全等三角形及判定

解：在 CMO 和 CNO 中， A M
（已知） OM ＝ ON ， C O ， CM ＝ CN （已知） N CO ＝ CO ， B （公共边） CMO CNO （ SSS ） . ≌ （全等三角形对应角相等） COM ＝ CON .
OC 是 AOB 的平分线 .
A O
D
C B
找出下列全等三角形的对应边、对应角
A
△ABC≌△ADE
E
B
C D
找出下列全等三角形的对应边、对应角 △ADE≌△CBF
A E B
D
F
C
找出下列全等三角形的对应边、对应角
A △ ABN ≌△ ACM △ ABM ≌△ ACN
B
M
N
C
找出下列全等三角形的对应边、对应角 D △AOB≌△DOC A
A
∵△ABC≌△FDE
∴AB=FD,AC=FE,
F B
BC=DE
∴∠A=∠F, ∠B=∠D, ∠ACB= ∠FED.
D
C 规律四：一对最长的边是对应边 一对最短的边是对应边
规律五：一对最大的角是对应角 一对最小的角是对应角 E
1.有公共边的，公共边一定是对应边。 2.有对顶角的，对顶角一定是对应角。
AB＝AC(已知) B D BD＝CD（已证） AD＝AD（公共边）
C
ABD ≌ ACD（SSS） . B D
C
课 本 P8 工人师傅常用角尺平分一个任意角. 做法如下：如图， AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动 角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合. 过角尺顶点 C的射线OC便是AOB的平分线.为什么？
例3、已知∠BAC（如图），用直尺和圆规 作∠BAC的平分线AD，并说出该作法正 确的理由。 C
A
B
思 考 A
小明做了一个如图所 示的风筝，他想去验证 B ∠BAC与∠DAC是否相等， 但手头却只有一把足够 长的尺子。你能帮助他 想个方法吗？说明你这 样做的理由。
D
C
如图，AB=AC，AE=AD，BD=CE， A 求证：△AEB ≌ △ ADC。
B
'
C
'
答： ABC A' B' C' ≌
即：三条边对应相等，三个角对应相等的两个 三角形全等。
A
A
B
B C
C
与 B 满足上述六个条件中的一部 A C ABC 分是否能保证 与 B 全等呢？ A C ABC
一个条件可以吗？
两个条件可以吗？
探究活动
一个条件可以吗？
人民教育出版社义务教育教科书八年级数学（上册）
第十二章 全等三角形
下列各组图形的形状 与大小有什么特点？
思考:他们能完全重合吗?
每组的两个图 形有什么特点?
完全重合
• 形状、大小相同的图形放在 一起能够完全重合。 • 能够完全重合的两个图形叫 做全等形 • 能够完全重合的两个三角形 叫做全等三角形
300 300
60o
60o
结论: 三个内角对应相等的三角形 不一定全等。
探究活动 三边对应相等的两个三角形会全等吗？ 若已知一个三角形的三条边，你能画出 画一个三角形，使它的三边长分 这个三角形吗？ 别为4cm,5cm,7cm.
画法：
1. 画线段AB=4cm；
2. 分别以A、B为圆心，5cm、 7cm 长为半径作圆弧，交于点C； 3. 连结AB、AC；
不一定全等 不一定全等
1. 有一条边相等的两个三角形 2. 有一个角相等的两个三角形
结论： 有一个条件相等不能保证两个三角形全等.
探究活动
两个条件可以吗？
不一定全等
1. 有两个角对应相等的两个三角形
2. 有两条边对应相等的两个三角形 不一定全等 3. 有一个角和一条边对应相等的两个三角形 不一定全等
A
B
C
C EM
O
S
F
B
O D N T
全等三角形的对应边相等， 全等三角形的对应角相等.
A
如图：∵△ABC≌ △DFE
B
D
C
∴ AB=DF, BC=FE, AC=DE ∵△ABC≌ △DFE
F
E
∴∠A=∠D,∠B=∠F,∠C=∠E
先写出全等式，再指出 它们的对应边和对应角
A
D
C
E
B
F
∵△ACB≌△DEF ∴AB=DF, CB=EF,AC=DE. ∴∠A=∠D,∠CBA=∠F,∠C= ∠DEF.
在 ABC 和 A' B' C' 中，
'' '' '' （ 1 ） AB ＝ A B （ 2 ） BC ＝ B C （ 3 ） CA ＝ C A ， ， ， （ 4 ） A ＝ A （ 5 ） B ＝ B （ 6 ） C ＝ C 六个条件，可得到什么结论？
A
A
'
B
C
下列两三角形是怎样由一 个三角形得到另一个三角 形？它们有什么特点？
A P
C
B
M
N
B
源自文库
E A C
D
下列两三角形是怎样由一 个三角形得到另一个三角 形？它们有什么特点？
A
B A D
B
C
E
D
C
下列两三角形是怎样由一 个三角形得到另一个三角 形？它们有什么特点？
D
B
C
一个三角形经过平移、旋转、翻折 后所得到的三角形与原三角形全等。
E
B
A
如图, △EFG≌△NMH
E H M F G 1、请找出对应边和对应角。
N
2、如果EF=2.1cm,EH=1.1cm, HN=3.3cm, 求NM、HG的长.
解：∵△EFG ≌ △NMH ∴NM=EF=2.1,EG=HN=3.3 ∴HG=EG-HG=3.3-1.1=2.2
△ABD≌△ACE，若∠ADB=100°，∠B=30°，
结 论
三边对应相等的两个三角形全等. (简写成“边边边”或“SSS”)
A
A'
B
C
' B
C'
如何用符号语言来表达呢?
在 ABC 和 A' B' C' 中 ' ' ' ∴ ∠ A = ∠ ___ A AB A B ∠B = ∠___ B' ' ' BC B C ' ∠ C = ∠ ___ C ' ' CA C A ABC A' B' C' (SSS) ≌
A
D
B
C E
F
“全等”用符号“≌ ”表示 你能否直接从记作
图中的△ ABC 和△DEF 全等， ∆ABC≌ ∆DEF 中判断出 记作:△ABC≌ △DEF 所有的对应顶点、对应边 读作:△ABC全等于△DEF
和对应角？
寻找各图中两个全等 三角形的对应元素。
两个全等三角形的位置变化了，对应边、 对应角的大小有没有变化？由此你能得到 什么结论？ D A
ABC A' B' C' ３.已知 ，试找出其中相等的边与角 ≌
A
A
'
B
C
B
'
C
'
≌ 因为 ABC A' B' C' ，所以 '' '' '' （ 1 ） AB ＝ A B （ 2 ） BC ＝ B C （ 3 ） CA ＝ C A
' ' ' （ 4 ） A ＝ A （ 5 ） B ＝ B （ 6 ） C ＝ C
例2 如图，△ABC是一个钢架，AB=AC， AD是连接点A与BC中点D的支架. 求证： △ABD≌△ACD. (1) (2)∠BAD = ∠CAD.
证明：Q D是BC的中点， （2）由（1）得△ABD≌△ACD ， A A BD＝CD. ∴ ∠BAD= ∠CAD. 在ABD和 ACD中， （全等三角形对应角相等）
证明：在△ABC和△ADC中 AB=AD ( 已知 ) BC=CD (已知 ) AC= AC ( 公共边 )
B
A D
∴ △ABC ≌ △ADC（SSS）
C
证明的书写步骤：
①准备条件： 证全等时要用的间接条件要先证好； ②三角形全等书写三步骤： 写出在哪两个三角形中 摆出三个条件用大括号括起来 写出全等结论
说出△ACE中各角的大小？ 解：∵ △ABD≌△ACE，
∴∠AEC= ∠ADB=1000 ， ∠C= ∠B=300， 又∵∠A+∠AEC+∠C=180° ∴∠A=1800- ∠AEC- ∠C =1800-1000-300=500
如图,已知△ AOC ≌ △BOD 求证：AC∥BD
课 堂 小 结
1.能够重合的两个图形叫做全等形 。 对应顶点 其中：互相重合的顶点叫做＿＿＿ 对应边 互相重合的边叫做＿＿＿＿ 对应角 互相重合的角叫做＿＿＿
判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等。 结论：从这题的证明中可以看出，证明是由已 例 1 已知：如图， AB=AD ， BC=CD ， 知出发，经过一步步的推理，最后推出结论正 求证：△ABC≌ △ADC 确的过程。 分析：要证明△ ABC≌ △ ADC，首先看这两个三角 形的三条边是否对应相等。
' ' 画法：1. 画线段 B C ＝ BC ；
' ' 2. 分别以 B 、 C 为圆心，
线段 AB 、 AC 为半径画弧， 你能得出什
' 两弧交于点 A ；
么结论？
' ' ' ' 3. 连接线段 A B 、 A C .
' ' ' 则 Δ A B C 为 所 求 作 的 三 角 形 .
三边对应相等的两个三角形全等，简 写为“边边边”或“SSS”。 用上面的结论可以判定两个三角形全等． 判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明 三角形全等．
300 300
60o
60o
4cm
300 6cm
30o
6cm 结论： 有两个条件对应相等不能保证三角形全等 .
探究活动
你如 能果 说给 出出 有三 哪个 几条 种件 可画 能三 的角 情形 况， ？
三个条件呢？
1. 三个角；
2. 三条边； 3. 两边一角；
4. 两角一边。
探究活动
三个条件呢？
1. 有三个角对应相等的两个三角形
3.有公共角的，公共角一定是对应角。
4.对应角所对的边是对应边，对应边 所对的角是对应角． 5.在两个全等三角形中最长边对最长边， 最短边对最短边，最大角对最大角，最 小角对最小角。
找出下列全等三角形的对应边、对应角
A
△ABD≌△CBD
B
D
C
找出下列全等三角形的对应边、对应角 △AOD≌△COD
A
C
∴∠A=∠B,∠C=∠D, ∠AOC= ∠BOD.
规律二：有对顶角的，对顶角是对应角
先写出全等式，再指出它 们的对应边和对应角
∵△ABC≌△ADE
∴AB=AD,AC=AE,
A
E
C
BC=DE
∴∠A=∠A,∠B=∠D,
B
D
∠ACB= ∠AED. 规律三：有公共角的，公共角是对应角
先写出全等式，再指出 它们的对应边和对应角
证明：∵BD=CE
∴ BD-ED=CE-ED， 即BE=CD 在AEB和ADC中， AB=AC（已知）
B E D C
AE=AD（已知）
BE=CD（已证）
∴ △AEB ≌ △ ADC (sss)
思 考
已知AC=FE，BC=DE，点A、D、 B、 F在一条直线上，AD=FB. 要用“边边边”证明 △ABC ≌△ FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以 外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？ 解：要证明△ABC ≌△ FDE， A 还应该有AB=DF这个条件 ∵AD=FB ∴ AD+DB=FB+DB 即 AB=FD
△ABC≌△DCB
O
B
C
如图, △ABD ≌ △EBC
1、请找出对应边和对应角。
AB 与 EB、BC
∠A ∠BEC、∠D
BD、AD
EC，
C
∠C、∠ABD ∠EBC
2、如果AB=3cm,BC=5cm, D 求BE、BD的长. 解：∵△ABD ≌ △EBC ∴AB=EB，BC=BD ∵AB=3cm,BC=5cm ∴BE=3cm,BD=5cm
∴△ABC就是所求的三角形.
探究活动 三边相等的两个三角形会全等吗？
' ' ' 先任意画出一个 ABC ，再画一个 A B C ，
' ' ' ' ' ' 使 A B ＝ AB ， B C ＝ BC ， C A ＝ CA .把画好
' ' ' A B C 剪下，放到 ABC 上，它们全
C
A
先写出全等式，再指 出它们的对应边和对应角 B
∵△ABC≌△ABD ∴AB=AB,BC=BD,AC=AD.
D
∴∠BAC=∠BAD,∠ABC=∠ABD ∠C= ∠D.
规律一：有公共边的，公共边是对应边
先写出全等式，再指出它们的 对应边和对应角 D B
∵△AOC≌△BOD ∴AO=BO,AC=BD,OC=OD. o
2.能够完全重合的两个三角形 叫全等三角形。 全等于 3.“全等”用符号“ ”来表示，读作 ≌ “ ” 4.全等三角形的 对应边 和 对应角 相等 5.书写全等式时要求把对应字母放在对应的 位置上
1. 什么叫全等三角形？ 能够完全重合的两个三角形叫 全等三角形。 2.全等三角形有什么性质？ 全等三角形的对应边相等，对应角相等