初中数学专题——方程
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厅，可供 1680 名学生就餐；同时开放 2 个大餐厅、 1 个小餐厅，可供 2280 名学生就餐． （1）求 1 个大餐厅、 1 个小餐厅分别可供多少名学生就餐； （2）若 7 个餐厅同时开放，能否供全校的 5300 名学生就餐？请说明理由．
例 5. 工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利
45 元；按标价的八五折销售该
（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市
A 所有商品打 7.5 折销售；超市 B 全场
购物满 100 元返购物券 30 元销售（不足 100 元不返券，购物券全场通用） ，但他只带了 400
元钱，如果他只在一家超市购买看中的英语学习机、书包，那么在哪一家购买更省钱？
（四）分式方程
1．分式方程 : 分母中含有 2．解分式方程的一般步骤：
一级猪肉比在 1 月份购得的一级猪肉少 0.4 斤，那么今年 1 月份的一级猪肉每斤是多少
元？
8. 今年五月， 某工程队 (有甲、 乙两组 )承包人民路中段的路基改造工程， 规定若干天内完成．
(1) 已知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间的
2 倍多 4 天，乙组单独完成这
项工程所需时间比规定时间的 2 倍少 16 天．如果甲、乙两组合做 24 天完成，那
② 4x2-4x-1=0 ， ③12x2=25x ，④
8、. 某经济开发区今年一月份工业产值达 50 亿元 , 第一季度总产值 175 亿元 , 设
二月、三月平均每月增长的百分率为 x, 根据题意得方程为
.
9、在宽为 20 米、长为 32 米的矩形地面上修筑同样宽的两条互相垂直的道路。 余下的部分作为耕地。 要使耕地的面积为 540 平方米，问道路的宽应为多少米？
么甲、乙两组合做能否在规定时间内完成 ?
(2) 在实际工作中， 甲、乙两组合做完成这项工程的
后，工程队又承包了东段的改造工程，
需抽调一组过去，从按时完成中段任务考虑，你认为抽调哪一组最好？请说明理由．
代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一元一次方程，最后求得方程组的解
.这种解方
程组的方法叫做代入消元法，简称代入法 .
（2）加减法：通过将方程组中两个方程相加（或相减） ，消去一个未知数，得到一元一次方
程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法
5、列二元一次方程组解应用题的一般步骤： ⑴设出题中的两个未知数； ⑵找出题中的两个等量关系；
1. 下列方程是一元二次方程的是（
A
B
C
2、关于 x 的一元二次方程
）
D
的一个根是 0， 则 k 的值为
。
3、若 x=1 是方程
的根 , 则 2a+2b=_____
4、写出一个两实数根之差为 3 的一元二次方程
。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5、方程
的根的情况是。
6. 解方程 ① 3x2-27=0 ， 较方便的方法是：
7、解方程
（三）二元一次方程组
1、 概念
2、 二元一次方程组：
3、 二元一次方程组的解：二元一次方程组中两个方程的公共解 注意： 一般情况下， 一个二元一次方程组只有惟一一个解，但实际上，
二元一次方程组的解
还有另外两种情况：无解或有无数个解 .
4、 二元一次方程组的解法 （1）.代入法：将方程组中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，再
（ 1）去分母，在方程的两边都乘以
（ 2）解这个整式方程；
（ 3）验根， 把整式方程的根代入 原方程的增根，必须舍去 .
【例题】
1．方程
的解是
的方程叫分式方程 . ，约去分母，化成整式方程；
，看结果是不是零， 使最简公分母为零的根是 ．
2．若关于 方程
无解，则 的值是
．
3. 分式方程
的解是
．
4. 以下是方程
⑶根据等量关系列出需要的代数式，进而列出两个方程，并组成方程组；
⑷解这个方程组，求出未知数的值 .
⑸检验所得结果的正确性及合理性并写出答案
.
【典型例题】
例 1．若一个二元一次方程的一个解为
则这个方程可以是 ________．
例 2．下列方程组中 ,是二元一次方程组的有 (
)个
①
②
③
④
⑤
Ａ． 个
Ｂ． 个
初中数学方程建模强化训练题
（一）一元一次方程
概念：
1. 方程：含有未知数的等式就叫做方程 .
2. 一元一次方程：只含有一个未知数 (元 )x ，未知数 x 的指数都是 1(次 )
去括号法则：
(1). 括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．
(2). 括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变．
Ｃ． 个
Ｄ． 个
例 3．解方程组：
例 4．已知代数式
与
是同类项，那么
的值分别是（
）
A．
B．
C．
D．
例 5．二元一次方程
的正整数解是
．
例 6．关于 x、y 的方程
，当
时，
；当
时，
，则
，
b=
．
例 7．某同学在 A 、B 两家超市发现他看中的英语学习机的单价相同，书包单价也相同，英 语学习机和书包单价之和是 452 元，且英语学习机的单价比书包单价的 4 倍少 8 元． （1）求该同学看中的英语学习机和书包单价各是多少元？
工艺品 8 件与将标价降低 35 元销售该工艺品 12 件所获利润相等 . 该工艺品每件的进价、标
价分别是多少元？
（二）一元二次方程 概念：
1、 定义： 2、 一般表达式： 3、 方程的解： 4、 解法：直接开平方、因式分解法、公式法、配方法 5、 解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次。 【典型例题】
【典型例题】
一、一元一次方程的有关概念
例 1. 一个一元一次方程的解为 2，请写出这个一元一次方程
.(
二、一元一次方程的解
答案不唯一 )
例 2. 若关于 的一元一次方程
的解是
, 则 的值是（
）
A．
B
．1
C
．
D
．0
231 例 3. 3{ 2[ 2(x-1)-3]-3}=3
三、一元一次方程的实际应用 例 4. 某高校共有 5 个大餐厅和 2 个小餐厅． 经过测试： 同时开放 1 个大餐厅、 2 个小餐
去分母、去括号后的结果，其中正确的是（
）
A．
B.
C.
D.
5．分式方程
的解是（
）
A．
B．
C．
D．
6. 分式方程
的解是（
）
A.
,
B.
,
C.
,
D.
7． 今年以来受各种因素的影响，猪肉的市场价格仍在不断上升．
据调查， 今年 5 月份一级
猪肉的价格是 1 月份猪肉价格的 1.25 倍．小英同学的妈妈同样用 20 元钱在 5 月份购得
用方程思想解决实际问题的一般步骤
(1). 审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系．
(2). 设：设未知数 ( 可分直接设法，间接设法 )
(3). 列：根据题意列方程．
(4). 解：解出所列方程．
(5). 检：检验所求的解是否符合题意．
(6). 答：写出答案 ( 有单位要注明答案 )
例 5. 工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利
45 元；按标价的八五折销售该
（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市
A 所有商品打 7.5 折销售；超市 B 全场
购物满 100 元返购物券 30 元销售（不足 100 元不返券，购物券全场通用） ，但他只带了 400
元钱，如果他只在一家超市购买看中的英语学习机、书包，那么在哪一家购买更省钱？
（四）分式方程
1．分式方程 : 分母中含有 2．解分式方程的一般步骤：
一级猪肉比在 1 月份购得的一级猪肉少 0.4 斤，那么今年 1 月份的一级猪肉每斤是多少
元？
8. 今年五月， 某工程队 (有甲、 乙两组 )承包人民路中段的路基改造工程， 规定若干天内完成．
(1) 已知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间的
2 倍多 4 天，乙组单独完成这
项工程所需时间比规定时间的 2 倍少 16 天．如果甲、乙两组合做 24 天完成，那
② 4x2-4x-1=0 ， ③12x2=25x ，④
8、. 某经济开发区今年一月份工业产值达 50 亿元 , 第一季度总产值 175 亿元 , 设
二月、三月平均每月增长的百分率为 x, 根据题意得方程为
.
9、在宽为 20 米、长为 32 米的矩形地面上修筑同样宽的两条互相垂直的道路。 余下的部分作为耕地。 要使耕地的面积为 540 平方米，问道路的宽应为多少米？
么甲、乙两组合做能否在规定时间内完成 ?
(2) 在实际工作中， 甲、乙两组合做完成这项工程的
后，工程队又承包了东段的改造工程，
需抽调一组过去，从按时完成中段任务考虑，你认为抽调哪一组最好？请说明理由．
代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一元一次方程，最后求得方程组的解
.这种解方
程组的方法叫做代入消元法，简称代入法 .
（2）加减法：通过将方程组中两个方程相加（或相减） ，消去一个未知数，得到一元一次方
程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法
5、列二元一次方程组解应用题的一般步骤： ⑴设出题中的两个未知数； ⑵找出题中的两个等量关系；
1. 下列方程是一元二次方程的是（
A
B
C
2、关于 x 的一元二次方程
）
D
的一个根是 0， 则 k 的值为
。
3、若 x=1 是方程
的根 , 则 2a+2b=_____
4、写出一个两实数根之差为 3 的一元二次方程
。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5、方程
的根的情况是。
6. 解方程 ① 3x2-27=0 ， 较方便的方法是：
7、解方程
（三）二元一次方程组
1、 概念
2、 二元一次方程组：
3、 二元一次方程组的解：二元一次方程组中两个方程的公共解 注意： 一般情况下， 一个二元一次方程组只有惟一一个解，但实际上，
二元一次方程组的解
还有另外两种情况：无解或有无数个解 .
4、 二元一次方程组的解法 （1）.代入法：将方程组中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，再
（ 1）去分母，在方程的两边都乘以
（ 2）解这个整式方程；
（ 3）验根， 把整式方程的根代入 原方程的增根，必须舍去 .
【例题】
1．方程
的解是
的方程叫分式方程 . ，约去分母，化成整式方程；
，看结果是不是零， 使最简公分母为零的根是 ．
2．若关于 方程
无解，则 的值是
．
3. 分式方程
的解是
．
4. 以下是方程
⑶根据等量关系列出需要的代数式，进而列出两个方程，并组成方程组；
⑷解这个方程组，求出未知数的值 .
⑸检验所得结果的正确性及合理性并写出答案
.
【典型例题】
例 1．若一个二元一次方程的一个解为
则这个方程可以是 ________．
例 2．下列方程组中 ,是二元一次方程组的有 (
)个
①
②
③
④
⑤
Ａ． 个
Ｂ． 个
初中数学方程建模强化训练题
（一）一元一次方程
概念：
1. 方程：含有未知数的等式就叫做方程 .
2. 一元一次方程：只含有一个未知数 (元 )x ，未知数 x 的指数都是 1(次 )
去括号法则：
(1). 括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．
(2). 括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变．
Ｃ． 个
Ｄ． 个
例 3．解方程组：
例 4．已知代数式
与
是同类项，那么
的值分别是（
）
A．
B．
C．
D．
例 5．二元一次方程
的正整数解是
．
例 6．关于 x、y 的方程
，当
时，
；当
时，
，则
，
b=
．
例 7．某同学在 A 、B 两家超市发现他看中的英语学习机的单价相同，书包单价也相同，英 语学习机和书包单价之和是 452 元，且英语学习机的单价比书包单价的 4 倍少 8 元． （1）求该同学看中的英语学习机和书包单价各是多少元？
工艺品 8 件与将标价降低 35 元销售该工艺品 12 件所获利润相等 . 该工艺品每件的进价、标
价分别是多少元？
（二）一元二次方程 概念：
1、 定义： 2、 一般表达式： 3、 方程的解： 4、 解法：直接开平方、因式分解法、公式法、配方法 5、 解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次。 【典型例题】
【典型例题】
一、一元一次方程的有关概念
例 1. 一个一元一次方程的解为 2，请写出这个一元一次方程
.(
二、一元一次方程的解
答案不唯一 )
例 2. 若关于 的一元一次方程
的解是
, 则 的值是（
）
A．
B
．1
C
．
D
．0
231 例 3. 3{ 2[ 2(x-1)-3]-3}=3
三、一元一次方程的实际应用 例 4. 某高校共有 5 个大餐厅和 2 个小餐厅． 经过测试： 同时开放 1 个大餐厅、 2 个小餐
去分母、去括号后的结果，其中正确的是（
）
A．
B.
C.
D.
5．分式方程
的解是（
）
A．
B．
C．
D．
6. 分式方程
的解是（
）
A.
,
B.
,
C.
,
D.
7． 今年以来受各种因素的影响，猪肉的市场价格仍在不断上升．
据调查， 今年 5 月份一级
猪肉的价格是 1 月份猪肉价格的 1.25 倍．小英同学的妈妈同样用 20 元钱在 5 月份购得
用方程思想解决实际问题的一般步骤
(1). 审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系．
(2). 设：设未知数 ( 可分直接设法，间接设法 )
(3). 列：根据题意列方程．
(4). 解：解出所列方程．
(5). 检：检验所求的解是否符合题意．
(6). 答：写出答案 ( 有单位要注明答案 )