自动控制原理 线性系统的数学模型传递函数
自动控制原理传递函数知识点总结
自动控制原理传递函数知识点总结自动控制原理是研究自动控制系统中信号传递、处理、转换等基本理论和方法的学科。
传递函数是描述线性时不变系统的数学模型，它对于分析和设计控制系统起着重要的作用。
下面将对自动控制原理中关于传递函数的知识点进行总结。
一、传递函数的定义传递函数是用来描述线性时不变系统输入-输出关系的数学函数。
对于连续时间系统，传递函数可以表示为：G(s) = Y(s) / X(s)其中，G(s)为传递函数，Y(s)为系统的输出信号，X(s)为系统的输入信号，s为复变量。
对于离散时间系统，传递函数可以表示为：G(z) = Y(z) / X(z)其中，G(z)为传递函数，Y(z)为系统的输出信号，X(z)为系统的输入信号，z为复变量。
二、传递函数的性质1. 时域特性：传递函数可以通过拉氏变换将时域的微分、积分方程转换为频域的代数方程，从而简化系统的分析和设计。
2. 稳定性：传递函数的稳定性与其极点位置有关。
当所有极点均位于左半平面时，传递函数是稳定的；当存在极点位于右半平面时，传递函数是不稳定的。
3. 零点和极点：传递函数的零点是使得传递函数为零的点，极点是使得传递函数无穷大的点。
零点和极点的位置对系统的动态性能和稳定性有重要影响。
4. 频率响应：传递函数的频率响应是指系统对不同频率输入信号的响应特性。
频率响应可以通过传递函数的频域分析获得，包括幅频特性和相频特性。
三、传递函数的常见形式1. 一阶系统传递函数：一阶系统的传递函数形式为：G(s) = K / (s + a)其中，K为传递函数的增益，a为系统的时间常数。
2. 二阶系统传递函数：二阶系统的传递函数形式为：G(s) = K / (s^2 + 2ζω_ns + ω_n^2)其中，K为传递函数的增益，ζ为阻尼比，ω_n为自然频率。
3. 传递函数的因果性：因果系统的传递函数在复平面上的极点全部位于左半平面，即Re(s) < 0。
非因果系统的传递函数在复平面上的极点存在于右半平面，即Re(s) > 0。
《自动控制原理》第2章 线性系统的传递函数
+
anc(t)
=
b0
dm dtm
r(t)
+
b1
d m−1 d t m −1
r(t)
++
bm−1
d dt
r(t)
+
bmr(t)
(m n)
设r(t), c(t)及各阶导数在t=0时的值均为零(零初始条件)， 则对方程两端求拉氏变换，可得系统的传递函数
Ch2 控制系统的数学模型
◼ 传递函数的一般形式：
Ch2 控制系统的数学模型
第二章 控制系统的数学模型
Ch2 控制系统的数学模型
本章内容
❖ 引言 ❖ 物理系统的微分方程 ❖ 拉氏变换与拉氏反变换 ❖ 线性系统的传递函数 ❖ 方框图及其等效变换 ❖ 信号流图与Mason公式*
Ch2 控制系统的数学模型
2.3 线性系统的传递函数
一. 传递函数的定义
Ux(s) =
I
(s) − I2(s) sC1
(2)
I 2 (s)
=
Ux
(s) −Uo(s) R2
(3)
U o (s)
=
I 2 (s) sC2
(4)
Ch2 控制系统的数学模型
I (s) = Ui (s) −U x (s) (1) R1
Ui _
I
1/R1
Ux
Ux(s) =
I
(s) − I2(s) sC1
Uo (s)
Ui (s) （b）
I(s) Uo (s)
Ch2 控制系统的数学模型
I(s)
（c）
Uo (s)
Ui (s)
I(s)
－ Uo (s) （d）
第2章 自动控制系统的数学模型
二、一阶惯性环节（一阶滞后环节）
1、数学表达式 ：
2、特点 一阶惯性环节含有一个储能元件，输入 量的作用不能立即在输出端全部重现出来， 而是有一个延缓，即有惯性。 3、实例
例2-2 如图2-2所示的RC串联电路，以总电压ur 为输入，电容上电压uC为输出，试建立其微分方程。
图2-2 RC网络
解（1）确定系统的输入、输出变量，如图已知ur为输入，电 容电压uC为输出； （2）列微分方程组： 由基尔霍夫第二定律有： uR +uC =ur ① 由欧姆定律有： uR=R i ② 1 由电容充放电特性，有：uC= ∫idt ③ c （3）消去中间变量
n υ 他激直流电动
五、振荡环节（二阶滞后环节）
1、自动控制原理的研究对象是自动控制系统 的基本结构，这是本章的重点，要求通过实例掌 握自动控制系统各组成部分及其功能。 2、经典控制理论讨论的是按偏差进行控制的 反馈控制系统，应该了解其控制的目的、控制的 对象和控制的过程；熟悉对控制系统动态性能的 基本要求，即稳、快、准；为进一步掌握控制系 统的性能指标打好基础。
d n c(t ) d n 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 a n c(t ) n n 1 dt dt dt d m r (t ) d m 1 r (t ) dr (t ) b0 b1 bm 1 bm r (t ) m m 1 dt dt dt
第2章 线性系统的数学模型
第2章 线性系统的数学模型
六、纯滞后环节（纯延迟环节）
表达式： c(t)=r(t-τ) 特点：输出比输入滞后一个时间τ。 实例：延时继电器。
2-2 传递函数
传递函数是线性定常连续系统最重要的数 学模型之一，是数学模型在复频域内的表示形 式。利用传递函数，不必求解微分方程就可以 求取初始条件为零的系统在任意形式输入信号 作用下的的输出响应，还可以研究结构和参数 的变化对控制系统性能的影响。经典控制理论 的主要研究方法——根轨迹分析法和频域分析 法都是建立在传递函数基础上的。
自动控制原理 线性系统的数学模型传递函数
惯性环节的动态方程是一个一阶微分方程： T dc(t) c(t) Kr(t) dt
其传递函数为：
G(s) C(s) K R(s) Ts 1
式中 T—— 惯性环节的时间常数 K—— 惯性环节的增益或放大系数
12/47
§2.3 传递函数
当输入为单位阶跃函数时，其单位阶跃响应为：
24/47
§ 2.4 方框图
在控制工程中，为了便于对系统进行 分析和设计，常将各元件在系统中的功能 及各部分之间的联系用图形来表示，即方 框图和信号流图。
25/47
§ 2.4 方框图
2.4.1方框图的概念及其表示
方框图也称方块图或结构图，具有形象和直观的 特点。
系统方框图是系统中各元件功能和信号流向的 图解，它清楚地表明了系统中各个环节间的相 互关系。
n个环节串联后总的传递函数 : G(s) C(s) X1(s) X 2 (s) C(s) R(s) R(s) X1 (s) X n1 (s) G1 (s)G2 (s) Gn (s)
34/127
§ 2.4 方框图
环节串联后总的传递函数等于串联的各个环节传递 函数的乘积。
环节的串联
RC网络
35/47
d nc(t) d n1c(t)
dc(t)
a0 dt n a1 dt n1 an1 dt anc(t)
b0
d mr(t) dt m
b1
d m1r(t) dt m1
bm1
dr(t) dt
bmr(t)
式中c(t)为输出量，r(t)为输入量 。
设c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对上 式取拉氏变换，得：
G(s) KTd s Td s 1
自动控制原理课件 第二章 线性系统的数学模型
c(t ) e
dt Leabharlann t
c( s )
g ( ) r ( ) d e s ( ) d 0 0 g ( )e s r ( )e s d d 0 0
0
g ( )e
5) 闭环系统传递函数G(s)的分母并令其为0，就是系统的特征方 程。
• 涉及的是线性系统 非线性系统必须 进行线性化处理
§2-6 信号流程图
系统很复杂，为方便研究，也为了与 实际对应，通常将复杂系统分解为 若干典型环节的连接
数学模型的定义 数学模型： 描述系统变量间相互关系的动态性能的运动方程 建立数学模型的方法：
解析法: 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相 应的数学关系式，建立模型。 自动控制系统的组成可以是电气的，机械的，液压的，气动的等等，然 而描述这些系统的数学模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研 究自动控制系统，就摆脱了各种类型系统的外部关系而抓住这些系统的 共同运动规律，控制系统的数学模型是通过物理学，化学，生物学等定 律来描述的，如机械系统的牛顿定律，电气系统的克希霍夫定律等都是 用来描述系统模型的基本定律。 实验法: 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当 的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。 数学模型的形式 时间域： 复数域： 频率域： 微分方程 差分方程 传递函数 结构图 频率特性 状态方程
1 例1 : F ( s) ( s 1)(s 2)(s 3) c c c 1 2 3 s 1 s 2 s 3
1 1 c1 [ ( s 1)]s 1 ( s 1)(s 2)(s 3) 6 1 1 c2 [ ( s 2)]s 2 ( s 1)(s 2)(s 3) 15 1 1 c3 [ ( s 3)]s 3 ( s 1)(s 2)(s 3) 10 1 1 1 1 1 1 F ( s) 6 s 1 15 s 2 10 s 3 1 1 1 f (t ) e t e 2t e 3t 6 15 10
自动控制原理传递函数
自动控制原理传递函数
自动控制原理中，传递函数是一个非常重要的概念。
传递函数描述了控制系统
输入和输出之间的关系，是分析和设计控制系统的重要工具。
本文将介绍传递函数的基本概念、性质和应用。
传递函数是描述线性时不变系统输入和输出之间关系的数学函数。
对于一个线
性时不变系统，其传递函数可以用拉普拉斯变换表示。
传递函数通常用G(s)表示，其中s是复变量。
传递函数的形式可以是分子多项式除以分母多项式的比值，也可
以是一些特定形式的函数。
传递函数的性质包括，稳定性、因果性、实数性等。
稳定性是指系统在输入有
界的情况下，输出也是有界的。
因果性是指系统的输出只依赖于当前和过去的输入，而不依赖于未来的输入。
实数性是指系统的传递函数在实轴上的取值都是实数。
传递函数在控制系统分析和设计中有着广泛的应用。
通过传递函数，可以方便
地分析系统的频率响应特性，如幅频特性、相频特性等。
同时，传递函数也可以用于控制系统的设计，例如根据要求设计控制器的参数，使系统的性能满足特定的要求。
在实际工程中，传递函数也经常用于建立系统的数学模型。
通过测量系统的输
入和输出，可以辨识出系统的传递函数，从而对系统进行建模和仿真。
这对于系统的分析和预测具有重要意义。
总之，传递函数是自动控制原理中一个非常重要的概念。
通过传递函数，可以
方便地描述和分析控制系统的性能，并且可以用于控制系统的设计和建模。
因此，对传递函数的理解和掌握是控制工程师必备的基本能力之一。
希望本文对传递函数的基本概念、性质和应用有所帮助。
自动控制原理2.3 传递函数1.3 传递函数
U a (s) TaTm s 2 Tm K 0 s 1
1 K0
1 K0
(s) Mc (s)
Km 1 K0
(Ta
s
1)
TaTm s 2 Tm K 0 s 1
1 K0
1 K0
2．性质与说明：
（1）传递函数是复变量s的有理真分式，具有复变
函数的所有性质，且所有系数均为实数。
a1
d n1c(t) dt n1
an1
dc(t ) dt
a n c(t )
b0
d mr(t) dt m
b1
d m1r(t) dt m1
bm1
dr (t ) dt
bm r(t)
当初始条件为零时有：
[a0 s n a1s n1 an1s an ]C(s)
一、基本概念：
第二章 数学模型
以 RC 网络为例。
R
RC
duc dt
uc
ur，设
uc (0)
0
C
则有 RCsUc (s) Uc (s) Ur (s)
ur i
uc
即(RCs 1)Uc (s) Ur (s)
Uc (s)
1 RCs
1
U
r
(
s)。
其中 Ur (s)随
ur (t) 形式而变，
号的性质和能力，故称它为RC网络的传函。
1、定义：对于线性定常系统来说，当初始条件为零 时，输入量拉氏变换与输出量拉氏变换之 比叫做系统的传递函数 。
G(s) C(s) . R(s) R(s)
孙炳达版自动控制原理第2章线性连续系统数学模型5
第二章 线性连续系统的数学模型
2.5 信号流程图
2.5 信号流程图
一、信号流程图的概念与常用术语
信号流程图，是一种由节点和支路组成的信号传递 网络，表示线性化代数方程组变量间关系的图示方法。
例 某一线性系统，它由下述方程式描述：
x2 = a12 x1
式中， x1为输入信号(变量)；x2为输出信号(变量)；
G2
-H1 -1
G3 -H2
1 Y(S)
信号流程图共有5条回路，各回路增益分别为：
La G1G2H1 Lb -G1G2G3 Lc G2G3H2 Ld G4 H2 Le G1G4
以上回路不存在互不接触情况。
2.5 信号流程图
1 (La Lb Lc Ld Le ) 1 G1G2H1 G1G2G3 G2G3H2 G4H2 G1G4
1 G2G3G6 G3G4G5 G1G2G3G4G7
2.5 信号流程图
例 用梅逊公式求下图中信号流图的传递函数。 G4
R(S) 1 G1
G2
-H1 -1
G3 -H2
1 Y(S)
解：R(S)与Y(S)之间有2条前向通路
T1 G1G2G3 T2 G1G 4
2.5 信号流程图
G4
R(S) 1 G1
2.5 信号流程图
支路具有两个特征： 有向性 限定了信号传递方向。支路方向就是信
号传递的方向，用箭头表示。 有权性 限定了输入与输出两个变量之间的关系。
支路的权用它近旁标出的传输值(增益)表示。
2.5 信号流程图
-b1 -b2
-b3
a1
a2
a3
a4
a5
a6
x1
x2
自动控制原理课件：线性系统的数学模型
L1——信号流图中所有不同回环的传输之和；
L2——所有两个互不接触回环传输的乘积之和；
L3——所有三个互不接触回环传输的乘积之和；
……………
Lm——所有m个互不接触回环传输的乘积之和；
26
梅逊公式：信号流图上从源节点（输入节点）到汇节点（输出节点）的总传输公式.
1 n
G ( s ) Pk k
1. 确定系统的输入量和输出量；
2. 根据物理或化学定理列出描述系统运动规律的一组
微分方程；
3. 消去中间变量，最后求出描述系统输入与输出关系
的微分方程---数学模型。
如微分方程为线性，且其各项系数均为常数，则称为
线性定常系统的数学模型。
例2.1 如图所示为一RC网络，图中外加输入电压ui，电容电压
L 0
1
2
1
1
2
2
2
1 L1 1 G2 (s)H1 (s) G1 (s)G2 (s)H2 (s)
1 1
2 1
G1 ( s )G2 ( s ) G3 ( s )G2 ( s )
C (s)
R( s ) 1 G2 ( s ) H1 ( s ) G1 ( s )G2 ( s ) H 2 ( s )
duc (t )
RC
uc (t ) ui (t )
dt
设初始状态为零，对方程两边求拉普拉斯变换，得
U c (s)
1
G (s)
U i ( s ) RCs 1
典型环节的传递函数
b0 s m b1s m1 bm1s bm
G( s)
a0 s n a1s n1 an1s an
自动控制任务的数学表达式
自动控制任务的数学表达式
自动控制的任务通常可以由一个传递函数来表示。
传递函数是描述线性时不变系统动态特性的数学模型，其定义如下：
传递函数：对于线性时不变系统，其输出变量与输入变量之比，即y(s)/r(s)，称为传递函数。
其中s为复数频率，y(s)和r(s)分别为输出和输入的拉普拉
斯变换。
在控制工程中，自动控制的任务通常可以描述为以下几种形式：
1. 跟踪任务：系统需要跟踪一个参考信号，使得系统的输出尽可能接近参考信号。
这可以通过设计系统的传递函数，使得系统的输出与参考信号之间的误差最小化来实现。
2. 调节任务：系统需要将某个参数调节到指定的值或者在某个范围内波动。
这可以通过设计系统的传递函数，使得系统具有合适的动态特性和静态特性来实现。
3. 抗干扰任务：系统需要具有抗干扰能力，即当系统受到干扰时，能够保持稳定并尽可能减小干扰对系统输出的影响。
这可以通过设计系统的传递函数，使得系统具有足够的稳定性和鲁棒性来实现。
需要注意的是，自动控制的任务不仅仅局限于以上几种形式，具体的任务需要根据实际应用场景来确定。
同时，为了实现自动控制任务，还需要进行系统分析和设计，包括系统的稳定性分析、动态特性分析、静态特性分析等，以及系统的综合和优化等。
自动控制原理复习资料
（3）若遵循前一个环节的输出为下一个环节的输入， 则容易画图。
例题 系统的微分方程为：
x1 (t ) r (t ) c (t ) dx2 (t ) T1 K1 x1 (t ) x2 (t ) dt x3 (t ) x2 (t ) K 3c (t ) dc (t ) T2 c (t ) K 2 x3 (t ) dt
R1 ( s)
R1(S)
R1(S)
+ -
G1(S) G3(S)
C1(S)
+
G1(S)
C1(S)
G4(S)
G3(S) G2(S) -1 G4(S)
R2(S)
G2(S)
C2(S)
+
C1 ( s) G1 ( s) G( s) R1 (s) 1 G1 ( s)G2 ( s)G3 ( s)G4 ( s)
注意
负反馈取＋ 正反馈取－
2-7. 求闭环传递函数。
R1(S)
+ -
G1(S) G3(S) G4(S)
C1(S)
R2(S)
G2(S)
C2(S)
+
方法要点： 一个输入作用，另一个输入为0； 关注一个输出时，与另外一个输出没有关系； 化简时碰到比较器处的“负号”时，一定要用-1代替。
（1）求 C1 (s) ，令R2(s)=0
ui
1 SC1
C1
R2
C2
1 SC2
I (s)
R1 +
U i ( s)
uo
U o ( s)
1 R1 C1s U i (s) I (s) 2 1 U ( s ) C C R R s (C2 R2 C1R1 )s 1 o 1 2 1 2 R1 G( s ) C1s U i ( s) C2 R1s 1 U o ( s) ( R2 ) I ( s) sC2
自动控制原理控制系统的数学模型
自动控制原理控制系统的数学模型自动控制原理是现代控制工程学的基础，在控制系统的设计中起着至关重要的作用。
控制系统的数学模型是指通过数学方法对控制系统进行建模和描述，以便分析和设计控制系统的性能和稳定性。
控制系统的数学模型可以分为时域模型和频域模型两种形式。
一、时域模型时域模型是描述控制系统在时间域上动态行为的数学表达式。
时域模型是基于系统的差分方程或微分方程的。
1.线性时不变系统的时域模型对于线性时不变系统，可以通过系统的微分方程或差分方程来建立时域模型。
常见的时域模型包括：-一阶系统的时域模型：y(t)=K*(1-e^(-t/T))*u(t)-二阶系统的时域模型：y(t)=K*(1-e^(-t/T))*(1+t/Td)*u(t)2.非线性系统的时域模型对于非线性系统，时域模型可以通过系统的状态空间方程来建立。
常见的非线性系统时域模型包括：- Van der Pol方程： d^2x/dt^2 - μ(1 - x^2) * dx/dt + x = 0 - Lorenz方程：dx/dt = σ * (y - x), dy/dt = rx - y - xz, dz/dt = xy - βz二、频域模型频域模型是描述控制系统在频域上动态行为的数学表达式。
频域模型是基于系统的传递函数或频率响应函数的。
1.传递函数模型传递函数是系统的输入和输出之间的关系，是频域模型的核心。
传递函数可以通过系统的拉普拉斯变换或Z变换得到。
常见的传递函数模型包括：-一阶系统的传递函数模型：G(s)=K/(T*s+1)-二阶系统的传递函数模型：G(s)=K/(T^2*s^2+2ξ*T*s+1)2.频率响应模型频率响应函数是系统在不同频率下的输出和输入之间的关系。
频率响应函数可以通过系统的传递函数模型进行计算。
常见的频率响应模型包括：-幅频特性：描述系统在不同频率下的增益变化-相频特性：描述系统在不同频率下的相位变化控制系统的数学模型是对系统动态行为的数学描述，通过对控制系统进行数学建模和分析，可以有效地设计和优化控制系统，提高系统的性能和稳定性。
自动控制原理 经典控制部分 线性系统的数学模型
可由下列的语句来输入 >>G=4*conv(［1,2］,conv(［1,3］,［1,4］))
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2.6 在MATLAB中数学模型的表示
有了多项式的输入,系统的传递函数在 MATLAB 下可由其分子和分母多项式唯一地确定 出来,其格式为
sys=tf(num,den)
其中num为分子多项式，den为分母多项式
>>A =［1,3］; B =［10,20,3］； >>C = conv(A,B) C = 10 50 63 9
即得出的C(s)多项式为10s3 +50s2 +63s +9
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2.6 在MATLAB中数学模型的表示
MATLAB提供的conv( )函数的调用允许多级嵌
套,例如
G(s)=4(s+2)(s+3)(s+4)
>>P=［1 0 2 4］
注意尽管s2项系数为0,但输入P(s)时不可缺省0。
MATLAB下多项式乘法处理函数调用格式为
C=conv(A,B)
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2.6 在MATLAB中数学模型的表示
例如给定两个多项式A(s)=s+3和B(s)=10s2+20s+3, 求C(s)=A(s)B(s),则应先构造多项式A(s)和B(s),然后再 调用conv( )函数来求C(s)
num=［b0,b1,b2,…,bm］；den=［a0,a1,a2,…,an］；
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§ 2.5 信号流图
2.5.6信号流图的增益公式
给定系统信号流图之后，常常希望确定信 号流图中输入变量与输出变量之间的关系，即 两个节点之间的总增益或总传输。上节采用信 号流图简化规则，逐渐简化，最后得到总增益 或总传输。但是，这样很费时又麻烦，而梅逊 (Mason) 公式可以对复杂的信号流图直接求出 系统输出与输入之间的总增益，或传递函数， 使用起来更为方便。
自动控制原理传递函数
自动控制原理传递函数
自动控制原理是指使用控制器对系统进行控制的一种方法。
在控制系统中，常常使用传递函数来描述系统的动态特性。
传递函数可以理解为输入与输出之间的数学关系，它可以表示为：
G(s) = Y(s) / U(s)
其中，G(s)表示传递函数，Y(s)表示输出信号的 Laplace 变换, U(s)表示输入信号的 Laplace 变换，s表示复变量。
为了进行系统的分析与设计，可以从传递函数的特性出发，了解系统的频率响应、稳态误差、稳定性等重要信息。
在传递函数的分析中，常常需要考虑传递函数的零点和极点。
零点是使得传递函数为零的点，而极点是使得传递函数为无穷大的点。
零点与极点的位置对于系统的稳定性和动态特性有着重要的影响。
当进行控制系统的设计时，可以通过调整传递函数的参数来实现期望的控制效果。
常见的控制方法包括比例控制、积分控制和微分控制，通过调整这些控制参数，可以实现系统的稳定性和响应速度的要求。
总之，传递函数是自动控制原理中的重要工具，通过分析传递函数的特性，可以更好地理解和设计控制系统。
《自动控制原理》第二章传递函数
输出信号的拉氏变换 传递函数 = 输入信号的拉氏变换 零初始条件
C ( s) G(s) = R( s)
autocumt@ 1 中国矿业大学信电学院
一、 传递函数的定义和主要性质
设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述： 设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：
dn d n −1 d a 0 n c (t ) + a1 n −1 c (t ) + ⋅ ⋅ ⋅ + a n −1 c (t ) + a n c (t ) dt dt dt d m −1 d dm = b0 m r (t ) + b1 m −1 r (t ) + ⋅ ⋅ ⋅ + bm −1 r (t ) + bm r (t ) dt dt dt
autocumt@
15
中国矿业大学信电学院
自动控制原理
4、振荡环节
特点：包含两个独立的储能元件，当输入量发生变化时，两个 包含两个独立的储能元件，当输入量发生变化时， 包含两个独立的储能元件 储能元件的能量进行交换，使输出带有振荡的性质。 储能元件的能量进行交换，使输出带有振荡的性质。
z1 n 2 (t) = n1 (t) z2
G(s) = N 2 (s) z1 = =K N1 (s) z 2
传递函数： 传递函数：
autocumt@
9
中国矿业大学信电学院
其它一些比例环节
自动控制原理
R2 R1
r (t )
Ec
R
c (t )
ic (t )
r1
r2
r (t )
c(t )
C
例：积分电路 积分电路
i1 (t )
R1
自动控制原理-控制系统的数学模型可编辑全文
r(t)
b1
d m1 dt m1
r(t)
bm1
d dt
r(t)
bm r (t )
c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，参数是常系数。
性质：满足叠加原理
6
3. 系统微分方程的建立步骤
第一步：将系统分成若干个环节，列写各环节的 输出输入的数学表达式。
利用适当物理定律—如牛顿定律、 基尔霍夫定律、能量守恒定律等。
s2 2
n 1 2
e nt
s in( n
1 2t)
n2 s 2 2n s n 2
12
4、拉氏反变换
查表实现
f
(t )
1 2pj
s j F ( s )e st ds
s j
F(s)化成下列因式分解形式：
F (s) B(s) k(s z1)(s z2 ) (s zm ) A(s) (s s1)(s s2 ) (s sn )
设双变量非线性方程为：y f (x1，, x工2 ) 作点为
则可近似为：
y K1x1 K2x2
y0 f (x10 , x20 )
x1 x1 x10 x2 x2 x20
K1
y x1
| , K x1x10
2
x2 x20
y x2
|x1 x10
x2 x20
[注意]： ⑴上述非线性环节不是指典型的非线性特性（如间隙、饱和特 性等），它可以用泰勒级数展开。 ⑵实际的工作情况在工作点附近。 ⑶变量的变化必须是小范围的。其近似程度与工作点附近的非 线性情况及变量变化范围有关。
◆F(s)中具有单极点时，可展开为
F (s) c1 c2 cn
s s1 s s2
s sn
自动控制原理的数学模型
自动控制原理的数学模型自动控制是一种通过控制器、执行器和传感器等组件来改变系统特性以实现预期目标的过程。
自动控制原理的数学模型是描述该过程的数学方程组，用于定量地分析和设计控制系统。
实际上，自动控制原理的数学模型可以通过一些基本的物理规律和方程来构建。
下面将介绍几种常见的自动控制原理的数学模型。
1.线性系统模型线性系统是指系统的输出与输入之间的关系是线性的。
在自动控制领域中，线性系统模型是最常见和基础的数学模型。
线性系统的数学模型可以通过常微分方程或差分方程来描述。
常见的线性系统模型有传递函数模型、差分方程模型和状态空间模型等。
传递函数模型是一种常见的线性系统模型，将系统的输入和输出之间的关系表示为一个分子多项式与一个分母多项式的比值。
传递函数模型可以通过系统的拉普拉斯变换或者离散时间系统的Z变换得到。
2.非线性系统模型除了线性系统以外，许多现实中的控制系统是非线性的。
非线性系统的数学模型可以通过非线性方程组来描述。
非线性系统的模型可能难以分析和求解，因为非线性方程组通常没有解析解。
3.离散系统模型离散系统是指系统的输入和输出是在离散时间上进行的。
离散系统的数学模型可以通过差分方程来描述。
差分方程是描述离散时间系统的常用数学工具，可以通过差分方程求解得到系统的时间响应。
4.状态空间模型状态空间模型是一种描述线性动态系统的数学模型。
状态空间模型将系统的状态用向量表示，以描述系统在不同时间点的状态和状态之间的相互关系。
状态空间模型适用于揭示系统的内部细节和进行控制系统设计。
为了应用自动控制原理的数学模型，需要进行系统的建模和参数辨识。
系统的建模是根据系统的特性和运行规律，建立数学模型的过程。
参数辨识是根据实际测量数据和实验结果，确定数学模型中的参数值的过程。
总结起来，自动控制原理的数学模型是用于描述控制系统的数学方程组，常见的数学模型包括线性系统模型、非线性系统模型、离散系统模型和状态空间模型等。
建立和辨识数学模型是应用自动控制原理的重要步骤，可以通过物理规律和系统运行数据等来完成。
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(5)传递函数分母多项式的阶次总是大于或等于分子
多项式的阶次，即n≥m。这是由于实际系统的惯性
所造成的。系数为实数。
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§2.3 传递函数
(6)传递函数与微分方程有相通性。把微分方程
中的
d dt
用s代替就可以得到对应的传递函数。
(7)传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t)。
(8)传递函数分母多项式称为特征多项式，记为
K1 R
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§2.3 传递函数
3. 积分环节
输出量正比于输入量的积分的环节称为积分 环节，其动态特性方程：
c(t) 1
t
r(t)dt
Ti 0
其传递函数： G(s) C(s) 1 R(s) Ti s
式中Ti为积分时间常数。
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§2.3 传递函数
积分环节的单位阶跃响应为： C(t) 1 t Ti
§2.3 传递函数
4. 微分环节
理想微分环节的特征输出量正比于输入量的
微分，其动态方程
c(t)
Td
dr(t) dt
其传递函数
G(s)
C(s) R(s)
Td
s
式中Td称微分时间常数
它的单位阶跃响应曲线 c(t) Td (t)
它随时间直线增长，当输入突然消失，积分停止， 输出维持不变，故积分环节具有记忆功能，如图所 示。
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§2.3 传递函数
上图为运算放大器构成的积分环节，输入ui(t)，输 出u0(t)，其传递函数为
G(s) U0 (s) 1 1 Ui (s) RCs Ti s
式中Ti = RC
17/47
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§2.3 传递函数
2.2.3 典型环节的传递函数
控制系统由许多元件组合而成，这些元件 的物理结构和作用原理是多种多样的，但抛开 具体结构和物理特点，从传递函数的数学模型 来看，可以划分成几种典型环节，常用的典型 环节有比例环节、惯性环节、积分环节、微 分环节、振荡环节、延迟环节等。
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D(s) a0 s n a1s n1 an1s an
而D(s)=0称为特征方程。
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§2.3 传递函数
(9)传递函数式可表示成
G(s) Kg (s z1)(s z2 ) (s zm ) (s p1)(s p2 ) (s pn )
式 中 p1，p2……pn 为 分 母多项式的根，称为传 递 函 数 的 极 点 ； z1、 z2、… zn为分子多项式 的根，称为传递函数的 零点； Kg称为传递系 数或增益。
§2.3 传递函数
1. 比例环节
环节输出量与输入量成正比，不失真也无 时间滞后的环节称为比例环节，也称无惯性环 节。输入量与输出量之间的表达式为：
c(t)=Kr(t) 比例环节的传递函数为：
G(s) C(s) K R(s)
式中K为常数，称为比例环节的放大系数或增益。
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§2.3 传递函数
或写为： G(s) C(s) M (s) R(s) N(s)
传递函数与输入、输出之间的关系，可用框图表示。
R(s) G(s) C(s)
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§2.3 传递函数
2.2.2 传递函数的特点及几点说明
(1)作为一种数学模型，传递函数只适用于线性 定常系统，这是由于传递函数是经拉普拉斯变 换导出的，而拉氏变换是一种线性积分运算。 (2)传递函数是以系统本身的参数描述的线性定 常系统输入量与输出量的关系式，它表达了系 统内在的固有特性，只与系统的结构、参数有 关，而与输入量或输入函数的形式无关。
(a0 s n a1s n1 an1s an )C(s) (b0 s m b1s m1 bm1s bm )R(s)
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§2.3 传递函数
则系统的传递函数为：
G(s) C(s) b0 s m b1s m1 bm1s bm R(s) a0 s n a1s n1 an1s an
2. 惯性环节(非周期环节)
惯性环节的动态方程是一个一阶微分方程： T dc(t) c(t) Kr(t) dt
其传递函数为：
G(s) C(s) K R(s) Ts 1
式中 T—— 惯性环节的时间常数 K—— 惯性环节的增益或放大系数
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§2.3 传递函数
当输入为单位阶跃函数时，其单位阶跃响应为：
c(t)
L1 C(s)
L1
K Ts 1
1 s
K
(1
t
eT
)
单位阶跃响应曲线
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§2.3 传递函数
惯性环节实例很多，如 图所示的R-L网络，输入 为电压u，输出为电感电 流i，其传递函数
G(s) I(s) 1 1/ R K U (s) Ls R L / Rs 1 Ts 1
式中
TL R
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§2.3 传递函数
(3)传递函数可以是无量纲的，也可以是有量纲的， 视系统的输入、输出量而定，它包含着联系输入量 与输出量所必须的单位，它不能表明系统的物理特 性和物理结构。
(4)传递函数只表示单输入和单输出(SISO)之间的关 系，对多输入多输出(MIMO)系统，可用传递函数 阵表示。
第2章 线性系统的数学模型
§2.3 传递函数
输入、输出、及其各阶导数
2.2.1 传递函数的概初念始值均为零。
在零初始条件下，线性定常系统输出量
的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比， 定义为线性定27
§2.3 传递函数
若已知线性定常系统的微分方程为：
d nc(t) d n1c(t)
dc(t)
a0 dt n a1 dt n1 an1 dt anc(t)
b0
d mr(t) dt m
b1
d m1r(t) dt m1
bm1
dr(t) dt
bmr(t)
式中c(t)为输出量，r(t)为输入量 。
设c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对上 式取拉氏变换，得：
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§2.3 传递函数
某系统的传递函数为：
G(s) C(s) 6(s 3) R(s) (s 1)(s 2)
有两个极点和一个零点：p1=-1, p2=-2, z1=-3 有两个模态：e-t和e-2t
在输入信号为 r(t) r1 r2e5t 时，系统的零初始条件响应
为： c(t) L1[R(s)G(s)] 9r1 r2e5t (3r2 12r1)et (3r1 2r2 )e5t