全等三角形及判定
证三角形全等的判定定理
证三角形全等的判定定理
证明三角形全等可以使用以下几种判定定理：
1. SSS 判定定理：如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形是全等的。
2. SAS 判定定理：如果两个三角形的两条边及其夹角分别相等，则这两个三角形是全等的。
3. ASA 判定定理：如果两个三角形的两个角和它们之间的一条边分别相等，则这两个三角形是全等的。
4. RHS 判定定理：如果两个三角形的一个角和两条边分别相等，则这两个三角形是全等的。
其中，SSS、SAS 和 ASA 判定定理都需要证明相应的几何定理，而 RHS 判定定理则可以直接根据勾股定理得出。
例如，对于 SSS 判定定理来说，假设有两个三角形 ABC 和 DEF，且 AB = DE, BC = EF, AC = DF。
我们需要证明这两个三角形是全等的。
首先，将三角形 ABC 和 DEF 进行重合，使得点 A 和点 D 重合，然后通过向量平移或旋转使得线段 AC 与线段 DF 重合。
因为 AB = DE, BC = EF, AC = DF，所以三角形 ABC 和 DEF 的所有边长和角度都相等，因此这两个三角形是全等的。
这就是 SSS 判定定理的证明过程。
其他三个判定定理的证明过程也类似，需要使用到几何定理和勾股定理等数学知识。
全等三角形的性质与判定(经典讲义)
全等三角形的性质及判定知识要点1、全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．2、全等三角形性质：（1）两全等三角形的对应边相等，对应角相等．（2）全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等， 对应角的平分线相等．（3）全等三角形的周长、面积相等．3、全等三角形判定方法：（1）全等判定一：三条边对应相等的两个三角形全等（SSS ）（2）全等判定二：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA ） （3）全等判定三：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) （4）全等判定四：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS ）专题一、全等图形的性质——全等图形的对应边（对应中线、角平分线、高线）、对应角、对应周长、对应面积相等例题1：下列说法，正确的是（ ）A.全等图形的面积相等B.面积相等的两个图形是全等形C.形状相同的两个图形是全等形D.周长相等的两个图形是全等形 例题2：如图1，折叠长方形ABCD ，使顶点D 与BC 边上的N 点重合，如果AD=7cm ，DM=5cm ，∠DAM=39°，则AN =____cm ，NM =____cm ，NAB ∠= .【仿练1】如图2，已知ABC ADE ∆≅∆，AB AD =，BC DE =，那么与BAE ∠相等的角是 . 【仿练2】如图3，ABC ADE ∆≅∆，则AB= ，∠E= _．若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC= .、图4EDCB A图2 图3M DA NBC 图1三角形全等的判定一（SSS ）相关几何语言考点∵AE=CF ∵CM 是△的中线∴_____________( )∴____________________∴__________（ ） 或 ∵AC=EF∴____________________∴__________（ ）AB=AB （ ）在△ABC 和△DEF 中∵⎪⎩⎪⎨⎧___________________________ ∴△ABC ≌△DEF （ ）例1．如图，AB ＝AD ，CB ＝CD ．△ABC 与△ADC 全等吗？为什么？例２．如图，C 是AB 的中点，AD ＝CE ，CD ＝BE ．求证△ACD ≌△CBE ．BFECAFE DCB ACMBA B A例３．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证∠A=∠D．练习1..如图，AB=CD，AD=CB，那么下列结论中错误的是（）A．∠A=∠C B．AB=AD C．AD∥BC D．AB∥CD2、如图所示，在△ABC中，AB=AC，BE=CE，则由“SSS”可以判定（）A．△ABD≌△ACD B．△BDE≌△CDEC．△ABE≌△ACE D．以上都不对3.如图，AB=AC，BD=CD，则△ABD≌△ACD的依据是（）A．SSS B．SAS C．AASD．HL4.如图,AB=AC,D为BC的中点，则△ABD≌_________.5.如图，已知AB=DE，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF，那么还要需要一个条件，这个条件可以是：．6.如图，AB=AC，BD=DC，∠BAC=36°，则∠BAD的度数是°．7、.如图，AB=AE，AC=AD，BD=CE，求证：△ABC≌ADE。
全等三角形的判定方法五种的证明
全等三角形的判定方法五种的证明全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：全等三角形（即三角形的所有对应边和角都相等）在几何学中具有重要意义，因为它们有着很多共性特征和性质。
在实际问题中，我们常常需要判定两个三角形是否全等，以便解决一些几何问题。
下面我们将介绍五种判定方法，并给出它们的证明。
一、SSS法则（边边边全等）首先我们来介绍SSS法则，即如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。
设有两个三角形ABC和DEF，已知AB=DE，AC=DF，BC=EF。
我们要证明三角形ABC全等于三角形DEF。
【证明过程】由已知条件可知，三角形ABC和三角形DEF的三边分别相等。
所以可以得到以下对应关系：AB=DEAC=DFBC=EF三角形的两边之和大于第三边，所以我们有以下结论：AB+AC>BCDE+DF>EF由于AB=DE，AC=DF，BC=EF，所以根据上述两个不等式可得：AB+AC>BCAB+AC>BC所以三角形ABC与三角形DEF全等。
由于∠C=∠F，所以我们有以下结论：∠A+∠C+∠B=180°∠A+∠F+∠E=180°由于∠C=∠F，所以可以将两个等式相减，得到：∠B-∠E=0∠B=∠E四、HL法则（斜边-直角-斜边全等）由于∠A=∠D，∠B=∠E，所以可以使用AA法则证明三角形ABC 与三角形DEF全等。
我们介绍了五种全等三角形的判定方法以及它们的证明。
这些方法在解决几何问题中起着至关重要的作用，希望大家能够掌握并灵活运用这些方法。
如果遇到类似的题目，可以根据不同情况灵活选择合适的方法来判定三角形的全等关系。
通过不断练习和思考，相信大家能够在几何学习中取得更好的成绩。
【2000字】第二篇示例：全等三角形是指具有完全相同的三边和三角形的一种特殊情况。
在几何学中，全等三角形之间具有一些特殊的性质和关系。
正确判断两个三角形是否全等是解决几何问题的关键。
全等三角形的判定方法五种证明
全等三角形的判定方法五种证明方法一：SSS判定法（边边边判定法）该方法基于全等三角形的定义，即三角形的三边相等。
假设有两个三角形ABC和DEF，若AB=DE，BC=EF，AC=DF，则可以得出两个三角形全等。
证明：假设有两个三角形ABC和DEF，且已知AB=DE，BC=EF，AC=DF。
通过图形可以发现，若容器DAB将图形DEF旋转并平移后完全重合于ABC，则两个三角形全等。
因此，通过旋转和平移操作，将DEF旋转至直线AC上的点F与C匹配，同时将点F移动至点C。
由于线段DE和线段AC相等，而由已知条件可知线段DF与线段AC相等，所以线段DC也与线段AC相等。
因此，可以得出点C与点D重合，即三角形DEF重合于三角形ABC，证明了两个三角形全等。
方法二：SAS判定法（边角边判定法）该方法基于全等三角形的定义，即当两个三角形的两边和夹角分别相等时，它们全等。
假设有两个三角形ABC和DEF，若AB=DE，角A=角D，BC=EF，则可以得出两个三角形全等。
证明：假设有两个三角形ABC和DEF，已知AB=DE，角A=角D，BC=EF。
根据已知条件可以得出角D与角A相等，以及线段DE与线段AB相等。
通过这两个已知条件可以得出点D与点A重合，即三角形DEF与三角形ABC重合，证明了两个三角形全等。
方法三：ASA判定法（角边角判定法）该方法基于全等三角形的定义，即当两个三角形的两角和一边分别相等时，它们全等。
假设有两个三角形ABC和DEF，若角A=角D，角B=角E，AB=DE，则可以得出两个三角形全等。
证明：假设有两个三角形ABC和DEF，已知角A=角D，角B=角E，AB=DE。
根据已知条件可以得出角D与角A相等，角E与角B相等，以及线段AB与线段DE相等。
通过这三个已知条件可以得出三角形DEF与三角形ABC完全重合，证明了两个三角形全等。
方法四：HL判定法（斜边和高判定法）该方法基于全等三角形的定义，即当两个三角形的斜边和高分别相等时，它们全等。
全等三角形的判定方法
全等三角形的判定方法
1.两个三角形的三边分别相等。
2.两个三角形的两个角分别相等，且它们夹的两边也分别相等。
3.两个三角形的一个角相等，且两个角的夹的两边也分别相等。
4.两个三角形的两个角相等，且它们夹的两边分别相等。
5.两个三角形的一个角相等，且两个角的夹的两边分别相等。
6.两个三角形的两个边分别相等，且它们夹的角相等。
7.两个三角形的一边相等，且两个边的夹的角相等。
8.两个三角形的两边分别相等，且它们夹的一个角相等。
9.两个三角形的一边相等，且两个边的夹的一个角相等。
10.两个三角形的一角相等，且两个角的夹的一边也分别相等。
三角形全等的判定
三角形全等的判定一、判定两个三角形全等的方法一般有以下4种：1、三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。
2、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。
3、两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。
4、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）。
二、判别两个直角三角形全等时，除了可以应用以上4种判别方法外，还可以应用“斜边、直角边”：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）。
三、尺规作图运用尺规作图作相等角、相等线段以及全等三角形。
四、应用三角形的判定方法三角形全等是证明线段相等，角相等最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．那么我们应该怎样应用三角形全等的判别方法呢？（1）条件充足时直接应用在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等，而从近年的中考题来看，这类试题难度不大，证明两个三角形的条件比较充分．只要同学们认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．（2）条件不足，会增加条件用判别方法此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充使三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案．（3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判别方法在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．常见的隐藏条件有：①公共边，公共角，对顶角；②线段的相加减；③角度的互余，互补，三角形的外角等于与它不相邻的内角和。
全等三角形的判定
∠A=∠A'，那么△ABC≌△A'B'C'？
A
A'
B
C
B'
C'
叠合法：把△ABC放到△A'B'C'上，使∠A的顶点与∠A'
的顶点重合；△ABC≌△A'B'C'
判定
全等三角形判定方法一:
在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，
那么这两个三角形全等。（简记为S.A.S)
A
在ABC与ABC中
AB AB A=∠A AC AC
全等三角形的 判定
课前回顾
三角形的六个元素中，给定哪三个元素就可以确定三 角形的形状和大小？ 1. 三条边； 2. 两边及其夹角； 3. 两角及其夹边； 4. 两角及其对边. 如果两个三角形满足上述三个元素对应相等，
那么他们就是全等三角形。
新课探索
为什么“两边及其夹角对应相等”的两个三角形全等？ 如图，在△ABC和△A'B'C'中，已知AB=A'B'，AC=A'C'，
新课探索
为什么“两角及其夹边对应相等”的两个三角形全等？
如图，在△ABC和△A'B'C'中，已知∠A=∠A' ， ∠B=∠B ‘ ，AB=A ' B ' ,那么△ABC≌△A'B'C'？
A
A'
B
C
B'
C'
叠合法：把△ABC放到△A'B'C'上，使AB与A'B'重合；
△ABC≌△A'B'C'
全等三角形的性质和判定
全等三角形的性质和判定要点一、全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。
要点二、对应顶点,对应边，对应角1. 对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起,重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.要点诠释：在写两个三角形全等时,通常把对应顶点的字母写在对应位置上,这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC 与△DEF 全等，记作△ABC ≌△DEF ，其中点A 和点D ，点B 和点E ，点C 和点F 是对应顶点；AB 和DE ，BC 和EF,AC 和DF 是对应边；∠A 和∠D ，∠B 和∠E ，∠C 和∠F 是对应角.要点三、全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.要点四、全等三角形的判定（SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ）全等三角形判定一（SSS ，SAS)全等三角形判定1-—“边边边”三边对应相等的两个三角形全等。
（可以简写成“边边边”或“SSS ”）。
要点诠释:如图，如果''A B ＝AB,''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，则△ABC ≌△'''A B C .要点二、全等三角形判定2——“边角边”1. 全等三角形判定2-—“边角边"两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边"或“SAS ”).要点诠释：如图,如果AB ＝ ''A B ,∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2。
有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等。
如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合,故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等。
直角三角形全等的判定方法及性质
直角三角形全等的判定方法及性
质
直角三角形同余的判断:1。
对应边相等的两个三角形的三组同余。
2.两条边和它们的夹角相等的两个三角形。
3.两个三角形有两个角，它们的夹紧边全等。
判定方法
方法一：SSS（边边边），即三边对应相等的两个三角形全等。
方法二：SAS（边角边），即三角形的其中两条边对应相等，且两条边的夹角也对应相等的两个三角形全等。
方法三：ASA（角边角），即三角形的其中两个角对应相等，且两个角夹的的边也对应相等的两个三角形全等。
方法四：AAS（角角边），即三角形的其中两个角对应相等，且对应相等的角所对应的边也对应相等的两个三角形全等。
方法五：HL（斜边、直角边），即在直角三角形中一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
性质
1、全等角形面积和周长相等。
2.全等角对应边的高度相等。
3、全等角形的对应边相等。
4.全等角对应边的中线相等。
5.全等角对应的角的角函数值相等。
6、全等角形的对应角相等。
7.能够完全重合的顶点称为对应顶点。
8.全等角对应的角的平分线相等。
三角形全等的判定方法(5种)例题+练习(全面)
三角形全等的判定方法(5种)例题+练习(全面)本文讲述了全等三角形的判定方法，重点是边角边和角边角。
边角边指两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，可以简写成“SAS”。
需要注意的是，必须是两边及其夹角，不能是两边和其中一边的对角。
例如，在图中的△ABC和△ABD中，虽然有一个角和两边相等，但是这两个三角形不全等。
但是在例1中，如果AC=AD，且∠CAB=∠DAB，则可以证明△ACB≌△ADB。
在例2中，如果AD∥BC，且∠ABC=∠DCB，AB=DC，AE=DF，则可以证明BF=CE。
角边角是指两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，可以简写成“ASA”。
例如，在例2中，如果AD平分∠BAC，且∠ABD=∠ACD，则可以直接判定△ABD≌△ACD。
在例3中，如果在Rt△ABC中，BC=2cm，CD⊥AB，且EC=BC，EF=5cm，则可以求出AE的长度。
除了边角边和角边角外，还有三种判定全等三角形的条件。
在例5中，如果在△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，且有一个角相等，则可以证明△ABC≌△DEF。
在例6中，如果AB∥DE，AB=DE，BF=CE，则可以证明△ABC≌△DEF。
在例7和例8中，分别是通过角平分线和垂线的判定方法来证明两个三角形全等。
总之，掌握全等三角形的判定方法对于解决几何问题非常重要。
1.如图所示，在三角形ABC中，已知AB=DC，∠ABC=∠DCB。
根据角角边相等可知，∠ACB=∠DCB。
又因为AB=DC，所以BC=AC。
因此，根据SSS（边边边）相等可知，△ABC≌△DCB。
同时，∠ACB=∠DCB，AC=BC=DC。
2.如图所示，在三角形ABD和ABF中，已知AD=AE，∠1=∠2，BD=CE。
根据角角边相等可知，∠ABD=∠BCE。
又因为AD=CE，所以BD=BE。
因此，根据SAS（边角边）相等可知，△ABD≌△BCE。
同时，∠ABD=∠BCE，AD=CE=BE。
三角形全等的判定
1. 全等三角形判定1：三边对应相等的两个三角形全等。
2. 全等三角形判定2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
3. 全等三角形判定3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
4. 全等三角形判定4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
5. 全等三角形判定5：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
典型例题知识点一：全等三角形判定1例1：如图，在△AFD和△EBC中，点A，E，F，C 在同一直线上，有下面四个论断：（1）AD＝CB；（2）AE＝CF；（3）DF＝BE；（4）AD∥BC。
请将其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，编一道证明题，并写出证明过程。
解答过程：已知：如图，在△AFD和△EBC中，点A，E，F，C在同一直线上，AD＝CB，AE＝CF，DF＝BE。
求证：AD∥BC。
知识点二：全等三角形判定2（2）由（1）知△OAB≌△OCD∴AB＝CD例3：已知：如图，AB∥CD，AB＝CD，求证：AD∥BC，AD＝BC综上：AD∥BC，AD＝BC例4：（1）在图1中，△ABC和△DEF满足AB＝DE，AC＝DF，∠A＝∠D，这两个三角形全等吗？（2）在图2中，△ABC和△ABD满足AB＝AB，AC＝AD，∠B ＝∠B，这两个三角形全等吗？。
解答过程：（1）全等；（2）不全等。
解题后的思考：有两边和一角相等的两个三角形不一定全等，要根据所给的边与角的位置进行判断：（1）当两个三角形满足两边及夹角对应相等即“SAS”时，这两个三角形全等；（2）当两个三角形满足两边及其中一边的对角对应相等即“SSA”时，这两个三角形不一定全等。
在证明题中尤其要注意这一点。
知识点三：全等三角形判定3 例5：如图，BE⊥AE，CF⊥AE，ME＝MF。
求证：AM是△ABC的中线。
解答过程：∵BE⊥AE，CF ⊥AE∴∠BEM＝∠CFM＝90°在△BME和△CMF中，解题后的思考：要证明AM是△ABC的中线，需要证明M是BC的中点，因此，转化为证明BM＝CM，结合已知条件，应考虑证明与这两条相等线段有关的可能全等的两个三角形，结合题目中已有的条件和能够求出的相等关系，选择正确的判定方法来解决相关问题。
全等三角形判定的三种类型
全等三角形判定的三种类型1.SSS判定（边边边）SSS判定是指当两个三角形的三条边分别相等时，它们是全等三角形。
例如，对于两个三角形ABC和DEF，如果AB=DE，BC=EF，AC=DF，则可以通过SSS判定断定三角形ABC和DEF是全等的。
SSS判定的原理是，边长相等可以确保两个三角形的相应边之间的角度也是相等的，根据三角形角度之和为180°的性质，可以推导出它们的角度也是相等的，进而判断三角形全等。
2.SAS判定（边角边）SAS判定是指当两个三角形的两边和夹角分别相等时，它们是全等三角形。
例如，对于两个三角形ABC和DEF，如果AB=DE，∠BAC=∠EDF，BC=EF，则可以通过SAS判定判断三角形ABC和DEF是全等的。
SAS判定的原理是，两个三角形的一边和与这边相邻的两个角相等时，可以确保这两个三角形的三个边都相等，从而判断它们全等。
3.ASA判定（角边角）ASA判定是指当两个三角形的两角和边分别相等时，它们是全等三角形。
例如，对于两个三角形ABC和DEF，如果∠BAC=∠EDF，∠ABC=∠DEF，AC=DF，则可以通过ASA判定判断三角形ABC和DEF是全等的。
ASA判定的原理是，两个三角形的两个角和这两个角所夹的边相等时，可以确保这两个三角形的第三个角也相等，从而判断它们全等。
此外，还有两种特殊情况的判定方法：4.直角全等判定如果两个直角三角形的三个边分别相等，那么它们一定是全等的。
这是因为直角三角形的两个直角以及第三个角也是相等的。
5.等腰全等判定如果两个三角形都为等腰三角形，并且有一个角相等，那么它们一定是全等的。
这是因为等腰三角形的两个底角和底边相等，所以只需要一个额外的角相等即可推断两个等腰三角形全等。
综上所述，全等三角形的判定可以通过SSS、SAS、ASA以及两种特殊情况的判定方法来进行。
这些判定方法不仅可以帮助我们判断三角形的全等性质，而且在数学推导和证明过程中也有重要的应用。
全等三角形判定定理
全等三角形判定定理全等三角形判定定理是初中数学中重要的一个定理，它可以通过判定两个三角形的对应边、对应角是否相等来推断两个三角形是否全等。
全等三角形是指具有相同形状和大小的三角形，它们的对应边和对应角完全相等。
首先，我们来看全等三角形的判定定理。
对于两个三角形ABC和DEF，如果它们的对应边和对应角相等，那么这两个三角形就是全等的。
具体来说，如果有以下几种情况成立，那么可以判定两个三角形全等：1. SSA公式：如果两个三角形的某一对边和两个对应的角相等，那么这两个三角形全等。
这种情况成立有一个例外，即当其中的一个角是直角时，此时无法通过SSA公式判定全等。
2. SAS公式：如果两个三角形的一对边和夹角以及另一对边相等，那么这两个三角形全等。
3. SSS公式：如果两个三角形的三条边分别相等，那么这两个三角形全等。
基于全等三角形的判定定理，我们可以通过观察两个三角形的对应边、对应角，来判断它们是否全等。
这不仅在数学解题过程中非常有用，也可以帮助我们更好地理解几何知识。
在实际生活中，全等三角形的性质也有着广泛的应用。
例如在建筑设计、地图绘制、机械制造等领域中，全等三角形的概念都有着重要的作用。
通过应用全等三角形的知识，我们可以更准确地进行测量、设计和制造，从而提高工作效率和准确性。
总的来说，全等三角形判定定理是初中数学知识中的重要定理之一，它帮助我们理解三角形的性质，提高数学解题的能力，同时在实际生活中也有着广泛的应用。
通过深入学习和理解全等三角形的判定定理，我们可以更好地掌握几何知识，提升数学应用能力。
希望通过本文的介绍，读者能够加深对全等三角形的认识，运用这一知识更好地解决问题。
小学数学知识归纳三角形的全等判定及性质
小学数学知识归纳三角形的全等判定及性质三角形是数学中一个重要的几何形状，研究三角形的性质和判断三角形是否全等是小学数学的基础内容之一。
本文将对小学数学中三角形的全等判定及性质进行归纳总结，并提供相应的例题进行说明。
一、三角形全等的判定方法1. SSS全等法则SSS全等法则是指三角形的三边分别相等时，可以判断两个三角形全等。
具体来说，如果三角形ABC和三角形DEF的边长满足AB=DE，BC=EF，AC=DF，那么可以得出三角形ABC≌DEF。
例题1：已知在三角形ABC和三角形DEF中，AB=DE，BC=EF，AC=DF，证明三角形ABC≌DEF。
解：根据SSS全等法则，可以得出三角形ABC≌DEF。
2. SAS全等法则SAS全等法则是指两个三角形的边边角相对应相等时，可以判断两个三角形全等。
具体来说，如果三角形ABC和三角形DEF满足AB=DE，∠ABC=∠DEF，BC=EF，那么可以得出三角形ABC≌DEF。
例题2：已知在三角形ABC和三角形DEF中，AB=DE，∠ABC=∠DEF，BC=EF，证明三角形ABC≌DEF。
解：根据SAS全等法则，可以得出三角形ABC≌DEF。
3. ASA全等法则ASA全等法则是指两个三角形的角边角相对应相等时，可以判断两个三角形全等。
具体来说，如果三角形ABC和三角形DEF满足∠ABC=∠DEF，AC=DF，∠BAC=∠EDF，那么可以得出三角形ABC≌DEF。
例题3：已知在三角形ABC和三角形DEF中，∠ABC=∠DEF，AC=DF，∠BAC=∠EDF，证明三角形ABC≌DEF。
解：根据ASA全等法则，可以得出三角形ABC≌DEF。
二、全等三角形的性质1. 全等三角形的对应边和对应角相等如果两个三角形全等，那么它们的对应边和对应角相等。
例如，如果三角形ABC≌DEF，那么AB=DE，BC=EF，AC=DF，并且∠ABC=∠DEF，∠BCA=∠EFD，∠CAB=∠FDE。
全等三角形及基本判定定理
全等三角形全等三角形【知识要点】1．全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形． 2．全等图形的性质：（1）全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等 （2）全等图形的面积相等3．全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形（1）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，读作“全等于” 如DEF ABC ∆∆与全等，记作ABC ∆≌DEF ∆ （2）符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等．（3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角．（4）证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．全等三角形的判定1：SSS三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS ”．如图，在ABC ∆和DEF ∆中⎪⎩⎪⎨⎧===DF AC EF BC DEABABC ∆∴≌DEF ∆【典型例题】例1．如图，ABC ∆≌ADC ∆，点B 与点D 是对应点，︒=∠26BAC ，且︒=∠20B ，1=∆ABC S ，求A C D D C A D ∠∠∠,,的度数及ACD ∆的面积．A BC DEFABDC例2．如图，ABC ∆≌DEF ∆，cm CE cm BC A 5,9,50==︒=∠，求ED F ∠的度数及CF 的长．例3．如图，已知：AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ，求证：CAD BAE ∠=∠例4．如图AB=DE ，BC=EF ，AD=CF ，求证：（1）ABC ∆≌DEF ∆ （2）AB//DE ，BC//EFA B E C FD A BE CD ABCDFE例5．如图，在,90︒=∠∆C ABC 中D 、E 分别为AC 、AB 上的点，且BE=BC ，DE=DC ，求证：（1）AB DE ⊥；（2）BD 平分ABC ∠ （角平分线的相关证明及性质）全等三角形判定定理2：SAS两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS ”。
三角形全等的判定
三角形全等的判定+性质+辅助线技巧三角形全等的判定+性质+辅助线技巧在初中三角形问题集中体现在“全等”和“相似”两大问题上，非常考验大家的解题能力、思维能力、耐性与定力。
有时证不出来，急不可耐、恨它恨的牙痒痒。
豆姐这次整理了全等三角形判定、性质，最重要的是后面附上了所有证明全等三角形，包括添加各种辅助线的方法，认真看完这篇文章，保证关于三角形全等所有的题型你都会做！一、三角形全等的判定1.三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)。
2.有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。
3.有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)。
4.有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)。
5.直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)。
二、全等三角形的性质①全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。
②全等三角形的周长、面积相等。
③全等三角形的对应边上的高对应相等。
④全等三角形的对应角的角平分线相等。
⑤全等三角形的对应边上的中线相等。
三、找全等三角形的方法(1)可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；(2)可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；(3)从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；(4)若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
三角形全等的证明至少需要三个条件(包含两个要素：边和角)，其中必须有边的条件。
缺个角的条件：缺条边的条件：四、构造辅助线的常用方法1.关于角平分线的辅助线当题目的条件中出现角平分线时，要想到根据角平分线的性质构造辅助线。
角平分线具有两条性质：①角平分线具有对称性；②角平分线上的点到角两边的距离相等。
关于角平分线常用的辅助线方法：(1)截取构全等如下左图所示，OC是∠AOB的角平分线，D为OC上一点，F为OB上一点，若在OA上取一点E，使得OE=OF，并连接DE，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。
数学全等三角形的判定顺序
数学全等三角形的判定顺序数学中的全等三角形是指具有相同形状和大小的两个三角形。
判定两个三角形是否全等，需要根据不同的条件进行判断。
下面将按照判定的顺序，依次介绍这些条件。
1. SAS判定法（边角边判定法）：如果两个三角形的两条边和夹角分别相等，则这两个三角形全等。
具体而言，如果两个三角形的一条边和夹角分别相等，并且另一条边也相等，则这两个三角形全等。
2. SSS判定法（边边边判定法）：如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。
这是最常用的判定方法之一。
3. ASA判定法（角边角判定法）：如果两个三角形的一条角和两条边分别相等，则这两个三角形全等。
具体而言，如果两个三角形的一条角和两条边分别相等，并且另一条角也相等，则这两个三角形全等。
4. AAS判定法（角角边判定法）：如果两个三角形的两个角和一条边分别相等，则这两个三角形全等。
具体而言，如果两个三角形的两个角和一条边分别相等，并且另一条边也相等，则这两个三角形全等。
5. RHS判定法（直角边斜边判定法）：如果两个三角形的一条直角边和斜边分别相等，则这两个三角形全等。
具体而言，如果两个三角形的一条直角边和斜边分别相等，并且另一条直角边也相等，则这两个三角形全等。
通过以上五种判定法，我们可以判断两个三角形是否全等。
这些判定法都是基于数学中的一些定理和性质，通过观察和推理，我们可以得出结论。
全等三角形在几何学中具有重要的意义，它们不仅可以帮助我们计算三角形的各个属性，还可以应用到实际问题中。
例如，在建筑设计中，如果需要复制一个三角形的形状，我们可以利用全等三角形的性质进行设计。
总结起来，判定两个三角形是否全等，需要依次考虑它们的边和角的关系，根据不同的条件进行判断。
通过这些判定法，我们可以在几何学问题中准确地确定两个三角形是否全等，从而进一步解决问题。
全等三角形的性质和判定
【知识要点】1．全等三角形的概念：经过平移、翻折、旋转能够重合的两个三角形叫做全等三角形。
【注意】互相重合的顶点叫做对应顶点；互相重合的边叫做对应边；互相重合的角叫做对应角。
2. 两个全等三角形的表示：∆ABC ≌∆DEF 【注意】把对应顶点的字母写在对应的位置上。
3. 全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等。
4. 全等三角形的判定（1）两边夹一角对应相等：S.A.S ； （2）两角夹一边对应相等：A.S.A ； （3）两角一对边对应相等：A.A.S ； （4）三边对应相等：S.S.S ；【典型例题】1．全等三角形的性质【例1】如图，AB=AD, AC=AE, 如果∆ABE ≌∆ACD 全等，∠BAD ＝90°,BE=10,∠CAE ＝_______,CD=____.【分析】利用全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等。
【解答】∆ABE ≌∆ACD ，则∠BAD ＝∠CAE ＝90°,BE CD 10==.2．全等三角形的判定【例1】如图，已知BAC DAE,ABD ACE, AD AE ∠∠∠∠=＝＝ , 求证：A B A C , B D ==【分析】只要证明∆ABD ≌∆ACE ，就可证明A B A C , B D C ==。
已知A B D A C E ∠∠＝,ADAE =，如果能再找出一对角相等就可判定全等。
由已知BAC DAE ∠∠＝，则BAC DAC DAE DAC ∠-∠∠-∠＝，即BAD CAE ∠∠＝【解答】ABD ACE,BAD CAE, AD AE ∠∠∠∠=＝＝()ABD ACE A.A.S ∴≌AB AC, BD CE ∴==【点评】从已知条件中获取足够信息证明两个三角形全等，进而证明对应边相等、对应角相等，是重点考察的内容。
而利用角和边的等量加减等量其和差相等，也是常用技巧。
【例2】如图，A 在OC 上, B 在OD 上, OA=OB, OC=OD, BC 与AD 相交于T ，求证：OT 平分COD ∠. 【分析】只要证明AOT BOT ∠∠＝，就是OT 平分COD ∠, 可寻求证明COT DOT ∆∆≌, 为此要证CT=DT ，这样又要证 C D ∠=∠，那么可从判定COB DOA ∆∆≌入手。
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C
ABD ≌ ACD（SSS） . B D
C
课 本 P8 工人师傅常用角尺平分一个任意角. 做法如下：如图， AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动 角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合. 过角尺顶点 C的射线OC便是AOB的平分线.为什么？
B
'
C
'
答： ABC A' B' C' ≌
即：三条边对应相等，三个角对应相等的两个 三角形全等。
A
A
B
B C
C
与 B 满足上述六个条件中的一部 A C ABC 分是否能保证 与 B 全等呢？ A C ABC
一个条件可以吗？
两个条件可以吗？
探究活动
一个条件可以吗？
' ' 画法：1. 画线段 B C ＝ BC ；
' ' 2. 分别以 B 、 C 为圆心，
线段 AB 、 AC 为半径画弧， 你能得出什
' 两弧交于点 A ；
么结论？
' ' ' ' 3. 连接线段 A B 、 A C .
' ' ' 则 Δ A B C 为 所 求 作 的 三 角 形 .
三边对应相等的两个三角形全等，简 写为“边边边”或“SSS”。 用上面的结论可以判定两个三角形全等． 判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明 三角形全等．
A
B
C
C EM
O
S
F
B
O D N T
全等三角形的对应边相等， 全等三角形的对应角相等.
A
如图：∵△ABC≌ △DFE
B
D
C
∴ AB=DF, BC=FE, AC=DE ∵△ABC≌ △DFE
F
E
∴∠A=∠D,∠B=∠F,∠C=∠E
先写出全等式，再指出 它们的对应边和对应角
A
DБайду номын сангаас
C
E
B
F
∵△ACB≌△DEF ∴AB=DF, CB=EF,AC=DE. ∴∠A=∠D,∠CBA=∠F,∠C= ∠DEF.
∴△ABC就是所求的三角形.
探究活动 三边相等的两个三角形会全等吗？
' ' ' 先任意画出一个 ABC ，再画一个 A B C ，
' ' ' ' ' ' 使 A B ＝ AB ， B C ＝ BC ， C A ＝ CA .把画好
' ' ' A B C 剪下，放到 ABC 上，它们全
A
C
∴∠A=∠B,∠C=∠D, ∠AOC= ∠BOD.
规律二：有对顶角的，对顶角是对应角
先写出全等式，再指出它 们的对应边和对应角
∵△ABC≌△ADE
∴AB=AD,AC=AE,
A
E
C
BC=DE
∴∠A=∠A,∠B=∠D,
B
D
∠ACB= ∠AED. 规律三：有公共角的，公共角是对应角
先写出全等式，再指出 它们的对应边和对应角
A
D
B
C E
F
“全等”用符号“≌ ”表示 你能否直接从记作
图中的△ ABC 和△DEF 全等， ∆ABC≌ ∆DEF 中判断出 记作:△ABC≌ △DEF 所有的对应顶点、对应边 读作:△ABC全等于△DEF
和对应角？
寻找各图中两个全等 三角形的对应元素。
两个全等三角形的位置变化了，对应边、 对应角的大小有没有变化？由此你能得到 什么结论？ D A
△ABC≌△DCB
O
B
C
如图, △ABD ≌ △EBC
1、请找出对应边和对应角。
AB 与 EB、BC
∠A ∠BEC、∠D
BD、AD
EC，
C
∠C、∠ABD ∠EBC
2、如果AB=3cm,BC=5cm, D 求BE、BD的长. 解：∵△ABD ≌ △EBC ∴AB=EB，BC=BD ∵AB=3cm,BC=5cm ∴BE=3cm,BD=5cm
下列两三角形是怎样由一 个三角形得到另一个三角 形？它们有什么特点？
A P
C
B
M
N
B
E A C
D
下列两三角形是怎样由一 个三角形得到另一个三角 形？它们有什么特点？
A
B A D
B
C
E
D
C
下列两三角形是怎样由一 个三角形得到另一个三角 形？它们有什么特点？
D
B
C
一个三角形经过平移、旋转、翻折 后所得到的三角形与原三角形全等。
证明：在△ABC和△ADC中 AB=AD ( 已知 ) BC=CD (已知 ) AC= AC ( 公共边 )
B
A D
∴ △ABC ≌ △ADC（SSS）
C
证明的书写步骤：
①准备条件： 证全等时要用的间接条件要先证好； ②三角形全等书写三步骤： 写出在哪两个三角形中 摆出三个条件用大括号括起来 写出全等结论
不一定全等 不一定全等
1. 有一条边相等的两个三角形 2. 有一个角相等的两个三角形
结论： 有一个条件相等不能保证两个三角形全等.
探究活动
两个条件可以吗？
不一定全等
1. 有两个角对应相等的两个三角形
2. 有两条边对应相等的两个三角形 不一定全等 3. 有一个角和一条边对应相等的两个三角形 不一定全等
在 ABC 和 A' B' C' 中，
'' '' '' （ 1 ） AB ＝ A B （ 2 ） BC ＝ B C （ 3 ） CA ＝ C A ， ， ， （ 4 ） A ＝ A （ 5 ） B ＝ B （ 6 ） C ＝ C 六个条件，可得到什么结论？
A
A
'
B
C
3.有公共角的，公共角一定是对应角。
4.对应角所对的边是对应边，对应边 所对的角是对应角． 5.在两个全等三角形中最长边对最长边， 最短边对最短边，最大角对最大角，最 小角对最小角。
找出下列全等三角形的对应边、对应角
A
△ABD≌△CBD
B
D
C
找出下列全等三角形的对应边、对应角 △AOD≌△COD
人民教育出版社义务教育教科书八年级数学（上册）
第十二章 全等三角形
下列各组图形的形状 与大小有什么特点？
思考:他们能完全重合吗?
每组的两个图 形有什么特点?
完全重合
• 形状、大小相同的图形放在 一起能够完全重合。 • 能够完全重合的两个图形叫 做全等形 • 能够完全重合的两个三角形 叫做全等三角形
C
A
先写出全等式，再指 出它们的对应边和对应角 B
∵△ABC≌△ABD ∴AB=AB,BC=BD,AC=AD.
D
∴∠BAC=∠BAD,∠ABC=∠ABD ∠C= ∠D.
规律一：有公共边的，公共边是对应边
先写出全等式，再指出它们的 对应边和对应角 D B
∵△AOC≌△BOD ∴AO=BO,AC=BD,OC=OD. o
E
B
A
如图, △EFG≌△NMH
E H M F G 1、请找出对应边和对应角。
N
2、如果EF=2.1cm,EH=1.1cm, HN=3.3cm, 求NM、HG的长.
解：∵△EFG ≌ △NMH ∴NM=EF=2.1,EG=HN=3.3 ∴HG=EG-HG=3.3-1.1=2.2
△ABD≌△ACE，若∠ADB=100°，∠B=30°，
解：在 CMO 和 CNO 中， A M
（已知） OM ＝ ON ， C O ， CM ＝ CN （已知） N CO ＝ CO ， B （公共边） CMO CNO （ SSS ） . ≌ （全等三角形对应角相等） COM ＝ CON .
OC 是 AOB 的平分线 .
ABC A' B' C' ３.已知 ，试找出其中相等的边与角 ≌
A
A
'
B
C
B
'
C
'
≌ 因为 ABC A' B' C' ，所以 '' '' '' （ 1 ） AB ＝ A B （ 2 ） BC ＝ B C （ 3 ） CA ＝ C A
' ' ' （ 4 ） A ＝ A （ 5 ） B ＝ B （ 6 ） C ＝ C
A O
D
C B
找出下列全等三角形的对应边、对应角
A
△ABC≌△ADE
E
B
C D
找出下列全等三角形的对应边、对应角 △ADE≌△CBF
A E B
D
F
C
找出下列全等三角形的对应边、对应角
A △ ABN ≌△ ACM △ ABM ≌△ ACN
B
M
N
C
找出下列全等三角形的对应边、对应角 D △AOB≌△DOC A
A
∵△ABC≌△FDE
∴AB=FD,AC=FE,
F B
BC=DE
∴∠A=∠F, ∠B=∠D, ∠ACB= ∠FED.
D
C 规律四：一对最长的边是对应边 一对最短的边是对应边
规律五：一对最大的角是对应角 一对最小的角是对应角 E
1.有公共边的，公共边一定是对应边。 2.有对顶角的，对顶角一定是对应角。
例3、已知∠BAC（如图），用直尺和圆规 作∠BAC的平分线AD，并说出该作法正 确的理由。 C