a x =--+-=2(3)42a x x -+-．∵函数 222(1)(1)y x a x =--+-为二次函数，∴30a -≠，解得3a ≠．故选D ．考点：二次函数的定义．二、填空题（每题3分）4.在边长为16cm 的正方形铁皮上剪去一个圆，则剩下的铁皮的面积S （cm 2）与圆的半径r （cm ）之间的函数表达式为 （不要求写自变量的取值范围）．【答案】2256r S π-=【解析】试题分析：剩下的面积为：正方形的面积-圆的面积=162-πr 2=256-πr 2故答案为：2256r S π-=考点：函数的表达式.5.．用长为8米的铝合金制成如图所示的窗框，若设窗框的宽为x 米，窗户的透光面积为S 平方米， 则S 关于x 的函数关系式 ．【答案】S=x x 4232+-【解析】试题分析：设窗框的宽为x 米，则长为238x -米 ∴S=x x x x 4232382+-=⨯- 考点：实际问题抽象二次函数三、计算题（每题10分）6.已知，若函数2(1)3m y m x =-+是关于x 的一次函数．（1）求m 的值，并写出解析式；（2）若函数是关于x 的二次函数，求m 的值，．【答案】（1）1m =-；（2）m =．【解析】试题分析：（1）先根据一次函数的定义求出m 的值；（2）由22m =可得出m =试题解析：（1）∵函数2(1)3m y m x =-+是一次函数，∴21m =，解得1m =或1m =-，又∵10m -≠，∴1m ≠，∴1m =-，∴函数为：23y x =-+；m=可得出m=（2）由22考点：1．一次函数的定义；2．二次函数的定义．。
中考数学复习之二次函数常考66种题型专题1 二次函数的图象与性质(一)(含答案及解析)
专题22.1 二次函数的图象与性质（一）-重难点题型【题型1 判断二次函数的个数】【例1】（2020秋•太康县期末）下列函数：①y＝3−√3x2；②y=2x2；③y＝x（3﹣5x）；④y＝（1+2x）（1﹣2x），是二次函数的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式1-1】（2020•涡阳县一模）已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y＝2x2﹣x﹣1；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函数的个数为（）A．1B．2C．3D．4【变式1-2】（2020秋•扬州期末）下列函数是关于x的二次函数的有（）①y＝x（2x﹣1）；②y=1x2；③y=√32x2−1；④y＝ax2+2x（a为任意实数）；⑤y＝（x﹣1）2﹣x2；⑥y=√x2+x+1．A．2个B．3个C．4个D．5个【变式1-3】（2020秋•广汉市期中）观察：①y＝6x2；②y＝﹣3x2+5；③y＝200x2+400x+200；④y＝x3﹣2x；⑤y=x2−1x+312；⑥y＝（x+1）2﹣x2．这六个式子中，二次函数有．（只填序号）【题型2 利用二次函数的概念求字母的值】【例2】（2020秋•沙坪坝区校级月考）若函数y=(a+1)x|a2+1|是关于x的二次函数，则a 的值为．【变式2-1】（2020秋•肃州区期末）如果函数y＝（k﹣3）x k2−3k+2+kx+1是二次函数，则k的值是．【变式2-2】（2020秋•江油市校级月考）函数y＝（m2﹣3m+2）x2+mx+1﹣m，则当m＝时，它为正比例函数；当m＝时，它为一次函数；当m时，它为二次函数．【变式2-3】（2020秋•新昌县校级月考）已知函数y＝（m2+m）x m2−2m+2．（1）当函数是二次函数时，求m的值；；（2）当函数是一次函数时，求m的值．．【题型3 二次函数的一般形式】【例3】（2020秋•防城区期中）设a，b，c分别是二次函数y＝﹣x2+3的二次项系数、一次项系数、常数项，则（）A．a＝﹣1，b＝3，c＝0B．a＝﹣1，b＝0，c＝3C．a＝﹣1，b＝3，c＝3D．a＝1，b＝0，c＝3【变式3-1】（2020秋•遂溪县校级期中）关于函数y＝（500﹣10x）（40+x），下列说法不正确的是（）A．y是x的二次函数B．二次项系数是﹣10C．一次项是100D．常数项是20000【变式3-2】（2020春•肇东市期末）已知二次函数y＝1﹣5x+3x2，则二次项系数a＝，一次项系数b＝，常数项c＝．【变式3-3】（2020秋•新昌县期末）若二次函数y＝（2x﹣1）2+1的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则b2﹣4ac0（填写“＞”或“＜”或“＝”）【题型4 根据实际问题列二次函数（销售类）】【例4】（2020秋•硚口区期中）某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映；如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（）A．y＝300﹣10x B．y＝300（60﹣40﹣x）C．y＝（300+10x）（60﹣40﹣x）D．y＝（300﹣10x）（60﹣40+x）【变式4-1】（2020秋•朝阳期中）某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨2元，月销售量就减少10千克．设每千克涨x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（）A．y＝（50+x﹣40）（500﹣10x）B．y＝（x+40）（10x﹣500）C．y＝（x﹣40）[500﹣5（x﹣50）]D．y＝（50+x﹣40）（500﹣5x）【变式4-2】（2020春•西湖区校级月考）某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价x元（x为整数），每个月的销售量为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式．【变式4-3】（2020•诸城市一模）某厂生产某种零件，该厂为鼓励销售商订货，提供了如下信息：①每个零件的成本价为40元；②若订购量不超过100个，出厂价为60元；若订购量超过100个时，每多订1个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元；③实际出厂单价不能低于51元．根据以上信息，解答下列问题：（1）当一次订购量为个时，零件的实际出厂单价降为51元．（2）设一次订购量为x个时，零件的实际出厂单价为P元，写出P与x的函数表达式．（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润＝实际出厂价﹣成本）．【题型5 根据实际问题列二次函数（面积类）】【例5】（2020•平阳县一模）某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），并在如图所示位置留2m宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长度为50m．设饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式是（）A．y＝﹣x2+50x B．y=−12x2+24xC．y=−12x2+25x D．y=−12x2+26x【变式5-1】（2020秋•沙坪坝区校级期中）如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为50m，门宽为2m．若饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式为（）A．y=−12x2+26x（2≤x＜52）B．y=−12x2+50x（2≤x＜52）C．y＝﹣x2+52x（2≤x＜52）D．y=−12x2+27x﹣52（2≤x＜52）【变式5-2】（2020秋•思明区校级期中）如图，某小区进行绿化改造，矩形花园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成，另三边由篱笆ADEF围成，篱笆总长40米，墙AB长16米，若BF＝x米，花园面积是S平方米，则S关于x的函数关系式是：．【变式5-3】（2020秋•东营期中）如图，某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用旧墙，其余各面用木材围成栅栏，该计划用木材围成总长24m的栅栏，设面积为s（m2），垂直于墙的一边长为x（m）米．则s关于x的函数关系式：（并写出自变量的取值范围）【题型6 根据实际问题列二次函数（几何类）】【例6】（2020•西湖区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若a+b＝5，则Rt△ABC的面积S关于边长c的函数关系式为（）A．S=25−c24B．S=25−c22C．S=25−c2D．S=25+c24【变式6-1】（2020秋•翼城县期末）如图，在Rt△ABO中，AB⊥OB，且AB＝OB＝3，设直线x＝t截此三角形所得的阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系式为（）A．S＝t（0＜t≤3）B．S=12t2（0＜t≤3）C．S＝t2（0＜t≤3）D．S=12t2﹣1（0＜t≤3）【变式6-2】（2021•江夏区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，E为AC边上的点且AE＝2EC，点D在BC边上且满足BD＝DE，设BD＝y，S△ABC＝x，则y与x的函数关系式为（）A．y=1810x2+52B．y=4810x2+52C．y=1810x2+2D．y=4810x2+2【变式6-3】（2020秋•孝感期末）如图，正方形ABCD的边长是4，E是AB上一点，F是AD延长线上的一点，BE＝DF．四边形AEGF是矩形，矩形AEGF的面积y与BE的长x 的函数关系是．答案及解析专题1 二次函数的图象与性质（一）-重难点题型还需使实际问题有意义．【题型1 判断二次函数的个数】【例1】（2020秋•太康县期末）下列函数：①y＝3−√3x2；②y=2x2；③y＝x（3﹣5x）；④y＝（1+2x）（1﹣2x），是二次函数的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用二次函数定义进行分析即可．【解答】解：①y＝3−√3x2；③y＝x（3﹣5x）；④y＝（1+2x）（1﹣2x），是二次函数，共3个，故选：C．【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．【变式1-1】（2020•涡阳县一模）已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y＝2x2﹣x﹣1；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函数的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据二次函数定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分析即可．【解答】解：②④是二次函数，共2个，故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数的定义，关键是掌握y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a ≠0）是二次函数，注意a≠0这一条件．【变式1-2】（2020秋•扬州期末）下列函数是关于x的二次函数的有（）①y＝x（2x﹣1）；②y=1x2；③y=√32x2−1；④y＝ax2+2x（a为任意实数）；⑤y＝（x﹣1）2﹣x2；⑥y=√x2+x+1．A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分析可得答案．【解答】解：是关于x的二次函数的有①③故选：A．【点评】此题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．【变式1-3】（2020秋•广汉市期中）观察：①y＝6x2；②y＝﹣3x2+5；③y＝200x2+400x+200；④y＝x3﹣2x；⑤y=x2−1x+312；⑥y＝（x+1）2﹣x2．这六个式子中，二次函数有．（只填序号）【分析】根据二次函数的定义可得答案．【解答】解：这六个式子中，二次函数有：①y＝6x2；②y＝﹣3x2+5；③y＝200x2+400x+200；故答案为：①②③．【点评】本题主要考查的是二次函数的定义，熟练掌握二次函数的概念是解题的关键．【题型2 利用二次函数的概念求字母的值】【例2】（2020秋•沙坪坝区校级月考）若函数y=(a+1)x|a2+1|是关于x的二次函数，则a 的值为．【分析】根据二次函数定义可得|a2+1|＝2且a+1≠0，求解即可．【解答】解：∵函数y=(a+1)x|a2+1|是关于x的二次函数，∴|a2+1|＝2且a+1≠0，解得a＝1，故答案为：1．【点评】本题考查的是二次函数的定义，二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c （a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．【变式2-1】（2020秋•肃州区期末）如果函数y＝（k﹣3）x k2−3k+2+kx+1是二次函数，则k的值是．【分析】利用二次函数定义可得k2﹣3k+2＝2，且k﹣3≠0，再解出k的值即可．【解答】解：由题意得：k2﹣3k+2＝2，且k﹣3≠0，解得：k＝0，故答案为：0．【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．【变式2-2】（2020秋•江油市校级月考）函数y＝（m2﹣3m+2）x2+mx+1﹣m，则当m＝时，它为正比例函数；当m＝时，它为一次函数；当m时，它为二次函数．【分析】首先解方程，进而利用正比例函数、一次函数与二次函数的定义得出答案．【解答】解：m2﹣3m+2＝0，则（m﹣1）（m﹣2）＝0，解得：m1＝1，m2＝2，故m≠1且m≠2时，它为二次函数；当m＝1或2时，它为一次函数，当m＝1时，它为正比例函数；故答案为：1；1或2；m≠1且m≠2【点评】此题主要考查了一次函数与二次函数的定义，正确解方程是解题关键．【变式2-3】（2020秋•新昌县校级月考）已知函数y＝（m2+m）x m2−2m+2．（1）当函数是二次函数时，求m的值；；（2）当函数是一次函数时，求m的值．．【分析】（1）这个式子是二次函数的条件是：m2﹣2m+2＝2并且m2+m≠0；（2）这个式子是一次函数的条件是：m2﹣2m+2＝1并且m2+m≠0．【解答】解：（1）依题意，得m2﹣2m+2＝2，解得m＝2或m＝0；又因m2+m≠0，解得m≠0或m≠﹣1；因此m＝2．（2）依题意，得m2﹣2m+2＝1解得m＝1；又因m2+m≠0，解得m≠0或m≠﹣1；因此m＝1．【点评】本题主要考查一次函数与二次函数的定义与一般形式．【题型3 二次函数的一般形式】【例3】（2020秋•防城区期中）设a，b，c分别是二次函数y＝﹣x2+3的二次项系数、一次项系数、常数项，则（）A．a＝﹣1，b＝3，c＝0B．a＝﹣1，b＝0，c＝3C．a＝﹣1，b＝3，c＝3D．a＝1，b＝0，c＝3【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项作答．【解答】解：二次函数y＝﹣x2+3的二次项系数是a＝﹣1，一次项系数是b＝0，常数项是c＝3；故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．【变式3-1】（2020秋•遂溪县校级期中）关于函数y＝（500﹣10x）（40+x），下列说法不正确的是（）A．y是x的二次函数B．二次项系数是﹣10C．一次项是100D．常数项是20000【分析】根据形如y＝ax2+bx+c是二次函数，可得答案．【解答】解：y＝﹣10x2+100x+20000，A、y是x的二次函数，故A正确；B、二次项系数是﹣10，故B正确；C、一次项是100x，故C错误；D、常数项是20000，故D正确；故选：C．【点评】本题考查了二次函数的定义，化成二次函数的一般式是解题关键．【变式3-2】（2020春•肇东市期末）已知二次函数y＝1﹣5x+3x2，则二次项系数a＝，一次项系数b＝，常数项c＝．【分析】根据二次函数的定义，可得答案．【解答】解：二次函数y＝1﹣5x+3x2，则二次项系数a＝3，一次项系数b＝﹣5，常数项c＝1，故答案为：3，﹣5，1．【点评】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题关键．【变式3-3】（2020秋•新昌县期末）若二次函数y＝（2x﹣1）2+1的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则b2﹣4ac0（填写“＞”或“＜”或“＝”）【分析】根据二次函数的解析式得出a，b，c的值，再代入b2﹣4ac计算，判断与0的大小即可．【解答】解：∵y＝（2x﹣1）2+1，∴a＝4，b＝﹣4，c＝2，∴b2﹣4ac＝16﹣4×4×2＝﹣16＜0，故答案为＜．【点评】本题考查了二次函数的定义以及各项系数，掌握a，b，c的确定是解题的关键．（1）理解题意：找出实际问题中的已知量和変量（自变量，因变量），将文字或图形语言转化为数学语言；（2）分析关系：找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式；（3）列函数表达式：设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子替换，将表达式写成用自变量表示的函数的形式.【题型4 根据实际问题列二次函数（销售类）】【例4】（2020秋•硚口区期中）某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映；如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（）A．y＝300﹣10x B．y＝300（60﹣40﹣x）C．y＝（300+10x）（60﹣40﹣x）D．y＝（300﹣10x）（60﹣40+x）【分析】由每件涨价x元，可得出销售每件的利润为（60﹣40+x）元，每星期的销售量为（300﹣10x），再利用每星期售出商品的利润＝销售每件的利润×每星期的销售量，即可得出结论．【解答】解：∵每涨价1元，每星期要少卖出10件，每件涨价x元，∴销售每件的利润为（60﹣40+x）元，每星期的销售量为（300﹣10x），∴每星期售出商品的利润y＝（300﹣10x）（60﹣40+x）．故选：D．【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y 与x之间的函数关系式．【变式4-1】（2020秋•朝阳期中）某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨2元，月销售量就减少10千克．设每千克涨x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（）A．y＝（50+x﹣40）（500﹣10x）B．y＝（x+40）（10x﹣500）C．y＝（x﹣40）[500﹣5（x﹣50）]D．y＝（50+x﹣40）（500﹣5x）【分析】直接利用销量×每千克利润＝总利润，得出函数关系式即可．【解答】解：设每千克涨x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为：y＝（50+x﹣40）（500﹣5x）．故选：D．【点评】此题主要考查了根据实际问题列函数关系式，正确表示出销量是解题关键．【变式4-2】（2020春•西湖区校级月考）某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价x元（x为整数），每个月的销售量为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式．【分析】（1）当售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，y＝260﹣x，50≤x≤80，当如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件，y＝420﹣3x，80＜x≤140，（2）由利润＝（售价﹣成本）×销售量列出函数关系式，【解答】解：（1）当50≤x≤80时，y＝210﹣（x﹣50），即y＝260﹣x，当80＜x≤140时，y＝210﹣（80﹣50）﹣3（x﹣80），即y＝420﹣3x．则{y=260−x(50≤x≤80)y=420−3x(80＜x＜140)；（2）由题意可得，W＝﹣x2+300x﹣10400（50≤x≤80），W＝﹣3x2+540x﹣16800（80＜x＜140）．【点评】本题主要考查二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解决本题的关键．【变式4-3】（2020•诸城市一模）某厂生产某种零件，该厂为鼓励销售商订货，提供了如下信息：①每个零件的成本价为40元；②若订购量不超过100个，出厂价为60元；若订购量超过100个时，每多订1个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元；③实际出厂单价不能低于51元．根据以上信息，解答下列问题：（1）当一次订购量为个时，零件的实际出厂单价降为51元．（2）设一次订购量为x个时，零件的实际出厂单价为P元，写出P与x的函数表达式．（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润＝实际出厂价﹣成本）．【分析】（1）由题意设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x 个，则x ＝100+60−510.02=550进而得出答案； （2）前100件单价为P ，当进货件数大于等于550件时，P ＝51，则当100＜x ＜550时，P ＝60﹣0.02（x ﹣100）＝62−x50得到P 为分段函数，写出解析式即可； （3）设销售商的一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为L 元，表示出L 与x 的函数关系式，然后令x ＝500，1000即可得到对应的利润．【解答】解：（1）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x 个，则x ＝100+60−510.02=550， 根据实际出厂单价不能低于51元，因此，当一次订购量为大于等于550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元． 故答案为：≥550；（2）当0＜x ≤100时，P ＝60当100＜x ＜550时，P ＝60﹣0.02（x ﹣100）＝62−x 50当x ≥550时，P ＝51所以P ={60(0＜x ≤100)62−x 50(100＜x ＜550)51(550≤x)；（3）设销售商的一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为L 元， 则L ＝（P ﹣40）x ={20x(0＜x ≤100)22x −x 250(100＜x ＜500)当x ＝500时，L ＝22×500−500250=6000（元）；当x ＝1000时，L ＝（51﹣40）×1000＝11000（元），因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个，利润是11000元．【点评】本小题主要考查了二次函数的应用以及分段函数的应用，注意利用自变量取值范围得出函数解析式是解题关键．【题型5 根据实际问题列二次函数（面积类）】【例5】（2020•平阳县一模）某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），并在如图所示位置留2m 宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长度为50m ．设饲养室长为xm ，占地面积为ym 2，则y 关于x 的函数表达式是（ ）A ．y ＝﹣x 2+50xB ．y =−12x 2+24xC ．y =−12x 2+25xD ．y =−12x 2+26x【分析】根据题意表示出矩形的宽，再利用矩形面积求法得出答案． 【解答】解：设饲养室长为xm ，占地面积为ym 2，则y 关于x 的函数表达式是：y ＝x •12（50+2﹣x ）=−12x 2+26x ．故选：D ．【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确表示出矩形的宽是解题关键．【变式5-1】（2020秋•沙坪坝区校级期中）如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为50m ，门宽为2m ．若饲养室长为xm ，占地面积为ym 2，则y 关于x 的函数表达式为（ ）A ．y =−12x 2+26x （2≤x ＜52） B ．y =−12x 2+50x （2≤x ＜52） C ．y ＝﹣x 2+52x （2≤x ＜52）D ．y =−12x 2+27x ﹣52（2≤x ＜52）【分析】直接根据题意表示出垂直与墙饲养室的一边长，再利用矩形面积求法得出答案．【解答】解：y关于x的函数表达式为：y=12（50+2﹣x）x=−12x2+26x（2≤x＜52）．故选：A．【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系，正确表示出另一边长是解题关键．【变式5-2】（2020秋•思明区校级期中）如图，某小区进行绿化改造，矩形花园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成，另三边由篱笆ADEF围成，篱笆总长40米，墙AB长16米，若BF＝x米，花园面积是S平方米，则S关于x的函数关系式是：．【分析】根据题意分别表示出长方形的长与宽进而得出答案．【解答】解：由题意可得：S＝（16+x）•40−x−16−x2＝（16+x）（12﹣x）＝﹣x2﹣4x+192．故答案为：S＝﹣x2﹣4x+192．【点评】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数关系式，正确表示出矩形的长与宽是解题关键．【变式5-3】（2020秋•东营期中）如图，某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用旧墙，其余各面用木材围成栅栏，该计划用木材围成总长24m的栅栏，设面积为s（m2），垂直于墙的一边长为x（m）米．则s关于x的函数关系式：（并写出自变量的取值范围）【分析】先根据栅栏的总长度24表示出三间羊圈与旧墙平行的一边的总长为（24﹣4x），再根据长方形的面积公式表示即可得到s关于x的函数关系式；找到关于x的两个不等式：24﹣4x＞0，x＞0，解之即可求出x的取值范围．【解答】解：根据题意可知，三间羊圈与旧墙平行的一边的总长为（24﹣4x），则：s＝（24﹣4x）x＝﹣4x2+24x由图可知：24﹣4x＞0，x＞0，所以x的取值范围是0＜x＜6，故答案为：s＝﹣4x2+24x（0＜x＜6）．【点评】此题主要考查了结合实际问题列二次函数解析式．本题中主要涉及的知识点有：二次函数的表示方法，自变量取值范围的解法，找到关于x的不等式．【题型6 根据实际问题列二次函数（几何类）】【例6】（2020•西湖区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若a+b＝5，则Rt△ABC的面积S关于边长c的函数关系式为（）A．S=25−c24B．S=25−c22C．S=25−c2D．S=25+c24【分析】直接利用直角三角形的性质结合完全平方公式得出S与c的关系．【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，∴a2+b2＝c2，∵Rt△ABC的面积S，∴S=12ab，∵a+b＝5，∴（a+b）2＝25，∴a2+b2+2ab＝25，∴c2+4S＝25，∴S=25−c2 4．故选：A．【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确掌握直角三角形的性质是解题关键．【变式6-1】（2020秋•翼城县期末）如图，在Rt△ABO中，AB⊥OB，且AB＝OB＝3，设直线x＝t截此三角形所得的阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系式为（）A．S＝t（0＜t≤3）B．S=12t2（0＜t≤3）C．S＝t2（0＜t≤3）D．S=12t2﹣1（0＜t≤3）【分析】Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB＝OB＝3，所以很容易求得∠AOB＝∠A＝45°；再由平行线的性质得出∠OCD＝∠A，即∠AOD＝∠OCD＝45°，进而证明OD＝CD＝t；最后根据三角形的面积公式，解答出S与t之间的函数关系式．【解答】解：如图所示，∵Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB＝OB＝3，∴∠AOB＝∠A＝45°，∵CD⊥OB，∴CD∥AB，∴∠OCD＝∠A，∴∠AOD＝∠OCD＝45°，∴OD＝CD＝t，∴S△OCD=12×OD×CD=12t2（0＜t≤3），即S=12t2（0＜t≤3）．故选：B．【点评】本题主要考查的是二次函数解析式的求法，解题的关键是能够找到题目中的有关面积的等量关系，难度不大．【变式6-2】（2021•江夏区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，E为AC边上的点且AE＝2EC，点D在BC边上且满足BD＝DE，设BD＝y，S△ABC＝x，则y与x的函数关系式为（）A．y=1810x2+52B．y=4810x2+52C．y=1810x2+2D．y=4810x2+2【分析】过A作AH⊥BC，过E作EP⊥BC，则AH∥EP，由此得出关于x和y的方程，即可得出关系式．【解答】解：过A作AH⊥BC，过E作EP⊥BC，则AH∥EP，∴HC＝3，PC＝1，BP＝5，PE=13AH，∵BD＝DE＝y，∴在Rt△EDP中，y2＝（5﹣y）2+PE2，∵x＝6AH÷2＝3AH，∴y2＝（5﹣y）2+(19x)2，∴y=1810x2+52，故选：A．【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式的知识，关键是根据等腰三角形的性质进行分析，难度适中．【变式6-3】（2020秋•孝感期末）如图，正方形ABCD的边长是4，E是AB上一点，F是AD延长线上的一点，BE＝DF．四边形AEGF是矩形，矩形AEGF的面积y与BE的长x 的函数关系是．【分析】设BE的长度为x（0≤x＜4），则AE＝4﹣x，AF＝4+x，根据矩形的面积即可得出y关于x的函数关系式，此题得解．【解答】解：设BE的长度为x（0≤x＜4），则AE＝4﹣x，AF＝4+x，∴y＝AE•AF＝（4﹣x）（4+x）＝16﹣x2．故答案为：y＝16﹣x2（0≤x＜4）．【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据矩形的面积找出y关于x的函数关系式是解题的关键．。
2020中考数学压轴题全揭秘精品专题08 二次函数的图象性质与应用问题(含答案解析)
决胜2020中考数学压轴题全揭秘精品专题08 二次函数的图象性质与应用问题【典例分析】【考点1】二次函数的图象与性质【例1】（2019·四川中考真题）二次函数2y x ax b =-+的图象如图所示，对称轴为直线2x =，下列结论不正确的是（ ）A ．4a =B ．当4b =-时，顶点的坐标为(2,8)-C ．当1x =-时，5b >-D ．当3x >时，y 随x 的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】根据对称轴公式2bx a=和二次函数的性质，结合选项即可得到答案. 【详解】解：∵二次函数2y x ax b =-+ ∴对称轴为直线22ax == ∴4a =，故A 选项正确；当4b =-时，2244(2)8y x x x =--=-- ∴顶点的坐标为(2,8)-，故B 选项正确； 当1x =-时，由图象知此时0y < 即140b ++<∴5b <-，故C 选项不正确； ∵对称轴为直线2x =且图象开口向上∴当3x >时，y 随x 的增大而增大，故D 选项正确； 故选C ． 【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练掌握二次函数.【变式1-1】（2019·重庆中考真题）抛物线2362y x x =-++的对称轴是（ ）A ．直线2x =B ．直线2x =-C ．直线1x =D ．直线1x =-【答案】C 【解析】 【分析】将抛物线的一般式配方成为顶点式，可确定顶点坐标及对称轴． 【详解】解：∵223623(1)5y x x x =-++=--+， ∴抛物线顶点坐标为(1,5)，对称轴为1x =． 故选：C ．本题考查了二次函数的性质．抛物线2()y a x h k =-+的顶点坐标为（h ，k ），对称轴为x ＝h ．【变式1-2】（2019·浙江中考真题）已知抛物线224y x x c =-+与x 轴有两个不同的交点.(1)求c 的取值范围；(2)若抛物线224y x x c =-+经过点()2,A m 和点()3,B n ，试比较m 与n 的大小，并说明理由. 【答案】(1) c 的取值范围是2c <； (2)m n <. 理由见解析. 【解析】 【分析】（1）由二次函数与x 轴交点情况，可知△＞0；（2）求出抛物线对称轴为直线x=1，由于A （2，m ）和点B （3，n ）都在对称轴的右侧，即可求解； 【详解】(1)()2244816 8b ac c c -=--=-. 由题意，得240b ac ->， ∴16 80c ->∴c 的取值范围是2c <. (2)m n <. 理由如下:∵抛物线的对称轴为直线1x =， 又∵20a =>，∴当1x ≥时，y 随x 的增大而增大. ∵23<，∴m n <. 【点睛】本题考查二次函数图象及性质；熟练掌握二次函数对称轴，函数图象的增减性是解题的关键． 【考点2】抛物线的平移与解析式的确定【例2-1】（2019·山东中考真题）将抛物线265y x x =-+向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ） A ．2(4)6y x =-- B ．2(1)3y x =-- C ．2(2)2y x =-- D ．2(4)2y x =--【答案】D【分析】由平移可知，抛物线的开口方向和大小不变，顶点改变，将抛物线化为顶点式，求出顶点，再由平移求出新的顶点，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式． 【详解】解：()226534y x x x =-+=--，即抛物线的顶点坐标为()3,4-，把点()3,4-向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为()4,2-， 所以平移后得到的抛物线解析式为()242y x =--． 故选：D ． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．【例2-2】（2019·山西中考真题）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A ，B 两点，拱高为78米(即最高点O 到AB 的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O 为坐标原点，以平行于AB 的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为( )A ．226675y x =B ．226675y x =-C ．2131350y x =D ．2131350y x =-【答案】B 【解析】 【分析】设抛物线解析式为y=ax 2，由已知可得点B 坐标为(45，-78)，利用待定系数法进行求解即可. 【详解】∵拱高为78米(即最高点O 到AB 的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O 为坐标原点，以平行于AB 的直线为x 轴建立平面直角坐标系， ∴设抛物线解析式为y=ax 2，点B(45，-78)， ∴-78=452a ， 解得：a=26675-， ∴此抛物线钢拱的函数表达式为226675y x =-， 故选B. 【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.【变式2-1】（2019·西藏中考真题）把函数212y x =-的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数()21112y x =--+的图象（ ）A ．向左平移1个单位，再向下平移1个单位B ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位C ．向右平移1个单位，再向上平移1个单位D ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线顶点的变换规律作出正确的选项． 【详解】 抛物线212y x =-的顶点坐标是00（，），抛物线线()21112y x =--+的顶点坐标是11（，）， 所以将顶点00（，）向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到顶点11（，）， 即将函数212y x =-的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数()21112y x =--+的图象． 故选：C ． 【点睛】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．【变式2-2】（2019·江苏中考真题）已知二次函数的图象经过点(2,2)P ，顶点为(0,0)O 将该图象向右平移，当它再次经过点P 时，所得抛物线的函数表达式为__． 【答案】21(4)2y x =-． 【解析】 【分析】设原来的抛物线解析式为：2y ax =．利用待定系数法确定函数关系式；然后利用平移规律得到平移后的解析式，将点P 的坐标代入即可． 【详解】设原来的抛物线解析式为：2y ax =(0)a ≠，把(2,2)P 代入，得24a =， 解得12a =， 故原来的抛物线解析式是：212y x =， 设平移后的抛物线解析式为：21()2y x b =-，把(2,2)P 代入，得212(2)2b =-，解得0b =(舍去)或4b =， 所以平移后抛物线的解析式是：21(4)2y x =-， 故答案是：21(4)2y x =-． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征．利用待定系数法确定原来函数关系式是解题的关键．【变式2-3】（2019·浙江中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线(5)(3)y x x =+-经过变换后得到抛物线(3)(5)y x x =+-，则这个变换可以是（ ） A ．向左平移2个单位 B ．向右平移2个单位 C ．向左平移8个单位D ．向右平移8个单位【答案】B 【解析】 【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律． 【详解】y=（x+5）（x-3）=（x+1）2-16，顶点坐标是（-1，-16）． y=（x+3）（x-5）=（x-1）2-16，顶点坐标是（1，-16）．所以将抛物线y=（x+5）（x-3）向右平移2个单位长度得到抛物线y=（x+3）（x-5）， 故选B ． 【点睛】此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．【变式2-4】（2019·四川中考真题）将抛物线23)2y x＝(﹣﹣向左平移_______个单位后经过点(22)A ，． 【答案】3 【解析】 【分析】直接利用二次函数的平移规律结合二次函数图象上点的性质进而得出答案． 【详解】解：∵将抛物线232y x ＝（﹣）﹣向左平移后经过点22A （，）， ∴设平移后解析式为：232y x a +＝（﹣）﹣， 则22232a +＝（﹣）﹣，解得：3a ＝或1a ＝﹣（不合题意舍去）， 故将抛物线232y x ＝（﹣）﹣向左平移3个单位后经过点22A （，）． 故答案为：3． 【点睛】考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键． 【考点3】二次函数的图象与字母系数的关系【例3】（2019·辽宁中考真题）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，现给出下列结论：①0abc >；②930a b c ++=；③248b ac a -<；④50a b c ++>．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】根据图象可直接判断a 、c 的符号，再结合对称轴的位置可判断b 的符号，进而可判断①； 抛物线的图象过点（3，0），代入抛物线的解析式可判断②；根据抛物线顶点的位置可知：顶点的纵坐标小于－2，整理后可判断③； 根据图象可知顶点的横坐标大于1，整理后再结合③的结论即可判断④. 【详解】解：①由图象可知：0a >，0c <，由于对称轴02ba->，∴0b <，∴0abc >，故①正确； ②∵抛物线过(3,0)，∴3x =时，930y a b c =++=，故②正确；③顶点坐标为：24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.由图象可知：2424ac b a -<-，∵0a >，∴248ac b a -<-，即248b ac a ->，故③错误；④由图象可知：12ba->，0a >，∴20a b +<， ∵930a b c ++=，∴93c a b =--，∴5593422(2)0a b c a b a b a b a b ++=+--=--=-+>，故④正确； 故选：C ． 【点睛】本题考查了抛物线的图象与性质和抛物线的图象与其系数的关系，熟练掌握抛物线的图象与性质、灵活运用数形结合的思想方法是解题的关键.【变式3-1】（2019·浙江中考真题）小飞研究二次函数y=-(x-m)2-m+1(m 为常数)性质时如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y=-x+1上；②存在一个m 的值，使得函数图象的顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点A(x 1,y 1)与点B(x 2,y 2)在函数图象上，若x 1<x 2，x 1+x 2>2m ，则y 1<y 2；④当-1<x<2时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围为m≥2其中错误结论的序号是（ ） A ．① B ．②C ．③D ．④【答案】C 【解析】 【分析】把顶点坐标代入y=-x+1即可判断①；根据勾股定理即可判断②；根据在对称轴的右边y 随x 的增大而减小可判断③；；根据在对称轴的右边y 随x 的增大而增大可判断④. 【详解】把（m ，-m+1）代入y=-x+1，-m+1=-m+1，左=右，故①正确； 当-(x-m)2-m+1=0时，x 1=, x 2=,若顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形， 则1-m+(1-m)2+1-m+(1-m)2=4(1-m)，即m 2-m=0，∴m=0或1时，∴存在一个m 的值，使得函数图象的顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形；故②正确； 当x 1<x 2，且x 1、x 2在对称轴右侧时，∵-1<0, ∴在对称轴右侧y 随x 的增大而减小，即y 1>y 2，故③错误； ∵-1<0, ∴在对称轴左侧y 随x 的增大而增大， ∴m≥2，故④正确. 故选C. 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，勾股定理，二次函数与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的图像与性质是解答本体的关键. 对于二次函数y=a (x -h )2+k （a ，b ，c 为常数，a ≠0），当a >0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大；当a <0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧y 随x 的增大而减小.其顶点坐标是(h ，k )，对称轴为直线x =h .【变式3-2】（2019·广西中考真题）已知抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴是直线1x =，其部分图象如图所示，下列说法中：①0abc <；②0a b c -+<；③30a c +=；④当13x -<<时，0y >，正确的是_____（填写序号）．【答案】①③④． 【解析】 【分析】首先根据二次函数图象开口方向可得0a ＜ ，根据图象与y 轴交点可得0c ＞，再根据二次函数的对称轴b12a x ＝﹣＝，结合a 的取值可判定出b>0，根据a,b,c 的正负即可判断出①的正误；把1x ＝﹣代入函数关系式2y ax bx c y a b c +++＝中得＝﹣，再根据对称性判断出②的正误；把2b a a b c +＝﹣代入﹣ 中即可判断出③的正误；利用图象可以直接看出④的正误． 【详解】解：根据图象可得：00a c ＜，＞ ， 对称轴：b12ax ＝﹣＝， 2b a ∴＝﹣， 0a Q ＜， 0b ∴＞，， 0abc ∴＜，故①正确； 把1x ＝﹣ 代入函数关系式2y ax bx c y ab c +++＝中得：＝﹣， 由抛物线的对称轴是直线130x ＝，且过点（，），可得当10x y ＝﹣时，＝， 0a b c ∴+﹣＝，故②错误； 2b a Q ＝﹣， a--2a +c=0∴（）， 即：30a c +＝，故③正确；由图形可以直接看出④正确．故答案为①③④．【点睛】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a 决定抛物线的开口方向，当0a ＞ 时，抛物线向上开口；当0a ＜ 时，抛物线向下开口；②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即0ab ＜），对称轴在y 轴左侧； 当a 与b 异号时（即0ab ＜），对称轴在y 轴右侧．（简称：左同右异）；③常数项c 决定抛物线与y 轴交点，抛物线与y 轴交于0c （，）． 【考点4】二次函数的应用【例4】（2019·辽宁中考真题）某商场销售一种商品的进价为每件30元，销售过程中发现月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系如图所示．（1）根据图象直接写出y 与x 之间的函数关系式．（2）设这种商品月利润为W （元），求W 与x 之间的函数关系式．（3）这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？【答案】（1）y ＝180(4060)3300(6090)x x x x -+≤≤⎧⎨-+<≤⎩；（2）W ＝222105400(4060)33909000(6090)x x x x x x ⎧-+-≤≤⎨-+-<≤⎩;（3）这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675．【解析】【分析】（1）当40≤x≤60时，设y 与x 之间的函数关系式为y=kx+b ，当60＜x≤90时，设y 与x 之间的函数关系式为y=mx+n ，解方程组即可得到结论；（2）当40≤x≤60时，当60＜x≤90时，根据题意即可得到函数解析式；（3）当40≤x≤60时，W=-x 2+210x-5400，得到当x=60时，W 最大=-602+210×60-5400=3600，当60＜x≤90时，W=-3x 2+390x-9000，得到当x=65时，W 最大=-3×652+390×65-9000=3675，于是得到结论．【详解】解：（1）当40≤x≤60时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，将（40，140），（60，120）代入得40140 60120k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：1180 kb=-⎧⎨=⎩，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+180；当60＜x≤90时，设y与x之间的函数关系式为y＝mx+n，将（90，30），（60，120）代入得9030 60120m nm n+=⎧⎨+=⎩，解得：3300 mn=-⎧⎨=⎩，∴y＝﹣3x+300；综上所述，y＝180(4060) 3300(6090)x xx x-+≤≤⎧⎨-+<≤⎩；（2）当40≤x≤60时，W＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣x+180）＝﹣x2+210x﹣5400，当60＜x≤90时，W＝（x﹣30）（﹣3x+300）＝﹣3x2+390x﹣9000，综上所述，W＝222105400(4060) 33909000(6090)x x xx x x⎧-+-≤≤⎨-+-<≤⎩；（3）当40≤x≤60时，W＝﹣x2+210x﹣5400，∵﹣1＜0，对称轴x＝2102--＝105，∴当40≤x≤60时，W随x的增大而增大，∴当x＝60时，W最大＝﹣602+210×60﹣5400＝3600，当60＜x≤90时，W＝﹣3x2+390x﹣9000，∵﹣3＜0，对称轴x＝3906--＝65，∵60＜x≤90，∴当x＝65时，W最大＝﹣3×652+390×65﹣9000＝3675，∵3675＞3600，∴当x ＝65时，W 最大＝3675，答：这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675．【点睛】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．根据题意分情况建立二次函数的模型是解题的关键．【变式4-1】（2019·山东中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h (单位：m )与小球运动时间t (单位：s )之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是40m ；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度30h m =时， 1.5t s =．其中正确的是( )A ．①④B ．①②C ．②③④D ．②③【答案】D【解析】【分析】 根据函数的图象中的信息判断即可．【详解】①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m ；故①错误；②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确；④设函数解析式为：()2340h a t =-+，把()0,0O 代入得()200340a =-+，解得409a =-， ∴函数解析式为()2403409h t =--+， 把30h =代入解析式得，()240303409t =--+， 解得： 4.5t =或 1.5t =，∴小球的高度30h m =时， 1.5t s =或4.5s ，故④错误；故选D．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解此题的关键是正确的理解题意【变式4-3】（2019·江苏中考真题）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°．若新建墙BC与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是（）A．18m2B．183m2C．243m2D．453m2【答案】C【解析】【分析】过点C作CE⊥AB于E，则四边形ADCE为矩形，CD=AE=x，∠DCE=∠CEB=90°，则∠BCE=∠BCD-∠DCE=30°，BC=12-x，由直角三角形的，性质得出11BE BC6x22==-得出311AD CE3BE63x,AB AE BE x6x x622===-=+=+-=+，又梯形面积公式求出梯形ABCD的面积S与x之间的函数关系式，根据二次函数的性质求解.【详解】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，则四边形ADCE为矩形，CD=AE=x，∠DCE=∠CEB=90°，则∠BCE=∠BCD-∠DCE=30°，BC=12-x，在Rt△CBE中，∵∠CEB=90°，11BE BC6x22∴==-11AD CE AE BE x 6x x 622∴====+=+-=+ ∴梯形ABCD 面积2111S (CD AB)CE x x 6x 2222888⎛⎫⎛⎫=+⋅=++⋅=-++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2(4)x -+∴当x=4时，S 最大．即CD 长为4 m 时，使梯形储料场ABCD 的面积最大为24m 2；故选C ．【点睛】此题考查了梯性质、矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、二次函数的运用,利用梯形的面积建立二次函数是解题的关键 【变式4-3】（2019·湖南中考真题）某政府工作报告中强调，2019年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店,A B 两种湘莲礼盒一个月的销售情况，A 种湘莲礼盒进价72元/盒，售价120元/盒，B 种湘莲礼盒进价40元/盒，售价80元/盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元，平均每天的总利润为1280元．（1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？（2）小亮调査发现，A 种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒．若B 种湘莲礼盒的售价和销量不变，当A 种湘莲礼盒降价多少元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？【答案】（1）该店平均每天销售A 礼盒10盒，B 种礼盒为20盒；（2）当A 种湘莲礼盒降价9元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是1307元．【解析】【分析】（1）根据题意，可设平均每天销售A 礼盒x 盒，B 种礼盒为y 盒，列二元一次方程组即可解题 （2）根据题意，可设A 种礼盒降价m 元/盒，则A 种礼盒的销售量为：（103m +）盒，再列出关系式即可． 【详解】解：（1）根据题意，可设平均每天销售A 礼盒x 盒，B 种礼盒为y 盒，则有(12072)(8040)1280120802800x y x y -+-=⎧⎨+=⎩，解得1020x y =⎧⎨=⎩ 故该店平均每天销售A 礼盒10盒，B 种礼盒为20盒．（2）设A 种湘莲礼盒降价m 元/盒，利润为W 元，依题意 总利润(12072)108003m W m ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭化简得221161280(9)130733W m m m =-++=--+∵103a =-< ∴当9m =时，取得最大值为1307，故当A 种湘莲礼盒降价9元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是1307元．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．【达标训练】1．（2019·广西中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线1x =，则下列结论中，错误的是（ ）A ．0ac <B ．240b ac ->C ．20a b -=D ．0a b c -+=【答案】C【解析】【分析】 由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】A 、由抛物线的开口向下知0a <，与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，可得0c >，因此0ac <，故本选项正确，不符合题意；B 、由抛物线与x 轴有两个交点，可得240b ac ->，故本选项正确，不符合题意；C 、由对称轴为12b x a=-=，得2a b =-，即20a b +=，故本选项错误，符合题意； D 、由对称轴为1x =及抛物线过(3,0)，可得抛物线与x 轴的另外一个交点是(1,0)-，所以0a b c -+=，故本选项正确，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系．会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．2．（2019·内蒙古中考真题）二次函数2y ax ＝与一次函数y ax a +＝在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】由一次函数y=ax+a 可知，一次函数的图象与x 轴交于点（-1，0），即可排除A 、B ，然后根据二次函数的开口方向，与y 轴的交点；一次函数经过的象限，与y 轴的交点可得相关图象进行判断．【详解】解：由一次函数y ax a +＝可知，一次函数的图象与x 轴交于点10-（，），排除A B 、；当a 0＞时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三、四象限，当a 0＜时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除C ；故选D ．【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和一次函数的图象与系数之间的关系．3．（2019·浙江中考真题）二次函数2(1)3y x =-+图象的顶点坐标是（ ）A ．(1,3)B ．(1,3)-C ．(1,3)-D ．(1,3)--【答案】A【解析】【分析】 根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标.【详解】∵2(1)3y x =-+，∴二次函数图像顶点坐标为：(1,3).故答案为：A.【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a （x-h ）2+k 中，对称轴为x=h ，顶点坐标为（h ，k ）．4．（2019·黑龙江中考真题）将抛物线22y x =向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）.A ．22(2)3y x =++；B ．22(2)3y x =-+；C ．22(2)3y x =--；D ．22(2)3y x =+-.【答案】B【解析】【分析】根据抛物线图像的平移规律“左加右减，上加下减”即可确定平移后的抛物线解析式.【详解】解：将抛物线22y x =向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为()2223y x =-+，故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的平移规律，熟练掌握其平移规律是解题的关键.5．（2019·福建中考真题）若二次函数y =|a |x 2+bx+c 的图象经过A(m ,n )、B(0,y 1)、C(3－m ,n )、, y 2)、E(2,y 3)，则y 1、y 2、y 3的大小关系是( ).A ．y 1< y 2< y 3B ．y 1 < y 3< y 2C ．y 3< y 2< y 1D ．y 2< y 3< y 1 【答案】D【解析】【分析】由点A （m ，n ）、C （3−m ，n ）的对称性，可求函数的对称轴为x ＝32，再由B （0，y 1）、D ，y 2）、E （2，y 3）与对称轴的距离，即可判断y 2< y 3< y 1；【详解】解答：解：∵经过A （m ，n ）、C （3−m ，n ），∴二次函数的对称轴x ＝32，∵B （0，y 1）、D y 2）、E （2，y 3）与对称轴的距离B 最远，D 最近，∵|a|＞0，∴y 2< y 3< y 1；故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数图象上点的特征是解题的关键．6．（2019·辽宁中考真题）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，现给出下列结论：①0abc >；②930a b c ++=；③248b ac a -<；④50a b c ++>．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】 根据图象可直接判断a 、c 的符号，再结合对称轴的位置可判断b 的符号，进而可判断①；抛物线的图象过点（3，0），代入抛物线的解析式可判断②；根据抛物线顶点的位置可知：顶点的纵坐标小于－2，整理后可判断③；根据图象可知顶点的横坐标大于1，整理后再结合③的结论即可判断④.【详解】解：①由图象可知：0a >，0c <，由于对称轴02b a->，∴0b <，∴0abc >，故①正确； ②∵抛物线过(3,0)，∴3x =时，930y a b c =++=，故②正确； ③顶点坐标为：24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.由图象可知：2424acb a -<-，∵0a >，∴248ac b a -<-，即248b ac a ->，故③错误； ④由图象可知：12b a->，0a >，∴20a b +<， ∵930a b c ++=，∴93c a b =--，∴5593422(2)0a b c a b a b a b a b ++=+--=--=-+>，故④正确；故选：C ．【点睛】本题考查了抛物线的图象与性质和抛物线的图象与其系数的关系，熟练掌握抛物线的图象与性质、灵活运用数形结合的思想方法是解题的关键.7．（2019·四川中考真题）二次函数2y ax bx c ++＝的部分图象如图所示，有以下结论：①30a b ﹣＝；②240b ac ﹣＞；③520ab c +﹣＞；④430b c +＞，其中错误结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A【解析】【分析】 ①对称轴为32x =-，得3b a ＝； ②函数图象与x 轴有两个不同的交点，得240b ac ∆＝﹣＞；③当1x ＝-时，0a b c +﹣＞，当3x ＝-时，930a b c +﹣＞，得520a b c +﹣＞；④由对称性可知1x ＝时对应的y 值与4x ＝-时对应的y 值相等，当1x ＝时0433333330a b c b c b b c b a c a b c +++++++++＜，＝＝＝（）＜【详解】解：由图象可知00a c ＜，＞，对称轴为32x =-， 322b x a∴=-=-， 3,b a ∴=，①正确；∵函数图象与x 轴有两个不同的交点，240b ac ∴∆＝﹣＞，， ②正确；当1x ＝﹣时，0a b c +-＞，当3x ＝-时，930a b c +﹣＞，10420a b c ∴+﹣＞，520a b c ∴+﹣＞，③正确；由对称性可知1x ＝时对应的y 值与4x ＝-时对应的y 值相等，∴当1x ＝时0a b c ++＜，3b a Q ＝，433333330b c b b c b a c a b c ∴+++++++＝＝＝（）＜，430b c ∴+＜，④错误；故选：A ．【点睛】考查二次函数的图象及性质；熟练掌握从函数图象获取信息，将信息与函数解析式相结合解题是关键．8．（2019·广东中考真题）已知2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图，则y ax b =+和c y x=的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】根据二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象可以得到a ＜0，b ＞0，c ＜0，由此可以判定y=ax+b 经过一、二、四象限，双曲线c y x =在二、四象限． 【详解】根据二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象，可得a ＜0，b ＞0，c ＜0，∴y=ax+b 过一、二、四象限，双曲线c y x=在二、四象限，∴C 是正确的．故选C ．【点睛】此题考查一次函数，二次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系．9．（2019·重庆中考真题）抛物线2362y x x =-++的对称轴是（ ）A ．直线2x =B ．直线2x =-C ．直线1x =D ．直线1x =-【答案】C【解析】【分析】 将抛物线的一般式配方成为顶点式，可确定顶点坐标及对称轴．【详解】解：∵223623(1)5y x x x =-++=--+，∴抛物线顶点坐标为(1,5)，对称轴为1x =．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的性质．抛物线2()y a x h k =-+的顶点坐标为（h ，k ），对称轴为x ＝h ． 10．（2019·浙江中考真题）已知,a b 是非零实数，a b >，在同一平面直角坐标系中，二次函数21y ax bx =＋与一次函数2y ax b =＋的大致图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】采用赋值法，选取符合图形条件的未知数的值，再采用排除法即可确定答案.【详解】解答本题可采用赋值法. 取2,1a b ==，可知A 选项是可能的；取2,1a b ==-，可知B 选项是可能的；取2,1a b =-=-，可知C 选项是可能的，那么根据排除法，可知D 选项是不可能的.故选：D.【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点．11．（2019·四川中考真题）如图，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点()1,0A ，()5,0B ，下列说法正确的是（ ）A ．0c <B ．240b ac -<C ．0a b c -+<D ．图象的对称轴是直线3x =【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的图像与性质即可求解.【详解】 由图象可知图象与y 轴交点位于y 轴正半轴，故c>0. A 选项错误；函数图象与x 轴有两个交点，所以24b ac -＞0，B 选项错误；观察图象可知x ＝－1时y=a －b ＋c ＞0，所以a －b ＋c ＞0，C 选项错误；根据图象与x 轴交点可知，对称轴是（1,0）.（5,0）两点的中垂线，152x +=， x ＝3即为函数对称轴，D 选项正确；【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知二次函数的图像.12．（2019·浙江中考真题）在平面直角坐标系中，已知a b ¹，设函数()()y x a x b =++的图像与x 轴有M 个交点，函数()()11y ax bx =++的图像与x 轴有N 个交点，则（ ）A ．1M N =-或1M N =+B ．1M N =-或2M N =+C ．M N =或1M N =+D ．M N =或1M N =-【答案】C【解析】【分析】先根据函数()()y x a x b =++的图像与x 轴有M 个交点解得2M =，再对a ，b 分情况讨论，求得答案.【详解】对于函数()()y x a x b =++，当0y =时，函数与x 轴两交点为（－a ，0）、（－b ，0），∵a b ¹，所以有2个交点，故2M =对于函数()()11y ax bx =++ ①0a b ≠≠，交点为11(,0),(,0)a b--，此时2N M N =⇒= ②0,0a b =≠，交点为1(,0)b-，此时11N M N =⇒=+ ③0,0b a =≠，交点为1(,0)a -，此时11N M N =⇒=+ 综上所述，M N =或1M N =+故选C.【点睛】本题考查二次函数与坐标轴的交点，解题的关键是分情况讨论a ，b.13．（2019·四川中考真题）已知二次函数(1)(1)37y x a x a a =---+-+(其中x 是自变量)的图象与x 轴没有公共点，且当1x <-时，y 随x 的增大而减小，则实数a 的取值范围是( )A ．2a <B ．1a >-C ．12a -<≤D ．12a -≤<【答案】D【分析】由抛物线与x 轴没有公共点，可得∆<0，求得2a <，求出抛物线的对称轴为直线x a =，抛物线开口向上，再结合已知当1x <-时，y 随x 的增大而减小，可得1a ≥-，据此即可求得答案.【详解】(1)(1)37y x a x a a =---+-+22236x ax a a =-+-+，Q 抛物线与x 轴没有公共点，22(2)4(36)0a a a ∴∆=---+<，解得2a <，Q 抛物线的对称轴为直线 22a x a -=-=，抛物线开口向上， 而当1x <-时，y 随x 的增大而减小，1a ∴≥-，∴实数a 的取值范围是12a -≤<，故选D ．【点睛】本题考查了二次函数图象与x 轴交点问题，抛物线的对称轴，二次函数图象的增减性，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.14．（2019·四川中考真题）已知抛物线21y x =-与y 轴交于点A ，与直线y kx =（k 为任意实数）相交于B ，C 两点，则下列结论不正确的是（ ）A ．存在实数k ，使得ABC ∆为等腰三角形B ．存在实数k ，使得ABC ∆的内角中有两角分别为30°和60°C ．任意实数k ，使得ABC ∆都为直角三角形D ．存在实数k ，使得ABC ∆为等边三角形【答案】D【解析】【分析】通过二次函数和正比例函数图象，等边三角形和直角三角形的判定可解答．【详解】解：A 、如图1，可以得ABC ∆C 为等腰三角形，正确；∆的内角中有两角分别为30°和60°，正确；B、如图3，30ACB︒∠=，60ABC︒∠=，可以得ABC∆为直角三角形，正确；C、如图2和3，90BAC︒∠=，可以得ABC∆为等边三角形，不正确；D、不存在实数k，使得ABC本题选择结论不正确的，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数和正比例函数图象，等边三角形和直角三角形的判定，正确画图是关键．。
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2020年中考数学复习专题训练——二次函数的图像与性质考点1：二次函数的顶点、对称轴、增减性1.关于二次函数y=2x2+4x-1，下列说确的是( )A.图像与y轴的交点坐标为（0，1）B.图像的对称轴在y轴的右侧C.当时，x<0的值随y值的增大而减小D.y的最小值为-32.如图，函数y=ax2-2x+1和y=ax-a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是( )3.已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：x-1 0 1 3y-3 1 3 1下列结论：①抛物线的开口向下;②其图象的对称轴为x=1;③当x<1时,函数值y随x的增大而增大;④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4,其中正确的结论有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4.已知二次函数y=-(x-h)2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y 的最大值为-1，则h的值为( )A.3或6B.1或6C.1或3D.4或65.当a≤x≤a+1时，函数y=x2-2x+1的最小值为1，则a的值为（）A.-1B.2C.0或2D.-1或26.对于抛物线y=ax2+(2a-1)x+a-3，当x=1时，y，则这条抛物线的顶点一定在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限考点2：抛物线特征和a,b,c的关系1.已知二次函数图形如图所示，下列结论：①abc；②；③；④点(-3,y1),(1,y2) 都在抛物线上，则有y1y2. 其中正确的结论有( )A.4个B.3个C.2个D.1个2.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,且过点A(3,0),二次函数图象的对称轴是直线x=1,下列结论正确的是( )A.b2<4acB.ac>0C.2a−b=0D.a−b+c=03.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），下列结论：①2a-b=0；②；③当-1，y 0；④当a=1，将抛物线先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线y=-2，其中正确的是( )A. ①③B. ②③C. ②④D. ③④4.抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论错误的是（）A．abc＜0 B．a+c＜b C．b2+8a＞4ac D．2a+b＞0考点3：抛物线的平移、旋转、轴对称1.把抛物线y=2x2-4x+3向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为_____.2.将抛物线y=-5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为( )A.y=-5(x+1)2-1B.y=-5(x-1)2-1C.y=-5(x+1)2+3D.y=-5(x-1)2+33.已知抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移a(a>0)个单位长度，平移后的抛物线与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C 是线段AD的三等分点，则点C的坐标为_____.4.抛物线y=（x﹣2）2﹣1可以由抛物线y=x2平移而得到，下列平移正确的是（）A．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度B．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度C．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度D．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度5.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2,称此抛物线为定弦抛物线,已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1,将此抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到的抛物线过点( )A.(-3,-6)B.(-3,0)C.(-3,-5)D.(-3,-1)考点4：二次函数与方程、不等式的关系1.二次函数y=x2+2x−m的图象与x轴有且只有1个交点，则m的值为___.2.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)经过点(-1,0),(0,3),其对称轴在y轴右侧,有下列结论:①抛物线经过点(1,0);②方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根;③-3<a+b<3.其中,正确结论的个数为( )A.0B.1C.2D.33.如图，若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B(﹣1，0)，则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3．其中正确的个数是( )A．1 B．2 C．3 D． 44. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（-2，-9a），下列结论：①4a+2b+c＞0；②5a-b+c=0；③若方程a(x+5)(x-1)=-1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则-5＜x1＜x2＜1；④若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为-4．其中正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个1m-1的图象与x轴有交点，则m的取值围是（）5.已知二次函数y=x2-x+4A.m≤5B.m≥2C.m＜5D.m＞2二次函数的综合应用考点1：线段、周长问题1.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2. 如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于E．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，求线段DE长度的最大值；3．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A（，0）和点B，交y轴于点C（0，4），一次函数y＝kx+m 的图象经过点B，C，点P是抛物线上第二象限一点．（1）求二次函数和一次函数的表达式；（2）过点P作x轴的平行线交BC于点D，作BC的垂线PM交BC于点M，设点P的横坐标为t，△PDM 的周长为l．①求l关于t的函数表达式；②求△PDM的周长的最大值时点P的横坐标；考点2：图形面积问题1. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值；2.如图，抛物线y=a(x-1)(x-3)（a>0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．（1）求线段OC的长度；（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点3：特殊三角形的存在性问题1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在请说明理由．2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点4：特殊四边形的存在性问题1.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由2. 如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A(-4，0)，与y轴交于点C，抛物线y=-x2+bx+c经过点A，C.(1)求抛物线的解析式；()如图2所示，M是线段OA上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N.②若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一动点，在坐标平面是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D坐标，若不存在请说明理由.3.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=a-2ax-3a与x轴交于A，B两点（点A在点B 的左侧），经过点A的直线y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD =4AC.⑴求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴。
(2)设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由。
考点5：相似三角形的存在性问题1.如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A(-4，0)，与y轴交于点C，抛物线y=-x2+bx+c经过点A，C.(1)求抛物线的解析式；(2)如图2所示，M是线段OA上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N.若以C，P，N为顶点的三角形与相似，求CPN的面积．。