工程力学-(材料力学)-9-圆轴扭转的强度与刚度

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第9章 圆轴扭转时的应力变形分析 与强度刚度计算计算
工程上传递功率的圆轴 及其扭转变形
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工程上传递功率的圆轴 及其扭转变形
请判断哪一杆件 将发生扭转
当两只手用力相等时， 拧紧罗母的工具杆将产生扭 转
工程上传递功率的圆轴 及其扭转变形
请判断哪一杆件 将发生扭转
拧紧罗母的工具杆 不仅产生扭转，而且产 生剪切
圆轴扭转时的剪应力分析
弹性范围内的 剪应力－剪应变关系
圆轴扭转时的剪应力分析
弹性范围内的剪应力－剪应变关系
剪切胡克定律源自文库
t
若在弹性范围内加载，即
唱机的心轴将产生扭转
工程上传递功率的圆轴 及其扭转变形
请判断轴受哪些力 将发生什么变形
工程上传递功率的圆轴 及其扭转变形
A
C
B
D
A'

C'
B'
t
t D'
当圆轴承受绕轴线转动的外扭 转力偶作用时，其横截面上将只 有扭矩一个内力分量。
不难看出，圆轴受扭后，将产 生扭转变形（twist deformation ），圆轴上的每个微元的直角均 发生变化，这种直角的改变量即 为剪应变。这表明，圆轴横截面 和纵截面上都将出现剪应力分别 用 t 和 t 表示。
工程力学
第二篇 材料力学
工程力学
第二篇 材料力学
第9章 圆轴扭转时的应力变形分析 与强度刚度计算
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第9章 圆轴扭转时的应力变形分析 与强度刚度计算计算
工程上将主要承受扭转的杆件称为轴，当轴的横截面 上仅有扭矩（Mx）作用时，与扭矩相对应的分布内力，其 作用面与横截面重合。这种分布内力在一点处的集度，即 为剪应力。圆截面轴与非圆截面轴扭转时横截面上的剪应 力分布有着很大的差异。本章主要介绍圆轴扭转时的应力 变形分析以及强度设计和刚度设计。
圆轴扭转时，其圆柱面上的圆保持不变，都是两个相 邻的圆绕圆轴的轴线相互转过一角度。根据这一变形特征， 假定：圆轴受扭发生变形后，其横截面依然保持平面，并且 绕圆轴的轴线刚性地转过一角度。这就是关于圆轴扭转的平 面假定。所谓“刚性地转过一角度”，就是横截面上的直径 在横截面转动之后依然保持为一直线。
圆轴扭转时的剪应力分析
第9章 圆轴扭转时的应力变形分析 与强度刚度计算计算
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圆轴扭转时的剪应力分析
分析圆轴扭转剪应力的方法与分析梁纯弯曲 正应力的方法，基本相同，就是：根据表面变形作 出平面假定；由平面假定得到应变分布，亦即得到 变形协调方程；再由变形协调方程与应力－应变关 系得到应力分布，也就是含有待定常数的应力表达 式；最后利用静力方程确定待定常数，从而得到计 算应力的公式。
dx D
z
t t
如果在微元的一对面上
存在剪应力，另一对与剪应力
作用线互相垂直的面上必然垂
直大小相等、方向或相对(两剪
x
应力的箭头相对)或相背(两剪 应力的箭尾相对)，以使微元保
持平衡。微元上剪应力的这种
相互关系称为剪应力互等定理
或剪应力成对定理(theorem of
conjugate shearing stress)
第9章 圆轴扭转时的应力变形分析 与强度刚度计算计算
剪应力互等定理
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剪应力互等定理
圆轴扭转时，微元的剪切变形现象表明， 圆轴不仅在横截面上存在剪应力，而且在通过 轴线的纵截面上也将存在剪应力。这是平衡所 要求的。
如果用圆轴的相距很近的一对横截面、一对 纵截面以及一对圆柱面，从受扭的圆轴上截取 一微元，微元与横截面对应的一对面上存在剪 应力τ，这一对面上的剪应力与其作用面的面 积相乘后组成一绕z轴的力偶，其力偶矩为 tdydzdx。 为了保持微元的平衡，在微元与纵截面对应的 一对面上，必然存在剪应力τ′，这一对面上的 剪应力也组成一个力偶矩为t 'dxdzdy的力偶。 这两个力偶的力偶矩大小相等、方向相反，才 能使微元保持平衡。
分析圆轴扭转时的应力和变形的方法与分析梁的应力 和变形的方法基本相同。依然借助于平衡、变形协调与物 性关系。
第9章 圆轴扭转时的应力变形分析 与强度刚度计算计算
工程上传递功率的圆轴 及其扭转变形
剪应力互等定理 圆轴扭转时的剪应力分析 承受扭转时圆轴的强度设
计与刚度设计 结论与讨论
圆轴扭转时的剪应力分析
平面假定
变形
应变分布
物性关系
应力分布
静力方程
应力公式
圆轴扭转时的剪应力分析
变形协调方程 弹性范围内的剪应力－剪应变关系 静力学方程 圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式
圆轴扭转时的剪应力分析
变形协调方程
圆轴扭转时的剪应力分析
变形协调方程
剪应力互等定理
y
t
A
C
哪怎微些样元力才能互能不相平能平衡平衡？衡？？
dy
t
x
B
dz
dx D
z
剪应力互等定理
y
哪些力互相平衡？
t
根据力偶平衡理论
A
C
dy
tdydzdx tdxdzdy
t
x
B
dz
dx D
t t
z
剪应力互等定理
y 剪应力互等定理
t
A C
dy
t
B
dz
d
dx
圆轴扭转时的剪应力分析
变形协调方程
d
dx
d
dx
称为单位长度相对扭转角（angle of twist per unit length of the shaft）。
对于两相邻截面，
d const.
dx
为常量，故上式表明：圆轴扭转时，其横截面上任意点处的 剪应变与该点至截面中心之间的距离成正比。上式即为圆轴 扭转时的变形协调方程。
变形协调方程
若将圆轴用同轴柱面分割成许多半径不等的圆柱，根据 上述结论，在dx长度上，虽然所有圆柱的两端面均转过相同
的角度d，但半径不等的圆柱上产生的剪应变各不相同，
半径越小者剪应变越小。
圆轴扭转时的剪应力分析
变形协调方程
设到轴线任意远处的剪应变为（），则从图中可得
到如下几何关系：
工程上传递功率的圆轴 及其扭转变形
请判断哪些零件 将发生扭转
传动轴
传动轴 将产生扭转
工程上传递功率的圆轴 及其扭转变形
工程上传递功率的圆轴 及其扭转变形
请判断哪一部件 将发生扭转
连接汽轮机和发电 机的传动轴将产生扭 转
工程上传递功率的圆轴 及其扭转变形
请判断哪一部件 将发生扭转