部编版人教初中数学九年级上册《24.2.2 第2课时 切线的判定与性 教学设计》精品教案
人教版九年级上册24.2.2切线的判定和性质说课稿(第二课时)
24.2.2切线的判定和性质说课稿（第二课时）尊敬的各位评委老师：大家好！我说课的内容是人教版教科书《数学》九年级上册第24.2.2《切线的判定和性质》.下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点及突破策略、教法与学法、教学过程等方面进行具体阐述.一、教材分析切线的判定和性质是九年级上册第二十四章第二节第二课时的内容，是学生已经学习了直线和圆的三种位置关系之后提出来的，切线的判定定理和性质定理是研究三角形的内切圆、切线长定理以及后面研究正多边形与圆的关系的基础，所以本节课起到承上启下的作用,在初中平面几何教学中占有重要的地位.二、学情分析本节课是在已经学习了等腰三角形和直角三角形的性质、圆的相关概念及性质基础上展开的，因此学生已经具有一定的的逻辑推理能力，并会用自己的语言加以简单描述，为本节的深入学习奠定了基础，所以这节课多让学生自主探究，让他们主动参与、勤于思考，归纳总结出切线的判定方法.可能存在的问题：切线的判定定理与性质定理互为逆定理，学生在理解与应用时可能存在困难，应该重点强调.三、教学目标分析1.知识与技能（1）能用“数量关系”确定“位置关系”的方法推导切线的判定定理，能判定一条直线是否为圆的切线；能从逆向思维的角度理解切线的性质定理.（2）掌握切线的判定定理和性质定理，并能运用圆的切线的判定和性质，解决相关的计算与证明问题.2.过程与方法（1）探究切线的判定定理和性质定理，掌握切线的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题.（2）解决与圆的切线相关的问题时，学会从“数形结合”的角度去思考，学会添加辅助线的方法，学会从反面去思考，发挥逆向思维的作用.3.情感态度与价值观经历数学知识的探索和发现过程，体验几何学习中“说理”的乐趣，感受数学思维的严谨性和数学结论的的确定性.四、教学重难点及突破策略教学重点：探索圆的切线的判定和性质，并能运用它们解决与圆的切线相关的计算和证明等问题.教学难点：探索圆的切线的判定方法和解决相关问题时怎样添加辅助线.突破措施：1.通过问题细化，将学生分组学习、练习、学生板演、教师讲解等方式突破重点.2.教材整合：结合教学实际及中考要求，将教材内容略作调整,当探究出判定后，为了提高学生对所学知识的应用能力，我特增加了例1和例2，让学生总结出“证明一条直线是圆的切线时，常常添加辅助线的两种方法”，即“连半径、证垂直；作垂直、证半径”.帮助学生进一步深化理解切线的判定定理，实现学以致用，突破本节课的难点.五、教法与学法教法上：本节主要采用探究式和讲练结合的方法教学，通过探究，从交换切线判定定理和性质定理的条件和结论，引出新的命题，知识的探究和形成显得自然流畅.另外，解决这个问题的方法是从反面思考，从中训练学生的逆向思维，强调切线的判定定理必须具备两个条件：一是经过半径的外端；二是垂直于这条半径.教师引导学生自主探究，并帮助学生进行课堂讲解，给予合理的评价，激发学生的学习兴趣，调动学生的课堂积极性.学法上：在对直线与圆相对运动的探索过程中掌握切线的概念，通过作图去感受“直线与圆相切”这种位置关系与“点到直线的距离”中的数形结合，同时要注意文字语言、图形语言和符号语言的相互转化，深刻理解切线的判定定理.充分发挥小组作用，采取小组合作学习的形式，在小组内进行交流、讨论、讲解，再面向全班讲解，让学生自主学习，理解本课内容.六、教学过程（一）复习旧知，引入新课1.直线和圆有哪些位置关系？2.什么叫相切？3.我们学习过哪些切线的判断方法？（二）探究新知活动一、如图，在⊙O中经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA,则圆心O到直线l 的距离是多少？直线l 和⊙O有什么位置关系?切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．问题：1.当你在下雨天，快速转动雨伞时水飞出的方向是什么方向？2.砂轮打磨工件飞出火星的方向是什么方向？活动二、典例讲解例1 如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，求证：直线AB 是⊙O的切线.例1图例2图证明：连接OC. ∵OA=OB，CA=CB∴△OAB是等腰三角形，OC是底边AB 上的中线. ∴OC⊥AB. ∴AB是⊙O的切线.例2：已知O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O.求证：⊙O与AC相切.证明：过O作OE⊥AC于E. ∵ AO平分∠BAC，OD⊥AB ∴ OE＝OD∵ OD是⊙O的半径∴ AC是⊙O的切线。
人教版九年级数学上册教案：24.2.2 圆的切线的判定与性质(2)课堂教学设计-最新教育文档
板书设计及课堂小结：
课堂小结
1..切线的判定定理:
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
二、切线的性质定理
【思考】切线的判定定理的逆命题是什么?你能用反证法证明吗?
【师生活动】学生回答判定定理的逆命题,并把命题转化成几何语言,教师引导用反证法证明.
已知:如图所示,直线l是☉O的切线,切点为A.
求证:半径OA与直线l垂直.
证明:假设OA与l不垂直,过点O作OM⊥l,垂足为M,根据垂线段最短的性质,有OM<OA,这说明圆心O到直线l的距离小于半径OA,于是直线l与圆相交,而这与直线l是☉O的切线矛盾.因此,半径OA与直线l垂直.
【课件1】切线的判定定理:
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
共同探究2:
1.动手操作:画一个☉O及半径OA,过点A作直线l⊥OA.
2.观察所画图形,猜想直线l与☉O的位置关系是什么?你能证明你的猜想吗?
3.根据操作过程和结论可知,该命题的条件和结论分别是什么?
4.你能用语言叙述这个命题吗?
【师生活动】学生动手画图,小组合作交流,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,学生展示后,教师点评.
5.如何证明一条直线是圆的切线?
6.你能举出生活中直线与圆相切的实例吗?
(学生思考回答,教师点评,课件展示结论.)
【课件2】切线的判定定理:
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
人教版九年级数学上册24.2.2切线长定理教案
在难点解析部分，我发现通证明过程有了更清晰的认识。但仍有学生反映在理解证明思路时感到困难。我考虑在下一节课中，引入更多的辅助手段，如动画演示或实物模型，来帮助学生们更好地理解几何证明的思路。
-证明思路：证明过程中涉及到的几何变换和逻辑推理对学生来说是难点。
-举例：在证明过程中，如何通过构造全等三角形和使用圆的性质来推导切线长定理。
-问题解决：学生在应用切线长定理解决具体问题时，往往难以找到合适的解题切入点。
-举例：在求解切线长或证明线段相等的问题时，学生可能不知道如何利用切线长定理来简化问题。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了切线长定理的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对切线长定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决几何问题时灵活运用。如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观与空间观念：通过切线长定理的学习，使学生能够观察和理解几何图形，发展空间想象力，提高解决几何问题的能力。
2.提升学生的逻辑推理与证明能力：引导学生探索切线长定理的证明过程，训练学生运用逻辑推理、几何论证的方法，培养严谨的数学思维。
3.增强学生的解决问题能力：通过切线长定理在具体题目中的应用，让学生掌握解决问题的方法和策略，提高解题效率，形成良好的数学解题习惯。
人教版数学九年级上册第24章圆24.2.2.2切线的判定和性质教案
作课类别课题24.2.2.2切线的判定和性质课型新授教学媒体多媒体教学目标知识技能1.理解切线的判定定理和性质定理, 并能灵活运用.2.会过圆上一点画圆的切线.过程方法以圆心到直线的距离和圆的半径之间的数量关系为依据, 探究切线的判定定理和性质定理, 领会知识的延续性, 层次性.情感态度让学生感受到实际生活中存在的相切关系, 有利于学生把实际的问题抽象成数学模型.教学垂点探索切线的判定定理和性质定理, 并运用.教学难点•探索切线的判定方法教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图一、导语通过上节课的学习, 我们知道, 直线和圆的位置关系有三种：相离、相切、相交.而相切最特殊, 这节课我们专门来研究切线.二、探究新知（一）切线的判定定理1.推导定理：根据“直线和⊙O相切d=r”, 如图所示,因为d=r直线和⊙O相切, 这里的d寔圆心O到直线的距离, 即垂直, 并由d=r就可得到经过半径r的外端, 即半径OA的端点A, 可得切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线寔圆的切线．分析：○1垂直于一条半径的直线有几条？○2经过半径的外端可以做出半径的几条垂线？○3去掉定理中的“经过半径的外端”会怎样？去掉“垂直于半径”呢？思考1：根据上面的判定定理, 要证明一条直线寔⊙O的切线, 需要满足什么条件？总结：①这条直线与⊙O有公共点；②过这点的半径垂直于这条直线．思考2：现在可以用几种方法证明一条直线寔圆的切线？①和圆只有一个公共点的直线寔圆的切线.②到圆心的距离等于半径的直线寔圆的切线.③上面的判定定理.思考3：已知一个圆和圆上的一点, 如何过这个点画出圆的切线？2. 定理应用①完成课本例1分析：已知点C寔直线AB和圆的公共点, 只要证明OC⊥AB即可, 所以需要连接OC,作出半径.知道一条直线经过圆上某一点, 则连接这点和圆心, 证明该直线与所作半径垂直即可.②如图, O为∠BAC平分线上一点, OD⊥AB于D,以O为圆心, 以OD为半径作⊙O.求证：⊙O与AC相切.分析：题中没有给出直线AC与⊙O的公共点, 过点O作直线AC的垂线OE, 证明垂线段OE等于半径OD即可.不知道教师联系近期所学知识,提出问题, 引起学生思考, 为探究本节课定理作铺垫.学生画一个圆, 半径OA,过半径外端点A的切线, 然后将“d=r直线和⊙O相切”尝试改写为切线的判定定理.学生结合老师提出的问题, 思考, 画出反例图形, 进一步理解定理.教师引导学生汇总切线的几种判定方法学生独立思考, 然后小组交流, 教师及时引导点拨画出辅助线, 并规范解题步骤.学生审题, 由本节课知识思考解决方法.通过学生亲自动手画图, 进行探究, 得出结论.通过该问题引起学生思考, 准确理解定理.总结出切线的几种判定方法, 便于以后灵活选择加以运用.引导学生初步应用定理, 培养学生的应用意识,并巩固知识.通过①②的解决,学生体会运用切线的判定定理解决两种不同问题的使用方法, 形成技巧.⇔⇒ll ll⇒l直线和圆有无公共点, 则过圆心作已知直线的垂线,证明垂线段等于半径, 从而证明直线寔圆的切线.○3.如图, 已知Rt△ABC的斜边AB=8cm, AC=4cm．（1）以点C为圆心作圆, 当半径为多长时, 直线AB与⊙C相切？为什么？（2）以点C为圆心, 分别以2cm和4cm为半径作两个圆, 这两个圆与直线AB分别有怎样的位置关系？分析：（1）根据切线的判定定理可知, 要使直线AB与⊙C相切, •那么这条半径应垂直于直线AB, 并且C点到垂足的距离等于半径, 所以只要求出如图所示的CD即可．（2）用d和r的关系进行判定, 或借助图形进行判定．（二）切线的性质定理1.阅读课本96页思考2.如图, CD寔切线, A寔切点, 连结AO与⊙O交于B, 那么AB寔对称轴, 所以沿AB对折图形时, AC与AD垂合, 因此, ∠BAC=∠BAD=90°.因此, 可得切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径．3.切线的性质归纳：①切线和圆只有一个公共点.②切线和圆心的距离等于圆的半径.③上面的性质定理.④经过圆心且垂直于切线的直线必过切点.⑤经过切点垂直于切线的直线必过圆心.（三）综合应用拓展如图, AB为⊙O直径,C寔⊙O上一点,D在AB的延长线上,∠DCB=∠A．（1）CD与⊙O相切吗？若相切, 请证明, 若不相切, 请说明理由．（2）若CD与⊙O相切, 且∠D=30°, BD=10, 求⊙O的半径．三、课堂训练完成课本96页练习四、小结归纳1.切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线寔圆的切线．2.切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．3.常见作辅助线方法五、作业设计作业：复习巩固作业和综合运用为全体学生必做；拓广探索为成绩中上等学生必做. 结合题目特点, 选择合适的判定方法和性质解决问题, 感知作辅助线的必要性.学生阅读课本内容, 尝试说明为什么圆的切线垂直于过切点的半径.教师引导学生汇总切线的性质,全面深化理解切线的性质.学生尝试综合应用切线的判定和性质, 解决问题学生进行练习, 教师巡回检查, 指导学生写出解答过程, 体会方法.让学生尝试归纳, 总结,发言, 体会, 反思, 教师点评汇总使学生理解圆的切线性质使学生全面认识切线的性质, 形成系统.综合应用切线的判定和性质解题, 培养学生的分析能力和解题能力.让学生通过练习进一步理解, 培养学生的应用意识和能力归纳提升, 加强学习反思, 帮助学生养成系统整理知识的习惯巩固深化提高板书设计课题切线的判定切线的性质定理应用1.2.知识归纳常见作辅助线方法教学反思。
人教版数学九年级上册24.2.2切线的概念、切线的判定与性质教案
“切线的判定”教学设计教材分析：“切线的判定”是人教版九年级上册第二十四章第二节第三课的内容，是学生已经学习了直线和圆的三种位置关系之后提出来的。
切线的判定定理、性质定理是研究三角形的内切圆、切线长定理以及后面研究正多边形与圆的关系的基础。
结合学生的实际水平和平时的练习情况，对教材进行了一些处理。
我把圆的切线证明作为本节课的主要内容，切线的性质放在下堂课学习。
学习完切线的判定定理和例1后，引导学生进行例2的探究，与例1结合起来，构成了有关切线证明问题中常见的两种类型，以及常用的两种辅助线作法。
教学目标：1、引导学生自主探究学习，发现切线的判定定理。
2、在定理的发现过程中，让学生体验“观察—猜想—论证—归纳”的数学研究的方法。
3、使学生获得猜想的认识过程以及“添加辅助线”的解决问题的方法，激发学生学习几何的主动性和积极性。
教学重点：切线的判定定理，圆的切线证明。
教学难点：圆的切线证明问题中两种常用辅助线的作法。
教学准备：教师课前制作的多媒体课件。
教学过程：一、复习引入：1.直线与圆有几种位置关系？判断的方法是什么？2.判定一条直线是圆的切线有几种方法？通过复习，我们发现可以用切线的定义来判定一条直线是圆的切线，有两种方法，还有没有其他方法？二、发现定理：给出一个思考：在⊙O中经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA,则圆心O到直线l 的距离是多少？直线l 和⊙O有什么位置关系?请同学们归纳直线l满足了什么条件，才是⊙O的切线。
学生猜想：一条直线满足：经过半径的外端；垂直于这条半径,那么这条直线是圆的切线（让学生试用文字语言加以概括）切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径l的直线是圆的切线．练一练：判断下列说法是否正确。
(1)过半径外端的直线是圆的切线．（）(2)与半径垂直的直线是圆的切线．（）(3)过半径的端点且与半径垂直的直线是圆的切线。
（）(1)中直线l不与半径垂直；(2)、（3）中直线l不经过半径外端。
人教新课标版九年级数学上册24.2.2.2 切线的判定与性质优秀教案
第2课时切线的判定与性质教学目标(一)教学知识点1．能判定一条直线是否为圆的切线．2．会过圆上一点画圆的切线．3．会作三角形的内切圆．(二)能力训练要求1．通过判定一条直线是否为圆的切线，训练学生的推理判断能力．2．会过圆上一点画圆的切线，训练学生的作图能力．(三)情感与价值观要求经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．经历探究圆与直线的位置关系的过程，掌握图形的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题．教学重点探索圆的切线的判定方法，并能运用．作三角形内切圆的方法．教学难点探索圆的切线的判定方法．教学方法：师生共同探索法．教具准备教学过程Ⅰ．创设问题情境，引入新课[师]上节课我们学习了直线和圆的位置关系，圆的切线的性质，懂得了直线和圆有三种位置关系：相离、相切、相交．判断直线和圆属于哪一种位置关系，可以从公共点的个数和圆心到直线的距离与半径作比较两种方法进行判断，还掌握了圆的切线的性质、圆的切线垂直于过切点的直径．由上可知，判断直线和圆相切的方法有两种，是否仅此两种呢？本节课我们就继续探索切线的判定条件．Ⅱ．新课讲解1．探索切线的判定条件投影片(§3．5．2A)如下图，AB是⊙O的直径，直线l经过点A，l与AB的夹角∠α，当l绕点A旋转时，(1)随着∠α的变化，点O到l的距离d如何变化？直线l与⊙O的位置关系如何变化？(2)当∠α等于多少度时，点O到l的距离d等于半径r？此时，直线l与⊙O有怎样的位置关系？为什么？[师]大家可以先画一个圆，并画出直径AB，拿直尺当直线，让直尺绕着点A移动．观察∠α发生变化时，点O到l的距离d如何变化，然后互相交流意见．[生](1)如上图，直线l1与AB的夹角为α，点O到l的距离为d1，d1＜r，这时直线l1与⊙O的位置关系是相交；当把直线l1沿顺时针方向旋转到l位置时，∠α由锐角变为直角，点O到l的距离为d，d＝r，这时直线l与⊙O的位置关系是相切；当把直线l再继续旋转到l2位置时，∠α由直角变为钝角，点O到l的距离为d2，d2＜r，这时直线l与⊙O的位置关系是相离．[师]回答得非常精彩．通过旋转可知，随着∠α由小变大，点O到l的距离d也由小变大，当∠α＝90°时，d达到最大．此时d＝r；之后当∠α继续增大时，d逐渐变小．第(2)题就解决了．[生](2)当∠α＝90°时，点O到l的距离d等于半径．此时，直线l与⊙O的位置关系是相切，因为从上一节课可知，当圆心O到直线l的距离d＝r时，直线与⊙O相切．[师]从上面的分析中可知，当直线l与直径之间满足什么关系时，直线l就是⊙O的切线？请大家互相交流．[生]直线l垂直于直径AB，并经过直径的一端A点．[师]很好．这就得出了判定圆的切线的又一种方法：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．2．做一做已知⊙O上有一点A，过A作出⊙O的切线．分析：根据刚讨论过的圆的切线的第三个判定条件可知：经过直径的一端，并且垂直于直径的直线是圆的切线，而现在已知圆心O和圆上一点A，那么过A点的直径就可以作出来，再作直径的垂线即可，请大家自己动手．[生]如下图．(1)连接OA．(2)过点A作OA的垂线l，l即为所求的切线．3．如何作三角形的内切圆．投影片(§3．5．2B)如下图，从一块三角形材料中，能否剪下一个圆使其与各边都相切．分析：假设符号条件的圆已作出，则它的圆心到三角形三边的距离相等．因此，圆心在这个三角形三个角的平分线上，半径为圆心到三边的距离．解：(1)作∠B、∠C的平分线BE和CF，交点为I(如下图)．(2)过I作ID⊥BC，垂足为D．(3)以I为圆心，以ID为半径作⊙I．⊙I就是所求的圆．[师]由例题可知，BE和CF只有一个交点I，并且I到△ABC三边的距离相等，为什么？[生]∵I在∠B的角平分线BE上，∴ID＝IM，又∵I在∠C的平分线CF上，∴ID＝IN，∴ID＝IM＝IN．这是根据角平分线的性质定理得出的．[师]因此和三角形三边都相切的圆可以作出一个，因为三角形三个内角的平分线交于一点，这点为圆心，这点到三角形三边的距离相等，这个距离为半径，圆心和半径都确定的圆只有一个．并且只能作出一个，这个圆叫做三角形的内切圆(inscribed circle of triangle)，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心(incenter)．4．例题讲解投影片(§3．5C)如下图，AB是⊙O的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB．求证：AT是⊙O的切线．分析：AT经过直径的一端，因此只要证AT垂直于AB即可，而由已知条件可知AT ＝AB，所以∠ABT＝∠ATB，又由∠ABT＝45°，所以∠ATB＝45°．由三角形内角和可证∠TAB＝90°，即AT⊥AB．请大家自己写步骤．[生]证明：∵AB＝AT，∠ABT＝45°．∴∠ATB＝∠ABT＝45°．∴∠TAB＝180°－∠ABT－∠ATB＝90°．∴AT⊥AB，即AT是⊙O的切线．Ⅲ．课堂练习随堂练习Ⅳ．课时小结本节课学习了以下内容：1．探索切线的判定条件．2．会经过圆上一点作圆的切线．3．会作三角形的内切圆．4．了解三角形的内切圆，三角形的内心概念．Ⅴ．课后作业习题3．8Ⅵ．活动与探究已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．求证：DC是⊙O的切线．分析：要证DC是⊙O的切线，需证DC垂直于过切点的直径或半径，因此要作辅助线半径OD，利用平行关系推出∠3＝∠4，又因为OD＝OB，OC为公共边，因此△CDO≌△CBO，所以∠ODC＝∠OBC＝90°．证明：连结OD．∵OA＝OD，∴∠1＝∠2，∵AD∥OC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．∴∠3＝∠4．∵OD＝OB，OC＝OC，∴△ODC≌△OBC．∴∠ODC＝∠OBC．∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90°．∴∠ODC＝90°．∴DC是⊙O的切线．。
人教版数学九年级上册24.2《切线的判定和性质定理、切线长定理》教学设计
人教版数学九年级上册24.2《切线的判定和性质定理、切线长定理》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册第24.2节《切线的判定和性质定理、切线长定理》是九年级数学的重要内容，主要让学生了解和掌握切线的判定方法、性质定理以及切线长定理。
本节内容是在学习了函数图像、直线与圆的位置关系等知识的基础上进行学习的，为后续学习解析几何和高中数学打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了函数图像、直线与圆的位置关系等知识，具备了一定的几何直观能力和逻辑思维能力。
但是，对于切线的判定和性质定理、切线长定理的理解和应用还需要加强。
因此，在教学过程中，要注重引导学生从实际问题中发现切线，培养学生的几何直观能力，同时，通过实例讲解，使学生理解和掌握切线的性质定理和切线长定理。
三. 教学目标1.让学生了解和掌握切线的判定方法。
2.使学生理解和掌握切线的性质定理和切线长定理。
3.培养学生运用切线知识解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：切线的判定方法、性质定理和切线长定理。
2.教学难点：切线性质定理和切线长定理的理解和应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中发现和理解切线。
2.使用多媒体辅助教学，通过动画演示和实例讲解，使学生直观地理解和掌握切线的性质定理和切线长定理。
3.采用小组合作学习的方式，让学生在讨论和探究中加深对切线知识的理解。
六. 教学准备1.准备相关的多媒体教学课件和教学素材。
2.准备切线相关的实际问题，用于引导学生学习。
3.准备黑板和粉笔，用于板书。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些实际问题，如：如何判断一条直线是否为圆的切线？圆的切线有什么特殊的性质？引发学生对切线的兴趣，从而导入新课。
2.呈现（10分钟）讲解切线的判定方法，通过多媒体动画演示和实例讲解，让学生直观地理解和掌握切线的判定方法。
3.操练（10分钟）让学生通过练习一些切线的判定问题，加深对切线判定方法的理解和应用。
人教版数学九年级上册24.2《切线的判定和性质定理、切线长定理》说课稿
人教版数学九年级上册24.2《切线的判定和性质定理、切线长定理》说课稿一. 教材分析人教版数学九年级上册第24.2节《切线的判定和性质定理、切线长定理》是初中数学的重要内容，旨在让学生理解和掌握切线的判定方法、性质定理和切线长定理，为后续学习解析几何打下基础。
本节内容涉及直线与圆的位置关系，通过研究切线与圆的切点，引导学生探究切线的性质，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础，对直线、圆等基本概念有所了解。
但是，对于切线的判定和性质定理、切线长定理等概念，学生可能较为抽象，不易理解。
因此，在教学过程中，需要结合学生的实际情况，采用生动形象的教学手段，引导学生理解和掌握切线的相关知识。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生掌握切线的判定方法、性质定理和切线长定理，能够运用这些知识解决一些简单的问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等过程，培养学生的探究能力和合作意识。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自信心和克服困难的意志。
四. 说教学重难点1.教学重点：切线的判定方法、性质定理和切线长定理。
2.教学难点：切线性质定理的理解和应用。
五. 说教学方法与手段本节课采用“问题驱动”的教学方法，引导学生通过观察、操作、猜想、验证等环节，自主探究切线的性质。
同时，运用多媒体课件、几何画板等教学手段，为学生提供丰富的学习资源，提高教学效果。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习直线和圆的相关知识，引出本节课的内容——切线的判定和性质定理、切线长定理。
2.自主探究：让学生通过观察、操作，猜想切线的性质，然后进行验证。
在此过程中，引导学生发现切线的判定方法和性质定理。
3.讲解与演示：教师对切线的判定方法和性质定理进行讲解，并用多媒体课件和几何画板进行演示，帮助学生加深理解。
4.练习与拓展：布置一些相关的练习题，让学生巩固所学知识，并进行拓展训练。
数学人教版九年级上册切线的性质与判定教学设计
人教版九年级上册数学第二十四章24.2.2.2切线的判定和性质大湾二中何保环一、教学目标知识与能力1、能运用切线的判定方法判定一条直线是否为圆的切线；2、学会画已知点的切线2、会运用圆的切线的性质与判定来解决相关问题.过程与方法以圆心到直线的距离和圆的半径之间的数量关系为依据，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，从而探究切线的判定定理和性质定理，领会知识的延续性和层次性.情感、态度与价值观通过学生的积极参与，激发学生学习数学的兴趣，养成动手动脑的习惯.二、教学重点圆的切线的判定与性质三、教学难点圆的切线的判定定理和性质定理的运用四、教学突破动手操作发现判定定理的过程中，经过思考、归纳和总结，帮助学生理解判定定理的两个要点.五、教学准备教师：多媒体辅助教学，教学用具（三角板、圆规、）学生：圆规、三角板、铅笔、草稿纸（课前强调）六、教学过程（一）旧识回顾1、直线和圆有哪几种位置关系？你有哪些判断方法？2、什么叫圆的切线？如何判断一条直线是否是圆的切线？多媒体展示，学生交流——发现用定义判定切线不方便，引入新课——重点研究直线和圆相切的情况。
学生阅读课本：第97页到98页的内容教师板书标题：切线的判定和性质（二）讲授新课探索一：切线的判定1、课件展示课本第97页第一个思考，学生动脑，教师再分析得出答案。
推出切线的判定定理：板书：（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线几何语言：∵OA是⊙O的半径，OA⊥BC∴直线BC是⊙O的切线．）强调两个条件缺一不可：①经过半径外端②垂直于这条半径2、如何画圆的切线（多媒体展示）已知一个圆和圆上的一个点，如何过这个点画出圆的切线？（用尺规作图）3、学以致用（多媒体展示）4、总结：要判断一条直线是圆的切线共有几种方法：法1：与圆只有一个公共点的直线（肉眼直观）法2：与圆心距离等于半径的直线（选择填空常用）法3：经过半径外端并垂直于这半径的直线（大题常用）探索二：切线的性质定理1、课件展示课本第97页第二个思考学生动手画一画量一量，发现半径与切线所形成的角都等于90°得出切线的性质定理板书：性质定理圆的切线垂直于过切点的半径几何语言：∵直线l是⊙O的切线，点A为切点，∴OA⊥l2、学以致用（课件展示）知识提升：切线的判定定理和性质定理的综合应用1、课件展示（例1）分析：对于AB与圆O相切，有切点连半径得垂直对于AC，无切点作垂直证半径，最后一结合，用到了等腰三角形的三线合一与角平分线的性质。
人教版数学九年级上册24.2.2切线的判定定理与性质定理(第二课时)优秀教学案例
在学生小组讨论环节，我会将学生分成小组，让他们在小组内进行讨论和合作，共同解决问题。我会设计一些具有挑战性的练习题，让学生在小组内共同探讨和解决。通过这种合作学习，学生能够更好地理解和掌握所学知识，并能够培养团队合作意识和沟通能力。
（四）总结归纳
在总结归纳环节，我会组织学生进行反思和总结。首先，我会让学生回顾本节课所学的切线的判定定理与性质定理，让他们自己总结出关键点和难点。然后，我会让学生进行自我评价，思考自己在学习过程中的优点和不足之处。最后，我会根据学生的表现和反馈，给予他们及时的指导和鼓励，帮助他们提高学习效果。
3.能够运用切线的判定定理与性质定理解决实际问题，如求解曲线在某一点的切线方程等。
（二）过程与方法
在本节课的教学过程中，我会采用引导学生观察、思考、交流和探究的方法，帮助学生自主发现和归纳切线的判定定理与性质定理。具体来说，学生需要通过以下几个步骤来达到学习目标：
1.观察和分析实际问题，发现切线的判定定理与性质定理的线索。
2.培养观察能力，善于发现问题和解决问题，提高思维能力。
3.培养团队合作意识，学会与同学交流和合作，共同解决问题。
4.培养坚持不懈的学习精神，不怕困难，勇于克服困难，相信自己能够掌握所学的知识。
三、教学策略
（一）情景创设
为了激发学生的学习兴趣和动机，我会运用情景创设的教学策略。在课堂开始时，我会呈现一个实际问题，例如：“在一条曲线上，如何找到与给定点距离最近的切线？”这个问题将与学生的日常生活经验相结合，激发他们的好奇心，引发思考。接着，我会引导学生观察和分析这个问题，使他们感受到数学与生活的紧密联系，从而激发他们对数学的兴趣。
在教学过程中，我会关注每一个学生的学习情况，及时给予指导和鼓励，使他们在课堂上充分参与、积极思考。对于学习有困难的学生，我会耐心辅导，帮助他们克服困难，提高学习兴趣。对于学习优秀的学生，我会引导他们深入思考，拓展思维，提高他们的创新能力。通过这样的教学方式，我希望让每一个学生都能在课堂上收获知识，提高能力，培养他们热爱数学、善于思考的良好习惯。
24.2.2 第2课时 切线的判定和性质课件-2024-2025学年人教版数学九年级上册
∴∠BCD=30°,
∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=60°+30°=90°,
即OC⊥CD.
又∵点C在☉O上,∴CD是☉O的切线.
图24-2-15
探 得 锦囊 究 证切线时辅助线的添加方法
与
应 ①有交点,连半径,证垂直; 用 ②无交点,作垂直,证半径.
探
活动2 理解并掌握切线的性质定理
究 [猜想证明]
是 相切 ,理由: 当圆心到直线的距离等于该圆的半径时,直线
就是圆的一条切线 .
图24-2-14
探 究
2.已知一个圆和圆上的一点,如何过这个点画出圆的切线,能
与 画几条?
应
用 解:首先连接圆上这点和圆心得半径,再过圆上这点作半径的垂
线,这条垂线就是圆的切线.能画一条.
探 究
[概括新知]
与 切线的判定定理:经过半径的 外端 并且 垂直于 这条半
数学 九年级上册 人教版
第 二
圆
十
四
第2课时 切线的判定和性质
章
-
第2课时 切线的判定和性质
探究与应用
课堂小结与检测
探
活动1 理解并掌握切线的判定定理
究 与
[问题情境]
应 1.如图24-2-14,在☉O中,经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA,
用
则圆心O到直线l的距离是 OA的长 ;直线l和☉O的位置关系
检 (C)
测
A.25°
B.35°
C.40°
D.50°
图24-2-19
课 2.如图24-2-20,在△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,以点C为圆心的
堂
小 圆与AB相切,则☉C的半径为 ( B )
初三数学九年级上册：24.2.2 第2课时 切线的判定与性教学设计 教案
（2）如果CM是⊙O的切线，N为OC的中点，当AC=3时，求AB的值．
★挑战新高
（2010•河南）如图，AB为⊙O的直径，AC，BD分别和⊙O相切于点A，B，点E为圆上不与A，B重合的点，过点E作⊙O的切线分别交AC，BD于点C，D，连接OC，OD分别交AE，BE于点M，N．
（1）若AC=4，BD=9，求⊙O的半径及弦AE的长；
★热身练习
1．如图1，AB与⊙O切于点B，AO=6cm，AB=4cm，则⊙O的半径为（）
A．4 cmB．2 cmC．2 cmD． m
2.如图2，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC=（）
A．130°B．100°Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ50°D．65°
3．如图3，已知∠AOB=30°，M为OB边上任意一点，以M为圆心，2cm为半径作⊙M，当OM=______cm时，⊙M与OA相切．
★追踪练习
1.已知：（2006•北京）如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB= ，∠CAD=30°．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若OD⊥AB，BC=5，求AD的长．
2.如图，在△ABC中，∠C=90°，以BC上一点O为圆心，以OB为半径的圆交AB于点M，交BC于点N．
（1）求证：BA·BM=BC·BN；
4．（2010•四川）如图4，AB为半圆O的直径，CB是半圆O的切线，B是切点，AC交半圆O于点D，已知CD=1，AD=3，那么cos∠CAB=________．
＊颗粒归仓：
★典型例题
例：（2012•陕西）如图， 分别与 相切于点 ，点 在 上，且 ， ，垂足为 ．
（1）求证： ；
(完整版)24.2.2切线的判定和性质教学设计(优秀教学设计)
24.2.2“切线的判定和性质”教学设计赵峰Ⅰ、教材分析切线的判定和性质的教学在平面几何乃至整个中学数学教学中都占有重要地位和作用，是中考的重要考点之一，除了在证明和计算中有着广泛的应用外，它也是研究三角形内切圆的作法，切线长定理以及正多边形与圆的关系的基础，所以它是《圆》这一章的重要内容，也可以说是本章的核心。
除了要求学生能够较灵活地运用有关知识解题外，还要求学生掌握一些解题技巧，在培养学生的逻辑思维能力和综合运用知识解决问题的能力方面也起了重要作用。
Ⅱ、教学目标（1）知识与技能：使学生掌握圆的切线的判定和性质定理，综合运用切线的判定和性质解决问题，培养学生的逻辑推理能力。
（2）过程与方法：培养学生的观察能力、研究问题的能力、数学思维能力以及创新意识，充分领会数学转化思想。
（3）情感、态度与价值观：通过学生积极参与，激发学生学习数学的兴趣，体验数学的探索与创造的快乐，养成动手、动脑的习惯，并养成良好的书写习惯。
Ⅲ、教学重点与难点重点：①理解圆的切线的判定和性质；②会运用切线的判定和性质解决简单的数学问题。
难点：利用切线的判定和性质解决几何问题的技巧——辅助线的添加。
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞教学过程：一、回顾与思考（多媒体显示问题）1、直线和圆有哪几种位置关系？判断的标准什么？2、三种位置关系填表.3、什么叫圆的切线？观察表格，怎样判断一条直线是不是圆的切线？通过以上检复，我们发现可以用切线的定义来判断一条直线是不是圆的切线，但有时使用起来很不方便。
反过来，如果一条直线是圆的切线，又能产生哪些作用和效果呢？为此，我们有必要学习切线的判定和性质定理。
（板书课题）：切线的判定和性质二、探索和发现1、上节课学习了“圆心到一条直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线”这一定义。
下面请同学们按我口述的步骤作图（两名同学板演）。
画出⊙O，在⊙O上任取一点A，连接OA，过点A作⊙O的切线l（完成后让学生回顾作图过程，并多媒体展示画图过程，观察切线是如何画出来的，它满足哪些条件？）。
人教版数学九年级上册24.2.2切线的性质与判定(教案)
一、教学内容
人教版数学九年级上册24.2.2切线的性质与判定：
1.理解并掌握切线的定义；
2.掌握切线的判定定理：经过半径外端且垂直于半径的直线为圆的切线；
3.掌握切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径；
4.学会运用切线的性质解决有关切线长度、角度等问题；
五、教学反思
在今天的教学过程中，我发现同学们对切线的性质与判定这一章节的内容兴趣浓厚，这让我感到很欣慰。在导入新课环节，通过提出与日常生活相关的问题，成功吸引了学生的注意力，激发了他们的学习兴趣。但在后续的教学中，我也注意到一些需要改进的地方。
在理论介绍环节，我发现部分学生对切线定义的理解还不够深入，对切线判定定理的掌握也不够牢固。在接下来的教学中，我需要更加注重对基础概念的讲解，通过生动的例子和实际操作，帮助学生更好地理解切线的定义和判定定理。
-切线的性质：理解并掌握圆的切线垂直于过切点的半径，以及切线与圆的相切关系。
-实际问题中的应用：学会将切线的性质和判定定理应用于解决直线与圆的位置关系问题。
举例解释：
(1)通过图形演示和实际操作，让学生理解切线的定义，强调切线与圆只有一个交点。
(2)通过具体例题，如给定一个圆和一点，让学生画出经过该点且为圆的切线，从而加深对切线判定定理的理解。
(3)通过分析切线与过切点的半径的垂直关系，让学生明白切线的性质，并能够应用这一性质解决相关问题。
2.教学难点
-切线判定定理的理解：学生可能难以理解为什么经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线。
-切线性质的应用：学生在应用切线性质解决实际问题时，可能不知道如何建立数学模型和运用相关定理。
-解决实际问题时图形分析能力：学生在面对复杂的图形时，可能难以识别切线与圆的关系。
人教版数学九年级上册24.2.2.2《切线的判定和性质》说课稿
人教版数学九年级上册24.2.2.2《切线的判定和性质》说课稿一. 教材分析《切线的判定和性质》是人教版数学九年级上册第24章《圆》的第二个知识点。
本节内容是在学生已经掌握了圆的定义、性质以及圆的基本运算的基础上进行学习的。
本节内容主要介绍了切线的定义、判定和性质，以及切线与圆的位置关系。
这些知识对于学生理解和掌握圆的性质，解决与圆有关的问题具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于圆的性质和运算已经有了一定的了解。
但是，对于切线的定义、判定和性质以及切线与圆的位置关系可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我需要注重引导学生从已知的圆的性质出发，推导出切线的性质，从而帮助学生理解和掌握切线的相关知识。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解和掌握切线的定义、判定和性质，以及切线与圆的位置关系。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、讨论和操作，培养学生的观察能力、逻辑思维能力和动手操作能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：切线的定义、判定和性质，以及切线与圆的位置关系。
2.教学难点：切线的判定和性质的推导过程，以及切线与圆的位置关系的理解。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学中，我将采用讲授法、引导发现法、小组合作学习和动手操作相结合的教学方法。
同时，利用多媒体课件和几何画板等教学手段，帮助学生直观地理解切线的性质和判定。
六. 说教学过程1.导入：通过复习圆的性质，引导学生思考与圆有关的问题，激发学生的学习兴趣。
2.引导发现：引导学生从已知的圆的性质出发，观察和思考切线的性质，引导学生发现切线的判定和性质。
3.讲解与示范：讲解切线的定义、判定和性质，以及切线与圆的位置关系，并通过几何画板进行演示。
4.动手操作：让学生利用几何画板或者手工画图，自己尝试作出圆的切线，并判断其性质。
5.小组合作学习：让学生分组讨论，总结切线的性质和判定，以及切线与圆的位置关系。
九年级数学上册《切线的概念切线的判定和性质》教案、教学设计
（五）总结归纳
1.回顾本节课所学内容，引导学生总结切线的定义、判定定理和性质。
2.强调切线在实际问题中的应用，如最短路线、圆的切线方程等。
3.提醒学生注意切线知识在后续学习中的重要性，为后续课程打下基础。
4.鼓励学生在生活中观察、发现切线相关的现象，将数学知识运用到实际中。
4.老师将根据作业完成情况，给予评价和反馈，帮助学生不断提高。
3.实践应用：
-设计具有挑战性的问题，让学生运用切线知识解决实际问题，提高学生的应用能力。
-组织学生进行小组讨论，分享解题思路，培养学生的合作精神和交流能力。
-针对不同难度的练习题，给予学生适当的指导，帮助他们突破难点，提高解题能力。
4.教学方法：
-采用启发式教学，引导学生主动思考，培养他们的创新意识。
2.切线的判定定理：讲解切线的判定定理，如“过圆上一点的直线，若与圆的切线垂直，则该直线为圆的切线”。
3.切线的性质：引导学生观察切线与半径的关系，推导出切线的性质，如“切线垂直于过切点的半径”。
4.实例讲解：通过具体实例，讲解切线判定定理和性质的应用。
（三）学生小组讨论ຫໍສະໝຸດ 1.分组：将学生分成若干小组，每个小组讨论以下问题：
在教学过程中，注重学生的个体差异，关注学生的成长需求，充分调动学生的积极性、主动性和创造性，使学生在轻松愉快的环境中掌握知识，提高能力。同时，注重情感教育，培养学生的道德品质和人文素养，为学生的全面发展奠定基础。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了圆的基本概念和相关性质，但对于切线的概念及其判定与性质的理解尚浅。在学习本章节时，学生可能面临以下问题：对切线定义的理解不够深入，难以区分切线与割线；对切线判定方法的掌握不够熟练，容易混淆判定条件；对切线性质的应用不够灵活，难以解决实际问题。因此，在教学过程中，应注重以下几点：
人教版数学九年级上册24.2.2“切线的判定定理和性质定理” (第二课时)教学设计
切线的判定定理与性质定理24.2.2“切线的判定定理与性质定理” （第二课时）教学设计课题：切线的判定定理与性质定理.教学目标：1.理解切线的判定定理与性质定理；2.会用切线的判定定理与性质定理解决简单问题.教学重点：切线的判定定理与性质定理.教学难点：理解切线的判定定理和用反证法证明切线的性质定理.教学过程：一、提出问题，导入课题.问题1：我们这一章主要研究了什么图形？请大家看图1，你能过圆上的点A 画出⊙O 的什么线？ 师生活动：学生思考，并动手画一画，然后教师借助几何画板演示，过点A 的无数条直线中，有圆的割线、切线，割线可以画出无数条，而圆的切线只有一条.教师追问：在这些线中，你最喜欢哪条或者哪几条，为什么？2019年10月滨州市初中数学教学 研讨会观摩课教案图1根据学生回答灵活处理，如果学生说出：过圆心的那条、切线，教师继续追问：为什么喜欢这两条？这两条直线有什么关系？当学生说出因为它们的位置关系特殊，教师指出：往往特殊的图形具有丰富的性质和广泛的应用，更值得重点研究. 例如：研究两条直线位置关系时，我们重点研究了“垂直”、“平行”，研究三角形我们重点研究了特殊的“等腰三角形”、“直角三角形”，研究四边形我们重点研究了“平行四边形”、“特殊的平行四边形”.因此我们本节课重点研究这条特殊的直线“切线”.（板书：切线）设计意图：通过问题，引导学生回顾上节课学过的直线与圆的位置关系，二、由旧知得出新知，探索切线的判定定理问题2图2举出几个吗？师生活动：引导学生思考，课件展示图片，下雨天快速转到雨伞时飞出的水珠，砂轮上打磨工件时飞出的火星，都存在着直线与圆相切的现象.设计意图：通过展示实际生活中的图片，让学生感受切线与现实有着密切的联系.问题3：在图1中，除了上面提到的当直线与圆有唯一公共点时，直线是圆的切线.我们还可以根据什么判断一条直线是圆的切线？你能过点A画出⊙O的切线吗？师生活动：让学生回顾上节课所学内容，什么是圆的切线？学生思考得出，要想准确画出圆的切线，就得出现d=r，因此得需要做出半径r和d.连接OA，过点A作直线l⊥OA，则此时直线l是⊙O的切线（如图2）.问题4：你能从图形的角度概括上面得出的结论吗？师生活动：教师引导，在图形中，直线l满足了什么条件？“垂直于半径”、“经过半径的外端”.为了便于应用，我们可以把直线与圆相切的定义，从图形的角度来理解.如何重新描述这个定义？引导学生得出：经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线，同时引导学生得出切线判定定理的符号语言.设计意图：通过问题，引导学生借助旧知得到新知，也就是利用直线和圆相切的定义得出切线的判定定理；学生通过自己思考，动手画图可以更深刻的感受切线的判定定理.3.探索切线的性质定理.问题5：把得到的切线的判定定理中题设结论反过来，结论还成立吗？如图3，l为⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直？师生活动：学生通过观察思考，发现半径OA师生讨论后发现直接证明垂直并不容易.反证法：假设OA与直线l不垂直，过点O作OM⊥l，根据垂图3线段最短的性质，有OM＜OA，这说明圆心O到直线l的距离小于半径OA，于是直线l就与圆相交，而这与直线l是⊙O的切线矛盾.因此OA与直线l垂直.从而得到切线的性质定理，同时引导学生得出切线性质定理的符号语言.设计意图：利用反证法引导学生得出切线的性质定理，并体会反证法的作用.4.运用定理，解决问题.问题6：我们学到的切线的判定定理和性质定理，不可能单独出现题目，一定会与我们学过的基本图形结合，大家先回想一下，我们学过的基本图形有哪些？师生活动：引导学生得出学过的基本图形有：角、三角形、四边形、圆，接下来我们共同探讨这些图形会不会都与圆结合.问题7：如图4，已知：点O 在∠ACB 的角平分线上，⊙O 与BC 相切于点F .求证：⊙O 与AC 相切.追问1：（1）切线的判定方法有哪些，结合已知你选择哪种判定方法？（2）要证明切线需要什么条件？如何添加辅助线？师生活动：（1）通过问题引导学生分析解题思路：AC 与⊙O 没有公共点，所以要过圆心O 作OE ⊥AC ，再证明OE 为⊙O 的半径. 由于⊙O 与BC 相切于点F ，通过切线的性质定理可得OF ⊥BC ，然后再通过角平分线的性质得出OE =OF 即可解决问题.（2）学生独立完成解题过程，一名学生板书.（3）师生共同分析板书学生的解题过程.（4）师生共同分析此题的解题方法：AC 与⊙O 没有公共点时，要做出垂直，证明OE 为⊙O 的半径.追问2：此题中的题设与结论互换，变为（如图5）：已知：⊙O 与AC 相切于点E ，与BC 相切于点F ，求证：点O 在∠AOB 的角平分线上，还可以证明吗？引导学生分析思路即可.设计意图：结合具体问题加深学生对切线判定定理与性质定理的认识.问题8：圆的切线除了与“角”这个基本图形结合以外，还可能与我们图 4图5 E学过的三角形结合，我们学过的三角形中，有一类特殊的三角形是等腰三角形，如图6，如果以等腰三角形的腰AB为直径作⊙O，⊙O与BC相交于点D，作DE⊥AC.求证：DE为⊙O的切线.师生活动：先请学生思考，此题与上面问题的区别，此题中是已知点D在⊙O上，我们需要连接OD，再证明垂直.然后请学生结合条件，自己分析，寻找思路.教师再进行引导，总结出此题的所有方法.设计意图：通过题目的变式，加强学生对切线的判定与性质的理解.同时结合一题多解与多法一题的变式，培养学生的综合分析问题的能力.5.小结教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：（1）切线的判定定理与性质定理是什么？它们之间有怎样的联系？（2）在应用切线的判定定理和性质定理时，需要注意什么？设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，把握本节课的核心——切线的判定定理和性质定理，明确两个定理的题设和结论，体会两个定理互为逆命题.6.布置作业必做题：习题24.2: 4选做题：结合本节课所学切线的知识与学过的基本图形，自己编题并解题.。
第2课时+切线的判定与性质++课件++2024--2025学年人教版九年级数学上册+
①有公共点，连半径，证垂直；
②无公共点，作垂直，证半径.
切线的
性质定理
圆的切线垂直于 经过切点的半径
性 质 有1个公共点
有切线时常用辅助线 添加方法： 见切线，连切点，得垂直.
d=r
当堂练习
1.判断下列命题是否正确.
⑴ 经过半径外端的直线是圆的切线. （× ）
⑵ 垂直于半径的直线是圆的切线. （× ）
条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.
归结
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.定义法：直线和圆只有一个
公共点时，我们说这条直线是
圆的切线;
l
2.数量关系法：圆心到这条 直线的距离等于半径(即d=r)
dr l
时，直线与圆相切；
O
3.判定定理：经过半径的外端且垂
直于这条半径的直线是圆的切线.
N M
A
l
疑探 B
例1：如图,∠ABC=45°，直线AB
是☉O上的直径，点A,且AB=AC.
O
求证：AC是☉O的切线.
A
C
解析：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可.
证明：∵AB=AC，∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°.
∴∠BAC=180°-∠ABC-ACB=90°.
∵AB是☉O的直径， ∴ AC是☉O的切线.
反证法. 小亮的理由是:直径AB与直线CD要么垂直,要么不垂直.
（1）假设AB与CD不垂直,过点O作一
条直径垂直于CD,垂足为M,
B
（2）则OM<OA,即圆心到直线CD的距
离小于⊙O的半径,因此,CD与⊙O相
交.这与已知条件“直线与⊙O相切”
九年级数学上册24.2.2第2课时切线的性质与判定教案1新人教版
第2课时切线的判定与性质1．掌握判定直线与圆相切的方法，并能运用直线与圆相切的方法进行计算与证明．2．掌握直线与圆相切的性质，并能运用直线与圆相切的性质进行计算与证明．3．能运用直线与圆的位置关系解决实际问题．一、情境导入约在6000年前，美索不达米亚人做出了世界上第一个轮子——圆型的木盘，你能设计一个办法测量这个圆形物体的半径吗？二、合作探究探究点一：切线的判定【类型一】判定圆的切线如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上,点C在⊙O上，AC＝CD，∠D＝30°,求证：CD 是⊙O的切线．证明:连接OC，∵AC＝CD,∠D＝30°,∴∠A＝∠D＝30°。
∵OA＝OC,∴∠2＝∠A＝30°，∴∠1＝60°，∴∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．方法总结：切线的判定方法有三种：①利用切线的定义,即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；③经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．探究点二:切线的性质【类型一】利用切线进行证明和计算如图，PA为⊙O的切线，A 为切点．直线PO与⊙O交于B、C两点，∠P＝30°，连接AO、AB、AC.(1)求证:△ACB≌△APO；(2)若AP＝3,求⊙O的半径．(1）证明:∵PA为⊙O的切线，A为切点，∴∠OAP＝90°。
又∵∠P ＝30°,∴∠AOB＝60°，又O A＝OB，∴△AOB为等边三角形．∴AB＝AO，∠ABO＝60°。
又∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.在△ACB和△APO中，∠BAC＝∠OAP，AB＝AO,∠ABO＝∠AOB，∴△ACB≌△APO。
(2)解：在Rt△AOP中，∠P＝30°，AP＝错误!，∴AO＝1，∴CB＝OP＝2，∴OB＝1，即⊙O的半径为1.【类型二】切线的性质与判定的综合应用如图，AB是⊙O的直径，点F、C是⊙O上的两点，且错误!＝错误!＝错误!,连接AC、AF,过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，垂足为D。
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第2课时切线的判定与性质
1．掌握判定直线与圆相切的方法，并能运用直线与圆相切的方法进行计算与证明．
2．掌握直线与圆相切的性质，并能运用直线与圆相切的性质进行计算与证明．
3．能运用直线与圆的位置关系解决实际问题．
一、情境导入
约在6000年前，美索不达米亚人做出了世界上第一个轮子——圆型的木盘，你能设计一个办法测量这个圆形物体的半径吗？
二、合作探究
探究点一：切线的判定
【类型一】判定圆的切线
如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠D ＝30°，求证：CD是⊙O的切线．
证明：连接OC，∵AC＝CD，∠D＝30°，∴∠A＝∠D＝30°.∵OA＝OC，∴
∠2＝∠A ＝30°，∴∠1＝60°，∴∠OCD ＝90°，∴OC ⊥CD ，∴CD 是⊙O 的切线．
方法总结：切线的判定方法有三种：①利用切线的定义，即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；③经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
探究点二：切线的性质 【类型一】利用切线进行证明和计算
如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点．直线PO 与⊙O 交于B 、C 两点，∠
P ＝30°，连接AO 、AB 、AC .
(1)求证：△ACB ≌△APO ；
(2)若AP ＝3，求⊙O 的半径．
(1)证明：∵PA 为⊙O 的切线，A 为切点，∴∠OAP ＝90°.又∵∠P ＝30°，∴∠AOB ＝60°，又OA ＝OB ，∴△AOB 为等边三角形．∴AB ＝AO ，∠ABO ＝60°.又∵BC 为⊙O 的直径，∴∠BAC ＝90°.在△ACB 和△APO 中，∠BAC ＝∠OAP ，AB ＝AO ，∠ABO ＝∠AOB ，∴△ACB ≌△APO .
(2)解：在Rt △AOP 中，∠P ＝30°，AP ＝3，∴AO ＝1，∴CB ＝OP ＝2，∴OB ＝1，即⊙O 的半径为1.
【类型二】切线的性质与判定的综合应用
如图，AB 是⊙O 的直径，点F 、C 是⊙O 上的两点，且AF ︵＝FC ︵＝CB ︵，连
接AC 、AF ，过点C 作CD ⊥AF 交AF 的延长线于点D ，垂足为D .
(1)求证：CD 是⊙O 的切线；
(2)若CD ＝23，求⊙O 的半径．
分析：(1)连接OC ，由弧相等得到相等的圆周角，根据等角的余角相等推得。